Jau kurį laiką „TheBat“ integruota SSL sertifikatų duomenų bazė nustojo tinkamai veikti (dėl kokios priežasties neaišku).

Tikrinus įrašą pasirodo klaida:

Nežinomas CA sertifikatas
Serveris seanso metu nepateikė šakninio sertifikato ir atitinkamas šakninis sertifikatas nerastas adresų knygoje.
Šis ryšys negali būti slaptas. Prašau
susisiekite su serverio administratoriumi.

Ir jums siūloma pasirinkti atsakymus – TAIP / NE. Ir taip kiekvieną kartą, kai pašalinate paštą.

Sprendimas

Tokiu atveju TheBat nustatymuose reikia pakeisti S/MIME ir TLS diegimo standartą Microsoft CryptoAPI!

Kadangi reikėjo sujungti visus failus į vieną, pirmiausia viską konvertavau doc failusį vieną pdf failą (naudojant Acrobat programą), o tada per internetinį keitiklį perkėlė į fb2. Taip pat galite konvertuoti failus atskirai. Formatai gali būti visiškai bet kokie (šaltinis) - doc, jpg ir net ZIP archyvas!

Svetainės pavadinimas atitinka esmę :) Internetinis Photoshop.

Atnaujinimas 2015 m. gegužės mėn

Radau dar vieną puikią svetainę! Dar patogiau ir funkcionaliau sukurti visiškai individualų koliažą! Tai svetainė http://www.fotor.com/ru/collage/. Mėgaukitės tuo dėl savo sveikatos. Ir pati naudosiu.

Gyvenime susidūriau su elektrinės viryklės remonto problema. Aš jau daug ką padariau, daug išmokau, bet kažkaip mažai ką bendra su plytelėmis turėjau. Reikėjo pakeisti reguliatorių ir degiklių kontaktus. Iškilo klausimas - kaip nustatyti degiklio skersmenį ant elektrinės viryklės?

Atsakymas pasirodė paprastas. Jums nereikia nieko matuoti, galite lengvai nustatyti iš akies, kokio dydžio jums reikia.

Mažiausias degiklis- tai 145 milimetrai (14,5 centimetro)

Vidurinis degiklis- tai yra 180 milimetrų (18 centimetrų).

Ir galiausiai, labiausiai didelis degiklis- tai yra 225 milimetrai (22,5 centimetrai).

Pakanka nustatyti dydį akimis ir suprasti, kokio skersmens jums reikia degiklio. Kai to nežinojau, nerimavau dėl šių matmenų, nežinojau, kaip išmatuoti, kuriuo kraštu naršyti ir pan. Dabar aš išmintingas :) Tikiuosi, kad padėjau ir tau!

Gyvenime susidūriau su tokia problema. Manau, kad ne aš vienas.

Funkcijos tyrimas atliekamas pagal aiškią schemą ir reikalauja, kad studentas gerai išmanytų pagrindines matematines sąvokas, tokias kaip apibrėžimo ir reikšmių sritis, funkcijos tęstinumas, asimptotė, ekstremumo taškai, paritetas, periodiškumas ir kt. . Mokinys turi mokėti laisvai diferencijuoti funkcijas ir spręsti lygtis, kurios kartais gali būti labai sudėtingos.

Tai reiškia, kad ši užduotis patikrina didelį žinių lygį, kurio bet kokia spraga taps kliūtimi norint gauti teisingą sprendimą. Ypač dažnai sunkumų kyla kuriant funkcijų grafikus. Šią klaidą iškart pastebi mokytojas ir gali labai pakenkti jūsų pažymiui, net jei visa kita buvo padaryta teisingai. Čia galite rasti internetinių funkcijų tyrimo problemos: studijų pavyzdžiai, sprendimų atsisiuntimas, užduočių užsakymas.

Ištirkite funkciją ir nubraižykite grafiką: pavyzdžiai ir sprendimai internete

Skiltyje Funkcijų studijų pavyzdžiai paruošėme jums daugybę paruoštų funkcijų studijų, tiek mokamų sprendimų knygelėje, tiek nemokamų. Remdamiesi šiomis išspręstomis užduotimis galėsite detaliai susipažinti su panašių užduočių atlikimo metodika ir pagal analogiją atlikti savo tyrimą.

Mes siūlome paruošti pavyzdžiai išsamus dažniausiai pasitaikančių tipų funkcijų tyrimas ir braižymas: daugianario, trupmeninės racionalios, iracionalios, eksponentinės, logaritminės, trigonometrinės funkcijos. Prie kiekvienos išspręstos problemos pridedamas paruoštas grafikas su išryškintais pagrindiniais taškais, asimptotais, maksimumais ir minimumais; sprendimas atliekamas naudojant funkcijos tyrimo algoritmą.

