Aloitetaan ottamalla huomioon kappaleen pyöriminen liikkumattoman akselin ympäri, jota kutsumme z-akseliksi (kuva 41.1). Alkuainemassan lineaarinen nopeus on yhtä suuri kuin missä on massan etäisyys akselista. Siksi alkuainemassan kineettiselle energialle saadaan lauseke

Kehon kineettinen energia koostuu sen osien liike-energioista:

Tämän suhteen oikealla puolella oleva summa edustaa kappaleen 1 hitausmomenttia suhteessa pyörimisakseliin. Siten kiinteän akselin ympäri pyörivän kappaleen kineettinen energia on yhtä suuri kuin

Anna sisäisen voiman ja ulkoisen voiman vaikuttaa massaan (katso kuva 41.1). (20.5) mukaan nämä voimat toimivat ajallaan

Suoritettuamme tekijöiden syklisen uudelleenjärjestelyn vektorien sekatuloissa (katso (2.34)), saamme:

missä N on sisäisen voiman momentti suhteessa pisteeseen O, N on samanlainen ulkoisen voiman momentti.

Kun lauseke (41.2) on laskettu yhteen kaikkien perusmassojen osalta, saadaan keholle ajan dt aikana suoritettu perustyö:

Sisäisten voimien momenttien summa on nolla (katso (29.12)). Näin ollen, kun ulkoisten voimien kokonaismomentti merkitään N:llä, pääsemme lausekkeeseen

(käytimme kaavaa (2.21)).

Lopuksi, kun otetaan huomioon, että on olemassa kulma, jonka läpi keho pyörii ajan myötä, saadaan:

Teoksen etumerkki riippuu etumerkistä, eli vektorin N projektiosta vektorin suuntaan

Eli kun vartalo pyörii sisäisiä voimiaälä tee mitään työtä, mutta ulkoisten voimien työ määräytyy kaavan (41.4) mukaan.

Kaava (41.4) voidaan saavuttaa hyödyntämällä sitä tosiasiaa, että kaikkien kehoon kohdistuvien voimien tekemä työ menee sen liike-energian kasvattamiseen (katso (19.11)). Ottamalla differentiaali tasa-arvon molemmilta puolilta (41.1), päädymme suhteeseen

Yhtälön (38.8) mukaan siis korvaamalla kautta päästään kaavaan (41.4).

Taulukko 41.1

Taulukossa 41.1 pyörimisliikkeen mekaniikan kaavoja verrataan vastaaviin mekaniikan kaavoihin liike eteenpäin(mekaniikkapiste). Tästä vertailusta on helppo päätellä, että kaikissa tapauksissa massan roolia esittää hitausmomentti, voiman roolia voimamomentti, liikemäärän roolia kulmamomentti jne.

Kaava. (41.1) saimme tapaukseen, jossa kappale pyörii runkoon kiinteän kiinteän akselin ympäri. Oletetaan nyt, että kappale pyörii mielivaltaisella tavalla suhteessa kiinteään pisteeseen, joka osuu yhteen sen massakeskuksen kanssa.

Yhdistämme kehoon jäykästi karteesisen koordinaattijärjestelmän, jonka origo sijoitetaan kehon massakeskipisteeseen. Nopeus i. ala-aste massa on yhtä suuri. Siksi kehon kineettiselle energialle voimme kirjoittaa lausekkeen

missä on vektorien välinen kulma. Korvataan läpimeno ja otetaan huomioon, että saadaan:

Kirjoitetaan skalaaritulot vektorien projektioiden kautta kappaleeseen liittyvän koordinaattijärjestelmän akseleille:

Lopuksi yhdistämällä termit identtisiin kulmanopeuskomponenttien tuloihin ja poistamalla nämä tulot summien etumerkeistä saadaan: niin kaava (41.7) saa muodon (vrt. (41.1)). Kun mielivaltainen kappale pyörii yhden päähitausakselin ympäri, sano akseli ja kaava (41.7) muuttuu (41.10.

Täten. pyörivän kappaleen kineettinen energia on yhtä suuri kuin puolet hitausmomentin ja kulmanopeuden neliön tulosta kolmessa tapauksessa: 1) kappaleelle, joka pyörii kiinteän akselin ympäri; 2) rungolle, joka pyörii yhden päähitausakselin ympäri; 3) pallopäälle. Muissa tapauksissa kineettinen energia määräytyy selvemmin monimutkaisia ​​kaavoja(41,5) tai (41,7).

Pyörimisliikkeen tärkeimmät dynaamiset ominaisuudet - kulmamomentti suhteessa pyörimisakseliin z:

ja kineettistä energiaa

Yleensä energia pyörimisen aikana kulmanopeudella löydetään kaavasta:

, missä on inertiatensori.

Termodynamiikassa

Täsmälleen samoilla perusteilla kuin translaatioliikkeen tapauksessa tasajako tarkoittaa, että lämpötasapainossa monoatomisen kaasun kunkin hiukkasen keskimääräinen pyörimisenergia on: (3/2)k B T. Vastaavasti ekvipartitiolauseen avulla voimme laskea molekyylien neliökulmanopeuden keskiarvon.

Katso myös

Wikimedia Foundation. 2010.

