vidējā vērtība- tas ir vispārīgs rādītājs, kas raksturo kvalitatīvi viendabīgu populāciju pēc noteiktas kvantitatīvās pazīmes. Piemēram, par zādzībām notiesāto personu vidējais vecums.

Tiesu statistikā vidējās vērtības izmanto, lai raksturotu:

Vidējais šīs kategorijas lietu izskatīšanas laiks;

Vidējais prasības lielums;

Vidējais apsūdzēto skaits vienā lietā;

Vidējais bojājums;

Tiesnešu vidējā slodze utt.

Vidējais vienmēr ir nosaukta vērtība, un tai ir tāda pati dimensija kā atsevišķas populācijas vienības raksturlielumam. Katra vidējā vērtība raksturo pētāmo populāciju pēc kādas vienas mainīgas pazīmes, tāpēc aiz katras vidējās vērtības slēpjas šīs populācijas vienību sadalījuma virkne atbilstoši pētāmajai pazīmei. Vidējās vērtības veida izvēli nosaka rādītāja saturs un vidējās vērtības aprēķināšanas sākotnējie dati.

Visi veidi vidējās vērtības, ko izmanto statistikas pētījumos, iedala divās kategorijās:

1) jaudas vidējie rādītāji;

2) vidējie strukturālie rādītāji.

Pirmajā vidējo rādītāju kategorijā ietilpst: vidējais aritmētiskais, vidējais harmoniskais, ģeometriskais vidējais Un vidējais kvadrāts . Otrā kategorija ir mode Un mediāna. Turklāt katram no uzskaitītajiem vidējo jaudas veidu veidiem var būt divas formas: vienkārši Un svērtais . Vienkārša forma Vidējo vērtību izmanto, lai iegūtu pētāmā raksturlieluma vidējo vērtību, ja aprēķins tiek veikts, izmantojot negrupētus statistikas datus vai kad katra opcija apkopojumā ir sastopama tikai vienu reizi. Vidējie svērtie ir vērtības, kas ņem vērā, ka atribūtu vērtību variantiem var būt dažādi skaitļi, un tāpēc katrs variants ir jāreizina ar atbilstošo biežumu. Citiem vārdiem sakot, katra opcija ir “svērta” pēc tās biežuma. Biežumu sauc par statistisko svaru.

Vienkāršs vidējais aritmētiskais- visizplatītākais vidējā rādītāja veids. Tas ir vienāds ar atribūta individuālo vērtību summu, kas dalīta ar šo vērtību kopējo skaitu:

Kur x 1 , x 2 , … , x N ir mainīgā raksturlieluma (variantu) individuālās vērtības, un N ir vienību skaits populācijā.

Vidējais aritmētiskais svērtais izmanto gadījumos, kad dati tiek sniegti sadalījuma sēriju vai grupu veidā. To aprēķina kā opciju un to atbilstošo frekvenču reizinājumu summu, kas dalīta ar visu opciju biežumu summu:

Kur x i- nozīme i raksturlieluma varianti; f i- biežums i iespējas.

Tādējādi katra varianta vērtība tiek svērta pēc tā biežuma, tāpēc frekvences dažreiz sauc par statistisko svaru.

komentēt. Kad mēs runājam par par vidējo aritmētisko, nenorādot tā veidu, vidējais aritmētiskais ir vienkāršs.

12. tabula.

Risinājums. Lai aprēķinātu, mēs izmantojam vidējo svērto aritmētisko formulu:

Tādējādi vienā krimināllietā vidēji ir divi apsūdzētie.

Ja vidējās vērtības aprēķins tiek veikts, izmantojot datus, kas sagrupēti intervālu sadalījuma sēriju veidā, tad vispirms ir jānosaka katra intervāla x"i vidējās vērtības un pēc tam jāaprēķina vidējā vērtība, izmantojot vidējo svērto aritmētisko. formula, kurā xi vietā ir aizstāts x"i.

Piemērs. Dati par zādzību notiesāto noziedznieku vecumu sniegti tabulā:

13. tabula.

Nosakiet par zādzībām notiesāto noziedznieku vidējo vecumu.

Risinājums. Lai noteiktu noziedznieku vidējo vecumu, pamatojoties uz intervālu variāciju sēriju, vispirms ir jāatrod intervālu vidējās vērtības. Tā kā mums ir dota intervālu sērija ar vispirms atveriet un pēdējie intervāli, tad šo intervālu vērtības tiek pieņemtas vienādas ar blakus esošo slēgto intervālu vērtībām. Mūsu gadījumā pirmā un pēdējā intervāla vērtības ir vienādas ar 10.

Tagad mēs atrodam noziedznieku vidējo vecumu, izmantojot vidējo svērto aritmētisko formulu:

Tādējādi par zādzībām notiesāto noziedznieku vidējais vecums ir aptuveni 27 gadi.

Vidēji harmoniska vienkārša ir raksturlieluma apgriezto vērtību vidējā aritmētiskā apgrieztā vērtība:

kur 1/ x i ir opciju apgrieztās vērtības, un N ir vienību skaits populācijā.

Piemērs. Lai noteiktu vidējo gada slodzi rajona tiesas tiesnešiem, izskatot krimināllietas, tika veikts 5 šīs tiesas tiesnešu noslodzes pētījums. Vidējais vienas krimināllietas izskatīšanas laiks katram no aptaujātajiem tiesnešiem izrādījās vienāds (dienās): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Atrodiet vidējās izmaksas par vienu krimināllieta un attiecīgās rajona tiesas tiesnešu gada vidējā darba slodze, izskatot krimināllietas.

