קורס הווידאו "קבל א'" כולל את כל הנושאים הדרושים להצלחה לעבור את מבחן המדינה המאוחדתבמתמטיקה עבור 60-65 נקודות. מלא את כל המשימות 1-13 של בחינת המדינה המאוחדת בפרופיל במתמטיקה. מתאים גם למעבר בבחינת המדינה המאוחדת הבסיסית במתמטיקה. אם אתה רוצה לעבור את מבחן המדינה המאוחדת עם 90-100 נקודות, אתה צריך לפתור את חלק 1 תוך 30 דקות וללא טעויות!

קורס הכנה לבחינת המדינה המאוחדת לכיתות י'-י"א וכן למורים. כל מה שאתה צריך כדי לפתור את חלק 1 של בחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה (12 הבעיות הראשונות) ואת בעיה 13 (טריגונומטריה). וזה יותר מ-70 נקודות בבחינת המדינה המאוחדת, וגם סטודנט של 100 נקודות וגם סטודנט למדעי הרוח לא יכולים בלעדיהם.

כל התיאוריה הדרושה. דרכים מהירותפתרונות, מלכודות וסודות של בחינת המדינה המאוחדת. כל המשימות הנוכחיות של חלק 1 מבנק המשימות של FIPI נותחו. הקורס עומד במלואו בדרישות של בחינת המדינה המאוחדת 2018.

הקורס מכיל 5 נושאים גדולים, 2.5 שעות כל אחד. כל נושא ניתן מאפס, פשוט וברור.

מאות משימות בחינות המדינה המאוחדת. בעיות מילים ותורת ההסתברות. אלגוריתמים פשוטים וקלים לזיכרון לפתרון בעיות. גֵאוֹמֶטרִיָה. תיאוריה, חומר עזר, ניתוח של כל סוגי משימות בחינות המדינה המאוחדת. סטריאומטריה. פתרונות מסובכים, דפי רמאות שימושיים, פיתוח דמיון מרחבי. טריגונומטריה מאפס לבעיה 13. הבנה במקום לדחוס. הסבר ויזואלי מושגים מורכבים. אַלגֶבּרָה. שורשים, חזקות ולוגריתמים, פונקציה ונגזרת. בסיס לפתרון בעיות מורכבות של חלק 2 של בחינת המדינה המאוחדת.

שמירה על פרטיותך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת ​​כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא סקור את נוהלי הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם לזיהוי אדם מסויםאו קשר איתו.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

• בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובת הדואר האלקטרוני שלך וכו'.

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

• המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר עם הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
• מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח הודעות והודעות חשובות.
• אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
• אם אתה משתתף בהגרלת פרסים, בתחרות או בקידום מכירות דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

גילוי מידע לצדדים שלישיים

איננו חושפים את המידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

• במידת הצורך - בהתאם לחוק, להליך השיפוטי, להליכים משפטיים ו/או בהתבסס על בקשות או בקשות הציבור מאת סוכנויות ממשלתיותבשטח הפדרציה הרוסית - לחשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה למטרות אבטחה, אכיפת חוק או חשיבות ציבורית אחרת.
• במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים לצד השלישי היורש הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

כיבוד הפרטיות שלך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים תקני פרטיות ואבטחה לעובדים שלנו ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

\(\blacktriangleright\) הזווית בין ישר למישור היא הזווית בין הישר להשלכתו על המישור הזה (כלומר זו הזווית \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).

\(\blacktriangleright\) כדי למצוא את הזווית בין הישר \(a\) למישור \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\)), אתה צריך:

שלב 1: מנקודה כלשהי \(A\in a\) ציירו מאונך \(AO\) למישור \(\phi\) (\(O\) הוא הבסיס של האנך);

שלב 2: אז \(BO\) היא ההשלכה של \(AB\) המשופע על המישור \(\phi\) ;

שלב 3: אז הזווית בין הישר \(a\) למישור \(\phi\) שווה ל-\(\angle ABO\) .