Bet kokiu atveju išspręsti pavyzdžiai jums bus labai naudingi, nes jie apima populiariausių tipų funkcijas. Siūlome jums šimtus jau išspręstų uždavinių, tačiau, kaip žinia, pasaulyje yra be galo daug matematinių funkcijų, o mokytojai yra puikūs žinovai, sugalvojantys vis keblesnes užduotis vargšams mokiniams. Taigi, mieli studentai, kvalifikuota pagalba jums nepakenks.

Pasirinktinių funkcijų tyrimo problemų sprendimas

Tokiu atveju mūsų partneriai jums pasiūlys kitą paslaugą – pilnas tyrimas internetinės funkcijos užsisakyti. Užduotis jums bus atlikta laikantis visų tokių problemų sprendimo algoritmo reikalavimų, o tai labai patiks jūsų mokytojui.

Atliksime pilną funkcijos tyrimą už jus: surasime apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį, išnagrinėsime tęstinumą ir nenuoseklumą, nustatysime paritetą, patikrinsime jūsų funkcijos periodiškumą ir surasime susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. . Ir, žinoma, toliau naudojant diferencialinį skaičiavimą: rasime asimptotus, apskaičiuosime ekstremumus, vingio taškus ir sukonstruosime patį grafiką.

Kaip ištirti funkciją ir sudaryti jos grafiką?

Atrodo, pradedu suprasti dvasiškai įžvalgų pasaulio proletariato lyderio, surinktų kūrinių 55 tomų autoriaus veidą... Ilga kelionė prasidėjo nuo pagrindinės informacijos apie funkcijos ir grafikai, o dabar darbas daug darbo reikalaujančia tema baigiasi logišku rezultatu – straipsniu apie išsamų funkcijos tyrimą. Ilgai laukta užduotis suformuluota taip:

Ištirkite funkciją diferencialinio skaičiavimo metodais ir remdamiesi tyrimo rezultatais sukurkite jos grafiką

Arba trumpai: išnagrinėkite funkciją ir sukurkite grafiką.

Kodėl tyrinėti? Paprastais atvejais mums nebus sunku susidoroti elementarios funkcijos, nubraižykite grafiką, gautą naudojant elementarios geometrinės transformacijos ir taip toliau. Tačiau savybės ir grafiniai vaizdai daugiau sudėtingos funkcijos toli gražu nėra akivaizdūs, todėl reikalingas visas tyrimas.

Pagrindiniai sprendimo žingsniai apibendrinti pamatinėje medžiagoje Funkcijų tyrimo schema, tai yra jūsų skyriaus vadovas. Manekenams reikia nuoseklaus temos paaiškinimo, kai kurie skaitytojai nežino, nuo ko pradėti ar kaip organizuoti savo tyrimą, o pažengusiems studentams gali būti įdomu tik keletas dalykų. Bet kas bebūtumėte, gerbiamas lankytojau, čia yra siūloma santrauka su nuorodomis į įvairias pamokas kuo trumpesnį laiką orientuosis ir nukreips jus dominančia kryptimi. Robotai liejo ašaras =) Vadovas buvo pateiktas kaip pdf failas ir užėmė deramą vietą puslapyje Matematinės formulės ir lentelės.

Esu įpratęs funkcijos tyrimą suskirstyti į 5–6 taškus:

6) Papildomi taškai ir grafikas remiantis tyrimo rezultatais.

Kalbant apie galutinį veiksmą, manau, kad viskas aišku visiems - bus labai apmaudu, jei per kelias sekundes jis bus perbrauktas ir užduotis bus grąžinta peržiūrėti. TEISINGAS IR TIKSLAS BRĖŽINIS – pagrindinis sprendimo rezultatas! Tikėtina, kad tai „užslėps“ analitines klaidas, o neteisingas ir (arba) neatsargus grafikas sukels problemų net ir puikiai atlikus tyrimą.

Pažymėtina, kad kituose šaltiniuose tyrimo punktų skaičius, jų įgyvendinimo tvarka ir projektavimo stilius gali gerokai skirtis nuo mano pasiūlytos schemos, tačiau dažniausiai to visiškai pakanka. Paprasčiausias problemos variantas susideda tik iš 2–3 etapų ir yra suformuluotas maždaug taip: „ištirkite funkciją naudodami išvestinę ir sukurkite grafiką“ arba „ištirkite funkciją naudodami 1 ir 2 išvestinius, sukurkite grafiką“.

Natūralu, kad jei jūsų vadove detaliai aprašomas kitas algoritmas arba jūsų mokytojas griežtai reikalauja, kad laikytumėtės jo paskaitų, turėsite šiek tiek pakoreguoti sprendimą. Ne sunkiau nei pakeisti grandininio pjūklo šakutę šaukštu.

Patikrinkime lyginės/nelyginės funkcijos funkciją:

Po to pateikiamas atsakymo šablonas:
, o tai reiškia, kad ši funkcija nėra lyginė ar nelyginė.

Kadangi funkcija nuolat veikia , tada vertikalios asimptotės trūksta.

