לפי הפולקלור הנפוץ כל כך בקרב פיזיקאים, זה קרה כך: ב-1926, דיבר פיזיקאי תיאורטי שמו בסמינר מדעי באוניברסיטת ציריך. הוא דיבר על רעיונות חדשים מוזרים באוויר, על איך עצמים מיקרוסקופיים מתנהגים לעתים קרובות יותר כמו גלים מאשר כמו חלקיקים. ואז ביקשה מורה מבוגרת לדבר ואמרה: "שרדינגר, אתה לא רואה שכל זה שטויות? או שכולנו יודעים שגלים הם רק גלים שמתוארים באמצעות משוואות גלים?" שרדינגר לקח זאת כעלבון אישי ויצא לפתח משוואת גלים לתיאור חלקיקים במסגרת מכניקת הקוונטים – והתמודד עם המשימה הזו בצורה מבריקה.

צריך לתת כאן הסבר. בעולם היומיומי שלנו, אנרגיה מועברת בשתי דרכים: על ידי חומר בתנועה ממקום למקום (לדוגמה, קטר נע או הרוח) - חלקיקים משתתפים בהעברת אנרגיה כזו - או על ידי גלים (למשל גלי רדיו שהם מועבר על ידי משדרים רבי עוצמה ונתפס על ידי האנטנות של הטלוויזיות שלנו). כלומר, במקרוקוסמוס שבו אתה ואני חיים, כל נושאי האנרגיה מחולקים בהחלט לשני סוגים - גופי (המורכב מחלקיקי חומר) או גל. יתרה מכך, כל גל מתואר על ידי סוג מיוחד של משוואות - משוואות גל. ללא יוצא מן הכלל, כל הגלים - גלי אוקיינוס, גלי סלע סיסמיים, גלי רדיו מגלקסיות רחוקות - מתוארים על ידי אותו סוג של משוואות גלים. הסבר זה נחוץ על מנת להבהיר שאם ברצוננו לייצג את תופעות העולם התת-אטומי במונחים של גלי התפלגות הסתברות (ראה מכניקת הקוונטים), יש לתאר את הגלים הללו גם באמצעות משוואת הגלים המקבילה.

שרדינגר יישם את המשוואה הדיפרנציאלית הקלאסית של פונקציית הגל על ​​המושג גלי הסתברות וקיבל את המשוואה המפורסמת הנושאת את שמו. בדיוק כפי שמשוואת פונקציית הגל הרגילה מתארת ​​התפשטות של, למשל, אדוות על פני המים, משוואת שרדינגר מתארת ​​התפשטות של גל עם ההסתברות למצוא חלקיק ב נקודה נתונהמֶרחָב. השיאים של הגל הזה (נקודות של הסתברות מקסימלית) מראים היכן בחלל סביר להניח שהחלקיק יסתיים. למרות שמשוואת שרדינגר שייכת לאזור מתמטיקה גבוהה יותר, זה כל כך חשוב להבנת הפיזיקה המודרנית שעדיין אציג אותה כאן - בצורתה הפשוטה ביותר (מה שמכונה "משוואת שרדינגר נייחת חד-ממדית"). שלעיל תפקוד גליםהתפלגות ההסתברות, המסומנת באות היוונית (psi), היא פתרון למשוואה הדיפרנציאלית הבאה (זה בסדר אם אתה לא מבין אותה; רק תאמין שהמשוואה הזו מראה שההסתברות מתנהגת כמו גל):

איפה המרחק, הוא הקבוע של פלאנק, והם, בהתאמה, המסה, האנרגיה הכוללת והאנרגיה הפוטנציאלית של החלקיק.

התמונה של אירועים קוונטיים שמשוואת שרדינגר נותנת לנו היא שהאלקטרונים וחלקיקים יסודיים אחרים מתנהגים כמו גלים על פני האוקיינוס. עם הזמן, שיא הגל (המתאים למיקום בו סביר להניח שהאלקטרון נמצא) נע בחלל בהתאם למשוואה המתארת ​​את הגל הזה. כלומר, מה שחשבנו באופן מסורתי כחלקיק מתנהג בדומה לגל בעולם הקוונטי.

כששרדינגר פרסם לראשונה את תוצאותיו, פרצה סערה בכוס תה בעולם הפיזיקה התיאורטית. העובדה היא שכמעט באותו זמן הופיעה עבודתו של בן זמנו של שרדינגר, ורנר הייזנברג (ראה עקרון אי הוודאות של הייזנברג), שבה העלה המחבר את המושג "מכניקת המטריצה", שבה נפתרו אותן בעיות של מכניקת הקוונטים. בצורת מטריצת נקודת מבט מתמטית אחרת, מורכבת יותר. המהומה נגרמה בגלל העובדה שמדענים פשוט פחדו ששתי גישות משכנעות באותה מידה לתיאור עולם המיקרו עלולות לסתור זו את זו. הדאגות היו לשווא. באותה שנה הוכיח שרדינגר עצמו את השקילותן המוחלטת של שתי התיאוריות – כלומר, משוואת המטריצה ​​נובעת ממשוואת הגלים, ולהיפך; התוצאות זהות. כיום משתמשים בעיקר בגרסה של שרדינגר (המכונה לפעמים "מכניקת גלים") כי המשוואה שלו פחות מסורבלת וקלה יותר ללמד אותה.

עם זאת, לא כל כך קל לדמיין ולקבל שמשהו כמו אלקטרון מתנהג כמו גל. IN חיי היום - יוםאנחנו מתנגשים עם חלקיק או גל. הכדור הוא חלקיק, צליל הוא גל, וזהו. בעולם מכניקת הקוונטים הכל לא כל כך פשוט. למעשה - וניסויים הראו זאת במהרה - בעולם הקוונטי, ישויות שונות מהאובייקטים שאנו מכירים ובעלות תכונות שונות. אור, שאנו חושבים עליו כגל, מתנהג לפעמים כמו חלקיק (הנקרא פוטון), וחלקיקים כמו אלקטרונים ופרוטונים יכולים להתנהג כמו גלים (ראה עיקרון ההשלמה).

בעיה זו נקראת בדרך כלל אופי גל החלקיקים הכפול או הכפול של חלקיקים קוונטיים, והיא אופיינית, ככל הנראה, לכל האובייקטים של העולם התת-אטומי (ראה משפט בל). עלינו להבין שבעולם המיקרו הרעיונות האינטואיטיביים הרגילים שלנו לגבי הצורות שיכולות ללבוש חומר ואיך הוא יכול להתנהג פשוט לא מתאימים. עצם העובדה שאנו משתמשים במשוואת הגלים כדי לתאר את התנועה של מה שאנו רגילים לחשוב עליו כחלקיקים היא הוכחה ברורה לכך. כפי שצוין במבוא, אין בכך סתירה מיוחדת. אחרי הכל, אין לנו סיבות משכנעות להאמין שמה שאנו רואים במקרוקוסמוס צריך להיות משוחזר במדויק ברמת המיקרוקוסמוס. עם זאת, הטבע הכפול של חלקיקים אלמנטריים נותר אחד ההיבטים התמוהים והמטרידים ביותר של מכניקת הקוונטים עבור אנשים רבים, ואין זה מוגזם לומר שכל הצרות התחילו עם ארווין שרדינגר.

אנציקלופדיה מאת ג'יימס טרפיל "טבעו של המדע. 200 חוקי היקום."

ג'יימס טרפיל הוא פרופסור לפיזיקה באוניברסיטת ג'ורג' מייסון (ארה"ב), אחד מהסופרים המערביים המפורסמים ביותר של ספרי מדע פופולרי.

הערות: 0

מקס פלאנק, ממייסדי מכניקת הקוונטים, הגיע לרעיונות של קוונטיזציה אנרגטית, בניסיון להסביר תיאורטית את תהליך האינטראקציה בין גלים אלקטרומגנטיים ואטומים שהתגלו לאחרונה, ובכך לפתור את בעיית קרינת הגוף השחור. הוא הבין שכדי להסביר את ספקטרום הפליטה הנצפה של אטומים, יש צורך לקחת כמובן מאליו שאטומים פולטים וסופגים אנרגיה במנות (שהמדען כינה קוואנטה) ורק בתדרי גל בודדים.

בהחלט גוף שחור, אשר סופג לחלוטין קרינה אלקטרומגנטית מכל תדר, כאשר מחומם, פולט אנרגיה בצורה של גלים המפוזרים באופן שווה על כל ספקטרום התדרים.

המילה "קוואנטום" מגיעה מהקוואנטום הלטינית ("כמה, כמה") ומהקוואנט האנגלית ("כמות, חלק, קוואנטום"). "מכניקה" זה זמן רב השם שניתן למדע תנועת החומר. לפיכך, המונח "מכניקת קוונטים" פירושו מדע תנועת החומר במנות (או, בשפה המדעית המודרנית, מדע התנועה של החומר הקוונטי). המונח "קוונטי" נטבע על ידי הפיזיקאי הגרמני מקס פלאנק כדי לתאר את האינטראקציה של אור עם אטומים.

אחת העובדות של העולם התת-אטומי היא שהעצמים שלו - כמו אלקטרונים או פוטונים - אינם דומים כלל לאובייקטים הרגילים של עולם המאקרו. הם לא מתנהגים לא כמו חלקיקים ולא כמו גלים, אלא כמו תצורות מיוחדות לחלוטין המציגות תכונות גל וגופניות כאחד, בהתאם לנסיבות. זה דבר אחד להצהיר, אבל אחר לגמרי לחבר את היבטי הגל והחלקיקים של התנהגותם של חלקיקים קוונטיים, לתאר אותם במשוואה מדויקת. זה בדיוק מה שנעשה ביחסי דה ברולי.

בחיי היומיום ישנן שתי דרכים להעביר אנרגיה בחלל – דרך חלקיקים או גלים. IN חיי היום - יוםאין סתירות נראות לעין בין שני מנגנוני העברת האנרגיה. אז, כדורסל הוא חלקיק, וצליל הוא גל, והכל ברור. עם זאת, במכניקת הקוונטים הדברים אינם כה פשוטים. אפילו מהניסויים הפשוטים ביותר עם עצמים קוונטיים, מהר מאוד מתברר שבעולם המיקרו לא חלים העקרונות והחוקים של עולם המאקרו שאנו מכירים. האור, שאנו רגילים לחשוב עליו כגל, מתנהג לפעמים כאילו הוא מורכב מזרם של חלקיקים (פוטונים), וחלקיקים אלמנטריים, כמו אלקטרון או אפילו פרוטון מסיבי, מראים לרוב תכונות של גל.

יותר מכל מחה איינשטיין על הצורך לתאר את תופעות עולם המיקרו במונחים של הסתברויות ופונקציות גלים, ולא מהמיקום הרגיל של קואורדינטות ומהירויות חלקיקים. לזה הוא התכוון ב"הטלת הקוביות". הוא זיהה שתיאור תנועת האלקטרונים במונחים של מהירויות וקואורדינטות שלהם סותר את עקרון אי הוודאות. אבל, טען איינשטיין, חייבים להיות כמה משתנים או פרמטרים אחרים, תוך התחשבות בהם התמונה המכאנית הקוונטית של עולם המיקרו תחזור לדרך של שלמות ודטרמיניזם. כלומר, הוא התעקש, רק לנו נראה שאלוהים משחק איתנו בקוביות, כי אנחנו לא מבינים הכל. לפיכך, הוא היה הראשון שניסח את השערת המשתנה החבוי במשוואות מכניקת הקוונטים. זה טמון בעובדה שלמעשה לאלקטרונים יש קואורדינטות ומהירות קבועות, כמו כדורי הביליארד של ניוטון, ועקרון אי הוודאות והגישה ההסתברותית לקביעתם במסגרת מכניקת הקוונטים הם תוצאה של חוסר השלמות של התיאוריה עצמה, שהיא למה זה לא מאפשר להם הגדרה מסוימת.

יוליה זוטובה

תלמדו: אילו טכנולוגיות נקראות קוונטיות ולמה. מה היתרון של טכנולוגיות קוונטיות על פני קלאסיות? מה יכול ומה אסור מחשב קוונטי. איך פיזיקאים מייצרים מחשב קוונטי. מתי היא תיווצר.

הפיזיקאי הצרפתי פייר סיימון לפלס אמר שאלה חשובה, על האם כל דבר בעולם נקבע מראש על ידי המצב הקודם של העולם, או שמא סיבה יכולה לגרום לכמה השלכות. כצפוי במסורת הפילוסופית, לפלס עצמו בספרו "Exposition of the World System" לא שאל שאלות, אלא אמר תשובה מוכנה שכן, הכל בעולם נקבע מראש, אולם, כפי שקורה לעתים קרובות בפילוסופיה, תמונת העולם שהציע לפלס לא שכנעה את כולם ולכן תשובתו הולידה ויכוח סביב הנושא שנמשך עד היום. למרות דעתם של כמה פילוסופים שמכניקת הקוונטים פתרה בעיה זו לטובת גישה הסתברותית, בכל זאת, תיאוריית הקביעה המוחלטת של לפלס, או כפי שהיא נקראת אחרת, תורת הדטרמיניזם של לפלס, נידונה עד היום.

גורדי לסוביק

לפני זמן מה, קבוצה של מחברים שותפים ואני התחלנו לגזור את החוק השני של התרמודינמיקה מנקודת המבט של מכניקת הקוונטים. למשל, באחד הניסוחים שלו, הקובע שהאנטרופיה של מערכת סגורה לא יורדת, בדרך כלל עולה, ולפעמים נשארת קבועה אם המערכת מבודדת אנרגטית. באמצעות תוצאות ידועות מתורת המידע הקוונטי, הסקנו כמה תנאים שבהם הצהרה זו נכונה. באופן בלתי צפוי, התברר שתנאים אלה אינם עולים בקנה אחד עם המצב של בידוד אנרגיה של מערכות.

פרופסור לפיזיקה ג'ים אל-חלילי חוקר את התיאוריות המדעיות המדויקות ביותר ואחת המבלבלות ביותר - פיזיקת הקוונטים. בתחילת המאה ה-20, מדענים צנחו את מעמקי החומר הנסתרים, אבני הבניין התת-אטומיות של העולם הסובב אותנו. הם גילו תופעות שהיו שונות מכל מה שנראה קודם לכן. עולם שבו הכל יכול להיות במקומות רבים בו-זמנית, שבו המציאות קיימת באמת רק כאשר אנו מתבוננים בה. אלברט איינשטיין התנגד לעצם הרעיון שהאקראיות היא בליבת הטבע. הפיזיקה הקוונטית מרמזת שחלקיקים תת-אטומיים יכולים לקיים אינטראקציה מהירה יותר ממהירות האור, מה שסותר את תורת היחסות שלו.

מס' 1 למשוואת שרדינגר הנייחת יש את הצורה. משוואה זו כתובה עבור...

למשוואת שרדינגר הנייחת במקרה הכללי יש את הצורה

, היכן נמצאת האנרגיה הפוטנציאלית של המיקרו-חלקיק. למקרה החד מימדי. בנוסף, החלקיק לא יכול להיות בתוך הקופסה הפוטנציאלית, אלא מחוץ לקופסה, מכיוון קירותיו גבוהים לאין שיעור. לכן, משוואת שרדינגר זו כתובה עבור חלקיק בקופסה חד-ממדית עם קירות גבוהים לאין שיעור.

מתנד הרמוני ליניארי

ü חלקיקים בקופסת פוטנציאל חד מימדית עם קירות גבוהים לאין שיעור

חלקיקים בקופסת פוטנציאל תלת מימדית עם קירות גבוהים לאין שיעור

אלקטרון באטום מימן

קבע התאמה בין בעיות מכניות קוונטיות ומשוואות שרדינגר עבורן.

הצורה הכללית של משוואת שרדינגר הנייחת היא:

אנרגיה פוטנציאלית של חלקיקים,

מפעיל לפלס. למקרה בו זמנית

הביטוי לאנרגיה הפוטנציאלית של מתנד הרמוני, כלומר חלקיק המבצע תנועה חד-ממדית בפעולת כוח מעין אלסטי, הוא בעל הצורה U=.

ערך האנרגיה הפוטנציאלית של אלקטרון בקופסת פוטנציאל עם קירות גבוהים לאין שיעור הוא U = 0. לאלקטרון באטום דמוי מימן יש אנרגיה פוטנציאלית עבור אטום מימן Z = 1.

לפיכך, עבור אלקטרון בקופסת פוטנציאל חד-ממדית, למשוואת שרדינגר יש את הצורה:

באמצעות פונקציית הגל, שהיא פתרון למשוואת שרדינגר, נוכל לקבוע...

אפשרויות תשובה: (ציין לפחות שתי אפשרויות תשובה)

ערכים ממוצעים של כמויות פיזיקליות המאפיינות חלקיק

ההסתברות שחלקיק נמצא באזור מסוים בחלל

מסלול חלקיקים

מיקום החלקיקים

לערך יש משמעות של צפיפות הסתברות (הסתברות ליחידת נפח), כלומר הוא קובע את ההסתברות שחלקיק יהיה במקום המתאים במרחב.אז ההסתברות W לגילוי חלקיק באזור מסוים במרחב שווה ל-

משוואת שרדינגר ( מצבים ספציפיים)

מס' 1הפונקציות העצמיות של אלקטרון בקופסת פוטנציאל חד-ממדית עם קירות גבוהים לאין שיעור יש את הצורה היכן רוחב הקופסה, מספר קוונטי כלומר מספר רמת האנרגיה. אם מספר צמתי הפונקציות בקטע ו-, אז שווה ל...

מספר צמתים, כלומר. מספר הנקודות שבהן נעלמת פונקציית הגל בקטע קשור למספר רמת האנרגיה לפי היחס. לאחר מכן , ולפי תנאי יחס זה שווה ל-1.5. פתרון המשוואה המתקבלת עבור , אנו מוצאים את זה

תגובות גרעיניות.

№1 בתגובה גרעינית, האות מייצגת חלקיק...

מחוקי שימור מספר המסה ומספר המטען עולה שמטען החלקיק הוא אפס ומספר המסה הוא 1. לכן האות מציינת נויטרון.

ü ניוטרון

פוזיטרון

אֶלֶקטרוֹן

הגרף בסולם חצי לוגריתמי מראה את התלות של השינוי במספר הגרעינים הרדיואקטיביים של איזוטופ בזמן. קבוע ההתפרקות הרדיואקטיבי שווה ל... (עיגל את התשובה למספרים שלמים)

מספר הגרעינים הרדיואקטיביים משתנה עם הזמן על פי החוק - מספר הגרעינים ההתחלתי, - קבוע ההתפרקות הרדיואקטיבי, אם לוקחים את הלוגריתם של ביטוי זה, נקבל

ב .לָכֵן, =0,07

חוקי שימור בתגובות גרעיניות.

התגובה לא יכולה להמשיך עקב עבירה על חוק השימור...

בכל האינטראקציות הבסיסיות, חוקי השימור מתקיימים: אנרגיה, מומנטום, תנע זוויתי (ספין) וכל המטענים (חשמליים, בריון ולפטון). חוקי שימור אלה לא רק מגבילים את ההשלכות של אינטראקציות שונות, אלא גם קובעים את כל האפשרויות של ההשלכות הללו. כדי לבחור את התשובה הנכונה, עליך לבדוק איזה חוק שימור אוסר ואיזה מתיר את התגובה הנתונה של המרה הדדית של חלקיקים אלמנטריים. על פי חוק שימור מטען הלפטונים במערכת סגורה בכל תהליך, נשמר ההבדל בין מספר הלפטונים לאנטילפטונים. הסכמנו לחשב ללפטונים:. מטען לפטון ולאנטילפטונים:. מטען לפטון. עבור כל שאר החלקיקים היסודיים, מניחים שמטענים הלפטונים הם אפס. התגובה לא יכולה להמשיך עקב הפרה של חוק שימור מטען הלפטון, בגלל

ü מטען לפטון

חיוב בריון

ספין מומנטום זוויתי

מטען חשמלי

התגובה לא יכולה להמשיך עקב עבירה על חוק השימור...

בכל האינטראקציות הבסיסיות מתקיימים חוקי השימור: אנרגיה, תנע, תנע זוויתי (ספין) וכל המטענים (Q חשמלי, בריון B ולפטון L). חוקי שימור אלה לא רק מגבילים את ההשלכות של אינטראקציות שונות, אלא גם קובעים את כל האפשרויות של ההשלכות הללו. על פי חוק שימור מטען בריונים ב', עבור כל התהליכים הכוללים בריונים ואנטיבריונים, נשמר מטען הבריון הכולל. לבאריונים (נוקליאונים n, p והיפרונים) נקבע מטען באריון

B = -1, ולכל שאר החלקיקים מטען הבריון הוא B = 0. התגובה לא יכולה להתקדם עקב הפרה של חוק מטען הבריון B, כי (+1)+(+1)

אפשרויות תשובה: מטען לפטון, תנע זוויתי ספין, מטען חשמלי. Q=0, אנטי פרוטון (

תנועת המיקרו-חלקיקים בשדות כוח שונים מתוארת במסגרת מכניקת הקוונטים הלא-רלטיביסטית באמצעות משוואת שרדינגר, ממנה נובעות תכונות הגל שנצפו בניסוי של חלקיקים. המשוואה הזו, כמו כל המשוואות הבסיסיות של הפיזיקה, אינה נגזרת, אלא מונחת. נכונותו מאושרת על ידי הסכמה של תוצאות החישוב עם הניסיון. למשוואת גל שרדינגר יש את הדברים הבאים צורה כללית :

- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)

כאשר ħ = h / 2π, h = 6.623∙10 -34 J ∙ s - קבוע פלאנק;
m היא מסת החלקיקים;
∆ - אופרטור Laplace (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - פונקציית הגל הרצויה;
U (x, y, z, t) היא הפונקציה הפוטנציאלית של החלקיק בשדה הכוח שבו הוא נע;
אני היא היחידה הדמיונית.

למשוואה זו יש פתרון רק בתנאים המוטלים על פונקציית הגל:

1. ψ (x, y, z, t) חייב להיות סופי, חד ערכי ורציף;
2. הנגזרות הראשונות שלו חייבות להיות רציפות;
3. פונקציה | ψ | 2 חייב להיות אינטגרלי, מה שבמקרים הפשוטים ביותר מפחית לתנאי לנרמול ההסתברויות.

לרבים תופעות פיזיקליות, המתרחש בעולם המיקרו, ניתן לפשט את המשוואה (8.1) על ידי ביטול התלות של ψ בזמן, כלומר. מצא את משוואת שרדינגר למצבים נייחים עם ערכי אנרגיה קבועים. הדבר אפשרי אם שדה הכוח בו נע החלקיק הוא נייח, כלומר. U = U (x, y, z) אינו תלוי במפורש בזמן ויש לו משמעות של אנרגיה פוטנציאלית. לאחר מכן, לאחר טרנספורמציות, נוכל להגיע למשוואת שרדינגר עבור מצבים נייחים:

∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

כאשר ψ = ψ (x, y, z) היא פונקציית הגל של קואורדינטות בלבד;
E הוא פרמטר המשוואה - האנרגיה הכוללת של החלקיק.

עבור המשוואה הזו האמיתי משמעות פיזיתיש רק פתרונות המבוטאים על ידי פונקציות רגילות ψ (הנקראות פונקציות עצמיות), המתרחשות רק עבור ערכים מסוימים של הפרמטר E, הנקרא ערך עצמי של אנרגיה. ערכי E אלה יכולים ליצור סדרה רציפה או בדיד, כלומר. ספקטרום אנרגיה רציף ודיסקרטי כאחד.

עבור כל מיקרו-חלקיק, בנוכחות משוואת שרדינגר מסוג (8.2), הבעיה של מכניקת הקוונטים מצטמצמת לפתרון משוואה זו, כלומר. מציאת ערכי פונקציות הגל ψ = ψ (x, y, z), המקבילים לספקטרום האנרגיות הפנימיות E. לאחר מכן, מצא את צפיפות ההסתברות | ψ | 2, אשר במכניקת הקוונטים קובע את ההסתברות למצוא חלקיק ביחידת נפח בקרבת נקודה עם קואורדינטות (x, y, z).

אחד המקרים הפשוטים ביותר של פתרון משוואת שרדינגר הוא בעיית ההתנהגות של חלקיק ב"באר פוטנציאלית" מלבנית חד מימדית עם "קירות" גבוהים לאין שיעור. "חור" כזה עבור חלקיק הנע רק לאורך ציר X מתואר על ידי אנרגיה פוטנציאלית של הצורה

כאשר l הוא רוחב ה"חור", והאנרגיה נמדדת מלמטה שלו (איור 8.1).

משוואת שרדינגר למצבים נייחים במקרה של בעיה חד-ממדית תיכתב בצורה:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

בשל העובדה ש"קירות הבור" גבוהים לאין שיעור, החלקיק אינו חודר מעבר ל"בור". זה מוביל לתנאי הגבול:

ψ (0) = ψ (l) = 0

בתוך ה"באר" (0 ≤ x ≤ l), משוואה (8.4) מצטמצמת לצורה:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0

כאשר k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2

לפתרון המשוואה (8.7), תוך התחשבות בתנאי הגבול (8.5), במקרה הפשוט ביותר יש את הצורה:

ψ (x) = A ∙ sin (kx)

כאשר k = (n ∙ π)/ l

עבור ערכים שלמים של n.

מביטויים (8.8) ו- (8.10) עולה כי

E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)

הָהֵן. האנרגיה של מצבים נייחים תלויה במספר השלם n (הנקרא המספר הקוונטי) ויש לה ערכים נפרדים ספציפיים הנקראים רמות אנרגיה.

כתוצאה מכך, מיקרו-חלקיק ב"באר פוטנציאלית" עם "קירות" גבוהים לאין שיעור יכול להיות רק ברמת אנרגיה מסוימת E n, כלומר. במצבים קוונטיים נפרדים n.

החלפת הביטוי (8.10) ב-(8.9) נמצא את הפונקציות העצמיות

ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x

ניתן למצוא את קבוע האינטגרציה A ממצב הנורמליזציה הקוונטית (הסתברותית).

אשר למקרה זה ייכתב כך:

מאיפה, כתוצאה מאינטגרציה, נקבל A = √ (2/l) ואז יש לנו

ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)

לגרפים של הפונקציה ψ n (x) אין משמעות פיזיקלית, ואילו לגרפים של הפונקציה | ψ n | 2 מציגים את התפלגות צפיפות ההסתברות לגילוי חלקיק במרחקים שונים מ"קירות הבור" (איור 8.1). הגרפים הללו (כמו גם ψ n (x) - לשם השוואה) הם שנלמדים בעבודה זו ומראים בבירור שהרעיונות לגבי מסלולי חלקיקים במכניקת הקוונטים אינם ניתנים לעמידה.

מביטוי (8.11) עולה שמרווח האנרגיה בין שתי רמות שכנות שווה ל

∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)

מכאן ברור שעבור מיקרו-חלקיקים (כגון אלקטרונים) ב מידות גדולות"חורים" (l≈ 10 -1 מ'), רמות האנרגיה ממוקמות כל כך קרוב שהן יוצרות ספקטרום כמעט רציף. מצב זה מתרחש, למשל, עבור אלקטרונים חופשיים במתכת. אם הממדים של ה"באר" דומים לאלו האטומיים (l ≈ 10 -10 מ'), אז מתקבל ספקטרום אנרגיה בדיד (ספקטרום קו). ניתן לחקור סוגים אלה של ספקטרום בעבודה זו גם עבור מיקרו-חלקיקים שונים.

מקרה נוסף של התנהגות של מיקרו-חלקיקים (כמו גם מיקרו-מערכות - מטוטלות), שנתקל בו לעתים קרובות בפועל (ונחשב בעבודה זו), הוא הבעיה של מתנד הרמוני ליניארי במכניקת הקוונטים.

כידוע, האנרגיה הפוטנציאלית של מתנד הרמוני חד מימדי במסה m שווה ל

U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2

כאשר ω 0 הוא התדר הטבעי של מתנד מתנד ω 0 = √ (k / m);
k הוא מקדם האלסטיות של המתנד.

לתלות (8.17) יש צורה של פרבולה, כלומר. "הבאר הפוטנציאלית" במקרה זה היא פרבולית (איור 8.2).

מתנד הרמוני קוונטי מתואר על ידי משוואת שרדינגר (8.2), הלוקחת בחשבון ביטוי (8.17) עבור אנרגיה פוטנציאלית. הפתרון למשוואה זו נכתב כך:

ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)

כאשר N n הוא גורם מנרמל קבוע בהתאם למספר השלם n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) הוא פולינום בדרגה n, המקדמים שלו מחושבים באמצעות נוסחה חוזרת עבור מספר n שונה.
בתורת משוואות דיפרנציאליות, ניתן להוכיח שלמשוואת שרדינגר יש פתרון (8.18) רק לערכים העצמיים של האנרגיה:

E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0

כאשר n = 0, 1, 2, 3... הוא מספר קוונטי.

המשמעות היא שהאנרגיה של מתנד קוונטי יכולה לקבל רק ערכים בדידים, כלומר. כמותי. כאשר n = 0, מתרחש E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2, כלומר. אנרגיית נקודת אפס, האופיינית למערכות קוונטיות והיא תוצאה ישירה של קשר אי הוודאות.

כפי שמראה פתרון מפורט של משוואת שרדינגר עבור מתנד קוונטי, כל ערך עצמי של אנרגיה עבור n שונה מתאים לפונקציית הגל שלו, מכיוון הגורם המנרמל הקבוע תלוי ב-n

וגם H n (x) - פולינום צ'בישב-הרמיטי בדרגה n.
יתר על כן, שני הפולינומים הראשונים שווים:

H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α

כל פולינום עוקב קשור ל-nmi לפי הנוסחה החוזרת הבאה:

H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)

פונקציות עצמיות מסוג (8.18) מאפשרות לנו למצוא עבור מתנד קוונטי את צפיפות ההסתברות למציאת מיקרו-חלקיק כמו | ψ n (x) | 2 ולחקור את התנהגותו ברמות אנרגיה שונות. פתרון בעיה זו קשה בשל הצורך להשתמש בנוסחה חוזרת. בעיה זו ניתנת לפתרון בהצלחה רק באמצעות מחשב, וזה מה שנעשה בעבודה זו.

1. הקדמה

תורת הקוונטים נולדה בשנת 1900, כאשר מקס פלאנק הציע מסקנה תיאורטית לגבי הקשר בין טמפרטורת הגוף לקרינה שפולטת אותו גוף - מסקנה כי במשך זמן רבחמק ממדענים אחרים, כמו קודמיו, פלאנק הציע שקרינה נפלטת על ידי מתנדים אטומיים, אך הוא האמין שהאנרגיה של המתנדים (ולכן הקרינה שהם פולטים) קיימת בצורה של חלקים נפרדים, אותם כינה איינשטיין קוואנטה. האנרגיה של כל קוונט פרופורציונלית לתדירות הקרינה. למרות שהנוסחה שהפיק פלאנק עוררה הערצה אוניברסלית, ההנחות שהניח נותרו בלתי מובנות, שכן הן סותרות את הפיזיקה הקלאסית.

בשנת 1905, איינשטיין השתמש בתורת הקוונטים כדי להסביר כמה היבטים של האפקט הפוטואלקטרי - פליטת אלקטרונים על ידי פני השטח של מתכת החשופה לאור אולטרה סגול. לאורך הדרך ציין איינשטיין פרדוקס לכאורה: אור, שבמשך מאתיים שנה נודע כגלים מתמשכים, יכול, בנסיבות מסוימות, להתנהג גם כזרם של חלקיקים.

כשמונה שנים מאוחר יותר, נילס בוהר הרחיב את תורת הקוונטים לאטום והסביר את תדירויות הגלים הנפלטים על ידי אטומים הנרגשים בלהבה או במטען חשמלי. ארנסט רתרפורד הראה שמסה של אטום מרוכזת כמעט כולה בגרעין המרכזי, הנושא חיובי מטען חשמליומוקף במרחקים גדולים יחסית באלקטרונים נושאים מטען שלילי, כתוצאה מכך האטום בכללותו נייטרלי מבחינה חשמלית. בוהר הציע כי אלקטרונים יכולים להיות רק במסלולים נפרדים מסוימים התואמים לרמות אנרגיה שונות, וכי ה"קפיצה" של אלקטרון ממסלול אחד למשנהו, עם אנרגיה נמוכה יותר, מלווה בפליטת פוטון, שהאנרגיה שלו היא שווה להבדל באנרגיות של שני המסלולים. התדר, לפי התיאוריה של פלאנק, הוא פרופורציונלי לאנרגיה של הפוטון. כך, מודל האטום של בוהר יצר קשר בין הקווים הספקטרליים השונים האופייניים לחומר הפולט קרינה לבין המבנה האטומי. למרות הצלחתו הראשונית, מודל האטום של בוהר דרש עד מהרה שינויים כדי לפתור אי התאמה בין תיאוריה לניסוי. בנוסף, תורת הקוונטים באותו שלב עדיין לא סיפקה הליך שיטתי לפתרון בעיות קוונטיות רבות.

תכונה חדשה ומשמעותית של תורת הקוונטים הופיעה בשנת 1924, כאשר דה ברולי העלה השערה רדיקלית לגבי אופי הגל של החומר: אם גלים אלקטרומגנטיים, כמו אור, מתנהגים לפעמים כמו חלקיקים (כפי שהראה איינשטיין), אז חלקיקים, כגון אלקטרון, יכול בנסיבות מסוימות להתנהג כמו גלים. בניסוח של דה ברולי, התדר המקביל לחלקיק קשור לאנרגיה שלו, כמו במקרה של פוטון (חלקיק אור), אבל ההצעה של דה ברולי. ביטוי מתמטיהיה קשר שווה ערך בין אורך הגל, מסת החלקיק ומהירותו (מומנטום). קיומם של גלי אלקטרונים הוכח בניסוי בשנת 1927 על ידי קלינטון דייוויסון ולסטר גרמר בארצות הברית וג'ון פאג'ט תומסון באנגליה.

שרדינגר, שהתרשם מהערותיו של איינשטיין על רעיונותיו של דה ברוגלי, ניסה ליישם את תיאור הגל של אלקטרונים על בניית תורת קוונטים קוהרנטית, שאינה קשורה למודל הבלתי הולם של בוהר של האטום. במובן מסוים, הוא התכוון לקרב את תורת הקוונטים לפיזיקה הקלאסית, שצברה דוגמאות רבות לתיאורים מתמטיים של גלים. הניסיון הראשון, שנעשה על ידי שרדינגר ב-1925, הסתיים בכישלון.

מהירויות האלקטרונים בתורת שרדינגר II היו קרובות למהירות האור, מה שהצריך הכללת תיאוריה מיוחדתתורת היחסות של איינשטיין ובהתחשב בגידול המשמעותי במסת האלקטרונים שנחזה על ידו במהירויות גבוהות מאוד.

אחת הסיבות לכישלונו של שרדינגר הייתה שהוא לא לקח בחשבון את נוכחותה של תכונה ספציפית של האלקטרון, המכונה כיום ספין (סיבוב האלקטרון סביב צירו שלו כמו טופ), שעליה היה ידוע מעט. הזמן ההוא.

שרדינגר עשה את הניסיון הבא בשנת 1926. הפעם מהירויות האלקטרונים נבחרו כל כך קטנות עד שלא היה צורך להפעיל את תורת היחסות.

הניסיון השני הביא לגזירת משוואת הגל שרדינגר, המספקת תיאור מתמטי של החומר במונחים של פונקציית הגל. שרדינגר כינה את התיאוריה שלו מכניקת גלים. הפתרונות של משוואת הגלים תאמו את תצפיות הניסוי והייתה להם השפעה עמוקה על ההתפתחות שלאחר מכן של תורת הקוונטים.

זמן לא רב לפני כן פרסמו ורנר הייזנברג, מקס בורן ופסקואל ג'ורדן גרסה נוספת של תורת הקוונטים, הנקראת מכניקת מטריצה, שתיארה תופעות קוונטיות באמצעות טבלאות של כמויות נצפות. טבלאות אלו מייצגות קבוצות מתמטיות מסודרות בצורה מסוימת, הנקראות מטריצות, שעל פי כללים ידועים ניתן לבצע עליהן פעולות מתמטיות שונות. מכניקת המטריצה ​​אפשרה גם הסכמה עם נתוני ניסוי שנצפו, אך בניגוד למכניקת גלים, היא לא הכילה שום התייחסות ספציפית לקואורדינטות מרחביות או לזמן. הייזנברג התעקש במיוחד על דחיית כל ייצוג חזותי או מודל פשוט לטובת רק אותם מאפיינים שניתן לקבוע מהניסוי.

שרדינגר הראה שמכניקת גלים ומכניקת מטריצה ​​שוות ערך מתמטית. ידוע כעת תחת שם נפוץמכניקת הקוונטים, שתי התיאוריות הללו סיפקו מסגרת כללית המיוחלת לתיאור תופעות קוונטיות. פיזיקאים רבים העדיפו מכניקת גלים מכיוון שהמתמטיקה שלה הייתה מוכרת להם יותר והמושגים שלה נראו "פיזיקליים" יותר; פעולות על מטריצות מסורבלות יותר.

פונקציה Ψ. נורמליזציה של הסתברות.

גילוי תכונות הגל של מיקרו-חלקיקים הצביע על כך שהמכניקה הקלאסית אינה יכולה לספק תיאור נכון של התנהגותם של חלקיקים כאלה. היה צורך ליצור מכניקה של מיקרו-חלקיקים שתביא בחשבון גם את תכונות הגל שלהם. המכניקה החדשה שנוצרה על ידי שרדינגר, הייזנברג, דיראק ואחרים נקראה מכניקת גלים או קוונטים.

גל מטוס דה ברוגלי

(1)

הוא היווצרות גל מיוחד מאוד המקביל לחופשי תנועה אחידהחלקיקים בכיוון מסוים ובמומנטום מסוים. אבל חלקיק, אפילו במרחב פנוי ובמיוחד בשדות כוח, יכול לבצע גם תנועות אחרות המתוארות על ידי פונקציות גל מורכבות יותר. במקרים אלו תיאור מלאמצבו של חלקיק במכניקת הקוונטים נתון לא על ידי גל מטוס דה ברוגלי, אלא על ידי פונקציה מורכבת יותר

, תלוי בקואורדינטות ובזמן. זה נקרא פונקציית הגל. במקרה הספציפי של תנועה חופשית של חלקיק, פונקציית הגל הופכת לגל מישור דה ברולי (1). פונקציית הגל עצמה מוצגת כסמל עזר ואינה אחת מהגדלים הניתנים לצפייה ישירה. אבל הידע שלו מאפשר לחזות סטטיסטית את ערכי הכמויות המתקבלות בניסוי ולכן יש להם משמעות פיזיקלית אמיתית.

פונקציית הגל קובעת את ההסתברות היחסית לגילוי חלקיק במקומות שונים בחלל. בשלב זה, כאשר דנים רק ביחסי הסתברות, פונקציית הגל נקבעת ביסודה עד לגורם קבוע שרירותי. אם בכל הנקודות במרחב מוכפלת פונקציית הגל באותו מספר קבוע (באופן כללי, מרוכב), השונה מאפס, אז מתקבלת פונקציית גל חדשה שמתארת ​​בדיוק את אותו מצב. אין זה הגיוני לומר ש-Ψ שווה לאפס בכל הנקודות במרחב, מכיוון ש"פונקציית גל" כזו אף פעם לא מאפשרת לנו להסיק לגבי ההסתברות היחסית לגילוי חלקיק במקומות שונים בחלל. אבל את אי הוודאות בקביעת Ψ ניתן לצמצם משמעותית אם נעבור מהסתברות יחסית להסתברות מוחלטת. הבה נפטר מהגורם הבלתי מוגדר בפונקציה Ψ כך שהערך |Ψ|2dV נותן את ההסתברות המוחלטת לגילוי חלקיק באלמנט נפח החלל dV. אז |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* היא הפונקציה המצומדת המורכבת של Ψ) תהיה המשמעות של צפיפות ההסתברות שיש לצפות לה כאשר מנסים לזהות חלקיק במרחב. במקרה זה, Ψ עדיין ייקבע עד לגורם מורכב שרירותי קבוע, אשר המודולוס שלו, לעומת זאת, שווה לאחדות. עם הגדרה זו, יש לעמוד בתנאי הנורמליזציה:

(2)

שבו האינטגרל משתלט על כל המרחב האינסופי. זה אומר שהחלקיק יתגלה בוודאות בכל החלל. אם האינטגרל של |Ψ|2 נלקח על נפח מסוים V1, אנו מחשבים את ההסתברות למצוא חלקיק במרחב של נפח V1.

נורמליזציה (2) עשויה להיות בלתי אפשרית אם אינטגרל (2) מתפצל. זה יהיה המקרה, למשל, במקרה של גל מטוס דה ברוגלי, כאשר ההסתברות לגילוי חלקיק זהה בכל הנקודות בחלל. אבל יש להתייחס למקרים כאלה כאידיאליזציה של מצב אמיתי שבו החלקיק לא הולך עד האינסוף, אלא נאלץ להישאר בו. שטח מוגבלמֶרחָב. אז נורמליזציה לא קשה.

אז המשמעות הפיזית הישירה קשורה לא לפונקציה Ψ עצמה, אלא למודול שלה Ψ*Ψ. מדוע בתורת הקוונטים הם פועלים עם פונקציות גל Ψ, ולא ישירות עם כמויות שנצפו בניסוי Ψ*Ψ? זה הכרחי כדי לפרש את תכונות הגל של החומר - הפרעות ודיפרקציה. כאן המצב הוא בדיוק כמו בכל תיאוריית גלים. היא (לפחות בקירוב ליניארי) מקבלת את תוקפו של עקרון הסופרפוזיציה של שדות הגלים עצמם, ולא את העוצמות שלהם, ובכך משיגה הכללה בתורת התופעות של הפרעות גלים ודיפרקציה. כמו כן, במכניקת הקוונטים מקובל עקרון הסופרפוזיציה של פונקציות הגל כאחת ההנחות העיקריות, המורכבות מהבאים.

הייזנברג הוביל למסקנה שמשוואת התנועה במכניקת הקוונטים, המתארת ​​את תנועת המיקרו-חלקיקים בשדות כוח שונים, צריכה להיות משוואה שממנה יבואו תכונות הגל שנצפו בניסוי של חלקיקים. המשוואה השולטת חייבת להיות משוואה עבור פונקציית הגל Ψ (x, y, z, t),מכיוון שזו בדיוק הכמות הזו, או ליתר דיוק, הכמות |Ψ| 2, קובע את ההסתברות שחלקיק יהיה נוכח ברגע הזמן טבנפח Δ V,כלומר באזור עם קואורדינטות איקסו x + dx, yו y + dу, zו ז+ dz.

המשוואה הבסיסית של מכניקת הקוונטים הלא-יחסותית נוסחה ב-1926 על ידי א' שרדינגר. משוואת שרדינגר, כמו כל המשוואות הבסיסיות של הפיזיקה (למשל, משוואות ניוטון במכניקה הקלאסית ומשוואות מקסוול לשדה האלקטרומגנטי), אינה נגזרת, אלא מונחת. נכונותה של משוואה זו מאושרת על ידי הסכמה עם הניסיון של התוצאות שהושגו בעזרתה, מה שמעניק לה, בתורו, אופי של חוק טבע.

משוואת שרדינגר הכללית היא:

איפה ? =h/(2π), M- מסת חלקיקים, Δ - מפעיל Laplace , אני- יחידה דמיונית, U(x, y, z, t) הוא הפונקציה הפוטנציאלית של החלקיק בשדה הכוח שבו הוא נע, Ψ( x, y, z, t) היא פונקציית הגל הרצויה של החלקיק.

משוואה (1) תקפה לכל חלקיק (עם ספין שווה ל-0) שנע במהירות נמוכה (בהשוואה למהירות האור), כלומר. υ "עם.

זה מתווסף בתנאים, מונחת על פונקציית הגל:

1) פונקציית הגל חייבת להיות סופית, חד משמעית ורציפה;

2) נגזרים חייב להיות רציף;

3) פונקציה |Ψ| 2 חייב להיות אינטגרלי (מצב זה במקרים הפשוטים ביותר מצטמצם לתנאי לנרמול ההסתברויות).

משוואה (1) נקראת משוואת שרדינגר תלוית זמן.

עבור תופעות פיזיקליות רבות המתרחשות בעולם המיקרו, ניתן לפשט את המשוואה (1) על ידי ביטול התלות של Ψ בזמן, כלומר. מצא את משוואת שרדינגר למצבים נייחים - מצבים עם ערכי אנרגיה קבועים. זה אפשרי אם שדה הכוח שבו החלקיק נע הוא נייח, כלומר הפונקציה U = U(x, y,ז) אינו תלוי במפורש בזמן ויש לו משמעות של אנרגיה פוטנציאלית. במקרה זה, ניתן לייצג את הפתרון למשוואת שרדינגר בצורה

. (2)

משוואה (2) נקראה משוואת שרדינגר למצבים נייחים.

משוואה זו כוללת אנרגיה כוללת כפרמטר החלקיקים. בתורת משוואות דיפרנציאליות, מוכח שלמשוואות כאלה יש אינסוף פתרונות, מהם נבחרים פתרונות בעלי משמעות פיזיקלית על ידי הטלת תנאי גבול. עבור משוואת שרדינגר תנאים כאלה תנאים לסדירות של פונקציות גל: הפונקציות החדשות חייבות להיות סופיות, חד משמעיות ורציפות יחד עם הנגזרות הראשונות שלהן.

לפיכך, רק לאותם פתרונות שמתבטאים בפונקציות רגילות Ψ יש משמעות פיזיקלית אמיתית. אבל פתרונות רגילים לא מתקיימים עבור כל ערכי פרמטרים ה,אלא רק עבור קבוצה מסוימת מהם, האופיינית למשימה נתונה. ערכי אנרגיה אלו נקראים ערכים עצמיים . פתרונות התואמים לערכים עצמיים של אנרגיה נקראים פונקציות עצמיות . ערכים עצמיים היכול ליצור סדרה רציפה או בדיד. במקרה הראשון, הם מדברים על ספקטרום רציף, או מוצק, במקרה השני - על ספקטרום בדיד.

חלקיק ב"באר פוטנציאלית" מלבנית חד מימדיתעם "קירות" גבוהים לאין שיעור

בוא נבצע ניתוח איכותיפתרונות של משוואת שרדינגר כפי שהוחלו על חלקיק ב"באר פוטנציאלית" מלבנית חד מימדית עם "קירות" גבוהים לאין שיעור. "חור" כזה מתואר על ידי אנרגיה פוטנציאלית של הצורה (למען הפשטות אנו מניחים שהחלקיק נע לאורך הציר איקס)

איפה להוא רוחב ה"חור", והאנרגיה נספרת מלמטה שלו (איור 2).

משוואת שרדינגר למצבים נייחים במקרה של בעיה חד-ממדית תיכתב בצורה:

. (1)

על פי תנאי הבעיה ("קירות") גבוהים לאין שיעור, החלקיק אינו חודר מעבר ל"חור", ולכן ההסתברות לגילויו (וכתוצאה מכך, פונקציית הגל) מחוץ ל"חור" היא אפסית. בגבולות ה"בור" (בשעה איקס= 0 ו x = 1)גם פונקציית הגל המתמשך חייבת להיעלם.

לכן, לתנאי הגבול במקרה זה יש את הצורה:

Ψ (0) = Ψ ( ל) = 0. (2)

בתוך ה"בור" (0 ≤ איקס≤ 0) משוואת שרדינגר (1) תצטמצם למשוואה:

אוֹ . (3)

איפה k 2 = 2mE / ? 2.(4)

פתרון כללי של משוואת דיפרנציאלית (3):

Ψ ( איקס) = אחטא kx + בחַסַת עָלִים kx.

מכיוון שלפי (2) Ψ (0) = 0, אז B = 0. ואז

Ψ ( איקס) = אחטא kx. (5)

מצב Ψ ( ל) = אחטא kl= 0 (2) מבוצע רק כאשר kl = nπ, איפה נ- מספרים שלמים, כלומר. זה נחוץ ש

ק = nπ/l. (6)

מהביטויים (4) ו-(6) עולה כי:

(נ = 1, 2, 3,…), (7)

כלומר, משוואת שרדינגר הנייחת, המתארת ​​את תנועתו של חלקיק ב"באר פוטנציאלית" עם "קירות" גבוהים לאין שיעור, מתקיימת רק עבור הערכים העצמיים. E p,תלוי במספר שלם פ.לכן, האנרגיה E pחלקיקים ב"באר פוטנציאלית" עם "קירות" גבוהים לאין שיעור מקבלים רק ערכים בדידים מסוימים, כלומר כמותיים.

ערכי אנרגיה כמותיים E pנקראים רמות אנרגיהואת המספר פ,שקובע את רמות האנרגיה של חלקיק נקרא מספר קוונטי עיקרי.לפיכך, מיקרו-חלקיק ב"באר פוטנציאלית" עם "קירות" גבוהים לאין שיעור יכול להיות רק ברמת אנרגיה מסוימת E p,או כמו שאומרים, החלקיק נמצא במצב קוונטי פ.

החלפה לתוך (5) את הערך קמתוך (6), נמצא את הפונקציות העצמיות:

.

קבוע של אינטגרציה אאנו מוצאים מתנאי הנורמליזציה, שבמקרה זה ייכתב בצורה:

.

כתוצאה מאינטגרציה נקבל , ולפונקציות העצמיות תהיה הצורה:

(נ = 1, 2, 3,…). (8)

גרפים של פונקציות עצמיות (8) התואמות לרמות אנרגיה (7) ב נ= 1,2,3, מוצג באיור. 3, א.באיור. 3, במראה את צפיפות ההסתברות לגילוי חלקיק במרחקים שונים מ"הקירות" של החור, שווה ל- Ψ נ(איקס)‌ 2 = Ψ נ(איקס)·Ψ נ * (איקס) ל n = 1, 2 ו-3. מהאיור עולה כי, למשל, במצב קוונטי עם n= 2, חלקיק לא יכול להיות באמצע "החור", בעוד לעתים קרובות באותה מידה הוא יכול להיות בצד שמאל ו חלקים נכונים. התנהגות זו של החלקיק מצביעה על כך שהמושגים של מסלולי חלקיקים במכניקת הקוונטים אינם עמידים.

מביטוי (7) עולה שמרווח האנרגיה בין שתי רמות סמוכות שווה ל:

לדוגמה, עבור אלקטרון עם ממדי באר ל= 10 -1 מ' (אלקטרונים חופשיים במתכת) , Δ E n ≈ 10 -35 · נ J ≈ 10 -1 6 נ eV, כלומר. רמות האנרגיה ממוקמות כל כך קרוב עד שניתן לראות את הספקטרום כרציף. אם מידות הבאר דומות למימדים אטומיים ( l ≈ 10 -10 מ'), ולאחר מכן עבור האלקטרון Δ E n ≈ 10 -17 ני ≈ 10 2 נ eV, כלומר. ברור שמתקבלים ערכי אנרגיה בדידים (ספקטרום קו).

לפיכך, יישום משוואת שרדינגר על חלקיק ב"באר פוטנציאלית" עם "קירות" גבוהים לאין שיעור מוביל לערכי אנרגיה כמותיים, בעוד שהמכניקה הקלאסית אינה מטילה הגבלות כלשהן על האנרגיה של חלקיק זה.

בנוסף, שיקול מכאני קוונטי של בעיה זו מוביל למסקנה שחלקיק "בבאר פוטנציאלית" עם "קירות" גבוהים לאין שיעור לא יכול להיות בעל אנרגיה נמוכה מהאנרגיה המינימלית השווה ל-π 2 ? 2 /(2t1 2). הנוכחות של אנרגיה מינימלית שאינה מאפס אינה מקרית ונובעת מיחס אי הוודאות. אי ודאות בקואורדינטות Δ איקסחלקיקים ב"בור" רחב לשווה ל-Δ איקס= ל.

ואז, על פי יחס אי הוודאות, לדחף לא יכול להיות ערך מדויק, במקרה זה אפס. אי ודאות מומנטום Δ ר ≈ h/l. ההתפשטות הזו של ערכי המומנטום תואמת אנרגיה קינטית E min ≈(Δ ע) 2 / (2M) = ? 2 / (2ml 2). כל שאר הרמות ( p> 1) יש אנרגיה העולה על הערך המינימלי הזה.

מהנוסחאות (9) ו- (7) עולה כי עבור מספרים קוונטיים גדולים ( נ"1) Δ E n / E p ≈ 2/פ"1, כלומר מפלסים סמוכים ממוקמים קרוב: ככל שקרובים יותר פ.אם פהוא גדול מאוד, אז אנחנו יכולים לדבר על רצף כמעט רציף של רמות ו תכונה אופייניתתהליכים קוונטיים - דיסקרטיות - מוחלקים. תוצאה זו היא מקרה מיוחד של עקרון ההתכתבות של בוהר (1923), לפיו חוקי מכניקת הקוונטים חייבים ערכים גדוליםמספרים קוונטיים הופכים לחוקי הפיזיקה הקלאסית.