Srednja črta trapeza. Kako najti srednjo črto trapeza

Srednja črta trapeza je polovica vsote razlogov. Povezuje središča stranic trapeza in je vedno vzporedna z osnovami.

Če sta osnovici trapeza a in b, potem srednja črta m je m=(a+b)/2.

Če je območje trapeza znano, potem srednjo črto je mogoče najti in na drug način, delitev površine trapeza S z višino trapeza h:

to je sredinska črta trapeza m=S/h

Obstaja veliko načinov za iskanje dolžine srednje črte trapeza. Izbira metode je odvisna od izvornih podatkov.

Tukaj formule dolžine srednje črte trapeza:

Za iskanje srednje črte trapeza lahko uporabite eno od petih formul (ne bom jih zapisal, ker so že v drugih odgovorih), vendar je to le v primerih, ko so vrednosti začetne podatki, ki jih potrebujemo, so znani.

V praksi moramo reševati veliko težav, ko ni dovolj podatkov, in prava velikostše najti je treba.

Tukaj so možnosti

korak za korakom rešitev, da bi vse isto pod formulo;

z drugimi formulami sestavite in rešite potrebne enačbe.

iskanje dolžine sredine trapeza z metodo dobave po formuli, ki jo potrebujemo s pomočjo drugih znanj geometrije in hkrati aplikativno algebraične enačbe:

Imamo enakokraki trapez, njegove diagonale se sekajo pod pravim kotom, višina je 9 cm.

Naredimo risbo in vidimo, da tega problema ni mogoče neposredno rešiti (premalo podatkov)

Zato bomo malo poenostavili in narisali višino skozi presečišče diagonal.

To je prvi pomemben korak, ki vodi do hitre odločitve.

višino označimo z dvema neznankama, bomo videli enakokrake trikotnike, ki jih potrebujemo s stranicami X in pri

in zlahka najdemo vsota baz trapez

je enako 2x+2y

In šele zdaj lahko uporabimo formulo kje

in je enaka x+y in glede na pogoj problema je to dolžina višine enaka 9 cm.

In zdaj smo izpeljali več momentov za enakokraki trapez, katerega diagonali se sekata pod pravim kotom

v takih trapezijih

srednja črta je vedno enaka višini

površina je vedno enaka kvadratu višine.

Srednja črta trapeza je daljica, ki povezuje razpolovni točki stranic trapeza.

Srednjo črto katerega koli trapeza je enostavno najti, če uporabite formulo:

m = (a + b)/2

m je dolžina srednje črte trapeza;

a, b sta dolžini osnov trapeza.

Torej, dolžina srednje črte trapeza je polovica vsote dolžin osnov.

Osnovna formula za formulo za srednjo črto trapeza: dolžina srednje črte trapeza je enaka polovici vsote e baz a in b: MN \u003d (a + b) 2. Dokaz te formule je formulo za srednjo črto trikotnika. Vsak trapez je mogoče predstaviti, ko ga potegnemo od koncev manjše osnove višine do večje osnove. Upoštevana sta 2 nastala trikotnika in pravokotnik. Po tem je formula za srednjo črto trikotnika trapeza je enostavno dokazati.

Da bi našli srednjo črto trapeza, moramo poznati velikost osnov.

Ko te vrednosti najdemo ali pa so nam bile znane, te številke seštejemo in preprosto razdelimo na pol.

To bo sredinska črta trapeza.

Kolikor se spomnim šolskih lekcij geometrije, morate, da bi našli dolžino srednje črte trapeza, sešteti dolžine baz in deliti z dvema. Tako je dolžina srednje črte trapeza enaka polovici vsote osnov.

V tem članku bomo poskušali čim bolj odražati lastnosti trapeza. Še posebej bomo govorili o skupne značilnosti in lastnostih trapeza ter o lastnostih včrtanega trapeza in o trapezu včrtane krožnice. Dotaknili se bomo tudi lastnosti enakokrakega in pravokotnega trapeza.

Primer reševanja problema z uporabo obravnavanih lastnosti vam bo pomagal urediti stvari v glavi in si bolje zapomniti gradivo.

Trapez in vse-vse-vse

Za začetek se na kratko spomnimo, kaj je trapez in kateri drugi pojmi so povezani z njim.

Torej, trapez je štirikotnik, katerega dve strani sta vzporedni drug z drugim (to sta osnovi). In dva nista vzporedna - to sta strani.

V trapezu lahko višino izpustimo – pravokotno na osnove. Srednja črta in diagonale so narisane. In tudi iz katerega koli kota trapeza je mogoče narisati simetralo.

O različnih lastnostih, povezanih z vsemi temi elementi in njihovimi kombinacijami, bomo zdaj govorili.

Lastnosti diagonal trapeza

Da bo bolj jasno, med branjem na list papirja narišite trapez ACME in vanj narišite diagonale.

