מאמר זה דן כיצד למצוא את הערכים של ביטויים מתמטיים. נתחיל עם ביטויים מספריים פשוטים ולאחר מכן נשקול מקרים ככל שהמורכבות שלהם עולה. בסוף אנחנו נותנים ביטוי המכיל ייעודי אותיות, סוגריים, שורשים, מיוחדים סימנים מתמטיים, מעלות, פונקציות וכו'. לפי המסורת, נספק לכל התיאוריה דוגמאות בשפע ומפורט.
Yandex.RTB R-A-339285-1
כיצד למצוא את הערך של ביטוי מספרי?
ביטויים מספריים, בין היתר, עוזרים לתאר את מצב הבעיה בשפה מתמטית. בכלל ביטויים מתמטייםיכול להיות פשוט מאוד, מורכב מזוג מספרים וסמלים אריתמטיים, או מורכב מאוד, מכיל פונקציות, חזקות, שורשים, סוגריים וכו'. כחלק ממשימה, לעתים קרובות יש צורך למצוא את המשמעות של ביטוי מסוים. כיצד לעשות זאת נדון להלן.
המקרים הפשוטים ביותר
אלו מקרים שבהם הביטוי אינו מכיל דבר מלבד מספרים ופעולות אריתמטיות. כדי למצוא בהצלחה את הערכים של ביטויים כאלה, תזדקק לידע בסדר ביצוע פעולות אריתמטיות ללא סוגריים, כמו גם את היכולת לבצע פעולות עם מספרים שונים.
אם הביטוי מכיל רק מספרים וסימני חשבון " + " , " · " , " - " , " ÷ " , אז הפעולות מתבצעות משמאל לימין בסדר הבא: תחילה כפל וחילוק, לאחר מכן חיבור וחיסור. בואו ניתן דוגמאות.
דוגמה 1: הערך של ביטוי מספרי
תן לך למצוא את הערכים של הביטוי 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.
בוא נעשה תחילה את הכפל והחילוק. אנחנו מקבלים:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
כעת אנו מבצעים את החיסור ומקבלים את התוצאה הסופית:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
דוגמה 2: הערך של ביטוי מספרי
בואו לחשב: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.
ראשית אנו מבצעים המרת שברים, חילוק וכפל:
0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
עכשיו בואו נעשה קצת חיבור וחיסור. בואו נקבץ את השברים ונביא אותם למכנה משותף:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
הערך הנדרש נמצא.
ביטויים עם סוגריים
אם ביטוי מכיל סוגריים, הם מגדירים את סדר הפעולות בביטוי. הפעולות בסוגריים מבוצעות תחילה, ולאחר מכן את כל האחרות. בואו נראה זאת עם דוגמה.
דוגמה 3: הערך של ביטוי מספרי
בוא נמצא את הערך של הביטוי 0.5 · (0.76 - 0.06).
הביטוי מכיל סוגריים, אז קודם כל מבצעים את פעולת החיסור בסוגריים, ורק אחר כך את הכפל.
0.5 · (0.76 - 0.06) = 0.5 · 0.7 = 0.35.
המשמעות של ביטויים המכילים סוגריים בתוך סוגריים מצויה על פי אותו עיקרון.
דוגמה 4: הערך של ביטוי מספרי
בוא נחשב את הערך 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.
נבצע פעולות החל מהסוגריים הפנימיים ביותר, עוברים אל החיצוניים.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
כאשר מוצאים את המשמעויות של ביטויים עם סוגריים, העיקר לעקוב אחר רצף הפעולות.
ביטויים עם שורשים
ביטויים מתמטיים שעלינו למצוא את ערכיהם עשויים להכיל סימני שורש. יתר על כן, הביטוי עצמו עשוי להיות תחת סימן השורש. מה לעשות במקרה זה? ראשית עליך למצוא את הערך של הביטוי מתחת לשורש, ולאחר מכן לחלץ את השורש מהמספר המתקבל כתוצאה מכך. אם אפשר, עדיף להיפטר משורשים בביטויים מספריים, ולהחליף אותם בערכים מספריים.
דוגמה 5: הערך של ביטוי מספרי
בוא נחשב את הערך של הביטוי עם שורשים - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.
ראשית, אנו מחשבים את הביטויים הרדיקליים.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
עכשיו אתה יכול לחשב את הערך של הביטוי כולו.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5
לעתים קרובות, מציאת המשמעות של ביטוי עם שורשים מצריכה לרוב המרת הביטוי המקורי. בואו נסביר זאת עם דוגמה נוספת.
דוגמה 6: הערך של ביטוי מספרי
מה זה 3 + 1 3 - 1 - 1
כפי שאתה יכול לראות, אין לנו אפשרות להחליף את השורש בערך מדויק, מה שמקשה על תהליך הספירה. עם זאת, במקרה זה, אתה יכול ליישם את נוסחת הכפל המקוצר.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
לכן:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
ביטויים עם כוחות
אם ביטוי מכיל כוחות, יש לחשב את הערכים שלהם לפני שתמשיך עם כל הפעולות האחרות. קורה שהמעריך או הבסיס של התואר עצמו הם ביטויים. במקרה זה, ערך הביטויים הללו מחושב תחילה, ולאחר מכן ערך התואר.