Įstrižų asimptotų taip pat nėra.

Pastaba : Primenu, kad kuo aukščiau augimo tvarka, nei , todėl galutinė riba yra lygiai „ pliusas begalybė“.

Išsiaiškinkime, kaip funkcija veikia begalybėje:

Kitaip tariant, jei einame į dešinę, tai grafikas be galo daug kyla aukštyn, jei einame į kairę – be galo daug žemyn. Taip, viename įraše taip pat yra dvi ribos. Jei jums sunku iššifruoti ženklus, apsilankykite pamokoje apie be galo mažos funkcijos.

Taigi funkcija neapribota iš viršaus Ir neapribota iš apačios. Turint omenyje, kad lūžio taškų neturime, tampa aišku funkcijų diapazonas: – taip pat bet koks tikrasis skaičius.

NAUDINGA TECHNINĖ TECHNIKA

Kiekvienas užduoties etapas atneša nauja informacija apie funkcijos grafiką, todėl sprendimo metu patogu naudoti savotišką IŠKLAIDYMĄ. Ant juodraščio nubraižykime Dekarto koordinačių sistemą. Kas jau tikrai žinoma? Pirma, grafikas neturi asimptotų, todėl nereikia brėžti tiesių. Antra, mes žinome, kaip funkcija veikia begalybėje. Remdamiesi analize, darome pirmąjį apytikslį apytikslį:

Atkreipkite dėmesį, kad dėl tęstinumą funkcija ir tai, kad grafikas turi kirsti ašį bent kartą. O gal yra keli susikirtimo taškai?

3) Funkcijos nuliai ir pastovaus ženklo intervalai.

Pirmiausia suraskime grafiko susikirtimo tašką su ordinačių ašimi. Tai paprasta. Būtina apskaičiuoti funkcijos reikšmę:

Pusantro virš jūros lygio.

Norėdami rasti susikirtimo su ašimi taškus (funkcijos nulius), turime išspręsti lygtį ir čia mūsų laukia nemaloni staigmena:

Pabaigoje slypi laisvas narys, o tai labai apsunkina užduotį.

Tokia lygtis turi bent vieną realią šaknį ir dažniausiai ši šaknis yra neracionali. Pačioje baisiausioje pasakoje mūsų laukia trys paršiukai. Lygtį galima išspręsti naudojant vadinamąjį Cardano formulės, tačiau popieriui padaryta žala prilygsta beveik visam tyrimui. Šiuo atžvilgiu protingiau pabandyti pasirinkti bent vieną žodžiu arba juodraštyje. visasšaknis. Patikrinkime, ar šie skaičiai yra:
- Netinkamas;
- Yra!

Pasisekė čia. Gedimo atveju taip pat galite išbandyti , o jei šie skaičiai netinka, baiminuosi, kad yra labai maža galimybė rasti pelningą lygties sprendimą. Tuomet geriau tyrimo tašką praleisti visiškai – galbūt kas nors paaiškės paskutiniame etape, kai bus pramušti papildomi taškai. O jei šaknis(-ės) aiškiai „blogos“, tai apie ženklų pastovumo intervalus geriau kukliai nutylėti ir piešti atidžiau.

Tačiau mes turime gražią šaknį, todėl dalijame daugianarį be likučio:

Dauginamo padalijimo iš polinomo algoritmas išsamiai aptariamas pirmame pamokos pavyzdyje Sudėtingos ribos.

Galų gale kairė pusė pradinė lygtis suyra į produktą:

O dabar šiek tiek apie sveikas būdas gyvenimą. Aš, žinoma, tai suprantu kvadratines lygtis reikia išspręsti kiekvieną dieną, tačiau šiandien padarysime išimtį: lygtį turi dvi tikras šaknis.

Rastas reikšmes nubraižykime skaičių eilutėje Ir intervalo metodas Apibrėžkime funkcijos požymius:


Taigi, intervalais grafikas yra
žemiau x ašies ir tarpais – virš šios ašies.

Išvados leidžia patobulinti išdėstymą, o antrasis grafiko apytikslis vaizdas atrodo taip:

Atkreipkite dėmesį, kad funkcija turi turėti bent vieną maksimumą intervale ir bent vieną minimumą intervale. Tačiau mes dar nežinome, kiek kartų, kur ir kada tvarkaraštis sustos. Beje, funkcija gali turėti be galo daug kraštutinumai.

4) Funkcijos didinimas, sumažėjimas ir ekstremumai.

Raskime kritinius taškus:

Ši lygtis turi dvi realias šaknis. Sudėkime juos į skaičių eilutę ir nustatykime išvestinės ženklus:


Todėl funkcija padidėja ir sumažėja .
Kai funkcija pasiekia maksimumą: .
Tuo metu funkcija pasiekia minimumą: .