Če najdete središča vsake od diagonal (imenujmo te točke X in T) in ju povežemo, dobimo segment. Ena od lastnosti diagonal trapeza je, da odsek XT leži na srednji črti. In njegovo dolžino lahko dobimo tako, da razliko baz delimo z dvema: XT \u003d (a - b) / 2.
Pred nami je isti trapez ACME. Diagonali se sekata v točki O. Oglejmo si trikotnika AOE in IOC, ki ju tvorijo odseki diagonal skupaj z osnovami trapeza. Ti trikotniki so si podobni. Koeficient podobnosti k trikotnikov je izražen z razmerjem osnov trapeza: k = AE/KM.
Razmerje ploščin trikotnikov AOE in IOC opisujemo s koeficientom k 2 .
Vse isti trapez, iste diagonale, ki se sekajo v točki O. Samo tokrat bomo obravnavali trikotnike, ki so jih diagonalni segmenti tvorili skupaj s stranicami trapeza. Ploščini trikotnikov AKO in EMO sta enaki – njuni ploščini sta enaki.
Druga lastnost trapeza vključuje konstrukcijo diagonal. Torej, če stranice AK in ME nadaljujemo v smeri manjše osnove, se prej ali slej sekata v neki točki. Nato narišite ravno črto skozi sredine baz trapeza. Seka osnove v točkah X in T.
Če zdaj podaljšamo premico XT, bo povezala presečišče diagonal trapeza O, točko, v kateri se sekata podaljška stranic in razpolovišča osnov X in T.
Skozi točko presečišča diagonal narišemo odsek, ki bo povezal osnove trapeza (T leži na manjši osnovi KM, X - na večji AE). Presek diagonal deli ta segment v naslednjem razmerju: TO/OH = KM/AE.
In zdaj skozi točko presečišča diagonal narišemo segment, ki je vzporeden z osnovami trapeza (a in b). Presečišče ga bo razdelilo na dva enaka dela. Dolžino segmenta lahko najdete s formulo 2ab/(a + b).

Lastnosti srednje črte trapeza

Narišite srednjo črto v trapezu vzporedno z njegovimi osnovami.

Dolžino srednje črte trapeza lahko izračunamo tako, da seštejemo dolžine osnov in jih delimo na pol: m = (a + b)/2.
Če narišete kateri koli segment (na primer višino) skozi obe osnovi trapeza, ga bo srednja črta razdelila na dva enaka dela.

Lastnost simetrale trapeza

Izberi poljuben kot trapeza in nariši simetralo. Vzemimo za primer kot KAE našega trapeza ACME. Ko sami dokončate konstrukcijo, lahko zlahka vidite, da simetrala odreže od osnove (ali njenega nadaljevanja na ravni črti zunaj same figure) segment enake dolžine kot stranica.

Lastnosti kota trapeza

Ne glede na to, kateri od dveh parov kotov, ki mejijo na stranico, izberete, je vsota kotov v paru vedno 180 0: α + β = 180 0 in γ + δ = 180 0 .
Povežite razpolovni točki osnov trapeza z odsekom TX. Zdaj pa poglejmo kote na osnovah trapeza. Če je vsota kotov katerega koli od njih 90 0, je dolžino segmenta TX enostavno izračunati na podlagi razlike v dolžinah baz, deljenih na polovico: TX \u003d (AE - KM) / 2.
Če skozi stranice kota trapeza narišemo vzporedne črte, bodo stranice kota razdelile na sorazmerne segmente.

Lastnosti enakokrakega (enakokrakega) trapeza

V enakokrakem trapezu sta kota pri kateri koli osnovici enaka.
Sedaj znova zgradite trapez, da si boste lažje predstavljali, za kaj gre. Pazljivo poglejte osnovo AE - oglišče nasprotne osnovke M je projicirano na določeno točko na premici, ki vsebuje AE. Razdalja od oglišča A do projekcijske točke oglišča M in srednje črte enakokrakega trapeza sta enaki.
Nekaj besed o lastnosti diagonal enakokrakega trapeza - njuni dolžini sta enaki. In tudi koti naklona teh diagonal na osnovo trapeza so enaki.
Samo v bližini enakokrakega trapeza je mogoče opisati krožnico, saj je vsota nasprotnih kotov štirikotnika 180 0 predpogoj za to.
Lastnost enakokrakega trapeza izhaja iz prejšnjega odstavka – če lahko v bližini trapeza opišemo krog, je ta enakokrak.
Iz značilnosti enakokrakega trapeza sledi lastnost višine trapeza: če se njegovi diagonali sekata pod pravim kotom, je dolžina višine enaka polovici vsote osnov: h = (a + b)/2.
Ponovno nariši premico TX skozi središča osnov trapeza – v enakokrakem trapezu je pravokotna na osnovice. In hkrati je TX simetrijska os enakokrakega trapeza.
Tokrat znižamo na večjo osnovo (recimo ji a) višino iz nasprotnega vrha trapeza. Dobili boste dva reza. Dolžino enega lahko ugotovimo, če dolžine osnov seštejemo in razdelimo na pol: (a+b)/2. Drugo dobimo, če od večje osnove odštejemo manjšo in dobljeno razliko delimo z dve: (a – b)/2.

