Največja (najmanjša) vrednost funkcije je največja (najmanjša) sprejeta vrednost ordinate v obravnavanem intervalu.

Če želite najti največjo ali najmanjšo vrednost funkcije, morate:

1. Preverite, katere stacionarne točke so vključene v dani segment.
2. Izračunajte vrednost funkcije na koncih segmenta in na stacionarnih točkah iz 3. koraka
3. Med dobljenimi rezultati izberite največjo ali najmanjšo vrednost.

Če želite najti največje ali najmanjše število točk, morate:

1. Poiščite odvod funkcije $f"(x)$
2. Poiščite stacionarne točke z reševanjem enačbe $f"(x)=0$
3. Faktorizacija odvoda funkcije.
4. Narišite koordinatno premico, nanjo postavite stacionarne točke in v dobljenih intervalih določite predznake odvoda z uporabo zapisa 3. člena.
5. Poiščite največje ali najmanjše točke po pravilu: če v neki točki odvod spremeni predznak iz plusa v minus, bo to največja točka (če iz minusa v plus, potem bo to najmanjša točka). V praksi je priročno uporabiti podobo puščic na intervalih: na intervalu, kjer je odvod pozitiven, je puščica narisana navzgor in obratno.

Tabela odvodov nekaterih elementarnih funkcij:

funkcija	Izpeljanka
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$greh^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Osnovna pravila razlikovanja

1. Odvod vsote in razlike je enak odvodu vsakega člena

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Poiščite odvod funkcije $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Odvod vsote in razlike je enak odvodu vsakega člena

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Izpeljanka izdelka.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Poiščite odvod $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Izpeljava količnika

$((f(x))/(g(x)"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Poiščite odvod $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Izpeljanka kompleksna funkcija je enak produktu odvoda zunanja funkcija na derivat notranje funkcije

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Poiščite najmanjšo točko funkcije $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Poiščite ODZ funkcije: $x+11>0; x>-11$

2. Poiščite odvod funkcije $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Poiščite stacionarne točke tako, da izenačite odvod na nič

$(2x+21)/(x+11)=0$

Ulomek je nič, če je števec enak nič in imenovalec ni nič

$2x+21=0; x≠-11$

4. Nariši koordinatno premico, nanjo postavi stacionarne točke in v dobljenih intervalih določi predznake odvoda. Da bi to naredili, v izpeljanko nadomestimo poljubno število iz skrajne desne regije, na primer nič.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Na točki minimuma izpeljanka spremeni predznak iz minusa v plus, zato je točka -10,5$ najmanjša točka.

Odgovor: $-10,5 $

Poiščite največjo vrednost funkcije $y=6x^5-90x^3-5$ na segmentu $[-5;1]$

1. Poiščite odvod funkcije $y′=30x^4-270x^2$

2. Izenačite odvod na nič in poiščite stacionarne točke

$30x^4-270x^2=0$

Vzemimo skupni faktor $30x^2$ iz oklepaja

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Vsak faktor nastavite na nič

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Izberite stacionarne točke, ki pripadajo danemu segmentu $[-5;1]$

Za nas sta primerni stacionarni točki $x=0$ in $x=-3$

4. Izračunajte vrednost funkcije na koncih odseka in v stacionarnih točkah iz točke 3

drobna in lepa preprosta naloga iz kategorije tistih, ki služijo kot rešilna bilka za plavajočega študenta. V naravi zaspano kraljestvo sredine julija, zato je čas, da se umirite s prenosnikom na plaži. Zgodaj zjutraj je zaigral sončni žarek teorije, ki se je kmalu posvetila praksi, ki kljub deklarirani lahkotnosti vsebuje drobce stekla v pesku. V zvezi s tem priporočam, da vestno preučite nekaj primerov te strani. Za reševanje praktičnih nalog morate biti sposobni najti izpeljanke in razumeti snov članka Intervali monotonosti in ekstremi funkcije.

