Sa una, bilang isang koleksyon lamang ng impormasyon at empirical na obserbasyon tungkol sa laro ng dice, ang teorya ng probabilidad ay naging isang masusing agham. Ang unang nagbigay nito ng mathematical framework ay sina Fermat at Pascal.

Mula sa pag-iisip tungkol sa walang hanggan hanggang sa teorya ng posibilidad

Ang dalawang indibidwal kung saan pinagkakautangan ng probability theory ang marami sa mga pangunahing pormula nito, sina Blaise Pascal at Thomas Bayes, ay kilala bilang malalim na relihiyosong mga tao, ang huli ay isang Presbyterian na ministro. Tila, ang pagnanais ng dalawang siyentipikong ito na patunayan ang kamalian ng opinyon tungkol sa isang tiyak na Fortune na nagbibigay ng suwerte sa kanyang mga paborito ay nagbigay ng lakas sa pagsasaliksik sa lugar na ito. Pagkatapos ng lahat, sa katunayan, ang anumang laro sa pagsusugal na may mga panalo at pagkatalo nito ay isang simponya lamang ng mga prinsipyo sa matematika.

Salamat sa simbuyo ng damdamin ng Chevalier de Mere, na pantay na sugarol at isang taong walang malasakit sa agham, napilitan si Pascal na maghanap ng paraan upang makalkula ang posibilidad. Interesado si De Mere sa sumusunod na tanong: "Ilang beses mo kailangang ihagis ang dalawang dice nang magkapares upang ang posibilidad na makakuha ng 12 puntos ay lumampas sa 50%?" Ang pangalawang tanong, na lubhang interesado sa ginoo: "Paano hatiin ang taya sa pagitan ng mga kalahok sa hindi natapos na laro?" Siyempre, matagumpay na sinagot ni Pascal ang parehong mga tanong ni de Mere, na naging hindi sinasadyang nagpasimula ng pagbuo ng teorya ng posibilidad. Kapansin-pansin na ang katauhan ni de Mere ay nanatiling kilala sa lugar na ito, at hindi sa panitikan.

Noong nakaraan, walang mathematician ang nagtangkang kalkulahin ang mga probabilidad ng mga kaganapan, dahil pinaniniwalaan na ito ay isang solusyon lamang sa paghula. Ibinigay ni Blaise Pascal ang unang kahulugan ng posibilidad ng isang kaganapan at ipinakita na ito ay isang tiyak na pigura na maaaring mabigyang-katwiran sa matematika. Ang teorya ng probabilidad ay naging batayan para sa mga istatistika at malawakang ginagamit sa modernong agham.

Ano ang randomness

Isinasaalang-alang ang isang pagsubok na maaaring ulitin walang katapusang bilang beses, pagkatapos ay maaari naming tukuyin ang isang random na kaganapan. Ito ay isa sa mga malamang na resulta ng eksperimento.

Ang karanasan ay ang pagpapatupad ng mga partikular na aksyon sa ilalim ng patuloy na mga kondisyon.

Upang magawa ang mga resulta ng eksperimento, ang mga kaganapan ay karaniwang itinalaga ng mga titik A, B, C, D, E...

Probability ng isang random na kaganapan

Upang masimulan ang mathematical na bahagi ng probabilidad, kinakailangan na tukuyin ang lahat ng mga bahagi nito.

Ang posibilidad ng isang kaganapan ay isang numerical na sukatan ng posibilidad ng ilang kaganapan (A o B) na naganap bilang resulta ng isang karanasan. Ang posibilidad ay tinutukoy bilang P(A) o P(B).

Sa teorya ng posibilidad, nakikilala nila:

• maaasahan ang kaganapan ay garantisadong magaganap bilang resulta ng karanasan P(Ω) = 1;
• imposible ang kaganapan ay hindi kailanman maaaring mangyari P(Ø) = 0;
• random ang isang kaganapan ay nasa pagitan ng maaasahan at imposible, iyon ay, ang posibilidad ng paglitaw nito ay posible, ngunit hindi ginagarantiyahan (ang posibilidad ng isang random na kaganapan ay palaging nasa hanay na 0≤Р(А)≤ 1).

Mga relasyon sa pagitan ng mga kaganapan

Parehong isa at ang kabuuan ng mga kaganapan A+B ay isinasaalang-alang, kapag ang kaganapan ay binibilang kapag hindi bababa sa isa sa mga bahagi, A o B, o pareho, A at B, ay natupad.

May kaugnayan sa bawat isa, ang mga kaganapan ay maaaring:

• Parehong posible.
• Magkatugma.
• Hindi magkatugma.
• Kabaligtaran (mutually exclusive).
• Umaasa.

Kung ang dalawang kaganapan ay maaaring mangyari na may pantay na posibilidad, kung gayon sila pare-parehong posible.

Kung ang paglitaw ng kaganapan A ay hindi binabawasan sa zero ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan B, kung gayon sila magkatugma.

Kung ang mga kaganapan A at B ay hindi kailanman nangyari nang sabay-sabay sa parehong karanasan, kung gayon ang mga ito ay tinatawag hindi magkatugma. Paghagis ng barya - magandang halimbawa: ang hitsura ng mga ulo ay awtomatikong ang hindi hitsura ng mga ulo.

Ang probabilidad para sa kabuuan ng naturang hindi magkatugma na mga kaganapan ay binubuo ng kabuuan ng mga probabilidad ng bawat isa sa mga kaganapan:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Kung ang paglitaw ng isang kaganapan ay ginagawang imposible ang paglitaw ng isa pa, kung gayon sila ay tinatawag na kabaligtaran. Pagkatapos ang isa sa kanila ay itinalaga bilang A, at ang isa - Ā (basahin bilang "hindi A"). Ang paglitaw ng kaganapan A ay nangangahulugan na ang Ā ay hindi nangyari. Ang dalawang kaganapang ito ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat na may kabuuan ng mga probabilidad na katumbas ng 1.

Ang mga dependent na kaganapan ay may impluwensya sa isa't isa, na nagpapababa o nagdaragdag ng posibilidad ng bawat isa.

Mga relasyon sa pagitan ng mga kaganapan. Mga halimbawa

Ang paggamit ng mga halimbawa ay mas madaling maunawaan ang mga prinsipyo ng probability theory at mga kumbinasyon ng mga pangyayari.

Ang eksperimento na isasagawa ay binubuo ng pagkuha ng mga bola mula sa isang kahon, at ang resulta ng bawat eksperimento ay isang elementarya na kinalabasan.

Ang isang kaganapan ay isa sa posibleng resulta karanasan - pulang bola, asul na bola, bola na may numero anim, atbp.

Pagsusulit Blg. 1. May 6 na bolang kasangkot, tatlo sa mga ito ay asul na may mga kakaibang numero sa mga ito, at ang tatlo pa ay pula na may kahit na mga numero.

Pagsusulit Blg. 2. 6 na bola ang kasama ng kulay asul na may mga numero mula isa hanggang anim.

Batay sa halimbawang ito, maaari nating pangalanan ang mga kumbinasyon:

• Maaasahan na kaganapan. Sa Espanyol No. 2 ang kaganapan na "kunin ang asul na bola" ay maaasahan, dahil ang posibilidad ng paglitaw nito ay katumbas ng 1, dahil ang lahat ng mga bola ay asul at maaaring walang miss. Samantalang ang kaganapang "kunin ang bola na may numero 1" ay random.
• Imposibleng pangyayari. Sa Espanyol No. 1 na may mga asul at pulang bola, ang kaganapan na "pagkuha ng lilang bola" ay imposible, dahil ang posibilidad ng paglitaw nito ay 0.
• Pantay na posibleng mga pangyayari. Sa Espanyol No. 1, ang mga kaganapan na "kunin ang bola na may numero 2" at "kunin ang bola na may numero 3" ay pantay na posible, at ang mga kaganapan na "kunin ang bola na may numerong pantay" at "kunin ang bola na may numero 2 ” ay may iba't ibang probabilidad.
• Mga Katugmang Kaganapan. Ang pagkuha ng anim na dalawang beses sa isang hilera habang naghahagis ng die ay isang katugmang kaganapan.
• Mga pangyayaring hindi magkatugma. Sa parehong Espanyol No. 1, ang mga kaganapang "makakuha ng pulang bola" at "makakuha ng bola na may kakaibang numero" ay hindi maaaring pagsamahin sa parehong karanasan.
• Kabaligtaran ng mga pangyayari. Karamihan nagniningning na halimbawa Ito ay coin tossing, kung saan ang pagguhit ng mga ulo ay katumbas ng hindi pagguhit ng mga buntot, at ang kabuuan ng kanilang mga probabilidad ay palaging 1 (buong pangkat).
• Dependent Events. Kaya, sa Espanyol No. 1, maaari mong itakda ang layunin ng pagguhit ng pulang bola nang dalawang beses sa isang hilera. Kung ito ay nakuha o hindi sa unang pagkakataon ay nakakaapekto sa posibilidad na makuha sa pangalawang pagkakataon.

Makikita na ang unang kaganapan ay makabuluhang nakakaapekto sa posibilidad ng pangalawa (40% at 60%).

Formula ng posibilidad ng kaganapan

Ang paglipat mula sa paghula tungo sa tumpak na data ay nangyayari sa pamamagitan ng pagsasalin ng paksa sa isang mathematical plane. Iyon ay, ang mga paghuhusga tungkol sa isang random na kaganapan tulad ng "mataas na posibilidad" o "minimal na posibilidad" ay maaaring isalin sa partikular na numerical na data. Pinapayagan na suriin, ihambing at ipasok ang naturang materyal sa mas kumplikadong mga kalkulasyon.

Mula sa punto ng pagkalkula, ang pagtukoy sa posibilidad ng isang kaganapan ay ang ratio ng bilang ng mga elementarya na positibong resulta sa bilang ng lahat ng posibleng resulta ng karanasan tungkol sa isang partikular na kaganapan. Ang probabilidad ay tinutukoy ng P(A), kung saan ang P ay kumakatawan sa salitang "probabilite", na isinalin mula sa French bilang "probability".

Kaya, ang formula para sa posibilidad ng isang kaganapan ay:

Kung saan ang m ay ang bilang ng mga kanais-nais na kinalabasan para sa kaganapang A, n ay ang kabuuan ng lahat ng posibleng resulta para sa karanasang ito. Sa kasong ito, ang posibilidad ng isang kaganapan ay palaging nasa pagitan ng 0 at 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Pagkalkula ng posibilidad ng isang kaganapan. Halimbawa

Kumuha tayo ng Espanyol. No. 1 na may mga bola, na inilarawan kanina: 3 asul na bola na may mga numerong 1/3/5 at 3 pulang bola na may mga numerong 2/4/6.

Batay sa pagsusulit na ito, maraming iba't ibang mga problema ang maaaring isaalang-alang:

• A - pulang bola na nahuhulog. Mayroong 3 pulang bola, at mayroong 6 na opsyon sa kabuuan. Ito ay pinakasimpleng halimbawa, kung saan ang posibilidad ng kaganapan ay katumbas ng P(A)=3/6=0.5.
• B - pag-roll ng even number. Mayroong 3 even na numero (2,4,6), at kabuuan Mayroong 6 na posibleng numerical na opsyon. Ang posibilidad ng kaganapang ito ay P(B)=3/6=0.5.
• C - ang paglitaw ng isang numerong mas malaki sa 2. Mayroong 4 na mga opsyon (3,4,5,6) mula sa kabuuang bilang ng mga posibleng resulta na 6. Ang posibilidad ng kaganapan C ay katumbas ng P(C)=4 /6=0.67.

Tulad ng makikita mula sa mga kalkulasyon, ang kaganapan C ay may mas mataas na posibilidad, dahil ang bilang ng mga posibleng positibong resulta ay mas mataas kaysa sa A at B.

Mga pangyayaring hindi magkatugma

Ang ganitong mga kaganapan ay hindi maaaring lumitaw nang sabay-sabay sa parehong karanasan. Tulad ng sa Espanyol No. 1 imposibleng makakuha ng asul at pulang bola nang sabay. Iyon ay, maaari kang makakuha ng alinman sa isang asul o isang pulang bola. Sa parehong paraan, ang isang kahit at isang kakaibang numero ay hindi maaaring lumitaw sa isang dice sa parehong oras.

Ang posibilidad ng dalawang kaganapan ay isinasaalang-alang bilang ang posibilidad ng kanilang kabuuan o produkto. Ang kabuuan ng naturang mga kaganapan A+B ay itinuturing na isang kaganapan na binubuo ng paglitaw ng kaganapan A o B, at ang produkto ng mga ito AB ay ang paglitaw ng pareho. Halimbawa, ang hitsura ng dalawang sixes nang sabay-sabay sa mga mukha ng dalawang dice sa isang paghagis.