Lastnosti trapeza, včrtanega v krog

Ker že govorimo o trapezu, vpisanem v krog, se o tem vprašanju podrobneje pogovorimo. Še posebej, kje je središče kroga glede na trapez. Tudi tukaj je priporočljivo, da ne boste preveč leni, da vzamete svinčnik in narišete, o čemer bomo razpravljali spodaj. Tako boste hitreje razumeli in si bolje zapomnili.

Lokacija središča kroga je določena s kotom naklona diagonale trapeza na njegovo stran. Na primer, diagonala lahko izhaja iz vrha trapeza pod pravim kotom na stran. V tem primeru večja osnovca seka središče opisane krožnice točno po sredini (R = ½AE).
Diagonala in stranica se lahko srečata tudi pod ostrim kotom – takrat je središče kroga znotraj trapeza.
Središče opisanega kroga je lahko zunaj trapeza, onstran njegovega velikega vznožja, če je med diagonalo trapeza in stransko stranjo top kot.
Kot med diagonalo in veliko osnovo trapeza ACME (včrtani kot) je polovica osrednji kot, ki temu ustreza: MAE = ½ MOJ.
Na kratko o dveh načinih iskanja polmera opisanega kroga. Prva metoda: pozorno poglejte svojo risbo - kaj vidite? Zlahka boste opazili, da diagonala deli trapez na dva trikotnika. Polmer je mogoče najti z razmerjem med stranico trikotnika in sinusom nasprotnega kota, pomnoženim z dva. na primer R \u003d AE / 2 * sinAME. Podobno lahko formulo zapišemo za katero koli stran obeh trikotnikov.
Druga metoda: poiščemo polmer opisanega kroga skozi območje trikotnika, ki ga tvorijo diagonala, stranica in osnova trapeza: R \u003d AM * JAZ * AE / 4 * S ISTO.

Lastnosti trapeza, opisanega okoli kroga

V trapez lahko vpišete krog, če je izpolnjen en pogoj. Več o tem spodaj. In skupaj ima ta kombinacija figur vrsto zanimivih lastnosti.

Če je krog vpisan v trapez, lahko dolžino njegove srednje črte zlahka najdemo tako, da seštejemo dolžine stranic in dobljeno vsoto delimo na polovico: m = (c + d)/2.
Za trapez ACME, obkrožen okrog kroga, je vsota dolžin osnov enaka vsoti dolžin stranic: AK + ME = KM + AE.
Iz te lastnosti osnov trapeza sledi obratna trditev: v ta trapez lahko vpišemo krog, katerega vsota osnov je enaka vsoti stranic.
Tangenta kroga s polmerom r, včrtanega v trapez, deli stransko stranico na dva segmenta, imenujemo ju a in b. Polmer kroga lahko izračunate po formuli: r = √ab.
In še ena nepremičnina. Da ne boste zmedeni, narišite ta primer sami. Imamo stari dobri ACME trapez, obkrožen okoli kroga. V njem so narisane diagonale, ki se sekajo v točki O. Trikotnika AOK in EOM, ki ju tvorita odseka diagonal in stranic, sta pravokotna.
Višine teh trikotnikov, spuščene na hipotenuze (tj. stranice trapeza), sovpadajo s polmeri včrtanega kroga. In višina trapeza je enaka premeru včrtanega kroga.

Lastnosti pravokotnega trapeza

Trapez se imenuje pravokoten, katerega eden od vogalov je pravi. In njegove lastnosti izhajajo iz te okoliščine.

Pravokotni trapez ima eno od stranic pravokotno na osnovo.
Višina in stranica trapeza, ki meji na pravi kot, sta enaka. To vam omogoča izračun površine pravokotnega trapeza (splošna formula S = (a + b) * h/2) ne le po višini, ampak tudi po stranici, ki meji na pravi kot.
Za pravokotni trapez so pomembne splošne lastnosti že opisanih diagonal trapeza.

Dokazi nekaterih lastnosti trapeza

Enakost kotov na dnu enakokrakega trapeza:

Verjetno ste že uganili, da tukaj spet potrebujemo trapez ACME - narišite enakokraki trapez. Nariši premico MT iz oglišča M vzporedno s stranico AK (MT || AK).

Dobljeni štirikotnik AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Ker je ME = KA = MT, je ∆ MTE enakokrak in MET = MTE.

AK || MT, torej MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kjer je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Zdaj na podlagi lastnosti enakokrakega trapeza (enakost diagonal) to tudi dokažemo trapez ACME je enakokrak:

Za začetek narišimo ravno črto МХ – МХ || KE. Dobimo paralelogram KMHE (osnova - MX || KE in KM || EX).

∆AMH je enakokrak, ker je AM = KE = MX in MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, torej MAE = MXE.