Risinājums. Lai noteiktu vidējo vienā krimināllietā pavadīto laiku, mēs izmantojam harmonisko vidējo formulu:

Lai vienkāršotu aprēķinus, piemērā dienu skaitu gadā ņemam uz 365, ieskaitot nedēļas nogales (tas neietekmē aprēķina metodiku, un, aprēķinot līdzīgu rādītāju praksē, ir nepieciešams aizstāt darba dienu skaitu dienas konkrētā gadā, nevis 365 dienas). Tad attiecīgās rajona tiesas tiesnešu vidējā gada slodze, izskatot krimināllietas, būs: 365 (dienas) : 5,56 ≈ 65,6 (lietas).

Ja mēs izmantotu vienkāršo aritmētisko vidējo formulu, lai noteiktu vidēji vienā krimināllietā pavadīto laiku, mēs iegūtu:

365 (dienas): 5,64 ≈ 64,7 (gadījumi), t.i. vidējā tiesnešu slodze izrādījās mazāka.

Pārbaudīsim šīs pieejas pamatotību. Lai to izdarītu, izmantosim datus par vienas krimināllietas izskatīšanai patērēto laiku katram tiesnesim un aprēķināsim katra izskatīto krimināllietu skaitu gadā.

Mēs saņemam attiecīgi:

365 (dienas): 6 ≈ 61 (gadījumi), 365 (dienas): 5,6 ≈ 65,2 (gadījumi), 365 (dienas): 6,3 ≈ 58 (gadījumi),

365 (dienas): 4,9 ≈ 74,5 (gadījumi), 365 (dienas): 5,4 ≈ 68 (gadījumi).

Tagad aprēķināsim attiecīgās rajona tiesas tiesnešu vidējo gada slodzi, izskatot krimināllietas:

Tie. vidējā gada slodze ir tāda pati kā tad, ja izmanto harmonisko vidējo.

Tādējādi vidējā aritmētiskā lieluma izmantošana šajā gadījumā ir prettiesiska.

Gadījumos, kad ir zināmi raksturlieluma varianti un to tilpuma vērtības (variantu un frekvences reizinājums), bet pašas frekvences nav zināmas, tiek izmantota vidējā svērtā harmoniskā formula:

,

Kur x i ir atribūtu opciju vērtības, un w i ir opciju tilpuma vērtības ( w i = x i f i).

Piemērs. Dati par dažādu sodu sistēmas institūciju ražotās viena veida preces vienības cenu un realizācijas apjomu sniegti 14. tabulā.

14. tabula

Atrodiet produkta vidējo pārdošanas cenu.

Risinājums. Aprēķinot vidējo cenu, mums jāizmanto pārdošanas apjoma attiecība pret pārdoto vienību skaitu. Mēs nezinām pārdoto vienību skaitu, bet zinām preču pārdošanas apjomu. Tāpēc, lai atrastu pārdoto preču vidējo cenu, mēs izmantosim svērto harmonisko vidējo formulu. Mēs saņemam

Ja šeit izmantojat vidējo aritmētisko formulu, jūs varat iegūt vidējo cenu, kas būs nereāla:

Ģeometriskais vidējais tiek aprēķināts, izvelkot N pakāpes sakni no visu atribūtu variantu vērtību reizinājuma:

,

Kur x 1 , x 2 , … , x N- mainīgo raksturlielumu (variantu) individuālās vērtības un

N- vienību skaits populācijā.

Šo vidējo rādītāju veidu izmanto, lai aprēķinātu laika rindu vidējos pieauguma tempus.

Vidējais kvadrāts izmanto, lai aprēķinātu vidējo kvadrātveida novirze, kas ir izmaiņu rādītājs, un tas tiks apspriests turpmāk.

Iedzīvotāju struktūras noteikšanai tiek izmantoti īpaši vidējie rādītāji, kas ietver mediāna Un mode jeb tā sauktie strukturālie vidējie rādītāji. Ja vidējo aritmētisko aprēķina, pamatojoties uz visu atribūtu vērtību variantu izmantošanu, tad mediāna un režīms raksturo tā varianta vērtību, kas ieņem noteiktu vidējo pozīciju ranžētajā (sakārtotajā) sērijā. Statistiskās populācijas vienības var sakārtot pētāmā raksturlieluma variantu augošā vai dilstošā secībā.

Mediāna (es)- šī ir vērtība, kas atbilst opcijai, kas atrodas ranžētās sērijas vidū. Tādējādi mediāna ir tā ranga sērijas versija, kuras abās pusēs šajā sērijā vajadzētu būt vienāds skaitlis iedzīvotāju vienības.

Lai atrastu mediānu, vispirms tā ir jānosaka sērijas numurs sarindotā sērijā pēc formulas:

kur N ir sērijas apjoms (vienību skaits populācijā).

Ja sērija sastāv no nepāra vienumu skaita, tad mediāna ir vienāda ar opciju ar skaitli N Me. Ja sērija sastāv no pāra skaita terminu, tad mediāna tiek definēta kā divu blakus esošu opciju vidējais aritmētiskais, kas atrodas vidū.

Piemērs. Dota ranžēta sērija 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Sērijas apjoms ir N = 9, kas nozīmē N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Tāpēc Me = 6, t.i. piektais variants. Ja rindai ir dots 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, t.i. sērija ar pāra vienumu skaitu (N = 8), tad N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Tas nozīmē, ka mediāna ir vienāda ar pusi no ceturtās un piektās iespējas summas, t.i. Es = (9 + 11) / 2 = 10.

