Saskaņā ar Sovetova un Jakovļeva mācību grāmatu: "modelis (latīņu modulis - mērs) ir oriģinālā objekta aizstājējs, kas nodrošina dažu oriģināla īpašību izpēti." (6. lpp.) "Viena objekta aizstāšanu ar citu, lai iegūtu informāciju par sākotnējā objekta svarīgākajām īpašībām, izmantojot modeļa objektu, sauc par modelēšanu." (6. lpp.) “Ar matemātisko modelēšanu mēs saprotam procesu, kurā tiek noteikta atbilstība noteiktam reālam objektam ar noteiktu matemātisko objektu, ko sauc par matemātisko modeli, un šī modeļa izpēti, kas ļauj iegūt reālā objekta īpašības. apskatāmais objekts. Matemātiskā modeļa veids ir atkarīgs gan no reālā objekta rakstura, gan objekta izpētes uzdevumiem un šīs problēmas risināšanas nepieciešamās uzticamības un precizitātes.

Visbeidzot, visprecīzākā matemātiskā modeļa definīcija: "Vienādojums, kas izsaka ideju».

Modeļu klasifikācija

Modeļu formālā klasifikācija

Modeļu formālās klasifikācijas pamatā ir izmantoto matemātisko rīku klasifikācija. Bieži vien konstruēts divkāršu veidā. Piemēram, viens no populārākajiem dihotomiju komplektiem:

un tā tālāk. Katrs konstruētais modelis ir lineārs vai nelineārs, deterministisks vai stohastisks, ... Dabiski, ka ir iespējami arī jaukti tipi: koncentrēti vienā aspektā (parametru ziņā), sadalīti citā utt.

Klasifikācija pēc objekta attēlojuma veida

Līdzās formālai klasifikācijai modeļi atšķiras ar to, kā tie attēlo objektu:

Strukturālie vai funkcionālie modeļi

Strukturālie modeļi attēlo objektu kā sistēmu ar savu struktūru un darbības mehānismu. Funkcionālie modeļi neizmanto šādus priekšstatus un atspoguļo tikai ārēji uztveramo objekta uzvedību (funkciju). Savā galējā izteiksmē tos sauc arī par “melnās kastes” modeļiem. Ir iespējami arī kombinēti modeļu veidi, kurus dažreiz sauc par “ pelēka kaste».

Satura un formālie modeļi

Gandrīz visi autori, kas apraksta matemātiskās modelēšanas procesu, norāda, ka vispirms tiek uzbūvēta īpaša ideāla struktūra, satura modelis. Šeit nav izveidotas terminoloģijas, un citi autori šo ideālo objektu sauc konceptuālais modelis , spekulatīvs modelis vai priekšmodelis. Šajā gadījumā tiek izsaukta galīgā matemātiskā konstrukcija formālais modelis vai vienkārši matemātiskais modelis, kas iegūts dotā jēgpilnā modeļa formalizācijas rezultātā (pirmsmodelis). Jēgpilna modeļa uzbūvi var veikt, izmantojot gatavu idealizāciju kopumu, kā mehānikā, kur ideālas atsperes, stingri ķermeņi, ideāli svārsti, elastīgie mediji u.c. nodrošina gatavus konstrukcijas elementus jēgpilnai modelēšanai. Tomēr zināšanu jomās, kurās nav pilnībā pabeigtu formalizētu teoriju (fizikas, bioloģijas, ekonomikas, socioloģijas, psiholoģijas un vairumā citu jomu līderi), jēgpilnu modeļu izveide kļūst ievērojami grūtāka.

Modeļu satura klasifikācija

Nevienu zinātnes hipotēzi nevar pierādīt vienreiz un uz visiem laikiem. Ričards Feinmens to ļoti skaidri formulēja:

“Mums vienmēr ir iespēja atspēkot teoriju, taču ņemiet vērā, ka mēs nekad nevaram pierādīt, ka tā ir pareiza. Pieņemsim, ka esat izvirzījis veiksmīgu hipotēzi, aprēķinājis, kurp tā ved, un konstatējis, ka visas tās sekas ir apstiprinātas eksperimentāli. Vai tas nozīmē, ka jūsu teorija ir pareiza? Nē, tas vienkārši nozīmē, ka jums neizdevās to atspēkot.

Ja tiek uzbūvēts pirmā tipa modelis, tas nozīmē, ka tas uz laiku tiek pieņemts kā patiesība un var koncentrēties uz citām problēmām. Tomēr tas nevar būt pētījuma punkts, bet tikai īslaicīga pauze: pirmā tipa modeļa statuss var būt tikai īslaicīgs.

2. veids: Fenomenoloģiskais modelis (mēs uzvedamies it kā…)

Fenomenoloģiskais modelis satur fenomena aprakstīšanas mehānismu. Tomēr šis mehānisms nav pietiekami pārliecinošs, to nevar pietiekami apstiprināt ar pieejamajiem datiem vai arī neatbilst esošajām teorijām un uzkrātajām zināšanām par objektu. Tāpēc fenomenoloģiskiem modeļiem ir pagaidu risinājumu statuss. Domājams, ka atbilde joprojām nav zināma un jāturpina meklēt “patiesos mehānismus”. Peierls ietver, piemēram, kaloriju modeli un elementārdaļiņu kvarku modeli kā otro veidu.

Modeļa loma pētījumos laika gaitā var mainīties, un var gadīties, ka jauni dati un teorijas apstiprina fenomenoloģiskos modeļus un tie tiek izvirzīti hipotēzes statusā. Tāpat jaunas zināšanas pakāpeniski var nonākt pretrunā ar pirmā tipa modeļiem-hipotēzēm, un tās var pārtulkot otrajā. Tādējādi kvarku modelis pamazām pāriet hipotēžu kategorijā; atomisms fizikā radās kā pagaidu risinājums, bet līdz ar vēstures gaitu kļuva par pirmo veidu. Taču ētera modeļi ir nonākuši no 1. tipa uz 2. tipu, un tagad tie ir ārpus zinātnes.

Veidojot modeļus, vienkāršošanas ideja ir ļoti populāra. Taču vienkāršošana izpaužas dažādos veidos. Peierls identificē trīs veidu modelēšanas vienkāršojumus.

3. veids: Tuvināšana (mēs uzskatām kaut ko ļoti lielu vai ļoti mazu)

Ja ir iespējams izveidot vienādojumus, kas apraksta pētāmo sistēmu, tas nenozīmē, ka tos var atrisināt pat ar datora palīdzību. Izplatīts paņēmiens šajā gadījumā ir tuvinājumu izmantošana (3. tipa modeļi). Starp viņiem lineārās atbildes modeļi. Vienādojumi tiek aizstāti ar lineāriem. Standarta piemērs ir Oma likums.

Šeit nāk 8. tips, kas ir plaši izplatīts bioloģisko sistēmu matemātiskajos modeļos.

8. veids: Funkciju demonstrācija (galvenais ir parādīt iespēju iekšējo konsekvenci)

Tie arī ir domu eksperimenti ar iedomātām entītijām, kas to pierāda domājama parādība saskaņā ar pamatprincipiem un iekšēji konsekventi. Šī ir galvenā atšķirība no 7. tipa modeļiem, kas atklāj slēptās pretrunas.

Viens no slavenākajiem no šiem eksperimentiem ir Lobačevska ģeometrija (Lobačevskis to sauca par "iedomātu ģeometriju"). Vēl viens piemērs ir formāli kinētisko ķīmisko un bioloģisko vibrāciju, autoviļņu uc modeļu masveida ražošana. Einšteina-Podoļska-Rozena paradokss tika iecerēts kā 7. tipa modelis, lai parādītu nekonsekvenci. kvantu mehānika. Pilnīgi neplānotā veidā tas galu galā pārtapa 8. tipa modelī – informācijas kvantu teleportācijas iespējas demonstrācijā.

Piemērs

Apsveriet mehānisku sistēmu, kas sastāv no atsperes, kas fiksēta vienā galā, un masas , kas pievienota atsperes brīvajam galam. Mēs pieņemsim, ka slodze var pārvietoties tikai atsperes ass virzienā (piemēram, kustība notiek gar stieni). Izveidosim šīs sistēmas matemātisko modeli. Sistēmas stāvokli aprakstīsim pēc attāluma no slodzes centra līdz tās līdzsvara stāvoklim. Aprakstīsim atsperes un slodzes mijiedarbību Huka likums() un pēc tam izmantojiet Ņūtona otro likumu, lai izteiktu to diferenciālvienādojuma veidā:

kur nozīmē otro atvasinājumu no laika ziņā: .

Iegūtais vienādojums apraksta aplūkotās fiziskās sistēmas matemātisko modeli. Šo modeli sauc par "harmonisko oscilatoru".

Pēc formālās klasifikācijas šis modelis ir lineārs, deterministisks, dinamisks, koncentrēts, nepārtraukts. Tās konstruēšanas procesā mēs izdarījām daudzus pieņēmumus (par ārējo spēku neesamību, berzes neesamību, noviržu mazumu utt.), kas patiesībā var arī neatbilst.

Attiecībā uz realitāti tas visbiežāk ir 4. tipa modelis vienkāršošana(“skaidrības labad mēs izlaidīsim dažas detaļas”), jo dažas būtiskas universālas pazīmes (piemēram, izkliedēšana) ir izlaistas. Aptuveni (teiksim, kamēr slodzes novirze no līdzsvara ir maza, ar zemu berzi, ne pārāk ilgu laiku un saskaņā ar noteiktiem citiem nosacījumiem), šāds modelis diezgan labi raksturo reālu mehānisko sistēmu, jo izmestie faktori ir nenozīmīga ietekme uz tās uzvedību. Tomēr modeli var uzlabot, ņemot vērā dažus no šiem faktoriem. Tādējādi tiks izveidots jauns modelis ar plašāku (lai gan atkal ierobežotu) piemērojamības jomu.

Tomēr, pilnveidojot modeli, tā matemātiskās izpētes sarežģītība var ievērojami palielināties un padarīt modeli praktiski nederīgu. Bieži vien vienkāršāks modelis ļauj labāk un dziļāk izpētīt reālo sistēmu nekā sarežģītāks (un formāli "pareizāks").

Ja mēs izmantojam harmonisko oscilatoru modeli objektiem, kas ir tālu no fizikas, tā saturs var atšķirties. Piemēram, piemērojot šo modeli bioloģiskajām populācijām, tas, visticamāk, būtu jāklasificē kā 6. tips līdzība(“ņemsim vērā tikai dažas funkcijas”).

Cietie un mīkstie modeļi

Harmoniskais oscilators ir tā sauktā “cietā” modeļa piemērs. To iegūst reālas fiziskās sistēmas spēcīgas idealizācijas rezultātā. Lai atrisinātu jautājumu par tā piemērojamību, ir jāsaprot, cik nozīmīgi ir faktori, kurus esam atstājuši novārtā. Citiem vārdiem sakot, ir jāizpēta “mīkstais” modelis, kas iegūts ar nelielu “cietā” perturbāciju. To var dot, piemēram, ar šādu vienādojumu:

Šeit ir kāda funkcija, kas var ņemt vērā berzes spēku vai atsperes stinguma koeficienta atkarību no tā stiepšanās pakāpes - kāds mazs parametrs. Pašlaik mūs neinteresē precīza funkcijas forma. Ja mēs pierādīsim, ka mīkstā modeļa uzvedība būtiski neatšķiras no cietā modeļa uzvedības (neatkarīgi no izteiktā traucējošo faktoru veida, ja tie ir pietiekami mazi), problēma tiks reducēta uz cietā modeļa izpēti. Pretējā gadījumā stingrā modeļa pētījumos iegūto rezultātu pielietošanai būs nepieciešami papildu pētījumi. Piemēram, harmoniskā oscilatora vienādojuma risinājums ir formas funkcijas, tas ir, svārstības ar nemainīgu amplitūdu. Vai no tā izriet, ka īsts oscilators svārstīsies bezgalīgi ar nemainīgu amplitūdu? Nē, jo, ņemot vērā sistēmu ar patvaļīgi mazu berzi (vienmēr pastāv reālā sistēmā), mēs iegūstam slāpētas svārstības. Sistēmas uzvedība ir kvalitatīvi mainījusies.

Ja sistēma saglabā savu kvalitatīvo uzvedību nelielu traucējumu gadījumā, tā tiek uzskatīta par strukturāli stabilu. Harmoniskais oscilators ir strukturāli nestabilas (neapstrādātas) sistēmas piemērs. Tomēr šo modeli var izmantot, lai pētītu procesus ierobežotā laika periodā.

Modeļu daudzpusība

Vissvarīgākajiem matemātiskajiem modeļiem parasti ir svarīga īpašība daudzpusība: Principiāli atšķirīgas reālas parādības var aprakstīt ar vienu un to pašu matemātisko modeli. Piemēram, harmoniskais oscilators apraksta ne tikai slodzes uzvedību uz atsperes, bet arī citus svārstību procesus, kas bieži vien ir pavisam cita rakstura: nelielas svārsta svārstības, šķidruma līmeņa svārstības A formas traukā. , vai strāvas stipruma izmaiņas svārstību ķēdē. Tādējādi, pētot vienu matemātisko modeli, mēs uzreiz pētām veselu ar to aprakstīto parādību klasi. Tas ir šis likumu izomorfisms, kas izteikts ar matemātiskajiem modeļiem dažādos segmentos zinātniskās zināšanas, Ludviga fon Bertalanfija iedvesma, lai radītu “Vispārīgo sistēmu teoriju”.

Matemātiskās modelēšanas tiešās un apgrieztās problēmas

Ar matemātisko modelēšanu ir saistītas daudzas problēmas. Pirmkārt, jums ir jāizdomā modelētā objekta pamata diagramma, jāatveido tā šīs zinātnes idealizāciju ietvaros. Tādējādi vilciena vagons pārvēršas par plākšņu un sarežģītāku virsbūvju sistēmu no dažādi materiāli, katrs materiāls tiek norādīts kā tā standarta mehāniskā idealizācija (blīvums, elastības moduļi, standarta stiprības raksturlielumi), pēc tam tiek sastādīti vienādojumi, pa ceļam dažas detaļas tiek izmestas kā nesvarīgas, veikti aprēķini, salīdzināti ar mērījumiem, precizēts modelis, un tā tālāk. Tomēr, lai izstrādātu matemātiskās modelēšanas tehnoloģijas, ir lietderīgi izjaukt šo procesu tā galvenajos komponentos.

Tradicionāli ir divas galvenās problēmu klases, kas saistītas ar matemātiskajiem modeļiem: tiešās un apgrieztās.

Tiešais uzdevums: modeļa struktūra un visi tā parametri tiek uzskatīti par zināmiem, galvenais uzdevums ir veikt modeļa izpēti, lai iegūtu noderīgas zināšanas par objektu. Kādu statisko slodzi tilts izturēs? Kā tā reaģēs uz dinamisku slodzi (piemēram, uz karavīru rotas gājienu, vai uz vilciena pāreju dažādos ātrumos), kā lidmašīna pārvarēs skaņas barjeru, vai tā izjuks no plandīšanās - tie ir tipiski tiešas problēmas piemēri. Pareizas tiešās problēmas noteikšana (pareizā jautājuma uzdošana) prasa īpašas prasmes. Ja netiek uzdoti pareizie jautājumi, tilts var sabrukt, pat ja ir uzbūvēts labs tā uzvedības modelis. Tā 1879. gadā Lielbritānijā sabruka metāla tilts pāri Tejas upei, kura projektētāji uzbūvēja tilta maketu, aprēķināja, ka tam ir 20-kārtīgs lietderīgās kravas darbības drošības koeficients, bet aizmirsa par vējiem. pastāvīgi pūš tajās vietās. Un pēc pusotra gada tas sabruka.

Vienkāršākajā gadījumā (piemēram, viens oscilatora vienādojums) tiešā problēma ir ļoti vienkārša un reducējas līdz šī vienādojuma skaidram risinājumam.

Apgrieztā problēma: ir zināmi daudzi iespējamie modeļi, ir jāizvēlas konkrēts modelis, pamatojoties uz papildu datiem par objektu. Visbiežāk ir zināma modeļa struktūra, un ir jānosaka daži nezināmi parametri. Papildus informācija var sastāvēt no papildu empīriskiem datiem vai prasībām objektam ( dizaina problēma). Papildu dati var tikt saņemti neatkarīgi no lēmuma pieņemšanas procesa apgrieztā problēma (pasīva novērošana) vai būt risinājuma laikā īpaši plānota eksperimenta rezultāts ( aktīva uzraudzība).