משימה 1 #2850

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

הקו הישר \(l\) חוצה את המישור \(\alpha\) . על הקו הישר \(l\) מסומן הקטע \(AB=25\), וידוע שההטלה של קטע זה על המישור \(\alpha\) שווה ל\(24\) . מצא את הסינוס של הזווית בין הישר \(l\) למישור \(\alpha\)

בואו נסתכל על התמונה:

תן \(A_1B_1=24\) להיות ההשלכה של \(AB\) על המישור \(\alpha\), שפירושו \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) . מכיוון ששני קווים מאונכים למישור נמצאים באותו מישור, אז \(A_1ABB_1\) הוא טרפז מלבני. בוא נעשה \(AH\perp BB_1\) . לאחר מכן \(AH=A_1B_1=24\) . לכן, לפי משפט פיתגורס \ נציין גם שהזווית בין ישר למישור היא הזווית בין הישר והשלכתו על המישור, לכן, הזווית הרצויה היא הזווית בין \(AB\) ל-\(A_1B_1 \) . מכיוון ש-\(AH\מקביל A_1B_1\) אזי הזווית בין \(AB\) ל-\(A_1B_1\) שווה לזווית שבין \(AB\) ל-\(AH\) .
לאחר מכן \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0.28.\]

תשובה: 0.28

משימה 2 #2851

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

\(א ב ג\) - משולש רגילעם הצלע \(3\) , \(O\) היא נקודה השוכנת מחוץ למישור המשולש, ו-\(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . מצא את הזווית שנוצרת על ידי הקווים \(OA, OB, OC\) עם מישור המשולש. תן את תשובתך במעלות.

הבה נצייר מאונך \(OH\) ​​למישור המשולש.

בואו נשקול \(\משולש OAH, \משולש OBH, \משולש OCH\). הם מלבניים ושווים ברגל ובתחתית. לכן, \(AH=BH=CH\) . המשמעות היא ש-\(H\) היא נקודה הממוקמת באותו מרחק מקודקודי המשולש \(ABC\) . כתוצאה מכך, \(H\) הוא מרכז המעגל המוקף סביבו. מכיוון ש-\(\משולש ABC\) נכון, אז \(H\) היא נקודת החיתוך של החציונים (הם גם גבהים וחוצים).
מכיוון שהזווית בין ישר למישור היא הזווית בין הישר להשלכתו על מישור זה, ו-\(AH\) היא ההשלכה של \(AO\) על מישור המשולש, אזי הזווית בין \( AO\) והמישור של המשולש שווה ל-\( \angle OAH\) .
תן \(AA_1\) להיות החציון ב-\(\משולש ABC\) , לכן, \ מכיוון שהחציונים מחולקים בנקודת החיתוך ביחס \(2:1\) , ספירה מהקודקוד, ואז \ ואז מהמלבני \(\משולש OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]

שימו לב שמשוויון המשולשים \(OAH, OBH, OCH\) נובע ש \(\angle OAH=\angle OBH=\angle OCH=60^\circ\).

תשובה: 60

משימה 3 #2852

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

הקו הישר \(l\) מאונך למישור \(\pi\) . הישר \(p\) אינו שוכב במישור \(\pi\) ואינו מקביל לו, ואינו מקביל לישר \(l\). מצא את סכום הזוויות בין הישרים \(p\) ו-\(l\) ובין הישר \(p\) למישור \(\pi\) . תן את תשובתך במעלות.

יוצא מהתנאי שהקו הישר \(p\) חוצה את המישור \(\pi\) . תן \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .

אז \(\angle POL\) היא הזווית בין הקווים \(p\) ו-\(l\) .
מכיוון שהזווית בין ישר למישור היא הזווית בין ישר והשלכתו על מישור זה, אזי \(\angle OPL\) היא הזווית בין \(p\) ל-\(\pi\) . שימו לב ש-\(\משולש OPL\) הוא מלבני עם \(\angle L=90^\circ\) . מאז סכום הזוויות החדות משולש ישר זוויתשווה ל-\(90^\circ\), אם כן \(\angle POL+\angle OPL=90^\circ\).

תגובה.
אם הישר \(p\) אינו חותך את הישר \(l\), אז נצייר קו \(p"\p\parallel p\) חוצה \(l\). ואז הזווית בין הישר \(p\ ) ו-\(l\ ) יהיו שווים לזווית שבין \(p"\) ל-\(l\) . באופן דומה, הזווית בין \(p\) ל-\(\pi\) תהיה שווה לזווית שבין \(p"\) ל-\(\pi\). ולקו הישר \(p"\) הפתרון הקודם כבר נכון.

תשובה: 90

משימה 4 #2905

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) - מעוקב. הנקודה \(N\) היא נקודת האמצע של הקצה \(BB_1\) , והנקודה \(M\) היא נקודת האמצע של הקטע \(BD\) . מצא את \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) , כאשר \(\alpha\) היא הזווית בין הישר המכיל \(MN\) למישור \((A_1B_1C_1D_1)\) . תן את תשובתך במעלות.

\(NM\) – קו אמצעיבמשולש \(DBB_1\) אז \(NM \parallel B_1D\) ו-\(\alpha\) שווה לזווית שבין \(B_1D\) למישור \((A_1B_1C_1D_1)\) .

מכיוון ש-\(DD_1\) מאונך למישור \(A_1B_1C_1D_1\) אז \(B_1D_1\) היא ההשלכה של \(B_1D\) על המישור \((A_1B_1C_1D_1)\) והזווית בין \(B_1D\ ) והמישור \((A_1B_1C_1D_1)\) הוא הזווית בין \(B_1D\) ל-\(B_1D_1\) .

תן לקצה הקובייה להיות \(x\), ואז לפי משפט פיתגורס \ במשולש \(B_1D_1D\), המשיק של הזווית בין \(B_1D\) ל-\(B_1D_1\) שווה ל \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\), איפה \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).

תשובה: 0.5

משימה 5 #2906

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) - מעוקב. הנקודה \(N\) היא אמצע הקצה \(BB_1\) , והנקודה \(M\) מחלקת את הקטע \(BD\) ביחס \(1:2\) , בספירה מהקודקוד \(ב\) . מצא את \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) , כאשר \(\alpha\) היא הזווית בין הישר המכיל \(MN\) למישור \((ABC)\) . תן את תשובתך במעלות.

מכיוון ש-\(NB\) הוא חלק מ-\(BB_1\) ו-\(BB_1\perp (ABC)\) , אז גם \(NB\perp (ABC)\) . לכן, \(BM\) היא ההשלכה של \(NM\) על המישור \((ABC)\) . זה אומר שהזווית \(\alpha\) שווה ל-\(\angle NMB\) .

תן לקצה הקובייה להיות שווה ל-\(x\) . לאחר מכן \(NB=0.5x\) . לפי משפט פיתגורס \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . מאז לפי תנאי \(BM:MD=1:2\) , אז \(BM=\frac13BD\) , לכן, \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .

ואז מהמלבני \(\משולש NBM\) : \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\alpha=8.\]

תשובה: 8

משימה 6 #2907

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

מה שווה \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\) אם \(\alpha\) היא זווית הנטייה של האלכסון של הקובייה לאחת מפנים שלה?

הזווית הרצויה תחפוף לזווית שבין אלכסון הקוביה לאלכסון של כל אחת מהפנים שלה, מכיוון במקרה זה, האלכסון של הקובייה יהיה נוטה, אלכסון הפנים יהיה ההקרנה של הפנים המשתפל על המטוס. לפיכך, הזווית הרצויה תהיה שווה, למשל, לזווית \(C_1AC\) . אם נסמן את קצה הקובייה כ-\(x\), אז \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\), ואז ריבוע הקוטנגנט של הזווית הרצויה: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]

תשובה: 2

משימה 7 #2849

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

\(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\) .
לפי משפט פיתגורס \ לָכֵן, \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\]מאז \(OH\perp (ABC)\), אז \(OH\)‎ מאונך לכל קו ישר מהמישור הזה, כלומר \(\משולש OAH\) הוא מלבני. לאחר מכן \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0.4.\]

תשובה: 0.4

זה יהיה שימושי עבור תלמידי תיכון שמתכוננים למבחן המדינה המאוחדת במתמטיקה כדי ללמוד כיצד להתמודד עם משימות מהסעיף "גיאומטריה במרחב", שבו הם צריכים למצוא את הזווית בין קו ישר למישור. הניסיון של השנים האחרונות מלמד שמטלות כאלה גורמות לקשיים מסוימים לבוגרים. יחד עם זאת, תלמידי תיכון בכל רמת הכשרה צריכים להכיר את התיאוריה הבסיסית ולהבין כיצד למצוא את הזווית בין קו ישר למישור. רק במקרה זה הם יכולים לסמוך על קבלת נקודות הגונות.

ניואנסים עיקריים

כמו בעיות סטריאומטריות אחרות של בחינת המדינה המאוחדת, משימות שבהן אתה צריך למצוא זוויות ומרחקים בין קווים ומישורים ניתנות לפתרון בשתי שיטות: גיאומטרית ואלגברית. התלמידים יכולים לבחור את האפשרות הנוחה להם ביותר. לפי השיטה הגיאומטרית יש צורך למצוא נקודה מתאימה על קו ישר, להוריד ממנה מאונך למישור ולבנות השלכה. לאחר מכן, הבוגר יצטרך רק ליישם ידע תיאורטי בסיסי ולפתור בעיה פלנימטרית לחישוב זווית. שיטה אלגבריתכולל הכנסת מערכת קואורדינטות כדי למצוא את הכמות הרצויה. יש צורך לקבוע את הקואורדינטות של שתי נקודות על קו ישר, להרכיב נכון את משוואת המישור ולפתור אותה.

הכנה יעילה עם שקולקובו

כדי להפוך את השיעורים לקלים ואפילו משימות מורכבות לא מעוררות קשיים, בחרו שלנו פורטל חינוכי. הנה כל החומר הדרוש עבור השלמה מוצלחתמבחן הסמכה. אתה תמצא את המידע הבסיסי הדרוש בסעיף "מידע תיאורטי". וכדי לתרגל השלמת משימות, פשוט היכנסו ל"קטלוג" בפורטל המתמטי שלנו. סעיף זה מכיל מבחר גדולתרגילים מעלות משתנותקשיים. משימות חדשות מופיעות באופן קבוע בקטלוג.

תלמידי בית ספר רוסים יכולים לבצע משימות על מציאת הזווית בין קו למטוס או עליו באינטרנט, בעודם במוסקבה או בעיר אחרת. אם התלמיד ירצה, ניתן לשמור כל תרגיל ב"מועדפים". זה יאפשר לך למצוא אותו במהירות במידת הצורך ולדון בהתקדמות הפתרון שלו עם המורה.

המאמר מתחיל בהגדרת הזווית בין קו ישר למישור. מאמר זה יראה לכם כיצד למצוא את הזווית בין קו ישר למישור בשיטת הקואורדינטות. הפתרונות לדוגמאות ולבעיות יידונו בפירוט.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ראשית, יש צורך לחזור על המושג קו ישר במרחב ועל המושג מישור. כדי לקבוע את הזווית בין קו ישר למישור, יש צורך במספר הגדרות עזר. הבה נסתכל על ההגדרות הללו בפירוט.

הגדרה 1

קו ישר ומישור מצטלביםבמקרה שיש להם אחד נקודה משותפת, כלומר, היא נקודת החיתוך של קו ישר ומישור.

קו ישר החותך מישור עשוי להיות מאונך למישור.

הגדרה 2

קו ישר מאונך למישורכאשר הוא מאונך לכל קו שנמצא במישור הזה.

הגדרה 3

הקרנה של נקודה M על מישורγ היא הנקודה עצמה אם היא נמצאת בפנים מטוס נתון, או שמא נקודת החיתוך של המישור עם קו מאונך למישור γ העובר בנקודה M, ובלבד שאינה שייכת למישור γ.