Diskrētā variāciju sērijā mediānu nosaka uzkrātās frekvences. Opcijas frekvences, sākot no pirmās, tiek summētas, līdz tiek pārsniegts mediānas skaitlis. Pēdējo summēto opciju vērtība būs mediāna.

Piemērs. Atrodiet vidējo apsūdzēto skaitu vienā krimināllietā, izmantojot 12. tabulas datus.

Risinājums.Šajā gadījumā variāciju rindas apjoms ir N = 154, tāpēc N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Apkopojot pirmās un otrās opcijas frekvences, mēs iegūstam: 75 + 43 = 118, t.i. esam pārsnieguši vidējo skaitli. Tātad es = 2.

Intervālu variāciju sērijā sadalījums vispirms norāda intervālu, kurā atradīsies mediāna. Viņu sauc mediāna . Šis ir pirmais intervāls, kura uzkrātā frekvence pārsniedz pusi no intervāla variāciju sērijas apjoma. Tad skaitliskā vērtība Mediānu nosaka pēc formulas:

Kur x Es- vidējā intervāla apakšējā robeža; i ir vidējā intervāla vērtība; S Me-1- uzkrātais intervāla biežums, kas ir pirms mediānas; f Es- vidējā intervāla biežums.

Piemērs. Pamatojoties uz 13. tabulā sniegto statistiku, atrodiet par zādzībām notiesāto likumpārkāpēju vidējo vecumu.

Risinājums. Statistikas dati tiek parādīti ar intervālu variāciju sēriju, kas nozīmē, ka vispirms mēs nosakām vidējo intervālu. Populācijas apjoms ir N = 162, tāpēc vidējais intervāls ir intervāls 18-28, jo šis ir pirmais intervāls, kura uzkrātā frekvence (15 + 90 = 105) pārsniedz pusi no intervāla variāciju sērijas tilpuma (162: 2 = 81). Tagad mēs nosakām mediānas skaitlisko vērtību, izmantojot iepriekš minēto formulu:

Tādējādi puse no par zādzībām notiesātajiem ir jaunāki par 25 gadiem.

Mode (Mo) Viņi sauc par raksturlieluma vērtību, kas visbiežāk sastopama iedzīvotāju vienībās. Mode tiek izmantota, lai noteiktu visplašāk izplatītās īpašības vērtību. Diskrētām sērijām režīms būs opcija ar visaugstāko frekvenci. Piemēram, diskrētajām sērijām, kas parādītas 3. tabulā Mo= 1, jo šī vērtība atbilst augstākajai frekvencei - 75. Lai noteiktu intervālu sērijas režīmu, vispirms nosaka modāls intervāls (intervāls ar visaugstāko frekvenci). Pēc tam šajā intervālā tiek atrasta objekta vērtība, kas var būt režīms.

Tās vērtību nosaka, izmantojot formulu:

Kur x Mo- modālā intervāla apakšējā robeža; i ir modālā intervāla vērtība; f Mo- modālā intervāla biežums; f Mo-1- intervāla biežums pirms modālā; f Mo+1- intervāla biežums pēc modālā.

Piemērs. Atrodiet par zādzībām notiesāto noziedznieku vecumu, dati par kuriem sniegti 13. tabulā.

Risinājums. Augstākā frekvence atbilst intervālam 18-28, tāpēc režīmam jābūt šajā intervālā. Tās vērtību nosaka pēc iepriekš minētās formulas:

Tādējādi lielākais skaitlis par zādzībām notiesātie likumpārkāpēji ir 24 gadus veci.

Vidējā vērtība sniedz vispārīgu raksturlielumu pētāmās parādības kopumam. Tomēr divas populācijas, kurām ir vienādas vidējās vērtības, var būtiski atšķirties viena no otras pētāmā raksturlieluma vērtības svārstību (variācijas) pakāpē. Piemēram, vienā tiesā viņi iecēla sekojošos datumos brīvības atņemšana: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 gadi, bet citā - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 gadi. Abos gadījumos vidējais aritmētiskais ir 6,7 gadi. Tomēr šīs populācijas būtiski atšķiras viena no otras noteiktā ieslodzījuma termiņa individuālo vērtību izplatībā attiecībā pret vidējo vērtību.

Un pirmajai tiesai, kur šī izkliede ir diezgan liela, vidējais ieslodzījuma termiņš neatspoguļo visus iedzīvotājus. Tādējādi, ja raksturlieluma individuālās vērtības maz atšķiras viena no otras, tad vidējais aritmētiskais būs diezgan indikatīvs konkrētās populācijas īpašību raksturlielums. Pretējā gadījumā vidējais aritmētiskais būs neuzticams šīs populācijas raksturlielums un tā izmantošana praksē būs neefektīva. Tāpēc ir jāņem vērā pētāmā raksturlieluma vērtību atšķirības.

Variācija- tās ir jebkura raksturlieluma vērtību atšķirības starp dažādām konkrētās populācijas vienībām vienā un tajā pašā laika posmā vai brīdī. Terminam “variācija” ir latīņu izcelsme – variatio, kas nozīmē atšķirības, pārmaiņas, svārstības. Tas rodas tādēļ, ka individuālās īpašības vērtības veidojas dažādu faktoru (nosacījumu) kombinētā ietekmē, kas katrā atsevišķā gadījumā tiek kombinēti atšķirīgi. Dažādas absolūtās un relatīvie rādītāji.

Galvenie izmaiņu rādītāji ir šādi:

1) variāciju apjoms;

2) vidējā lineārā novirze;

3) dispersija;

4) standartnovirze;

5) variācijas koeficients.