Katso, mitä "kiertoliikkeen energia" on muissa sanakirjoissa:

Tällä termillä on muita merkityksiä, katso Energia (merkityksiä). Energia, ulottuvuus... Wikipedia

LIIKKEET- LIIKKEET. Sisältö: Geometria D.............452 Kinematiikka D.................456 Dynamiikka D. . ..................461 Moottorimekanismit................465 Menetelmät ihmisen liikkeen tutkimiseen......471 Ihmisen D:n patologia............. 474… … Suuri lääketieteellinen tietosanakirja

Kineettinen energia on mekaanisen järjestelmän energiaa, joka riippuu sen pisteiden liikenopeudesta. Translaatio- ja pyörimisliikkeen kineettinen energia vapautuu usein. Tarkemmin sanottuna kineettinen energia on ero kokonaisen... ... Wikipedian välillä

α-peptidin lämpöliike. Peptidin muodostavien atomien monimutkainen vapina liike on satunnaista, ja yksittäisen atomin energia vaihtelee suuresti, mutta tasajakolain avulla se lasketaan kunkin ... ... Wikipedia

α-peptidin lämpöliike. Peptidin muodostavien atomien monimutkainen vapina liike on satunnaista, ja yksittäisen atomin energia vaihtelee suuresti, mutta tasajakolain avulla se lasketaan kunkin ... ... Wikipedia

- (ranskalaiset marées, saksan Gezeiten, englantilaiset vuorovedet) säännölliset vedenpinnan vaihtelut kuun ja auringon vetovoiman vuoksi. Yleistä tietoa. P. näkyy parhaiten valtamerten rannoilla. Välittömästi laskuveden jälkeen merenpinta alkaa... ... Ensyklopedinen sanakirja F.A. Brockhaus ja I.A. Ephron

Kylmäalus Ivory Tirupati alkuperäinen vakaus on negatiivinen Vakauskyky ... Wikipedia

Kylmäalus Ivory Tirupati -alkuvakaus on negatiivinen Vakavuus on kelluvan aluksen kykyä kestää ulkoisia voimia, jotka saavat sen rullaamaan tai trimmaamaan ja palaamaan tasapainotilaan häiriön päätyttyä... ... Wikipedia

Tarkastellaan ensin jäykkää kappaletta, joka pyörii kiinteän akselin OZ ympäri kulmanopeudella ω (Kuva 5.6). Jaetaan keho alkeismassoiksi. Alkuainemassan lineaarinen nopeus on yhtä suuri kuin , missä on sen etäisyys pyörimisakselista. Kineettinen energia i- että alkeismassa on yhtä suuri

.

Koko kehon liike-energia koostuu siis sen osien liike-energioista

.

Kun otetaan huomioon, että tämän suhteen oikealla puolella oleva summa edustaa kappaleen hitausmomenttia suhteessa pyörimisakseliin, saadaan lopulta

. (5.30)

Pyörivän kappaleen kineettisen energian kaavat (5.30) ovat samanlaiset kuin vastaavat kappaleen translaatioliikkeen kineettisen energian kaavat. Ne saadaan jälkimmäiseltä muodollisesti korvaamalla .

Yleisesti ottaen jäykän kappaleen liike voidaan esittää liikkeiden summana - nopeudella translaationa, sama nopeus kehon massakeskipiste ja pyöriminen kulmanopeudella massakeskuksen läpi kulkevan hetkellisen akselin ympäri. Tässä tapauksessa kehon kineettisen energian ilmaisu saa muodon

.

Etsitään nyt työ, jonka ulkoisten voimien momentti tekee jäykän kappaleen pyörimisen aikana. Ulkoisten voimien alkeellinen työ ajassa dt on yhtä suuri kuin kehon liike-energian muutos

Ottaen differentiaalin pyörivän liikkeen kineettisestä energiasta, löydämme sen lisäyksen

.

Pyörimisliikkeen dynamiikan perusyhtälön mukaisesti

Ottamalla huomioon nämä suhteet, pelkistämme elementtityön ilmaisun muotoon

missä on ulkoisten voimien tuloksena olevan momentin projektio pyörimisakselin suunnassa OZ, on kappaleen pyörimiskulma tarkastellun ajanjakson aikana.

Integroimalla (5.31) saadaan kaava pyörivään kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien toiminnalle

Jos , kaava yksinkertaistuu

Siten ulkoisten voimien työ jäykän kappaleen pyöriessä suhteessa kiinteään akseliin määräytyy näiden voimien momentin projektion vaikutuksesta tälle akselille.

Gyroskooppi

Gyroskooppi on nopeasti pyörivä symmetrinen kappale, jonka pyörimisakseli voi muuttaa suuntaaan avaruudessa. Jotta gyroskoopin akseli voi pyöriä vapaasti avaruudessa, gyroskooppi asetetaan ns. kardaaniripustukseen (kuva 5.13). Gyroskoopin vauhtipyörä pyörii sisärenkaassa sen painopisteen läpi kulkevan akselin C 1 C 2 ympäri. Sisärengas puolestaan ​​voi pyöriä ulkorenkaassa akselin B 1 B 2 ympäri, kohtisuorassa C 1 C 2 -akseliin nähden. Lopuksi ulkokehä voi pyöriä vapaasti tuen laakereissa akselin A 1 A 2 ympäri, kohtisuorassa akseleihin C 1 C 2 ja B 1 B 2 nähden. Kaikki kolme akselia leikkaavat jossain kiinteässä pisteessä O, jota kutsutaan jousituksen keskipisteeksi tai gyroskoopin tukipisteeksi. Gibaalissa olevalla gyroskoopilla on kolme vapausastetta, ja siksi se voi pyörittää minkä tahansa gimbalin keskustan ympäri. Jos gyroskoopin jousituksen keskipiste osuu yhteen sen painopisteen kanssa, tuloksena oleva gyroskoopin kaikkien osien painovoima suhteessa ripustuksen keskipisteeseen on nolla. Tällaista gyroskooppia kutsutaan tasapainoiseksi.

Mietitään nyt eniten tärkeitä ominaisuuksia gyroskoopit, jotka ovat löytäneet laajan sovelluksen eri aloilla.

1) Vakaus.

Kun tasapainotetun gyroskoopin telinettä pyöritetään, sen pyörimisakseli pysyy muuttumattomana suhteessa laboratoriojärjestelmä lähtölaskenta. Tämä johtuu siitä, että kaikkien ulkoisten voimien momentti, joka on yhtä suuri kuin kitkavoimien momentti, on hyvin pieni eikä käytännössä aiheuta muutosta gyroskoopin kulmamomentissa, ts.

