Sākot runāt par vidējiem rādītājiem, cilvēki visbiežāk atceras, kā beiguši skolu un iestājušies mācību iestādē. Pēc tam, pamatojoties uz sertifikātu, tika aprēķināts vidējais vērtējums: visas atzīmes (gan labas, gan ne tik labas) tika summētas, iegūtā summa tika dalīta ar to skaitu. Tādā veidā tiek aprēķināts vienkāršākais vidējās vērtības veids, ko sauc par vienkāršo aritmētisko vidējo. Praksē tiek izmantota statistika Dažādi vidējie: aritmētiskie, harmoniskie, ģeometriskie, kvadrātiskie, strukturālie vidējie lielumi. Viens vai cits veids tiek izmantots atkarībā no datu veida un pētījuma mērķiem.

vidējā vērtība ir visizplatītākais statistiskais rādītājs, ar kura palīdzību līdzīgu parādību kopumam tiek dots vispārīgs raksturlielums atbilstoši kādam no mainīgajiem raksturlielumiem. Tas parāda raksturlieluma līmeni uz iedzīvotāju vienību. Ar vidējo vērtību palīdzību tiek salīdzinātas dažādas populācijas pēc dažādām pazīmēm, tiek pētīti sociālās dzīves parādību un procesu attīstības modeļi.

Statistikā tiek izmantotas divas vidējo rādītāju klases: jaudas (analītiskais) un strukturālais. Pēdējie tiek izmantoti, lai raksturotu variāciju sērijas struktūru, un tie tiks apspriesti sīkāk nodaļā. 8.

Jaudas vidējo vērtību grupā ietilpst aritmētiskie, harmoniskie, ģeometriskie un kvadrātiskie vidējie lielumi. Atsevišķas formulas to aprēķināšanai var reducēt līdz formai, kas ir kopīga visiem jaudas vidējiem lielumiem, proti

kur m ir pakāpju vidējā eksponents: ar m = 1 mēs iegūstam formulu vidējā aritmētiskā aprēķināšanai, ar m = 0 - ģeometriskais vidējais, m = -1 - harmoniskais vidējais, ar m = 2 - vidējais kvadrātiskais ;

x i - opcijas (vērtības, ko iegūst atribūts);

f i - frekvences.

Galvenais nosacījums, saskaņā ar kuru statistiskajā analīzē var izmantot vidējos jaudas rādītājus, ir populācijas viendabīgums, kurā nedrīkst būt sākotnējie dati, kas krasi atšķiras pēc to kvantitatīvās vērtības (literatūrā tos sauc par anomāliem novērojumiem).

Parādīsim šī nosacījuma nozīmi ar šādu piemēru.

Piemērs 6.1. Aprēķināsim vidējo algas mazā uzņēmuma darbinieki.

6.1. tabula. Darbinieku algas

Nē.	Alga, berzēt.	Nē.	Alga, berzēt.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Lai aprēķinātu vidējo algu, ir jāsaskaita visiem uzņēmuma darbiniekiem uzkrātās algas (t.i., jāatrod algu fonds) un jādala ar darbinieku skaitu:

Tagad pievienosim mūsu kopsummai tikai vienu cilvēku (šī uzņēmuma direktoru), bet ar algu 50 000 rubļu. Šajā gadījumā aprēķinātais vidējais rādītājs būs pilnīgi atšķirīgs:

Kā redzam, tas pārsniedz 7000 rubļu utt. tas ir lielāks par visām atribūtu vērtībām, izņemot vienu novērojumu.

Lai praksē šādi gadījumi nenotiktu un vidējais nezaudētu savu nozīmi (6.1.piemērā tas vairs nespēlē tādu populācijas vispārinošo raksturlielumu, kādai tam vajadzētu būt), aprēķinot vidējo, anomāli, krasi no analīzes jāizslēdz izcili novērojumi un tēmas padara populāciju viendabīgu vai sadala populāciju viendabīgās grupās un aprēķina katras grupas vidējās vērtības un analizē nevis kopējo vidējo, bet gan grupas vidējo vērtību.

6.1. Vidējais aritmētiskais un tā īpašības

Vidējo aritmētisko aprēķina kā vienkāršu vai svērtu vērtību.

Aprēķinot vidējo algu pēc 6.1. tabulas piemēra datiem, visas atribūta vērtības saskaitījām un dalījām ar to skaitu. Aprēķinu gaitu mēs rakstīsim vienkāršas aritmētiskās vidējās formulas veidā

kur x i - opcijas (īpašuma individuālās vērtības);

n ir vienību skaits apkopojumā.

Piemērs 6.2. Tagad grupēsim savus datus no tabulas 6.1. piemērā utt. Izveidosim diskrētu variāciju sēriju strādnieku sadalījumam pēc algu līmeņa. Grupēšanas rezultāti ir parādīti tabulā.

Uzrakstīsim izteiksmi vidējās algas līmeņa aprēķināšanai kompaktākā formā:

6.2. piemērā tika piemērota svērtā aritmētiskā vidējā formula

kur f i ir frekvences, kas parāda, cik reižu atribūta x i y vērtība ir sastopama populācijas vienībās.

Vidējo aritmētisko svērto ir ērti aprēķināt tabulā, kā parādīts zemāk (6.3. tabula):

6.3. tabula. Vidējā aritmētiskā aprēķins diskrētajā rindā

Sākotnējie dati	Paredzamais rādītājs
alga, rub.	darbinieku skaits, cilvēki	algu fonds, rub.
x i	f i	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Kopā	20	132 080

Jāņem vērā, ka vienkāršo vidējo aritmētisko izmanto gadījumos, kad dati nav grupēti vai grupēti, bet visas frekvences ir vienādas.

Bieži novērojumu rezultāti tiek parādīti intervālu sadalījuma sērijas veidā (sk. tabulu 6.4. piemērā). Tad, aprēķinot vidējo, intervālu viduspunktus ņem kā x i. Ja pirmais un pēdējais intervāls ir atvērti (nav nevienas no robežām), tad tie ir nosacīti “slēgti”, par šī intervāla vērtību ņemot blakus esošā intervāla vērtību utt. pirmais tiek slēgts, pamatojoties uz otrās vērtību, bet pēdējais - saskaņā ar priekšpēdējās vērtības.

Piemērs 6.3. Pamatojoties uz vienas no iedzīvotāju grupām izlases veida aptaujas rezultātiem, aprēķināsim vidējo naudas ienākumu apmēru uz vienu iedzīvotāju.

Iepriekš redzamajā tabulā pirmā intervāla vidusdaļa ir 500. Patiešām, otrā intervāla vērtība ir 1000 (2000-1000); tad pirmā apakšējā robeža ir 0 (1000-1000), un tā vidējā ir 500. Mēs darām to pašu ar pēdējo intervālu. Mēs ņemam 25 000 par tā vidusdaļu: priekšpēdējā intervāla vērtība ir 10 000 (20 000-10 000), tad tā augšējā robeža ir 30 000 (20 000 + 10 000), un vidējais attiecīgi ir 25 000.

6.4. tabula. Vidējā aritmētiskā aprēķins intervālu rindā

Vidējie naudas ienākumi uz vienu iedzīvotāju, rub. mēnesī	Iedzīvotāju skaits kopā, % f i	Intervālu viduspunkti x i	x i f i
Līdz 1000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20 000 un vairāk	10,4	25 000	260 000
Kopā	100,0	-	892 850

Tad vidējie mēneša ienākumi uz vienu iedzīvotāju būs

Tagad parunāsim par kā skaitīt vidējā vērtība .
Savā klasiskajā formā vispārējā statistikas teorija mums piedāvā vienu vidējās vērtības izvēles noteikumu versiju.
Pirmkārt, jums ir jāizveido pareizā loģiskā formula vidējās vērtības (AFV) aprēķināšanai. Katrai vidējai vērtībai vienmēr ir tikai viena loģiskā formula tās aprēķināšanai, tāpēc šeit ir grūti kļūdīties. Bet mums vienmēr jāatceras, ka skaitītājā (tas ir daļdaļas augšpusē) visu parādību summa un saucējā (tas ir daļskaitļa apakšā) Kopā elementi.