Ang kabuuan ng ilang mga kaganapan ay isang kaganapan na nagsasaad ng pangyayari, ayon sa kahit na, isa sa kanila. Ang paggawa ng ilang mga kaganapan ay ang magkasanib na pangyayari ng lahat ng ito.

Sa teorya ng probabilidad, bilang panuntunan, ang paggamit ng conjunction na "at" ay nagpapahiwatig ng kabuuan, at ang conjunction na "o" - multiplikasyon. Ang mga formula na may mga halimbawa ay tutulong sa iyo na maunawaan ang lohika ng pagdaragdag at pagpaparami sa teorya ng posibilidad.

Probability ng kabuuan ng mga hindi tugmang kaganapan

Kung ang posibilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay isinasaalang-alang, kung gayon ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan ay katumbas ng pagdaragdag ng kanilang mga probabilidad:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Halimbawa: kalkulahin natin ang posibilidad na sa Espanyol. No. 1 na may asul at pulang bola, lilitaw ang isang numero sa pagitan ng 1 at 4. Kakalkulahin namin hindi sa isang aksyon, ngunit sa pamamagitan ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga elementong sangkap. Kaya, sa naturang eksperimento mayroon lamang 6 na bola o 6 sa lahat ng posibleng resulta. Ang mga numero na nakakatugon sa kondisyon ay 2 at 3. Ang posibilidad na makuha ang numero 2 ay 1/6, ang posibilidad na makuha ang numero 3 ay 1/6 din. Ang posibilidad na makakuha ng numero sa pagitan ng 1 at 4 ay:

Ang posibilidad ng kabuuan ng mga hindi tugmang kaganapan ng isang kumpletong pangkat ay 1.

Kaya, kung sa isang eksperimento na may isang kubo ay idaragdag namin ang mga probabilidad ng lahat ng mga numero na lilitaw, ang resulta ay magiging isa.

Totoo rin ito para sa magkasalungat na mga kaganapan, halimbawa sa eksperimento sa isang barya, kung saan ang isang panig ay kaganapan A, at ang isa ay kasalungat na pangyayariĀ, gaya ng nalalaman,

P(A) + P(Ā) = 1

Ang posibilidad ng mga hindi magkatugmang kaganapan na nagaganap

Ang pagpaparami ng posibilidad ay ginagamit kapag isinasaalang-alang ang paglitaw ng dalawa o higit pang hindi magkatugma na mga kaganapan sa isang obserbasyon. Ang posibilidad na ang mga kaganapan A at B ay lilitaw dito nang sabay-sabay ay katumbas ng produkto ng kanilang mga probabilidad, o:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Halimbawa, ang posibilidad na sa Espanyol No. 1, bilang isang resulta ng dalawang pagtatangka, isang asul na bola ay lilitaw nang dalawang beses, katumbas ng

Iyon ay, ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap kapag, bilang isang resulta ng dalawang pagtatangka upang kunin ang mga bola, ang mga asul na bola lamang ang nakuha ay 25%. Napakadaling gawin ang mga praktikal na eksperimento sa problemang ito at tingnan kung ito talaga ang kaso.

Mga pinagsamang kaganapan

Ang mga kaganapan ay itinuturing na magkasanib kapag ang paglitaw ng isa sa mga ito ay maaaring magkasabay sa paglitaw ng isa pa. Sa kabila ng katotohanan na sila ay magkasanib, ang posibilidad ng mga independiyenteng kaganapan ay isinasaalang-alang. Halimbawa, ang paghagis ng dalawang dice ay maaaring magbigay ng resulta kapag lumitaw ang numerong 6 sa kanilang dalawa. Bagama't ang mga kaganapan ay magkasabay at lumitaw sa parehong oras, sila ay independyente sa isa't isa - isang anim lamang ang maaaring mahulog, ang pangalawang mamatay ay walang impluwensya dito.

Ang posibilidad ng magkasanib na mga kaganapan ay isinasaalang-alang bilang ang posibilidad ng kanilang kabuuan.

Ang posibilidad ng kabuuan ng magkasanib na mga kaganapan. Halimbawa

Ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan A at B, na magkasanib na nauugnay sa isa't isa, ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng kaganapan na binawasan ang posibilidad ng kanilang paglitaw (iyon ay, ang kanilang magkasanib na paglitaw):

R joint (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Ipagpalagay natin na ang posibilidad na matamaan ang target sa isang shot ay 0.4. Pagkatapos ay naabot ng kaganapan A ang target sa unang pagtatangka, B - sa pangalawa. Ang mga kaganapang ito ay magkasanib, dahil posible na maabot mo ang target gamit ang una at pangalawang shot. Ngunit ang mga kaganapan ay hindi nakasalalay. Ano ang posibilidad na matamaan ang target ng dalawang putok (kahit isa)? Ayon sa formula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Ang sagot sa tanong ay: "Ang posibilidad na matamaan ang target na may dalawang shot ay 64%."

Ang formula na ito para sa posibilidad ng isang kaganapan ay maaari ding ilapat sa mga hindi magkatugma na mga kaganapan, kung saan ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng isang kaganapan P(AB) = 0. Nangangahulugan ito na ang posibilidad ng kabuuan ng mga hindi magkatugma na mga kaganapan ay maaaring ituring na isang espesyal na kaso ng iminungkahing pormula.

Geometry ng posibilidad para sa kalinawan

Kapansin-pansin, ang posibilidad ng kabuuan ng magkasanib na mga kaganapan ay maaaring katawanin bilang dalawang lugar A at B, na nagsalubong sa isa't isa. Tulad ng makikita mula sa larawan, ang lugar ng kanilang unyon ay katumbas ng kabuuang lugar minus ang lugar ng kanilang intersection. Ang geometric na paliwanag na ito ay ginagawang mas nauunawaan ang tila hindi makatwirang pormula. Tandaan na mga geometric na solusyon- hindi karaniwan sa teorya ng posibilidad.

Ang pagtukoy sa posibilidad ng kabuuan ng marami (higit sa dalawa) magkasanib na mga kaganapan ay medyo mahirap. Upang kalkulahin ito, kailangan mong gamitin ang mga formula na ibinigay para sa mga kasong ito.

Dependent Events

Ang mga kaganapan ay tinatawag na dependent kung ang paglitaw ng isa (A) sa mga ito ay nakakaapekto sa posibilidad ng paglitaw ng isa pa (B). Bukod dito, ang impluwensya ng parehong paglitaw ng kaganapan A at ang hindi paglitaw nito ay isinasaalang-alang. Kahit na ang mga kaganapan ay tinatawag na umaasa sa pamamagitan ng kahulugan, isa lamang sa mga ito ang umaasa (B). Ang karaniwang posibilidad ay tinukoy bilang P(B) o ang posibilidad ng mga independiyenteng kaganapan. Sa kaso ng mga umaasa na kaganapan, isang bagong konsepto ang ipinakilala - kondisyon na posibilidad P A (B), na kung saan ay ang posibilidad ng isang umaasa na kaganapan B, napapailalim sa paglitaw ng kaganapan A (hypothesis), kung saan ito nakasalalay.

Ngunit ang kaganapan A ay random din, kaya mayroon din itong posibilidad na kailangan at maaaring isaalang-alang sa mga kalkulasyon na ginawa. Ang sumusunod na halimbawa ay magpapakita kung paano gumawa ng mga umaasa na kaganapan at isang hypothesis.

Isang halimbawa ng pagkalkula ng posibilidad ng mga umaasang kaganapan

Ang isang magandang halimbawa para sa pagkalkula ng mga umaasang kaganapan ay isang karaniwang deck ng mga card.

Gamit ang isang deck ng 36 card bilang isang halimbawa, tingnan natin ang mga dependent na kaganapan. Kailangan nating matukoy ang posibilidad na ang pangalawang card na nakuha mula sa deck ay magiging mga diyamante kung ang unang card na nakuha ay:

1. Bubnovaya.
2. Ibang kulay.

Malinaw, ang posibilidad ng pangalawang kaganapan B ay nakasalalay sa unang A. Kaya, kung ang unang pagpipilian ay totoo, na mayroong 1 card (35) at 1 brilyante (8) na mas mababa sa deck, ang posibilidad ng kaganapan B:

RA (B) =8/35=0.23

Kung totoo ang pangalawang opsyon, ang deck ay mayroong 35 card, at ang buong bilang ng mga diamante (9) ay nananatili pa rin, kung gayon ang posibilidad ng sumusunod na kaganapan B:

RA (B) =9/35=0.26.

Makikita na kung ang kaganapan A ay nakakondisyon sa katotohanan na ang unang card ay isang brilyante, kung gayon ang posibilidad ng kaganapan B ay bumababa, at kabaliktaran.

Pagpaparami ng umaasa na mga kaganapan

Ginagabayan ng nakaraang kabanata, tinatanggap namin ang unang kaganapan (A) bilang isang katotohanan, ngunit sa esensya, ito ay isang random na kalikasan. Ang posibilidad ng kaganapang ito, lalo na ang pagguhit ng brilyante mula sa isang deck ng mga baraha, ay katumbas ng:

P(A) = 9/36=1/4

Dahil ang teorya ay hindi umiiral sa sarili nitong, ngunit nilayon upang magsilbi para sa mga praktikal na layunin, makatarungang tandaan na ang pinakamadalas na kailangan ay ang posibilidad na makagawa ng mga umaasang kaganapan.

Ayon sa theorem sa produkto ng mga probabilidad ng mga umaasa na kaganapan, ang posibilidad ng paglitaw ng magkasanib na umaasa na mga kaganapan A at B ay katumbas ng posibilidad ng isang kaganapan A, na pinarami ng kondisyon na posibilidad ng kaganapan B (depende sa A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Pagkatapos, sa halimbawa ng deck, ang posibilidad ng pagguhit ng dalawang card na may suit ng mga diamante ay:

9/36*8/35=0.0571, o 5.7%

At ang posibilidad ng pagkuha ng hindi mga diamante muna, at pagkatapos ay mga diamante, ay katumbas ng:

27/36*9/35=0.19, o 19%

Makikita na mas malaki ang posibilidad na mangyari ang event B sa kondisyon na ang unang card na iginuhit ay isang suit maliban sa mga diamante. Ang resulta na ito ay medyo lohikal at naiintindihan.

Kabuuang posibilidad ng isang kaganapan

Kapag ang isang problema sa mga probabilidad na may kondisyon ay naging multifaceted, hindi ito maaaring kalkulahin gamit ang mga conventional na pamamaraan. Kapag mayroong higit sa dalawang hypotheses, katulad ng A1, A2,…, A n, ..bumubuo ng kumpletong pangkat ng mga kaganapan na ibinigay:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Kaya, ang formula para sa kabuuang posibilidad para sa kaganapan B na may kumpletong pangkat ng mga random na kaganapan A1, A2,..., A n ay katumbas ng:

Isang pagtingin sa hinaharap

Ang posibilidad ng isang random na kaganapan ay lubos na kinakailangan sa maraming mga lugar ng agham: econometrics, istatistika, pisika, atbp. Dahil ang ilang mga proseso ay hindi maaaring ilarawan nang deterministiko, dahil sila mismo ay probabilistiko sa kalikasan, ang mga espesyal na pamamaraan ng pagtatrabaho ay kinakailangan. Ang teorya ng posibilidad ng kaganapan ay maaaring gamitin sa anumang larangan ng teknolohiya bilang isang paraan upang matukoy ang posibilidad ng isang error o malfunction.

Masasabi natin na sa pamamagitan ng pagkilala sa probabilidad, tayo sa ilang paraan ay nagsasagawa ng isang teoretikal na hakbang sa hinaharap, tinitingnan ito sa pamamagitan ng prisma ng mga formula.

Ito ay malamang na hindi iniisip ng maraming tao kung posible bang kalkulahin ang mga kaganapan na higit pa o hindi gaanong random. Sa madaling salita sa simpleng salita, posible bang malaman kung aling bahagi ng kubo ang lalabas sa susunod? Ang tanong na ito ang itinanong ng dalawang mahusay na siyentipiko sa kanilang sarili, na naglatag ng pundasyon para sa naturang agham tulad ng teorya ng probabilidad, kung saan ang posibilidad ng isang kaganapan ay pinag-aralan nang husto.

Pinagmulan

Kung susubukan mong tukuyin ang naturang konsepto bilang probability theory, makukuha mo ang sumusunod: ito ay isa sa mga sangay ng matematika na nag-aaral ng constancy ng mga random na pangyayari. Siyempre, ang konsepto na ito ay hindi talaga nagbubunyag ng buong kakanyahan, kaya kinakailangan na isaalang-alang ito nang mas detalyado.