Īsi apskatīsim katru no tiem.

Variāciju diapazons R ir vispieejamākais absolūtais rādītājs aprēķinu vienkāršības ziņā, ko definē kā starpību starp lielākās un mazākās raksturlieluma vērtības konkrētas populācijas vienībām:

Izmaiņu diapazons (svārstību diapazons) - svarīgs rādītājs zīmes mainīgums, bet tas ļauj saskatīt tikai ekstremālas novirzes, kas ierobežo tās pielietojuma apjomu. Lai precīzāk raksturotu pazīmes variāciju, pamatojoties uz tās mainīgumu, tiek izmantoti citi rādītāji.

Vidējā lineārā novirze apzīmē vidējo aritmētisko absolūtās vērtības raksturlieluma individuālo vērtību novirzes no vidējā un tiek noteiktas pēc formulām:

1) Priekš negrupēti dati

2) Priekš variāciju sērija

Tomēr visplašāk izmantotais variācijas mērs ir dispersija . Tas raksturo pētāmā raksturlieluma vērtību izkliedes mēru attiecībā pret tā vidējo vērtību. Izkliedi definē kā noviržu vidējo vērtību kvadrātā.

Vienkārša dispersija negrupētiem datiem:

.

Svērtā dispersija variāciju sērijai:

komentēt. Praksē dispersijas aprēķināšanai labāk izmantot šādas formulas:

Vienkāršai dispersijai

.

Svērtajai dispersijai

Standarta novirze ir dispersijas kvadrātsakne:

Standarta novirze ir vidējā ticamības mērs. Jo mazāka ir standartnovirze, jo viendabīgāka populācija un jo labāk vidējais aritmētiskais atspoguļo visu populāciju.

Iepriekš apspriestie izkliedes pasākumi (variācijas diapazons, dispersija, standarta novirze) ir absolūtos skaitļos, pēc kura ne vienmēr ir iespējams spriest par raksturlieluma mainīguma pakāpi. Dažās problēmās ir nepieciešams izmantot relatīvās izkliedes indeksus, no kuriem viens ir variācijas koeficients.

Variācijas koeficients- standarta novirzes attiecība pret vidējo aritmētisko, izteikta procentos:

Variācijas koeficients tiek izmantots ne tikai salīdzinošs novērtējums dažādu pazīmju variācijas vai viena un tā pati īpašība dažādās populācijās, bet arī lai raksturotu populācijas viendabīgumu. Statistisko kopu uzskata par kvantitatīvi viendabīgu, ja variācijas koeficients nepārsniedz 33% (sadalumiem, kas ir tuvu normālajam sadalījumam).

Piemērs. Par 50 notiesātajiem, kas nogādāti tiesas piespriestā soda izciešanai sodu sistēmas audzināšanas iestādē, ir pieejami šādi dati: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Izveidojiet sadalījumu sēriju pēc ieslodzījuma termiņiem.

2. Atrast vidējo, dispersiju un standartnovirzi.

3. Aprēķināt variācijas koeficientu un izdarīt secinājumu par pētāmās populācijas viendabīgumu vai neviendabīgumu.

Risinājums. Lai izveidotu diskrētu sadalījuma sēriju, ir jānosaka opcijas un frekvences. Šīs problēmas risinājums ir ieslodzījuma termiņš, un biežums ir individuālo iespēju skaits. Aprēķinot frekvences, mēs iegūstam šādas diskrētas sadalījuma sērijas:

Atradīsim vidējo un dispersiju. Tā kā statistikas datus attēlo diskrētas variāciju rindas, to aprēķināšanai izmantosim svērtā vidējā aritmētiskā un dispersijas formulas. Mēs iegūstam:

= = 4,1;

= 5,21.

Tagad mēs aprēķinām standarta novirzi:

Variācijas koeficienta atrašana:

Līdz ar to statistiskā populācija ir kvantitatīvi neviendabīga.

Tagad parunāsim par kā aprēķināt vidējo.
Savā klasiskajā formā vispārējā statistikas teorija mums piedāvā vienu vidējās vērtības izvēles noteikumu versiju.
Pirmkārt, jums ir jāizveido pareizā loģiskā formula vidējās vērtības (AFV) aprēķināšanai. Katrai vidējai vērtībai vienmēr ir tikai viena loģiskā formula tās aprēķināšanai, tāpēc šeit ir grūti kļūdīties. Bet mums vienmēr jāatceras, ka skaitītājā (tas ir daļdaļas augšpusē) visu parādību summa un saucējā (tas ir daļskaitļa apakšā) Kopā elementi.

Pēc loģiskās formulas sastādīšanas varat izmantot noteikumus (lai būtu vieglāk saprotami, mēs tos vienkāršosim un saīsināsim):
1. Ja avota datos (noteikti pēc biežuma) ir loģiskās formulas saucējs, tad aprēķinu veic, izmantojot svērto aritmētisko vidējo formulu.
2. Ja avota datos ir uzrādīts loģiskās formulas skaitītājs, tad aprēķins tiek veikts, izmantojot vidējo svērto harmonisko formulu.
3. Ja uzdevumā ir norādīts gan loģiskās formulas skaitītājs, gan saucējs (tas notiek reti), tad aprēķinu veicam, izmantojot šo formulu vai vienkāršo aritmētisko vidējo formulu.
Šī ir klasiskā ideja par pareizās formulas izvēli vidējā aprēķināšanai. Tālāk mēs piedāvājam darbību secību, risinot problēmas vidējās vērtības aprēķināšanai.

