Tasojen välisen kulman mitta on terävä kulma, jonka muodostaa kaksi näissä tasoissa olevaa suoraa, jotka on piirretty kohtisuoraan niiden leikkausviivaan nähden.

Rakennusalgoritmi

1. Mielivaltaisesta pisteestä K piirretään kohtisuorat jokaiseen annettuun tasoon.
2. Kierto tasoviivan ympäri määrittää kulman γ° arvon kärjen kanssa pisteessä K.
3. Laske tasojen välinen kulma ϕ° = 180 - γ° edellyttäen, että γ° > 90°. Jos γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Kuvassa on esitetty tapaus, jossa tasot α ja β on annettu jäljellä. Kaikki tarvittavat rakenteet tehdään algoritmin mukaan ja kuvataan alla.

Ratkaisu

1. Piirustuksen mielivaltaiseen kohtaan merkitään piste K. Siitä lasketaan kohtisuorat m ja n, vastaavasti, tasoille α ja β. Projektion m ja n suunta on seuraava: m""⊥f 0α, m"⊥h 0α, n""⊥f 0β, n"⊥h 0β.
2. Määritämme todellisen koon ∠γ° viivojen m ja n väliltä. Voit tehdä tämän kiertämällä kulmatasoa kärjellä K frontaalisen f ympärillä asentoon, joka on yhdensuuntainen etuprojektiotason kanssa. Pisteen K kääntösäde R on yhtä suuri kuin oikean kolmion hypotenuusan arvo O""K""K 0 , jonka haara on K""K 0 = y K – y O .
3. Haluttu kulma on ϕ° = ∠γ°, koska ∠γ° on terävä.

Alla oleva kuva esittää ratkaisun ongelmaan, jossa on löydettävä tasojen α ja β välinen kulma γ°, jotka on annettu vastaavasti yhdensuuntaisilla ja leikkaavilla viivoilla.

Ratkaisu

1. Määritämme tasoihin α ja β kuuluvien horisontaalisten h 1 , h 2 ja frontaalien f 1 , f 2 projektioiden suunnan nuolten osoittamassa järjestyksessä. Neliön mielivaltaisesta pisteestä K. α ja β pudotamme kohtisuorat e ja k. Tässä tapauksessa e""⊥f"""1, e"⊥h"1 ja k""⊥f"""2, k"⊥h"2.
2. Määritämme ∠γ° suorien e ja k väliin. Tätä varten piirrämme vaakasuuntaisen h 3 ja käännämme sen ympärillä olevaa pistettä K asentoon K 1, jossa △CKD tulee yhdensuuntaiseksi vaakatason kanssa ja heijastuu siihen täysikokoisena - △C "K" 1 D". Pyörimiskeskipisteen projektio O" on piirretty kohtaan h "3 kohtisuoraan K "O". Säde R määritetään suorakulmaisesta kolmiosta O "K" K 0, jonka sivu on K "K 0 \u003d" Z O - Z K.
3. Haluttu arvo on ∠ϕ° = ∠γ°, koska kulma γ° on terävä.

Avaruuden geometrisia ongelmia ratkaistaessa on usein sellaisia, joissa on tarpeen laskea kulmat eri tilaobjektien välillä. Tässä artikkelissa tarkastelemme kysymystä tasojen ja niiden välisten kulmien löytämisestä ja suorasta viivasta.

Suora viiva avaruudessa

Tiedetään, että täysin mikä tahansa tason suora viiva voidaan määrittää seuraavalla yhtälöllä:

Tässä a ja b ovat joitain lukuja. Jos edustamme suoraa avaruudessa samalla lausekkeella, saadaan taso, joka on yhdensuuntainen z-akselin kanssa. varten matemaattinen määritelmä spatiaalinen suora, käytetään eri ratkaisumenetelmää kuin kaksiulotteisessa tapauksessa. Se koostuu "ohjausvektorin" käsitteen käytöstä.

Esimerkkejä tasojen leikkauskulman määrittämiseen liittyvistä tehtävistä

Tietäen kuinka löytää tasojen välinen kulma, ratkaisemme seuraavan ongelman. On annettu kaksi tasoa, joiden yhtälöillä on muoto:

3*x+4*y-z+3 = 0;

X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

Mikä on tasojen välinen kulma?