Najprej na kratko o glavnem. V lekciji o kontinuiteta delovanja Podal sem definicijo zveznosti v točki in zveznosti na intervalu. Na podoben način je formulirano zgledno obnašanje funkcije na segmentu. Funkcija je zvezna na segmentu, če:

1) je zvezna na intervalu ;
2) zvezna v točki na desni in v bistvu levo.

Drugi odstavek obravnava t.i enostransko kontinuiteto funkcije na točki. Obstaja več pristopov k njegovi opredelitvi, vendar se bom držal prej začete linije:

Funkcija je zvezna v točki na desni, če je definirana v dani točki in njena desna meja sovpada z vrednostjo funkcije v dani točki: . V točki je neprekinjen levo, če je določena na dani točki in njeni levi meji je enaka vrednosti na tej točki:

Predstavljajte si, da so zelene pike žeblji, na katere je pritrjena čarobna gumica:

Mentalno vzemite rdečo črto v roke. Očitno je, da ne glede na to, kako daleč graf raztegnemo gor in dol (vzdolž osi), bo funkcija še vedno ostala omejeno- zgoraj živa meja, spodaj živa meja, naš izdelek pa se pase v ogradi. torej na segmentu zvezna funkcija je na njem omejena. Med matematično analizo je to na videz preprosto dejstvo navedeno in strogo dokazano Weierstrassov prvi izrek.… Marsikoga moti, da se elementarne trditve v matematiki dolgočasno utemeljujejo, vendar ima to pomemben pomen. Recimo, da je neki prebivalec frotirnega srednjega veka potegnil graf v nebo čez meje vidnosti, ta je bil vstavljen. Pred izumom teleskopa omejena funkcija v vesolju sploh ni bila očitna! Res, kako veš, kaj nas čaka za obzorjem? Konec koncev je nekoč veljala, da je Zemlja ravna, tako da danes tudi navadna teleportacija zahteva dokaz =)

Po navedbah drugi Weierstrassov izrek, neprekinjeno na segmentufunkcija doseže svojo natančen zgornji rob in njegov točen spodnji rob .

Številka se tudi imenuje največjo vrednost funkcije na segmentu in označeno z , in številka - minimalna vrednost funkcije na segmentu označeno.

V našem primeru:

Opomba : v teoriji so zapisi običajni .

Grobo rečeno, največja vrednost se nahaja tam, kjer je največ visoka točka grafika, najmanjši pa - kje je najnižja točka.

Pomembno! Kot je bilo že poudarjeno v članku o ekstremi funkcije, največja vrednost funkcije in najmanjša vrednost funkcije – NI ENAKO, Kaj maksimalno delovanje in minimalna funkcija. Torej je v tem primeru število najmanjša vrednost funkcije, ne pa najmanjša vrednost.

Mimogrede, kaj se zgodi zunaj segmenta? Ja, tudi poplava nas v kontekstu obravnavane problematike sploh ne zanima. Naloga vključuje samo iskanje dveh številk in to je to!

Poleg tega je rešitev povsem analitična, torej ni treba risati!

Algoritem leži na površini in je razviden iz zgornje slike:

1) Poiščite vrednosti funkcije v kritične točke, ki spadajo v ta segment.

Ujemite še eno dobroto: ni treba preverjati zadostnega pogoja za ekstrem, saj, kot je bilo prikazano, prisotnost minimuma ali maksimuma še ni zagotovljeno kakšna je najmanjša ali največja vrednost. Demonstracijska funkcija doseže svoj maksimum in po volji usode je isto število največja vrednost funkcije na intervalu . Seveda pa se takšno naključje ne zgodi vedno.

Tako je na prvem koraku hitreje in lažje izračunati vrednosti funkcije na kritičnih točkah, ki pripadajo segmentu, ne da bi se obremenjevali, ali imajo ekstreme ali ne.

2) Izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta.

3) Med vrednostmi funkcije, ki jih najdemo v 1. in 2. odstavku, izberemo najmanjšo in najbolj velika številka, zapišite odgovor.