Vidējās vērtības aprēķināšanas uzdevumu risināšanas algoritms

A. Nosakiet vidējās vērtības aprēķināšanas metodi - vienkāršs vai svērts . Ja datus uzrāda tabulā, tad izmantojam svērto metodi, ja datus uzrāda ar vienkāršu uzskaitījumu, tad izmantojam vienkāršu aprēķina metodi.

B. Noteikt vai sakārtot simboliem – x - iespēja, f - biežums . Iespēja ir tāda, kurai parādībai vēlaties atrast vidējo vērtību. Atlikušie dati tabulā būs biežums.

B. Mēs nosakām vidējās vērtības aprēķināšanas formu - aritmētisko vai harmonisko . Noteikšanu veic, izmantojot frekvences kolonnu. Aritmētiskā forma tiek izmantota, ja frekvences ir norādītas ar izteiktu lielumu (nosacīti var aizstāt vārdu gabalus, elementu skaitu "gabali"). Harmonisko formu izmanto, ja frekvences norāda nevis ar izteiktu lielumu, bet gan ar kompleksu rādītāju (vidējā daudzuma un frekvences reizinājums).

Visgrūtāk ir uzminēt, kur un kāds daudzums tiek dots, īpaši studentam, kuram nav pieredzes šādos jautājumos. Šādā situācijā varat izmantot kādu no tālāk norādītajām metodēm. Dažiem (ekonomiskiem) uzdevumiem ir piemērots apliecinājums, kas izstrādāts ilgā praksē (B.1. punkts). Citās situācijās jums būs jāizmanto punkts B.2.

B.1 Ja frekvence ir norādīta naudas vienībās (rubļos), tad aprēķinam tiek izmantots harmoniskais vidējais, šis apgalvojums vienmēr ir patiess, ja identificētā frekvence ir norādīta naudā, citās situācijās šis noteikums nav spēkā.

B.2 Izmantojiet šajā rakstā iepriekš norādītās vidējās vērtības izvēles noteikumus. Ja biežumu dod vidējās vērtības aprēķina loģiskās formulas saucējs, tad aprēķinām, izmantojot vidējo aritmētisko formu; ja biežumu dod vidējās vērtības aprēķina loģiskās formulas skaitītājs, tad aprēķinām, izmantojot harmoniskā vidējā forma.

Apskatīsim šī algoritma izmantošanas piemērus.

A. Tā kā dati tiek parādīti rindā, mēs izmantojam vienkāršu aprēķina metodi.

B.V.Mums ir tikai dati par pensiju apmēriem, un tie būs mūsu varianti - x. Dati tiek uzrādīti kā vienkāršs skaitlis (12 cilvēki), aprēķinam izmantojam vienkāršo aritmētisko vidējo.

Vidējā pensija pensionāram ir 9208,3 rubļi.

B. Tā kā mums ir jāatrod vidējais maksājums par bērnu, iespējas ir pirmajā kolonnā, tur ievietojam apzīmējumu x, otrā kolonna automātiski kļūst par biežumu f.

B. Biežums (bērnu skaits) tiek norādīts ar skaidru daudzumu (var aizstāt vārdu "bērni", no krievu valodas viedokļa tā ir nepareiza frāze, bet patiesībā ir ļoti ērti pārbaude), kas nozīmē, ka aprēķinam izmanto svērto vidējo aritmētisko.

To pašu problēmu var atrisināt nevis ar formulas metodi, bet ar tabulas metodi, tas ir, ievadot visus starpaprēķinu datus tabulā.

Rezultātā viss, kas tagad jādara, ir pareizā secībā atdalīt divas kopsummas.

Vidējais maksājums vienam bērnam mēnesī bija 1910 rubļi.

A. Tā kā dati ir parādīti tabulā, aprēķiniem izmantojam svērto formu.

B. Biežums (ražošanas izmaksas) tiek norādīts ar netiešu lielumu (biežums ir norādīts rubļi algoritma punkts B1), kas nozīmē, ka aprēķinam izmanto vidējo svērto harmonisko vērtību. Kopumā pēc būtības ražošanas pašizmaksa ir sarežģīts rādītājs, ko iegūst, reizinot preces vienības pašizmaksu ar šādu produktu skaitu, tā ir harmoniskās vidējās vērtības būtība.

Lai šo uzdevumu varētu atrisināt, izmantojot vidējo aritmētisko formulu, ir nepieciešams, lai ražošanas izmaksu vietā būtu produktu skaits ar atbilstošām izmaksām.

Lūdzam ņemt vērā, ka pēc aprēķiniem iegūtā summa saucējā ir 410 (120+80+210), tas ir kopējais saražoto produktu skaits.

Vidējās izmaksas par vienu produkta vienību bija 314,4 rubļi.

A. Tā kā dati ir parādīti tabulā, aprēķiniem izmantojam svērto formu.

B. Tā kā mums ir jāatrod vidējās izmaksas par produkta vienību, opcijas ir pirmajā kolonnā, mēs tur ievietojam apzīmējumu x, otrā kolonna automātiski kļūst par biežumu f.

B. Biežumu (kopējo kavējumu skaitu) nosaka ar implicītu lielumu (tas ir divu kavējumu skaita un skolēnu ar šo kavējumu skaitu reizinājums), kas nozīmē, ka tiek izmantots svērtais harmoniskais vidējais rādītājs. aprēķinam. Mēs izmantosim algoritma punktu B2.