Izkazalo se je, da sta trikotnika AKE in EMA enaka drug drugemu, ker AM \u003d KE in AE - skupna stran dva trikotnika. In tudi MAE \u003d MXE. Sklepamo lahko, da je AK = ME, iz česar sledi, da je trapez AKME enakokrak.

Naloga za ponovitev

Osnovici trapeza ACME sta 9 cm in 21 cm, stranica KA, enaka 8 cm, tvori z manjšo osnovo kot 150 0. Najti morate območje trapeza.

Rešitev: Iz oglišča K spustimo višino na večjo osnovo trapeza. In začnimo gledati kote trapeza.

Kota AEM in KAN sta enostranična. Kar pomeni, da seštejejo 1800. Zato je KAN = 30 0 (glede na lastnosti kotov trapeza).

Razmislite zdaj o pravokotniku ∆ANK (mislim, da je ta točka očitna bralcem brez dodatnega dokaza). Iz nje najdemo višino trapeza KH - v trikotniku je krak, ki leži nasproti kota 30 0. Zato je KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Območje trapeza najdemo po formuli: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Pogovor

Če ste skrbno in premišljeno preučili ta članek, niste bili preveč leni, da bi s svinčnikom v rokah narisali trapeze za vse zgoraj navedene lastnosti in jih analizirali v praksi, bi morali dobro obvladati gradivo.

Seveda je tu veliko informacij, raznolikih in včasih celo zmedenih: lastnosti opisanega trapeza ni tako težko zamenjati z lastnostmi včrtanega. Sami pa ste videli, da je razlika ogromna.

Zdaj imate podroben povzetek vseh splošnih lastnosti trapeza. Kot tudi posebne lastnosti in značilnosti enakokrakih in pravokotnih trapezov. Zelo priročno ga je uporabljati za pripravo na teste in izpite. Preizkusite sami in delite povezavo s prijatelji!

blog.site, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.

Odsek premice, ki povezuje razpolovni točki stranic trapeza, se imenuje srednja črta trapeza. Kako najti srednjo črto trapeza in kako je povezana z drugimi elementi te figure, bomo opisali spodaj.

Srednji izrek

Narišimo trapez, v katerem je AD večja osnovca, BC manjša osnovca, EF srednjica. Podaljšajmo osnovo AD čez točko D. Narišimo premico BF in jo nadaljujmo, dokler se ne seka z nadaljevanjem osnovke AD v točki O. Upoštevajmo trikotnika ∆BCF in ∆DFO. Koti ∟BCF = ∟DFO kot navpičnica. CF = DF, ∟BCF = ∟FDO, ker VS // AO. Zato je trikotnik ∆BCF = ∆DFO. Zato so stranice BF = FO.

Zdaj upoštevajte ∆ABO in ∆EBF. ∟ABO je skupen obema trikotnikoma. BE/AB = ½ po dogovoru, BF/BO = ½, ker je ∆BCF = ∆DFO. Zato sta si trikotnika ABO in EFB podobna. Od tod razmerje stranic EF / AO = ½, kot tudi razmerje drugih stranic.

Ugotovimo, da je EF = ½ AO. Risba kaže, da je AO = AD + DO. DO = BC kot strani enaki trikotniki, torej AO = AD + BC. Zato je EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Tisti. dolžina srednje črte trapeza je polovica vsote osnov.

Ali je srednjica trapeza vedno enaka polovici vsote osnov?

Recimo, da obstaja tak poseben primer ko je EF ≠ ½ (AD + BC). Potem je BC ≠ DO, torej ∆BCF ≠ ∆DCF. Toda to je nemogoče, saj imata med seboj dva enaka kota in stranice. Zato je izrek resničen pod vsemi pogoji.

Problem srednje črte

Recimo, da je v našem trapezu ABCD AD // BC, ∟A=90°, ∟С = 135°, AB = 2 cm, diagonala AC pravokotna na stranico. Poiščite srednjo črto trapeza EF.

Če je ∟A = 90°, potem je ∟B = 90°, torej je ∆ABC pravokotnik.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° po dogovoru, zato je ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

Če je v pravokotnem trikotniku ∆ABS en kot 45°, potem sta kraka v njem enaka: AB = BC = 2 cm.

Hipotenuza AC \u003d √ (AB² + BC²) \u003d √8 cm.

Razmislite o ∆ACD. ∟ACD = 90° po dogovoru. ∟CAD = ∟BCA = 45° kot koti, ki jih tvori sekans vzporednih osnov trapeza. Zato sta kraka AC = CD = √8.

Hipotenuza AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.

Srednja premica trapeza EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 cm.

Cilji lekcije:

1) seznanite študente s konceptom srednje črte trapeza, razmislite o njegovih lastnostih in jih dokažite;

2) naučiti, kako zgraditi srednjo črto trapeza;

3) razviti sposobnost študentov za uporabo definicije srednje črte trapeza in lastnosti srednje črte trapeza pri reševanju problemov;

4) še naprej razvijati sposobnost učencev, da govorijo pravilno, z uporabo potrebnih matematičnih izrazov; dokazati svoje stališče;

5) razvijati logično razmišljanje, spomin, pozornost.

