U početku, budući da je bila samo zbirka informacija i empirijskih opažanja o igri kocke, teorija vjerojatnosti postala je temeljita znanost. Prvi koji su mu dali matematički okvir bili su Fermat i Pascal.

Od razmišljanja o vječnom do teorije vjerojatnosti

Dva pojedinca kojima teorija vjerojatnosti duguje mnoge svoje temeljne formule, Blaise Pascal i Thomas Bayes, poznati su kao duboko religiozni ljudi, a potonji je bio prezbiterijanski svećenik. Očigledno je želja ove dvojice znanstvenika da dokažu pogrešnost mišljenja o tome da je određena sreća dala sreću svojim miljenicima dala poticaj istraživanjima u ovom području. Uostalom, zapravo je svaka kockarska igra sa svojim dobicima i gubicima samo simfonija matematičkih principa.

Zahvaljujući strasti Chevaliera de Merea, koji je bio jednako kockar i čovjek neravnodušan prema znanosti, Pascal je bio prisiljen pronaći način za izračunavanje vjerojatnosti. De Merea je zanimalo sljedeće pitanje: “Koliko puta trebate baciti dvije kockice u paru da bi vjerojatnost dobivanja 12 bodova bila veća od 50%?” Drugo pitanje, koje je gospodina jako zanimalo: “Kako podijeliti ulog između sudionika u nedovršenoj igri?” Naravno, Pascal je uspješno odgovorio na oba pitanja de Merea, koji je postao nesvjesni inicijator razvoja teorije vjerojatnosti. Zanimljivo je da je osoba de Mere ostala poznata na ovim prostorima, a ne u književnosti.

Prije toga nijedan matematičar nije pokušao izračunati vjerojatnosti događaja, jer se vjerovalo da je to samo nagađanje rješenja. Blaise Pascal dao je prvu definiciju vjerojatnosti događaja i pokazao da je to specifična brojka koja se može matematički opravdati. Teorija vjerojatnosti postala je temelj statistike i naširoko se koristi u modernoj znanosti.

Što je slučajnost

S obzirom na test koji se može ponoviti beskonačan broj puta, tada možemo definirati slučajni događaj. Ovo je jedan od mogućih ishoda eksperimenta.

Iskustvo je provedba specifičnih radnji u stalnim uvjetima.

Kako bi se moglo raditi s rezultatima eksperimenta, događaji se obično označavaju slovima A, B, C, D, E...

Vjerojatnost slučajnog događaja

Da bismo započeli matematički dio vjerojatnosti, potrebno je definirati sve njene komponente.

Vjerojatnost događaja je numerička mjera mogućnosti da se neki događaj (A ili B) dogodi kao rezultat iskustva. Vjerojatnost se označava kao P(A) ili P(B).

U teoriji vjerojatnosti razlikuju se:

• pouzdan događaj će se zajamčeno dogoditi kao rezultat iskustva P(Ω) = 1;
• nemoguće događaj se nikada ne može dogoditi P(Ø) = 0;
• slučajan događaj se nalazi između pouzdanog i nemogućeg, odnosno vjerojatnost njegovog događanja je moguća, ali nije zajamčena (vjerojatnost slučajnog događaja je uvijek unutar raspona 0≤R(A)≤ 1).

Odnosi među događajima

U obzir se uzimaju i jedan i zbroj događaja A+B, kada se događaj računa kada je ispunjena barem jedna od komponenti, A ili B, ili obje, A i B.

U međusobnom odnosu, događaji mogu biti:

• Jednako moguće.
• Kompatibilan.
• Nespojivo.
• Suprotno (međusobno se isključuju).
• Ovisna.

Ako se dva događaja mogu dogoditi s jednakom vjerojatnošću, onda oni jednako moguće.

Ako pojava događaja A ne svede na nulu vjerojatnost pojave događaja B, tada oni kompatibilan.

Ako se događaji A i B nikada ne dogode istovremeno u istom iskustvu, tada se nazivaju nekompatibilan. Bacanje novčića - dobar primjer: pojavljivanje glava je automatski i nepojavljivanje glava.

Vjerojatnost za zbroj takvih nekompatibilnih događaja sastoji se od zbroja vjerojatnosti svakog od događaja:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ako pojava jednog događaja onemogućuje pojavu drugog, onda se oni nazivaju suprotnim. Tada je jedan od njih označen kao A, a drugi - Ā (čitaj se kao "ne A"). Događaj A znači da se Ā nije dogodilo. Ova dva događaja tvore potpunu grupu sa zbrojem vjerojatnosti jednakim 1.

Zavisni događaji međusobno utječu, smanjujući ili povećavajući vjerojatnost jednog drugog.

Odnosi među događajima. Primjeri

Na primjerima je puno lakše razumjeti principe teorije vjerojatnosti i kombinacije događaja.

Eksperiment koji će se provesti sastoji se od vađenja loptica iz kutije, a rezultat svakog eksperimenta je elementarni ishod.

Događaj je jedan od moguće ishode iskustvo - crvena lopta, plava lopta, lopta s brojem šest itd.

Test br. 1. Radi se o 6 kuglica, od kojih su tri plave s neparnim brojevima, a ostale tri crvene s parnim brojevima.

Test br. 2. Uključeno je 6 lopti plave boje brojevima od jedan do šest.

Na temelju ovog primjera možemo imenovati kombinacije:

• Pouzdan događaj. Na španjolskom 2. događaj “dobiti plavu loptu” je pouzdan, jer je vjerojatnost njegove pojave jednaka 1, jer su sve kuglice plave i ne može biti promašaja. Dok je događaj "dobiti loptu s brojem 1" slučajan.
• Nemoguć događaj. Na španjolskom br. 1 s plavim i crvenim kuglicama, događaj “dobivanje ljubičaste lopte” je nemoguć, jer je vjerojatnost njegove pojave 0.
• Jednako mogući događaji. Na španjolskom br. 1 jednako su mogući događaji „dobiti loptu s brojem 2“ i „dobiti loptu s brojem 3“, te događaji „dobiti loptu s parnim brojem“ i „dobiti loptu s brojem 2 ” imaju različite vjerojatnosti.
• Kompatibilni događaji. Dobivanje šestice dvaput zaredom dok bacate kockicu je kompatibilan događaj.
• Nespojivi događaji. Na istom španjolskom Br. 1, događaji "dobiti crvenu loptu" i "dobiti loptu s neparnim brojem" ne mogu se kombinirati u istom iskustvu.
• Suprotni događaji. Najviše svijetli primjer Ovo je bacanje novčića, gdje je izvlačenje glava jednako ne izvlačenju repa, a zbroj njihovih vjerojatnosti je uvijek 1 (puna grupa).
• Zavisni događaji. Dakle, na španjolskom Br. 1, možete postaviti cilj izvlačenja crvene kuglice dvaput zaredom. Bez obzira na to je li dohvaćen prvi put ili ne, to utječe na vjerojatnost da će biti dohvaćen drugi put.

Vidljivo je da prvi događaj značajno utječe na vjerojatnost drugog (40% i 60%).

Formula vjerojatnosti događaja

Prijelaz s proricanja sudbine na precizne podatke događa se prevođenjem teme u matematičku ravan. To jest, prosudbe o slučajnom događaju kao što su "visoka vjerojatnost" ili "minimalna vjerojatnost" mogu se prevesti u specifične numeričke podatke. Takav je materijal već dopušteno ocjenjivati, uspoređivati ​​i unositi u složenije izračune.

S računskog gledišta, određivanje vjerojatnosti nekog događaja je omjer broja elementarnih pozitivnih ishoda prema broju svih mogućih ishoda iskustva u vezi s određenim događajem. Vjerojatnost je označena s P(A), gdje P označava riječ "probabilite", što se s francuskog prevodi kao "vjerojatnost".

Dakle, formula za vjerojatnost događaja je:

Gdje je m broj povoljnih ishoda za događaj A, n je zbroj svih mogućih ishoda za ovo iskustvo. U ovom slučaju, vjerojatnost događaja uvijek je između 0 i 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Proračun vjerojatnosti događaja. Primjer

Uzmimo španjolski. 1 s kuglicama, koje smo ranije opisali: 3 plave kuglice s brojevima 1/3/5 i 3 crvene kuglice s brojevima 2/4/6.

Na temelju ovog testa može se razmotriti nekoliko različitih problema:

• A - ispadanje crvene kuglice. Postoje 3 crvene kuglice, a ukupno je 6 opcija najjednostavniji primjer, u kojem je vjerojatnost događaja jednaka P(A)=3/6=0,5.
• B - bacanje parnog broja. Postoje 3 parna broja (2,4,6), i ukupno Postoji 6 mogućih numeričkih opcija. Vjerojatnost ovog događaja je P(B)=3/6=0,5.
• C - pojava broja većeg od 2. Postoje 4 takve opcije (3,4,5,6) od ukupnog broja mogućih ishoda 6. Vjerojatnost događaja C jednaka je P(C)=4 /6=0,67.

Kao što se može vidjeti iz izračuna, događaj C ima veću vjerojatnost, jer je broj vjerojatnih pozitivnih ishoda veći nego u A i B.

Nespojivi događaji

Takvi se događaji ne mogu pojaviti istovremeno u istom iskustvu. Kao na španjolskom 1. nemoguće je dobiti plavu i crvenu loptu u isto vrijeme. Odnosno, možete dobiti ili plavu ili crvenu loptu. Isto tako, u kocki se ne mogu pojaviti parni i neparni broj u isto vrijeme.

Vjerojatnost dva događaja smatra se vjerojatnošću njihovog zbroja ili umnoška. Zbroj takvih događaja A+B smatra se događajem koji se sastoji od pojave događaja A ili B, a njihov umnožak AB je pojava oba. Na primjer, pojavljivanje dvije šestice odjednom na stranama dviju kockica u jednom bacanju.