Viens no pirmajiem piemēriem apgrieztas problēmas meistarīgam risinājumam, maksimāli izmantojot pieejamos datus, bija I. Ņūtona konstruētā metode berzes spēku rekonstrukcijai no novērotajām slāpētām svārstībām.

Vēl viens piemērs ir matemātiskā statistika. Šīs zinātnes uzdevums ir izstrādāt metodes novērojumu un eksperimentālo datu reģistrēšanai, aprakstīšanai un analīzei, lai izveidotu nejaušu masu parādību varbūtības modeļus. Tie. iespējamo modeļu kopa ir ierobežota ar varbūtības modeļiem. Konkrētos uzdevumos modeļu kopums ir ierobežotāks.

Datoru simulācijas sistēmas

Matemātiskās modelēšanas atbalstam ir izstrādātas datormatemātikas sistēmas, piemēram, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim u.c. Tās ļauj izveidot formālus un bloku modeļus gan vienkāršiem, gan sarežģītiem procesiem un ierīcēm un viegli mainīt modeļa parametrus darbības laikā. modelēšana. Bloku modeļi tiek attēloti ar blokiem (visbiežāk grafiskiem), kuru komplektu un savienojumu nosaka modeļa diagramma.

Papildu piemēri

Maltusa modelis

Pieauguma temps ir proporcionāls pašreizējam iedzīvotāju skaitam. To apraksta ar diferenciālvienādojumu

kur ir noteikts parametrs, ko nosaka starpība starp dzimstību un mirstības līmeni. Šī vienādojuma risinājums ir eksponenciāla funkcija. Ja dzimstība pārsniedz mirstības līmeni (), iedzīvotāju skaits palielinās bezgalīgi un ļoti ātri. Skaidrs, ka reāli tas nevar notikt ierobežoto resursu dēļ. Kad tiek sasniegts noteikts kritiskais populācijas lielums, modelis pārstāj būt adekvāts, jo neņem vērā ierobežotos resursus. Maltusa modeļa pilnveidojums var būt loģistikas modelis, ko apraksta Verhulsta diferenciālvienādojums

kur ir “līdzsvara” populācijas lielums, pie kura dzimstību precīzi kompensē mirstības līmenis. Populācijas lielumam šādā modelī ir tendence uz līdzsvara vērtību , un šī uzvedība ir strukturāli stabila.

Plēsēju-laupījumu sistēma

Pieņemsim, ka noteiktā teritorijā dzīvo divu veidu dzīvnieki: truši (ēd augus) un lapsas (ēd trušus). Lai trušu skaits, lapsu skaits. Izmantojot Malthus modeli ar nepieciešamajiem grozījumiem, lai ņemtu vērā trušu ēšanu no lapsām, mēs nonākam pie šādas sistēmas ar nosaukumu modeļi Paplātes - Volterra:

Šai sistēmai ir līdzsvara stāvoklis, kad trušu un lapsu skaits ir nemainīgs. Novirze no šī stāvokļa rada trušu un lapsu skaita svārstības, kas ir līdzīgas harmoniskā oscilatora svārstībām. Tāpat kā ar harmonisko oscilatoru, šī uzvedība nav strukturāli stabila: neliela modeļa maiņa (piemēram, ņemot vērā ierobežotos resursus, kas nepieciešami trušiem) var izraisīt kvalitatīvas izmaiņas uzvedībā. Piemēram, līdzsvara stāvoklis var kļūt stabils, un skaitļu svārstības izzudīs. Iespējama arī pretēja situācija, kad jebkura neliela novirze no līdzsvara stāvokļa novedīs pie katastrofālām sekām, līdz pat vienas sugas pilnīgai izzušanai. Volterras-Lotkas modelis neatbild uz jautājumu, kurš no šiem scenārijiem tiek realizēts: šeit ir nepieciešama papildu izpēte.

Piezīmes

“Realitātes matemātisks attēlojums” (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., Par kibernētiskās modelēšanas filozofiskiem jautājumiem. M., Zināšanas, 1964. gads.
Sovetovs B. Ja., Jakovļevs S. A., Sistēmu modelēšana: Proc. augstskolām - 3. izd., pārstrādāts. un papildu - M.: Augstāk. skola, 2001. - 343 lpp. ISBN 5-06-003860-2
Samarskis A. A., Mihailovs A. P. Matemātiskā modelēšana. Idejas. Metodes. Piemēri. - 2. izdevums, red. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Miškis A.D., Matemātisko modeļu teorijas elementi. - 3. izdevums, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ar ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostjanovs, A.G. Modelēšana tehnoloģiskie procesi: mācību grāmata / A.G. Sevostjanovs, P.A. Sevostjanovs. – M.: Vieglā un pārtikas rūpniecība, 1984. - 344 lpp.
Vikivārdnīca: matemātiskais modelis
CliffsNotes.com. Zemes zinātnes glosārijs. 2010. gada 20. septembris
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlīne-Heidelberga-Ņujorka, 2006. XII+562 lpp. ISBN 3-540-35885-4
"Teorija tiek uzskatīta par lineāru vai nelineāru atkarībā no tā, kāda veida matemātiskais aparāts - lineārs vai nelineārs - un kādus lineāros vai nelineāros matemātiskos modeļus tā izmanto. ...nenoliedzot pēdējo. Mūsdienu fiziķis, ja viņam no jauna būtu jārada definīcija tādai svarīgai vienībai kā nelinearitāte, visticamāk, rīkotos citādi un, dodot priekšroku nelinearitātei kā svarīgākajam un izplatītākajam no diviem pretstatiem, linearitāti definētu kā “nav. nelinearitāte." Daņilovs Ju.A., Lekcijas par nelineāro dinamiku. Elementārs ievads. Sērija “Sinerģētika: no pagātnes uz nākotni”. 2. izdevums. - M.: URSS, 2006. - 208 lpp. ISBN 5-484-00183-8
"Dinamikas sistēmas, kas modelētas ar ierobežotu skaitu parastu diferenciālvienādojumu, sauc par koncentrētām vai punktu sistēmām. Tie ir aprakstīti, izmantojot ierobežotu dimensiju fāzes telpu, un tos raksturo ierobežots brīvības pakāpju skaits. To pašu sistēmu dažādos apstākļos var uzskatīt par koncentrētu vai sadalītu. Sadalīto sistēmu matemātiskie modeļi ir daļēji diferenciālvienādojumi, integrālie vienādojumi vai parastie aiztures vienādojumi. Sadalītas sistēmas brīvības pakāpju skaits ir bezgalīgs, un tas ir nepieciešams bezgalīgs skaitlis datus, lai noteiktu tā stāvokli." Aniščenko V. S., Dinamiskās sistēmas, Sorosa izglītības žurnāls, 1997, Nr. 11, lpp. 77-84.
“Atkarībā no sistēmā S pētāmo procesu rakstura visus modelēšanas veidus var iedalīt deterministiskajā un stohastiskajā, statiskajā un dinamiskajā, diskrētajā, nepārtrauktajā un diskrētajā-nepārtrauktajā. Deterministiskā modelēšana parāda deterministiskos procesus, tas ir, procesus, kuros tiek pieņemts, ka nav nejaušas ietekmes; stohastiskā modelēšana attēlo varbūtības procesus un notikumus. ... Statiskā modelēšana kalpo, lai aprakstītu objekta uzvedību jebkurā brīdī, un dinamiskā modelēšana atspoguļo objekta uzvedību laika gaitā. Diskrētā modelēšana tiek izmantota, lai aprakstītu procesus, kurus pieņem par diskrētiem, respektīvi, nepārtrauktā modelēšana ļauj atspoguļot nepārtrauktus procesus sistēmās, un diskrēta-nepārtraukta modelēšana tiek izmantota gadījumiem, kad vēlas izcelt gan diskrētu, gan nepārtrauktu procesu klātbūtni. ” Sovetovs B. Ja., Jakovļevs S. A. ISBN 5-06-003860-2
Parasti matemātiskais modelis atspoguļo modelētā objekta struktūru (ierīci), šī objekta komponentu īpašības un attiecības, kas ir būtiskas izpētes mērķiem; šādu modeli sauc par strukturālu. Ja modelis atspoguļo tikai to, kā objekts funkcionē - piemēram, kā tas reaģē uz ārējām ietekmēm -, tad to sauc par funkcionālu jeb pārnestā nozīmē par melno kasti. Ir iespējami arī kombinēti modeļi. Miškis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
“Acīmredzamais, bet vissvarīgākais matemātiskā modeļa konstruēšanas vai izvēles sākuma posms ir pēc iespējas skaidrāka priekšstata iegūšana par modelējamo objektu un jēgpilna modeļa pilnveidošana, balstoties uz neformālām diskusijām. Šajā posmā nevajadzētu tērēt laiku un pūles, no tā lielā mērā ir atkarīgi visa pētījuma panākumi. Ne reizi vien ir gadījies, ka nozīmīgs darbs, kas veltīts matemātiskas problēmas risināšanai, izrādījies neefektīvs vai pat izniekots, jo šai lietas pusei netika pievērsta pietiekama uzmanība. Miškis A.D., Matemātisko modeļu teorijas elementi. - 3. izdevums, red. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ar ISBN 978-5-484-00953-4, lpp. 35.
« Sistēmas konceptuālā modeļa apraksts.Šajā sistēmas modeļa izveides apakšposmā: a) konceptuālais modelis M ir aprakstīts abstraktos terminos un jēdzienos; b) modeļa apraksts sniegts, izmantojot standarta matemātiskās shēmas; c) beidzot tiek pieņemtas hipotēzes un pieņēmumi; d) ir pamatota reālo procesu tuvināšanas procedūras izvēle, veidojot modeli. Sovetovs B. Ja., Jakovļevs S. A., Sistēmu modelēšana: Proc. augstskolām - 3. izd., pārstrādāts. un papildu - M.: Augstāk. skola, 2001. - 343 lpp. ISBN 5-06-003860-2, lpp. 93.
Blehmans I. I., Miškis A. D., Panovko N. G., Lietišķā matemātika: Priekšmets, loģika, pieeju iezīmes. Ar piemēriem no mehānikas: Apmācība. - 3. izdevums, rev. un papildu - M.: URSS, 2006. - 376 lpp. ISBN 5-484-00163-3, 2. nodaļa.

LEKCIJAS PIEZĪMES

Atbilstoši likmei

"Mašīnu un transporta sistēmu matemātiskā modelēšana"

Kursā tiek apskatīti jautājumi, kas saistīti ar matemātisko modelēšanu, matemātisko modeļu attēlojuma formu un principu. Aplūkotas skaitliskās metodes viendimensiju nelineāru sistēmu risināšanai. Tiek apskatīti datormodelēšanas un skaitļošanas eksperimenta jautājumi. Tiek aplūkotas zinātnisku vai rūpniecisku eksperimentu rezultātā iegūto datu apstrādes metodes; dažādu procesu izpēte, objektu, procesu un sistēmu uzvedības modeļu identificēšana. Aplūkotas eksperimentālo datu interpolācijas un aproksimācijas metodes. Aplūkoti jautājumi, kas saistīti ar nelineāro dinamisko sistēmu datormodelēšanu un risinājumu. Īpaši apskatītas pirmās, otrās un augstākās kārtas parasto diferenciālvienādojumu skaitliskās integrācijas un risināšanas metodes.

Lekcija: Matemātiskā modelēšana. Matemātisko modeļu attēlojuma forma un principi

Lekcija aptver vispārīgi jautājumi matemātiskā modelēšana. Ir dota matemātisko modeļu klasifikācija.

Dators ir stingri ienācis mūsu dzīvē, un praktiski nav nevienas cilvēka darbības jomas, kurā dators netiktu izmantots. Datori mūsdienās tiek plaši izmantoti jaunu mašīnu, jaunu tehnoloģisko procesu radīšanas un izpētes procesā un to optimālo iespēju meklējumos; risinot ekonomiskās problēmas, risinot plānošanas un ražošanas vadības problēmas dažādos līmeņos. Lielu objektu radīšana raķetniecībā, lidmašīnu ražošanā, kuģu būvē, kā arī dambju, tiltu uc projektēšanā parasti nav iespējama bez datoru izmantošanas.

Lai lietotu datoru lietišķo uzdevumu risināšanā, pirmkārt, lietišķā problēma ir “jāpārtulko” formālā matemātiskā valodā, t.i. reālam objektam, procesam vai sistēmai ir jāizveido tā matemātiskais modelis.

Vārds "modelis" cēlies no latīņu valodas modus (kopija, attēls, kontūra). Modelēšana ir kāda objekta A aizstāšana ar citu objektu B. Aizvietoto objektu A sauc par oriģinālo jeb modelēšanas objektu, bet aizstāšanu B sauc par modeli. Citiem vārdiem sakot, modelis ir oriģinālā objekta aizstājējs, kas nodrošina dažu oriģināla īpašību izpēti.

Modelēšanas mērķis ir iegūt, apstrādāt, prezentēt un izmantot informāciju par objektiem, kas mijiedarbojas savā starpā un ārējā vide; un modelis šeit darbojas kā līdzeklis, lai izprastu objekta īpašības un uzvedības modeļus.

Modelēšana tiek plaši izmantota dažādās cilvēka darbības jomās, īpaši projektēšanas un vadības jomās, kur efektīvu lēmumu pieņemšanas procesi, pamatojoties uz saņemto informāciju, ir īpaši.

Modelis vienmēr tiek veidots ar noteiktu mērķi, kas ietekmē to, kuras objektīvās parādības īpašības ir nozīmīgas un kuras nav. Modelis ir kā objektīvas realitātes projekcija no noteikta leņķa. Dažreiz, atkarībā no mērķiem, jūs varat iegūt vairākas objektīvas realitātes projekcijas, kas nonāk konfliktā. Tas parasti ir raksturīgi sarežģītām sistēmām, kurās katra projekcija izvēlas to, kas ir būtisks konkrētam mērķim no nebūtisko.

Modelēšanas teorija ir zinātnes nozare, kas pēta veidus, kā izpētīt oriģinālo objektu īpašības, pamatojoties uz to aizstāšanu ar citiem modeļa objektiem. Modelēšanas teorija balstās uz līdzības teoriju. Modelējot, absolūta līdzība nenotiek un tikai cenšas nodrošināt, lai modelis pietiekami labi atspoguļotu pētāmā objekta funkcionēšanas aspektu. Absolūta līdzība var rasties tikai tad, ja viens objekts tiek aizstāts ar citu, tieši tādu pašu.

Visus modeļus var iedalīt divās klasēs:

1. īsts,

2. ideāls.

Savukārt reālos modeļus var iedalīt:

1. pilna mēroga,

2. fiziska,

3. matemātiskais.

Ideālos modeļus var iedalīt:

1. vizuāls,

2. ikonisks,

3. matemātiskais.

Reāli pilna mēroga modeļi ir reāli objekti, procesi un sistēmas, uz kurām tiek veikti zinātniski, tehniski un rūpnieciski eksperimenti.

Reāli fiziski modeļi ir modeļi, manekeni, kas vairojas fizikālās īpašības oriģināli (kinemātiskie, dinamiskie, hidrauliskie, termiskie, elektriskie, apgaismojuma modeļi).

Īstie matemātiskie modeļi ir analogie, strukturālie, ģeometriskie, grafiskie, digitālie un kibernētiskie modeļi.

Ideāli vizuālie modeļi ir diagrammas, kartes, zīmējumi, grafiki, grafiki, analogi, strukturālie un ģeometriskie modeļi.

Ideāli zīmju modeļi ir simboli, alfabēts, programmēšanas valodas, sakārtots apzīmējums, topoloģiskais apzīmējums, tīkla attēlojums.

Ideāli matemātiskie modeļi ir analītiskie, funkcionālie, simulācijas un kombinētie modeļi.

Iepriekš minētajā klasifikācijā dažiem modeļiem ir divkārša interpretācija (piemēram, analogs). Visus modeļus, izņemot pilna mēroga modeļus, var apvienot vienā mentālo modeļu klasē, jo tie ir produkts abstraktā domāšana persona.

Pakavēsimies pie viena no universālākajiem modelēšanas veidiem - matemātiskā, kas savieto simulēto fizisko procesu ar matemātisko sakarību sistēmu, kuras risinājums ļauj iegūt atbildi uz jautājumu par objekta uzvedību, neveidojot fiziskais modelis, kas bieži vien izrādās dārgs un neefektīvs.