Pēc loģiskās formulas sastādīšanas varat izmantot noteikumus (lai būtu vieglāk saprotami, mēs tos vienkāršosim un saīsināsim):
1. Ja avota datos (noteikti pēc biežuma) ir loģiskās formulas saucējs, tad aprēķinu veic, izmantojot svērto aritmētisko vidējo formulu.
2. Ja avota datos ir uzrādīts loģiskās formulas skaitītājs, tad aprēķins tiek veikts, izmantojot vidējo svērto harmonisko formulu.
3. Ja uzdevumā ir norādīts gan loģiskās formulas skaitītājs, gan saucējs (tas notiek reti), tad aprēķinu veicam, izmantojot šo formulu vai vienkāršo aritmētisko vidējo formulu.
Šī ir klasiskā ideja par pareizās formulas izvēli vidējā aprēķināšanai. Tālāk mēs piedāvājam darbību secību, risinot problēmas vidējās vērtības aprēķināšanai.

Vidējās vērtības aprēķināšanas uzdevumu risināšanas algoritms

A. Nosakiet vidējās vērtības aprēķināšanas metodi - vienkāršs vai svērts . Ja datus uzrāda tabulā, tad izmantojam svērto metodi, ja datus uzrāda ar vienkāršu uzskaitījumu, tad izmantojam vienkāršu aprēķina metodi.

B. Noteikt vai sakārtot simboliem – x - iespēja, f - biežums . Iespēja ir tāda, kurai parādībai vēlaties atrast vidējo vērtību. Atlikušie dati tabulā būs biežums.

B. Mēs nosakām vidējās vērtības aprēķināšanas formu - aritmētisko vai harmonisko . Noteikšanu veic, izmantojot frekvences kolonnu. Aritmētiskā forma tiek izmantota, ja frekvences ir norādītas ar izteiktu lielumu (nosacīti var aizstāt vārdu gabalus, elementu skaitu "gabali"). Harmonisko formu izmanto, ja frekvences norāda nevis ar izteiktu lielumu, bet gan ar kompleksu rādītāju (vidējā daudzuma un frekvences reizinājums).

Visgrūtāk ir uzminēt, kur un kāds daudzums tiek dots, īpaši studentam, kuram nav pieredzes šādos jautājumos. Šādā situācijā varat izmantot kādu no tālāk norādītajām metodēm. Dažiem (ekonomiskiem) uzdevumiem ir piemērots apliecinājums, kas izstrādāts ilgā praksē (B.1. punkts). Citās situācijās jums būs jāizmanto punkts B.2.

B.1 Ja frekvence ir norādīta naudas vienībās (rubļos), tad aprēķinam tiek izmantots harmoniskais vidējais, šis apgalvojums vienmēr ir patiess, ja identificētā frekvence ir norādīta naudā, citās situācijās šis noteikums nav spēkā.

B.2 Izmantojiet šajā rakstā iepriekš norādītās vidējās vērtības izvēles noteikumus. Ja biežumu dod vidējās vērtības aprēķina loģiskās formulas saucējs, tad aprēķinām, izmantojot vidējo aritmētisko formu; ja biežumu dod vidējās vērtības aprēķina loģiskās formulas skaitītājs, tad aprēķinām, izmantojot harmoniskā vidējā forma.

Apskatīsim šī algoritma izmantošanas piemērus.

A. Tā kā dati tiek parādīti rindā, mēs izmantojam vienkāršu aprēķina metodi.

B.V.Mums ir tikai dati par pensiju apmēriem, un tie būs mūsu varianti - x. Dati tiek uzrādīti kā vienkāršs skaitlis (12 cilvēki), aprēķinam izmantojam vienkāršo aritmētisko vidējo.

Vidējā pensija pensionāram ir 9208,3 rubļi.

B. Tā kā mums ir jāatrod vidējais maksājums par bērnu, iespējas ir pirmajā kolonnā, tur ievietojam apzīmējumu x, otrā kolonna automātiski kļūst par biežumu f.

B. Biežums (bērnu skaits) tiek norādīts ar skaidru daudzumu (var aizstāt vārdu "bērni", no krievu valodas viedokļa tā ir nepareiza frāze, bet patiesībā ir ļoti ērti pārbaude), kas nozīmē, ka aprēķinam izmanto svērto vidējo aritmētisko.

To pašu problēmu var atrisināt nevis ar formulas metodi, bet ar tabulas metodi, tas ir, ievadot visus starpaprēķinu datus tabulā.

Rezultātā viss, kas tagad jādara, ir pareizā secībā atdalīt divas kopsummas.

Vidējais maksājums vienam bērnam mēnesī bija 1910 rubļi.

A. Tā kā dati ir parādīti tabulā, aprēķiniem izmantojam svērto formu.

B. Biežums (ražošanas izmaksas) tiek norādīts ar netiešu lielumu (biežums ir norādīts rubļi algoritma punkts B1), kas nozīmē, ka aprēķinam izmanto vidējo svērto harmonisko vērtību. Kopumā pēc būtības ražošanas pašizmaksa ir sarežģīts rādītājs, ko iegūst, reizinot preces vienības pašizmaksu ar šādu produktu skaitu, tā ir harmoniskās vidējās vērtības būtība.

Lai šo uzdevumu varētu atrisināt, izmantojot vidējo aritmētisko formulu, ir nepieciešams, lai ražošanas izmaksu vietā būtu produktu skaits ar atbilstošām izmaksām.

Lūdzam ņemt vērā, ka pēc aprēķiniem iegūtā summa saucējā ir 410 (120+80+210), tas ir kopējais saražoto produktu skaits.

Vidējās izmaksas par vienu produkta vienību bija 314,4 rubļi.

A. Tā kā dati ir parādīti tabulā, aprēķiniem izmantojam svērto formu.

B. Tā kā mums ir jāatrod vidējās izmaksas par produkta vienību, opcijas ir pirmajā kolonnā, mēs tur ievietojam apzīmējumu x, otrā kolonna automātiski kļūst par biežumu f.

B. Biežumu (kopējo kavējumu skaitu) nosaka ar implicītu lielumu (tas ir divu kavējumu skaita un skolēnu ar šo kavējumu skaitu reizinājums), kas nozīmē, ka tiek izmantots svērtais harmoniskais vidējais rādītājs. aprēķinam. Mēs izmantosim algoritma punktu B2.

Lai šo uzdevumu varētu atrisināt, izmantojot vidējo aritmētisko formulu, tā vietā ir nepieciešams kopējais skaits trūka skolēnu skaita.

Veidojam loģisku formulu, kā aprēķināt vidējo kavējumu skaitu uz vienu skolēnu.

Biežums pēc uzdevuma nosacījuma Kopējais izlaidumu skaits. Loģiskajā formulā šis rādītājs ir skaitītājā, kas nozīmē, ka mēs izmantojam harmonisko vidējo formulu.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka summa saucējā, kas iegūta pēc aprēķiniem 31 (18+8+5), ir kopējais studentu skaits.

Vidējais kavējumu skaits vienam skolēnam ir 13,8 dienas.

Vidējā aritmētiskā un ģeometriskā vidējā tēma iekļauta matemātikas programmā 6.-7.klasei. Tā kā rindkopa ir diezgan viegli uztverama, tai ātri tiek pāri, un līdz mācību gada beigām skolēni to ir aizmirsuši. Bet zināšanas par pamata statistiku ir nepieciešamas nokārtojot vienoto valsts eksāmenu, un arī par starptautiskie eksāmeni SAT. Jā un priekš Ikdiena attīstīta analītiskā domāšana nekad nenāk par ļaunu.