Zbroj više događaja je događaj koji pretpostavlja zbivanje, prema barem, jedan od njih. Proizvodnja nekoliko događaja zajednička je pojava svih njih.

U teoriji vjerojatnosti, u pravilu, korištenje veznika "i" označava zbroj, a veznik "ili" - množenje. Formule s primjerima pomoći će vam razumjeti logiku zbrajanja i množenja u teoriji vjerojatnosti.

Vjerojatnost zbroja nekompatibilnih događaja

Ako se uzme u obzir vjerojatnost nekompatibilnih događaja, tada je vjerojatnost zbroja događaja jednaka zbroju njihovih vjerojatnosti:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Na primjer: izračunajmo vjerojatnost da u španjolskom. Broj 1 s plavim i crvenim kuglicama, pojavit će se broj između 1 i 4 ne računajući u jednoj akciji, već zbrojem vjerojatnosti elementarnih komponenti. Dakle, u takvom eksperimentu postoji samo 6 lopti ili 6 od svih mogućih ishoda. Brojevi koji zadovoljavaju uvjet su 2 i 3. Vjerojatnost da dobijete broj 2 je 1/6, vjerojatnost da dobijete broj 3 je također 1/6. Vjerojatnost da dobijete broj između 1 i 4 je:

Vjerojatnost zbroja nekompatibilnih događaja kompletne grupe je 1.

Dakle, ako u pokusu s kockom zbrojimo vjerojatnosti pojavljivanja svih brojeva, rezultat će biti jedan.

To vrijedi i za suprotne događaje, na primjer u eksperimentu s novčićem, gdje je jedna strana događaj A, a druga je suprotni događajĀ, kao što je poznato,

P(A) + P(Ā) = 1

Vjerojatnost pojave nekompatibilnih događaja

Množenje vjerojatnosti koristi se kada se razmatra pojava dva ili više nekompatibilnih događaja u jednom opažanju. Vjerojatnost da će se događaji A i B u njemu pojaviti istovremeno jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti, odnosno:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Na primjer, vjerojatnost da u španjolskom br. 1, kao rezultat dva pokušaja, dva puta će se pojaviti plava kuglica, jednaka

Odnosno, vjerojatnost da će se dogoditi događaj kada se, kao rezultat dva pokušaja izvlačenja kuglica, izvade samo plave kuglice je 25%. Vrlo je jednostavno izvesti praktične pokuse na ovom problemu i vidjeti je li to doista tako.

Zajednički događaji

Događaji se smatraju zajedničkim kada se pojava jednog od njih može podudarati s pojavom drugog. Unatoč činjenici da su zajednički, razmatra se vjerojatnost neovisnih događaja. Na primjer, bacanje dviju kockica može dati rezultat kada se na objema pojavi broj 6. Iako su se događaji poklopili i pojavili su se u isto vrijeme, oni su neovisni jedan o drugome - može ispasti samo jedna šestica, druga kocka nema. utjecaj na to.

Vjerojatnost zajedničkih događaja smatra se vjerojatnošću njihovog zbroja.

Vjerojatnost zbroja zajedničkih događaja. Primjer

Vjerojatnost zbroja događaja A i B, koji su zajednički jedan u odnosu na drugi, jednaka je zbroju vjerojatnosti događaja umanjenom za vjerojatnost njihovog pojavljivanja (odnosno zajedničkog događanja):

R zglob (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Pretpostavimo da je vjerojatnost pogotka mete jednim hicem 0,4. Tada događaj A pogađa metu u prvom pokušaju, B - u drugom. Ovi događaji su zajednički, jer je moguće pogoditi metu i prvim i drugim hicem. Ali događaji nisu ovisni. Kolika je vjerojatnost događaja pogotka cilja s dva hica (barem s jednim)? Prema formuli:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odgovor na pitanje je: “Vjerojatnost pogotka mete s dva hica je 64 %.”

Ova formula za vjerojatnost događaja može se primijeniti i na nekompatibilne događaje, gdje je vjerojatnost zajedničkog pojavljivanja događaja P(AB) = 0. To znači da se vjerojatnost zbroja nekompatibilnih događaja može smatrati posebnim slučajem predložene formule.

Geometrija vjerojatnosti za jasnoću

Zanimljivo je da se vjerojatnost zbroja zajedničkih događaja može prikazati kao dva područja A i B koja se međusobno sijeku. Kao što se može vidjeti sa slike, površina njihove unije jednaka je ukupna površina minus područje njihovog sjecišta. Ovo geometrijsko objašnjenje čini naizgled nelogičnu formulu razumljivijom. Imajte na umu da geometrijska rješenja- nije neuobičajeno u teoriji vjerojatnosti.

Određivanje vjerojatnosti zbroja mnogih (više od dva) zajedničkih događaja prilično je glomazno. Da biste ga izračunali, morate koristiti formule koje su predviđene za ove slučajeve.

Zavisni događaji

Događaji se nazivaju ovisnim ako pojava jednog (A) od njih utječe na vjerojatnost pojave drugog (B). Štoviše, uzima se u obzir utjecaj i pojave događaja A i njegovog nepojavljivanja. Iako se događaji po definiciji nazivaju ovisnima, samo je jedan od njih zavisan (B). Obična vjerojatnost označavana je kao P(B) ili vjerojatnost neovisnih događaja. U slučaju ovisnih događaja uvodi se novi koncept - uvjetna vjerojatnost P A (B), koja je vjerojatnost ovisnog događaja B, ovisno o pojavi događaja A (hipoteza), o kojem ovisi.

Ali događaj A je također slučajan, tako da također ima vjerojatnost koja se mora i može uzeti u obzir u izračunima. Sljedeći primjer pokazat će kako raditi s ovisnim događajima i hipotezom.

Primjer izračuna vjerojatnosti zavisnih događaja

Dobar primjer za izračunavanje zavisnih događaja bio bi standardni špil karata.

Koristeći špil od 36 karata kao primjer, pogledajmo ovisne događaje. Moramo odrediti vjerojatnost da će druga karta izvučena iz špila biti karo ako je prva izvučena karta:

1. Bubnovaya.
2. Drugačija boja.

Očito, vjerojatnost drugog događaja B ovisi o prvom događaju A. Dakle, ako je prva opcija točna, da je 1 karta (35) i 1 karo (8) manje u špilu, vjerojatnost događaja B:

RA (B) = 8/35 = 0,23

Ako je druga opcija točna, tada špil ima 35 karata, a puni broj karo (9) je još uvijek zadržan, tada je vjerojatnost sljedećeg događaja B:

RA (B) = 9/35 = 0,26.

Vidi se da ako je događaj A uvjetovan činjenicom da je prva karta karo, tada se smanjuje vjerojatnost događaja B i obrnuto.

Množenje zavisnih događaja

Vodeći se prethodnim poglavljem, prvi događaj (A) prihvaćamo kao činjenicu, ali on je u biti slučajne prirode. Vjerojatnost ovog događaja, odnosno izvlačenja kara iz špila karata, jednaka je:

P(A) = 9/36=1/4

Budući da teorija ne postoji sama za sebe, već je namijenjena da služi u praktične svrhe, pošteno je primijetiti da je ono što je najčešće potrebno vjerojatnost stvaranja ovisnih događaja.

Prema teoremu o umnošku vjerojatnosti ovisnih događaja, vjerojatnost pojavljivanja zajednički ovisnih događaja A i B jednaka je vjerojatnosti jednog događaja A, pomnoženoj s uvjetnom vjerojatnošću događaja B (ovisnog o A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Zatim, u primjeru špila, vjerojatnost izvlačenja dviju karata s karo je:

9/36*8/35=0,0571, ili 5,7%

A vjerojatnost da prvo ne izvadite dijamante, a zatim dijamante, jednaka je:

27/36*9/35=0,19 ili 19%

Može se vidjeti da je vjerojatnost da se dogodi događaj B veća pod uvjetom da je prva izvučena karta druge boje, a ne karo. Ovaj rezultat je sasvim logičan i razumljiv.

Ukupna vjerojatnost događaja

Kada problem s uvjetnim vjerojatnostima postane višestruk, ne može se izračunati korištenjem konvencionalnih metoda. Kada postoji više od dvije hipoteze, naime A1, A2,…, A n, ..formira kompletnu grupu događaja pod uvjetom:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Dakle, formula za ukupnu vjerojatnost za događaj B s potpunom grupom slučajnih događaja A1, A2,..., A n jednaka je:

Pogled u budućnost

Vjerojatnost slučajnog događaja iznimno je potrebna u mnogim područjima znanosti: ekonometriji, statistici, fizici itd. Budući da se neki procesi ne mogu deterministički opisati, jer su sami po sebi probabilističke prirode, potrebne su posebne metode rada. Teorija vjerojatnosti događaja može se koristiti u bilo kojem tehnološkom području kao način utvrđivanja mogućnosti pogreške ili kvara.

Možemo reći da prepoznavanjem vjerojatnosti na neki način činimo teorijski korak u budućnost, gledajući je kroz prizmu formula.

Malo je vjerojatno da mnogi ljudi razmišljaju o tome je li moguće izračunati događaje koji su više ili manje slučajni. Pojednostavljeno rečeno jednostavnim riječima, je li stvarno moguće znati koja će se strana kocke pojaviti sljedeći put? Upravo su to pitanje postavila dva velika znanstvenika, koji su postavili temelje takve znanosti kao što je teorija vjerojatnosti, u kojoj se vjerojatnost događaja proučava prilično opsežno.

Podrijetlo

Ako pokušate definirati takav koncept kao teorija vjerojatnosti, dobit ćete sljedeće: ovo je jedna od grana matematike koja proučava postojanost slučajnih događaja. Naravno, ovaj koncept zapravo ne otkriva cijelu bit, pa ga je potrebno detaljnije razmotriti.

