הקורס משתמש שפה גיאומטרית, המורכב מסימונים וסמלים שאומצו בקורס המתמטיקה (בפרט, בקורס הגיאומטריה החדש בתיכון).
ניתן לחלק את כל מגוון הייעודים והסמלים, כמו גם את הקשרים ביניהם, לשתי קבוצות:
קבוצה I - כינויים של דמויות גיאומטריות ויחסים ביניהן;
קבוצה II ייעודים של פעולות לוגיות, המהוות את הבסיס התחבירי של השפה הגאומטרית.
להלן רשימה מלאהסמלים מתמטיים המשמשים בקורס זה. תשומת - לב מיוחדתניתן לסמלים המשמשים לייעוד הקרנות של צורות גיאומטריות.
קבוצה I
סמלים המיועדים לדמויות גיאומטריות ומערכות היחסים ביניהן
א ייעוד צורות גיאומטריות
1. הדמות הגיאומטרית מסומנת - F.
2. נקודות מסומנות באותיות גדולות אלפבית לטיניאו ספרות ערביות:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. מסומנים קווים הממוקמים באופן שרירותי ביחס למישורי ההקרנה אוֹתִיוֹת קְטָנוֹתאלפבית לטיני:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
קווי רמה מסומנים: h - אופקי; f- חזיתית.
הסימון הבא משמש גם לקווים ישרים:
(AB) - קו ישר העובר בנקודות A ו-B;
[AB) - קרן שתחילתה בנקודה א';
[AB] - קטע קו ישר התחום בנקודות A ו-B.
4. משטחים מסומנים באותיות קטנות של האלפבית היווני:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
כדי להדגיש את אופן הגדרת המשטח, עליך לציין את האלמנטים הגיאומטריים שלפיהם הוא מוגדר, למשל:
α(a || b) - מישור α נקבע על ידי קווים מקבילים a ו-b;
β(d 1 d 2 gα) - פני השטח β נקבעים על ידי המדריכים d 1 ו-d 2, הגנרטיקס g ומישור המקביליות α.
5. זוויות מסומנות:
∠ABC - זווית עם קודקוד בנקודה B, כמו גם ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. זוויתי: הערך (מידת מעלות) מסומן על ידי השלט, המוצב מעל הזווית:
הערך של הזווית ABC;
הערך של הזווית φ.
זווית ישרה מסומנת בריבוע עם נקודה בפנים
7. מרחקים בין דמויות גיאומטריות מסומנים על ידי שני קטעים אנכיים - ||.
לדוגמה:
|AB| - מרחק בין נקודות A ו-B (אורך קטע AB);
|אא| - מרחק מנקודה A לקו a;
|Aα| - מרחקים מנקודה A למשטח α;
|אב| - מרחק בין קווים a ו-b;
|αβ| מרחק בין משטחים α ו-β.
8. עבור מישורי הקרנה מקובלים הייעודים הבאים: π 1 ו- π 2, כאשר π 1 הוא מישור ההקרנה האופקי;
π 2 -מישור תחזיות פריונטלי.
בעת החלפת מישורי הקרנה או הכנסת מישורים חדשים, האחרונים מסמנים π 3, π 4 וכו'.
9. צירי הקרנה מסומנים: x, y, z, כאשר x הוא ציר x; y הוא ציר ה-y; z - ציר יישום.
הקו הקבוע של דיאגרמת Monge מסומן ב-k.
10. הקרנות של נקודות, קווים, משטחים, כל דמות גיאומטרית מסומנות באותן אותיות (או מספרים) כמו המקור, בתוספת כתב עילית המתאים למישור ההקרנה שעליו התקבלו:
A", B", C", D", ..., L", M", N", הקרנות אופקיות של נקודות; A", B", C", D", ..., L", M", N", ... הקרנות חזיתיות של נקודות; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - הקרנות אופקיות של קווים; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m" , n" , ... הקרנות חזיתיות של קווים; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... הקרנות אופקיות של משטחים; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... הקרנות חזיתיות של משטחים.
11. עקבות של מישורים (משטחים) מסומנים באותיות כמו האופקי או החזיתי, בתוספת כתב תחתון 0α, תוך הדגשה כי קווים אלו שוכנים במישור ההקרנה ושייכים למישור (המשטח) α.
אז: h 0α - עקבות אופקית של המישור (משטח) α;
f 0α - עקבות חזיתית של המישור (משטח) α.
12. עקבות של קווים ישרים (קווים) מסומנים באותיות גדולות, שמתחילות מילים שמגדירות את השם (בתעתיק לטיני) של מישור ההקרנה שהקו חוצה, כשכתובת משנה מציינת שייכות לקו.
לדוגמה: H a - עקבה אופקית של קו ישר (קו) a;
F a - עקבות חזיתית של קו ישר (קו) א.
13. רצף הנקודות, הקווים (של כל איור) מסומן בכתבי המשנה 1,2,3,..., n:
A 1, A 2, A 3,..., A n;
a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n ;
α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;
F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n וכו'.
הקרנת העזר של הנקודה, המתקבלת כתוצאה מהשינוי לקבלת הערך הממשי של הדמות הגיאומטרית, מסומנת על ידי אותה אות עם הכיתוב 0:
A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...
תחזיות אקסונומטריות
14. תחזיות אקסונומטריות של נקודות, קווים, משטחים מסומנות באותיות כמו הטבע בתוספת הכתב העילי 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. תחזיות משניות מסומנות על ידי הוספת כתב עילי 1:
A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
כדי להקל על קריאת השרטוטים בספר הלימוד, נעשה שימוש במספר צבעים בעיצוב החומר ההמחשה, שלכל אחד מהם משמעות סמנטית מסוימת: קווים שחורים (נקודות) מציינים את הנתונים הראשוניים; צבע ירוקמשמש לקווים של קונסטרוקציות גרפיות עזר; קווים אדומים (נקודות) מציגים את התוצאות של קונסטרוקציות או אותם אלמנטים גיאומטריים שאליהם יש להקדיש תשומת לב מיוחדת.
| לא. | יִעוּד | תוֹכֶן | דוגמה לסימון סמלי |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | התאמה | (AB) ≡ (CD) - קו ישר העובר בנקודות A ו-B, עולה בקנה אחד עם הקו העובר בנקודות C ו-D |
| 2 | ≅ | חוֹפֵף | ∠ABC≅∠MNK - הזווית ABC תואמת לזווית MNK |
| 3 | ∼ | דוֹמֶה | ΔABS∼ΔMNK - משולשים ABC ו-MNK דומים |
| 4 | || | מַקְבִּיל | α||β - מישור α מקביל למישור β |
| 5 | ⊥ | אֲנָכִי | a⊥b - קווים a ו-b מאונכים |
| 6 | הכלאה | עם d - קווים c ו-d מצטלבים | |
| 7 | טנגנטים | t l - קו t משיק לקו l. βα - מישור β משיק למשטח α |
|
| 8 | → | מוצגים | F 1 → F 2 - הדמות F 1 ממופה על הדמות F 2 |
| 9 | ס | מרכז הקרנה. אם מרכז ההקרנה אינו נקודה מתאימה, מיקומו מסומן על ידי חץ, מציין את כיוון ההקרנה | - |
| 10 | ס | כיוון הקרנה | - |
| 11 | פ | הקרנה מקבילה | p s α הקרנה מקבילה - הקרנה מקבילה למישור α בכיוון s |
| לא. | יִעוּד | תוֹכֶן | דוגמה לסימון סמלי | דוגמה לסימון סימבולי בגיאומטריה |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M,N | סטים | - | - |
| 2 | א ב ג,... | הגדר אלמנטים | - | - |
| 3 | { ... } | כולל... | F(A, B, C,...) | Ф(A, B, C,...) - איור Ф מורכב מנקודות A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | סט ריק | L - ∅ - הסט L ריק (לא מכיל אלמנטים) | - |
| 5 | ∈ | שייך, הוא אלמנט | 2∈N (כאשר N הוא קבוצת המספרים הטבעיים) - המספר 2 שייך לקבוצה N | A ∈ a - נקודה A שייכת לישר a (נקודה א' נמצאת על קו א') |
| 6 | ⊂ | כולל, מכיל | N⊂M - הקבוצה N היא חלק (תת-קבוצה) מהקבוצה M של כל המספרים הרציונליים | a⊂α - קו a שייך למישור α (מובן במובן: קבוצת הנקודות של הישר a היא תת-קבוצה של נקודות המישור α) |
| 7 | ∪ | עמותה | C \u003d A U B - קבוצה C היא איחוד של קבוצות א' וב'; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5) | ABCD = ∪ [BC] ∪ - קו שבור, ABCD הוא איחוד של מקטעים [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | צומת של רבים | М=К∩L - הקבוצה М היא המפגש בין הקבוצות К ו-L (מכיל אלמנטים השייכים גם לקבוצה K וגם לקבוצה L). M ∩ N = ∅- הצטלבות של קבוצות M ו-N היא הקבוצה הריקה (לקבוצות M ו-N אין אלמנטים משותפים) | a = α ∩ β - קו a הוא החתך מישורים α ו-β ו- ∩ b = ∅ - קווים a ו-b אינם מצטלבים (אין לך נקודות משותפות) |
| לא. | יִעוּד | תוֹכֶן | דוגמה לסימון סמלי |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | צירוף משפטים; מתאים לאיגוד "ו". המשפט (p∧q) נכון אם ורק אם p ו-q שניהם נכונים | α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) החיתוך של המשטחים α ו-β הוא קבוצת נקודות (קו), המורכב מכל אלה ורק אותן נקודות K השייכות הן למשטח α והן למשטח β |
| 2 | ∨ | ניתוק משפטים; מתאים לאיגוד "או". משפט (p∨q) נכון כאשר לפחות אחד מהמשפטים p או q נכון (כלומר או p או q או שניהם). | - |
| 3 | ⇒ | השלכה היא תוצאה הגיונית. פירוש המשפט p⇒q הוא: "אם p, אז q" | (a||c∧b||c)⇒a||b. אם שני קווים מקבילים לשלישי, אז הם מקבילים זה לזה. |
| 4 | ⇔ | המשפט (p⇔q) מובן במובן: "אם p, אז q; אם q, אז p" | А∈α⇔А∈l⊂α. נקודה שייכת למישור אם היא שייכת לקו כלשהו השייך למישור זה. גם ההיפך נכון: אם נקודה שייכת לקו כלשהו, שייך למישור, אז זה שייך גם למישור עצמו. |
| 5 | ∀ | המכמת הכללי קורא: לכולם, לכולם, לכל אחד. הביטוי ∀(x)P(x) פירושו: "עבור כל x: תכונה P(x)" | ∀(ΔABC)( = 180°) עבור כל משולש (עבור כל) סכום ערכי הזוויות שלו בקודקודים הוא 180° |
| 6 | ∃ | הכמת הקיומי קורא: קיים. הביטוי ∃(x)P(x) פירושו: "יש x בעל התכונה P(x)" | (∀α)(∃a) עבור כל מישור α, קיים קו a שאינו שייך למישור α ובמקביל למישור α |
| 7 | ∃1 | הייחודיות של מכמת הקיום, אומרת: יש ייחודיות (-th, -th)... הביטוי ∃1(x)(Px) פירושו: "יש x ייחודי (רק אחד), בעל הנכס Rx" | (∀ A,B)(A≠B)(∃1a)(a∋A,B) עבור כל שתי נקודות שונות A ו-B, יש קו ייחודי a, עובר בנקודות אלו. |
| 8 | (px) | שלילה של המשפט P(x) | ab(∃α )(α⊃а, b). אם ישרים a ו-b מצטלבים, אז אין מישור a שמכיל אותם |
| 9 | \ | סימן שלילי | ≠ - הקטע [AB] אינו שווה לקטע .a? b - הישר a אינו מקביל לישר b |
אינסוף.י' וואליס (1655).