Gusto kong magsimula sa mga lumikha ng teorya. Tulad ng nabanggit sa itaas, mayroong dalawa sa kanila, at isa sila sa mga unang sumubok na kalkulahin ang kinalabasan ng ito o ang kaganapang iyon gamit ang mga formula at mga kalkulasyon sa matematika. Sa pangkalahatan, ang mga simula ng agham na ito ay lumitaw sa Middle Ages. Sa oras na iyon, sinubukan ng iba't ibang mga palaisip at siyentipiko na pag-aralan ang mga laro sa pagsusugal, tulad ng roulette, craps, at iba pa, sa gayon ay naitatag ang pattern at porsyento ng isang partikular na numero na nahuhulog. Ang pundasyon ay inilatag noong ikalabing pitong siglo ng mga nabanggit na siyentipiko.

Sa una, ang kanilang mga gawa ay hindi maituturing na mahusay na mga tagumpay sa larangang ito, dahil ang lahat ng kanilang ginawa ay mga empirical na katotohanan lamang, at ang mga eksperimento ay isinasagawa nang biswal, nang hindi gumagamit ng mga formula. Sa paglipas ng panahon, posible na makamit ang magagandang resulta, na lumitaw bilang isang resulta ng pagmamasid sa paghagis ng mga dice. Ang tool na ito ang tumulong upang makuha ang unang mauunawaan na mga formula.

Mga taong katulad ng pag-iisip

Imposibleng hindi banggitin ang isang taong tulad ni Christiaan Huygens sa proseso ng pag-aaral ng isang paksa na tinatawag na "probability theory" (ang posibilidad ng isang kaganapan ay nasasakupan nang eksakto sa agham na ito). Napakainteresante ng taong ito. Siya, tulad ng mga siyentipiko na ipinakita sa itaas, ay sinubukang kunin ang pattern ng mga random na kaganapan sa anyo ng mga mathematical formula. Kapansin-pansin na hindi niya ito ginawa kasama sina Pascal at Fermat, ibig sabihin, lahat ng kanyang mga gawa ay hindi sumasalubong sa mga kaisipang ito. Huygens deduced

Ang isang kagiliw-giliw na katotohanan ay ang kanyang trabaho ay lumabas bago ang mga resulta ng mga natuklasan ng trabaho, o sa halip, dalawampung taon na ang nakaraan. Kabilang sa mga natukoy na konsepto, ang pinakasikat ay:

• ang konsepto ng probabilidad bilang halaga ng pagkakataon;
• pag-asa sa matematika para sa mga discrete na kaso;
• theorems ng multiplikasyon at pagdaragdag ng mga probabilidad.

Imposible ring hindi matandaan kung sino rin ang nagbigay ng malaking kontribusyon sa pag-aaral ng problema. Ang pagsasagawa ng kanyang sariling mga pagsubok, na independyente sa sinuman, nakapagbigay siya ng patunay ng batas malalaking numero. Sa turn, ang mga siyentipiko na sina Poisson at Laplace, na nagtrabaho sa simula ng ikalabinsiyam na siglo, ay nagawang patunayan ang orihinal na mga theorems. Ito ay mula sa sandaling ito na ang teorya ng posibilidad ay nagsimulang gamitin upang pag-aralan ang mga pagkakamali sa mga obserbasyon. Ang mga siyentipikong Ruso, o sa halip ay sina Markov, Chebyshev at Dyapunov, ay hindi maaaring balewalain ang agham na ito. Batay sa gawaing ginawa ng mga dakilang henyo, itinatag nila ang paksang ito bilang sangay ng matematika. Ang mga figure na ito ay nagtrabaho na sa pagtatapos ng ikalabinsiyam na siglo, at salamat sa kanilang kontribusyon, ang mga sumusunod na phenomena ay napatunayan:

• batas ng malalaking numero;
• Markov chain theory;
• Central limit theorem.

Kaya, sa kasaysayan ng kapanganakan ng agham at sa mga pangunahing tao na nakaimpluwensya dito, ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw. Ngayon na ang oras upang linawin ang lahat ng mga katotohanan.

Pangunahing Konsepto

Bago hawakan ang mga batas at theorems, ito ay nagkakahalaga ng pag-aaral ng mga pangunahing konsepto ng probability theory. Ang kaganapan ay gumaganap ng isang nangungunang papel dito. Ang paksang ito ay medyo malaki, ngunit kung wala ito ay hindi posible na maunawaan ang lahat ng iba pa.

Ang isang kaganapan sa teorya ng posibilidad ay anumang hanay ng mga kinalabasan ng isang eksperimento. Mga konsepto itong kababalaghan medyo marami. Kaya, ang siyentipikong si Lotman, na nagtatrabaho sa lugar na ito, ay nagsabi na sa kasong ito ay pinag-uusapan natin kung ano ang "nangyari, bagaman maaaring hindi ito nangyari."

Ang mga random na kaganapan (ang teorya ng posibilidad ay nagbibigay ng espesyal na pansin sa kanila) ay isang konsepto na ganap na nagpapahiwatig ng anumang kababalaghan na may pagkakataon na mangyari. O, sa kabaligtaran, ang senaryo na ito ay maaaring hindi mangyari kung maraming kundisyon ang natutugunan. Ito rin ay nagkakahalaga ng pag-alam na ito ay mga random na kaganapan na kumukuha ng buong dami ng mga phenomena na naganap. Ang teorya ng probabilidad ay nagpapahiwatig na ang lahat ng mga kondisyon ay maaaring paulit-ulit na palagi. Ang kanilang pag-uugali ang tinatawag na "karanasan" o "pagsubok".

Ang isang maaasahang kaganapan ay isang kababalaghan na isang daang porsyento na malamang na mangyari sa isang naibigay na pagsubok. Alinsunod dito, ang isang imposibleng kaganapan ay isa na hindi mangyayari.

Ang kumbinasyon ng isang pares ng mga aksyon (kondisyon, case A at case B) ay isang phenomenon na nangyayari nang sabay-sabay. Sila ay itinalaga bilang AB.

Ang kabuuan ng mga pares ng mga kaganapan A at B ay C, sa madaling salita, kung hindi bababa sa isa sa mga ito ang mangyayari (A o B), pagkatapos ay makuha ang C. Ang formula para sa inilarawan na kababalaghan ay nakasulat tulad ng sumusunod: C = A + B.

Ang mga hindi katugmang kaganapan sa teorya ng posibilidad ay nagpapahiwatig na ang dalawang kaso ay kapwa eksklusibo. Sa ilalim ng anumang pagkakataon ay maaaring mangyari ang mga ito sa parehong oras. Ang mga pinagsamang kaganapan sa teorya ng posibilidad ay ang kanilang antipode. Ang ibig sabihin dito ay kung nangyari ang A, hindi nito pinipigilan ang B sa anumang paraan.

Ang magkasalungat na mga kaganapan (ang teorya ng posibilidad ay isinasaalang-alang ang mga ito nang detalyado) ay madaling maunawaan. Ang pinakamahusay na paraan upang maunawaan ang mga ito ay sa pamamagitan ng paghahambing. Ang mga ito ay halos kapareho ng mga hindi tugmang kaganapan sa teorya ng posibilidad. Ngunit ang kanilang pagkakaiba ay nakasalalay sa katotohanan na ang isa sa maraming mga phenomena ay dapat mangyari sa anumang kaso.

Ang mga pantay na posibleng kaganapan ay ang mga aksyon na ang pag-uulit ay pantay. Upang gawing mas malinaw, maaari mong isipin ang paghagis ng isang barya: ang pagkawala ng isa sa mga gilid nito ay pantay na malamang na mahulog mula sa isa pa.

Mas madaling isaalang-alang ang isang mapalad na kaganapan na may isang halimbawa. Sabihin nating mayroong isang episode B at isang episode A. Ang una ay ang roll ng dice na may isang kakaibang numero na lumilitaw, at ang pangalawa ay ang hitsura ng numerong lima sa die. Tapos papabor pala si A kay B.

Ang mga independiyenteng kaganapan sa teorya ng probabilidad ay inaasahan lamang sa dalawa o higit pang mga kaso at nagpapahiwatig ng kalayaan ng anumang aksyon mula sa isa pa. Halimbawa, ang A ay ang pagkawala ng mga ulo kapag naghahagis ng barya, at ang B ay ang pagguhit ng jack mula sa deck. Ang mga ito ay independiyenteng mga kaganapan sa teorya ng posibilidad. Sa puntong ito ay naging mas malinaw.

Ang mga dependent na kaganapan sa probability theory ay pinapayagan lamang para sa isang set ng mga ito. Ipinahihiwatig nila ang pag-asa ng isa sa isa, iyon ay, ang phenomenon B ay maaari lamang mangyari kung ang A ay nangyari na o, sa kabaligtaran, ay hindi nangyari, kapag ito ang pangunahing kondisyon para sa B.

Ang kinalabasan ng isang random na eksperimento na binubuo ng isang bahagi ay elementarya na mga kaganapan. Ang teorya ng posibilidad ay nagpapaliwanag na ito ay isang kababalaghan na nangyari nang isang beses lamang.

Mga pangunahing formula

Kaya, ang mga konsepto ng "kaganapan" at "teorya ng posibilidad" ay tinalakay sa itaas; isang kahulugan ng mga pangunahing termino ng agham na ito ay ibinigay din. Ngayon ay oras na upang direktang pamilyar sa mahahalagang formula. Ang mga expression na ito ay mathematically na nagpapatunay sa lahat ng mga pangunahing konsepto sa isang kumplikadong paksa tulad ng probability theory. Malaki rin ang papel na ginagampanan ng posibilidad ng isang kaganapan dito.

Mas mainam na magsimula sa mga pangunahing bagay. At bago ka magsimula sa kanila, sulit na isaalang-alang kung ano ang mga ito.

Pangunahing sangay ng matematika ang Combinatorics; ito ay tumatalakay sa pag-aaral ng isang malaking bilang ng mga integer, pati na rin ang iba't ibang mga permutasyon ng parehong mga numero mismo at ng kanilang mga elemento, iba't ibang data, atbp., na humahantong sa paglitaw ng isang bilang ng mga kumbinasyon. Bilang karagdagan sa teorya ng posibilidad, ang sangay na ito ay mahalaga para sa mga istatistika, agham sa computer at cryptography.

Kaya, ngayon ay maaari na tayong magpatuloy sa paglalahad ng mga pormula mismo at ng kanilang kahulugan.

Ang una sa mga ito ay ang expression para sa bilang ng mga permutasyon, ganito ang hitsura:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Ang equation ay inilalapat lamang kung ang mga elemento ay naiiba lamang sa pagkakasunud-sunod ng kanilang pagkakaayos.

Ngayon ay isasaalang-alang ang formula ng placement, mukhang ganito:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ang expression na ito ay naaangkop hindi lamang sa pagkakasunud-sunod ng paglalagay ng elemento, kundi pati na rin sa komposisyon nito.

Ang ikatlong equation mula sa combinatorics, at ito rin ang huli, ay tinatawag na formula para sa bilang ng mga kumbinasyon:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Ang kumbinasyon ay tumutukoy sa mga seleksyon na hindi nakaayos; ayon dito, ang panuntunang ito ay nalalapat sa kanila.

Madaling maunawaan ang mga pormula ng combinatorics; ngayon ay maaari kang magpatuloy sa klasikal na kahulugan ng mga probabilidad. Mukhang ganito ang expression na ito:

Sa formula na ito, ang m ay ang bilang ng mga kundisyon na paborable sa kaganapan A, at ang n ay ang bilang ng ganap na lahat ng pantay na posible at elementarya na mga resulta.

Umiiral malaking bilang ng mga expression, hindi isasaalang-alang ng artikulo ang lahat ng mga ito, ngunit ang pinakamahalaga sa mga ito ay tatalakayin, tulad ng, halimbawa, ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan:

P(A + B) = P(A) + P(B) - ang theorem na ito ay para lamang sa pagdaragdag ng mga hindi tugmang kaganapan;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - at ito ay para sa pagdaragdag lamang ng mga katugma.

Probabilidad ng mga pangyayaring naganap:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - ang theorem na ito ay para sa mga malayang pangyayari;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - at ito ay para sa umaasa.

Ang listahan ng mga kaganapan ay makukumpleto sa pamamagitan ng pormula ng mga kaganapan. Sinasabi sa atin ng probability theory ang tungkol sa Bayes' theorem, na ganito ang hitsura:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Sa formula na ito, ang H 1, H 2, ..., H n ay isang kumpletong pangkat ng mga hypotheses.

Mga halimbawa

Kung maingat mong pag-aaralan ang anumang seksyon ng matematika, hindi ito kumpleto nang walang mga pagsasanay at mga sample na solusyon. Gayon din ang teorya ng probabilidad: ang mga kaganapan at mga halimbawa dito ay isang mahalagang bahagi na nagpapatunay sa mga kalkulasyon ng siyensya.

Formula para sa bilang ng mga permutasyon

Sabihin nating mayroong tatlumpung card sa isang deck ng mga card, na nagsisimula sa isang halaga ng isa. Sunod sunod na tanong. Ilang paraan ang mayroon upang i-stack ang deck upang ang mga card na may halagang isa at dalawa ay hindi magkatabi?

Ang gawain ay naitakda na, ngayon ay magpatuloy tayo sa paglutas nito. Una kailangan mong matukoy ang bilang ng mga permutasyon ng tatlumpung elemento, para dito kinukuha namin ang formula na ipinakita sa itaas, lumalabas na P_30 = 30!.

Batay sa panuntunang ito, nalaman namin kung gaano karaming mga pagpipilian ang mayroon upang tiklop ang kubyerta sa iba't ibang paraan, ngunit kailangan naming ibawas mula sa kanila ang kung saan ang una at pangalawang card ay nasa tabi ng bawat isa. Upang gawin ito, magsimula tayo sa opsyon kapag ang una ay nasa itaas ng pangalawa. Lumalabas na ang unang card ay maaaring tumagal ng dalawampu't siyam na lugar - mula sa una hanggang ikadalawampu't siyam, at ang pangalawang card mula sa pangalawa hanggang sa ika-tatlumpu, na gumawa ng kabuuang dalawampu't siyam na lugar para sa isang pares ng mga baraha. Sa turn, ang natitira ay maaaring tumanggap ng dalawampu't walong lugar, at sa anumang pagkakasunud-sunod. Iyon ay, upang muling ayusin ang dalawampu't walong baraha, mayroong dalawampu't walong pagpipilian P_28 = 28!

Bilang resulta, lumalabas na kung isasaalang-alang namin ang solusyon kapag ang unang card ay nasa itaas ng pangalawa, magkakaroon ng 29 ⋅ 28 na karagdagang mga posibilidad! = 29!

Gamit ang parehong paraan, kailangan mong kalkulahin ang bilang ng mga kalabisan na opsyon para sa kaso kapag ang unang card ay nasa ilalim ng pangalawa. Ito rin pala ay 29 ⋅ 28! = 29!

Ito ay sumusunod mula dito na mayroong 2 ⋅ 29 karagdagang mga pagpipilian!, habang ang mga kinakailangang paraan upang mag-assemble ng isang deck ay 30! - 2 ⋅ 29!. Ang natitira na lang ay magbilang.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Ngayon ay kailangan mong i-multiply ang lahat ng mga numero mula isa hanggang dalawampu't siyam, at sa wakas ay i-multiply ang lahat sa 28. Ang sagot ay 2.4757335 ⋅〖10〗^32

Halimbawang solusyon. Formula para sa numero ng pagkakalagay

Sa problemang ito, kailangan mong malaman kung gaano karaming mga paraan upang ilagay ang labinlimang volume sa isang istante, ngunit sa kondisyon na mayroong tatlumpung volume sa kabuuan.

Ang solusyon sa problemang ito ay medyo mas simple kaysa sa nauna. Gamit ang alam na formula, kinakailangan upang kalkulahin ang kabuuang bilang ng mga kaayusan ng tatlumpung volume ng labinlimang.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 7007 3

Ang sagot, ayon dito, ay magiging katumbas ng 202,843,204,931,727,360,000.

Ngayon gawin natin ang isang bahagyang mas mahirap na gawain. Kailangan mong malaman kung gaano karaming mga paraan upang ayusin ang tatlumpung libro sa dalawang bookshelf, dahil ang isang istante ay maaari lamang maglaman ng labinlimang volume.

Bago simulan ang solusyon, nais kong linawin na ang ilang mga problema ay maaaring malutas sa maraming paraan, at ang isang ito ay may dalawang pamamaraan, ngunit parehong gumagamit ng parehong formula.

Sa problemang ito, maaari mong kunin ang sagot mula sa naunang isa, dahil doon namin nakalkula kung gaano karaming beses maaari mong punan ang isang istante ng labinlimang libro sa iba't ibang paraan. Ito ay naging A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Kakalkulahin namin ang pangalawang istante gamit ang permutation formula, dahil labinlimang libro ang maaaring ilagay dito, habang labinlimang natitira na lang. Ginagamit namin ang formula P_15 = 15!.

Lumalabas na ang kabuuan ay magiging A_30^15 ⋅ P_15 na paraan, ngunit, bilang karagdagan dito, ang produkto ng lahat ng mga numero mula tatlumpu hanggang labing-anim ay kailangang i-multiply sa produkto ng mga numero mula isa hanggang labinlima, sa huli ikaw ay makakakuha ng produkto ng lahat ng mga numero mula isa hanggang tatlumpu, iyon ay, ang sagot ay katumbas ng 30!

Ngunit ang problemang ito ay maaaring malutas sa ibang paraan - mas madali. Upang gawin ito, maaari mong isipin na mayroong isang istante para sa tatlumpung aklat. Ang lahat ng mga ito ay inilagay sa eroplanong ito, ngunit dahil ang kundisyon ay nangangailangan na mayroong dalawang istante, nakita namin ang isang mahaba sa kalahati, kaya nakakuha kami ng dalawa sa labinlimang. Mula dito lumalabas na maaaring magkaroon ng P_30 = 30 na pagpipilian para sa pag-aayos!.

Halimbawang solusyon. Formula para sa kumbinasyon ng numero

Ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang bersyon ng ikatlong problema mula sa combinatorics. Ito ay kinakailangan upang malaman kung gaano karaming mga paraan upang ayusin ang labinlimang mga libro, sa kondisyon na kailangan mong pumili mula sa tatlumpung ganap na magkapareho.

Upang malutas, siyempre, ang formula para sa bilang ng mga kumbinasyon ay ilalapat. Mula sa kondisyon ay nagiging malinaw na ang pagkakasunud-sunod ng magkatulad na labinlimang aklat ay hindi mahalaga. Samakatuwid, kailangan mo munang malaman kabuuang bilang kumbinasyon ng tatlumpung aklat ng labinlimang.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Iyon lang. Gamit ang formula na ito, sa pinakamaikling panahon nagawang lutasin ang problemang ito, ang sagot, ayon dito, ay 155,117,520.

Halimbawang solusyon. Klasikong kahulugan ng posibilidad

Gamit ang formula sa itaas, mahahanap mo ang sagot sa isang simpleng problema. Ngunit makakatulong ito upang malinaw na makita at masubaybayan ang pag-usad ng mga aksyon.

Ang problema ay nagsasaad na mayroong sampung ganap na magkaparehong bola sa urn. Sa mga ito, apat ang dilaw at anim ang asul. Isang bola ang kinuha mula sa urn. Kailangan mong malaman ang posibilidad na makakuha ng asul.

Upang malutas ang problema, kinakailangang italaga ang pagkuha ng asul na bola bilang kaganapan A. Ang eksperimentong ito ay maaaring magkaroon ng sampung resulta, na, sa turn, ay elementarya at pantay na posible. Kasabay nito, sa sampu, anim ang pabor sa kaganapan A. Niresolba namin gamit ang formula:

P(A) = 6: 10 = 0.6

Sa paglalapat ng formula na ito, nalaman namin na ang posibilidad na makuha ang asul na bola ay 0.6.

Halimbawang solusyon. Probability ng kabuuan ng mga pangyayari

Ipapakita na ngayon ang isang opsyon na malulutas gamit ang sum-of-events probability formula. Kaya, ibinigay ang kondisyon na mayroong dalawang kahon, ang una ay naglalaman ng isang kulay abo at limang puting bola, at ang pangalawa ay naglalaman ng walong kulay abo at apat na puting bola. Bilang resulta, kinuha nila ang isa sa mga ito mula sa una at pangalawang kahon. Kailangan mong malaman kung ano ang pagkakataon na ang mga bola na makukuha mo ay magiging kulay abo at puti.

Upang malutas ang problemang ito, kinakailangan upang matukoy ang mga kaganapan.

• Kaya, A - kumuha ng kulay abong bola mula sa unang kahon: P(A) = 1/6.
• A’ - kumuha din ng puting bola mula sa unang kahon: P(A") = 5/6.
• B - isang kulay abong bola ang inalis sa pangalawang kahon: P(B) = 2/3.
• B’ - kumuha ng kulay abong bola mula sa pangalawang kahon: P(B") = 1/3.

Ayon sa mga kondisyon ng problema, kinakailangan para sa isa sa mga phenomena na mangyari: AB' o A'B. Gamit ang formula, nakukuha natin ang: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Ngayon ang formula para sa pagpaparami ng posibilidad ay ginamit na. Susunod, upang malaman ang sagot, kailangan mong ilapat ang equation ng kanilang karagdagan:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Ito ay kung paano mo malulutas ang mga katulad na problema gamit ang formula.

Bottom line

Ang artikulo ay nagpakita ng impormasyon sa paksang "Probability Theory", kung saan ang posibilidad ng isang kaganapan ay gumaganap ng isang mahalagang papel. Siyempre, hindi lahat ay isinasaalang-alang, ngunit, batay sa ipinakita na teksto, maaari mong teoretikal na pamilyar ang iyong sarili sa seksyong ito ng matematika. Ang agham na pinag-uusapan ay maaaring maging kapaki-pakinabang hindi lamang sa propesyonal na gawain, kundi pati na rin sa Araw-araw na buhay. Sa tulong nito, maaari mong kalkulahin ang anumang posibilidad ng anumang kaganapan.

Ang teksto ay humipo din sa mga makabuluhang petsa sa kasaysayan ng pagbuo ng teorya ng probabilidad bilang isang agham, at ang mga pangalan ng mga tao na ang trabaho ay namuhunan dito. Ito ay kung paano ang pag-usisa ng tao ay humantong sa katotohanan na ang mga tao ay natutong kalkulahin kahit na ang mga random na kaganapan. Noong unang panahon sila ay interesado lamang dito, ngunit ngayon alam na ng lahat ang tungkol dito. At walang magsasabi kung ano ang naghihintay sa atin sa hinaharap, kung ano ang iba pang makikinang na pagtuklas na may kaugnayan sa teoryang isinasaalang-alang ang gagawin. Ngunit isang bagay ang sigurado - ang pananaliksik ay hindi tumitigil!

Kapag ang isang barya ay inihagis, maaari nating sabihin na ito ay dumarating sa ulo, o probabilidad ito ay 1/2. Siyempre, hindi ito nangangahulugan na kung ang isang barya ay ihagis ng 10 beses, ito ay kinakailangang mapunta sa mga ulo ng 5 beses. Kung ang barya ay "patas" at kung ito ay ihahagis ng maraming beses, ang mga ulo ay malapit na malapit sa kalahati ng oras. Kaya, mayroong dalawang uri ng mga probabilidad: eksperimental At teoretikal .

Eksperimental at teoretikal na posibilidad

Kung i-flip natin ang isang barya ng maraming beses - sabihin nating 1000 - at bibilangin kung ilang beses itong dumapo sa mga ulo, matutukoy natin ang posibilidad na mapunta ito sa mga ulo. Kung ang mga ulo ay itinapon ng 503 beses, maaari nating kalkulahin ang posibilidad ng pag-landing nito:
503/1000, o 0.503.

Ito eksperimental kahulugan ng probabilidad. Ang kahulugan ng probabilidad na ito ay nagmumula sa pagmamasid at pag-aaral ng data at medyo karaniwan at lubhang kapaki-pakinabang. Narito, halimbawa, ang ilang mga probabilidad na natukoy sa eksperimento:

1. Ang posibilidad na magkaroon ng breast cancer ang isang babae ay 1/11.

2. Kung hahalikan mo ang taong may sipon, 0.07 ang probabilidad na sipon ka rin.

3. Ang isang taong kalalabas lang sa kulungan ay may 80% na pagkakataong makabalik sa kulungan.

Kung isasaalang-alang natin ang paghahagis ng barya at isinasaalang-alang na ito ay kasing posibilidad na lalabas ito ng mga ulo o buntot, maaari nating kalkulahin ang posibilidad na makakuha ng mga ulo: 1/2. Ito ay isang teoretikal na kahulugan ng posibilidad. Narito ang ilang iba pang mga probabilidad na natukoy ayon sa teorya gamit ang matematika:

1. Kung mayroong 30 tao sa isang silid, ang posibilidad na dalawa sa kanila ay may parehong kaarawan (hindi kasama ang taon) ay 0.706.

2. Sa isang paglalakbay, may nakilala kang isang tao, at sa panahon ng pag-uusap ay natuklasan mo na mayroon kang kapwa kaibigan. Karaniwang reaksyon: "Hindi ito maaari!" Sa katunayan, ang pariralang ito ay hindi angkop, dahil ang posibilidad ng naturang kaganapan ay medyo mataas - higit sa 22%.

Kaya, ang mga probabilidad ng pang-eksperimento ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagmamasid at pagkolekta ng data. Ang mga teoretikal na probabilidad ay natutukoy sa pamamagitan ng mathematical reasoning. Ang mga halimbawa ng eksperimental at teoretikal na probabilidad, tulad ng mga tinalakay sa itaas, at lalo na ang mga hindi natin inaasahan, ay humahantong sa atin sa kahalagahan ng pag-aaral ng probabilidad. Maaari mong itanong, "Ano ang tunay na posibilidad?" Kung tutuusin, wala namang ganoon. Ang mga probabilidad sa loob ng ilang partikular na limitasyon ay maaaring matukoy sa eksperimentong paraan. Maaari silang tumugma o hindi sa mga probabilidad na nakukuha natin ayon sa teorya. May mga sitwasyon kung saan mas madaling matukoy ang isang uri ng posibilidad kaysa sa iba. Halimbawa, magiging sapat na upang mahanap ang posibilidad na magkaroon ng sipon gamit ang teoretikal na posibilidad.

Pagkalkula ng mga probabilidad na pang-eksperimento

Isaalang-alang muna natin ang pang-eksperimentong kahulugan ng posibilidad. Ang pangunahing prinsipyo na ginagamit namin upang kalkulahin ang mga probabilidad ay ang mga sumusunod.

Prinsipyo P (pang-eksperimento)

Kung sa isang eksperimento kung saan ang n obserbasyon ay ginawa, ang isang sitwasyon o kaganapan E ay nangyayari nang m beses sa n obserbasyon, kung gayon ang pang-eksperimentong posibilidad ng kaganapan ay sinasabing P (E) = m/n.

Halimbawa 1 Sociological survey. Isang eksperimental na pag-aaral ang isinagawa upang matukoy ang bilang ng mga taong kaliwete, kanang kamay at mga tao na ang parehong mga kamay ay pantay na binuo. Ang mga resulta ay ipinapakita sa graph.

a) Tukuyin ang posibilidad na ang tao ay kanang kamay.

b) Tukuyin ang posibilidad na ang tao ay kaliwete.

c) Tukuyin ang posibilidad na ang isang tao ay pantay na matatas sa magkabilang kamay.

d) Karamihan sa mga tournament ng Professional Bowling Association ay limitado sa 120 na manlalaro. Batay sa data mula sa eksperimentong ito, ilang manlalaro ang maaaring maging kaliwete?

Solusyon

a) Ang bilang ng mga taong kanang kamay ay 82, ang bilang ng mga kaliwete ay 17, at ang bilang ng mga taong parehong matatas sa magkabilang kamay ay 1. Ang kabuuang bilang ng mga obserbasyon ay 100. Kaya, ang posibilidad na ang isang tao ay kanang kamay ay P
P = 82/100, o 0.82, o 82%.

b) Ang posibilidad na ang isang tao ay kaliwete ay P, kung saan
P = 17/100, o 0.17, o 17%.

c) Ang posibilidad na ang isang tao ay pantay na matatas sa magkabilang kamay ay P, kung saan
P = 1/100, o 0.01, o 1%.

d) 120 bowlers, at mula sa (b) maaari nating asahan na 17% ay kaliwete. Mula rito
17% ng 120 = 0.17.120 = 20.4,
iyon ay, maaari naming asahan ang tungkol sa 20 mga manlalaro na kaliwete.

Halimbawa 2 Kontrol sa kalidad . Napakahalaga para sa isang tagagawa na mapanatili ang kalidad ng mga produkto nito sa mataas na lebel. Sa katunayan, ang mga kumpanya ay kumukuha ng mga quality control inspector upang matiyak ang prosesong ito. Ang layunin ay upang makagawa ng pinakamababang posibleng bilang ng mga may sira na produkto. Ngunit dahil ang kumpanya ay gumagawa ng libu-libong mga produkto araw-araw, hindi nito kayang subukan ang bawat produkto upang matukoy kung ito ay may depekto o hindi. Upang malaman kung anong porsyento ng mga produkto ang may depekto, ang kumpanya ay sumusubok ng mas kaunting mga produkto.
ministeryo Agrikultura Kinakailangan ng US na 80% ng mga buto na ibinebenta ng mga grower ay dapat tumubo. Upang matukoy ang kalidad ng mga buto na ginagawa ng isang kumpanyang pang-agrikultura, 500 na binhi mula sa mga ginawa ang itinanim. Pagkatapos nito, nakalkula na 417 na mga buto ang umusbong.

a) Ano ang posibilidad na tumubo ang binhi?

b) Ang mga binhi ba ay nakakatugon sa mga pamantayan ng pamahalaan?

Solusyon a) Alam natin na sa 500 buto na itinanim, 417 ang umusbong. Ang posibilidad ng pagtubo ng binhi P, at
P = 417/500 = 0.834, o 83.4%.

b) Dahil ang porsyento ng mga buto na tumubo ay lumampas sa 80% kung kinakailangan, ang mga buto ay nakakatugon sa mga pamantayan ng pamahalaan.

Halimbawa 3 Mga rating sa telebisyon. Ayon sa istatistika, mayroong 105,500,000 kabahayan na may mga telebisyon sa Estados Unidos. Bawat linggo, ang impormasyon tungkol sa pagtingin sa mga programa ay kinokolekta at pinoproseso. Sa isang linggo, 7,815,000 na sambahayan ang nanood sa hit na serye ng komedya na "Everybody Loves Raymond" sa CBS at 8,302,000 na sambahayan ang tumutok sa hit series na "Law & Order" sa NBC (Source: Nielsen Media Research). Ano ang posibilidad na ang TV ng isang sambahayan ay nakatutok sa "Everybody Loves Raymond" sa isang partikular na linggo? sa "Law & Order"?

Solusyon Ang posibilidad na ang TV sa isang sambahayan ay nakatutok sa "Everybody Loves Raymond" ay P, at
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
Ang pagkakataon na ang TV ng sambahayan ay nakatutok sa Law & Order ay P, at
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
Ang mga porsyentong ito ay tinatawag na mga rating.

Teoretikal na posibilidad

Ipagpalagay na nagsasagawa kami ng isang eksperimento, tulad ng paghahagis ng barya o darts, pagguhit ng card mula sa isang deck, o pagsubok ng mga produkto para sa kalidad sa isang assembly line. Ang bawat posibleng resulta ng naturang eksperimento ay tinatawag Exodo . Ang hanay ng lahat ng posibleng resulta ay tinatawag espasyo ng kinalabasan . Kaganapan ito ay isang hanay ng mga kinalabasan, iyon ay, isang subset ng espasyo ng mga kinalabasan.

Halimbawa 4 Paghahagis ng darts. Ipagpalagay na sa isang eksperimento sa paghahagis ng dart, ang isang dart ay tumama sa isang target. Hanapin ang bawat isa sa mga sumusunod:

b) Outcome space

Solusyon
a) Ang mga kinalabasan ay: pagpindot sa itim (B), pagpindot sa pula (R) at pagpindot sa puti (B).

b) Ang espasyo ng mga kinalabasan ay (pagpindot sa itim, pagtama sa pula, pagtama sa puti), na maaaring isulat lamang bilang (H, K, B).

Halimbawa 5 Paghahagis ng dice. Ang isang die ay isang kubo na may anim na gilid, bawat isa ay may isa hanggang anim na tuldok dito.


Ipagpalagay na naghahagis tayo ng isang mamatay. Hanapin
a) Mga kinalabasan
b) Outcome space

Solusyon
a) Mga Resulta: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Outcome space (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Tinutukoy namin ang posibilidad na ang isang kaganapan E ay nangyayari bilang P(E). Halimbawa, "ang barya ay mapunta sa mga ulo" ay maaaring tukuyin ng H. Pagkatapos ay kinakatawan ng P(H) ang posibilidad na ang barya ay mapunta sa mga ulo. Kapag ang lahat ng kinalabasan ng isang eksperimento ay may parehong posibilidad na mangyari, sinasabing pareho ang posibilidad ng mga ito. Upang makita ang mga pagkakaiba sa pagitan ng mga kaganapang pareho ang posibilidad at mga kaganapang hindi, isaalang-alang ang target na ipinapakita sa ibaba.

Para sa target A, ang mga kaganapan ng pagpindot sa itim, pula at puti ay pantay na posibilidad, dahil pareho ang mga sektor ng itim, pula at puti. Gayunpaman, para sa target B, ang mga zone na may ganitong mga kulay ay hindi pareho, iyon ay, ang pagpindot sa kanila ay hindi pantay na posibilidad.

Prinsipyo P (Teoretikal)

Kung ang isang kaganapan E ay maaaring mangyari sa m paraan sa labas ng n posibleng pantay na posibleng resulta mula sa kinalabasang espasyo S, kung gayon teoretikal na posibilidad mga pangyayari, ang P(E) ay
P(E) = m/n.

Halimbawa 6 Ano ang posibilidad ng pag-roll ng isang die upang makakuha ng 3?

Solusyon Mayroong 6 na pantay na posibleng resulta sa isang dice at isa lamang ang posibilidad na igulong ang numero 3. Kung gayon ang posibilidad na P ay magiging P(3) = 1/6.

Halimbawa 7 Ano ang posibilidad ng pag-roll ng even number sa isang die?

Solusyon Ang kaganapan ay ang paghagis ng kahit na numero. Ito ay maaaring mangyari sa 3 paraan (kung magpapagulong-gulong ka ng 2, 4 o 6). Ang bilang ng pantay na posibleng resulta ay 6. Pagkatapos ang probabilidad P(even) = 3/6, o 1/2.

Gagamit kami ng ilang halimbawa na kinasasangkutan ng karaniwang 52 card deck. Ang deck na ito ay binubuo ng mga card na ipinapakita sa figure sa ibaba.

Halimbawa 8 Ano ang posibilidad ng pagguhit ng Ace mula sa isang mahusay na binasa na deck ng mga baraha?

Solusyon Mayroong 52 na resulta (ang bilang ng mga card sa deck), pareho silang malamang (kung maayos na binasa ang deck), at mayroong 4 na paraan para gumuhit ng Ace, kaya ayon sa prinsipyo ng P, ang posibilidad
P(gumuhit ng alas) = ​​4/52, o 1/13.

Halimbawa 9 Ipagpalagay na pipiliin natin, nang hindi tumitingin, ng isang bola mula sa isang bag na may 3 pulang bola at 4 na berdeng bola. Ano ang posibilidad ng pagpili ng pulang bola?

Solusyon Mayroong 7 pantay na posibleng resulta ng pagguhit ng anumang bola, at dahil ang bilang ng mga paraan upang gumuhit ng pulang bola ay 3, nakukuha natin
P(pagpili ng pulang bola) = 3/7.

Ang mga sumusunod na pahayag ay mga resulta mula sa Prinsipyo P.

Mga Katangian ng Probability

a) Kung ang kaganapan E ay hindi maaaring mangyari, kung gayon ang P(E) = 0.
b) Kung tiyak na mangyayari ang kaganapan E, P(E) = 1.
c) Ang posibilidad na mangyari ang kaganapang E ay isang numero mula 0 hanggang 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Halimbawa, sa isang coin toss, ang kaganapan na ang barya ay dumapo sa gilid nito ay walang posibilidad. Ang posibilidad na ang isang barya ay alinman sa mga ulo o buntot ay may posibilidad na 1.

Halimbawa 10 Ipagpalagay natin na ang 2 card ay nakuha mula sa isang 52-card deck. Ano ang posibilidad na pareho silang peak?

Solusyon Ang bilang n ng mga paraan upang gumuhit ng 2 card mula sa isang well-shuffled deck ng 52 card ay 52 C 2 . Dahil ang 13 sa 52 na baraha ay mga pala, ang bilang ng mga paraan ng m upang gumuhit ng 2 mga pala ay 13 C 2 . pagkatapos,
P(paghila ng 2 peak) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Halimbawa 11 Ipagpalagay na 3 tao ang random na pinili mula sa isang grupo ng 6 na lalaki at 4 na babae. Ano ang posibilidad na 1 lalaki at 2 babae ang mapipili?

Solusyon Ang bilang ng mga paraan upang pumili ng tatlong tao mula sa isang grupo ng 10 tao ay 10 C 3. Maaaring piliin ang isang lalaki sa 6 C 1 na paraan, at 2 babae ang maaaring piliin sa 4 C 2 paraan. Ayon sa pangunahing prinsipyo ng pagbibilang, ang bilang ng mga paraan upang pumili ng 1 lalaki at 2 babae ay 6 C 1. 4 C 2 . Pagkatapos, ang posibilidad na mapili ang 1 lalaki at 2 babae ay
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Halimbawa 12 Paghahagis ng dice. Ano ang posibilidad ng paggulong ng kabuuang 8 sa dalawang dice?

Solusyon Ang bawat dice ay may 6 na posibleng resulta. Dinoble ang mga resulta, ibig sabihin mayroong 6.6 o 36 na posibleng paraan kung saan maaaring lumitaw ang mga numero sa dalawang dice. (Mas maganda kung magkaiba ang mga cube, sabihin nating ang isa ay pula at ang isa ay asul - makakatulong ito na makita ang resulta.)

Ang mga pares ng mga numero na nagdaragdag ng hanggang 8 ay ipinapakita sa figure sa ibaba. Mayroong 5 mga posibleng paraan tumatanggap ng kabuuan na katumbas ng 8, kaya ang probabilidad ay 5/36.

"Hindi sinasadya ang mga aksidente"... Parang sinabi ng isang pilosopo, pero sa totoo lang, ang pag-aaral sa mga aksidente ang tadhana. dakilang agham matematika. Sa matematika, ang pagkakataon ay tinatalakay sa teorya ng posibilidad. Ang mga pormula at halimbawa ng mga gawain, pati na rin ang mga pangunahing kahulugan ng agham na ito ay ipapakita sa artikulo.

Ano ang probability theory?

Ang teorya ng posibilidad ay isa sa mga disiplina sa matematika na nag-aaral ng mga random na kaganapan.

Upang maging mas malinaw, magbigay tayo ng isang maliit na halimbawa: kung maghagis ka ng barya, maaari itong dumapo sa mga ulo o buntot. Habang ang barya ay nasa himpapawid, ang parehong mga probabilidad na ito ay posible. Iyon ay, ang posibilidad posibleng kahihinatnan ang ratio ay 1:1. Kung ang isa ay iginuhit mula sa isang deck ng 36 na baraha, ang posibilidad ay ipahiwatig bilang 1:36. Mukhang walang dapat tuklasin at mahulaan dito, lalo na sa tulong ng mga mathematical formula. Gayunpaman, kung uulitin mo tiyak na aksyon maraming beses, posibleng matukoy ang isang tiyak na pattern at, sa batayan nito, hulaan ang kinalabasan ng mga kaganapan sa ibang mga kondisyon.

Upang ibuod ang lahat ng nasa itaas, pinag-aaralan ng probability theory sa klasikal na kahulugan ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa mga posibleng kaganapan sa isang numerical na halaga.

Mula sa mga pahina ng kasaysayan

Ang teorya ng posibilidad, mga pormula at mga halimbawa ng mga unang gawain ay lumitaw sa malayong Middle Ages, nang ang mga pagtatangka na hulaan ang kinalabasan ng mga laro ng card ay unang lumitaw.

Sa una, ang probability theory ay walang kinalaman sa matematika. Ito ay nabigyang-katwiran sa pamamagitan ng mga empirical na katotohanan o mga katangian ng isang kaganapan na maaaring kopyahin sa pagsasanay. Ang mga unang gawa sa lugar na ito bilang isang disiplina sa matematika ay lumitaw noong ika-17 siglo. Ang mga tagapagtatag ay sina Blaise Pascal at Pierre Fermat. Matagal na panahon nag-aral sila ng pagsusugal at nakakita ng ilang mga pattern, na nagpasya silang sabihin sa lipunan.

Ang parehong pamamaraan ay naimbento ni Christiaan Huygens, bagaman hindi siya pamilyar sa mga resulta ng pananaliksik nina Pascal at Fermat. Ang konsepto ng "teorya ng posibilidad", mga pormula at mga halimbawa, na itinuturing na una sa kasaysayan ng disiplina, ay ipinakilala niya.

Ang mga gawa ni Jacob Bernoulli, Laplace's at Poisson's theorems ay hindi rin maliit na kahalagahan. Ginawa nila ang teorya ng posibilidad na mas katulad ng isang disiplina sa matematika. Ang teorya ng probabilidad, mga pormula at mga halimbawa ng mga pangunahing gawain ay natanggap ang kanilang kasalukuyang anyo salamat sa mga axiom ni Kolmogorov. Bilang resulta ng lahat ng mga pagbabago, ang teorya ng posibilidad ay naging isa sa mga sangay ng matematika.

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad. Mga kaganapan

Ang pangunahing konsepto ng disiplinang ito ay "kaganapan". Mayroong tatlong uri ng mga kaganapan:

• Maaasahan. Yung mangyayari pa rin (malalaglag ang barya).
• Imposible. Mga kaganapan na hindi mangyayari sa anumang pagkakataon (ang barya ay mananatiling nakabitin sa hangin).
• Random. Yung mangyayari or hindi mangyayari. Maaari silang maimpluwensyahan ng iba't ibang mga kadahilanan na napakahirap hulaan. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang barya, kung gayon ang mga random na kadahilanan na maaaring makaapekto sa resulta: pisikal na katangian mga barya, hugis nito, paunang posisyon, puwersa ng paghagis, atbp.

Ang lahat ng mga kaganapan sa mga halimbawa ay ipinahiwatig sa mga malalaking titik may mga letrang Latin, maliban sa P, na may ibang tungkulin. Halimbawa:

• A = "dumating ang mga mag-aaral upang mag-lecture."
• Ā = "hindi dumating ang mga mag-aaral sa lecture."

Sa mga praktikal na gawain, ang mga kaganapan ay karaniwang isinulat sa mga salita.

Ang isa sa pinakamahalagang katangian ng mga kaganapan ay ang kanilang pantay na posibilidad. Iyon ay, kung maghagis ka ng barya, lahat ng variant ng paunang pagkahulog ay posible hanggang sa ito ay bumagsak. Ngunit ang mga kaganapan ay hindi rin pantay na posible. Nangyayari ito kapag ang isang tao ay sadyang nakakaimpluwensya sa isang resulta. Halimbawa, "may label" Baraha o dice kung saan inililipat ang sentro ng grabidad.

Ang mga kaganapan ay maaari ding magkatugma at hindi magkatugma. Hindi ibinubukod ng mga magkatugmang kaganapan ang paglitaw ng bawat isa. Halimbawa:

• A = "dumating ang estudyante sa lecture."
• B = "dumating ang estudyante sa lecture."

Ang mga kaganapang ito ay independyente sa bawat isa, at ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi nakakaapekto sa paglitaw ng isa pa. Ang mga hindi tugmang kaganapan ay tinutukoy ng katotohanan na ang paglitaw ng isa ay hindi kasama ang paglitaw ng isa pa. Kung pinag-uusapan natin ang parehong barya, kung gayon ang pagkawala ng "mga buntot" ay ginagawang imposible para sa hitsura ng "mga ulo" sa parehong eksperimento.

Mga aksyon sa mga kaganapan

Ang mga kaganapan ay maaaring paramihin at idagdag; ayon dito, ang mga lohikal na pag-uugnay na "AT" at "O" ay ipinakilala sa disiplina.

Ang halaga ay tinutukoy ng katotohanan na ang alinman sa kaganapan A o B, o dalawa, ay maaaring mangyari nang sabay-sabay. Kung hindi magkatugma ang mga ito, imposible ang huling opsyon; ang alinman sa A o B ay i-roll.

Ang pagpaparami ng mga kaganapan ay binubuo sa hitsura ng A at B sa parehong oras.

Ngayon ay maaari tayong magbigay ng ilang mga halimbawa upang mas matandaan ang mga pangunahing kaalaman, teorya ng posibilidad at mga formula. Mga halimbawa ng paglutas ng problema sa ibaba.

Ehersisyo 1: Ang kumpanya ay nakikibahagi sa isang kompetisyon upang makatanggap ng mga kontrata para sa tatlong uri ng trabaho. Mga posibleng kaganapan na maaaring mangyari:

• A = "tatanggap ng kompanya ang unang kontrata."
• A 1 = "hindi matatanggap ng kompanya ang unang kontrata."
• B = "ang kumpanya ay makakatanggap ng pangalawang kontrata."
• B 1 = "ang kumpanya ay hindi makakatanggap ng pangalawang kontrata"
• C = "ang kompanya ay makakatanggap ng ikatlong kontrata."
• C 1 = "ang kompanya ay hindi makakatanggap ng ikatlong kontrata."

Gamit ang mga aksyon sa mga kaganapan, susubukan naming ipahayag ang mga sumusunod na sitwasyon:

• K = "tatanggap ng kumpanya ang lahat ng mga kontrata."

Sa anyong matematikal, ang equation ay magkakaroon ng sumusunod na anyo: K = ABC.

• M = "ang kumpanya ay hindi makakatanggap ng isang kontrata."

M = A 1 B 1 C 1.

Gawin natin ang gawain: H = "ang kumpanya ay makakatanggap ng isang kontrata." Dahil hindi alam kung aling kontrata ang matatanggap ng kumpanya (una, pangalawa o pangatlo), kinakailangang itala ang buong serye ng mga posibleng kaganapan:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

At ang 1 BC 1 ay isang serye ng mga kaganapan kung saan ang kompanya ay hindi tumatanggap ng una at ikatlong kontrata, ngunit natatanggap ang pangalawa. Ang iba pang posibleng mga kaganapan ay naitala gamit ang naaangkop na pamamaraan. Ang simbolong υ sa disiplina ay tumutukoy sa nag-uugnay na "OR". Kung isasalin natin ang halimbawa sa itaas sa wika ng tao, matatanggap ng kumpanya ang alinman sa ikatlong kontrata, o ang pangalawa, o ang una. Sa katulad na paraan, maaari mong isulat ang iba pang mga kondisyon sa disiplina na "Probability Theory". Ang mga pormula at mga halimbawa ng paglutas ng problema na ipinakita sa itaas ay makakatulong sa iyo na gawin ito sa iyong sarili.

Sa totoo lang, ang posibilidad

Marahil, sa disiplinang ito sa matematika, ang posibilidad ng isang kaganapan ay ang pangunahing konsepto. Mayroong 3 kahulugan ng posibilidad:

• klasiko;
• istatistika;
• geometriko.

Ang bawat isa ay may lugar sa pag-aaral ng probabilidad. Ang teorya ng posibilidad, mga formula at mga halimbawa (ika-9 na baitang) ay pangunahing gumagamit ng klasikal na kahulugan, na parang ganito:

• Ang posibilidad ng sitwasyon A ay katumbas ng ratio ng bilang ng mga kinalabasan na pumapabor sa paglitaw nito sa bilang ng lahat ng posibleng resulta.

Ang formula ay ganito ang hitsura: P(A)=m/n.

Ang A ay talagang isang kaganapan. Kung lumitaw ang isang kaso na kabaligtaran ng A, maaari itong isulat bilang Ā o A 1 .

m ay ang bilang ng mga posibleng paborableng kaso.

n - lahat ng pangyayari na maaaring mangyari.

Halimbawa, A = "gumuhit ng card ng heart suit." Mayroong 36 na card sa isang karaniwang deck, 9 sa mga ito ay mga puso. Alinsunod dito, ang formula para sa paglutas ng problema ay magiging ganito:

P(A)=9/36=0.25.

Bilang resulta, ang posibilidad na makuha ang isang card ng heart suit mula sa deck ay 0.25.

Patungo sa mas mataas na matematika

Ngayon ay medyo kilala na kung ano ang probability theory, mga formula at mga halimbawa ng paglutas ng mga problema na makikita sa kurikulum ng paaralan. Gayunpaman, ang teorya ng posibilidad ay matatagpuan din sa mas mataas na matematika, na itinuro sa mga unibersidad. Kadalasan ay gumagana ang mga ito gamit ang geometriko at istatistikal na mga kahulugan ng teorya at mga kumplikadong formula.

Ang teorya ng posibilidad ay lubhang kawili-wili. Mga pormula at halimbawa ( mas mataas na matematika) mas mainam na magsimulang mag-aral ng maliit - na may istatistikal (o dalas) na kahulugan ng posibilidad.

Ang istatistikal na diskarte ay hindi sumasalungat sa klasikal, ngunit bahagyang pinalawak ito. Kung sa unang kaso kinakailangan upang matukoy kung ano ang posibilidad na magaganap ang isang kaganapan, kung gayon sa pamamaraang ito kinakailangan upang ipahiwatig kung gaano kadalas ito mangyayari. Narito ang isang bagong konsepto ng "relative frequency" ay ipinakilala, na maaaring tukuyin ng W n (A). Ang formula ay hindi naiiba mula sa klasiko:

Kung ang klasikal na formula ay kinakalkula para sa hula, ang istatistika ay kinakalkula ayon sa mga resulta ng eksperimento. Kunin natin ang isang maliit na gawain bilang halimbawa.

Sinusuri ng departamento ng teknolohikal na kontrol ang mga produkto para sa kalidad. Sa 100 produkto, 3 ang nakitang hindi maganda ang kalidad. Paano mahahanap ang posibilidad ng dalas ng isang kalidad na produkto?

A = "ang hitsura ng isang de-kalidad na produkto."

W n (A)=97/100=0.97

Kaya, ang dalas ng isang kalidad na produkto ay 0.97. Saan mo nakuha ang 97? Sa 100 produkto na nasuri, 3 ang nakitang hindi maganda ang kalidad. Ibawas namin ang 3 mula sa 100 at makakuha ng 97, ito ang halaga ng mga de-kalidad na kalakal.

Medyo tungkol sa combinatorics

Ang isa pang paraan ng probability theory ay tinatawag na combinatorics. Ang pangunahing prinsipyo nito ay kung ang isang tiyak na pagpipilian A ay maaaring gawin m iba't ibang paraan, at ang pagpili ng B ay nasa n magkakaibang paraan, kung gayon ang pagpili ng A at B ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpaparami.

Halimbawa, mayroong 5 kalsada na humahantong mula sa lungsod A patungo sa lungsod B. Mayroong 4 na landas mula sa lungsod B patungo sa lungsod C. Sa ilang paraan maaari kang makarating mula sa lungsod A hanggang sa lungsod C?

Simple lang: 5x4=20, ibig sabihin, sa dalawampung magkakaibang paraan na makukuha mo mula sa punto A hanggang sa punto C.

Gawin nating kumplikado ang gawain. Ilang paraan ang mayroon para maglatag ng mga card sa solitaire? Mayroong 36 na card sa deck - ito ang panimulang punto. Upang malaman ang bilang ng mga paraan, kailangan mong "ibawas" ang isang card sa isang pagkakataon mula sa panimulang punto at i-multiply.

Iyon ay, 36x35x34x33x32...x2x1= ang resulta ay hindi magkasya sa screen ng calculator, kaya maaari lamang itong italagang 36!. Tanda "!" sa tabi ng numero ay nagpapahiwatig na ang buong serye ng mga numero ay pinarami nang sama-sama.

Sa combinatorics mayroong mga konsepto tulad ng permutation, placement at combination. Ang bawat isa sa kanila ay may sariling formula.

Ang isang nakaayos na set ng mga elemento ng isang set ay tinatawag na arrangement. Ang mga pagkakalagay ay maaaring ulitin, iyon ay, ang isang elemento ay maaaring gamitin nang maraming beses. At nang walang pag-uulit, kapag ang mga elemento ay hindi paulit-ulit. n ay lahat ng mga elemento, m ay mga elemento na lumahok sa paglalagay. Ang formula para sa paglalagay nang walang pag-uulit ay magiging ganito:

A n m =n!/(n-m)!

Ang mga koneksyon ng n elemento na naiiba lamang sa pagkakasunud-sunod ng pagkakalagay ay tinatawag na permutations. Sa matematika parang: P n = n!

Ang mga kumbinasyon ng n elemento ng m ay ang mga compound kung saan mahalaga kung ano ang mga elemento noon at kung ano ang kanilang kabuuang bilang. Magiging ganito ang formula:

A n m =n!/m!(n-m)!

Formula ni Bernoulli

Sa probability theory, tulad ng sa bawat disiplina, may mga gawa ng mga natitirang mananaliksik sa kanilang larangan na nagdala nito sa isang bagong antas. Ang isa sa mga gawang ito ay ang Bernoulli formula, na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang posibilidad ng isang partikular na kaganapan na nagaganap sa ilalim ng mga independiyenteng kondisyon. Iminumungkahi nito na ang paglitaw ng A sa isang eksperimento ay hindi nakasalalay sa paglitaw o hindi paglitaw ng parehong kaganapan sa nauna o kasunod na mga pagsubok.

Ang equation ni Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Ang posibilidad (p) ng paglitaw ng kaganapan (A) ay pare-pareho para sa bawat pagsubok. Ang posibilidad na ang sitwasyon ay magaganap nang eksakto m beses sa n bilang ng mga eksperimento ay kakalkulahin ng formula na ipinakita sa itaas. Alinsunod dito, ang tanong ay lumitaw kung paano malalaman ang numero q.

Kung ang kaganapan A ay nangyari p bilang ng beses, nang naaayon, ito ay maaaring hindi mangyari. Ang unit ay isang numero na ginagamit upang italaga ang lahat ng resulta ng isang sitwasyon sa isang disiplina. Samakatuwid, ang q ay isang numero na nagsasaad ng posibilidad ng isang kaganapan na hindi nagaganap.

Ngayon alam mo na ang formula ni Bernoulli (probability theory). Isasaalang-alang namin ang mga halimbawa ng paglutas ng problema (unang antas) sa ibaba.

Gawain 2: Ang isang bisita sa tindahan ay bibili na may posibilidad na 0.2. 6 na bisita ang malayang pumasok sa tindahan. Ano ang posibilidad na bibili ang isang bisita?

Solusyon: Dahil hindi alam kung gaano karaming mga bisita ang dapat bumili, isa o lahat ng anim, kinakailangang kalkulahin ang lahat ng posibleng probabilidad gamit ang Bernoulli formula.

A = "bibili ang bisita."

Sa kasong ito: p = 0.2 (tulad ng ipinahiwatig sa gawain). Alinsunod dito, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (dahil mayroong 6 na customer sa tindahan). Ang bilang na m ay mag-iiba mula 0 (walang isang customer ang bibili) hanggang 6 (lahat ng bisita sa tindahan ay bibili ng isang bagay). Bilang resulta, nakuha namin ang solusyon:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

Wala sa mga mamimili ang bibili na may posibilidad na 0.2621.

Paano pa ginagamit ang formula (probability theory) ni Bernoulli? Mga halimbawa ng paglutas ng problema (ikalawang antas) sa ibaba.

Pagkatapos ng halimbawa sa itaas, lumitaw ang mga tanong tungkol sa kung saan nagpunta ang C at r. Kaugnay ng p, ang isang numero sa kapangyarihan ng 0 ay magiging katumbas ng isa. Tulad ng para sa C, ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

C n m = n! /m!(n-m)!

Dahil sa unang halimbawa m = 0, ayon sa pagkakabanggit, C = 1, na sa prinsipyo ay hindi nakakaapekto sa resulta. Gamit ang bagong formula, subukan nating alamin kung ano ang posibilidad ng dalawang bisita na bumili ng mga kalakal.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

Ang teorya ng probabilidad ay hindi ganoon kakomplikado. Ang formula ni Bernoulli, ang mga halimbawa nito ay ipinakita sa itaas, ay direktang patunay nito.

Ang formula ni Poisson

Ang equation ng Poisson ay ginagamit upang kalkulahin ang mababang posibilidad na random na mga sitwasyon.

Pangunahing formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Sa kasong ito λ = n x p. Narito ang isang simpleng Poisson formula (probability theory). Isasaalang-alang namin ang mga halimbawa ng paglutas ng problema sa ibaba.

Gawain 3: Ang pabrika ay gumawa ng 100,000 bahagi. Ang paglitaw ng isang may sira na bahagi = 0.0001. Ano ang posibilidad na magkakaroon ng 5 may sira na bahagi sa isang batch?

Tulad ng nakikita mo, ang kasal ay isang hindi malamang na kaganapan, at samakatuwid ang Poisson formula (probability theory) ay ginagamit para sa pagkalkula. Ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema ng ganitong uri ay hindi naiiba sa iba pang mga gawain sa disiplina; pinapalitan namin ang kinakailangang data sa ibinigay na formula:

A = "isang random na napiling bahagi ay may depekto."

p = 0.0001 (ayon sa mga kondisyon ng gawain).

n = 100000 (bilang ng mga bahagi).

m = 5 (mga may sira na bahagi). Pinapalitan namin ang data sa formula at makuha ang:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.

Tulad ng Bernoulli formula (probability theory), mga halimbawa ng mga solusyon na ginagamit na nakasulat sa itaas, ang Poisson equation ay may hindi kilalang e. Sa katunayan, ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Gayunpaman, may mga espesyal na talahanayan na naglalaman ng halos lahat ng mga halaga ng e.

De Moivre-Laplace theorem

Kung sa scheme ng Bernoulli ang bilang ng mga pagsubok ay sapat na malaki, at ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa lahat ng mga scheme ay pareho, kung gayon ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa isang tiyak na bilang ng beses sa isang serye ng mga pagsubok ay matatagpuan sa pamamagitan ng Formula ni Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Para mas matandaan ang formula ni Laplace (probability theory), nasa ibaba ang mga halimbawa ng mga problema upang makatulong.

Una, hanapin natin ang X m, palitan ang data (lahat sila ay nakalista sa itaas) sa formula at makakuha ng 0.025. Gamit ang mga talahanayan, makikita natin ang numerong ϕ(0.025), ang halaga nito ay 0.3988. Ngayon ay maaari mong palitan ang lahat ng data sa formula:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

Kaya, ang posibilidad na gagana ang flyer nang eksaktong 267 beses ay 0.03.

Formula ng Bayes

Ang pormula ng Bayes (teorya ng probabilidad), mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa tulong nito ay ibibigay sa ibaba, ay isang equation na naglalarawan ng posibilidad ng isang kaganapan batay sa mga pangyayari na maaaring nauugnay dito. Ang pangunahing formula ay ang mga sumusunod:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

Ang A at B ay mga tiyak na pangyayari.

Ang P(A|B) ay isang conditional na probabilidad, iyon ay, ang kaganapan A ay maaaring mangyari sa kondisyon na ang kaganapan B ay totoo.

P (B|A) - may kondisyong posibilidad ng kaganapan B.

Kaya, ang huling bahagi ng maikling kurso na "Teorya ng Probability" ay ang formula ng Bayes, mga halimbawa ng mga solusyon sa mga problema na nasa ibaba.

Gawain 5: Dinala sa bodega ang mga telepono mula sa tatlong kumpanya. Kasabay nito, ang bahagi ng mga teleponong ginawa sa unang planta ay 25%, sa pangalawa - 60%, sa pangatlo - 15%. Alam din na ang average na porsyento ng mga may sira na produkto sa unang pabrika ay 2%, sa pangalawa - 4%, at sa pangatlo - 1%. Kailangan mong hanapin ang posibilidad na ang isang random na napiling telepono ay may depekto.

A = "randomly picked phone."

B 1 - ang telepono na ginawa ng unang pabrika. Alinsunod dito, lalabas ang panimulang B 2 at B 3 (para sa pangalawa at pangatlong pabrika).

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - kaya nakita namin ang posibilidad ng bawat opsyon.

Ngayon ay kailangan mong hanapin ang mga kondisyon na probabilidad ng nais na kaganapan, iyon ay, ang posibilidad ng mga may sira na produkto sa mga kumpanya:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

P (A/B 3) = 0.01.

Ngayon ay palitan natin ang data sa formula ng Bayes at makuha ang:

P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.

Ang artikulo ay nagpapakita ng probabilidad na teorya, mga pormula at mga halimbawa ng paglutas ng problema, ngunit ito ay dulo lamang ng malaking bato ng yelo ng isang malawak na disiplina. At pagkatapos ng lahat ng naisulat, magiging lohikal na itanong kung kailangan ba ang teorya ng probabilidad sa buhay. Sa karaniwang tao Mahirap sagutin, mas mabuting magtanong sa taong nakagamit nito para manalo ng jackpot ng higit sa isang beses.

Sa katunayan, ang mga formula (1) at (2) ay isang maikling talaan ng conditional probability batay sa isang contingency table ng mga katangian. Bumalik tayo sa halimbawang tinalakay (Larawan 1). Ipagpalagay na nalaman natin na ang isang pamilya ay nagpaplanong bumili ng isang malawak na screen na telebisyon. Ano ang posibilidad na ang pamilyang ito ay talagang bumili ng naturang TV?

kanin. 1. Pag-uugali sa Pagbili ng Widescreen TV

Sa kasong ito, kailangan nating kalkulahin ang conditional probability P (purchase completed | purchase planned). Dahil alam natin na ang pamilya ay nagpaplanong bumili, ang sample space ay hindi binubuo ng lahat ng 1000 pamilya, ngunit ang mga nagpaplano lamang na bumili ng wide-screen TV. Sa 250 ganoong pamilya, 200 talaga ang bumili ng TV na ito. Samakatuwid, ang posibilidad na ang isang pamilya ay talagang bibili ng isang malawak na screen na TV kung binalak nilang gawin ito ay maaaring kalkulahin gamit ang sumusunod na formula:

P (purchase finished | purchase planned) = bilang ng mga pamilyang nagplano at bumili ng wide-screen TV / bilang ng mga pamilyang nagpaplanong bumili ng wide-screen TV = 200 / 250 = 0.8

Ang formula (2) ay nagbibigay ng parehong resulta:

saan ang kaganapan A ay ang pamilya ay nagpaplanong bumili ng widescreen TV, at ang kaganapan SA- na bibili talaga siya. Ang pagpapalit ng totoong data sa formula, nakukuha namin:

Puno ng desisyon

Sa Fig. Ang 1 pamilya ay nahahati sa apat na kategorya: ang mga nagplanong bumili ng wide-screen TV at ang mga hindi, gayundin ang mga bumili ng naturang TV at ang mga hindi bumili. Ang isang katulad na pag-uuri ay maaaring isagawa gamit ang isang puno ng desisyon (Larawan 2). Ang puno na ipinapakita sa Fig. 2 ay may dalawang sangay na nauugnay sa mga pamilyang nagplanong bumili ng widescreen TV at mga pamilyang hindi bumili. Ang bawat isa sa mga sangay na ito ay nahahati sa dalawang karagdagang sangay na naaayon sa mga sambahayan na bumili at hindi bumili ng isang widescreen na TV. Ang mga probabilidad na nakasulat sa dulo ng dalawang pangunahing sangay ay ang walang kondisyong probabilidad ng mga pangyayari. A At A'. Ang mga probabilidad na nakasulat sa dulo ng apat na karagdagang sangay ay ang conditional probabilities ng bawat kumbinasyon ng mga kaganapan. A At SA. Ang mga probabilidad na may kondisyon ay kinakalkula sa pamamagitan ng paghahati ng magkasanib na posibilidad ng mga kaganapan sa katumbas na walang kondisyong posibilidad ng bawat isa sa kanila.

kanin. 2. Puno ng desisyon

Halimbawa, upang kalkulahin ang posibilidad na ang isang pamilya ay bibili ng isang malawak na screen na telebisyon kung ito ay nagplano na gawin ito, dapat isa matukoy ang posibilidad ng kaganapan. nakaplano at natapos ang pagbili, at pagkatapos ay hatiin ito sa posibilidad ng kaganapan nakaplanong pagbili. Ang paglipat sa puno ng desisyon na ipinapakita sa Fig. 2, nakukuha namin ang sumusunod (katulad ng naunang) sagot:

Pagsasarili sa istatistika

Sa halimbawa ng pagbili ng wide-screen TV, ang posibilidad na ang isang random na napiling pamilya ay bumili ng wide-screen TV dahil binalak nilang gawin ito ay 200/250 = 0.8. Alalahanin na ang walang kondisyong posibilidad na ang isang random na napiling pamilya ay bumili ng isang malawak na screen na TV ay 300/1000 = 0.3. Ito ay humahantong sa isang napakahalagang konklusyon. Ang naunang impormasyon na ang pamilya ay nagpaplano ng pagbili ay nakakaimpluwensya sa posibilidad ng pagbili mismo. Sa madaling salita, ang dalawang kaganapang ito ay nakasalalay sa isa't isa. Sa kaibahan sa halimbawang ito, may mga kaganapang independyente sa istatistika na ang mga probabilidad ay hindi nakasalalay sa isa't isa. Ang pagsasarili sa istatistika ay ipinahayag ng pagkakakilanlan: P(A|B) = P(A), Saan P(A|B)- posibilidad ng kaganapan A sa kondisyon na nangyari ang kaganapan SA, P(A)- walang kondisyong posibilidad ng kaganapan A.

Mangyaring tandaan na ang mga kaganapan A At SA P(A|B) = P(A). Kung sa isang contingency table ng mga katangian na may sukat na 2×2, ang kundisyong ito ay nasiyahan para sa hindi bababa sa isang kumbinasyon ng mga kaganapan A At SA, ito ay magiging wasto para sa anumang iba pang kumbinasyon. Sa ating halimbawang mga pangyayari nakaplanong pagbili At natapos ang pagbili ay hindi independyente sa istatistika dahil ang impormasyon tungkol sa isang kaganapan ay nakakaapekto sa posibilidad ng isa pa.

Tingnan natin ang isang halimbawa na nagpapakita kung paano subukan ang istatistikal na kalayaan ng dalawang kaganapan. Tanungin natin ang 300 pamilya na bumili ng widescreen TV kung nasiyahan sila sa kanilang pagbili (Larawan 3). Tukuyin kung ang antas ng kasiyahan sa pagbili at ang uri ng TV ay nauugnay.

kanin. 3. Data na nagpapakilala sa antas ng kasiyahan ng mga mamimili ng mga widescreen na TV

Sa paghusga sa mga datos na ito,

Sa parehong oras,

P (customer satisfied) = 240 / 300 = 0.80

Samakatuwid, ang posibilidad na ang customer ay nasiyahan sa pagbili at na ang pamilya ay bumili ng HDTV ay pantay, at ang mga kaganapang ito ay independyente sa istatistika dahil hindi sila nauugnay sa isa't isa.

Panuntunan ng pagpaparami ng posibilidad

Ang formula para sa pagkalkula ng kondisyon na posibilidad ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang posibilidad ng isang pinagsamang kaganapan A at B. Nalutas ang formula (1)

may kaugnayan sa magkasanib na posibilidad P(A at B), nakakakuha tayo ng pangkalahatang tuntunin para sa pagpaparami ng mga probabilidad. Probability ng pangyayari A at B katumbas ng posibilidad ng pangyayari A sa kondisyon na nangyari ang kaganapan SA SA:

(3) P(A at B) = P(A|B) * P(B)

Kunin natin bilang halimbawa ang 80 pamilya na bumili ng widescreen na HDTV na telebisyon (Larawan 3). Makikita sa talahanayan na 64 na pamilya ang nasiyahan sa pagbili at 16 ang hindi. Ipagpalagay natin na ang dalawang pamilya ay random na pinili mula sa kanila. Tukuyin ang posibilidad na masisiyahan ang parehong mga customer. Gamit ang formula (3), nakukuha natin ang:

P(A at B) = P(A|B) * P(B)

saan ang kaganapan A ay ang pangalawang pamilya ay nasiyahan sa kanilang pagbili, at ang kaganapan SA- na ang unang pamilya ay nasiyahan sa kanilang pagbili. Ang posibilidad na ang unang pamilya ay nasiyahan sa kanilang pagbili ay 64/80. Gayunpaman, ang posibilidad na ang pangalawang pamilya ay nasisiyahan din sa kanilang pagbili ay nakasalalay sa tugon ng unang pamilya. Kung ang unang pamilya ay hindi bumalik sa sample pagkatapos ng sarbey (pagpili nang walang pagbabalik), ang bilang ng mga respondent ay mababawasan sa 79. Kung ang unang pamilya ay nasiyahan sa kanilang pagbili, ang posibilidad na ang pangalawang pamilya ay masiyahan din ay 63 /79, dahil 63 na lang ang natitira sa mga sample na pamilyang nasiyahan sa kanilang pagbili. Kaya, ang pagpapalit ng tukoy na data sa formula (3), nakuha namin ang sumusunod na sagot:

P(A at B) = (63/79)(64/80) = 0.638.

Samakatuwid, ang posibilidad na ang parehong pamilya ay nasiyahan sa kanilang mga pagbili ay 63.8%.

Ipagpalagay na pagkatapos ng survey ang unang pamilya ay bumalik sa sample. Tukuyin ang posibilidad na ang parehong pamilya ay masisiyahan sa kanilang pagbili. Sa kasong ito, ang posibilidad na ang parehong pamilya ay nasiyahan sa kanilang pagbili ay pareho, katumbas ng 64/80. Samakatuwid, P(A at B) = (64/80)(64/80) = 0.64. Kaya, ang posibilidad na ang parehong pamilya ay nasiyahan sa kanilang mga pagbili ay 64.0%. Ang halimbawang ito ay nagpapakita na ang pagpili ng pangalawang pamilya ay hindi nakasalalay sa pagpili ng una. Kaya, pinapalitan ang conditional probability sa formula (3) P(A|B) probabilidad P(A), nakakakuha tayo ng formula para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan.

Ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan. Kung mga pangyayari A At SA ay independyente sa istatistika, ang posibilidad ng isang kaganapan A at B katumbas ng posibilidad ng pangyayari A, na pinarami ng posibilidad ng kaganapan SA.

(4) P(A at B) = P(A)P(B)

Kung totoo ang panuntunang ito para sa mga kaganapan A At SA, na nangangahulugan na sila ay independyente sa istatistika. Kaya, mayroong dalawang paraan upang matukoy ang istatistikal na kalayaan ng dalawang kaganapan:

1. Mga kaganapan A At SA ay independyente sa istatistika sa isa't isa kung at kung lamang P(A|B) = P(A).
2. Mga kaganapan A At B ay independyente sa istatistika sa isa't isa kung at kung lamang P(A at B) = P(A)P(B).

Kung sa isang 2x2 contingency table, isa sa mga kundisyong ito ay natutugunan para sa kahit isang kumbinasyon ng mga kaganapan A At B, ito ay magiging wasto para sa anumang iba pang kumbinasyon.

Walang kondisyong posibilidad ng isang elementarya na kaganapan

(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)

kung saan ang mga kaganapan B 1, B 2, ... B k ay kapwa eksklusibo at kumpleto.

Ilarawan natin ang aplikasyon ng formula na ito gamit ang halimbawa ng Fig. 1. Gamit ang formula (5), nakukuha natin ang:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

saan P(A)- ang posibilidad na ang pagbili ay binalak, P(B 1)- ang posibilidad na ang pagbili ay ginawa, P(B 2)- ang posibilidad na hindi nakumpleto ang pagbili.

TEOREM ni BAYES

Isinasaalang-alang ng kondisyonal na posibilidad ng isang kaganapan ang impormasyon na may naganap na iba pang kaganapan. Ang pamamaraang ito ay maaaring magamit kapwa upang pinuhin ang posibilidad na isinasaalang-alang ang bagong natanggap na impormasyon, at upang kalkulahin ang posibilidad na ang naobserbahang epekto ay bunga ng ilang tiyak na dahilan. Ang pamamaraan para sa pagpino sa mga probabilidad na ito ay tinatawag na Bayes' theorem. Ito ay unang binuo ni Thomas Bayes noong ika-18 siglo.

Ipagpalagay natin na ang kumpanyang nabanggit sa itaas ay nagsasaliksik sa merkado para sa isang bagong modelo ng TV. Noong nakaraan, 40% ng mga TV na ginawa ng kumpanya ay matagumpay, habang 60% ng mga modelo ay hindi nakilala. Bago ipahayag ang pagpapalabas ng isang bagong modelo, maingat na sinasaliksik ng mga espesyalista sa marketing ang merkado at itinatala ang pangangailangan. Noong nakaraan, 80% ng mga matagumpay na modelo ang hinulaang magiging matagumpay, habang 30% ng matagumpay na mga hula ay naging mali. Ang departamento ng marketing ay nagbigay ng isang kanais-nais na forecast para sa bagong modelo. Ano ang posibilidad na ang isang bagong modelo ng TV ay in demand?

Ang teorama ni Bayes ay maaaring hango sa mga kahulugan ng conditional probability (1) at (2). Upang kalkulahin ang posibilidad na P(B|A), kunin ang formula (2):

at palitan sa halip na P(A at B) ang halaga mula sa formula (3):

P(A at B) = P(A|B) * P(B)

Ang pagpapalit ng formula (5) sa halip na P(A), makuha natin ang teorema ng Bayes:

kung saan ang mga kaganapan B 1, B 2, ... B k ay kapwa eksklusibo at kumpleto.

Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon: kaganapan S - In demand ang TV, kaganapan S’ - Hindi in demand ang TV, kaganapan F - kanais-nais na pagbabala, kaganapan F’ - mahinang pagbabala. Ipagpalagay natin na P(S) = 0.4, P(S’) = 0.6, P(F|S) = 0.8, P(F|S’) = 0.3. Ang paglalapat ng teorama ng Bayes ay nakukuha natin:

Ang posibilidad ng demand para sa isang bagong modelo ng TV, ibinigay kanais-nais na pagbabala katumbas ng 0.64. Kaya, ang posibilidad ng kakulangan ng demand na binigyan ng paborableng pagtataya ay 1–0.64=0.36. Ang proseso ng pagkalkula ay ipinapakita sa Fig. 4.

kanin. 4. (a) Mga kalkulasyon gamit ang formula ng Bayes upang matantya ang posibilidad ng demand para sa mga telebisyon; (b) Decision tree kapag nag-aaral ng demand para sa isang bagong modelo ng TV

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng paglalapat ng teorama ni Bayes para sa mga medikal na diagnostic. Ang posibilidad na ang isang tao ay magdusa mula sa isang partikular na sakit ay 0.03. Maaaring suriin ng medikal na pagsusuri kung ito ay totoo. Kung ang isang tao ay talagang may sakit, ang posibilidad tumpak na diagnosis(pagsasabi na ang isang tao ay may sakit kapag siya ay talagang may sakit) ay 0.9. Kung ang isang tao ay malusog, ang posibilidad ng isang maling positibong pagsusuri (nagsasabi na ang isang tao ay may sakit kapag siya ay malusog) ay 0.02. Sabihin nating nagbigay ang medikal na pagsusuri positibong resulta. Ano ang posibilidad na ang isang tao ay talagang may sakit? Ano ang posibilidad ng isang tumpak na diagnosis?

Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon: kaganapan D - may sakit ang tao, kaganapan D’ - malusog ang tao, kaganapan T - positibo ang diagnosis, kaganapan T’ - negatibo ang diagnosis. Mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na P(D) = 0.03, P(D’) = 0.97, P(T|D) = 0.90, P(T|D’) = 0.02. Sa paglalapat ng formula (6), nakukuha natin ang:

Ang posibilidad na may positibong pagsusuri ang isang tao ay talagang may sakit ay 0.582 (tingnan din ang Fig. 5). Pakitandaan na ang denominator ng formula ng Bayes ay katumbas ng posibilidad ng isang positibong diagnosis, i.e. 0.0464.