Lai šo uzdevumu varētu atrisināt, izmantojot vidējo aritmētisko formulu, nepieciešams, lai kopējā kavējumu skaita vietā būtu skolēnu skaits.

Veidojam loģisku formulu, kā aprēķināt vidējo kavējumu skaitu uz vienu skolēnu.

Biežums atbilstoši uzdevuma nosacījumiem Kopējais skaits piespēlē. Loģiskajā formulā šis rādītājs ir skaitītājā, kas nozīmē, ka mēs izmantojam harmonisko vidējo formulu.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka summa saucējā, kas iegūta pēc aprēķiniem 31 (18+8+5), ir kopējais studentu skaits.

Vidējais kavējumu skaits vienam skolēnam ir 13,8 dienas.

Vidējās vērtības tiek plaši izmantotas statistikā. Vidējās vērtības raksturo komercdarbības kvalitatīvos rādītājus: izplatīšanas izmaksas, peļņu, rentabilitāti utt.

Vidēji - Šis ir viens no izplatītākajiem vispārināšanas paņēmieniem. Pareiza izpratne par vidējā būtības būtību nosaka tā īpašo nozīmi apstākļos tirgus ekonomika, kad vidējais caur individuālo un nejaušo ļauj identificēt vispārīgo un nepieciešamo, noteikt ekonomiskās attīstības modeļu tendenci.

vidējā vērtība - tie ir vispārīgi rādītāji, kuros izpaužas darbības vispārīgie nosacījumi, pētāmās parādības modeļi.

Vidējos statistiskos rādītājus aprēķina, pamatojoties uz pareizi statistiski organizēta masas novērošanas (nepārtraukta un selektīva) masas datiem. Taču vidējais statistiskais rādītājs būs objektīvs un tipisks, ja to aprēķina no masu datiem kvalitatīvi viendabīgai populācijai (masas parādībām). Piemēram, ja aprēķina vidējo algu kooperatīvos un valsts uzņēmumos un rezultātu attiecina uz visiem iedzīvotājiem, tad vidējā vērtība ir fiktīva, jo tā tiek aprēķināta neviendabīgai populācijai, un šāda vidējā vērtība zaudē visu nozīmi.

Ar vidējo palīdzību tiek izlīdzinātas atšķirības raksturlieluma vērtībā, kas viena vai otra iemesla dēļ rodas atsevišķās novērojumu vienībās.

Piemēram, pārdevēja vidējā produktivitāte ir atkarīga no daudziem iemesliem: kvalifikācijas, darba stāža, vecuma, dienesta formas, veselības utt.

Vidējā izlaide atspoguļo visu iedzīvotāju vispārējo īpašumu.

Vidējā vērtība atspoguļo pētāmā raksturlieluma vērtības, tāpēc to mēra tādā pašā dimensijā kā šis raksturlielums.

Katra vidējā vērtība raksturo pētāmo populāciju atbilstoši jebkurai pazīmei. Lai iegūtu pilnīgu un visaptverošu izpratni par pētāmo populāciju pēc vairākām būtiskām pazīmēm, kopumā ir nepieciešama vidējo vērtību sistēma, kas var aprakstīt parādību no dažādiem leņķiem.

Ir dažādi vidējie rādītāji:

vidējais aritmētiskais;

ģeometriskais vidējais;

harmoniskais vidējais;

vidējais kvadrāts;

vidēji hronoloģiski.

Apskatīsim dažus vidējos rādītāju veidus, kas visbiežāk tiek izmantoti statistikā.

Vidējais aritmētiskais

Vienkāršais vidējais aritmētiskais (nesvērtais) ir vienāds ar atribūta individuālo vērtību summu, kas dalīta ar šo vērtību skaitu.

Atsevišķas raksturlieluma vērtības sauc par variantiem un apzīmē ar x(); iedzīvotāju vienību skaitu apzīmē ar n, raksturlieluma vidējo vērtību apzīmē ar . Tāpēc vidējais aritmētiskais vienkāršais ir vienāds ar:

Saskaņā ar diskrēto sadalījuma sēriju datiem ir skaidrs, ka vienas un tās pašas raksturīgās vērtības (varianti) atkārtojas vairākas reizes. Tādējādi opcija x notiek kopā 2 reizes, un opcija x 16 reizes utt.

Raksturlieluma identisku vērtību skaitu sadalījuma sērijā sauc par frekvenci vai svaru un apzīmē ar simbolu n.

Aprēķināsim viena strādnieka vidējo algu berzē.:

fonds algas katrai strādnieku grupai ir vienāds ar iespēju un biežuma reizinājumu, un šo reizinājumu summa dod visu strādājošo kopējo algu fondu.

Saskaņā ar to aprēķinus var iesniegt vispārīgā formā:

Iegūto formulu sauc par svērto aritmētisko vidējo.

Apstrādes rezultātā statistisko materiālu var uzrādīt ne tikai diskrētu sadalījumu rindu veidā, bet arī intervālu variāciju rindu veidā ar slēgtiem vai atvērtiem intervāliem.

Grupētu datu vidējo vērtību aprēķina, izmantojot vidējo svērto aritmētisko formulu:

Ekonomiskās statistikas praksē dažreiz ir nepieciešams aprēķināt vidējo, izmantojot grupu vidējos vai atsevišķu iedzīvotāju daļu vidējos rādītājus (daļējos vidējos). Šādos gadījumos kā opcijas (x) tiek ņemti grupas vai privātie vidējie rādītāji, uz kuru pamata kopējo vidējo aprēķina kā parastu vidējo svērto aritmētisko.

Vidējā aritmētiskā pamatīpašības .