לראשונה הוא נמצא בחיבורו של המתמטיקאי האנגלי ג'ון ואליס "על חתכים חרוטים".
בסיס של לוגריתמים טבעיים. ל' אוילר (1736).
קבוע מתמטי, מספר טרנסצנדנטי. מספר זה נקרא לפעמים לא פרובלכבוד הסקוטיםהמדען נאפייר, מחבר העבודה "תיאור טבלת הלוגריתמים המדהימה" (1614). בפעם הראשונה, הקבוע נוכח בשתיקה בנספח לתרגום לאנגלית של היצירה הנ"ל מאת Napier, שפורסמה ב-1618. אותו קבוע בדיוק חושב לראשונה על ידי המתמטיקאי השוויצרי יעקב ברנולי במהלך פתרון בעיית הערך המגביל של הכנסות הריבית.
2,71828182845904523...
השימוש הראשון הידוע בקבוע הזה, שבו הוא סומן באות ב, נמצא במכתביו של לייבניץ להויגנס, 1690-1691. מִכְתָב ההחל להשתמש באולר בשנת 1727, והפרסום הראשון עם מכתב זה היה המכניקה שלו, או מדע התנועה, Stated Analytically, 1736. בהתאמה, הנקרא בדרך כלל מספר אוילר. מדוע נבחרה האות? ה, לא בדיוק ידוע. אולי זה נובע מהעובדה שהמילה מתחילה בזה אקספוננציאלי("אקספוננציאלי", "מעריכי"). הנחה נוספת היא שהאותיות א, ב, גו דכבר בשימוש נרחב למטרות אחרות, ו ההיה המכתב הראשון "בחינם".
היחס בין היקף מעגל לקוטרו. וו. ג'ונס (1706), ל. אוילר (1736).
קבוע מתמטי, מספר אי רציונלי. המספר "pi", השם הישן הוא המספר של לודולף. כמו כל מספר אי-רציונלי, π מיוצג על ידי שבר עשרוני אינסופי שאינו מחזורי:
π=3.141592653589793...
לראשונה, ייעודו של מספר זה באות היוונית π שימש את המתמטיקאי הבריטי ויליאם ג'ונס בספר A New Introduction to Mathematics, והוא הפך למקובל לאחר עבודתו של לאונרד אוילר. ייעוד זה מגיע מהאות הראשונית של המילים היווניות περιφερεια - מעגל, פריפריה ו-περιμετρος - היקף. יוהאן היינריך למברט הוכיח את חוסר ההיגיון של π ב-1761, ואדריאן מארי לג'נדר ב-1774 הוכיח את חוסר ההיגיון של π 2 . Legendre ואולר הניחו ש-π יכול להיות טרנסצנדנטלי, כלומר. לא יכול לספק אף אחד משוואה אלגבריתעם מקדמים שלמים, אשר הוכח בסופו של דבר ב-1882 על ידי פרדיננד פון לינדמן.
יחידה דמיונית. ל' אוילר (1777, בדפוס - 1794).
ידוע כי המשוואה x 2 \u003d 1בעל שני שורשים: 1 ו -1 . היחידה הדמיונית היא אחד משני השורשים של המשוואה x 2 \u003d -1, מסומן אות לטינית אני, שורש אחר: -אני. כינוי זה הוצע על ידי לאונרד אוילר, שלקח את האות הראשונה של המילה הלטינית עבור זה דמיוני(דִמיוֹנִי). הוא גם הרחיב את כל הפונקציות הסטנדרטיות לתחום המורכב, כלומר. קבוצה של מספרים המיוצגים בטופס a+ib, איפה או בהם מספרים ממשיים. המונח "מספר מורכב" הוכנס לשימוש נרחב על ידי המתמטיקאי הגרמני קרל גאוס בשנת 1831, אם כי המונח שימש בעבר באותו מובן על ידי המתמטיקאי הצרפתי לזר קרנו בשנת 1803.
וקטורים של יחידה. W. Hamilton (1853).
וקטורי יחידות משויכים לעתים קרובות לצירי הקואורדינטות של מערכת הקואורדינטות (בפרט, עם הצירים של מערכת הקואורדינטות הקרטזית). וקטור יחידה מכוון לאורך הציר איקס, מסומן אני, וקטור יחידה המכוון לאורך הציר י, מסומן י, ווקטור היחידה המכוון לאורך הציר ז, מסומן ק. וקטורים אני, י, קנקראים orts, יש להם מודולי זהות. המונח "אורט" הוצג על ידי המתמטיקאי והמהנדס האנגלי Oliver Heaviside (1892), והסימון אני, י, קהמתמטיקאי האירי וויליאם המילטון.
החלק השלם של מספר, antie. ק' גאוס (1808).
החלק השלם של המספר [x] של המספר x הוא המספר השלם הגדול ביותר שאינו עולה על x. אז, =5, [-3,6]=-4. הפונקציה [x] נקראת גם "אנטייר של x". סמל פונקציית החלק השלם הוצג על ידי קרל גאוס בשנת 1808. יש מתמטיקאים שמעדיפים להשתמש במקום זאת בסימון E(x) שהוצע בשנת 1798 על ידי Legendre.
זווית של מקביליות. לא לובצ'בסקי (1835).
במישור לובצ'בסקי - הזווית בין הקובעובר דרך הנקודהעל אודותמקביל לקו ישרא, לא מכיל נקודהעל אודות, ובמאונך מעל אודותעַל א. α הוא אורך הניצב הזה. ככל שהנקודה מוסרתעל אודותישר אזווית ההקבלה יורדת מ-90° ל-0°. לובצ'בסקי נתן נוסחה לזווית ההקבלהP( α )=2arctg ה - α /q , איפה שהוא קבוע כלשהו הקשור לעקמומיות של מרחב לובצ'בסקי.
כמויות לא ידועות או משתנות. ר' דקארט (1637).
במתמטיקה, משתנה הוא כמות המאופיינת במערך הערכים שהוא יכול לקחת. במקרה זה, ניתן להבין זאת כאמיתי כמות פיסית, נחשב זמנית במנותק מההקשר הפיזי שלו, וכמות מופשטת כלשהי שאין לה אנלוגים בעולם האמיתי. הרעיון של משתנה עלה במאה ה-17. בתחילה בהשפעת הדרישות של מדעי הטבע, שהביאו לקדמת הבמה את חקר התנועה, התהליכים, ולא רק מצבים. מושג זה דרש צורות חדשות לביטויו. האלגברה המילולית והגיאומטריה האנליטית של רנה דקארט היו צורות חדשות כאלה. לראשונה, מערכת הקואורדינטות המלבנית והסימונים x, y הוצגו על ידי רנה דקארט ביצירתו "שיח על השיטה" ב-1637. פייר פרמה תרם אף הוא לפיתוח שיטת הקואורדינטות, אך עבודתו פורסמה לראשונה לאחר מותו. דקארט ופרמה השתמשו בשיטת הקואורדינטות רק במטוס. שיטת קואורדינטותשכן החלל התלת מימדי שימש לראשונה את לאונרד אוילר כבר במאה ה-18.
וֶקטוֹר. O.Koshi (1853).
מההתחלה, וקטור מובן כעצם בעל גודל, כיוון ו(אופציונלי) נקודת יישום. ראשיתו של חשבון וקטור הופיעו יחד עם המודל הגיאומטרי של מספרים מרוכבים בגאוס (1831). פעולות מתקדמות על וקטורים פורסמו על ידי המילטון כחלק מחשבון הקווטרניון שלו (הרכיבים הדמיוניים של קווטרניון יצרו וקטור). המילטון טבע את המונח וֶקטוֹר(מהמילה הלטינית וֶקטוֹר, מוֹבִיל) ותיאר כמה פעולות ניתוח וקטור. פורמליזם זה שימש את מקסוול בעבודותיו על אלקטרומגנטיות, ובכך משך את תשומת לבם של המדענים לחשבון החדש. עד מהרה הגיעו בעקבותיו של Gibbs Elements of Vector Analysis (1880), ואז Heaviside (1903) העניק לניתוח הווקטור את המראה המודרני שלו. הסימן הווקטור עצמו הוצג על ידי המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין לואי קאוצ'י ב-1853.
חיבור, חיסור. י' ווידמן (1489).
סימני הפלוס והמינוס הומצאו ככל הנראה בבית הספר המתמטי הגרמני של "קוסיסטים" (כלומר, אלגבראיסטים). הם משמשים בספר הלימוד של יאן (יוהנס) וידמן "ספירה מהירה ונעימה לכל הסוחרים", שפורסם ב-1489. לפני כן, סומנה תוספת במכתב ע(מלטינית ועוד"יותר") או המילה הלטינית et(צירוף "ו"), וחיסור - לפי אות M(מלטינית מִינוּס"פחות, פחות"). בווידמן, סימן הפלוס מחליף לא רק את התוספת, אלא גם את האיחוד "ו". מקורם של סמלים אלו אינו ברור, אך סביר להניח שהם שימשו בעבר במסחר כסימנים לרווח והפסד. שני הסמלים הפכו עד מהרה לנפוצים באירופה - למעט איטליה, שהשתמשה בכינויים הישנים במשך כמאה שנה.
כֶּפֶל. ו.אוטרד (1631), ג' לייבניץ (1698).
סימן הכפל בצורת צלב אלכסוני הוצג בשנת 1631 על ידי האנגלי וויליאם אוטרד. לפניו, המכתב הנפוץ ביותר M, אם כי הוצעו גם כינויים אחרים: סמל המלבן (המתמטיקאי הצרפתי אריגון, 1634), כוכבית (המתמטיקאי השוויצרי יוהן ראהן, 1659). מאוחר יותר, גוטפריד וילהלם לייבניץ החליף את הצלב בנקודה (סוף המאה ה-17), כדי לא להתבלבל עם האות איקס; לפניו, סמליות כזו נמצאה על ידי האסטרונום והמתמטיקאי הגרמני Regiomontanus (המאה ה-15) והמדען האנגלי תומאס הריוט (1560 -1621).
חֲלוּקָה. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).
וויליאם אאוטרד השתמש בקו הלוכסן / כסימן החלוקה. דיוויזיית המעי הגס החלה לסמן את גוטפריד לייבניץ. לפניהם, גם המכתב שימש לעתים קרובות ד. החל מפיבונאצ'י, נעשה שימוש גם בקו האופקי של השבר, ששימש את הרון, דיופנטוס ובכתבים בערבית. באנגליה ובארצות הברית הפך סמל ה-÷ (אובלוס), שהוצע על ידי יוהאן ראהן (אולי בהשתתפותו של ג'ון פל) ב-1659, לתפוצה רחבה. ניסיון של הוועדה הלאומית האמריקאית לסטנדרטים מתמטיים ( הוועדה הלאומית לדרישות מתמטיות) להסיר את האובלוס מהתרגול (1923) לא היה חד משמעי.