Kā aprēķināt skaitļu vidējo aritmētisko un ģeometrisko vidējo

Pieņemsim, ka ir skaitļu virkne: 11, 4 un 3. Vidējais aritmētiskais ir visu skaitļu summa, kas dalīta ar doto skaitļu skaitu. Tas ir, skaitļu 11, 4, 3 gadījumā atbilde būs 6. Kā iegūt 6?

Risinājums: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Saucējam jāsatur skaitlis, kas vienāds ar skaitļu skaitu, kuru vidējais rādītājs ir jāatrod. Summa dalās ar 3, jo ir trīs vārdi.

Tagad mums ir jāizdomā ģeometriskais vidējais. Pieņemsim, ka ir skaitļu virkne: 4, 2 un 8.

Skaitļu ģeometriskais vidējais ir visu doto skaitļu reizinājums, kas atrodas zem saknes ar jaudu, kas vienāda ar doto skaitļu skaitu.Tas ir, skaitļu 4, 2 un 8 gadījumā atbilde būs 4. Lūk, kā tas izslēdzās:

Risinājums: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Abos variantos mēs saņēmām veselas atbildes, jo piemēram tika ņemti īpaši skaitļi. Tas ne vienmēr notiek. Vairumā gadījumu atbilde ir jānoapaļo vai jāatstāj saknē. Piemēram, skaitļiem 11, 7 un 20 vidējais aritmētiskais ir ≈ 12,67, bet ģeometriskais vidējais ir ∛1540. Un uz skaitļiem 6 un 5 atbildes būs attiecīgi 5,5 un √30.

Vai var gadīties, ka vidējais aritmētiskais kļūst vienāds ar ģeometrisko vidējo?

Protams, ka var. Bet tikai divos gadījumos. Ja ir skaitļu virkne, kas sastāv tikai no vieniniekiem vai nullēm. Jāatzīmē arī tas, ka atbilde nav atkarīga no to skaita.

Pierādījums ar mērvienībām: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (vidējais aritmētiskais).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (vidējais ģeometriskais).

Pierādījums ar nullēm: (0 + 0) / 2=0 (vidējais aritmētiskais).

√(0 × 0) = 0 (vidējais ģeometriskais).

Citas iespējas nav un nevar būt.

Šim terminam ir citas nozīmes, skatiet vidējo nozīmi.

Vidēji(matemātikā un statistikā) skaitļu kopas - visu skaitļu summa, kas dalīta ar to skaitu. Tas ir viens no visizplatītākajiem centrālās tendences rādītājiem.

To (kopā ar ģeometrisko vidējo un harmonisko vidējo) ierosināja pitagorieši.

Speciālie aritmētiskā vidējā gadījumi ir vidējais (vispārējā populācija) un izlases vidējais (izlase).

Ievads

Apzīmēsim datu kopu X = (x 1 , x 2 , …, x n), tad izlases vidējo vērtību parasti norāda ar horizontālu joslu virs mainīgā (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), izrunā " x ar līniju").

Grieķu burtu μ izmanto, lai apzīmētu visas populācijas vidējo aritmētisko. Gadījuma lieluma gadījumā, kuram ir noteikta vidējā vērtība, μ ir varbūtības vidējā vai nejauša lieluma matemātiskā cerība. Ja komplekts X ir nejaušu skaitļu kopums ar varbūtības vidējo μ, tad jebkuram paraugam x i no šīs kopas μ = E( x i) ir šī parauga matemātiskā cerība.

Praksē atšķirība starp μ un x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) ir tāda, ka μ ir tipisks mainīgais, jo jūs varat redzēt izlasi, nevis visu populāciju. Tāpēc, ja paraugs ir attēlots nejauši (varbūtību teorijas ziņā), tad x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (bet ne μ) var uzskatīt par nejaušu lielumu ar varbūtības sadalījumu izlasē ( vidējā varbūtības sadalījums).

Abi šie daudzumi tiek aprēķināti tādā pašā veidā:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Ja X ir nejaušs mainīgais, tad matemātiskā cerība X var uzskatīt par vidējo aritmētisko vērtību atkārtotos daudzuma mērījumos X. Tā ir likuma izpausme lieli skaitļi. Tāpēc, lai novērtētu nezināmo paredzamo vērtību, tiek izmantots izlases vidējais lielums.

Elementārajā algebrā ir pierādīts, ka vidējais n+ 1 cipars virs vidējā n skaitļus tad un tikai tad, ja jaunais skaitlis ir lielāks par veco vidējo, mazāks tad un tikai tad, ja jaunais skaitlis ir mazāks par vidējo, un nemainās tad un tikai tad, ja jaunais skaitlis ir vienāds ar vidējo. Vairāk n, jo mazāka ir atšķirība starp jauno un veco vidējo rādītāju.

Ņemiet vērā, ka ir pieejami vairāki citi "vidējie", tostarp vidējais jaudas, Kolmogorova vidējais, harmoniskais vidējais, aritmētiski ģeometriskais vidējais un dažādi vidējie svērtie (piemēram, svērtais aritmētiskais vidējais, svērtais ģeometriskais vidējais, svērtais harmoniskais vidējais).

Piemēri

• Trīs skaitļiem tie ir jāpievieno un jādala ar 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).

• Četriem skaitļiem tie ir jāpievieno un jādala ar 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).

Vai vienkāršāk 5+5=10, 10:2. Tā kā mēs pievienojām 2 skaitļus, kas nozīmē, cik skaitļus mēs pievienojam, mēs dalām ar tik daudz.

Nepārtraukts gadījuma mainīgais

Nepārtraukti sadalītam lielumam f (x) (\displaystyle f(x)), vidējais aritmētiskais intervālā [ a ; b ] (\displaystyle ) tiek noteikts, izmantojot noteiktu integrāli:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Dažas problēmas, izmantojot vidējo rādītāju

Izturības trūkums

Galvenais raksts: Statistikas robustums

Lai gan vidējos aritmētiskos bieži izmanto kā vidējos rādītājus vai galvenās tendences, šis jēdziens nav stabila statistika, kas nozīmē, ka vidējo aritmētisko lielumu ietekmē "lielas novirzes". Jāatzīmē, ka sadalījumiem ar lielu šķībuma koeficientu vidējais aritmētiskais var neatbilst jēdzienam “vidējais”, un vidējās vērtības no stabilas statistikas (piemēram, mediāna) var labāk raksturot centrālo vērtību. tendence.

Klasisks piemērs ir vidējo ienākumu aprēķināšana. Vidējo aritmētisko var nepareizi interpretēt kā mediānu, kas var likt secināt, ka cilvēku ar lielākiem ienākumiem ir vairāk nekā patiesībā. “Vidējie” ienākumi tiek interpretēti tādējādi, ka lielākajai daļai cilvēku ienākumi ir ap šo skaitli. Šie “vidējie” (vidējā aritmētiskā izpratnē) ienākumi ir lielāki par vairuma cilvēku ienākumiem, jo ​​augsti ienākumi ar lielu novirzi no vidējā padara vidējo aritmētisko ļoti nešķīstu (turpretī vidējie ienākumi pie mediānas “pretojas” šādai šķībai). Tomēr šie "vidējie" ienākumi neko nepasaka par cilvēku skaitu, kas ir tuvu vidējiem ienākumiem (un neko nesaka par cilvēku skaitu, kas ir tuvu modālajiem ienākumiem). Tomēr, ja jēdzienus “vidējais” un “lielākā daļa cilvēku” uztverat viegli, jūs varat izdarīt nepareizu secinājumu, ka lielākajai daļai cilvēku ienākumi ir lielāki, nekā tie ir patiesībā. Piemēram, ziņojums par "vidējiem" neto ienākumiem Medinā, Vašingtonā, kas aprēķināts kā vidējais aritmētiskais no visiem iedzīvotāju gada neto ienākumiem, Bila Geitsa dēļ iegūtu pārsteidzoši lielu skaitu. Apsveriet paraugu (1, 2, 2, 2, 3, 9). Vidējais aritmētiskais ir 3,17, bet piecas no sešām vērtībām ir zemākas par šo vidējo.