Vidējam aritmētiskajam ir vairākas īpašības:

1. Vidējā aritmētiskā vērtība nemainīsies, samazinot vai palielinot katras raksturlieluma x vērtības biežumu n reizes.

Ja visas frekvences tiek dalītas vai reizinātas ar jebkuru skaitli, vidējā vērtība nemainīsies.

2. Raksturlieluma individuālo vērtību kopējo reizinātāju var ņemt ārpus vidējās zīmes:

3. Vidējā summa divu vai vairāku lielumu (starpība) ir vienāda ar to vidējo vērtību summu (starpību):

4. Ja x = c, kur c ir nemainīga vērtība, tad
.

5. Atribūta X vērtību noviržu summa no vidējā aritmētiskā x ir vienāda ar nulli:

Harmoniskais vidējais.

Kopā ar vidējo aritmētisko statistikā tiek izmantots harmoniskais vidējais, atribūta apgriezto vērtību vidējā aritmētiskā apgrieztā vērtība. Tāpat kā vidējais aritmētiskais, tas var būt vienkāršs un svērts.

Variāciju sēriju raksturojums kopā ar vidējiem rādītājiem ir režīms un mediāna.

Mode - šī ir raksturlieluma (varianta) vērtība, kas visbiežāk atkārtojas pētāmajā populācijā. Diskrētās sadales sērijās režīms būs tā varianta vērtība, kurā ir visaugstākā frekvence.

Intervālu sadalījuma sērijām ar vienādiem intervāliem režīmu nosaka pēc formulas:

Kur
- režīmu saturoša intervāla sākotnējā vērtība;

- modālā intervāla vērtība;

- modālā intervāla biežums;

- intervāla biežums pirms modālā;

- intervāla biežums pēc modālā.

Mediāna - šī ir opcija, kas atrodas variāciju sērijas vidū. Ja sadalījuma sērija ir diskrēta un tajā ir nepāra dalībnieku skaits, tad mediāna būs opcija, kas atrodas sakārtotās sērijas vidū (sakārtota sērija ir populācijas vienību izvietojums augošā vai dilstošā secībā).

Vidējais aritmētiskais ir statistisks rādītājs, kas parāda noteiktā datu masīva vidējo vērtību. Šis rādītājs tiek aprēķināts kā daļa, kuras skaitītājs ir visu masīvā esošo vērtību summa, un saucējs ir to skaits. Vidējais aritmētiskais ir svarīgs koeficients, ko izmanto ikdienas aprēķinos.

Koeficienta nozīme

Vidējais aritmētiskais ir elementārs rādītājs datu salīdzināšanai un pieņemamas vērtības aprēķināšanai. Piemēram, dažādi veikali pārdod kāda konkrēta ražotāja alus skārdeni. Bet vienā veikalā tas maksā 67 rubļus, citā - 70 rubļus, trešajā - 65 rubļus, bet pēdējā - 62 rubļus. Cenu klāsts ir diezgan plašs, tāpēc pircējam būs interese par kannas vidējām izmaksām, lai, iegādājoties preci, varētu salīdzināt savas izmaksas. Vidējā alus skārdenes cena pilsētā ir:

Vidējā cena = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubļi.

Zinot vidējo cenu, ir viegli noteikt, kur ir izdevīgi iegādāties preci, un kur nāksies pārmaksāt.

Vidējais aritmētiskais tiek pastāvīgi izmantots statistikas aprēķinos gadījumos, kad tiek analizēta viendabīga datu kopa. Iepriekš minētajā piemērā tā ir viena un tā paša zīmola alus skārdenes cena. Taču nevaram salīdzināt dažādu ražotāju alus cenas vai alus un limonādes cenas, jo tādā gadījumā vērtību izkliede būs lielāka, vidējā cena būs izplūdusi un neuzticama, un pati aprēķinu jēga tiks izkropļota karikatūrā par "vidējo temperatūru slimnīcā". Lai aprēķinātu neviendabīgas datu kopas, tiek izmantots svērtais vidējais aritmētiskais, kad katra vērtība saņem savu svēruma koeficientu.

Vidējā aritmētiskā aprēķināšana

Aprēķinu formula ir ļoti vienkārša:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

kur an ir daudzuma vērtība, n ir vērtību kopējais skaits.

Kam var izmantot šo indikatoru? Pirmā un acīmredzamā tā izmantošana ir statistika. Gandrīz katrā statistikas pētījumi Tiek izmantots vidējais aritmētiskais. Tas varētu būt vidējais laulību vecums Krievijā, skolēna vidējā atzīme kādā priekšmetā vai vidējie tēriņi pārtikas precēm dienā. Kā minēts iepriekš, neņemot vērā svarus, vidējo vērtību aprēķināšana var radīt dīvainas vai absurdas vērtības.

Piemēram, prezidents Krievijas Federācija nāca klajā ar paziņojumu, ka pēc statistikas krieva vidējā alga ir 27 000 rubļu. Lielākajai daļai Krievijas iedzīvotāju šāds algas līmenis šķita absurds. Nav brīnums, ja, aprēķinot, ņemam vērā oligarhu, rūpniecības uzņēmumu vadītāju, lielo baņķieru ienākumus no vienas puses un skolotāju, apkopēju un pārdevēju algas no otras. Pat vidējām algām vienā specialitātē, piemēram, grāmatvedim, būs nopietnas atšķirības Maskavā, Kostromā un Jekaterinburgā.

