Според учебника на Советов и Яковлев: „моделът (лат. modulus - мярка) е заместващ обект на оригиналния обект, който осигурява изучаването на някои свойства на оригинала“. (стр. 6) „Замяната на един обект с друг, за да се получи информация за най-важните свойства на оригиналния обект с помощта на обект модел, се нарича моделиране.“ (стр. 6) „Под математическо моделиране ние разбираме процеса на установяване на съответствие на даден реален обект с определен математически обект, наречен математически модел, и изследването на този модел, което ни позволява да получим характеристиките на реалния разглеждан обект. Видът на математическия модел зависи както от естеството на реалния обект, така и от задачите за изучаване на обекта и необходимата надеждност и точност на решаването на този проблем.

И накрая, най-краткото определение на математически модел: „Уравнение, изразяващо идея».

Класификация на модела

Формална класификация на моделите

Формалната класификация на моделите се основава на класификацията на използваните математически инструменти. Често се изграждат под формата на дихотомии. Например, един от популярните набори от дихотомии:

и така нататък. Всеки конструиран модел е линеен или нелинеен, детерминиран или стохастичен, ... Естествено са възможни и смесени типове: концентрирани в едно отношение (по параметри), разпределени в друго и т.н.

Класификация според начина на представяне на обекта

Наред с формалната класификация, моделите се различават по начина, по който представят даден обект:

Структурни или функционални модели

Структурни моделипредставляват обект като система със собствена структура и механизъм на функциониране. Функционални моделине използвайте такива представяния и отразявайте само външно възприеманото поведение (функциониране) на обекта. В екстремния си израз те се наричат още модели „черна кутия”. Възможни са и комбинирани видове модели, които понякога се наричат „ сива кутия».

Съдържателни и формални модели

Почти всички автори, описващи процеса на математическо моделиране, посочват, че първо се изгражда специална идеална структура, модел на съдържание. Тук няма установена терминология и други автори наричат това идеален обект концептуален модел , спекулативен моделили предмодел. В този случай се извиква крайната математическа конструкция формален моделили просто математически модел, получен в резултат на формализирането на даден смислен модел (предмодел). Изграждането на смислен модел може да се извърши с помощта на набор от готови идеализации, както в механиката, където идеални пружини, твърди тела, идеални махала, еластични среди и т.н. предоставят готови структурни елементи за смислено моделиране. Въпреки това, в области на знанието, където няма напълно завършени формализирани теории (най-новото във физиката, биологията, икономиката, социологията, психологията и повечето други области), създаването на смислени модели става драматично по-трудно.

Съдържателна класификация на моделите

Нито една хипотеза в науката не може да бъде доказана веднъж завинаги. Ричард Файнман формулира това много ясно:

„Винаги имаме възможност да опровергаем една теория, но имайте предвид, че никога не можем да докажем, че тя е вярна. Да предположим, че сте изложили успешна хипотеза, изчислили сте накъде води тя и сте установили, че всички нейни последствия са потвърдени експериментално. Това означава ли, че теорията ви е вярна? Не, това просто означава, че не сте успели да го опровергаете.

Ако се изгради модел от първия тип, това означава, че той временно се приема за истина и човек може да се концентрира върху други проблеми. Това обаче не може да бъде точка в изследването, а само временна пауза: статусът на модел от първия тип може да бъде само временен.

Тип 2: Феноменологичен модел (ние се държим сякаш…)

Феноменологичният модел съдържа механизъм за описание на феномен. Този механизъм обаче не е достатъчно убедителен, не може да бъде достатъчно потвърден от наличните данни или не се вписва добре в съществуващите теории и натрупаните знания за обекта. Следователно феноменологичните модели имат статут на временни решения. Смята се, че отговорът все още е неизвестен и търсенето на „истинските механизми“ трябва да продължи. Пайърлс включва например калоричния модел и кварковия модел на елементарните частици като втори тип.

Ролята на модела в изследването може да се промени с течение на времето и може да се случи нови данни и теории да потвърдят феноменологичните модели и те да бъдат издигнати до статуса на хипотеза. По същия начин новите знания могат постепенно да влязат в конфликт с модели-хипотези от първия тип и те могат да бъдат преведени във втория. Така кварковият модел постепенно преминава в категорията на хипотезите; атомизмът във физиката възниква като временно решение, но с хода на историята става първият тип. Но етерните модели са си проправили път от тип 1 към тип 2 и сега са извън науката.

Идеята за опростяване е много популярна при изграждането на модели. Но опростяването идва под различни форми. Peierls идентифицира три вида опростявания в моделирането.

Тип 3: Приближение (считаме нещо много голямо или много малко)

Ако е възможно да се съставят уравнения, които описват изследваната система, това не означава, че те могат да бъдат решени дори с помощта на компютър. Често срещана техника в този случай е използването на приближения (модели тип 3). Между тях модели на линейна реакция. Уравненията се заменят с линейни. Стандартен пример е законът на Ом.

Тук идва тип 8, който е широко разпространен в математическите модели на биологични системи.

Тип 8: Демонстрация на функции (основното е да се покаже вътрешната последователност на възможността)

Това също са мисловни експериментис въображаеми същности, демонстриращи това предполагаемо явлениев съответствие с основните принципи и вътрешно последователно. Това е основната разлика от моделите от тип 7, които разкриват скрити противоречия.

Един от най-известните от тези експерименти е геометрията на Лобачевски (Лобачевски я нарича „въображаема геометрия“). Друг пример е масовото производство на формално кинетични модели на химически и биологични вибрации, автовълни и т.н. Парадоксът на Айнщайн-Подолски-Розен е замислен като модел от тип 7, за да демонстрира непоследователност квантова механика. По напълно непланиран начин в крайна сметка се превърна в модел от тип 8 - демонстрация на възможността за квантово телепортиране на информация.

Пример

Помислете за механична система, състояща се от пружина, фиксирана в единия край, и маса от маса, прикрепена към свободния край на пружината. Ще приемем, че товарът може да се движи само по посока на оста на пружината (например движението се извършва по пръта). Нека изградим математически модел на тази система. Ще опишем състоянието на системата чрез разстоянието от центъра на товара до неговото равновесно положение. Нека опишем взаимодействието на пружината и използваното натоварване Закон на Хук() и след това използвайте втория закон на Нютон, за да го изразите под формата на диференциално уравнение:

където означава втората производна на по отношение на времето: .

Полученото уравнение описва математическия модел на разглежданата физическа система. Този модел се нарича "хармоничен осцилатор".

Според формалната класификация този модел е линеен, детерминиран, динамичен, концентриран, непрекъснат. В процеса на изграждането му направихме много предположения (за липсата на външни сили, липсата на триене, малките отклонения и т.н.), които в действителност може да не са изпълнени.

По отношение на реалността най-често това е модел тип 4 опростяване(„ще пропуснем някои подробности за яснота“), тъй като някои основни универсални характеристики (например разсейване) са пропуснати. До известно приближение (да речем, докато отклонението на товара от равновесието е малко, с ниско триене, за не много време и при определени други условия), такъв модел описва реална механична система доста добре, тъй като отхвърлените фактори имат незначителен ефект върху поведението му. Моделът обаче може да бъде прецизиран, като се вземат предвид някои от тези фактори. Това ще доведе до нов модел, с по-широк (макар и отново ограничен) обхват на приложимост.

Въпреки това, при прецизиране на модела, сложността на неговото математическо изследване може да се увеличи значително и да направи модела практически безполезен. Често по-простият модел позволява по-добро и по-задълбочено изследване на реална система от по-сложния (и формално „по-правилен“).

Ако приложим модела на хармоничния осцилатор към обекти, далеч от физиката, неговият съществен статус може да бъде различен. Например, когато се прилага този модел към биологични популации, той най-вероятно трябва да бъде класифициран като тип 6 аналогия(„нека вземем предвид само някои характеристики“).

Твърди и меки модели

Хармоничният осцилатор е пример за така наречения „твърд“ модел. Получава се в резултат на силна идеализация на реална физическа система. За да разрешим въпроса за неговата приложимост, е необходимо да разберем колко значими са факторите, които сме пренебрегнали. С други думи, необходимо е да се изследва „мекият“ модел, който се получава чрез малко смущение на „твърдия“. Тя може да бъде дадена например чрез следното уравнение:

Ето някаква функция, която може да вземе предвид силата на триене или зависимостта на коефициента на твърдост на пружината от степента на нейното разтягане - някакъв малък параметър. В момента не се интересуваме от явната форма на функцията. Ако докажем, че поведението на мекия модел не се различава фундаментално от поведението на твърдия (независимо от изричния тип смущаващи фактори, ако те са достатъчно малки), проблемът ще бъде намален до изучаване на твърдия модел. В противен случай прилагането на резултатите, получени от изследването на твърдия модел, ще изисква допълнителни изследвания. Например, решението на уравнението на хармоничен осцилатор е функции от формата , тоест трептения с постоянна амплитуда. Следва ли от това, че реалният осцилатор ще трепти неограничено с постоянна амплитуда? Не, защото разглеждайки система с произволно малко триене (винаги присъстващо в реална система), получаваме затихнали трептения. Поведението на системата се промени качествено.

Ако една система поддържа своето качествено поведение при малки смущения, се казва, че е структурно стабилна. Хармоничният осцилатор е пример за структурно нестабилна (негруба) система. Този модел обаче може да се използва за изследване на процеси за ограничени периоди от време.

Универсалност на моделите

Най-важните математически модели обикновено имат важното свойство многофункционалност: Фундаментално различни реални явления могат да бъдат описани с един и същ математически модел. Например, хармоничният осцилатор описва не само поведението на натоварване върху пружина, но и други колебателни процеси, често от съвсем различно естество: малки колебания на махало, колебания в нивото на течност в съд с форма на А , или промяна в силата на тока в осцилаторна верига. Така, изучавайки един математически модел, ние веднага изучаваме цял клас явления, описани от него. Това е този изоморфизъм на законите, изразени чрез математически модели в различни сегменти научно познание, вдъхновение за Лудвиг фон Берталанфи да създаде „Общата теория на системите“.

Преки и обратни задачи на математическото моделиране

Има много проблеми, свързани с математическото моделиране. Първо, трябва да излезете с основна диаграма на моделирания обект, да го възпроизведете в рамките на идеализациите на тази наука. Така вагонът се превръща в система от плочи и по-сложни тела от различни материали, всеки материал е специфициран като негова стандартна механична идеализация (плътност, модули на еластичност, стандартни якостни характеристики), след което се съставят уравнения, по пътя някои детайли се отхвърлят като маловажни, правят се изчисления, сравняват се с измерванията, моделът се прецизира, и така нататък. Въпреки това, за да се разработят технологии за математическо моделиране, е полезно този процес да се раздели на основните му компоненти.

Традиционно има два основни класа проблеми, свързани с математически модели: директни и обратни.

Директна задача: структурата на модела и всички негови параметри се считат за известни, основната задача е да се проведе изследване на модела, за да се извлекат полезни знания за обекта. Какво статично натоварване ще издържи мостът? Как ще реагира на динамично натоварване (например на марш на рота войници или на преминаване на влак с различни скорости), как самолетът ще преодолее звуковата бариера, дали ще се разпадне от трептене - това са типични примери за директен проблем. Задаването на правилния пряк проблем (задаването на правилния въпрос) изисква специално умение. Ако не се задават правилните въпроси, един мост може да се срути, дори ако е изграден добър модел за неговото поведение. И така, през 1879 г. във Великобритания се срути метален мост през река Тей, чиито дизайнери построиха модел на моста, изчислиха, че има 20-кратен коефициент на безопасност за действието на полезния товар, но забравиха за ветровете постоянно духа на тези места. И след година и половина рухна.

В най-простия случай (например уравнение на един осцилатор) директният проблем е много прост и се свежда до явно решение на това уравнение.

Обратна задача: известни са много възможни модели, трябва да се избере конкретен модел въз основа на допълнителни данни за обекта. Най-често структурата на модела е известна и трябва да се определят някои неизвестни параметри. Допълнителна информацияможе да се състои от допълнителни емпирични данни или изисквания към обекта ( проблем с дизайна). Допълнителни данни могат да пристигнат независимо от процеса на вземане на решение обратна задача (пасивно наблюдение) или да бъде резултат от експеримент, специално планиран по време на решението ( активно наблюдение).

Един от първите примери за майсторско решение на обратна задача с най-пълното използване на наличните данни беше методът, конструиран от И. Нютон за възстановяване на силите на триене от наблюдаваните затихнали трептения.