הגדרה 4

הקרנה של קו a על מטוסγ הוא קבוצת ההקרנות של כל הנקודות של קו נתון על המישור.

מכאן נקבל שלהשלכת ישר מאונך למישור γ יש נקודת חיתוך. אנו מוצאים שההטלה של ישר a היא ישר השייך למישור γ ועובר דרך נקודת החיתוך של ישר a והמישור. בואו נסתכל על האיור שלהלן.

כרגע יש לנו את כל המידע והנתונים הדרושים כדי לגבש את הגדרת הזווית בין קו ישר למישור

הגדרה 5

הזווית בין קו ישר למישורהזווית בין הישר הזה להשלכתו על המישור הזה נקראת, והקו הישר אינו מאונך אליו.

הגדרת הזווית שניתנה לעיל עוזרת להגיע למסקנה שהזווית בין ישר למישור היא הזווית בין שני קווים מצטלבים, כלומר, ישר נתון יחד עם הקרנתו על המישור. זה אומר שהזווית ביניהם תמיד תהיה חדה. בואו נסתכל על התמונה למטה.

הזווית הממוקמת בין ישר למישור נחשבת ישרה, כלומר שווה ל-90 מעלות, אך הזווית הממוקמת בין ישרים מקבילים אינה מוגדרת. ישנם מקרים שבהם ערכו נלקח שווה לאפס.

לבעיות שבהן יש צורך למצוא את הזווית בין קו ישר למישור יש וריאציות רבות בפתרון. מהלך הפתרון עצמו תלוי בנתונים הזמינים על המצב. מלווים תכופים לפתרון הם סימנים של דמיון או שוויון של דמויות, קוסינוסים, סינוסים, טנג'ים של זוויות. מציאת הזווית אפשרית בשיטת הקואורדינטות. בואו נסתכל על זה ביתר פירוט.

אם מערכת קואורדינטות מלבנית O x y z מוצגת במרחב התלת מימדי, אזי מצוין בה ישר a החותך את המישור γ בנקודה M, והוא אינו מאונך למישור. יש צורך למצוא את הזווית α הממוקמת בין קו ישר נתון למישור.

ראשית עליך ליישם את הגדרת הזווית בין קו ישר למישור בשיטת הקואורדינטות. ואז נקבל את הדברים הבאים.

במערכת הקואורדינטות O x y z מצוין ישר a, המתאים למשוואות הישר במרחב ולווקטור המכוון של הישר במרחב; עבור המישור γ מתאים משוואת המישור והנורמלי. וקטור של המטוס. אז a → = (a x , a y , a z) הוא וקטור הכיוון של הישר הנתון a, ו- n → (n x , n y , n z) הוא הווקטור הנורמלי למישור γ. אם נדמיין שיש לנו את הקואורדינטות של הווקטור המכוון של הישר a והווקטור הנורמלי של המישור γ, אז המשוואות שלהם ידועות, כלומר הן מצויינות לפי תנאי, אז אפשר לקבוע את הוקטורים a → ו-n → בהתבסס על המשוואה.

כדי לחשב את הזווית, יש צורך לשנות את הנוסחה כדי לקבל את הערך של זווית זו באמצעות הקואורדינטות הקיימות של הווקטור המכוון של הישר והווקטור הנורמלי.

יש צורך לשרטט את הוקטורים a → ו- n →, החל מנקודת החיתוך של הישר a עם המישור γ. קיימות 4 אפשרויות למיקומם של וקטורים אלו ביחס לקווים ולמישורים נתונים. התבונן בתמונה למטה, המציגה את כל 4 הווריאציות.

מכאן נקבל שהזווית בין הוקטורים a → ו-n → מסומנת a → , n → ^ והיא חדה, ואז משלימה את הזווית הרצויה α הממוקמת בין הישר למישור, כלומר נקבל ביטוי מהצורה a → , n → ^ = 90 ° - α. כאשר, לפי תנאי, a →, n → ^ > 90 °, אז יש לנו →, n → ^ = 90 ° + α.