Vastataksemme ongelman kysymykseen muistutamme, että kertoimet, jotka ovat tason yleisen yhtälön muuttujien kohdalla, ovat ohjausvektorin koordinaatit. Näille tasoille meillä on seuraavat niiden normaalien koordinaatit:

n1¯(3; 4; -1);

n 2 ¯(-1; -2; 5)

Nyt löydämme näiden vektorien ja niiden moduulien skalaaritulon, meillä on:

(n 1 ¯ * n 2 ¯) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;

|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;

|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Nyt voit korvata löydetyt luvut edellisessä kappaleessa annettuun kaavaan. Saamme:

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Tuloksena oleva arvo vastaa ongelmatilanteessa määritettyä tasojen terävää leikkauskulmaa.

Katsotaanpa nyt toista esimerkkiä. Annettu kaksi konetta:

Leikkaavatko ne? Kirjoitetaan niiden suuntavektorien koordinaattien arvot, lasketaan niiden skalaaritulo ja moduulit:

n1¯(1; 1; 0);

n2 (3; 3; 0);

(n1*n2¯) = 3 + 3 + 0 = 6;

|n 1 ¯| = √2;

|n 2 ¯| = √18

Sitten leikkauskulma on:

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

Tämä kulma osoittaa, että tasot eivät leikkaa, vaan ovat yhdensuuntaisia. Se, että ne eivät vastaa toisiaan, on helppo tarkistaa. Otetaan tätä varten mielivaltainen piste, joka kuuluu ensimmäiseen niistä, esimerkiksi P(0; 3; 2). Korvaamalla sen koordinaatit toiseen yhtälöön, saamme:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

Toisin sanoen piste P kuuluu vain ensimmäiseen tasoon.

Siten kaksi tasoa ovat yhdensuuntaisia, kun niiden normaalit ovat.

Kone ja linja

Harkinnan tapauksessa suhteellinen sijainti tason ja suoran välillä on muutama vaihtoehto enemmän kuin kahden tason välillä. Tämä tosiasia liittyy siihen tosiasiaan, että suora viiva on yksiulotteinen esine. Linja ja taso voivat olla:

• keskenään yhdensuuntainen, tässä tapauksessa taso ei leikkaa suoraa;
• jälkimmäinen voi kuulua tasoon, mutta se on myös yhdensuuntainen sen kanssa;
• molemmat kohteet voivat leikata jossain kulmassa.

Harkitse ensin viimeistä tapausta, koska se edellyttää leikkauskulman käsitteen käyttöönottoa.

Suora ja taso, niiden välisen kulman arvo

Jos suora leikkaa tason, sitä kutsutaan kaltevaksi suhteessa siihen. Leikkauspistettä kutsutaan rinteen pohjaksi. Näiden geometristen kohteiden välisen kulman määrittämiseksi on tarpeen laskea suora kohtisuoraan tasoon nähden mistä tahansa pisteestä. Sitten kohtisuoran leikkauspiste tason kanssa ja kaltevan viivan leikkauspaikka sen kanssa muodostavat suoran. Jälkimmäistä kutsutaan alkuperäisen suoran projektioksi tarkasteltavalle tasolle. Akuutti ja sen projektio on haluttu.

Hieman hämmentävää tason ja vinon välisen kulman määritelmää selventää alla oleva kuva.

Tässä kulma ABO on suoran AB ja tason a välinen kulma.

Jos haluat kirjoittaa sille kaavan, harkitse esimerkkiä. Olkoon suora ja taso, jotka kuvataan yhtälöillä:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ* (a; b; c);

A * x + B * x + C * x + D = 0

Näille kohteille on helppo laskea haluttu kulma, jos löydät skalaaritulon suoran ja tason suuntavektorien välillä. Tuloksena oleva terävä kulma tulee vähentää 90 o:sta, jolloin se saadaan suoran ja tason väliltä.

Yllä oleva kuva esittää kuvatun algoritmin tarkasteltavan kulman löytämiseksi. Tässä β on normaalin ja suoran välinen kulma ja α on suoran ja sen tasoon projektion välinen kulma. Voidaan nähdä, että niiden summa on yhtä suuri kuin 90 o .