Koska kulmamomentti on suunnattu gyroskoopin pyörimisakselia pitkin, sen suuntauksen tulee pysyä muuttumattomana.

Jos ulkoinen voima vaikuttaa lyhyen aikaa, kulmamomentin lisäyksen määräävä integraali on pieni

. (5.34)

Tämä tarkoittaa, että jopa suurten voimien lyhytaikaisissa vaikutuksissa tasapainoisen gyroskoopin liike muuttuu vain vähän. Gyroskooppi näyttää vastustavan kaikkia yrityksiä muuttaa sen kulmamomentin suuruutta ja suuntaa. Tämä johtuu siitä huomattavasta vakaudesta, jonka gyroskoopin liike saavuttaa sen jälkeen, kun se saatetaan nopeaan pyörimiseen. Tätä gyroskoopin ominaisuutta käytetään laajalti ohjaamaan automaattisesti lentokoneiden, laivojen, ohjusten ja muiden laitteiden liikettä.

Jos toimit gyroskoopilla pitkä aika Jos ulkoisten voimien momentti on suunnassa vakio, gyroskoopin akseli asetetaan lopulta ulkoisten voimien momentin suuntaan. Tämä ilmiö käytetään gyrokompassissa. Tämä laite on gyroskooppi, jonka akselia voidaan vapaasti pyörittää vaakatasossa. Maan päivittäisestä pyörimisestä ja keskipakovoimien vaikutuksesta johtuen gyroskoopin akseli pyörii niin, että kulma ja välinen kulma tulee minimaaliseksi (kuva 5.14). Tämä vastaa gyroskoopin akselin sijaintia meridiaanitasolla.

2). Gyroskooppinen vaikutus.

Jos pyörivään gyroskooppiin kohdistetaan voimien pari, joka pyrkii pyörittämään sitä pyörimisakseliin nähden kohtisuorassa olevan akselin ympäri, se alkaa pyöriä kolmannen akselin ympäri, kohtisuorassa kahteen ensimmäiseen nähden (kuva 5.15). Tätä gyroskoopin epätavallista käyttäytymistä kutsutaan gyroskooppiseksi efektiksi. Se selittyy sillä, että voimaparin momentti on suunnattu pitkin O 1 O 1 -akselia ja vektorin suuruusmuutos ajan myötä on sama suunta. Tämän seurauksena uusi vektori pyörii suhteessa O 2 O 2 -akseliin. Siten gyroskoopin käyttäytyminen, ensi silmäyksellä luonnotonta, vastaa täysin pyörivän liikkeen dynamiikan lakeja

3). Gyroskoopin precessio.

Gyroskoopin precessio on sen akselin kartiomainen liike. Se tapahtuu siinä tapauksessa, että ulkoisten voimien momentti, joka pysyy suuruudeltaan vakiona, pyörii samanaikaisesti gyroskoopin akselin kanssa muodostaen sen kanssa koko ajan suoran kulman. Precession havainnollistamiseen voidaan käyttää polkupyörän pyörää, jossa on pidennetty akseli, joka on asetettu nopeaan pyörimiseen (kuva 5.16).

Jos pyörä on ripustettu akselin pidennetyn pään varaan, sen akseli alkaa kulkea pystyakselin ympäri oman painonsa vaikutuksesta. Nopeasti pyörivä yläosa voi myös toimia osoituksena precessiosta.

Selvitetään gyroskoopin precession syyt. Tarkastellaan epätasapainoista gyroskooppia, jonka akseli voi pyöriä vapaasti tietyn pisteen O ympäri (kuva 5.16). Gyroskooppiin kohdistettu painovoima on suuruudeltaan yhtä suuri

missä on gyroskoopin massa, on etäisyys pisteestä O gyroskoopin massakeskipisteeseen, on gyroskoopin akselin muodostama kulma pystysuoran kanssa. Vektori on suunnattu kohtisuoraan gyroskoopin akselin läpi kulkevaan pystytasoon nähden.

Tämän hetken vaikutuksesta gyroskoopin kulmamomentti (sen alkupiste on pisteessä O) saa ajan lisäyksen ja gyroskoopin akselin läpi kulkeva pystytaso pyörii kulman verran. Vektori on aina kohtisuorassa kohtaan, joten ilman suuruusmuutoksia vektori muuttuu vain suunnassa. Kuitenkin jonkin ajan kuluttua keskinäinen järjestely vektorit ja ovat samat kuin alkuhetkellä. Tämän seurauksena gyroskoopin akseli pyörii jatkuvasti pystysuoran ympäri, mikä kuvaa kartiota. Tätä liikettä kutsutaan precessioksi.

Määritetään precession kulmanopeus. Kuvan 5.16 mukaan kartion akselin ja gyroskoopin akselin läpi kulkevan tason kiertokulma on yhtä suuri kuin

missä on gyroskoopin kulmaliikemäärä ja sen kasvu ajan myötä.

Jakamalla :lla, ottaen huomioon havaitut suhteet ja muunnokset, saadaan precession kulmanopeus

. (5.35)

Tekniikassa käytettävillä gyroskoopeilla precession kulmanopeus on miljoonia kertoja pienempi kuin gyroskoopin pyörimisnopeus.

Lopuksi toteamme, että precessioilmiö havaitaan myös atomeissa elektronien kiertoradan liikkeen vuoksi.