Matemātiskā modelēšana ir reāla objekta, procesa vai sistēmas izpētes līdzeklis, aizstājot tos ar matemātisko modeli, kas ir ērtāks eksperimentālai izpētei, izmantojot datoru.

Matemātiskais modelis ir reālu objektu, procesu vai sistēmu aptuvens attēlojums, kas izteikts matemātiskā izteiksmē un saglabā oriģināla būtiskās pazīmes. Matemātiskie modeļi kvantitatīvā formā, izmantojot loģiskās un matemātiskās konstrukcijas, apraksta objekta, procesa vai sistēmas pamatīpašības, tā parametrus, iekšējos un ārējās attiecības.

Kopumā reāla objekta, procesa vai sistēmas matemātiskais modelis tiek attēlots kā funkcionālu sistēma

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

kur X ir ievades mainīgo vektors, X= t,

Y - izejas mainīgo vektors, Y= t,

Z — vektors ārējām ietekmēm, Z= t ,

t - laika koordināte.

Matemātiskā modeļa konstruēšana sastāv no sakarību noteikšanas starp noteiktiem procesiem un parādībām, matemātiskā aparāta izveidošanas, kas ļauj kvantitatīvi un kvalitatīvi izteikt attiecības starp noteiktiem procesiem un parādībām, starp speciālistu interesējošiem fizikāliem lielumiem un faktoriem, kas ietekmē procesus un parādības. gala rezultāts.

Parasti to ir tik daudz, ka visu to komplektu nav iespējams ieviest modelī. Konstruējot matemātisko modeli, pētījuma uzdevums ir identificēt un izslēgt no izskatīšanas faktorus, kas būtiski neietekmē gala rezultātu (matemātiskais modelis parasti ietver ievērojami mazāku faktoru skaitu nekā patiesībā). Pamatojoties uz eksperimentālajiem datiem, tiek izvirzītas hipotēzes par galarezultātu izteicošo lielumu saistību ar matemātiskajā modelī ievadītajiem faktoriem. Šādu savienojumu bieži izsaka daļēju diferenciālvienādojumu sistēmas (piemēram, mehānikas problēmās ciets, šķidrums un gāze, filtrācijas teorija, siltumvadītspēja, elektrostatisko un elektrodinamisko lauku teorija).

Šī posma gala mērķis ir matemātiskas problēmas formulēšana, kuras risinājums ar nepieciešamo precizitāti izsaka speciālistu interesējošos rezultātus.

Matemātiskā modeļa attēlojuma forma un principi ir atkarīgi no daudziem faktoriem.

Pamatojoties uz konstrukcijas principiem, matemātiskos modeļus iedala:

1. analītisks;

2. imitācija.

Analītiskajos modeļos reālu objektu, procesu vai sistēmu funkcionēšanas procesi tiek rakstīti izteiktu funkcionālo atkarību veidā.

Analītiskais modelis ir sadalīts tipos atkarībā no matemātiskās problēmas:

1. vienādojumi (algebriskie, transcendentālie, diferenciālie, integrālie),

2. tuvināšanas problēmas (interpolācija, ekstrapolācija, skaitliskā integrācija un diferenciācija),

3. optimizācijas problēmas,

4. stohastiskās problēmas.

Tomēr, modelēšanas objektam kļūstot sarežģītākam, analītiskā modeļa izveide kļūst par neatrisināmu problēmu. Tad pētnieks ir spiests izmantot simulācijas modelēšanu.

Simulācijas modelēšanā objektu, procesu vai sistēmu funkcionēšanu apraksta ar algoritmu kopumu. Algoritmi simulē reālas elementāras parādības, kas veido procesu vai sistēmu, vienlaikus saglabājot to loģisko struktūru un secību laika gaitā. Simulācijas modelēšana ļauj no avota datiem iegūt informāciju par procesa vai sistēmas stāvokļiem noteiktos laika momentos, taču objektu, procesu vai sistēmu uzvedības prognozēšana šeit ir sarežģīta. Var teikt, ka simulācijas modeļi ir datorizēti skaitļošanas eksperimenti ar matemātiskiem modeļiem, kas imitē reālu objektu, procesu vai sistēmu uzvedību.

Atkarībā no pētāmo reālo procesu un sistēmu rakstura matemātiskie modeļi var būt:

1. deterministisks,

2. stohastisks.

Deterministiskajos modeļos tiek pieņemts, ka nav nejaušas ietekmes, modeļa elementi (mainīgie, matemātiskie savienojumi) ir diezgan precīzi nodibināti, un sistēmas uzvedību var precīzi noteikt. Konstruējot deterministiskos modeļus, visbiežāk tiek izmantoti algebriskie vienādojumi, integrālvienādojumi un matricu algebra.

Stohastiskais modelis ņem vērā procesu nejaušo raksturu pētāmajos objektos un sistēmās, ko apraksta ar varbūtību teorijas un matemātiskās statistikas metodēm.

Pamatojoties uz ievades informācijas veidu, modeļus iedala:

1. nepārtraukts,

2. diskrēts.

Ja informācija un parametri ir nepārtraukti un matemātiskie savienojumi ir stabili, tad modelis ir nepārtraukts. Un otrādi, ja informācija un parametri ir diskrēti un savienojumi ir nestabili, tad matemātiskais modelis ir diskrēts.

Pamatojoties uz modeļu uzvedību laika gaitā, tos iedala:

1. statisks,

2. dinamisks.

Statiskie modeļi apraksta objekta, procesa vai sistēmas uzvedību jebkurā brīdī. Dinamiskie modeļi atspoguļo objekta, procesa vai sistēmas uzvedību laika gaitā.

Pamatojoties uz atbilstības pakāpi starp matemātisko modeli un reālu objektu, procesu vai sistēmu, matemātiskos modeļus iedala:

1. izomorfs (identiskas formas),

2. homomorfs (atšķiras pēc formas).

Modeli sauc par izomorfu, ja starp to un reālu objektu, procesu vai sistēmu pastāv pilnīga atbilstība katram elementam. Homomorfs - ja ir atbilstība tikai starp nozīmīgākajiem sastāvdaļas objekts un modelis.

Nākotnē, lai īsi definētu matemātiskā modeļa veidu iepriekš minētajā klasifikācijā, mēs izmantosim šādu apzīmējumu:

Pirmais burts:

D — deterministisks,

C - stohastisks.

Otrais burts:

N — nepārtraukts,

D - diskrēts.

Trešais burts:

A - analītisks,

Un - imitācija.

1. Nav (precīzāk, nav ņemta vērā) nejaušu procesu ietekme, t.i. deterministiskais modelis (D).

2. Informācija un parametri ir nepārtraukti, t.i. modelis - nepārtraukts (N),

3. Kloķa mehānisma modeļa darbība ir aprakstīta nelineāru transcendentālu vienādojumu veidā, t.i. modelis — analītisks (A)

2. Lekcija: Matemātisko modeļu konstruēšanas īpatnības

Lekcijā aprakstīts matemātiskā modeļa konstruēšanas process. Tiek dots procesa verbālais algoritms.

Matemātiskie modeļi kvantitatīvā formā, izmantojot loģiskās un matemātiskās konstrukcijas, apraksta objekta, procesa vai sistēmas pamatīpašības, tā parametrus, iekšējos un ārējos savienojumus.

Lai izveidotu matemātisko modeli, jums ir nepieciešams:

1. rūpīgi analizēt reālu objektu vai procesu;

2. izcelt tā nozīmīgākās iezīmes un īpašības;

3. definēt mainīgos, t.i. parametri, kuru vērtības ietekmē objekta galvenās iezīmes un īpašības;

4. apraksta objekta, procesa vai sistēmas pamatīpašību atkarību no mainīgo vērtībām, izmantojot loģiski matemātiskas attiecības (vienādojumus, vienādības, nevienādības, loģiski matemātiskas konstrukcijas);

5. izcelt objekta, procesa vai sistēmas iekšējās sakarības, izmantojot ierobežojumus, vienādojumus, vienādības, nevienādības, loģiskās un matemātiskās konstrukcijas;

6. identificēt ārējos savienojumus un aprakstīt tos, izmantojot ierobežojumus, vienādojumus, vienādības, nevienādības, loģiskās un matemātiskās konstrukcijas.

Matemātiskā modelēšana papildus objekta, procesa vai sistēmas izpētei un matemātiskā apraksta sastādīšanai ietver arī:

1. Algoritma konstruēšana, kas modelē objekta, procesa vai sistēmas uzvedību;

2. modeļa un objekta, procesa vai sistēmas atbilstības pārbaude, pamatojoties uz skaitļošanas un pilna mēroga eksperimentiem;

3. modeļa regulēšana;

4. modeļa izmantošana.

Pētāmo procesu un sistēmu matemātiskais apraksts ir atkarīgs no:

1. reāla procesa vai sistēmas būtība un ir sastādīta, pamatojoties uz fizikas, ķīmijas, mehānikas, termodinamikas, hidrodinamikas, elektrotehnikas, plastiskuma teorijas, elastības teorijas u.c.

2. nepieciešamo reālo procesu un sistēmu izpētes un izpētes uzticamību un precizitāti.

Matemātiskā modeļa izvēles posmā tiek noteikts: objekta, procesa vai sistēmas linearitāte un nelinearitāte, dinamisms vai statiskums, stacionaritāte vai nestacionaritāte, kā arī pētāmā objekta vai procesa determinisma pakāpe. Matemātiskajā modelēšanā apzināti abstrahējas no objektu, procesu vai sistēmu īpašās fiziskās būtības un galvenokārt koncentrējas uz kvantitatīvo atkarību izpēti starp lielumiem, kas apraksta šos procesus.

Matemātiskais modelis nekad nav pilnībā identisks aplūkojamajam objektam, procesam vai sistēmai. Pamatojoties uz vienkāršošanu un idealizāciju, tas ir aptuvens objekta apraksts. Tāpēc modeļa analīzes rezultāti ir aptuveni. To precizitāti nosaka modeļa un objekta atbilstības (atbilstības) pakāpe.

Matemātiskā modeļa konstruēšana parasti sākas ar aplūkojamā objekta, procesa vai sistēmas vienkāršākā, visrupjākā matemātiskā modeļa konstruēšanu un analīzi. Nākotnē, ja nepieciešams, modelis tiek pilnveidots un tā atbilstība objektam tiek padarīta pilnīgāka.

Ņemsim vienkāršu piemēru. Ir nepieciešams noteikt rakstāmgalda virsmas laukumu. Parasti to dara, izmērot tā garumu un platumu un pēc tam reizinot iegūtos skaitļus. Šī elementārā procedūra faktiski nozīmē sekojošo: reālu objektu (galda virsmu) aizstāj ar abstraktu matemātisko modeli – taisnstūri. Izmēri, kas iegūti, izmērot galda virsmas garumu un platumu, tiek piešķirti taisnstūrim, un šāda taisnstūra laukums tiek aptuveni ņemts par nepieciešamo galda laukumu.

Tomēr rakstāmgalda taisnstūra modelis ir vienkāršākais un neapstrādātākais modelis. Ja izmantojat nopietnāku pieeju problēmai, pirms izmantojat taisnstūra modeli, lai noteiktu tabulas laukumu, šis modelis ir jāpārbauda. Pārbaudes var veikt šādi: izmēra tabulas pretējo malu garumus, kā arī tās diagonāļu garumus un salīdziniet tos savā starpā. Ja ar nepieciešamo precizitātes pakāpi pretējo malu garumi un diagonāļu garumi ir vienādi pa pāriem, tad galda virsmu tiešām var uzskatīt par taisnstūri. Pretējā gadījumā taisnstūra modelis būs jānoraida un jāaizstāj ar vispārēju četrstūra modeli. Pie augstākas precizitātes prasības var būt nepieciešams vēl vairāk pilnveidot modeli, piemēram, lai ņemtu vērā galda stūru noapaļošanu.

Ar šī palīdzību vienkāršs piemērs tika parādīts, ka matemātisko modeli nenosaka unikāli pētāmais objekts, process vai sistēma. Vienai un tai pašai tabulai mēs varam pieņemt vai nu taisnstūra modeli, vai sarežģītāku vispārējā četrstūra modeli, vai četrstūri ar noapaļotiem stūriem. Viena vai otra modeļa izvēli nosaka precizitātes prasība. Pieaugot precizitātei, modelim ir jābūt sarežģītam, ņemot vērā jaunas un jaunas pētāmā objekta, procesa vai sistēmas iezīmes.

Apskatīsim vēl vienu piemēru: kloķa mehānisma kustības izpēte (2.1. att.).

Rīsi. 2.1.

Šī mehānisma kinemātiskajai analīzei, pirmkārt, ir nepieciešams izveidot tā kinemātisko modeli. Priekš šī:

1. Mēs nomainām mehānismu ar tā kinemātisko diagrammu, kur visas saites tiek aizstātas ar stingriem savienojumiem;

2. Izmantojot šo diagrammu, mēs atvasinām mehānisma kustības vienādojumu;

3. Diferencējot pēdējos, iegūstam ātruma un paātrinājuma vienādojumus, kas ir 1. un 2. kārtas diferenciālvienādojumi.

Uzrakstīsim šos vienādojumus:

kur C 0 ir slīdņa C galējā labā pozīcija:

r – kloķa rādiuss AB;

l – klaņa garums BC;

– kloķa griešanās leņķis;

Iegūtie transcendentālie vienādojumi atspoguļo plakana aksiālā kloķa mehānisma kustības matemātisko modeli, pamatojoties uz šādiem vienkāršojošiem pieņēmumiem:

1. mūs neinteresēja ķermeņu mehānismā iekļauto masu uzbūves formas un izvietojums, un visus mehānisma korpusus nomainījām ar taisniem segmentiem. Faktiski visām mehānisma saitēm ir masa un diezgan sarežģīta forma. Piemēram, savienojošais stienis ir sarežģīts mezgls, kura forma un izmēri, protams, ietekmēs mehānisma kustību;

2. konstruējot apskatāmā mehānisma kustības matemātisko modeli, neņēmām vērā arī mehānismā iekļauto ķermeņu elastību, t.i. visas saites tika uzskatītas par abstraktiem, absolūti stingriem ķermeņiem. Patiesībā visi mehānismā iekļautie ķermeņi ir elastīgi ķermeņi. Mehānismam kustoties, tie kaut kā deformēsies, un tajos pat var rasties elastīgas vibrācijas. Tas viss, protams, ietekmēs arī mehānisma kustību;

3. neņēmām vērā saišu izgatavošanas kļūdu, spraugas kinemātiskajos pāros A, B, C utt.

Līdz ar to vēlreiz svarīgi uzsvērt, ka, jo augstākas ir prasības problēmas risināšanas rezultātu precizitātei, jo lielāka nepieciešamība, veidojot matemātisko modeli, jāņem vērā pētāmā objekta, procesa vai sistēmas īpatnības. Tomēr ir svarīgi šeit apstāties savlaicīgi, jo sarežģīts matemātiskais modelis var pārvērsties par grūti risināmu problēmu.

Modelis ir visvieglāk konstruējams, ja ir labi zināmi likumi, kas nosaka objekta, procesa vai sistēmas uzvedību un īpašības, un ir liela praktiskā pieredze to pielietošanā.

Vairāk sarežģīta situācija rodas, ja mūsu zināšanas par pētāmo objektu, procesu vai sistēmu ir nepietiekamas. Šajā gadījumā, veidojot matemātisko modeli, ir jāizdara papildu pieņēmumi, kas ir hipotēžu būtībā, šādu modeli sauc par hipotētisku. Šāda hipotētiskā modeļa izpētes rezultātā iegūtie secinājumi ir nosacīti. Lai pārbaudītu secinājumus, ir jāsalīdzina modeļa izpētes rezultāti datorā ar pilna mēroga eksperimenta rezultātiem. Tādējādi jautājums par noteikta matemātiskā modeļa pielietojamību aplūkojamā objekta, procesa vai sistēmas izpētē nav matemātisks jautājums, un to nevar atrisināt ar matemātiskām metodēm.

Galvenais patiesības kritērijs ir eksperiments, prakse šī vārda plašākajā nozīmē.