Друг пример е математическата статистика. Задачата на тази наука е да разработи методи за записване, описание и анализ на данни от наблюдения и експерименти с цел изграждане на вероятностни модели на масови случайни явления. Тези. наборът от възможни модели е ограничен до вероятностни модели. При конкретни задачи наборът от модели е по-ограничен.

Системи за компютърна симулация

За подпомагане на математическото моделиране са разработени системи за компютърна математика, например Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim и др. Те ви позволяват да създавате формални и блокови модели на прости и сложни процеси и устройства и лесно да променяте параметрите на модела по време на моделиране. Блокови моделиса представени от блокове (най-често графични), чийто набор и връзка се уточняват от схемата на модела.

Допълнителни примери

Моделът на Малтус

Темпът на растеж е пропорционален на текущия размер на населението. Описва се с диференциалното уравнение

където е определен параметър, определен от разликата между раждаемостта и смъртността. Решението на това уравнение е експоненциална функция. Ако раждаемостта надвишава смъртността (), размерът на населението се увеличава неограничено и много бързо. Ясно е, че реално това няма как да се случи поради ограничен ресурс. Когато се достигне определен критичен размер на популацията, моделът престава да бъде адекватен, тъй като не отчита ограничените ресурси. Усъвършенстване на модела на Малтус може да бъде логистичен модел, който се описва от диференциалното уравнение на Верхулст

където е „равновесният” размер на населението, при който раждаемостта точно се компенсира от смъртността. Размерът на популацията в такъв модел клони към равновесна стойност и това поведение е структурно стабилно.

Система хищник-жертва

Да кажем, че в даден район живеят два вида животни: зайци (ядат растения) и лисици (ядат зайци). Нека броят на зайците, броят на лисиците. Използвайки модела на Малтус с необходимите изменения, за да вземем предвид изяждането на зайци от лисици, стигаме до следната система, наречена модели Тави - Volterra:

Тази система има равновесно състояние, когато броят на зайците и лисиците е постоянен. Отклонението от това състояние води до флуктуации в броя на зайците и лисиците, подобни на флуктуациите на хармоничен осцилатор. Както при хармоничния осцилатор, това поведение не е структурно стабилно: малка промяна в модела (например, като се вземат предвид ограничените ресурси, необходими на зайците) може да доведе до качествена промяна в поведението. Например, равновесното състояние може да стане стабилно и колебанията в числата ще изчезнат. Възможна е и обратната ситуация, когато всяко малко отклонение от равновесното положение ще доведе до катастрофални последици, до пълното изчезване на един от видовете. Моделът Volterra-Lotka не отговаря на въпроса кой от тези сценарии се реализира: тук са необходими допълнителни изследвания.

Бележки

„Математическо представяне на реалността“ (Encyclopaedia Britanica)
Новик И. Б., По философските въпроси на кибернетичното моделиране. М., Знание, 1964.
Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: учеб. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
Самарски А. А., Михайлов А. П.Математическо моделиране. Идеи. Методи. Примери. - 2-ро изд., рев. - М.: Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Мишкис А. Д., Елементи на теорията на математическите модели. - 3-то издание, рев. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
Севостьянов, А.Г. Моделиране технологични процеси: учебник / А.Г. Севостьянов, П.А. Севостьянов. – М.: Лека и хранителна промишленост, 1984. – 344 с.
Уикиречник: математически модел
CliffsNotes.com. Речник на науката за Земята. 20 септември 2010 г
Подходи за намаляване на модела и грубо зърно за многомащабни явления, Springer, серия Complexity, Берлин-Хайделберг-Ню Йорк, 2006. XII+562 стр. ISBN 3-540-35885-4
„Една теория се счита за линейна или нелинейна в зависимост от вида на математическия апарат – линеен или нелинеен – и какъв вид линейни или нелинейни математически модели използва. ...без да отричам последното. Един съвременен физик, ако трябваше да пресъздаде дефиницията на толкова важна същност като нелинейността, най-вероятно би постъпил по различен начин и, давайки предпочитание на нелинейността като по-важната и широко разпространена от двете противоположности, би определил линейността като „не нелинейност." Данилов Ю. А., Лекции по нелинейна динамика. Елементарно въведение. Серия „Синергетика: от миналото към бъдещето“. издание 2. - М.: URSS, 2006. - 208 с. ISBN 5-484-00183-8
„Динамичните системи, моделирани чрез краен брой обикновени диференциални уравнения, се наричат концентрирани или точкови системи. Те се описват с помощта на крайномерно фазово пространство и се характеризират с краен брой степени на свобода. Една и съща система при различни условия може да се счита за концентрирана или разпределена. Математически модели на разпределени системи са частични диференциални уравнения, интегрални уравнения или обикновени уравнения със закъснение. Броят на степените на свобода на една разпределена система е безкраен и е необходим безкраен бройданни за определяне на състоянието му." Анищенко В. С., Динамични системи, Сорос образователен журнал, 1997, № 11, стр. 77-84.
„В зависимост от характера на процесите, които се изучават в системата S, всички видове моделиране могат да бъдат разделени на детерминистично и стохастично, статично и динамично, дискретно, непрекъснато и дискретно-непрекъснато. Детерминистично моделиранепоказва детерминистични процеси, т.е. процеси, при които се предполага липсата на всякакви случайни влияния; стохастичното моделиране изобразява вероятностни процеси и събития. ... Статичното моделиране служи за описване на поведението на обект във всеки момент от времето, а динамичното моделиране отразява поведението на обект във времето. Дискретното моделиране се използва за описание на процеси, които се предполага, че са дискретни, съответно непрекъснатото моделиране ни позволява да отразяваме непрекъснати процеси в системите, а дискретно-непрекъснатото моделиране се използва за случаите, когато искат да подчертаят наличието както на дискретни, така и на непрекъснати процеси. ” Советов Б. Я., Яковлев С. А. ISBN 5-06-003860-2
Обикновено математическият модел отразява структурата (устройството) на моделирания обект, свойствата и връзките на компонентите на този обект, които са от съществено значение за целите на изследването; такъв модел се нарича структурен. Ако моделът отразява само как функционира обектът - например как реагира на външни въздействия - тогава той се нарича функционален или преносно черна кутия. Възможни са и комбинирани модели. Мишкис А. Д. ISBN 978-5-484-00953-4
„Очевидният, но най-важен начален етап от конструирането или избора на математически модел е получаването на възможно най-ясна картина за обекта, който се моделира, и усъвършенстването на неговия смислен модел въз основа на неформални дискусии. На този етап не трябва да пестите време и усилия, от това до голяма степен зависи успехът на цялото проучване. Неведнъж се е случвало значителна работа, изразходвана за решаване на математически проблем, да се окаже неефективна или дори напразно изразходвана поради недостатъчно внимание към тази страна на въпроса. Мишкис А. Д., Елементи на теорията на математическите модели. - 3-то издание, рев. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4, стр. 35.
« Описание на концептуалния модел на системата.На този подетап на изграждане на системен модел: а) концептуалният модел М се описва с абстрактни термини и концепции; б) дадено е описание на модела с помощта на стандартни математически схеми; в) хипотезите и предположенията се приемат окончателно; г) изборът на процедура за приближаване на реални процеси при конструиране на модел е обоснован. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: учеб. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2, стр. 93.
Блехман И. И., Мишкис А. Д., Пановко Н. Г., Приложна математика: Предмет, логика, особености на подходите. С примери от механиката: Урок. - 3-то издание, рев. и допълнителни - М.: URSS, 2006. - 376 с. ISBN 5-484-00163-3, Глава 2.

ЗАПИС НА ЛЕКЦИЯТА

Според тарифата

"Математическо моделиране на машини и транспортни системи"

В дисциплината се разглеждат въпроси, свързани с математическото моделиране, формата и принципа на представяне на математическите модели. Разглеждат се числени методи за решаване на едномерни нелинейни системи. Разглеждат се въпроси на компютърното моделиране и изчислителния експеримент. Разглеждат се методи за обработка на данни, получени в резултат на научни или промишлени експерименти; изследване на различни процеси, идентифициране на закономерности в поведението на обекти, процеси и системи. Разгледани са методи за интерполация и апроксимация на експериментални данни. Разглеждат се въпроси, свързани с компютърното моделиране и решаване на нелинейни динамични системи. По-специално се разглеждат методите за числено интегриране и решаване на обикновени диференциални уравнения от първи, втори и по-високи редове.

Лекция: Математическо моделиране. Форма и принципи на представяне на математически модели

Лекцията обхваща общи въпросиматематическо моделиране. Дадена е класификация на математическите модели.

Компютърът твърдо навлезе в живота ни и практически няма област от човешката дейност, където да не се използва компютър. Сега компютрите се използват широко в процеса на създаване и изследване на нови машини, нови технологични процеси и търсене на техните оптимални възможности; при решаване на икономически проблеми, при решаване на проблеми на планирането и управлението на производството на различни нива. Създаването на големи обекти в ракетната техника, самолетостроенето, корабостроенето, както и проектирането на язовири, мостове и др., по принцип е невъзможно без използването на компютри.

За да се използва компютър за решаване на приложни проблеми, първо, приложният проблем трябва да бъде „преведен“ на формален математически език, т.е. за реален обект, процес или система трябва да бъде изграден негов математически модел.

Думата "Модел" идва от латинския modus (копие, изображение, контур). Моделирането е замяната на някакъв обект A с друг обект B. Замененият обект A се нарича оригинален или моделиращ обект, а заместващият B се нарича модел. С други думи, моделът е заместващ обект на оригиналния обект, който осигурява изследването на някои свойства на оригинала.

Целта на моделирането е да се получи, обработи, представи и използва информация за обекти, които взаимодействат помежду си и външна среда; и моделът тук действа като средство за разбиране на свойствата и моделите на поведение на даден обект.

Моделирането се използва широко в различни области на човешката дейност, особено в областта на дизайна и управлението, където процесите на вземане на ефективни решения въз основа на получената информация са специални.

Моделът винаги се изгражда с определена цел, която влияе върху това кои свойства на обективно явление са значими и кои не. Моделът е като проекция на обективната реалност от определен ъгъл. Понякога, в зависимост от целите, можете да получите редица проекции на обективната реалност, които влизат в конфликт. Това е характерно, като правило, за сложни системи, в които всяка проекция избира това, което е съществено за определена цел от набор от несъществени.

Теорията на моделирането е клон на науката, който изучава начини за изследване на свойствата на оригинални обекти въз основа на замяната им с други моделни обекти. Теорията на моделирането се основава на теорията на подобието. При моделирането няма абсолютно сходство и се стреми само да гарантира, че моделът отразява достатъчно добре аспекта на функционирането на обекта, който се изследва. Абсолютно сходство може да възникне само когато един обект се замени с друг, напълно същият.

Всички модели могат да бъдат разделени на два класа:

1. истински,

2. идеален.

От своя страна реалните модели могат да бъдат разделени на:

1. в пълен мащаб,

2. физически,

3. математически.

Идеалните модели могат да бъдат разделени на:

1. визуален,

2. емблематичен,

3. математически.

Реалните пълномащабни модели са реални обекти, процеси и системи, върху които се извършват научни, технически и промишлени експерименти.

Реалните физически модели са модели, манекени, които се възпроизвеждат физични свойстваоригинали (кинематични, динамични, хидравлични, термични, електрически, светлинни модели).

Реално математическите са аналогови, структурни, геометрични, графични, цифрови и кибернетични модели.

Идеалните визуални модели са диаграми, карти, чертежи, графики, графики, аналози, структурни и геометрични модели.

Идеалните знакови модели са символи, азбука, езици за програмиране, подредена нотация, топологична нотация, мрежово представяне.

Идеалните математически модели са аналитични, функционални, симулационни и комбинирани модели.

В горната класификация някои модели имат двойна интерпретация (например аналогова). Всички модели, с изключение на пълномащабните, могат да бъдат комбинирани в един клас ментални модели, тъй като те са продукт абстрактно мисленечовек.

Нека се спрем на един от най-универсалните видове моделиране - математическото, което свързва симулирания физически процес със система от математически зависимости, чието решение ни позволява да получим отговор на въпроса за поведението на даден обект, без да създаваме физически модел, който често се оказва скъп и неефективен.

Математическото моделиране е средство за изучаване на реален обект, процес или система чрез замяната им с математически модел, който е по-удобен за експериментално изследване с помощта на компютър.

