Videokurssi “Get an A” sisältää kaikki menestymiseen tarvittavat aiheet yhtenäisen valtionkokeen läpäiseminen matematiikassa 60-65 pistettä. Täysin kaikki Profile Unified State -kokeen matematiikan tehtävät 1-13. Soveltuu myös matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon suorittamiseen. Jos haluat läpäistä yhtenäisen valtionkokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi yhtenäiseen valtionkokeeseen luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan yhtenäisen valtionkokeen osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä 100 pisteen opiskelija eikä humanistinen opiskelija pärjää ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Nopeita tapoja Unified State Exam ratkaisut, sudenkuopat ja salaisuudet. Kaikki FIPI Task Bankin osan 1 nykyiset tehtävät on analysoitu. Kurssi täyttää täysin Unified State Exam 2018 -vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja yhtenäisiä valtionkoetehtäviä. Sanatehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat algoritmit ongelmien ratkaisemiseen. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten yhtenäisten valtiontutkintotehtävien analyysi. Stereometria. Hankalia ratkaisuja, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilallisen mielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä tehtävään 13. Ymmärtäminen tukahdutuksen sijaan. Visuaalinen selitys monimutkaisia ​​käsitteitä. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Perusta yhtenäisen valtionkokeen osan 2 monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseen.

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joita voidaan käyttää tunnistamiseen tietty henkilö tai ota yhteyttä häneen.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia ​​tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeudenkäyntimenettelyn, oikeudenkäynnin ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyynnön perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

\(\blacktriangleright\) Suoran ja tason välinen kulma on suoran ja sen tähän tasoon projektion välinen kulma (eli se on kulma \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).

\(\blacktriangleright\) Jotta voit selvittää suoran \(a\) ja tason \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\)) välisen kulman, tarvitset:

Vaihe 1: Piirrä jostain pisteestä \(A\in a\) kohtisuora \(AO\) tasoon \(\phi\) (\(O\) on kohtisuoran kanta);

Vaihe 2: sitten \(BO\) on kaltevan \(AB\) projektio tasolle \(\phi\) ;

Vaihe 3: Sitten suoran \(a\) ja tason \(\phi\) välinen kulma on yhtä suuri kuin \(\kulma ABO\) .

Tehtävä 1 #2850

Tehtävätaso: Vaikeampi kuin yhtenäinen valtionkoe

Suora \(l\) leikkaa tason \(\alpha\) . Suoralle \(l\) on merkitty jana \(AB=25\), ja tiedetään, että tämän janan projektio tasolle \(\alpha\) on yhtä suuri kuin \(24\) . Etsi suoran \(l\) ja tason \(\alpha\) välisen kulman sini

Katsotaanpa kuvaa:

Olkoon \(A_1B_1=24\) \(AB\) projektio tasolle \(\alpha\), mikä tarkoittaa \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) . Koska kaksi tasoon nähden kohtisuoraa suoraa ovat samassa tasossa, \(A_1ABB_1\) on suorakulmainen puolisuunnikkaan muotoinen. Tehdään \(AH\perp BB_1\) . Sitten \(AH=A_1B_1=24\) . Siksi Pythagoraan lauseella \ Huomaamme myös, että suoran ja tason välinen kulma on suoran ja sen tasoon projektion välinen kulma, joten haluttu kulma on \(AB\) ja \(A_1B_1) välinen kulma. \) . Koska \(AH\rinnakkais A_1B_1\) , \(AB\) ja \(A_1B_1\) välinen kulma on yhtä suuri kuin \(AB\) ja \(AH\) välinen kulma.
Sitten \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0,28.\]

Vastaus: 0,28

Tehtävä 2 #2851

Tehtävätaso: Vaikeampi kuin yhtenäinen valtionkoe

\(ABC\) – säännöllinen kolmio jonka sivu on \(3\) , \(O\) on piste, joka sijaitsee kolmion tason ulkopuolella, ja \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . Etsi kulma, jonka suorat \(OA, OB, OC\) muodostavat kolmion tason kanssa. Kerro vastauksesi asteina.

Piirretään kohtisuora \(OH\) ​​kolmion tasoon.