Usedemo se na obalo modro morje in udaril s petami v plitvi vodi:

Primer 1

Poiščite največji in najmanjša vrednost funkcije na intervalu

rešitev:
1) Izračunajte vrednosti funkcije na kritičnih točkah, ki pripadajo temu segmentu:

Izračunajmo vrednost funkcije na drugi kritični točki:

2) Izračunajte vrednosti funkcije na koncih segmenta:

3) »Krepki« rezultati so bili pridobljeni z eksponenti in logaritmi, kar bistveno oteži njihovo primerjavo. Zaradi tega se bomo oborožili s kalkulatorjem ali Excelom in izračunali približne vrednosti, pri čemer ne bomo pozabili, da:

Zdaj je vse jasno.

Odgovori:

Frakcijsko-racionalna instanca za neodvisno rešitev:

Primer 6

Poiščite največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu

Naj funkcija y=f(X) neprekinjeno na segmentu [ a, b]. Kot je znano, taka funkcija na tem segmentu doseže svoje največje in najmanjše vrednosti. Funkcija lahko sprejme te vrednosti bodisi na notranji točki segmenta [ a, b] ali na meji segmenta.

Če želite najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu [ a, b] potrebno:

1) najti kritične točke funkcije v intervalu ( a, b);

2) izračunajte vrednosti funkcije na najdenih kritičnih točkah;

3) izračunajte vrednosti funkcije na koncih segmenta, to je za x=A in x = b;

4) med vsemi izračunanimi vrednostmi funkcije izberite največjo in najmanjšo.

Primer. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije

na segmentu.

Iskanje kritičnih točk:

Te točke ležijo znotraj segmenta; l(1) = ‒ 3; l(2) = ‒ 4; l(0) = ‒ 8; l(3) = 1;

na točki x= 3 in v točki x= 0.

Preiskava funkcije za konveksnost in prevojno točko.

funkcija l = f (x) klical izbočeno vmes (a, b) , če njegov graf leži pod tangento, narisano na kateri koli točki tega intervala, in se imenuje konveksno navzdol (konkavno)če njen graf leži nad tangento.

Imenuje se točka na prehodu, skozi katero se konveksnost zamenja s konkavnostjo ali obratno prevojna točka.

Algoritem za preučevanje konveksnosti in prevojne točke:

1. Poiščite kritične točke druge vrste, to je točke, v katerih je drugi odvod enak nič ali ne obstaja.

2. Na številsko premico postavite kritične točke in jo razdelite na intervale. Poiščite predznak drugega odvoda na vsakem intervalu; če , potem je funkcija konveksna navzgor, če, potem je funkcija konveksna navzdol.

3. Če pri prehodu skozi kritično točko druge vrste spremeni predznak in je na tej točki drugi odvod enak nič, potem je ta točka abscisa prevojne točke. Poiščite njegovo ordinato.

Asimptote grafa funkcije. Raziskava funkcije v asimptote.

Opredelitev. Asimptota grafa funkcije se imenuje naravnost, ki ima lastnost, da se razdalja od katere koli točke grafa do te premice nagiba k nič z neomejeno odstranitvijo točke grafa od izhodišča.

Obstajajo tri vrste asimptot: navpično, vodoravno in nagnjeno.

Opredelitev. Direktno poklicano navpična asimptota funkcijski graf y = f(x), če je vsaj ena od enostranskih limitov funkcije na tej točki enaka neskončnosti, tj.

kjer je točka diskontinuitete funkcije, to pomeni, da ne spada v domeno definicije.

Primer.

D( l) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - prelomna točka.

Opredelitev. Naravnost y=A klical horizontalna asimptota funkcijski graf y = f(x) ob , če

Primer.

x
l

Opredelitev. Naravnost y=kx +b (k≠ 0). poševna asimptota funkcijski graf y = f(x) pri , kje

Splošna shema za preučevanje funkcij in risanje.

Algoritem raziskovanja funkcijy = f(x) :

1. Poiščite domeno funkcije D (l).

2. Poiščite (če je mogoče) točke presečišča grafa s koordinatnimi osemi (z x= 0 in pri l = 0).

3. Raziščite sode in lihe funkcije ( l (‒ x) = l (x) ‒ pariteta; l(‒ x) = ‒ l (x) ‒ Čuden).

4. Poiščite asimptote grafa funkcije.

5. Poiščite intervale monotonosti funkcije.

6. Poiščite ekstreme funkcije.

7. Poiščite intervale konveksnosti (konkavnosti) in prevojne točke grafa funkcije.

8. Na podlagi opravljene raziskave sestavite graf funkcije.

Primer. Raziščite funkcijo in narišite njen graf.

1) D (l) =

x= 4 - prelomna točka.

2) Kdaj x = 0,

(0; – 5) – točka presečišča z oy.

pri l = 0,

3) l(‒ x)= funkcijo splošni pogled(niti sodo niti liho).

4) Raziskujemo asimptote.

a) navpično

b) vodoravno

c) poiščite poševne asimptote, kjer

‒enačba poševne asimptote

5) V tej enačbi ni potrebno najti intervalov monotonosti funkcije.

6)

Te kritične točke delijo celotno domeno funkcije na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) in (10; +∞). Dobljene rezultate je priročno predstaviti v obliki naslednje tabele.

In za rešitev potrebujete minimalno znanje o temi. Naslednje študijsko leto se končuje, vsi bi radi na počitnice in da bi ta trenutek približal, se takoj lotim posla:

Začnimo z območjem. Območje, na katero se nanaša pogoj, je omejeno zaprto množica točk v ravnini. Na primer niz točk, ki jih omejuje trikotnik, vključno s CELOTNIM trikotnikom (če iz meje"Izluščite" vsaj eno točko, potem območje ne bo več zaprto). V praksi se pojavljajo tudi področja pravokotnih, okroglih in nekoliko kompleksnejših oblik. Opozoriti je treba, da so v teoriji matematične analize podane stroge definicije omejitve, izolacija, meje itd., vendar mislim, da se vsi zavedajo teh konceptov na intuitivni ravni in več zdaj ni potrebno.

Ravnina je standardno označena s črko , praviloma pa je podana analitično - z več enačbami (ni nujno linearno); redkeje neenakosti. Tipičen besedni promet: "zaprto območje, omejeno s črtami ».

Sestavni del obravnavane naloge je konstrukcija območja na risbi. Kako narediti? Narisati je potrebno vse naštete črte (v tem primeru 3 naravnost) in analizirajte, kaj se je zgodilo. Želeno območje je običajno rahlo šrafirano, njegova meja pa je poudarjena s krepko črto:


Nastavite lahko isto območje linearne neenakosti: , ki so iz neznanega razloga pogosteje napisani kot oštevilčeni seznam in ne sistem.
Ker meja pripada regiji, potem vse neenakosti seveda nestrog.

In zdaj bistvo zadeve. Predstavljajte si, da gre os naravnost k vam iz izhodišča koordinat. Razmislite o funkciji, ki neprekinjeno v vsakem območna točka. Graf te funkcije je površino, majhna sreča pa je, da nam za rešitev današnjega problema ni treba vedeti, kako ta površina sploh izgleda. Lahko se nahaja zgoraj, spodaj, prečka ravnino - vse to ni pomembno. In pomembno je naslednje: po Weierstrassovi izreki, neprekinjeno V omejeno zaprto območje, funkcija doseže svoj maksimum (od "najvišjih") in najmanj (od "najnižjih") vrednosti, ki jih je treba najti. Te vrednosti so dosežene oz V stacionarne točke, ki pripadajo regijiD , oz na točkah, ki ležijo na meji tega območja. Iz tega sledi preprost in pregleden algoritem rešitve:

Primer 1

V omejenem zaprtem prostoru

rešitev: Najprej morate prikazati območje na risbi. Na žalost mi je tehnično težko narediti interaktivni model problema, zato bom takoj podal končno ilustracijo, ki prikazuje vse "sumljive" točke, odkrite med študijo. Običajno jih odložimo enega za drugim, ko jih najdemo:

Na podlagi preambule lahko odločitev priročno razdelimo na dve točki:

I) Poiščimo stacionarne točke. To je standardno dejanje, ki smo ga večkrat izvajali v lekciji. o ekstremih več spremenljivk:

Najdena stacionarna točka pripada območja: (označi na risbi), kar pomeni, da bi morali izračunati vrednost funkcije v dani točki:

- kot v članku Največja in najmanjša vrednost funkcije na segmentu, bom pomembne rezultate izpostavil s krepkim tiskom. V zvezku jih je priročno obkrožiti s svinčnikom.

