Първо ниво

Степен и неговите свойства. Изчерпателно ръководство (2019)

Защо са необходими дипломи? Къде ще ви трябват? Защо трябва да отделите време да ги изучавате?

Да научите всичко за дипломите, за какво служат, как да използвате знанията си в Ежедневиетопрочетете тази статия.

И, разбира се, познаването на степени ще ви доближи до успешно завършване OGE или Единен държавен изпит и прием в университета на вашите мечти.

Да вървим... (Да вървим!)

Важна забележка! Ако видите gobbledygook вместо формули, изчистете кеша. За да направите това, натиснете CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

ПЪРВО НИВО

Степенуването е математическа операция точно като събиране, изваждане, умножение или деление.

Сега ще обясня всичко на човешки език на много прости примери. Бъди внимателен. Примерите са елементарни, но обясняват важни неща.

Да започнем с добавянето.

Тук няма какво да се обяснява. Вече знаете всичко: осем сме. Всеки има по две бутилки кола. Колко кола има? Точно така - 16 бутилки.

Сега умножение.

Същият пример с кола може да бъде написан по различен начин: . Математиците са хитри и мързеливи хора. Те първо забелязват някои модели и след това намират начин да ги „преброят“ по-бързо. В нашия случай те забелязаха, че всеки от осемте души имаше еднакъв брой бутилки кола и измислиха техника, наречена умножение. Съгласете се, счита се за по-лесно и по-бързо от.

Така че, за да броите по-бързо, по-лесно и без грешки, просто трябва да запомните таблица за умножение. Разбира се, можете да правите всичко по-бавно, по-трудно и с грешки! Но…

Ето таблицата за умножение. Повторете.

И още един по-красив:

Какви други умни трикове за броене са измислили мързеливите математици? точно - повишаване на число на степен.

Повдигане на число на степен

Ако трябва да умножите число само по себе си пет пъти, тогава математиците казват, че трябва да повдигнете това число на пета степен. Например, . Математиците помнят, че две на пета степен е... И решават такива проблеми в главите си - по-бързо, по-лесно и безгрешно.

Всичко, което трябва да направите е запомнете какво е маркирано с цвят в таблицата на степените на числата. Повярвайте ми, това ще направи живота ви много по-лесен.

Между другото, защо се нарича втора степен? квадратчисла, а третият - куб? Какво означава? Много Добър въпрос. Сега ще имате както квадрати, така и кубчета.

Пример от реалния живот №1

Нека започнем с квадрата или втората степен на числото.

Представете си квадратен басейн с размери метър на метър. Басейнът е във вашата дача. Горещо е и много искам да плувам. Но... басейнът няма дъно! Трябва да покриете дъното на басейна с плочки. Колко плочки ви трябват? За да определите това, трябва да знаете долната площ на басейна.

Можете просто да изчислите, като посочите с пръст, че дъното на басейна се състои от кубчета метър по метър. Ако имате плочки метър на метър, ще ви трябват парчета. Лесно е... Но къде сте виждали такива плочки? Плочката най-вероятно ще бъде см на см. И тогава ще бъдете измъчвани от „броене с пръст“. След това трябва да умножите. И така, от едната страна на дъното на басейна ще поставим плочки (парчета), а от другата също плочки. Умножете по и ще получите плочки ().

Забелязахте ли, че за да определим площта на дъното на басейна, умножихме едно и също число по себе си? Какво означава? Тъй като умножаваме едно и също число, можем да използваме техниката на „постепенно степенуване“. (Разбира се, когато имате само две числа, все още трябва да ги умножите или да ги повдигнете на степен. Но ако имате много от тях, тогава повишаването им на степен е много по-лесно и също така има по-малко грешки в изчисленията , За Единния държавен изпит това е много важно).
И така, тридесет на втора степен ще бъде (). Или можем да кажем, че тридесет на квадрат ще бъде. С други думи, втората степен на число винаги може да бъде представена като квадрат. И обратното, ако видите квадрат, той ВИНАГИ е втората степен на дадено число. Квадратът е изображение на втората степен на число.

Пример от реалния живот №2

Ето една задача за вас: пребройте колко квадратчета има на шахматната дъска, като използвате квадрата на числото... От едната страна на клетките и от другата също. За да преброите броя им, трябва да умножите осем по осем или... ако забележите това Шахматна дъска- това е квадрат със страна, тогава можеш да поставиш на квадрат осем. Ще получите клетки. () Така?

Пример от реалния живот #3

Сега кубът или третата степен на число. Същият басейн. Но сега трябва да разберете колко вода ще трябва да се излее в този басейн. Трябва да изчислите обема. (Между другото, обемите и течностите се измерват в кубични метри. Неочаквано, нали?) Начертайте басейн: дъно с размери метър и дълбочина метър и се опитайте да преброите колко кубчета с размери метър на метър ще се поберат във вашия басейн.

Просто посочете пръста си и пребройте! Едно, две, три, четири...двадесет и две, двадесет и три...Колко получихте? Не сте изгубени? Трудно ли е да броите с пръст? Така че! Вземете пример от математиците. Те са мързеливи и затова забелязаха, че за да изчислите обема на басейна, трябва да умножите неговата дължина, ширина и височина един по друг. В нашия случай обемът на басейна ще бъде равен на кубчета... По-лесно, нали?

Сега си представете колко мързеливи и хитри са математиците, ако опростят и това. Сведохме всичко до едно действие. Забелязаха, че дължината, ширината и височината са равни и че едно и също число се умножава по себе си... Какво означава това? Това означава, че можете да се възползвате от степента. И така, това, което някога сте преброили с пръста си, те правят с едно действие: три кубчета са равни. Написано е така: .

Всичко, което остава е помнете градусната таблица. Освен ако, разбира се, не сте мързеливи и хитри като математиците. Ако обичате да работите усилено и да правите грешки, можете да продължите да броите с пръст.

Е, за да ви убедим окончателно, че дипломите са измислени от отказали се и хитри хора, за да решават житейските си проблеми, а не да ви създават проблеми, ето още няколко примера от живота.

Пример от реалния живот #4

Имате милион рубли. В началото на всяка година, за всеки милион, който правите, правите още един милион. Тоест всеки милион, който имате, се удвоява в началото на всяка година. Колко пари ще имате след години? Ако сега седите и "броите с пръст", значи сте много трудолюбив човек и... глупав. Но най-вероятно ще дадете отговор след няколко секунди, защото сте умни! И така, първата година - две умножено по две... втората година - какво стана, още две, третата година... Спри! Забелязахте, че числото се умножава по себе си пъти. Значи две на пета степен е милион! Сега си представете, че имате състезание и този, който може да брои най-бързо, ще получи тези милиони... Струва си да си припомним силата на числата, не мислите ли?

Пример от реалния живот #5

Имате милион. В началото на всяка година за всеки милион, който направите, печелите още два. Страхотно нали? Всеки милион се утроява. Колко пари ще имате след една година? Да преброим. Първата година - умножете по, след това резултатът с още един ... Вече е скучно, защото вече сте разбрали всичко: три се умножава по себе си пъти. Така че на четвърта степен е равно на милион. Просто трябва да помниш, че три на четвърта степен е или.

Сега знаете, че като повдигнете число на степен, ще улесните много живота си. Нека да разгледаме по-подробно какво можете да правите със степените и какво трябва да знаете за тях.

Термини и понятия... за да не се бъркаме

Така че, първо, нека дефинираме понятията. Какво мислиш, какво е степенен показател? Много е просто - това е числото, което е "на върха" на степента на числото. Не научно, но ясно и лесно за запомняне...

Е, в същото време какво такава основа за степен? Още по-просто - това е числото, което се намира отдолу, в основата.

Ето една рисунка за добра мярка.

Добре в общ изглед, с цел обобщаване и по-добро запомняне... Степен с основа “ ” и показател “ ” се чете като “на степен” и се записва по следния начин:

Степен на число с естествен показател

Вероятно вече се досещате: защото показателят е естествено число. Да, но какво е естествено число? Елементарно! Естествените числа са онези числа, които се използват при броене при изброяване на предмети: едно, две, три... Когато броим предмети, не казваме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“. Ние също не казваме: „една трета“ или „нула цяло пет“. Това не са естествени числа. Какви числа мислите, че са това?

Числа като „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“ се отнасят за цели числа.Като цяло целите числа включват всички естествени числа, числа, противоположни на естествените числа (т.е. взети със знак минус) и число. Нулата е лесна за разбиране - това е, когато няма нищо. Какво означават отрицателните („минус“) числа? Но те са измислени предимно за посочване на дългове: ако имате баланс на телефона си в рубли, това означава, че дължите на оператора рубли.

Всички фракции са рационални числа. Как са възникнали, според вас? Много просто. Преди няколко хиляди години нашите предци открили, че им липсват естествени числа за измерване на дължина, тегло, площ и т.н. И те измислиха рационални числа... Интересно, нали?

Има и ирационални числа. Какви са тези числа? Накратко безкрайно десетичен знак. Например, ако разделите обиколката на кръг на неговия диаметър, ще получите ирационално число.

Резюме:

Нека дефинираме концепцията за степен, чийто експонент е естествено число (т.е. цяло число и положително).

1. Всяко число на първа степен е равно на себе си:
2. Да повдигнете число на квадрат означава да го умножите по себе си:
3. Да кубирате число означава да го умножите само по себе си три пъти:

Определение.Повишаването на число на естествена степен означава числото да се умножи по себе си пъти:
.

Свойства на степените

Откъде са дошли тези имоти? Сега ще ви покажа.

Да видим: какво е това И ?

A-приори:

Колко множителя има общо?

Много е просто: добавихме множители към факторите и резултатът е множители.

Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест: , което трябваше да се докаже.

Пример: Опростете израза.

Решение:

Пример:Опростете израза.

Решение:Важно е да се отбележи, че в нашето правило Задължителнотрябва да има същите причини!
Следователно ние комбинираме мощностите с основата, но тя остава отделен фактор:

само за произведението на мощностите!

При никакви обстоятелства не можете да пишете това.

2. това е всичко та степен на число

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степен:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си пъти, тоест според дефиницията това е степента на числото:

По същество това може да се нарече „изваждане на индикатора от скоби“. Но никога не можете да направите това напълно:

Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем?

Но това в крайна сметка не е вярно.

Сила с отрицателна основа

До този момент сме обсъждали само какъв трябва да бъде показателят.

Но каква трябва да бъде основата?

В правомощията на естествен показателосновата може да бъде произволен брой. Всъщност можем да умножим всякакви числа едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни.

Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например числото положително или отрицателно ли е? А? ? С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно по друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. Спомняме си простото правило от 6 клас: „минус за минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по, работи.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

успяхте ли

Ето и отговорите: В първите четири примера, надявам се, всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: в крайна сметка няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен.

Е, освен когато основата е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост!

6 примера за практикуване

Анализ на решението 6 примера

Ако пренебрегнем осмата сила, какво виждаме тук? Да си припомним програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите! Получаваме:

Нека погледнем внимателно знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Редът на термините е грешен. Ако бяха обърнати, правилото можеше да се приложи.

Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: четната степен на знаменателя ни помага тук.

По магически начин термините смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем лесно да променим знаците в скобите.

Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

Цялнаричаме естествените числа, противоположните им (т.е. взети със знака " ") и числото.

положително цяло число, и не се различава от естественото, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.

Сега нека да разгледаме новите случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.

Всяко число на нулева степен е равно на едно:

Както винаги, нека се запитаме: защо това е така?

Нека разгледаме някаква степен с основа. Вземете например и умножете по:

И така, умножихме числото по и получихме същото нещо, каквото беше - . По какво число трябва да умножите, за да не се промени нищо? Точно така, на. Средства.

Можем да направим същото с произволно число:

Нека повторим правилото:

Всяко число на нулева степен е равно на едно.

Но има изключения от много правила. И тук също е там - това е число (като основа).

От една страна трябва да е равно на произволна степен - колкото и да умножаваш нулата по себе си, пак ще получиш нула, това е ясно. Но от друга страна, като всяко число на нулева степен, то трябва да е равно. И така, колко от това е вярно? Математиците решиха да не се намесват и отказаха да повдигнат нулата на нулева степен. Тоест сега не можем не само да разделим на нула, но и да го повдигнем на нулева степен.

Да продължим. Освен естествени числа и числа, целите числа включват и отрицателни числа. За да разберем какво е отрицателна степен, нека направим както миналия път: умножете някакво нормално число по същото число на отрицателна степен:

От тук е лесно да изразите това, което търсите:

Сега нека разширим полученото правило до произволна степен:

И така, нека формулираме правило:

Число с отрицателна степен е реципрочната стойност на същото число с положителна степен. Но в същото време Базата не може да бъде нула:(защото не можете да разделите по).

Нека обобщим:

I. Изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

II. Всяко число на нулева степен е равно на едно: .

III. Число, което не е равно на нула на отрицателна степен, е обратното на същото число на положителна степен: .

Задачи за самостоятелно решаване:

Е, както обикновено, примери за независими решения:

Анализ на проблемите за самостоятелно решение:

Знам, знам, цифрите са страшни, но на Единния държавен изпит трябва да сте подготвени за всичко! Решете тези примери или анализирайте техните решения, ако не сте успели да ги решите и ще се научите да се справяте лесно с тях на изпита!

Нека продължим да разширяваме диапазона от числа, „подходящи“ като показател.

Сега нека помислим рационални числа.Кои числа се наричат ​​рационални?

Отговор: всичко, което може да бъде представено като дроб, където и са цели числа и.

За да разбере какво е "дробна степен", разгледайте фракцията:

Нека повдигнем двете страни на уравнението на степен:

Сега нека си припомним правилото за "степен на степен":

Какво число трябва да се повдигне на степен, за да се получи?

Тази формулировка е дефиницията на корена на степен th.