Esimerkkejä dynamiikan lakien soveltamisesta

Pyörimisliikkeen aikana

1. Tarkastellaan joitain esimerkkejä liikemäärän säilymislaista, joka voidaan toteuttaa Zhukovsky-penkillä. Yksinkertaisimmassa tapauksessa Zhukovsky-penkki on kiekon muotoinen alusta (tuoli), joka voi pyöriä vapaasti pystyakselin ympäri kuulalaakereilla (kuva 5.17). Mielenosoittaja istuu tai seisoo penkillä, minkä jälkeen se saatetaan kiertoon. Koska laakereiden käytöstä johtuvat kitkavoimat ovat hyvin pieniä, penkistä ja demonstraattorista koostuvan järjestelmän kulmamomentti suhteessa pyörimisakseliin ei voi muuttua ajan kuluessa, jos järjestelmä jätetään omiin käsiinsä. . Jos mielenosoittaja pitää raskaita käsipainoja käsissään ja levittää kätensä sivuille, niin hän lisää järjestelmän hitausmomenttia, ja siksi pyörimiskulman on pienennettävä niin, että kulmamomentti pysyy muuttumattomana.

Liikemäärän säilymislain mukaan luomme yhtälön tälle tapaukselle

missä on henkilön ja penkin hitausmomentti ja ensimmäisessä ja toisessa asennossa olevien käsipainojen hitausmomentti ja on järjestelmän kulmanopeudet.

Järjestelmän pyörimiskulmanopeus nostettaessa käsipainoja sivulle on yhtä suuri

.

tehdä työtä, ihmisen tekemä käsipainoja liikutettaessa voidaan määrittää järjestelmän kineettisen energian muutoksen kautta

2. Tehdään toinen kokeilu Zhukovsky-penkillä. Esittelijä istuu tai seisoo penkillä ja hänelle ojennetaan nopeasti pyörivä pyörä, jonka akseli on suunnattu pystysuoraan (kuva 5.18). Esittelijä kääntää sitten pyörää 180 0 . Tällöin pyörän kulmamomentin muutos siirtyy kokonaan penkkiin ja demonstraattoriin. Tämän seurauksena penkki alkaa yhdessä demonstraattorin kanssa pyöriä liikemäärän säilymislain perusteella määritetyllä kulmanopeudella.

Järjestelmän kulmamomentti alkutilassa määräytyy vain pyörän kulmamomentin mukaan ja on yhtä suuri kuin

missä on pyörän hitausmomentti ja sen pyörimisen kulmanopeus.

Kun pyörää on käännetty 180 0 kulman läpi, järjestelmän kulmamomentti määräytyy penkin liikemäärän ja pyörän liikemäärän summana. Ottaen huomioon, että pyörän kulmamomenttivektori on vaihtanut suuntaaan päinvastaiseksi ja sen projektiosta pystyakselille on tullut negatiivinen, saadaan

,

missä on "henkilö-taso" -järjestelmän hitausmomentti ja penkin pyörimiskulmanopeus henkilön kanssa.

Liikemäärän säilymislain mukaan

Ja .

Tuloksena löydämme penkin pyörimisnopeuden

3. Ohut massatanko m ja pituus l pyörii kulmanopeudella ω=10 s -1 vaakatasossa tangon keskiosan läpi kulkevan pystyakselin ympäri. Jatkaen pyörimistä samassa tasossa, sauva liikkuu niin, että pyörimisakseli kulkee nyt tangon pään läpi. Etsi kulmanopeus toisessa tapauksessa.

Tässä ongelmassa johtuen siitä, että tangon massan jakautuminen suhteessa pyörimisakseliin muuttuu, myös tangon hitausmomentti muuttuu. Eristetyn järjestelmän liikemäärän säilymislain mukaisesti meillä on

Tässä on tangon hitausmomentti suhteessa tangon keskiosan läpi kulkevaan akseliin; on sauvan hitausmomentti suhteessa sen pään läpi kulkevaan akseliin, joka löytyy Steinerin lauseesta.

Korvaamalla nämä lausekkeet liikemäärän säilymislakiin, saamme

,

.

4. Tangon pituus L= 1,5 m ja massa m 1=10 kg saranoidusti ripustettuna yläpäästä. Luoti, jonka massa on m 2=10 g, lentää vaakasuunnassa nopeudella =500 m/s ja juuttuu sauvaan. Missä kulmassa sauva taipuu iskun jälkeen?

Kuvitellaan kuvassa. 5.19. vuorovaikutuksessa olevien kappaleiden järjestelmä "sauva-luoti". Ulkoisten voimien (painovoima, akselireaktio) momentit törmäyshetkellä ovat nolla, joten voimme käyttää liikemäärän säilymislakia

Järjestelmän kulmamomentti ennen törmäystä on yhtä suuri kuin luodin kulmamomentti suhteessa ripustuskohtaan

Järjestelmän kulmamomentti joustamattoman iskun jälkeen määritetään kaavalla

,

missä on tangon hitausmomentti suhteessa ripustuspisteeseen, on luodin hitausmomentti, on tangon kulmanopeus luodin kanssa välittömästi törmäyksen jälkeen.

Ratkaisemalla tuloksena olevan yhtälön substituution jälkeen löydämme

.

Käytetään nyt mekaanisen energian säilymisen lakia. Yhdistäkäämme sauvan kineettistä energiaa luodin osumisen jälkeen sen potentiaalienergiaan korkein kohta hissi:

,

missä on tämän järjestelmän massakeskipisteen korkeus.

Tehtyään tarvittavat muutokset, saamme

Tangon taipumakulma liittyy suhteeseen

.

Kun laskelmat on suoritettu, saadaan =0.1p=18 0 .

5. Määritä Atwood-koneen kappaleiden kiihtyvyys ja langan kireys olettaen, että (kuva 5.20). Lohkon hitausmomentti suhteessa pyörimisakseliin on yhtä suuri minä, lohkon säde r. Jätä huomioimatta langan massa.

Järjestetään kaikki kuormiin ja lohkoon vaikuttavat voimat ja laaditaan niille dynaamiset yhtälöt

Jos kierre ei luista lohkoa pitkin, niin lineaari- ja kulmakiihtyvyys liittyvät toisiinsa suhteella

Ratkaisemalla nämä yhtälöt saamme

Sitten löydämme T 1 ja T 2.

6. Oberbeck-ristin hihnapyörään (kuva 5.21) kiinnitetään lanka, josta punnitaan kuorma. M= 0,5 kg. Määritä, kuinka kauan kuorman putoaminen korkealta kestää h=1 m ala-asentoon. Hihnapyörän säde r= 3 cm Neljä painoa m= 250 g kukin etäisyydellä R= 30 cm akselistaan. Ristin ja itse hihnapyörän hitausmomentti jätetään huomioimatta verrattuna kuormien hitausmomenttiin.

Mekaniikka.

Kysymys nro 1

Viitejärjestelmä. Inertiavertailujärjestelmät. Galileon suhteellisuusperiaate - Einstein.

Viitekehys- tämä on joukko kappaleita, joiden suhteen tietyn kappaleen liikettä ja siihen liittyvää koordinaattijärjestelmää kuvataan.

Inertiaalinen viitejärjestelmä (IRS) on järjestelmä, jossa vapaasti liikkuva kappale on lepotilassa tai tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä.

Galileo-Einsteinin suhteellisuusperiaate- Kaikki luonnonilmiöt missä tahansa inertiaalisessa vertailukehyksessä tapahtuvat samalla tavalla ja niillä on sama matemaattinen muoto. Toisin sanoen kaikki ISO:t ovat samanarvoisia.

Kysymys nro 2

Liikeyhtälö. Liikkeiden tyypit kiinteä. Kinematiikan päätehtävä.

Liikeyhtälöt aineellinen kohta:

- kinemaattinen liikeyhtälö

Jäykän kehon liikkeen tyypit:

1) Translaatioliike - mikä tahansa kehoon piirretty suora viiva liikkuu yhdensuuntaisesti itsensä kanssa.

2) Pyörimisliike - mikä tahansa kehon piste liikkuu ympyrässä.

φ = φ(t)

Kinematiikan päätehtävä- tämä on materiaalipisteen nopeuden V= V(t) ja koordinaattien (tai sädevektorin) r = r(t) aikariippuvuuden saaminen kohteesta tunnettu riippuvuus sen kiihtymishetkellä a = a(t) ja tunnetuilla alkuehdoilla V 0 ja r 0 .

Kysymys nro 7

Pulssi (Liikkeen määrä) - vektori fyysinen määrä, joka kuvaa kehon mekaanisen liikkeen mittaa. Klassisessa mekaniikassa kappaleen liikemäärä on yhtä suuri kuin massan tulo m tämä kohta nopeudellaan v, impulssin suunta on sama kuin nopeusvektorin suunta:

Teoreettisessa mekaniikassa yleistynyt impulssi on järjestelmän Lagrangin osittaisderivaata yleisen nopeuden suhteen

Jos järjestelmän Lagrange ei riipu joistakin yleistetyt koordinaatit, sitten johtuu Lagrangen yhtälöt .

Vapaan hiukkasen Lagrange-funktiolla on muoto: , joten:

Ominaisuudesta seuraa suljetun järjestelmän Lagrangian riippumattomuus asemastaan ​​avaruudessa tilan homogeenisuus: hyvin eristetylle järjestelmälle sen käyttäytyminen ei riipu siitä, mihin tilaan se sijoitetaan. Tekijä: Ei kummankaan lause Tästä homogeenisuudesta seuraa jonkin fyysisen suuren säilyminen. Tätä määrää kutsutaan impulssiksi (tavallinen, ei yleistetty).

Klassisessa mekaniikassa täydellinen impulssi Materiaalipisteiden järjestelmää kutsutaan vektorisuureeksi, joka on yhtä suuri kuin materiaalipisteiden massojen ja niiden nopeuden tulojen summa:

vastaavasti määrää kutsutaan yhden materiaalipisteen liikemääräksi. Tämä on vektorisuure, joka on suunnattu samaan suuntaan kuin hiukkasen nopeus. Kansainvälisen yksikköjärjestelmän (SI) impulssiyksikkö on kilometriä sekunnissa(kg m/s)

Jos kyseessä on äärellisen kokoinen kappale, sen liikemäärän määrittämiseksi on välttämätöntä jakaa kappale pieniin osiin, joita voidaan pitää aineellisina pisteinä ja summata niiden päälle, jolloin saadaan:

Järjestelmän impulssi, johon ulkoiset voimat eivät vaikuta (tai niitä kompensoidaan) tallennettu ajallaan:

Liikemäärän säilyminen seuraa tässä tapauksessa Newtonin toisesta ja kolmannesta laista: kirjoittamalla Newtonin toinen laki jokaiselle järjestelmän muodostavalle aineelliselle pisteelle ja summaamalla kaikki järjestelmän muodostavat aineelliset pisteet, saadaan Newtonin kolmannen lain nojalla tasa-arvo (* ).

Relativistisessa mekaniikassa ei-vuorovaikutteisten materiaalipisteiden järjestelmän kolmiulotteinen liikemäärä on määrä

,

Missä m i-paino i aineellinen kohta.

Tämä arvo säilyy ei-vuorovaikutteisten materiaalipisteiden suljetussa järjestelmässä. Kolmiulotteinen liikemäärä ei kuitenkaan ole relativistisesti invariantti suure, koska se riippuu viitekehyksestä. Merkittävämpi suure on neliulotteinen liikemäärä, joka määritetään yhdelle materiaalipisteelle

Käytännössä käytetään usein seuraavia hiukkasen massan, liikemäärän ja energian välisiä suhteita:

Periaatteessa ei-vuorovaikutteisten materiaalipisteiden järjestelmässä niiden 4 momenttia lasketaan yhteen. Vuorovaikutteisten hiukkasten suhteen relativistisessa mekaniikassa on kuitenkin otettava huomioon paitsi järjestelmän muodostavien hiukkasten liikemäärä, myös niiden välisen vuorovaikutuskentän liikemäärä. Siksi relativistisessa mekaniikassa paljon merkityksellisempi suure on energia-momenttitensori, joka täyttää täysin säilymislait.

