מִשׁפָּט

הזווית בין המטוסים אינה תלויה בבחירת מישור החיתוך.

הוכחה.

שיהיו שני מישורים α ו-β שנחתכים לאורך קו ישר c. הבה נצייר את המישור γ מאונך לקו הישר c. ואז המישור γ חותך את המישורים α ו-β לאורך הקווים הישרים a ו-b, בהתאמה. זווית בין המישורים α ו-β שווה לזוויתבין השורות a ו-b.
ניקח מישור חיתוך נוסף γ`, מאונך ל-c. אז המישור γ` יחצה את המישורים α ו-β לאורך הישרים a` ו-b`, בהתאמה.
בתרגום מקביל, נקודת החיתוך של המישור γ עם הישר c תלך לנקודת החיתוך של המישור γ` עם הישר c. במקרה זה, לפי המאפיין של תרגום מקביל, קו a יכנס לקו a`, b - לקו b`. לכן הזוויות בין השורות a ו-b, a` ו-b` שוות. המשפט הוכח.

מאמר זה עוסק בזווית בין מטוסים וכיצד למצוא אותה. ראשית, ניתנת הגדרת הזווית בין שני מישורים וניתנת המחשה גרפית. לאחר מכן נותח העיקרון של מציאת הזווית בין שני מישורים מצטלבים בשיטת הקואורדינטות, והתקבלה נוסחה המאפשרת לחשב את הזווית בין מישורים מצטלבים באמצעות הקואורדינטות הידועות של הווקטורים הנורמליים של מישורים אלו. לסיכום, מוצגים פתרונות מפורטים לבעיות טיפוסיות.

ניווט בדף.

זווית בין מישורים - הגדרה.

בהצגת החומר נשתמש בהגדרות ובמושגים המובאים במאמרים: מישור במרחב וקו במרחב.

הבה נציג טיעונים שיאפשרו לנו להתקרב בהדרגה לקביעת הזווית בין שני מישורים מצטלבים.

תנו לנו שני מישורים מצטלבים ו. מישורים אלה מצטלבים לאורך קו ישר, אותו אנו מציינים באות ג. בואו נבנה מישור שעובר דרך הנקודה Mיָשָׁר גובמאונך לקו ג. במקרה זה, המטוס יחצה את המטוסים ו. נסמן את הקו הישר שלאורכו מצטלבים המישורים וכמו א, והקו הישר שלאורכו מצטלבים המישורים וכיצד ב. ברור שישר או במצטלבים בנקודה M.

קל להראות שהזווית בין קווים מצטלבים או באינו תלוי במיקום הנקודה Mעל קו ישר גשדרכו עובר המטוס.

בואו נבנה מישור מאונך לישר גושונה מהמטוס. המישור נחתך על ידי מישורים ולאורך קווים ישרים, אותם אנו מציינים א 1ו ב 1בהתאמה.

משיטת בניית המטוסים עולה כי קווים ישרים או בבניצב לקו ג, וישר א 1ו ב 1בניצב לקו ג. מאז ישר או א 1 ג, אז הם מקבילים. כמו כן, ישר בו ב 1שוכבים באותו מישור ומאונכים לקו גלכן הם מקבילים. כך, ניתן לבצע העברה מקבילה של המטוס למישור, שבו הקו הישר א 1עולה בקנה אחד עם הקו הישר א, והקו הישר בעם קו ישר ב 1. לכן, הזווית בין שני קווים מצטלבים א 1ו ב 1שווה לזווית בין קווים מצטלבים או ב.

זה מוכיח כי הזווית בין קווים מצטלבים או ב, שוכב במישורים מצטלבים ו , אינו תלוי בבחירת הנקודה Mשדרכו עובר המטוס. לכן, זה הגיוני לקחת את הזווית הזו בתור הזווית בין שני מישורים מצטלבים.

עכשיו אתה יכול להשמיע את הגדרת הזווית בין שני מישורים מצטלבים ו.

הַגדָרָה.

זווית בין שני קווים ישרים מצטלבים גמטוסים והיא הזווית בין שני קווים מצטלבים או ב, שלאורכם המישורים ומצטלבים עם מישור מאונך לישר ג.

את הגדרת הזווית בין שני מישורים אפשר לתת קצת אחרת. אם על קו ישר עם, שלאורכו המישורים ומצטלבים, מסמנים את הנקודה Mולשרטט קווים ישרים דרכו או ב, בניצב לקו גושכיבה במישורים ובהתאמה, אז הזווית בין קווים ישרים או במייצג את הזווית בין המישורים ו. בדרך כלל בפועל, רק קונסטרוקציות כאלה מבוצעות על מנת לקבל את הזווית בין המישורים.

מכיוון שהזווית בין ישרים מצטלבים אינה עולה על , עולה מההגדרה המוצהרת שמידת המעלות של הזווית בין שני מישורים מצטלבים באה לידי ביטוי במספר ממשי מהמרווח. במקרה זה, מטוסים מצטלבים נקראים אֲנָכִי, אם הזווית ביניהם היא תשעים מעלות. הזווית בין מישורים מקבילים אינה נקבעת כלל או נחשבת שווה לאפס.

ראש העמוד

מציאת הזווית בין שני מישורים מצטלבים.

בדרך כלל, כשמוצאים זווית בין שני מישורים מצטלבים, יש לבצע תחילה קונסטרוקציות נוספות כדי לראות את הקווים הישרים המצטלבים, שהזווית ביניהם שווה לזווית הרצויה, ולאחר מכן לחבר את הזווית הזו עם הנתונים המקוריים באמצעות מבחני שוויון, דמיון מבחנים, משפט הקוסינוס או הגדרות של סינוס, קוסינוס וטנגנס של הזווית. במהלך הגיאומטריה בית ספר תיכוןבעיות דומות מתרחשות.

כדוגמה, בואו ניתן את הפתרון לבעיה C2 מבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה לשנת 2012 (התנאי שונה בכוונה, אבל זה לא משפיע על עקרון הפתרון). בו, אתה רק צריך למצוא את הזווית בין שני מישורים מצטלבים.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, שבה AB=3, AD=2, AA 1 =7ותקופה המחלק את הצד AA 1במערכת יחסים 4 ל 3 , בספירה מהנקודה א א ב גו מיטה 1.

ראשית, בואו נעשה ציור.

בואו נבצע קונסטרוקציות נוספות כדי "לראות" את הזווית בין המישורים.

ראשית, נגדיר קו ישר שלאורכו מצטלבים המישורים א ב גו מיטה 1. נְקוּדָה IN- זו אחת הנקודות המשותפות שלהם. בוא נמצא את השני נקודה משותפתהמטוסים האלה. ישיר ד.א.ו D 1 Eלשכב באותו מישור הוסף 1, והם אינם מקבילים, אלא, לפיכך, מצטלבים. מצד שני, ישר ד.א.שוכב במטוס א ב ג, והקו הישר D 1 E- במטוס מיטה 1, לפיכך, נקודת החיתוך של הקווים ד.א.ו D 1 Eתהיה הנקודה המשותפת של המטוסים א ב גו מיטה 1. אז בואו נמשיך ישר ד.א.ו D 1 Eלפני שהם מצטלבים, נסמן את נקודת החיתוך שלהם באות ו. לאחר מכן ב.פ.- קו ישר שלאורכו מצטלבים מישורים א ב גו מיטה 1.

נותר לבנות שני קווים ישרים השוכבים במישורים א ב גו מיטה 1בהתאמה, עובר דרך נקודה אחת על הקו ב.פ.ובמאונך לקו ב.פ., - הזווית בין הקווים הישרים הללו תהיה, בהגדרה, שווה לזווית הרצויה בין המישורים א ב גו מיטה 1. בוא נעשה את זה.

נְקוּדָה אהוא השלכה של הנקודה הלמטוס א ב ג. צייר קו חוצה את הקו בזוית ישרה VFבנקודה M. ואז ישר AMהוא הקרנה של הקו לאכוללמטוס א ב ג, ולפי משפט שלושת הניצבים.

לפיכך, הזווית הרצויה בין המטוסים א ב גו מיטה 1שווה ל .

אנו יכולים לקבוע את הסינוס, הקוסינוס או הטנגנס של זווית זו (ולכן את הזווית עצמה). משולש ישר זווית AEM, אם נדע את אורכי שתי צלעותיו. מהמצב קל למצוא את האורך AE: מאז נקודה המחלק את הצד AA 1במערכת יחסים 4 ל 3 , בספירה מהנקודה א, ואורך הצד AA 1שווה ל 7 , זה AE=4. בוא נמצא אורך אחר AM.

כדי לעשות זאת, שקול משולש ישר זווית ABFעם זווית ישרה א, איפה AMהוא הגובה. לפי תנאי AB=2. אורך צד AFאנו יכולים למצוא מהדמיון של משולשים ישרים DD 1 Fו AEF:

לפי משפט פיתגורס ממשולש ABFאנחנו מוצאים . אורך AMלמצוא דרך שטח המשולש ABF: בצד אחד שטח המשולש ABFשווה ל, לעומת זאת, מאיפה .

כך, ממשולש ישר זווית AEMיש לנו .

ואז הזווית הרצויה בין המטוסים א ב גו מיטה 1שווה (שימו לב ש).

במקרים מסוימים, כדי למצוא את הזווית בין שני מישורים מצטלבים, נוח לציין מערכת קואורדינטות מלבנית Oxyzולהשתמש בשיטת הקואורדינטות. בואו נעצור שם.

תן לנו להגדיר את המשימה: למצוא את הזווית בין שני מישורים מצטלבים ו. הבה נסמן את הזווית הרצויה כ.

נניח שבמערכת קואורדינטות מלבנית נתונה Oxyzאנו יודעים את הקואורדינטות של הוקטורים הנורמליים של מישורים מצטלבים או שיש לנו הזדמנות למצוא אותם. תן להיות הווקטור הנורמלי של המישור, ותן להיות הווקטור הנורמלי של המישור. נראה כיצד למצוא את הזווית בין מישורים מצטלבים ובאמצעות הקואורדינטות של הווקטורים הנורמליים של המישורים הללו.

הבה נסמן את הקו הישר שלאורכו המישורים ומצטלבים כ ג. דרך הנקודה Mעל קו ישר גצייר מישור מאונך לקו ג. המטוס חוצה את המישורים ולאורך קווים ישרים או בבהתאמה, ישר או במצטלבים בנקודה M. בהגדרה, הזווית בין מישורים מצטלבים ושווה לזווית בין קווים מצטלבים או ב.

בוא נדחה מהנקודה Mבמישור הווקטורים והמישורים הנורמליים ו. במקרה זה, הווקטור נמצא על קו הניצב לישר א, והווקטור נמצא על קו המאונך לישר ב. לפיכך, במישור הווקטור הוא הווקטור הנורמלי של הישר א, - וקטור קו רגיל ב.

במאמר מציאת הזווית בין ישרים חותכים, קיבלנו נוסחה המאפשרת לחשב את הקוסינוס של הזווית בין ישרים חותכים באמצעות קואורדינטות של וקטורים נורמליים. לפיכך, הקוסינוס של הזווית בין השורות או ב, וכתוצאה מכך, קוסינוס הזווית בין מישורים מצטלביםונמצא על ידי הנוסחה , היכן והם הווקטורים הנורמליים של המישורים ו, ​​בהתאמה. לאחר מכן זווית בין מישורים מצטלביםמחושב כ.

בואו נפתור את הדוגמה הקודמת בשיטת הקואורדינטות.

נתון מקבילי מלבני ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, שבה AB=3, AD=2, AA 1 =7ותקופה המחלק את הצד AA 1במערכת יחסים 4 ל 3 , בספירה מהנקודה א. מצא את הזווית בין המישורים א ב גו מיטה 1.

מכיוון שצלעות מקביליות מלבני בקודקוד אחד מאונכות בזוגות, נוח להציג מערכת קואורדינטות מלבנית Oxyzכך: ההתחלה מיושרת עם החלק העליון עם, וצירי הקואורדינטות שׁוֹר, אויו עוזהצבע לצדדים CD, C.B.ו CC 1בהתאמה.

זווית בין מטוסים א ב גו מיטה 1ניתן למצוא דרך הקואורדינטות של הוקטורים הנורמליים של המישורים הללו באמצעות הנוסחה, היכן והינם הוקטורים הנורמליים של המישורים א ב גו מיטה 1בהתאמה. בואו נקבע את הקואורדינטות של וקטורים נורמליים.

מאז המטוס א ב געולה בקנה אחד עם מישור הקואורדינטות אוקסי, אז הווקטור הרגיל שלו הוא וקטור הקואורדינטות, כלומר.

בתור וקטור נורמלי של המטוס מיטה 1אתה יכול לקחת את המכפלה הווקטורית של הוקטורים, ובתמורה, את הקואורדינטות של הוקטורים וניתן למצוא אותו דרך הקואורדינטות של הנקודות IN, הו ד 1(כפי שנכתב במאמר, הקואורדינטות של וקטור דרך הקואורדינטות של נקודות ההתחלה והסוף שלו), והקואורדינטות של הנקודות IN, הו ד 1במערכת הקואורדינטות שהוצגה אנו קובעים מתנאי הבעיה.

מובן מאליו, . מאז , אנו מוצאים מהקואורדינטות של הנקודות (במידת הצורך, ראה את חלוקת המאמר של קטע ביחס נתון). ואז משוואות אוקסיז ו.

כאשר למדנו את המשוואה הכללית של הישר, גילינו שהמקדמים א, INו עםמייצגים את הקואורדינטות המתאימות של הווקטור הנורמלי של המישור. לפיכך, והם וקטורים נורמליים של המטוסים ו, ​​בהתאמה.

אנו מחליפים את הקואורדינטות של הוקטורים הנורמליים של המישורים בנוסחה כדי לחשב את הזווית בין שני מישורים מצטלבים:

לאחר מכן . מכיוון שהזווית בין שני מישורים מצטלבים אינה קהה, באמצעות הזהות הטריגונומטרית הבסיסית אנו מוצאים את הסינוס של הזווית:.

סוג המשרה: 14
נושא: זווית בין מישורים

מַצָב

בהינתן פריזמה רגילה ABCDA_1B_1C_1D_1, M ו-N הם נקודות האמצע של הקצוות AB ו-BC, בהתאמה, נקודה K היא נקודת האמצע של MN.

א)הוכח שהקווים KD_1 ו-MN מאונכים.

ב)מצא את הזווית בין המישורים MND_1 ו-ABC if AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

הצג פתרון

פִּתָרוֹן

א)ב-\triangle DCN ו-\triangle MAD יש לנו: \angle C=\angle A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD=DA.

מכאן \triangle DCN=\triangle MAD על שתי רגליים. לאחר מכן MD=DN, \משולש DMNשְׁוֵה שׁוֹקַיִם. זה אומר שהחציון DK הוא גם הגובה. לכן, DK \perp MN.

DD_1 \perp MND לפי תנאי, D_1K - אלכסוני, KD - השלכה, DK \perp MN.

מכאן, לפי המשפט על שלושה ניצבים MN\perp D_1K.

ב)כפי שהוכח ב א), DK \perp MN ו-MN \perp D_1K, אבל MN הוא קו החיתוך של המישורים MND_1 ו-ABC, כלומר \זווית DKD_1 היא הזווית הליניארית של הזווית הדו-הדרלית בין המישורים MND_1 ו-ABC.

ב\משולש DAM לפי משפט פיתגורס DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt (64+16)= 4\sqrt 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt (16+16)= 4\sqrt 2.לכן, במשולש DKM לפי משפט פיתגורס DK= \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt (80-8)= 6\sqrt 2.ואז ב-\triangle DKD_1, tg\angle DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1.

זה אומר \angle DKD_1=45^(\circ).

תשובה

45^(\circ).

סוג המשרה: 14
נושא: זווית בין מישורים

מַצָב

במנסרה מרובעת רגילה ABCDA_1B_1C_1D_1 צלעות הבסיס שוות ל-4, קצוות הצד שווים ל-6. נקודה M היא אמצע הקצה CC_1, נקודה N מסומנת בקצה BB_1, כך ש-BN:NB_1=1:2.

א)באיזה יחס מישור AMN מחלק את הקצה DD_1?

ב)מצא את הזווית בין המישורים ABC ו-AMN.

הצג פתרון

פִּתָרוֹן

א)מישור AMN חוצה את קצה DD_1 בנקודה K, שהיא הקודקוד הרביעי של החתך של פריזמה נתונה במישור זה. החתך הוא מקבילית ANMK מכיוון שהפנים הנגדיות של פריזמה נתונה מקבילים.

BN =\frac13BB_1=2.נצייר KL \מקביל CD, ואז משולשים ABN ו-KLM שווים, כלומר ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD=LC=1.לאחר מכן KD_1=6-1=5. כעת אתה יכול למצוא את היחס KD:KD_1=1:5.

ב) F היא נקודת החיתוך של קווים ישרים CD ו-KM. מטוסים ABC ו-AMN מצטלבים לאורך קו ישר AF. זווית \angle KHD =\alpha היא הזווית הליניארית של זווית דו-הדרלית (HD\perp AF, אז לפי המשפט הפוך למשפט שלושת הניצבים, KH \perp AF), והיא זווית חדה של משולש ישר זווית KHD, רגל KD=1.

משולשים FKD ו-FMC דומים (KD \parallel MC), לכן FD:FC=KD:MC, בפתרון הפרופורציה FD:(FD+4)=1:3, נקבל FD=2. במשולש ישר-זוויתי AFD (\angle D=90^(\circ)) עם רגליים 2 ו-4, אנו מחשבים את התחתון AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)= \frac4(\sqrt 5).

במשולש ישר זווית KHD אנו מוצאים tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4,זה אומר הזווית הרצויה \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

תשובה

א) 1:5;

ב) arctg\frac(\sqrt 5)4.

מקור: "מתמטיקה. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת 2017. רמת פרופיל." אד. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

סוג המשרה: 14
נושא: זווית בין מישורים

מַצָב

נתון פירמידה מרובעת רגילה KMNPQ עם צד בסיס MNPQ שווה ל-6 וקצה צדדי 3\sqrt (26).

א)בנו קטע מהפירמידה עם מישור העובר דרך הישר NF במקביל לאלכסון MP, אם נקודה F היא אמצע הקצה MK.

ב)מצא את הזווית בין מישור החתך למישור KMP.

הצג פתרון

פִּתָרוֹן

א)תן ל-KO להיות גובה הפירמידה, F נקודת האמצע של MK; FE \parallel MP (במישור PKM) . מאז FE הוא קו אמצעי\triangle PKM, אם כן FE=\frac(MP)2.

הבה נבנה קטע מהפירמידה עם מישור העובר דרך NF ומקביל ל-MP, כלומר המישור NFE. L היא נקודת החיתוך של EF ו-KO. מכיוון שנקודות L ו-N שייכות לקטע הרצוי ונמצאות במישור KQN, אזי נקודה T, המתקבלת כנקודת החיתוך של LN ו-KQ, היא גם נקודת החיתוך של הקטע הרצוי והקצה KQ. NETF הוא הסעיף הנדרש.

ב)מטוסים NFE ו-MPK מצטלבים לאורך הקו הישר FE. זה אומר שהזווית בין המישורים האלה שווה לזווית הליניארית של הזווית הדו-הדרלית OFEN, בואו נבנה אותה: LO\perpMP, MP\מקביל FE,לָכֵן, LO\perpFE;\triangle NFE הוא שווה שוקיים (NE=NF כחציוניים המתאימים של משולשים שווים KPN ו-KMN), NL הוא החציון שלו (EL=LF, שכן PO=OM, ו \משולש KEF \sim \משולש KPM). מכאן ש-NL \perp FE ו-\angle NLO הם הרצויים.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\triangle KON - מלבני.

רגל KO לפי משפט פיתגורס שווה ל KO=\sqrt (KN^2-ON^2).

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt (24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

tg\angle NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3),

\angle NLO=30^(\circ).

תשובה

מקור: "מתמטיקה. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת 2017. רמת פרופיל." אד. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

סוג המשרה: 14
נושא: זווית בין מישורים

מַצָב

כל הצלעות נכונות מנסרה משולשת ABCA_(1)B_(1)C_(1) שווים ל-6 . מישור חיתוך נמשך דרך נקודות האמצע של הקצוות AC ו-BB_(1) והקודקוד A_(1).

א)הוכיחו שהקצה BC מחולק במישור החיתוך ביחס 2:1, בספירת הקודקוד C.

ב)מצא את הזווית בין מישור החיתוך למישור הבסיס.

הצג פתרון

פִּתָרוֹן

א)תנו ל-D ו-E להיות נקודות האמצע של הקצוות AC ו-BB_(1), בהתאמה.

במישור AA_(1)C_(1) נשרטט ישר A_(1)D, החותך את הישר CC_(1) בנקודה K, במישור BB_(1)C_(1) - ישר KE, שחותך את הקצה BC בנקודה F. חיבור נקודות A_(1) ו-E, השוכנות במישור AA_(1)B_(1), וכן D ו-F, השוכנות במישור ABC, נקבל סעיף A_(1)EFD.

\bigtriangleup AA_(1)D=\bigtriangleup CDKעל רגל AD=DC ו פינה חדה.

\angle ADA_(1)=\angle CDK - כמו אנכיים, יוצא ש-AA_(1)=CK=6. \bigtriangleup CKF ו-\bigtriangleup BFE דומים בשתי זוויות \angle FBE=\angle KCF=90^\circ,\angle BFE=\angle CFK - כמו אנכיים.

\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2,כלומר, מקדם הדמיון הוא 2, כלומר CF:FB=2:1.

ב)בואו נבצע AH \perp DF. הזווית בין מישור החתך למישור הבסיס שווה לזווית AHA_(1). אכן, הקטע AH \perp DF (DF הוא קו החיתוך של המישורים הללו) הוא ההשלכה של הקטע A_(1)H על מישור הבסיס, לכן, לפי משפט שלושת הניצבים, A_(1)H \perp DF. \angle AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH). AA_(1)=6.

בוא נמצא את AH. \angle ADH =\angle FDC (זהה לאנכי).

לפי משפט הקוסינוס ב-\bigtriangleup DFC:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF\cdot DC\cdot\cos\angle FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \angle FDC,

\cos \angle FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

בעקבות הזהות הטריגונומטרית הבסיסית

\sin \angle FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13))\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) .מתוך \bigtriangleup ADH אנו מוצאים את AH :

AH=AD \cdot \sin \angle ADH, (\angle FDC=\angle ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)).

\angle AHA_(1)= arctg\frac(AA_(1))(AH)= arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))= arctg\frac(\sqrt(39))(3).

תשובה

arctg\frac(\sqrt(39))(3).

מקור: "מתמטיקה. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת 2017. רמת פרופיל." אד. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

סוג המשרה: 14
נושא: זווית בין מישורים

מַצָב

הבסיס של פריזמה ישרה ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) הוא מעוין עם זווית קהה B שווה ל-120^\circ. כל הקצוות של פריזמה זו שווים ל-10. נקודות P ו-K הן נקודות האמצע של הקצוות CC_(1) ו-CD, בהתאמה.

א)הוכח שהקווים PK ו-PB_(1) מאונכים.

ב)מצא את הזווית בין המישורים PKB_(1) ו-C_(1)B_(1)B.

הצג פתרון

פִּתָרוֹן

א)נשתמש בשיטת הקואורדינטות. בוא נמצא את המכפלה הסקלרית של הוקטורים \vec(PK) ו-\vec(PB_(1)), ולאחר מכן את הקוסינוס של הזווית בין הוקטורים הללו. בואו נכוון את ציר Oy לאורך CD, את ציר Oz לאורך CC_(1), ואת ציר Ox \perp CD. C הוא המקור.

ואז C (0;0;0); C_(1)(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0),זה B(5\sqrt(3); 5;0), B_(1)(5\sqrt(3); 5;10).

בוא נמצא את הקואורדינטות של הוקטורים: \vec(PK)=\(0;5;-5\); \vec(PB_(1))=\(5\sqrt(3); 5;5\).

תן לזווית בין \vec(PK) ל-\vec(PB_(1)) להיות שווה ל-\alpha.

אנחנו מקבלים \cos \alpha=\frac(\vec(PK) \cdot \vec(PB_(1)))(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)= \frac(0 \cdot 5\sqrt(3) + 5 \cdot 5-5 \cdot 5)(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)=0.

\cos \alpha =0, ​​שפירושו \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)) והקווים PK ו-PB_(1) מאונכים.

ב)הזווית בין מישורים שווה לזווית בין וקטורים שאינם אפס המאונכים למישורים אלו (או, אם הזווית קהה, לזווית הסמוכה לה). וקטורים כאלה נקראים נורמלים למישורים. בואו נמצא אותם.

תנו ל-\vec(n_(1))=\(x; y; z\) להיות מאונך למישור PKB_(1). בוא נמצא את זה על ידי פתרון המערכת \begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(מקרים)

\begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \end(מקרים)

\begin(cases) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \end(מקרים)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end(מקרים)

בוא ניקח y=1; z=1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)), \vec(n_(1))=\left \( \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \right \).

תנו ל-\vec(n_(2))=\(x; y; z\) להיות מאונך למישור C_(1)B_(1)B. בוא נמצא את זה על ידי פתרון המערכת \begin(cases) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)), \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \end(מקרים)

\vec(CC_(1))=\(0;0;10\), \vec(CB)=\(5\sqrt(3); 5; 0\).

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \end(מקרים)

\begin(cases) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \end(מקרים)

\begin(cases)z=0, \\ y=-\sqrt(3)x. \end(מקרים)

בוא ניקח x=1; y=-\sqrt(3); z=0, \vec(n_(2))=\(1; -\sqrt(3);0\).

בוא נמצא את הקוסינוס של הזווית הרצויה \beta (הוא שווה למודול הקוסינוס של הזווית בין \vec(n_(1)) ל-\vec(n_(2)) ).

\cos \beta= \frac(|\vec(n_(1)) \cdot \vec(n_(2))|)(|\vec(n_(1))| \cdot |\vec(n_(2))|)= \frac(\left |-\dfrac(2)(\sqrt(3))\cdot 1+1 \cdot (-\sqrt(3))+1 \cdot 0 \right |)(\sqrt(\dfrac( 4)(3)+1+1) \cdot \sqrt(1+3+0))= \frac(\dfrac(5)(\sqrt(3)))(2\sqrt(\dfrac(10)(3)))= \frac(\sqrt(10))(4).

\cos \beta =\frac(\sqrt(10))(4), \beta=\arccos\frac(\sqrt(10))(4).

תשובה

\arccos\frac(\sqrt(10))(4)

מקור: "מתמטיקה. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת 2017. רמת פרופיל." אד. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

ABCD הוא ריבוע ו פני צד- מלבנים שווים.

מכיוון שמישור החתך עובר בנקודות M ו-D במקביל לאלכסון AC, אז כדי לבנות אותו במישור A_(1)AC דרך נקודה M אנו מציירים קטע MN במקביל ל-AC. אנו מקבלים AC \parallel (MDN) בהתבסס על ההקבלה של הקו והמישור.

מישור ה-MDN חוצה את המישורים המקבילים A_(1)AD ו-B_(1)BC, ולאחר מכן, לפי התכונה של מישורים מקבילים, קווי החיתוך של הפנים A_(1)ADD_(1) ו-B_(1)BCC_( 1) על ידי מישור MDN מקבילים.

נצייר קטע NE במקביל לקטע MD.

מרובע DMEN הוא הקטע הנדרש.

ב)בוא נמצא את הזווית בין מישור החתך למישור הבסיס. תן למישור החתך לחצות את מישור הבסיס לאורך איזה קו ישר p העובר דרך נקודה D. AC \parallel MN, לפיכך, AC \parallel p (אם מישור עובר דרך קו מקביל למישור אחר וחוצה מישור זה, אז קו החיתוך של המישורים מקביל לישר זה). BD \perp AC כאלכסונים של ריבוע, כלומר BD \perp p. BD היא ההשלכה של ED על המישור ABC, אז לפי המשפט של שלושה אנכים ED \perp p, לכן, \angle EDB היא הזווית הליניארית של הזווית הדו-הדרלית בין מישור החתך למישור הבסיס.

הגדר את סוג ה-DMEN מרובע. MD \parallel EN, בדומה ל-ME \parallel DN, כלומר DMEN היא מקבילה, ומכיוון ש-MD=DN (משולשים ישרים MAD ו-NCD שווים על שתי רגליים: AD=DC כצלעות הריבוע, AM=CN כמו המרחקים בין קווים מקבילים AC ו-MN), לכן DMEN הוא מעוין. לפיכך, F היא נקודת האמצע של MN.

לפי תנאי AM:MA_(1)=2:3, אם כן AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6).

AMNC הוא מלבן, F הוא האמצע של MN, O הוא האמצע של AC. אומר, FO\מקביל MA, FO\perp AC, FO=MA=2\sqrt(6).

לדעת שהאלכסון של ריבוע הוא a\sqrt(2),כאשר a הוא צלע הריבוע, נקבל BD=4\sqrt(2). OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2).

במשולש ישר זווית FOD\enspace tg \angle FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3).לכן, \angle FDO=60^\circ.

\(\blacktriangleright\) זווית דו-הדרלית היא זווית שנוצרת על ידי שני חצאי מישורים וקו ישר \(a\), שהוא הגבול המשותף שלהם.

\(\blacktriangleright\) כדי למצוא את הזווית בין המישורים \(\xi\) ו-\(\pi\) , עליכם למצוא את הזווית הליניארית (ו חָרִיףאוֹ יָשָׁר) זווית דיהדרלית שנוצרה על ידי המישורים \(\xi\) ו-\(\pi\) :

שלב 1: תן \(\xi\cap\pi=a\) (קו החיתוך של המישורים). במישור \(\xi\) נסמן נקודה שרירותית \(F\) ונצייר \(FA\perp a\) ;

שלב 2: בצע את \(FG\perp \pi\) ;

שלב 3: לפי TTP (\(FG\) – בניצב, \(FA\) – אלכסוני, \(AG\) – השלכה) יש לנו: \(AG\perp a\) ;

שלב 4: הזווית \(\angle FAG\) נקראת הזווית הליניארית של הזווית הדו-הדרלית שנוצרת על ידי המישורים \(\xi\) ו-\(\pi\) .

שימו לב שהמשולש \(AG\) הוא ישר זווית.
שימו לב גם שהמישור \(AFG\) הבנוי בצורה זו מאונך לשני המישורים \(\xi\) ו-\(\pi\) . לכן, אנו יכולים לומר זאת אחרת: זווית בין מישורים\(\xi\) ו-\(\pi\) היא הזווית בין שני קווים מצטלבים \(c\in \xi\) ו-\(b\in\pi\) היוצרים מישור מאונך ו-\(\xi\ ), ו-\(\pi\) .

משימה 1 #2875

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

נתון פירמידה מרובעת, שכל הקצוות שלה שווים, והבסיס הוא ריבוע. מצא את \(6\cos \alpha\) , כאשר \(\alpha\) היא הזווית בין פני הצד הסמוכים לו.

תן \(SABCD\) להיות פירמידה נתונה (\(S\) היא קודקוד) שהקצוות שלה שווים ל-\(a\) . כתוצאה מכך, כל פני הצלעות הם משולשים שווי צלעות שווים. בוא נמצא את הזווית בין הפרצופים \(SAD\) ו-\(SCD\) .

בוא נעשה \(CH\perp SD\) . כי \(\triangle SAD=\triangle SCD\), אז \(AH\) יהיה גם הגובה של \(\משולש SAD\) . לכן, בהגדרה, \(\angle AHC=\alpha\) היא הזווית הליניארית של הזווית הדו-הדרלית בין הפנים \(SAD\) ו-\(SCD\) .
מכיוון שהבסיס הוא ריבוע, אז \(AC=a\sqrt2\) . שימו לב גם ש\(CH=AH\) הוא גובהו של משולש שווה צלעות עם הצלע \(a\), לכן, \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
לאחר מכן, לפי משפט הקוסינוס מ-\(\משולש AHC\): \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

תשובה: -2

משימה 2 #2876

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

המישורים \(\pi_1\) ו-\(\pi_2\) מצטלבים בזווית שהקוסינוס שלה שווה ל\(0.2\). המישורים \(\pi_2\) ו-\(\pi_3\) מצטלבים בזוויות ישרות, וקו החיתוך של המישורים \(\pi_1\) ו-\(\pi_2\) מקביל לקו החיתוך של ה- מטוסים \(\pi_2\) ו-\(\ pi_3\) . מצא את הסינוס של הזווית בין המישורים \(\pi_1\) ו-\(\pi_3\) .

תנו לקו החיתוך של \(\pi_1\) ו-\(\pi_2\) להיות ישר \(a\), קו החיתוך של \(\pi_2\) ו-\(\pi_3\) יהיה ישר קו \(b\), וקו החיתוך \(\pi_3\) ו-\(\pi_1\) – ישר \(c\) . מאז \(a\מקביל b\) , אז \(c\parallel a\parallel b\) (לפי המשפט מהקטע של ההתייחסות התיאורטית "גיאומטריה במרחב" \(\rightarrow\) "מבוא לסטריאומטריה, מַקבִּילוּת").

נסמן את הנקודות \(A\in a, B\in b\) כך ש-\(AB\perp a, AB\perp b\) (זה אפשרי מאז \(a\מקביל b\) ). הבה נסמן \(C\in c\) כך ש-\(BC\perp c\) , לכן, \(BC\perp b\) . ואז \(AC\perp c\) ו-\(AC\perp a\) .
ואכן, מכיוון ש\(AB\perp b, BC\perp b\) אז \(b\) מאונך למישור \(ABC\) . מכיוון ש\(c\parallel a\parallel b\), אז גם הקווים \(a\) ו-\(c\) מאונכים למישור \(ABC\), ולכן לכל ישר מהמישור הזה, בפרט , הקו \ (AC\) .

מכאן נובע \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). מסתבר ש\(\משולש ABC\) הוא מלבני, כלומר \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

תשובה: 0.2

משימה 3 #2877

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

בהינתן קווים ישרים \(a, b, c\) החותכים בנקודה אחת, והזווית בין כל שניים מהם שווה ל-\(60^\circ\) . מצא את \(\cos^(-1)\alpha\) , כאשר \(\alpha\) היא הזווית בין המישור שנוצר על ידי קווים \(a\) ו-\(c\) לבין המישור שנוצר על ידי קווים \( b\ ) ו-\(c\) . תן את תשובתך במעלות.

תנו לישרים להצטלב בנקודה \(O\) . מכיוון שהזווית בין כל שניים מהם שווה ל-\(60^\circ\), אז כל שלושת הקווים הישרים אינם יכולים לשכב באותו מישור. נסמן את הנקודה \(A\) על הקו \(a\) ונצייר \(AB\perp b\) ו-\(AC\perp c\) . לאחר מכן \(\triangle AOB=\triangle AOC\)כמו מלבני לאורך הירוק והזווית החדה. לכן, \(OB=OC\) ו-\(AB=AC\) .
בוא נעשה \(AH\perp (BOC)\) . ואז לפי המשפט על שלושה אנכים \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . מאז \(AB=AC\), אז \(\משולש AHB=\משולש AHC\)מלבני לאורך התחתון והרגל. לכן, \(HB=HC\) . משמעות הדבר היא ש-\(OH\)‎הוא החציו של הזווית \(BOC\) (מכיוון שהנקודה \(H\) נמצאת במרחק שווה מצלעות הזווית).

שימו לב שבאופן זה בנינו גם את הזווית הליניארית של הזווית הדיהדרלית שנוצרת מהמישור שנוצר מהקווים \(a\) ו-\(c\) והמישור שנוצר מהקווים \(b\) ו-\(c \) . זוהי הזווית \(ACH\) .

בוא נמצא את הזווית הזו. מכיוון שבחרנו את הנקודה \(A\) באופן שרירותי, הבה נבחר אותה כך ש-\(OA=2\) . ואז במלבן \(\משולש AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]מכיוון ש-\(OH\) הוא חוצה, אז \(\angle HOC=30^\circ\) , לפיכך, ב-\(\משולש HOC\) מלבני: \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]ואז מהמלבני \(\משולש ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

תשובה: 3

משימה 4 #2910

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

המישורים \(\pi_1\) ו-\(\pi_2\) מצטלבים לאורך הישר \(l\) שעליו מונחות הנקודות \(M\) ו-\(N\). הקטעים \(MA\) ו-\(MB\) מאונכים לישר \(l\) ונמצאים במישורים \(\pi_1\) ו-\(\pi_2\) בהתאמה, ו-\(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . מצא את \(3\cos\alpha\) , כאשר \(\alpha\) היא הזווית בין המישורים \(\pi_1\) ו-\(\pi_2\) .

המשולש \(AMN\) הוא ישר זווית, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), ומכאן \ המשולש \(BMN\) הוא ישר זווית, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), שממנו נכתוב את משפט הקוסינוס למשולש \(AMB\): \ לאחר מכן \ מכיוון שהזווית \(\alpha\) בין המישורים היא זווית חדה, ו-\(\angle AMB\) התבררה כקהה, אז \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . לאחר מכן \

תשובה: 1.25

משימה 5 #2911

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) הוא מקבילי, \(ABCD\) הוא ריבוע עם הצלע \(a\), נקודה \(M\) היא בסיס הניצב שירד מהנקודה \(A_1\) למישור \ ((ABCD)\) , בנוסף, \(M\) היא נקודת החיתוך של אלכסוני הריבוע \(ABCD\) . ידוע ש \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). מצא את הזווית בין המישורים \((ABCD)\) ו-\(AA_1B_1B)\) . תן את תשובתך במעלות.

בואו נבנה את \(MN\) בניצב ל-\(AB\) כפי שמוצג באיור.

מכיוון ש-\(ABCD\) הוא ריבוע עם הצלע \(a\) ו-\(MN\perp AB\) ו-\(BC\perp AB\) , אז \(MN\parallel BC\) . מכיוון ש-\(M\) היא נקודת החיתוך של אלכסוני הריבוע, אז \(M\) הוא האמצע של \(AC\), לכן, \(MN\) הוא הקו האמצעי ו- \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) היא ההשלכה של \(A_1N\) על המישור \((ABCD)\), ו-\(MN\) מאונך ל\(AB\), ואז, לפי משפט שלושת הניצבים, \ (A_1N\) מאונך ל-\(AB \) והזווית בין המישורים \((ABCD)\) ו-\((AA_1B_1B)\) היא \(\זווית A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

תשובה: 60

משימה 6 #1854

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

בריבוע \(ABCD\) : \(O\) – נקודת החיתוך של האלכסונים; \(S\) – אינו שוכב במישור הריבוע, \(SO \perp ABC\) . מצא את הזווית בין המישורים \(ASD\) ו-\(ABC\) אם \(SO = 5\) ו-\(AB = 10\) .

משולשים ישרים \(\משולש SAO\) ו-\(\משולש SDO\) שווים בשתי צלעות והזווית ביניהן (\(SO \perp ABC\) \(\חץ ימינה\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , כי \(O\) – נקודת חיתוך של אלכסוני הריבוע, \(SO\) – צד משותף) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\משולש ASD\) – שווה שוקיים. הנקודה \(K\) היא האמצע של \(AD\), ואז \(SK\) היא הגובה במשולש \(\משולש ASD\), ו-\(OK\) הוא הגובה במשולש \( AOD\) \(\ חץ ימינה\) מישור \(SOK\) מאונך למישורים \(ASD\) ו-\(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) – זווית לינארית שווה לרצוי זווית דיהדרלית.

ב-\(\משולש SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\משולש SOK\) – משולש ישר שוקיים \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

תשובה: 45

משימה 7 #1855

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

בריבוע \(ABCD\) : \(O\) – נקודת החיתוך של האלכסונים; \(S\) – אינו שוכב במישור הריבוע, \(SO \perp ABC\) . מצא את הזווית בין המישורים \(ASD\) ו-\(BSC\) אם \(SO = 5\) ו-\(AB = 10\) .

משולשים ישרים \(\משולש SAO\) , \(\משולש SDO\) , \(\משולש SOB\) ו-\(\משולש SOC\) שווים בשתי צלעות והזווית ביניהן (\(SO \perp ABC \) \(\חץ ימני\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), כי \(O\) – נקודת חיתוך של אלכסוני הריבוע, \(SO\) – צלע משותפת) \(\חץ ימינה\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\חץ ימינה\) \( \triangle ASD\) ו-\(\triangle BSC\) הם שווה שוקיים. הנקודה \(K\) היא האמצע של \(AD\), ואז \(SK\) היא הגובה במשולש \(\משולש ASD\), ו-\(OK\) הוא הגובה במשולש \( AOD\) \(\ חץ ימינה\) מישור \(SOK\) מאונך למישור \(ASD\) . הנקודה \(L\) היא האמצע של \(BC\), ואז \(SL\) היא הגובה במשולש \(\משולש BSC\), ו-\(OL\) הוא הגובה במשולש \( BOC\) \(\ חץ ימינה\) מישור \(SOL\) (aka מישור \(SOK\)) מאונך למישור \(BSC\) . לפיכך, נקבל ש-\(\angle KSL\) היא זווית לינארית השווה לזווית הדו-הדרלית הרצויה.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\רightarrow\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – גבהים במשולשים שווה שוקיים, אותם ניתן למצוא באמצעות משפט פיתגורס: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). ניתן לשים לב לכך \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\חץ ימני\) עבור משולש \(\משולש KSL\) משפט פיתגורס ההפוך מחזיק \(\חץ ימינה\) \(\משולש KSL\) – משולש ישר \(\חץ ימינה\) \(\זווית KSL = 90 ^\ circ\) .

תשובה: 90

הכנת התלמידים לגשת לבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה, ככלל, מתחילה בחזרה על נוסחאות בסיסיות, כולל אלו המאפשרות לקבוע את הזווית בין המישורים. למרות העובדה שסעיף זה של גיאומטריה מכוסה בפירוט מספיק בתוך מערכת של ביהס, בוגרים רבים צריכים לחזור על חומר בסיסי. מתוך הבנה כיצד למצוא את הזווית בין מטוסים, תלמידי תיכון יוכלו לחשב במהירות את התשובה הנכונה בעת פתרון בעיה ולסמוך על קבלת ציונים הגונים על תוצאות המעבר בבחינת המדינה המאוחדת.

ניואנסים עיקריים

אז השאלה היא איך למצוא זווית דיהדרלית, לא גרם לקשיים, אנו ממליצים לעקוב אחר אלגוריתם הפתרון, שיעזור לך להתמודד עם המשימות של בחינת המדינה המאוחדת.

ראשית עליך לקבוע את הקו הישר שלאורכו מצטלבים המטוסים.

אז אתה צריך לבחור נקודה על הקו הזה ולצייר שני ניצבים אליה.

השלב הבא הוא למצוא פונקציה טריגונומטריתזווית דיהדרלית שנוצרת על ידי ניצבים. הדרך הנוחה ביותר לעשות זאת היא בעזרת המשולש שנוצר, שהזווית היא חלק ממנו.

התשובה תהיה ערך הזווית או הפונקציה הטריגונומטרית שלה.

הכנה למבחן הבחינה עם שקולקובו היא המפתח להצלחה שלך

במהלך השיעורים יום קודם לעבור את מבחן המדינה המאוחדתתלמידי בית ספר רבים מתמודדים עם הבעיה של מציאת הגדרות ונוסחאות המאפשרות להם לחשב את הזווית בין 2 מישורים. ספר לימוד לא תמיד נמצא בהישג יד בדיוק בעת הצורך. ולמצוא את הנוסחאות הדרושות ודוגמאות שלהן יישום נכון, כולל מציאת הזווית בין מטוסים באינטרנט באינטרנט, לפעמים צריך להשקיע הרבה זמן.

הפורטל המתמטי של שקולקובו מציע גישה חדשה להכנה לבחינה הממלכתית. שיעורים באתר שלנו יעזרו לתלמידים לזהות את החלקים הקשים ביותר עבור עצמם ולמלא פערים בידע.

הכנו והצגנו בצורה ברורה את כל החומר הדרוש. הגדרות ונוסחאות בסיסיות מוצגות בסעיף "מידע תיאורטי".

על מנת להבין טוב יותר את החומר, אנו מציעים גם לתרגל את התרגילים המתאימים. מבחר גדולמשימות בדרגות שונות של מורכבות, למשל, מוצגות בסעיף "קטלוג". כל המשימות מכילות אלגוריתם מפורט למציאת התשובה הנכונה. רשימת התרגילים באתר מתווספת ומתעדכנת כל הזמן.

תוך כדי תרגול פתרון בעיות הדורשות מציאת הזווית בין שני מישורים, לתלמידים יש הזדמנות לשמור כל משימה באינטרנט כ"מועדפים". בזכות זה הם יוכלו לחזור אליו כמות נדרשתזמן ולדון בהתקדמות ההחלטה עם מורה בבית הספראו מורה.

המאמר מדבר על מציאת הזווית בין מישורים. לאחר מתן ההגדרה, ניתן המחשה גרפית ונבחן שיטה מפורטת למציאת קואורדינטות באמצעות השיטה. אנו מקבלים נוסחה עבור מישורים מצטלבים, הכוללת את הקואורדינטות של וקטורים נורמליים.

Yandex.RTB R-A-339285-1

החומר ישתמש בנתונים ובמושגים שנלמדו בעבר במאמרים על המישור והקו במרחב. ראשית, יש צורך לעבור להנמקה המאפשרת לנו גישה מסוימת לקביעת הזווית בין שני מישורים מצטלבים.

שני מישורים מצטלבים γ 1 ו- γ 2 נתונים. הצומת שלהם ייקח את הייעוד ג. בניית מישור χ קשורה לצומת של מישורים אלה. המישור χ עובר דרך הנקודה M כקו ישר c. החיתוך של המישורים γ 1 ו- γ 2 ייעשה באמצעות המישור χ. ניקח את ייעוד הישר החותך את γ 1 ו-χ כישר a, ואת הישר החותך את γ 2 ו-χ כישר ב. אנו מוצאים שהחתך של ישרים a ו-b נותן את הנקודה M.

מיקומה של נקודה M אינו משפיע על הזווית בין הישרים a ו-b המצטלבים, ונקודה M ממוקמת על קו c, שדרכו עובר המישור χ.

יש צורך לבנות מישור χ 1 מאונך לישר c ושונה מהמישור χ. החיתוך של המישורים γ 1 ו- γ 2 בעזרת χ 1 ייקח את הייעוד של הקווים a 1 ו- b 1.

ניתן לראות שכאשר בונים את χ ו-χ 1, קווים a ו-b מאונכים לישר c, ואז a 1, b 1 ממוקמים בניצב לישר c. מציאת ישרים a ו-a 1 במישור γ 1 עם ניצב לישר c, אז הם יכולים להיחשב מקבילים. באותו אופן, מיקומם של b ו-b 1 במישור γ 2 בניצב לישר c מעיד על ההקבלה שלהם. זה אומר שיש צורך לבצע העברה מקבילה של המישור χ 1 ל- χ, שם נקבל שני ישרים חופפים a ו- a 1, b ו- b 1. אנו מוצאים שהזווית בין ישרים חותכים a ו-b 1 שווה לזווית של ישרים חותכים a ו-b.

בואו נסתכל על האיור שלהלן.

טענה זו מוכחת בכך שבין הקווים החותכים a ו-b יש זווית שאינה תלויה במיקום הנקודה M, כלומר נקודת החיתוך. קווים אלו ממוקמים במישורים γ 1 ו- γ 2. למעשה, הזווית המתקבלת יכולה להיחשב לזווית בין שני מישורים מצטלבים.

נעבור לקביעת הזווית בין המישורים המצטלבים הקיימים γ 1 ו- γ 2.

הגדרה 1

הזווית בין שני מישורים מצטלבים γ 1 ו- γ 2נקראת הזווית שנוצרת מחיתוך ישרים a ו-b, כאשר המישורים γ 1 ו- γ 2 חותכים עם המישור χ המאונך לישר c.

שקול את האיור למטה.

ניתן להגיש את הקביעה בצורה אחרת. כאשר המישורים γ 1 ו- γ 2 נחתכים, כאשר c הוא הישר שעליו הם נחתכו, סמן נקודה M שדרכה מציירים קווים a ו-b מאונכים לישר c ושוכבים במישורים γ 1 ו- γ 2, אזי הזווית בין קווים a ו-b יהיו הזווית בין המישורים. בפועל, זה ישים לבניית הזווית בין המישורים.

בהצטלבות נוצרת זווית שערכה פחות מ-90 מעלות, כלומר מידת המעלות של הזווית תקפה על מרווח מסוג זה (0, 90]. במקביל, מישורים אלו נקראים בניצב אם נוצרת זווית ישרה בצומת הזווית בין מישורים מקבילים נחשבת שווה לאפס.

הדרך המקובלת למצוא את הזווית בין מישורים מצטלבים היא לבצע קונסטרוקציות נוספות. זה עוזר לקבוע את זה בדיוק, וניתן לעשות זאת באמצעות סימני שוויון או דמיון של משולש, סינוסים וקוזינוסים של זווית.

בואו נשקול לפתור בעיות באמצעות דוגמה מבעיות הבחינה המאוחדת של בלוק C 2.

דוגמה 1

בהינתן מקבילי מלבני A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, כאשר הצלע A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, נקודה E מחלקת את הצלע A A 1 ביחס 4:3. מצא את הזווית בין מישורים A B C ו- B E D 1.

פִּתָרוֹן

לבהירות, יש צורך לעשות ציור. אנחנו מקבלים את זה

ייצוג חזותי נחוץ כדי שיהיה נוח יותר לעבוד עם הזווית בין המישורים.

אנו קובעים את הקו הישר שלאורכו מתרחש החיתוך של המישורים A B C ו- B E D 1. נקודה ב' היא נקודה משותפת. יש למצוא נקודת צומת נפוצה נוספת. הבה נבחן את הקווים הישרים D A ו-D 1 E, הממוקמים באותו מישור A D D 1. מיקומם אינו מעיד על מקביליות; זה אומר שיש להם נקודת חיתוך משותפת.

עם זאת, קו ישר D A ממוקם במישור A B C, ו- D 1 E ב B E D 1. מכאן אנו מקבלים את הקווים הישרים ד או D 1 Eבעלי נקודת חיתוך משותפת, המשותפת למישורים A B C ו- B E D 1. מציין את נקודת החיתוך של קווים ד או-D 1 E האות F. מכאן נקבל ש-B F הוא הישר שלאורכו מצטלבים מישורים A B C ו- B E D 1.

בואו נסתכל על האיור שלהלן.

כדי לקבל את התשובה, יש צורך לבנות קווים ישרים הממוקמים במישורים A B C ו- B E D 1 העוברים דרך נקודה הממוקמת על קו B F ומאונכת לה. אז הזווית המתקבלת בין הקווים הישרים הללו נחשבת לזווית הרצויה בין המישורים A B C ו- B E D 1.

מכאן נוכל לראות שנקודה A היא השלכה של נקודה E על המישור A B C. יש צורך לצייר ישר חוצה את הישר B F בזווית ישרה בנקודה M. ניתן לראות שהישר A M הוא ההשלכה של ישר E M על המישור A B C, בהתבסס על המשפט על אותם הניצבים A M ⊥ B F . שקול את התמונה למטה.

∠ A M E היא הזווית הרצויה, נוצר על ידי מטוסים A B C ו- B E D 1. מהמשולש המתקבל A E M נוכל למצוא את הסינוס, הקוסינוס או הטנגנס של הזווית, ולאחר מכן את הזווית עצמה, רק אם שתי צלעותיה ידועות. לפי תנאי, יש לנו שהאורך A E נמצא בצורה כזו: ישר A A 1 מחולק בנקודה E ביחס 4:3, כלומר האורך הכולל של הישר הוא 7 חלקים, ואז A E = 4 חלקים. אנו מוצאים את A M.

יש צורך לשקול משולש ישר זווית A B F. יש לנו זווית ישרה A עם גובה A M. מהתנאי A B = 2, אז נוכל למצוא את האורך A F לפי הדמיון של משולשים D D 1 F ו- A E F. נקבל ש- A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

יש צורך למצוא את אורך הצלע B F של משולש A B F באמצעות משפט פיתגורס. נקבל ש-B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . אורך הצלע A M נמצא דרך שטח המשולש A B F. יש לנו שהשטח יכול להיות שווה גם ל- S A B C = 1 2 · A B · A F וגם S A B C = 1 2 · B F · A M .

אנו מקבלים ש- A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

אז נוכל למצוא את הערך של הטנגנס של זווית המשולש A E M. נקבל:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

הזווית הרצויה המתקבלת על ידי חיתוך המישורים A B C ו-B E D 1 שווה ל-a r c t g 5, ואז בפשטות נקבל a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.

תשובה: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

מקרים מסוימים של מציאת הזווית בין קווים מצטלבים מוגדרים באמצעות מישור הקואורדינטות O x y z ושיטת הקואורדינטות. בואו נסתכל מקרוב.

אם ניתנת בעיה שבה יש צורך למצוא את הזווית בין המישורים החותכים γ 1 ו- γ 2, נסמן את הזווית הרצויה כ-α.

אז מערכת הקואורדינטות הנתונה מראה שיש לנו את הקואורדינטות של הוקטורים הנורמליים של המישורים החותכים γ 1 ו- γ 2. אז נסמן ש-n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z הוא הווקטור הנורמלי של המישור γ 1, ו-n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - עבור מישור γ 2. הבה נבחן את הקביעה המפורטת של הזווית הממוקמת בין המישורים הללו לפי הקואורדינטות של הוקטורים.

יש צורך לייעד את הקו הישר שלאורכו מצטלבים המישורים γ 1 ו- γ 2 עם האות c. על הישר c יש לנו נקודה M שדרכה נשרטט מישור χ מאונך ל-c. המישור χ לאורך הקווים a ו-b חוצה את המישורים γ 1 ו- γ 2 בנקודה M. מההגדרה עולה שהזווית בין המישורים החותכים γ 1 ו- γ 2 שווה לזווית של הישרים החותכים a ו-b השייכים למישורים אלו, בהתאמה.

במישור χ אנו משרטטים וקטורים נורמליים מהנקודה M ומציינים אותם n 1 → ו n 2 → . וקטור n 1 → ממוקם על ישר מאונך לישר a, וקטור n 2 → ממוקם על ישר מאונך לישר ב. מכאן אנחנו מקבלים את זה מטוס נתוןל-χ יש וקטור נורמלי של קו a שווה ל-n 1 → ולקו b שווה ל-n 2 →. שקול את האיור למטה.

מכאן נקבל נוסחה שבאמצעותה נוכל לחשב את הסינוס של זווית ישרים חותכים באמצעות קואורדינטות של וקטורים. מצאנו שהקוסינוס של הזווית בין ישרים a ו-b זהה לקוסינוס בין מישורים חוצים γ 1 ו- γ 2 נגזר מהנוסחה cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, כאשר יש לנו את זה n 1 → = ( n 1 x , n 1 y , n 1 z) ו- n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) הן הקואורדינטות של הוקטורים של המישורים המיוצגים.

הזווית בין קווים מצטלבים מחושבת באמצעות הנוסחה

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

דוגמה 2

לפי התנאי ניתן המקביל A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 , כאשר A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, ונקודה E מחלקת את הצלע A A 1 4: 3. מצא את הזווית בין מישורים A B C ו- B E D 1.

פִּתָרוֹן

מהתנאי ברור שצלעותיו מאונכות בזוגיות. זה אומר שיש צורך להציג מערכת קואורדינטות O x y z עם הקודקוד בנקודה C וצירי הקואורדינטות O x, O y, O z. יש צורך להגדיר את הכיוון לצדדים המתאימים. שקול את האיור למטה.

מישורים מצטלבים א ב גו B E D 1יוצרים זווית שניתן למצוא על ידי הנוסחה α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, שבהם n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) ו-n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) הם וקטורים נורמליים של המטוסים האלה. יש צורך לקבוע את הקואורדינטות. מהאיור רואים שציר הקואורדינטות O x y חופף למישור A B C, זה אומר שהקואורדינטות של הווקטור הנורמלי k → שוות לערך n 1 → = k → = (0, 0, 1).

הווקטור הנורמלי של המישור B E D 1 נחשב למכפלת הווקטור B E → ו- B D 1 →, כאשר הקואורדינטות שלהם נמצאות לפי הקואורדינטות של נקודות הקיצון B, E, D 1, אשר נקבעות על סמך תנאי ה- בְּעָיָה.

נקבל את זה B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). מכיוון A E E A 1 = 4 3, מהקואורדינטות של נקודות A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 נמצא E 2, 3, 4. אנו מוצאים כי B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

יש צורך להחליף את הקואורדינטות שנמצאו בנוסחה לחישוב הזווית דרך קוסינוס הקשת. אנחנו מקבלים

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

שיטת הקואורדינטות נותנת תוצאה דומה.

תשובה: a r c cos 6 6 .

הבעיה הסופית נשקלת במטרה למצוא את הזווית בין מישורים מצטלבים עם המשוואות הידועות הקיימות של המישורים.

דוגמה 3

חשב את הסינוס, הקוסינוס של הזווית וערך הזווית שנוצרת על ידי שני קווים חותכים, המוגדרים במערכת הקואורדינטות O x y z וניתנים על ידי המשוואות 2 x - 4 y + z + 1 = 0 ו-3 y - z - 1 = 0.

פִּתָרוֹן

כאשר לומדים נושא משוואה כלליתקו ישר של הצורה A x + B y + C z + D = 0 גילה כי A, B, C הם מקדמים השווים לקואורדינטות של הווקטור הנורמלי. המשמעות היא ש-n 1 → = 2, - 4, 1 ו-n 2 → = 0, 3, - 1 הם וקטורים נורמליים של הקווים הנתונים.

יש צורך להחליף את הקואורדינטות של הוקטורים הנורמליים של המישורים בנוסחה לחישוב הזווית הרצויה של מישורים מצטלבים. ואז נקבל את זה

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

מכאן יש לנו שהקוסינוס של הזווית מקבל את הצורה cos α = 13 210. אז זווית הקווים המצטלבים אינה קהה. מחליף פנימה זהות טריגונומטרית, נמצא שהערך של הסינוס של הזווית שווה לביטוי. תן לנו לחשב ולמצוא את זה

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13,210 = 41,210

תשובה: sin α = 41,210, cos α = 13,210, α = a r c cos 13,210 = a r c sin 41,210.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

ניתן לקבוע את הזווית בין שני מישורים שונים לכל אחד מיקום יחסימטוסים.

מקרה טריוויאלי אם המטוסים מקבילים. ואז הזווית ביניהם נחשבת שווה לאפס.

מקרה לא טריוויאלי אם המטוסים מצטלבים. מקרה זה הוא נושא לדיון נוסף. ראשית אנו צריכים את הרעיון של זווית דיהדרלית.

9.1 זווית דיהדרלית

זווית דו-הדרלית היא שני חצאי מישורים בעלי קו ישר משותף (שנקרא קצה הזווית הדו-הדרלית). באיור. 50 מציג זווית דיהדרלית שנוצרה על ידי חצאי מישורים ו; הקצה של זווית דיהדרלית זו הוא הקו הישר a, המשותף לחצאי המישורים הללו.

אורז. 50. זווית דיהדרלית

ניתן למדוד את הזווית הדו-הדרלית במעלות או ברדיאנים במילה, הזינו את הערך הזוויתי של הזווית הדו-הדרלית. זה נעשה כדלקמן.

על קצה הזווית הדיהדרלית שנוצרה על ידי חצאי המישורים ו, ​​ניקח נקודה שרירותית M. הבה נצייר קרניים MA ו-MB, בהתאמה שוכבות בחצי המישורים הללו ומאונכות לקצה (איור 51).

אורז. 51. זווית דיהדרלית לינארית

הזווית המתקבלת AMB היא הזווית הליניארית של הזווית הדו-הדרלית. הזווית " = \AMB היא בדיוק הערך הזוויתי של הזווית הדו-הדרלית שלנו.

הַגדָרָה. הגודל הזוויתי של זווית דו-הדרלית הוא גודל הזווית הליניארית של זווית דו-הדרלית נתונה.

כל הזוויות הליניאריות של זווית דו-הדרלית שוות זו לזו (הרי הן מתקבלות זו מזו על ידי תזוזה מקבילה). בגלל זה הגדרה זונכון: הערך " אינו תלוי בבחירה הספציפית של נקודה M בקצה הזווית הדו-הדרלית.

9.2 קביעת הזווית בין המישורים

כאשר שני מישורים מצטלבים, מתקבלות ארבע זוויות דו-הדרליות. אם לכולם יש אותו גודל (90 כל אחד), אז המטוסים נקראים בניצב; הזווית בין המישורים היא אז 90.

אם לא כל הזוויות הדו-הדרליות זהות (כלומר, יש שתיים חדות ושתיים קהות), אזי הזווית בין המישורים היא הערך של הזווית הדו-הדרלית החדה (איור 52).

אורז. 52. זווית בין מישורים

9.3 דוגמאות לפתרון בעיות

בואו נסתכל על שלוש בעיות. הראשון פשוט, השני והשלישי נמצאים בערך ברמה C2 בבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה.

בעיה 1. מצא את הזווית בין שני פנים של טטרהדרון רגיל.

פִּתָרוֹן. תן ל-ABCD להיות טטרהדרון רגיל. הבה נצייר את החציונים AM ו-DM של הפרצופים התואמים, כמו גם את גובה הטטרהדרון DH (איור 53).

אורז. 53. למשימה 1

בהיותם חציונים, AM ו-DM הם גם גבהים של שווי צלעות משולשים ABCו-DBC. לכן, הזווית " = \AMD היא הזווית הליניארית של הזווית הדו-הדרלית שנוצרת מהפנים ABC ו-DBC. נמצא אותה מהמשולש DHM:

			1 לפנות בוקר

תשובה: arccos 1 3 .

משימה 2. נכון פירמידה מרובעתקצה צד SABCD (קודקוד S) שווה לצד הבסיס. נקודה K היא אמצע הקצה SA. מצא את הזווית בין המישורים

פִּתָרוֹן. קו BC מקביל ל-AD ולכן מקביל למישור ADS. לכן, מישור KBC חוצה את מישור ADS לאורך קו ישר KL במקביל ל-BC (איור 54).

אורז. 54. למשימה 2

במקרה זה, גם KL יהיה מקביל לקו AD; לכן, KL הוא קו האמצע של המשולש ADS, ונקודה L היא נקודת האמצע של DS.

בואו נמצא את גובה הפירמידה SO. תן ל-N להיות האמצע של DO. אז LN הוא הקו האמצעי של המשולש DOS, ולכן LN k SO. זה אומר ש-LN מאונך למישור ABC.

מנקודה N נוריד את האנך NM לישר BC. הקו הישר NM יהיה ההקרנה של ה-LM המשופע על מישור ה-ABC. ממשפט שלושת הניצבים יוצא אם כן שגם LM מאונך ל-BC.

לפיכך, הזווית " = \LMN היא הזווית הליניארית של הזווית הדו-הדרלית שנוצרת על ידי חצאי המישורים KBC ו-ABC. נחפש את הזווית הזו מהמשולש הישר זווית LMN.

תנו לקצה הפירמידה להיות שווה ל-a. ראשית נמצא את גובה הפירמידה:

SO=p

פִּתָרוֹן. תן L להיות נקודת החיתוך של ישרים A1 K ו-AB. ואז מישור A1 KC חוצה את מישור ABC לאורך הקו הישר CL (איור 55).

א ג

אורז. 55. לבעיה 3

המשולשים A1 B1 K ו-KBL שווים ברגל ובזווית החדה. לכן, שאר הרגליים שוות: A1 B1 = BL.

שקול משולש ACL. בו BA = BC = BL. זווית CBL היא 120; לכן, \BCL = 30 . כמו כן, \BCA = 60 . לכן \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

אז LC? AC. אבל קו AC משמש כהטלה של קו A1 C על מישור ABC. לפי משפט שלושת הניצבים אנו מסיקים כי LC ? A1 C.

לפיכך, זווית A1 CA היא הזווית הליניארית של הזווית הדו-הדרלית שנוצרת על ידי חצי המישורים A1 KC ו-ABC. זו הזווית הרצויה. מהמשולש הישר זווית A1 AC רואים שהוא שווה ל-45.