Saliktie procenti

Galvenais raksts: Ienākumi no ieguldījumiem

Ja skaitļi vairoties, bet ne salocīt, jums jāizmanto ģeometriskais vidējais, nevis vidējais aritmētiskais. Visbiežāk šis incidents notiek, aprēķinot atdevi no ieguldījumiem finansēs.

Piemēram, ja akciju vērtība pirmajā gadā kritās par 10%, bet otrajā pieauga par 30%, tad ir nepareizi aprēķināt “vidējo” pieaugumu šajos divos gados kā vidējo aritmētisko (-10% + 30%) / 2 = 10%; pareizo vidējo šajā gadījumā dod saliktais gada pieauguma temps, kas dod gada pieauguma tempu tikai aptuveni 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Iemesls tam ir tas, ka procentiem katru reizi ir jauns sākumpunkts: 30% ir 30% no skaitļa, kas ir mazāks par cenu pirmā gada sākumā: ja akciju cena sākās ar USD 30 un nokritās par 10%, otrā gada sākumā tās vērtība ir USD 27. Ja akcijas pieaugtu par 30%, otrā gada beigās to vērtība būtu 35,1 USD. Šī pieauguma vidējais aritmētiskais ir 10%, bet, tā kā akcijas 2 gadu laikā ir pieaugušas tikai par USD 5,1, vidējais pieaugums par 8,2% dod gala rezultātu 35,1 USD:

[30 ASV dolāri (1–0,1) (1 + 0,3) = 30 ASV dolāri (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 ASV dolāri]. Ja vidēji izmantojam tāpat aritmētiskā vērtība 10%, mēs neiegūsim faktisko vērtību: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 ASV dolāri].

Saliktie procenti 2 gadu beigās: 90% * 130% = 117%, tas ir, kopējais pieaugums ir 17%, un vidējie gada saliktie procenti ir 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%) ))\aptuveni 108,2\%) , tas ir, vidējais gada pieaugums par 8,2%.

Norādes

Galvenais raksts: Galamērķa statistika

Aprēķinot vidējo aritmētisko kādam mainīgajam, kas mainās cikliski (piemēram, fāze vai leņķis), ir jābūt īpaši uzmanīgiem. Piemēram, 1° un 359° vidējais rādītājs būtu 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Šis skaitlis ir nepareizs divu iemeslu dēļ.

• Pirmkārt, leņķiskie mēri ir noteikti tikai diapazonam no 0° līdz 360° (vai no 0 līdz 2π, mērot radiānos). Tātad vienu un to pašu skaitļu pāri var uzrakstīt kā (1° un −1°) vai kā (1° un 719°). Katra pāra vidējās vērtības būs atšķirīgas: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ aplis )) .
• Otrkārt, šajā gadījumā vērtība 0° (ekvivalents 360°) būs ģeometriski labāka vidējā vērtība, jo skaitļi no 0° atšķiras mazāk nekā no jebkuras citas vērtības (vērtībai 0° ir mazākā dispersija). Salīdzināt:
  • skaitlis 1° atšķiras no 0° tikai par 1°;
  • skaitlis 1° atšķiras no aprēķinātā vidējā 180° par 179°.

Vidējā vērtība cikliskajam mainīgajam, kas aprēķināta, izmantojot iepriekš minēto formulu, tiks mākslīgi novirzīta attiecībā pret reālo vidējo vērtību skaitliskā diapazona vidū. Šī iemesla dēļ vidējo vērtību aprēķina citādi, proti, skaitli ar mazāko novirzi ( centra punkts). Tāpat atņemšanas vietā tiek izmantots modulārais attālums (tas ir, apkārtmēra attālums). Piemēram, modulārais attālums starp 1° un 359° ir 2°, nevis 358° (uz apļa starp 359° un 360°==0° - viens grāds, starp 0° un 1° - arī 1°, kopā -2 °).

4.3. Vidējās vērtības. Vidējo vērtību būtība un nozīme

Vidējais izmērs statistikā ir vispārējs rādītājs, kas raksturo parādības tipisko līmeni konkrētos vietas un laika apstākļos, atspoguļojot mainīgas pazīmes vērtību uz kvalitatīvi viendabīgas populācijas vienību. Ekonomiskajā praksē tiek izmantots plašs rādītāju klāsts, kas aprēķināts kā vidējās vērtības.

Piemēram, vispārējs darbinieku ienākumu rādītājs akciju sabiedrība(AS) ir viena strādājošā vidējie ienākumi, ko nosaka darba samaksas fonda un sociālo maksājumu attiecība par pārskata periodu (gads, ceturksnis, mēnesis) pret a/s strādājošo skaitu.

Vidējā aprēķināšana ir viens no izplatītākajiem vispārināšanas paņēmieniem; vidējais rādītājs atspoguļo kopējo (tipisko) visām pētāmās populācijas vienībām, vienlaikus ignorējot atsevišķu vienību atšķirības. Katrā parādībā un tās attīstībā ir kombinācija nelaimes gadījumi Un nepieciešams. Aprēķinot vidējos lielumus, lielu skaitļu likuma darbības dēļ nejaušība izzūd un līdzsvarojas, tāpēc ir iespējams abstrahēties no parādības nesvarīgajām pazīmēm, no raksturlieluma kvantitatīvajām vērtībām katrā konkrētajā gadījumā. . Spēja abstrahēties no individuālo vērtību nejaušības, svārstībām slēpjas vidējo vērtību zinātniskajā vērtībā kā vispārināšana populāciju īpašības.

Ja rodas vajadzība pēc vispārināšanas, šādu raksturlielumu aprēķināšana noved pie daudzu dažādu atribūta individuālo vērtību aizstāšanas. vidēji rādītājs, kas raksturo visu parādību kopumu, kas ļauj identificēt masu sociālajām parādībām raksturīgos modeļus, kas atsevišķās parādībās ir neredzami.

Vidējais atspoguļo pētāmo parādību raksturīgo, tipisko, reālo līmeni, raksturo šos līmeņus un to izmaiņas laikā un telpā.

Vidējais ir procesa likumu kopsavilkums apstākļos, kādos tas notiek.

4.4. Vidējo vērtību veidi un to aprēķināšanas metodes

Vidējā veida izvēli nosaka noteikta rādītāja ekonomiskais saturs un avota dati. Katrā konkrētajā gadījumā tiek izmantota viena no vidējām vērtībām: aritmētika, garmonika, ģeometriskā, kvadrātiskā, kubiskā utt. Norādītie vidējie rādītāji pieder klasei nomierinošs vidēji.

Papildus jaudas vidējiem rādītājiem statistikas praksē tiek izmantoti strukturālie vidējie rādītāji, kas tiek uzskatīti par režīmu un mediānu.

Sīkāk apskatīsim vidējos jaudas rādītājus.

Vidējais aritmētiskais

Visizplatītākais vidējā veida veids ir vidēji aritmētika. To izmanto gadījumos, kad mainīgas īpašības apjoms visai populācijai ir tās atsevišķo vienību raksturlielumu vērtību summa. Sociālajām parādībām ir raksturīga mainīga raksturlieluma apjomu summitāte, kas nosaka vidējā aritmētiskā pielietojuma jomu un izskaidro tā kā vispārēja rādītāja izplatību, piemēram: kopējais algu fonds ir darba samaksas summa. visiem strādniekiem, bruto raža ir saražotās produkcijas summa no visas sējas sezonas.platība.