Kysymys #8

Hitausmomentti- skalaarinen fysikaalinen suure, kappaleen hitausmitta pyörivässä liikkeessä akselin ympäri, aivan kuten kappaleen massa on sen inertian mitta translaatioliikkeessä. Jolle on ominaista massojen jakautuminen kehossa: hitausmomentti yhtä suuri kuin summa perusmassojen tulot niiden etäisyyksien neliöllä perusjoukkoon

Aksiaalinen hitausmomentti

Joidenkin kappaleiden aksiaaliset hitausmomentit.

Mekaanisen järjestelmän hitausmomentti suhteessa kiinteään akseliin ("aksiaalinen hitausmomentti") on määrä J a, yhtä suuri kuin kaikkien massojen tulojen summa n järjestelmän materiaalipisteet niiden etäisyyden neliöillä akseliin:

,

• m i-paino i piste,
• r i-etäisyys i pisteestä akselille.

Aksiaalinen hitausmomentti kehon J a on kappaleen hitausmitta pyörivässä liikkeessä akselin ympäri, aivan kuten kappaleen massa on sen inertian mitta translaatioliikkeessä.

,

• dm = ρ dV- kehon tilavuuden pienen elementin massa dV,
• ρ - tiheys,
• r- etäisyys elementistä dV akselille a.

Jos kappale on homogeeninen, eli sen tiheys on sama kaikkialla

Kaavan johtaminen

dm ja hitausmomentteja dJ i. Sitten

Ohutseinäinen sylinteri (rengas, vanne)

Kaavan johtaminen

Kappaleen hitausmomentti on yhtä suuri kuin sen osien hitausmomenttien summa. Jaa ohutseinäinen sylinteri elementeiksi, joissa on massaa dm ja hitausmomentteja dJ i. Sitten

Koska ohutseinäisen sylinterin kaikki elementit ovat samalla etäisyydellä pyörimisakselista, kaava (1) muunnetaan muotoon

Steinerin lause

Hitausmomentti Kiinteän kappaleen asema suhteessa mihin tahansa akseliin ei riipu ainoastaan ​​rungon massasta, muodosta ja koosta, vaan myös kehon asennosta suhteessa tähän akseliin. Steinerin lauseen (Huygens-Steinerin lause) mukaan hitausmomentti kehon J suhteessa mielivaltaiseen akseliin on yhtä suuri kuin summa hitausmomentti tämä ruumis Jc suhteessa akseliin, joka kulkee kehon massakeskipisteen kautta samansuuntaisesti tarkasteltavan akselin kanssa, ja kehon massan tuloon m etäisyyden neliötä kohden d akselien välissä:

Jos kappaleen hitausmomentti suhteessa akseliin, joka kulkee kappaleen massakeskipisteen kautta, niin hitausmomentti suhteessa siihen etäisyydellä sijaitsevaan yhdensuuntaiseen akseliin on yhtä suuri kuin

,

Missä - täysi massa kehot.

Esimerkiksi tangon hitausmomentti sen pään läpi kulkevaan akseliin nähden on yhtä suuri:

Pyörimisenergia

Pyörimisliikkeen kineettinen energia- kehon energia, joka liittyy sen pyörimiseen.

Kappaleen pyörivän liikkeen tärkeimmät kinemaattiset ominaisuudet ovat sen kulmanopeus (ω) ja kulmakiihtyvyys. Pyörimisliikkeen tärkeimmät dynaamiset ominaisuudet - kulmamomentti suhteessa pyörimisakseliin z:

K z = I zω

ja kineettistä energiaa

missä I z on kappaleen hitausmomentti suhteessa pyörimisakseliin.

Samanlainen esimerkki voidaan löytää, kun tarkastellaan pyörivää molekyyliä, jolla on päähitausakselit minä 1, minä 2 Ja minä 3. Tällaisen molekyylin pyörimisenergia saadaan lausekkeella

Missä ω 1, ω 2, Ja ω 3- kulmanopeuden pääkomponentit.

Yleensä energia pyörimisen aikana kulmanopeudella löydetään kaavasta:

, Missä minä- inertiatensori.

Kysymys nro 9

Impulssin hetki (kulmamomentti, kulmaliikemäärä, kiertoliikemäärä, kulmaliikemäärä) kuvaa pyörivän liikkeen määrää. Määrä, joka riippuu siitä, kuinka paljon massaa pyörii, kuinka se jakautuu suhteessa pyörimisakseliin ja millä nopeudella pyöriminen tapahtuu.

On huomattava, että pyöriminen ymmärretään tässä laajasti, ei vain säännöllisenä pyörimisenä akselin ympäri. Esimerkiksi vaikka kanssa suora liike kappale mielivaltaisen kuvitteellisen pisteen ohi, joka ei ole liikeviivalla, sillä on myös liikemäärä. Ehkä suurin rooli kulmamomentilla on todellisen pyörimisliikkeen kuvaamisessa. Se on kuitenkin erittäin tärkeä paljon laajemmalle ongelmaryhmälle (varsinkin jos ongelmalla on keskus- tai aksiaalisymmetria, mutta ei vain näissä tapauksissa).

Liikemäärän säilymislaki(liikemäärän säilymislaki) - suljetun järjestelmän kaikkien liikemäärän kulmamäärän vektorisumma suhteessa mihin tahansa akseliin pysyy vakiona järjestelmän tasapainossa. Tämän mukaisesti suljetun järjestelmän kulmaliikemäärä suhteessa mihin tahansa liikemäärän ajan suhteen ei-derivaataan on voimamomentti:

Siten vaatimus järjestelmän sulkemisesta voidaan heikentää vaatimukseen, että ulkoisten voimien pää- (kokonais)momentti on nolla:

missä on yhden hiukkasjärjestelmään kohdistuvan voiman momentti. (Mutta tietysti, jos ulkoisia voimia ei ole ollenkaan, tämä vaatimus täyttyy myös).

Matemaattisesti liikemäärän säilymislaki seuraa avaruuden isotropiasta, eli avaruuden muuttumattomuudesta mielivaltaisen kulman läpi tapahtuvan pyörimisen suhteen. Kun kierretään mielivaltaisella äärettömällä kulmalla, hiukkasen sädevektori muuttuu numerolla ja nopeus - . Järjestelmän Lagrange-funktio ei muutu tällaisella kierrolla avaruuden isotropian vuoksi. Siksi

Pyörivän kappaleen liike-energian ilmaisu ottaen huomioon tämä lineaarinen nopeus mielivaltaisen materiaalipisteen, joka muodostaa kappaleen, pyörimisakselin suhteen on yhtä suuri kuin sillä on muoto

missä on kappaleen hitausmomentti suhteessa valittuun pyörimisakseliin, sen kulmanopeus suhteessa tähän akseliin ja kappaleen kulmamomentti suhteessa pyörimisakseliin.

Jos kappaleessa tapahtuu translaatiokiertoliikettä, niin kineettisen energian laskenta riippuu napavalinnasta, jonka suhteen kehon liikettä kuvataan. Lopputulos on sama. Joten jos pyöreälle kappaleelle, joka vierii nopeudella v luistamatta säteellä R ja hitauskertoimella k, napa otetaan sen CM:stä pisteessä C, niin sen hitausmomentti on , ja pyörimiskulmanopeus akselin ympäri C on. Silloin kehon liike-energia on .

Jos napa otetaan kappaleen ja sen pinnan kosketuspisteestä O, jonka läpi kappaleen hetkellinen pyörimisakseli kulkee, niin sen hitausmomentti suhteessa akseliin O tulee yhtä suureksi. . Tällöin kappaleen kineettinen energia, kun otetaan huomioon, että kappaleen pyörimiskulmanopeudet ovat samat suhteessa yhdensuuntaisiin akseleihin ja kappale suorittaa puhdasta kiertoa O-akselin ympäri, on yhtä suuri kuin . Tulos on sama.

Monimutkaista liikettä suorittavan kappaleen kineettistä energiaa koskevalla lauseella on sama muoto kuin sen translaatioliikkeellä: .

Esimerkki 1. Kappale, jonka massa on m, on kiinnitetty langan päähän, joka on kierretty sylinterimäisen kappaleen, jonka säde on R ja massa M, ympärille. Vartalo nostetaan korkeuteen h ja vapautetaan (kuva 65). Kierteen joustamattoman nykimisen jälkeen runko ja lohko alkavat välittömästi liikkua yhdessä. Kuinka paljon lämpöä vapautuu nykimisen aikana? Mikä on rungon kiihtyvyys ja langan kireys nykimisen jälkeen? Mikä on kappaleen nopeus ja sen kulkema matka langan nykimisen jälkeen ajan t jälkeen?

Annettu: M, R, m, h, g, t. löytö: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

Ratkaisu: Rungon nopeus ennen langan nykimistä. Kierteen nykimisen jälkeen kappale ja kappale siirtyvät pyörivään liikkeeseen suhteessa lohkoakseliin O ja käyttäytyvät kuin kappaleet, joiden hitausmomentit suhteessa tähän akseliin ovat ja . Heidän yleinen hetki inertia pyörimisakselin ympärillä.

ketjun ääliö - nopea prosessi ja nykimisen aikana tapahtuu lohko-runkojärjestelmän kulmamomentin säilymislaki, joka johtuen siitä, että runko ja kappale välittömästi nykäyksen jälkeen alkavat liikkua yhdessä, on muotoa: . Mistä kappaleen alkuperäinen pyörimiskulma tulee? , ja kappaleen lineaarinen alkunopeus .

Järjestelmän liike-energia, joka johtuu sen kulmamomentin säilymisestä välittömästi kierteen nykimisen jälkeen, on yhtä suuri kuin . Nykimisen aikana vapautuva lämpö energian säilymisen lain mukaan

Järjestelmän kappaleiden dynaamiset liikeyhtälöt langan nykimisen jälkeen eivät riipu niiden alkunopeudesta. Lohkolle sillä on muoto tai, ja keholle. Kun nämä kaksi yhtälöä lisätään, saadaan . Mistä kehon liikkeen kiihtyvyys tulee? Langan jännitys

Kehon liikkeen kinemaattisilla yhtälöillä nykäyksen jälkeen on muoto , jossa kaikki parametrit tunnetaan.

Vastaus: . .

Esimerkki 2. Kaksi pyöreää kappaletta, joissa inertiakertoimet (ontto sylinteri) ja (pallo) sijaitsevat kaltevan tason pohjalla, jossa on kaltevuuskulma α ilmoittaa identtiset alkunopeudet, jotka on suunnattu ylöspäin kaltevaa tasoa pitkin. Mihin korkeuteen ja missä ajassa ruumiit nousevat tälle korkeudelle? Mitkä ovat nousevien kappaleiden kiihtyvyydet? Kuinka monta kertaa kappaleiden nousun korkeudet, ajat ja kiihtyvyydet eroavat toisistaan? Kehot liikkuvat kaltevaa tasoa pitkin liukumatta.

Annettu: . löytö:

Ratkaisu: Kehoon vaikuttaa: painovoima m g, kalteva tasoreaktio N, ja kytkimen kitkavoima (kuva 67). Toimii normaali reaktio ja adheesiokitkavoimat (ei luista eikä vapaudu lämpöä rungon ja tason tarttumispisteessä.) ovat nolla: , joten kappaleiden liikkeen kuvaamiseen on mahdollista käyttää energian säilymisen lakia: . Missä .

Löydämme kappaleiden liikkeen ajat ja kiihtyvyydet kinemaattisista yhtälöistä . Missä , . Nostokappaleiden korkeuksien, aikojen ja kiihtyvyyksien suhde:

Vastaus: , , , .

Esimerkki 3. Nopeudella lentävä massaluoti osuu M ja säde R:n pallon keskelle, joka on kiinnitetty massaltaan m ja pituudeltaan l olevan sauvan päähän ja joka on ripustettu pisteeseen O toisesta päästään, ja lentää siitä ulos. nopeudella (kuva 68). Selvitä sauva-pallojärjestelmän pyörimiskulmanopeus välittömästi iskun jälkeen ja tangon taipumakulma luodin törmäyksen jälkeen.

Annettu: . löytö:

Ratkaisu: Tangon ja pallon hitausmomentit suhteessa sauvan ripustuspisteeseen O Steinerin lauseen mukaisesti: ja . Tanko-pallojärjestelmän kokonaishitausmomentti . Luodin isku on nopea prosessi, ja luoti-tanko-pallo -järjestelmän kulman liikemäärän säilymislaki toteutuu (törmäyksen jälkeen kappaleet alkavat pyöriä): . Mistä sauva-pallojärjestelmän liikkeen kulmanopeus välittömästi törmäyksen jälkeen tulee?

Tankopallojärjestelmän CM:n sijainti suhteessa ripustuspisteeseen O: . Järjestelmän CM:n energian säilymislaki törmäyksen jälkeen, kun otetaan huomioon järjestelmän kulmamomentin säilymislaki törmäyksessä, on muotoa . Mistä järjestelmän CM:n korkeus nousee törmäyksen jälkeen? . Tangon taipumakulma iskun jälkeen määräytyy olosuhteiden mukaan .

Vastaus: , , .

Esimerkki 4. Lohko puristetaan voimalla N pyöreään kappaleeseen, jonka massa on m ja säde R ja jonka hitauskerroin on k ja joka pyörii kulmanopeudella . Kuinka kauan kestää, että sylinteri pysähtyy ja kuinka paljon lämpöä vapautuu, kun tyyny hankaa sylinteriä tänä aikana? Lohkon ja sylinterin välinen kitkakerroin on .

Annettu: löytö:

Ratkaisu: Kitkavoiman tekemä työ ennen kehon pysähtymistä liike-energian lauseen mukaan on yhtä suuri kuin . Lämpöä vapautuu pyörimisen aikana .

Kappaleen pyörimisliikkeen yhtälöllä on muoto . Mistä sen hitaan pyörimisen kulmakiihtyvyys tulee? . Aika, joka kuluu kehon pyörimiseen, kunnes se pysähtyy.

Vastaus: , .

Esimerkki 5. Pyöreä kappale, jonka massa on m ja säde R, jonka hitauskerroin on k, kierretään kulmanopeuteen vastapäivään ja asetetaan vaakasuoralle pinnalle pystysuoran seinän viereen (kuva 70). Kuinka kauan kestää, että keho pysähtyy ja kuinka monta kierrosta se tekee ennen pysähtymistä? Kuinka paljon lämpöä vapautuu, kun keho hankaa pintaa tänä aikana? Rungon pinnan kitkakerroin on yhtä suuri kuin .

Annettu: . löytö:

Ratkaisu: Kappaleen pyörimisen aikana sen pysähtymiseen vapautuva lämpö on yhtä suuri kuin kitkavoimien työ, joka voidaan löytää kappaleen liike-energian lauseella. Meillä on.

Vaakatason reaktio. Vaaka- ja pystypinnasta kehoon vaikuttavat kitkavoimat ovat yhtä suuret: ja . Näiden kahden yhtälön järjestelmästä saadaan ja .

Kun nämä suhteet otetaan huomioon, kappaleen pyörimisliikkeen yhtälö on muotoa (. Mistä kappaleen pyörimiskulmakiihtyvyys on yhtä suuri kuin. Sitten kappaleen pyörimisaika ennen sen pysähtymistä ja sen kierrosten lukumäärä tekee.

Vastaus: , , , .

Esimerkki 6. Pyöreä kappale, jonka hitauskerroin on k, rullaa liukumatta vaakasuoralla pinnalla olevan puolipallon, jonka säde on R, huipulta (kuva 71). Millä korkeudella ja millä nopeudella se irtoaa pallonpuoliskosta ja millä nopeudella se putoaa vaakasuoralle pinnalle?

Annettu: k, g, R. löytö:

Ratkaisu: Voimat vaikuttavat kehoon . Työ ja 0, (puolipallon ja pallon tarttumispisteessä ei ole luisumista eikä lämpöä vapaudu), joten kappaleen liikkeen kuvaamiseen voidaan käyttää energian säilymisen lakia. Newtonin toinen laki kappaleen CM:lle siinä kohdassa, jossa se eroaa pallonpuoliskosta, ottaen huomioon, että tässä kohdassa on muoto , josta . Kappaleen alkupisteen ja erotuspisteen energian säilymislaki on muotoa . Kun kehon korkeus ja irtautumisnopeus puolipallosta ovat yhtä suuret, .

Kun keho on erotettu pallonpuoliskosta, vain sen translaatiokineettinen energia muuttuu, joten energian säilymislaki kappaleen irtoamis- ja putoamispisteille on muotoa . Minne, ottaen huomioon, pääsemme . Kappaleelle, joka liukuu puolipallon pintaa pitkin ilman kitkaa, k=0 ja , , .

Vastaus: , , .