Математическият модел е приблизително представяне на реални обекти, процеси или системи, изразено в математически термини и запазващо основните характеристики на оригинала. Математическите модели в количествена форма, използвайки логически и математически конструкции, описват основните свойства на обект, процес или система, неговите параметри, вътрешни и външни отношения.

Като цяло, математическият модел на реален обект, процес или система се представя като система от функционали

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

където X е векторът на входните променливи, X= t,

Y - вектор на изходните променливи, Y= t,

Z - вектор външни влияния, Z= t ,

t - времева координата.

Изграждането на математически модел се състои в определяне на връзките между определени процеси и явления, създаване на математически апарат, който позволява да се изрази количествено и качествено връзката между определени процеси и явления, между физическите величини, които представляват интерес за специалист, и факторите, влияещи върху краен резултат.

Обикновено има толкова много от тях, че е невъзможно да се въведе целият им набор в модела. При изграждането на математически модел изследователската задача е да се идентифицират и изключат от разглеждането фактори, които не влияят значително на крайния резултат (математическият модел обикновено включва значително по-малък брой фактори, отколкото в действителност). Въз основа на експерименталните данни се излагат хипотези за връзката между величините, изразяващи крайния резултат, и факторите, въведени в математическия модел. Такава връзка често се изразява чрез системи от частични диференциални уравнения (например в задачи на механиката твърдо, течност и газ, теория на филтрацията, топлопроводимост, теория на електростатичните и електродинамичните полета).

Крайната цел на този етап е формулирането на математическа задача, чието решение с необходимата точност изразява резултатите от интерес за специалиста.

Формата и принципите на представяне на математическия модел зависят от много фактори.

Въз основа на принципите на конструиране математическите модели се разделят на:

1. аналитичен;

2. подражание.

В аналитичните модели процесите на функциониране на реални обекти, процеси или системи се записват под формата на изрични функционални зависимости.

Аналитичният модел е разделен на типове в зависимост от математическия проблем:

1. уравнения (алгебрични, трансцендентални, диференциални, интегрални),

2. апроксимационни проблеми (интерполация, екстраполация, числено интегриране и диференциране),

3. проблеми с оптимизацията,

4. стохастични проблеми.

Въпреки това, тъй като обектът на моделиране става по-сложен, изграждането на аналитичен модел се превръща в неразрешим проблем. Тогава изследователят е принуден да използва симулационно моделиране.

При симулационното моделиране функционирането на обекти, процеси или системи се описва от набор от алгоритми. Алгоритмите симулират реални елементарни явления, които изграждат процес или система, като същевременно запазват своята логическа структура и последователност във времето. Симулационното моделиране позволява от изходните данни да се получи информация за състоянията на процес или система в определени моменти от време, но прогнозирането на поведението на обекти, процеси или системи тук е трудно. Можем да кажем, че симулационните модели са компютърно базирани изчислителни експерименти с математически модели, които имитират поведението на реални обекти, процеси или системи.

В зависимост от естеството на реалните процеси и системи, които се изучават, математическите модели могат да бъдат:

1. детерминистичен,

2. стохастичен.

При детерминистичните модели се приема, че няма случайни влияния, елементите на модела (променливи, математически връзки) са доста точно установени и поведението на системата може да бъде точно определено. При конструирането на детерминирани модели най-често се използват алгебрични уравнения, интегрални уравнения и матрична алгебра.

Стохастичният модел отчита случайния характер на процесите в изследваните обекти и системи, който се описва с методите на теорията на вероятностите и математическата статистика.

В зависимост от вида на входната информация, моделите се разделят на:

1. непрекъснато,

2. дискретен.

Ако информацията и параметрите са непрекъснати и математическите връзки са стабилни, тогава моделът е непрекъснат. И обратно, ако информацията и параметрите са дискретни, а връзките са нестабилни, то математическият модел е дискретен.

Въз основа на поведението на моделите във времето те се разделят на:

1. статичен,

2. динамичен.

Статичните модели описват поведението на обект, процес или система във всеки момент от време. Динамичните модели отразяват поведението на обект, процес или система във времето.

Въз основа на степента на съответствие между математическия модел и реален обект, процес или система, математическите модели се разделят на:

1. изоморфен (идентичен по форма),

2. хомоморфни (различни по форма).

Един модел се нарича изоморфен, ако има пълно съответствие елемент по елемент между него и реален обект, процес или система. Хомоморфни – ако има съответствие само между най-значимите компонентиобект и модел.

В бъдеще, за да дефинираме накратко вида на математическия модел в горната класификация, ще използваме следната нотация:

Първа буква:

D - детерминистичен,

C - стохастичен.

Второ писмо:

N - непрекъснато,

D - дискретни.

Трето писмо:

А - аналитичен,

И – имитация.

1. Няма (по-точно не се отчита) влиянието на случайни процеси, т.е. детерминиран модел (D).

2. Информацията и параметрите са непрекъснати, т.е. модел - непрекъснат (N),

3. Функционирането на модела на коляновия механизъм се описва под формата на нелинейни трансцендентални уравнения, т.е. модел - аналитичен (A)

2. Лекция: Особености на конструиране на математически модели

Лекцията описва процеса на конструиране на математически модел. Даден е словесен алгоритъм на процеса.

Математическите модели в количествена форма, използвайки логически и математически конструкции, описват основните свойства на обект, процес или система, неговите параметри, вътрешни и външни връзки.

За да изградите математически модел, трябва:

1. внимателно анализирайте реален обект или процес;

2. изтъкват най-съществените му характеристики и свойства;

3. дефинирайте променливи, т.е. параметри, чиито стойности влияят върху основните характеристики и свойства на обекта;

4. описват зависимостта на основните свойства на обект, процес или система от стойностите на променливите, използвайки логико-математически връзки (уравнения, равенства, неравенства, логико-математически конструкции);

5. подчертават вътрешните връзки на обект, процес или система с помощта на ограничения, уравнения, равенства, неравенства, логически и математически конструкции;

6. идентифицира външни връзки и ги описва с помощта на ограничения, уравнения, равенства, неравенства, логически и математически конструкции.

Математическото моделиране, в допълнение към изучаването на обект, процес или система и изготвянето на математическото му описание, също включва:

1. изграждане на алгоритъм, който моделира поведението на обект, процес или система;

2. проверка на адекватността на модела и обекта, процеса или системата въз основа на изчислителни и пълномащабни експерименти;

3. настройка на модела;

4. използване на модела.

Математическото описание на изследваните процеси и системи зависи от:

1. природата на реален процес или система и се съставя въз основа на законите на физиката, химията, механиката, термодинамиката, хидродинамиката, електротехниката, теорията на пластичността, теорията на еластичността и др.

2. необходимата достоверност и точност на изследването и изследването на реални процеси и системи.

На етапа на избор на математически модел се установяват: линейност и нелинейност на обект, процес или система, динамичност или статичност, стационарност или нестационарност, както и степента на детерминираност на обекта или процеса, който се изследва. При математическото моделиране човек умишлено се абстрахира от специфичната физическа природа на обекти, процеси или системи и се фокусира главно върху изследването на количествените зависимости между величините, които описват тези процеси.

Един математически модел никога не е напълно идентичен с разглеждания обект, процес или система. Въз основа на опростяване и идеализиране, това е приблизително описание на обекта. Следователно резултатите, получени от анализа на модела, са приблизителни. Тяхната точност се определя от степента на адекватност (съответствие) между модела и обекта.

Изграждането на математически модел обикновено започва с изграждането и анализа на най-простия, груб математически модел на разглеждания обект, процес или система. В бъдеще, ако е необходимо, моделът се усъвършенства и съответствието му с обекта се прави по-пълно.

Да вземем един прост пример. Необходимо е да се определи площта на бюрото. Обикновено това се прави чрез измерване на неговата дължина и ширина и след това умножаване на получените числа. Тази елементарна процедура всъщност означава следното: реален обект (повърхност на маса) се заменя с абстрактен математически модел - правоъгълник. Размерите, получени чрез измерване на дължината и ширината на повърхността на масата, се присвояват на правоъгълника, а площта на такъв правоъгълник приблизително се приема за необходимата площ на масата.

Въпреки това, правоъгълният модел за бюро е най-простият, най-груб модел. Ако подходите по-сериозно към проблема, преди да използвате правоъгълен модел за определяне на площта на масата, този модел трябва да бъде проверен. Проверките могат да се извършват по следния начин: измерете дължините на противоположните страни на масата, както и дължините на нейните диагонали и ги сравнете една с друга. Ако с необходимата степен на точност дължините на противоположните страни и дължините на диагоналите са равни по двойки, тогава повърхността на масата наистина може да се разглежда като правоъгълник. В противен случай правоъгълният модел ще трябва да бъде отхвърлен и заменен с общ четириъгълен модел. При по-високи изисквания за точност може да се наложи моделът да се прецизира още повече, например да се вземе предвид закръгляването на ъглите на масата.

С помощта на това прост примербеше показано, че математическият модел не се определя еднозначно от обекта, процеса или системата, които се изучават. За една и съща таблица можем да приемем или модел на правоъгълник, или по-сложен модел на общ четириъгълник, или четириъгълник със заоблени ъгли. Изборът на един или друг модел се определя от изискването за точност. С нарастване на точността моделът трябва да се усложнява, като се отчитат все нови и нови особености на обекта, процеса или системата, които се изследват.

Нека разгледаме друг пример: изследване на движението на коляновия механизъм (фиг. 2.1).

Ориз. 2.1.

За кинематичния анализ на този механизъм, на първо място, е необходимо да се изгради неговият кинематичен модел. За това:

1. Заменяме механизма с кинематичната му схема, където всички връзки са заменени с твърди връзки;

2. Използвайки тази диаграма, извеждаме уравнението на движението на механизма;

3. Диференцирайки последните, получаваме уравненията на скоростите и ускорението, които са диференциални уравнения от 1-ви и 2-ри ред.

Нека напишем тези уравнения:

където C 0 е крайната дясна позиция на плъзгача C:

r – радиус на манивела AB;

l – дължина на мотовилката BC;

– ъгъл на завъртане на манивелата;

Получените трансцендентални уравнения представляват математически модел на движението на плосък аксиален колянов механизъм, базиран на следните опростяващи предположения:

1. не се интересувахме от структурните форми и разположението на масите, включени в механизма на телата, и заменихме всички тела на механизма с прави сегменти. Всъщност всички връзки на механизма имат маса и доста сложна форма. Например свързващият прът е сложен възел, чиято форма и размери, разбира се, ще повлияят на движението на механизма;

2. при конструирането на математически модел на движението на разглеждания механизъм също не взехме предвид еластичността на телата, включени в механизма, т.е. всички връзки се разглеждат като абстрактни абсолютно твърди тела. В действителност всички тела, включени в механизма, са еластични тела. Когато механизмът се движи, те по някакъв начин ще се деформират и дори могат да възникнат еластични вибрации в тях. Всичко това, разбира се, ще повлияе и на движението на механизма;

3. не сме взели под внимание производствената грешка на връзките, пропуските в кинематичните двойки A, B, C и т.н.

Ето защо е важно още веднъж да се подчертае, че колкото по-високи са изискванията за точност на резултатите от решаването на даден проблем, толкова по-голяма е необходимостта да се вземат предвид характеристиките на обекта, процеса или системата, които се изучават при конструирането на математически модел. Важно е обаче да спрете тук навреме, тъй като сложен математически модел може да се превърне в труден за решаване проблем.

Един модел се конструира най-лесно, когато законите, които определят поведението и свойствата на даден обект, процес или система, са добре известни и има богат практически опит в тяхното приложение.

| Повече ▼ трудна ситуациянастъпва, когато познанията ни за изучавания обект, процес или система са недостатъчни. В този случай при конструирането на математически модел е необходимо да се направят допълнителни предположения, които са от естеството на хипотези, такъв модел се нарича хипотетичен. Изводите, получени в резултат на изследването на такъв хипотетичен модел, са условни. За да се проверят заключенията, е необходимо да се сравнят резултатите от изучаването на модела на компютър с резултатите от пълномащабен експеримент. По този начин въпросът за приложимостта на определен математически модел за изследване на разглеждания обект, процес или система не е математически въпрос и не може да бъде решен с математически методи.

Основният критерий за истината е експериментът, практиката в най-широкия смисъл на думата.