Yllä esitettiin kaava, joka vastaa kysymykseen, kuinka löytää tasojen välinen kulma. Nyt annamme vastaavan lausekkeen suoran ja tason tapaukselle:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

Kaavan moduuli sallii vain terävien kulmien laskemisen. Arkosiinifunktio ilmestyi arkosiinin tilalle, koska välillä käytettiin vastaavaa pelkistyskaavaa trigonometriset funktiot(cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Ongelma: Taso leikkaa suoran

Nyt näytämme kuinka työskennellä yllä olevan kaavan kanssa. Ratkaistaan ​​ongelma: on tarpeen laskea y-akselin ja yhtälön antaman tason välinen kulma:

Tämä taso on esitetty kuvassa.

Voidaan nähdä, että se leikkaa y- ja z-akselit pisteissä (0; -12; 0) ja (0; 0; 12), vastaavasti, ja on yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Suoran y:n suuntavektorilla on koordinaatit (0; 1; 0). Vektori kohtisuorassa annettu lentokone, on tunnusomaista koordinaatit (0; 1; -1). Käytämme kaavaa suoran ja tason leikkauskulmalle, saamme:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45o

Ongelma: tason suuntainen suora

Ratkaisemme nyt edellisen kaltaisen ongelman, jonka kysymys esitetään eri tavalla. Tason ja suoran yhtälöt tunnetaan:

x + y - z - 3 = 0;

(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

On tarpeen selvittää, ovatko nämä geometriset objektit yhdensuuntaiset toistensa kanssa.

Meillä on kaksi vektoria: suuntaviiva on (0; 2; 2) ja suuntaviiva on (1; 1; -1). Löydämme heidän skalaarituotteensa:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Tuloksena oleva nolla osoittaa, että näiden vektorien välinen kulma on 90 o , mikä todistaa suoran ja tason yhdensuuntaisuuden.

Tarkastetaan nyt, onko tämä suora vain yhdensuuntainen vai onko se myös tasossa. Voit tehdä tämän valitsemalla viivalta mielivaltaisen pisteen ja tarkistamalla, kuuluuko se tasoon. Otetaan esimerkiksi λ = 0, jolloin piste P(1; 0; 0) kuuluu suoralle. Korvaamme tason P yhtälöön:

Piste P ei kuulu tasoon, joten koko suora ei ole siinä.

Missä on tärkeää tietää tarkasteltavien geometristen kohteiden väliset kulmat?

Yllä olevat kaavat ja esimerkit ongelmanratkaisusta eivät ole vain teoreettisia. Niitä käytetään usein tärkeiden tunnistamiseen fyysisiä määriä todellisia kolmiulotteisia hahmoja, kuten prismoja tai pyramideja. Tasojen välisen kulman määrittäminen on tärkeää, kun lasketaan kuvioiden tilavuuksia ja niiden pintojen pinta-aloja. Lisäksi, jos suoran prisman tapauksessa on mahdollista olla käyttämättä näitä kaavoja ilmoitettujen määrien määrittämiseen, niin minkä tahansa tyyppisille pyramideille niiden käyttö on väistämätöntä.

Alla tarkastellaan esimerkkiä esitetyn teorian käyttämisestä neliömäisen pyramidin kulmien määrittämiseen.

Pyramidi ja sen kulmat

Alla olevassa kuvassa on pyramidi, jonka pohjalla on neliö, jonka sivu on a. Figuurin korkeus on h. Sinun on löydettävä kaksi kulmaa:

• sivupinnan ja pohjan välillä;
• sivureunan ja pohjan välissä.

Ongelman ratkaisemiseksi sinun on ensin syötettävä koordinaattijärjestelmä ja määritettävä vastaavien pisteiden parametrit. Kuvasta nähdään, että koordinaattien origo on sama kuin neliön kannan keskellä oleva piste. Tässä tapauksessa perustasoa kuvaa yhtälö:

Eli mille tahansa x:lle ja y:lle kolmannen koordinaatin arvo on aina nolla. Sivutaso ABC leikkaa z-akselin pisteessä B(0; 0; h) ja y-akselin pisteessä, jossa on koordinaatit (0; a/2; 0). Se ei ylitä x-akselia. Tämä tarkoittaa, että ABC-tason yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

y/(a/2) + z/h = 1 tai

2 * h * y + a * z - a * h = 0

Vektori AB¯ on sivureuna. Sen alku- ja loppukoordinaatit ovat: A(a/2; a/2; 0) ja B(0; 0; h). Sitten itse vektorin koordinaatit:

Olemme löytäneet kaikki tarvittavat yhtälöt ja vektorit. Nyt on vielä käytettävä harkittuja kaavoja.

