S tem videoposnetkom začenjam serijo lekcij o sistemih enačb. Danes bomo govorili o reševanju sistemov linearne enačbe način dodajanja- je eden izmed najbolj preprostih načinov ampak tudi eden najučinkovitejših.

Metoda dodajanja je sestavljena iz tri preproste koraki:

1. Oglejte si sistem in izberite spremenljivko, ki ima enake (ali nasprotne) koeficiente v vsaki enačbi;
2. Izvedite algebraično odštevanje (za nasprotna števila - seštevanje) enačb med seboj in nato prinesite podobne člene;
3. Rešite novo enačbo, dobljeno po drugem koraku.

Če je vse opravljeno pravilno, bomo na izhodu dobili eno enačbo z eno spremenljivko- Ne bo težko rešiti. Nato ostane samo nadomestiti najdeni koren v izvirnem sistemu in dobiti končni odgovor.

Vendar v praksi ni tako preprosto. Razlogov za to je več:

• Reševanje enačb s seštevanjem pomeni, da morajo vse vrstice vsebovati spremenljivke z enakimi/nasprotnimi koeficienti. Kaj pa, če ta zahteva ni izpolnjena?
• Ne vedno, po dodajanju / odštevanju enačb na ta način, bomo dobili lepo konstrukcijo, ki jo je enostavno rešiti. Ali je mogoče nekako poenostaviti izračune in pospešiti izračune?

Če želite dobiti odgovor na ta vprašanja in se hkrati spoprijeti z nekaj dodatnimi tankočutnostmi, na katere mnogi študenti »padejo«, si oglejte mojo video vadnico:

S to lekcijo začenjamo serijo predavanj o sistemih enačb. In začeli bomo z najpreprostejšimi med njimi, in sicer tistimi, ki vsebujejo dve enačbi in dve spremenljivki. Vsak od njih bo linearen.

Sistemi so gradivo za 7. razred, vendar bo ta lekcija koristna tudi za srednješolce, ki želijo obnoviti svoje znanje o tej temi.

Na splošno obstajata dve metodi za reševanje takih sistemov:

1. Metoda dodajanja;
2. Metoda izražanja ene spremenljivke v smislu druge.

Danes se bomo ukvarjali s prvo metodo – uporabili bomo metodo odštevanja in seštevanja. Toda za to morate razumeti naslednje dejstvo: ko imate dve ali več enačb, lahko vzamete kateri koli dve in ju seštejete. Dodajajo se termin za terminom, tj. "X-ji" so dodani "X-jem" in podani podobni;

Rezultat takšnih mahinacij bo nova enačba, ki bo, če ima korenine, zagotovo med koreninami prvotne enačbe. Naša naloga je torej, da izvedemo odštevanje ali seštevanje tako, da $x$ ali $y$ izgine.

Kako to doseči in kakšno orodje za to uporabiti - o tem bomo zdaj govorili.

Reševanje enostavnih nalog z metodo seštevanja

Tako se učimo uporabljati metodo dodajanja na primeru dveh preprostih izrazov.

Naloga #1

\[\levo\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \desno.\]

Upoštevajte, da ima $y$ koeficient $-4$ v prvi enačbi in $+4$ v drugi. Med seboj sta si nasprotni, zato je logično domnevati, da če ju seštejemo, se bosta v dobljeni količini »igre« medsebojno izničili. Dodamo in dobimo:

Rešujemo najpreprostejšo konstrukcijo:

Super, našli smo X. Kaj zdaj z njim? Lahko ga nadomestimo v katero koli enačbo. Dajmo v prvo:

\[-4y=12\levo| :\levo(-4 \desno) \desno.\]

Odgovor: $\levo(2;-3\desno)$.

Naloga št. 2

\[\levo\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \desno.\]

Pri nas je situacija povsem podobna, le da pri X-ih. Sestavimo jih skupaj:

Dobili smo najpreprostejšo linearno enačbo, rešimo jo:

Zdaj pa poiščimo $x$:

Odgovor: $\levo(-3;3\desno)$.

Pomembne točke

Torej, pravkar smo rešili dva preprosta sistema linearnih enačb z uporabo metode dodajanja. Še enkrat ključne točke:

1. Če sta za eno od spremenljivk nasprotna koeficienta, je treba sešteti vse spremenljivke v enačbi. V tem primeru bo eden od njih uničen.
2. Najdeno spremenljivko nadomestimo v katero koli od enačb sistema, da poiščemo drugo.
3. Končni zapis odgovora je mogoče predstaviti na različne načine. Na primer tako - $x=...,y=...$ ali v obliki koordinat točk - $\left(...;... \right)$. Druga možnost je boljša. Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti, je, da je prva koordinata $x$, druga pa $y$.
4. Pravilo, da se odgovor zapiše v obliki koordinat točke, ne velja vedno. Na primer, ni ga mogoče uporabiti, če vloga spremenljivk nista $x$ in $y$, ampak na primer $a$ in $b$.

V naslednjih nalogah bomo upoštevali tehniko odštevanja, ko koeficienti niso nasprotni.

Reševanje lažjih nalog z metodo odštevanja

Naloga #1

\[\levo\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \desno.\]

Upoštevajte, da tukaj ni nasprotnih koeficientov, ampak so enaki. Zato odštejemo drugo enačbo od prve enačbe:

Sedaj zamenjamo vrednost $x$ v katero koli od enačb sistema. Gremo najprej:

Odgovor: $\levo(2;5\desno)$.

Naloga št. 2

\[\levo\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \desno.\]

Ponovno vidimo isti koeficient $5$ za $x$ v prvi in ​​drugi enačbi. Zato je logično domnevati, da morate od prve enačbe odšteti drugo:

Izračunali smo eno spremenljivko. Zdaj pa poiščimo drugega, na primer tako, da zamenjamo vrednost $y$ v drugi konstrukt:

Odgovor: $\levo(-3;-2 \desno)$.

Nianse rešitve

Kaj torej vidimo? V bistvu se shema ne razlikuje od rešitve prejšnjih sistemov. Edina razlika je v tem, da enačb ne seštevamo, ampak odštevamo. Delamo algebraično odštevanje.

Z drugimi besedami, takoj ko vidite sistem, sestavljen iz dveh enačb z dvema neznankama, morate najprej pogledati koeficiente. Če sta kjer koli enaki, se enačbi odštejeta, če sta nasprotni pa se uporabi metoda seštevanja. To se vedno naredi tako, da ena izmed njih izgine, v končni enačbi, ki ostane po odštevanju, pa bi ostala samo ena spremenljivka.

Seveda to še ni vse. Zdaj bomo obravnavali sisteme, v katerih so enačbe na splošno neskladne. Tisti. v njih ni takih spremenljivk, ki bi bile bodisi enake bodisi nasprotne. V tem primeru za rešitev takih sistemov, dodatni sprejem, in sicer množenje vsake od enačb s posebnim koeficientom. Kako ga najti in kako rešiti takšne sisteme na splošno, zdaj bomo govorili o tem.

Reševanje nalog z množenjem s koeficientom

Primer #1

\[\levo\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \desno.\]

Vidimo, da niti za $x$ niti za $y$ koeficienta nista le medsebojno nasprotna, ampak na splošno nista v nobeni korelaciji z drugo enačbo. Ti koeficienti nikakor ne bodo izginili, tudi če enačbe med seboj seštejemo ali odštejemo. Zato je treba uporabiti množenje. Poskusimo se znebiti spremenljivke $y$. Da bi to naredili, pomnožimo prvo enačbo s koeficientom $y$ iz druge enačbe, drugo enačbo pa s koeficientom $y$ iz prve enačbe, ne da bi spremenili predznak. Pomnožimo in dobimo nov sistem:

\[\levo\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \desno.\]

Poglejmo: za $y$ nasprotni koeficienti. V takšni situaciji je treba uporabiti metodo dodajanja. Dodajmo:

Zdaj moramo najti $y$. Če želite to narediti, nadomestite $x$ v prvi izraz:

\[-9y=18\levo| :\levo(-9 \desno) \desno.\]

Odgovor: $\levo(4;-2\desno)$.

Primer #2

\[\levo\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \desno.\]

Ponovno, koeficienti za nobeno od spremenljivk niso skladni. Pomnožimo s koeficienti pri $y$:

\[\levo\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \desno. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \desno. \\\end(align) \right .\]

\[\levo\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \desno.\]

Naš nov sistem je enakovredna prejšnjemu, vendar sta koeficienta $y$ medsebojno nasprotna, zato je tukaj enostavno uporabiti metodo dodajanja:

Zdaj poiščite $y$ tako, da nadomestite $x$ v prvo enačbo:

Odgovor: $\levo(-2;1\desno)$.

Nianse rešitve

Ključno pravilo pri tem je naslednje: vedno množite samo s pozitivnimi številkami - to vas bo rešilo pred neumnimi in žaljivimi napakami, povezanimi s spreminjanjem znakov. Na splošno je shema rešitve precej preprosta:

1. Ogledamo si sistem in analiziramo vsako enačbo.
2. Če vidimo, da niti za $y$ niti za $x$ koeficienti niso skladni, tj. niso niti enaki niti nasprotni, potem naredimo naslednje: izberemo spremenljivko, ki se je želimo znebiti, in nato pogledamo koeficiente v teh enačbah. Če prvo enačbo pomnožimo s koeficientom iz druge in ustrezno drugo enačbo pomnožimo s koeficientom iz prve, potem dobimo na koncu sistem, ki je popolnoma enakovreden prejšnjemu in koeficiente pri $y $ bo dosleden. Vsa naša dejanja ali transformacije so usmerjene le v to, da dobimo eno spremenljivko v eni enačbi.
3. Najdemo eno spremenljivko.
4. Najdeno spremenljivko nadomestimo v eno od obeh enačb sistema in poiščemo drugo.
5. Odgovor zapišemo v obliki koordinat točk, če imamo spremenljivki $x$ in $y$.

Toda tudi tako preprost algoritem ima svoje posebnosti, na primer, koeficienti $x$ ali $y$ so lahko ulomki in druga "grda" števila. Zdaj bomo te primere obravnavali ločeno, saj lahko v njih delujete nekoliko drugače kot po standardnem algoritmu.

Reševanje nalog z ulomki

Primer #1

\[\levo\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \desno.\]

Najprej upoštevajte, da druga enačba vsebuje ulomke. Vendar upoštevajte, da lahko 4 $ delite z 0,8 $. Dobimo 5 $. Pomnožimo drugo enačbo s $5$:

\[\levo\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Enačbe odštejemo eno od druge:

$n$ smo našli, zdaj izračunamo $m$:

Odgovor: $n=-4;m=5$

Primer #2

\[\levo\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \desno. \\& 2p-5k=2\left| 5 \desno. \\\end(align )\ prav.\]

Tukaj, tako kot v prejšnjem sistemu, obstajajo delni koeficienti, vendar se za nobeno od spremenljivk koeficienti ne prilegajo drug drugemu za celo število krat. Zato uporabljamo standardni algoritem. Znebite se $p$:

\[\levo\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \desno.\]

Uporabimo metodo odštevanja:

Poiščimo $p$ tako, da nadomestimo $k$ v drugo konstrukcijo:

Odgovor: $p=-4;k=-2$.

Nianse rešitve

To je vsa optimizacija. V prvi enačbi nismo množili z ničemer, druga enačba pa je bila pomnožena s 5$. Kot rezultat smo dobili konsistentno in celo enako enačbo za prvo spremenljivko. V drugem sistemu smo delovali po standardnem algoritmu.

Toda kako najti številke, s katerimi morate pomnožiti enačbe? Konec koncev, če pomnožite s ulomkov, dobimo nove ulomke. Zato je treba ulomke pomnožiti s številom, ki bi dalo novo celo število, nato pa spremenljivke pomnožiti s koeficienti po standardnem algoritmu.

Na koncu bi vas rad opozoril na obliko zapisa odgovora. Kot sem že rekel, ker tu nimamo $x$ in $y$, ampak druge vrednosti, uporabljamo nestandardni zapis oblike:

Reševanje kompleksnih sistemov enačb

Za zaključek današnje video vadnice si poglejmo nekaj res zapletenih sistemov. Njihova kompleksnost bo v tem, da bodo vsebovale spremenljivke tako na levi kot na desni. Zato bomo morali za njihovo rešitev uporabiti predprocesiranje.

Sistem #1

\[\levo\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\desno)+4 \\& 6\left(y+1 \desno )-1=5\levo(2x-1 \desno)+8 \\\konec(poravnaj) \desno.\]

Vsaka enačba nosi določeno kompleksnost. Zato z vsakim izrazom naredimo tako kot z običajno linearno konstrukcijo.

Skupaj dobimo končni sistem, ki je enakovreden prvotnemu:

\[\levo\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \desno.\]

Poglejmo koeficiente $y$: $3$ se dvakrat prilega $6$, zato prvo enačbo pomnožimo z $2$:

\[\levo\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \desno.\]

Koeficienti $y$ so zdaj enaki, zato od prve enačbe odštejemo drugo: $$

Zdaj pa poiščimo $y$:

Odgovor: $\levo(0;-\frac(1)(3) \desno)$

Sistem #2

\[\levo\( \begin(align)& 4\left(a-3b \desno)-2a=3\levo(b+4 \desno)-11 \\& -3\levo(b-2a \desno) )-12=2\levo(a-5 \desno)+b \\\konec(poravnaj) \desno.\]

Preoblikujemo prvi izraz:

Ukvarjajmo se z drugim:

\[-3\levo(b-2a \desno)-12=2\levo(a-5 \desno)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Skupaj bo naš začetni sistem imel naslednjo obliko:

\[\levo\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \desno.\]

Če pogledamo koeficiente $a$, vidimo, da je treba prvo enačbo pomnožiti z $2$:

\[\levo\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \desno.\]

Od prve konstrukcije odštejemo drugo:

Zdaj poiščite $a$:

Odgovor: $\levo(a=\frac(1)(2);b=0 \desno)$.

To je vse. Upam, da vam bo ta video vadnica pomagala razumeti to težko temo, namreč reševanje sistemov preprostih linearnih enačb. O tej temi bo še veliko več lekcij: več bomo analizirali zapleteni primeri, kjer bo več spremenljivk, same enačbe pa bodo že nelinearne. Se vidiva kmalu!

Rešitev linearnih sistemov algebraične enačbe(SLAE) je nedvomno najpomembnejša tema tečaja linearne algebre. Ogromno problemov iz vseh vej matematike se zreducira na reševanje sistemov linearnih enačb. Ti dejavniki pojasnjujejo razlog za nastanek tega članka. Gradivo članka je izbrano in strukturirano tako, da lahko z njegovo pomočjo

• pobrati najboljša metoda reševanje vašega sistema linearnih algebrskih enačb,
• preuči teorijo izbrane metode,
• rešite svoj sistem linearnih enačb, pri čemer ste podrobno preučili rešitve tipičnih primerov in problemov.

Kratek opis materiala članka.

Najprej dajmo vse potrebne definicije, koncepte in uvesti notacijo.

Nato obravnavamo metode za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb, v katerih je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in imajo enolično rešitev. Najprej se osredotočimo na Cramerjevo metodo, drugič bomo prikazali matrično metodo za reševanje tovrstnih sistemov enačb, tretjič pa bomo analizirali Gaussovo metodo (metoda zaporednega izločanja neznanih spremenljivk). Za utrditev teorije bomo vsekakor rešili več SLAE na različne načine.

Nato nadaljujemo z reševanjem sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike, v katerih število enačb ne sovpada s številom neznanih spremenljivk ali pa je glavna matrika sistema degenerirana. Oblikujmo Kronecker - Capellijev izrek, ki nam omogoča, da ugotovimo združljivost SLAE. Analizirajmo rešitev sistemov (v primeru njihove združljivosti) z uporabo koncepta osnovni minor matrice. Upoštevali bomo tudi Gaussovo metodo in podrobno opisali rešitve primerov.

Bodite pozorni na strukturo splošne rešitve homogenih in nehomogenih sistemov linearnih algebrskih enačb. Podajte koncept temeljnega sistema rešitev in pokažimo, kako je splošna rešitev SLAE zapisana z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev. Za boljše razumevanje si poglejmo nekaj primerov.

Na koncu obravnavamo sisteme enačb, ki so reducirane na linearne, pa tudi različne probleme, pri reševanju katerih nastanejo SLAE.

Navigacija po straneh.

Definicije, pojmi, oznake.

Upoštevali bomo sisteme p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami (p je lahko enak n) oblike

Neznane spremenljivke, - koeficienti (nekatera realna ali kompleksna števila), - prosti členi (tudi realna ali kompleksna števila).

Ta oblika SLAE se imenuje koordinirati.

IN matrična oblika ta sistem enačb ima obliko,
Kje - glavna matrika sistema, - matrika-stolpec neznanih spremenljivk, - matrika-stolpec prostih članov.

Če matriki A kot (n + 1)-ti stolpec dodamo matriko-stolpec prostih členov, dobimo t.i. razširjena matrika sistemi linearnih enačb. Običajno je razširjena matrika označena s črko T, stolpec prostih članov pa je ločen z navpično črto od preostalih stolpcev, tj.

Z reševanjem sistema linearnih algebrskih enačb imenovan niz vrednosti neznanih spremenljivk, ki spremeni vse enačbe sistema v identitete. Matrična enačba za dane vrednosti neznanih spremenljivk se prav tako spremeni v identiteto.

Če ima sistem enačb vsaj eno rešitev, se imenuje sklep.

Če sistem enačb nima rešitev, se imenuje nezdružljivo.

Če ima SLAE edinstveno rešitev, se ta pokliče določene; če obstaja več kot ena rešitev, potem - negotova.

Če so prosti členi vseh enačb sistema enaki nič , nato se sistem pokliče homogena, drugače - heterogena.

Reševanje elementarnih sistemov linearnih algebrskih enačb.

Če je število sistemskih enačb enako številu neznanih spremenljivk in determinanta njegove glavne matrike ni enaka nič, potem bomo takšne SLAE imenovali osnovno. Takšni sistemi enačb imajo edinstveno rešitev in v primeru homogeni sistem vse neznane spremenljivke so nič.

Takšne SLAE smo začeli preučevati leta Srednja šola. Pri njihovem reševanju smo vzeli eno enačbo, eno neznano spremenljivko izrazili z drugimi in jo nadomestili v preostale enačbe, nato vzeli naslednjo enačbo, izrazili naslednjo neznano spremenljivko in jo nadomestili v druge enačbe itd. Ali pa so uporabili metodo dodajanja, to je, da so dodali dve ali več enačb, da bi izločili nekatere neznane spremenljivke. O teh metodah se ne bomo podrobneje ukvarjali, saj so v bistvu modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za reševanje elementarnih sistemov linearnih enačb so Cramerjeva metoda, matrična metoda in Gaussova metoda. Razvrstimo jih.

Reševanje sistemov linearnih enačb po Cramerjevi metodi.

Rešiti moramo sistem linearnih algebrskih enačb

v katerem je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in je determinanta glavne matrike sistema različna od nič, to je .

Naj bo determinanta glavne matrike sistema in so determinante matrik, ki jih dobimo iz A z zamenjavo 1., 2., …, n v stolpec brezplačnih članov:

S takšnim zapisom se neznane spremenljivke izračunajo po formulah Cramerjeve metode kot . Tako se po Cramerjevi metodi najde rešitev sistema linearnih algebrskih enačb.

Primer.

Cramerjeva metoda .

rešitev.

Glavna matrika sistema ima obliko . Izračunajte njegovo determinanto (če je potrebno, glejte članek):

Ker je determinanta glavne matrike sistema različna od nič, ima sistem edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s Cramerjevo metodo.

Sestavite in izračunajte potrebne determinante (determinanto dobimo z zamenjavo prvega stolpca v matriki A s stolpcem prostih členov, determinanto - z zamenjavo drugega stolpca s stolpcem prostih članov, - z zamenjavo tretjega stolpca matrike A s stolpcem prostih članov ):

Iskanje neznanih spremenljivk s pomočjo formul :

odgovor:

Glavna pomanjkljivost Cramerjeve metode (če jo lahko imenujemo pomanjkljivost) je zapletenost izračuna determinant, ko je število sistemskih enačb večje od treh.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo (z uporabo inverzne matrike).

Naj bo sistem linearnih algebrskih enačb podan v matrični obliki, kjer ima matrika A razsežnost n x n in je njena determinanta različna od nič.

Ker je , potem je matrika A invertibilna, to pomeni, da obstaja inverzna matrika . Če oba dela enačbe pomnožimo z levo, potem dobimo formulo za iskanje stolpčne matrike neznanih spremenljivk. Tako smo dobili rešitev sistema linearnih algebrskih enačb z matrično metodo.

Primer.

Reši sistem linearnih enačb matrična metoda.

rešitev.

Sistem enačb prepišemo v matrično obliko:

Ker

potem lahko SLAE rešimo z matrično metodo. Z uporabo inverzne matrike lahko rešitev tega sistema najdemo kot .

Konstruirajmo inverzno matriko z uporabo matrike iz algebrski dodatki elementi matrike A (če je potrebno, glejte članek):

Ostaja še izračunati - matriko neznanih spremenljivk z množenjem inverzne matrike na stolpcu matrike brezplačnih članov (če je potrebno, glejte članek):

odgovor:

ali v drugem zapisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavna težava pri iskanju rešitev sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo je kompleksnost iskanja inverzne matrike, še posebej za kvadratne matrike reda, višjega od tretjega.

Reševanje sistemov linearnih enačb po Gaussovi metodi.

Recimo, da moramo najti rešitev sistema n linearnih enačb z n neznanimi spremenljivkami
katere determinanta glavne matrike je različna od nič.

Bistvo Gaussove metode sestoji iz zaporedne izločitve neznanih spremenljivk: najprej je x 1 izključen iz vseh enačb sistema, začenši z drugo, nato je x 2 izključen iz vseh enačb, začenši s tretjo in tako naprej, dokler ni samo neznana spremenljivka. x n ostane v zadnji enačbi. Tak postopek preoblikovanja enačb sistema za zaporedno izločanje neznanih spremenljivk se imenuje direktna Gaussova metoda. Po zaključku napredovanja Gaussove metode se x n najde iz zadnje enačbe, x n-1 se izračuna iz predzadnje enačbe z uporabo te vrednosti in tako naprej, x 1 se najde iz prve enačbe. Postopek izračunavanja neznanih spremenljivk pri prehodu iz zadnje enačbe sistema v prvo se imenuje reverzna Gaussova metoda.

Naj na kratko opišemo algoritem za izločanje neznanih spremenljivk.

Predpostavili bomo, da , saj lahko to vedno dosežemo s preureditvijo enačb sistema. Neznano spremenljivko x 1 izključimo iz vseh enačb sistema, začenši z drugo. Če želite to narediti, dodajte prvo enačbo, pomnoženo z, drugi enačbi sistema, dodajte prvo enačbo, pomnoženo z, tretji enačbi in tako naprej, dodajte prvo, pomnoženo z, n-ti enačbi. Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje .

Do enakega rezultata bi prišli, če bi x 1 izrazili z drugimi neznanimi spremenljivkami v prvi enačbi sistema in dobljeni izraz nadomestili v vse druge enačbe. Tako je spremenljivka x 1 izključena iz vseh enačb, začenši z drugo.

Nato ravnamo podobno, vendar le z delom nastalega sistema, ki je označen na sliki

Če želite to narediti, tretji enačbi sistema dodajte drugo, pomnoženo z, četrti enačbi dodajte drugo, pomnoženo z, in tako naprej, drugič, pomnoženo z, dodajte n-ti enačbi. Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje . Tako je spremenljivka x 2 izključena iz vseh enačb, začenši s tretjo.

Nato nadaljujemo z izločanjem neznanke x 3, pri tem pa ravnamo podobno z delom sistema, ki je označen na sliki.

Torej nadaljujemo z neposrednim potekom Gaussove metode, dokler sistem ne dobi oblike

Od tega trenutka začnemo obratni potek Gaussove metode: izračunamo x n iz zadnje enačbe kot , s pomočjo dobljene vrednosti x n najdemo x n-1 iz predzadnje enačbe in tako naprej najdemo x 1 iz prve enačba.

Primer.

Reši sistem linearnih enačb Gaussova metoda.

rešitev.

Izključimo neznano spremenljivko x 1 iz druge in tretje enačbe sistema. Da bi to naredili, obema deloma druge in tretje enačbe dodamo ustrezne dele prve enačbe, pomnožene z oz.

Sedaj iz tretje enačbe izločimo x 2 tako, da njenim levim in desnim delom dodamo levi in ​​desni del druge enačbe, pomnožene z:

S tem je potek naprej Gaussove metode končan, začnemo obratni potek.

Iz zadnje enačbe nastalega sistema enačb najdemo x 3:

Iz druge enačbe dobimo.

Iz prve enačbe najdemo preostalo neznano spremenljivko in s tem zaključimo obraten potek Gaussove metode.

odgovor:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

V splošnem primeru število enačb sistema p ne sovpada s številom neznanih spremenljivk n:

Takšni SLAE morda nimajo rešitev, imajo eno samo rešitev ali imajo neskončno veliko rešitev. Ta izjava velja tudi za sisteme enačb, katerih glavna matrika je kvadratna in degenerirana.

Kronecker-Capellijev izrek.

Preden najdemo rešitev sistema linearnih enačb, je treba ugotoviti njegovo združljivost. Odgovor na vprašanje, kdaj je SLAE združljiv in kdaj nezdružljiv, daje Kronecker–Capellijev izrek:
da je sistem p enačb z n neznankami (p je lahko enak n) konsistenten, je nujno in zadostno, da je rang glavne matrike sistema enak rangu razširjene matrike, to je Rank( A)=Uvrstitev(T).

Oglejmo si kot primer uporabo Kronecker-Cappellijevega izreka za določanje združljivosti sistema linearnih enačb.

Primer.

Ugotovite, ali ima sistem linearnih enačb rešitve.

rešitev.

. Uporabimo metodo mejnih mladoletnikov. Minor drugega reda drugačen od nič. Oglejmo si mladoletnike tretjega reda, ki ga obkrožajo:

Ker so vsi mejni minori tretjega reda enaki nič, je rang glavne matrike dva.

Po drugi strani pa rang razširjene matrike je enako tri, saj je minor tretjega reda

drugačen od nič.

torej Rang(A) , torej glede na Kronecker-Capellijev izrek lahko sklepamo, da je izvirni sistem linearnih enačb nedosleden.

odgovor:

Ni sistema rešitev.

Tako smo se naučili ugotoviti nedoslednost sistema z uporabo Kronecker-Capellijevega izreka.

Toda kako najti rešitev SLAE, če je vzpostavljena njegova združljivost?

Za to potrebujemo koncept baznega minora matrike in izrek o rangu matrike.

Imenuje se minor najvišjega reda matrike A, ki ni nič osnovni.

Iz definicije baznega minora sledi, da je njegov vrstni red enak rangu matrike. Za neničelno matriko A je lahko več bazičnih minorjev, vedno je en bazični minor.

Na primer, razmislite o matriki .

Vsi minori tretjega reda te matrike so enaki nič, saj so elementi tretje vrstice te matrike vsota ustreznih elementov prve in druge vrstice.

Naslednji minori drugega reda so osnovni, ker niso ničelni

mladoletniki niso bazične, saj so enake nič.

Izrek o rangu matrike.

Če je rang matrike reda p z n enak r, potem so vsi elementi vrstic (in stolpcev) matrike, ki ne tvorijo izbrane osnovne baze, linearno izraženi z ustreznimi elementi vrstic (in stolpcev) ), ki tvorijo osnovo minor.

Kaj nam daje izrek o rangu matrike?

Če smo s Kronecker-Capellijevim izrekom ugotovili združljivost sistema, potem izberemo katerikoli osnovni minor glavne matrike sistema (njegov vrstni red je enak r) in izločimo iz sistema vse enačbe, ki ne oblikujejo izbrani osnovni mol. Tako dobljen SLAE bo enakovreden originalnemu, saj so zavržene enačbe še vedno redundantne (po izreku o rangu matrike so linearna kombinacija preostalih enačb).

Posledično sta po zavrženju pretiranih enačb sistema možna dva primera.

Če je število enačb r v dobljenem sistemu enako številu neznanih spremenljivk, potem bo ta dokončen in edino rešitev lahko najdemo s Cramerjevo metodo, matrično metodo ali Gaussovo metodo.

Primer.

.

rešitev.

Rang glavne matrike sistema je enako dve, saj je minor drugega reda drugačen od nič. Razširjeni matrični rang je tudi enako dve, saj je edini minor tretjega reda enak nič

in minor zgoraj obravnavanega drugega reda je drugačen od nič. Na podlagi Kronecker-Capellijevega izreka lahko trdimo združljivost izvirnega sistema linearnih enačb, saj je Rank(A)=Rank(T)=2 .

Kot podlago vzamemo . Sestavljen je iz koeficientov prve in druge enačbe:


Tretja enačba sistema ne sodeluje pri oblikovanju osnovnega minora, zato jo izločimo iz sistema na podlagi izreka o rangu matrike:


Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebrskih enačb. Rešimo ga po Cramerjevi metodi:


odgovor:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Če je število enačb r v nastalem SLAE manj kot številka neznanih spremenljivk n, nato na levi strani enačb pustimo člene, ki tvorijo bazni minor, preostale člene pa prenesemo na desno stran enačb sistema z nasprotnim predznakom.

Neznane spremenljivke (teh je r), ki ostanejo na levi strani enačb, imenujemo glavni.

Pokličemo neznane spremenljivke (n - r jih je), ki so se znašle na desni strani prost.

Zdaj predpostavljamo, da lahko proste neznane spremenljivke zavzamejo poljubne vrednosti, medtem ko bo r glavnih neznanih spremenljivk izraženo v terminih prostih neznanih spremenljivk na edinstven način. Njihov izraz je mogoče najti z reševanjem dobljene SLAE po Cramerjevi metodi, matrični metodi ali Gaussovi metodi.

Vzemimo primer.

Primer.

Reši sistem linearnih algebraičnih enačb .

rešitev.

Poiščite rang glavne matrike sistema po metodi mejnih mladoletnikov. Vzemimo 1 1 = 1 kot neničelni minor prvega reda. Začnimo iskati neničelni minor drugega reda, ki obkroža ta minor:


Torej smo našli minor drugega reda, ki ni nič. Začnimo iskati neničelni obrobni minor tretjega reda:


Tako je rang glavne matrice tri. Tudi rang razširjene matrike je enak trem, kar pomeni, da je sistem dosleden.

Najdeni neničelni minor tretjega reda bo vzet kot osnovni.

Zaradi jasnosti prikazujemo elemente, ki tvorijo osnovo minor:


Člene, ki sodelujejo v osnovnem minorju, pustimo na levi strani enačb sistema, ostale z nasprotnimi predznaki pa prenesemo na desne strani:


Prostim neznanim spremenljivkam x 2 in x 5 dajemo poljubne vrednosti, to pomeni, da vzamemo , kjer so poljubna števila. V tem primeru ima SLAE obliko


Dobljeni elementarni sistem linearnih algebrskih enačb rešimo po Cramerjevi metodi:


Zato,.

V odgovoru ne pozabite navesti prostih neznanih spremenljivk.

odgovor:

Kje so poljubna števila.

Povzemite.

Za rešitev sistema linearnih algebrskih enačb splošne oblike najprej ugotovimo njegovo združljivost s Kronecker-Capellijevim izrekom. Če rang glavne matrike ni enak rangu razširjene matrike, potem sklepamo, da je sistem nedosleden.

Če je rang glavne matrike enak rangu razširjene matrike, potem izberemo osnovni minor in zavržemo enačbe sistema, ki ne sodelujejo pri oblikovanju izbranega osnovnega minora.

Če je vrstni red osnove minor je enako številu neznane spremenljivke, potem ima SLAE edinstveno rešitev, ki jo je mogoče najti s katero koli nam znano metodo.

Če je vrstni red baznega minora manjši od števila neznanih spremenljivk, pustimo člene z glavnimi neznanimi spremenljivkami na levi strani enačb sistema, preostale člene prenesemo na desne strani in jim dodelimo poljubne vrednosti ​prostim neznanim spremenljivkam. Iz dobljenega sistema linearnih enačb poiščemo glavne neznane spremenljivke po Cramerjevi metodi, matrični metodi ali Gaussovi metodi.

Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Z uporabo Gaussove metode je mogoče rešiti sisteme linearnih algebrskih enačb katere koli vrste brez njihove predhodne preiskave glede združljivosti. Proces zaporednega izločanja neznanih spremenljivk omogoča sklepanje tako o združljivosti kot o neskladnosti SLAE, in če rešitev obstaja, jo omogoča najti.

Z vidika računalniškega dela je boljša Gaussova metoda.

Pazi natančen opis in analizirane primere v članku Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Zapis splošne rešitve homogenih in nehomogenih linearnih algebrskih sistemov z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev.

V tem razdelku se bomo osredotočili na skupne homogene in nehomogene sisteme linearnih algebrskih enačb, ki imajo neskončno število rešitev.

Najprej se posvetimo homogenim sistemom.

Temeljni sistem odločanja Homogen sistem p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami je množica (n – r) linearno neodvisnih rešitev tega sistema, kjer je r vrstni red baznega minora glavne matrike sistema.

Če označimo linearno neodvisne rešitve homogeni SLAE ker so X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) matrice stolpcev n x 1), potem je splošna rešitev tega homogenega sistema predstavljeno v obliki linearna kombinacija vektorji temeljnega sistema rešitev s poljubnimi konstantnimi koeficienti С 1 , С 2 , …, С (n-r) , to je .

Kaj pomeni izraz splošna rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb (oroslau)?

Pomen je preprost: formula podaja vse možne rešitve prvotnega SLAE, z drugimi besedami, vzame kateri koli niz vrednosti poljubnih konstant C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , v skladu s formulo, ki jo bo dobil eno od rešitev prvotnega homogenega SLAE.

Če torej najdemo temeljni sistem rešitev, potem lahko vse rešitve tega homogenega SLAE postavimo kot .

Pokažimo postopek konstruiranja temeljnega sistema rešitev za homogeno SLAE.

Izberemo osnovni minor izvornega sistema linearnih enačb, izločimo vse druge enačbe iz sistema in prenesemo na desno stran enačb sistema z nasprotnimi predznaki vse člene, ki vsebujejo proste neznane spremenljivke. Dajmo brezplačne neznanke spremenljive vrednosti 1,0,0,…,0 in izračunajte glavne neznanke z reševanjem nastalega elementarnega sistema linearnih enačb na kakršen koli način, na primer po Cramerjevi metodi. Tako bo dobljen X (1) - prva rešitev temeljnega sistema. Če prostim neznankam damo vrednosti 0,1,0,0,…,0 in izračunamo glavne neznanke, potem dobimo X (2) . In tako naprej. Če prostim neznanim spremenljivkam damo vrednosti 0,0,…,0,1 in izračunamo glavne neznanke, potem dobimo X (n-r) . Tako bo zgrajen temeljni sistem rešitev homogene SLAE in njegovo splošno rešitev lahko zapišemo v obliki .

Za nehomogene sisteme linearnih algebrskih enačb je splošna rešitev predstavljena kot

Poglejmo si primere.

Primer.

Poiščite temeljni sistem rešitev in splošno rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb .

rešitev.

Rang glavne matrike homogenih sistemov linearnih enačb je vedno enak rangu razširjene matrike. Poiščimo rang glavne matrike z metodo obrobnih minorov. Kot neničelni minor prvega reda vzamemo element a 1 1 = 9 glavne matrike sistema. Poiščite obrobni neničelni minor drugega reda:

Najden je minor drugega reda, ki je različen od nič. Pojdimo skozi minore tretjega reda, ki mejijo nanj, da poiščemo neničelnega:

Vsi mejni minori tretjega reda so enaki nič, zato je rang glavne in razširjene matrike dva. Vzemimo osnovni mol. Zaradi jasnosti upoštevamo elemente sistema, ki ga tvorijo:

Tretja enačba izvirnega SLAE ne sodeluje pri oblikovanju osnovnega minora, zato jo je mogoče izključiti:

Na desni strani enačb pustimo člene, ki vsebujejo glavne neznanke, na desne strani pa prenesemo člene s prostimi neznankami:

Konstruirajmo temeljni sistem rešitev izvirnega homogenega sistema linearnih enačb. Osnovni sistem rešitev tega SLAE je sestavljen iz dveh rešitev, saj originalni SLAE vsebuje štiri neznane spremenljivke, vrstni red njegovega osnovnega minora pa je dva. Da bi našli X (1), damo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, nato najdemo glavne neznanke iz sistema enačb
.

Navodilo

Metoda dodajanja.
Dva morate napisati strogo drug pod drugim:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
V poljubno izbrano (iz sistema) enačbo namesto že najdene »igre« vstavimo število 11 in izračunamo drugo neznanko:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Odgovor tega sistema enačb: x=116, y=11.

Grafični način.
Sestoji iz praktičnega iskanja koordinat točke, v kateri so premice matematično zapisane v sistemu enačb. V istem koordinatnem sistemu morate risati grafa obeh premic ločeno. Splošni pogled: - y \u003d kx + b. Za konstrukcijo ravne črte je dovolj, da poiščemo koordinate dveh točk, x pa izberemo poljubno.
Naj bo podan sistem: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Ravna črta je zgrajena v skladu s prvo, za udobje jo je treba zapisati: y \u003d 2x-4. Poiščite (lažje) vrednosti za x, jih nadomestite v enačbo, jo rešite, poiščite y. Dobimo dve točki, vzdolž katerih je zgrajena premica. (glej sliko)
x 0 1

y -4 -2
Ravna črta je zgrajena v skladu z drugo enačbo: y \u003d -3x + 1.
Zgradite tudi črto. (glej sliko)

1-5
Poiščite koordinate presečišča dveh zgrajenih premic na grafu (če se premici ne sekata, potem sistem enačb nima - torej).

Sorodni videoposnetki

Koristen nasvet

Če isti sistem enačb rešimo s tremi različne poti, bo odgovor enak (če je rešitev pravilna).

Viri:

• Algebra 8. razred
• reši enačbo z dvema neznankama na spletu
• Primeri reševanja sistemov linearnih enačb z dvema

Sistem enačbe je zbirka matematičnih zapisov, od katerih vsak vsebuje določeno število spremenljivk. Obstaja več načinov za njihovo rešitev.

Boste potrebovali

• - Ravnilo in svinčnik;
• -kalkulator.

Navodilo

Razmislite o zaporedju reševanja sistema, ki je sestavljen iz linearnih enačb v obliki: a1x + b1y = c1 in a2x + b2y = c2. Kjer sta x in y neznani spremenljivki, b,c pa prosta člana. Pri uporabi te metode je vsak sistem koordinate točk, ki ustrezajo vsaki enačbi. Najprej v vsakem primeru izrazite eno spremenljivko glede na drugo. Nato nastavite spremenljivko x na poljubno število vrednosti. Dva sta dovolj. Vstavite v enačbo in poiščite y. Zgradite koordinatni sistem, na njem označite prejete točke in skozi njih narišite ravno črto. Podobne izračune je treba izvesti za druge dele sistema.

Sistem ima edinstveno rešitev, če se zgrajeni premici sekata in eno skupna točka. Nekonsistentno je, če sta med seboj vzporedna. In ima neskončno veliko rešitev, ko se črte zlijejo med seboj.

Ta metoda velja za zelo jasno. Glavna pomanjkljivost je, da imajo izračunane neznanke približne vrednosti. Natančnejši rezultat dajejo tako imenovane algebraične metode.

Vsako rešitev sistema enačb je vredno preveriti. Če želite to narediti, zamenjajte dobljene vrednosti namesto spremenljivk. Tudi njeno rešitev lahko najdete na več načinov. Če je rešitev sistema pravilna, bi morali vsi izpasti enako.

Pogosto obstajajo enačbe, v katerih je eden od členov neznan. Če želite rešiti enačbo, si morate zapomniti in narediti določen niz dejanj s temi številkami.

Boste potrebovali

• - papir;
• - Pero ali svinčnik.

Navodilo

Predstavljajte si, da imate pred seboj 8 zajcev in samo 5 korenčkov. Pomislite, da morate kupiti več korenja, da bo vsak zajec dobil korenček.

Predstavimo ta problem v obliki enačbe: 5 + x = 8. Zamenjajmo x s številom 3. Dejansko je 5 + 3 = 8.

Ko ste x zamenjali s številom, ste delali isto operacijo kot odštevanje 5 od 8. Torej, da bi našli neznanočlen, od vsote odštejemo znani člen.

Recimo, da imate 20 zajcev in samo 5 korenčkov. Sestavljajmo. Enačba je enakost, ki velja le za določene vrednosti črk, ki so v njej vključene. Črke, katerih vrednosti želite najti, se imenujejo. Napišite enačbo z eno neznanko, poimenujte jo x. Pri reševanju našega problema o zajcih dobimo naslednjo enačbo: 5 + x = 20.

Poiščimo razliko med 20 in 5. Pri odštevanju se število, od katerega se odšteje, zmanjša. Število, ki ga odštejemo, imenujemo , končni rezultat pa razlika. Torej, x = 20 - 5; x = 15. Za zajce morate kupiti 15 korenčkov.

Preveri: 5 + 15 = 20. Enačba je pravilna. Seveda, kdaj pogovarjamo se o tako preprostih ni treba opraviti preverjanja. Ko pa gre za enačbe s trimestnimi, štirimestnimi in tako naprej, je nujno, da preverite, da ste popolnoma prepričani o rezultatu svojega dela.

Sorodni videoposnetki

Koristen nasvet

Če želite najti neznani odštevanec, morate razliki prišteti odštevanec.

Da bi našli neznani odštevanec, je treba razliko odšteti od manjšega.

Nasvet 4: Kako rešiti sistem iz tri enačbe s tremi neznankami

Sistem treh enačb s tremi neznankami morda nima rešitev, kljub zadostnemu številu enačb. Lahko ga poskusite rešiti z metodo zamenjave ali z metodo Cramer. Cramerjeva metoda poleg reševanja sistema omogoča, da ocenimo, ali je sistem rešljiv, preden najdemo vrednosti neznank.

Navodilo

Substitucijska metoda je sestavljena iz zaporedne ene neznanke prek dveh drugih in zamenjave dobljenega rezultata v enačbah sistema. Naj bo podan sistem treh enačb splošni pogled:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Izrazite x iz prve enačbe: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - in nadomestite v drugo in tretjo enačbo, nato izrazite y iz druge enačbe in nadomestite v tretjo. Dobili boste linearni izraz za z preko koeficientov enačb sistema. Zdaj pa pojdite "nazaj": vstavite z v drugo enačbo in poiščite y, nato vstavite z in y v prvo enačbo in poiščite x. Postopek je na splošno prikazan na sliki, dokler ne najdemo z. Poleg tega bo zapis v splošni obliki preveč okoren, v praksi pa lahko z zamenjavo zlahka najdete vse tri neznanke.

Cramerjeva metoda je sestavljena iz sestavljanja matrike sistema in izračunavanja determinante te matrike ter še treh pomožnih matric. Matriko sistema sestavljajo koeficienti pri neznanih členih enačb. Stolpec, ki vsebuje številke na desni strani enačb, stolpec na desni strani. Ne uporablja se v sistemu, ampak se uporablja pri reševanju sistema.

Sorodni videoposnetki

Opomba

Vse enačbe v sistemu morajo zagotoviti dodatne informacije, neodvisne od drugih enačb. V nasprotnem primeru bo sistem poddefiniran in ne bo mogoče najti enoznačne rešitve.

Koristen nasvet

Po rešitvi sistema enačb nadomestite najdene vrednosti v prvotni sistem in preverite, ali izpolnjujejo vse enačbe.

Samo po sebi enačba s tremi neznano ima veliko rešitev, zato je največkrat dopolnjena še z dvema enačbama ali pogojema. Od tega, kakšni bodo začetni podatki, bo v veliki meri odvisen potek odločitve.

Boste potrebovali

• - sistem treh enačb s tremi neznankami.

Navodilo

Če imata dva od treh sistemov samo dve od treh neznank, poskusite izraziti nekatere spremenljivke v smislu drugih in jih vključiti v enačba s tremi neznano. Vaš cilj pri tem je, da ga spremenite v normalno enačba z neznanim. Če je to , je nadaljnja rešitev precej preprosta - najdeno vrednost nadomestimo v druge enačbe in poiščemo vse ostale neznanke.

Nekatere sisteme enačb je mogoče odšteti od ene enačbe z drugo. Poglejte, ali je mogoče pomnožiti eno od ali spremenljivko, tako da se dve neznanki zmanjšata hkrati. Če obstaja takšna priložnost, jo uporabite, najverjetneje kasnejša odločitev ne bo težka. Ne pozabite, da morate pri množenju s številom pomnožiti kot leva stran, pa tudi pravega. Podobno si to zapomnite pri odštevanju enačb desni del je treba tudi odšteti.

Če prejšnje metode niso pomagale, uporabite na splošen način rešitve poljubnih enačb s tremi neznano. Če želite to narediti, prepišite enačbe v obliki a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Sedaj naredite matriko koeficientov pri x (A), matriko neznank (X) in matriko prostih (B). Bodite pozorni, če pomnožite matriko koeficientov z matriko neznank, boste dobili matriko, matriko prostih članov, to je A * X \u003d B.

Poiščite matriko A na potenco (-1) po ugotovitvi , upoštevajte, da ne sme biti enaka nič. Po tem pomnožite dobljeno matriko z matriko B, kot rezultat boste dobili želeno matriko X, ki označuje vse vrednosti.

Rešitev sistema treh enačb lahko najdete tudi z uporabo Cramerjeve metode. Če želite to narediti, poiščite determinanto tretjega reda ∆, ki ustreza matriki sistema. Nato zaporedno poiščite še tri determinante ∆1, ∆2 in ∆3, pri čemer nadomestite vrednosti prostih členov namesto vrednosti ustreznih stolpcev. Zdaj poiščite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Viri:

• rešitve enačb s tremi neznankami

Ko začnete reševati sistem enačb, ugotovite, kaj so te enačbe. Metode reševanja linearnih enačb so dobro raziskane. Nelinearne enačbe največkrat niso rešene. Obstajajo samo eni posebni primeri, od katerih je vsak praktično individualen. Zato je treba preučevanje metod reševanja začeti z linearnimi enačbami. Takšne enačbe je mogoče rešiti celo čisto algoritemsko.

imenovalci najdenih neznank so popolnoma enaki. Da, in števci so vidni nekateri vzorci njihove konstrukcije. Če bi bila dimenzija sistema enačb večja od dveh, bi metoda izločitve vodila do zelo okornih izračunov. Da bi se jim izognili, so bile razvite povsem algoritemske rešitve. Najenostavnejši med njimi je Cramerjev algoritem (Cramerjeve formule). Kajti morali bi vedeti splošni sistem enačb iz n enačb.

Sistem n linearnih algebrskih enačb z n neznankami ima obliko (glej sliko 1a). V njem so aij koeficienti sistema,
хj – neznanke, bi – prosti členi (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Tak sistem lahko strnjeno zapišemo v matrični obliki AX=B. Tukaj je A matrika koeficientov sistema, X je matrika stolpcev neznank, B je matrika stolpcev prostih členov (glej sliko 1b). Po Cramerjevi metodi je vsaka neznanka xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Determinanto ∆ matrike koeficientov imenujemo glavna determinanta, ∆i pa pomožna. Za vsako neznanko poiščemo pomožno determinanto tako, da i-ti stolpec glavne determinante nadomestimo s stolpcem prostih členov. Cramerjeva metoda za primer sistemov drugega in tretjega reda je podrobno predstavljena na sl. 2.

Sistem je zveza dveh ali več enakosti, od katerih ima vsaka dve ali več neznank. Obstajata dva glavna načina za reševanje sistemov linearnih enačb, ki se uporabljata v okviru šolski kurikulum. Eden od njih se imenuje metoda, drugi pa metoda dodajanja.

Standardna oblika sistema dveh enačb

V standardni obliki je prva enačba a1*x+b1*y=c1, druga enačba a2*x+b2*y=c2 in tako naprej. Na primer, v primeru dveh delov sistema so v obeh dani a1, a2, b1, b2, c1, c2 nekateri numerični koeficienti, predstavljeni v posebnih enačbah. Po drugi strani sta x in y neznanki, katerih vrednosti je treba določiti. Želene vrednosti obe enačbi hkrati spremenijo v prave enakosti.

Rešitev sistema z metodo dodajanja

Če želite rešiti sistem, torej najti tiste vrednosti x in y, ki ju bodo spremenile v prave enakosti, morate narediti nekaj preprostih korakov. Prva od teh je transformacija katere koli od enačb na tak način, da numerični koeficienti za spremenljivko x ali y v obeh enačbah sovpadajo v absolutni vrednosti, vendar se razlikujejo po predznaku.

Naj bo na primer podan sistem, sestavljen iz dveh enačb. Prvi od njih ima obliko 2x+4y=8, drugi ima obliko 6x+2y=6. Ena od možnosti za dokončanje naloge je, da drugo enačbo pomnožimo s faktorjem -2, kar jo pripelje do oblike -12x-4y=-12. Pravilna izbira koeficienta je ena izmed ključnih nalog v procesu reševanja sistema z metodo dodajanja, saj določa celoten nadaljnji potek postopka iskanja neznank.

Zdaj je treba sešteti obe enačbi sistema. Očitno bo medsebojno uničenje spremenljivk z enakimi po vrednosti, a nasprotnimi predznaki koeficientov pripeljalo do oblike -10x=-4. Nato je treba rešiti to preprosto enačbo, iz katere nedvoumno izhaja, da je x=0,4.

Zadnji korak v procesu reševanja je zamenjava najdene vrednosti ene od spremenljivk v kateri koli začetni enačbi, ki je na voljo v sistemu. Če na primer nadomestite x=0,4 v prvo enačbo, lahko dobite izraz 2*0,4+4y=8, iz katerega je y=1,8. Tako sta x=0,4 in y=1,8 korena sistema, prikazanega v primeru.

Da bi se prepričali, ali so bile korenine pravilno najdene, je koristno preveriti tako, da najdene vrednosti nadomestimo z drugo enačbo sistema. Na primer, v tem primeru dobimo enakost v obliki 0,4 * 6 + 1,8 * 2 = 6, kar je pravilno.

Sorodni videoposnetki

Lekcija in predstavitev na temo: "Sistemi enačb. Metoda zamenjave, metoda dodajanja, metoda uvajanja nove spremenljivke"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, povratnih informacij, predlogov! Vsa gradiva so preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za 9. razred
Simulator za učbenike Atanasyan L.S. Simulator za učbenike Pogorelova A.V.

Načini reševanja sistemov neenačb

Fantje, preučevali smo sisteme enačb in se jih naučili reševati z uporabo grafov. Zdaj pa poglejmo, kateri drugi načini za reševanje sistemov obstajajo?
Skoraj vsi načini njihovega reševanja se ne razlikujejo od tistih, ki smo jih preučevali v 7. razredu. Zdaj moramo narediti nekaj prilagoditev glede na enačbe, ki smo se jih naučili reševati.
Bistvo vseh metod, opisanih v tej lekciji, je zamenjava sistema z enakovrednim sistemom s preprostejšo obliko in načinom reševanja. Fantje, spomnite se, kaj je enakovredni sistem.

Metoda zamenjave

Prvi način reševanja sistemov enačb z dvema spremenljivkama nam je dobro znan - to je substitucijska metoda. To metodo smo uporabili za reševanje linearnih enačb. Zdaj pa poglejmo, kako rešiti enačbe v splošnem primeru?

Kako ravnati pri odločanju?
1. Izrazite eno od spremenljivk z drugo. Najpogostejši spremenljivki, ki se uporabljata v enačbah, sta x in y. V eni od enačb eno spremenljivko izrazimo z drugo. Namig: dobro si oglej obe enačbi, preden se lotiš reševanja in izberi tisto, pri kateri boš lažje izrazil spremenljivko.
2. Dobljeni izraz zamenjajte v drugo enačbo namesto spremenljivke, ki je bila izražena.
3. Reši enačbo, ki smo jo dobili.
4. Dobljeno rešitev nadomestite z drugo enačbo. Če obstaja več rešitev, jih je treba zamenjati zaporedno, da ne izgubite nekaj rešitev.
5. Kot rezultat boste dobili par števil $(x;y)$, ki ga morate zapisati kot odgovor.

Primer.
Rešite sistem z dvema spremenljivkama z metodo zamenjave: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

rešitev.
Oglejmo si naše enačbe podrobneje. Očitno je izražanje y z x v prvi enačbi veliko lažje.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Zamenjajte prvi izraz v drugo enačbo $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Rešimo drugo enačbo posebej:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Dobili smo dve rešitvi druge enačbe $x_1=2$ in $x_2=3$.
Zaporedoma nadomestite v drugo enačbo.
Če je $x=2$, potem je $y=3$. Če je $x=3$, potem je $y=2$.
Odgovor bosta dva para številk.
Odgovor: $(2;3)$ in $(3;2)$.

Algebraična metoda dodajanja

To metodo smo se učili tudi v 7. razredu.
Znano je, da lahko racionalno enačbo v dveh spremenljivkah pomnožimo s poljubnim številom, pri čemer ne pozabimo pomnožiti obeh strani enačbe. Eno izmed enačb smo pomnožili z določenim številom, tako da ko dobljeno enačbo prištejemo drugi enačbi sistema, se ena od spremenljivk uniči. Nato smo enačbo rešili glede na preostalo spremenljivko.
Ta metoda še vedno deluje, čeprav ni vedno mogoče uničiti ene od spremenljivk. Vendar pa omogoča bistveno poenostavitev oblike ene od enačb.

Primer.
Rešite sistem: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

rešitev.
Pomnožite prvo enačbo z 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Odštejte drugo od prve enačbe.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Kot lahko vidite, je oblika nastale enačbe veliko enostavnejša od prvotne. Zdaj lahko uporabimo metodo zamenjave.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Izrazimo x skozi y v dobljeni enačbi.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Dobil sem $y=-1$ in $y=-3$.
Te vrednosti zaporedno zamenjajte v prvo enačbo. Dobimo dva para števil: $(1;-1)$ in $(-1;-3)$.
Odgovor: $(1;-1)$ in $(-1;-3)$.

Metoda za uvedbo nove spremenljivke

Tudi to metodo smo preučevali, a poglejmo jo še enkrat.

Primer.
Rešite sistem: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

rešitev.
Uvedimo zamenjavo $t=\frac(x)(y)$.
Prepišimo prvo enačbo z novo spremenljivko: $t+\frac(2)(t)=3$.
Rešimo nastalo enačbo:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Imam $t=2$ ali $t=1$. Uvedimo obratno spremembo $t=\frac(x)(y)$.
Dobili smo: $x=2y$ in $x=y$.

Za vsakega od izrazov je treba izvirni sistem rešiti posebej:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Prejeli smo štiri pare rešitev.
Odgovor: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Primer.
Rešite sistem: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cases)$.

rešitev.
Uvedemo zamenjavo: $z=\frac(2)(x-3y)$ in $t=\frac(3)(2x+y)$.
Prepišimo prvotne enačbe z novimi spremenljivkami:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Uporabimo metodo algebraičnega seštevanja:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Predstavimo obratno zamenjavo:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Uporabimo metodo zamenjave:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Odgovor: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Problemi na sistemih enačb za samostojno reševanje

Reši sisteme:
1. $\begin(cases)2x-2y=6, \\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ konec(primeri)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

Gradivo tega članka je namenjeno prvemu seznanjanju s sistemi enačb. Tu uvajamo definicijo sistema enačb in njegovih rešitev ter obravnavamo najpogostejše vrste sistemov enačb. Kot običajno bomo podali razlagalne primere.

Navigacija po straneh.

Kaj je sistem enačb?

Postopoma se bomo približali definiciji sistema enačb. Najprej povejmo, da ga je priročno dati, pri čemer izpostavimo dve točki: prvič, vrsto zapisa in, drugič, pomen, vgrajen v ta zapis. Oglejmo si jih po vrsti in nato sklepanje posplošimo v definicijo sistemov enačb.

Nekaj ​​jih imamo pred seboj. Za primer vzemimo dve enačbi 2 x+y=−3 in x=5 . Zapišemo jih enega pod drugim in jih združimo z zavitim oklepajem na levi:

Tovrstni zapisi, ki so več enačb, razvrščenih v stolpec in na levi strani združenih z zavitim oklepajem, so zapisi sistemov enačb.

Kaj pomenijo takšni zapisi? Določajo množico vseh takih rešitev enačb sistema, ki so rešitev vsake enačbe.

Ne škodi, če ga opišemo z drugimi besedami. Recimo, da so nekatere rešitve prve enačbe rešitve vseh drugih enačb sistema. In tako jih zapis sistema pravkar tudi označuje.

Zdaj smo pripravljeni ustrezno sprejeti definicijo sistema enačb.

Opredelitev.

Sistemi enačb imenujemo zapisi, ki so ena pod drugo enačbe, združene na levi z zavitim oklepajem, ki označujejo množico vseh rešitev enačb, ki so hkrati rešitve vsake enačbe sistema.

Podobna definicija je podana v učbeniku, vendar tam ni podana za splošni primer, ampak za dva racionalne enačbe z dvema spremenljivkama.

Glavne vrste

Jasno je, da obstaja neskončno veliko različnih enačb. Seveda obstaja tudi neskončno veliko sistemov enačb, sestavljenih z njihovo pomočjo. Zato je za udobje preučevanja in dela s sistemi enačb smiselno, da jih razdelimo v skupine glede na podobne značilnosti in nato nadaljujemo z obravnavo sistemov enačb posameznih vrst.

Prva podrazdelitev je razvidna iz števila enačb, vključenih v sistem. Če sta enačbi dve, potem lahko rečemo, da imamo sistem dveh enačb, če so tri, potem sistem treh enačb itd. Jasno je, da nima smisla govoriti o sistemu ene enačbe, saj v tem primeru dejansko imamo opravka s samo enačbo in ne s sistemom.

Naslednja delitev temelji na številu spremenljivk, ki sodelujejo pri pisanju enačb sistema. Če je spremenljivka ena, potem imamo opravka s sistemom enačb z eno spremenljivko (pravijo tudi z eno neznanko), če sta dve, pa s sistemom enačb z dvema spremenljivkama (z dvema neznankama) itd. na primer je sistem enačb z dvema spremenljivkama x in y.

To se nanaša na število vseh različnih spremenljivk, vključenih v zapis. Ni nujno, da so vsi naenkrat vključeni v zapis vsake enačbe, dovolj je, da so v vsaj eni enačbi. npr. je sistem enačb s tremi spremenljivkami x, y in z. V prvi enačbi je spremenljivka x prisotna eksplicitno, medtem ko sta y in z implicitna (predpostavimo lahko, da imata ti spremenljivki nič), v drugi enačbi pa sta prisotna x in z, spremenljivka y pa ni eksplicitno predstavljena. Z drugimi besedami, prvo enačbo lahko obravnavamo kot , drugo pa kot x+0 y−3 z=0 .

Tretja točka, v kateri se sistemi enačb razlikujejo, je oblika samih enačb.

V šoli se študij sistemov enačb začne z sistemi dveh linearnih enačb v dveh spremenljivkah. To pomeni, da taki sistemi tvorijo dve linearni enačbi. Tukaj je nekaj primerov: in . Na njih se učijo osnov dela s sistemi enačb.

Pri reševanju zahtevnejših problemov se lahko srečamo tudi s sistemi treh linearnih enačb s tremi neznankami.

Nadalje v 9. razredu se sistemom dveh enačb z dvema spremenljivkama dodajajo nelinearne enačbe, večinoma celotne enačbe druge stopnje, manj pogosto - več visoke stopnje. Te sisteme imenujemo sistemi nelinearnih enačb, po potrebi je določeno število enačb in neznank. Pokažimo primere takih sistemov nelinearnih enačb: In .

In potem so v sistemih tudi npr. Običajno jih preprosto imenujemo sistemi enačb, ne da bi navedli, katere enačbe. Tukaj je treba omeniti, da najpogosteje o sistemu enačb preprosto rečejo "sistem enačb", izboljšave pa se dodajo le, če je potrebno.

V srednji šoli se kot snov preučuje iracionalna, trigonometrična, logaritemska in eksponentne enačbe : , , .

Če pogledate še dlje v program prvih tečajev univerz, potem je glavni poudarek na študiju in reševanju sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE), to je enačb, v katerih levih delih so polinomi prve stopnje, na desni pa nekaj številk. Toda tam, za razliko od šole, že nista vzeti dve linearni enačbi z dvema spremenljivkama, temveč poljubno število enačb s poljubnim številom spremenljivk, ki pogosto ne sovpadajo s številom enačb.

Kaj je rešitev sistema enačb?

Izraz "rešitev sistema enačb" se neposredno nanaša na sisteme enačb. Šola poda definicijo reševanja sistema enačb z dvema spremenljivkama :

Opredelitev.

Reševanje sistema enačb z dvema spremenljivkama imenuje se par vrednosti teh spremenljivk, ki vsako enačbo sistema spremeni v pravilno, z drugimi besedami, ki je rešitev vsake enačbe sistema.

Na primer, par vrednosti spremenljivk x=5, y=2 (lahko ga zapišemo kot (5, 2)) je po definiciji rešitev sistema enačb, saj so enačbe sistema, ko je x= 5 , y=2 nadomestimo vanje, spremenimo v prave številske enakosti 5+2=7 oziroma 5−2=3. Toda par vrednosti x=3 , y=0 ni rešitev tega sistema, saj ko te vrednosti zamenjamo v enačbe, se bo prva od njih spremenila v napačno enakost 3+0=7 .

Podobne definicije lahko formuliramo za sisteme z eno spremenljivko, pa tudi za sisteme s tremi, štirimi itd. spremenljivke.

Opredelitev.

Reševanje sistema enačb z eno spremenljivko tam bo vrednost spremenljivke, ki je koren vseh enačb sistema, to je, ki spremeni vse enačbe v prave numerične enačbe.

Vzemimo primer. Razmislite o sistemu enačb z eno spremenljivko t oblike . Število −2 je njena rešitev, saj sta (−2) 2 =4 in 5·(−2+2)=0 pravi številski enakosti. In t=1 ni rešitev sistema, saj bo zamenjava te vrednosti dala dve nepravilni enačbi 1 2 =4 in 5·(1+2)=0 .

Opredelitev.

Rešitev sistema s tremi, štirimi itd. spremenljivke imenovan trojček, četverček itd. vrednosti spremenljivk, ki pretvori vse enačbe sistema v prave enakosti.

Torej je po definiciji trojka vrednosti spremenljivk x=1, y=2, z=0 rešitev sistema , saj so 2 1=2 , 5 2=10 in 1+2+0=3 pravilne številske enakosti. In (1, 0, 5) ni rešitev tega sistema, saj ko te vrednosti spremenljivk nadomestimo v enačbe sistema, se druga od njih spremeni v napačno enakost 5 0=10 , tretja pa ena je tudi 1+0+5=3 .

Upoštevajte, da sistemi enačb morda nimajo rešitev, lahko imajo končno število rešitev, na primer ena, dve, ... ali pa imajo lahko neskončno veliko rešitev. To boste videli, ko se boste poglobili v temo.

Ob upoštevanju definicij sistema enačb in njihovih rešitev lahko sklepamo, da je rešitev sistema enačb presečišče množic rešitev vseh njegovih enačb.

Za zaključek je tukaj nekaj povezanih definicij:

Opredelitev.

nezdružljivoče nima rešitev, sicer se sistem kliče sklep.

Opredelitev.

Sistem enačb se imenuje negotovače ima neskončno veliko rešitev, in določene, če ima končno število rešitev ali pa nobene.

Ti izrazi so na primer predstavljeni v učbeniku, vendar se v šoli redko uporabljajo, pogosteje jih je mogoče slišati v visokošolskih ustanovah.

Bibliografija.

1. Algebra: učbenik za 7 celic. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M.: Izobraževanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algebra: 9. razred: učbenik. za splošno izobraževanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Izobraževanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovič A. G. Algebra. 7. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 17. izd., dop. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovič A. G. Algebra. 9. razred Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovič A. G. Algebra in začetek matematične analize. 11. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov (stopnja profila) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 celic. Splošna izobrazba institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn in drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Razsvetljenje, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. Tečaj višje algebre.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analitična geometrija: Učbenik: Za univerze. – 5. izd. – M.: Znanost. Fizmatlit, 1999. - 224 str. - (No višja matematika in mat. fizika). – ISBN 5-02-015234 – X (3. številka)