Изграждането на математически модел в приложните задачи е един от най-сложните и важни етапи на работа. Опитът показва, че в много случаи изборът на правилния модел означава решаване на проблема повече от половината. Трудността на този етап е, че изисква комбинация от математически и специални знания. Ето защо е много важно при решаването на приложни задачи математиците да имат специални познания за обекта, а техните партньори, специалисти, да имат определена математическа култура, изследователски опит в своята област, познания по компютри и програмиране.

Лекция 3. Компютърно моделиране и изчислителен експеримент. Решаване на математически модели

Компютърно моделиране как нов методнаучните изследвания се основават на:

1. изграждане на математически модели за описание на изследваните процеси;

2. използване на най-новите компютри с висока скорост (милиони операции в секунда) и способни да водят диалог с човек.

Същността на компютърното моделиране е следната: въз основа на математически модел се извършва серия от изчислителни експерименти с помощта на компютър, т.е. изследват се свойствата на обекти или процеси, намират се техните оптимални параметри и режими на работа и се усъвършенства моделът. Например, разполагайки с уравнение, което описва хода на определен процес, можете да промените неговите коефициенти, начални и гранични условия и да проучите как ще се държи обектът. Освен това е възможно да се предвиди поведението на даден обект при различни условия.

Изчислителният експеримент ви позволява да замените скъп пълномащабен експеримент с компютърни изчисления. Позволява за кратко време и без значителни материални разходи да се проучат голям брой опции за проектиран обект или процес за различни режими на неговата работа, което значително намалява времето, необходимо за разработване на сложни системи и тяхното внедряване в производството .

Компютърното моделиране и изчислителният експеримент като нов метод на научно изследване позволява да се подобри математическият апарат, използван при конструирането на математически модели, и позволява, използвайки математически методи, да изясни и усложни математическите модели. Най-обещаващото за провеждане на изчислителен експеримент е използването му за решаване на големи научни, технически и социално-икономически проблеми на нашето време (проектиране на реактори за атомни електроцентрали, проектиране на язовири и водноелектрически централи, магнитохидродинамични преобразуватели на енергия и в областта на икономиката - съставяне на балансиран план за отрасъл, регион, за страната и др.).

В някои процеси, при които естественият експеримент е опасен за живота и здравето на хората, изчислителният експеримент е единственият възможен (термоядрен синтез, изследване на космоса, проектиране и изследване на химическата и други индустрии).

За да се провери адекватността на математическия модел и реалния обект, процес или система, резултатите от компютърното изследване се сравняват с резултатите от експеримент върху прототип на пълномащабен модел. Резултатите от тестовете се използват за коригиране на математическия модел или се решава въпросът за приложимостта на конструирания математически модел за проектиране или изследване на определени обекти, процеси или системи.

В заключение още веднъж подчертаваме, че компютърното моделиране и изчислителният експеримент позволяват да се намали изследването на „нематематически“ обект до решаването на математически проблем. Това отваря възможността за използването на добре развит математически апарат в комбинация с мощна изчислителна технология за изучаването му. Това е основата за използването на математиката и компютрите за разбиране на законите на реалния свят и тяхното използване на практика.

В проблемите на проектирането или изучаването на поведението на реални обекти, процеси или системи, математическите модели обикновено са нелинейни, т.к. те трябва да отразяват реални физически нелинейни процеси, протичащи в тях. Освен това параметрите (променливите) на тези процеси са свързани помежду си с физически нелинейни закони. Ето защо в проблемите на проектирането или изучаването на поведението на реални обекти, процеси или системи най-често се използват математически модели като ДНК.

Според класификацията, дадена в лекция 1:

D – моделът е детерминиран, липсва влиянието на случайни процеси (по-точно не се отчита).

N – непрекъснат модел, информацията и параметрите са непрекъснати.

А – аналитичен модел, функционирането на модела се описва под формата на уравнения (линейни, нелинейни, системи от уравнения, диференциални и интегрални уравнения).

И така, изградихме математически модел на разглеждания обект, процес или система, т.е. представи приложния проблем като математически. След това започва вторият етап от решаването на приложния проблем - търсенето или разработването на метод за решаване на формулирания математически проблем. Методът трябва да е удобен за внедряването му на компютър и да осигурява необходимото качество на решението.

Всички методи за решаване на математически задачи могат да бъдат разделени на 2 групи:

1. точни методи за решаване на проблеми;

2. числени методи за решаване на задачи.

При точните методи за решаване на математически задачи отговорът може да се получи под формата на формули.

Например пресмятане на корените квадратно уравнение:

или, например, изчисляване на производни функции:

или изчисляване на определен интеграл:

Въпреки това, като заместваме числа във формулата като крайни десетични дроби, все още получаваме приблизителни стойности на резултата.

За повечето проблеми, срещани на практика, точните методи за решаване са или неизвестни, или предоставят много тромави формули. Те обаче не винаги са необходими. Един приложен проблем може да се счита за практически решен, ако сме в състояние да го решим с необходимата степен на точност.

За решаване на такива проблеми са разработени числени методи, при които решаването на сложни математически задачи се свежда до последователно изпълнение на голям брой прости аритметични операции. Прякото развитие на числените методи принадлежи на изчислителната математика.

Пример за числен метод е методът на правоъгълниците за приблизително интегриране, който не изисква изчисляване на първоизводната за интегралната функция. Вместо интеграла се изчислява крайната квадратурна сума:

x 1 =a – долна граница на интегриране;

x n+1 =b – горна граница на интегриране;

n – брой сегменти, на които е разделен интеграционният интервал (a,b);

– дължина на елементарен сегмент;

f(x i) – стойността на подинтегралната функция в краищата на елементарните интегрални сегменти.

как по-голям брой n сегмента, на които е разделен интеграционният интервал, толкова по-близо е приблизителното решение до истинското, т.е. толкова по-точен е резултатът.

Така при приложни задачи и при използване точни методирешения, а при прилагане на числени методи за решаване резултатите от изчисленията са приблизителни. Важно е само да се гарантира, че грешките отговарят на необходимата точност.

Числените методи за решаване на математически проблеми са известни отдавна, дори преди появата на компютрите, но те са били използвани рядко и само в сравнително прости случаи поради изключителната сложност на изчисленията. Широкото използване на числените методи стана възможно благодарение на компютрите.

Математическо моделиране

1. Какво е математическо моделиране?

От средата на 20 век. Математическите методи и компютрите започнаха да се използват широко в различни области на човешката дейност. Появиха се нови дисциплини като „математическа икономика“, „математическа химия“, „математическа лингвистика“ и др., изучаващи математически модели на съответни обекти и явления, както и методи за изследване на тези модели.

Математическият модел е приблизително описание на всеки клас явления или обекти от реалния свят на езика на математиката. Основната цел на моделирането е да изследва тези обекти и да предвиди резултатите от бъдещи наблюдения. Въпреки това моделирането е и метод за разбиране на света около нас, което прави възможно контролирането му.

Математическото моделиране и свързаният с него компютърен експеримент са незаменими в случаите, когато пълномащабен експеримент е невъзможен или труден по една или друга причина. Например, невъзможно е да се постави естествен експеримент в историята, за да се провери „какво би станало, ако...” Невъзможно е да се провери верността на една или друга космологична теория. Възможно е, но малко вероятно да е разумно, да се експериментира с разпространението на болест, като например чумата, или да се извърши ядрена експлозия, за да се проучат последствията от нея. Всичко това обаче може да се направи на компютър, като първо се конструират математически модели на изучаваните явления.

2. Основни етапи на математическото моделиране

1) Изграждане на модел. На този етап се посочва някакъв „нематематически“ обект - природен феномен, дизайн, икономически план, производствен процес и т.н. В този случай, като правило, ясното описание на ситуацията е трудно. Първо се идентифицират основните характеристики на явлението и връзките между тях на качествено ниво. След това намерените качествени зависимости се формулират на езика на математиката, тоест се изгражда математически модел. Това е най-трудният етап от моделирането.

2) Решаване на математическата задача, към която води моделът. На този етап се обръща голямо внимание на разработването на алгоритми и числени методи за компютърно решаване на задачата, с помощта на които резултатът може да бъде намерен с необходимата точност и в рамките на приемливо време.

3) Интерпретация на получените следствия от математическия модел.Следствията, извлечени от модела на езика на математиката, се интерпретират на езика, приет в областта.

4) Проверка на адекватността на модела.На този етап се определя дали експерименталните резултати съвпадат с теоретичните следствия на модела в рамките на определена точност.

5) Модификация на модела.На този етап или моделът се усложнява, за да е по-адекватен на реалността, или се опростява, за да се постигне практически приемливо решение.

3. Класификация на моделите

Моделите могат да бъдат класифицирани по различни критерии. Например според естеството на решаваните проблеми моделите могат да бъдат разделени на функционални и структурни. В първия случай всички величини, характеризиращи дадено явление или обект, се изразяват количествено. Освен това някои от тях се разглеждат като независими променливи, докато други се разглеждат като функции на тези величини. Математическият модел обикновено е система от уравнения от различни видове (диференциални, алгебрични и т.н.), които установяват количествени връзки между разглежданите величини. Във втория случай моделът характеризира структурата на сложен обект, състоящ се от отделни части, между които има определени връзки. Обикновено тези връзки не могат да бъдат количествено измерими. За конструирането на такива модели е удобно да се използва теорията на графите. Графът е математически обект, който представлява набор от точки (върхове) в равнина или в пространството, някои от които са свързани с линии (ръбове).

Въз основа на естеството на първоначалните данни и резултати моделите за прогнозиране могат да бъдат разделени на детерминистични и вероятностно-статистически. Моделите от първия тип правят сигурни, недвусмислени прогнози. Моделите от втория тип се основават на статистическа информация и прогнозите, получени с тяхна помощ, имат вероятностен характер.

4. Примери за математически модели

1) Задачи за движението на снаряд.

Помислете за следния механичен проблем.

Снарядът се изстрелва от Земята с начална скорост v 0 = 30 m/s под ъгъл a = 45° спрямо нейната повърхност; изисква се да се намери траекторията на неговото движение и разстоянието S между началната и крайната точка на тази траектория.

Тогава, както е известно от училищния курс по физика, движението на снаряд се описва с формулите:

където t е времето, g = 10 m/s 2 е ускорението на гравитацията. Тези формули предоставят математически модел на проблема. Като изразим t през x от първото уравнение и го заместим във второто, получаваме уравнението за траекторията на снаряда:

Тази крива (парабола) пресича оста x в две точки: x 1 = 0 (началото на траекторията) и (мястото, където е паднал снарядът). Замествайки дадените стойности на v0 и a в получените формули, получаваме

отговор: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Имайте предвид, че при конструирането на този модел са използвани редица предположения: например се приема, че Земята е плоска, а въздухът и въртенето на Земята не влияят на движението на снаряда.

2) Проблем за резервоар с най-малка повърхност.

Необходимо е да се намери височината h 0 и радиусът r 0 на калаен резервоар с обем V = 30 m 3, имащ формата на затворен кръгъл цилиндър, при който неговата повърхност S е минимална (в този случай най-малкото количество калай ще се използва за производството му).

Нека напишем следните формули за обема и повърхността на цилиндър с височина h и радиус r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Изразявайки h чрез r и V от първата формула и замествайки получения израз във втората, получаваме:

Така от математическа гледна точка проблемът се свежда до определяне на стойността на r, при която функцията S(r) достига своя минимум. Нека намерим тези стойности на r 0, за които производната

отива на нула: Можете да проверите дали втората производна на функцията S(r) променя знака от минус на плюс, когато аргументът r преминава през точката r 0 . Следователно в точката r0 функцията S(r) има минимум. Съответната стойност е h 0 = 2r 0 . Замествайки дадената стойност V в израза за r 0 и h 0, получаваме желания радиус и височина

3) Транспортен проблем.

В града има два склада за брашно и два хлебозавода. Всеки ден от първия склад се транспортират 50 тона брашно, а от втория - 70 тона до заводите, като в първия - 40 тона, а във втория - 80 тона.

Нека означим с а ij разходи за транспортиране на 1 тон брашно от i-тия склад до j-то растение(i, j = 1,2). Позволявам

а 11 = 1,2 рубли, а 12 = 1,6 рубли, а 21 = 0,8 rub., а 22 = 1 rub.

Как трябва да се планира транспорта, така че разходите му да са минимални?

Нека дадем на проблема математическа формулировка. Нека с x 1 и x 2 означим количеството брашно, което трябва да се транспортира от първия склад до първия и втория завод, а с x 3 и x 4 - от втория склад съответно до първия и втория завод. Тогава:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Общата цена на целия транспорт се определя по формулата

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4.