Kā aprēķināt vidējos rādītājus neviendabīgiem datiem

Algu aprēķināšanas situācijās ir svarīgi ņemt vērā katras vērtības svaru. Tas nozīmē, ka oligarhu un baņķieru algas saņemtu, piemēram, 0,00001, bet pārdevēju algas - 0,12. Tie ir skaitļi no zila gaisa, taču tie aptuveni ilustrē oligarhu un pārdevēju izplatību Krievijas sabiedrībā.

Tādējādi, lai aprēķinātu vidējo vai vidējo vērtību neviendabīgā datu kopā, ir jāizmanto vidējais aritmētiskais svērtais. Pretējā gadījumā jūs saņemsiet vidējo algu Krievijā 27 000 rubļu. Ja vēlies noskaidrot savu vidējo atzīmi matemātikā vai izvēlētā hokejista vidējo gūto vārtu skaitu, tad tev ir piemērots vidējā aritmētiskais kalkulators.

Mūsu programma ir vienkāršs un ērts kalkulators vidējā aritmētiskā aprēķināšanai. Lai veiktu aprēķinus, jāievada tikai parametru vērtības.

Apskatīsim pāris piemērus

Vidējā rezultāta aprēķins

Daudzi skolotāji izmanto vidējo aritmētisko metodi, lai noteiktu mācību priekšmeta gada vērtējumu. Iedomāsimies, ka bērns matemātikā saņēma šādas ceturkšņa atzīmes: 3, 3, 5, 4. Kādu gada atzīmi skolotājs viņam ieliks? Izmantosim kalkulatoru un aprēķināsim vidējo aritmētisko. Lai sāktu, atlasiet atbilstošo lauku skaitu un parādītajās šūnās ievadiet vērtējuma vērtības:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Skolotājs noapaļo vērtību par labu skolēnam, un students saņems stabilu B par gadu.

Ēsto konfekšu aprēķins

Ilustrēsim daļu no vidējā aritmētiskā absurda. Iedomāsimies, ka Mašai un Vovai bija 10 konfektes. Maša apēda 8 konfektes, bet Vova tikai 2. Cik konfektes vidēji apēda katrs bērns? Izmantojot kalkulatoru, ir viegli aprēķināt, ka vidēji bērni apēda 5 konfektes, kas ir pilnīga nepatiesība un veselais saprāts. Šis piemērs parāda, ka jēgpilnām datu kopām ir svarīgs vidējais aritmētiskais.

Secinājums

Vidējā aritmētiskā aprēķināšana tiek plaši izmantota daudzās zinātnes jomās. Šis rādītājs ir populārs ne tikai statistikas aprēķinos, bet arī fizikā, mehānikā, ekonomikā, medicīnā vai finansēs. Izmantojiet mūsu kalkulatorus kā palīgu, lai atrisinātu problēmas, kas saistītas ar vidējā aritmētiskā aprēķināšanu.

Vidējā aritmētiskā un ģeometriskā vidējā tēma iekļauta matemātikas programmā 6.-7.klasei. Tā kā rindkopa ir diezgan viegli uztverama, tai ātri tiek pāri, un līdz mācību gada beigām skolēni to ir aizmirsuši. Bet zināšanas par pamata statistiku ir nepieciešamas nokārtojot vienoto valsts eksāmenu, un arī par starptautiskie eksāmeni SAT. Jā un priekš Ikdiena attīstīta analītiskā domāšana nekad nenāk par ļaunu.

Kā aprēķināt skaitļu vidējo aritmētisko un ģeometrisko vidējo

Pieņemsim, ka ir skaitļu virkne: 11, 4 un 3. Vidējais aritmētiskais ir visu skaitļu summa, kas dalīta ar doto skaitļu skaitu. Tas ir, skaitļu 11, 4, 3 gadījumā atbilde būs 6. Kā iegūt 6?

Risinājums: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Saucējam jāsatur skaitlis, kas vienāds ar skaitļu skaitu, kuru vidējais rādītājs ir jāatrod. Summa dalās ar 3, jo ir trīs vārdi.

Tagad mums ir jāizdomā ģeometriskais vidējais. Pieņemsim, ka ir skaitļu virkne: 4, 2 un 8.

Skaitļu ģeometriskais vidējais ir visu doto skaitļu reizinājums, kas atrodas zem saknes ar jaudu, kas vienāda ar doto skaitļu skaitu.Tas ir, skaitļu 4, 2 un 8 gadījumā atbilde būs 4. Lūk, kā tas izslēdzās:

Risinājums: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Abos variantos mēs saņēmām veselas atbildes, jo piemēram tika ņemti īpaši skaitļi. Tas ne vienmēr notiek. Vairumā gadījumu atbilde ir jānoapaļo vai jāatstāj saknē. Piemēram, skaitļiem 11, 7 un 20 vidējais aritmētiskais ir ≈ 12,67, bet ģeometriskais vidējais ir ∛1540. Un uz skaitļiem 6 un 5 atbildes būs attiecīgi 5,5 un √30.

Vai var gadīties, ka vidējais aritmētiskais kļūst vienāds ar ģeometrisko vidējo?

Protams, ka var. Bet tikai divos gadījumos. Ja ir skaitļu virkne, kas sastāv tikai no vieniniekiem vai nullēm. Jāatzīmē arī tas, ka atbilde nav atkarīga no to skaita.

Pierādījums ar mērvienībām: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (vidējais aritmētiskais).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (vidējais ģeometriskais).

Pierādījums ar nullēm: (0 + 0) / 2=0 (vidējais aritmētiskais).

√(0 × 0) = 0 (vidējais ģeometriskais).

Citas iespējas nav un nevar būt.