מכאן יש לנו את הקוסינוסים זוויות שוותשווים, אז השוויון האחרון נכתב בצורה של מערכת

cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°

עליך להשתמש בנוסחאות הפחתה כדי לפשט ביטויים. אז נקבל שוויון בצורה cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°

לאחר ביצוע הטרנספורמציות, המערכת מקבלת את הצורה sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

מכאן נקבל שהסינוס של הזווית בין הישר למישור שווה למודול הקוסינוס של הזווית בין וקטור המכוון של הישר לווקטור הנורמלי של המישור הנתון.

הסעיף על מציאת הזווית שנוצרה על ידי שני וקטורים גילה שזווית זו לוקחת את הערך של המכפלה הסקלרית של הוקטורים והמכפלה של האורכים הללו. תהליך חישוב הסינוס של הזווית המתקבל על ידי חיתוך של ישר ומישור מתבצע על פי הנוסחה

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

המשמעות היא שהנוסחה לחישוב הזווית בין ישר למישור עם הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר והווקטור הנורמלי של המישור לאחר טרנספורמציה היא בצורה

α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

מציאת הקוסינוס עם סינוס ידוע מותר על ידי יישום הבסיס זהות טריגונומטרית. נוצר חיתוך של קו ישר ומישור פינה חדה. זה מצביע על כך שערכו יהיה מספר חיובי, והחישוב שלו נעשה מהנוסחה cos α = 1 - sin α.

בואו נפתור כמה דוגמאות דומות כדי לאחד את החומר.

דוגמה 1

מצא את הזווית, הסינוס, הקוסינוס של הזווית שנוצרה על ידי הישר x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 והמישור 2 x + z - 1 = 0.

פִּתָרוֹן

כדי לקבל את הקואורדינטות של וקטור הכיוון, יש צורך לשקול את המשוואות הקנוניות של קו ישר במרחב. אז נקבל ש- → = (3, - 2, 6) הוא וקטור הכיוון של הישר x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6.

כדי למצוא את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי, יש צורך לשקול משוואה כלליתמטוסים, שכן נוכחותם נקבעת על ידי המקדמים הזמינים מולם משתנים של המשוואה. אז נמצא שעבור המישור 2 x + z - 1 = 0 לוקטור הנורמלי יש את הצורה n → = (2, 0, 1).

יש צורך להמשיך לחישוב הסינוס של הזווית בין הקו הישר למישור. לשם כך, יש צורך להחליף את הקואורדינטות של הוקטורים a → ו- b → בנוסחה הנתונה. אנחנו מקבלים ביטוי של הצורה

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 2 2 + (- 2 + ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

מכאן אנו מוצאים את ערך הקוסינוס ואת ערך הזווית עצמה. אנחנו מקבלים:

cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5

תשובה: sin α = 12 7 5, cos α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.

דוגמה 2

יש פירמידה שנבנתה באמצעות ערכי הוקטורים A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1. מצא את הזווית בין ישר A D למישור A B C.

פִּתָרוֹן

כדי לחשב את הזווית הרצויה, יש צורך לקבל את הקואורדינטות של הווקטור המכוון של הקו הישר והווקטור הנורמלי של המישור. עבור ישר A D לוקטור הכיוון יש קואורדינטות A D → = 4, 1, 1.

הווקטור הנורמלי n → השייך למישור A B C מאונך לוקטור A B → ו- A C →. זה מרמז שהווקטור הנורמלי של המישור A B C יכול להיחשב כמכפלה הווקטורית של הוקטורים A B → ו- A C →. אנו מחשבים זאת באמצעות הנוסחה ומקבלים:

n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )

יש צורך להחליף את הקואורדינטות של הוקטורים כדי לחשב את הזווית הרצויה, נוצר על ידי הצומתישר ומישור. נקבל ביטוי של הצורה:

α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2

תשובה:א ר ק חטא 23 21 2 .

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter