Analizirajmo dve vrsti rešitev sistemov enačb:

1. Reševanje sistema z metodo substitucije.
2. Reševanje sistema s počlanskim seštevanjem (odštevanjem) enačb sistema.

Da bi rešili sistem enačb po substitucijski metodi morate slediti preprostemu algoritmu:
1. Ekspresno. Iz poljubne enačbe izrazimo eno spremenljivko.
2. Nadomestek. Dobljeno vrednost nadomestimo v drugo enačbo namesto izražene spremenljivke.
3. Reši dobljeno enačbo z eno spremenljivko. Najdemo rešitev za sistem.

Rešiti sistem z metodo seštevanja (odštevanja) po členih moram:
1. Izberemo spremenljivko, za katero bomo naredili enake koeficiente.
2. Enačbe seštevamo ali odštevamo, tako da dobimo enačbo z eno spremenljivko.
3. Rešite nastalo linearno enačbo. Najdemo rešitev za sistem.

Rešitev sistema so presečišča funkcijskih grafov.

Oglejmo si podrobno rešitev sistemov z uporabo primerov.

Primer #1:

Rešimo z metodo zamenjave

Reševanje sistema enačb z metodo substitucije

2x+5y=1 (1 enačba)
x-10y=3 (2. enačba)

1. Ekspresno
Vidimo, da je v drugi enačbi spremenljivka x s koeficientom 1, kar pomeni, da je spremenljivko x najlažje izraziti iz druge enačbe.
x=3+10y

2. Ko smo jo izrazili, v prvo enačbo namesto spremenljivke x nadomestimo 3+10y.
2(3+10y)+5y=1

3. Reši dobljeno enačbo z eno spremenljivko.
2(3+10y)+5y=1 (odprite oklepaje)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Rešitev sistema enačb so presečišča grafov, zato moramo najti x in y, ker presečišče sestavljata x in y. Poiščemo x, v prvi točki, kjer smo ga izrazili, nadomestimo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Običajno pišemo točke, na prvo mesto zapišemo spremenljivko x, na drugo mesto pa spremenljivko y.
Odgovor: (1; -0,2)

Primer #2:

Rešujmo z metodo seštevanja (odštevanja) po členih.

Reševanje sistema enačb z metodo dodajanja

3x-2y=1 (1 enačba)
2x-3y=-10 (2. enačba)

1. Izberemo spremenljivko, recimo, da izberemo x. V prvi enačbi ima spremenljivka x koeficient 3, v drugi - 2. Koeficiente moramo narediti enake, za to imamo pravico pomnožiti enačbe ali deliti s poljubnim številom. Prvo enačbo pomnožimo z 2, drugo pa s 3 in dobimo skupni koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Odštejte drugo od prve enačbe, da se znebite spremenljivke x. Rešite linearno enačbo.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Poišči x. Najdeni y nadomestimo v katero koli od enačb, recimo v prvo enačbo.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Presečišče bo x=4,6; y=6,4
Odgovor: (4,6; 6,4)

Se želite brezplačno pripravljati na izpite? Tutor na spletu zastonj. Brez heca.

Rešitev linearnih sistemov algebraične enačbe(SLAE) je nedvomno najpomembnejša tema v tečaju linearne algebre. Ogromno problemov iz vseh vej matematike se spusti na reševanje sistemov linearne enačbe. Ti dejavniki pojasnjujejo razlog za ta članek. Gradivo članka je izbrano in strukturirano tako, da lahko z njegovo pomočjo

• pobrati optimalna metoda rešitve vašega sistema linearnih algebrskih enačb,
• preuči teorijo izbrane metode,
• rešite svoj sistem linearnih enačb z upoštevanjem podrobnih rešitev tipičnih primerov in problemov.

Kratek opis materiala članka.

Najprej dajmo vse potrebne definicije, koncepte in uvesti oznake.

Nato bomo obravnavali metode za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb, v katerih je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in imajo enolično rešitev. Najprej se bomo osredotočili na Cramerjevo metodo, drugič bomo prikazali matrično metodo za reševanje tovrstnih sistemov enačb, tretjič pa bomo analizirali Gaussovo metodo (metoda zaporednega izločanja neznanih spremenljivk). Za utrditev teorije bomo zagotovo rešili več SLAE na različne načine.

Po tem bomo prešli na reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošni pogled, v kateri število enačb ne sovpada s številom neznanih spremenljivk ali pa je glavna matrika sistema singularna. Oblikujmo Kronecker-Capellijev izrek, ki nam omogoča, da ugotovimo združljivost SLAE. Analizirajmo rešitev sistemov (če so združljivi) z uporabo koncepta osnovni minor matrice. Upoštevali bomo tudi Gaussovo metodo in podrobno opisali rešitve primerov.

Vsekakor se bomo posvetili strukturi splošne rešitve homogenih in nehomogenih sistemov linearnih algebrskih enačb. Podajte koncept temeljnega sistema rešitev in pokažimo, kako je splošna rešitev SLAE zapisana z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev. Za boljše razumevanje si poglejmo nekaj primerov.

Na koncu bomo obravnavali sisteme enačb, ki jih je mogoče zmanjšati na linearne, pa tudi različne probleme, pri reševanju katerih nastanejo SLAE.

Navigacija po straneh.

Definicije, pojmi, oznake.

Obravnavali bomo sisteme p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami (p je lahko enak n) oblike

Neznane spremenljivke, - koeficienti (nekatera realna ali kompleksna števila), - prosti členi (tudi realna ali kompleksna števila).

Ta oblika zapisa SLAE se imenuje koordinirati.

IN matrična oblika pisanje tega sistema enačb ima obliko,
Kje - glavna matrika sistema, - stolpčna matrika neznanih spremenljivk, - stolpčna matrika prostih členov.

Če matriki A dodamo matriko-stolpec prostih členov kot (n+1) stolpec, dobimo t.i. razširjena matrika sistemi linearnih enačb. Običajno je razširjena matrika označena s črko T, stolpec prostih izrazov pa je ločen z navpično črto od preostalih stolpcev, to je

Reševanje sistema linearnih algebrskih enačb imenovan niz vrednosti neznanih spremenljivk, ki spremeni vse enačbe sistema v identitete. Tudi matrična enačba za dane vrednosti neznanih spremenljivk postane identiteta.

Če ima sistem enačb vsaj eno rešitev, se imenuje sklep.

Če sistem enačb nima rešitev, se imenuje neskupni.

Če ima SLAE edinstveno rešitev, se ta pokliče določene; če obstaja več kot ena rešitev, potem – negotova.

Če so prosti členi vseh enačb sistema enaki nič , nato se sistem pokliče homogena, drugače - heterogena.

Reševanje elementarnih sistemov linearnih algebrskih enačb.

Če je število enačb sistema enako številu neznanih spremenljivk in determinanta njegove glavne matrike ni enaka nič, se bodo takšni SLAE imenovali osnovno. Takšni sistemi enačb imajo edinstveno rešitev in v primeru homogeni sistem vse neznane spremenljivke so nič.

Takšne SLAE smo začeli preučevati v srednji šoli. Pri njihovem reševanju smo vzeli eno enačbo, eno neznano spremenljivko izrazili z drugimi in jo nadomestili v preostale enačbe, nato vzeli naslednjo enačbo, izrazili naslednjo neznano spremenljivko in jo nadomestili v druge enačbe itd. Ali pa so uporabili metodo dodajanja, to je, da so dodali dve ali več enačb, da bi izločili nekatere neznane spremenljivke. O teh metodah se ne bomo podrobneje ukvarjali, saj so v bistvu modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za reševanje elementarnih sistemov linearnih enačb so Cramerjeva metoda, matrična metoda in Gaussova metoda. Razvrstimo jih.

Reševanje sistemov linearnih enačb po Cramerjevi metodi.

Recimo, da moramo rešiti sistem linearnih algebrskih enačb

v katerem je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in je determinanta glavne matrike sistema različna od nič, to je .

Naj bo determinanta glavne matrike sistema in - determinante matrik, ki jih dobimo iz A z zamenjavo 1., 2., …, n v stolpec brezplačnih članov:

S tem zapisom se neznane spremenljivke izračunajo z uporabo formul Cramerjeve metode kot . Tako se po Cramerjevi metodi najde rešitev sistema linearnih algebrskih enačb.

Primer.

Cramerjeva metoda .

rešitev.

Glavna matrika sistema ima obliko . Izračunajmo njegovo determinanto (če je potrebno, glej članek):

Ker je determinanta glavne matrike sistema različna od nič, ima sistem edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s Cramerjevo metodo.

Sestavimo in izračunajmo potrebne determinante (determinanto dobimo z zamenjavo prvega stolpca v matriki A s stolpcem prostih členov, determinanto z zamenjavo drugega stolpca s stolpcem prostih členov in z zamenjavo tretjega stolpca matrike A s stolpcem prostih členov) :

Iskanje neznanih spremenljivk s pomočjo formul :

odgovor:

Glavna pomanjkljivost Cramerjeve metode (če jo lahko imenujemo pomanjkljivost) je zapletenost izračuna determinant, ko je število enačb v sistemu večje od treh.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo (z uporabo inverzne matrike).

Naj bo sistem linearnih algebrskih enačb podan v matrični obliki, kjer ima matrika A razsežnost n x n in je njena determinanta različna od nič.

Ker je , je matrika A invertibilna, kar pomeni, da obstaja inverzna matrika. Če obe strani enakosti pomnožimo z levo, dobimo formulo za iskanje matričnega stolpca neznanih spremenljivk. Tako smo z matrično metodo dobili rešitev sistema linearnih algebrskih enačb.

Primer.

Reši sistem linearnih enačb matrična metoda.

rešitev.

Zapišimo sistem enačb v matrični obliki:

Ker

potem je mogoče SLAE rešiti z matrično metodo. Z uporabo inverzne matrike lahko rešitev tega sistema najdemo kot .

Sestavimo inverzno matriko z uporabo matrike iz algebrski dodatki elementi matrike A (če je potrebno, glejte članek):

Ostaja še izračunati matriko neznanih spremenljivk z množenjem inverzne matrike v matrični stolpec brezplačnih članov (če je potrebno, glejte članek):

odgovor:

ali v drugem zapisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavna težava pri iskanju rešitev sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo je kompleksnost iskanja inverzne matrike, še posebej za kvadratne matrike reda, višjega od tretjega.

Reševanje sistemov linearnih enačb z Gaussovo metodo.

Recimo, da moramo najti rešitev sistema n linearnih enačb z n neznanimi spremenljivkami
katere determinanta glavne matrike je različna od nič.

Bistvo Gaussove metode sestoji iz zaporedne izključitve neznanih spremenljivk: najprej je x 1 izključen iz vseh enačb sistema, začenši z drugo, nato je x 2 izključen iz vseh enačb, začenši s tretjo, in tako naprej, dokler ni samo neznana spremenljivka x n ostane v zadnji enačbi. Ta postopek preoblikovanja sistemskih enačb za zaporedno odpravo neznanih spremenljivk se imenuje direktna Gaussova metoda. Po končanem hodu Gaussove metode se x n najde iz zadnje enačbe, z uporabo te vrednosti iz predzadnje enačbe se izračuna x n-1 in tako naprej, x 1 se najde iz prve enačbe. Postopek izračunavanja neznanih spremenljivk pri prehodu iz zadnje enačbe sistema v prvo se imenuje obratno od Gaussove metode.

Naj na kratko opišemo algoritem za izločanje neznanih spremenljivk.

Predpostavili bomo, da , saj lahko to vedno dosežemo s preureditvijo enačb sistema. Izločimo neznano spremenljivko x 1 iz vseh enačb sistema, začenši z drugo. Da bi to naredili, drugi enačbi sistema dodamo prvo, pomnoženo z , tretji enačbi dodamo prvo, pomnoženo z , in tako naprej, n-ti enačbi dodamo prvo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in .

Do enakega rezultata bi prišli, če bi x 1 izrazili z drugimi neznanimi spremenljivkami v prvi enačbi sistema in dobljeni izraz nadomestili v vse druge enačbe. Tako je spremenljivka x 1 izključena iz vseh enačb, začenši z drugo.

V nadaljevanju postopamo na podoben način, vendar le z delom nastalega sistema, ki je označen na sliki

Da bi to naredili, tretji enačbi sistema dodamo drugo, pomnoženo z , četrti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z , in tako naprej, n-ti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in . Tako je spremenljivka x 2 izključena iz vseh enačb, začenši s tretjo.

Nato nadaljujemo z izločanjem neznanke x 3, pri čemer ravnamo podobno z delom sistema, ki je označen na sliki.

Tako nadaljujemo z neposrednim napredovanjem Gaussove metode, dokler sistem ne prevzame oblike

Od tega trenutka začnemo obratno Gaussovo metodo: izračunamo x n iz zadnje enačbe kot .

Primer.

Reši sistem linearnih enačb Gaussova metoda.

rešitev.

Izključimo neznano spremenljivko x 1 iz druge in tretje enačbe sistema. Da bi to naredili, obema stranema druge in tretje enačbe dodamo ustrezne dele prve enačbe, pomnožene z oz.

Zdaj odstranimo x 2 iz tretje enačbe tako, da njeni levi in ​​desni strani dodamo levo in desno stran druge enačbe, pomnoženo z:

S tem se konča hod Gaussove metode naprej; začnemo hod nazaj.

Iz zadnje enačbe nastalega sistema enačb najdemo x 3:

Iz druge enačbe dobimo.

Iz prve enačbe poiščemo preostalo neznano spremenljivko in s tem dokončamo obratno Gaussovo metodo.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Na splošno število enačb sistema p ne sovpada s številom neznanih spremenljivk n:

Takšni SLAE morda nimajo rešitev, imajo eno samo rešitev ali imajo neskončno veliko rešitev. Ta izjava velja tudi za sisteme enačb, katerih glavna matrika je kvadratna in singularna.

Kronecker–Capellijev izrek.

Preden najdemo rešitev sistema linearnih enačb, je treba ugotoviti njegovo združljivost. Odgovor na vprašanje, kdaj je SLAE združljiv in kdaj neskladen, podaja Kronecker–Capellijev izrek:
Da bi bil sistem p enačb z n neznankami (p je lahko enak n) konsistenten, je nujno in zadostno, da je rang glavne matrike sistema enak rangu razširjene matrike, tj. , Rank(A)=Rank(T).

Oglejmo si kot primer uporabo Kronecker–Capellijevega izreka za določitev združljivosti sistema linearnih enačb.

Primer.

Ugotovite, ali ima sistem linearnih enačb rešitve.

rešitev.

. Uporabimo metodo mejnih mladoletnikov. Minor drugega reda drugačen od nič. Poglejmo mladoletnike tretjega reda, ki mejijo nanj:

Ker so vsi mejni minori tretjega reda enaki nič, je rang glavne matrike enak dvema.

Po drugi strani pa rang razširjene matrike je enako tri, saj je minor tretjega reda

drugačen od nič.

torej Rang(A), zato lahko z uporabo Kronecker–Capellijevega izreka sklepamo, da je izvirni sistem linearnih enačb nedosleden.

odgovor:

Sistem nima rešitev.

Tako smo se naučili ugotavljati nedoslednost sistema z uporabo Kronecker-Capellijevega izreka.

Toda kako najti rešitev za SLAE, če je vzpostavljena njegova združljivost?

Za to potrebujemo koncept baznega minora matrike in izrek o rangu matrike.

Imenuje se minor najvišjega reda matrike A, ki je različen od nič osnovni.

Iz definicije bazičnega minora sledi, da je njegov vrstni red enak rangu matrike. Za neničelno matriko A je lahko več baznih minorjev; vedno obstaja en bazični minor.

Na primer, razmislite o matriki .

Vsi minori tretjega reda te matrike so enaki nič, saj so elementi tretje vrstice te matrike vsota ustreznih elementov prve in druge vrstice.

Naslednji minori drugega reda so osnovni, ker niso ničelni

mladoletniki niso bazične, saj so enake nič.

Izrek o rangu matrike.

Če je rang matrike reda p krat n enak r, potem so vsi vrstični (in stolpčni) elementi matrike, ki ne tvorijo izbrane osnovne baze, linearno izraženi z ustreznimi vrstičnimi (in stolpčnimi) elementi, ki tvorijo osnova manjša.

Kaj nam pove izrek o rangu matrike?

Če smo po Kronecker–Capellijevem izreku ugotovili združljivost sistema, potem izberemo katerikoli bazni minor glavne matrike sistema (njen vrstni red je enak r) in izločimo iz sistema vse enačbe, ki ne tvorijo izbrane osnovne podlage. Tako dobljen SLAE bo enakovreden originalnemu, saj so zavržene enačbe še vedno redundantne (po izreku o rangu matrike so linearna kombinacija preostalih enačb).

Posledično sta po zavrženju nepotrebnih enačb sistema možna dva primera.

Če je število enačb r v dobljenem sistemu enako številu neznanih spremenljivk, potem bo ta dokončen in edino rešitev lahko najdemo s Cramerjevo metodo, matrično metodo ali Gaussovo metodo.

Primer.

.

rešitev.

Rang glavne matrike sistema je enako dve, saj je minor drugega reda drugačen od nič. Razširjeni matrični rang je tudi enako dve, saj je edini minor tretjega reda nič

in zgoraj obravnavani minor drugega reda je drugačen od nič. Na osnovi Kronecker–Capellijevega izreka lahko trdimo združljivost izvirnega sistema linearnih enačb, saj je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kot osnovo minor vzamemo . Sestavljen je iz koeficientov prve in druge enačbe:


Tretja enačba sistema ne sodeluje pri tvorjenju baznega minora, zato jo izločimo iz sistema na podlagi izreka o rangu matrike:


Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebrskih enačb. Rešimo jo s Cramerjevo metodo:


odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Če je število enačb r v nastalem SLAE manjše število neznanih spremenljivk n, nato na levih straneh enačb pustimo člene, ki tvorijo bazni minor, preostale člene pa prenesemo na desne strani enačb sistema z nasprotnim predznakom.

Neznane spremenljivke (r od njih), ki ostanejo na levi strani enačb, se imenujejo glavni.

Pokličemo neznane spremenljivke (obstaja n - r kosov), ki so na desni strani prost.

Zdaj verjamemo, da lahko proste neznane spremenljivke zavzamejo poljubne vrednosti, medtem ko bo r glavnih neznanih spremenljivk izraženo preko prostih neznanih spremenljivk na edinstven način. Njihov izraz je mogoče najti z reševanjem nastalega SLAE z uporabo Cramerjeve metode, matrične metode ali Gaussove metode.

Poglejmo si na primeru.

Primer.

Rešite sistem linearnih algebrskih enačb .

rešitev.

Poiščimo rang glavne matrike sistema po metodi mejnih mladoletnikov. Vzemimo 1 1 = 1 kot neničelni minor prvega reda. Začnimo iskati neničelni minor drugega reda, ki meji na ta minor:


Tako smo našli neničelni minor drugega reda. Začnimo iskati neničelni obrobni minor tretjega reda:


Tako je rang glavne matrice tri. Tudi rang razširjene matrike je enak trem, kar pomeni, da je sistem konsistenten.

Za osnovo vzamemo najdeni neničelni minor tretjega reda.

Zaradi jasnosti prikazujemo elemente, ki tvorijo osnovo minor:


Člene, vključene v bazni mol, pustimo na levi strani sistemskih enačb, ostale z nasprotnimi predznaki pa prenesemo na desne strani:


Dajmo prostim neznanim spremenljivkam x 2 in x 5 poljubne vrednosti, to pomeni, da sprejmemo , kjer so poljubna števila. V tem primeru bo SLAE prevzel obliko


Rešimo nastali elementarni sistem linearnih algebrskih enačb z uporabo Cramerjeve metode:


Zato,.

V odgovoru ne pozabite navesti prostih neznanih spremenljivk.

odgovor:

Kje so poljubna števila.

Povzemite.

Za rešitev sistema splošnih linearnih algebrskih enačb najprej določimo njegovo združljivost s Kronecker–Capellijevim izrekom. Če rang glavne matrike ni enak rangu razširjene matrike, potem sklepamo, da je sistem nekompatibilen.

Če je rang glavne matrike enak rangu razširjene matrike, potem izberemo bazni minor in zavržemo enačbe sistema, ki ne sodelujejo pri oblikovanju izbranega baznega minora.

Če je vrstni red osnove minor enako številu neznanih spremenljivk, potem ima SLAE edinstveno rešitev, ki jo najdemo s katero koli nam znano metodo.

Če je vrstni red osnovnega minora manjši od števila neznanih spremenljivk, potem na levi strani sistemskih enačb pustimo člene z glavnimi neznanimi spremenljivkami, preostale člene prenesemo na desne strani in damo poljubne vrednosti prostih neznanih spremenljivk. Iz dobljenega sistema linearnih enačb poiščemo glavne neznane spremenljivke z uporabo Cramerjeve metode, matrične metode ali Gaussove metode.

Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Gaussovo metodo je mogoče uporabiti za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb katere koli vrste, ne da bi jih najprej preizkusili glede skladnosti. Postopek zaporednega izločanja neznanih spremenljivk omogoča sklepanje tako o združljivosti kot o nezdružljivosti SLAE, in če rešitev obstaja, jo omogoča najti.

Z računalniškega vidika je boljša Gaussova metoda.

Pazi natančen opis in analiziral primere v članku Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Pisanje splošne rešitve homogenih in nehomogenih linearnih algebrskih sistemov z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev.

V tem razdelku bomo govorili o istočasnih homogenih in nehomogenih sistemih linearnih algebrskih enačb, ki imajo neskončno število rešitev.

Najprej se posvetimo homogenim sistemom.

Temeljni sistem rešitev homogeni sistem p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami je zbirka (n – r) linearno neodvisnih rešitev tega sistema, kjer je r vrstni red baznega minora glavne matrike sistema.

Če označimo linearno neodvisne rešitve homogeni SLAE kot so X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) matrike stolpcev razsežnosti n krat 1), potem je splošna rešitev tega homogen sistem, predstavljen v obliki linearna kombinacija vektorji temeljnega sistema rešitev s poljubnimi konstantnimi koeficienti C 1, C 2, ..., C (n-r), to je .

Kaj pomeni izraz splošna rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb (oroslau)?

Pomen je preprost: formula podaja vse možne rešitve prvotnega SLAE, z drugimi besedami, vzamemo kateri koli niz vrednosti poljubnih konstant C 1, C 2, ..., C (n-r), z uporabo formule bomo dobimo eno od rešitev prvotnega homogenega SLAE.

Če torej najdemo temeljni sistem rešitev, potem lahko vse rešitve tega homogenega SLAE definiramo kot .

Pokažimo postopek konstruiranja temeljnega sistema rešitev za homogeno SLAE.