Počeo bih od tvoraca teorije. Kao što je gore spomenuto, bilo ih je dvoje, i oni su bili jedni od prvih koji su pokušali izračunati ishod ovog ili onog događaja pomoću formula i matematičkih izračuna. Općenito, počeci ove znanosti pojavili su se u srednjem vijeku. U to su vrijeme razni mislioci i znanstvenici pokušavali analizirati kockarske igre, kao što su rulet, craps i tako dalje, utvrđujući tako obrazac i postotak ispadanja određenog broja. Temelje su u sedamnaestom stoljeću postavili gore spomenuti znanstvenici.

U početku se njihovi radovi nisu mogli smatrati velikim postignućima na ovom području, jer su sve što su radili bile samo empirijske činjenice, a eksperimenti su se provodili vizualno, bez korištenja formula. S vremenom je bilo moguće postići izvrsne rezultate, koji su se pojavili kao rezultat promatranja bacanja kocke. Upravo je ovaj alat pomogao u izvođenju prvih razumljivih formula.

Istomišljenici

Nemoguće je ne spomenuti takvu osobu kao što je Christiaan Huygens u procesu proučavanja teme koja se zove "teorija vjerojatnosti" (vjerojatnost događaja pokrivena je upravo u ovoj znanosti). Ova osoba je vrlo zanimljiva. On je, poput gore predstavljenih znanstvenika, pokušao izvesti obrazac slučajnih događaja u obliku matematičkih formula. Važno je napomenuti da on to nije učinio zajedno s Pascalom i Fermatom, odnosno sva njegova djela nisu se presijecala s tim umovima. Huygens je zaključio

Zanimljiva je činjenica da je njegov rad izašao mnogo prije rezultata rada pronalazača, točnije, dvadesetak godina ranije. Među identificiranim pojmovima najpoznatiji su:

• pojam vjerojatnosti kao vrijednosti slučajnosti;
• matematičko očekivanje za diskretne slučajeve;
• teoremi množenja i zbrajanja vjerojatnosti.

Također je nemoguće ne prisjetiti se tko je također dao značajan doprinos proučavanju problema. Provodeći vlastite testove, neovisno o bilo kome, uspio je pružiti dokaz zakona veliki brojevi. S druge strane, znanstvenici Poisson i Laplace, koji su radili početkom devetnaestog stoljeća, uspjeli su dokazati izvorne teoreme. Od tog se trenutka teorija vjerojatnosti počela koristiti za analizu pogrešaka u opažanjima. Ruski znanstvenici, odnosno Markov, Čebišev i Djapunov, nisu mogli ignorirati ovu znanost. Na temelju rada velikih genija ustanovili su ovaj predmet kao granu matematike. Ove brojke djelovale su već krajem devetnaestog stoljeća, a zahvaljujući njihovom doprinosu dokazani su sljedeći fenomeni:

• zakon velikih brojeva;
• teorija Markovljevog lanca;
• središnji granični teorem.

Dakle, s poviješću rođenja znanosti i s glavnim ljudima koji su na nju utjecali, sve je više-manje jasno. Sada je došlo vrijeme da se razjasne sve činjenice.

Osnovni koncepti

Prije nego što se dotaknemo zakona i teorema, vrijedi proučiti osnovne pojmove teorije vjerojatnosti. Vodeću ulogu u tome ima događaj. Ova tema je prilično opsežna, ali bez nje neće biti moguće razumjeti sve ostalo.

Događaj u teoriji vjerojatnosti je bilo koji skup ishoda eksperimenta. Koncepti ovaj fenomen ima ih dosta. Tako je znanstvenik Lotman, radeći na ovom području, rekao da u ovom slučaju govorimo o o onome što se "dogodilo, iako se možda nije dogodilo."

Slučajni događaji (teorija vjerojatnosti se fokusira na njih Posebna pažnja) je koncept koji podrazumijeva apsolutno svaku pojavu koja ima priliku da se dogodi. Ili, obrnuto, ovaj se scenarij možda neće dogoditi ako su ispunjeni mnogi uvjeti. Također je vrijedno znati da su slučajni događaji ti koji obuhvaćaju cjelokupni volumen pojava koje su se dogodile. Teorija vjerojatnosti ukazuje da se svi uvjeti mogu stalno ponavljati. Upravo je njihovo ponašanje nazvano "eksperiment" ili "test".

Pouzdan događaj je pojava za koju je stopostotna vjerojatnost da će se dogoditi u danom testu. Prema tome, nemoguć događaj je onaj koji se neće dogoditi.

Kombinacija para radnji (uvjetno, slučaj A i slučaj B) je pojava koja se događa istovremeno. Označeni su kao AB.

Zbroj parova događaja A i B je C, drugim riječima, ako se dogodi barem jedan od njih (A ili B), tada će se dobiti C. Formula za opisani fenomen je napisana kako slijedi: C = A + B.

Nekongruentni događaji u teoriji vjerojatnosti impliciraju da se dva slučaja međusobno isključuju. Ni pod kojim okolnostima ne mogu se dogoditi u isto vrijeme. Zajednički događaji u teoriji vjerojatnosti su njihov antipod. Ovdje se misli da ako se A dogodilo, to ni na koji način ne sprječava B.

Suprotne događaje (teorija vjerojatnosti ih razmatra vrlo detaljno) lako je razumjeti. Najbolji način da ih shvatite je usporedbom. Oni su gotovo isti kao nekompatibilni događaji u teoriji vjerojatnosti. Ali njihova razlika leži u činjenici da se jedan od mnogih fenomena mora dogoditi u svakom slučaju.

Jednako mogući događaji su one radnje koje imaju jednaku mogućnost ponavljanja. Da bi bilo jasnije, možete zamisliti bacanje novčića: gubitak jedne njegove strane jednako je vjerojatno da će ispasti s druge.

Lakše je razmotriti povoljan događaj s primjerom. Recimo da postoji epizoda B i epizoda A. Prva je bacanje kocke s neparnim brojem, a druga je pojava broja pet na kockici. Tada se ispostavlja da A favorizira B.

Neovisni događaji u teoriji vjerojatnosti projiciraju se samo na dva ili više slučajeva i impliciraju neovisnost bilo koje radnje o drugoj. Na primjer, A je gubitak glava prilikom bacanja novčića, a B je izvlačenje Jacka iz špila. Oni su neovisni događaji u teoriji vjerojatnosti. U ovom trenutku postalo je jasnije.

Zavisni događaji u teoriji vjerojatnosti također su dopušteni samo za skup njih. Oni podrazumijevaju ovisnost jednog o drugom, odnosno fenomen B se može dogoditi samo ako se A već dogodio ili se, obrnuto, nije dogodio, kada je to glavni uvjet za B.

Ishod slučajnog eksperimenta koji se sastoji od jedne komponente su elementarni događaji. Teorija vjerojatnosti objašnjava da se radi o pojavi koja se dogodila samo jednom.

Osnovne formule

Dakle, pojmovi "događaj" i "teorija vjerojatnosti" su bili raspravljeni gore; također je dana definicija osnovnih pojmova ove znanosti. Sada je vrijeme da se izravno upoznate važne formule. Ovi izrazi matematički potvrđuju sve glavne koncepte u tako složenom predmetu kao što je teorija vjerojatnosti. Vjerojatnost događaja i ovdje igra veliku ulogu.

Bolje je započeti s osnovnim, a prije nego što počnete s njima, vrijedi razmotriti što su.

Kombinatorika je prvenstveno grana matematike; bavi se proučavanjem velikog broja cijelih brojeva, kao i raznim permutacijama kako samih brojeva tako i njihovih elemenata, raznih podataka itd., što dovodi do pojave niza kombinacija. Osim teorije vjerojatnosti, ova je grana važna za statistiku, informatiku i kriptografiju.

Dakle, sada možemo prijeći na predstavljanje samih formula i njihove definicije.

Prvi od njih će biti izraz za broj permutacija, izgleda ovako:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Jednadžba se primjenjuje samo ako se elementi razlikuju samo po redoslijedu rasporeda.

Sada će se razmotriti formula za postavljanje, koja izgleda ovako:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ovaj izraz je primjenjiv ne samo na redoslijed postavljanja elementa, već i na njegov sastav.

Treća jednadžba iz kombinatorike, a ujedno je i posljednja, zove se formula za broj kombinacija:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombinacija se odnosi na odabire koji nisu poredani u skladu s tim, ovo pravilo se odnosi na njih.

Bilo je lako razumjeti kombinatoričke formule; sada možete prijeći na klasičnu definiciju vjerojatnosti. Ovaj izraz izgleda ovako:

U ovoj formuli m je broj uvjeta koji pogoduju događaju A, a n je broj apsolutno svih jednako mogućih i elementarnih ishoda.

postoji veliki broj izraza, članak ih neće razmatrati sve, ali će se dotaknuti najvažniji od njih, kao što je, na primjer, vjerojatnost zbroja događaja:

P(A + B) = P(A) + P(B) - ovaj teorem služi za zbrajanje samo nekompatibilnih događaja;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - a ovaj je za zbrajanje samo kompatibilnih.

Vjerojatnost događaja:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - ovaj teorem je za nezavisne događaje;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - a ovaj je za zavisne.

Popis događaja upotpunit će formula događaja. Teorija vjerojatnosti nam govori o Bayesovom teoremu, koji izgleda ovako:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

U ovoj formuli, H 1, H 2, ..., H n je potpuna skupina hipoteza.

Primjeri

Ako pažljivo proučite bilo koji odjeljak matematike, on nije potpun bez vježbi i oglednih rješenja. Tako je i s teorijom vjerojatnosti: događaji i primjeri ovdje su sastavni dio koji potvrđuje znanstvene izračune.

Formula za broj permutacija

Recimo da postoji trideset karata u špilu karata, počevši od vrijednosti jedan. Sljedeće pitanje. Na koliko načina postoji slaganje špila tako da karte vrijednosti jedan i dva ne budu jedna do druge?

Zadatak je postavljen, sada prijeđimo na njegovo rješavanje. Prvo morate odrediti broj permutacija od trideset elemenata, za to uzimamo gornju formulu, ispada da je P_30 = 30!.