Med poukom

1. Preverjanje domače naloge poteka med poukom. Domača naloga je bila ustna, ne pozabite:

a) definicija trapeza; vrste trapeza;

b) določitev srednje črte trikotnika;

c) lastnost srednje črte trikotnika;

d) znak srednje črte trikotnika.

2. Učenje nove snovi.

a) Na tabli je prikazan trapez ABCD.

b) Učitelj ponudi, da se spomnite definicije trapeza. Na vsaki mizi je diagram z namigi, ki vam pomaga zapomniti osnovne pojme v temi "Trapez" (glej Dodatek 1). Priloga 1 je izdana za vsako mizo.

Učenci v zvezek narišejo trapez ABCD.

c) Učitelj predlaga, da se spomnimo, v kateri temi smo srečali koncept srednje črte (»Srednja črta trikotnika«). Učenci se spomnijo definicije srednje črte trikotnika in njenih lastnosti.

e) Zapišite definicijo srednje črte trapeza in jo upodabljajte v zvezek.

srednja črta Trapez se imenuje odsek, ki povezuje sredine njegovih stranic.

Lastnost srednje črte trapeza na tej stopnji ostaja nedokazana, zato naslednja stopnja lekcije vključuje delo na dokazu lastnosti srednje črte trapeza.

Izrek. Srednja črta trapeza je vzporedna z njegovimi osnovami in je enaka polovici njihove vsote.

podano: ABCD - trapez,

MN - srednja črta ABCD

Dokaži, Kaj:

1. pr. n. št. || MN || AD.

2. MN = (AD + BC).

Iz pogojev izreka lahko zapišemo nekaj posledic:

AM=MB, CN=ND, BC || AD.

Samo na podlagi naštetih lastnosti je nemogoče dokazati zahtevano. Sistem vprašanj in vaj naj bi študente pripeljal do želje, da povežejo srednjo črto trapeza z srednjo črto nekega trikotnika, katerega lastnosti že poznajo. Če predlogov ni, potem lahko postavimo vprašanje: kako sestaviti trikotnik, za katerega bi bila odsek MN srednja črta?

Napišimo dodatno konstrukcijo za enega od primerov.

Narišimo premico BN, ki seka podaljšek stranice AD v točki K.

Pojavijo se dodatni elementi - trikotniki: ABD, BNM, DNK, BCN. Če dokažemo, da je BN = NK, bo to pomenilo, da je MN srednjica ABD, nato pa lahko uporabimo lastnost srednje črte trikotnika in dokažemo potrebno.

Dokaz:

1. Razmislite o BNC in DNK, v njih:

a) CNB =DNK (lastnina navpični koti);

b) BCN = NDK (lastnost notranjih križno ležečih kotov);

c) CN = ND (posledica hipoteze izreka).

Torej BNC = DNK (na strani in dveh vogalih ob njej).

Q.E.D.

Dokaz lahko izvedemo ustno pri pouku, doma pa obnovimo in zapišemo v zvezek (po presoji učitelja).

Treba je omeniti še druge možne načine dokazovanja tega izreka:

1. Nariši eno od diagonal trapeza in uporabi znak in lastnost srednje črte trikotnika.

2. Zaženite CF || BA in razmislimo o paralelogramu ABCF in DCF.

3. Zaženite EF || BA in upoštevajte enakost FND in ENC.

g) Na tej stopnji je podana domača naloga: stran 84, učbenik, ur. Atanasjan L.S. (dokaz lastnosti premice trapeza na vektorski način), zapiši v zvezek.

h) Rešujemo naloge za uporabo definicije in lastnosti srednje črte trapeza po končanih risbah (glej prilogo 2). Prilogo 2 dobi vsak učenec, na istem listu pa je v kratki obliki sestavljena rešitev nalog.

Trapez je poseben primer štirikotnika, pri katerem je en par stranic vzporeden. Izraz "trapez" izhaja iz grške besede τράπεζα, kar pomeni "miza", "miza". V tem članku bomo obravnavali vrste trapeza in njegove lastnosti. Poleg tega bomo ugotovili, kako izračunati posamezne elemente tega primera, diagonalo enakokrakega trapeza, srednjo črto, ploščino itd. Gradivo je predstavljeno v slogu elementarne popularne geometrije, torej na lahko dostopen način. oblika.

Splošne informacije

Najprej razumemo, kaj je štirikotnik. Ta slika je poseben primer mnogokotnika, ki vsebuje štiri stranice in štiri oglišča. Dve oglišči štirikotnika, ki nista sosednji, imenujemo nasprotni. Enako lahko rečemo za dve nesosednji strani. Glavne vrste štirikotnikov so paralelogram, pravokotnik, romb, kvadrat, trapez in deltoid.

Torej, nazaj k trapezu. Kot smo že povedali, ima ta lik dve strani, ki sta vzporedni. Imenujejo se baze. Drugi dve (nevzporedni) sta stranici. V izpitnem gradivu in razn nadzorna dela zelo pogosto lahko srečate naloge, povezane s trapezi, katerih rešitev pogosto zahteva od učenca znanje, ki ga program ne predvideva. Šolski predmet geometrije seznani učence z lastnostmi kotov in diagonal ter srednje črte enakokrakega trapeza. Toda navsezadnje ima omenjena geometrijska figura poleg tega še druge lastnosti. A več o njih kasneje ...

Vrste trapeza

Obstaja veliko vrst te figure. Vendar pa je najpogosteje običajno upoštevati dva od njih - enakokrake in pravokotne.

1. Pravokotni trapez je figura, pri kateri je ena od stranic pravokotna na osnove. Ima dva kota, ki sta vedno devetdeset stopinj.

2. Enakokraki trapez je geometrijski lik, katerega stranice so med seboj enake. To pomeni, da sta tudi kota pri osnovah po parih enaka.

Glavna načela metodologije za preučevanje lastnosti trapeza

Glavno načelo je uporaba tako imenovanega pristopa nalog. Pravzaprav ni potrebe po uvajanju novih lastnosti te figure v teoretični potek geometrije. Odkrivati in oblikovati jih je mogoče v procesu reševanja različnih problemov (bolje kot sistemskih). Ob tem pa je zelo pomembno, da učitelj ve, kakšne naloge mora učencem kdaj postaviti. izobraževalni proces. Poleg tega lahko vsako lastnost trapeza predstavimo kot ključno nalogo v sistemu nalog.

Drugi princip je tako imenovana spiralna organizacija preučevanja "izjemnih" lastnosti trapeza. To pomeni vrnitev v procesu učenja k posameznim značilnostim dane geometrijske figure. Tako si jih učenci lažje zapomnijo. Na primer, lastnost štirih točk. To je mogoče dokazati tako v študiji podobnosti kot kasneje s pomočjo vektorjev. In enako površino trikotnikov, ki mejijo na stranice figure, je mogoče dokazati z uporabo ne le lastnosti trikotnikov z enakimi višinami, narisanimi na straneh, ki ležijo na isti črti, temveč tudi z uporabo formule S = 1/2 (ab*sinα). Poleg tega lahko telovadite na včrtanem trapezu ali pravokotnem trikotniku na obrobnem trapezu itd.

Uporaba "zunajprogramskih" značilnosti geometrijske figure v vsebini šolskega tečaja je tehnologija nalog za njihovo poučevanje. Nenehno pozivanje na preučevane lastnosti pri prehodu skozi druge teme omogoča učencem, da pridobijo globlje znanje o trapezu in zagotavlja uspešnost reševanja nalog. Torej, začnimo preučevati to čudovito figuro.

Elementi in lastnosti enakokrakega trapeza

Kot smo že omenili, so stranice te geometrijske figure enake. Znan je tudi kot pravi trapez. Zakaj je tako izjemen in zakaj je dobil tako ime? Značilnosti te figure vključujejo dejstvo, da niso samo strani in vogali na dnu enaki, ampak tudi diagonale. Prav tako je vsota kotov enakokrakega trapeza 360 stopinj. A to še ni vse! Od vseh znanih trapezov je le okoli enakokrakega mogoče opisati krog. To je posledica dejstva, da je vsota nasprotnih kotov te figure 180 stopinj in samo pod tem pogojem je mogoče opisati krog okoli štirikotnika. Naslednja lastnost obravnavane geometrijske figure je, da bo razdalja od osnovnega vrha do projekcije nasprotnega vrha na ravno črto, ki vsebuje to osnovo, enaka srednji črti.

Zdaj pa ugotovimo, kako najti kote enakokrakega trapeza. Razmislite o rešitvi tega problema, če so znane dimenzije strani figure.

rešitev

Običajno štirikotnik običajno označujemo s črkami A, B, C, D, kjer sta BS in AD osnovici. V enakokrakem trapezu sta stranici enaki. Predpostavili bomo, da je njihova velikost X, velikosti baz pa Y in Z (manjša oziroma večja). Za izračun je potrebno iz kota B narisati višino H. Rezultat je pravokotni trikotnik ABN, kjer je AB hipotenuza, BN in AN pa kraka. Izračunamo velikost noge AN: manjšo odštejemo od večje osnove in rezultat delimo z 2. Zapišemo jo v obliki formule: (Z-Y) / 2 \u003d F. Zdaj, da izračunamo ostri kot trikotnika, uporabimo funkcijo cos. Dobimo naslednji zapis: cos(β) = Х/F. Zdaj izračunamo kot: β=arcos (Х/F). Nadalje, če poznamo en kot, lahko določimo drugega, za to izvedemo osnovno aritmetično operacijo: 180 - β. Vsi koti so definirani.

Obstaja tudi druga rešitev tega problema. Na začetku spustimo višino H iz kota B. Izračunamo vrednost kraka BN. Vemo, da je kvadrat hipotenuze pravokotni trikotnik je enaka vsoti kvadrati nog. Dobimo: BN \u003d √ (X2-F2). Nato uporabimo trigonometrična funkcija tg. Kot rezultat imamo: β = arctg (BN / F). Oster kot našel. Nato določimo na enak način kot prva metoda.

Lastnost diagonal enakokrakega trapeza

Najprej zapišimo štiri pravila. Če sta diagonali v enakokrakem trapezu pravokotni, potem:

Višina figure bo enaka vsoti baz, deljeni z dva;

Njegova višina in sredinska črta sta enaki;

Središče kroga je točka, kjer je ;

Če je stranska stran razdeljena s stično točko na segmenta H in M, potem je enaka kvadratni koren izdelki teh segmentov;

Štirikotnik, ki ga tvorijo tangentne točke, oglišče trapeza in središče včrtanega kroga, je kvadrat, katerega stranica je enaka polmeru;

Ploščina figure je enaka produktu baz in produktu polovične vsote baz in njene višine.

Podobni trapezi

Ta tema je zelo priročna za preučevanje lastnosti tega.Na primer, diagonale delijo trapez na štiri trikotnike, tiste, ki mejijo na baze, so podobne, na straneh pa enake. To trditev lahko imenujemo lastnost trikotnikov, na katere je trapez razdeljen s svojimi diagonalami. Prvi del te trditve dokazujemo s kriterijem podobnosti v dveh kotih. Za dokaz drugega dela je bolje uporabiti spodaj navedeno metodo.

Dokaz izreka

Sprejmemo, da je lik ABSD (AD in BS - osnovici trapeza) razdeljen z diagonalama VD in AC. Njihovo presečišče je O. Dobimo štiri trikotnike: AOS - na spodnji podlagi, BOS - na zgornji podlagi, ABO in SOD na straneh. Trikotnika SOD in BOS imata skupno višino, če sta dolžini BO in OD njuni osnovici. Dobimo, da je razlika med njihovimi površinami (P) enaka razliki med temi segmenti: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Zato je PSOD = PBOS / K. Podobno imata trikotnika BOS in AOB skupno višino. Za osnovo vzamemo segmenta CO in OA. Dobimo PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K in PAOB \u003d PBOS / K. Iz tega sledi, da je PSOD = PAOB.

Za utrjevanje snovi učencem svetujemo, da z reševanjem naslednje naloge poiščejo povezavo med ploščinami nastalih trikotnikov, na katere je trapez razdeljen s svojimi diagonalami. Znano je, da sta površini trikotnikov BOS in AOD enaki, potrebno je najti površino trapeza. Ker je PSOD \u003d PAOB, to pomeni, da je PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Iz podobnosti trikotnikov BOS in AOD sledi, da je BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Zato je PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dobimo PSOD = √ (PBOS * PAOD). Potem je PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

lastnosti podobnosti

Če nadaljujemo z razvojem te teme, lahko dokažemo drugo zanimive lastnosti trapez. Torej lahko z uporabo podobnosti dokažete lastnost segmenta, ki poteka skozi točko, ki ga tvori križišče diagonale te geometrijske figure, vzporedne z osnovami. Za to rešimo naslednji problem: najti je treba dolžino odseka RK, ki poteka skozi točko O. Iz podobnosti trikotnikov AOD in BOS sledi, da je AO/OS=AD/BS. Iz podobnosti trikotnikov AOP in ASB sledi, da je AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Od tu dobimo RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Podobno iz podobnosti trikotnikov DOK in DBS sledi, da je OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Od tu dobimo, da je RO=OK in RK=2*BS*AD/(BS+AD). Odsek, ki poteka skozi presečišče diagonal, vzporedno z bazami in povezuje obe strani, je razdeljen s presečiščem na polovico. Njegova dolžina je harmonična sredina baz figure.

Razmislite o naslednji lastnosti trapeza, ki se imenuje lastnost štirih točk. Presečišča diagonal (O), presečišča nadaljevanja stranic (E) ter razpolovišča osnov (T in W) vedno ležijo na isti premici. To je enostavno dokazati z metodo podobnosti. Nastala trikotnika BES in AED sta si podobna, v vsakem od njih pa mediani ET in EZH delita kot pri oglišču E na enake dele. Zato ležijo točke E, T in W na isti premici. Enako se na isti premici nahajajo točke T, O in G. Vse to izhaja iz podobnosti trikotnikov BOS in AOD. Iz tega sklepamo, da bodo vse štiri točke - E, T, O in W - ležale na eni premici.

Z uporabo podobnih trapezov lahko študente prosimo, da poiščejo dolžino segmenta (LF), ki deli lik na dva podobna. Ta segment mora biti vzporeden z osnovami. Ker sta nastala trapeza ALFD in LBSF podobna, je BS/LF=LF/AD. Iz tega sledi LF=√(BS*BP). Dobimo, da ima odsek, ki trapez deli na dva podobna, dolžino, ki je enaka geometrični sredini dolžin osnov figure.

Razmislite o naslednji lastnosti podobnosti. Temelji na segmentu, ki deli trapez na dve enaki figuri. Sprejmemo, da je trapez ABSD razdeljen z odsekom EN na dva podobna. Iz oglišča B je izpuščena višina, ki jo segment EH deli na dva dela - B1 in B2. Dobimo: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 in PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Nato sestavimo sistem, katerega prva enačba je (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 in druga (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Iz tega sledi B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) in BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Dobimo, da je dolžina odseka, ki deli trapez na dva enaka, enaka povprečju kvadrata dolžin osnov: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Sklepi o podobnosti

Tako smo dokazali, da:

1. Odsek, ki povezuje razpolovišči stranic trapeza, je vzporeden z AD in BS in je enak aritmetični sredini BS in AD (dolžina osnove trapeza).

2. Premica, ki poteka skozi točko O presečišča diagonal, vzporednih z AD in BS, bo enaka harmonični sredini števil AD in BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Odsek, ki deli trapez na enake, ima dolžino geometrične sredine osnov BS in AD.

4. Element, ki deli lik na dva enaka, ima dolžino srednjih kvadratnih števil AD in BS.

Za utrditev materiala in razumevanje povezave med obravnavanimi segmenti jih mora študent zgraditi za določen trapez. Z lahkoto lahko prikaže srednjo črto in segment, ki poteka skozi točko O - presečišče diagonal figure - vzporedno z bazami. Kje pa bosta tretji in četrti? Ta odgovor bo študenta pripeljal do odkritja želenega razmerja med povprečji.

Odsek, ki povezuje razpoloviščni točki diagonal trapeza

Razmislite o naslednji lastnosti te figure. Sprejmemo, da je odsek MH vzporeden z osnovami in razpolavlja diagonali. Poimenujmo točki presečišča W in W. Ta segment bo enak polovični razliki baz. Analizirajmo to podrobneje. MSH - srednja črta trikotnika ABS, je enaka BS / 2. MS - srednja črta trikotnika ABD, je enaka AD / 2. Potem dobimo, da je ShShch = MShch-MSh, torej Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Težišče

Poglejmo, kako je ta element določen za dano geometrijsko figuro. Če želite to narediti, je treba razširiti razloge v nasprotnih straneh. Kaj to pomeni? Zgornji podlagi je treba dodati spodnjo podlago - na katero koli stran, na primer na desno. In spodnji del je podaljšan za dolžino zgornjega v levo. Nato jih povežemo z diagonalo. Točka presečišča tega segmenta s srednjo črto slike je težišče trapeza.

Včrtani in opisani trapezi

Naštejmo značilnosti takih številk:

1. Trapez je lahko včrtan v krog le, če je enakokrak.

2. Trapez lahko opišemo okrog kroga, če je vsota dolžin njunih osnov enaka vsoti dolžin stranic.

Posledice včrtanega kroga:

1. Višina opisanega trapeza je vedno enaka dvema polmeroma.

2. Stranico opisanega trapeza opazujemo iz središča kroga pod pravim kotom.

Prva posledica je očitna, za dokazovanje druge pa je treba ugotoviti, da je kot SOD pravi, kar pravzaprav tudi ne bo težko. Toda poznavanje te lastnosti nam bo omogočilo uporabo pravokotnega trikotnika pri reševanju problemov.

Sedaj določimo te posledice za enakokraki trapez, ki je vpisan v krog. Dobimo, da je višina geometrična sredina osnov lika: H=2R=√(BS*AD). Pri vadbi glavne tehnike reševanja nalog za trapeze (princip risanja dveh višin) mora študent rešiti naslednjo nalogo. Sprejmemo, da je BT višina enakokrakega lika ABSD. Najti je treba odseke AT in TD. Z uporabo zgoraj opisane formule to ne bo težko narediti.

Zdaj pa ugotovimo, kako določiti polmer kroga z uporabo območja opisanega trapeza. Višino spustimo od vrha B do baze AD. Ker je krog vpisan v trapez, potem BS + AD \u003d 2AB ali AB \u003d (BS + AD) / 2. Iz trikotnika ABN najdemo sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Dobimo PABSD \u003d (BS + HELL) * R, iz tega sledi R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Vse formule srednje črte trapeza

Zdaj je čas, da preidemo na zadnji element te geometrijske figure. Ugotovimo, čemu je enaka srednja črta trapeza (M):

1. Skozi baze: M \u003d (A + B) / 2.

2. Skozi višino, osnovo in kote:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Skozi višino, diagonale in kot med njimi. Na primer, D1 in D2 sta diagonali trapeza; α, β - koti med njimi:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. Skozi območje in višino: M = P / N.