От математическа гледна точка проблемът е да се намерят четири числа x 1, x 2, x 3 и x 4, които да отговарят на всички дадени условия и дават минимума на функцията f. Нека решим системата от уравнения (1) за xi (i = 1, 2, 3, 4), като елиминираме неизвестните. Разбираме това

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

и x 4 не може да се определи еднозначно. Тъй като x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), от уравнения (2) следва, че 30Ј x 4 Ј 70. Замествайки израза за x 1, x 2, x 3 във формулата за f, получаваме

f = 148 – 0,2x 4.

Лесно е да се види, че минимумът на тази функция се постига при максималната възможна стойност от x 4, т.е. при x 4 = 70. Съответните стойности на други неизвестни се определят по формули (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Проблемът с радиоактивното разпадане.

Нека N(0) е началният брой атоми на радиоактивно вещество, а N(t) е броят на неразпадналите се атоми в момент t. Експериментално е установено, че скоростта на изменение на броя на тези атоми N"(t) е пропорционална на N(t), т.е. N"(t)=–l N(t), l >0 е константа на радиоактивност на дадено вещество. В училищния курс по математически анализ е показано, че решението на това диференциално уравнение има формата N(t) = N(0)e –l t. Времето T, през което броят на първоначалните атоми е намалял наполовина, се нарича период на полуразпад и е важна характеристика на радиоактивността на веществото. За да определим T, трябва да въведем формулата Тогава Например за радон l = 2,084 · 10 –6 и следователно T = 3,15 дни.

5) Проблемът с пътуващия търговец.

Пътуващ търговец, живеещ в град A 1, трябва да посети градове A 2 , A 3 и A 4 , всеки град точно веднъж, и след това да се върне обратно в A 1 . Известно е, че всички градове са свързани по двойки с пътища, а дължините на пътищата b ij между градовете A i и A j (i, j = 1, 2, 3, 4) са както следва:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Необходимо е да се определи редът на посещение на градове, в които дължината на съответния път е минимална.

Нека да изобразим всеки град като точка от равнината и да го отбележим със съответния етикет Ai (i = 1, 2, 3, 4). Нека свържем тези точки с прави линии: те ще представляват пътища между градовете. За всеки „път” посочваме неговата дължина в километри (фиг. 2). Резултатът е графика - математически обект, състоящ се от определен набор от точки на равнината (наречени върхове) и определен набор от линии, свързващи тези точки (наречени ръбове). Освен това този граф е етикетиран, тъй като на неговите върхове и ръбове са присвоени някои етикети - числа (ръбове) или символи (върхове). Цикъл върху граф е последователност от върхове V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 така, че върховете V 1 , ..., V k са различни и всяка двойка върхове V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) и двойката V 1, V k са свързани с ребро. По този начин, разглежданият проблем е да се намери цикъл на графиката, минаващ през всичките четири върха, за който сумата от всички тегла на ръбовете е минимална. Нека претърсим всички различни цикли, минаващи през четири върха и започващи от A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Нека сега намерим дължините на тези цикли (в км): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. И така, маршрутът с най-къса дължина е първият.

Обърнете внимание, че ако има n върхове в графа и всички върхове са свързани по двойки с ръбове (такъв граф се нарича завършен), тогава броят на циклите, минаващи през всички върхове, е Следователно в нашия случай има точно три цикъла.

6) Проблемът за намиране на връзка между структурата и свойствата на веществата.

Нека разгледаме няколко химични съединения, наречени нормални алкани. Те се състоят от n въглеродни атома и n + 2 водородни атома (n = 1, 2 ...), свързани помежду си, както е показано на фигура 3 за n = 3. Нека експерименталните стойности на точките на кипене на тези съединения са известни:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Необходимо е да се намери приблизителна връзка между точката на кипене и числото n за тези съединения. Да приемем, че тази зависимост има вида

y" а n+b,

Където а, b - константи за определяне. Да намеря аи b заместваме в тази формула последователно n = 3, 4, 5, 6 и съответните стойности на точките на кипене. Ние имаме:

– 42 » 3 а+ b, 0 » 4 а+ b, 28 » 5 а+ b, 69 » 6 а+ б.

За да се определи най-добрият аи b има много различни методи. Нека използваме най-простия от тях. Нека изразим b чрез аот тези уравнения:

b » – 42 – 3 а, b " – 4 а, b » 28 – 5 а, b » 69 – 6 а.

Нека вземем средната аритметична стойност на тези стойности като желаното b, тоест поставяме b » 16 – 4,5 а. Нека заместим тази стойност на b в оригиналната система от уравнения и да изчислим а, получаваме за аследните стойности: а» 37, а» 28, а» 28, а" 36. Да приемем за необходимо асредната стойност на тези числа, т.е а" 34. И така, търсеното уравнение има формата

y » 34n – 139.

Нека проверим точността на модела върху оригиналните четири съединения, за които изчисляваме точките на кипене, като използваме получената формула:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

По този начин грешката при изчисляване на това свойство за тези съединения не надвишава 5°. Използваме полученото уравнение, за да изчислим точката на кипене на съединение с n = 7, което не е включено в оригиналния набор, за което заместваме n = 7 в това уравнение: y р (7) = 99°. Резултатът беше доста точен: известно е, че експерименталната стойност на точката на кипене y e (7) = 98 °.

7) Проблемът за определяне на надеждността на електрическа верига.

Тук ще разгледаме пример за вероятностен модел. Първо, представяме малко информация от теорията на вероятностите - математическа дисциплина, която изучава моделите на случайни явления, наблюдавани по време на многократно повторение на експерименти. Нека наречем случайно събитие А възможен резултат от някакъв експеримент. Събитията A 1, ..., A k образуват пълна група, ако едно от тях непременно възниква в резултат на експеримента. Събитията се наричат несъвместими, ако не могат да се появят едновременно в едно преживяване. Нека събитието А се случи m пъти по време на n-кратно повторение на експеримента. Честотата на събитие А е числото W = . Очевидно стойността на W не може да се предвиди точно, докато не се проведе серия от n експеримента. Природата на случайните събития обаче е такава, че на практика понякога се наблюдава следният ефект: с увеличаване на броя на експериментите стойността практически престава да бъде случайна и се стабилизира около някакво неслучайно число P(A), наречено вероятност за събитието A. За невъзможно събитие (което никога не се случва в експеримент) P(A)=0, а за надеждно събитие (което винаги се случва в опит) P(A)=1. Ако събитията A 1 , ..., A k образуват пълна група от несъвместими събития, тогава P(A 1)+...+P(A k)=1.

Нека, например, експериментът се състои от хвърляне на зар и наблюдение на броя на хвърлените точки X. Тогава можем да въведем следните случайни събития A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Те образуват пълна група от несъвместими еднакво вероятни събития, следователно P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Сумата от събития A и B е събитието A + B, което се състои в това, че поне едно от тях се случва в опита. Продуктът на събития A и B е събитието AB, което се състои от едновременното възникване на тези събития. За независими събития A и B са верни следните формули:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Нека сега разгледаме следното задача. Да приемем, че три елемента са свързани последователно към електрическа верига и работят независимо един от друг. Вероятностите за повреда на 1-ви, 2-ри и 3-ти елемент са съответно равни на P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Ще считаме верига за надеждна, ако вероятността да няма ток във веригата е не повече от 0,4. Необходимо е да се определи дали дадена верига е надеждна.

Тъй като елементите са свързани последователно, няма да има ток във веригата (събитие А), ако поне един от елементите се повреди. Нека A i е събитието, което i-ти елементработи (i = 1, 2, 3). Тогава P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно A 1 A 2 A 3 е събитие, при което и трите елемента работят едновременно и

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Тогава P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, така че P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

В заключение отбелязваме, че дадените примери за математически модели (включително функционални и структурни, детерминистични и вероятностни) имат илюстративен характер и очевидно не изчерпват разнообразието от математически модели, които възникват в природните и хуманитарните науки.

Концепцията за модел и симулация.

Модел в широк смисъл- това е всяко изображение, мисловен аналог или установен образ, описание, диаграма, чертеж, карта и т.н. на всеки обем, процес или явление, използвани като негов заместител или представител. Самият обект, процес или явление се нарича оригинал на този модел.

Моделиране - това е изучаването на всеки обект или система от обекти чрез конструиране и изучаване на техните модели. Това е използването на модели за определяне или изясняване на характеристиките и рационализиране на методите за конструиране на новопостроени обекти.

Всеки метод на научно изследване се основава на идеята за моделиране, докато теоретичните методи използват различни видове символни, абстрактни модели, а експерименталните методи използват предметни модели.

По време на изследването сложно реално явление се заменя с някакво опростено копие или диаграма; понякога такова копие служи само за запомняне и разпознаване на желаното явление при следващата среща. Понякога изградената диаграма отразява някои съществени характеристики, позволява да се разбере механизмът на явлението и дава възможност да се предвиди неговата промяна. Същото явление може да съответства различни модели.

Задачата на изследователя е да предвиди природата на явлението и хода на процеса.

Понякога се случва даден обект да е наличен, но експериментите с него са скъпи или водят до сериозни екологични последици. Познанията за такива процеси се получават с помощта на модели.

Важен момент е, че самото естество на науката включва изучаването не на едно специфично явление, а на широк клас свързани явления. Той предполага необходимостта от формулиране на някои общи категорични твърдения, които се наричат закони. Естествено, при такава формулировка се пренебрегват много детайли. За да идентифицират по-ясно даден модел, те съзнателно отиват към огрубяване, идеализиране и схематичност, тоест изучават не самото явление, а повече или по-малко точно негово копие или модел. Всички закони са закони за моделите и затова не е изненадващо, че с течение на времето някои научни теории се признават за неподходящи. Това не води до колапс на науката, тъй като един модел е заменен с друг по-модерен.

Специална роля в науката играят математическите модели, строителните материали и инструментите на тези модели - математическите концепции. Те се натрупват и подобряват в продължение на хиляди години. Съвременната математика предоставя изключително мощни и универсални средства за изследване. Почти всяко понятие в математиката, всеки математически обект, като се започне от понятието число, е математически модел. При конструирането на математически модел на обекта или явлението, което се изучава, се идентифицират онези негови характеристики, характеристики и детайли, които, от една страна, съдържат повече или по-малко пълна информация за обекта, а от друга, позволяват математическа формализация. Математическата формализация означава, че характеристиките и детайлите на даден обект могат да бъдат свързани с подходящи адекватни математически понятия: числа, функции, матрици и т.н. Тогава връзките и отношенията, открити и предполагаеми в изследвания обект между отделните му части и компоненти, могат да бъдат записани с помощта на математически отношения: равенства, неравенства, уравнения. Резултатът е математическо описание на процеса или явлението, което се изучава, тоест неговият математически модел.

Изследването на математическия модел винаги е свързано с определени правила за действие върху обектите, които се изучават. Тези правила отразяват връзките между причини и следствия.

Изграждането на математически модел е централният етап от изследването или проектирането на всяка система. Всички последващи анализи на обекта зависят от качеството на модела. Изграждането на модел не е формална процедура. Тя силно зависи от изследователя, неговия опит и вкус и винаги се основава на определен експериментален материал. Моделът трябва да бъде достатъчно точен, адекватен и удобен за използване.

Математическо моделиране.

Класификация на математическите модели.

Математическите модели могат да бъдатдетерминистичен И стохастичен .

Определете модел и са модели, при които се установява еднозначно съответствие между променливи, описващи обект или явление.

Този подход се основава на познаването на механизма на функциониране на обектите. Често обектът, който се моделира, е сложен и дешифрирането на механизма му може да бъде много трудоемко и времеемко. В този случай те действат по следния начин: провеждат експерименти върху оригинала, обработват получените резултати и без да се задълбочават в механизма и теорията на моделирания обект, използвайки методите на математическата статистика и теорията на вероятностите, установяват връзки между променливите, които описват предметът. В този случай получаватестохастичен модел . IN стохастичен модел, връзката между променливите е случайна, понякога е фундаментална. Влиянието на огромен брой фактори, тяхната комбинация води до произволен набор от променливи, описващи обект или явление. Според характера на режимите моделът естатистически И динамичен.

Статистическимоделвключва описание на връзките между основните променливи на моделирания обект в стационарно състояние, без да се вземат предвид промените в параметрите във времето.

IN динамиченмоделиописани са връзките между основните променливи на моделирания обект при преход от един режим към друг.

Има модели отделенИ непрекъснато, и смесен Тип. IN непрекъснато променливите приемат стойности от определен интервал, вотделенпроменливите приемат изолирани стойности.

Линейни модели- всички функции и отношения, които описват модела линейно зависят от променливите ине линеенв противен случай.

Математическо моделиране.

Изисквания ,p представени към моделите.

1. Универсалност- характеризира пълнотата на представянето на модела на изследваните свойства на реален обект.

Адекватността е способността да се отразяват желаните свойства на даден обект с грешка не по-голяма от дадена.
Точността се оценява от степента на съответствие между стойностите на характеристиките на реален обект и стойностите на тези характеристики, получени с помощта на модели.
Икономичен - определя се от разхода на ресурси от паметта на компютъра и времето за нейното внедряване и експлоатация.

Математическо моделиране.

Основни етапи на моделиране.

1. Постановка на проблема.

Определяне на целта на анализа и пътя за нейното постигане и разработване на общ подход към изследвания проблем. На този етап е необходимо дълбоко разбиране на същността на задачата. Понякога правилното поставяне на проблем е не по-малко трудно от разрешаването му. Постановката не е формален процес, Общи правилаНе.

2. Изучаване на теоретичните основи и събиране на информация за оригиналния обект.

На този етап се избира или разработва подходяща теория. Ако не е там, се установяват причинно-следствени връзки между променливите, описващи обекта. Определят се входните и изходните данни и се правят опростяващи допускания.

3. Формализация.

Състои се в избора на система от символи и използването им за записване на връзките между компонентите на даден обект под формата на математически изрази. Установен е класът задачи, към които може да се класифицира полученият математически модел на обекта. Стойностите на някои параметри може все още да не са посочени на този етап.

4. Избор на метод за решение.

На този етап се установяват окончателните параметри на моделите, като се вземат предвид условията на работа на обекта. За получената математическа задача се избира метод за решение или се разработва специален метод. При избора на метод се вземат предвид знанията на потребителя, неговите предпочитания и предпочитанията на разработчика.

5. Внедряване на модела.

След разработване на алгоритъм се пише програма, която се отстранява, тества и се получава решение на желания проблем.

6. Анализ на получената информация.

Сравняват се получените и очакваните решения и се следи грешката на моделиране.

7. Проверка на адекватността на реалния обект.

Сравняват се резултатите, получени от моделаили с наличната информация за обекта, или се провежда експеримент и неговите резултати се сравняват с изчислените.

Процесът на моделиране е итеративен. При незадоволителни резултати от етапите 6. или 7. прави се връщане към един от по-ранните етапи, което би могло да доведе до разработването на неуспешен модел. Този етап и всички следващи се усъвършенстват и такова усъвършенстване на модела става до получаване на приемливи резултати.

1.1.2 2. Основни етапи на математическото моделиране

1) Изграждане на модел. На този етап се посочва някакъв „нематематически“ обект - природен феномен, дизайн, икономически план, производствен процес и т.н. В този случай, като правило, ясното описание на ситуацията е трудно.Първо се идентифицират основните характеристики на явлението и връзките между тях на качествено ниво. След това намерените качествени зависимости се формулират на езика на математиката, тоест се изгражда математически модел. Това е най-трудният етап от моделирането.

2) Решаване на математическата задача, към която води моделът. На този етап се обръща голямо внимание на разработването на алгоритми и числени методи за компютърно решаване на задачата, с помощта на които резултатът може да бъде намерен с необходимата точност и в рамките на приемливо време.

3) Интерпретация на получените следствия от математическия модел.Следствията, извлечени от модела на езика на математиката, се интерпретират на езика, приет в областта.

4) Проверка на адекватността на модела.На този етап се определя дали експерименталните резултати съвпадат с теоретичните следствия на модела в рамките на определена точност.

5) Модификация на модела.На този етап или моделът се усложнява, за да е по-адекватен на реалността, или се опростява, за да се постигне практически приемливо решение.

1.1.3 3. Класификация на модела

МАТЕМАТИЧЕСКО МОДЕЛИРАНЕ И ОБЩА КОМПЮТРИЗАЦИЯ ИЛИ СИМУЛАЦИОННИ МОДЕЛИ

Сега, когато в страната се извършва почти всеобща компютъризация, чуваме изявления от специалисти в различни професии: „Ако въведем компютър, тогава всички проблеми ще бъдат решени веднага“. Тази гледна точка е напълно неправилна; самите компютри, без математически модели на определени процеси, няма да могат да направят нищо и човек може само да мечтае за универсална компютъризация.

В подкрепа на гореизложеното ще се опитаме да обосновем необходимостта от моделиране, включително математическо моделиране, ще разкрием предимствата му в познанието и преобразуването на външния свят от човека, ще идентифицираме съществуващите недостатъци и ще преминем... към симулационно моделиране, т.е. моделиране с помощта на компютър. Но всичко е наред.

Първо, нека да отговорим на въпроса: какво е модел?

Моделът е материален или мислено представен обект, който в процеса на познание (изучаване) замества оригинала, запазвайки някои типични свойства, които са важни за това изследване.

Добре изграденият модел е по-достъпен за изследване от реалния обект. Например експериментите с икономиката на страната за образователни цели са неприемливи, моделът е незаменим.

Обобщавайки казаното, можем да отговорим на въпроса: за какво са моделите? За да

разбират как работи даден обект (неговата структура, свойства, закони на развитие, взаимодействие с външния свят).
научете се да управлявате обект (процес) и да определяте най-добрите стратегии
прогнозиране на последствията от въздействие върху обекта.

Какво е положителното на всеки модел? Тя ви позволява да придобиете нови знания за обекта, но, за съжаление, тя е непълна в една или друга степен.

Моделформулиран на езика на математиката с помощта на математически методи се нарича математически модел.

Отправната точка за изграждането му обикновено е някакъв проблем, например икономически. Широко разпространени са както описателните, така и оптимизационните математически, характеризиращи различни икономически процесии явления, например:

разпределение на ресурсите
рационално рязане
транспорт
консолидация на предприятия
мрежово планиране.

Как се изгражда математически модел?

Първо се формулират целта и предметът на изследването.
Второ, подчертават се най-важните характеристики, съответстващи на тази цел.
Трето, връзките между елементите на модела се описват вербално.
След това връзката се формализира.
И се прави изчисление с помощта на математически модел и полученото решение се анализира.

Използвайки този алгоритъмможете да решите всеки проблем за оптимизация, включително многокритериален, т.е. такава, в която се преследват не една, а няколко цели, включително и противоречиви.

Да дадем пример. Теория на масовото обслужване – проблемът на масовото обслужване. Необходимо е да се балансират два фактора - разходите за поддръжка на сервизните устройства и разходите за престой на линия. След конструиране на формално описание на модела се правят изчисления с помощта на аналитични и изчислителни методи. Ако моделът е добър, тогава отговорите, намерени с негова помощ, са адекватни на системата за моделиране; ако е лош, тогава той трябва да бъде подобрен и заменен. Критерият за адекватност е практиката.

Оптимизационните модели, включително многокритериалните, имат общо свойство - известна е цел (или няколко цели), за постигането на които често трябва да се работи със сложни системи, където не става дума толкова за решаване на оптимизационни проблеми, колкото за изучаване и прогнозиране състояния в зависимост от избраните стратегии за управление. И тук се сблъскваме с трудностите на изпълнението на предишния план. Те са както следва:

сложната система съдържа много връзки между елементите
една реална система се влияе от случайни фактори, аналитичното им отчитане е невъзможно
възможността за сравняване на оригинала с модела съществува само в началото и след използване на математическия апарат, т.к. междинните резултати може да нямат аналози в реалната система.

Във връзка с изброените трудности, които възникват при изучаването на сложни системи, практиката изискваше по-гъвкав метод и се появи - „Симуационно моделиране“.

Обикновено симулационният модел се разбира като набор от компютърни програми, които описват функционирането на отделни системни блокове и правилата за взаимодействие между тях. Използването на случайни променливи налага провеждането на многократни експерименти със симулационна система (на компютър) и последващ статистически анализ на получените резултати. Много често срещан пример за използване на симулационни модели е решаването на проблема с опашката с помощта на метода MONTE CARLO.

По този начин работата със симулационна система е експеримент, извършен на компютър. Какви са предимствата?

– По-голяма близост до реалната система в сравнение с математическите модели;

– Блоковият принцип дава възможност да се провери всеки блок преди включването му в цялостната система;

– Използването на зависимости от по-сложен характер, които не могат да бъдат описани с прости математически зависимости.

Изброените предимства определят и недостатъците

– изграждането на симулационен модел отнема повече време, по-трудно е и по-скъпо;

– за работа със симулационната система трябва да разполагате с подходящ за класа компютър;

– взаимодействието между потребителя и симулационния модел (интерфейс) не трябва да бъде прекалено сложно, удобно и добре познато;

-изграждането на симулационен модел изисква по-задълбочено изследване на реалния процес, отколкото математическото моделиране.

Възниква въпросът: може ли симулационното моделиране да замени методите за оптимизация? Не, но удобно ги допълва. Симулационният модел е програма, която изпълнява определен алгоритъм, за оптимизиране на управлението на който първо се решава оптимизационен проблем.

Така че нито компютър, нито математически модел, нито алгоритъм за неговото изследване сами по себе си могат да решат достатъчно сложен проблем. Но заедно те представляват силата, която ни позволява да разбираме света около нас и да го управляваме в интерес на човека.

1.2 Класификация на модела

1.2.1
Класификация, като се вземе предвид факторът време и област на използване (Makarova N.A.)

Статичен модел -това е като еднократна моментна снимка на информация за обект (резултат от едно проучване)
Динамичен модел-позволява вижте промените в даден обект във времето (карта в клиниката)
Моделите също могат да бъдат класифицирани според към коя област на знанието принадлежат?(биологичен, исторически, околната среда и др.)
Върнете се в началото

1.2.2 Класификация по област на използване (Makarova N.A.)

Образователни-визуаленръководства, симулатори о, виещи такивапрограми
опитен модели-умалени копия (кола в аеродинамичен тунел)
Научно-техническисинхрофазотрон, стенд за тестване на електронно оборудване
игри-икономически, спорт, бизнес игри
имитация-НеТе просто отразяват реалността, но я имитират (лекарствата се тестват върху мишки, провеждат се експерименти в училищата и т.н. Този метод на моделиране се нарича проба и грешка
Върнете се в началото

1.2.3 Класификация според метода на представяне Макаров Н.А.)

Материал модели- в противен случай може да се нарече предмет. Те възприемат геометричните и физически свойства на оригинала и винаги имат реално въплъщение
Информация модели не се допускат докоснете или вижте. Те се основават само на информация .И информационнимоделът е набор от информация, която характеризира свойствата и състоянията на обект, процес, явление, както и връзката с външния свят.
Словесен модел -информационен модел в мислена или устна форма.
Емблематичен модел-информация модел, изразен със знаци , т.е.. с помощта на всеки формален език.
Компютърен модел - м Модел, реализиран чрез софтуерна среда.

1.2.4 Класификация на моделите, дадена в книгата "Земна информатика" (Gein A.G.))

„...ето една на пръв поглед проста задача: колко време ще отнеме прекосяването на пустинята Каракум? Отговорът е разбира сезависи от начина на пътуване. Ако пътувайте нататъккамили, тогава ще отнеме един срок, друг, ако отидете с кола, трети, ако летите със самолет. И най-важното, за планиране на пътуване са необходими различни модели. В първия случай необходимият модел може да се намери в мемоарите на известни изследователи на пустинята: в края на краищата не може да се мине без информация за оазиси и камилски пътеки. Във втория случай информацията, съдържаща се в пътния атлас е незаменима. В третия можете да използвате разписанието на полетите.
Тези три модела - мемоари, атлас и график - се различават по естеството на представяне на информацията. В първия случай моделът е представен чрез словесно описание на информация (описателен модел), във втория - сякаш снимка от живота (модел в пълен мащаб), в третия - таблица, съдържаща символи: час на заминаване и пристигане, ден от седмицата, цена на билета (така наречения знаков модел)Това разделение обаче е много произволно - в мемоарите можете да намерите карти и диаграми (елементи на пълномащабен модел), на картите има символи (елементи на символен модел), в графика има декодиране на символи (елементи на описателен модел). Така че тази класификация на моделите... според нас е непродуктивна"
По мое мнение този фрагмент демонстрира описателния (прекрасен език и стил на представяне) и, така да се каже, Сократовия стил на преподаване, общ за всички книги на Хайн (Всеки си мисли, че е така. Напълно съм съгласен с вас, но ако се вгледате внимателно...).В такива книги е доста трудно да се намери ясна система от определения (не е предвидена от автора). В учебника под редакцията на N.A. Макарова демонстрира различен подход – дефинициите на понятията са ясно подчертани и някак статични.

