ניתן להציג את הרעיון של זווית בין קו ישר למישור לכל אחד מיקום יחסיישר ומישור.

אם הישר l מאונך למישור, אזי הזווית בין l לבין נחשבת שווה ל-90.

אם הישר l מקביל למישור או נמצא במישור זה, אזי הזווית בין l לבין נחשבת לשווה לאפס.

אם הישר l נוטה למישור, אזי הזווית בין l לזו היא הזווית "בין הישר l להשלכתו p על המישור (איור 39).

אורז. 39. זווית בין קו ישר למישור

אז בואו נזכור את ההגדרה למקרה הלא טריוויאלי הזה: אם ישר נוטה, אז הזווית בין הישר למישור היא הזווית בין הישר הזה

ו ההקרנה שלו על מישור נתון.

7.1 דוגמאות לפתרון בעיות

הבה נסתכל על שלוש משימות, מסודרות בקושי הולך וגובר. רמת המשימה השלישית C2 בבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה.

בעיה 1. בטטרהדרון רגיל, מצא את הזווית בין קצה הצד למישור הבסיס.

משימה 2. נכון מנסרה משולשתקצה הצד של ABCA1 B1 C1 שווה לצד של הבסיס. מצא את הזווית בין הישר AA1 למישור ABC1.

פִּתָרוֹן. הזווית בין הישר למישור לא תשתנה אם הקו הישר יוזז במקביל זה לזה. מכיוון ש-CC1 מקביל ל-AA1, הזווית הנדרשת היא הזווית בין הישר CC1 למישור ABC1 (איור 41).

B 1"

אורז. 41. למשימה 2

תן M להיות נקודת האמצע של AB. נצייר את הגובה CH במשולש CC1 M. הבה נראה ש-CH מאונך למישור ABC1. כדי לעשות זאת, עליך להציג שני קווים מצטלבים של מישור זה, בניצב ל-CH.

הקו הישר הראשון ברור: C1 M. אכן, CH? C1 M לפי בנייה.

השורה השנייה היא AB. ואכן, ההקרנה של ה-CH המשופע על המישור ABC היא הקו הישר CM; בעוד AB ? ס"מ. מהמשפט על שלושה ניצבים נובע אם כן ש-AB ? CH.

אז CH? ABC1. לכן, הזווית בין CC1 ל-ABC1 היא " = \CC1 H. אנו מוצאים את הערך של CH מהיחס

C1 M CH = CC1 CM

(שני הצדדים של יחס זה שווים פי שניים משטח המשולש CC1 M). יש לנו:

CM = a 2 3;

נותר למצוא את הזווית ":

תשובה: arcsin 3 7 .

sin " = CH =3 : CC1 7

בעיה 3. נקודת K נלקחת על קצה A1 B1 של הקובייה ABCDA1 B1 C1 D1 כך ש-A1 K: KB1 = 3: 1. מצא את הזווית בין הישר AK למישור BC1 D1.

פִּתָרוֹן. לאחר ביצוע הציור (איור 42, משמאל), אנו מבינים שיש צורך בקונסטרוקציות נוספות.

ראשית, שימו לב שהקו AB נמצא במישור BC1 D1 (מאז AB k C1 D1 ). שנית, בואו נצייר את B1 M במקביל ל-AK (איור 42, מימין). נצייר גם את B1 C, ונניח ל-N להיות נקודת החיתוך של B1 C ו-BC1.

הבה נראה כי הישר B1 C מאונך למישור BC1 D1. אכן:

1) B 1 C ? BC1 (כמו האלכסונים של ריבוע);

2) B 1 C ? AB במשפט של שלושה ניצבים (אחרי הכל, AB מאונך לישר BC של הקרנת B1 C המשופע על המישור ABC).

לפיכך, B1 C מאונך לשני קווים מצטלבים של המישור BC1 D1; לכן, B1 C ? BC1 D1. לכן, ההטלה של הקו הישר MB

sin " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5

הגדרת הזווית בין קו ישר למישור מבוססת על הרעיון של הקרנה אלכסונית. הַגדָרָה. הזווית בין ישר למישור היא הזווית בין ישר זה לבין הקרנתו על מישור נתון.

באיור. 341 מציג את הזווית a בין AM המשופע וההקרנה שלו על המישור K.

הערה. אם ישר מקביל למישור או מונח בו, אזי הזווית שלו עם המישור נחשבת שווה לאפס. אם הוא מאונך למישור, אזי הזווית מוכרזת כנכונה (ההגדרה הקודמת ממש לא ישימה כאן!). במקרים אחרים, משתמעת זווית חדה בין הקו הישר להשלכתו. לכן, הזווית בין קו ישר למישור לעולם אינה עולה על זווית ישרה. נעיר גם שכאן יותר נכון לדבר על מידת הזווית, ולא על הזווית (אכן, אנחנו מדברים עלעל מידת הנטייה של קו ישר למישור; למושג זווית כדמות שטוחה התחום בשתי קרניים אין קשר ישיר כאן).