Harkitsemme \(\kolmio OAH, \kolmio OBH, \kolmio OCH\). Ne ovat suorakaiteen muotoisia ja samanlaisia ​​jaloissa ja hypotenuusassa. Siksi \(AH=BH=CH\) . Tämä tarkoittaa, että \(H\) on piste, joka sijaitsee samalla etäisyydellä kolmion \(ABC\) kärjestä. Näin ollen \(H\) on sen ympärille piirretyn ympyrän keskipiste. Koska \(\kolmio ABC\) on oikein, niin \(H\) on mediaanien leikkauspiste (ne ovat myös korkeuksia ja puolittajia).
Koska suoran ja tason välinen kulma on suoran ja sen projektion välinen kulma tähän tasoon ja \(AH\) on \(AO\) projektio kolmion tasoon, niin kulma \( AO\) ja kolmion taso on yhtä suuri kuin \( \kulma OAH\) .
Olkoon \(AA_1\) \(\kolmio ABC\) mediaani, joten \ Koska mediaanit jaetaan leikkauspisteellä suhteessa \(2:1\) , laskettuna kärjestä, sitten \ Sitten suorakaiteen muotoisesta \(\kolmio OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]

Huomaa, että kolmioiden yhtäläisyydestä \(OAH, OBH, OCH\) seuraa, että \(\angle OAH=\angle OBH=\angle OCH=60^\circ\).

Vastaus: 60

Tehtävä 3 #2852

Tehtävätaso: Vaikeampi kuin yhtenäinen valtionkoe

Suora \(l\) on kohtisuorassa tasoon \(\pi\) nähden. Suora \(p\) ei ole tasossa \(\pi\) eikä ole yhdensuuntainen sen kanssa, eikä se ole yhdensuuntainen suoran \(l\) kanssa. Etsi suorien \(p\) ja \(l\) sekä suoran \(p\) ja tason \(\pi\) välisten kulmien summa. Kerro vastauksesi asteina.

Ehdosta seuraa, että suora \(p\) leikkaa tason \(\pi\) . Olkoon \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .

Tällöin \(\kulma POL\) on viivojen \(p\) ja \(l\) välinen kulma.
Koska suoran ja tason välinen kulma on suoran ja sen tähän tasoon projektion välinen kulma, \(\angle OPL\) on kulma \(p\) ja \(\pi\) välillä. Huomaa, että \(\triangle OPL\) on suorakaiteen muotoinen ja \(\angle L=90^\circ\) . Terävien kulmien summasta lähtien suorakulmainen kolmio on yhtä suuri kuin \(90^\circ\) , niin \(\angle POL+\angle OPL=90^\circ\).

Kommentti.
Jos suora \(p\) ei leikkaa suoraa \(l\), piirretään suora \(p"\rinnakkais p\), joka leikkaa \(l\). Sitten suoran \(p\) välinen kulma ) ja \(l\ ) ovat yhtä suuri kuin \(p"\) ja \(l\) välinen kulma. Samoin \(p\) ja \(\pi\) välinen kulma on yhtä suuri kuin \(p"\) ja \(\pi\) välinen kulma. Ja suoralle \(p"\) edellinen ratkaisu on jo oikea.

Vastaus: 90

Tehtävä 4 #2905

Tehtävätaso: Vaikeampi kuin yhtenäinen valtionkoe

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kuutio. Piste \(N\) on reunan \(BB_1\) keskipiste ja piste \(M\) on janan \(BD\) keskipiste. Etsi \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) , jossa \(\alpha\) on kulma \(MN\) sisältävän suoran ja tason \((A_1B_1C_1D_1)\) välillä. Kerro vastauksesi asteina.

\(NM\) – keskiviiva kolmiossa \(DBB_1\) , niin \(NM \parallel B_1D\) ja \(\alpha\) on yhtä suuri kuin \(B_1D\) ja tason \((A_1B_1C_1D_1)\) välinen kulma.

Koska \(DD_1\) on kohtisuorassa tasoon \(A_1B_1C_1D_1\) nähden, \(B_1D_1\) on \(B_1D\) projektio tasoon \((A_1B_1C_1D_1)\) ja \(B_1D\) väliseen kulmaan ) ja taso \( (A_1B_1C_1D_1)\) on kulma \(B_1D\) ja \(B_1D_1\) välillä.

Olkoon kuution reuna \(x\), sitten Pythagoraan lauseen mukaan \ Kolmiossa \(B_1D_1D\) \(B_1D\) ja \(B_1D_1\) välisen kulman tangentti on yhtä suuri kuin \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\), missä \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).

Vastaus: 0.5

Tehtävä 5 #2906

Tehtävätaso: Vaikeampi kuin yhtenäinen valtionkoe

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kuutio. Piste \(N\) on reunan \(BB_1\) keskikohta, ja piste \(M\) jakaa janan \(BD\) suhteessa \(1:2\) pisteestä laskettuna \(B\) . Etsi \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) , jossa \(\alpha\) on kulma viivan, joka sisältää \(MN\) ja tason \((ABC)\) välillä. Kerro vastauksesi asteina.