Na temelju ovog pravila saznajemo koliko postoji opcija za presavijanje špila na različite načine, ali od njih trebamo oduzeti one u kojima su prva i druga karta jedna do druge. Da bismo to učinili, počnimo s opcijom kada je prvi iznad drugog. Ispada da prva karta može zauzeti dvadeset devet mjesta - od prvog do dvadeset devetog, a druga karta od drugog do tridesetog, što ukupno čini dvadeset devet mjesta za par karata. Zauzvrat, ostali mogu prihvatiti dvadeset i osam mjesta, i bilo kojim redoslijedom. Odnosno, za preslagivanje dvadeset i osam karata, postoji dvadeset i osam opcija P_28 = 28!

Kao rezultat toga, ispada da ako uzmemo u obzir rješenje kada je prva karta iznad druge, bit će 29 ⋅ 28 dodatnih mogućnosti! = 29!

Koristeći istu metodu, morate izračunati broj suvišnih opcija za slučaj kada je prva kartica ispod druge. Također ispada da je 29 ⋅ 28! = 29!

Iz ovoga slijedi da postoji 2 ⋅ 29 dodatnih opcija!, dok je potrebnih načina sastavljanja špila 30! - 2 ⋅ 29!. Ostaje još samo brojati.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sada trebate pomnožiti sve brojeve od jedan do dvadeset devet, a zatim na kraju sve pomnožiti sa 28. Odgovor je 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Primjer rješenja. Formula za broj plasmana

U ovom zadatku treba otkriti na koliko načina možete staviti petnaest svezaka na jednu policu, ali pod uvjetom da sveukupno ima trideset svezaka.

Rješenje ovog problema malo je jednostavnije od prethodnog. Koristeći već poznatu formulu, potrebno je izračunati ukupan broj aranžmana trideset svezaka od petnaest.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Odgovor će, prema tome, biti jednak 202,843,204,931,727,360,000.

Uzmimo sada malo teži zadatak. Morate saznati na koliko načina možete složiti trideset knjiga na dvije police s obzirom da na jednu policu može stati samo petnaest svezaka.

Prije početka rješavanja, želio bih pojasniti da se neki problemi mogu riješiti na nekoliko načina, a ovaj ima dvije metode, ali obje koriste istu formulu.

U ovom zadatku možete preuzeti odgovor iz prethodnog, jer smo tamo izračunali koliko puta na različite načine možete napuniti policu s petnaest knjiga. Ispostavilo se da je A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Drugu policu izračunat ćemo pomoću formule za permutaciju, jer na nju može stati petnaest knjiga, a ostane samo petnaest. Koristimo formulu P_15 = 15!.

Ispada da će ukupan zbroj biti A_30^15 ⋅ P_15 načina, ali, uz to, umnožak svih brojeva od trideset do šesnaest morat ćete pomnožiti umnoškom brojeva od jedan do petnaest, na kraju ćete dobit će umnožak svih brojeva od jedan do trideset, odnosno odgovor je 30!

No, ovaj se problem može riješiti na drugi način – lakši. Da biste to učinili, možete zamisliti da postoji jedna polica za trideset knjiga. Svi su smješteni u ovoj ravnini, ali kako uvjet zahtijeva da budu dvije police, jednu dugačku prepolovili smo, pa smo dobili dvije od petnaest. Iz ovoga ispada da može biti P_30 = 30 opcija za raspored!.

Primjer rješenja. Formula za kombinaciju broja

Sada ćemo razmotriti verziju trećeg problema iz kombinatorike. Morate saznati na koliko načina možete složiti petnaest knjiga, s tim da trebate izabrati između trideset potpuno identičnih.

Za rješavanje će se, naravno, primijeniti formula za broj kombinacija. Iz uvjeta postaje jasno da redoslijed identičnih petnaest knjiga nije bitan. Stoga prvo morate saznati ukupni broj kombinacije trideset knjiga od petnaest.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

To je sve. Koristeći ovu formulu, u najkraće vrijeme uspio riješiti ovaj problem, odgovor je, prema tome, 155,117,520.

Primjer rješenja. Klasična definicija vjerojatnosti

Pomoću gornje formule možete pronaći odgovor na jednostavan problem. Ali to će pomoći da se jasno vidi i prati napredak radnji.

Zadatak kaže da se u urni nalazi deset potpuno identičnih kuglica. Od toga su četiri žute i šest plavih. Iz urne se uzima jedna kugla. Morate saznati kolika je vjerojatnost da ćete postati plavi.

Da bismo riješili problem, potrebno je dobivanje plave kuglice označiti kao događaj A. Ovaj eksperiment može imati deset ishoda, koji su pak elementarni i jednako mogući. Istovremeno, od deset njih šest je povoljno za događaj A. Rješavamo pomoću formule:

P(A) = 6:10 = 0,6

Primjenom ove formule saznali smo da je vjerojatnost dobivanja plave kuglice 0,6.

Primjer rješenja. Vjerojatnost zbroja događaja

Sada će biti predstavljena opcija koja se rješava korištenjem formule vjerojatnosti zbroja događaja. Dakle, dan je uvjet da postoje dvije kutije, prva sadrži jednu sivu i pet bijelih kuglica, a druga sadrži osam sivih i četiri bijele kuglice. Kao rezultat toga, uzeli su jednu od njih iz prve i druge kutije. Morate saznati kolika je šansa da loptice koje dobijete budu sive i bijele.

Za rješavanje ovog problema potrebno je identificirati događaje.

• Dakle, A - je uzeo sivu kuglicu iz prve kutije: P(A) = 1/6.
• A’ - uzeo bijelu kuglicu također iz prve kutije: P(A") = 5/6.
• B - iz druge kutije je uklonjena siva kuglica: P(B) = 2/3.
• B’ - uzeo sivu lopticu iz druge kutije: P(B") = 1/3.

Prema uvjetima problema potrebno je da se dogodi jedna od pojava: AB’ ili A’B. Koristeći formulu, dobivamo: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Sada je korištena formula za množenje vjerojatnosti. Zatim, da biste saznali odgovor, trebate primijeniti jednadžbu njihovog zbrajanja:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Ovako možete riješiti slične probleme pomoću formule.

Poanta

U članku su predstavljene informacije o temi "Teorija vjerojatnosti", u kojoj vjerojatnost događaja igra vitalnu ulogu. Naravno, nije sve uzeto u obzir, ali na temelju prezentiranog teksta možete se teoretski upoznati s ovim dijelom matematike. Znanost o kojoj je riječ može biti korisna ne samo u profesionalnom radu, već iu Svakidašnjica. Uz njegovu pomoć možete izračunati svaku mogućnost bilo kojeg događaja.

U tekstu su dotaknuti i značajni datumi iz povijesti nastanka teorije vjerojatnosti kao znanosti, te imena ljudi čiji je rad u nju uložen. Tako je ljudska znatiželja dovela do toga da su ljudi naučili izračunavati čak i slučajne događaje. Nekad ih je to jednostavno zanimalo, a danas već svi znaju za to. I nitko neće reći što nas čeka u budućnosti, koja će druga briljantna otkrića povezana s teorijom koja se razmatra biti napravljena. Ali jedno je sigurno – istraživanja ne miruju!

Kada je novčić bačen, možete reći da će pasti na glavu ili vjerojatnost ovo je 1/2. Naravno, to ne znači da ako se novčić baci 10 puta, nužno će 5 puta pasti na glavu. Ako je novčić "pošten" i ako se baci mnogo puta, tada će glave polovicu vremena pasti vrlo blizu. Dakle, postoje dvije vrste vjerojatnosti: eksperimentalni I teoretski .

Eksperimentalna i teorijska vjerojatnost

Ako bacimo novčić velik broj puta - recimo 1000 - i izbrojimo koliko puta padne na glavu, možemo odrediti vjerojatnost da padne na glavu. Ako se glave bace 503 puta, možemo izračunati vjerojatnost da će pasti:
503/1000, odnosno 0,503.

Ovaj eksperimentalni određivanje vjerojatnosti. Ova definicija vjerojatnosti dolazi iz promatranja i proučavanja podataka i prilično je uobičajena i vrlo korisna. Evo, na primjer, nekih vjerojatnosti koje su određene eksperimentalno:

1. Vjerojatnost da će žena razviti rak dojke je 1/11.

2. Ako poljubite nekoga tko je prehlađen, tada je vjerojatnost da ćete i vi dobiti prehladu 0,07.

3. Osoba koja je upravo izašla iz zatvora ima 80% šanse da se vrati u zatvor.

Ako uzmemo u obzir bacanje novčića i uzmemo u obzir da je jednako vjerojatno da će ispasti glava ili rep, možemo izračunati vjerojatnost dobivanja glave: 1/2. Ovo je teorijska definicija vjerojatnosti. Evo nekih drugih vjerojatnosti koje su teoretski određene pomoću matematike:

1. Ako je u sobi 30 ljudi, vjerojatnost da dvoje od njih imaju isti rođendan (bez godine) je 0,706.

2. Tijekom putovanja upoznate nekoga, a tijekom razgovora otkrijete da imate zajedničkog prijatelja. Tipična reakcija: "Ovo ne može biti!" Zapravo, ova fraza nije prikladna, jer je vjerojatnost takvog događaja prilično visoka - nešto više od 22%.

Stoga se eksperimentalne vjerojatnosti određuju promatranjem i prikupljanjem podataka. Teorijske vjerojatnosti se određuju matematičkim zaključivanjem. Primjeri eksperimentalnih i teorijskih vjerojatnosti, kao što su oni o kojima smo govorili gore, a posebno oni koje ne očekujemo, navode nas na važnost proučavanja vjerojatnosti. Možete pitati: "Što je prava vjerojatnost?" Zapravo, toga nema. Vjerojatnosti unutar određenih granica mogu se odrediti eksperimentalno. One se mogu ali ne moraju podudarati s vjerojatnostima koje dobivamo teoretski. Postoje situacije u kojima je puno lakše odrediti jednu vrstu vjerojatnosti nego drugu. Na primjer, bilo bi dovoljno pronaći vjerojatnost prehlade pomoću teorijske vjerojatnosti.