Нека ви напомня: коренът на степен th на число () е число, което, когато е повдигнато на степен, е равно на.

Тоест коренът на та степен е обратната операция на повдигане на степен: .

Оказва се, че. Очевидно това специален случайможе да се разшири: .

Сега добавяме числителя: какво е това? Отговорът е лесен за получаване с помощта на правилото мощност към степен:

Но може ли основата да бъде произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.

Нито един!

Нека си припомним правилото: всяко число, повдигнато на четна степен, е положително число. Тоест, невъзможно е да се извлекат четни корени от отрицателни числа!

Това означава, че такива числа не могат да бъдат повдигнати на дробна степен с четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.

Какво ще кажете за израза?

Но тук възниква проблем.

Числото може да бъде представено под формата на други, редуцируеми дроби, например, или.

И се оказва, че съществува, но не съществува, но това са просто два различни записа на едно и също число.

Или друг пример: веднъж, след това можете да го запишете. Но ако запишем индикатора по различен начин, отново ще имаме проблеми: (тоест получихме съвсем различен резултат!).

За да избегнем подобни парадокси, смятаме само положителен основен показател с дробен показател.

Така че, ако:

• - естествено число;
• - цяло число;

Примери:

Рационалните експоненти са много полезни за трансформиране на изрази с корени, например:

5 примера за практикуване

Анализ на 5 примера за обучение

Е, сега идва най-трудната част. Сега ще го разберем степен с ирационален показател.

Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение

В края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (тоест всички ирационални числа са реални числа, с изключение на рационалните).

Когато изучаваме степени с естествени, цели и рационални показатели, всеки път създаваме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.

Например степен с естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти;

...число на нулева степен- това е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест те все още не са започнали да го умножават, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определено „празно число“ , а именно число;

...цяло отрицателно число- сякаш е настъпил някакъв „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.

Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест показателят дори не е реално число.

Но в училище не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

КЪДЕТО СМЕ СИГУРНИ, ЩЕ ОТИДЕТЕ! (ако се научиш да решаваш такива примери :))

Например:

Решете сами:

Анализ на решенията:

1. Нека започнем с обичайното правило за повишаване на степен на степен:

Сега погледнете индикатора. Той не ти ли напомня за нищо? Нека си припомним формулата за съкратено умножение на разликата на квадратите:

В такъв случай,

Оказва се, че:

Отговор: .

2. Намаляваме дробите в експоненти до една и съща форма: или двата десетични, или двата обикновени. Получаваме например:

Отговор: 16

3. Нищо специално, използваме обичайните свойства на градусите:

НАПРЕДНАЛО НИВО

Определяне на степен

Степента е израз на формата: , където:

• — степен база;
• - експонента.

Степен с натурален показател (n = 1, 2, 3,...)

Повишаването на число на естествена степен n означава умножаване на числото по себе си пъти:

Степен с цяло число (0, ±1, ±2,...)

Ако показателят е положително цяло числономер:

Строителство до нулева степен:

Изразът е неопределен, защото, от една страна, на произволна степен е това, а от друга страна, всяко число на та степен е това.

Ако показателят е отрицателно цяло числономер:

(защото не можете да разделите по).

Още веднъж за нули: изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

Примери:

Степен с рационален показател

• - естествено число;
• - цяло число;

Примери:

Свойства на степените

За да улесним решаването на проблемите, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Нека ги докажем.

Да видим: какво е и?

A-приори:

И така, от дясната страна на този израз получаваме следния продукт:

Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест:

Q.E.D.

Пример : Опростете израза.

Решение : .

Пример : Опростете израза.

Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило Задължителнотрябва да има същите причини. Следователно ние комбинираме мощностите с основата, но тя остава отделен фактор:

Друга важна забележка: това правило - само за произведение на мощности!

При никакви обстоятелства не можете да пишете това.

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степен:

Нека прегрупираме тази работа по следния начин:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си пъти, тоест според дефиницията това е степента на числото:

По същество това може да се нарече „изваждане на индикатора от скоби“. Но никога не можете да направите това напълно: !

Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това в крайна сметка не е вярно.

Сила с отрицателна основа.

До този момент сме обсъждали само какво трябва да бъде индексстепени. Но каква трябва да бъде основата? В правомощията на естествено индикатор основата може да бъде произволен брой .

Всъщност можем да умножим всякакви числа едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни. Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например числото положително или отрицателно ли е? А? ?

С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно по друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. Спомняме си простото правило от 6 клас: „минус за минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по (), получаваме - .

И така до безкрайност: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Можем да формулираме следното прости правила:

1. дористепен, - номер положителен.
2. Отрицателно число, вграден странностепен, - номер отрицателен.
3. Положително число на каквато и да е степен е положително число.
4. Нула на произволна степен е равна на нула.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

успяхте ли Ето и отговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В първите четири примера, надявам се всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: в крайна сметка няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен когато основата е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомним това, става ясно, че и следователно основата по-малко от нула. Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.

И отново използваме определението за степен:

Всичко е както обикновено - записваме определението на степените и ги разделяме един на друг, разделяме ги на двойки и получаваме:

Преди да разгледаме последното правило, нека решим няколко примера.

Пресметнете изразите:

Решения :

Ако пренебрегнем осмата сила, какво виждаме тук? Да си припомним програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите!

Получаваме:

Нека погледнем внимателно знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Редът на термините е грешен. Ако бяха обърнати, би могло да се приложи правило 3. Но как? Оказва се, че е много лесно: четната степен на знаменателя ни помага тук.

Ако го умножите по, нищо не се променя, нали? Но сега се оказва така:

По магически начин термините смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем лесно да променим знаците в скобите. Но е важно да запомните: Всички знаци се променят едновременно!Не можете да го замените, като промените само един недостатък, който не ни харесва!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

И така, последното правило:

Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека разширим концепцията за степен и да я опростим:

Е, сега нека отворим скобите. Колко букви има общо? пъти по множители - на какво ви напомня това? Това не е нищо повече от определение на операция умножение: Там имаше само множители. Тоест, това по дефиниция е степен на число с показател:

Пример:

Степен с ирационален показател

В допълнение към информацията за степените за средно ниво, ще анализираме степента с ирационален показател. Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение - в края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. , ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните числа).

Когато изучаваме степени с естествени, цели и рационални показатели, всеки път създаваме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например степен с естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти; число на нулева степен е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест те все още не са започнали да го умножават, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определен „празно число“, а именно число; степен с цяло число отрицателен експонент - сякаш е настъпил някакъв „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.

Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (точно както е трудно да си представим 4-измерно пространство). Това е по-скоро чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят концепцията за степен към цялото пространство на числата.

Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест показателят дори не е реално число. Но в училище не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

Какво правим, ако видим ирационален показател? Опитваме се да се отървем от него! :)

Например:

Решете сами:

1)

2)

3)

Отговори:

1. Нека си припомним формулата за разликата на квадратите. Отговор: .
2. Привеждаме дробите до една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Получаваме например: .
3. Нищо специално, използваме обичайните свойства на градусите:

ОБОБЩЕНИЕ НА РАЗДЕЛА И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Степеннаречен израз от формата: , където:

Степен с цяло число

степен, чийто показател е естествено число (т.е. цяло число и положително).

Степен с рационален показател

степен, чийто показател е отрицателни и дробни числа.

Степен с ирационален показател

степен, чийто показател е безкрайна десетична дроб или корен.

Свойства на степените

Характеристики на степените.

• Отрицателното число е повишено до дористепен, - номер положителен.
• Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
• Положително число на каквато и да е степен е положително число.
• Нула е равна на всяка степен.
• Всяко число на нулева степен е равно.

СЕГА ИМАТЕ ДУМАТА...

Как ви харесва статията? Напишете по-долу в коментарите дали ви е харесало или не.

Разкажете ни за вашия опит с използването на свойства на степени.

Може би имате въпроси. Или предложения.

Пишете в коментарите.

И успех на изпитите!

Степен с отрицателен показател. Разделение на властите с една и съща основа. 4. Редуцирайте показателите 2a4/5a3 и 2/a4 и ги приведете към общ знаменател. Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Това свойство се простира до степента на произведението на три или повече фактора. Следователно am−an>0 и am>an, което трябваше да бъде доказано. Остава да докажем и последното от изброените свойства на степените с естествен показател.

Моля, обърнете внимание, че свойство № 4, подобно на други свойства на степените, също се прилага в обратен ред. Тоест, за да умножите степени с едни и същи показатели, можете да умножите основите, но да оставите степента непроменена. Изчисляването на стойността на степен се нарича действие на степенуване. Тоест, когато изчислявате стойността на израз, който не съдържа скоби, първо изпълнете действието от третия етап, след това втория (умножение и деление) и накрая първия (събиране и изваждане).

След като степента на числото е определена, е логично да говорим за свойствата на степента. В тази статия ще дадем основните свойства на степента на число, като същевременно ще се докоснем до всички възможни степени. Тук ще предоставим доказателства за всички свойства на степените и ще покажем как тези свойства се използват при решаване на примери. Нека веднага да отбележим, че всички записани равенства са идентични, ако са изпълнени посочените условия, а дясната и лявата им страна могат да се разменят.

Нека дадем пример, потвърждаващ основното свойство на степента. Преди да представим доказателството за това свойство, нека обсъдим значението на допълнителните условия във формулировката. Условието m>n е въведено, за да не излизаме извън естествените степени. Основното свойство на дробта ни позволява да запишем равенството am−n·an=a(m−n)+n=am.

Преход към нова основа

Тоест, свойството естествена степен n на произведение от k фактора се записва като (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. За по-голяма яснота ще покажем това свойство с пример. Доказателството може да се извърши с помощта на предишното свойство. Например за всякакви естествени числа p, q, r и s равенството е вярно. За по-голяма яснота нека дадем пример с конкретни числа: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

Този факт и свойствата на умножението предполагат, че резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа също ще бъде положително число. Съвсем очевидно е, че за всяко положително цяло число n с a=0 степента на an е нула. Наистина, 0n=0·0·…·0=0. Например 03=0 и 0762=0. Нека преминем към отрицателните основи на степен. Нека започнем със случая, когато показателят е четно число, нека го обозначим като 2·m, където m е естествено число.

Нека преминем към доказателството на това свойство. Нека докажем това за m>n и 0. Използвайки същия принцип, можем да докажем всички други свойства на степен с цяло число, записани под формата на равенства. Условията p 0 в този случай ще бъдат съответно еквивалентни на условията m 0. В този случай условието p>q ще съответства на условието m1>m2, което следва от правилото за сравнение обикновени дробис еднакви знаменатели.

Операции с корени. Разширяване на понятието степен. Досега разглеждахме степени само с естествени показатели; но операциите със степени и корени могат също да доведат до отрицателни, нулеви и дробни показатели. Всички тези експоненти изискват допълнително определение. Ако искаме формулата a m: a n=a m - n да е валидна за m = n, имаме нужда от дефиниция на степен нула. Логаритмите, като всички числа, могат да се събират, изваждат и трансформират по всякакъв начин.

Извличане на показателя от логаритъма

Ако причините са различни, тези правила не работят! Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.

Възможно е да се оцени колко са удобни само като се реши логаритмични уравненияи неравенства. Тъй като продуктът не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се справихме с логаритмите. Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа.

Свойства на степени, формулировки, доказателства, примери.

Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само логаритъм. Така се казва: основен логаритмично тъждество. Подобно на формулите за преминаване към нова база, основното логаритмично тъждество понякога е единственото възможно решение. В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма.

Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа със степени

Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а на самата тази основа е равен на едно. 1 = 0 е логаритмична нула. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението. Това са всички имоти. Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Логаритмична единица и логаритмична нула

2.a-4 е a-2 първият числител. В този случай ви съветваме да направите следното. Това е трето етапно действие. Например основното свойство на дробта am·an=am+n често се използва във формата am+n=am·an при опростяване на изрази. Условието a≠0 е необходимо, за да избегнем деленето на нула, тъй като 0n=0 и когато се запознахме с делението, се съгласихме, че не можем да делим на нула. От полученото равенство am−n·an=am и от връзката между умножение и деление следва, че am−n е частното на степените am и an. Това доказва свойството на частните степени с на същото основание.

По същия начин, ако q=0, тогава (ap)0=1 и ap·0=a0=1, откъдето (ap)0=ap·0. В повече сложни примериВъзможно е да има случаи, когато трябва да се извърши умножение и деление върху степени с по различни причиниИ различни показатели. Тези неравенства в свойствата на корените могат да бъдат пренаписани съответно като и. А дефиницията на степен с рационален показател ни позволява да преминем към неравенствата и съответно.

Ако трябва да повдигнете конкретно число на степен, можете да използвате . Сега ще разгледаме по-отблизо свойства на степените.

Експоненциални числаотварят големи възможности, те ни позволяват да трансформираме умножението в събиране, а събирането е много по-лесно от умножението.

Например, трябва да умножим 16 по 64. Продуктът от умножението на тези две числа е 1024. Но 16 е 4x4, а 64 е 4x4x4. Тоест 16 на 64 = 4x4x4x4x4, което също е равно на 1024.

Числото 16 може да се представи и като 2x2x2x2, а 64 като 2x2x2x2x2x2 и ако умножим, отново получаваме 1024.

Сега нека използваме правилото. 16=4 2, или 2 4, 64=4 3, или 2 6, в същото време 1024=6 4 =4 5, или 2 10.

Следователно нашата задача може да бъде написана по различен начин: 4 2 x4 3 =4 5 или 2 4 x2 6 =2 10 и всеки път получаваме 1024.

Можем да решим редица подобни примери и да видим, че умножаването на числа със степени се редуцира до добавяне на експоненти, или експоненциален, разбира се, при условие че основите на факторите са равни.

По този начин, без да извършваме умножение, можем веднага да кажем, че 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Това правило е вярно и при деление на числа със степени, но в този случай показателят на делителя се изважда от показателя на дивидента. Така 2 5:2 3 = 2 2, което в обикновени числа е равно на 32:8 = 4, тоест 2 2. Нека обобщим:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, където m и n са цели числа.

На пръв поглед може да изглежда, че това е така умножение и деление на числа със степенине е много удобно, защото първо трябва да представите числото в експоненциална форма. Не е трудно да представим числата 8 и 16, тоест 2 3 и 2 4, в този вид, но как да направим това с числата 7 и 17? Или какво да правим в случаите, когато едно число може да бъде представено в експоненциална форма, но основите за експоненциални изрази на числа са много различни. Например 8x9 е 2 3 x 3 2, в който случай не можем да сумираме показателите. Нито 2 5, нито 3 5 са ​​отговорът, нито отговорът се намира в интервала между тези две числа.

Тогава струва ли си изобщо да се занимавате с този метод? Определено си заслужава. Той осигурява огромни предимства, особено за сложни и отнемащи време изчисления.

Първо ниво

Степен и неговите свойства. Изчерпателното ръководство (2019)

Защо са необходими дипломи? Къде ще ви трябват? Защо трябва да отделите време да ги изучавате?

За да научите всичко за дипломите, за какво са необходими и как да използвате знанията си в ежедневието, прочетете тази статия.

И, разбира се, познаването на степени ще ви доближи до успешното полагане на Единния държавен изпит или Единния държавен изпит и до влизането в университета на вашите мечти.

Да вървим... (Да вървим!)

Важна забележка! Ако видите gobbledygook вместо формули, изчистете кеша. За да направите това, натиснете CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

ПЪРВО НИВО

Степенуването е математическа операция точно като събиране, изваждане, умножение или деление.

Сега ще обясня всичко на човешки език, използвайки много прости примери. Бъди внимателен. Примерите са елементарни, но обясняват важни неща.

Да започнем с добавянето.

Тук няма какво да се обяснява. Вече знаете всичко: осем сме. Всеки има по две бутилки кола. Колко кола има? Точно така - 16 бутилки.

Сега умножение.

Същият пример с кола може да бъде написан по различен начин: . Математиците са хитри и мързеливи хора. Те първо забелязват някои модели и след това намират начин да ги „преброят“ по-бързо. В нашия случай те забелязаха, че всеки от осемте души имаше еднакъв брой бутилки кола и измислиха техника, наречена умножение. Съгласете се, счита се за по-лесно и по-бързо от.

Така че, за да броите по-бързо, по-лесно и без грешки, просто трябва да запомните таблица за умножение. Разбира се, можете да правите всичко по-бавно, по-трудно и с грешки! Но…

Ето таблицата за умножение. Повторете.

И още един по-красив:

Какви други умни трикове за броене са измислили мързеливите математици? точно - повишаване на число на степен.

Повдигане на число на степен

Ако трябва да умножите число само по себе си пет пъти, тогава математиците казват, че трябва да повдигнете това число на пета степен. Например, . Математиците помнят, че две на пета степен е... И решават такива проблеми в главите си - по-бързо, по-лесно и безгрешно.

Всичко, което трябва да направите е запомнете какво е маркирано с цвят в таблицата на степените на числата. Повярвайте ми, това ще направи живота ви много по-лесен.

Между другото, защо се нарича втора степен? квадратчисла, а третият - куб? Какво означава? Много добър въпрос. Сега ще имате както квадрати, така и кубчета.

Пример от реалния живот №1

Нека започнем с квадрата или втората степен на числото.

Представете си квадратен басейн с размери метър на метър. Басейнът е във вашата дача. Горещо е и много искам да плувам. Но... басейнът няма дъно! Трябва да покриете дъното на басейна с плочки. Колко плочки ви трябват? За да определите това, трябва да знаете долната площ на басейна.

Можете просто да изчислите, като посочите с пръст, че дъното на басейна се състои от кубчета метър по метър. Ако имате плочки метър на метър, ще ви трябват парчета. Лесно е... Но къде сте виждали такива плочки? Плочката най-вероятно ще бъде см на см. И тогава ще бъдете измъчвани от „броене с пръст“. След това трябва да умножите. И така, от едната страна на дъното на басейна ще поставим плочки (парчета), а от другата също плочки. Умножете по и ще получите плочки ().

Забелязахте ли, че за да определим площта на дъното на басейна, умножихме едно и също число по себе си? Какво означава? Тъй като умножаваме едно и също число, можем да използваме техниката на „постепенно степенуване“. (Разбира се, когато имате само две числа, все още трябва да ги умножите или да ги повдигнете на степен. Но ако имате много от тях, тогава повишаването им на степен е много по-лесно и също така има по-малко грешки в изчисленията , За Единния държавен изпит това е много важно).
И така, тридесет на втора степен ще бъде (). Или можем да кажем, че тридесет на квадрат ще бъде. С други думи, втората степен на число винаги може да бъде представена като квадрат. И обратното, ако видите квадрат, той ВИНАГИ е втората степен на дадено число. Квадратът е изображение на втората степен на число.

Пример от реалния живот №2

Ето една задача за вас: пребройте колко квадратчета има на шахматната дъска, като използвате квадрата на числото... От едната страна на клетките и от другата също. За да изчислите техния брой, трябва да умножите осем по осем или... ако забележите, че шахматната дъска е квадрат със страна, тогава можете да квадратирате осем. Ще получите клетки. () Така?

Пример от реалния живот #3

Сега кубът или третата степен на число. Същият басейн. Но сега трябва да разберете колко вода ще трябва да се излее в този басейн. Трябва да изчислите обема. (Между другото, обемите и течностите се измерват в кубични метри. Неочаквано, нали?) Начертайте басейн: дъното е с размери метър и дълбочина и се опитайте да преброите колко кубчета с размери метър на метър ще се поберат във вашия басейн.

Просто посочете пръста си и пребройте! Едно, две, три, четири...двадесет и две, двадесет и три...Колко получихте? Не сте изгубени? Трудно ли е да броите с пръст? Така че! Вземете пример от математиците. Те са мързеливи и затова забелязаха, че за да изчислите обема на басейна, трябва да умножите неговата дължина, ширина и височина един по друг. В нашия случай обемът на басейна ще бъде равен на кубчета... По-лесно, нали?

Сега си представете колко мързеливи и хитри са математиците, ако опростят и това. Сведохме всичко до едно действие. Забелязаха, че дължината, ширината и височината са равни и че едно и също число се умножава по себе си... Какво означава това? Това означава, че можете да се възползвате от степента. И така, това, което някога сте преброили с пръста си, те правят с едно действие: три кубчета са равни. Написано е така: .

Всичко, което остава е помнете градусната таблица. Освен ако, разбира се, не сте мързеливи и хитри като математиците. Ако обичате да работите усилено и да правите грешки, можете да продължите да броите с пръст.

Е, за да ви убедим окончателно, че дипломите са измислени от отказали се и хитри хора, за да решават житейските си проблеми, а не да ви създават проблеми, ето още няколко примера от живота.

Пример от реалния живот #4

Имате милион рубли. В началото на всяка година, за всеки милион, който правите, правите още един милион. Тоест всеки милион, който имате, се удвоява в началото на всяка година. Колко пари ще имате след години? Ако сега седите и "броите с пръст", значи сте много трудолюбив човек и... глупав. Но най-вероятно ще дадете отговор след няколко секунди, защото сте умни! И така, първата година - две умножено по две... втората година - какво стана, още две, третата година... Спри! Забелязахте, че числото се умножава по себе си пъти. Значи две на пета степен е милион! Сега си представете, че имате състезание и този, който може да брои най-бързо, ще получи тези милиони... Струва си да си припомним силата на числата, не мислите ли?

Пример от реалния живот #5

Имате милион. В началото на всяка година за всеки милион, който направите, печелите още два. Страхотно нали? Всеки милион се утроява. Колко пари ще имате след една година? Да преброим. Първата година - умножете по, след това резултатът с още един ... Вече е скучно, защото вече сте разбрали всичко: три се умножава по себе си пъти. Така че на четвърта степен е равно на милион. Просто трябва да помниш, че три на четвърта степен е или.

Сега знаете, че като повдигнете число на степен, ще улесните много живота си. Нека да разгледаме по-подробно какво можете да правите със степените и какво трябва да знаете за тях.

Термини и понятия... за да не се бъркаме

Така че, първо, нека дефинираме понятията. Какво мислиш, какво е степенен показател? Много е просто - това е числото, което е "на върха" на степента на числото. Не научно, но ясно и лесно за запомняне...

Е, в същото време какво такава основа за степен? Още по-просто - това е числото, което се намира отдолу, в основата.

Ето една рисунка за добра мярка.

Ами най-общо казано, за да обобщим и да запомним по-добре... Степен с основа „ “ и показател „ “ се чете като „на степен“ и се записва по следния начин:

Степен на число с естествен показател

Вероятно вече се досещате: защото показателят е естествено число. Да, но какво е естествено число? Елементарно! Естествените числа са онези числа, които се използват при броене при изброяване на предмети: едно, две, три... Когато броим предмети, не казваме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“. Ние също не казваме: „една трета“ или „нула цяло пет“. Това не са естествени числа. Какви числа мислите, че са това?

Числа като „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“ се отнасят за цели числа.Като цяло целите числа включват всички естествени числа, числа, противоположни на естествените числа (т.е. взети със знак минус) и число. Нулата е лесна за разбиране - това е, когато няма нищо. Какво означават отрицателните („минус“) числа? Но те са измислени предимно за посочване на дългове: ако имате баланс на телефона си в рубли, това означава, че дължите на оператора рубли.

Всички дроби са рационални числа. Как са възникнали, според вас? Много просто. Преди няколко хиляди години нашите предци открили, че им липсват естествени числа за измерване на дължина, тегло, площ и т.н. И те измислиха рационални числа... Интересно, нали?

Има и ирационални числа. Какви са тези числа? Накратко, това е безкрайна десетична дроб. Например, ако разделите обиколката на кръг на неговия диаметър, ще получите ирационално число.

Резюме:

Нека дефинираме концепцията за степен, чийто експонент е естествено число (т.е. цяло число и положително).

1. Всяко число на първа степен е равно на себе си:
2. Да повдигнете число на квадрат означава да го умножите по себе си:
3. Да кубирате число означава да го умножите само по себе си три пъти:

Определение.Повишаването на число на естествена степен означава числото да се умножи по себе си пъти:
.

Свойства на степените

Откъде са дошли тези имоти? Сега ще ви покажа.

Да видим: какво е това И ?

A-приори:

Колко множителя има общо?

Много е просто: добавихме множители към факторите и резултатът е множители.

Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест: , което трябваше да се докаже.

Пример: Опростете израза.

Решение:

Пример:Опростете израза.

Решение:Важно е да се отбележи, че в нашето правило Задължителнотрябва да има същите причини!
Следователно ние комбинираме мощностите с основата, но тя остава отделен фактор:

само за произведението на мощностите!

При никакви обстоятелства не можете да пишете това.

2. това е всичко та степен на число

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степен:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си пъти, тоест според дефиницията това е степента на числото:

По същество това може да се нарече „изваждане на индикатора от скоби“. Но никога не можете да направите това напълно:

Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем?

Но това в крайна сметка не е вярно.

Сила с отрицателна основа

До този момент сме обсъждали само какъв трябва да бъде показателят.

Но каква трябва да бъде основата?

В правомощията на естествен показателосновата може да бъде произволен брой. Всъщност можем да умножим всякакви числа едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни.

Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например числото положително или отрицателно ли е? А? ? С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно по друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. Спомняме си простото правило от 6 клас: „минус за минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по, работи.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

успяхте ли

Ето и отговорите: В първите четири примера, надявам се, всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: в крайна сметка няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен.

Е, освен когато основата е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост!

6 примера за практикуване

Анализ на решението 6 примера

Ако пренебрегнем осмата сила, какво виждаме тук? Да си припомним програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите! Получаваме:

Нека погледнем внимателно знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Редът на термините е грешен. Ако бяха обърнати, правилото можеше да се приложи.

Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: четната степен на знаменателя ни помага тук.

По магически начин термините смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем лесно да променим знаците в скобите.

Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

Цялнаричаме естествените числа, противоположните им (т.е. взети със знака " ") и числото.

положително цяло число, и не се различава от естественото, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.

Сега нека да разгледаме новите случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.

Всяко число на нулева степен е равно на едно:

Както винаги, нека се запитаме: защо това е така?

Нека разгледаме някаква степен с основа. Вземете например и умножете по:

И така, умножихме числото по и получихме същото нещо, каквото беше - . По какво число трябва да умножите, за да не се промени нищо? Точно така, на. Средства.

Можем да направим същото с произволно число:

Нека повторим правилото:

Всяко число на нулева степен е равно на едно.

Но има изключения от много правила. И тук също е там - това е число (като основа).

От една страна трябва да е равно на произволна степен - колкото и да умножаваш нулата по себе си, пак ще получиш нула, това е ясно. Но от друга страна, като всяко число на нулева степен, то трябва да е равно. И така, колко от това е вярно? Математиците решиха да не се намесват и отказаха да повдигнат нулата на нулева степен. Тоест сега не можем не само да разделим на нула, но и да го повдигнем на нулева степен.

Да продължим. Освен естествени числа и числа, целите числа включват и отрицателни числа. За да разберем какво е отрицателна степен, нека направим както миналия път: умножете някакво нормално число по същото число на отрицателна степен:

От тук е лесно да изразите това, което търсите:

Сега нека разширим полученото правило до произволна степен:

И така, нека формулираме правило:

Число с отрицателна степен е реципрочната стойност на същото число с положителна степен. Но в същото време Базата не може да бъде нула:(защото не можете да разделите по).

Нека обобщим:

I. Изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

II. Всяко число на нулева степен е равно на едно: .

III. Число, което не е равно на нула на отрицателна степен, е обратното на същото число на положителна степен: .

Задачи за самостоятелно решаване:

Е, както обикновено, примери за независими решения:

Анализ на проблемите за самостоятелно решение:

Знам, знам, цифрите са страшни, но на Единния държавен изпит трябва да сте подготвени за всичко! Решете тези примери или анализирайте техните решения, ако не сте успели да ги решите и ще се научите да се справяте лесно с тях на изпита!

Нека продължим да разширяваме диапазона от числа, „подходящи“ като показател.

Сега нека помислим рационални числа.Кои числа се наричат ​​рационални?

Отговор: всичко, което може да бъде представено като дроб, където и са цели числа и.

За да разбере какво е "дробна степен", разгледайте фракцията:

Нека повдигнем двете страни на уравнението на степен:

Сега нека си припомним правилото за "степен на степен":

Какво число трябва да се повдигне на степен, за да се получи?

Тази формулировка е дефиницията на корена на степен th.

Нека ви напомня: коренът на степен th на число () е число, което, когато е повдигнато на степен, е равно на.

Тоест коренът на та степен е обратната операция на повдигане на степен: .

Оказва се, че. Очевидно този специален случай може да бъде разширен: .

Сега добавяме числителя: какво е това? Отговорът е лесен за получаване с помощта на правилото мощност към степен:

Но може ли основата да бъде произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.

Нито един!

Нека си припомним правилото: всяко число, повдигнато на четна степен, е положително число. Тоест, невъзможно е да се извлекат четни корени от отрицателни числа!

Това означава, че такива числа не могат да бъдат повдигнати на дробна степен с четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.

Какво ще кажете за израза?

Но тук възниква проблем.

Числото може да бъде представено под формата на други, редуцируеми дроби, например, или.

И се оказва, че съществува, но не съществува, но това са просто два различни записа на едно и също число.

Или друг пример: веднъж, след това можете да го запишете. Но ако запишем индикатора по различен начин, отново ще имаме проблеми: (тоест получихме съвсем различен резултат!).

За да избегнем подобни парадокси, смятаме само положителен основен показател с дробен показател.

Така че, ако:

• - естествено число;
• - цяло число;

Примери:

Рационалните експоненти са много полезни за трансформиране на изрази с корени, например:

5 примера за практикуване

Анализ на 5 примера за обучение

Е, сега идва най-трудната част. Сега ще го разберем степен с ирационален показател.

Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение

В края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (тоест всички ирационални числа са реални числа, с изключение на рационалните).

Когато изучаваме степени с естествени, цели и рационални показатели, всеки път създаваме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.

Например степен с естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти;

...число на нулева степен- това е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест те все още не са започнали да го умножават, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определено „празно число“ , а именно число;

...цяло отрицателно число- сякаш е настъпил някакъв „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.

Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест показателят дори не е реално число.

Но в училище не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

КЪДЕТО СМЕ СИГУРНИ, ЩЕ ОТИДЕТЕ! (ако се научиш да решаваш такива примери :))

Например:

Решете сами:

Анализ на решенията:

1. Нека започнем с обичайното правило за повишаване на степен на степен:

Сега погледнете индикатора. Той не ти ли напомня за нищо? Нека си припомним формулата за съкратено умножение на разликата на квадратите:

В такъв случай,

Оказва се, че:

Отговор: .

2. Намаляваме дробите в експоненти до една и съща форма: или двата десетични, или двата обикновени. Получаваме например:

Отговор: 16

3. Нищо специално, използваме обичайните свойства на градусите:

НАПРЕДНАЛО НИВО

Определяне на степен

Степента е израз на формата: , където:

• — степен база;
• - експонента.

Степен с натурален показател (n = 1, 2, 3,...)

Повишаването на число на естествена степен n означава умножаване на числото по себе си пъти:

Степен с цяло число (0, ±1, ±2,...)

Ако показателят е положително цяло числономер:

Строителство до нулева степен:

Изразът е неопределен, защото, от една страна, на произволна степен е това, а от друга страна, всяко число на та степен е това.

Ако показателят е отрицателно цяло числономер:

(защото не можете да разделите по).

Още веднъж за нули: изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

Примери:

Степен с рационален показател

• - естествено число;
• - цяло число;

Примери:

Свойства на степените

За да улесним решаването на проблемите, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Нека ги докажем.

Да видим: какво е и?

A-приори:

И така, от дясната страна на този израз получаваме следния продукт:

Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест:

Q.E.D.

Пример : Опростете израза.

Решение : .

Пример : Опростете израза.

Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило Задължителнотрябва да има същите причини. Следователно ние комбинираме мощностите с основата, но тя остава отделен фактор:

Друга важна забележка: това правило - само за произведение на мощности!

При никакви обстоятелства не можете да пишете това.

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степен:

Нека прегрупираме тази работа по следния начин:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си пъти, тоест според дефиницията това е степента на числото:

По същество това може да се нарече „изваждане на индикатора от скоби“. Но никога не можете да направите това напълно: !

Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това в крайна сметка не е вярно.

Сила с отрицателна основа.

До този момент сме обсъждали само какво трябва да бъде индексстепени. Но каква трябва да бъде основата? В правомощията на естествено индикатор основата може да бъде произволен брой .

Всъщност можем да умножим всякакви числа едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни. Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например числото положително или отрицателно ли е? А? ?

С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно по друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. Спомняме си простото правило от 6 клас: „минус за минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по (), получаваме - .

И така до безкрайност: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Могат да се формулират следните прости правила:

1. дористепен, - номер положителен.
2. Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
3. Положително число на каквато и да е степен е положително число.
4. Нула на произволна степен е равна на нула.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

успяхте ли Ето и отговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В първите четири примера, надявам се всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: в крайна сметка няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен когато основата е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомним това, става ясно, че, което означава, че основата е по-малка от нула. Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.

И отново използваме определението за степен:

Всичко е както обикновено - записваме определението на степените и ги разделяме един на друг, разделяме ги на двойки и получаваме:

Преди да разгледаме последното правило, нека решим няколко примера.

Пресметнете изразите:

Решения :

Ако пренебрегнем осмата сила, какво виждаме тук? Да си припомним програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите!

Получаваме:

Нека погледнем внимателно знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Редът на термините е грешен. Ако бяха обърнати, би могло да се приложи правило 3. Но как? Оказва се, че е много лесно: четната степен на знаменателя ни помага тук.

Ако го умножите по, нищо не се променя, нали? Но сега се оказва така:

По магически начин термините смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем лесно да променим знаците в скобите. Но е важно да запомните: Всички знаци се променят едновременно!Не можете да го замените, като промените само един недостатък, който не ни харесва!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

И така, последното правило:

Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека разширим концепцията за степен и да я опростим:

Е, сега нека отворим скобите. Колко букви има общо? пъти по множители - на какво ви напомня това? Това не е нищо повече от определение на операция умножение: Там имаше само множители. Тоест, това по дефиниция е степен на число с показател:

Пример:

Степен с ирационален показател

В допълнение към информацията за степените за средно ниво, ще анализираме степента с ирационален показател. Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение - в края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. , ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните числа).

Когато изучаваме степени с естествени, цели и рационални показатели, всеки път създаваме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например степен с естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти; число на нулева степен е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест те все още не са започнали да го умножават, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определен „празно число“, а именно число; степен с цяло число отрицателен експонент - сякаш е настъпил някакъв „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.

Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (точно както е трудно да си представим 4-измерно пространство). Това е по-скоро чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят концепцията за степен към цялото пространство на числата.

Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест показателят дори не е реално число. Но в училище не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

Какво правим, ако видим ирационален показател? Опитваме се да се отървем от него! :)

Например:

Решете сами:

1)

2)

3)

Отговори:

1. Нека си припомним формулата за разликата на квадратите. Отговор: .
2. Привеждаме дробите до една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Получаваме например: .
3. Нищо специално, използваме обичайните свойства на градусите:

ОБОБЩЕНИЕ НА РАЗДЕЛА И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Степеннаречен израз от формата: , където:

Степен с цяло число

степен, чийто показател е естествено число (т.е. цяло число и положително).

Степен с рационален показател

степен, чийто показател е отрицателни и дробни числа.

Степен с ирационален показател

степен, чийто показател е безкрайна десетична дроб или корен.

Свойства на степените

Характеристики на степените.

• Отрицателното число е повишено до дористепен, - номер положителен.
• Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
• Положително число на каквато и да е степен е положително число.
• Нула е равна на всяка степен.
• Всяко число на нулева степен е равно.

СЕГА ИМАТЕ ДУМАТА...

Как ви харесва статията? Напишете по-долу в коментарите дали ви е харесало или не.

Разкажете ни за вашия опит с използването на свойства на степени.

Може би имате въпроси. Или предложения.

Пишете в коментарите.

И успех на изпитите!

Понятието степен по математика се въвежда в 7 клас в часа по алгебра. И впоследствие, през целия курс на изучаване на математиката, това понятие се използва активно в различните му форми. Градусите са доста трудна тема, изискваща запомняне на стойности и способност за правилно и бързо броене. За по-бързо и качествена работасъс степени математиците излязоха със свойствата на степените. Те помагат да се намалят големите изчисления, преобразуват до известна степен огромен пример в едно число. Няма толкова много свойства и всички те са лесни за запомняне и прилагане на практика. Ето защо в статията се разглеждат основните свойства на степента, както и къде се прилагат.

Свойства на степен

Ще разгледаме 12 свойства на степени, включително свойства на степени с еднакви основи, и ще дадем пример за всяко свойство. Всяко от тези свойства ще ви помогне да решавате по-бързо проблеми със степените и също така ще ви предпази от множество изчислителни грешки.

1-ви имот.

Много хора много често забравят за това свойство и правят грешки, представяйки число на нулева степен като нула.

2-ри имот.

3-ти имот.

Трябва да се помни, че това свойство може да се използва само при умножаване на числа, то не работи със сума! И не трябва да забравяме, че това и следващите свойства се отнасят само за степени с еднакви бази.

4-ти имот.

Ако знаменателят има число, повишено до отрицателна степен, тогава при изваждане степента на знаменателя се взема в скоби за правилната промяна на знака при по-нататъшни изчисления.

Свойството работи само при деление, не важи при изваждане!

5-ти имот.

6-ти имот.

Това свойство може да се приложи и към обратна страна. Единица, разделена на число до известна степен, е това число на минус степен.

7-ми имот.

Това свойство не може да се приложи към сбор и разлика! Повишаването на сбор или разлика на степен използва формули за съкратено умножение, а не свойства на степен.

8-ми имот.

9-ти имот.

Това свойство работи за всяка дробна степен с числител, равен на едно, формулата ще бъде същата, само силата на корена ще се променя в зависимост от знаменателя на степента.

Това свойство също често се използва в обратна посока. Коренът на всяка степен на число може да бъде представен като това число на степен едно, разделено на степента на корена. Това свойство е много полезно в случаите, когато коренът на число не може да бъде извлечен.

10-ти имот.

Този имот работи не само с корен квадратени втора степен. Ако степента на корена и степента, до която този корен е повдигнат, съвпадат, тогава отговорът ще бъде радикален израз.

11-ти имот.

Трябва да можете да видите това свойство навреме, когато го решавате, за да си спестите огромни изчисления.

12-ти имот.

Всяко от тези свойства ще ви срещне повече от веднъж в задачи; може да бъде дадено чиста формаи може да изисква някои трансформации и прилагане на други формули. Следователно, за да вземете правилното решение, не е достатъчно да знаете само свойствата; трябва да практикувате и да включите други математически знания.

Приложение на степени и техните свойства

Те се използват активно в алгебрата и геометрията. Степените по математика имат отделни, важно място. С тяхна помощ се решават експоненциални уравнения и неравенства, а уравненията и примерите, свързани с други клонове на математиката, често са усложнени със степени. Степените помагат да се избегнат големи и дълги изчисления; степените са по-лесни за съкращаване и изчисляване. Но за работа с големи степени, или със степени големи числа, трябва да знаете не само свойствата на степените, но и да работите компетентно с бази, да можете да ги разлагате, за да улесните задачата си. За удобство трябва да знаете и значението на числата, повдигнати на степен. Това ще намали времето ви при решаване, елиминирайки необходимостта от дълги изчисления.

Концепцията за степен играе специална роля в логаритмите. Тъй като логаритъмът по същество е степен на число.

Формулите за съкратено умножение са друг пример за използване на степени. Свойствата на степените не могат да се използват в тях, те се разширяват по специални правила, но във всяка формула за съкратено умножение неизменно има степени.

Степените се използват активно и във физиката и компютърните науки. Всички преобразувания в системата SI се извършват с помощта на мощности и в бъдеще при решаване на проблеми се използват свойствата на мощността. В компютърните науки правомощията на две се използват активно за удобство на броенето и опростяване на възприемането на числата. Допълнителни изчисления за преобразуване на мерни единици или изчисления на проблеми, точно както във физиката, се извършват с помощта на свойствата на градусите.

Градусите също са много полезни в астрономията, където рядко виждате използването на свойствата на градусите, но самите градуси се използват активно за съкращаване на обозначенията на различни количества и разстояния.

Градусите се използват и в ежедневието, когато се изчисляват площи, обеми и разстояния.

Степените се използват за записване на много големи и много малки количества във всяка област на науката.

Показателни уравнения и неравенства

Свойствата на степените заемат особено място именно в експоненциални уравненияи неравенства. Тези задачи са много често срещани, както в училищните курсове, така и на изпитите. Всички те се решават чрез прилагане на свойствата на степента. Неизвестното винаги се намира в самата степен, така че знаейки всички свойства, решаването на такова уравнение или неравенство не е трудно.