Prepričajte se, da je trikotnik, ki vam je dan, pravokoten trikotnik, saj Pitagorov izrek velja samo za pravokotne trikotnike. IN pravokotni trikotnik x eden od treh kotov je vedno 90 stopinj.

• Pravi kot v pravokotnem trikotniku je označen s kvadratno ikono in ne s krivuljo, ki predstavlja poševne kote.

Označite stranice trikotnika. Označite katete z "a" in "b" (katete so stranice, ki se sekajo pod pravim kotom), hipotenuzo pa s "c" (hipotenuza je največja stranica pravokotnega trikotnika, ki leži nasproti pravi kot).

Določite, katero stran trikotnika želite najti. Pitagorov izrek vam omogoča, da najdete katero koli stran pravokotnega trikotnika (če sta drugi dve strani znani). Določite, katero stran (a, b, c) morate najti.

• Na primer, glede na hipotenuzo, ki je enaka 5, in glede na nogo, ki je enaka 3. V tem primeru je treba najti drugo nogo. K temu primeru se bomo vrnili kasneje.
• Če drugi dve strani nista znani, morate najti dolžino ene od neznanih strani, da lahko uporabite Pitagorov izrek. Če želite to narediti, uporabite osnovno trigonometrične funkcije(če vam je podana vrednost enega od poševnih kotov).

Vrednosti, ki so vam bile dane (ali vrednosti, ki ste jih našli), nadomestite s formulo a 2 + b 2 = c 2. Ne pozabite, da sta a in b kateta, c pa hipotenuza.

• V našem primeru zapišite: 3² + b² = 5².

Vsako znano stran kvadrirajte. Ali pa pustite pooblastila - lahko kvadrirate številke pozneje.

• V našem primeru zapišite: 9 + b² = 25.

Izolirajte neznano stran na eni strani enačbe.Če želite to narediti, prenesite znane vrednosti na drugo stran enačbe. Če najdete hipotenuzo, potem je v Pitagorovem izreku že izolirana na eni strani enačbe (zato vam ni treba storiti ničesar).

• V našem primeru premaknite 9 na desna stran enačbe za izolacijo neznanke b². Dobili boste b² = 16.

Odstrani Kvadratni koren z obeh strani enačbe, potem ko je neznanka (na kvadrat) prisotna na eni strani enačbe in prosti člen (število) na drugi strani.

• V našem primeru je b² = 16. Izvlecite kvadratni koren obeh strani enačbe in dobite b = 4. Tako je drugi krak 4.

Uporabite Pitagorov izrek v Vsakdanje življenje, saj ga je mogoče uporabiti v številnih praktičnih situacijah. Če želite to narediti, se naučite prepoznati pravokotne trikotnike v vsakdanjem življenju – v kateri koli situaciji, v kateri se dva predmeta (ali črti) sekata pod pravim kotom in tretji predmet (ali črta) povezuje (diagonalno) vrhova prvih dveh predmetov (ali črte), lahko uporabite Pitagorov izrek za iskanje neznane strani (če sta drugi strani znani).

• Primer: podano je stopnišče, prislonjeno na stavbo. Spodnji del stopnic je 5 metrov od podnožja stene. Zgornji del Stopnice se nahajajo 20 metrov od tal (po steni navzgor). Kakšna je dolžina stopnic?
  • "5 metrov od podnožja stene" pomeni, da je a = 5; »nahaja se 20 metrov od tal« pomeni, da je b = 20 (to pomeni, da imate dva kraka pravokotnega trikotnika, saj se stena zgradbe in površina Zemlje sekata pod pravim kotom). Dolžina stopnišča je dolžina hipotenuze, ki ni znana.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Tako je približna dolžina stopnic 20,6 metra.

Pitagorov izrek- eden od temeljnih izrekov evklidske geometrije, ki vzpostavlja razmerje

med stranicami pravokotnega trikotnika.

Domneva se, da jo je dokazal grški matematik Pitagora, po katerem je tudi dobila ime.

Geometrična formulacija Pitagorovega izreka.

Izrek je bil prvotno formuliran takole:

V pravokotnem trikotniku je površina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi, enaka vsoti površin kvadratov,

zgrajena na nogah.

Algebraična formulacija Pitagorovega izreka.

V pravokotnem trikotniku je kvadrat dolžine hipotenuze enaka vsoti kvadrati dolžin krakov.

To pomeni, da dolžino hipotenuze trikotnika označimo z c, in dolžine krakov skozi a in b:

Obe formulaciji Pitagorov izrek so enakovredne, vendar je druga formulacija bolj elementarna, ne

zahteva koncept območja. To pomeni, da je drugo izjavo mogoče preveriti, ne da bi vedeli karkoli o območju in

z merjenjem samo dolžin stranic pravokotnega trikotnika.

Obratni Pitagorov izrek.

Če je kvadrat ene stranice trikotnika enak vsoti kvadratov drugih dveh stranic, potem

pravokotni trikotnik.

Ali z drugimi besedami:

Za vsako trojko pozitivnih števil a, b in c, tako da

obstaja pravokotni trikotnik s kraki a in b in hipotenuzo c.

Pitagorov izrek za enakokraki trikotnik.

Pitagorov izrek za enakostranični trikotnik.

Dokazi Pitagorovega izreka.

Trenutno je v znanstveni literaturi zabeleženih 367 dokazov tega izreka. Verjetno izrek

Pitagorov izrek je edini s tako impresivnim številom dokazov. Takšna raznolikost

je mogoče razložiti le s temeljnim pomenom izreka za geometrijo.

Seveda jih lahko konceptualno vse razdelimo na manjše število razredov. Najbolj znani med njimi:

dokaz območna metoda, aksiomatično in eksotični dokazi(Na primer,

z uporabo diferencialne enačbe).

1. Dokaz Pitagorovega izreka z uporabo podobnih trikotnikov.

Naslednji dokaz algebraične formulacije je najpreprostejši od sestavljenih dokazov

neposredno iz aksiomov. Zlasti ne uporablja koncepta območja figure.

Pustiti ABC obstaja pravokotni trikotnik s pravim kotom C. Narišimo višino iz C in označujejo

njegov temelj skozi H.

Trikotnik ACH podoben trikotniku AB C na dveh vogalih. Enako trikotnik CBH podobno ABC.

Z uvedbo zapisa:

dobimo:

,

kar ustreza -

Zložen a 2 in b 2, dobimo:

ali , kar je bilo treba dokazati.

2. Dokaz Pitagorovega izreka z metodo ploščin.

Spodnji dokazi kljub navidezni preprostosti sploh niso tako preprosti. Vse

uporabo lastnosti območja, dokazila o katerih težji dokaz sam Pitagorov izrek.

• Dokaz z ekvikomplementarnostjo.

Postavimo štiri enake pravokotnike

trikotnik, kot je prikazano na sliki

na desni.

Štirikotnik s stranicami c- kvadrat,

saj je vsota dveh ostri koti 90°, a

raztegnjen kot - 180°.

Površina celotne figure je enaka na eni strani,

površina kvadrata s stranico ( a+b), na drugi strani pa vsota ploščin štirih trikotnikov in

Q.E.D.

3. Dokaz Pitagorovega izreka z infinitezimalno metodo.

​

Če pogledamo risbo, prikazano na sliki in

opazovanje menjave strania, mi lahko

zapišite naslednjo relacijo za neskončno

majhna stranski prirastkiz in a(z uporabo podobnosti

trikotniki):

Z metodo ločevanja spremenljivk najdemo:

Splošnejši izraz za spremembo hipotenuze v primeru prirastkov na obeh straneh:

Z integracijo te enačbe in uporabo začetnih pogojev dobimo:

Tako pridemo do želenega odgovora:

Kot lahko vidite, se kvadratna odvisnost v končni formuli pojavi zaradi linearne

sorazmernost med stranicami trikotnika in prirastki, medtem ko je vsota povezana z neodvisnikom

prispevki iz prirastka različnih nog.

Enostavnejši dokaz lahko dobimo, če predpostavimo, da ena od nog ne doživi povečanja

(v tem primeru noga b). Potem za konstanto integracije dobimo:

Pitagorov izrek: vsota površin kvadratov, ki počivajo na nogah ( a in b), enako površini kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi ( c).

Geometrijska formulacija:

Izrek je bil prvotno formuliran takole:

Algebraična formulacija:

To pomeni, da dolžino hipotenuze trikotnika označimo z c, in dolžine krakov skozi a in b :

a 2 + b 2 = c 2

Obe formulaciji izreka sta enakovredni, vendar je druga formulacija bolj elementarna; ne zahteva koncepta ploščine. To pomeni, da je drugo trditev mogoče preveriti, ne da bi vedeli karkoli o območju in z merjenjem le dolžin strani pravokotnega trikotnika.

Konverzni izrek Pitagora:

Dokaz

Trenutno je v znanstveni literaturi zabeleženih 367 dokazov tega izreka. Verjetno je Pitagorov izrek edini izrek s tako impresivnim številom dokazov. Takšno raznolikost je mogoče pojasniti le s temeljnim pomenom izreka za geometrijo.

Seveda jih lahko konceptualno vse razdelimo na manjše število razredov. Najbolj znani med njimi: dokazi po metodi območij, aksiomatski in eksotični dokazi (na primer z uporabo diferencialnih enačb).

Skozi podobne trikotnike

Naslednji dokaz algebraične formulacije je najenostavnejši izmed dokazov, zgrajen neposredno iz aksiomov. Zlasti ne uporablja koncepta območja figure.

Pustiti ABC obstaja pravokotni trikotnik s pravim kotom C. Narišimo višino iz C in njegovo osnovo označimo z H. Trikotnik ACH podoben trikotniku ABC na dveh kotih. Enako trikotnik CBH podobno ABC. Z uvedbo notacije

dobimo

Kaj je enakovredno

Če seštejemo, dobimo

Dokazila z metodo območij

Spodnji dokazi kljub navidezni preprostosti sploh niso tako preprosti. Vsi uporabljajo lastnosti ploščine, katerih dokaz je bolj zapleten kot dokaz samega Pitagorovega izreka.