Lai aprēķinātu vidējo aritmētisko, visu pazīmju vērtību summa jāsadala ar to skaitu.

Formā tiek izmantots vidējais aritmētiskais vienkāršais vidējais un vidējais svērtais. Sākotnējā, noteicošā forma ir vienkāršais vidējais rādītājs.

Vienkāršs vidējais aritmētiskais vienāds ar vidējo rādītāju individuālo vērtību summu, kas dalīta ar šo vērtību kopējo skaitu (to izmanto gadījumos, kad ir negrupētas pazīmes individuālās vērtības):

Kur
- mainīgā lieluma individuālās vērtības (varianti); m - vienību skaits populācijā.

Turklāt summēšanas robežas formulās netiks norādītas. Piemēram, jāatrod viena strādnieka (mehāniķa) vidējā izlaide, ja zināt, cik detaļu katrs no 15 strādniekiem saražoja, t.i. dotas vairākas raksturlieluma individuālās vērtības, gab.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Vienkāršo vidējo aritmētisko aprēķina, izmantojot formulu (4.1), 1 gab.:

Tiek saukts to opciju vidējais lielums, kuras tiek atkārtotas atšķirīgu reižu skaitu vai, kā saka, ar dažādu svaru svērtais. Svari ir vienību skaits dažādas grupas agregāti (identiskas iespējas tiek apvienotas grupā).

Vidējais aritmētiskais svērtais- grupēto vērtību vidējo vērtību, - aprēķina, izmantojot formulu:

, (4.2)

Kur
- svars (identisku zīmju atkārtošanās biežums);

- pazīmju lieluma un to biežuma reizinājumu summa;

- kopējais iedzīvotāju vienību skaits.

Mēs ilustrējam vidējā aritmētiskā svērtā aprēķināšanas paņēmienu, izmantojot iepriekš apskatīto piemēru. Lai to izdarītu, mēs sagrupēsim avota datus un ievietosim tos tabulā. 4.1.

4.1. tabula

Strādnieku sadale detaļu ražošanai

Saskaņā ar formulu (4.2.) vidējais svērtais aritmētiskais ir vienāds ar, gab.:

Dažos gadījumos svarus var uzrādīt nevis kā absolūtas vērtības, bet gan kā relatīvas (procentos vai vienības daļās). Tad vidējā aritmētiskā svērtā formula izskatīsies šādi:

Kur
- konkrētība, t.i. katras frekvences īpatsvars visu kopējā summā

Ja frekvences skaita daļdaļās (koeficientos), tad
= 1, un aritmētiski svērtā vidējā formula ir šāda:

Svērtā aritmētiskā vidējā aprēķins no grupas vidējiem veic pēc formulas:

,

Kur f-vienību skaits katrā grupā.

Rezultāti, kas iegūti, aprēķinot vidējo aritmētisko no grupas vidējiem, ir parādīti tabulā. 4.2.

4.2. tabula

Strādnieku sadalījums pēc vidējā darba stāža

Šajā piemērā opcijas ir nevis atsevišķi dati par atsevišķu strādnieku darba stāžu, bet gan katras darbnīcas vidējais rādītājs. Svari f ir strādnieku skaits veikalos. Tādējādi darbinieku vidējā darba pieredze visā uzņēmumā būs gadi:

.

Vidējā aritmētiskā sadalījuma rindās

Ja vidējās vērtības raksturojuma vērtības ir norādītas intervālu veidā (“no - līdz”), t.i. sadalījuma intervālu sērijas, tad, aprēķinot vidējo aritmētisko, šo intervālu viduspunktus ņem par raksturlielumu vērtībām grupās, kā rezultātā veidojas diskrēta rinda. Apsveriet šādu piemēru (4.3. tabula).

Pārejam no intervālu sērijas uz diskrētu sēriju, aizstājot intervālu vērtības ar to vidējām vērtībām/(vienkāršs vidējais

4.3. tabula

A/s strādājošo sadalījums pa mēnešalgu līmeni

Strādnieku grupas	Strādnieku skaits	Intervāla vidus
algas, berzēt.	cilvēki, f	berzēt., X
900 vai vairāk

atvērto intervālu vērtības (pirmais un pēdējais) nosacīti tiek pielīdzinātas tiem blakus esošajiem intervāliem (otrais un priekšpēdējais).

Ar šo vidējā lieluma aprēķinu ir pieļaujama zināma neprecizitāte, jo tiek pieņemts par raksturlieluma vienību vienmērīgu sadalījumu grupā. Tomēr, jo šaurāks ir intervāls un vairāk vienību intervālā, jo mazāka ir kļūda.

Pēc intervālu viduspunktu atrašanas aprēķini tiek veikti tāpat kā diskrētā sērijā - opcijas tiek reizinātas ar frekvencēm (svariem) un reizinājumu summa tiek dalīta ar frekvenču (svaru) summu. , tūkstoši rubļu:

.

Tātad, vidējais līmenis atalgojums AS strādniekiem ir 729 rubļi. mēnesī.

Vidējā aritmētiskā aprēķināšana bieži prasa daudz laika un darba. Tomēr vairākos gadījumos vidējās vērtības aprēķināšanas procedūru var vienkāršot un atvieglot, ja izmantojat tās īpašības. Iesniegsim (bez pierādījuma) dažas vidējā aritmētiskā pamatīpašības.

1. īpašums. Ja visas raksturlieluma individuālās vērtības (t. visas iespējas) samazināt vai palielināt ireizes, tad vidējā vērtība jauns raksturlielums attiecīgi samazināsies vai palielināsies ivienreiz.

2. īpašums. Ja tiek samazināti visi vidējā rādītāja variantiizšuj vai palielina par skaitli A, tad atbilst vidējais aritmētiskaisfaktiski samazināsies vai palielināsies par tādu pašu skaitli A.

3. īpašums. Ja tiek samazināts visu vidējo opciju svars vai palielināt par Uz reizes, tad vidējais aritmētiskais nemainīsies.

Kā vidējos svarus absolūto rādītāju vietā varat izmantot konkrētus svarus kopējā summā (akcijās vai procentos). Tas vienkāršo vidējās vērtības aprēķinus.

Lai vienkāršotu vidējās vērtības aprēķinus, viņi seko opciju un frekvenču vērtību samazināšanas ceļam. Vislielākā vienkāršošana tiek panākta, kad, kā A viena no centrālajām opcijām, kurai ir visaugstākā frekvence, tiek izvēlēta kā / - intervāla vērtība (sērijām ar vienādiem intervāliem). Lielumu A sauc par atskaites punktu, tāpēc šo vidējā aprēķināšanas metodi sauc par “skaitīšanas metodi no nosacītās nulles” vai "mirkļu veidā."

Pieņemsim, ka visas iespējas X vispirms samazinājās par tādu pašu skaitli A un pēc tam samazinājās par i vienreiz. Mēs iegūstam jaunu variāciju sēriju jaunu iespēju sadalījumam .

Tad jaunas iespējas tiks izteikts:

,

un to jaunais vidējais aritmētiskais , -pirmā pasūtījuma brīdis-formula:

.

Tas ir vienāds ar sākotnējo opciju vidējo vērtību, vispirms samazinot par A, un tad iekšā i vienreiz.

Lai iegūtu reālo vidējo, ir nepieciešams pirmās kārtas moments m 1 , reiziniet ar i un pievienot A:

.

Šī metode vidējā aritmētiskā aprēķināšana no variāciju sērijas sauc "mirkļu veidā."Šo metodi izmanto rindās ar vienādiem intervāliem.

Vidējā aritmētiskā aprēķinu, izmantojot momentu metodi, ilustrē tabulas dati. 4.4.

4.4. tabula

Mazo uzņēmumu sadalījums reģionā pēc ražošanas pamatlīdzekļu vērtības (FPF) 2000.g.

Uzņēmumu grupas pēc OPF vērtības, tūkstoši rubļu.	Uzņēmumu skaits f	Intervālu viduspunkti x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Pirmā pasūtījuma brīža atrašana

.

Tad pieņemot A = 19 un to zinot i= 2, aprēķiniet X, tūkstoši rubļu.:

Vidējo vērtību veidi un to aprēķināšanas metodes

Pie skatuves statistiskā apstrāde Var izvirzīt dažādas izpētes problēmas, kuru risināšanai nepieciešams izvēlēties atbilstošu vidējo. Šajā gadījumā ir jāvadās pēc šāda noteikuma: lielumiem, kas apzīmē vidējā skaitītāju un saucēju, jābūt loģiski saistītiem viens ar otru.

• jaudas vidējie rādītāji;
• strukturālie vidējie rādītāji.

Iepazīstinām ar šādām konvencijām:

Daudzumi, kuriem aprēķina vidējo;

Vidēji, kur augstāk esošā josla norāda, ka notiek atsevišķu vērtību vidējā noteikšana;

Biežums (individuālo raksturīgo vērtību atkārtojamība).

No vispārējās jaudas vidējās formulas tiek iegūti dažādi vidējie lielumi:

(5.1)

kad k = 1 - vidējais aritmētiskais; k = -1 - harmoniskais vidējais; k = 0 - ģeometriskais vidējais; k = -2 - vidējais kvadrāts.

Vidējās vērtības var būt vienkāršas vai svērtas. Vidējie svērtie rādītājiŠīs ir vērtības, kas ņem vērā, ka dažiem atribūtu vērtību variantiem var būt dažādi skaitļi, un tāpēc katra opcija ir jāreizina ar šo skaitli. Citiem vārdiem sakot, “skalas” ir apkopoto vienību skaitļi dažādās grupās, t.i. Katra opcija ir “svērta” pēc tās biežuma. Frekvenci f sauc statistiskais svars vai Vidējais svars.

Vidējais aritmētiskais- visizplatītākais vidējā rādītāja veids. To izmanto, ja aprēķins tiek veikts ar negrupētiem statistikas datiem, kur jāiegūst vidējais termiņš. Vidējais aritmētiskais ir raksturlieluma vidējā vērtība, kuru iegūstot, kopējais raksturlieluma apjoms agregātā paliek nemainīgs.

Vidējā aritmētiskā formula ( vienkārši) ir forma

kur n ir iedzīvotāju skaits.

Piemēram, uzņēmuma darbinieku vidējo algu aprēķina kā vidējo aritmētisko:

Šeit noteicošie rādītāji ir katra darbinieka alga un uzņēmuma darbinieku skaits. Aprēķinot vidējo, kopējais darba samaksas apmērs palika nemainīgs, bet sadalīts vienādi starp visiem darbiniekiem. Piemēram, jums ir jāaprēķina strādnieku vidējā alga nelielā uzņēmumā, kurā strādā 8 cilvēki:

Aprēķinot vidējās vērtības, var atkārtot atsevišķas vidējās vērtības pazīmes, tāpēc vidējo vērtību aprēķina, izmantojot grupētus datus. Šajā gadījumā mēs runājam par par lietošanu aritmētiskais vidējais svērtais, kam ir forma

(5.3)

Tātad mums ir jāaprēķina akciju sabiedrības akciju vidējā cena biržas tirdzniecībā. Ir zināms, ka darījumi tika veikti 5 dienu laikā (5 darījumi), pārdoto akciju skaits pēc pārdošanas kursa tika sadalīts šādi:

1 - 800 ak. - 1010 rubļi.

2 - 650 ak. - 990 rubļi.

3 - 700 ak. - 1015 rubļi.

4 - 550 ak. - 900 rubļi.

5 - 850 ak. - 1150 rubļi.

Sākotnējā akciju vidējās cenas noteikšanas attiecība ir darījumu kopsummas (TVA) attiecība pret pārdoto akciju skaitu (KPA).

5.1. Vidējā jēdziens

Vidējā vērtība -Šis ir vispārējs rādītājs, kas raksturo parādības tipisko līmeni. Tas izsaka raksturlieluma vērtību uz vienu populācijas vienību.

Vidējais vienmēr vispārina pazīmes kvantitatīvo variāciju, t.i. vidējās vērtībās tiek novērstas individuālās atšķirības starp populācijas vienībām nejaušu apstākļu dēļ. Atšķirībā no vidējā, absolūtā vērtība, kas raksturo populācijas atsevišķas vienības pazīmju līmeni, neļauj salīdzināt raksturlieluma vērtības starp vienībām, kas pieder pie dažādām populācijām. Tātad, ja jums ir jāsalīdzina divu uzņēmumu darbinieku atalgojuma līmeņi, tad jūs nevarat salīdzināt šī īpašība divi darbinieki no dažādiem uzņēmumiem. Salīdzinājumam atlasīto darbinieku atalgojums šiem uzņēmumiem var nebūt tipisks. Ja salīdzina darba samaksas fondu lielumu apskatāmajos uzņēmumos, darbinieku skaits netiek ņemts vērā, un līdz ar to nav iespējams noteikt, kur ir augstāks darba samaksas līmenis. Galu galā var salīdzināt tikai vidējos rādītājus, t.i. Cik vidēji nopelna viens darbinieks katrā uzņēmumā? Tādējādi ir jāaprēķina vidējā vērtība kā populācijas vispārinošs raksturlielums.

Vidējā aprēķināšana ir viens no izplatītākajiem vispārināšanas paņēmieniem; vidējais rādītājs noliedz to, kas ir kopīgs (tipisks) visām pētāmās populācijas vienībām, bet tajā pašā laikā ignorē atsevišķu vienību atšķirības. Katrā parādībā un tās attīstībā ir nejaušības un nepieciešamības kombinācija. Aprēķinot vidējos lielumus, lielu skaitļu likuma darbības dēļ nejaušība izzūd un līdzsvarojas, tāpēc ir iespējams abstrahēties no parādības nesvarīgajām pazīmēm, no raksturlieluma kvantitatīvajām vērtībām katrā konkrētajā gadījumā. . Spēja abstrahēties no individuālo vērtību nejaušības un svārstībām ir vidējo rādītāju zinātniskā vērtība kā agregātu vispārinošas īpašības.

Lai vidējais rādītājs būtu patiesi reprezentatīvs, tas jāaprēķina, ņemot vērā noteiktus principus.

Apskatīsim dažus visparīgie principi vidējo vērtību piemērošana.
1. Vidējais ir jānosaka populācijām, kas sastāv no kvalitatīvi viendabīgām vienībām.
2. Vidējais ir jāaprēķina populācijai, kas sastāv no pietiekami liels skaits vienības.
3. Vidējais ir jāaprēķina populācijai, kuras vienības atrodas normālā, dabiskā stāvoklī.
4. Vidējais jāaprēķina, ņemot vērā pētāmā rādītāja ekonomisko saturu.

5.2. Vidējo vērtību veidi un to aprēķināšanas metodes

Ļaujiet mums tagad apsvērt vidējo vērtību veidus, to aprēķināšanas iezīmes un pielietojuma jomas. Vidējās vērtības ir sadalītas divās lielās klasēs: vidējās jaudas vērtības, strukturālās vidējās vērtības.

UZ vidējā jauda Tie ietver vispazīstamākos un biežāk lietotos veidus, piemēram, ģeometrisko vidējo, aritmētisko vidējo un kvadrātisko vidējo.

Kā strukturālie vidējie rādītāji tiek ņemts vērā režīms un mediāna.

Koncentrēsimies uz jaudas vidējiem rādītājiem. Vidējie jaudas rādītāji atkarībā no avota datu noformējuma var būt vienkārši vai svērti. Vienkāršs vidējais To aprēķina, pamatojoties uz negrupētiem datiem, un tam ir šāda vispārīga forma:

kur X i ir vidējā rādītāja variants (vērtība);

n – skaitļa iespēja.

Vidējais svērtais tiek aprēķināts, pamatojoties uz grupētiem datiem, un tam ir vispārējs izskats

,

kur X i ir tā raksturlieluma variants (vērtība), kam tiek aprēķināts vidējais rādītājs, vai tā intervāla vidējā vērtība, kurā mēra variantu;
m – vidējās pakāpes indekss;
f i – frekvence, kas parāda, cik reizes tas notiek i-e vērtība vidējo rādītāju.

Kā piemēru minēsim skolēnu vidējā vecuma aprēķinu 20 cilvēku grupā:

Mēs aprēķinām vidējo vecumu, izmantojot vienkāršu vidējo formulu:

Sagrupēsim avota datus. Mēs iegūstam šādas izplatīšanas sērijas:

Grupēšanas rezultātā iegūstam jaunu rādītāju - biežumu, norādot skolēnu skaitu vecumā no X gadiem. Līdz ar to skolēnu vidējais vecums grupā tiks aprēķināts, izmantojot vidējo svērto formulu:

Vispārīgām formulām jaudas vidējo vērtību aprēķināšanai ir eksponents (m). Atkarībā no nepieciešamās vērtības izšķir šādus vidējo jaudas veidu:
vidējais harmoniskais, ja m = -1;
ģeometriskais vidējais, ja m –> 0;
vidējais aritmētiskais, ja m = 1;
vidējais kvadrāts, ja m = 2;
vidējais kubisks, ja m = 3.

Formulas vidējām jaudas vērtībām ir dotas tabulā. 4.4.

Ja vieniem un tiem pašiem sākotnējiem datiem aprēķināsiet visu veidu vidējos rādītājus, to vērtības izrādīsies atšķirīgas. Šeit darbojas vidējo lielumu vairākuma noteikums: pieaugot eksponentam m, palielinās arī atbilstošā vidējā vērtība:

Statistikas praksē vidējos aritmētiskos un harmoniskos svērtos vidējos izmanto biežāk nekā citus vidējos svērtos rādītājus.

5.1. tabula

Jaudas līdzekļu veidi

Sava veida spēks vidēji	Rādītājs grāds (m)	Aprēķina formula
		Vienkārši	Svērtais
Harmonisks	-1
Ģeometriski	0
Aritmētika	1
Kvadrātiskais	2
Kubisks	3

Harmoniskajam vidējam ir vairāk sarežģīts dizains nekā vidējais aritmētiskais. Harmonisko vidējo izmanto aprēķiniem, ja par svaru tiek izmantotas nevis populācijas vienības - raksturlieluma nesēji, bet gan šo vienību reizinājums ar raksturlieluma vērtībām (t.i., m = Xf). Vidējā harmoniskā vienkāršā jāizmanto gadījumos, kad tiek noteiktas, piemēram, vidējās darbaspēka, laika, materiālu izmaksas uz produkcijas vienību, uz vienu daļu diviem (trīs, četriem utt.) uzņēmumiem, ražošanā iesaistītajiem strādniekiem. tāda paša veida izstrādājums, viena un tā pati daļa, izstrādājums.

Galvenā prasība vidējās vērtības aprēķināšanas formulai ir, lai visiem aprēķina posmiem būtu reāls jēgpilns pamatojums; iegūtajai vidējai vērtībai vajadzētu aizstāt katra objekta atribūta individuālās vērtības, nepārtraucot saikni starp individuālajiem un kopsavilkuma rādītājiem. Citiem vārdiem sakot, vidējā vērtība jāaprēķina tā, lai, katru atsevišķo vidējā rādītāja vērtību aizvietojot ar tā vidējo vērtību, kāds galīgais kopsavilkuma rādītājs, kas vienā vai otrā veidā saistīts ar vidējo vērtību, paliktu nemainīgs. Šo kopsummu sauc definējot tā kā tās saistību raksturs ar individuālajām vērtībām nosaka konkrēto formulu vidējās vērtības aprēķināšanai. Parādīsim šo noteikumu, izmantojot ģeometriskā vidējā piemēru.

Ģeometriskā vidējā formula

Visbiežāk izmanto, aprēķinot vidējo vērtību, pamatojoties uz individuālo relatīvo dinamiku.

Ģeometrisko vidējo izmanto, ja ir dota ķēdes relatīvās dinamikas secība, norādot, piemēram, ražošanas pieaugumu salīdzinājumā ar iepriekšējā gada līmeni: i 1, i 2, i 3,..., i n. Ir skaidrs, ka ražošanas apjoms in pagājušais gads nosaka tā sākotnējais līmenis (q 0) un turpmākais pieaugums gadu gaitā:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×... × i n .

Ņemot par noteicošo rādītāju q n un aizvietojot individuālās dinamikas rādītāju vērtības ar vidējām, mēs nonākam pie attiecības

No šejienes

5.3. Strukturālie vidējie rādītāji

Pētījumam tiek izmantots īpašs vidējo rādītāju veids - strukturālie vidējie lielumi iekšējā struktūra atribūtu vērtību sadalījuma sērija, kā arī vidējās vērtības (jaudas tipa) novērtēšanai, ja tās aprēķinu nevar veikt pēc pieejamiem statistikas datiem (piemēram, ja aplūkotajā piemērā nebija datu gan par tilpumu ražošanas apjomu un izmaksu apjomu uzņēmumu grupām).

Rādītāji visbiežāk tiek izmantoti kā strukturālie vidējie rādītāji mode - atribūta biežāk atkārtotā vērtība – un mediānas - raksturlieluma vērtība, kas sadala sakārtoto tā vērtību secību divās vienādās daļās. Rezultātā pusei populācijas vienību atribūta vērtība nepārsniedz mediānas līmeni, bet otrai pusei tā nav mazāka par to.

Ja pētāmajam raksturlielumam ir diskrētas vērtības, tad režīma un mediānas aprēķināšanā nav īpašu grūtību. Ja dati par atribūta X vērtībām tiek parādīti sakārtotu tā izmaiņu intervālu (intervālu sērijas) veidā, režīma un mediānas aprēķins kļūst nedaudz sarežģītāks. Tā kā mediāna sadala visu populāciju divās vienādās daļās, tā nonāk vienā no raksturlieluma X intervāliem. Izmantojot interpolāciju, mediānas vērtību atrod šajā mediānas intervālā:

,

kur X Me ir vidējā intervāla apakšējā robeža;
h Es – tā vērtība;
(Summa m)/2 – puse no kopējā novērojumu skaita vai puse no rādītāja apjoma, kas tiek izmantots kā svērums vidējās vērtības aprēķināšanas formulās (absolūtā vai relatīvā izteiksmē);
S Me-1 – novērojumu summa (vai svēruma atribūta apjoms), kas uzkrāta pirms mediānas intervāla sākuma;
m Me – novērojumu skaits vai svēruma raksturlieluma apjoms mediānas intervālā (arī absolūtā vai relatīvā izteiksmē).

Mūsu piemērā var iegūt pat trīs vidējās vērtības - pamatojoties uz uzņēmumu skaitu, ražošanas apjomu un kopējām ražošanas izmaksām:

Tādējādi pusē uzņēmumu produkcijas vienības izmaksas pārsniedz 125,19 tūkstošus rubļu, puse no kopējā produkcijas apjoma tiek saražota ar vienas preces pašizmaksu vairāk nekā 124,79 tūkstošus rubļu. un 50% no kopējām izmaksām veidojas, ja viena produkta izmaksas pārsniedz 125,07 tūkstošus rubļu. Ņemiet vērā arī to, ka pastāv zināma tendence uz izmaksu pieaugumu, jo Me 2 = 124,79 tūkstoši rubļu, un vidējais līmenis ir 123,15 tūkstoši rubļu.