Matemātiskā modeļa konstruēšana lietišķajos uzdevumos ir viens no sarežģītākajiem un svarīgākajiem darba posmiem. Pieredze rāda, ka daudzos gadījumos pareizā modeļa izvēle nozīmē problēmas atrisināšanu vairāk nekā uz pusi. Šī posma grūtības ir tādas, ka tas prasa matemātisko un speciālo zināšanu kombināciju. Tāpēc ir ļoti svarīgi, lai matemātiķiem, risinot lietišķas problēmas, būtu īpašas zināšanas par objektu, bet viņu sadarbības partneriem – speciālistiem – noteikta matemātiskā kultūra, pētniecības pieredze savā jomā, zināšanas par datoru un programmēšanu.

Lekcija 3. Datormodelēšana un skaitļošanas eksperiments. Matemātisko modeļu risināšana

Datormodelēšana kā jauna metode zinātnisko pētījumu pamatā ir:

1. matemātisko modeļu veidošana, lai aprakstītu pētāmos procesus;

2. izmanto jaunākos datorus ar lielu ātrumu (miljoniem operāciju sekundē) un spēj vadīt dialogu ar cilvēku.

Datormodelēšanas būtība ir šāda: pamatojoties uz matemātisko modeli, tiek veikta skaitļošanas eksperimentu sērija, izmantojot datoru, t.i. tiek pētītas objektu vai procesu īpašības, atrasti to optimālie parametri un darbības režīmi, pilnveidots modelis. Piemēram, ja ir vienādojums, kas apraksta konkrēta procesa gaitu, varat mainīt tā koeficientus, sākotnējos un robežnosacījumus un izpētīt, kā objekts uzvedīsies. Turklāt ir iespējams paredzēt objekta uzvedību dažādos apstākļos.

Skaitļošanas eksperiments ļauj aizstāt dārgu pilna mēroga eksperimentu ar datora aprēķiniem. Tas ļauj īsā laikā un bez būtiskām materiālajām izmaksām izpētīt lielu skaitu iespēju projektētajam objektam vai procesam dažādiem tā darbības režīmiem, kas ievērojami samazina laiku, kas nepieciešams sarežģītu sistēmu izstrādei un ieviešanai ražošanā. .

Datormodelēšana un skaitļošanas eksperiments kā jauna zinātniskās izpētes metode ļauj pilnveidot matemātisko aparātu, ko izmanto matemātisko modeļu konstruēšanā, un ļauj, izmantojot matemātiskās metodes, precizēt un sarežģīt matemātiskos modeļus. Daudzsološākā skaitļošanas eksperimenta veikšanai ir tā izmantošana mūsdienu galveno zinātnisko, tehnisko un sociālekonomisko problēmu risināšanai (atomelektrostaciju reaktoru projektēšana, dambju un hidroelektrostaciju projektēšana, magnetohidrodinamiskie enerģijas pārveidotāji, kā arī ekonomikas jomā). - sabalansēta plāna izstrāde nozarei, reģionam, valstij utt.).

Dažos procesos, kur dabisks eksperiments ir bīstams cilvēka dzīvībai un veselībai, vienīgais iespējamais ir skaitļošanas eksperiments (kodolsintēze, kosmosa izpēte, ķīmiskās un citu nozaru projektēšana un pētniecība).

Lai pārbaudītu matemātiskā modeļa un reālā objekta, procesa vai sistēmas atbilstību, datorpētniecības rezultāti tiek salīdzināti ar eksperimenta rezultātiem uz pilna mēroga modeļa prototipu. Testa rezultāti tiek izmantoti, lai pielāgotu matemātisko modeli vai tiek atrisināts jautājums par konstruētā matemātiskā modeļa pielietojamību noteiktu objektu, procesu vai sistēmu projektēšanai vai izpētei.

Noslēgumā vēlreiz uzsveram, ka datormodelēšana un skaitļošanas eksperiments ļauj reducēt “ne-matemātiska” objekta izpēti līdz matemātiskas problēmas risinājumam. Tas paver iespēju tā pētīšanai izmantot labi attīstītu matemātisko aparātu kombinācijā ar jaudīgu skaitļošanas tehnoloģiju. Tas ir pamats matemātikas un datoru izmantošanai, lai izprastu reālās pasaules likumus un izmantotu tos praksē.

Reālu objektu, procesu vai sistēmu uzvedības projektēšanas vai izpētes problēmās matemātiskie modeļi parasti ir nelineāri, jo tiem jāatspoguļo tajos notiekošie reāli fiziski nelineāri procesi. Turklāt šo procesu parametri (mainīgie) ir savstarpēji saistīti ar fiziskiem nelineāriem likumiem. Tāpēc reālu objektu, procesu vai sistēmu uzvedības projektēšanas vai izpētes problēmās visbiežāk tiek izmantoti matemātiskie modeļi, piemēram, DNS.

Saskaņā ar 1. lekcijā sniegto klasifikāciju:

D – modelis ir deterministisks, gadījuma procesu ietekmes nav (precīzāk, tas netiek ņemts vērā).

N – nepārtraukts modelis, informācija un parametri ir nepārtraukti.

A – analītiskais modelis, modeļa darbība ir aprakstīta vienādojumu veidā (lineārie, nelineārie, vienādojumu sistēmas, diferenciālvienādojumi un integrālvienādojumi).

Tātad esam izveidojuši apskatāmā objekta, procesa vai sistēmas matemātisko modeli, t.i. pielietoto problēmu prezentēja kā matemātisko. Pēc tam sākas lietišķās problēmas risināšanas otrais posms - formulētās matemātiskās problēmas risināšanas metodes meklēšana vai izstrāde. Metodei jābūt ērtai tās ieviešanai datorā un jānodrošina nepieciešamā risinājuma kvalitāte.

Visas matemātisko problēmu risināšanas metodes var iedalīt 2 grupās:

1. precīzas problēmas risināšanas metodes;

2. skaitliskās metodes uzdevumu risināšanai.

Eksaktajās matemātisko uzdevumu risināšanas metodēs atbildi var iegūt formulu veidā.

Piemēram, aprēķinot saknes kvadrātvienādojums:

vai, piemēram, aprēķinot atvasinātās funkcijas:

vai noteikta integrāļa aprēķināšana:

Tomēr, aizstājot skaitļus formulā kā galīgas decimāldaļas, mēs joprojām iegūstam rezultāta aptuvenās vērtības.

Lielākajai daļai praksē sastopamo problēmu precīzas risināšanas metodes vai nu nav zināmas, vai arī nodrošina ļoti apgrūtinošas formulas. Tomēr tie ne vienmēr ir nepieciešami. Lietišķo problēmu var uzskatīt par praktiski atrisinātu, ja spējam to atrisināt ar nepieciešamo precizitātes pakāpi.

Šādu uzdevumu risināšanai ir izstrādātas skaitliskās metodes, kurās sarežģītu matemātisko uzdevumu risināšana tiek reducēta līdz liela skaita vienkāršu aritmētisko darbību secīgai izpildei. Skaitlisko metožu tiešā izstrāde pieder pie skaitļošanas matemātikas.

Skaitliskās metodes piemērs ir taisnstūru metode aptuvenai integrācijai, kas neprasa aprēķināt integranda antiatvasinājumu. Integrāļa vietā tiek aprēķināta galīgā kvadratūras summa:

x 1 =a – integrācijas apakšējā robeža;

x n+1 =b – integrācijas augšējā robeža;

n – segmentu skaits, kuros sadalīts integrācijas intervāls (a,b);

– elementārā segmenta garums;

f(x i) – integranda vērtība elementārās integrācijas segmentu galos.

Kā lielāks skaits n segmenti, kuros sadalīts integrācijas intervāls, jo tuvāks ir aptuvenais risinājums patiesajam, t.i. jo precīzāks rezultāts.

Tādējādi lietišķajos uzdevumos un lietojot precīzas metodes risinājumus, un, pielietojot skaitliskās risināšanas metodes, aprēķinu rezultāti ir aptuveni. Ir svarīgi tikai nodrošināt, lai kļūdas atbilstu vajadzīgajai precizitātei.

Skaitliskās metodes matemātisko uzdevumu risināšanai bija zināmas jau sen, pat pirms datoru parādīšanās, taču tās tika izmantotas reti un tikai salīdzinoši vienkāršos gadījumos aprēķinu ārkārtējās sarežģītības dēļ. Skaitlisko metožu plaša izmantošana ir kļuvusi iespējama, pateicoties datoriem.

Matemātiskā modelēšana

1. Kas ir matemātiskā modelēšana?

No 20. gadsimta vidus. Matemātiskās metodes un datorus sāka plaši izmantot dažādās cilvēka darbības jomās. Ir radušās jaunas disciplīnas, piemēram, “matemātiskā ekonomika”, “matemātiskā ķīmija”, “matemātiskā valodniecība” u.c., pētot attiecīgo objektu un parādību matemātiskos modeļus, kā arī šo modeļu izpētes metodes.

Matemātiskais modelis ir aptuvens jebkuras reālās pasaules parādību vai objektu klases apraksts matemātikas valodā. Modelēšanas galvenais mērķis ir izpētīt šos objektus un paredzēt turpmāko novērojumu rezultātus. Taču modelēšana ir arī metode, kā izprast apkārtējo pasauli, ļaujot to kontrolēt.

Matemātiskā modelēšana un ar to saistītais datoreksperiments ir neaizstājams gadījumos, kad pilna mēroga eksperiments viena vai otra iemesla dēļ nav iespējams vai sarežģīts. Piemēram, vēsturē nav iespējams izveidot dabisku eksperimentu, lai pārbaudītu, “kas būtu noticis, ja...” Nav iespējams pārbaudīt vienas vai otras kosmoloģiskās teorijas pareizību. Ir iespējams, bet maz ticams, ka tas ir saprātīgi, eksperimentēt ar slimības, piemēram, mēra, izplatību vai veikt kodolsprādzienu, lai izpētītu tās sekas. Taču to visu var izdarīt datorā, vispirms konstruējot pētāmo parādību matemātiskos modeļus.

2. Matemātiskās modelēšanas galvenie posmi

1) Modeļu veidošana. Šajā posmā tiek precizēts kāds "ne matemātisks" objekts - dabas parādība, dizains, ekonomiskais plāns, ražošanas process utt. Šajā gadījumā, kā likums, ir grūti skaidri aprakstīt situāciju. Pirmkārt, tiek identificētas fenomena galvenās iezīmes un sakarības starp tām kvalitatīvā līmenī. Tad atrastās kvalitatīvās atkarības tiek formulētas matemātikas valodā, tas ir, uzbūvēts matemātiskais modelis. Šis ir visgrūtākais modelēšanas posms.

2) Matemātiskās problēmas risināšana, pie kuras modelis noved. Šajā posmā liela uzmanība tiek pievērsta algoritmu un skaitlisko metožu izstrādei problēmas risināšanai datorā, ar kuru palīdzību ar nepieciešamo precizitāti un pieņemamā laikā var atrast rezultātu.

3) Iegūto seku interpretācija no matemātiskā modeļa. No modeļa atvasinātās sekas matemātikas valodā tiek interpretētas nozarē pieņemtajā valodā.

4) Modeļa atbilstības pārbaude.Šajā posmā tiek noteikts, vai eksperimenta rezultāti noteiktā precizitātē saskan ar modeļa teorētiskajām sekām.

5) Modeļa modifikācija.Šajā posmā modelis ir vai nu sarežģīts, lai tas atbilstu realitātei, vai arī tas tiek vienkāršots, lai panāktu praktiski pieņemamu risinājumu.

3. Modeļu klasifikācija

Modeļus var klasificēt pēc dažādiem kritērijiem. Piemēram, pēc risināmo problēmu rakstura modeļus var iedalīt funkcionālajos un strukturālajos. Pirmajā gadījumā visi lielumi, kas raksturo parādību vai objektu, tiek izteikti kvantitatīvi. Turklāt daži no tiem tiek uzskatīti par neatkarīgiem mainīgajiem, bet citi tiek uzskatīti par šo lielumu funkcijām. Matemātiskais modelis parasti ir dažāda veida vienādojumu sistēma (diferenciālais, algebriskais utt.), kas nosaka kvantitatīvās attiecības starp aplūkotajiem lielumiem. Otrajā gadījumā modelis raksturo kompleksa objekta struktūru, kas sastāv no atsevišķām daļām, starp kurām pastāv noteiktas saiknes. Parasti šie savienojumi nav kvantitatīvi nosakāmi. Lai izveidotu šādus modeļus, ir ērti izmantot grafu teoriju. Grafs ir matemātisks objekts, kas attēlo punktu (virsotņu) kopu plaknē vai telpā, no kurām dažas ir savienotas ar līnijām (malām).

Pamatojoties uz sākotnējo datu un rezultātu raksturu, prognozēšanas modeļus var iedalīt deterministiskajos un varbūtības-statistiskajos. Pirmā tipa modeļi sniedz noteiktas, nepārprotamas prognozes. Otrā tipa modeļi ir balstīti uz statistisko informāciju, un ar to palīdzību iegūtajām prognozēm ir varbūtības raksturs.

4. Matemātisko modeļu piemēri

1) Problēmas par šāviņa kustību.

Apsveriet šādu mehānikas problēmu.

Lādiņš tiek palaists no Zemes ar sākuma ātrumu v 0 = 30 m/s leņķī a = 45° pret tās virsmu; jāatrod tā kustības trajektorija un attālums S starp šīs trajektorijas sākuma un beigu punktu.

Tad, kā zināms no skolas fizikas kursa, šāviņa kustību apraksta ar formulām:

kur t ir laiks, g = 10 m/s 2 ir gravitācijas paātrinājums. Šīs formulas nodrošina problēmas matemātisko modeli. Izsakot t līdz x no pirmā vienādojuma un aizstājot to ar otro, iegūstam šāviņa trajektorijas vienādojumu:

Šī līkne (parabola) krusto x asi divos punktos: x 1 = 0 (trajektorijas sākums) un (vieta, kur nokrita šāviņš). Aizvietojot dotās v0 un a vērtības iegūtajās formulās, mēs iegūstam

atbilde: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Ņemiet vērā, ka, veidojot šo modeli, tika izmantoti vairāki pieņēmumi: piemēram, tiek pieņemts, ka Zeme ir plakana, un gaiss un Zemes rotācija neietekmē šāviņa kustību.

2) Problēma par tvertni ar mazāko virsmas laukumu.

Jāatrod skārda tvertnes augstums h 0 un rādiuss r 0 ar tilpumu V = 30 m 3 ar slēgta apaļa cilindra formu, pie kuras virsmas laukums S ir minimāls (šajā gadījumā mazākais tās ražošanai tiks izmantots alvas daudzums).

Uzrakstīsim šādas formulas cilindra tilpumam un virsmas laukumam ar augstumu h un rādiusu r:

V = p r 2 h, S = 2 p r(r + h).

Izsakot h līdz r un V no pirmās formulas un aizstājot iegūto izteiksmi ar otro, mēs iegūstam:

Tādējādi no matemātiskā viedokļa problēma ir saistīta ar r vērtības noteikšanu, pie kuras funkcija S(r) sasniedz savu minimumu. Atradīsim tās r 0 vērtības, kurām ir atvasinājums

iet uz nulli: Varat pārbaudīt, vai funkcijas S(r) otrais atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu, kad arguments r iet caur punktu r 0 . Līdz ar to punktā r0 funkcijai S(r) ir minimums. Atbilstošā vērtība ir h 0 = 2r 0 . Aizvietojot doto vērtību V izteiksmē r 0 un h 0, iegūstam vēlamo rādiusu un augstums

3) Transporta problēma.

Pilsētā ir divas miltu noliktavas un divas maizes ceptuves. Katru dienu no pirmās noliktavas tiek transportētas 50 tonnas miltu, bet no otrās uz rūpnīcām 70 tonnas, no kurām 40 tonnas uz pirmo, bet 80 tonnas uz otro.

Apzīmēsim ar a ij izmaksas par 1 tonnas miltu transportēšanu no i-tās noliktavas uz j-tā iekārta(i, j = 1,2). Ļaujiet

a 11 = 1,2 rubļi, a 12 = 1,6 rubļi, a 21 = 0,8 rub., a 22 = 1 rublis.

Kā jāplāno transports, lai tā izmaksas būtu minimālas?

Dosim uzdevumam matemātisku formulējumu. Ar x 1 un x 2 apzīmēsim miltu daudzumu, kas jātransportē no pirmās noliktavas uz pirmo un otro rūpnīcu, un ar x 3 un x 4 - attiecīgi no otrās noliktavas uz pirmo un otro rūpnīcu. Pēc tam:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Visa transporta kopējās izmaksas tiek noteiktas pēc formulas

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x 4.

No matemātiskā viedokļa problēma ir atrast četrus skaitļus x 1, x 2, x 3 un x 4, kas atbilst visiem dotajiem nosacījumiem un dod funkcijas f minimumu. Atrisināsim vienādojumu sistēmu (1) xi (i = 1, 2, 3, 4), izslēdzot nezināmos. Mēs to saņemam

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

un x 4 nevar noteikt unikāli. Tā kā x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), no vienādojumiem (2) izriet, ka 30Ј x 4 Ј 70. Aizvietojot izteiksmi x 1, x 2, x 3 formulā f, mēs iegūstam

f = 148 – 0,2x4.

Ir viegli redzēt, ka šīs funkcijas minimums tiek sasniegts pie maksimālās iespējamās vērtības x 4, tas ir, pie x 4 = 70. Citu nezināmo atbilstošās vērtības nosaka pēc formulas (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Radioaktīvās sabrukšanas problēma.

Lai N(0) ir radioaktīvās vielas sākotnējais atomu skaits, un N(t) ir nesabrukušo atomu skaits brīdī t. Eksperimentāli ir noskaidrots, ka šo atomu skaita izmaiņu ātrums N"(t) ir proporcionāls N(t), tas ir, N"(t)=–l N(t), l >0 ir noteiktas vielas radioaktivitātes konstante. Matemātiskās analīzes skolas kursā ir parādīts, ka šī diferenciālvienādojuma atrisinājumam ir forma N(t) = N(0)e –l t. Laiku T, kurā sākotnējo atomu skaits ir samazinājies uz pusi, sauc par pussabrukšanas periodu, un tas ir svarīgs vielas radioaktivitātes raksturlielums. Lai noteiktu T, mums jāievieto formula Tad Piemēram, radonam l = 2,084 · 10 –6, un tāpēc T = 3,15 dienas.

5) Ceļojošā pārdevēja problēma.

Ceļojošam pārdevējam, kurš dzīvo pilsētā A 1, ir jāapmeklē pilsētas A 2 , A 3 un A 4 , katra pilsēta tieši vienu reizi, un pēc tam jāatgriežas A 1 . Ir zināms, ka visas pilsētas pa pāriem savieno ceļi, un ceļu garumi b ij starp pilsētām A i un A j (i, j = 1, 2, 3, 4) ir šādi:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Ir jānosaka pilsētu apmeklēšanas kārtība, kurā atbilstošā ceļa garums ir minimāls.

Katru pilsētu attēlosim kā punktu plaknē un atzīmēsim to ar atbilstošo etiķeti Ai (i = 1, 2, 3, 4). Savienosim šos punktus ar taisnām līnijām: tie attēlos ceļus starp pilsētām. Katram “ceļam” norādām tā garumu kilometros (2. att.). Rezultāts ir grafs - matemātisks objekts, kas sastāv no noteiktas punktu kopas plaknē (sauktas par virsotnēm) un noteiktas līniju kopas, kas savieno šos punktus (sauktas par malām). Turklāt šis grafiks ir marķēts, jo tā virsotnēm un malām ir piešķirtas dažas etiķetes - cipari (malas) vai simboli (virsotnes). Cikls grafā ir virsotņu V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 virkne tā, ka virsotnes V 1 , ..., V k ir dažādas, un jebkurš virsotņu pāris V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) un pāri V 1, V k savieno mala. Tādējādi apskatāmā problēma ir atrast ciklu grafā, kas iet cauri visām četrām virsotnēm, kuram visu malu svaru summa ir minimāla. Pārmeklēsim visus dažādos ciklus, kas iet cauri četrām virsotnēm un sākot ar A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Tagad noskaidrosim šo ciklu garumus (km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Tātad īsākā garuma maršruts ir pirmais.

Ievērojiet, ja grafā ir n virsotnes un visas virsotnes ir savienotas pa pāriem ar malām (šādu grafiku sauc par pabeigtu), tad ciklu skaits, kas iet cauri visām virsotnēm, ir Tāpēc mūsu gadījumā ir tieši trīs cikli.

6) Vielu struktūras un īpašību kopsakarības atrašanas problēma.

Apskatīsim vairākus ķīmiskos savienojumus, ko sauc par parastajiem alkāniem. Tie sastāv no n oglekļa atomiem un n + 2 ūdeņraža atomiem (n = 1, 2 ...), kas ir savstarpēji savienoti, kā parādīts 3. attēlā, ja n = 3. Lai ir zināmas šo savienojumu viršanas punktu eksperimentālās vērtības:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Ir nepieciešams atrast aptuvenu saistību starp viršanas temperatūru un skaitli n šiem savienojumiem. Pieņemsim, ka šai atkarībai ir forma

y" a n+b,

Kur a, b - nosakāmās konstantes. Atrast a un b mēs šajā formulā aizvietojam secīgi n = 3, 4, 5, 6 un atbilstošās viršanas punktu vērtības. Mums ir:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

Lai noteiktu labāko a un b ir daudz dažādu metožu. Izmantosim vienkāršāko no tiem. Izteiksim b cauri a no šiem vienādojumiem:

b » – 42 – 3 a, b" – 4 a, b » 28–5 a, b » 69–6 a.

Ņemsim šo vērtību vidējo aritmētisko kā vēlamo b, tas ir, ievietosim b » 16 – 4,5 a. Aizstāsim šo b vērtību sākotnējā vienādojumu sistēmā un, aprēķinot a, mēs saņemam par ašādas vērtības: a» 37, a» 28, a» 28, a" 36. Ņemsim pēc vajadzības ašo skaitļu vidējā vērtība, tas ir, liksim a" 34. Tātad vajadzīgajam vienādojumam ir forma

y » 34n – 139.

Pārbaudīsim modeļa precizitāti sākotnējiem četriem savienojumiem, kuriem mēs aprēķinām viršanas punktus, izmantojot iegūto formulu:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Tādējādi kļūda, aprēķinot šo īpašību šiem savienojumiem, nepārsniedz 5 °. Mēs izmantojam iegūto vienādojumu, lai aprēķinātu viršanas temperatūru savienojumam ar n = 7, kas nav iekļauts sākotnējā kopā, un šajā vienādojumā mēs aizstājam ar n = 7: y р (7) = 99°. Rezultāts bija diezgan precīzs: ir zināms, ka viršanas temperatūras eksperimentālā vērtība y e (7) = 98°.

7) Elektriskās ķēdes uzticamības noteikšanas problēma.

Šeit mēs aplūkosim varbūtības modeļa piemēru. Pirmkārt, mēs sniedzam informāciju no varbūtības teorijas - matemātiskās disciplīnas, kas pēta nejaušu parādību modeļus, kas novēroti atkārtotas eksperimentu atkārtošanas laikā. Sauksim nejaušu notikumu A par iespējamu kāda eksperimenta iznākumu. Notikumi A 1, ..., A k veido pilnu grupu, ja kāds no tiem obligāti notiek eksperimenta rezultātā. Notikumi tiek saukti par nesaderīgiem, ja tie nevar notikt vienlaicīgi vienā pieredzē. Ļaujiet notikumam A notikt m reizes eksperimenta n-kārtīgas atkārtošanas laikā. Notikuma A biežums ir skaitlis W = . Acīmredzot W vērtību nevar precīzi paredzēt, kamēr nav veikta n eksperimentu sērija. Tomēr nejaušo notikumu raksturs ir tāds, ka praksē dažkārt tiek novērots šāds efekts: palielinoties eksperimentu skaitam, vērtība praktiski pārstāj būt nejauša un stabilizējas ap kādu negadījuma skaitli P(A), ko sauc par varbūtību notikums A. Neiespējamam notikumam (kas nekad nenotiek eksperimentā) P(A)=0 un uzticamam notikumam (kas vienmēr notiek pieredzē) P(A)=1. Ja notikumi A 1 , ..., A k veido pilnīgu nesaderīgu notikumu grupu, tad P(A 1)+...+P(A k)=1.

Ļaujiet, piemēram, eksperiments sastāvēt no kauliņu mešanas un izmesto punktu skaita novērošanas X. Tad mēs varam ieviest šādus nejaušus notikumus A i = (X = i), i = 1, ..., 6. veido pilnīgu nesaderīgu vienlīdz iespējamu notikumu grupu, tāpēc P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Notikumu A un B summa ir notikums A + B, kas sastāv no tā, ka vismaz viens no tiem notiek pieredzē. Notikumu A un B reizinājums ir notikums AB, kas sastāv no šo notikumu vienlaicīgas iestāšanās. Neatkarīgiem notikumiem A un B ir patiesas šādas formulas:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Tagad apskatīsim sekojošo uzdevums. Pieņemsim, ka trīs elementi ir virknē savienoti ar elektrisko ķēdi un darbojas neatkarīgi viens no otra. 1., 2. un 3. elementa atteices varbūtības ir attiecīgi vienādas ar P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Mēs uzskatīsim ķēdi par uzticamu, ja varbūtība, ka ķēdē nebūs strāvas, nav lielāka par 0,4. Ir nepieciešams noteikt, vai dotā ķēde ir uzticama.

Tā kā elementi ir savienoti virknē, ķēdē nebūs strāvas (notikums A), ja vismaz viens no elementiem sabojājas. Lai A i ir notikums, kas i-tais elements darbojas (i = 1, 2, 3). Tad P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Acīmredzot A 1 A 2 A 3 ir notikums, kurā visi trīs elementi darbojas vienlaicīgi, un

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Tad P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, tātad P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Noslēgumā jāatzīmē, ka sniegtie matemātisko modeļu (tostarp funkcionālo un strukturālo, deterministisko un varbūtības) modeļu piemēri pēc būtības ir ilustratīvi un acīmredzot neizsmeļ matemātisko modeļu daudzveidību, kas rodas dabaszinātnēs un humanitārajās zinātnēs.

Modeļa un simulācijas jēdziens.

Modelis plašā nozīmē- tas ir jebkura apjoma, procesa vai parādības jebkurš attēls, mentāls analogs vai izveidots attēls, apraksts, diagramma, zīmējums, karte utt., kas tiek izmantots kā tā aizstājējs vai pārstāvis. Pats objekts, process vai parādība tiek saukta par šī modeļa oriģinālu.

Modelēšana - tā ir jebkura objekta vai objektu sistēmas izpēte, konstruējot un pētot to modeļus. Tā ir modeļu izmantošana, lai noteiktu vai precizētu raksturlielumus un racionalizētu jaunuzbūvētu objektu konstruēšanas metodes.

Jebkuras zinātniskās izpētes metodes pamatā ir modelēšanas ideja, savukārt teorētiskajās metodēs tiek izmantoti dažāda veida simboliskie, abstraktie modeļi, bet eksperimentālajās metodēs tiek izmantoti priekšmetu modeļi.

Pētījuma laikā sarežģīta reāla parādība tiek aizstāta ar kādu vienkāršotu kopiju vai diagrammu, dažreiz šāda kopija kalpo tikai, lai nākamajā tikšanās reizē atcerētos un atpazītu vēlamo parādību. Dažkārt konstruētā diagramma atspoguļo dažas būtiskas iezīmes, ļauj izprast parādības mehānismu un ļauj paredzēt tās izmaiņas. Tāda pati parādība var atbilst dažādi modeļi.

Pētnieka uzdevums ir paredzēt parādības būtību un procesa gaitu.

Reizēm gadās, ka kāds objekts ir pieejams, bet eksperimenti ar to izmaksā dārgi vai rada nopietnas vides sekas. Zināšanas par šādiem procesiem tiek iegūtas, izmantojot modeļus.

Svarīgi ir tas, ka zinātnes būtība ietver nevis vienas konkrētas parādības izpēti, bet gan plašu saistītu parādību klasi. Tas paredz nepieciešamību formulēt dažus vispārīgus kategoriskus apgalvojumus, kurus sauc par likumiem. Protams, ar šādu formulējumu daudzas detaļas tiek atstātas novārtā. Lai skaidrāk noteiktu paraugu, viņi apzināti iet uz rupjību, idealizāciju un skicēšanu, proti, pēta nevis pašu parādību, bet gan vairāk vai mazāk precīzu tās kopiju vai modeli. Visi likumi ir likumi par modeļiem, un tāpēc nav pārsteidzoši, ka laika gaitā dažas zinātniskās teorijas tiek atzītas par nepiemērotām. Tas neizraisa zinātnes sabrukumu, jo viens modelis ir aizstāts ar citu modernāks.

Zinātnē īpaša loma ir matemātiskajiem modeļiem, būvmateriāliem un šo modeļu instrumentiem - matemātiskajiem jēdzieniem. Tie uzkrājās un pilnveidojās tūkstošiem gadu. Mūsdienu matemātika nodrošina ārkārtīgi spēcīgus un universālus pētniecības līdzekļus. Gandrīz katrs matemātikas jēdziens, katrs matemātisks objekts, sākot no skaitļa jēdziena, ir matemātisks modelis. Veidojot pētāmā objekta vai parādības matemātisko modeli, tiek identificētas tās pazīmes, pazīmes un detaļas, kas, no vienas puses, satur vairāk vai mazāk pilnīgu informāciju par objektu un, no otras puses, ļauj veikt matemātisku formalizāciju. Matemātiskā formalizācija nozīmē, ka objekta pazīmes un detaļas var saistīt ar piemērotiem adekvātiem matemātiskajiem jēdzieniem: skaitļiem, funkcijām, matricām utt. Tad pētāmajā objektā atklātās un pieņemtās sakarības un attiecības starp tā atsevišķām daļām un komponentiem var uzrakstīt, izmantojot matemātiskās attiecības: vienādības, nevienādības, vienādojumus. Rezultāts ir pētāmā procesa vai parādības matemātisks apraksts, tas ir, tā matemātiskais modelis.

Matemātiskā modeļa izpēte vienmēr ir saistīta ar noteiktiem darbības noteikumiem uz pētāmajiem objektiem. Šie noteikumi atspoguļo attiecības starp cēloņiem un sekām.

Matemātiskā modeļa izveide ir jebkuras sistēmas izpētes vai projektēšanas centrālais posms. Visa turpmākā objekta analīze ir atkarīga no modeļa kvalitātes. Modeļa veidošana nav oficiāla procedūra. Tas ir ļoti atkarīgs no pētnieka, viņa pieredzes un gaumes, un vienmēr ir balstīts uz noteiktu eksperimentālu materiālu. Modelim jābūt pietiekami precīzam, adekvātam un ērtam lietošanā.

Matemātiskā modelēšana.

Matemātisko modeļu klasifikācija.

Matemātiskie modeļi var būtdeterministisks Un stohastisks .

Noteikts modelis un ir modeļi, kuros tiek noteikta atbilstība viens pret vienu starp mainīgajiem, kas apraksta objektu vai parādību.

Šīs pieejas pamatā ir zināšanas par objektu darbības mehānismu. Bieži vien modelējamais objekts ir sarežģīts un tā mehānisma atšifrēšana var būt ļoti darbietilpīga un laikietilpīga. Šajā gadījumā viņi rīkojas šādi: veic eksperimentus ar oriģinālu, apstrādā iegūtos rezultātus un, neiedziļinoties modelētā objekta mehānismā un teorijā, izmantojot matemātiskās statistikas un varbūtību teorijas metodes, izveido savienojumus starp mainīgajiem, kas apraksta. objektu. Šajā gadījumā jūs saņematstohastisks modelis . IN stohastisks modelis, attiecības starp mainīgajiem ir nejaušas, dažreiz tās ir fundamentālas. Daudzu faktoru ietekme, to kombinācija noved pie nejaušas mainīgo kopas, kas apraksta objektu vai parādību. Atbilstoši režīmu būtībai modelis irstatistikas Un dinamisks.

Statistikasmodelisietver sakarību aprakstu starp modelētā objekta galvenajiem mainīgajiem līdzsvara stāvoklī, neņemot vērā parametru izmaiņas laika gaitā.

IN dinamisksmodeļiemaprakstītas modelētā objekta galveno mainīgo attiecības pārejas laikā no viena režīma uz otru.

Ir modeļi diskrēts Un nepārtraukts, un sajaukts veids. IN nepārtraukts mainīgie ņem vērtības no noteikta intervāla, indiskrētsmainīgie ņem izolētas vērtības.

Lineārie modeļi- visas funkcijas un attiecības, kas apraksta modeli, ir lineāri atkarīgas no mainīgajiem unnav lineārscitādi.

Matemātiskā modelēšana.

Prasības ,p prezentēts uz modeļiem.

1. Daudzpusība- raksturo reāla objekta izpētīto īpašību modeļa attēlojuma pilnīgumu.

Atbilstība ir spēja atspoguļot vēlamās objekta īpašības ar kļūdu, kas nav lielāka par doto.
Precizitāti novērtē pēc sakritības pakāpes starp reāla objekta raksturlielumu vērtībām un šo raksturlielumu vērtībām, kas iegūtas, izmantojot modeļus.
Ekonomisks - nosaka datora atmiņas resursu izdevumi un laiks tā ieviešanai un darbībai.

Matemātiskā modelēšana.

Modelēšanas galvenie posmi.

1. Problēmas izklāsts.

Analīzes mērķa noteikšana un tā sasniegšanas veida noteikšana un vispārīgas pieejas izstrāde pētāmajai problēmai. Šajā posmā ir nepieciešama dziļa izpratne par uzdevuma būtību. Dažreiz pareizi noteikt problēmu ir ne mazāk sarežģīti kā tās risināšana. Iestudēšana nav formāls process, vispārīgie noteikumi Nē.

2. Teorētisko pamatu izpēte un informācijas vākšana par oriģinālo objektu.

Šajā posmā tiek izvēlēta vai izstrādāta piemērota teorija. Ja tā nav, starp mainīgajiem, kas apraksta objektu, tiek noteiktas cēloņu un seku attiecības. Tiek noteikti ievades un izvades dati un izdarīti vienkāršojoši pieņēmumi.

3. Formalizēšana.

Tas sastāv no simbolu sistēmas izvēles un to izmantošanas, lai pierakstītu attiecības starp objekta komponentiem matemātisku izteiksmju veidā. Tiek noteikta problēmu klase, kurai var klasificēt iegūto objekta matemātisko modeli. Dažu parametru vērtības šajā posmā vēl var nebūt norādītas.

4. Risinājuma metodes izvēle.

Šajā posmā modeļu galīgie parametri tiek noteikti, ņemot vērā objekta darbības apstākļus. Rezultātā iegūtajai matemātiskajai problēmai tiek izvēlēta risinājuma metode vai izstrādāta īpaša metode. Izvēloties metodi, tiek ņemtas vērā lietotāja zināšanas, viņa vēlmes un izstrādātāja vēlmes.

5. Modeļa ieviešana.

Izstrādājot algoritmu, tiek uzrakstīta programma, kura tiek atkļūdota, pārbaudīta un iegūts vēlamās problēmas risinājums.

6. Saņemtās informācijas analīze.

Iegūtie un sagaidāmie risinājumi tiek salīdzināti, un modelēšanas kļūda tiek uzraudzīta.

7. Reālā objekta atbilstības pārbaude.

No modeļa iegūtie rezultāti tiek salīdzinātivai nu ar pieejamo informāciju par objektu, vai arī tiek veikts eksperiments un tā rezultāti tiek salīdzināti ar aprēķinātajiem.

Modelēšanas process ir iteratīvs. Neapmierinošu posmu rezultātu gadījumā 6. vai 7. tiek veikta atgriešanās vienā no agrākajiem posmiem, kas varēja novest pie neveiksmīga modeļa izstrādes. Šis posms un visi nākamie tiek pilnveidoti, un šāda modeļa pilnveidošana notiek, līdz tiek iegūti pieņemami rezultāti.

1.1.2 2. Matemātiskās modelēšanas galvenie posmi

1) Modeļu veidošana. Šajā posmā tiek precizēts kāds "ne matemātisks" objekts - dabas parādība, dizains, ekonomiskais plāns, ražošanas process utt. Šajā gadījumā, kā likums, ir grūti skaidri aprakstīt situāciju. Pirmkārt, tiek identificētas fenomena galvenās iezīmes un sakarības starp tām kvalitatīvā līmenī. Tad atrastās kvalitatīvās atkarības tiek formulētas matemātikas valodā, tas ir, uzbūvēts matemātiskais modelis. Šis ir visgrūtākais modelēšanas posms.

2) Matemātiskās problēmas risināšana, pie kuras modelis noved. Šajā posmā liela uzmanība tiek pievērsta algoritmu un skaitlisko metožu izstrādei problēmas risināšanai datorā, ar kuru palīdzību ar nepieciešamo precizitāti un pieņemamā laikā var atrast rezultātu.

3) Iegūto seku interpretācija no matemātiskā modeļa.No modeļa atvasinātās sekas matemātikas valodā tiek interpretētas nozarē pieņemtajā valodā.

4) Modeļa atbilstības pārbaude.Šajā posmā tiek noteikts, vai eksperimenta rezultāti noteiktā precizitātē saskan ar modeļa teorētiskajām sekām.

5) Modeļa modifikācija.Šajā posmā modelis ir vai nu sarežģīts, lai tas atbilstu realitātei, vai arī tas tiek vienkāršots, lai panāktu praktiski pieņemamu risinājumu.

1.1.3 3. Modeļu klasifikācija

MATEMĀTISKĀ MODELĒŠANA UN VISPĀRĒJI DATORIZĀCIJAS VAI SIMULĀCIJAS MODEĻI

Tagad, kad valstī notiek teju universāla datorizācija, dzirdam dažādu profesiju speciālistu izteikumus: “Ja ieviesīsim datoru, tad visas problēmas uzreiz atrisināsies.” Šis viedoklis ir pilnīgi nepareizs, paši datori bez noteiktu procesu matemātiskajiem modeļiem neko nespēs, un par universālu datorizāciju var tikai sapņot.

Atbalstot iepriekš minēto, mēģināsim pamatot modelēšanas, tajā skaitā matemātiskās modelēšanas, nepieciešamību, atklāsim tās priekšrocības cilvēka izziņā un ārējās pasaules transformācijā, apzināsim esošās nepilnības un pāriesim... uz simulācijas modelēšanu, t.i. modelēšana, izmantojot datoru. Bet viss ir kārtībā.

Vispirms atbildēsim uz jautājumu: kas ir modelis?

Modelis ir materiāls vai garīgi attēlots objekts, kas izziņas (pētījuma) procesā aizstāj oriģinālo, saglabājot dažas tipiskas, šim pētījumam svarīgas īpašības.

Labi uzbūvēts modelis ir pieejamāks pētniecībai nekā reāls objekts. Piemēram, eksperimenti ar valsts ekonomiku izglītības nolūkos ir nepieņemami, modelis ir neaizstājams.

Apkopojot teikto, varam atbildēt uz jautājumu: kam domāti modeļi? Lai

saprast, kā objekts darbojas (tā uzbūve, īpašības, attīstības likumi, mijiedarbība ar ārpasauli).
iemācīties vadīt objektu (procesu) un noteikt labākās stratēģijas
prognozēt ietekmes sekas uz objektu.

Kas ir pozitīvs jebkurā modelī? Tas ļauj iegūt jaunas zināšanas par objektu, bet, diemžēl, vienā vai otrā pakāpē ir nepilnīgas.

Modelisformulēts matemātikas valodā, izmantojot matemātiskās metodes, sauc par matemātisko modeli.

Tā būvniecības sākumpunkts parasti ir kāda problēma, piemēram, ekonomiska. Plaši izplatīti ir gan aprakstošie, gan optimizācijas matemātiskie, kas raksturo dažādus ekonomiskie procesi un parādības, piemēram:

resursu piešķiršana
racionāla griešana
transportēšana
uzņēmumu konsolidācija
tīkla plānošana.

Kā tiek izveidots matemātiskais modelis?

Pirmkārt, tiek formulēts pētījuma mērķis un priekšmets.
Otrkārt, tiek izcelti svarīgākie raksturlielumi, kas atbilst šim mērķim.
Treškārt, attiecības starp modeļa elementiem ir aprakstītas verbāli.
Tālāk attiecības tiek formalizētas.
Un tiek veikts aprēķins, izmantojot matemātisko modeli, un iegūtais risinājums tiek analizēts.

Izmantojot šis algoritms jūs varat atrisināt jebkuru optimizācijas problēmu, tostarp daudzkritēriju, t.i. tādu, kurā tiek sasniegti nevis viens, bet vairāki mērķi, arī pretrunīgi.

Sniegsim piemēru. Rindas teorija - rindas problēma. Nepieciešams sabalansēt divus faktorus – servisa ierīču uzturēšanas izmaksas un rindas uzturēšanas izmaksas. Izveidojot formālu modeļa aprakstu, tiek veikti aprēķini, izmantojot analītiskās un skaitļošanas metodes. Ja modelis ir labs, tad ar tā palīdzību atrastās atbildes ir adekvātas modelēšanas sistēmai, ja slikts, tad tas ir jāuzlabo un jānomaina. Atbilstības kritērijs ir prakse.

Optimizācijas modeļiem, tajā skaitā daudzkritēriju modeļiem, ir kopīga īpašība - ir zināms mērķis (vai vairāki mērķi), kura sasniegšanai bieži vien nākas saskarties ar sarežģītām sistēmām, kur ne tik daudz jārisina optimizācijas problēmas, bet gan jāpēta un jāprognozē. atkarībā no izvēlētajām pārvaldības stratēģijām. Un te nu mēs saskaramies ar iepriekšējā plāna īstenošanas grūtībām. Tie ir šādi:

sarežģīta sistēma satur daudz savienojumu starp elementiem
reālu sistēmu ietekmē nejauši faktori, tos ņemt vērā analītiski nav iespējams
iespēja salīdzināt oriģinālu ar modeli pastāv tikai sākumā un pēc matemātiskā aparāta lietošanas, jo starprezultātiem var nebūt analogu reālajā sistēmā.

Saistībā ar uzskaitītajām grūtībām, kas rodas, pētot sarežģītas sistēmas, praksē bija nepieciešama elastīgāka metode, un tā parādījās - “Simulācijas modelēšana”.

Parasti simulācijas modelis tiek saprasts kā datorprogrammu kopums, kas apraksta atsevišķu sistēmas bloku darbību un to savstarpējās mijiedarbības noteikumus. Gadījuma lielumu izmantošana rada nepieciešamību veikt atkārtotus eksperimentus ar simulācijas sistēmu (datorā) un pēc tam iegūto rezultātu statistisko analīzi. Ļoti izplatīts simulācijas modeļu izmantošanas piemērs ir rindas problēmas risināšana, izmantojot MONTE CARLO metodi.

Tādējādi darbs ar simulācijas sistēmu ir eksperiments, kas tiek veikts datorā. Kādas ir priekšrocības?

– Lielāks tuvums reālajai sistēmai nekā matemātiskie modeļi;

–Bloka princips ļauj pārbaudīt katru bloku pirms tā iekļaušanas kopējā sistēmā;

– Sarežģītāka rakstura atkarību izmantošana, ko nevar aprakstīt ar vienkāršām matemātiskām sakarībām.

Uzskaitītās priekšrocības nosaka trūkumus

– simulācijas modeļa izveide aizņem ilgāku laiku, ir grūtāka un dārgāka;

– lai strādātu ar simulācijas sistēmu, jābūt nodarbībai piemērotam datoram;

– mijiedarbība starp lietotāju un simulācijas modeli (interfeisu) nedrīkst būt pārāk sarežģīta, ērta un labi zināma;

-Simulācijas modeļa izveidei ir nepieciešama padziļināta reālā procesa izpēte nekā matemātiskā modelēšana.

Rodas jautājums: vai simulācijas modelēšana var aizstāt optimizācijas metodes? Nē, bet tas ērti tos papildina. Simulācijas modelis ir programma, kas realizē noteiktu algoritmu, kura vadīšanas optimizēšanai vispirms tiek atrisināta optimizācijas problēma.

Tātad ne dators, ne matemātiskais modelis, ne algoritms tā izpētei vien nevar atrisināt pietiekami sarežģītu problēmu. Bet kopā viņi pārstāv spēku, kas ļauj izprast apkārtējo pasauli un pārvaldīt to cilvēka interesēs.

1.2 Modeļu klasifikācija

1.2.1
Klasifikācija, ņemot vērā laika faktoru un lietošanas jomu (Makarova N.A.)

Statiskais modelis - tas ir kā vienreizējs informācijas momentuzņēmums par objektu (vienas aptaujas rezultāts)
Dinamisks modelis-ļauj redzēt izmaiņas objektā laika gaitā (karte klīnikā)
Modeļus var klasificēt arī pēc pie kuras zināšanu jomas viņi pieder?(bioloģiskā, vēsturiskā, vide utt.)
Atgriezties uz augšu

1.2.2 Klasifikācija pēc lietošanas jomas (Makarova N.A.)

Izglītojoši- vizuāli rokasgrāmatas, simulatori ak, gaudojošie programmas
Pieredzējis modeļiem samazināts kopijas (auto vēja tunelī)
Zinātniski un tehniski sinhrofazotrons, stends elektronisko iekārtu testēšanai
Spēles- ekonomisks, sporta, biznesa spēles
Imitācija - Nav Tie vienkārši atspoguļo realitāti, bet atdarina to (zāles tiek pārbaudītas uz pelēm, tiek veikti eksperimenti skolās utt. Šo modelēšanas metodi sauc par izmēģinājums un kļūda
Atgriezties uz augšu

1.2.3 Klasifikācija pēc pasniegšanas metodes Makarovs N.A.)

Materiāls modeļi - citādi var saukt par priekšmetu. Viņi uztver oriģināla ģeometriskās un fizikālās īpašības, un tiem vienmēr ir reāls iemiesojums
Informācija modeļi nav atļauti pieskarties vai redzēt. Tie ir balstīti tikai uz informāciju .Un informatīvs modelis ir informācijas kopums, kas raksturo objekta, procesa, parādības īpašības un stāvokļus, kā arī attiecības ar ārpasauli.
Verbālais modelis - informācijas modelis garīgā vai runas formā.
Ikonisks modeļa informācija ar zīmēm izteikts modelis ,t.i.. izmantojot jebkuru formālu valodu.
Datora modelis - m Modelis, kas realizēts ar programmatūras vides palīdzību.

1.2.4 Modeļu klasifikācija, kas sniegta grāmatā "Zemes informātika" (Gein A.G.))

"...šeit ir šķietami vienkāršs uzdevums: cik ilgs laiks būs nepieciešams, lai šķērsotu Karakumas tuksnesi? Atbilde, protams, ir atkarīgs no transportēšanas veida. Ja ceļot tālāk kamieļi, tad prasīs vienu termiņu, otru, ja brauksi ar mašīnu, trešo, ja lidosi ar lidmašīnu. Un pats galvenais, ceļojuma plānošanai ir nepieciešami dažādi modeļi. Pirmajā gadījumā nepieciešamo modeli var atrast slavenu tuksneša pētnieku atmiņās: galu galā nevar iztikt bez informācijas par oāzēm un kamieļu takām. Otrajā gadījumā ceļu atlantā ietvertā informācija ir neaizstājama. Trešajā varat izmantot lidojumu grafiku.
Šie trīs modeļi atšķiras – memuāri, atlants un grafiks – un informācijas pasniegšanas veids. Pirmajā gadījumā modeli attēlo verbāls informācijas apraksts (aprakstošais modelis), otrajā - it kā fotogrāfija no dzīves (pilna mēroga modelis), trešajā - tabula, kurā ir simboli: izbraukšanas un ierašanās laiki, nedēļas diena, biļetes cena (tā sauktais zīmju modelis) Taču šis dalījums ir ļoti patvaļīgs - atmiņās var atrast kartes un diagrammas (pilna mēroga modeļa elementi), kartēs ir simboli (simboliskā modeļa elementi), grafikā ir simbolu (elementu) dekodēšana. aprakstošs modelis). Tātad šī modeļu klasifikācija... mūsuprāt, ir neproduktīva"
Manuprāt, šis fragments demonstrē visām Heina grāmatām raksturīgo aprakstošo (brīnišķīgā valoda un pasniegšanas stils) un it kā sokrātisko mācību stilu (visi domā, ka tas ir šāds. Pilnīgi tev piekrītu, bet ja paskatās vērīgi...).Šādās grāmatās ir diezgan grūti atrast skaidru definīciju sistēmu (tā nav autora iecerēta). Mācību grāmatā, ko rediģēja N.A. Makarova demonstrē atšķirīgu pieeju - jēdzienu definīcijas ir skaidri izceltas un nedaudz statiskas.

1.2.5 A.I. Bočkina rokasgrāmatā sniegtā modeļu klasifikācija

Ir neparasti daudz klasifikācijas metožu .P atnest tikai daži no vispazīstamākajiem pamatiem un pazīmes: diskrētums Un nepārtrauktība, matrica un skalārie modeļi, statiskie un dinamiskie modeļi, analītiskie un informācijas modeļi, subjektu un figurālo zīmju modeļi, liela mēroga un bezmēroga...
Katra zīme dod noteiktu zināšanas gan par modeļa, gan simulētās realitātes īpašībām. Zīme var kalpot kā mājiens par pabeigtās vai gaidāmās modelēšanas metodi.
Diskrētība un nepārtrauktība Diskrētība - datoru modeļu raksturīga iezīme .Galu galā dators var būt finālā, lai gan ļoti lielos daudzumosštatos. Tāpēc, pat ja objekts ir nepārtraukts (laiks), modelī tas mainīsies lēcienos. To varētu apsvērt nepārtrauktība nedatora tipa modeļu zīme.
Iespēja un determinisms . Nenoteiktība, nelaimes gadījums sākotnēji iebilst pret datoru pasauli: Atkal palaistajam algoritmam ir jāatkārtojas un jādod tādi paši rezultāti. Bet, lai modelētu nejaušus procesus, tiek izmantoti pseidogadījuma skaitļu sensori. Nejaušības ieviešana deterministiskajās problēmās rada spēcīgus un interesantus modeļus (laukuma aprēķins pēc nejaušības principa).
Matricitāte - skalaritāte. Parametru pieejamība matrica modelis norāda uz tā lielāku sarežģītību un, iespējams, precizitāti salīdzinājumā ar skalārs. Piemēram, ja nenorādīsim visas valsts iedzīvotāju vecuma grupas, ņemot vērā tās izmaiņas kopumā, iegūsim skalāro modeli (piemēram, Maltusa modeli), ja to izolēsim, iegūsim matricu (dzimums). -vecums) modelis. Tas bija matricas modelis, kas ļāva izskaidrot auglības svārstības pēc kara.
Statiskā dinamika. Šīs modeļa īpašības parasti iepriekš nosaka reālā objekta īpašības. Šeit nav izvēles brīvības. Vienkārši statisks modelis varētu būt solis uz priekšu dinamisks, vai dažus modeļa mainīgos var uzskatīt par nemainītiem. Piemēram, satelīts pārvietojas ap Zemi, tā kustību ietekmē Mēness. Ja mēs uzskatām, ka Mēness satelīta revolūcijas laikā ir nekustīgs, mēs iegūstam vienkāršāku modeli.
Analītiskie modeļi. Procesu apraksts analītiski, formulas un vienādojumi. Bet, mēģinot izveidot grafiku, ērtāk ir izmantot funkciju vērtību un argumentu tabulas.
Simulācijas modeļi. Imitācija modeļi parādījās jau sen kuģu, tiltu uc mēroga kopiju veidā parādījās jau sen, bet nesen tiek apsvērti saistībā ar datoriem. Zinot, cik saistīts Modeļa elementus analītiski un loģiski ir vieglāk nevis atrisināt noteiktu sakarību un vienādojumu sistēmu, bet gan attēlot reālo sistēmu datora atmiņā, ņemot vērā atmiņas elementu savienojumus.
Informācijas modeļi. Informācija Modeļi parasti tiek pretstatīti matemātiskiem, pareizāk sakot, algoritmiskajiem. Šeit svarīga ir datu apjoma attiecība pret algoritmiem. Ja datu ir vairāk vai tie ir svarīgāki, mums ir informācijas modelis, pretējā gadījumā - matemātiskā.
Priekšmeta modeļi. Tas galvenokārt ir bērnu modelis - rotaļlieta.
Ikoniski modeļi. Tas galvenokārt ir modelis cilvēka prātā: tēlains, ja dominē grafiskie attēli, un ikonisks, ja ir vairāk vārdu un/vai ciparu. Tēlainu zīmju modeļi ir veidoti uz datora.
Mēroga modeļi. UZ liela mēroga modeļi ir subjektu vai figurālu modeļu modeļi, kas atkārto objekta (kartes) formu.

Matemātiskais modelis b ir realitātes matemātisks attēlojums.

Matemātiskā modelēšana- matemātisko modeļu konstruēšanas un izpētes process.

Visas dabas un sociālās zinātnes, kas izmanto matemātisko aparātu, būtībā nodarbojas ar matemātisko modelēšanu: tās aizstāj reālu objektu ar tā matemātisko modeli un pēc tam pēta pēdējo.

Definīcijas.

Neviena definīcija nevar pilnībā aptvert matemātiskās modelēšanas faktisko darbību. Neskatoties uz to, definīcijas ir noderīgas, jo tās mēģina izcelt vissvarīgākās iezīmes.

Modeļa definīcija pēc A. A. Ļapunova: Modelēšana ir netieša praktiska vai teorētiska objekta izpēte, kurā tieši tiek pētīts nevis pats objekts, bet gan kāda mākslīga vai dabiska palīgsistēma:

atrodas kādā objektīvā atbilstībā ar atpazīstamo objektu;

noteiktos aspektos spēj to aizstāt;

kas, pētot, galu galā sniedz informāciju par modelējamo objektu.

Saskaņā ar Sovetova un Jakovļeva mācību grāmatu: "modelis ir oriģinālā objekta aizstājējs, kas nodrošina dažu oriģināla īpašību izpēti." "Viena objekta aizstāšanu ar citu, lai iegūtu informāciju par sākotnējā objekta svarīgākajām īpašībām, izmantojot modeļa objektu, sauc par modelēšanu." “Ar matemātisko modelēšanu mēs saprotam atbilstības noteikšanas procesu starp noteiktu reālu objektu un kādu matemātisko objektu, ko sauc par matemātisko modeli, un šī modeļa izpēti, kas ļauj iegūt aplūkojamā reālā objekta īpašības. Matemātiskā modeļa veids ir atkarīgs gan no reālā objekta rakstura, gan objekta izpētes uzdevumiem un šīs problēmas risināšanas nepieciešamās uzticamības un precizitātes.

Pēc Samarska un Mihailova domām, matemātiskais modelis ir objekta “ekvivalents”, kas matemātiskā formā atspoguļo tā svarīgākās īpašības: likumus, kuriem tas pakļaujas, savienojumus, kas raksturīgi tā sastāvdaļām utt. Tas pastāv triādēs “. modelis-algoritms-programma” . Izveidojot triādi “modelis-algoritms-programma”, pētnieks saņem universālu, elastīgu un lētu rīku, kas vispirms tiek atkļūdots un pārbaudīts izmēģinājuma skaitļošanas eksperimentos. Pēc tam, kad ir konstatēta triādes atbilstība oriģinālajam objektam, ar modeli tiek veikti dažādi un detalizēti “eksperimenti”, dodot visas nepieciešamās objekta kvalitatīvās un kvantitatīvās īpašības un īpašības.

Saskaņā ar Myshkis monogrāfiju: “Pāriesim pie vispārīgās definīcijas. Pieņemsim, ka mēs izpētīsim kādu reāla objekta īpašību kopu S ar

izmantojot matemātiku. Lai to izdarītu, mēs izvēlamies "matemātisko objektu" a" - vienādojumu sistēmu vai aritmētiskās attiecības, vai ģeometriskas figūras, vai abu kombināciju utt. - kuru izpētot ar matemātikas palīdzību, ir jāatbild uz uzdotajiem jautājumiem par S īpašības. Šajos apstākļos a" sauc par objekta matemātisko modeli a attiecībā pret tā īpašību kopu S."

Pēc Sevostjanova A.G. teiktā: "Matemātiskais modelis ir matemātisku sakarību, vienādojumu, nevienādību utt. kopums, kas apraksta pētāmajam procesam, objektam vai sistēmai raksturīgos pamatmodeļus."

Nedaudz mazāk vispārīga definīcija matemātiskais modelis, kas balstīts uz idealizāciju “ievades-izejas-stāvoklis”, kas aizgūts no automātu teorijas, dod Vikivārdu: “Procesa, ierīces vai teorētiskas idejas abstrakts matemātisks attēlojums; tas izmanto mainīgo lielumu kopu, lai attēlotu ievades, izejas un iekšējos stāvokļus, un vienādojumu un nevienlīdzību kopu, lai aprakstītu to mijiedarbību.

Visbeidzot, visprecīzākā matemātiskā modeļa definīcija ir: "Vienādojums, kas izsaka ideju."

Modeļu formālā klasifikācija.

Modeļu formālās klasifikācijas pamatā ir izmantoto matemātisko rīku klasifikācija. Bieži vien konstruēts divkāršu veidā. Piemēram, viens no populārākajiem dihotomiju komplektiem:

Lineāri vai nelineāri modeļi; Koncentrētas vai sadalītas sistēmas; Deterministisks vai stohastisks; statisks vai dinamisks; Diskrēts vai nepārtraukts.

un tā tālāk. Katrs konstruētais modelis ir lineārs vai nelineārs, deterministisks vai stohastisks, ... Dabiski, ka ir iespējami arī jaukti tipi: koncentrēti vienā aspektā, sadalīti citā utt.

Klasifikācija pēc objekta attēlojuma veida.

Līdzās formālai klasifikācijai modeļi atšķiras ar to, kā tie attēlo objektu:

Strukturālie modeļi attēlo objektu kā sistēmu ar savu struktūru un darbības mehānismu. Funkcionālie modeļi neizmanto šādus attēlojumus un atspoguļo tikai objekta ārēji uztverto uzvedību. Savā galējā izteiksmē tos sauc arī par “melnās kastes” modeļiem.Iespējami arī kombinētie modeļu tipi, kurus dažkārt dēvē par “pelēkās kastes” modeļiem.

Gandrīz visi autori, kas apraksta matemātiskās modelēšanas procesu, norāda, ka vispirms tiek uzbūvēta īpaša ideāla struktūra, jēgpilns modelis. Šeit nav izveidotas terminoloģijas, un citi autori šo ideālo objektu sauc par konceptuālo modeli, spekulatīvo modeli vai priekšmodeli. Šajā gadījumā galīgo matemātisko konstrukciju sauc par formālu modeli vai vienkārši matemātisko modeli, kas iegūts šī jēgpilnā modeļa formalizācijas rezultātā. Jēgpilna modeļa uzbūvi var veikt, izmantojot gatavu idealizāciju kopumu, kā mehānikā, kur ideālas atsperes, stingri ķermeņi, ideāli svārsti, elastīgie mediji u.c. nodrošina gatavus konstrukcijas elementus jēgpilnai modelēšanai. Tomēr zināšanu jomās, kurās nav pilnībā pabeigtu formalizētu teoriju, jēgpilnu modeļu izveide kļūst ievērojami grūtāka.

R. Peierla darbs sniedz fizikā un plašākā nozīmē dabaszinātnēs izmantoto matemātisko modeļu klasifikāciju. A. N. Gorbana un R. G. Khleboprosa grāmatā šī klasifikācija ir analizēta un paplašināta. Šī klasifikācija galvenokārt ir vērsta uz jēgpilna modeļa konstruēšanas stadiju.

Šie modeļi "attēlo provizorisku parādības aprakstu, un autors vai nu tic tās iespējamībai, vai pat uzskata to par patiesu". Pēc R. Peierla domām, tas ir, piemēram, modelis Saules sistēma saskaņā ar Ptolemaja un Kopernika modeli, Rezerfordas atomu modeli un Lielā sprādziena modeli.

Nevienu zinātnes hipotēzi nevar pierādīt vienreiz un uz visiem laikiem. Ričards Feinmens to ļoti skaidri formulēja:

“Mums vienmēr ir iespēja atspēkot teoriju, taču ņemiet vērā, ka mēs nekad nevaram pierādīt, ka tā ir pareiza. Pieņemsim, ka esat izvirzījis veiksmīgu hipotēzi, aprēķinājis, kurp tā ved, un konstatējis, ka visas tās sekas ir apstiprinātas eksperimentāli. Vai tas nozīmē, ka jūsu teorija ir pareiza? Nē, tas vienkārši nozīmē, ka jums neizdevās to atspēkot.

Ja tiek uzbūvēts pirmā tipa modelis, tas nozīmē, ka tas uz laiku tiek atzīts par patiesību un var koncentrēties uz citām problēmām. Tomēr tas nevar būt pētījuma punkts, bet tikai īslaicīga pauze: pirmā tipa modeļa statuss var būt tikai īslaicīgs.

Modeļa loma pētniecībā laika gaitā var mainīties, var gadīties, ka jauni dati un teorijas apstiprina fenomenoloģiskos modeļus un tie tiek modernizēti

hipotēzes statuss. Tāpat jaunas zināšanas pakāpeniski var nonākt pretrunā ar pirmā tipa modeļiem-hipotēzēm, un tās var pārtulkot otrajā. Tādējādi kvarku modelis pamazām pāriet hipotēžu kategorijā; atomisms fizikā radās kā pagaidu risinājums, bet līdz ar vēstures gaitu kļuva par pirmo veidu. Taču ētera modeļi ir nonākuši no 1. tipa uz 2. tipu, un tagad tie ir ārpus zinātnes.

Veidojot modeļus, vienkāršošanas ideja ir ļoti populāra. Taču vienkāršošana izpaužas dažādos veidos. Peierls identificē trīs veidu modelēšanas vienkāršojumus.

Ja ir iespējams izveidot vienādojumus, kas apraksta pētāmo sistēmu, tas nenozīmē, ka tos var atrisināt pat ar datora palīdzību. Izplatīts paņēmiens šajā gadījumā ir tuvinājumu izmantošana. Starp tiem ir lineārās atbildes modeļi. Vienādojumi tiek aizstāti ar lineāriem. Standarta piemērs ir Oma likums.

Ja mēs izmantojam modeli ideāla gāze lai aprakstītu pietiekami retas gāzes, tad šis ir 3. tipa modelis. Vairāk augsts blīvums gāze, kvalitatīvai izpratnei un izvērtējumiem ir lietderīgi iedomāties arī vienkāršāku situāciju ar ideālu gāzi, bet tad tas jau ir 4. tips.

4. tipa modelī detaļas, kas var būtiski un ne vienmēr kontrolējami ietekmēt rezultātu, tiek atmestas. Tie paši vienādojumi var kalpot kā 3. vai 4. tipa modelis atkarībā no parādības, kuras pētīšanai modelis tiek izmantots. Tātad, ja tiek izmantoti lineārie reakcijas modeļi, ja nav sarežģītāku modeļu, tad tie jau ir fenomenoloģiski lineāri modeļi, un tie pieder pie šāda 4. tipa.

Piemēri: ideālās gāzes modeļa pielietošana neideālai gāzei, van der Vāla stāvokļa vienādojums, lielākā daļa cietvielu, šķidrumu un kodolfizikas modeļu. Ceļš no mikroapraksta līdz ķermeņu īpašībām, kas sastāv no liela skaita daļiņu, ir ļoti garš. Daudzas detaļas ir jāatmet. Tas noved pie 4. tipa modeļiem.

Heiristiskais modelis saglabā tikai kvalitatīvu līdzību ar realitāti un paredz tikai “lieluma secību”. Tipisks piemērs ir vidējā brīvā ceļa aproksimācija kinētiskajā teorijā. Tas nodrošina vienkāršas formulas viskozitātes, difūzijas un siltumvadītspējas koeficientiem, kas atbilst realitātei pēc lieluma.

Bet, būvējot jaunu fiziku, uzreiz nav iespējams iegūt modeli, kas dod vismaz kvalitatīvu objekta aprakstu - piektā tipa modeli. Šajā gadījumā modelis bieži tiek izmantots pēc analoģijas, vismaz detalizēti atspoguļojot realitāti.

