Suoran ja tason välisen kulman käsite voidaan ottaa käyttöön mille tahansa suhteellinen sijainti suora ja tasainen.
Jos suora l on kohtisuorassa tasoon nähden, l:n ja välisen kulman katsotaan olevan 90 .
Jos suora l on yhdensuuntainen tason kanssa tai on tässä tasossa, l:n ja välisen kulman katsotaan olevan nolla.
Jos suora l on vinossa tasoon nähden, niin l:n ja tämän välinen kulma on kulma "suoran l ja sen projektion p välillä tasoon (kuva 39).
Riisi. 39. Suoran ja tason välinen kulma
Muistetaan siis määritelmä tälle ei-triviaalille tapaukselle: jos viiva on vino, niin suoran ja tason välinen kulma on tämän suoran välinen kulma.
Ja sen projektio tietylle tasolle.
7.1 Esimerkkejä ongelmanratkaisusta
Analysoidaan kolme tehtävää, jotka on järjestetty kasvavan monimutkaisuuden mukaan. Kolmas tehtävä on matematiikan tentin taso C2.
Tehtävä 1. Etsi säännöllisen tetraedrin sivureunan ja kantatason välinen kulma.
Ratkaisu. Olkoon ABCD säännöllinen tetraedri lasten kanssa | ||||||||||
rommi a (kuva 40). Etsi AD ja tason välinen kulma | ||||||||||
Piirretään korkeus DH. Suoran AD projektio päälle | ||||||||||
taso ABC toimii linjana AH. Siksi haluttu | ||||||||||
kulma on linjojen AD ja AH välinen kulma. | ||||||||||
Jakso AH on rajatun ympyrän säde | ||||||||||
kolmion ABC ympärillä: | ||||||||||
AH = p | ||||||||||
Nyt ulos suorakulmainen kolmio ADH: | ||||||||||
Riisi. 40. Tehtävään 1 |
||||||||||
cos "=AD=p | ||||||||||
Vastaus: arccos p | ||||||||||
Tehtävä 2. Oikein Kolmisivuinen prisma ABCA1 B1 C1 sivureuna on yhtä suuri kuin alustan sivu. Etsi suoran AA1 ja tason ABC1 välinen kulma.
Ratkaisu. Viivan ja tason välinen kulma ei muutu linjan yhdensuuntaisen siirtymisen myötä. Koska CC1 on yhdensuuntainen AA1:n kanssa, haluttu kulma "on suoran CC1 ja tason ABC1 välinen kulma (kuva 41).
B 1"
Riisi. 41. Tehtävään 2
Olkoon M pisteen AB keskipiste. Piirrä korkeus CH kolmioon CC1 M. Osoitetaan, että CH on kohtisuorassa tasoon ABC1 nähden. Tätä varten sinun on esitettävä kaksi tämän tason leikkaavaa suoraa kohtisuorassa CH:n suhteen.
Ensimmäinen suora on ilmeisesti C1 M. Todellakin, CH ? Rakenteeltaan C1 M.
Toinen rivi on AB. Itse asiassa vinon CH:n projektio tasolle ABC on suora CM; kun taas AB ? CM. Kolmen kohtisuoran lauseesta seuraa sitten, että AB ? CH.
Siis CH? ABC1. Siksi CC1:n ja ABC1:n välinen kulma on " = \CC1 H. Löydämme CH:n arvon suhteesta
C1M CH = CC1CM
(tämän suhteen molemmat osat ovat yhtä suuria kuin kaksi kertaa kolmion CC1 M pinta-ala). Meillä on:
CM = a23;
Vielä on löydettävä kulma ":
Vastaus: arcsin 3 7 .
C1M =q CC12 + CM2 =r | a2+4 | |||||||||||||||||
CH=a | ||||||||||||||||||
CH=ar | ||||||||||||||||||
sin "=CH=3: CC1 7
Tehtävä 3. Piste K otetaan kuution ABCDA1 B1 C1 D1 reunalta A1 B1 siten, että A1 K: KB1 = 3: 1. Etsi suoran AK ja tason BC1 D1 välinen kulma.
Ratkaisu. Piirustuksen jälkeen (kuva 42, vasemmalla) ymmärrämme, että lisärakenteita tarvitaan.
K B 1 | |||||||||||
Riisi. 42. Tehtävään 3 | |||||||||||
Huomioi ensin, että suora AB on tasossa BC1 D1 (koska AB k C1 D1 ). Toiseksi piirretään B1 M yhdensuuntaisesti AK:n kanssa (kuva 42, oikealla). Piirrä myös B1 C ja olkoon N B1 C:n ja BC1:n leikkauspiste.
Osoitetaan, että suora B1 C on kohtisuorassa tasoon BC1 D1 nähden. Todellakin:
1) B 1 C ? BC1 (neliön diagonaaleina);
2) B 1 C? AB kolmen kohtisuoran lauseen mukaan (AB on loppujen lopuksi kohtisuorassa vinon B1 C:n tasolle ABC projektion suoraa BC vastaan).
Siten B1 C on kohtisuorassa tason BC1 D1 kahta leikkaavaa suoraa vastaan; siksi B1 C ? BC1 D1. Siksi suoran MB projektio
sin "= B 1 N = 2 2: B 1 M 5
Suoran ja tason välisen kulman määrittely perustuu vinon projektion käsitteeseen. Määritelmä. Suoran ja tason välinen kulma on tämän suoran ja sen projektion välinen kulma annettuun tasoon.
Kuvassa 341 esittää vinon AM:n ja sen tasoon K projektion välistä kulmaa a.
Huomautus. Jos suora on yhdensuuntainen tason kanssa tai sijaitsee siinä, sen kulman tasoon nähden katsotaan olevan nolla. Jos se on kohtisuorassa tasoon nähden, kulma julistetaan oikeaksi (edellinen määritelmä ei kirjaimellisesti päde tässä!). Muissa tapauksissa viitataan terävään kulmaan suoran ja sen projektion välillä. Siksi suoran ja tason välinen kulma ei koskaan ylitä suoraa kulmaa. Huomaa myös, että tässä on oikeampaa puhua kulman mittauksesta, ei kulmasta (itse asiassa, me puhumme suoran viivan kaltevuuden mittaa tasoon nähden, mutta kulman käsite kahden säteen rajaamana litteänä kuviona ei liity tähän suoraan).
Varmistetaan vielä yksi suoran ja tason välisen terävän kulman ominaisuus.
Kaikista tietyn suoran muodostamista kulmista ja kaikista mahdollisista tason suorista kulma tämän suoran projektion kanssa on pienin.
Todiste. Siirrytään kuvaan. 342. Olkoon a annettu suora, sen projektio tasoon - mielivaltainen toinen suora tasossa K (mukavuussyistä piirrettiin se suoran a ja tason leikkauspisteen A läpi). Laitetaan se suoralle viivalle, ts. yhtä suuri kuin pohja vino MA, jossa projektio yksi pisteistä vino a.
Sitten kolmioissa kaksi sivua ovat yhtä suuret: sivu AM on yhteinen, ne ovat rakenteeltaan yhtä suuret. Mutta kolmion kolmas sivu on suurempi kuin kolmion kolmas sivu (vino sivu on suurempi kuin kohtisuora). Tämä tarkoittaa, että vastakkainen kulma in on suurempi kuin vastaava kulma a in (katso kohta 217): , joka oli todistettava.
Suoran ja tason välinen kulma on pienin kulmista tietyn suoran ja tason kaikkien mahdollisten viivojen välillä.
Reilua ja niin
Lause. Terävä kulma tasossa olevan suoran ja kaltevan projektion tähän tasoon välinen kulma on pienempi kuin tämän suoran ja itse kaltevan suoran välinen kulma.
Todiste. Olkoon - tasossa oleva suora viiva (kuva 342), a - tasoon kalteva, m - sen projektio tasoon. Käsittelemme suoraa kallistettuna tasoon, sitten se on sen projektio osoitettuun tasoon, ja edellisen ominaisuuden perusteella löydämme: mikä oli todistettava. Kolmen kohtisuoran lauseen mukaan voidaan nähdä, että siinä tapauksessa, että tasossa oleva suora on kohtisuorassa vinon projektioon (tapaus ei ole akuutti, vaan oikea kulma), suora on myös kohtisuorassa itse kaltevaan; tässä tapauksessa molemmat kulmat, joista puhumme, ovat oikeat ja siten yhtä suuret toistensa kanssa.
Olkoon jokin suorakulmainen koordinaattijärjestelmä ja suora 
. Antaa 
Ja 
- kaksi eri tasoa, jotka leikkaavat suorassa linjassa 
ja vastaavasti yhtälöillä. Nämä kaksi yhtälöä yhdessä määrittelevät suoran 
jos ja vain jos ne eivät ole yhdensuuntaisia eivätkä ole toistensa kanssa yhteensopivia, eli normaalivektorit 
Ja 
nämä koneet eivät ole kollineaarisia.
Määritelmä. Jos yhtälöiden kertoimet
eivät ole suhteellisia, niin näitä yhtälöitä kutsutaan yleiset yhtälöt suora, joka määritellään tasojen leikkausviivaksi.
Määritelmä. Kutsutaan mitä tahansa nollasta poikkeavaa vektoria, joka on yhdensuuntainen suoran kanssa ohjevektori tämä suora viiva.
Johdamme suoran yhtälön 
kulkee tämän pisteen läpi 
tila ja jolla on annettu suuntavektori 
.
Anna pointin 
- mielivaltainen suoran piste 
. Tämä piste sijaitsee suoralla, jos ja vain jos vektori 
, jolla on koordinaatit 
, kollineaarinen suuntavektoriin nähden 
suoraan. (2.28) mukaan kollineaaristen vektorien ehto 
Ja 
on muotoa
.
(3.18)
Yhtälöitä (3.18) kutsutaan kanoniset yhtälöt pisteen läpi kulkeva suora viiva 
ja jolla on suuntavektori 
.
Jos suoraan 
annetaan yleisillä yhtälöillä (3.17), sitten suuntavektorilla 
tämä viiva on ortogonaalinen normaalivektoreihin nähden 
Ja 
yhtälöiden antamat tasot. Vektori 
ristitulon ominaisuuden mukaan on ortogonaalinen kullekin vektorille 
Ja 
. Määritelmän mukaan suuntavektorina 
suoraan 
voit ottaa vektorin 
, eli 
.
Löytääksesi pisteen 
harkitse yhtälöjärjestelmää 
. Koska yhtälöiden määrittämät tasot eivät ole yhdensuuntaisia eivätkä täsmää, niin ainakaan yksi yhtälöistä ei päde 
. Tämä johtaa siihen, että ainakin yksi determinanteista 
,
,
eroaa nollasta. Varmuuden vuoksi oletamme sen 
. Sitten otetaan mielivaltainen arvo 
, saamme yhtälöjärjestelmän tuntemattomille 
Ja 
:
.
Cramerin lauseen mukaan tällä järjestelmällä on kaavojen määrittelemä ainutlaatuinen ratkaisu
,
.
(3.19)
Jos otat 
, niin yhtälöiden (3.17) antama suora kulkee pisteen läpi 
.
Näin ollen siinä tapauksessa, kun 
, suoran (3.17) kanonisilla yhtälöillä on muoto
.
Suoran (3.17) kanoniset yhtälöt kirjoitetaan samalla tavalla tapaukseen, jossa determinantti on nollasta poikkeava 
tai 
.
Jos viiva kulkee kahden erillisen pisteen kautta 
Ja 
, silloin sen kanonisilla yhtälöillä on muoto
.
(3.20)
Tämä johtuu siitä, että viiva kulkee pisteen läpi 
ja sillä on suuntavektori.
Tarkastellaan suoran kanonisia yhtälöitä (3.18). Otetaan jokainen relaatio parametriksi 
, eli 
. Yksi näiden murtolukujen nimittäjistä on eri kuin nolla, ja vastaava osoittaja voi ottaa minkä tahansa arvon, joten parametri 
voi ottaa minkä tahansa todellisen arvon. Ottaen huomioon, että jokainen suhde on 
, saamme parametriset yhtälöt suoraan:
,
,
.
(3.21)
Anna lentokoneen 
annetaan yleisellä yhtälöllä ja suoralla 
parametriset yhtälöt 
,
,
. Piste 
linjan risteys 
ja lentokone 
on kuuluttava samaan aikaan tasoon ja linjaan. Tämä on mahdollista vain, jos parametri 
täyttää yhtälön, ts. 
. Siten suoran ja tason leikkauspisteellä on koordinaatit
,
,
.
ESIMERKKI 32.
Laadi parametriyhtälöt pisteiden läpi kulkevasta suorasta 
Ja 
.
Ratkaisu. Suoralle suoralle vektorille otamme vektorin 
. Viiva kulkee pisteen läpi 
, siksi kaavan (3.21) mukaan suoran halutuilla yhtälöillä on muoto 
,
,
.
ESIMERKKI 33.
Kolmion kärjet 
on koordinaatit 
,
Ja 
vastaavasti. Laadi parametriset yhtälöt kärjestä vedetylle mediaanille 
.
Ratkaisu. Antaa 
- keskipuoli 
, Sitten 
,
,
. Mediaanin ohjausvektoriksi otamme vektorin 
. Silloin mediaanin parametriyhtälöillä on muoto 
,
,
.
ESIMERKKI 34
Kirjoita pisteen läpi kulkevan suoran kanoniset yhtälöt 
yhdensuuntainen suoran kanssa 
.
Ratkaisu. Suora määritellään tasojen ja normaalivektorien leikkausviivaksi 
Ja 
. Ohjevektorina 
tämä suora otamme vektorin 
, eli 
. Kohdan (3.18) mukaan halutulla yhtälöllä on muoto 
tai 
.
3.8. Viivojen välinen kulma avaruudessa. Kulma viivan ja tason välillä
Anna kaksi riviä 
Ja 
avaruudessa annetaan niiden kanonisilla yhtälöillä 
Ja 
. Sitten yksi kulmista 
näiden rivien välissä yhtä suuri kuin kulma niiden suuntavektorien välillä 
Ja 
. Määritä kulma käyttämällä kaavaa (2.22). 
saamme kaavan
.
(3.22)
Toinen kulma 
näiden rivien välissä on 
Ja 
.
Yhdensuuntaisten viivojen kunto 
Ja 
on sama kuin kollineaaristen vektorien ehto 
Ja 
ja piilee niiden koordinaattien suhteellisuudesta, eli yhdensuuntaisten viivojen ehdolla on muoto
.
(3.23)
Jos suoraan 
Ja 
ovat kohtisuorassa, silloin niiden suuntavektorit ovat ortogonaalisia, ts. perpendikulaarisuusehto määritellään yhtälöllä
.
(3.24)
Harkitse lentokonetta 
, annetaan yleisen yhtälön ja suoran avulla 
annetaan kanonisilla yhtälöillä 
.
Kulma 
rivin välissä 
ja lentokone 
täydentää kulmaa 
suoran suuntavektorin ja tason normaalivektorin välillä, ts. 
Ja 
, tai
.
(3.24)
Rinnakkaislinjan kunto 
ja lentokone 
on yhtä suuri kuin suoran suuntausvektorin ja tason normaalivektorin kohtisuora ehto, eli näiden vektorien skalaaritulon on oltava nolla:
Jos suora on kohtisuorassa tasoon nähden, tulee suoran suuntavektorin ja tason normaalivektorin olla kollineaariset. Tässä tapauksessa vektorien koordinaatit ovat verrannollisia, ts.
.
(3.26)
ESIMERKKI 35.
Etsi tylppä kulma viivojen väliltä 
,
,
Ja 
,
,
.
Ratkaisu. Näiden viivojen suuntavektoreilla on koordinaatit 
Ja 
. Yksi kulma siis 
rivien välinen suhde määräytyy, ts. 
. Siksi ongelman ehto täyttyy viivojen välisellä toisella kulmalla, joka on yhtä suuri kuin 
.
3.9. Etäisyys pisteestä viivaan avaruudessa
Antaa 
piste avaruudessa koordinaatteineen 
,
kanonisten yhtälöiden antama suora 
. Etsitään etäisyys 
pisteestä 
suoraan 
.
Sovelletaan suuntavektoria 
asiaan 
. Etäisyys 
pisteestä 
suoraan 
on vektoreille rakennetun suunnikkaan korkeus 
Ja 
. Etsi suunnikkaan pinta-ala vektoritulon avulla:
Toisella puolella, . Kahden viimeisen suhteen oikeanpuoleisesta tasa-arvosta seuraa, että
.
(3.27)
3.10. Ellipsoidi
Määritelmä. Ellipsoidi kutsutaan toisen kertaluvun pinnaksi, joka jossain koordinaattijärjestelmässä määritellään yhtälöllä
.
(3.28)
Yhtälöä (3.28) kutsutaan ellipsoidin kanoniseksi yhtälöksi.
Yhtälöstä (3.28) seuraa, että koordinaattitasot ovat ellipsoidin symmetriatasoja ja koordinaattien origo on symmetrian keskipiste. Numerot 
Niitä kutsutaan ellipsoidin puoliakseleiksi ja ne ovat segmenttien pituuksia origosta ellipsoidin leikkauspisteeseen koordinaattiakseleiden kanssa. Ellipsoidi on rajattu pinta, joka on suljettu suuntaissärmiöön 
,
,
.
Aseta ellipsoidin geometrinen näkymä. Tätä varten selvitä sen koordinaattiakselien kanssa samansuuntaisten tasojen leikkausviivojen muoto.
Tarkkuuden vuoksi harkitse ellipsoidin ja tasojen leikkausviivoja 
, yhdensuuntainen tason kanssa 
. Leikkausviivan projektion yhtälö tasolle 
saadaan arvosta (3.28), jos laitamme siihen 
. Tämän projektion yhtälöllä on muoto
.
(3.29)
Jos 
, niin (3.29) on imaginaarisen ellipsin ja ellipsoidin leikkauspisteiden yhtälö tason kanssa 
Ei. Tästä seuraa siis 
. Jos 
, niin suora (3.29) rappeutuu pisteiksi eli tasoiksi 
kosketa ellipsoidia kohdissa 
Ja 
. Jos 
, Tuo 
ja voimme ottaa käyttöön merkinnän
,
.
(3.30)
Sitten yhtälö (3.29) saa muodon
,
(3.31)
eli projektio tasoon 
ellipsoidin ja tason leikkausviivat 
on ellipsi, jonka puoliakselit määritellään yhtälöillä (3.30). Koska pinnan leikkausviiva koordinaattien kanssa yhdensuuntaisten tasojen kanssa on projektio, joka on "nostettu" korkeuteen 
, silloin leikkausviiva itse on ellipsi.
Arvoa laskettaessa 
akselin akselit 
Ja 
kasvaa ja saavuttaa maksimiarvonsa 
, eli ellipsoidin koordinaattitason leikkauksessa 
se osoittautuu suurimmaksi ellipsiksi puoliakselilla 
Ja 
.
Ellipsoidin käsite voidaan saada toisella tavalla. Harkitse lentokoneessa 
ellipsien perhe (3.31), jossa on puoliakselit 
Ja 
määräytyy suhteiden (3.30) mukaan ja riippuen 
. Jokainen tällainen ellipsi on tasoviiva, eli viiva, jonka jokaisessa pisteessä on arvo 
yhtä. Jokaisen tällaisen ellipsin "nostaminen" korkealle 
, saamme tilanäkymän ellipsoidista.
Samanlainen kuva saadaan, kun annettua pintaa leikkaavat tasot, jotka ovat yhdensuuntaisia koordinaattitasojen kanssa 
Ja 
.
Näin ollen ellipsoidi on suljettu elliptinen pinta. Kun 
ellipsoidi on pallo.
Ellipsoidin leikkausviiva minkä tahansa tason kanssa on ellipsi, koska tällainen suora on toisen kertaluvun rajoitettu viiva ja ainoa toisen kertaluvun rajoitettu viiva on ellipsi.
Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki tarvitsemasi aiheet onnistunut toimitus KÄYTÄ matematiikassa 60-65 pisteelle. Täysin kaikki profiilin tehtävät 1-13 USE matematiikassa. Soveltuu myös matematiikan peruskäytön suorittamiseen. Jos haluat läpäistä kokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!
Valmennuskurssi tenttiin luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan tentin osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä sadan pisteen opiskelija eikä humanisti tule toimeen ilman niitä.
Kaikki tarvittava teoria. Nopeita tapoja tentin ratkaisuja, ansoja ja salaisuuksia. Kaikki osan 1 asiaankuuluvat tehtävät FIPI-pankin tehtävistä on analysoitu. Kurssi täyttää täysin USE-2018:n vaatimukset.
Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.
Satoja koetehtäviä. Tekstitehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat ongelmanratkaisualgoritmit. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten USE-tehtävien analyysi. Stereometria. Ovelia temppuja ratkaisemiseen, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilamielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä - tehtävään 13. Ymmärtäminen tukkeutumisen sijaan. Visuaalinen selitys monimutkaisia käsitteitä. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Pohja kokeen 2. osan monimutkaisten tehtävien ratkaisemiseen.
TASOJEN VÄLINEN KULMA
Tarkastellaan kahta tasoa α 1 ja α 2, jotka on annettu yhtälöillä:
Alla kulma kahden tason välillä ymmärrämme yhden dihedraaliset kulmat muodostavat nämä tasot. On selvää, että normaalivektorien ja tasojen α 1 ja α 2 välinen kulma on yhtä suuri kuin jokin osoitetuista vierekkäisistä dihedraalisista kulmista tai 
. Siksi 
. Koska 
Ja 
, Tuo
.
Esimerkki. Määritä tasojen välinen kulma x+2y-3z+4=0 ja 2 x+3y+z+8=0.
Kahden tason yhdensuuntaisuuden ehto.
Kaksi tasoa α 1 ja α 2 ovat yhdensuuntaisia silloin ja vain jos niiden normaalivektorit ja ovat yhdensuuntaisia, ja siten 
.
Joten kaksi tasoa ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa, jos ja vain jos kertoimet vastaavissa koordinaateissa ovat verrannollisia:
tai
Tasojen kohtisuoran ehto.
On selvää, että kaksi konetta ovat kohtisuorassa silloin ja vain, jos niiden normaalivektorit ovat kohtisuorassa, ja siksi tai .
Täten, .
Esimerkkejä.
SUORAAN AVARUUSSA.
VEKTORIN YHTÄLÖ SUORA.
PARAMETRISET YHTÄLÖT SUORAT
Suoran viivan sijainti avaruudessa määritetään täysin määrittämällä mikä tahansa sen kiinteä piste M 1 ja tämän suoran suuntainen vektori.
Kutsutaan vektoria, joka on yhdensuuntainen suoran kanssa ohjaava tämän viivan vektori.
Joten anna suoraan l kulkee pisteen läpi M 1 (x 1 , y 1 , z 1) makaa suoralla linjalla, joka on yhdensuuntainen vektorin kanssa.
Harkitse mielivaltaista kohtaa M(x,y,z) suoralla linjalla. Kuvasta voidaan nähdä, että .
Vektorit ja ovat kollineaarisia, joten on olemassa tällainen luku t, mitä , missä on kerroin t voi ottaa minkä tahansa numeerisen arvon pisteen sijainnista riippuen M suoralla linjalla. Tekijä t kutsutaan parametriksi. Tarkoittaa pisteiden sädevektoreita M 1 ja M vastaavasti kautta ja , saamme . Tätä yhtälöä kutsutaan vektori suora yhtälö. Se osoittaa, että kunkin parametrin arvo t vastaa jonkin pisteen sädevektoria M makaa suoralla linjalla.
Kirjoitamme tämän yhtälön koordinaattimuodossa. Huomaa, että ja siksi
Tuloksena olevia yhtälöitä kutsutaan parametrinen suoraviivaiset yhtälöt.
Kun muutat parametria t koordinaatit muuttuvat x, y Ja z ja piste M liikkuu suorassa linjassa.
KANONISET YHTÄLÖT SUORAT
Antaa M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - piste, joka sijaitsee suoralla linjalla l, Ja 
on sen suuntavektori. Ota jälleen mielivaltainen piste suoralta viivalta M(x,y,z) ja harkitse vektoria .
On selvää, että vektorit ja ovat kollineaarisia, joten niiden vastaavien koordinaattien on oltava verrannollisia
– kanoninen suoraviivaiset yhtälöt.
Huomautus 1. Huomaa, että suoran kanoniset yhtälöt voidaan saada parametrisista yhtälöistä poistamalla parametri t. Todellakin, saamistamme parametriyhtälöistä 
tai .
Esimerkki. Kirjoita suoran yhtälö 
parametrisella tavalla.
Merkitse 
, siis x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Huomautus 2. Olkoon suora kohtisuorassa johonkin koordinaattiakseliin, esimerkiksi akseliin Härkä. Tällöin suoran suuntavektori on kohtisuorassa Härkä, siis, m=0. Näin ollen suoran parametriset yhtälöt saavat muodon
Parametrin poistaminen yhtälöistä t, saamme suoran yhtälöt muodossa
Kuitenkin myös tässä tapauksessa suostumme kirjoittamaan suoran kanoniset yhtälöt muotoon 
. Siten, jos yhden murto-osan nimittäjä on nolla, tämä tarkoittaa, että suora on kohtisuorassa vastaavaa koordinaattiakselia vastaan.
Samoin kanoniset yhtälöt 
vastaa suoraa, joka on kohtisuorassa akseleihin nähden Härkä Ja Oy tai yhdensuuntainen akseli Oz.
Esimerkkejä.
YLEISET YHTÄLÖT SUORA LINE KAHDEN TASOJEN LEITTÄMISVIIRVANA
Jokaisen avaruuden suoran läpi kulkee ääretön määrä tasoja. Mitkä tahansa niistä leikkaavat, määrittelevät sen avaruudessa. Siksi minkä tahansa kahden tällaisen tason yhtälöt yhdessä tarkasteltuna ovat tämän suoran yhtälöitä.
Yleensä mitkä tahansa kaksi yhdensuuntaiset tasot yleisten yhtälöiden antamana
määrittää niiden leikkauslinjan. Näitä yhtälöitä kutsutaan yleiset yhtälöt suoraan.
Esimerkkejä.
Muodosta yhtälöiden antama suora 
Suoran rakentamiseksi riittää, että löytää mitkä tahansa kaksi sen pistettä. Helpoin tapa on valita suoran leikkauspisteet koordinaattitasojen kanssa. Esimerkiksi leikkauspiste tason kanssa xOy saamme suoran yhtälöistä olettaen z= 0:
Ratkaisemalla tämän järjestelmän löydämme asian M 1 (1;2;0).
Samoin olettaen y= 0, saadaan suoran ja tason leikkauspiste xOz:
Suoran suoran yleisistä yhtälöistä voidaan edetä sen kanonisiin tai parametrisiin yhtälöihin. Tätä varten sinun on löydettävä jokin kohta M 1 viivalla ja suoran suuntavektori.
Pistekoordinaatit M 1 saamme tästä yhtälöjärjestelmästä antamalla yhdelle koordinaatista mielivaltaisen arvon. Suuntavektorin löytämiseksi huomaa, että tämän vektorin on oltava kohtisuorassa molempiin normaalivektoriin nähden 
Ja 
. Siksi suoran suuntavektorille l voit ottaa normaalivektorien ristitulon:
.
Esimerkki. Johtaa yleiset yhtälöt suoraan 
kanoniseen muotoon.
Etsi piste suoralta viivalta. Tätä varten valitsemme mielivaltaisesti yhden koordinaateista, esimerkiksi y= 0 ja ratkaise yhtälöjärjestelmä:
Suoran määrittävien tasojen normaalivektoreilla on koordinaatit 
Siksi suuntavektori on suora
. Siten, l: 
.
OIKEUDEN VÄLINEN KULMA
kulma avaruuden rivien välissä kutsumme mitä tahansa vierekkäiset kulmat, joka muodostuu kahdesta suorasta, jotka on vedetty tiedon kanssa yhdensuuntaisen mielivaltaisen pisteen läpi.
Annetaan kaksi suoraa avaruuteen:
On selvää, että viivojen välinen kulma φ voidaan ottaa niiden suuntavektorien ja :n väliseksi kulmaksi. Koska , Sitten vektorien välisen kulman kosinin kaavan mukaan saamme