Aprēķinot raksturlieluma modālo vērtību, pamatojoties uz intervālu sērijas datiem, ir jāpievērš uzmanība tam, ka intervāli ir identiski, jo no tā ir atkarīgs raksturlieluma X vērtību atkārtojamības rādītājs. intervālu sērija ar vienādiem intervāliem, režīma lielumu nosaka kā

kur X Mo ir modālā intervāla zemākā vērtība;
m Mo – novērojumu skaits vai svēruma raksturlieluma apjoms modālajā intervālā (absolūtā vai relatīvā izteiksmē);
m Mo -1 – tas pats intervālam pirms modālā;
m Mo+1 – tas pats intervālam, kas seko modālajam;
h – raksturlieluma izmaiņu intervāla vērtība grupās.

Mūsu piemērā mēs varam aprēķināt trīs modālās vērtības, pamatojoties uz uzņēmumu skaita, produktu apjoma un izmaksu apjoma īpašībām. Visos trīs gadījumos modālais intervāls ir vienāds, jo vienā un tajā pašā intervālā uzņēmumu skaits, ražošanas apjoms un kopējās ražošanas izmaksas ir vislielākās:

Tādējādi visbiežāk ir uzņēmumi ar izmaksu līmeni 126,75 tūkstoši rubļu, visbiežāk tiek ražoti produkti ar izmaksu līmeni 126,69 tūkstoši rubļu, un visbiežāk ražošanas izmaksas tiek skaidrotas ar izmaksu līmeni 123,73 tūkstoši rubļu.

5.4. Variācijas rādītāji

Konkrētos apstākļus, kādos atrodas katrs no pētāmajiem objektiem, kā arī savas attīstības pazīmes (sociālās, ekonomiskās u.c.) izsaka atbilstošie statistisko rādītāju skaitliskie līmeņi. Tādējādi variācija, tie. nesakritība starp viena un tā paša rādītāja līmeņiem dažādos objektos ir objektīva pēc būtības un palīdz izprast pētāmās parādības būtību.

Pastāv vairākas metodes, ko izmanto, lai izmērītu statistikas atšķirības.

Vienkāršākais ir aprēķināt indikatoru variāciju diapazons H kā starpība starp maksimālās (X max) un minimālās (X min) novērotās raksturlieluma vērtības:

H=X max - X min .

Tomēr variāciju diapazons parāda tikai pazīmes galējās vērtības. Šeit netiek ņemta vērā starpvērtību atkārtojamība.

Stingrāki raksturlielumi ir mainīguma rādītāji attiecībā pret atribūta vidējo līmeni. Vienkāršākais šāda veida rādītājs ir vidējā lineārā novirze L kā raksturlieluma absolūto noviržu vidējais aritmētiskais no tā vidējā līmeņa:

Ja atsevišķas X vērtības ir atkārtojamas, izmantojiet svērto vidējo aritmētisko formulu:

(Atcerieties, ka algebriskā summa novirzes no vidējā līmeņa ir nulle.)

Vidējās lineārās novirzes indikators tiek plaši izmantots praksē. Ar tās palīdzību, piemēram, tiek analizēts strādnieku sastāvs, ražošanas ritms, materiālu piegāžu vienveidība, izstrādātas materiālās stimulēšanas sistēmas. Bet diemžēl šis rādītājs sarežģī varbūtības aprēķinus un apgrūtina matemātiskās statistikas metožu izmantošanu. Tāpēc statistikā zinātniskie pētījumi indikators, ko visbiežāk izmanto variāciju mērīšanai, ir dispersijas.

Raksturlieluma (s 2) dispersiju nosaka, pamatojoties uz kvadrātiskās jaudas vidējo vērtību:

.

Tiek izsaukts rādītājs s vienāds ar vidēji kvadrātveida novirze.

Vispārējā statistikas teorijā izkliedes rādītājs ir tāda paša nosaukuma varbūtības teorijas rādītāja novērtējums un (kā noviržu summa kvadrātā) matemātiskās statistikas dispersijas novērtējums, kas ļauj izmantot šo noteikumu nosacījumus. teorētiskās disciplīnas sociāli ekonomisko procesu analīzei.

Ja variāciju novērtē no neliela skaita novērojumu, kas iegūti no neierobežotas populācijas, tad raksturlieluma vidējo vērtību nosaka ar zināmu kļūdu. Aprēķinātā dispersijas vērtība izrādās novirzīta uz samazinājumu. Lai iegūtu objektīvu novērtējumu, izlases dispersija, kas iegūta, izmantojot iepriekš dotās formulas, jāreizina ar vērtību n / (n - 1). Rezultātā ar nelielu skaitu novērojumu (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Parasti jau pie n > (15÷20) neatbilstība starp neobjektīviem un objektīviem novērtējumiem kļūst nenozīmīga. Tā paša iemesla dēļ novirzes parasti netiek ņemtas vērā dispersiju pievienošanas formulā.

Ja no kopējās kopas tiek ņemti vairāki paraugi un katru reizi tiek noteikta pazīme vidējā vērtība, tad rodas problēma ar vidējo rādītāju mainīguma novērtēšanu. Novērtējiet dispersiju vidējā vērtība tas ir iespējams, pamatojoties tikai uz vienu novērojumu paraugu, izmantojot formulu

,

kur n ir izlases lielums; s 2 – no izlases datiem aprēķinātā raksturlieluma dispersija.

Lielums tiek saukts vidējā izlases kļūda un ir raksturlielums atribūta X izlases vidējās vērtības novirzei no tā patiesās vidējās vērtības. Vidējās kļūdas indikators tiek izmantots, lai novērtētu izlases novērošanas rezultātu ticamību.

Relatīvās izkliedes rādītāji. Lai raksturotu pētāmā raksturlieluma mainīguma mēru, mainīguma rādītājus aprēķina relatīvās vērtībās. Tie ļauj salīdzināt dispersijas raksturu dažādos sadalījumos (dažādas viena un tā paša rakstura novērošanas vienības divās populācijās, ar dažādas nozīmes vidējie rādītāji, salīdzinot dažādas populācijas). Relatīvās dispersijas mēra rādītāju aprēķins tiek veikts kā attiecība absolūtais rādītājs dispersija līdz vidējam aritmētiskajam, reizināta ar 100%.

1. Svārstību koeficients atspoguļo raksturlieluma galējo vērtību relatīvās svārstības ap vidējo

.

2. Relatīvā lineārā izslēgšana raksturo absolūto noviržu zīmes vidējās vērtības proporciju no vidējās vērtības.

.

3. Variācijas koeficients:

ir visizplatītākais mainīguma mērs, ko izmanto, lai novērtētu vidējo vērtību tipiskumu.

Statistikā populācijas, kuru variācijas koeficients pārsniedz 30–35%, tiek uzskatītas par neviendabīgām.

Šai variāciju novērtēšanas metodei ir arī būtisks trūkums. Patiešām, ļaujiet, piemēram, sākotnējai darbinieku grupai ar vidējo stāžu 15 gadi ar standarta novirzi s = 10 gadi “novecot” vēl par 15 gadiem. Tagad = 30 gadi, un standarta novirze joprojām ir 10. Iepriekš neviendabīgā populācija (10/15 × 100 = 66,7%), tādējādi laika gaitā izrādoties diezgan viendabīgs (10/30 × 100 = 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Teorētiskās studijas statistikā: Sest. Zinātniski Trudovs.–M.: Statistika, 1974. 19.–57.lpp.

Iepriekšējais