Ensin pyramidissa lasketaan pohjan ja sivun tasojen välinen kulma. Vastaavat normaalivektorit ovat: n 1 ¯(0; 0; 1) ja n 2 ¯(0; 2*h; a). Sitten kulma on:

α = arccos(a / √(4 * h 2 + a 2))

Tason ja reunan AB välinen kulma on yhtä suuri:

β = arcsin(h / √(a 2 / 2 + h 2))

On vielä korvattava pohjan sivun a ja korkeuden h erityisarvot vaadittujen kulmien saamiseksi.

Koordinaattimenetelmän käyttäminen kulmaa laskettaessa

lentokoneiden välillä

Suurin osa yleinen menetelmä kulman löytäminentasojen välillä - koordinaattien menetelmä (joskus - vektoreiden mukana). Sitä voidaan käyttää, kun kaikki muut on kokeiltu. Mutta on tilanteita, joissa koordinaattimenetelmää on järkevää soveltaa välittömästi, nimittäin silloin, kun koordinaattijärjestelmä liittyy luonnollisesti tehtävänmäärittelyssä määriteltyyn polyhedriin, ts. kolme pareittain kohtisuoraa viivaa on selvästi näkyvissä, joille voidaan asettaa koordinaattiakselit. Tällaiset monitahot ovat suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö ja säännöllinen nelikulmainen pyramidi. Ensimmäisessä tapauksessa koordinaattijärjestelmä voidaan asettaa yhdestä kärjestä tulevilla reunoilla (kuva 1), toisessa - kannan korkeudella ja diagonaaleilla (kuva 2).

Koordinaattimenetelmän käyttö on seuraava.

Avaruudessa otetaan käyttöön suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä. On toivottavaa esitellä se "luonnollisella" tavalla - "kiinnitä" se kolmioon pareittain kohtisuorassa viivalla, joilla on yhteinen piste.

Jokaiselle tasolle, jonka välistä kulmaa etsitään, laaditaan yhtälö. Helpoin tapa kirjoittaa tällainen yhtälö on tietää kolmen tason pisteen koordinaatit, jotka eivät ole yhdellä suoralla.

Tasoyhtälö sisään yleisnäkymä on muotoa Ax + By + Cz + D = 0.

kertoimet A, B, C tässä yhtälössä ovat tason normaalivektorin (tasoon nähden kohtisuorassa olevan vektorin) koordinaatit. Sitten määritetään normaalivektorien pituudet ja skalaaritulo tasoihin, joiden välistä kulmaa etsitään. Jos näiden vektorien koordinaatit(A 1, B 1; C 1) ja (A 2; B 2; C 2 ), sitten haluttu kulmalasketaan kaavalla

Kommentti. On muistettava, että vektorien välinen kulma (toisin kuin tasojen välinen kulma) voi olla tylppä, ja mahdollisen epävarmuuden välttämiseksi moduuli on kaavan oikean puolen osoittajassa.

Ratkaise seuraava tehtävä koordinaattimenetelmällä.

Tehtävä 1. Annetaan kuutio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Piste K on reunan AD keskipiste, piste L on reunan CD keskipiste. Mikä on tasojen A välinen kulma 1 KL ja A 1 AD?