הבה נבדוק תכונה נוספת של זווית חדה בין קו ישר למישור.

מכל הזוויות שנוצרות על ידי קו ישר נתון וכל הקווים הישרים האפשריים במישור, הזווית עם הקרנה של קו ישר נתון היא הקטנה ביותר.

הוכחה. בואו נפנה לאור. 342. תנו ל-a להיות ישר נתון, ההשלכה שלו על המישור תהיה קו אחר שרירותי במישור K (מטעמי נוחות, שרטנו אותו דרך נקודה A של חיתוך ישר a עם המישור). בואו נשים את זה על קטע ישר, כלומר. שווה לבסיסמ"א נוטה, היכן ההשלכה של אחת הנקודות של המשופע א.

ואז במשולשים שתי צלעות שוות: הצלע AM משותפת, הן שוות בבנייה. אבל הצלע השלישית במשולש גדולה מהצלע השלישית במשולש (הצלע הנוטה גדולה מהמאונך). המשמעות היא שהזווית הנגדית b גדולה מהזווית המקבילה a b (ראה פסקה 217): , וזה מה שהיה צריך להוכיח.

הזווית בין ישר למישור היא הקטנה מבין הזוויות בין ישר נתון לכל הקווים הישרים האפשריים במישור.

הוגן וכך

מִשׁפָּט. פינה חדהבין קו ישר השוכב במישור והקרנה של קו ישר על מישור זה קטנה מהזווית שבין קו ישר זה לזה המשופע.

הוכחה. יהיה קו ישר השוכב במישור (איור 342), א להיות נוטה למישור, לא להיות הקרנתו על המישור. נתייחס לקו הישר כנוטה למישור, ואז זו תהיה הקרנתו על המישור המצוין, ובאמצעות התכונה הקודמת נגלה: מה שהיינו צריכים להוכיח. ממשפט שלושת הניצבים ברור שבמקרה שבו ישר במישור מאונך, השלכה של אלכסוני (המקרה אינו חריף, אלא זווית נכונה), הקו הישר הוא גם מאונך לקו הנוטה ביותר; במקרה זה, שתי הזוויות שאנו מדברים עליהן הן זוויות ישרות ולכן שוות זו לזו.

תן איזו מערכת קואורדינטות מלבנית וקו ישר . לתת ו - שני מישורים שונים המצטלבים בקו ישר וניתן בהתאם על ידי משוואות. שתי המשוואות הללו מגדירות יחד את הקו הישר אם ורק אם הם אינם מקבילים ואינם חופפים זה לזה, כלומר וקטורים רגילים
ו
המטוסים הללו אינם קולינאריים.

הַגדָרָה.אם המקדמים של המשוואות

אינן פרופורציונליות, אז נקראות המשוואות הללו משוואות כלליותקו ישר, מוגדר כקו החיתוך של מישורים.

הַגדָרָה.כל וקטור שאינו אפס מקביל לישר נקרא וקטור מדריךהקו הישר הזה.

הבה נגזר את משוואת הישר עובר דרך נקודה נתונה
מרחב ובעל וקטור כיוון נתון
.

תן את הנקודה
- נקודה שרירותית על קו ישר . נקודה זו שוכנת על קו אם ורק אם הווקטור
, בעל קואורדינטות
, קולינארי לוקטור הכיוון
יָשָׁר. לפי (2.28), התנאי לקולינאריות של וקטורים
ו נראה כמו

. (3.18)

משוואות (3.18) נקראות משוואות קנוניותקו ישר העובר דרך נקודה
ובעל וקטור כיוון
.

אם ישר ניתן על ידי משוואות כלליות (3.17), ואז וקטור הכיוון קו זה הוא אורתוגונלי לוקטורים הנורמליים
ו
מישורים המצוינים במשוואות. וֶקטוֹר
לפי מאפיין המוצר הווקטורי, הוא אורתוגונלי לכל אחד מהווקטורים ו . לפי ההגדרה, כווקטור כיוון יָשָׁר אתה יכול לקחת וקטור
, כלומר
.

כדי למצוא נקודה
לשקול את מערכת המשוואות
. מכיוון שהמישורים המוגדרים על ידי המשוואות אינם מקבילים ואינם חופפים, אז לפחות אחד מהשוויון אינו מתקיים
. זה מוביל לעובדה שלפחות אחד מהקובעים ,
,
שונה מאפס. ליתר ביטחון, נניח זאת
. לאחר מכן, לוקחים ערך שרירותי , נקבל מערכת משוואות עבור הלא ידועים ו :

.

לפי משפט קריימר, למערכת זו יש פתרון ייחודי המוגדר על ידי הנוסחאות

,
. (3.19)

אם אתה לוקח
, אז עובר דרך הנקודה הישר שניתן במשוואות (3.17).
.

לפיכך, למקרה מתי
, למשוואות הקנוניות של הישר (3.17) יש את הצורה

.

המשוואות הקנוניות של הישר (3.17) נכתבות באופן דומה עבור המקרה שבו הקובע אינו אפס
אוֹ
.

אם קו עובר דרך שתי נקודות שונות
ו
, אז למשוואות הקנוניות שלו יש את הצורה

. (3.20)

זה נובע מהעובדה שהקו הישר עובר דרך הנקודה
ויש לו וקטור כיוון.

הבה נבחן את המשוואות הקנוניות (3.18) של הישר. הבה ניקח כל אחד מהיחסים כפרמטר , כלומר
. אחד המכנים של השברים הללו אינו אפס, והמונה המתאים יכול לקבל כל ערך, כך שהפרמטר יכול לקבל כל ערך אמיתי. בהתחשב בכך שכל אחד מהיחסים שווה , אנחנו מקבלים משוואות פרמטריותיָשָׁר:

,
,
. (3.21)

תן למטוס ניתן על ידי משוואה כללית, והקו הישר - משוואות פרמטריות
,
,
. נְקוּדָה
מפגש של קו ישר ומטוסים חייב להיות שייך בו זמנית למטוס ולקו. זה אפשרי רק אם הפרמטר עונה על המשוואה, כלומר.
. לפיכך, לנקודת החיתוך של קו ישר ומישור יש קואורדינטות

,

,

.

דוגמה 32. כתוב משוואות פרמטריות לישר העובר בנקודות
ו
.

פִּתָרוֹן.עבור הווקטור המכוון של הקו הישר ניקח את הווקטור

. קו ישר עובר דרך נקודה לפיכך, לפי הנוסחה (3.21), למשוואות הקו הישר הנדרשות יש את הצורה
,
,
.

דוגמה 33. קודקודים של המשולש
יש קואורדינטות
,
ו
בהתאמה. חבר משוואות פרמטריות עבור החציון שנמשך מהקודקוד .

פִּתָרוֹן.לתת
- באמצע הצד
, לאחר מכן
,
,
. בתור וקטור המדריך של החציון, אנחנו לוקחים את הווקטור
. אז למשוואות הפרמטריות של החציון יש את הצורה
,
,
.

דוגמה 34. חבר את המשוואות הקנוניות של קו העובר דרך נקודה
במקביל לקו
.

פִּתָרוֹן.הקו הישר מוגדר כקו החיתוך של מישורים עם וקטורים נורמליים
ו
. בתור וקטור מדריך קח את הווקטור של הקו הזה
, כלומר
. לפי (3.18), למשוואה הנדרשת יש את הצורה
אוֹ
.

3.8. הזווית בין קווים ישרים במרחב. זווית בין קו ישר למישור

תנו שני קווים ישרים ו במרחב ניתנים על ידי המשוואות הקנוניות שלהם
ו
. ואז אחת הפינות בין השורות הללו שווה לזוויתבין וקטורי הכיוון שלהם
ו
. באמצעות נוסחה (2.22), כדי לקבוע את הזווית אנחנו מקבלים את הנוסחה

. (3.22)

פינה שנייה בין השורות הללו שווה
ו
.

תנאי לקווים מקבילים ו שווה ערך למצב הקולינאריות של וקטורים
ו
והוא טמון במידתיות של הקואורדינטות שלהם, כלומר לתנאי לקווים מקבילים יש את הצורה

. (3.23)

אם ישר ו הם מאונכים, אז וקטורי הכיוון שלהם הם אורתוגונליים, כלומר. מצב הניצב נקבע על ידי השוויון

. (3.24)

תחשוב על מטוס , נתון על ידי המשוואה הכללית, והקו הישר , נתון על ידי המשוואות הקנוניות
.

פינה בין הקו הישר ומטוס הוא משלים לזווית בין הווקטור המכוון של הקו הישר לווקטור הנורמלי של המישור, כלומר.
ו
, או

. (3.24)

תנאי להקבלה של קו ומטוסים שווה ערך לתנאי שווקטור הכיוון של הישר והווקטור הנורמלי של המישור מאונכים, כלומר, המכפלה הסקלרית של הוקטורים הללו חייבת להיות שווה לאפס:

אם הישר מאונך למישור, אזי וקטור הכיוון של הישר והווקטור הנורמלי של המישור חייבים להיות קולינאריים. במקרה זה, הקואורדינטות של הוקטורים פרופורציונליות, כלומר.

. (3.26)

דוגמה 35. מצא זווית קהה בין קווים ישרים
,
,
ו
,
,
.

פִּתָרוֹן.לוקטורי הכיוון של קווים אלה יש קואורדינטות
ו
. לכן פינה אחת בין קווים ישרים נקבע על ידי היחס, כלומר.
. לכן, מצב הבעיה מתקיים על ידי הזווית השנייה בין הקווים, שווה ל
.

3.9. מרחק מנקודה לקו במרחב

לתת
 נקודה במרחב עם קואורדינטות
, קו ישר נתון במשוואות קנוניות
. בוא נמצא את המרחק מנקודה
לקו ישר .