אָחוּז. מ' דה לה פורטה (1685).
מאית השלם, נלקח כיחידה. המילה "אחוז" עצמה באה מהלטינית "pro centum", שפירושה "מאה". בשנת 1685 יצא לאור בפריז הספר Manual of Commercial Arithmetic מאת Mathieu de la Porte. במקום אחד היה מדובר באחוזים, שמשמעו אז "cto" (קיצור של cento). עם זאת, המקלדת תפסה את ה"cto" הזה כשבריר והקליד "%". אז בגלל שגיאת הקלדה, השלט הזה נכנס לשימוש.
מעלות. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).
הסימון המודרני של המעריך הוצג על ידי רנה דקארט בספרו " גיאומטריות"(1637), עם זאת, רק עבור תארים טבעייםעם מעריכים גדולים מ-2. מאוחר יותר, אייזק ניוטון הרחיב את צורת התווים הזו למעריכים שליליים ושברים (1676), שהפרשנות שלהם כבר הוצעה בזמן הזה: המתמטיקאי והמהנדס הפלמי סיימון סטיבין, המתמטיקאי האנגלי ג'ון וואליס והמתמטיקאי הצרפתי אלברט ז'ירארד.
שורש אריתמטי נהחזקה של מספר ממשי א≥0, - מספר לא שלילי נ-הדרגה שבה שווה ל א. השורש האריתמטי של מדרגה 2 נקרא שורש ריבועי וניתן לכתוב אותו מבלי לציין את המעלה: √. השורש האריתמטי של המעלה השלישית נקרא שורש הקובייה. מתמטיקאים מימי הביניים (לדוגמה, קרדנו) ציינו שורש ריבועיסמל R x (מלטינית בסיס, שורש). הייעוד המודרני שימש לראשונה על ידי המתמטיקאי הגרמני כריסטוף רודולף, מהאסכולה הקוסיסטית, בשנת 1525. סמל זה מגיע מהאות הראשונה המסוגננת של אותה מילה בסיס. הקו שמעל הביטוי הרדיקלי נעדר בתחילה; מאוחר יותר הוא הוצג על ידי דקארט (1637) למטרה אחרת (במקום בסוגריים), ותכונה זו התמזגה במהרה עם סימן השורש. שורש הקובייה במאה ה-16 סומן כדלקמן: R x .u.cu (מ-lat. Radix universalis cubica). אלברט ז'ירארד (1629) החל להשתמש בסימון הרגיל לשורש של תואר שרירותי. פורמט זה הוקם בזכות אייזק ניוטון וגוטפריד לייבניץ.
לוגריתם, לוגריתם עשרוני, לוגריתם טבעי. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).
המונח "לוגריתם" שייך למתמטיקאי הסקוטי ג'ון נאפייר ( "תיאור טבלת הלוגריתמים המדהימה", 1614); הוא נוצר משילוב של המילים היווניות λογος (מילה, יחס) ו-αριθμος (מספר). הלוגריתם של J. Napier הוא מספר עזר למדידת היחס בין שני מספרים. הגדרה מודרניתהלוגריתם ניתן לראשונה על ידי המתמטיקאי האנגלי ויליאם גרדינר (1742). בהגדרה, הלוגריתם של מספר בעל ידי סיבה א (א ≠ 1, a > 0) - מעריך M, שאליו יש להעלות את המספר א(נקרא בסיס הלוגריתם) לקבל ב. מסומן log a b.כך, m = יומן א ב, אם a m = b.
הטבלאות הראשונות של לוגריתמים עשרוניים פורסמו בשנת 1617 על ידי פרופסור למתמטיקה באוקספורד הנרי בריגס. לכן בחו"ל לוגריתמים עשרונייםנקראים לעתים קרובות בריגים. המונח "לוגריתם טבעי" הוצג על ידי פייטרו מנגולי (1659) וניקולס מרקטור (1668), אם כי המורה למתמטיקה הלונדוני ג'ון ספידל הרכיב טבלה של לוגריתמים טבעיים כבר ב-1619.
עד סוף המאה ה-19, לא היה תווי מקובל ללוגריתם, הבסיס אמסומן משמאל ומעל לסמל עֵץ, ואז על זה. בסופו של דבר, מתמטיקאים הגיעו למסקנה שהמקום הנוח ביותר לבסיס הוא מתחת לקו, אחרי הסמל עֵץ. סימן הלוגריתם - תוצאה של צמצום המילה "לוגריתם" - מתרחש בצורות שונות כמעט במקביל להופעת הטבלאות הראשונות של הלוגריתמים, למשל. עֵץ- I. Kepler (1624) ו-G. Briggs (1631), עֵץ- B. Cavalieri (1632). יִעוּד בל לוגריתם טבעיהוצג על ידי המתמטיקאי הגרמני אלפרד פרינגסהיים (1893).
סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט. W. Outred (אמצע המאה ה-17), I. Bernoulli (המאה ה-18), L. Euler (1748, 1753).
סימון קיצור של סינוס וקוסינוס הוצג על ידי ויליאם אוטרד באמצע המאה ה-17. ראשי תיבות של משיק וקוטנגנט: tg, ctgהוצגו על ידי יוהאן ברנולי במאה ה-18, הם הפכו נפוצים בגרמניה וברוסיה. במדינות אחרות משתמשים בשמות הפונקציות הללו. שזוף, מיטת תינוקשהוצע על ידי אלברט ז'ירארד עוד קודם לכן, בתחילת המאה ה-17. IN צורה מודרניתהתיאוריה של פונקציות טריגונומטריות הובאה על ידי לאונרד אוילר (1748, 1753), ואנחנו חייבים לו את הגיבוש של הסמליות האמיתית.המונח "פונקציות טריגונומטריות" הוצג על ידי המתמטיקאי והפיזיקאי הגרמני גיאורג סיימון קלוגל ב-1770.
קו הסינוס של מתמטיקאים הודים נקרא במקור "ארחה ג'יווה"("חצי מחרוזת", כלומר חצי מהאקורד), ואז המילה "ארכה"נזרק וקו הסינוס החל להיקרא בפשטות "חִיוּנִיוּת". מתרגמים לערבית לא תרגמו את המילה "חִיוּנִיוּת"מילה ערבית "וטאר", מציין את מיתר הקשת והאקורד, ומתועתק באותיות ערביות והחל לקרוא לקו הסינוס "ג'יבה". מאז ב עֲרָבִיתתנועות קצרות אינן מסומנות, ו"ו" ארוך במילה "ג'יבה"מסומן באותו אופן כמו תנועות למחצה "y", הערבים החלו לבטא את שם קו הסינוס "ג'יב", שפירושו המילולי "חלול", "חזה". בעת תרגום יצירות ערבית ללטינית, מתרגמים אירופאים תרגמו את המילה "ג'יב"מילה לטינית סִינוּס, בעל אותה משמעות.המונח "טנג'נט" (מאט.משיקים- נוגע ללב) הוצג על ידי המתמטיקאי הדני תומס פינקה בגיאומטריית העגול שלו (1583).
ארסין. ק.שרפר (1772), י.לאגראנג' (1772).
פונקציות טריגונומטריות הפוכות הן פונקציות מתמטיות שהן היפוך של פונקציות טריגונומטריות. שמה של הפונקציה הטריגונומטרית ההפוכה נוצר משמה של הפונקציה הטריגונומטרית המתאימה על ידי הוספת הקידומת "קשת" (מ-lat. קֶשֶׁת- קשת).פונקציות טריגונומטריות הפוכות כוללות בדרך כלל שש פונקציות: arcsine (arcsin), arccosine (arccos), arctangent (arctg), arccotangent (arcctg), arcsecant (arcsec) ו-arccosecant (arccosec). בפעם הראשונה, סמלים מיוחדים לפונקציות טריגונומטריות הפוכות שימשו את דניאל ברנולי (1729, 1736).אופן ציון פונקציות טריגונומטריות הפוכות עם קידומת קֶשֶׁת(מ-lat. ארקוס, arc) הופיע אצל המתמטיקאי האוסטרי קרל שרפר וקיבל דריסת רגל בזכות המתמטיקאי, האסטרונום והמכונאי הצרפתי ג'וזף לואי לגרנז'. הכוונה הייתה, למשל, הסינוס הרגיל מאפשר לך למצוא את האקורד כשהוא מושך אותו לאורך קשת המעגל, ו פונקציה הפוכהפותר את הבעיה ההפוכה. עד סוף המאה ה-19, האסכולות המתמטיות האנגלית והגרמנית הציעו סימון אחר: חטא -1 ו-1/חטא, אבל אין בהם שימוש נרחב.
סינוס היפרבולי, קוסינוס היפרבולי. W. Riccati (1757).
היסטוריונים גילו את ההופעה הראשונה של פונקציות היפרבוליות בכתביו של המתמטיקאי האנגלי אברהם דה מויברה (1707, 1722). ההגדרה המודרנית והמחקר המפורט שלהם בוצע על ידי האיטלקי וינצ'נזו ריקטי בשנת 1757 בעבודה "Opusculorum", הוא גם הציע את ייעודיהם: ש,ch. ריקאטי המשיך בשיקול של היפרבולה אחת. גילוי עצמאי ומחקר נוסף של תכונות הפונקציות ההיפרבוליות בוצע על ידי המתמטיקאי, הפיזיקאי והפילוסוף הגרמני יוהן למברט (1768), אשר קבע הקבלה רחבה בין הנוסחאות של טריגונומטריה רגילה והיפרבולית. לא לובצ'בסקי השתמש לאחר מכן בהקבלה זו, בניסיון להוכיח את העקביות של גיאומטריה לא אוקלידית, שבה טריגונומטריה רגילה מוחלפת בהיפרבולית.
דומה ל סינוס טריגונומטריוקוסינוס הם הקואורדינטות של נקודה על מעגל הקואורדינטות, הסינוס ההיפרבולי והקוסינוס הם הקואורדינטות של נקודה על ההיפרבולה. פונקציות היפרבוליות מתבטאות במונחים של האקספוננציאלי וקשורות קשר הדוק ל פונקציות טריגונומטריות: sh(x)=0.5(e x-e-x) , ch(x)=0.5(e x +e -x). באנלוגיה לפונקציות טריגונומטריות, טנגנס היפרבולי וקוטנגנטי מוגדרים כיחסים של סינוס היפרבולי וקוסינוס, קוסינוס וסינוס, בהתאמה.
דִיפֵרֶנציִאָלִי. ג' לייבניץ (1675, בדפוס 1684).
החלק הליניארי הראשי של תוספת הפונקציה.אם הפונקציה y=f(x)משתנה אחדל-x יש ב x=x0נגזרת, ותוספתΔy \u003d f (x 0 +? x) -f (x 0)פונקציות f(x)יכול להיות מיוצג כΔy \u003d f "(x 0) Δx + R (Δx) , איפה חבר רקטן לאין שיעור בהשוואה לΔx. חבר ראשוןdy=f"(x 0 )Δxבהרחבה זו נקרא הדיפרנציאל של הפונקציה f(x)בנקודהx0. IN יצירות של גוטפריד לייבניץ, ג'ייקוב ויוהאן ברנולי מילה"דיפרנציה"היה בשימוש במובן של "increment", I. Bernoulli ציין זאת באמצעות Δ. ג' לייבניץ (1675, פורסם ב-1684) השתמש בסימון "הבדל קטן לאין שיעור"ד- האות הראשונה של המילה"דִיפֵרֶנציִאָלִי", נוצר על ידו מ"דיפרנציה".
אינטגרל בלתי מוגבל. ג' לייבניץ (1675, בדפוס 1686).
המילה "אינטגרל" שימשה לראשונה בדפוס על ידי יעקב ברנולי (1690). אולי המונח נגזר מלטינית מספר שלם- שלם. לפי הנחה אחרת, הבסיס היה המילה הלטינית אינגרו- לשחזר, לשחזר. הסימן ∫ משמש לציון אינטגרל במתמטיקה והוא תמונה מסוגננת של האות הראשונה של מילה לטינית סיכום-סְכוּם. הוא שימש לראשונה את המתמטיקאי הגרמני גוטפריד לייבניץ, מייסד החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, בסוף המאה ה-17. אחר ממייסדי החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, אייזק ניוטון, לא הציע סמליות חלופית של האינטגרל ביצירותיו, למרות שניסה אפשרויות שונות: פס אנכי מעל פונקציה או סמל מרובע העומד מול פונקציה או גובל בה. אינטגרל בלתי מוגדר עבור פונקציה y=f(x)הוא אוסף כל הנגזרות האנטי-נגזרות של הפונקציה הנתונה.
אינטגרל מובהק. י' פורייה (1819-1822).
אינטגרל מובהק של פונקציה f(x)עם גבול תחתון אוגבול עליון בניתן להגדיר כהבדל F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , איפה F(x)- כמה אנטי נגזרת של פונקציה f(x) . אינטגרל מובהק a ∫ ב f(x)dx מבחינה מספרית שווה לשטחדמות התחום על ידי ציר ה-x, קווים ישרים x=aו x=bוגרף פונקציות f(x). המתמטיקאי והפיזיקאי הצרפתי ז'אן בפטיסט ג'וזף פורייה הציע עיצוב של אינטגרל מוגדר בצורה שאנו רגילים אליה בתחילת המאה ה-19.
נגזר. ג' לייבניץ (1675), י' לגראנז' (1770, 1779).
נגזרת - המושג הבסיסי של חשבון דיפרנציאלי, המאפיין את קצב השינוי של פונקציה f(x)כאשר הטיעון משתנה איקס . הוא מוגדר כגבול היחס בין התוספת של פונקציה לתוספת הארגומנט שלה שכן התוספת של הארגומנט שואפת לאפס, אם קיימת גבול כזה. פונקציה שיש לה נגזרת סופית בשלב מסוים נקראת דיפרנציאלית באותה נקודה. תהליך חישוב הנגזרת נקרא בידול. התהליך ההפוך הוא אינטגרציה. בחשבון הדיפרנציאלי הקלאסי, הנגזרת מוגדרת לרוב באמצעות מושגי תורת הגבולות, אולם מבחינה היסטורית, תורת הגבולות הופיעה מאוחר יותר מאשר חשבון דיפרנציאלי.
המונח "נגזרת" הוצג על ידי ג'וזף לואיס לגרנז' ב-1797; dy/dx— גוטפריד לייבניץ בשנת 1675. אופן ייעוד הנגזרת ביחס לזמן עם נקודה מעל האות מגיע מניוטון (1691).המונח הרוסי "נגזרת של פונקציה" שימש לראשונה על ידי מתמטיקאי רוסיואסילי איבנוביץ' ויסקובטוב (1779-1812).
נגזרת פרטית. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).
עבור פונקציות של משתנים רבים, מוגדרות נגזרות חלקיות - נגזרות ביחס לאחד מהארגומנטים, מחושבות בהנחה ששאר הארגומנטים קבועים. סִמוּן ∂f/ ∂ איקס, ∂ z/ ∂ yהוצג על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדריאן מארי לג'נדר ב-1786; ואיקס",zx"- ג'וזף לואיס לגרנז' (1797, 1801); ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ איקס ∂ y- נגזרות חלקיות מסדר שני - המתמטיקאי הגרמני קרל גוסטב יעקב יעקבי (1837).
הבדל, תוספת. I. Bernoulli (סוף המאה ה-17 - המחצית הראשונה של המאה ה-18), ל. אוילר (1755).
ייעוד התוספת באות Δ שימש לראשונה את המתמטיקאי השוויצרי יוהאן ברנולי. IN תירגול כלליהשימוש בסמל הדלתא הגיע לאחר עבודתו של לאונרד אוילר ב-1755.
סְכוּם. ל' אוילר (1755).
הסכום הוא תוצאה של הוספת ערכים (מספרים, פונקציות, וקטורים, מטריצות וכו'). לציון סכום n מספרים a 1, a 2, ..., a n, משתמשים באות היוונית "sigma" Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i . הסימן Σ עבור הסכום הוצג על ידי לאונרד אוילר ב-1755.
עֲבוֹדָה. ק' גאוס (1812).
התוצר הוא תוצאה של הכפל. לציון המכפלה של n מספרים a 1, a 2, ..., a n, משתמשים באות היוונית "pi" Π: a 1 a 2 ... a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . לדוגמה, 1 3 5 ... 97 99 = ? 50 1 (2i-1). הסמל Π למוצר הוצג על ידי המתמטיקאי הגרמני קרל גאוס ב-1812. בספרות המתמטית הרוסית, המונח "עבודה" נתקל לראשונה על ידי לאונטי פיליפוביץ' מגניצקי ב-1703.
פקטוריאלי. K.Krump (1808).
הפקטוריאלי של מספר n (מסומן n!, מבוטא "en factorial") הוא מכפלה של כל המספרים הטבעיים עד וכולל n: n! = 1 2 3 ... נ. למשל, 5! = 1 2 3 4 5 = 120. בהגדרה, 0! = 1. הפקטוריאלי מוגדר רק עבור מספרים שלמים לא שליליים. הפקטוריאלי של מספר n שווה למספר התמורות של n אלמנטים. למשל, 3! = 6, אכן,
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
כל שש ורק שש התמורות של שלושה אלמנטים.
המונח "פקטוריאלי" הוצג על ידי המתמטיקאי והפוליטיקאי הצרפתי לואי פרנסואה אנטואן ארבוגאסט (1800), הכינוי n! - המתמטיקאי הצרפתי כריסטיאן קרמפ (1808).
מודול, ערך מוחלט. ק ויירשטראס ( 1841 ).
מודול, הערך המוחלט של המספר האמיתי x - מספר לא שלילי המוגדר כדלקמן: |x| = x עבור x ≥ 0, ו- |x| = -x עבור x ≤ 0. לדוגמה, |7| = 7, |- 0.23| = -(-0.23) = 0.23. מודולוס של מספר מרוכב z = a + ib הוא מספר ממשי השווה ל- √(a 2 + b 2).
מאמינים כי המונח "מודול" הוצע לשימוש על ידי המתמטיקאי והפילוסוף האנגלי, תלמידו של ניוטון, רוג'ר קוטס. גוטפריד לייבניץ השתמש גם בפונקציה הזו, שאותה כינה "מודול" וסימן: mol x. הסימון המקובל לערך המוחלט הוצג בשנת 1841 על ידי המתמטיקאי הגרמני קרל ויירשטראס. עבור מספרים מרוכבים, מושג זה הוצג על ידי המתמטיקאים הצרפתים אוגוסטין קאושי וז'אן רוברט ארגן בתחילת המאה ה-19. בשנת 1903, המדען האוסטרי קונרד לורנץ השתמש באותה סמליות לאורכו של וקטור.
נוֹרמָה. E. Schmidt (1908).
נורמה היא פונקציונליות המוגדרת על מרחב וקטור ומכלילה את הרעיון של אורך וקטור או מודולוס של מספר. הסימן "נורמה" (מהמילה הלטינית "נורמה" - "כלל", "מדגם") הוצג על ידי המתמטיקאי הגרמני ארהרד שמידט ב-1908.
לְהַגבִּיל. S. Luillier (1786), W. Hamilton (1853), מתמטיקאים רבים (עד תחילת המאה ה-20)
גבול - אחד ממושגי היסוד של ניתוח מתמטי, כלומר משתנה מסוים בתהליך השינוי שלו בשאלה מתקרב לערך מסוים ללא הגבלה ערך קבוע. מושג הגבול שימש באופן אינטואיטיבי כבר במחצית השנייה של המאה ה-17 על ידי אייזק ניוטון, וכן על ידי מתמטיקאים מהמאה ה-18, כמו לאונרד אוילר וג'וזף לואיס לגראנז'. ההגדרות הקפדניות הראשונות של הגבול של רצף ניתנו על ידי ברנרד בולצאנו ב-1816 ואוגוסטין קאוצ'י ב-1821. הסמל לים (3 האותיות הראשונות מהמילה הלטינית לימס - גבול) הופיע ב-1787 עם המתמטיקאי השוויצרי סיימון אנטואן ז'אן לולייר, אך השימוש בו עדיין לא דמה לזה המודרני. הביטוי lim בצורה מוכרת יותר עבורנו שימש לראשונה על ידי המתמטיקאי האירי ויליאם המילטון ב-1853.Weierstrass הציג ייעוד קרוב לזה המודרני, אבל במקום החץ הרגיל, הוא השתמש בסימן השוויון. החץ הופיע בתחילת המאה ה-20 עם כמה מתמטיקאים בבת אחת - למשל עם המתמטיקאי האנגלי גודפריד הארדי ב-1908.
פונקציית זיטה, ד פונקציית זיטה של רימן. ב' רימן (1857).
פונקציה אנליטית של המשתנה המורכב s = σ + it, עבור σ > 1, נקבעת על ידי סדרת Dirichlet המתכנסת באופן מוחלט ואחיד:
ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .
עבור σ > 1, הייצוג בצורה של תוצר אוילר תקף:
ζ(s) = Πע (1-p -s) -s ,
שבו המוצר משתלט על כל ראשוני p. לפונקציית הזטה יש תפקיד גדול בתורת המספרים.כפונקציה של משתנה ממשי, פונקציית הזטה הוצגה ב-1737 (פורסם ב-1744) על ידי ל' אוילר, שציין את פירוקה למוצר. אז פונקציה זו נחשבה על ידי המתמטיקאי הגרמני L. Dirichlet, ובמיוחד בהצלחה, על ידי המתמטיקאי והמכונאי הרוסי P.L. צ'בישב בחקר חוק ההפצה מספרים ראשוניים. עם זאת, התכונות העמוקות ביותר של פונקציית הזטה התגלו מאוחר יותר, לאחר עבודתו של המתמטיקאי הגרמני גיאורג פרידריך ברנהרד רימן (1859), שם נחשבה פונקציית הזטה כפונקציה של משתנה מורכב; הוא גם הציג את השם "פונקציית זטה" ואת הסימון ζ(s) ב-1857.
פונקציית גמא, פונקציית אוילר Γ. A. Legendre (1814).
פונקציית גמא היא פונקציה מתמטית המרחיבה את המושג פקטוריאלי לתחום המספרים המרוכבים. בדרך כלל מסומן על ידי Γ(z). פונקציית z הוצגה לראשונה על ידי לאונרד אוילר ב-1729; הוא מוגדר על ידי הנוסחה:
Γ(z) = limn→∞ n! n z /z(z+1)...(z+n).
מתבטא במונחים של פונקציית G מספר גדולאינטגרלים, מוצרים אינסופיים וסכומים של סדרות. בשימוש נרחב בתורת המספרים האנליטית. השם "פונקציית גמא" והסימון Γ(z) הוצעו על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדריאן מארי לג'נדר ב-1814.
פונקציית בטא, פונקציה B, פונקציה אוילר B. י' בינט (1839).
פונקציה של שני משתנים p ו-q, המוגדרים עבור p>0, q>0 על ידי השוויון:
B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
ניתן לבטא את פונקציית הבטא במונחים של הפונקציה Γ: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).כשם שפונקציית הגמא עבור מספרים שלמים היא הכללה של הפקטוראלי, פונקציית הבטא היא, במובן מסוים, הכללה של המקדמים הבינומיים.
מאפיינים רבים מתוארים באמצעות פונקציית הבטא.חלקיקים אלמנטרייםמשתתף ב אינטראקציה חזקה. בתכונה זו הבחין הפיזיקאי התיאורטי האיטלקיגבריאל ונציאנובשנת 1968. זה התחילתיאוריית המיתרים.
השם "פונקציית ביתא" והסימונים B(p, q) הוצגו בשנת 1839 על ידי המתמטיקאי, המכונאי והאסטרונום הצרפתי ז'אק פיליפ מארי בינט.
מפעיל לפלס, לפלסיאן. ר' מרפי (1833).
אופרטור דיפרנציאלי ליניארי Δ, שמתפקד φ (x 1, x 2, ..., x n) מ-n משתנים x 1, x 2, ..., x n משייך את הפונקציה:
Δφ \u003d ∂ 2 φ / ∂x 1 2 + ∂ 2 φ / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂x n 2.
בפרט, עבור פונקציה φ(x) של משתנה אחד, האופרטור לפלס חופף לאופרטור של הנגזרת השנייה: Δφ = d 2 φ/dx 2 . המשוואה Δφ = 0 נקראת בדרך כלל משוואת לפלס; מכאן באים השמות "מפעיל לאפלס" או "לפלאסי". הסימון Δ הוצג על ידי הפיזיקאי והמתמטיקאי האנגלי רוברט מרפי ב-1833.
מפעיל המילטון, מפעיל נאבלה, המילטון. O. Heaviside (1892).
אופרטור דיפרנציאלי וקטור של הטופס
∇ = ∂/∂x אני+ ∂/∂y י+ ∂/∂z ק,
איפה אני, י, ו ק- וקטורי קואורדינטות. באמצעות האופרטור nabla, הפעולות הבסיסיות של ניתוח וקטור, כמו גם אופרטור Laplace, באות לידי ביטוי בצורה טבעית.
בשנת 1853, המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון הציג את האופרטור הזה וטבע עבורו את הסמל ∇ בצורה של אות יוונית הפוכה Δ (דלתא). בהמילטון, נקודת הסמל הצביעה שמאלה; מאוחר יותר, בעבודותיו של המתמטיקאי והפיזיקאי הסקוטי פיטר גאת'רי טייט, הסמל קיבל מראה מודרני. המילטון קרא לסמל זה המילה "אטלד" (המילה "דלתא" נקראת לאחור). מאוחר יותר החלו חוקרים אנגלים, כולל אוליבר הוויזייד, לקרוא לסמל זה "נאבלה", על שם האות ∇ באלפבית הפיניקי, שם הוא מופיע. מקור האות קשור לכלי נגינה כמו נבל, ναβλα (nabla) ביוונית עתיקה פירושו "נבל". המפעיל נקרא מפעיל המילטון, או מפעיל הנאבלה.
פוּנקצִיָה. I. Bernoulli (1718), ל. אוילר (1734).
מושג מתמטי המשקף את הקשר בין אלמנטים של קבוצות. אפשר לומר שפונקציה היא "חוק", "כלל" לפיו כל רכיב של קבוצה אחת (הנקראת תחום ההגדרה) משויך לאלמנט כלשהו של קבוצה אחרת (הנקראת תחום הערכים). המושג המתמטי של פונקציה מבטא רעיון אינטואיטיבי כיצד כמות אחת קובעת לחלוטין את ערכה של כמות אחרת. לעתים קרובות המונח "פונקציה" פירושו פונקציה מספרית; כלומר, פונקציה שמעמידה מספרים מסוימים בקנה אחד עם אחרים. במשך זמן רבמתמטיקאים קובעים ארגומנטים ללא סוגריים, למשל, כך - φх. סימון זה שימש לראשונה את המתמטיקאי השוויצרי יוהאן ברנולי בשנת 1718.נעשה שימוש בסוגריים רק במקרה של טיעונים מרובים, וגם אם הטיעון היה כזה ביטוי מורכב. הדים של אותם זמנים הם נפוצים וכיום רשומותsin x, lg xוכו' אבל בהדרגה נעשה השימוש בסוגריים, f(x) חוק כללי. והכשרון העיקרי בכך שייך לאונרד אוילר.
שוויון. ר' רשומה (1557).
סימן השוויון הוצע על ידי הרופא והמתמטיקאי הוולשי רוברט רקורד בשנת 1557; קו המתאר של הדמות היה ארוך בהרבה מזה הנוכחי, מכיוון שהוא חיקה את התמונה של שני קטעים מקבילים. המחבר הסביר שאין דבר שווה יותר בעולם משני קטעים מקבילים באותו אורך. לפני כן, במתמטיקה עתיקה ובימי הביניים, שוויון סומן מילולית (לדוגמה, est egale). רנה דקארט במאה ה-17 החל להשתמש ב-æ (מ-lat. aequalis), והוא השתמש בסימן השוויון המודרני כדי לציין שהמקדם יכול להיות שלילי. פרנסואה וייט סימן חיסור בסימן שוויון. סמל התקליט לא התפשט מיד. התפשטות סמל הרשומה הופחתה על ידי העובדה שמאז ימי קדם נעשה שימוש באותו סמל לציון הקבילות של קווים; בסופו של דבר, הוחלט להפוך את סמל ההקבלה לאנכי. ביבשת אירופה, השלט "=" הוצג על ידי גוטפריד לייבניץ רק בתחילת המאות ה-17-18, כלומר יותר מ-100 שנים לאחר מותו של רוברט רקורד, שהשתמש בו לראשונה לשם כך.
בערך אותו דבר, בערך אותו דבר. א' גינתר (1882).
חתום " ≈" הוצג על ידי המתמטיקאי והפיזיקאי הגרמני אדם וילהלם זיגמונד גינתר בשנת 1882 כסמל ליחסים "בערך שווה".
יותר פחות. T. Harriot (1631).
שני הסימנים הללו הוכנסו לשימוש על ידי האסטרונום, המתמטיקאי, האתנוגרף והמתרגם האנגלי תומס הריוט בשנת 1631, לפני כן השתמשו במילים "יותר" ו"פחות".
יכולת השוואה. ק' גאוס (1801).
השוואה היא היחס בין שני מספרים שלמים n ו-m, כלומר הבדל n-mמספרים אלה מחולק במספר שלם נתון a, הנקרא מודול ההשוואה; כתוב: n≡m(mod a) ונקרא "המספרים n ו-m דומים למודולו a". לדוגמה, 3≡11(מוד 4) שכן 3-11 מתחלק ב-4; המספרים 3 ו-11 מתאימים למודולו 4. להשוואות יש תכונות רבות הדומות לאלו של שוויון. אז, ניתן להעביר את המונח בחלק אחד של ההשוואה עם הסימן ההפוך לחלק אחר, וניתן להוסיף, להחסיר, להכפיל השוואות עם אותו מודול, להכפיל את שני חלקי ההשוואה באותו מספר וכו'. לדוגמה,
3≡9+2(מוד 4) ו-3-2≡9(מוד 4)
יחד עם זאת השוואות אמיתיות. ומתוך זוג השוואות אמיתיות 3≡11(מוד 4) ו-1≡5(מוד 4) נכונות הדברים הבאים:
3+1≡11+5(מוד 4)
3-1≡11-5 (מוד 4)
3 1≡11 5(מוד 4)
3 2 ≡11 2 (מוד 4)
3 23≡11 23(מוד 4)
בתורת המספרים נשקלות שיטות לפתרון השוואות שונות, כלומר. שיטות למציאת מספרים שלמים המספקים השוואות מסוג זה או אחר.השוואות מודולו שימשו לראשונה על ידי המתמטיקאי הגרמני קרל גאוס בספרו אריתמטיים חקירות משנת 1801. הוא גם הציע את הסמליות שנקבעה במתמטיקה לשם השוואה.
זהות. ב' רימן (1857).
זהות - שוויון של שני ביטויים אנליטיים, תקף לכל ערכים מותריםאותיות הכלולים בו. השוויון a+b = b+a תקף עבור כל הערכים המספריים של a ו-b, ולכן הוא זהות. כדי לתעד זהויות, במקרים מסוימים, מאז 1857, נעשה שימוש בסימן "≡" (נקרא "שווה זהה"), אשר מחברו בשימוש זה הוא המתמטיקאי הגרמני גיאורג פרידריך ברנהרד רימן. אפשר לכתוב a+b ≡ b+a.
נִצָבוּת. P.Erigon (1634).
ניצב - הסדר הדדישני קווים ישרים, מישורים או קו ישר ומישור, שבהם הדמויות המצוינות יוצרות זווית ישרה. הסימן ⊥ לציון הניצב הוצג בשנת 1634 על ידי המתמטיקאי והאסטרונום הצרפתי פייר אריגון. למושג הניצב יש מספר הכללות, אך כולן, ככלל, מלוות בסימן ⊥ .
מַקבִּילוּת. W. Outred (מהדורה לאחר המוות 1677).
מקביליות - הקשר בין כמה צורות גיאומטריות; למשל, קווים ישרים. מוגדר בצורה שונה בהתאם לגיאומטריות שונות; למשל, בגיאומטריה של אוקלידס ובגיאומטריה של לובצ'בסקי. סימן ההקבלה היה ידוע מאז ימי קדם, הוא שימש את הרון ופפוס מאלכסנדריה. בתחילה, הסמל היה דומה לסימן השווה הנוכחי (רק מורחב יותר), אך עם הופעתו של האחרון, כדי למנוע בלבול, הסמל הופנה אנכית ||. הוא הופיע בצורה זו בפעם הראשונה במהדורה שלאחר מותו של יצירותיו של המתמטיקאי האנגלי ויליאם אוטרד ב-1677.
צומת, איחוד. ג'יי פיאנו (1888).
צומת של קבוצות הוא קבוצה המכילה את אלה ורק את האלמנטים השייכים בו זמנית לכל הקבוצות הנתונות. האיחוד של קבוצות הוא קבוצה המכילה את כל המרכיבים של הקבוצות המקוריות. צומת ואיחוד נקראים גם פעולות על סטים שמקצות סטים חדשים לקבוצות מסוימות לפי הכללים לעיל. מסומנים ∩ ו- ∪, בהתאמה. לדוגמה, אם
A= (♠ ♣ )ו B= (♣ ♦ ),
זֶה
A∩B= {♣ }
A∪B= {♠ ♣ ♦ } .
מכיל, מכיל. א שרדר (1890).
אם A ו-B הן שתי קבוצות ואין ב-A אלמנטים שאינם שייכים ל-B, אז אומרים ש-A כלול ב-B. הם כותבים A⊂B או B⊃A (B מכיל A). לדוגמה,
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
הסמלים "מכיל" ו"מכיל" הופיעו ב-1890 עם המתמטיקאי והלוגיקן הגרמני ארנסט שרדר.
שיוך. ג'יי פיאנו (1895).
אם a הוא רכיב של קבוצה A, אז כתוב a∈A וקרא "a שייך ל-A". אם a אינו רכיב של A, כתוב a∉A וקרא "a לא שייך ל-A". בתחילה לא הובחנו היחסים "מכיל" ו"שייך" ("הוא יסוד"), אך עם הזמן, המושגים הללו דרשו הבחנה. סימן החברות ∈ שימש לראשונה את המתמטיקאי האיטלקי ג'וזפה פיאנו ב-1895. הסמל ∈ מגיע מהאות הראשונה של המילה היוונית εστι - להיות.
הכמת האוניברסלי, הכמת הקיומי. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).
מכמת - שם נפוץעבור פעולות לוגיות המציינות את אזור האמת של כל פרדיקט (משפט מתמטי). פילוסופים הקדישו תשומת לב מזמן לפעולות לוגיות המגבילות את היקף האמת של פרדיקט, אך לא ייחדו אותן כסוג נפרד של פעולות. אף על פי שמבנים כמותיות-לוגיות נמצאות בשימוש נרחב הן בדיבור המדעי והן בדיבור היומיומי, הפורמליזציה שלהן התרחשה רק ב-1879, בספרו של הלוגיקן, המתמטיקאי והפילוסוף הגרמני פרידריך לודוויג גוטלוב פרגה "חשבון המושגים". הסימון של פרגה נראה כמו קונסטרוקציות גרפיות מסורבלות ולא התקבל. לאחר מכן, הוצעו סמלים מוצלחים רבים יותר, אך הסימון ∃ לכמת הקיומי (קרא "קיים", "יש"), שהוצע על ידי הפילוסוף, הלוגיקן והמתמטיקאי האמריקני צ'ארלס פירס בשנת 1885, ו- ∀ לכמת המכמת האוניברסלי (קראו "כל", "כל אחת", "כל אחת", "כל אחת", "כל אחת", "כל אחת", "כל אחת", "כל אחת", "כל אחת", "כל אחת". בשנת 1935, הפך למקובל. ועם סמל הכמות הקיומי (אותיות ראשונות הפוכות מילים אנגליותקיום (קיום) וכל (כל)). למשל, הערך
(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
קורא כדלקמן: "עבור כל ε>0 קיים δ>0 כך שלכל x אינו שווה ל-x 0 ומספק את אי השוויון |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
סט ריק. נ' בורבקי (1939).
קבוצה שאינה מכילה אלמנט כלשהו. שלט הסט הריק הוצג בספריו של ניקולא בורבקי ב-1939. בורבקי הוא שם בדוי קולקטיבי של קבוצת מתמטיקאים צרפתים שהוקמה ב-1935. אחד מחברי קבוצת בורבקי היה אנדרה וייל, מחבר הסמל Ø.
Q.E.D. D. Knuth (1978).
במתמטיקה, הוכחה מובנת כרצף של נימוקים המבוססים על כללים מסוימים, המראה שאמירה מסוימת נכונה. מאז הרנסנס, סופה של הוכחה סומן על ידי מתמטיקאים כ"Q.E.D.", מהביטוי הלטיני "Quod Erat Demonstrandum" - "מה שנדרש כדי להוכיח". בעת יצירת מערכת פריסת המחשב ΤΕΧ בשנת 1978, השתמש הפרופסור האמריקאי למדעי המחשב דונלד אדווין קנוט בסמל: ריבוע מלא, מה שנקרא "סמל האלמוס", על שם המתמטיקאי האמריקאי ממוצא הונגרי פול ריצ'רד האלמוס. כיום, השלמת הוכחה מסומנת בדרך כלל בסמל חלמוס. לחלופין משתמשים בסימנים נוספים: ריבוע ריק, משולש ישר זווית, // (שני אלכסונים), וכן הקיצור הרוסי "ch.t.d.".
באלאגין ויקטור
עם גילוי החוקים והמשפטים המתמטיים, המדענים הגיעו עם סימנים מתמטיים חדשים, סימנים. סימנים מתמטיים הם סמלים שנועדו לתעד מושגים מתמטיים, משפטים וחישובים. במתמטיקה משתמשים בסמלים מיוחדים כדי לקצר את הרשומה ולבטא את ההצהרה בצורה מדויקת יותר. בנוסף למספרים ולאותיות של אלפביתים שונים (לטינית, יוונית, עברית), השפה המתמטית משתמשת בסמלים מיוחדים רבים שהומצאו במהלך מאות השנים האחרונות.
הורד:
תצוגה מקדימה:
סמלים מתמטיים.
עשיתי את העבודה
תלמיד כיתה ז'
בית ספר תיכון GBOU מס' 574
באלאגין ויקטור
שנת הלימודים 2012-2013
סמלים מתמטיים.
- מבוא
המילה מתמטיקה הגיעה אלינו מיוונית עתיקה, שם μάθημα פירושה "ללמוד", "לרכוש ידע". ומי שאומר: "אני לא צריך מתמטיקה, אני לא הולך להיות מתמטיקאי" טועה. כולם צריכים מתמטיקה. חושף את העולם המדהים של המספרים סביבנו, הוא מלמד אותנו לחשוב בצורה ברורה ועקבית יותר, מפתח מחשבה, תשומת לב, מחנך להתמדה ורצון. M.V. Lomonosov אמר: "מתמטיקה עושה סדר במוח." במילה אחת, מתמטיקה מלמדת אותנו ללמוד כיצד לרכוש ידע.
מתמטיקה היא המדע הראשון שהאדם יכול לשלוט בו. הפעילות הוותיקה ביותר הייתה ספירה. כמה שבטים פרימיטיביים ספרו את מספר העצמים באמצעות האצבעות והבהונות שלהם. ציור הסלע, ששרד לתקופתנו מתקופת האבן, מתאר את המספר 35 בצורה של 35 מקלות מצוירים בשורה. אנו יכולים לומר שמקל אחד הוא הסמל המתמטי הראשון.
ה"כתיבה" המתמטית שבה אנו משתמשים כעת - מהסימון של האותיות הבלתי ידועות x, y, z ועד לסימן האינטגרלי - התפתחה בהדרגה. התפתחות הסמליות פשטה את העבודה עם פעולות מתמטיות ותרמה לפיתוח המתמטיקה עצמה.
מה"סמל" היווני הקדום (יוונית.סמלון - סימן, סימן, סיסמה, סמל) - סימן הקשור באובייקטיביות שהוא מציין באופן שמשמעות הסימן והנושא שלו מיוצגים רק על ידי הסימן עצמו ומתגלים רק באמצעות פרשנותו.
עם גילוי החוקים והמשפטים המתמטיים, המדענים הגיעו עם סימנים מתמטיים חדשים, סימנים. סימנים מתמטיים הם סמלים שנועדו לתעד מושגים מתמטיים, משפטים וחישובים. במתמטיקה משתמשים בסמלים מיוחדים כדי לקצר את הרשומה ולבטא את ההצהרה בצורה מדויקת יותר. בנוסף למספרים ולאותיות של אלפביתים שונים (לטינית, יוונית, עברית), השפה המתמטית משתמשת בסמלים מיוחדים רבים שהומצאו במאות השנים האחרונות.
2. סימני חיבור, חיסור
ההיסטוריה של סימון מתמטי מתחיל בתקופת הפליאוליתית. אבנים ועצמות עם חריצים ששימשו לספירה מתוארכים לתקופה זו. הדוגמה המפורסמת ביותר היאעצם איזאנגו. העצם המפורסמת מאישנגו (קונגו), שראשיתה בערך 20 אלף שנה לפני הספירה, מוכיחה שכבר באותה תקופה אדם ביצע פעולות מתמטיות מורכבות למדי. החריצים על העצמות שימשו להוספה והוחלו בקבוצות, המסמלות הוספת מספרים.
למצרים העתיקה כבר הייתה מערכת סימון מתקדמת הרבה יותר. לדוגמה, בפפירוס של אחמסכסמל לחיבור, נעשה שימוש בתמונה של שתי רגליים הולכות קדימה בטקסט, ולחיסור - שתי רגליים הולכות לאחור.היוונים הקדמונים ציינו חיבור על ידי כתיבה זה לצד זה, אבל מדי פעם השתמשו בסמל הלוכסן "/" בשביל זה ובעקומה חצי אליפטית לחיסור.
הסמלים לפעולות האריתמטיות של חיבור (בתוספת "+'') וחיסור (מינוס "-'') נפוצים כל כך עד שכמעט אף פעם לא נחשוב שהם לא תמיד היו קיימים. מקורם של סמלים אלו אינו ברור. אחת הגרסאות היא שהן שימשו בעבר במסחר כסימני רווח והפסד.
הוא גם האמין כי השלט שלנומגיע מאחת הצורות של המילה "et", שפירושה בלטינית "ו". ביטויא+ב כתוב בלטינית כך: a et b . בהדרגה, עקב שימוש תכוף, מהסימן " et "נשאר רק"ט ", שעם הזמן הפך ל"+ "האדם הראשון שאולי השתמש בשלטכקיצור של et, הייתה האסטרונומית ניקול ד'אורם (מחברת ספר השמיים והעולם) באמצע המאה הארבע עשרה.
בסוף המאה החמש עשרה, המתמטיקאי הצרפתי Chiquet (1484) והאיטלקי Pacioli (1494) השתמשו ב"'' או " '' (מסמן "פלוס") עבור תוספת ו-"'' או " '' (מסמן "מינוס") לחיסור.
סימון החיסור היה מבלבל יותר, שכן במקום "פשוט"" בספרים גרמנית, שוויצרית והולנדית השתמשו לפעמים בסמל "÷" שבו אנו מציינים כעת חלוקה. מספר ספרים של המאה השבע-עשרה (לדוגמה, אלה של דקארט ומרסן) השתמשו בשתי נקודות "∙ ∙" או שלוש נקודות "∙ ∙ ∙" כדי לציין חיסור.
השימוש הראשון בסימן האלגברי המודרני "” מתייחס לכתב יד גרמני על אלגברה משנת 1481, שנמצא בספריית דרזדן. בכתב יד לטיני מאותה תקופה (גם מספריית דרזדן), יש שתי התווים: ""ו"-". שימוש שיטתי בסימנים"" ו-"-" עבור חיבור וחיסור מתרחשים ביוהאן וידמן. המתמטיקאי הגרמני יוהאן וידמן (1462-1498) היה הראשון שהשתמש בשני הסימנים כדי לציין את נוכחותם והעדרם של תלמידים בהרצאותיו. נכון, יש עדויות לכך שהוא "שאל" את הסימנים הללו מפרופסור לא ידוע באוניברסיטת לייפציג. בשנת 1489, בלייפציג, הוא פרסם את הספר המודפס הראשון (Mercantile Arithmetic - "Commercial Arithmetic"), שבו היו שני הסימנים.ו , בעבודה "חשבון מהיר ונעים לכל הסוחרים" (1490 לערך)
בתור קוריוז היסטורי, ראוי לציין שגם לאחר אימוץ השלטלא כולם השתמשו בסמל הזה. וידמן עצמו הציג אותו כצלב יווני(הסימן שאנו משתמשים בו היום) שהמהלך האופקי שלו לפעמים ארוך במעט מזה האנכי. כמה מתמטיקאים כמו רקורד, הריוט ודקארט השתמשו באותו סימן. אחרים (למשל Hume, Huygens, ו-Fermat) השתמשו בצלב הלטיני "†", לפעמים ממוקם אופקית, עם מוט צולב בקצה זה או אחר. לבסוף, חלקם (כגון האלי) השתמשו במראה דקורטיבי יותר " ».
3. סימן שוויון
סימן השוויון במתמטיקה ובמדעים מדויקים אחרים נכתב בין שני ביטויים זהים בגודלם. דיופנטוס היה הראשון שהשתמש בסימן השוויון. הוא ציין שוויון באות i (מיוונית isos - שווה). INמתמטיקה עתיקה וימי הבינייםשוויון צוין מילולית, למשל, est egale, או שהם השתמשו בקיצור "ae" מלטינית aequalis - "שווה". שפות אחרות השתמשו גם באותיות הראשונות של המילה "שווה", אבל זה לא התקבל בדרך כלל. סימן השוויון "=" הוצג בשנת 1557 על ידי רופא ומתמטיקאי ולשי.רוברט רקורד(רשומה ר', 1510-1558). הסמל II שימש במקרים מסוימים כסמל מתמטי לשוויון. הרשומה הציג את הסמל "='' עם שני קווים מקבילים אופקיים זהים, ארוכים בהרבה מאלה המשמשים כיום. המתמטיקאי האנגלי רוברט רקורד היה הראשון שהשתמש בסמל "שוויון", וטען במילים: "אין שני אובייקטים יכולים להיות שווים זה לזה יותר משני מקטעים מקבילים". אבל אפילו בהמאה ה XVIIדקארט רנההשתמש בקיצור "ae".פרנסואה וייטסימן השוויון מציין חיסור. במשך זמן מה, התפשטות סמל ה-Record הפריעה לכך שאותו סמל שימש לציון קווים מקבילים; בסופו של דבר, הוחלט להפוך את סמל ההקבלה לאנכי. השלט זכה להפצה רק לאחר יצירותיו של לייבניץ בתחילת המאות ה-17-18, כלומר יותר מ-100 שנים לאחר מותו של מי שהשתמש בו לראשונה לשם כך.רוברטה רקורד. אין מילים על המצבה שלו - רק שלט "שווה" מגולף.
סמלים קשורים לשוויון משוער "≈" וזהות "≡" צעירים מאוד - הראשון הוצג ב-1885 על ידי Günther, השני - ב-1857רימן
4. סימני כפל וחילוק
סימן הכפל בצורת צלב ("x") הוצג על ידי כומר-מתמטיקאי אנגליקניוויליאם אוטרד V 1631. לפניו, האות M שימשה לסימן הכפל, אם כי הוצעו ייעודים נוספים: סמל המלבן (אריגון, ), כוכבית ( יוהאן ראן, ).
יותר מאוחר לייבניץהחליף את הצלב בנקודה (סוףהמאה ה 17) כדי לא להתבלבל עם המכתבאיקס ; לפניו, סמליות כזו נמצאה בRegiomontana (המאה ה-15) ומדען אנגליתומס הריוט (1560-1621).
לציון פעולת החלוקהענףהעדיפו את הצלב. חלוקת המעי הגס החלה לצייןלייבניץ. לפניהם, גם האות ד' שימשה לעתים קרובות.פיבונאצ'י, נעשה שימוש גם בתכונת השבר, ששימשה גם בכתבים בערבית. חלוקה בצורהאובלוס ("÷") הוצג על ידי מתמטיקאי שוויצרייוהאן ראן(בערך 1660)
5. סימן אחוז.
מאית השלם, נלקח כיחידה. המילה "אחוז" עצמה באה מהלטינית "pro centum", שפירושה "מאה". ב-1685 פורסם בפריז ספרו של Mathieu de la Porte לאריתמטיקה מסחרית (1685). במקום אחד היה מדובר באחוזים, שמשמעו אז "cto" (קיצור של cento). עם זאת, המקלדת תפסה את ה"cto" הזה כשבריר והקליד "%". אז בגלל שגיאת הקלדה, השלט הזה נכנס לשימוש.
6. סימן של אינסוף
סמל האינסוף הנוכחי "∞" נכנס לשימושג'ון וואליסבשנת 1655. ג'ון וואליספרסם חיבור גדול "האריתמטיקה של האינסוף" (La T.Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, aliaque Difficiliora Matheseos Problemata), שם הציג את הסמל שהמציאאינסוף. עדיין לא ידוע מדוע בחר דווקא בסימן הזה. אחת ההשערות המוסמכות ביותר מתייחסת למקורו של סמל זה לאות הלטינית "M", שבה השתמשו הרומאים כדי לייצג את המספר 1000.הסמל לאינסוף נקרא "למניסקוס" (סרט לט.) על ידי המתמטיקאי ברנולי כארבעים שנה מאוחר יותר.
גרסה אחרת אומרת שציור ה"שמינייה" מעביר את המאפיין העיקרי של מושג ה"אינסוף": תנועהבלי סוף . לאורך הקווים של הספרה 8, אתה יכול לעשות תנועה אינסופית, כמו במסלול אופניים. כדי לא לבלבל את הסימן שהוצג עם המספר 8, מתמטיקאים החליטו למקם אותו אופקית. קרה. סימון זה הפך לסטנדרט עבור כל המתמטיקה, לא רק לאלגברה. מדוע אינסוף אינו מסומן באפס? התשובה ברורה: איך שלא תסובב את המספר 0, הוא לא ישתנה. לכן, הבחירה נפלה על 8.
אפשרות נוספת היא נחש זולל את זנבו, אשר, אלף וחצי שנה לפני הספירה במצרים, סימל תהליכים שונים שאין להם התחלה ואין להם סוף.
רבים מאמינים שרצועת מוביוס היא האב של הסמלאינסוף, שכן סמל האינסוף נרשם בפטנט לאחר המצאת מכשיר "רצועת מוביוס" (על שם המתמטיקאי מוביוס מהמאה התשע-עשרה). רצועת מוביוס - רצועת נייר מעוקלת ומחוברת בקצותיה, ויוצרות שני משטחים מרחביים. עם זאת, על פי מידע היסטורי זמין, סמל האינסוף החל לשמש לייצוג האינסוף מאתיים שנה לפני גילוי רצועת מוביוס.
7. סימנים פֶּחָםא ו אֲנָכִיסטי
סמלים" פינה"ו" אֲנָכִי" העלה רעיון 1634מתמטיקאי צרפתיפייר אריגון. הסמל הניצב שלו היה הפוך, דומה לאות T. סמל הזווית הזכיר את האייקון, נתן לו צורה מודרניתוויליאם אוטרד ().
8. לחתום מַקבִּילוּתו
סמל" מַקבִּילוּת» ידוע מאז ימי קדם, זה היה בשימושאֲנָפָהו פאפוס מאלכסנדריה. בתחילה, הסמל היה דומה לסימן השוויון הנוכחי, אך עם הופעתו של האחרון, כדי למנוע בלבול, הסמל סובב אנכית (ענף(1677), קרסי (ג'ון קרסי ) ומתמטיקאים אחרים מהמאה ה-17)
9. פי
הסימון המקובל למספר השווה ליחס בין היקף מעגל לקוטרו (3.1415926535...) נוצר לראשונהוויליאם ג'ונס V 1706, לוקח את האות הראשונה של המילים היווניות περιφέρεια -מעגלוπερίμετρος - היקף, שהוא היקף מעגל. אהבתי את הקיצור הזהאוילר, שעבודותיו תיקנו את הייעוד באופן סופי.
10. סינוס וקוסינוס
המראה של סינוס וקוסינוס מעניין.
סינוס מלטינית - סינוס, חלל. אבל לשם זה יש היסטוריה ארוכה. המתמטיקאים ההודיים התקדמו רחוק בטריגונומטריה באזור המאה ה-5. המילה "טריגונומטריה" עצמה לא הייתה קיימת, היא הוצגה על ידי גיאורג קלוגל בשנת 1770.) מה שאנו מכנים כיום סינוס תואם בערך למה שהאינדיאנים כינו ארדה-ג'יה, בתרגום כחצי-קשת מיתר (כלומר, חצי אקורד). לקיצור, הם פשוט קראו לזה - jiya (מיתר קשת). כשהערבים תרגמו את יצירותיהם של ההינדים מסנסקריט, הם לא תרגמו את ה"מחרוזת" לערבית, אלא פשוט תמללו את המילה באותיות ערביות. התברר שזה היה ג'יב. אבל מאחר ותנועות קצרות אינן מצוינות בכתב הברה בערבית, באמת נשאר j-b, שדומה למילה ערבית אחרת - jaib (חלל, סינוס). כשג'רארד מקרמונה תרגם את הערבים ללטינית במאה ה-12, הוא תרגם את המילה הזו כסינוס, שפירושה בלטינית גם סינוס, העמקה.
הקוסינוס הופיע אוטומטית, כי ההינדים קראו לו קוטי-ג'יה, או בקיצור קו-ג'יה. קוטי הוא הקצה המעוגל של קשת בסנסקריט.קיצורים מודרנייםוהציגו וויליאם אוטרדוקבוע בעבודותאוילר.
ייעודי המשיק/קוטנגנטים הם ממקור מאוחר הרבה יותר (המילה האנגלית טנגנס באה מהלטינית tangere, לגעת). ואפילו עד עכשיו אין ייעוד מאוחד - במדינות מסוימות משתמשים יותר בכינוי tan, באחרות - tg
11. קיצור "מה נדרש להוכיח" (ח"ט)
הפגנה קודמת » (kwol erat lamonstranlum).
הביטוי היווני פירושו "מה היה צריך להוכיח", והלטינית - "מה שהיה צריך להראות". נוסחה זו מסיימת כל נימוק מתמטי של המתמטיקאי היווני הגדול של יוון העתיקה, אוקלידס (המאה השלישית לפני הספירה). תורגם מלטינית - מה שנדרש להוכיח. בחיבורים מדעיים של ימי הביניים, נוסחה זו נכתבה לעתים קרובות בצורה מקוצרת: QED.
12. סימון מתמטי.
סמלים | היסטוריית סמלים |
סימני הפלוס והמינוס הומצאו ככל הנראה בבית הספר המתמטי הגרמני של "קוסיסטים" (כלומר, אלגבראיסטים). הם משמשים בחשבונו של יוהאן וידמן שפורסם ב-1489. לפני כן, חיבור סומנה באות p (פלוס) או במילה הלטינית et (צירוף "ו"), וחיסור - באות m (מינוס). בווידמן, סימן הפלוס מחליף לא רק את התוספת, אלא גם את האיחוד "ו". מקורם של סמלים אלו אינו ברור, אך סביר להניח שהם שימשו בעבר במסחר כסימנים לרווח והפסד. שני הסמלים הפכו נפוצים כמעט מיד באירופה - למעט איטליה. |
|
× ∙ | סימן הכפל הוצג בשנת 1631 על ידי ויליאם אוטרד (אנגליה) בצורת צלב אלכסוני. לפניו השתמשו באות M. מאוחר יותר החליף לייבניץ את הצלב בנקודה (סוף המאה ה-17) כדי לא לבלבל בינו לבין האות x; לפניו, סמליות כזו נמצאה ב-Regiomontanus (המאה ה-15) ובמדען האנגלי תומס הריוט (1560-1621). |
/ : ÷ | אוטרד העדיף את הצלב. דיוויזיית המעי הגס החלה לסמן את לייבניץ. לפניהם, גם האות ד' שימשה לעתים קרובות. באנגליה ובארצות הברית הפך הסמל ÷ (אובלוס), שהוצע על ידי יוהאן ראהן וג'ון פל באמצע המאה ה-17, לתפוצה רחבה. |
= | סימן השוויון הוצע על ידי רוברט רקורד (1510-1558) ב-1557. הוא הסביר שאין דבר שווה יותר בעולם משני קטעים מקבילים באותו אורך. ביבשת אירופה, סימן השוויון הוצג על ידי לייבניץ. |
סימני השוואה הוצגו על ידי תומס הריוט בעבודתו, שפורסמה לאחר מותו ב-1631. לפניו כתבו במילים: יותר, פחות. |
|
% | סמל האחוז מופיע באמצע המאה ה-17 במספר מקורות בו זמנית, מקורו אינו ברור. יש השערה שהיא נבעה מטעות של סדרן, שהקליד את הקיצור cto (cento, מאה) כ-0/0. סביר יותר שזהו תג מסחרי קורסיבי שעלה כ-100 שנים קודם לכן. |
√ | סימן השורש שימש לראשונה את המתמטיקאי הגרמני כריסטוף רודולף, מהאסכולה הקוסיסטית, בשנת 1525. תו זה מגיע מהאות הראשונה המסוגננת של המילה radix (שורש). הקו שמעל הביטוי הרדיקלי נעדר בתחילה; מאוחר יותר הוא הוצג על ידי דקארט למטרה אחרת (במקום בסוגריים), ותכונה זו התמזגה במהרה עם סימן השורש. |
א n | אקספוננציה. הסימון המודרני של המעריך הוצג על ידי דקארט בגיאומטריה שלו (1637), אם כי רק עבור כוחות טבעיים גדולים מ-2. ניוטון הרחיב מאוחר יותר את צורת התווים הזו למעריכים שליליים ושברים (1676). |
() | סוגריים הופיעו ב-Tartaglia (1556) עבור הביטוי הרדיקלי, אך רוב המתמטיקאים העדיפו להדגיש את הביטוי המודגש במקום בסוגריים. לייבניץ הכניס סוגריים לשימוש כללי. |
סימן הסכום הוצג על ידי אוילר ב-1755. |
|
סימן המוצר הוצג על ידי גאוס בשנת 1812. |
|
אני | האות i כקוד ליחידה הדמיונית:הוצע על ידי אוילר (1777), שלקח את האות הראשונה של המילה imaginarius (דמיוני) לשם כך. |
π | הייעוד המקובל למספר 3.14159 ... נוצר על ידי ויליאם ג'ונס בשנת 1706, כשהוא לוקח את האות הראשונה של המילים היווניות περιφέρεια - היקף ו-περίμετρος - היקף, כלומר, מעגל. |
לייבניץ שאב את הסימון של האינטגרל מהאות הראשונה של המילה "סומה" (Summa). |
|
y" | הייעוד הקצר של הנגזרת עם ראשי חוזר ללגרנז'. |
סמל הגבול הופיע ב-1787 עם סיימון לוילייר (1750-1840). |
|
סמל האינסוף הומצא על ידי וואליס, שפורסם ב-1655. |
13. מסקנה
מדע מתמטי הכרחי לחברה מתורבתת. מתמטיקה נמצאת בכל המדעים. שפה מתמטית מעורבת בשפה של כימיה ופיזיקה. אבל אנחנו עדיין מבינים את זה. אנו יכולים לומר שאנו מתחילים ללמוד את שפת המתמטיקה יחד עם דיבור הילידים שלנו. המתמטיקה הפכה לחלק בלתי נפרד מחיינו. הודות לתגליות המתמטיות של העבר, מדענים יוצרים טכנולוגיות חדשות. התגליות ששרדו מאפשרות לפתור בעיות מתמטיות מורכבות. והשפה המתמטית העתיקה ברורה לנו, ותגליות מעניינות אותנו. הודות למתמטיקה, ארכימדס, אפלטון, ניוטון גילו חוקים פיזיקליים. אנחנו לומדים אותם בבית הספר. גם בפיזיקה יש סמלים, מונחים הטבועים במדע הפיזיקלי. אבל שפה מתמטית אינה אבודה בין נוסחאות פיזיקליות. להיפך, לא ניתן לכתוב את הנוסחאות הללו ללא ידע במתמטיקה. באמצעות ההיסטוריה, הידע והעובדות נשמרים עבור הדורות הבאים. מחקר נוסף של מתמטיקה הכרחי לתגליות חדשות.כדי להשתמש בתצוגה המקדימה של מצגות, צור חשבון Google (חשבון) והיכנס: https://accounts.google.com
כתוביות של שקופיות:
סמלים מתמטיים העבודה נעשתה על ידי תלמיד מכיתה ז' של בית ספר מס' 574 באלאגין ויקטור
סמל (מיוונית symbolon - סימן, סימן, סיסמה, סמל) הוא סימן הקשור לאובייקטיביות שהוא מייעד כך שמשמעות הסימן והנושא שלו מיוצגים רק על ידי הסימן עצמו ומתגלים רק באמצעות פרשנותו. סימנים הם מוסכמות מתמטיות שנועדו לתעד מושגים מתמטיים, משפטים וחישובים.
עצם אישנגו חלק מהפפירוס של אחמס
+ − סימני פלוס ומינוס. חיבור סומן באות p (פלוס) או במילה הלטינית et (צירוף "ו"), וחיסור באות m (מינוס). הביטוי a + b נכתב בלטינית כך: a et b.
סימון חיסור. ÷ ∙ ∙ או ∙ ∙ ∙ רנה דקארט מרין מרסן
עמוד מתוך ספרו של יוהן וידמן. בשנת 1489 פרסם יוהן וידמן את הספר המודפס הראשון בלייפציג (אריתמטיקה מסחרית - "חשבון מסחרי"), שבו היו גם סימני + ו-.
סימון תוספת. כריסטיאן הויגנס דייוויד הום פייר דה פרמה אדמונד (אדמונד) האלי
סימן שוויון דיופנטוס היה הראשון שהשתמש בסימן השוויון. הוא ציין שוויון באות i (מיוונית isos - שווה).
סימן שוויון הוצע בשנת 1557 על ידי המתמטיקאי האנגלי רוברט רקורד "אין שני עצמים יכולים להיות שווים זה לזה יותר משני מקטעים מקבילים." ביבשת אירופה, סימן השוויון הוצג על ידי לייבניץ
× ∙ סימן הכפל הוצג בשנת 1631 על ידי ויליאם אוטרד (אנגליה) בצורת צלב אלכסוני. לייבניץ החליף את הצלב בנקודה (סוף המאה ה-17) כדי לא לבלבל בינו לבין האות x. ויליאם אוטרד גוטפריד וילהלם לייבניץ
אָחוּז. מתיאו דה לה פורט (1685). מאית השלם, נלקח כיחידה. "אחוז" - "pro centum", שפירושו - "מאה". "cto" (קיצור של cento). הקודד טעה ב-"cto" כשבריר והקליד "%".
אינסוף. ג'ון וואליס ג'ון וואליס הציג את הסמל שהמציא ב-1655. הנחש הזולל את זנבו סימל תהליכים שונים שאין להם התחלה וסוף.
הסמל לאינסוף החל לשמש לייצוג האינסוף מאתיים שנה לפני גילוי רצועת מוביוס רצועת מוביוס היא רצועת נייר מעוקלת ומחוברת בקצותיה ליצירת שני משטחים מרחביים. אוגוסט פרדיננד מוביוס
זווית וניצב. סמלים הומצאו בשנת 1634 על ידי המתמטיקאי הצרפתי פייר אריגון. סמל הזווית של אריגון דמה לסמל. הסמל הניצב התהפך, בדומה לאות T. סימנים אלה קיבלו את צורתם המודרנית על ידי ויליאם אוגטרד (1657).
מַקבִּילוּת. הסמל שימש את הרון מאלכסנדריה ופפוס מאלכסנדריה. בתחילה, הסמל היה דומה לסימן השוויון הנוכחי, אך עם הופעתו של האחרון, כדי למנוע בלבול, הסמל סובב אנכית. אנפה מאלכסנדריה
פאי. π ≈ 3.1415926535... ויליאם ג'ונס בשנת 1706 π εριφέρεια - היקף ו-π ερίμετρος - היקף, כלומר, היקף המעגל. צמצום זה שימח את אוילר, שעבודותיו תיקנו את הייעוד לחלוטין. וויליאם ג'ונס
sin Sinus ו- cosine cos Sinus (מלטינית) - סינוס, חלל. קוטי-ג'יה, או בקיצור קו-ג'יה. קוטי - הקצה המעוגל של הקשת כינויים קצרים מודרניים הוצגו על ידי ויליאם אוטרד ותוקנו בעבודותיו של אוילר. "arha-jiva" - בקרב האינדיאנים - "חצי מיתר" לאונרד אוילר וויליאם אוטרד
מה נדרש להוכחת (ח.ת.ד.) "Quod erat demonstrandum" QED. נוסחה זו מסיימת כל נימוק מתמטי של המתמטיקאי הגדול של יוון העתיקה, אוקלידס (המאה השלישית לפני הספירה).
אנו מבינים את השפה המתמטית העתיקה. גם בפיזיקה יש סמלים, מונחים הטבועים במדע הפיזיקלי. אבל שפה מתמטית אינה אבודה בין נוסחאות פיזיקליות. להיפך, לא ניתן לכתוב את הנוסחאות הללו ללא ידע במתמטיקה.