Izračun eksperimentalnih vjerojatnosti

Razmotrimo prvo eksperimentalnu definiciju vjerojatnosti. Osnovno načelo koje koristimo za izračunavanje takvih vjerojatnosti je sljedeće.

Princip P (eksperimentalno)

Ako se u eksperimentu u kojem se vrši n opažanja situacija ili događaj E pojavi m puta u n opažanja, tada se kaže da je eksperimentalna vjerojatnost događaja P (E) = m/n.

Primjer 1 Sociološko istraživanje. Provedeno je eksperimentalno istraživanje kako bi se utvrdio broj ljevorukih ljudi i ljudi čije su obje ruke podjednako razvijene.

a) Odredite vjerojatnost da je osoba dešnjak.

b) Odredite vjerojatnost da je osoba ljevak.

c) Odredite vjerojatnost da osoba jednako tečno govori objema rukama.

d) Većina turnira Profesionalne kuglačke udruge ograničena je na 120 igrača. Na temelju podataka iz ovog eksperimenta, koliko bi igrača moglo biti ljevoruko?

Riješenje

a)Broj ljudi koji su dešnjaci je 82, broj ljevorukih je 17, a broj onih koji podjednako tečno govore obje ruke je 1. Ukupan broj opažanja je 100. Dakle, vjerojatnost da je osoba dešnjak je P
P = 82/100, ili 0,82, ili 82%.

b) Vjerojatnost da je osoba ljevak je P, gdje je
P = 17/100, ili 0,17, ili 17%.

c) Vjerojatnost da osoba jednako tečno govori objema rukama je P, gdje je
P = 1/100, ili 0,01, ili 1%.

d) 120 bacača kugle, a iz (b) možemo očekivati ​​da je 17% ljevorukih. Odavde
17% od 120 = 0,17,120 = 20,4,
odnosno možemo očekivati ​​20-ak igrača koji će biti ljevoruki.

Primjer 2 Kontrola kvalitete . Za proizvođača je vrlo važno održati kvalitetu svojih proizvoda na visoka razina. Zapravo, tvrtke angažiraju inspektore za kontrolu kvalitete kako bi osigurale ovaj proces. Cilj je proizvesti minimalni mogući broj neispravnih proizvoda. Ali budući da tvrtka proizvodi tisuće proizvoda svaki dan, ne može si priuštiti testiranje svakog proizvoda kako bi se utvrdilo je li neispravan ili ne. Kako bi otkrila koliki je postotak proizvoda neispravan, tvrtka testira mnogo manje proizvoda.
Ministarstvo Poljoprivreda SAD zahtijeva da 80% sjemena koje prodaju uzgajivači mora proklijati. Da bi se utvrdila kvaliteta sjemena koje poljoprivredno poduzeće proizvodi, sadi se 500 sjemenki proizvedenih sjemenki. Nakon toga je izračunato da je proklijalo 417 sjemenki.

a) Kolika je vjerojatnost da će sjeme proklijati?

b) Zadovoljava li sjeme državne standarde?

Riješenje a) Znamo da je od 500 sjemenki koje su posađene 417 proklijalo. Vjerojatnost klijanja sjemena P, i
P = 417/500 = 0,834, ili 83,4%.

b) Budući da je postotak proklijalog sjemena premašio 80% prema zahtjevima, sjeme zadovoljava državne standarde.

Primjer 3 Televizijska gledanost. Prema statistici, u Sjedinjenim Državama ima 105 500 000 kućanstava s televizorom. Svaki tjedan se prikupljaju i obrađuju podaci o gledanosti programa. U jednom tjednu, 7.815.000 kućanstava gledalo je hit humorističnu seriju "Svi vole Raymonda" na CBS-u i 8.302.000 kućanstava gledalo je hit seriju "Zakon i red" na NBC-u (Izvor: Nielsen Media Research). Koja je vjerojatnost da je TV jednog kućanstva podešen na "Svi vole Raymonda" tijekom određenog tjedna na "Zakon i red"?

Riješenje Vjerojatnost da je TV u jednom kućanstvu podešen na "Svi vole Raymonda" je P, i
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
Šansa da je TV u kućanstvu podešen na Zakon i red je P, i
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ti se postoci nazivaju ocjenama.

Teorijska vjerojatnost

Pretpostavimo da provodimo eksperiment, poput bacanja novčića ili pikada, izvlačenja karte iz špila ili testiranja kvalitete proizvoda na pokretnoj traci. Svaki mogući rezultat takvog eksperimenta naziva se Egzodus . Skup svih mogućih ishoda naziva se prostor ishoda . Događaj to je skup ishoda, odnosno podskup prostora ishoda.

Primjer 4 Bacanje pikada. Pretpostavimo da u eksperimentu s bacanjem strelica strelica pogodi metu. Pronađite sve od sljedećeg:

b) Ishodni prostor

Riješenje
a) Ishodi su: pogađanje crnog (B), pogađanje crvenog (R) i pogađanje bijelog (B).

b) Prostor ishoda je (udarac u crno, udarac u crveno, udarac u bijelo), što se može napisati jednostavno kao (H, K, B).

Primjer 5 Bacanje kocke. Kocka je kocka sa šest strana, na svakoj od kojih je nacrtana jedna do šest točaka.


Pretpostavimo da bacamo kocku. Pronaći
a) Ishodi
b) Ishodni prostor

Riješenje
a) Ishodi: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Ishodni prostor (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Vjerojatnost da se događaj E dogodi označavamo kao P(E). Na primjer, "novčić će pasti na glavu" može se označiti s H. Tada P(H) predstavlja vjerojatnost da će novčić pasti na glavu. Kada svi ishodi eksperimenta imaju istu vjerojatnost pojavljivanja, kaže se da su jednako vjerojatni. Da biste vidjeli razlike između događaja koji su jednako vjerojatni i događaja koji nisu, razmotrite cilj prikazan u nastavku.

Za metu A, događaji pogađanja crnog, crvenog i bijelog su jednako vjerojatni, budući da su crni, crveni i bijeli sektor isti. Međutim, za metu B zone s tim bojama nisu iste, odnosno njihov pogodak nije jednako vjerojatan.

Načelo P (teoretski)

Ako se događaj E može dogoditi na m načina od n mogućih jednako vjerojatnih ishoda iz prostora ishoda S, tada teorijska vjerojatnost događaja, P(E) je
P(E) = m/n.

Primjer 6 Kolika je vjerojatnost bacanja kocke da dobijete 3?

Riješenje Postoji 6 jednako vjerojatnih ishoda na kocki i postoji samo jedna mogućnost bacanja broja 3. Tada će vjerojatnost P biti P(3) = 1/6.

Primjer 7 Koja je vjerojatnost bacanja parnog broja na kockicu?

Riješenje Događaj je bacanje parnog broja. To se može dogoditi na 3 načina (ako bacite 2, 4 ili 6). Broj jednako vjerojatnih ishoda je 6. Tada je vjerojatnost P(parni) = 3/6, odnosno 1/2.

Koristit ćemo niz primjera koji uključuju standardni špil od 52 karte. Ovaj se špil sastoji od karata prikazanih na donjoj slici.

Primjer 8 Koja je vjerojatnost izvlačenja asa iz dobro promiješanog špila karata?

Riješenje Postoje 52 ishoda (broj karata u špilu), jednako su vjerojatni (ako je špil dobro promiješan), a postoje 4 načina za izvlačenje asa, pa je prema P principu vjerojatnost
P(izvlačenje asa) = 4/52 ili 1/13.

Primjer 9 Pretpostavimo da bez gledanja izaberemo jednu lopticu iz vreće s 3 crvene i 4 zelene loptice. Kolika je vjerojatnost da odaberete crvenu kuglu?

Riješenje Postoji 7 jednako vjerojatnih ishoda izvlačenja bilo koje kuglice, a budući da je broj načina za izvlačenje crvene kuglice 3, dobivamo
P(odabir crvene lopte) = 3/7.

Sljedeće izjave proizlaze iz načela P.

Svojstva vjerojatnosti

a) Ako se događaj E ne može dogoditi, tada je P(E) = 0.
b) Ako je sigurno da će se događaj E dogoditi tada je P(E) = 1.
c) Vjerojatnost da će se dogoditi događaj E je broj od 0 do 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Na primjer, u bacanju novčića, slučaj da novčić padne na rub ima nultu vjerojatnost. Vjerojatnost da je novčić glava ili rep ima vjerojatnost 1.

Primjer 10 Pretpostavimo da su 2 karte izvučene iz špila od 52 karte. Koja je vjerojatnost da su oba vrha?

Riješenje Broj n načina za izvlačenje 2 karte iz dobro promiješanog špila od 52 karte je 52 C 2 . Budući da su 13 od 52 karte pikovi, broj načina na koji m mogu izvući 2 pika je 13 C 2 . Zatim,
P (povlačenje 2 vrha) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Primjer 11 Pretpostavimo da su 3 osobe nasumično odabrane iz grupe od 6 muškaraca i 4 žene. Koja je vjerojatnost da će 1 muškarac i 2 žene biti odabrani?

Riješenje Broj načina za odabir tri osobe iz grupe od 10 osoba je 10 C 3. Jedan muškarac se može izabrati na 6 C 1 načina, a 2 žene mogu se izabrati na 4 C 2 načina. Prema temeljnom principu brojanja, broj načina za odabir 1 muškarca i 2 žene je 6 C 1. 4 C 2 . Zatim, vjerojatnost da će 1 muškarac i 2 žene biti odabrani je
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Primjer 12 Bacanje kocke. Kolika je vjerojatnost bacanja ukupno 8 na dvije kocke?

Riješenje Svaka kocka ima 6 mogućih ishoda. Ishodi se udvostručuju, što znači da postoji 6,6 ili 36 mogućih načina na koje se brojevi na dvije kockice mogu pojaviti. (Bolje je ako su kocke različite, recimo da je jedna crvena, a druga plava - to će pomoći u vizualizaciji rezultata.)

Parovi brojeva koji zbrojem daju 8 prikazani su na donjoj slici. Postoji 5 moguće načine primanje zbroja jednakog 8, stoga je vjerojatnost 5/36.

“Nesreće nisu slučajne”... Zvuči kao nešto što je rekao neki filozof, ali zapravo je proučavanje nesreća sudbina velika znanost matematika. U matematici se slučajnošću bavi teorija vjerojatnosti. U članku će biti predstavljene formule i primjeri zadataka, kao i glavne definicije ove znanosti.

Što je teorija vjerojatnosti?

Teorija vjerojatnosti je jedna od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje.

Da bi bilo malo jasnije, dajmo mali primjer: ako bacite novčić uvis, on može pasti na glavu ili rep. Dok je novčić u zraku, moguće su obje ove vjerojatnosti. Odnosno vjerojatnost moguće posljedice omjer je 1:1. Ako izvučete jednu kartu iz špila od 36 karata, tada će vjerojatnost biti označena kao 1:36. Čini se da se ovdje nema što istraživati ​​i predviđati, pogotovo uz pomoć matematičkih formula. Međutim, ako ponovite konkretno djelovanje više puta je moguće identificirati određeni obrazac i na temelju njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima.

Ukratko rečeno, teorija vjerojatnosti u klasičnom smislu proučava mogućnost pojave jednog od mogućih događaja u numeričkoj vrijednosti.

Sa stranica povijesti

Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada su se prvi put pojavili pokušaji predviđanja ishoda kartaških igara.

U početku teorija vjerojatnosti nije imala nikakve veze s matematikom. Opravdano je empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji se mogu reproducirati u praksi. Prvi radovi na ovom području kao matematičke discipline javljaju se u 17. stoljeću. Osnivači su bili Blaise Pascal i Pierre Fermat. Dugo vrijeme proučavali su kockanje i vidjeli određene obrasce, o kojima su odlučili govoriti društvu.

Istu tehniku ​​izumio je Christiaan Huygens, iako nije bio upoznat s rezultatima istraživanja Pascala i Fermata. On je uveo pojam “teorije vjerojatnosti”, formule i primjere koji se smatraju prvima u povijesti discipline.

Radovi Jacoba Bernoullija, Laplaceov i Poissonov teorem također su od nemale važnosti. Učinili su teoriju vjerojatnosti sličnijom matematičkoj disciplini. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerojatnosti postala je jedna od matematičkih grana.

Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti. Događaji

Glavni koncept ove discipline je “događaj”. Postoje tri vrste događaja:

• Pouzdan. Oni koji će se ipak dogoditi (novčić će pasti).
• Nemoguće. Događaji koji se neće dogoditi ni pod kojim uvjetima (novčić će ostati visjeti u zraku).
• Slučajno. One koje će se dogoditi ili se neće dogoditi. Na njih mogu utjecati različiti čimbenici koje je vrlo teško predvidjeti. Ako govorimo o novčiću, onda slučajni čimbenici koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike kovanice, njihov oblik, početni položaj, sila bacanja itd.

Svi događaji u primjerima navedeni su velikim slovima latiničnim slovima, s izuzetkom P, koji ima drugačiju ulogu. Na primjer:

• A = "studenti su došli na predavanje."
• Ā = “studenti nisu došli na predavanje.”

U praktičnim zadacima događaji se obično zapisuju riječima.

Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova jednaka mogućnost. Odnosno, ako bacite novčić, moguće su sve opcije za početni pad dok on ne padne. Ali događaji također nisu jednako mogući. To se događa kada netko namjerno utječe na ishod. Na primjer, "označeno" kartanje ili kocke kod kojih je težište pomaknuto.

Događaji također mogu biti kompatibilni i nekompatibilni. Kompatibilni događaji ne isključuju međusobno pojavljivanje. Na primjer:

• A = "student je došao na predavanje."
• B = “student je došao na predavanje.”

Ti su događaji neovisni jedan o drugome i pojava jednog od njih ne utječe na pojavu drugog. Nespojivi događaji definirani su činjenicom da pojava jednog isključuje pojavu drugog. Ako govorimo o istom novčiću, tada gubitak "repova" onemogućuje pojavu "glava" u istom eksperimentu.

Radnje na događajima

Događaji se mogu umnožavati i zbrajati u skladu s tim, u disciplinu se uvode logični veznici “I” i “ILI”.

Količina je određena činjenicom da se događaj A ili B, ili dva, mogu dogoditi istovremeno. Ako su nekompatibilne, posljednja opcija je nemoguća;

Umnožavanje događaja sastoji se u pojavljivanju A i B u isto vrijeme.

Sada možemo dati nekoliko primjera kako bismo bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema u nastavku.

Vježba 1: Tvrtka sudjeluje u natječaju za dobivanje ugovora za tri vrste radova. Mogući događaji koji se mogu dogoditi:

• A = "tvrtka će dobiti prvi ugovor."
• I 1 = "tvrtka neće primiti prvi ugovor."
• B = "tvrtka će dobiti drugi ugovor."
• B 1 = "tvrtka neće dobiti drugi ugovor"
• C = "tvrtka će dobiti treći ugovor."
• C 1 = "tvrtka neće dobiti treći ugovor."

Koristeći akcije na događaje, pokušat ćemo izraziti sljedeće situacije:

• K = "tvrtka će dobiti sve ugovore."

U matematički oblik jednadžba će imati sljedeći oblik: K = ABC.

• M = "tvrtka neće dobiti niti jedan ugovor."

M = A 1 B 1 C 1.

Zakomplicirajmo zadatak: H = "tvrtka će dobiti jedan ugovor." Budući da se ne zna koji će ugovor tvrtka dobiti (prvi, drugi ili treći), potrebno je evidentirati cijeli niz mogućih događaja:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je niz događaja u kojima tvrtka ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Ostali mogući događaji zabilježeni su odgovarajućom metodom. Simbol υ u disciplini označava veznik “ILI”. Ako gornji primjer prevedemo na ljudski jezik, tvrtka će dobiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Na sličan način možete zapisati i druge uvjete u disciplini “Teorija vjerojatnosti”. Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to učinite sami.

Zapravo, vjerojatnost

Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerojatnost događaja središnji koncept. Postoje 3 definicije vjerojatnosti:

• klasični;
• statistički;
• geometrijski.

Svaki ima svoje mjesto u proučavanju vjerojatnosti. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (9. razred) uglavnom koriste klasičnu definiciju, koja zvuči ovako:

• Vjerojatnost situacije A jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju njenom nastanku prema broju svih mogućih ishoda.

Formula izgleda ovako: P(A)=m/n.

A je zapravo događaj. Ako se pojavi padež suprotan A, može se napisati kao Ā ili A 1 .

m je broj mogućih povoljnih slučajeva.

n - svi događaji koji se mogu dogoditi.

Na primjer, A = "izvucite kartu boje srca." Postoji 36 karata u standardnom špilu, od kojih su 9 srca. Prema tome, formula za rješavanje problema izgledat će ovako:

P(A)=9/36=0,25.

Kao rezultat toga, vjerojatnost da će karta boje srca biti izvučena iz špila bit će 0,25.

Prema višoj matematici

Sada je postalo malo poznato što je teorija vjerojatnosti, formule i primjeri rješavanja problema koji se u njoj susreću školski plan i program. Međutim, teorija vjerojatnosti također se nalazi u višoj matematici, koja se predaje na sveučilištima. Najčešće operiraju geometrijskim i statističkim definicijama teorije i složenim formulama.

Teorija vjerojatnosti vrlo je zanimljiva. Formule i primjeri ( viša matematika) bolje je početi proučavati s malim - sa statističkom (ili frekvencijskom) definicijom vjerojatnosti.

Statistički pristup nije u suprotnosti s klasičnim, već ga malo proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno odrediti s kojom vjerojatnošću će se događaj dogoditi, onda je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko često će se dogoditi. Ovdje se uvodi novi koncept "relativne frekvencije", koji se može označiti s W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

Ako se klasična formula izračunava za predviđanje, onda se statistička izračunava prema rezultatima eksperimenta. Uzmimo za primjer mali zadatak.

Odjel tehnološke kontrole provjerava kvalitetu proizvoda. Od 100 proizvoda, 3 su nekvalitetna. Kako pronaći vjerojatnost učestalosti kvalitetnog proizvoda?

A = “izgled kvalitetnog proizvoda.”

Wn(A)=97/100=0,97

Dakle, frekvencija kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 pregledanih proizvoda, 3 su nekvalitetna. Od 100 oduzmemo 3, dobijemo 97, to je količina kvalitetne robe.

Malo o kombinatorici

Druga metoda teorije vjerojatnosti naziva se kombinatorika. Njegovo osnovno načelo je da ako se može napraviti određeni izbor A m različiti putevi, a izbor B je na n različitih načina, tada se izbor A i B može izvršiti množenjem.

Na primjer, postoji 5 cesta koje vode od grada A do grada B. Od grada B do grada C vode 4 staze. Na koliko načina možete doći iz grada A u grad C?

Jednostavno je: 5x4=20, odnosno na dvadeset različitih načina možete doći od točke A do točke C.

Zakomplicirajmo zadatak. Na koliko načina postoji slaganje karata u pasijansu? U špilu je 36 karata - ovo je početna točka. Da biste saznali broj načina, morate "oduzimati" jednu po jednu kartu od početne točke i množiti.

Odnosno, 36x35x34x33x32...x2x1= rezultat ne stane na zaslon kalkulatora, tako da se jednostavno može označiti s 36!. Znak "!" pored broja označava da je cijeli niz brojeva pomnožen zajedno.

U kombinatorici postoje pojmovi kao što su permutacija, postavljanje i kombinacija. Svaki od njih ima svoju formulu.

Uređen skup elemenata skupa naziva se raspored. Postavljanje se može ponavljati, odnosno jedan element se može koristiti više puta. I bez ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m su elementi koji sudjeluju u postavljanju. Formula za postavljanje bez ponavljanja izgledat će ovako:

A n m =n!/(n-m)!

Veze od n elemenata koji se razlikuju samo po redoslijedu postavljanja nazivaju se permutacijama. U matematici to izgleda ovako: P n = n!

Kombinacije n elemenata od m su oni spojevi u kojima je važno koji su elementi bili i koliki im je ukupan broj. Formula će izgledati ovako:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoullijeva formula

U teoriji vjerojatnosti, kao iu svakoj disciplini, postoje radovi izvrsnih istraživača u svom području koji su ga podigli na novu razinu. Jedno od tih djela je Bernoullijeva formula, koja vam omogućuje određivanje vjerojatnosti da će se određeni događaj dogoditi pod neovisnim uvjetima. Ovo sugerira da pojavljivanje A u eksperimentu ne ovisi o pojavljivanju ili nepojavljivanju istog događaja u ranijim ili sljedećim ispitivanjima.

Bernoullijeva jednadžba:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Vjerojatnost (p) pojave događaja (A) je konstantna za svaki pokušaj. Vjerojatnost da će se situacija dogoditi točno m puta u n broju eksperimenata izračunat će se gore prikazanom formulom. Sukladno tome, postavlja se pitanje kako saznati broj q.

Ako se događaj A dogodi p broj puta, prema tome, možda se neće dogoditi. Jedinica je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda situacije u disciplini. Dakle, q je broj koji označava mogućnost da se događaj ne dogodi.

Sada znate Bernoullijevu formulu (teorija vjerojatnosti). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema (prva razina).

Zadatak 2: Posjetitelj trgovine će kupiti s vjerojatnošću 0,2. U trgovinu je samostalno ušlo 6 posjetitelja. Koja je vjerojatnost da će posjetitelj obaviti kupnju?

Rješenje: Budući da je nepoznato koliko posjetitelja treba obaviti kupnju, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerojatnosti pomoću Bernoullijeve formule.

A = "posjetitelj će obaviti kupnju."

U ovom slučaju: p = 0,2 (kako je navedeno u zadatku). Prema tome, q=1-0,2=0,8.

n = 6 (budući da u trgovini ima 6 kupaca). Broj m će varirati od 0 (niti jedan kupac neće kupiti) do 6 (svi posjetitelji trgovine će nešto kupiti). Kao rezultat, dobivamo rješenje:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Niti jedan kupac neće obaviti kupnju s vjerojatnošću 0,2621.

Kako se inače koristi Bernoullijeva formula (teorija vjerojatnosti)? Primjeri rješavanja problema (druga razina) u nastavku.

Nakon gornjeg primjera postavljaju se pitanja gdje su nestali C i r. U odnosu na p, broj na potenciju 0 bit će jednak jedan. Što se tiče C, može se pronaći formulom:

C n m = n! /m!(n-m)!

Budući da je u prvom primjeru m = 0, odnosno C = 1, što u načelu ne utječe na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati koja je vjerojatnost da dva posjetitelja kupe robu.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teorija vjerojatnosti nije tako komplicirana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri gore navedeni, izravan je dokaz za to.

Poissonova formula

Poissonova jednadžba se koristi za izračunavanje slučajnih situacija niske vjerojatnosti.

Osnovna formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

U ovom slučaju λ = n x p. Ovdje je jednostavna Poissonova formula (teorija vjerojatnosti). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema.

Zadatak 3: Tvornica je proizvela 100.000 dijelova. Pojava neispravnog dijela = 0,0001. Kolika je vjerojatnost da će u seriji biti 5 neispravnih dijelova?

Kao što vidite, brak je malo vjerojatan događaj, pa se za izračun koristi Poissonova formula (teorija vjerojatnosti). Primjeri rješavanja zadataka ove vrste ne razlikuju se od ostalih zadataka u disciplini; u zadanu formulu zamjenjujemo potrebne podatke:

A = "nasumično odabrani dio bit će neispravan."

p = 0,0001 (prema uvjetima zadatka).

n = 100000 (broj dijelova).

m = 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formulu i dobivamo:

100 000 R (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Baš kao i Bernoullijeva formula (teorija vjerojatnosti), čiji su primjeri rješenja napisani gore, Poissonova jednadžba ima nepoznato e. Zapravo, može se pronaći formulom:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Međutim, postoje posebne tablice koje sadrže gotovo sve vrijednosti e.

De Moivre-Laplaceov teorem

Ako je u Bernoullijevoj shemi broj pokušaja dovoljno velik, a vjerojatnost pojavljivanja događaja A u svim shemama ista, tada se vjerojatnost pojavljivanja događaja A određeni broj puta u nizu testova može pronaći pomoću Laplaceova formula:

R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Da biste bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), u nastavku su navedeni primjeri problema koji će vam pomoći.

Prvo, pronađimo X m, zamijenimo podatke (svi su gore navedeni) u formulu i dobijemo 0,025. Pomoću tablica nalazimo broj ϕ(0,025) čija je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formulu:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Dakle, vjerojatnost da će letak raditi točno 267 puta je 0,03.

Bayesova formula

Bayesova formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja problema uz pomoć kojih će biti navedeni u nastavku, jednadžba je koja opisuje vjerojatnost događaja na temelju okolnosti koje bi mogle biti povezane s njim. Osnovna formula je sljedeća:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B su određeni događaji.

P(A|B) je uvjetna vjerojatnost, odnosno događaj A se može dogoditi pod uvjetom da je događaj B istinit.

P (B|A) - uvjetna vjerojatnost događaja B.

Dakle, završni dio kratkog tečaja "Teorija vjerojatnosti" je Bayesova formula, primjeri rješenja problema s kojima su u nastavku.

Zadatak 5: U skladište su dopremljeni telefoni tri firme. Istovremeno, udio telefona koji se proizvode u prvoj tvornici je 25%, u drugoj - 60%, u trećoj - 15%. Također je poznato da je prosječni postotak neispravnih proizvoda u prvoj tvornici 2%, u drugoj 4%, au trećoj 1%. Morate pronaći vjerojatnost da će nasumično odabrani telefon biti neispravan.

A = "nasumično odabran telefon."

B 1 - telefon koji je proizvela prva tvornica. Sukladno tome pojavit će se uvodni B 2 i B 3 (za drugu i treću tvornicu).

Kao rezultat dobivamo:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - tako smo pronašli vjerojatnost svake opcije.

Sada trebate pronaći uvjetne vjerojatnosti željenog događaja, odnosno vjerojatnost neispravnih proizvoda u tvrtkama:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Sada zamijenimo podatke Bayesovom formulom i dobijemo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Članak predstavlja teoriju vjerojatnosti, formule i primjere rješavanja problema, ali to je samo vrh ledenog brijega goleme discipline. I nakon svega napisanog, logično bi bilo postaviti pitanje je li teorija vjerojatnosti potrebna u životu. Običnom čovjeku Teško je odgovoriti, bolje je pitati nekoga tko je njime više puta osvojio jackpot.

Zapravo, formule (1) i (2) su kratki zapis uvjetne vjerojatnosti temeljen na tablici kontingencije značajki. Vratimo se na razmatrani primjer (slika 1). Pretpostavimo da saznamo da obitelj planira kupiti televizor sa širokim ekranom. Koja je vjerojatnost da ova obitelj zaista kupi takav televizor?

Riža. 1. Kupovno ponašanje TV-a širokog ekrana

U ovom slučaju moramo izračunati uvjetnu vjerojatnost P (kupnja obavljena | kupnja planirana). Budući da znamo da obitelj planira kupnju, uzorak se ne sastoji od svih 1000 obitelji, već samo onih koje planiraju kupiti TV širokog ekrana. Od 250 takvih obitelji, njih 200 kupilo je ovaj televizor. Stoga se vjerojatnost da će obitelj zaista kupiti TV sa širokim ekranom ako je to planirala može izračunati pomoću sljedeće formule:

P (kupnja obavljena | planirana kupnja) = broj obitelji koje su planirale i kupile TV širokog ekrana / broj obitelji koje planiraju kupiti TV širokog ekrana = 200 / 250 = 0,8

Formula (2) daje isti rezultat:

gdje je događaj A je da obitelj planira kupiti TV širokog ekrana, a događaj U- da će ga doista kupiti. Zamjenom stvarnih podataka u formulu dobivamo:

Stablo odlučivanja

Na sl. 1 obitelji podijeljene su u četiri kategorije: one koje su planirale kupiti TV širokog ekrana i one koje nisu, kao i one koje su kupile takav TV i one koje nisu. Slična se klasifikacija može izvesti korištenjem stabla odlučivanja (slika 2). Drvo prikazano na sl. 2 ima dvije grane koje odgovaraju obiteljima koje su planirale kupiti široki TV i obiteljima koje to nisu učinile. Svaka od ovih grana dijeli se na dvije dodatne grane koje odgovaraju kućanstvima koja su kupila i nisu kupila TV širokog ekrana. Vjerojatnosti zapisane na krajevima dviju glavnih grana su bezuvjetne vjerojatnosti događaja A I A'. Vjerojatnosti zapisane na krajevima četiri dodatne grane su uvjetne vjerojatnosti svake kombinacije događaja A I U. Uvjetne vjerojatnosti izračunavaju se dijeljenjem zajedničke vjerojatnosti događaja s odgovarajućom bezuvjetnom vjerojatnošću svakog od njih.