1.2.5 Класификация на моделите, дадена в ръководството на A.I. Bochkin

Има необичайно голям брой методи за класификация .P донесетесамо някои от най-известните основания и признаци: дискретностИ непрекъснатост, матрицаи скаларни модели, статични и динамични модели, аналитични и информационни модели, предметни и образно-знакови модели, мащабни и немащабни...
Всеки знак дава определеназнания за свойствата както на модела, така и на симулираната реалност. Знакът може да служи като намек за начина на завършено или предстоящо моделиране.
Дискретност и приемственост Дискретност - характерна особеност на компютърните модели .След всичкокомпютърът може да е на финала, макар и много големи количествадържави. Следователно, дори ако обектът е непрекъснат (време), в модела той ще се променя на скокове. Би могло да се обмисли приемственостзнак за модели от некомпютърен тип.
Шанс и детерминизъм . Несигурност, злополукапървоначално се противопоставя на компютърния свят: Стартираният отново алгоритъм трябва да се повтори и да даде същите резултати. Но за симулиране на случайни процеси се използват сензори за псевдослучайни числа. Въвеждането на произволност в детерминистични проблеми води до мощни и интересни модели (изчисляване на площ чрез произволно хвърляне).
Матричност - скаларност. Наличие на параметри матрицамодел показва неговата по-голяма сложност и, вероятно, точност в сравнение с скаларен. Например, ако не идентифицираме всички възрастови групи в населението на страната, разглеждайки изменението му като цяло, ще получим скаларен модел (например модела на Малтус), ако го изолираме, ще получим матрица (пол -възраст) модел. Това беше матричният модел, който направи възможно обяснението на колебанията в раждаемостта след войната.
Статична динамика. Тези свойства на модела обикновено са предопределени от свойствата на реалния обект. Тук няма свобода на избора. Просто статиченмоделът може да бъде стъпка към динамичен, или някои от променливите на модела могат да се считат за непроменени засега. Например спътник се движи около Земята, движението му се влияе от Луната. Ако разгледаме Луната неподвижна по време на въртенето на спътника, получаваме по-прост модел.
Аналитични модели. Описание на процесите аналитично, формули и уравнения. Но когато се опитвате да изградите графика, е по-удобно да имате таблици с функционални стойности и аргументи.
Симулационни модели. Имитациямоделите се появиха отдавна под формата на умалени копия на кораби, мостове и т.н. се появиха отдавна, но наскоро се разглеждат във връзка с компютрите. Знаейки колко свързаниелементи на модела аналитично и логически, е по-лесно не да се решава система от определени зависимости и уравнения, а да се покаже реалната система в паметта на компютъра, като се вземат предвид връзките между елементите на паметта.
Информационни модели. ИнформацияМоделите обикновено се противопоставят на математическите или по-скоро на алгоритмичните. Тук е важно съотношението между обемите на данните и алгоритмите. Ако има повече данни или са по-важни, имаме информационен модел, в противен случай - математически.
Предметни модели. Това е преди всичко детски модел - играчка.
Емблематични модели. Това е преди всичко модел в човешкия ум: преносен, ако преобладават графичните изображения и емблематичен, ако има повече думи и/или числа. Образно-знаковите модели се изграждат на компютър.
Умалени модели. ДА СЕ мащабенмоделите са тези на предметни или образни модели, които повтарят формата на обект (карта).

Математически модел b е математическо представяне на реалността.

Математическо моделиране- процесът на конструиране и изучаване на математически модели.

Всички естествени и социални науки, които използват математически апарат, по същество се занимават с математическо моделиране: те заменят реален обект с неговия математически модел и след това изучават последния.

Дефиниции.

Никоя дефиниция не може да покрие напълно действителната дейност на математическото моделиране. Въпреки това дефинициите са полезни с това, че се опитват да подчертаят най-съществените характеристики.

Определение за модел според А. А. Ляпунов: Моделирането е косвено практическо или теоретично изследване на обект, при което не се изучава директно самият обект, който ни интересува, а някаква помощна изкуствена или естествена система:

намиращи се в някакво обективно съответствие с познаваемия обект;

способен да го замени в определени отношения;

който, когато се изучава, в крайна сметка предоставя информация за обекта, който се моделира.

Според учебника на Советов и Яковлев: „моделът е заместващ обект на оригиналния обект, който осигурява изучаването на някои свойства на оригинала“. „Замяната на един обект с друг, за да се получи информация за най-важните свойства на оригиналния обект с помощта на моделен обект, се нарича моделиране.“ „Под математическо моделиране разбираме процеса на установяване на съответствие между даден реален обект и определен математически обект, наречен математически модел, и изследването на този модел, което позволява да се получат характеристиките на разглеждания реален обект. Видът на математическия модел зависи както от естеството на реалния обект, така и от задачите за изучаване на обекта и необходимата надеждност и точност на решаването на този проблем.

Според Самарски и Михайлов, математическият модел е "еквивалент" на обект, отразяващ в математическа форма неговите най-важни свойства: законите, на които се подчинява, връзките, присъщи на съставните му части и т.н. Той съществува в триадите " модел-алгоритъм-програма” . Създавайки триадата „модел-алгоритъм-програма“, изследователят получава универсален, гъвкав и евтин инструмент, който първо се отстранява и тества в пробни изчислителни експерименти. След установяване на адекватността на триадата към оригиналния обект се извършват различни и подробни „експерименти” с модела, даващи всички необходими качествени и количествени свойства и характеристики на обекта.

Според монографията на Мишкис: „Нека да преминем към общата дефиниция. Да предположим, че ще изследваме някакъв набор S от свойства на реален обект a с

с помощта на математика. За да направим това, ние избираме „математически обект“ а" - система от уравнения, или аритметични отношения, или геометрични фигури, или комбинация от двете и т.н. - изучаването на които с помощта на математиката трябва да отговори на поставените въпроси за свойствата на S. При тези условия a" се нарича математически модел на обект a спрямо набора S от неговите свойства."

Според Севостьянов А.Г.: „Математическият модел е набор от математически зависимости, уравнения, неравенства и т.н., които описват основните модели, присъщи на процеса, обекта или системата, които се изучават.“

Малко по-малко обща дефиницияматематически модел, базиран на идеализацията „входно-изходно състояние“, заимствана от теорията на автоматите, дава Уикиречник: „Абстрактно математическо представяне на процес, устройство или теоретична идея; той използва набор от променливи, за да представи входове, изходи и вътрешни състояния, както и набор от уравнения и неравенства, за да опише техните взаимодействия.

И накрая, най-кратката дефиниция на математически модел е: „Уравнение, което изразява идея.“

Формална класификация на моделите.

Линейни или нелинейни модели; Концентрирани или разпределени системи; Детерминиран или стохастичен; Статични или динамични; Дискретно или непрекъснато.

и така нататък. Всеки конструиран модел е линеен или нелинеен, детерминиран или стохастичен, ... Естествено са възможни и смесени типове: концентрирани в едно отношение, разпределени в друго и т.н.

Класификация според начина на представяне на обекта.

Наред с формалната класификация, моделите се различават по начина, по който представят даден обект:

Структурните модели представят обект като система със собствена структура и механизъм на функциониране. Функционалните модели не използват такива представяния и отразяват само външно възприеманото поведение на даден обект. В екстремния си израз те се наричат още модели „черна кутия". Възможни са и комбинирани типове модели, които понякога се наричат модели „сива кутия".

Почти всички автори, описващи процеса на математическо моделиране, посочват, че първо се изгражда специална идеална структура, смислен модел. Тук няма установена терминология и други автори наричат този идеален обект концептуален модел, спекулативен модел или предмодел. В този случай крайната математическа конструкция се нарича формален модел или просто математически модел, получен в резултат на формализирането на този смислен модел. Изграждането на смислен модел може да се извърши с помощта на набор от готови идеализации, както в механиката, където идеални пружини, твърди тела, идеални махала, еластични среди и т.н. предоставят готови структурни елементи за смислено моделиране. Въпреки това, в области на знанието, където няма напълно завършени формализирани теории, създаването на смислени модели става драматично по-трудно.

Работата на R. Peierls дава класификация на математическите модели, използвани във физиката и по-широко в естествените науки. В книгата на А. Н. Горбан и Р. Г. Хлебопрос тази класификация е анализирана и разширена. Тази класификация е фокусирана предимно върху етапа на изграждане на смислен модел.

Тези модели „представляват условно описание на явление и авторът или вярва във възможността му, или дори го смята за вярно“. Според R. Peierls това е например модел слънчева системаспоред Птолемей и модела на Коперник, атомния модел на Ръдърфорд и модела на Големия взрив.

„Винаги имаме възможност да опровергаем една теория, но имайте предвид, че никога не можем да докажем, че тя е вярна. Да предположим, че сте изложили успешна хипотеза, изчислили сте накъде води тя и сте установили, че всички нейни последствия са потвърдени експериментално. Това означава ли, че теорията ви е вярна? Не, това просто означава, че не сте успели да го опровергаете.

Ако се изгради модел от първия тип, това означава, че той временно се признава за истина и човек може да се концентрира върху други проблеми. Това обаче не може да бъде точка в изследването, а само временна пауза: статусът на модел от първия тип може да бъде само временен.

Ролята на модела в изследванията може да се промени с времето; може да се случи нови данни и теории да потвърдят феноменологичните модели и те да бъдат надградени до

състояние на хипотезата. По същия начин новите знания могат постепенно да влязат в конфликт с модели-хипотези от първия тип и те могат да бъдат преведени във втория. Така кварковият модел постепенно преминава в категорията на хипотезите; атомизмът във физиката възниква като временно решение, но с хода на историята става първият тип. Но етерните модели са си проправили път от тип 1 към тип 2 и сега са извън науката.

Ако е възможно да се съставят уравнения, които описват изследваната система, това не означава, че те могат да бъдат решени дори с помощта на компютър. Обичайна техника в този случай е използването на приближения. Сред тях са модели с линейна реакция. Уравненията се заменят с линейни. Стандартен пример е законът на Ом.

Ако използваме модела идеален газза описание на достатъчно разредени газове, то това е модел от тип 3. За повече високи плътностигаз, също е полезно да си представим по-проста ситуация с идеален газ за качествено разбиране и оценки, но тогава това вече е тип 4.

При модел тип 4 детайлите, които могат значително и не винаги контролирано да повлияят на резултата, се отхвърлят. Същите уравнения могат да служат като модел от тип 3 или 4, в зависимост от явлението, което моделът се използва за изследване. Така че, ако се използват линейни модели на отговор в отсъствието на по-сложни модели, тогава това вече са феноменологични линейни модели и те принадлежат към следния тип 4.

Примери: приложение на модела на идеалния газ към неидеален газ, уравнение на състоянието на Ван дер Ваалс, повечето модели на физиката на твърдото тяло, течността и ядрената физика. Пътят от микроописанието до свойствата на телата, състоящи се от голям брой частици, е много дълъг. Много подробности трябва да бъдат изхвърлени. Това води до модели тип 4.

Евристичният модел запазва само качествено сходство с реалността и прави прогнози само „в порядъка на величината“. Типичен пример е приближението на средния свободен път в кинетичната теория. Предоставя прости формули за коефициентите на вискозитет, дифузия и топлопроводимост, които са в съответствие с реалността по ред на големина.

Но когато се изгражда нова физика, не е възможно веднага да се получи модел, който дава поне качествено описание на обекта - модел от пети тип. В този случай моделът често се използва по аналогия, отразявайки реалността поне в някои подробности.