R. Peierls sniedz analoģiju izmantošanas vēsturi V. Heizenberga pirmajā rakstā par kodolspēku būtību. “Tas notika pēc neitrona atklāšanas, un, lai gan pats V. Heizenbergs saprata, ka ir iespējams aprakstīt kodolus kā tādus, kas sastāv no neitroniem un protoniem, viņš tomēr nevarēja atbrīvoties no domas, ka neitronam galu galā jāsastāv no protona un elektronu. Šajā gadījumā radās analoģija starp mijiedarbību neitronu-protonu sistēmā un ūdeņraža atoma un protona mijiedarbību. Tieši šī līdzība lika viņam secināt, ka starp neitronu un protonu ir jābūt apmaiņas spēkiem, kas ir līdzīgi apmaiņas spēkiem H-H sistēmā, ko izraisa elektrona pāreja starp diviem protoniem. ... Vēlāk tomēr tika pierādīta neitrona un protona mijiedarbības apmaiņas spēku pastāvēšana, lai gan tie nebija pilnībā izsmelti

mijiedarbība starp divām daļiņām... Bet pēc šīs pašas analoģijas V. Heizenbergs nonāca pie secinājuma, ka starp diviem protoniem nepastāv kodolspēki, kas mijiedarbojas, un postulēja atgrūšanos starp diviem neitroniem. Abi šie pēdējie atklājumi ir pretrunā jaunākiem pētījumiem."

A. Einšteins bija viens no izcilākajiem domu eksperimentu meistariem. Šeit ir viens no viņa eksperimentiem. Tas tika izgudrots viņa jaunībā un galu galā noveda pie būvniecības īpašā teorija relativitāte. Pieņemsim, ka klasiskajā fizikā mēs virzāmies aiz gaismas viļņa ar gaismas ātrumu. Mēs novērojam elektromagnētisko lauku, kas periodiski mainās telpā un nemainīgs laikā. Saskaņā ar Maksvela vienādojumiem tas nevar notikt. Tādējādi jaunais Einšteins secināja: vai nu mainās dabas likumi, mainoties atskaites sistēmai, vai arī gaismas ātrums nav atkarīgs no atskaites sistēmas. Viņš izvēlējās otro – skaistāku variantu. Vēl viens slavens Einšteina domu eksperiments ir Einšteina-Podoļska-Rozena paradokss.

Šeit nāk 8. tips, kas ir plaši izplatīts bioloģisko sistēmu matemātiskajos modeļos.

Tie ir arī domu eksperimenti ar iedomātām entītijām, kas parāda, ka domājamā parādība atbilst pamatprincipiem un iekšēji konsekventa. Šī ir galvenā atšķirība no 7. tipa modeļiem, kas atklāj slēptās pretrunas.

Viens no slavenākajiem šādiem eksperimentiem ir Lobačevska ģeometrija. Vēl viens piemērs ir formāli kinētisko ķīmisko un bioloģisko vibrāciju, autoviļņu uc modeļu masveida ražošana. Einšteina-Podoļska-Rozena paradokss tika iecerēts kā 7. tipa modelis, lai demonstrētu kvantu mehānikas nekonsekvenci. Pilnīgi neplānotā veidā tas galu galā pārtapa 8. tipa modelī – informācijas kvantu teleportācijas iespējas demonstrācijā.

Apsveriet mehānisko sistēmu, kas sastāv no atsperes, kas piestiprināta vienā galā, un masas m, kas piestiprināta atsperes brīvajam galam. Mēs pieņemsim, ka slodze var pārvietoties tikai atsperes ass virzienā. Izveidosim šīs sistēmas matemātisko modeli. Sistēmas stāvokli aprakstīsim ar attālumu x no slodzes centra līdz tās līdzsvara stāvoklim. Aprakstīsim atsperes un slodzes mijiedarbību, izmantojot Huka likumu, un pēc tam izmantosim Ņūtona otro likumu, lai izteiktu to diferenciālvienādojuma veidā:

kur nozīmē x otro atvasinājumu attiecībā pret laiku.

Iegūtais vienādojums apraksta aplūkotās fiziskās sistēmas matemātisko modeli. Šo modeli sauc par "harmonisko oscilatoru".

Pēc formālās klasifikācijas šis modelis ir lineārs, deterministisks, dinamisks, koncentrēts, nepārtraukts. Tā būvniecības procesā mēs izdarījām daudzus pieņēmumus, kas patiesībā var neatbilst.

Attiecībā uz realitāti tas visbiežāk ir 4. tipa vienkāršošanas modelis, jo dažas būtiskas universālas iezīmes ir izlaistas. Aptuveni šāds modelis diezgan labi raksturo reālu mehānisko sistēmu, jo

izmestajiem faktoriem ir niecīga ietekme uz viņas uzvedību. Tomēr modeli var uzlabot, ņemot vērā dažus no šiem faktoriem. Tas novedīs pie jauna modeļa ar plašāku pielietojuma diapazonu.

Cietie un mīkstie modeļi.

Šeit ir noteikta funkcija, kas var ņemt vērā berzes spēku vai atsperes stinguma koeficienta atkarību no tā stiepes pakāpes, ε ir kāds mazs parametrs. Mūs šobrīd neinteresē funkcijas f eksplicītā forma. Ja mēs pierādīsim, ka mīkstā modeļa uzvedība būtiski neatšķiras no cietā modeļa uzvedības, problēma tiks reducēta uz cietā modeļa izpēti. Pretējā gadījumā stingrā modeļa pētījumos iegūto rezultātu pielietošanai būs nepieciešami papildu pētījumi. Piemēram, harmonisko oscilatoru vienādojuma risinājums ir formas funkcijas

Tas ir, svārstības ar nemainīgu amplitūdu. Vai no tā izriet, ka īsts oscilators svārstīsies bezgalīgi ar nemainīgu amplitūdu? Nē, jo, ņemot vērā sistēmu ar patvaļīgi mazu berzi, mēs iegūsim slāpētas svārstības. Sistēmas uzvedība ir kvalitatīvi mainījusies.

Ja sistēma saglabā savu kvalitatīvo uzvedību nelielu traucējumu gadījumā, tā tiek uzskatīta par strukturāli stabilu. Harmoniskais oscilators ir strukturāli nestabilas sistēmas piemērs. Tomēr šo modeli var izmantot, lai pētītu procesus ierobežotā laika periodā.

Modeļu daudzpusība.

Vissvarīgākajiem matemātiskajiem modeļiem parasti ir svarīga universāluma īpašība: principiāli atšķirīgas reālas parādības var aprakstīt ar vienu un to pašu matemātisko modeli. Piemēram, harmoniskais oscilators apraksta ne tikai slodzes uzvedību uz atsperes, bet arī citus svārstību procesus, kas bieži vien ir pavisam cita rakstura: nelielas svārsta svārstības, šķidruma līmeņa svārstības U veida traukā. , vai strāvas stipruma izmaiņas svārstību ķēdē. Tādējādi, pētot vienu matemātisko modeli, mēs uzreiz pētām veselu ar to aprakstīto parādību klasi. Tieši šis likumu izomorfisms, kas izteikts ar matemātiskajiem modeļiem dažādos zinātnisko zināšanu segmentos, iedvesmoja Ludvigu fon Bertalanfiju izveidot “Vispārīgo sistēmu teoriju”.

Matemātiskās modelēšanas tiešās un apgrieztās problēmas

ķermeņi no dažādiem materiāliem, katrs materiāls tiek norādīts kā tā standarta mehāniskā idealizācija, pēc tam tiek sastādīti vienādojumi, pa ceļam dažas detaļas tiek izmestas kā nesvarīgas, veikti aprēķini, salīdzināti ar mērījumiem, precizēts modelis utt. Tomēr, lai izstrādātu matemātiskās modelēšanas tehnoloģijas, ir lietderīgi izjaukt šo procesu tā galvenajos komponentos.

Tradicionāli ir divas galvenās problēmu klases, kas saistītas ar matemātiskajiem modeļiem: tiešās un apgrieztās.

Tiešais uzdevums: modeļa struktūra un visi tā parametri tiek uzskatīti par zināmiem, galvenais uzdevums ir veikt modeļa izpēti, lai iegūtu noderīgas zināšanas par objektu. Kādu statisko slodzi tilts izturēs? Kā tā reaģēs uz dinamisko slodzi, kā lidmašīna pārvarēs skaņas barjeru, vai tā izjuks no plandīšanās – tie ir tipiski tiešas problēmas piemēri. Pareizas tiešās problēmas iestatīšana prasa īpašas prasmes. Ja netiek uzdoti pareizie jautājumi, tilts var sabrukt, pat ja ir uzbūvēts labs tā uzvedības modelis. Tā 1879. gadā Lielbritānijā sagruva metāla tilts pāri Tejas upei, kura projektētāji uzbūvēja tilta maketu, aprēķināja, ka tam ir 20-kārtīga drošības rezerve lietderīgās slodzes darbībai, bet aizmirsa par vējiem. pastāvīgi pūš tajās vietās. Un pēc pusotra gada tas sabruka.

IN Vienkāršākajā gadījumā tiešā problēma ir ļoti vienkārša un reducējas līdz šī vienādojuma skaidram risinājumam.

Apgrieztā problēma: ir zināmi daudzi iespējamie modeļi, ir nepieciešams izvēlēties konkrētu modeli, pamatojoties uz papildu datiem par objektu. Visbiežāk ir zināma modeļa struktūra, un ir jānosaka daži nezināmi parametri. Papildu informācija var ietvert papildu empīriskus datus vai prasības objektam. Papildu dati var iegūt neatkarīgi no apgrieztās problēmas risināšanas procesa vai būt īpaši plānota eksperimenta rezultāts risinājuma laikā.

IN Vēl viens piemērs ir matemātiskā statistika. Šīs zinātnes uzdevums ir izstrādāt metodes novērojumu un eksperimentālo datu reģistrēšanai, aprakstīšanai un analīzei, lai izveidotu nejaušu masu parādību varbūtības modeļus. Tie. iespējamo modeļu kopa ir ierobežota ar varbūtības modeļiem. Konkrētos uzdevumos modeļu kopums ir ierobežotāks.

Datormodelēšanas sistēmas.

Matemātiskās modelēšanas atbalstam ir izstrādātas datormatemātikas sistēmas, piemēram, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim u.c. Tās ļauj izveidot formālus un bloku modeļus gan vienkāršiem, gan sarežģītiem procesiem un ierīcēm un viegli mainīt modeļa parametrus darbības laikā. modelēšana. Bloku modeļi tiek attēloti ar blokiem, kuru komplektu un savienojumu nosaka modeļa diagramma.

Papildu piemēri.

Pieauguma temps ir proporcionāls pašreizējam iedzīvotāju skaitam. To apraksta ar diferenciālvienādojumu

kur α ir noteikts parametrs, ko nosaka starpība starp dzimstību un mirstības līmeni. Šī vienādojuma risinājums ir eksponenciālā funkcija x = x0 e. Ja dzimstība pārsniedz mirstības līmeni, iedzīvotāju skaits palielinās bezgalīgi un ļoti ātri. Ir skaidrs, ka patiesībā tas nevar notikt ierobežojumu dēļ

resursus. Kad tiek sasniegts noteikts kritiskais populācijas lielums, modelis pārstāj būt adekvāts, jo neņem vērā ierobežotos resursus. Maltusa modeļa pilnveidojums var būt loģistikas modelis, ko apraksta Verhulsta diferenciālvienādojums

kur xs ir “līdzsvara” populācijas lielums, pie kura dzimstību precīzi kompensē mirstības līmenis. Populācijas lielums šādā modelī tiecas uz līdzsvara vērtību xs, un šī uzvedība ir strukturāli stabila.

Pieņemsim, ka noteiktā teritorijā dzīvo divu veidu dzīvnieki: truši un lapsas. Lai trušu skaits ir x, lapsu skaits ir y. Izmantojot Malthus modeli ar nepieciešamajiem grozījumiem, ņemot vērā trušu ēšanu no lapsām, mēs nonākam pie šādas sistēmas, kas nes Lotka-Volterra modeļa nosaukumu:

Šai sistēmai ir līdzsvara stāvoklis, kad trušu un lapsu skaits ir nemainīgs. Novirze no šī stāvokļa izraisa trušu un lapsu skaita svārstības, kas ir līdzīgas harmoniskā oscilatora svārstībām. Tāpat kā harmoniskā oscilatora gadījumā, šī uzvedība nav strukturāli stabila: nelielas izmaiņas modelī var izraisīt kvalitatīvas izmaiņas uzvedībā. Piemēram, līdzsvara stāvoklis var kļūt stabils, un skaitļu svārstības izzudīs. Iespējama arī pretēja situācija, kad jebkura neliela novirze no līdzsvara stāvokļa novedīs pie katastrofālām sekām, līdz pat vienas sugas pilnīgai izzušanai. Volterras-Lotkas modelis neatbild uz jautājumu, kurš no šiem scenārijiem tiek realizēts: šeit ir nepieciešama papildu izpēte.

Matemātisko modeļu veidi. Dažādi veidi, kā izveidot matemātisko modeli

Modeļu klasifikācija

Modeļu formālā klasifikācija

Klasifikācija pēc objekta attēlojuma veida

Satura un formālie modeļi

Modeļu satura klasifikācija

2. veids: Fenomenoloģiskais modelis (mēs uzvedamies it kā…)

3. veids: Tuvināšana (mēs uzskatām kaut ko ļoti lielu vai ļoti mazu)

8. veids: Funkciju demonstrācija (galvenais ir parādīt iespēju iekšējo konsekvenci)

Piemērs

Cietie un mīkstie modeļi

Modeļu daudzpusība

Matemātiskās modelēšanas tiešās un apgrieztās problēmas

Datoru simulācijas sistēmas

Papildu piemēri

Maltusa modelis

Plēsēju-laupījumu sistēma

Piezīmes

Matemātiskā modelēšana

1. Kas ir matemātiskā modelēšana?

2. Matemātiskās modelēšanas galvenie posmi

3. Modeļu klasifikācija

4. Matemātisko modeļu piemēri

1.1.2 2. Matemātiskās modelēšanas galvenie posmi

1.1.3 3. Modeļu klasifikācija

1.2 Modeļu klasifikācija

1.2.1
Klasifikācija, ņemot vērā laika faktoru un lietošanas jomu (Makarova N.A.)

1.2.2 Klasifikācija pēc lietošanas jomas (Makarova N.A.)

1.2.3 Klasifikācija pēc pasniegšanas metodes Makarovs N.A.)

1.2.4 Modeļu klasifikācija, kas sniegta grāmatā "Zemes informātika" (Gein A.G.))

1.2.5 A.I. Bočkina rokasgrāmatā sniegtā modeļu klasifikācija

Rakstniecības izcelsme un attīstība - abstrakts

Komponists Raimonds Pauls: biogrāfija, personīgā dzīve, radošums Raimonds Pauls - biogrāfija

Matemātisko modeļu veidi. Dažādi veidi, kā izveidot matemātisko modeli

Modeļu klasifikācija

Modeļu formālā klasifikācija

Klasifikācija pēc objekta attēlojuma veida

Satura un formālie modeļi

Modeļu satura klasifikācija

2. veids: Fenomenoloģiskais modelis (mēs uzvedamies it kā…)

3. veids: Tuvināšana (mēs uzskatām kaut ko ļoti lielu vai ļoti mazu)

8. veids: Funkciju demonstrācija (galvenais ir parādīt iespēju iekšējo konsekvenci)

Piemērs

Cietie un mīkstie modeļi

Modeļu daudzpusība

Matemātiskās modelēšanas tiešās un apgrieztās problēmas

Datoru simulācijas sistēmas

Papildu piemēri

Maltusa modelis

Plēsēju-laupījumu sistēma

Piezīmes

Matemātiskā modelēšana

1. Kas ir matemātiskā modelēšana?

2. Matemātiskās modelēšanas galvenie posmi

3. Modeļu klasifikācija

4. Matemātisko modeļu piemēri

1.1.2 2. Matemātiskās modelēšanas galvenie posmi

1.1.3 3. Modeļu klasifikācija

1.2 Modeļu klasifikācija

1.2.1 Klasifikācija, ņemot vērā laika faktoru un lietošanas jomu (Makarova N.A.)

1.2.2 Klasifikācija pēc lietošanas jomas (Makarova N.A.)

1.2.3 Klasifikācija pēc pasniegšanas metodes Makarovs N.A.)

1.2.4 Modeļu klasifikācija, kas sniegta grāmatā "Zemes informātika" (Gein A.G.))

1.2.5 A.I. Bočkina rokasgrāmatā sniegtā modeļu klasifikācija

Rakstniecības izcelsme un attīstība - abstrakts

Komponists Raimonds Pauls: biogrāfija, personīgā dzīve, radošums Raimonds Pauls - biogrāfija

1.2.1
Klasifikācija, ņemot vērā laika faktoru un lietošanas jomu (Makarova N.A.)