Bodite pozorni na našo drugo srečo - nima smisla preverjati zadosten pogoj za ekstrem. Zakaj? Tudi če na točki funkcija doseže npr. lokalni minimum, potem to NE POMENI, da bo dobljena vrednost minimalno po vsej regiji (glej začetek lekcije o brezpogojnih skrajnostih) .

Kaj pa, če stacionarna točka NE pripada območju? Skoraj nič! Treba je opozoriti, da in pojdite na naslednji odstavek.

II) Raziskujemo mejo regije.

Ker je obroba sestavljena iz stranic trikotnika, je primerno študijo razdeliti na 3 pododstavke. Vendar je bolje, da tega sploh ne storite. Z mojega vidika je najprej bolj ugodno upoštevati segmente, ki so vzporedni s koordinatnimi osemi, in najprej tiste, ki ležijo na samih oseh. Če želite ujeti celotno zaporedje in logiko dejanj, poskusite preučiti konec "v enem dihu":

1) Ukvarjajmo se s spodnjo stranjo trikotnika. Če želite to narediti, zamenjamo neposredno v funkcijo:

Druga možnost je, da to storite takole:

Geometrijsko to pomeni, da koordinatna ravnina (kar je tudi podano z enačbo)"izrezati" iz površine»prostorska« parabola, katere vrh takoj pade pod sum. Pa ugotovimo kje je:

- dobljena vrednost "zadene" v območju in prav lahko se zgodi, da na točki (označi na risbi) funkcija doseže največjo ali najmanjšo vrednost v celotnem območju. Kakorkoli že, naredimo izračune:

Ostali »kandidati« so seveda konci segmenta. Izračunajte vrednosti funkcije v točkah (označi na risbi):

Tukaj, mimogrede, lahko opravite ustno mini preverjanje "slečene" različice:

2) Za raziskave desna stran trikotnik vstavimo v funkcijo in tam »postavimo red«:

Tukaj takoj izvedemo grobo preverjanje, "zvoni" že obdelan konec segmenta:
, Super.

Geometrijska situacija je povezana s prejšnjo točko:

- tudi dobljena vrednost je »vstopila v obseg naših interesov«, kar pomeni, da moramo izračunati, čemu je enaka funkcija v točki, ki se je pojavila:

Oglejmo si drugi konec segmenta:

Uporaba funkcije , preverimo:

3) Verjetno vsi vedo, kako raziskati preostalo stran. V funkcijo nadomestimo in izvedemo poenostavitve:

Vrstica se konča so že raziskane, vendar na osnutku še vedno preverjamo, ali smo funkcijo našli pravilno :
– sovpada z rezultatom iz 1. pododstavka;
– sovpada z rezultatom iz 2. pododstavka.

Še vedno je treba ugotoviti, ali je v segmentu kaj zanimivega:

- Tukaj je! Če nadomestimo ravno črto v enačbo, dobimo ordinato te "zanimivosti":

Na risbi označimo točko in poiščemo ustrezno vrednost funkcije:

Nadzorujmo izračune glede na "proračunsko" različico :
, naročilo.

In zadnji korak: POZORNO preglejte vse "mastne" številke, tudi začetnikom priporočam, da naredijo en sam seznam:

med katerimi izberemo največjo in najmanjšo vrednost. Odgovori pisati v stilu problem iskanja največja in najmanjša vrednost funkcije na intervalu:

Bom še komentiral za vsak slučaj. geometrijski pomen rezultat:
– tukaj je najvišja točka površja v regiji;
- tukaj je najnižja točka površja na območju.

V analiziranem problemu smo našli 7 »sumljivih« točk, vendar se njihovo število razlikuje od naloge do naloge. Za trikotno regijo je minimalni "raziskovalni niz" sestavljen iz tri točke. To se zgodi, ko se na primer nastavi funkcija letalo- povsem jasno je, da stacionarnih točk ni in funkcija lahko doseže največje / najmanjše vrednosti samo na ogliščih trikotnika. Ampak takšnih primerov ni enkrat, dvakrat - običajno se moraš soočiti s kakšno površina 2. reda.

Če malo rešite takšne naloge, potem se vam lahko trikotniki zvrtijo v glavi, zato sem vam pripravila nenavadni primeri da bo kvadratno :)

Primer 2

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v zaprtem območju, omejenem s črtami

Primer 3

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v omejenem zaprtem območju.

Posebna pozornost bodite pozorni na racionalen vrstni red in tehniko preučevanja meje območja, pa tudi na verigo vmesnih pregledov, s katerimi se boste skoraj popolnoma izognili računskim napakam. Na splošno ga lahko rešite, kot želite, vendar pri nekaterih težavah, na primer v istem primeru 2, obstaja vsaka možnost, da vam bistveno zaplete življenje. Vzorec Vzorec dokončanje nalog na koncu lekcije.

Sistematiziramo algoritem rešitve, sicer se je z mojo skrbnostjo pajka nekako izgubil v dolgi niti komentarjev 1. primera:

- Na prvem koraku zgradimo območje, zaželeno je, da ga zasenčimo in poudarimo mejo z debelo črto. Med reševanjem se bodo pojavile točke, ki jih je treba nanesti na risbo.

– Poiščite stacionarne točke in izračunajte vrednosti funkcije samo v tistih, ki spadajo v območje . Dobljene vrednosti so označene v besedilu (na primer obkrožene s svinčnikom). Če stacionarna točka NE pripada območju, potem to dejstvo označimo z ikono ali ustno. Če stacionarnih točk sploh ni, naredimo pisni sklep, da jih ni. V nobenem primeru tega elementa ne smete preskočiti!

– Raziskovanje obmejnega območja. Prvič, koristno je obravnavati ravne črte, ki so vzporedne s koordinatnimi osemi (če obstajajo). Poudarjene so tudi vrednosti funkcij, izračunane na "sumljivih" točkah. O tehniki reševanja je bilo že veliko povedanega zgoraj in nekaj drugega bo povedano spodaj - berite, preberite, poglobite se!

- Med izbranimi številkami izberite največjo in najmanjšo vrednost ter podajte odgovor. Včasih se zgodi, da funkcija doseže takšne vrednosti na več točkah hkrati - v tem primeru bi se morale vse te točke odražati v odgovoru. Naj npr. in izkazalo se je, da je to najmanjša vrednost. Potem to napišemo

Končni primeri so posvečeni drugim uporabnim idejam, ki vam bodo prišle prav v praksi:

Primer 4

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v zaprtem območju .

Ohranil sem avtorjevo formulacijo, v kateri je ploščina podana kot dvojna neenakost. Ta pogoj je mogoče zapisati v enakovrednem sistemu ali v bolj tradicionalni obliki za to težavo:

Opomnim vas, da z nelinearni naleteli smo na neenakosti na , in če ne razumete geometrijskega pomena vnosa, prosimo, da ne odlašate in razjasnite situacijo takoj ;-)

rešitev, kot vedno, se začne z gradnjo območja, ki je nekakšen "podplat":

Hmm, včasih je treba glodati ne le granit znanosti ....

I) Poiščite stacionarne točke:

Idiotski sanjski sistem :)

Stacionarna točka pripada regiji, namreč leži na njeni meji.