Ratkaisu . Olkoon koordinaattijärjestelmän origo pisteessä A, ja koordinaattiakselit kulkevat säteitä pitkin AD, AB, AA 1 (Kuva 3). Otamme kuution reunan, joka on yhtä suuri kuin 2 (on kätevä jakaa puoli). Sitten pisteiden koordinaatit A1, K, L ovat: A1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

Riisi. 3

Kirjoitamme tason yhtälön A 1 K L yleisesti. Sitten korvaamme siihen tämän tason valittujen pisteiden koordinaatit. Saamme kolmen yhtälön järjestelmän neljällä tuntemattomalla:

Ilmaisemme kertoimet A, B, C - D ja tulla yhtälöön

Jakamalla molemmat osat D (miksi D= 0?) ja sitten kertomalla -2:lla, saadaan tason yhtälö A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Tällöin tämän tason normaalivektorilla on koordinaatit (2: -2; 1) . Tasoyhtälö 1 AD on: y=0, ja sen normaalivektorin koordinaatit, esimerkiksi (0; 2: 0) . Yllä olevan tasojen välisen kulman kosinin kaavan mukaan saamme:

Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki menestymiseen tarvittavat aiheet kokeen läpäiseminen matematiikassa 60-65 pistettä. Täysin kaikki profiilin tehtävät 1-13 USE matematiikassa. Soveltuu myös matematiikan peruskäytön suorittamiseen. Jos haluat läpäistä kokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi tenttiin luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan tentin osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä sadan pisteen opiskelija eikä humanisti tule toimeen ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Nopeita tapoja tentin ratkaisuja, ansoja ja salaisuuksia. Kaikki osan 1 asiaankuuluvat tehtävät FIPI-pankin tehtävistä on analysoitu. Kurssi täyttää täysin USE-2018:n vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja koetehtäviä. Tekstitehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat ongelmanratkaisualgoritmit. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten USE-tehtävien analyysi. Stereometria. Ovelia temppuja ratkaisemiseen, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilamielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä - tehtävään 13. Ymmärtäminen tukkeutumisen sijaan. Visuaalinen selitys monimutkaisia ​​käsitteitä. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Pohja kokeen 2. osan monimutkaisten tehtävien ratkaisemiseen.

Työtyyppi: 14
Aihe: Tasojen välinen kulma

Kunto

Kun on annettu säännöllinen prisma ABCDA_1B_1C_1D_1, M ja N ovat reunojen AB ja BC keskipisteet, vastaavasti, piste K on MN :n keskipiste.

A) Todista, että suorat KD_1 ja MN ovat kohtisuorassa.

b) Etsi tasojen MND_1 ja ABC välinen kulma jos AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

Ratkaisu

A) Kohdissa \triangle DCN ja \triangle MAD meillä on: \angle C=\angle A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD = DA.

Tästä syystä \triangle DCN=\kolmio MAD kahdella jalalla. Sitten MD=DN, \kolmio DMN tasakylkinen. Mediaani DK on siis myös korkeus. Tästä syystä DK \perp MN.

DD_1 \perp MND ehdon mukaan, D_1K — vino, KD — projektio, DK \perp MN.

Näin ollen kolmen kohtisuoran lause MN\perp D_1K.

b) Kuten on todistettu vuonna A), DK \perp MN ja MN \perp D_1K, mutta MN on tasojen MND_1 ja ABC leikkausviiva, joten \angle DKD_1 on tasojen MND_1 ja ABC välinen lineaarinen kaksitahoinen kulma.

\kolmiossa DAM Pythagoraan lauseen mukaan DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt(64+16)= 4\sqrt 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt(16+16)= 4 \ neliö 2. Siksi \kolmiossa DKM Pythagoraan lauseen mukaan DK= \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt(80-8)= 6\neliö 2. Sitten \kolmiossa DKD_1, tg\angle DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1.

Joten \kulma DKD_1=45^(\circ).

Vastaus

45^(\circ).

Työtyyppi: 14
Aihe: Tasojen välinen kulma

Kunto

Tavallisessa nelikulmaisessa prismassa ABCDA_1B_1C_1D_1 pohjan sivut ovat 4 ja sivureunat 6 . Piste M on reunan CC_1 keskikohta, piste N on merkitty reunaan BB_1 siten, että BN:NB_1=1:2.

A) Missä suhteessa taso AMN jakaa reunan DD_1?

b) Etsi tasojen ABC ja AMN välinen kulma.

Ratkaisu

A) Taso AMN leikkaa reunan DD_1 pisteessä K , joka on annetun prisman tämän tason leikkauksen neljäs kärki. Leikkaus on suuntaviiva ANMK, koska tämän prisman vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaiset.

BN=\frac13BB_1=2. Piirrä KL \rinnakkais CD, jolloin kolmiot ABN ja KLM ovat yhtä suuret, joten ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD = LC = 1. Sitten KD_1=6-1=5. Nyt voimme löytää suhteen KD:KD_1=1:5.

b) F on suorien CD ja KM leikkauspiste. Tasot ABC ja AMN leikkaavat linjaa AF pitkin. Kulma \angle KHD =\alpha on dihedraalisen kulman lineaarinen kulma (HD\perp AF, sitten lauseen mukaan, käänteinen lause noin kolme kohtisuoraa, KH \perp AF ) ja on terävä kulma suorakulmainen kolmio KHD , jalka KD=1.

Kolmiot FKD ja FMC ovat samanlaisia ​​(KD \parallel MC), joten FD:FC=KD:MC ratkaisemalla suhteen FD:(FD+4)=1:3 saadaan FD=2. SISÄÄN suorakulmainen kolmio AFD (\angle D=90^(\circ)) jaloilla 2 ja 4 laskee hypotenuusan AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)= \frac4(\sqrt 5).

Suorassa kolmiossa KHD löydämme tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4, niin haluttu kulma \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

Vastaus

A) 1:5;

b) arctg\frac(\sqrt 5)4.

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 14
Aihe: Tasojen välinen kulma

Kunto

Dana on oikeassa nelikulmainen pyramidi KMNPQ, jonka pohjapuolen MNPQ on yhtä suuri kuin 6 ja sivureuna 3\sqrt(26).

A) Muodosta pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee linjan NF kautta yhdensuuntaisesti diagonaalin MP kanssa, jos piste F on reunan MK keskipiste.

b) Etsi leikkaustason ja KMP-tason välinen kulma.

Ratkaisu

A) Olkoon KO pyramidin korkeus, F on MK:n keskipiste; FE \parallel MP (PKM-tasossa) . FE- keskiviiva\kolmio PKM FE=\frac(MP)2.

Muodostetaan pyramidin poikkileikkaus tasolle, joka kulkee NF:n kautta ja on yhdensuuntainen MP :n kanssa, eli tason NFE kautta. L on EF:n ja KO:n leikkauspiste. Koska pisteet L ja N kuuluvat haluttuun poikkileikkaukseen ja sijaitsevat tasossa KQN, LN:n ja KQ:n leikkauspisteeksi saatu piste T on myös halutun leikkauksen ja reunan KQ leikkauspiste. NETF on pakollinen osa.

b) Tasot NFE ja MPK leikkaavat suoraa FE:tä pitkin. Tämä tarkoittaa, että näiden tasojen välinen kulma on yhtä suuri kuin dihedraalisen kulman OFEN lineaarikulma, muodostetaan se: LO \perp MP, MP\parallel FE, siten, LO\perpFE;\kolmio NFE on tasakylkinen (NE=NF yhtäläisten kolmioiden KPN ja KMN vastaavina mediaaneina), NL on sen mediaani (EL=LF, koska PO=OM, ja \kolmio KEF \sim \kolmio KPM) . Siksi NL \perp FE ja \angle NLO ovat pakollisia.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\kolmio KON - suorakaiteen muotoinen.

Pythagoraan lauseen mukainen jalka KO on yhtä suuri kuin KO=\sqrt(KN^2-ON^2).

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt(24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

tg\angle NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3),

\angle NLO=30^(\circ).

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 14
Aihe: Tasojen välinen kulma

Kunto

Kaikki reunat ovat oikein Kolmisivuinen prisma ABCA_(1)B_(1)C_(1) ovat 6 . Reunojen AC ja BB_(1) keskipisteiden ja kärjen A_(1) kautta piirretään leikkaustaso.

A) Osoita, että reuna BC on jaollinen leikkaustasolla suhteessa 2:1, laskettuna kärjestä C .

b) Etsi leikkaustason ja perustason välinen kulma.

Ratkaisu

A) Olkoot D ja E reunojen AC ja BB_(1) keskipisteet, vastaavasti.

Tasoon AA_(1)C_(1) piirretään suora A_(1)D, joka leikkaa suoran CC_(1) pisteessä K , tasossa BB_(1)C_(1) - suora KE , joka leikkaa reunan BC pisteessä F . Yhdistämällä tasossa AA_(1)B_(1) sijaitsevat pisteet A_(1) ja E sekä tasossa ABC olevat D ja F , saadaan leikkaus A_(1)EFD.

\bigtriangleup AA_(1)D=\bigtriangleup CDK jalkaa pitkin AD=DC ja terävä kulma.

\angle ADA_(1)=\angle CDK — pystysuorana, tästä seuraa, että AA_(1)=CK=6. \bigtriangleup CKF ja \bigtriangleup BFE ovat samanlaisia ​​kahdessa kulmassa \angle FBE=\angle KCF=90^\circ,\angle BFE=\angle CFK — pystysuorana.

\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2, eli samankaltaisuuskerroin on 2, mikä tarkoittaa, että CF:FB=2:1.

b) Tehdään AH \perp DF. Leikkaustason ja maatason välinen kulma yhtä suuri kuin kulma AHA_(1). Jana AH \perp DF (DF on näiden tasojen leikkausviiva) on janan A_(1)H projektio kantatasolle, joten kolmen kohtisuoran lauseen mukaan A_(1)H \perp DF. \angle AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH). AA_(1)=6.

Etsitään AH. \angle ADH =\angle FDC (pystysuorana).

\bigtriangleup DFC:n kosinilauseen mukaan:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF \cdot DC \cdot \cos \angle FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \angle FDC,

\cos \angle FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

Trigonometrisen perusidentiteetin seurauksena

\sin \angle FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13))\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) .\bigtriangleup ADH:sta löydämme AH:n:

AH=AD \cdot \sin \angle ADH, (\angle FDC=\angle ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)).

\kulma AHA_(1)= arctg\frac(AA_(1))(AH)= arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))= arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Vastaus

arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 14
Aihe: Tasojen välinen kulma

Kunto

Oikean prisman ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) kanta on rombi, jonka tylppä kulma B on 120^\circ. Tämän prisman kaikki reunat ovat 10 . Pisteet P ja K ovat reunojen CC_(1) ja CD keskipisteitä.

A) Todista, että suorat PK ja PB_(1) ovat kohtisuorassa.

b) Etsi tasojen PKB_(1) ja C_(1)B_(1)B välinen kulma.

Ratkaisu

A) Käytämme koordinaattimenetelmää. Etsitään vektorien \vec(PK) ja \vec(PB_(1) skalaaritulo ja sitten näiden vektorien välisen kulman kosini. Ohjataan Oy-akseli pitkin CD , Oz-akseli CC_(1) ja Ox-akseli \perp CD . C on alkuperä.

Sitten C (0; 0; 0); C_(1)(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0), tuo on B(5\sqrt(3); 5;0), B_(1)(5\sqrt(3); 5;10).

Etsitään vektorien koordinaatit: \vec(PK)=\(0;5;-5\); \vec(PB_(1))=\(5\sqrt(3); 5;5\).

Olkoon \vec(PK) ja \vec(PB_(1)) välinen kulma \alpha.

Saamme \cos \alpha=\frac(\vec(PK) \cdot \vec(PB_(1)))(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)= \frac(0 \cdot 5\sqrt(3) + 5 \cdot 5-5 \cdot 5)(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)=0.

\cos \alpha =0, ​​joten \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)) ja suorat PK ja PB_(1) ovat kohtisuorassa.

b) Tasojen välinen kulma on yhtä suuri kuin nollasta poikkeavien vektorien välinen kulma, joka on kohtisuorassa näihin tasoihin nähden (tai jos kulma on tylppä, sen viereiseen kulmaan). Tällaisia ​​vektoreita kutsutaan tasojen normaaleiksi. Etsitään ne.

Olkoon \vec(n_(1))=\(x; y; z\) kohtisuorassa tasoon PKB_(1) nähden. Etsitään se ratkaisemalla järjestelmä \begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(tapaukset)

\begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \end(tapaukset)

\begin(cases) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \end(tapaukset)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end(tapaukset)

Otetaan y = 1; z = 1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)), \vec(n_(1))=\left \( \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \oikea \).

Olkoon \vec(n_(2))=\(x; y; z\) kohtisuorassa tasoon C_(1)B_(1)B nähden. Etsitään se ratkaisemalla järjestelmä \begin(cases) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)), \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \end(tapaukset)

\vec(CC_(1))=\(0;0;10\), \vec(CB)=\(5\sqrt(3); 5; 0\).

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \end(tapaukset)

\begin(cases) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \end(tapaukset)

\begin(cases)z=0, \\y=-\sqrt(3)x. \end(tapaukset)

Otetaan x = 1; y=-\sqrt(3); z=0, \vec(n_(2))=\(1; -\sqrt(3);0\).

Etsi vaaditun kulman \beta kosini (se on yhtä suuri kuin kulmien \vec(n_(1)) ja \vec(n_(2)) välisen kulman kosinimoduuli).

\cos\beta= \frac(|\vec(n_(1)) \cdot \vec(n_(2))|)(|\vec(n_(1))| \cdot |\vec(n_(2))|)= \frac(\left |-\dfrac(2)(\sqrt(3))\cdot 1+1 \cdot (-\sqrt(3))+1 \cdot 0 \right |)(\sqrt(\dfrac( 4)(3)+1+1) \cdot \sqrt(1+3+0))= \frac(\dfrac(5)(\sqrt(3)))(2\sqrt(\dfrac(10)(3)))= \frac(\sqrt(10))(4).

\cos \beta =\frac(\sqrt(10))(4), \beta=\arccos\frac(\sqrt(10))(4).

Vastaus

\arccos\frac(\sqrt(10))(4)

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

ABCD on neliö ja sivupinnat ovat samankokoisia suorakulmioita.

Koska leikkaustaso kulkee pisteiden M ja D kautta yhdensuuntaisesti diagonaalin AC kanssa, niin sen muodostamiseksi tasoon A_(1)AC pisteen M kautta piirretään jana MN, joka on yhdensuuntainen AC :n kanssa. Saadaan AC \parallel (MDN) suoran ja tason yhdensuuntaisuuden perusteella.

MDN-taso leikkaa yhdensuuntaiset tasot A_(1)AD ja B_(1)BC, sitten ominaisuuden perusteella yhdensuuntaiset tasot, MDN-tason pintojen A_(1)ADD_(1) ja B_(1)BCC_(1) leikkausviivat ovat yhdensuuntaiset.

Piirrä jana NE yhdensuuntaisesti segmentin MD kanssa.

Nelikulmainen DMEN on vaadittu leikkaus.

b) Etsi leikkaustason ja perustason välinen kulma. Leikkaa leikkaustaso perustason jollain pisteen D kautta kulkevalla suoralla p. AC \parallel MN, joten AC \parallel p (jos taso kulkee toisen tason suuntaisen suoran läpi ja leikkaa tämän tason, niin tasojen leikkausviiva on yhdensuuntainen tämän suoran kanssa). BD \perp AC neliön diagonaaleina, joten BD \perp p. BD on ED:n projektio tasolle ABC, jolloin kolmen kohtisuoran lauseen ED \perp p mukaan \angle EDB on leikkaustason ja kantatason välisen dihedraalisen kulman lineaarinen kulma.

Aseta nelikulmanäkymäksi DMEN . MD \parallel EN, samanlainen kuin ME \parallel DN, niin DMEN on suuntaviiva, ja koska MD=DN (suorat kolmiot MAD ja NCD ovat yhtä suuret kahdessa haarassa: AD=DC neliön sivuina, AM=CN etäisyyksinä yhdensuuntaiset suorat AC ja MN ), joten DMEN on rombi. Näin ollen F on MN:n keskipiste.

Ehdolla AM:MA_(1)=2:3 siis AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6).

AMNC on suorakulmio, F on MN:n keskipiste, O on AC:n keskipiste. tarkoittaa, FO\parallel MA, FO \perp AC, FO=MA=2\sqrt(6).

Tietäen, että neliön diagonaali on a\sqrt(2), missä a on neliön sivu, saamme BD=4\sqrt(2). OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2).

Suorakulmaisessa kolmiossa FOD\enspace tg \angle FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3). Siksi \angle FDO=60^\circ.