Koska \(NB\) on osa \(BB_1\) ja \(BB_1\perp (ABC)\) , niin myös \(NB\perp (ABC)\) . Siksi \(BM\) on \(NM\) projektio tasolle \((ABC)\) . Tämä tarkoittaa, että kulma \(\alpha\) on yhtä suuri kuin \(\angle NMB\) .

Olkoon kuution reuna yhtä suuri kuin \(x\) . Sitten \(NB=0,5x\) . Pythagoraan lauseella \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . Koska ehdolla \(BM:MD=1:2\) , sitten \(BM=\frac13BD\) , siis \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .

Sitten suorakaiteen muotoisesta \(\kolmio NBM\) : \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\alpha=8.\]

Vastaus: 8

Tehtävä 6 #2907

Tehtävätaso: Vaikeampi kuin yhtenäinen valtionkoe

Mikä on \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\) jos \(\alpha\) on kuution diagonaalin kaltevuuskulma sen yhteen pintaan nähden?

Haluttu kulma osuu yhteen kuution lävistäjän ja sen minkä tahansa pinnan lävistäjän välisen kulman kanssa, koska tässä tapauksessa kuution lävistäjä on vinossa, kasvojen lävistäjä on tämän vinon pinnan projektio tasoon. Siten haluttu kulma on yhtä suuri kuin esimerkiksi kulma \(C_1AC\) . Jos merkitsemme kuution reunaa \(x\), niin \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\), sitten halutun kulman kotangentin neliö: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]

Vastaus: 2

Tehtävä 7 #2849

Tehtävätaso: Vaikeampi kuin yhtenäinen valtionkoe

\(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\) .
Pythagoraan lauseen mukaan \ Siten, \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\] Koska \(OH\perp (ABC)\), niin \(OH\) ​​on kohtisuorassa mihin tahansa tästä tasosta tulevaa suoraa vastaan, mikä tarkoittaa, että \(\kolmio OAH\) on suorakaiteen muotoinen. Sitten \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0.4.\]

Vastaus: 0.4

Matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen valmistautuville lukiolaisille on hyödyllistä oppia selviytymään osion "Geometria avaruudessa" tehtävissä, joissa heidän on löydettävä suoran ja tason välinen kulma. Viime vuosien kokemus osoittaa, että tällaiset tehtävät aiheuttavat valmistuneille tiettyjä vaikeuksia. Samalla lukiolaisten, joilla on koulutustaso, tulisi tuntea perusteoria ja ymmärtää, kuinka löytää suoran ja tason välinen kulma. Vain tässä tapauksessa he voivat luottaa saavansa kunnollisia pisteitä.

Tärkeimmät vivahteet

Kuten muutkin yhtenäisen valtiontutkinnon stereometriset ongelmat, tehtävät, joissa sinun on löydettävä viivojen ja tasojen väliset kulmat ja etäisyydet, voidaan ratkaista kahdella menetelmällä: geometrisella ja algebralla. Opiskelijat voivat valita itselleen sopivimman vaihtoehdon. Geometrisen menetelmän mukaan on tarpeen löytää sopiva piste suoralta, laskea siitä kohtisuora tasolle ja rakentaa projektio. Tämän jälkeen valmistuneen tarvitsee vain soveltaa teoreettisia perustietoja ja ratkaista planimetrinen tehtävä kulman laskemiseksi. Algebrallinen menetelmä sisältää koordinaattijärjestelmän käyttöönoton halutun määrän löytämiseksi. On tarpeen määrittää kahden suoran pisteen koordinaatit, muodostaa oikein tason yhtälö ja ratkaista se.

Tehokas valmistautuminen Shkolkovon kanssa

Jotta luokat olisivat helppoja ja jopa monimutkaiset tehtävät eivät aiheuta vaikeuksia, valitse meidän koulutusportaali. Tässä on kaikki tarvittava materiaali onnistunut valmistuminen sertifiointitesti. Tarvittavat perustiedot löydät "Teoreettiset tiedot" -osiosta. Ja harjoitellaksesi tehtävien suorittamista, mene matemaattisen portaalimme "Katalogiin". Tämä osio sisältää suuri valikoima harjoitukset vaihtelevassa määrin vaikeuksia. Uusia tehtäviä ilmestyy säännöllisesti luetteloon.

Venäläiset koululaiset voivat suorittaa tehtäviä linjan ja lentokoneen välisen kulman löytämiseksi verkossa tai sillä ollessaan Moskovassa tai muussa kaupungissa. Opiskelijan halutessaan mikä tahansa harjoitus voidaan tallentaa "Suosikkeihin". Näin voit tarvittaessa löytää sen nopeasti ja keskustella sen ratkaisun etenemisestä opettajan kanssa.

Artikkeli alkaa suoran ja tason välisen kulman määrittelyllä. Tämä artikkeli näyttää, kuinka voit löytää suoran ja tason välisen kulman koordinaattimenetelmällä. Esimerkkejä ja ongelmia käsitellään yksityiskohtaisesti.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ensinnäkin on tarpeen toistaa käsite suorasta avaruudessa ja tason käsite. Suoran ja tason välisen kulman määrittämiseksi tarvitaan useita apumääritelmiä. Katsotaanpa näitä määritelmiä yksityiskohtaisesti.

Määritelmä 1

Suora ja taso leikkaavat siinä tapauksessa, kun heillä on sellainen yhteinen kohta, eli se on suoran ja tason leikkauspiste.

Tason leikkaava suora voi olla kohtisuorassa tasoon nähden.

Määritelmä 2

Suora on kohtisuorassa tasoon nähden kun se on kohtisuorassa mihin tahansa tässä tasossa olevaan suoraan nähden.

Määritelmä 3

Pisteen M projektio tasolleγ on itse piste, jos se on siinä annettu lentokone, tai on tason leikkauspiste pisteen M kautta kulkevan tasoon γ nähden kohtisuorassa olevan suoran kanssa, mikäli se ei kuulu tasoon γ.

Määritelmä 4

Suoran a projektio tasolleγ on tietyn suoran kaikkien pisteiden projektioiden joukko tasolle.

Tästä saadaan, että tasoon γ nähden kohtisuorassa olevan suoran projektiolla on leikkauspiste. Havaitsemme, että suoran a projektio on viiva, joka kuuluu tasoon γ ja kulkee suoran a ja tason leikkauspisteen kautta. Katsotaanpa alla olevaa kuvaa.

Tällä hetkellä meillä on kaikki tarvittava tieto suoran ja tason välisen kulman määrittelyyn

Määritelmä 5

Suoran ja tason välinen kulma tämän suoran ja sen tähän tasoon projektion välistä kulmaa kutsutaan, eikä suora ole kohtisuorassa sitä vastaan.

Yllä annettu kulman määritelmä auttaa päättämään, että suoran ja tason välinen kulma on kahden leikkaavan suoran välinen kulma, eli annettu suora ja sen projektio tasoon. Tämä tarkoittaa, että niiden välinen kulma on aina terävä. Katsotaanpa alla olevaa kuvaa.

Suoran ja tason välistä kulmaa pidetään suorana eli 90 asteena, mutta yhdensuuntaisten suorien välistä kulmaa ei määritellä. On tapauksia, joissa sen arvo on nolla.

Ongelmissa, joissa on tarpeen löytää suoran ja tason välinen kulma, on monia ratkaisuvaihtoehtoja. Itse ratkaisun kulku riippuu tilasta saatavilla olevista tiedoista. Usein ratkaisun kumppaneita ovat kuvioiden samankaltaisuuden tai tasa-arvoisuuden merkit, kosinit, sinit, kulmien tangentit. Kulman löytäminen on mahdollista koordinaattimenetelmällä. Katsotaanpa sitä tarkemmin.

Jos kolmiulotteiseen avaruuteen tuodaan suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y z, niin siinä määritellään suora a, joka leikkaa tason γ pisteessä M, eikä se ole kohtisuorassa tasoon nähden. On tarpeen löytää kulma α, joka sijaitsee tietyn suoran ja tason välillä.

Ensin sinun on määritettävä suoran ja tason välinen kulma koordinaattimenetelmällä. Sitten saamme seuraavan.

Koordinaatistossa O x y z on määritelty suora a, joka vastaa avaruudessa olevan suoran yhtälöitä ja avaruuden suoran suuntausvektoria, tasolle γ vastaa tason yhtälö ja normaali. tason vektori. Tällöin a → = (a x , a y , a z) on annetun suoran a suuntavektori ja n → (n x , n y , n z) on tason γ normaalivektori. Jos kuvittelemme, että meillä on suoran a suuntavektorin ja tason γ normaalivektorin koordinaatit, niin niiden yhtälöt tunnetaan, eli ne on määritelty ehdoilla, niin vektorit a → ja n → yhtälön perusteella.

Kulman laskemiseksi on tarpeen muuntaa kaava tämän kulman arvon saamiseksi käyttämällä olemassa olevia suoran suuntausvektorin ja normaalivektorin koordinaatteja.

On välttämätöntä piirtää vektorit a → ja n → alkaen suoran a ja tason γ leikkauspisteestä. On 4 vaihtoehtoa näiden vektorien sijainnille suhteessa annettuihin suoriin ja tasoihin. Katso alla olevaa kuvaa, jossa näkyvät kaikki 4 muunnelmaa.

Tästä saadaan, että vektorien a → ja n → välinen kulma on merkitty a → , n → ^ ja on terävä, jolloin haluttu suoran ja tason välinen kulma α täydennetään, eli saadaan lauseke muotoa a → , n → ^ = 90 ° - α. Kun ehdon mukaan a →, n → ^ > 90 °, niin meillä on a →, n → ^ = 90 ° + α.

Tästä meillä on kosinukset yhtäläiset kulmat ovat yhtä suuret, niin viimeiset yhtäläisyydet kirjoitetaan järjestelmän muotoon

cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°

Sinun on käytettävä vähennyskaavoja lausekkeiden yksinkertaistamiseksi. Sitten saadaan yhtälöt muotoa cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°

Muutosten suorittamisen jälkeen systeemi saa muotoa sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

Tästä saadaan, että suoran ja tason välisen kulman sini on yhtä suuri kuin suoran suuntausvektorin ja annetun tason normaalivektorin välisen kulman kosinin moduuli.

Kahden vektorin muodostaman kulman etsiminen paljasti, että tämä kulma ottaa vektorien skalaaritulon arvon ja näiden pituuksien tulon. Suoran ja tason leikkauspisteestä saadun kulman sinin laskenta suoritetaan kaavan mukaan

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Tämä tarkoittaa, että kaava suoran ja tason välisen kulman laskemiseksi suoran suuntavektorin ja tason normaalivektorin koordinaatilla muunnoksen jälkeen on muotoa

α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Tunnetun sinin kosinin löytäminen on sallittua käyttämällä perusarvoa trigonometrinen identiteetti. Muodostuu suoran ja tason leikkauspiste terävä kulma. Tämä viittaa siihen, että sen arvo on positiivinen luku, ja se lasketaan kaavasta cos α = 1 - sin α.

Ratkaisemme useita samanlaisia ​​esimerkkejä materiaalin vahvistamiseksi.

Esimerkki 1

Etsi suoran x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 ja tason 2 x + z - 1 = 0 muodostaman kulman kulma, sini, kosini.

Ratkaisu

Suuntavektorin koordinaattien saamiseksi on otettava huomioon avaruuden suoran kanoniset yhtälöt. Sitten saadaan, että a → = (3, - 2, 6) on suoran x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 suuntavektori.

Normaalivektorin koordinaattien löytämiseksi on otettava huomioon yleinen yhtälö tasot, koska niiden läsnäolo määräytyy edessä olevilla kertoimilla yhtälön muuttujat. Sitten havaitaan, että tasolle 2 x + z - 1 = 0 normaalivektori on muotoa n → = (2, 0, 1).

On tarpeen jatkaa suoran ja tason välisen kulman sinin laskemista. Tätä varten on välttämätöntä korvata vektorien a → ja b → koordinaatit annettuun kaavaan. Saamme muodon ilmaisun

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

Täältä löydämme kosinin arvon ja itse kulman arvon. Saamme:

cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5

Vastaus: sin α = 12 7 5, cos α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.

Esimerkki 2

On olemassa pyramidi, joka on rakennettu vektorien A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1 arvoilla. Etsi suoran A D ja tason A B C välinen kulma.

Ratkaisu

Halutun kulman laskemiseksi tarvitaan suoran suuntausvektorin ja tason normaalivektorin koordinaatit. suoralla A D suuntavektorilla on koordinaatit A D → = 4, 1, 1.

Tasoon A B C kuuluva normaalivektori n → on kohtisuorassa vektoreihin A B → ja A C → nähden. Tämä tarkoittaa, että tason A B C normaalivektoria voidaan pitää vektorien A B → ja A C → vektoritulona. Laskemme tämän kaavalla ja saamme:

n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )

On tarpeen korvata vektorien koordinaatit halutun kulman laskemiseksi, risteyksen muodostama suora ja tasainen. saamme muodon lausekkeen:

α = arc sin A D → , n → ^ A D → · n → = arc sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2

Vastaus: a r c sin 23 21 2 .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter