מחשבון מקוון.
פִּתָרוֹן התקדמות אריתמטית.
נתון: א , ד , נ
מצא: 1

תוכנית מתמטית זו מוצאת \(a_1\) של התקדמות אריתמטית המבוססת על מספרים שצוינו על ידי המשתמש \(a_n, d\) ו-\(n\).
ניתן לציין את המספרים \(a_n\) ו-\(d\) לא רק כמספרים שלמים, אלא גם כשברים. יתר על כך, מספר חלקיניתן להזין כשבר עשרוני (\(2.5\)) וכ שבר נפוץ(\(-5\frac(2)(7)\)).

התוכנית לא רק נותנת את התשובה לבעיה, אלא גם מציגה את תהליך מציאת הפתרון.

מחשבון מקוון זה עשוי להיות שימושי עבור תלמידי תיכון בהכנות לקראת מבחניםובחינות, בעת בדיקת ידע לפני בחינת המדינה המאוחדת, להורים לשלוט בפתרון בעיות רבות במתמטיקה ובאלגברה. או שאולי זה יקר מדי בשבילך לשכור מורה או לקנות ספרי לימוד חדשים? או שאתה פשוט רוצה לעשות את שיעורי הבית שלך במתמטיקה או אלגברה כמה שיותר מהר? במקרה זה, תוכל גם להשתמש בתוכנות שלנו עם פתרונות מפורטים.

כך תוכלו לערוך אימון משלכם ו/או אימון משלכם. אחים צעירים יותראו אחיות, בעוד שרמת ההשכלה בתחום הבעיות הנפתרות עולה.

אם אינכם מכירים את הכללים להזנת מספרים, אנו ממליצים לכם להכיר אותם.

כללים להזנת מספרים

ניתן לציין את המספרים \(a_n\) ו-\(d\) לא רק כמספרים שלמים, אלא גם כשברים.
המספר \(n\) יכול להיות רק מספר שלם חיובי.

כללים להזנת שברים עשרוניים.
ניתן להפריד בין החלקים השלמים והשברים בשברים עשרוניים באמצעות נקודה או פסיק.
לדוגמה, אתה יכול להיכנס עשרוניםאז 2.5 בערך 2.5

כללים להזנת שברים רגילים.
רק מספר שלם יכול לשמש כחלק המונה, המכנה והמספר השלם של שבר.

המכנה לא יכול להיות שלילי.

בעת הכניסה שבר מספריהמונה מופרד מהמכנה בסימן חלוקה: /
קֶלֶט:
תוצאה: \(-\frac(2)(3)\)

החלק כולו מופרד מהשבר על ידי סימן אמפרסנד: &
קֶלֶט:
תוצאה: \(-1\frac(2)(3)\)

הזן מספרים a n, d, n

מצא 1

התגלה שחלק מהסקריפטים הדרושים לפתרון בעיה זו לא נטענו, וייתכן שהתוכנית לא תעבוד.
ייתכן שהפעלת את AdBlock.
במקרה זה, השבת אותו ורענן את הדף.

JavaScript מושבת בדפדפן שלך.
כדי שהפתרון יופיע, עליך להפעיל JavaScript.
להלן הוראות כיצד להפעיל JavaScript בדפדפן שלך.

כי יש הרבה אנשים שמוכנים לפתור את הבעיה, הבקשה שלך הועמדה בתור.
תוך מספר שניות הפתרון יופיע למטה.
המתן בבקשה שניה...

אם אתה הבחין בשגיאה בפתרון, אז תוכל לכתוב על כך בטופס המשוב.
אל תשכח לציין איזו משימהאתה מחליט מה להזין בשדות.

המשחקים, הפאזלים, האמולטורים שלנו:

קצת תיאוריה.

רצף מספרים

בתרגול היומיומי, משתמשים לעתים קרובות במספור של חפצים שונים כדי לציין את הסדר שבו הם מסודרים. לדוגמה, הבתים בכל רחוב ממוספרים. בספרייה ממוספרים מנויי הקורא ולאחר מכן מסודרים לפי סדר המספרים המוקצים בקבצי כרטיסים מיוחדים.

בקופת חיסכון, באמצעות מספר החשבון האישי של המפקיד, תוכלו למצוא את החשבון הזה בקלות ולראות איזה הפקדה יש ​​עליו. תן לחשבון מס' 1 להכיל הפקדה של a1 רובל, בחשבון מס' 2 להכיל הפקדה של a2 רובל וכו'. מסתבר רצף מספרים
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
כאשר N הוא המספר של כל החשבונות. כאן, כל מספר טבעי n מ-1 עד N משויך למספר a n.

למד גם במתמטיקה רצפי מספרים אינסופיים:
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... .
המספר a 1 נקרא האיבר הראשון של הרצף, מספר 2 - מונח שני של הרצף, מספר א 3 - איבר שלישי של הרצףוכו '
המספר a n נקרא איבר nth (nth) ברצף, והמספר הטבעי n הוא שלו מספר.

למשל, ברצף של ריבועים מספרים טבעיים 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... ו-1 = 1 הוא האיבר הראשון של הרצף; ו-n = n 2 הוא קדנציה נ'רצפים; a n+1 = (n + 1) 2 הוא האיבר (n + 1) (n פלוס ראשון) של הרצף. לעתים קרובות ניתן לציין רצף על ידי הנוסחה של האיבר ה-n שלו. לדוגמה, הנוסחה \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) מגדירה את הרצף \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

התקדמות אריתמטית

אורך השנה כ-365 ימים. יותר ערך מדויקשווה ל-\(365\frac(1)(4)\) ימים, כך שכל ארבע שנים מצטברת טעות של יום אחד.

כדי לתת את הדעת על טעות זו, מוסיפים יום לכל שנה רביעית, והשנה המורחבת נקראת שנה מעוברת.

למשל, באלף השלישי שנים מעוברותהם השנים 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

ברצף זה, כל איבר, החל מהשני, שווה לקודם, נוסף לאותו מספר 4. רצפים כאלה נקראים התקדמות אריתמטית.

הַגדָרָה.
רצף המספרים a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... נקרא התקדמות אריתמטית, אם בכלל טבעי n השוויון
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
כאשר d הוא מספר כלשהו.

מנוסחה זו עולה כי a n+1 - a n = d. המספר d נקרא ההפרש התקדמות אריתמטית.

בהגדרה של התקדמות אריתמטית יש לנו:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
איפה
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), כאשר \(n>1 \)

לפיכך, כל איבר של התקדמות אריתמטית, החל מהשני, שווה לממוצע האריתמטי של שני האיברים הסמוכים לו. זה מסביר את התקדמות השם "אריתמטי".

שימו לב שאם ניתנים a 1 ו-d, אז ניתן לחשב את שאר האיברים של ההתקדמות האריתמטית באמצעות הנוסחה החוזרת על a n+1 = a n + d. בדרך זו לא קשה לחשב את המונחים הראשונים של ההתקדמות, אולם, למשל, 100 כבר ידרוש הרבה חישובים. בדרך כלל, משתמשים בנוסחת המונח ה-n עבור זה. בהגדרה של התקדמות אריתמטית
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
וכו '
בכלל,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
כי קדנציה נ'של התקדמות אריתמטית מתקבל מהאיבר הראשון על ידי הוספת (n-1) כפול המספר d.
נוסחה זו נקראת נוסחה לאיבר ה-n של התקדמות אריתמטית.

סכום n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית

מצא את הסכום של כל המספרים הטבעיים מ-1 עד 100.
בוא נכתוב את הסכום הזה בשתי דרכים:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
בואו נוסיף את השוויון מונח אחר מונח:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
לסכום הזה יש 100 תנאים
לכן, 2S = 101 * 100, ומכאן S = 101 * 50 = 5050.

הבה נבחן כעת התקדמות אריתמטית שרירותית
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
תן S n להיות הסכום של n האיברים הראשונים של התקדמות זו:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
לאחר מכן הסכום של n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית שווה ל
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

מכיוון ש-\(a_n=a_1+(n-1)d\), אז החלפת n בנוסחה זו נקבל נוסחה נוספת למציאת סכום n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

ספרים (ספרי לימוד) תקצירים של בחינת המדינה המאוחדת ובחינת המדינה המאוחדת באינטרנט משחקים, פאזלים שרטוט גרפים של פונקציות מילון איות של השפה הרוסית מילון סלנג נוער קטלוג בתי ספר רוסים קטלוג מוסדות חינוך תיכוניים של רוסיה קטלוג אוניברסיטאות רוסיות רשימת של משימות

או אריתמטיקה היא סוג של רצף מספרי מסודר, שתכונותיו נלמדות בקורס אלגברה בבית הספר. מאמר זה דן בפירוט בשאלה כיצד למצוא את הסכום של התקדמות אריתמטית.

איזו מין התקדמות זו?

לפני שנעבור לשאלה (איך מוצאים את סכום התקדמות אריתמטית), כדאי להבין על מה אנחנו מדברים.

כל רצף של מספרים ממשיים שמתקבל על ידי חיבור (חיסור) ערך כלשהו מכל מספר קודם נקרא התקדמות אלגברית (אריתמטית). הגדרה זו, כאשר היא מתורגמת לשפה מתמטית, לובשת את הצורה:

הנה אני - מספר סידוריאלמנט של הסדרה a i. לפיכך, בידיעת מספר התחלתי אחד בלבד, תוכל לשחזר בקלות את כל הסדרה. הפרמטר d בנוסחה נקרא הפרש ההתקדמות.

ניתן להראות בקלות כי עבור סדרת המספרים הנחשבת מתקיים השוויון הבא:

a n = a 1 + d * (n - 1).

כלומר, כדי למצוא את הערך של האלמנט ה-n' לפי הסדר, צריך להוסיף את ההפרש d לאלמנט הראשון a 1 n-1 פעמים.

מהו סכום התקדמות אריתמטית: נוסחה

לפני מתן הנוסחה לכמות המצוינת, כדאי לשקול פשוט מקרה מיוחד. בהתחשב בהתקדמות של מספרים טבעיים מ-1 ל-10, עליך למצוא את הסכום שלהם. מכיוון שיש מעט מונחים בהתקדמות (10), אפשר לפתור את הבעיה חזיתית, כלומר לסכם את כל האלמנטים לפי הסדר.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

כדאי להתייחס לדבר אחד מעניין: מכיוון שכל איבר שונה מהאחר באותו ערך d = 1, אז הסיכום הזוגי של הראשון עם העשירי, השני עם התשיעי וכן הלאה ייתן את אותה תוצאה. בֶּאֱמֶת:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

כפי שאתה יכול לראות, יש רק 5 מהסכומים האלה, כלומר, בדיוק פי שניים פחות ממספר האלמנטים של הסדרה. לאחר מכן תכפילו את מספר הסכומים (5) בתוצאה של כל סכום (11), תגיעו לתוצאה שהתקבלה בדוגמה הראשונה.

אם נכליל את הטיעונים הללו, נוכל לכתוב את הביטוי הבא:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

ביטוי זה מראה שאין צורך כלל לסכם את כל הרכיבים בשורה; מספיק לדעת את הערך של ה-a הראשון וה-n האחרון, וכן מספר כולל n מונחים.

מאמינים שגאוס היה הראשון שחשב על שוויון זה כשחיפש פתרון לבעיה נתונה. מורה בבית הספרמשימה: סכום את 100 המספרים השלמים הראשונים.

סכום האלמנטים מ-m עד n: נוסחה

הנוסחה שניתנה בפסקה הקודמת עונה על השאלה כיצד למצוא סכום של התקדמות אריתמטית (האלמנטים הראשונים), אך לעיתים קרובות בבעיות יש צורך לסכם סדרת מספרים באמצע ההתקדמות. איך לעשות את זה?

הדרך הקלה ביותר לענות על שאלה זו היא על ידי בחינת הדוגמה הבאה: שיהיה צורך למצוא את סכום האיברים מה-m-th עד n-th. כדי לפתור את הבעיה, עליך להציג את הקטע הנתון מ-m ל-n של ההתקדמות בצורה של סדרת מספרים חדשה. מהמבט הזה קדנציה חודשית a m יהיה ראשון, ו- n יספר n-(m-1). במקרה זה, באמצעות הנוסחה הסטנדרטית עבור הסכום, יתקבל הביטוי הבא:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

דוגמה לשימוש בנוסחאות

לדעת איך למצוא את הסכום של התקדמות אריתמטית, כדאי לשקול דוגמה פשוטה לשימוש בנוסחאות לעיל.

להלן רצף מספרי, אתה צריך למצוא את סכום האיברים שלו, החל מה-5 וכלה ב-12:

המספרים הנתונים מצביעים על כך שההפרש d שווה ל-3. בעזרת הביטוי עבור האלמנט ה-n, ניתן למצוא את הערכים של האיברים ה-5 וה-12 של ההתקדמות. מתברר:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

הכרת ערכי המספרים בקצות הנתון התקדמות אלגברית, וגם לדעת אילו מספרים בשורה הם תופסים, אתה יכול להשתמש בנוסחה לכמות שהתקבלה בפסקה הקודמת. יתברר:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

ראוי לציין שניתן לקבל ערך זה אחרת: תחילה מצא את הסכום של 12 האלמנטים הראשונים באמצעות הנוסחה הסטנדרטית, לאחר מכן חשב את סכום 4 היסודות הראשונים באמצעות אותה נוסחה, ולאחר מכן החסר את השני מהסכום הראשון.

המושג של רצף מספרים מרמז שכל מספר טבעי מתאים לערך ממשי כלשהו. סדרה כזו של מספרים יכולה להיות שרירותית או בעלת תכונות מסוימות - התקדמות. במקרה האחרון, ניתן לחשב כל רכיב (איבר) עוקב ברצף באמצעות הקודמת.

התקדמות אריתמטית היא רצף של ערכים מספריים שבהם האיברים השכנים שלו נבדלים זה מזה באותו מספר (לכל רכיבי הסדרה, החל מה-2, יש תכונה דומה). מספר זה - ההבדל בין המונחים הקודמים והבאים - הוא קבוע ונקרא הפרש ההתקדמות.

הבדל התקדמות: הגדרה

קחו בחשבון רצף המורכב מערכי j A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j שייך לקבוצת המספרים הטבעיים N. אריתמטיקה התקדמות, לפי הגדרתה, היא רצף , שבו a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = ד. הערך d הוא ההפרש הרצוי של התקדמות זו.

d = a(j) – a(j-1).

שִׂיא:

• התקדמות גוברת, ובמקרה זה d > 0. דוגמה: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• ירידה בהתקדמות, ואז ד< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

התקדמות ההבדל והמרכיבים השרירותיים שלו

אם ידועים 2 איברים שרירותיים של ההתקדמות (i-th, k-th), אז ניתן לקבוע את ההבדל עבור רצף נתון על סמך הקשר:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, כלומר d = (a(i) – a(k))/(i-k).

הבדל ההתקדמות והקדנציה הראשונה שלה

ביטוי זה יעזור לקבוע ערך לא ידוע רק במקרים שבהם המספר של רכיב הרצף ידוע.

הפרש התקדמות וסכומו

סכום התקדמות הוא סכום התנאים שלה. כדי לחשב את הערך הכולל של רכיבי ה-j הראשונים שלו, השתמש בנוסחה המתאימה:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, אבל מאז a(j) = a(1) + d(j – 1), ואז S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

כאשר לומדים אלגברה ב בית ספר תיכון(כיתה ט') אחד מ נושאים חשוביםהוא המחקר רצפי מספרים, הכוללים התקדמות - גיאומטרית ואריתמטית. במאמר זה נסתכל על התקדמות אריתמטית ודוגמאות עם פתרונות.

מהי התקדמות אריתמטית?

כדי להבין זאת, יש להגדיר את ההתקדמות המדוברת, וכן לספק את הנוסחאות הבסיסיות שישמשו בהמשך בפתרון בעיות.

ידוע כי בהתקדמות אלגברית כלשהי האיבר ה-1 שווה ל-6, והאיבר ה-7 שווה ל-18. יש צורך למצוא את ההבדל ולשחזר את הרצף הזה לאיבר ה-7.

בואו נשתמש בנוסחה כדי לקבוע את האיבר הלא ידוע: a n = (n - 1) * d + a 1 . הבה נחליף לתוכו את הנתונים הידועים מהתנאי, כלומר את המספרים a 1 ו-7, יש לנו: 18 = 6 + 6 * ד. מביטוי זה ניתן לחשב בקלות את ההפרש: d = (18 - 6) /6 = 2. לפיכך, ענינו על החלק הראשון של הבעיה.

כדי לשחזר את הרצף לאיבר השביעי, עליך להשתמש בהגדרה של התקדמות אלגברית, כלומר, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, וכן הלאה. כתוצאה מכך, אנו משחזרים את הרצף כולו: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

דוגמה מס' 3: שרטוט התקדמות

בואו נסבך את הבעיה עוד יותר. כעת עלינו לענות על השאלה כיצד למצוא התקדמות אריתמטית. ניתן לתת את הדוגמה הבאה: שני מספרים ניתנים, למשל - 4 ו-5. יש צורך ליצור התקדמות אלגברית כך שבין אלה יוצבו שלושה איברים נוספים.

לפני שתתחיל לפתור בעיה זו, אתה צריך להבין איזה מקום יתפסו המספרים הנתונים בהתקדמות העתידית. מכיוון שיהיו עוד שלושה איברים ביניהם, אז 1 = -4 ו-5 = 5. לאחר שקבענו זאת, נעבור לבעיה, הדומה לקודמתה. שוב, עבור האיבר ה-n נשתמש בנוסחה, נקבל: a 5 = a 1 + 4 * ד. מ: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. מה שקיבלנו כאן הוא לא ערך שלם של ההבדל, אבל הוא כן מספר ראציונאלי, כך שהנוסחאות להתקדמות האלגברית נשארות זהות.

כעת נוסיף את ההבדל שנמצא ל-1 ונשחזר את התנאים החסרים של ההתקדמות. נקבל: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5. עם תנאי הבעיה.

דוגמה מס' 4: קדנציה ראשונה של התקדמות

נמשיך לתת דוגמאות להתקדמות אריתמטית עם פתרונות. בכל הבעיות הקודמות, המספר הראשון של ההתקדמות האלגברית היה ידוע. כעת נתייחס לבעיה מסוג אחר: ניתן שני מספרים, כאשר 15 = 50 ו-43 = 37. יש צורך למצוא באיזה מספר רצף זה מתחיל.

הנוסחאות ששימשו עד כה מניחות ידע של 1 ו-d. בהצהרת הבעיה, לא ידוע דבר על המספרים הללו. עם זאת, נרשום ביטויים עבור כל מונח שעליו מידע זמין: a 15 = a 1 + 14 * ד ו- 43 = a 1 + 42 * ד. קיבלנו שתי משוואות שבהן יש 2 כמויות לא ידועות (a 1 ו-d). המשמעות היא שהבעיה מצטמצמת לפתרון מערכת של משוואות ליניאריות.

הדרך הקלה ביותר לפתור מערכת זו היא לבטא 1 בכל משוואה ולאחר מכן להשוות את הביטויים המתקבלים. משוואה ראשונה: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * ד; משוואה שנייה: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * ד. משווים ביטויים אלה, נקבל: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, ומכאן ההפרש d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (ניתן רק 3 מקומות עשרוניים).

אם אתה יודע את d, אתה יכול להשתמש בכל אחד משני הביטויים שלמעלה עבור 1. לדוגמה, ראשית: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

אם יש לך ספקות לגבי התוצאה שהושגה, אתה יכול לבדוק אותה, למשל, לקבוע את המונח ה-43 של ההתקדמות, המצוין בתנאי. נקבל: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. השגיאה הקטנה נובעת מהעובדה שבחישובים נעשה שימוש בעיגול לאלפיות.

דוגמה מס' 5: כמות

כעת נסתכל על מספר דוגמאות עם פתרונות לסכום של התקדמות אריתמטית.

תינתן התקדמות מספרית של הצורה הבאה: 1, 2, 3, 4, ...,. כיצד לחשב את הסכום של 100 מהמספרים הללו?

הודות להתפתחות טכנולוגיית המחשב, ניתן לפתור את הבעיה הזו, כלומר להוסיף את כל המספרים ברצף, מה שהמחשב יעשה ברגע שאדם ילחץ על מקש Enter. עם זאת, ניתן לפתור את הבעיה מבחינה נפשית אם תשים לב שסדרת המספרים המוצגת היא התקדמות אלגברית, וההפרש שלה שווה ל-1. יישום הנוסחה לסכום, נקבל: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

מעניין לציין שהבעיה הזו נקראת "גאוסית" מכיוון שבתחילת המאה ה-18 הצליח הגרמני המפורסם, עדיין רק בן 10, לפתור אותה בראשו תוך שניות ספורות. הילד לא ידע את הנוסחה לסכום התקדמות אלגברית, אבל הוא שם לב שאם מוסיפים את המספרים בקצות הרצף בזוגות, תמיד מקבלים את אותה תוצאה, כלומר 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., ומכיוון שהסכומים הללו יהיו בדיוק 50 (100 / 2), אז כדי לקבל את התשובה הנכונה מספיק להכפיל את 50 ב-101.

דוגמה מס' 6: סכום איברים מ-n עד m

דוגמה טיפוסית נוספת לסכום של התקדמות אריתמטית היא הבאה: בהינתן סדרת מספרים: 3, 7, 11, 15, ..., אתה צריך למצוא למה יהיה שווה סכום האיברים שלו מ-8 עד 14 .

הבעיה נפתרת בשתי דרכים. הראשון שבהם כרוך במציאת מונחים לא ידועים מ-8 עד 14, ואז סיכומם ברצף. מכיוון שיש מעט מונחים, שיטה זו אינה דורשת עבודה די הרבה. עם זאת, מוצע לפתור בעיה זו באמצעות שיטה שנייה, שהיא אוניברסלית יותר.

הרעיון הוא להשיג נוסחה לסכום ההתקדמות האלגברית בין האיברים m ו-n, כאשר n > m הם מספרים שלמים. עבור שני המקרים, נכתוב שני ביטויים עבור הסכום:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

מכיוון ש-n > m, ברור שהסכום השני כולל את הראשון. המסקנה האחרונה פירושה שאם ניקח את ההפרש בין הסכומים הללו ונוסיף לו את המונח a m (במקרה של לקיחת ההפרש, הוא נגרע מהסכום S n), נקבל את התשובה הנחוצה לבעיה. יש לנו: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). יש צורך להחליף נוסחאות עבור n ו-m בביטוי זה. אז נקבל: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

הנוסחה המתקבלת היא מעט מסורבלת, עם זאת, הסכום S mn תלוי רק ב-n, m, a 1 ו-d. במקרה שלנו, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. בהחלפת המספרים הללו, נקבל: S mn = 301.

כפי שניתן לראות מהפתרונות לעיל, כל הבעיות מבוססות על הכרת הביטוי לאיבר ה-n והנוסחה לסכום קבוצת האיברים הראשונים. לפני שמתחילים לפתור כל אחת מהבעיות הללו, מומלץ לקרוא בעיון את התנאי, להבין בבירור מה אתה צריך למצוא, ורק אז להמשיך עם הפתרון.

טיפ נוסף הוא לשאוף לפשטות, כלומר, אם אתה יכול לענות על שאלה בלי להשתמש בחישובים מתמטיים מורכבים, אז אתה צריך לעשות בדיוק את זה, שכן במקרה זה הסבירות לטעות קטנה יותר. לדוגמה, בדוגמה של התקדמות אריתמטית עם פתרון מס' 6, אפשר לעצור בנוסחה S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ו לשבור משימה משותפתלתת-משימות נפרדות (במקרה זה, תחילה מצא את המונחים a n ו-m).

אם יש לך ספקות לגבי התוצאה המתקבלת, מומלץ לבדוק אותה, כפי שנעשה בחלק מהדוגמאות שניתנו. גילינו איך למצוא התקדמות אריתמטית. אם אתה מבין את זה, זה לא כל כך קשה.

התקדמות אריתמטיתשם רצף של מספרים (מונחים של התקדמות)

שבו כל מונח עוקב שונה מהקודם במונח חדש, הנקרא גם הבדל שלב או התקדמות.

לפיכך, על ידי ציון שלב ההתקדמות והמונח הראשון שלו, תוכל למצוא כל אחד מהאלמנטים שלו באמצעות הנוסחה

מאפיינים של התקדמות אריתמטית

1) כל איבר בהתקדמות אריתמטית, החל מהמספר השני, הוא הממוצע האריתמטי של האיברים הקודמים והבאים של ההתקדמות

גם ההיפך נכון. אם הממוצע האריתמטי של איברים אי-זוגיים (זוגיים) סמוכים של התקדמות שווה לאיבר העומד ביניהם, אז רצף המספרים הזה הוא התקדמות אריתמטית. באמצעות הצהרה זו, קל מאוד לבדוק כל רצף.

כמו כן, לפי התכונה של התקדמות אריתמטית, ניתן להכליל את הנוסחה לעיל לדברים הבאים

קל לאמת זאת אם כותבים את התנאים מימין לסימן השוויון

הוא משמש לעתים קרובות בפועל כדי לפשט חישובים בבעיות.

2) סכום n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית מחושב באמצעות הנוסחה

זכור היטב את הנוסחה של סכום התקדמות אריתמטית; היא הכרחית בחישובים ונמצאת לעתים קרובות למדי במצבי חיים פשוטים.

3) אם אתה צריך למצוא לא את כל הסכום, אלא חלק מהרצף החל מהאיבר ה-k' שלו, אז נוסחת הסכום הבאה תהיה שימושית עבורך

4) עניין מעשי הוא למצוא את הסכום של n איברים של התקדמות אריתמטית החל מהמספר kth. לשם כך, השתמש בנוסחה

בכך מסתיים החומר התיאורטי ועובר לפתרון בעיות נפוצות בפועל.

דוגמה 1. מצא את האיבר הארבעים של ההתקדמות האריתמטית 4;7;...

פִּתָרוֹן:

לפי המצב שיש לנו

בואו נקבע את שלב ההתקדמות

בעזרת נוסחה ידועה אנו מוצאים את האיבר הארבעים של ההתקדמות

דוגמה 2. התקדמות אריתמטית ניתנת על ידי האיברים השלישי והשביעי שלה. מצא את האיבר הראשון של ההתקדמות ואת הסכום של עשר.

פִּתָרוֹן:

הבה נכתוב את המרכיבים הנתונים של ההתקדמות באמצעות הנוסחאות

נחסר את הראשון מהמשוואה השנייה, וכתוצאה מכך נמצא את שלב ההתקדמות

נחליף את הערך שנמצא בכל אחת מהמשוואות כדי למצוא את האיבר הראשון של ההתקדמות האריתמטית

אנו מחשבים את סכום עשרת האיברים הראשונים של ההתקדמות

בלי להגיש בקשה חישובים מורכביםמצאנו את כל הכמויות הנדרשות.

דוגמה 3. התקדמות אריתמטית ניתנת על ידי המכנה ואחד האיברים שלו. מצא את האיבר הראשון של ההתקדמות, את סכום 50 האיברים שלו החל מ-50 ואת סכום ה-100 הראשונים.

פִּתָרוֹן:

נרשום את הנוסחה של האלמנט המאה של ההתקדמות

ולמצוא את הראשון

בהתבסס על הראשון, אנו מוצאים את המונח ה-50 של ההתקדמות

מציאת סכום החלק של ההתקדמות

וסכום ה-100 הראשונים

כמות ההתקדמות היא 250.

דוגמה 4.

מצא את מספר האיברים של התקדמות אריתמטית אם:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

פִּתָרוֹן:

נכתוב את המשוואות מבחינת האיבר הראשון ושלב ההתקדמות ונקבע אותן

אנו מחליפים את הערכים שהתקבלו בנוסחת הסכום כדי לקבוע את מספר האיברים בסכום

אנו מבצעים הפשטות

ולפתור את המשוואה הריבועית

מבין שני הערכים שנמצאו, רק המספר 8 מתאים לתנאי הבעיה. לפיכך, הסכום של שמונת האיברים הראשונים של ההתקדמות הוא 111.

דוגמה 5.

פתור את המשוואה

1+3+5+...+x=307.

פתרון: משוואה זו היא סכום התקדמות אריתמטית. בואו נכתוב את המונח הראשון שלו ונמצא את ההבדל בהתקדמות