Riža. 2. Stablo odlučivanja

Na primjer, da bi se izračunala vjerojatnost da će obitelj kupiti televizor sa širokim ekranom ako je to planirala učiniti, mora se odrediti vjerojatnost događaja kupnja planirana i dovršena, a zatim ga podijelite s vjerojatnošću događaja planirana kupnja. Krećući se po stablu odlučivanja prikazanom na sl. 2, dobivamo sljedeći (sličan prethodnom) odgovor:

Statistička neovisnost

U primjeru kupnje TV-a sa širokim ekranom, vjerojatnost da je nasumično odabrana obitelj kupila TV sa širokim ekranom s obzirom da su to planirali učiniti je 200/250 = 0,8. Podsjetimo se da je bezuvjetna vjerojatnost da je nasumično odabrana obitelj kupila TV širokog ekrana 300/1000 = 0,3. To dovodi do vrlo važnog zaključka. Prethodne informacije da je obitelj planirala kupnju utječu na vjerojatnost same kupnje. Drugim riječima, ova dva događaja ovise jedan o drugome. Za razliku od ovog primjera, postoje statistički neovisni događaji čije vjerojatnosti ne ovise jedna o drugoj. Statistička neovisnost izražava se identitetom: P(A|B) = P(A), Gdje P(A|B)- vjerojatnost događaja A pod uvjetom da se događaj dogodio U, GODIŠNJE)- bezuvjetna vjerojatnost događaja A.

Imajte na umu da događaji A I U P(A|B) = P(A). Ako je u tablici kontingencije karakteristika veličine 2×2, ovaj uvjet zadovoljen za najmanje jednu kombinaciju događaja A I U, vrijedit će za bilo koju drugu kombinaciju. U našem primjeru događaja planirana kupnja I kupnja završena nisu statistički neovisni jer informacije o jednom događaju utječu na vjerojatnost drugog.

Pogledajmo primjer koji pokazuje kako testirati statističku neovisnost dva događaja. Pitajmo 300 obitelji koje su kupile televizor širokog ekrana jesu li bile zadovoljne kupnjom (slika 3). Utvrdite jesu li stupanj zadovoljstva kupnjom i vrsta televizora povezani.

Riža. 3. Podaci koji karakteriziraju stupanj zadovoljstva kupaca širokih televizora

Sudeći po ovim podacima,

U isto vrijeme,

P (kupac zadovoljan) = 240 / 300 = 0,80

Dakle, vjerojatnost da je kupac zadovoljan kupnjom i da je obitelj kupila HDTV su jednake, a ovi događaji su statistički nezavisni jer nisu ni na koji način povezani.

Pravilo množenja vjerojatnosti

Formula za izračun uvjetne vjerojatnosti omogućuje određivanje vjerojatnosti zajedničkog događaja A i B. Razriješivši formulu (1)

u odnosu na zajedničku vjerojatnost P(A i B), dobivamo opće pravilo za množenje vjerojatnosti. Vjerojatnost događaja A i B jednaka vjerojatnosti događaja A pod uvjetom da se događaj dogodi U U:

(3) P(A i B) = P(A|B) * P(B)

Uzmimo kao primjer 80 obitelji koje su kupile široki HDTV televizor (slika 3). Iz tablice je vidljivo da su 64 obitelji zadovoljne kupnjom, a 16 nije. Pretpostavimo da su između njih nasumično odabrane dvije obitelji. Odredite vjerojatnost da će oba kupca biti zadovoljna. Koristeći formulu (3), dobivamo:

P(A i B) = P(A|B) * P(B)

gdje je događaj A je da je druga obitelj zadovoljna svojom kupnjom i događajem U- da je prva obitelj zadovoljna kupnjom. Vjerojatnost da je prva obitelj zadovoljna svojom kupnjom je 64/80. Međutim, vjerojatnost da je i druga obitelj zadovoljna svojom kupnjom ovisi o odgovoru prve obitelji. Ako se prva obitelj nakon anketiranja ne vrati u uzorak (odabir bez povratka), broj ispitanika se smanjuje na 79. Ako je prva obitelj zadovoljna kupnjom, vjerojatnost da će i druga obitelj biti zadovoljna je 63 /79, budući da su u uzorku obitelji ostale samo 63 zadovoljne kupnjom. Dakle, zamjenom određenih podataka u formulu (3) dobivamo sljedeći odgovor:

P(A i B) = (63/79)(64/80) = 0,638.

Stoga je vjerojatnost da su obje obitelji zadovoljne kupnjom 63,8%.

Pretpostavimo da se nakon ankete prva obitelj vrati u uzorak. Odredite vjerojatnost da će obje obitelji biti zadovoljne svojom kupnjom. U ovom slučaju, vjerojatnost da su obje obitelji zadovoljne svojom kupnjom je ista, jednaka 64/80. Prema tome, P(A i B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Dakle, vjerojatnost da su obje obitelji zadovoljne kupnjom iznosi 64,0%. Ovaj primjer pokazuje da izbor druge obitelji ne ovisi o izboru prve. Dakle, zamjenom uvjetne vjerojatnosti u formuli (3) P(A|B) vjerojatnost GODIŠNJE), dobivamo formulu za množenje vjerojatnosti neovisnih događaja.

Pravilo množenja vjerojatnosti neovisnih događaja. Ako događaji A I U su statistički neovisni, vjerojatnost događaja A i B jednaka vjerojatnosti događaja A, pomnoženo s vjerojatnošću događaja U.

(4) P(A i B) = P(A)P(B)

Ako ovo pravilo vrijedi za događaje A I U, što znači da su statistički neovisni. Dakle, postoje dva načina za određivanje statističke neovisnosti dva događaja:

1. Događaji A I U su statistički neovisni jedni o drugima ako i samo ako P(A|B) = P(A).
2. Događaji A I B su statistički neovisni jedni o drugima ako i samo ako P(A i B) = P(A)P(B).

Ako je u tablici nepredviđenih karakteristika veličine 2×2, jedan od ovih uvjeta ispunjen za najmanje jednu kombinaciju događaja A I B, vrijedit će za bilo koju drugu kombinaciju.

Bezuvjetna vjerojatnost elementarnog događaja

(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)

gdje se događaji B 1, B 2, ... B k međusobno isključuju i iscrpljuju.

Ilustrirajmo primjenu ove formule na primjeru na slici 1. Koristeći formulu (5), dobivamo:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

Gdje GODIŠNJE)– vjerojatnost da je kupnja bila planirana, P(B 1)- vjerojatnost da se kupnja ostvari, P(B 2)- vjerojatnost da kupnja nije dovršena.

BAYESOV TEOREM

Uvjetna vjerojatnost događaja uzima u obzir informaciju da se dogodio neki drugi događaj. Ovaj se pristup može koristiti kako za preciziranje vjerojatnosti uzimajući u obzir novoprimljene informacije, tako i za izračunavanje vjerojatnosti da je promatrani učinak posljedica nekih konkretan razlog. Postupak za pročišćavanje ovih vjerojatnosti naziva se Bayesov teorem. Prvi ga je razvio Thomas Bayes u 18. stoljeću.

Pretpostavimo da gore spomenuta tvrtka istražuje tržište za novi model televizora. U prošlosti je 40% televizora koje je kreirala tvrtka bilo uspješno, dok 60% modela nije bilo prepoznato. Prije najave izlaska novog modela, marketinški stručnjaci pažljivo istražuju tržište i bilježe potražnju. U prošlosti se predviđalo da će 80% uspješnih modela biti uspješni, dok se 30% uspješnih predviđanja pokazalo pogrešnim. Odjel marketinga dao je povoljnu prognozu za novi model. Koja je vjerojatnost da će novi model televizora biti tražen?

Bayesov teorem može se izvesti iz definicija uvjetne vjerojatnosti (1) i (2). Za izračun vjerojatnosti P(B|A) uzmite formulu (2):

i zamijenite umjesto P(A i B) vrijednost iz formule (3):

P(A i B) = P(A|B) * P(B)

Zamjenom formule (5) umjesto P(A) dobivamo Bayesov teorem:

gdje se događaji B 1, B 2, ... B k međusobno isključuju i iscrpljuju.

Uvedimo sljedeću oznaku: događaj S - TV je tražen, događaj S’ - TV nije tražen, događaj F - povoljna prognoza, događaj F’ - loša prognoza. Pretpostavimo da je P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Primjenom Bayesove teoreme dobivamo:

Vjerojatnost potražnje za novim modelom televizora, osigurana povoljna prognoza jednako 0,64. Stoga je vjerojatnost nedostatka potražnje uz povoljnu prognozu 1–0,64=0,36. Proces izračuna prikazan je na sl. 4.

Riža. 4. (a) Izračuni korištenjem Bayesove formule za procjenu vjerojatnosti potražnje za televizorima; (b) Stablo odlučivanja pri proučavanju potražnje za novim modelom televizora

Razmotrimo primjer primjene Bayesovog teorema za medicinska dijagnostika. Vjerojatnost da osoba boluje od određene bolesti je 0,03. Medicinski test može provjeriti je li to istina. Ako je osoba stvarno bolesna, vjerojatnost točna dijagnoza(tvrdnja da je osoba bolesna kada je stvarno bolesna) je 0,9. Ako je osoba zdrava, vjerojatnost lažno pozitivne dijagnoze (da se kaže da je osoba bolesna kada je zdrava) je 0,02. Recimo da je medicinski test dao pozitivan rezultat. Koja je vjerojatnost da je osoba stvarno bolesna? Koja je vjerojatnost točne dijagnoze?

Uvedimo sljedeću oznaku: događaj D - osoba je bolesna, događaj D’ - osoba je zdrava, događaj T - dijagnoza je pozitivna, događaj T’ - dijagnoza negativna. Iz uvjeta zadatka proizlazi da je P(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Primjenom formule (6) dobivamo:

Vjerojatnost da je osoba s pozitivnom dijagnozom stvarno bolesna iznosi 0,582 (vidi i sl. 5). Imajte na umu da je nazivnik Bayesove formule jednak vjerojatnosti pozitivne dijagnoze, tj. 0,0464.