In tako, ni nič ... zabavna lekcija je šla - to pomeni piti pravi čaj =)

II) Raziskujemo mejo regije. Brez odlašanja, začnimo z osjo x:

1) Če , potem

Ugotovite, kje je vrh parabole:
– Cenite takšne trenutke – »zadajte« prav v bistvo, iz katerega je že vse jasno. Vendar ne pozabite preveriti:

Izračunajmo vrednosti funkcije na koncih segmenta:

2) Spodnji del "podplata" bomo obravnavali "v eni seji" - brez kakršnih koli kompleksov ga nadomestimo v funkcijo, poleg tega nas bo zanimal samo segment:

Nadzor:

Zdaj to že vnaša nekaj poživitve v monotono vožnjo po narebričeni stezi. Poiščimo kritične točke:

Odločamo se kvadratna enačba se spomniš tega? ... Vendar ne pozabite, seveda, sicer ne bi brali teh vrstic =) Če bi bili v prejšnjih dveh primerih izračuni primerni v decimalni ulomki(kar je, mimogrede, redko), potem tukaj čakamo na običajno navadni ulomki. Poiščemo korenine "x" in z uporabo enačbe določimo ustrezne koordinate "igre" točk "kandidatov":


Izračunajmo vrednosti funkcije na najdenih točkah:

Funkcijo preverite sami.

Zdaj natančno preučujemo osvojene trofeje in jih zapisujemo odgovor:

Tukaj so "kandidati", torej "kandidati"!

Za samostojno rešitev:

Primer 5

Poiščite najmanjši in največja vrednost funkcije v zaprtem prostoru

Vnos z zavitimi oklepaji se glasi takole: "nabor točk, tako da".

Včasih v takih primerih uporabljajo Lagrangeova metoda množitelja, vendar je malo verjetno, da bi se pojavila resnična potreba po njegovi uporabi. Torej, na primer, če je podana funkcija z enakim območjem "de", potem po zamenjavi vanjo - z derivatom brez težav; poleg tega je vse narisano v "eni vrstici" (z znaki), ne da bi bilo treba ločeno upoštevati zgornji in spodnji polkrog. Seveda pa obstajajo bolj zapleteni primeri, kjer brez Lagrangeove funkcije (kjer je na primer enaka enačba kroga) težko je preživeti – kako težko je preživeti brez dobrega počitka!

Vse najboljše za opravljeno sejo in se kmalu vidimo naslednjo sezono!

Rešitve in odgovori:

Primer 2: rešitev: narišite območje na risbi:

S praktičnega vidika je najbolj zanimiva uporaba odvoda za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije. S čim je to povezano? Maksimiziranje dobička, minimiziranje stroškov, določanje optimalne obremenitve opreme ... Z drugimi besedami, na številnih področjih življenja je treba rešiti problem optimizacije nekaterih parametrov. In to je problem iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije.

Upoštevati je treba, da največjo in najmanjšo vrednost funkcije običajno iščemo na nekem intervalu X , ki je bodisi celotna domena funkcije bodisi del domene. Sam interval X je lahko odsek črte, odprt interval , neskončen interval.

V tem članku bomo eksplicitno govorili o iskanju največjih in najmanjših vrednosti. dano funkcijo ena spremenljivka y=f(x) .

Navigacija po straneh.

Največja in najmanjša vrednost funkcije – definicije, ilustracije.

Na kratko se osredotočimo na glavne definicije.

Največja vrednost funkcije , ki za kakršno koli neenakost je resnična.

Najmanjša vrednost funkcije y=f(x) na intervalu X imenujemo taka vrednost , ki za kakršno koli neenakost je resnična.

Te definicije so intuitivne: največja (najmanjša) vrednost funkcije je največja (najmanjša) vrednost, sprejeta na obravnavanem intervalu z absciso.

Stacionarne točke so vrednosti argumenta, pri katerih odvod funkcije izgine.

Zakaj potrebujemo stacionarne točke pri iskanju največjih in najmanjših vrednosti? Odgovor na to vprašanje daje Fermatov izrek. Iz tega izreka sledi, da če ima diferenciabilna funkcija na neki točki ekstrem (lokalni minimum ali lokalni maksimum), potem je ta točka stacionarna. Tako funkcija pogosto zavzame največjo (najmanjšo) vrednost na intervalu X na eni od stacionarnih točk iz tega intervala.

Prav tako lahko funkcija pogosto prevzame največje in najmanjše vrednosti na točkah, kjer prvi derivat te funkcije ne obstaja, sama funkcija pa je definirana.

Takoj odgovorimo na eno najpogostejših vprašanj na to temo: "Ali je vedno mogoče določiti največjo (najmanjšo) vrednost funkcije"? Ne ne vedno. Včasih meje intervala X sovpadajo z mejami domene funkcije ali pa je interval X neskončen. In nekatere funkcije v neskončnosti in na mejah domene definicije lahko zavzamejo neskončno velike in neskončno majhne vrednosti. V teh primerih ni mogoče reči ničesar o največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Zaradi jasnosti podajamo grafično ilustracijo. Poglejte slike - in veliko vam bo postalo jasno.

Na segmentu

Na prvi sliki funkcija zavzame največje (max y ) in najmanjše (min y ) vrednosti na stacionarnih točkah znotraj segmenta [-6;6] .

Razmislite o primeru, prikazanem na drugi sliki. Spremenite segment v . V tem primeru je najmanjša vrednost funkcije dosežena v stacionarni točki, največja pa v točki z absciso, ki ustreza desna meja interval.

Na sliki št. 3 so mejne točke segmenta [-3; 2] abscise točk, ki ustrezajo največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Na odprtem območju

Na četrti sliki funkcija zavzame največje (max y ) in najmanjše (min y ) vrednosti na stacionarnih točkah znotraj odprtega intervala (-6;6).

Na intervalu ni mogoče sklepati o največji vrednosti.

V neskončnost

V primeru, prikazanem na sedmi sliki, funkcija zavzame največjo vrednost (max y ) na stacionarni točki z x=1 absciso, najmanjšo vrednost (min y ) pa doseže na desni meji intervala. Pri minus neskončnosti se vrednosti funkcije asimptotično približajo y=3.

Na intervalu funkcija ne doseže niti najmanjše niti največje vrednosti. Ko se x=2 nagiba v desno, se vrednosti funkcije nagibajo k minus neskončnosti (ravna črta x=2 je navpična asimptota), in ko se abscisa nagiba k plus neskončnosti, se vrednosti funkcije asimptotično približujejo y=3 . Grafična ilustracija tega primera je prikazana na sliki 8.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije na segmentu.

Napišemo algoritem, ki nam omogoča, da poiščemo največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu.

1. Poiščemo domeno funkcije in preverimo, ali vsebuje celoten segment.
2. Poiščemo vse točke, v katerih prvi odvod ne obstaja in so vsebovane v segmentu (običajno se takšne točke pojavljajo v funkcijah z argumentom pod znakom modula in v močnostne funkcije z ulomljenim racionalnim eksponentom). Če teh točk ni, pojdite na naslednjo točko.
3. Določimo vse stacionarne točke, ki spadajo v segment. Da bi to naredili, ga izenačimo z nič, rešimo nastalo enačbo in izberemo ustrezne korene. Če ni stacionarnih točk ali nobena od njih ne spada v segment, pojdite na naslednji korak.
4. Vrednosti funkcije izračunamo na izbranih stacionarnih točkah (če obstajajo), na točkah, kjer prvi odvod ne obstaja (če obstaja) in tudi na x=a in x=b.
5. Iz dobljenih vrednosti funkcije izberemo največjo in najmanjšo - to bo želena največja oziroma najmanjša vrednost funkcije.

Analizirajmo algoritem pri reševanju primera iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.

Primer.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije

• na segmentu;
• na intervalu [-4;-1] .

rešitev.

Domena funkcije je celotna množica realnih števil, razen ničle, to je . Oba segmenta spadata v domeno definicije.

Poiščemo odvod funkcije glede na:

Očitno je, da odvod funkcije obstaja na vseh točkah odsekov in [-4;-1] .

Stacionarne točke so določene iz enačbe . Edini pravi koren je x=2. Ta stacionarna točka spada v prvi segment.

V prvem primeru izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta in v stacionarni točki, to je za x=1 , x=2 in x=4 :

Zato je največja vrednost funkcije dosežena pri x=1 in najmanjša vrednost – pri x=2 .

V drugem primeru izračunamo vrednosti funkcije samo na koncih segmenta [-4;-1] (ker ne vsebuje niti ene stacionarne točke):