Nustatyti faktai nukreipia mūsų šabloną į gana griežtą sistemą:

Nereikia nė sakyti, kad diferencialinis skaičiavimas yra galingas dalykas. Pagaliau supraskime grafiko formą:

5) Išgaubtumo, įgaubimo ir vingio taškai.

Raskime antrosios išvestinės kritinius taškus:

Apibrėžkime ženklus:


Funkcijos grafikas yra išgaubtas ir įgaubtas . Apskaičiuokime vingio taško ordinates: .

Beveik viskas tapo aišku.

6) Belieka rasti papildomų taškų, kurie padės tiksliau sukonstruoti grafiką ir atlikti savitikrą. Šiuo atveju jų yra nedaug, bet mes jų nepamiršime:

Padarykime piešinį:

Žalias Posūkio taškas yra pažymėtas, o papildomi taškai pažymėti kryželiu. Tvarkaraštis kubinė funkcija yra simetriškas jo vingio taško atžvilgiu, kuris visada yra griežtai viduryje tarp maksimumo ir minimumo.

Vykdant užduotį pateikiau tris hipotetinius tarpinius brėžinius. Praktiškai užtenka nubraižyti koordinačių sistemą, pažymėti rastus taškus ir po kiekvieno tyrimo taško mintyse įvertinti, kaip galėtų atrodyti funkcijos grafikas. Gerą pasirengimo lygį turintiems studentams nebus sunku atlikti tokią analizę vien savo galva, neįtraukiant juodraščio.

Norėdami tai išspręsti patys:

2 pavyzdys

Ištirkite funkciją ir sukurkite grafiką.

Čia viskas greičiau ir smagiau, apytikslis pavyzdys baigiant pamokos pabaigoje.

Dalinių racionalių funkcijų tyrimas atskleidžia daug paslapčių:

3 pavyzdys

Funkcijai tirti naudokite diferencialinio skaičiavimo metodus ir, remdamiesi tyrimo rezultatais, sudarykite jos grafiką.

Sprendimas: pirmasis tyrimo etapas nepasižymi niekuo išskirtiniu, išskyrus skylę apibrėžimo srityje:

1) Funkcija yra apibrėžta ir tęstinė visoje skaičių tiesėje, išskyrus tašką, domenas: .

, o tai reiškia, kad ši funkcija nėra lyginė ar nelyginė.

Akivaizdu, kad funkcija yra neperiodinė.

Funkcijos grafikas vaizduoja dvi ištisines šakas, esančias kairėje ir dešinėje pusplokštumose – tai bene svarbiausia 1 punkto išvada.

2) Asimptotės, funkcijos elgsena begalybėje.

a) Naudodami vienpuses ribas, išnagrinėjame funkcijos elgesį šalia įtartino taško, kur aiškiai turėtų būti vertikali asimptotė:

Iš tiesų, funkcijos išlieka begalinis tarpas taške
o tiesi linija (ašis) yra vertikali asimptota grafikos menai.

b) Patikrinkime, ar nėra įstrižų asimptotų:

Taip, jis yra tiesus įstrižas asimptotas grafika, jei.

Nėra prasmės analizuoti ribas, nes jau aišku, kad funkcija apima savo įstrižą asimptotę neapribota iš viršaus Ir neapribota iš apačios.

Antrasis tyrimo taškas atnešė daug svarbi informacija apie funkciją. Padarykime apytikslį eskizą:

Išvada Nr. 1 susijusi su pastovaus ženklo intervalais. Prie „minuso begalybės“ funkcijos grafikas aiškiai yra žemiau x ašies, o ties „pliuso begalybe“ – virš šios ašies. Be to, vienpusės ribos mums pasakė, kad taško kairėje ir dešinėje funkcija taip pat yra didesnė už nulį. Atkreipkite dėmesį, kad kairėje pusplokštumoje grafikas turi kirsti x ašį bent vieną kartą. Dešinėje pusplokštumoje gali nebūti funkcijos nulių.

Išvada Nr. 2 yra ta, kad funkcija didėja taške ir į kairę nuo jo (eina „iš apačios į viršų“). Į dešinę nuo šio taško funkcija mažėja (eina „iš viršaus į apačią“). Dešinėje grafiko šakoje tikrai turi būti bent vienas minimumas. Kairėje kraštutinumai negarantuojami.

Išvadoje Nr.3 pateikiama patikima informacija apie grafiko įdubimą taško apylinkėse. Dar negalime nieko pasakyti apie išgaubtumą/įgaubtumą begalybėse, nes liniją galima spausti link asimptotės ir iš viršaus, ir iš apačios. Apskritai, šiuo metu yra analitinis būdas tai išsiaiškinti, tačiau grafiko forma taps aiškesnė vėliau.

Kodėl tiek daug žodžių? Norėdami kontroliuoti tolesnius tyrimo taškus ir išvengti klaidų! Tolesni skaičiavimai neturėtų prieštarauti padarytoms išvadoms.

3) Grafo susikirtimo taškai su koordinačių ašimis, funkcijos pastovaus ženklo intervalai.

Funkcijos grafikas nekerta ašies.

Naudodami intervalo metodą nustatome ženklus:

, Jei ;
, Jei .

Šio punkto rezultatai visiškai atitinka 1 išvadą. Po kiekvieno etapo pažiūrėkite į juodraštį, mintyse patikrinkite tyrimą ir užpildykite funkcijos grafiką.

Nagrinėjamame pavyzdyje skaitiklis dalijamas pagal terminą iš vardiklio, o tai labai naudinga diferencijuojant:

Tiesą sakant, tai jau buvo padaryta ieškant asimptotų.

- kritinis taškas.

Apibrėžkime ženklus:

padidėja iki ir sumažėja iki

Tuo metu funkcija pasiekia minimumą: .

Taip pat nebuvo jokių neatitikimų su išvada Nr. 2 ir, greičiausiai, einame teisingu keliu.

Tai reiškia, kad funkcijos grafikas yra įgaubtas visoje apibrėžimo srityje.

Puiku – ir jums nieko nereikia piešti.

Posūkio taškų nėra.

Įdubimas atitinka 3 išvadą, be to, tai rodo, kad begalybėje (ir ten, ir ten) yra funkcijos grafikas aukštesnė jo pasvirusi asimptote.

6) Sąžiningai užduotį prisegsime papildomais taškais. Čia turėsime sunkiai dirbti, nes iš tyrimo žinome tik du dalykus.

Ir paveikslas, kurį daugelis tikriausiai įsivaizdavo seniai:

Vykdydami užduotį turite atidžiai įsitikinti, kad tarp tyrimo etapų nėra prieštaravimų, tačiau kartais situacija yra skubi ar net beviltiška aklavietė. Analitika „neprideda“ – tai viskas. Tokiu atveju rekomenduoju avarinę techniką: surandame kuo daugiau taškų, priklausančių grafikui (kiek turime kantrybės), ir pažymime juos koordinačių plokštumoje. Grafinė rastų verčių analizė daugeliu atvejų parodys, kur tiesa, o kur klaidinga. Be to, grafiką galima iš anksto sukurti naudojant kokią nors programą, pavyzdžiui, „Excel“ (žinoma, tam reikia įgūdžių).

4 pavyzdys

Norėdami ištirti funkciją ir sudaryti jos grafiką, naudokite diferencialinio skaičiavimo metodus.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Jame savikontrolę sustiprina funkcijos paritetas - grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu, ir jei jūsų tyrime kažkas prieštarauja šiam faktui, ieškokite klaidos.

Lyginę arba nelyginę funkciją galima tirti tik esant , o tada naudoti grafiko simetriją. Šis sprendimas yra optimalus, bet, mano nuomone, atrodo labai neįprastai. Asmeniškai aš žiūriu į visą skaičių eilutę, bet vis tiek randu papildomų taškų tik dešinėje:

5 pavyzdys

Atlikite išsamų funkcijos tyrimą ir sukurkite jos grafiką.

Sprendimas: reikalai tapo sunkūs:

1) Funkcija apibrėžta ir tęstinė visoje skaičių eilutėje: .

Tai reiškia, kad ši funkcija yra nelyginė, jos grafikas yra simetriškas kilmės atžvilgiu.

Akivaizdu, kad funkcija yra neperiodinė.

2) Asimptotės, funkcijos elgsena begalybėje.

Kadangi funkcija yra nuolatinė, vertikalių asimptočių nėra

Funkcijai, kurioje yra eksponentas, tai būdinga atskirti„pliuso“ ir „begalybės minuso“ tyrimas, tačiau mūsų gyvenimą palengvina grafiko simetrija - arba yra asimptotė ir kairėje, ir dešinėje, arba jos nėra. Todėl abi begalinės ribos gali būti parašytos vienu įrašu. Sprendimo metu naudojame L'Hopital taisyklė:

Tiesi linija (ašis) yra horizontali grafiko asimptotė ties .

Atkreipkite dėmesį, kaip aš gudriai išvengiau viso įstrižos asimptotės paieškos algoritmo: riba yra visiškai teisėta ir paaiškina funkcijos elgseną begalybėje, o horizontalioji asimptotė buvo aptikta „tarsi tuo pačiu metu“.

Iš tęstinumo ir horizontalios asimptotės egzistavimo išplaukia, kad funkcija apribota aukščiau Ir apribota žemiau.

3) Grafo susikirtimo taškai su koordinačių ašimis, pastovaus ženklo intervalai.

Čia taip pat sutrumpiname sprendimą:
Grafikas eina per pradžią.

Kitų susikirtimo taškų su koordinačių ašimis nėra. Be to, ženklo pastovumo intervalai yra akivaizdūs, o ašies braižyti nereikia: , tai reiškia, kad funkcijos ženklas priklauso tik nuo „x“:
, Jei ;
, Jei.

4) funkcijos didėjimas, mažėjimas, ekstremumai.


– kritiniai taškai.

Taškai yra simetriški nuliui, kaip ir turėtų būti.

Nustatykime išvestinės požymius:


Funkcija intervalais didėja, o intervalais mažėja

Kai funkcija pasiekia maksimumą: .

Dėl turto (funkcijos keistumas) minimumo nereikia skaičiuoti:

Kadangi funkcija mažėja per intervalą, akivaizdu, kad grafikas yra „minus begalybėje“ pagal jos asimptote. Per intervalą funkcija taip pat mažėja, tačiau čia yra atvirkščiai – perėjus per maksimalų tašką, linija artėja prie ašies iš viršaus.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, taip pat išplaukia, kad funkcijos grafikas yra išgaubtas ties „minus begalybe“, o įgaubtas ties „pliuso begalybe“.

Po šio tyrimo taško buvo sudarytas funkcijų reikšmių diapazonas:

Jei turite kokių nors nesusipratimų dėl kokių nors punktų, dar kartą raginu savo sąsiuvinyje nubrėžti koordinačių ašis ir su pieštuku rankose iš naujo išanalizuoti kiekvieną užduoties išvadą.

5) Grafo išgaubtumas, įgaubimas, kreivumas.

– kritiniai taškai.

Taškų simetrija išsaugoma ir, greičiausiai, neklystame.

Apibrėžkime ženklus:


Funkcijos grafikas yra išgaubtas ir įgaubtas .

Buvo patvirtintas išgaubimas / įgaubimas kraštutiniais intervalais.

Iš viso kritinius taškus Tvarkaraštyje yra krypčių. Raskime vingio taškų ordinates ir vėl sumažinkime skaičiavimų skaičių naudodami funkcijos nelygumą:

Šiandien kviečiame kartu su mumis ištirti ir sudaryti funkcijos grafiką. Atidžiai išstudijavę šį straipsnį, jums nereikės ilgai prakaituoti, kad atliktumėte tokio tipo užduotį. Išstudijuoti ir sudaryti funkcijos grafiką nėra lengva, tai yra didžiulis darbas, reikalaujantis maksimalaus atidumo ir skaičiavimų tikslumo. Kad medžiaga būtų lengviau suprantama, žingsnis po žingsnio išnagrinėsime tą pačią funkciją ir paaiškinsime visus savo veiksmus bei skaičiavimus. Sveiki atvykę į nuostabų ir žavų matematikos pasaulį! Pirmyn!

Domenas

Norėdami ištirti ir pavaizduoti funkciją, turite žinoti keletą apibrėžimų. Funkcija yra viena iš pagrindinių (pagrindinių) matematikos sąvokų. Jis atspindi priklausomybę tarp kelių kintamųjų (dviejų, trijų ar daugiau) pokyčių metu. Funkcija taip pat parodo aibių priklausomybę.

Įsivaizduokite, kad turime du kintamuosius, kurie turi tam tikrą pokyčių diapazoną. Taigi, y yra x funkcija, su sąlyga, kad kiekviena antrojo kintamojo reikšmė atitinka vieną antrojo reikšmę. Šiuo atveju kintamasis y yra priklausomas ir vadinamas funkcija. Įprasta sakyti, kad kintamieji x ir y yra. Kad ši priklausomybė būtų aiškesnė, sudaromas funkcijos grafikas. Kas yra funkcijos grafikas? Tai koordinačių plokštumos taškų rinkinys, kur kiekviena x reikšmė atitinka vieną y reikšmę. Grafikai gali būti įvairūs – tiesi linija, hiperbolė, parabolė, sinusinė banga ir pan.

Neįmanoma nubrėžti funkcijos be tyrimo. Šiandien išmoksime atlikti tyrimus ir sudaryti funkcijos grafiką. Tyrimo metu labai svarbu užsirašyti. Tai padės daug lengviau susidoroti su užduotimi. Patogiausias tyrimo planas:

1. Domenas.
2. Tęstinumas.
3. Lyginis ar nelyginis.
4. Periodiškumas.
5. Asimptotės.
6. Nuliai.
7. Ženklo pastovumas.
8. Didėja ir mažėja.
9. Kraštutinumai.
10. Išgaubtumas ir įdubimas.

Pradėkime nuo pirmojo punkto. Raskime apibrėžimo sritį, tai yra, kokiais intervalais egzistuoja mūsų funkcija: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Mūsų atveju funkcija egzistuoja bet kurioms x reikšmėms, tai yra, apibrėžimo sritis yra lygi R. Tai galima parašyti taip xÎR.

Tęstinumas

Dabar išnagrinėsime nepertraukiamumo funkciją. Matematikoje terminas „tęstinumas“ atsirado dėl judėjimo dėsnių tyrimo. Kas yra begalinis? Erdvė, laikas, kai kurios priklausomybės (pavyzdys yra kintamųjų S ir t priklausomybė judėjimo uždaviniuose), įkaitinto objekto (vandens, keptuvės, termometro ir kt.) temperatūra, ištisinė linija (tai yra ta, kuri galima nupiešti nepakeliant nuo lapo pieštuko).

Grafas laikomas tęstiniu, jei jis tam tikru momentu nenutrūksta. Vienas ryškiausių tokio grafiko pavyzdžių yra sinusoidas, kurį galite pamatyti šio skyriaus paveikslėlyje. Funkcija yra ištisinė tam tikru momentu x0, jei tenkinamos kelios sąlygos:

• funkcija apibrėžta duotame taške;
• dešinės ir kairės ribos taške yra lygios;
• riba lygi vertei funkcijos taške x0.

Jei neįvykdoma bent viena sąlyga, sakoma, kad funkcija nepavyksta. O taškai, kuriuose funkcija nutrūksta, dažniausiai vadinami lūžio taškais. Funkcijos, kuri „nutrūks“, kai rodoma grafiškai, pavyzdys yra: y=(x+4)/(x-3). Be to, y neegzistuoja taške x = 3 (nes neįmanoma padalyti iš nulio).

Funkcijoje, kurią tiriame (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) viskas pasirodė paprasta, nes grafikas bus tolydis.

Lyginis, nelyginis

Dabar patikrinkite pariteto funkciją. Pirma, šiek tiek teorijos. Lyginė funkcija yra ta, kuri tenkina sąlygą f(-x)=f(x) bet kuriai kintamojo x reikšmei (iš reikšmių diapazono). Pavyzdžiai:

• modulis x (grafas atrodo kaip daw, pirmojo ir antrojo grafiko ketvirčių pusiausvyra);
• x kvadratas (parabolė);
• kosinusas x (kosinusas).

Atkreipkite dėmesį, kad visi šie grafikai yra simetriški y ašies (ty y ašies) atžvilgiu.

Kas tada vadinama nelygine funkcija? Tai yra tos funkcijos, kurios tenkina sąlygą: f(-x)=-f(x) bet kuriai kintamojo x reikšmei. Pavyzdžiai:

• hiperbolė;
• kubinė parabolė;
• sinusoidinė;
• tangentas ir pan.

Atkreipkite dėmesį, kad šios funkcijos yra simetriškos taško (0:0), ty pradžios, atžvilgiu. Remiantis tuo, kas buvo pasakyta šioje straipsnio dalyje, net ir nelyginė funkcija turi turėti savybę: x priklauso apibrėžimų rinkiniui ir -x taip pat.

Panagrinėkime pariteto funkciją. Matome, kad ji neatitinka nė vieno apibūdinimo. Todėl mūsų funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Asimptotės

Pradėkime nuo apibrėžimo. Asimptotė yra kreivė, kuri yra kuo arčiau grafiko, tai yra, atstumas nuo tam tikro taško linkęs į nulį. Iš viso yra trys asimptotų tipai:

• vertikaliai, ty lygiagrečiai y ašiai;
• horizontali, tai yra lygiagreti x ašiai;
• linkęs.

Kalbant apie pirmąjį tipą, šių eilučių reikėtų ieškoti kai kuriuose taškuose:

• tarpas;
• apibrėžimo srities galai.

Mūsų atveju funkcija yra ištisinė, o apibrėžimo sritis lygi R. Todėl vertikalių asimptočių nėra.

Funkcijos grafikas turi horizontalią asimptotę, kuri atitinka tokį reikalavimą: jei x linkęs į begalybę arba minus begalybę, o riba lygi tam tikram skaičiui (pavyzdžiui, a). Šiuo atveju y=a yra horizontalioji asimptotė. Funkcijoje, kurią studijuojame horizontalios asimptotės Nr.

Įstrižinė asimptotė egzistuoja tik tada, kai tenkinamos dvi sąlygos:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Tada jį galima rasti naudojant formulę: y=kx+b. Vėlgi, mūsų atveju nėra įstrižų asimptotų.

Funkcijos nuliai

Kitas žingsnis yra išnagrinėti nulių funkcijos grafiką. Taip pat labai svarbu pažymėti, kad užduotis, susijusi su funkcijos nulių radimu, atsiranda ne tik studijuojant ir konstruojant funkcijos grafiką, bet ir kaip savarankiška užduotis bei kaip būdas spręsti nelygybes. Gali reikėti surasti funkcijos nulius grafike arba naudoti matematinį žymėjimą.

Šių reikšmių radimas padės tiksliau pavaizduoti funkciją. Jei kalbėsime paprasta kalba, tada funkcijos nulis yra kintamojo x reikšmė, kai y = 0. Jei grafike ieškote funkcijos nulių, tuomet turėtumėte atkreipti dėmesį į taškus, kuriuose grafikas susikerta su x ašimi.

Norint rasti funkcijos nulius, reikia išspręsti šią lygtį: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Atlikę reikiamus skaičiavimus, gauname tokį atsakymą:

Ženklo pastovumas

Kitas funkcijos (grafiko) tyrimo ir konstravimo etapas – pastovaus ženklo intervalų radimas. Tai reiškia, kad turime nustatyti, kokiais intervalais funkcija įgauna teigiamą reikšmę, o kokiais intervalais – neigiamą reikšmę. Paskutiniame skyriuje rastos nulinės funkcijos padės mums tai padaryti. Taigi, turime sukurti tiesią liniją (atskirai nuo grafiko) ir paskirstyti funkcijos nulius išilgai jos teisinga tvarka nuo mažiausios iki didžiausios. Dabar reikia nustatyti, kuris iš gautų intervalų turi „+“ ženklą, o kuris – „-“.

Mūsų atveju funkcija įgauna teigiamą reikšmę intervalais:

• nuo 1 iki 4;
• nuo 9 iki begalybės.

Neigiama reikšmė:

• nuo minus begalybės iki 1;
• nuo 4 iki 9.

Tai gana lengva nustatyti. Pakeiskite bet kurį skaičių iš intervalo į funkciją ir pažiūrėkite, kokį ženklą turi atsakymas (minusas ar pliusas).

Didina ir mažina funkcijas

Norėdami ištirti ir sukurti funkciją, turime žinoti, kur grafikas padidės (kils aukštyn išilgai Oy ašies) ir kur kris (nuskaitys žemyn išilgai y ašies).

Funkcija didėja tik tuo atveju, jei atitinka didesnę kintamojo x reikšmę didesnę vertę u. Tai reiškia, kad x2 yra didesnis nei x1, o f(x2) yra didesnis nei f(x1). Ir mes stebime visiškai priešingą reiškinį su mažėjančia funkcija (kuo daugiau x, tuo mažiau y). Norėdami nustatyti didėjimo ir mažėjimo intervalus, turite rasti:

• apibrėžimo sritis (jau turime);
• išvestinė (mūsų atveju: 1/3(3x^2-28x+49);
• išspręskite lygtį 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Atlikę skaičiavimus gauname rezultatą:

Gauname: funkcija didėja intervalais nuo minus begalybės iki 7/3 ir nuo 7 iki begalybės, o mažėja intervalais nuo 7/3 iki 7.

Kraštutinumai

Tiriama funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) yra ištisinė ir egzistuoja bet kuriai kintamojo x reikšmei. Ekstremalumo taškas rodo tam tikros funkcijos maksimumą ir minimumą. Mūsų atveju jų nėra, o tai labai supaprastina statybos užduotį. Kitu atveju juos taip pat galima rasti naudojant išvestinę funkciją. Suradę nepamirškite jų pažymėti diagramoje.

Išgaubtumas ir įdubimas

Toliau tiriame funkciją y (x). Dabar turime patikrinti, ar jis yra išgaubtas ir įgaubtas. Šių sąvokų apibrėžimai yra gana sunkiai suvokiami, geriau viską išanalizuoti naudojant pavyzdžius. Bandymui: funkcija yra išgaubta, jei ji yra nemažėjanti funkcija. Sutikite, tai nesuprantama!

Turime rasti antros eilės funkcijos išvestinę. Gauname: y=1/3(6x-28). Dabar sulyginkime dešinioji pusė iki nulio ir išspręskite lygtį. Atsakymas: x=14/3. Mes radome vingio tašką, tai yra vietą, kur grafikas keičiasi iš išgaubto į įgaubtą arba atvirkščiai. Intervale nuo minus begalybės iki 14/3 funkcija yra išgaubta, o nuo 14/3 iki plius begalybės – įgaubta. Taip pat labai svarbu atkreipti dėmesį į tai, kad vingio taškas diagramoje turi būti lygus ir minkštas, ne aštrūs kampai neturėtų būti.

Papildomų taškų apibrėžimas

Mūsų užduotis yra ištirti ir sudaryti funkcijos grafiką. Baigėme tyrimą, dabar nesudėtinga sudaryti funkcijos grafiką. Norėdami tiksliau ir detaliau atkurti kreivę arba tiesę koordinačių plokštumoje, galite rasti keletą pagalbinių taškų. Juos gana lengva apskaičiuoti. Pavyzdžiui, imame x=3, išsprendžiame gautą lygtį ir randame y=4. Arba x=5, y=-5 ir pan. Galite paimti tiek papildomų taškų, kiek jums reikia statybai. Jų randama bent 3-5.

Grafiko braižymas

Mums reikėjo ištirti funkciją (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Koordinačių plokštumoje buvo padaryti visi skaičiavimų metu reikalingi ženklai. Belieka sukurti grafiką, tai yra sujungti visus taškus. Taškų sujungimas turėtų būti sklandus ir tikslus, tai yra įgūdžių reikalas – šiek tiek pasipraktikuokite ir jūsų tvarkaraštis bus tobulas.