דוגמה 7: הערך של ביטוי מספרי
בוא נמצא את הערך של הביטוי 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.
בואו נתחיל לחשב לפי הסדר.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.
כל שנותר הוא לבצע את פעולת ההוספה ולברר את משמעות הביטוי:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
כמו כן, לעתים קרובות מומלץ לפשט ביטוי באמצעות מאפיינים של תואר.
דוגמה 8: הערך של ביטוי מספרי
בוא נחשב את הערך של הביטוי הבא: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .
המעריכים הם שוב כאלה שלא ניתן לקבל את הערכים המספריים המדויקים שלהם. בואו נפשט את הביטוי המקורי כדי למצוא את ערכו.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
ביטויים עם שברים
אם ביטוי מכיל שברים, אז בעת חישוב ביטוי כזה, כל השברים בו חייבים להיות מיוצגים בצורה שברים רגיליםולחשב את הערכים שלהם.
אם המונה והמכנה של השבר מכילים ביטויים, אז הערכים של ביטויים אלה מחושבים תחילה, והערך הסופי של השבר עצמו נרשם. פעולות אריתמטיות מתבצעות בסדר הסטנדרטי. בואו נסתכל על הפתרון לדוגמה.
דוגמה 9: הערך של ביטוי מספרי
בוא נמצא את הערך של הביטוי המכיל שברים: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.
כפי שאתה יכול לראות, ישנם שלושה שברים בביטוי המקורי. תחילה נחשב את הערכים שלהם.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
הבה נשכתב את הביטוי שלנו ונחשב את ערכו:
1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1
לעתים קרובות כשמוצאים את המשמעות של ביטויים, זה נוח להפחית שברים. יש כלל שלא נאמר: לפני מציאת הערך שלו, עדיף לפשט כל ביטוי למקסימום, לצמצם את כל החישובים למקרים הפשוטים ביותר.
דוגמה 10: הערך של ביטוי מספרי
בוא נחשב את הביטוי 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.
אנחנו לא יכולים לחלץ לחלוטין את השורש של חמישה, אבל אנחנו יכולים לפשט את הביטוי המקורי באמצעות טרנספורמציות.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
הביטוי המקורי מקבל את הצורה:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
בואו נחשב את הערך של הביטוי הזה:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
ביטויים עם לוגריתמים
כאשר לוגריתמים קיימים בביטוי, ערכם מחושב מההתחלה, אם אפשר. לדוגמה, בביטוי log 2 4 + 2 · 4, אתה יכול מיד לרשום את הערך של לוגריתם זה במקום log 2 4, ולאחר מכן לבצע את כל הפעולות. נקבל: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
ניתן למצוא ביטויים מספריים גם מתחת לסימן הלוגריתם עצמו ובבסיסו. במקרה זה, הדבר הראשון שצריך לעשות הוא למצוא את המשמעויות שלהם. ניקח את הביטוי יומן 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. יש לנו:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
אם אי אפשר לחשב את הערך המדויק של הלוגריתם, פישוט הביטוי עוזר למצוא את ערכו.
דוגמה 11: הערך של ביטוי מספרי
בוא נמצא את הערך של הביטוי log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.
log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .
לפי תכונת הלוגריתמים:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.
אם נשתמש שוב במאפייני הלוגריתמים, עבור השבר האחרון בביטוי נקבל:
log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.
כעת תוכל להמשיך לחישוב הערך של הביטוי המקורי.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
ביטויים עם פונקציות טריגונומטריות
קורה שהביטוי מכיל את הפונקציות הטריגונומטריות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, כמו גם את הפונקציות ההפוכות שלהם. הערך מחושב מלפני ביצוע כל שאר פעולות החשבון. אחרת, הביטוי מפושט.
דוגמה 12: הערך של ביטוי מספרי
מצא את הערך של הביטוי: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
ראשית אנו מחשבים את הערכים פונקציות טריגונומטריותנכלל בביטוי.
sin - 5 π 2 = - 1
אנו מחליפים את הערכים בביטוי ומחשבים את ערכו:
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
נמצא ערך הביטוי.
לעתים קרובות, כדי למצוא את הערך של ביטוי עם פונקציות טריגונומטריות, תחילה יש להמיר אותו. בואו נסביר עם דוגמה.
דוגמה 13: הערך של ביטוי מספרי
עלינו למצוא את הערך של הביטוי cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
להמרה נשתמש נוסחאות טריגונומטריותקוסינוס של הזווית הכפולה והקוסינוס של הסכום.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 - π 1 1 - 1 = 0 .
מקרה כללי של ביטוי מספרי
באופן כללי, ביטוי טריגונומטרי יכול להכיל את כל האלמנטים שתוארו לעיל: סוגריים, חזקות, שורשים, לוגריתמים, פונקציות. בואו ננסח חוק כללילמצוא את המשמעויות של ביטויים כאלה.
כיצד למצוא את הערך של ביטוי
- שורשים, חזקות, לוגריתמים וכו'. מוחלפים בערכים שלהם.
- הפעולות בסוגריים מבוצעות.
- שאר הפעולות מתבצעות לפי הסדר משמאל לימין. ראשית - כפל וחילוק, אחר כך - חיבור וחיסור.
בואו נסתכל על דוגמה.
דוגמה 14: הערך של ביטוי מספרי
בוא נחשב את הערך של הביטוי - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.
הביטוי די מורכב ומסורבל. לא סתם בחרנו בדיוק בדוגמה כזו, בניסיון להתאים לתוכה את כל המקרים שתוארו לעיל. איך למצוא את המשמעות של ביטוי כזה?
ידוע כי בעת חישוב הערך של צורת שבר מורכבת, ערכי המונה והמכנה של השבר נמצאים תחילה בנפרד, בהתאמה. אנו נשנה ברצף ונפשט את הביטוי הזה.
קודם כל, בואו נחשב את הערך של הביטוי הרדיקלי 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. כדי לעשות זאת, עליך למצוא את הערך של הסינוס ואת הביטוי שהוא הארגומנט של הפונקציה הטריגונומטרית.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
עכשיו אתה יכול לגלות את הערך של הסינוס:
sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.
אנו מחשבים את הערך של הביטוי הרדיקלי:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
עם המכנה של השבר הכל פשוט יותר:
כעת נוכל לכתוב את הערך של השבר כולו:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .
בהתחשב בכך, אנו כותבים את הביטוי כולו:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
תוצאה סופית:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
במקרה הזה הצלחנו לחשב ערכים מדויקיםשורשים, לוגריתמים, סינוסים וכו'. אם זה לא אפשרי, אתה יכול לנסות להיפטר מהם באמצעות טרנספורמציות מתמטיות.
חישוב ערכי ביטוי בשיטות רציונליות
יש לחשב ערכים מספריים באופן עקבי ומדויק. תהליך זה ניתן לרציונליזציה ולהאיץ באמצעות מאפיינים שונים של פעולות עם מספרים. למשל, ידוע שמכפלה שווה לאפס אם לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס. אם ניקח בחשבון תכונה זו, נוכל לומר מיד שהביטוי 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 שווה לאפס. יחד עם זאת, אין כלל צורך לבצע את הפעולות לפי הסדר המתואר במאמר לעיל.
נוח גם להשתמש בתכונת החיסור מספרים שווים. מבלי לבצע פעולות כלשהן, ניתן להורות שהערך של הביטוי 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 גם הוא אפס.
טכניקה נוספת להאצת התהליך היא שימוש בתמורות זהות כגון קיבוץ מונחים וגורמים והצבת הגורם המשותף בין סוגריים. גישה רציונלית לחישוב ביטויים עם שברים היא לצמצם את אותם ביטויים במונה ובמכנה.
לדוגמה, קח את הביטוי 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. מבלי לבצע את הפעולות בסוגריים, אלא על ידי הפחתת השבר, נוכל לומר שערך הביטוי הוא 1 3 .
מציאת ערכי ביטויים עם משתנים
מַשְׁמָעוּת ביטוי מילוליוביטויים עם משתנים נמצאים עבור ערכים נתונים ספציפיים של אותיות ומשתנים.
מציאת ערכי ביטויים עם משתנים
כדי למצוא את הערך של ביטוי מילולי וביטוי עם משתנים, עליך להחליף את הערכים הנתונים של אותיות ומשתנים בביטוי המקורי, ולאחר מכן לחשב את הערך של הביטוי המספרי המתקבל.
דוגמה 15: ערך של ביטוי עם משתנים
חשב את הערך של הביטוי 0, 5 x - y נתון x = 2, 4 ו- y = 5.
אנו מחליפים את ערכי המשתנים בביטוי ומחשבים:
0.5 x - y = 0.5 2.4 - 5 = 1.2 - 5 = - 3.8.
לפעמים אתה יכול להפוך ביטוי כך שתקבל את הערך שלו ללא קשר לערכי האותיות והמשתנים הכלולים בו. כדי לעשות זאת, אתה צריך להיפטר מאותיות ומשתנים בביטוי, אם אפשר, באמצעות טרנספורמציות זהות, תכונות של פעולות אריתמטיות וכל השיטות האפשריות האחרות.
לדוגמה, לביטוי x + 3 - x יש כמובן את הערך 3, וכדי לחשב ערך זה אין צורך לדעת את הערך של המשתנה x. הערך של ביטוי זה שווה לשלושה עבור כל הערכים של המשתנה x מטווח הערכים המותרים שלו.
עוד דוגמה אחת. הערך של הביטוי x x שווה לאחד עבור כל ה-x החיוביים.
אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter
(34∙10+(489–296)∙8):4–410. קבע את דרך הפעולה. בצע את הפעולה הראשונה בסוגריים הפנימיים 489–296=193. לאחר מכן, הכפל 193∙8=1544 ו-34∙10=340. הפעולה הבאה: 340+1544=1884. לאחר מכן, חלקו 1884:4=461 ואז הפחיתו 461–410=60. מצאת את המשמעות של הביטוי הזה.
דוגמא. מצא את הערך של הביטוי 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. פשט את הביטוי הזה. לשם כך, השתמש בנוסחה tg α∙ctg α=1. קבל: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. ידוע שחטא 30º=1/2 ו-cos 30º=√3/2. לכן, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. מצאת את המשמעות של הביטוי הזה.
הערך של הביטוי האלגברי מ. כדי למצוא את הערך של ביטוי אלגברי בהינתן המשתנים, פשט את הביטוי. תחליף למשתנים ערכים מסוימים. לבצע פעולות הכרחיות. כתוצאה מכך, תקבל מספר, שיהיה הערך של הביטוי האלגברי עבור המשתנים הנתונים.
דוגמא. מצא את הערך של הביטוי 7(a+y)–3(2a+3y) עם a=21 ו-y=10. פשט את הביטוי הזה וקבל: a–2y. החליפו את הערכים התואמים של המשתנים וחשבו: a–2y=21–2∙10=1. זהו הערך של הביטוי 7(a+y)–3(2a+3y) עם a=21 ו-y=10.
הערה
ישנם ביטויים אלגבריים שאינם הגיוניים עבור חלק מהערכים של המשתנים. לדוגמה, הביטוי x/(7–a) אינו הגיוני אם a=7, כי במקרה זה, המכנה של השבר הופך לאפס.
מקורות:
- למצוא הערך הקטן ביותרביטויים
- מצא את המשמעויות של הביטויים עבור c 14
לימוד פישוט ביטויים במתמטיקה הוא פשוט הכרחי על מנת לפתור בעיות ומשוואות שונות בצורה נכונה ומהירה. פישוט ביטוי כרוך בהפחתת מספר השלבים, מה שמקל על החישובים וחוסך זמן.
הוראות
למד לחשב חזקות של c. כשמכפילים חזקות c מתקבל מספר שהבסיס שלו זהה, ומוסיפים את המעריכים b^m+b^n=b^(m+n). כאשר מחלקים מעלות עם באותו נימוקהם מקבלים את החזקה של מספר, שבסיסו נשאר זהה, ומחסרים את המעריכים, ואת המעריך של המחלק b^m מופחת מהמעריך של הדיבידנד: b^n=b^(m-n). כאשר מעלים חזקה לחזקה מתקבלת חזקה של מספר שבסיסו נשאר זהה, ומכפילים את המעריכים (b^m)^n=b^(mn) כאשר מעלים לחזקה, כל גורם מורם לעוצמה זו (abc)^m=a^m *b^m*c^m
פולינומים גורמים, כלומר. דמיינו אותם כתוצר של מספר גורמים - ומונומיאלים. הסר את הגורם המשותף מהסוגריים. למד את הנוסחאות הבסיסיות לכפל מקוצר: הפרש ריבועים, הפרש בריבוע, סכום, הפרש קוביות, קוביית סכום והפרש. לדוגמה, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. הנוסחאות הללו הן העיקריות בפישוט. השתמשו בשיטה של בידוד ריבוע מושלם בטרינום בצורה ax^2+bx+c.
קיצור שברים לעתים קרובות ככל האפשר. לדוגמה, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). אבל זכור שאתה יכול רק להפחית מכפילים. אם המונה והמכנה שבר אלגבריכפול באותו מספר מלבד אפס, ערך השבר לא ישתנה. ניתן להמיר ביטויים בשתי דרכים: משורשרות ועל ידי פעולות. השיטה השנייה עדיפה, כי קל יותר לבדוק את התוצאות של פעולות ביניים.
לעתים קרובות יש צורך לחלץ שורשים בביטויים. אפילו שורשים מופקים רק מביטויים או מספרים שאינם שליליים. ניתן לחלץ שורשים מוזרים מכל ביטוי.
מקורות:
- פישוט ביטויים עם כוחות
פונקציות טריגונומטריות הופיעו לראשונה ככלים לחישובים מתמטיים מופשטים של תלות הכמויות פינות חדות V משולש ישר זוויתמאורך דפנותיו. עכשיו הם נמצאים בשימוש נרחב הן בתחומים מדעיים וטכניים של פעילות אנושית. עבור חישובים מעשיים של פונקציות טריגונומטריות של ארגומנטים נתונים, אתה יכול להשתמש בכלים שונים - כמה מהנגישים ביותר מתוארים להלן.
הוראות
השתמש, למשל, זה המותקן כברירת מחדל עם מערכת הפעלהתוכנית מחשבון. הוא נפתח על ידי בחירה בפריט "מחשבון" בתיקיית "כלי עזר" מסעיף המשנה "סטנדרטי", הממוקם בסעיף "כל התוכניות". ניתן לפתוח את החלק הזה על ידי לחיצה על כפתור "התחל" כדי לפתוח את תפריט ההפעלה הראשי. אם אתה משתמש בגרסת Windows 7, אתה יכול פשוט להזין "מחשבון" בשדה "חפש תוכניות וקבצים" בתפריט הראשי, ולאחר מכן ללחוץ על הקישור המתאים בתוצאות החיפוש.
ספרו את מספר הפעולות הנדרשות וחשבו על הסדר שבו יש לבצע אותן. אם שאלה זו קשה לך, שים לב שתחילה מבצעים את הפעולות המוקפות בסוגריים, ולאחר מכן חילוק וכפל; והחיסור נעשה אחרון. כדי להקל על זכירת האלגוריתם של הפעולות שבוצעו, בביטוי שמעל כל סימן אופרטור פעולה (+,-,*,:), עם עיפרון דק, רשמו את המספרים המתאימים לביצוע הפעולות.
המשך לשלב הראשון, תוך הקפדה על קבע סדר. ספור בראש שלך אם הפעולות קלות לביצוע מילולית. אם נדרשים חישובים (בעמודה), כתוב אותם מתחת לביטוי, מציין מספר סידוריפעולות.
עקבו בבירור אחר רצף הפעולות שבוצעו, העריכו מה צריך לגרוע ממה, לחלק למה וכו'. לעתים קרובות מאוד התשובה בביטוי אינה נכונה עקב טעויות שנעשו בשלב זה.
תכונה ייחודיתביטוי הוא נוכחות פעולות מתמטיות. זה מסומן על ידי סימנים מסוימים (כפל, חילוק, חיסור או חיבור). רצף ביצוע הפעולות המתמטיות מתוקן בסוגריים במידת הצורך. לבצע פעולות מתמטיות פירושו למצוא .
מה זה לא ביטוי
לא כל סימון מתמטי יכול להיות מסווג כביטוי.
שוויון אינו ביטוי. לא משנה אם פעולות מתמטיות קיימות בשוויון או לא. לדוגמה, a=5 הוא שוויון, לא ביטוי, אבל גם 8+6*2=20 לא יכול להיחשב כביטוי, למרות שהוא מכיל כפל. גם דוגמה זו שייכת לקטגוריית השוויון.
מושגי הביטוי והשוויון אינם סותרים זה את זה, הראשונים נכללים בשני. סימן השוויון מחבר בין שני ביטויים:
5+7=24:2
ניתן לפשט את המשוואה הזו:
5+7=12
ביטוי תמיד מניח שניתן לבצע את הפעולות המתמטיות שהוא מייצג. 9+:-7 אינו ביטוי, למרות שיש כאן סימנים לפעולות מתמטיות, כי אי אפשר לבצע את הפעולות הללו.
יש גם מתמטיים שהם ביטויים פורמליים, אבל אין להם משמעות. דוגמה לביטוי כזה:
46:(5-2-3)
יש לחלק את המספר 46 בתוצאת הפעולות בסוגריים, והוא שווה לאפס. אתה לא יכול לחלק באפס הפעולה נחשבת אסורה.
ביטויים מספריים ואלגבריים
ישנם שני סוגים של ביטויים מתמטיים.
אם ביטוי מכיל רק מספרים וסמלים של פעולות מתמטיות, ביטוי כזה נקרא מספרי. אם בביטוי, יחד עם מספרים, ישנם משתנים המסומנים באותיות, או שאין מספרים כלל, הביטוי מורכב רק ממשתנים וסמלים של פעולות מתמטיות, זה נקרא אלגברי.
ההבדל המהותי בין ערך מספרי לערך אלגברי הוא שלביטוי מספרי יש רק ערך אחד. לדוגמה, הערך של הביטוי המספרי 56–2*3 תמיד יהיה שווה ל-50 שום דבר לא ניתן לשינוי. לביטוי אלגברי יכולים להיות ערכים רבים, מכיוון שניתן להחליף כל מספר. לכן, אם בביטוי b–7 נחליף 9 ב-b, הערך של הביטוי יהיה 2, ואם 200, הוא יהיה 193.
מקורות:
- ביטויים מספריים ואלגבריים
ביטוי מספרי– זהו כל תיעוד של מספרים, סימנים אריתמטיים וסוגריים. ביטוי מספרי יכול פשוט להיות מורכב ממספר אחד. נזכיר כי פעולות החשבון הבסיסיות הן "חיבור", "חיסור", "כפל" ו"חילוק". פעולות אלו מתאימות לסימנים "+", "-", "∙", ":".
כמובן שכדי שנוכל לקבל ביטוי מספרי, הרישום של מספרים וסמלים אריתמטיים חייב להיות בעל משמעות. אז, למשל, ערך כזה 5: + ∙ לא יכול להיקרא ביטוי מספרי, מכיוון שהוא קבוצה אקראית של סמלים שאין לה משמעות. להיפך, 5 + 8 ∙ 9 הוא כבר ביטוי מספרי אמיתי.
הערך של ביטוי מספרי.
נגיד מיד שאם נבצע את הפעולות המצוינות בביטוי המספרי, אז כתוצאה מכך נקבל מספר. המספר הזה נקרא הערך של ביטוי מספרי.
בואו ננסה לחשב מה נקבל כתוצאה מביצוע הפעולות של הדוגמה שלנו. לפי הסדר שבו מתבצעות פעולות אריתמטיות, אנו מבצעים תחילה את פעולת הכפל. נכפיל 8 ב-9. נקבל 72. כעת נוסיף 72 ו-5. נקבל 77.
אז, 77 - מַשְׁמָעוּתביטוי מספרי 5 + 8 ∙ 9.
שוויון מספרי.
אתה יכול לכתוב את זה כך: 5 + 8 ∙ 9 = 77. כאן השתמשנו בסימן "=" ("שווה") בפעם הראשונה. סימון כזה שבו שני ביטויים מספריים מופרדים בסימן "=" נקרא שוויון מספרי. יתר על כן, אם הערכים של הצד השמאלי והימני של השוויון עולים בקנה אחד, אז השוויון נקרא נאמן. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – שוויון נכון.
אם נכתוב 5 + 8 ∙ 9 = 100, אז זה כבר יהיה שוויון כוזב, מכיוון שהערכים של הצד השמאלי והימני של השוויון הזה אינם תואמים יותר.
יש לציין שבביטוי מספרי נוכל להשתמש גם בסוגריים. סוגריים משפיעים על סדר ביצוע הפעולות. אז, למשל, בואו נשנה את הדוגמה שלנו על ידי הוספת סוגריים: (5 + 8) ∙ 9. כעת תחילה עליך להוסיף 5 ו-8. נקבל 13. ואז נכפיל 13 ב-9. נקבל 117. כך, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – מַשְׁמָעוּתביטוי מספרי (5 + 8) ∙ 9.
כדי לקרוא נכון ביטוי, עליך לקבוע איזו פעולה מבוצעת אחרונה כדי לחשב את הערך של ביטוי מספרי נתון. אז, אם הפעולה האחרונה היא חיסור, אז הביטוי נקרא "הבדל". בהתאם לכך, אם הפעולה האחרונה היא סכום - "סכום", חלוקה - "מנה", כפל - "מכפלה", אקספוננציה - "כוח".
לדוגמה, הביטוי המספרי (1+5)(10-3) קורא כך: "המכפלה של סכום המספרים 1 ו-5 וההפרש של המספרים 10 ו-3."
דוגמאות לביטויים מספריים.
הנה דוגמה לביטוי מספרי מורכב יותר:
\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]
ביטוי מספרי זה משתמש מספרים ראשוניים, שברים רגילים ושברים עשרוניים. כמו כן נעשה שימוש בסימני חיבור, חיסור, כפל וחילוק. קו השבר מחליף גם את סימן החלוקה. למרות המורכבות לכאורה, מציאת הערך של הביטוי המספרי הזה היא פשוטה למדי. העיקר הוא להיות מסוגל לבצע פעולות עם שברים, כמו גם לבצע חישובים בזהירות ובדייקנות, תוך התבוננות בסדר ביצוע הפעולות.
בסוגריים יש לנו את הביטוי $\frac(1)(4)+3.75$ . בואו נעשה שינוי נקודה 3.75 ברגיל.
$3.75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$
כך, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$
לאחר מכן, במונה של השבר \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]יש לנו את הביטוי 1.25+3.47+4.75-1.47. כדי לפשט ביטוי זה, אנו מיישמים את חוק החיבור הקומוטטיבי, הקובע: "הסכום אינו משתנה על ידי שינוי מקומות המונחים". כלומר, 1.25+3.47+4.75-1.47=1.25+4.75+3.47-1.47=6+2=8.
במכנה של השבר הביטוי $4\centerdot 0.5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$
אנחנו מקבלים $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$
מתי אין היגיון בביטויים מספריים?
בואו נסתכל על דוגמה נוספת. במכנה של השבר $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$הערך של הביטוי $3\centerdot 3-9$ הוא 0. וכידוע, חלוקה באפס היא בלתי אפשרית. לכן, לשבר $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ אין משמעות. אומרים שביטויים מספריים חסרי משמעות הם בעלי "אין משמעות".
אם נשתמש באותיות בנוסף למספרים בביטוי מספרי, אז יהיה לנו
אני. ביטויים שבהם ניתן להשתמש במספרים, בסמלים אריתמטיים ובסוגריים יחד עם אותיות נקראים ביטויים אלגבריים.
דוגמאות לביטויים אלגבריים:
2m -n; 3 · (2a + b); 0.24x; 0.3a -ב · (4a + 2b); a 2 - 2ab;
מכיוון שניתן להחליף אות בביטוי אלגברי במספרים שונים, האות נקראת משתנה, והאות עצמה ביטוי אלגברי- ביטוי עם משתנה.
II. אם בביטוי אלגברי האותיות (המשתנים) מוחלפות בערכים שלהן ומבוצעות הפעולות שצוינו, אז המספר המתקבל נקרא ערך הביטוי האלגברי.
דוגמאות. מצא את משמעות הביטוי:
1) a + 2b -c עם a = -2; b = 10; c = -3.5.
2) |x| + |y| -|ז| ב-x = -8; y = -5; z = 6.
פִּתָרוֹן.
1) a + 2b -c עם a = -2; b = 10; c = -3.5. במקום משתנים, בואו נחליף את הערכים שלהם. אנחנו מקבלים:
— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) |x| + |y| -|ז| ב-x = -8; y = -5; z = 6. החלף את הערכים המצוינים. זכור כי המודול מספר שלילישווה למספר הנגדי שלו, והמודלוס של מספר חיובי שווה למספר הזה עצמו. אנחנו מקבלים:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
III.ערכי האות (המשתנה) שעבורם הביטוי האלגברי הגיוני נקראים הערכים המותרים של האות (משתנה).
דוגמאות. עבור אילו ערכים של המשתנה אין היגיון בביטוי?
פִּתָרוֹן.אנו יודעים שלא ניתן לחלק באפס, לכן, כל אחד מהביטויים הללו לא יהיה הגיוני בהתחשב בערך האות (המשתנה) שהופכת את המכנה של השבר לאפס!
בדוגמה 1) הערך הזה הוא a = 0. אכן, אם אתה מחליף 0 במקום a, אז תצטרך לחלק את המספר 6 ב-0, אך לא ניתן לעשות זאת. תשובה: ביטוי 1) אינו הגיוני כאשר a = 0.
בדוגמה 2) המכנה של x הוא 4 = 0 ב-x = 4, לכן, לא ניתן לקחת את הערך הזה x = 4. תשובה: ביטוי 2) אינו הגיוני כאשר x = 4.
בדוגמה 3) המכנה הוא x + 2 = 0 כאשר x = -2. תשובה: ביטוי 3) אינו הגיוני כאשר x = -2.
בדוגמה 4) המכנה הוא 5 -|x| = 0 עבור |x| = 5. ומאז |5| = 5 ו- |-5| = 5, אז אתה לא יכול לקחת x = 5 ו-x = -5. תשובה: ביטוי 4) אינו הגיוני ב-x = -5 וב-x = 5.
IV. אומרים ששני ביטויים שווים זהה אם בכלל ערכים מקובליםמשתנים, הערכים התואמים של ביטויים אלה שווים.
דוגמה: 5 (a – b) ו-5a – 5b שווים גם הם, שכן השוויון 5 (a – b) = 5a – 5b יהיה נכון עבור כל ערכים של a ו-b. השוויון 5 (א – ב) = 5a – 5ב הוא זהות.
זהות הוא שוויון שתקף לכל הערכים המותרים של המשתנים הכלולים בו. דוגמאות לזהויות שכבר ידועות לך הן, למשל, תכונות החיבור והכפל, והתכונה החלוקה.
החלפת ביטוי אחד בביטוי שווה זהה אחר נקראת טרנספורמציה של זהות או פשוט טרנספורמציה של ביטוי. טרנספורמציות זהות של ביטויים עם משתנים מבוצעות על סמך תכונות הפעולות על מספרים.
דוגמאות.
א)המר את הביטוי לשווה זהה באמצעות התכונה החלוקתית של הכפל:
1) 10·(1.2x + 2.3y); 2) 1.5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).
פִּתָרוֹן. הבה נזכיר את המאפיין החלוקתי (חוק) הכפל:
(a+b)c=ac+bc(חוק הכפל החלוקתי ביחס לחיבור: על מנת להכפיל את סכום שני מספרים במספר שלישי, ניתן להכפיל כל איבר במספר זה ולהוסיף את התוצאות המתקבלות).
(א-ב) ג=א ג-ב ג(חוק הכפל החלוקתי ביחס לחיסור: על מנת להכפיל את ההפרש של שני מספרים במספר שלישי, ניתן להכפיל את המינואנד ולחסיר במספר זה בנפרד ולהחסיר את השני מהתוצאה הראשונה).
1) 10·(1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y.
2) 1.5·(a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.
3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.
ב)הפוך את הביטוי לשווה זהה, תוך שימוש בתכונות הקומוטטיביות והאסוציאטיביות (חוקי) החיבור:
4) x + 4.5 +2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4 שניות -3 -2.5 -2.3 שניות.
פִּתָרוֹן.הבה נחיל את חוקי ההוספה (מאפיינים):
a+b=b+a(קומוטטיבי: סידור מחדש של המונחים אינו משנה את הסכום).
(a+b)+c=a+(b+c)(קומבינטיבי: על מנת להוסיף מספר שלישי לסכום של שני איברים, ניתן להוסיף את סכום השני והשלישי למספר הראשון).
4) x + 4.5 +2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.
5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.
6) 6) 5.4 שניות -3 -2.5 -2.3 שניות = (5.4 שניות -2.3 שניות) + (-3 -2.5) = 3.1 שניות -5.5.
V)המר את הביטוי לשווה זהה באמצעות המאפיינים הקומוטטיביים והאסוציאטיביים (חוקי הכפל):
7) 4 · איקס · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3א · (-3) · 2 שניות.
פִּתָרוֹן.בואו ניישם את חוקי הכפל (מאפיינים):
a·b=b·a(קומוטטיבי: סידור מחדש של הגורמים לא משנה את המוצר).
(א ב) c=a (ב ג)(קומבינטיבי: כדי להכפיל את המכפלה של שני מספרים במספר שלישי, אפשר להכפיל את המספר הראשון במכפלת השני והשלישי).
7) 4 · איקס · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.
8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.
9) 3א · (-3) · 2c = -18ac.
אם ניתן ביטוי אלגברי בצורה של שבר ניתן לצמצום, אז באמצעות הכלל להקטנת שבר ניתן לפשט אותו, כלומר. להחליף אותו בביטוי זהה ופשוט יותר.
דוגמאות. פשט באמצעות הפחתת שברים. 
פִּתָרוֹן.לצמצם שבר פירושו לחלק את המונה והמכנה שלו באותו מספר (ביטוי), מלבד אפס. שבר 10) יקטן ב- 3ב; שבר 11) יקטן ב אושבר 12) יקטן ב 7n. אנחנו מקבלים:
ביטויים אלגבריים משמשים ליצירת נוסחאות.
נוסחה היא ביטוי אלגברי שנכתב כשוויון ומבטא את הקשר בין שני משתנים או יותר.דוגמה: נוסחת נתיב שאתה מכיר s=v t(s - מרחק שעבר, v - מהירות, t - זמן). זכור אילו נוסחאות אחרות אתה מכיר.
עמוד 1 מתוך 1 1
ניסוח בעיה:מצא את משמעות הביטוי (פעולות עם שברים).
הבעיה היא חלק מבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה ברמה בסיסית לכיתה י"א תחת מספר 1 (פעולות עם שברים).
בואו נסתכל כיצד פותרים בעיות כאלה באמצעות דוגמאות.
דוגמה למשימה 1:
מצא את הערך של הביטוי 5/4 + 7/6: 2/3.
בוא נחשב את ערך הביטוי. לשם כך, אנו קובעים את סדר הפעולות: תחילה כפל וחילוק, לאחר מכן חיבור וחיסור. ובצע את הפעולות הדרושות בסדר הנכון:
תשובה: 3
דוגמה למשימה 2:
מצא את ערך הביטוי (3.9 – 2.4) ∙ 8.2
תשובה: 12.3
דוגמה למשימה 3:
מצא את הערך של הביטוי 27 ∙ (1/3 – 4/9 – 5/27).
בוא נחשב את ערך הביטוי. לשם כך, אנו קובעים את סדר הפעולות: תחילה כפל וחילוק, לאחר מכן חיבור וחיסור. במקרה זה, פעולות בסוגריים מבוצעות מוקדם יותר מאשר פעולות מחוץ לסוגריים. ובצע את הפעולות הדרושות בסדר הנכון:
תשובה: -8
משימה 4 לדוגמה:
מצא את הערך של הביטוי 2.7 / (1.4 + 0.1)
בוא נחשב את ערך הביטוי. לשם כך, אנו קובעים את סדר הפעולות: תחילה כפל וחילוק, לאחר מכן חיבור וחיסור. במקרה זה, פעולות בסוגריים מבוצעות מוקדם יותר מאשר פעולות מחוץ לסוגריים. ובצע את הפעולות הדרושות בסדר הנכון:
תשובה: 1.8
בעיה 5 לדוגמה:
מצא את הערך של הביטוי 1 / (1/9 – 1/12).
בוא נחשב את ערך הביטוי. לשם כך, אנו קובעים את סדר הפעולות: תחילה כפל וחילוק, לאחר מכן חיבור וחיסור. במקרה זה, פעולות בסוגריים מבוצעות מוקדם יותר מאשר פעולות מחוץ לסוגריים. ובצע את הפעולות הדרושות בסדר הנכון:
תשובה: 36
בעיה 6 לדוגמה:
מצא את הערך של הביטוי (0.24 ∙ 10^6) / (0.6 ∙ 10^4).
בוא נחשב את ערך הביטוי. לשם כך, אנו קובעים את סדר הפעולות: תחילה כפל וחילוק, לאחר מכן חיבור וחיסור. במקרה זה, פעולות בסוגריים מבוצעות מוקדם יותר מאשר פעולות מחוץ לסוגריים. ובצע את הפעולות הדרושות בסדר הנכון:
תשובה: 40
בעיה 7 לדוגמה:
מצא את הערך של הביטוי (1.23 ∙ 45.7) / (12.3 ∙ 0.457).
בוא נחשב את ערך הביטוי. לשם כך, אנו קובעים את סדר הפעולות: תחילה כפל וחילוק, לאחר מכן חיבור וחיסור. במקרה זה, פעולות בסוגריים מבוצעות מוקדם יותר מאשר פעולות מחוץ לסוגריים. ובצע את הפעולות הדרושות בסדר הנכון:
תשובה: 10
בעיה 8 לדוגמה:
מצא את הערך של הביטוי (728^2 - 26^2): 754.
בוא נחשב את ערך הביטוי. לשם כך, אנו קובעים את סדר הפעולות: תחילה כפל וחילוק, לאחר מכן חיבור וחיסור. במקרה זה, פעולות בסוגריים מבוצעות מוקדם יותר מאשר פעולות מחוץ לסוגריים. ונבצע את הפעולות הנדרשות בסדר הנכון. גם במקרה זה אתה צריך ליישם את נוסחת ההבדל של ריבועים.