Dokaz z ekvikomplementacijo

1. Razporedimo štiri enake pravokotne trikotnike, kot je prikazano na sliki 1.
2. Štirikotnik s stranicami c je kvadrat, saj je vsota dveh ostrih kotov 90°, ravnega kota pa 180°.
3. Površina celotne figure je na eni strani enaka površini kvadrata s stranico (a + b), na drugi strani pa vsoti površin štirih trikotnikov in dveh notranjih kvadrati.

Q.E.D.

Dokazi z enakovrednostjo

Eleganten dokaz z uporabo permutacije

Primer enega takega dokaza je prikazan na risbi na desni, kjer je kvadrat, zgrajen na hipotenuzi, preurejen v dva kvadrata, zgrajena na katetah.

Evklidov dokaz

Risba za Evklidov dokaz

Ilustracija za Evklidov dokaz

Ideja Evklidovega dokaza je naslednja: poskusimo dokazati, da je polovica ploščine kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi, enaka vsoti polploščin kvadratov, zgrajenih na nogah, in nato površin veliki in dva mala kvadrata sta enaka.

Poglejmo risbo na levi. Na njem smo zgradili kvadrate na stranicah pravokotnega trikotnika in iz oglišča pravega kota C potegnili žarek s pravokotno na hipotenuzo AB, ta reže kvadrat ABIK, zgrajen na hipotenuzi, na dva pravokotnika - BHJI in HAKJ, oz. Izkazalo se je, da so površine teh pravokotnikov popolnoma enake površinam kvadratov, zgrajenih na ustreznih krakih.

Poskusimo dokazati, da je ploščina kvadrata DECA enaka ploščini pravokotnika AHJK. Za to bomo uporabili pomožno opazovanje: Ploščina trikotnika z enako višino in osnovo kot dani pravokotnik je enak polovici površine danega pravokotnika. To je posledica definiranja površine trikotnika kot polovice produkta osnove in višine. Iz tega opazovanja sledi, da je ploščina trikotnika ACK enaka ploščini trikotnika AHK (ni prikazan na sliki), ta pa je enaka polovici ploščine pravokotnika AHJK.

Dokažimo zdaj, da je tudi ploščina trikotnika ACK enaka polovici ploščine kvadrata DECA. Edina stvar, ki jo je treba narediti za to, je dokazati enakost trikotnikov ACK in BDA (ker je ploščina trikotnika BDA enaka polovici ploščine kvadrata glede na zgornjo lastnost). Ta enakost je očitna, trikotnika sta enaka na obeh stranicah in v kotu med njima. Namreč - AB=AK,AD=AC - enakost kotov CAK in BAD zlahka dokažemo z metodo gibanja: trikotnik CAK zavrtimo za 90° v nasprotni smeri urinega kazalca, potem je očitno, da sta ustrezni stranici obeh trikotnikov v vprašanje bo sovpadalo (zaradi dejstva, da je kot na vrhu kvadrata 90°).

Utemeljitev o enakosti ploščin kvadrata BCFG in pravokotnika BHJI je popolnoma podobna.

Tako smo dokazali, da je ploščina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi, sestavljena iz ploščin kvadratov, zgrajenih na katetah. Ideja za tem dokazom je dodatno ponazorjena z zgornjo animacijo.

Dokaz o Leonardu da Vinciju

Dokaz o Leonardu da Vinciju

Glavna elementa dokaza sta simetrija in gibanje.

Razmislimo o risbi, kot je razvidno iz simetrije, segmenta Cjaz reže kvadrat ABHJ na dva enaka dela (od trikotnikov ABC in JHjaz enaka v konstrukciji). Z vrtenjem za 90 stopinj v nasprotni smeri urinega kazalca vidimo enakost zasenčenih številk CAJjaz in GDAB . Zdaj je jasno, da je površina figure, ki smo jo zasenčili, enaka vsoti polovice površin kvadratov, zgrajenih na nogah, in površine prvotnega trikotnika. Po drugi strani pa je enako polovici površine kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi, plus površini prvotnega trikotnika. Zadnji korak dokaz je zagotovljen bralcu.

Dokaz z infinitezimalno metodo

Naslednji dokaz z uporabo diferencialnih enačb se pogosto pripisuje znanemu angleškemu matematiku Hardyju, ki je živel v prvi polovici 20. stoletja.

Če pogledate risbo, prikazano na sliki, in opazujete spremembo strani a, lahko zapišemo naslednjo zvezo za infinitezimalne stranske prirastke z in a(z uporabo podobnosti trikotnika):

Dokaz z infinitezimalno metodo

Z metodo ločevanja spremenljivk najdemo

Splošnejši izraz za spremembo hipotenuze v primeru prirastkov na obeh straneh

Z integracijo te enačbe in uporabo začetnih pogojev dobimo

c 2 = a 2 + b 2 + konstanta.

Tako pridemo do želenega odgovora

c 2 = a 2 + b 2 .

Kot lahko vidimo, se kvadratna odvisnost v končni formuli pojavi zaradi linearne sorazmernosti med stranicami trikotnika in prirastki, medtem ko je vsota povezana z neodvisnimi prispevki prirastka različnih krakov.

Enostavnejši dokaz lahko dobimo, če predpostavimo, da ena od nog ne doživi prirastka (v tem primeru noga b). Nato za integracijsko konstanto dobimo

Variacije in posplošitve

• Če namesto kvadratov na straneh sestavimo druge podobne figure, potem velja naslednja posplošitev Pitagorovega izreka: V pravokotnem trikotniku je vsota površin podobnih figur, zgrajenih na straneh, enaka površini figure, zgrajene na hipotenuzi.Še posebej:
  • Vsota površin pravilnih trikotnikov, zgrajenih na nogah, je enaka površini pravilnega trikotnika, zgrajenega na hipotenuzi.
  • Vsota površin polkrogov, zgrajenih na nogah (kot na premeru), je enaka površini polkroga, zgrajenega na hipotenuzi. Ta primer se uporablja za dokazovanje lastnosti likov, omejenih z lokoma dveh krogov in imenovanih Hipokratove lunule.

Zgodba

Chu-pei 500–200 pr. Na levi je napis: vsota kvadratov dolžin višine in osnove je kvadrat dolžine hipotenuze.

Starodavna kitajska knjiga Chu-pei govori o Pitagorejski trikotnik s stranicami 3, 4 in 5: V isti knjigi je predlagana risba, ki sovpada z eno od risb hindujske geometrije Bašare.

Cantor (največji nemški zgodovinar matematike) meni, da so enakost 3² + 4² = 5² poznali že Egipčani okoli leta 2300 pr. e., v času kralja Amenemheta I. (po papirusu 6619 Berlinskega muzeja). Po Cantorju so harpedonapti ali "vlečelci vrvi" gradili prave kote s pomočjo pravokotnih trikotnikov s stranicami 3, 4 in 5.

Zelo enostavno je reproducirati njihov način gradnje. Vzemimo vrv dolžine 12 m in nanjo na razdalji 3 m privežimo barvni trak. z enega konca in 4 metre z drugega. Pravi kot bo sklenjen med stranicama dolžine 3 in 4 metre. Harpedonaptcem bi lahko ugovarjali, da postane njihov način gradnje odveč, če uporabimo na primer leseni ogtnik, ki ga uporabljajo vsi tesarji. Dejansko so znane egipčanske risbe, na katerih je takšno orodje, na primer risbe, ki prikazujejo mizarsko delavnico.

Nekaj ​​več je znanega o Pitagorovem izreku med Babilonci. V nekem besedilu, ki sega v čas Hamurabija, torej do leta 2000 pr. e., podan je približen izračun hipotenuze pravokotnega trikotnika. Iz tega lahko sklepamo, da so v Mezopotamiji znali računati s pravokotnimi trikotniki, po vsaj V nekaterih primerih. Na podlagi, po eni strani, trenutne ravni znanja o egipčanski in babilonski matematiki, in po drugi strani, na kritični študiji grških virov, je Van der Waerden (nizozemski matematik) prišel do naslednjega zaključka:

Literatura

V ruščini

• Skopets Z. A. Geometrijske miniature. M., 1990
• Elensky Shch. Po Pitagorovih stopinjah. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Prebujanje znanosti. Matematika Starodavni Egipt, Babilon in Grčija. M., 1959
• Glazer G.I. Zgodovina matematike v šoli. M., 1982
• W. Litzman, "Pitagorov izrek" M., 1960.
  • Stran o Pitagorovem izreku z velikim številom dokazov, gradivo vzeto iz knjige V. Litzmanna, velika številka risbe so predstavljene v obliki ločenih grafičnih datotek.
• Poglavje Pitagorov izrek in Pitagorove trojke iz knjige D. V. Anosova “Pogled na matematiko in nekaj iz nje”
• O Pitagorejevem izreku in metodah njegovega dokazovanja G. Glaser, akademik Ruske akademije za izobraževanje, Moskva

V angleščini

• Pitagorov izrek na WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, razdelek o Pitagorovem izreku, približno 70 dokazov in obsežne dodatne informacije (angleščina)

Fundacija Wikimedia. 2010.

Pitagorov izrek je najpomembnejša izjava geometrije. Izrek je formuliran na naslednji način: površina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi pravokotnega trikotnika, je enaka vsoti površin kvadratov, zgrajenih na njegovih nogah.

Odkritje te izjave se običajno pripisuje starogrški filozof in matematik Pitagora (VI. stol. pr. n. št.). Toda študija babilonskih klinopisnih ploščic in starodavnih kitajskih rokopisov (kopije še starejših rokopisov) je pokazala, da je bila ta izjava znana veliko pred Pitagoro, morda tisočletje pred njim. Zasluga Pitagore je bila, da je odkril dokaz tega izreka.

Verjetno je bilo dejstvo, navedeno v Pitagorovem izreku, prvič ugotovljeno za enakokrake pravokotne trikotnike. Samo poglejte mozaik črnih in svetlih trikotnikov, prikazan na sl. 1, da preverimo veljavnost izreka za trikotnik: kvadrat, zgrajen na hipotenuzi, vsebuje 4 trikotnike, na vsaki strani pa je zgrajen kvadrat, ki vsebuje 2 trikotnika. Za dokaz splošnega primera v starodavni Indiji so uporabili dve metodi: v kvadratu s stranico so upodobili štiri pravokotne trikotnike s kraki dolžin in (sl. 2, a in 2, b), po katerih so zapisali eno besedo " Poglej!" In res, če pogledamo te risbe, vidimo, da je na levi figura brez trikotnikov, sestavljena iz dveh kvadratov s stranicami in je zato njena površina enaka , na desni pa je kvadrat s stranico - njegova površina je enaka . To pomeni, da je to trditev Pitagorovega izreka.

Vendar dva tisoč let ni bil uporabljen ta vizualni dokaz, ampak bolj zapleten dokaz, ki ga je izumil Evklid in ki je umeščen v njegovo znamenito knjigo "Elementi" (glej Evklid in njegovi "Elementi"), Evklid je znižal višino iz vrha pravega kota na hipotenuzo in dokazal, da njegovo nadaljevanje deli kvadrat, zgrajen na hipotenuzi, na dva pravokotnika, katerih ploščini sta enaki ploščini ustreznih kvadratov, zgrajenih na nogah (slika 3). Risba, s katero dokazujejo ta izrek, se v šali imenuje "Pitagorejske hlače". Dolgo časa je veljal za enega od simbolov matematične znanosti.

Danes je znanih več deset različnih dokazov Pitagorovega izreka. Nekateri od njih temeljijo na razdelitvi kvadratov, pri kateri je kvadrat, zgrajen na hipotenuzi, sestavljen iz delov, vključenih v razdelke kvadratov, zgrajenih na nogah; drugi - na komplement do enakih številk; tretji - na dejstvu, da višina, spuščena od vrha pravega kota do hipotenuze, deli pravokotni trikotnik na dva trikotnika, ki sta mu podobna.

Pitagorov izrek je osnova večine geometrijskih izračunov. Že v starem Babilonu so jo uporabljali za izračun dolžine višine enakokrakega trikotnika iz dolžin osnove in stranice, puščico odseka iz premera kroga in dolžine tetive ter ugotavljali razmerja med elementi nekaterih pravilnih mnogokotnikov. S pomočjo Pitagorovega izreka dokažemo njegovo posplošitev, ki nam omogoča izračun dolžine stranice, ki leži nasproti ostrega ali topega kota:

Iz te posplošitve sledi, da prisotnost pravega kota v ni le zadosten, ampak tudi nujen pogoj za izpolnitev enakosti. Iz formule (1) sledi relacija med dolžinami diagonal in stranic paralelograma, s pomočjo katerega zlahka najdemo dolžino mediane trikotnika iz dolžin njegovih stranic.

Na podlagi Pitagorovega izreka je izpeljana formula, ki izraža površino katerega koli trikotnika skozi dolžine njegovih strani (glej Heronovo formulo). Seveda je bil Pitagorov izrek uporabljen tudi za reševanje različnih praktičnih problemov.

Namesto kvadratov lahko na straneh pravokotnega trikotnika zgradite poljubne podobne figure (enakostranične trikotnike, polkroge itd.). V tem primeru je površina figure, zgrajene na hipotenuzi, enaka vsoti površin številk, zgrajenih na nogah. Druga posplošitev je povezana s prehodom iz ravnine v prostor. Formulirano je takole: kvadrat dolžine diagonale pravokotnega paralelopipeda je enak vsoti kvadratov njegovih dimenzij (dolžine, širine in višine). Podoben izrek velja v večdimenzionalnih in celo neskončnodimenzionalnih primerih.

Pitagorov izrek obstaja le v evklidski geometriji. Ne pojavlja se niti v geometriji Lobačevskega niti v drugih neevklidskih geometrijah. Na krogli ni analoga Pitagorovega izreka. Dva poldnevnika, ki tvorita kot 90°, in ekvator omejujejo na kroglo enakostranični sferični trikotnik, katerega vsi trije koti so pravi koti. Zanj ne kot na letalu.

S pomočjo Pitagorovega izreka izračunajte razdaljo med točkami in koordinatno ravnino po formuli

.

Po odkritju Pitagorovega izreka se je pojavilo vprašanje, kako najti vse trojčke naravnih števil, ki so lahko stranice pravokotnega trikotnika (glej zadnji Fermatov izrek). Odkrili so jih Pitagorejci, nekatere splošne metode za iskanje takih trojčkov števil pa so poznali že Babilonci. Ena od klinopisnih ploščic vsebuje 15 trojčkov. Med njimi so trojčki, sestavljeni iz toliko velike številke, da ne more biti govora o iskanju s selekcijo.

Hipokratova jama

Hipokratove lune so figure, ki jih omejujejo loki dveh krogov in so poleg tega takšne, da je mogoče z uporabo polmerov in dolžine skupne tetive teh krogov, s šestilom in ravnilom sestaviti njim enake kvadrate.

Iz posplošitve Pitagorovega izreka na polkroge sledi, da je vsota površin rožnatih kepic, prikazanih na sliki na levi, enaka površini modrega trikotnika. Torej, če vzamete enakokraki pravokotni trikotnik, boste dobili dve luknji, od katerih bo površina vsake enaka polovici površine trikotnika. Starogrški matematik Hipokrat (5. stoletje pr. n. št.) je poskušal rešiti problem kvadrature kroga (glej Klasični problemi antike) našel več lukenj, katerih območja so izražena s površinami pravokotnih likov.

Popoln seznam hipomarginalnih lunula je bil pridobljen šele v 19.-20. stoletju. zahvaljujoč uporabi metod Galoisove teorije.

Ena stvar, o kateri ste lahko stoodstotno prepričani, je, da bo vsaka odrasla oseba na vprašanje, koliko je kvadrat hipotenuze, pogumno odgovorila: "Vsota kvadratov katet." Ta izrek je trdno zasidran v glavah vseh. izobražena oseba, a vse kar morate storiti je, da nekoga prosite, da to dokaže, in lahko se pojavijo težave. Zato se spomnimo in razmislimo o različnih načinih dokazovanja Pitagorovega izreka.

Kratka biografija

Pitagorov izrek je znan skoraj vsem, vendar iz nekega razloga biografija osebe, ki jo je prinesla na svet, ni tako priljubljena. To se da popraviti. Zato morate pred raziskovanjem različnih načinov dokazovanja Pitagorovega izreka na kratko spoznati njegovo osebnost.

Pitagora - filozof, matematik, mislec izvira iz leta Danes je zelo težko ločiti njegovo biografijo od legend, ki so se razvile v spomin na tega velikega človeka. Toda, kot izhaja iz del njegovih privržencev, je bil Pitagora iz Samosa rojen na otoku Samos. Njegov oče je bil navaden kamnosek, mati pa je izhajala iz plemiške družine.

Sodeč po legendi je rojstvo Pitagore napovedala ženska po imenu Pythia, v čast katere je bil deček imenovan. Po njenem predvidevanju naj bi rojen deček človeštvu prinesel veliko koristi in dobrega. Kar je točno to storil.

Rojstvo teorema

V mladosti se je Pitagora preselil v Egipt, da bi tam srečal znane egipčanske modrece. Po srečanju z njimi so mu omogočili študij, kjer je spoznal vse velike dosežke egipčanske filozofije, matematike in medicine.

Verjetno je bil Pitagora v Egiptu navdihnjen z veličastnostjo in lepoto piramid in je ustvaril svojo veliko teorijo. To lahko šokira bralce, a sodobni zgodovinarji verjamejo, da Pitagora ni dokazal svoje teorije. A svoje znanje je le posredoval svojim privržencem, ki so kasneje opravili vse potrebne matematične izračune.

Kakor koli že, danes ni znana ena metoda dokazovanja tega izreka, ampak več naenkrat. Danes lahko samo ugibamo, kako točno so stari Grki izvajali svoje izračune, zato si bomo tukaj ogledali različne načine dokazovanja Pitagorovega izreka.

Pitagorov izrek

Preden začnete z izračuni, morate ugotoviti, katero teorijo želite dokazati. Pitagorov izrek pravi takole: "V trikotniku, v katerem je eden od kotov 90°, je vsota kvadratov nog enaka kvadratu hipotenuze."

Obstaja skupno 15 različnih načinov za dokazovanje Pitagorovega izreka. To je precej veliko število, zato bomo pozorni na najbolj priljubljene med njimi.

Prva metoda

Najprej opredelimo, kaj nam je dano. Ti podatki bodo veljali tudi za druge metode dokazovanja Pitagorovega izreka, zato se je vredno takoj spomniti vseh razpoložljivih zapisov.

Recimo, da imamo pravokotni trikotnik s katetama a, b in hipotenuzo, ki je enaka c. Prva metoda dokaza temelji na dejstvu, da morate iz pravokotnega trikotnika narisati kvadrat.

Če želite to narediti, morate kraku dolžine a dodati segment, ki je enak kraku b, in obratno. To bi moralo biti dva enake stranice kvadrat. Ostaja le še narisati dve vzporedni črti in kvadrat je pripravljen.

Znotraj nastale figure morate narisati še en kvadrat s stranico, ki je enaka hipotenuzi prvotnega trikotnika. Če želite to narediti, morate iz tock as in sv narisati dva vzporedna segmenta, enaka s. Tako dobimo tri stranice kvadrata, od katerih je ena hipotenuza prvotnega pravokotnega trikotnika. Ostaja le še narisati četrti segment.

Na podlagi dobljene številke lahko sklepamo, da je površina zunanjega kvadrata (a + b) 2. Če pogledate v notranjost figure, lahko vidite, da so poleg notranjega kvadrata še štirje pravi trikotniki. Površina vsakega je 0,5 av.

Zato je površina enaka: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Zato je (a+c) 2 = 2ab+c 2

In torej c 2 =a 2 +b 2

Izrek je dokazan.

Druga metoda: podobni trikotniki

Ta formula za dokaz Pitagorovega izreka je bila izpeljana na podlagi izjave iz razdelka geometrije o podobnih trikotnikih. Pravi, da je krak pravokotnega trikotnika povprečje sorazmerno z njegovo hipotenuzo in odsekom hipotenuze, ki izhaja iz vrha kota 90°.

Začetni podatki ostajajo enaki, zato začnimo takoj z dokazom. Narišimo odsek CD pravokotno na stranico AB. Glede na zgornjo trditev so stranice trikotnikov enake:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Za odgovor na vprašanje, kako dokazati Pitagorov izrek, je treba dokaz zaključiti s kvadriranjem obeh neenakosti.

AC 2 = AB * AD in CB 2 = AB * DV

Sedaj moramo nastale neenakosti sešteti.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), kjer je AD + DV = AB

Izkazalo se je, da:

AC 2 + CB 2 = AB * AB

In zato:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Dokaz Pitagorovega izreka in različne načine njene rešitve zahtevajo večplasten pristop k temu problemu. Vendar je ta možnost ena najpreprostejših.

Druga metoda izračuna

Opisi različnih metod dokazovanja Pitagorovega izreka morda ne bodo pomenili ničesar, dokler ne začnete vaditi sami. Številne tehnike ne vključujejo samo matematičnih izračunov, ampak tudi konstrukcijo novih figur iz prvotnega trikotnika.

V tem primeru je potrebno dokončati še en pravokotni trikotnik VSD s strani BC. Tako sta zdaj dva trikotnika s skupnim krakom BC.

Če vemo, da imajo površine podobnih figur razmerje kot kvadrati njihovih podobnih linearnih dimenzij, potem:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(od 2 - do 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

od 2 - do 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Ker je med različnimi metodami dokazovanja Pitagorovega izreka za 8. razred ta možnost komaj primerna, lahko uporabite naslednjo metodo.

Najlažji način za dokaz Pitagorovega izreka. Ocene

Po mnenju zgodovinarjev je bila ta metoda prvič uporabljena za dokaz teorema že leta Antična grčija. Je najpreprostejši, saj ne zahteva popolnoma nobenih izračunov. Če pravilno narišete sliko, bo jasno viden dokaz trditve, da je a 2 + b 2 = c 2.

Pogoji za ta metoda bo nekoliko drugačen od prejšnjega. Za dokaz izreka predpostavimo, da je pravokotni trikotnik ABC enakokrak.

Za stranico kvadrata vzamemo hipotenuzo AC in narišemo njegove tri stranice. Poleg tega je treba v nastalem kvadratu narisati dve diagonalni črti. Tako, da znotraj njega dobite štiri enakokrake trikotnike.

Prav tako morate krakoma AB in CB narisati kvadrat in v vsako od njih narisati eno diagonalno ravno črto. Prvo črto narišemo iz oglišča A, drugo iz C.

Zdaj morate natančno pogledati nastalo risbo. Ker so na hipotenuzi AC štirje trikotniki, enaki prvotnemu, na straneh pa sta dva, to kaže na resničnost tega izreka.

Mimogrede, zahvaljujoč tej metodi dokazovanja Pitagorejskega izreka se je rodil slavni stavek: "Pitagorejske hlače so enake v vseh smereh."

Dokaz J. Garfielda

James Garfield je dvajseti predsednik Združenih držav Amerike. Poleg tega, da se je v zgodovino zapisal kot vladar Združenih držav, je bil tudi nadarjen samouk.

Na začetku kariere je bil navaden učitelj v javni šoli, kmalu pa je postal direktor ene od visokošolskih ustanov. Želja po samorazvoju mu je omogočila ponudbo nova teorija dokaz Pitagorovega izreka. Izrek in primer njegove rešitve sta naslednja.

Najprej morate na list papirja narisati dva pravokotna trikotnika, tako da je krak enega od njih nadaljevanje drugega. Oglišča teh trikotnikov je treba povezati, da na koncu tvorijo trapez.

Kot veste, je površina trapeza enaka produktu polovice vsote njegovih baz in njegove višine.

S=a+b/2 * (a+b)

Če nastali trapez obravnavamo kot figuro, sestavljeno iz treh trikotnikov, potem lahko njegovo območje najdemo na naslednji način:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Zdaj moramo izenačiti oba prvotna izraza

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

O Pitagorovem izreku in metodah njegovega dokazovanja bi lahko napisali več kot en zvezek. učna pomoč. Toda ali je smisel v tem, ko tega znanja ni mogoče uporabiti v praksi?

Praktična uporaba Pitagorovega izreka

Na žalost v moderni šolski programi Ta izrek naj bi se uporabljal samo v geometrijskih problemih. Diplomanti bodo kmalu zapustili šolo, ne da bi vedeli, kako lahko svoje znanje in veščine uporabijo v praksi.

Pravzaprav lahko vsak uporablja Pitagorov izrek v vsakdanjem življenju. Pa ne samo v poklicna dejavnost, temveč tudi pri običajnih gospodinjskih opravilih. Razmislimo o več primerih, ko so lahko Pitagorov izrek in metode dokazovanja zelo potrebni.

Povezava med teoremom in astronomijo

Zdi se, kako je mogoče povezati zvezde in trikotnike na papirju. Pravzaprav je astronomija znanstveno področje, na katerem se pogosto uporablja Pitagorov izrek.

Na primer, upoštevajte gibanje svetlobnega žarka v prostoru. Znano je, da se svetloba giblje v obe smeri z enako hitrostjo. Imenujmo trajektorijo AB, po kateri se giblje svetlobni žarek l. In recimo polovica časa, ki ga potrebuje svetloba, da pride od točke A do točke B t. In hitrost žarka - c. Izkazalo se je, da: c*t=l

Če pogledate ta isti žarek z druge ravnine, na primer iz vesoljske ladje, ki se premika s hitrostjo v, potem se bo pri opazovanju teles na ta način njihova hitrost spremenila. V tem primeru se bodo tudi mirujoči elementi začeli premikati s hitrostjo v v nasprotni smeri.

Recimo, da komična ladja pluje v desno. Nato se bosta točki A in B, med katerima drvi žarek, začeli premikati v levo. Poleg tega, ko se žarek premakne od točke A do točke B, ima točka A čas, da se premakne in v skladu s tem bo svetloba že prispela v novo točko C. Če želite najti polovico razdalje, za katero se je premaknila točka A, morate pomnožiti hitrost podloge za polovico časa potovanja žarka (t ").

In da bi ugotovili, kako daleč lahko potuje žarek svetlobe v tem času, morate polovico poti označiti z novo črko s in dobiti naslednji izraz:

Če si predstavljamo, da sta svetlobni točki C in B ter vesoljska pregrada oglišča enakokrakega trikotnika, potem bo segment od točke A do pregrade le-tega razdelil na dva pravokotna trikotnika. Zato lahko po zaslugi Pitagorovega izreka ugotovite razdaljo, ki bi jo lahko prepotoval žarek svetlobe.

Ta primer seveda ni najbolj uspešen, saj se le redkim posreči, da ga preizkusijo v praksi. Zato razmislimo o bolj vsakdanjih aplikacijah tega izreka.

Domet prenosa mobilnega signala

Sodobnega življenja si ne moremo več predstavljati brez obstoja pametnih telefonov. Toda ali bi bili zelo koristni, če ne bi mogli povezati naročnikov prek mobilne komunikacije?!

Kakovost mobilne komunikacije je neposredno odvisna od višine, na kateri se nahaja antena. mobilni operater. Če želite izračunati, kako daleč od mobilnega stolpa lahko telefon sprejme signal, lahko uporabite Pitagorov izrek.

Recimo, da morate najti približno višino stacionarnega stolpa, tako da lahko distribuira signal v polmeru 200 kilometrov.

AB (višina stolpa) = x;

BC (radij prenosa signala) = 200 km;

OS (polmer globus) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Z uporabo Pitagorovega izreka ugotovimo, da bi morala biti minimalna višina stolpa 2,3 kilometra.

Pitagorov izrek v vsakdanjem življenju

Nenavadno je, da je Pitagorov izrek lahko uporaben tudi v vsakdanjih zadevah, kot je na primer določanje višine garderobne omare. Na prvi pogled tega ni treba uporabljati zapleteni izračuni, saj lahko preprosto opravite meritve z merilnim trakom. Toda mnogi se sprašujejo, zakaj se med postopkom montaže pojavijo določene težave, če so bile vse meritve opravljene več kot natančno.

Dejstvo je, da se garderobna omara sestavi v vodoravnem položaju in šele nato dvigne in namesti ob steno. Zato se mora stran omare med postopkom dvigovanja konstrukcije prosto premikati po višini in diagonali prostora.

Predpostavimo, da obstaja garderobna omara z globino 800 mm. Razdalja od tal do stropa - 2600 mm. Izkušen izdelovalec pohištva bo rekel, da mora biti višina omare 126 mm manjša od višine prostora. Toda zakaj ravno 126 mm? Poglejmo si primer.

Pri idealnih dimenzijah omare preverimo delovanje Pitagorovega izreka:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - vse ustreza.

Recimo, da višina omare ni 2474 mm, ampak 2505 mm. Nato:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Zato ta omara ni primerna za namestitev v tem prostoru. Če ga dvignete v navpični položaj, lahko poškodujete njegovo telo.

Morda lahko po preučitvi različnih načinov dokazovanja Pitagorovega izreka s strani različnih znanstvenikov sklepamo, da je več kot resnična. Zdaj lahko prejete informacije uporabljate v vsakdanjem življenju in ste popolnoma prepričani, da bodo vsi izračuni ne le uporabni, ampak tudi pravilni.