R. Peierls дава история на използването на аналогии в първата статия на W. Heisenberg за природата на ядрените сили. „Това се случи след откриването на неутрона и въпреки че самият У. Хайзенберг разбираше, че е възможно да се опишат ядра като състоящи се от неутрони и протони, той все още не можеше да се отърве от идеята, че неутронът в крайна сметка трябва да се състои от протон и електрон. В този случай възникна аналогия между взаимодействието в системата неутрон-протон и взаимодействието на водороден атом и протон. Именно тази аналогия го доведе до заключението, че трябва да има обменни сили на взаимодействие между неутрон и протон, които са подобни на обменните сили в системата H - H, причинени от прехода на електрон между два протона. ... По-късно съществуването на обменни сили на взаимодействие между неутрон и протон все пак беше доказано, въпреки че те не бяха напълно изчерпани

взаимодействие между две частици... Но, следвайки същата аналогия, У. Хайзенберг стига до извода, че няма ядрени сили на взаимодействие между два протона и да постулира отблъскване между два неутрона. И двете последни открития са в конфликт с по-нови проучвания."

А. Айнщайн е един от големите майстори на мисловните експерименти. Ето един от неговите експерименти. Той е изобретен в младостта си и в крайна сметка води до строителството специална теорияотносителност. Да предположим, че в класическата физика се движим зад светлинна вълна със скоростта на светлината. Ще наблюдаваме електромагнитно поле, периодично променящо се в пространството и постоянно във времето. Според уравненията на Максуел това не може да се случи. Оттук младият Айнщайн заключава: или законите на природата се променят, когато се променя отправната система, или скоростта на светлината не зависи от отправната система. Той избра втория - по-красив вариант. Друг известен мисловен експеримент на Айнщайн е парадоксът на Айнщайн-Подолски-Розен.

Тук идва тип 8, който е широко разпространен в математическите модели на биологични системи.

Това също са мисловни експерименти с въображаеми обекти, демонстриращи, че предполагаемият феномен е в съответствие с основните принципи и е вътрешно последователен. Това е основната разлика от моделите от тип 7, които разкриват скрити противоречия.

Един от най-известните подобни експерименти е геометрията на Лобачевски. Друг пример е масовото производство на формално кинетични модели на химически и биологични вибрации, автовълни и т.н. Парадоксът на Айнщайн-Подолски-Розен е замислен като модел от тип 7, за да демонстрира непоследователността на квантовата механика. По напълно непланиран начин в крайна сметка се превърна в модел от тип 8 - демонстрация на възможността за квантово телепортиране на информация.

Да разгледаме механична система, състояща се от пружина, закрепена в единия край, и маса m, прикрепена към свободния край на пружината. Ще приемем, че товарът може да се движи само по посока на оста на пружината. Нека изградим математически модел на тази система. Ще опишем състоянието на системата чрез разстоянието x от центъра на товара до неговото равновесно положение. Нека опишем взаимодействието на пружината и товара, като използваме закона на Хук и след това използваме втория закон на Нютон, за да го изразим под формата на диференциално уравнение:

където означава втората производна на x по отношение на времето..

Според формалната класификация този модел е линеен, детерминиран, динамичен, концентриран, непрекъснат. В процеса на изграждането му направихме много предположения, които може да не се случат в реалността.

По отношение на реалността това най-често е модел на опростяване от тип 4, тъй като се пропускат някои съществени универсални характеристики. До известно приближение такъв модел описва реална механична система доста добре, тъй като

отхвърлените фактори имат незначително влияние върху нейното поведение. Моделът обаче може да бъде прецизиран, като се вземат предвид някои от тези фактори. Това ще доведе до нов модел с по-широка област на приложение.

Въпреки това, при прецизиране на модела, сложността на неговото математическо изследване може да се увеличи значително и да направи модела практически безполезен. Често по-опростен модел позволява по-добро и по-задълбочено изследване на реална система, отколкото по-сложен модел.

Твърди и меки модели.

Ето определена функция, която може да вземе предвид силата на триене или зависимостта на коефициента на твърдост на пружината от степента на нейното разтягане, ε е някакъв малък параметър. В момента не се интересуваме от явния вид на функцията f. Ако докажем, че поведението на мекия модел не се различава фундаментално от поведението на твърдия, проблемът ще се сведе до изучаване на твърдия модел. В противен случай прилагането на резултатите, получени от изследването на твърдия модел, ще изисква допълнителни изследвания. Например, решението на уравнението на хармоничния осцилатор е функция на формата

Тоест трептения с постоянна амплитуда. Следва ли от това, че реалният осцилатор ще трепти неограничено с постоянна амплитуда? Не, защото разглеждайки система с произволно малко триене, ще получим затихнали трептения. Поведението на системата се промени качествено.

Ако една система поддържа своето качествено поведение при малки смущения, се казва, че е структурно стабилна. Хармоничният осцилатор е пример за структурно нестабилна система. Този модел обаче може да се използва за изследване на процеси за ограничени периоди от време.

Универсалност на моделите.

Най-важните математически модели обикновено имат важното свойство на универсалност: фундаментално различни реални явления могат да бъдат описани с един и същ математически модел. Например, хармоничен осцилатор описва не само поведението на натоварване върху пружина, но и други колебателни процеси, често от съвсем различно естество: малки колебания на махало, колебания в нивото на течност в U-образен съд , или промяна в силата на тока в осцилаторна верига. Така, изучавайки един математически модел, ние веднага изучаваме цял клас явления, описани от него. Именно този изоморфизъм на закони, изразени чрез математически модели в различни сегменти на научното познание, вдъхновява Лудвиг фон Берталанфи да създаде „Общата теория на системите“.

Преки и обратни задачи на математическото моделиране

тела от различни материали, като всеки материал се определя като негова стандартна механична идеализация, след което се изготвят уравнения, по пътя някои детайли се отхвърлят като маловажни, правят се изчисления, сравняват се с измервания, моделът се усъвършенства и т.н. Въпреки това, за да се разработят технологии за математическо моделиране, е полезно този процес да се раздели на основните му компоненти.

Традиционно има два основни класа проблеми, свързани с математически модели: директни и обратни.

Директна задача: структурата на модела и всички негови параметри се считат за известни, основната задача е да се проведе изследване на модела, за да се извлекат полезни знания за обекта. Какво статично натоварване ще издържи мостът? Как ще реагира на динамично натоварване, как самолетът ще преодолее звуковата бариера, дали ще се разпадне от флатер - това са типични примери за директен проблем. Задаването на правилния директен проблем изисква специално умение. Ако не се задават правилните въпроси, един мост може да се срути, дори ако е изграден добър модел за неговото поведение. Така през 1879 г. във Великобритания се срути метален мост през река Тей, чиито дизайнери построиха модел на моста, изчислиха, че има 20-кратна граница на безопасност за действието на полезния товар, но забравиха за ветровете постоянно духа на тези места. И след година и половина рухна.

IN В най-простия случай директният проблем е много прост и се свежда до изрично решение на това уравнение.

Обратна задача: известни са много възможни модели, необходимо е да се избере конкретен модел въз основа на допълнителни данни за обекта. Най-често структурата на модела е известна и трябва да се определят някои неизвестни параметри. Допълнителната информация може да се състои от допълнителни емпирични данни или изисквания към обекта. Допълнителни данни могат да пристигнат независимо от процеса на решаване на обратната задача или да бъдат резултат от специално планиран експеримент по време на решението.

IN Друг пример е математическата статистика. Задачата на тази наука е да разработи методи за записване, описание и анализ на данни от наблюдения и експерименти с цел изграждане на вероятностни модели на масови случайни явления. Тези. наборът от възможни модели е ограничен до вероятностни модели. При конкретни задачи наборът от модели е по-ограничен.

Системи за компютърно моделиране.

За подпомагане на математическото моделиране са разработени системи за компютърна математика, например Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim и др. Те ви позволяват да създавате формални и блокови модели на прости и сложни процеси и устройства и лесно да променяте параметрите на модела по време на моделиране. Блоковите модели са представени от блокове, чийто набор и свързване се определят от диаграмата на модела.

Допълнителни примери.

Темпът на растеж е пропорционален на текущия размер на населението. Описва се с диференциалното уравнение

където α е определен параметър, определен от разликата между раждаемостта и смъртността. Решението на това уравнение е експоненциалната функция x = x0 e. Ако раждаемостта надвишава смъртността, числеността на населението се увеличава неограничено и много бързо. Ясно е, че реално това няма как да се случи поради ограниченията

ресурси. Когато се достигне определен критичен размер на популацията, моделът престава да бъде адекватен, тъй като не отчита ограничените ресурси. Усъвършенстване на модела на Малтус може да бъде логистичен модел, който се описва от диференциалното уравнение на Верхулст

където xs е „равновесният“ размер на населението, при който раждаемостта е точно компенсирана от смъртността. Размерът на популацията в такъв модел клони към равновесната стойност xs и това поведение е структурно стабилно.

Да кажем, че в определен район живеят два вида животни: зайци и лисици. Нека броят на зайците е x, броят на лисиците е y. Използвайки модела на Малтус с необходимите допълнения, отчитащи изяждането на зайци от лисици, стигаме до следната система, която носи името на модела на Лотка-Волтера:

Тази система има равновесно състояние, когато броят на зайците и лисиците е постоянен. Отклонението от това състояние води до колебания в броя на зайците и лисиците, подобни на колебанията на хармоничен осцилатор. Както в случая на хармоничен осцилатор, това поведение не е структурно стабилно: малка промяна в модела може да доведе до качествена промяна в поведението. Например, равновесното състояние може да стане стабилно и колебанията в числата ще изчезнат. Възможна е и обратната ситуация, когато всяко малко отклонение от равновесното положение ще доведе до катастрофални последици, до пълното изчезване на един от видовете. Моделът Volterra-Lotka не отговаря на въпроса кой от тези сценарии се реализира: тук са необходими допълнителни изследвания.

Видове математически модели. Различни начини за изграждане на математически модел

Класификация на модела

Формална класификация на моделите

Класификация според начина на представяне на обекта

Съдържателни и формални модели

Съдържателна класификация на моделите

Тип 2: Феноменологичен модел (ние се държим сякаш…)

Тип 3: Приближение (считаме нещо много голямо или много малко)

Тип 8: Демонстрация на функции (основното е да се покаже вътрешната последователност на възможността)

Пример

Твърди и меки модели

Универсалност на моделите

Преки и обратни задачи на математическото моделиране

Системи за компютърна симулация

Допълнителни примери

Моделът на Малтус

Система хищник-жертва

Бележки

Математическо моделиране

1. Какво е математическо моделиране?

2. Основни етапи на математическото моделиране

3. Класификация на моделите

4. Примери за математически модели

1.1.2 2. Основни етапи на математическото моделиране

1.1.3 3. Класификация на модела

1.2 Класификация на модела

1.2.1
Класификация, като се вземе предвид факторът време и област на използване (Makarova N.A.)

1.2.2 Класификация по област на използване (Makarova N.A.)

1.2.3 Класификация според метода на представяне Макаров Н.А.)

1.2.4 Класификация на моделите, дадена в книгата "Земна информатика" (Gein A.G.))

1.2.5 Класификация на моделите, дадена в ръководството на A.I. Bochkin

Възникване и развитие на писмеността – автореферат

Композитор Реймънд Паулс: биография, личен живот, творчество Реймънд Паулс - биография

Видове математически модели. Различни начини за изграждане на математически модел

Класификация на модела

Формална класификация на моделите

Класификация според начина на представяне на обекта

Съдържателни и формални модели

Съдържателна класификация на моделите

Тип 2: Феноменологичен модел (ние се държим сякаш…)

Тип 3: Приближение (считаме нещо много голямо или много малко)

Тип 8: Демонстрация на функции (основното е да се покаже вътрешната последователност на възможността)

Пример

Твърди и меки модели

Универсалност на моделите

Преки и обратни задачи на математическото моделиране

Системи за компютърна симулация

Допълнителни примери

Моделът на Малтус

Система хищник-жертва

Бележки

Математическо моделиране

1. Какво е математическо моделиране?

2. Основни етапи на математическото моделиране

3. Класификация на моделите

4. Примери за математически модели

1.1.2 2. Основни етапи на математическото моделиране

1.1.3 3. Класификация на модела

1.2 Класификация на модела

1.2.1 Класификация, като се вземе предвид факторът време и област на използване (Makarova N.A.)

1.2.2 Класификация по област на използване (Makarova N.A.)

1.2.3 Класификация според метода на представяне Макаров Н.А.)

1.2.4 Класификация на моделите, дадена в книгата "Земна информатика" (Gein A.G.))

1.2.5 Класификация на моделите, дадена в ръководството на A.I. Bochkin

Възникване и развитие на писмеността – автореферат

Композитор Реймънд Паулс: биография, личен живот, творчество Реймънд Паулс - биография

1.2.1
Класификация, като се вземе предвид факторът време и област на използване (Makarova N.A.)