Izberemo bazni minor izvornega sistema linearnih enačb, izločimo vse druge enačbe iz sistema in vse člene, ki vsebujejo proste neznane spremenljivke, prenesemo na desne strani sistemskih enačb z nasprotnimi predznaki. Dajmo brezplačne neznanke spremenljive vrednosti 1,0,0,…,0 in izračunajte glavne neznanke z reševanjem nastalega elementarnega sistema linearnih enačb na kakršen koli način, na primer z uporabo Cramerjeve metode. To bo povzročilo X (1) - prvo rešitev osnovnega sistema. Če prostim neznankam damo vrednosti 0,1,0,0,…,0 in izračunamo glavne neznanke, dobimo X (2) . In tako naprej. Če prostim neznanim spremenljivkam priredimo vrednosti 0.0,…,0.1 in izračunamo glavne neznanke, dobimo X (n-r) . Na ta način bo konstruiran temeljni sistem rešitev homogene SLAE in njegovo splošno rešitev lahko zapišemo v obliki .

Za nehomogene sisteme linearnih algebrskih enačb je splošna rešitev predstavljena v obliki , kjer je splošna rešitev ustreznega homogenega sistema, in je partikularna rešitev originalne nehomogene SLAE, ki jo dobimo tako, da prostim neznankam podamo vrednosti ​​0,0,…,0 in izračun vrednosti glavnih neznank.

Poglejmo si primere.

Primer.

Poiščite temeljni sistem rešitev in splošno rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb .

rešitev.

Rang glavne matrike homogenih sistemov linearnih enačb je vedno enak rangu razširjene matrike. Poiščimo rang glavne matrike z metodo robnih pomorov. Kot neničelni minor prvega reda vzamemo element a 1 1 = 9 glavne matrike sistema. Poiščimo obrobni neničelni minor drugega reda:

Najden je bil minor drugega reda, različen od nič. Pojdimo skozi minore tretjega reda, ki mejijo nanj, da poiščemo neničelnega:

Vsi mejni minori tretjega reda so enaki nič, zato je rang glavne in razširjene matrike enak dvema. Vzemimo . Za jasnost omenimo elemente sistema, ki ga tvorijo:

Tretja enačba prvotnega SLAE ne sodeluje pri oblikovanju osnovnega minora, zato jo je mogoče izključiti:

Na desni strani enačb pustimo člene, ki vsebujejo glavne neznanke, na desne strani pa prenesemo člene s prostimi neznankami:

Konstruirajmo temeljni sistem rešitev izvirnega homogenega sistema linearnih enačb. Osnovni sistem rešitev tega SLAE je sestavljen iz dveh rešitev, saj originalni SLAE vsebuje štiri neznane spremenljivke, vrstni red njegovega baznega minora pa je enak dvema. Da bi našli X (1), damo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti x 2 = 1, x 4 = 0, nato najdemo glavne neznanke iz sistema enačb
.

Sistemi enačb se pogosto uporabljajo v gospodarski panogi matematično modeliranje različne procese. Na primer pri reševanju problemov vodenja in načrtovanja proizvodnje, logističnih poti (problem transporta) ali postavitve opreme.

Sistemi enačb se ne uporabljajo le v matematiki, ampak tudi v fiziki, kemiji in biologiji pri reševanju problemov ugotavljanja velikosti populacije.

Sistem linearnih enačb je dve ali več enačb z več spremenljivkami, za katere je treba najti skupno rešitev. Takšno zaporedje števil, za katerega vse enačbe postanejo prave enakosti ali pa dokazujejo, da zaporedje ne obstaja.

Linearna enačba

Enačbe oblike ax+by=c imenujemo linearne. Oznake x, y so neznanke, katerih vrednost je treba najti, b, a so koeficienti spremenljivk, c je prosti člen enačbe.
Reševanje enačbe z risanjem bo videti kot ravna črta, katere vse točke so rešitve polinoma.

Vrste sistemov linearnih enačb

Najpreprostejši primeri so sistemi linearnih enačb z dvema spremenljivkama X in Y.

F1(x, y) = 0 in F2(x, y) = 0, kjer sta F1,2 funkciji in (x, y) funkcijski spremenljivki.

Reši sistem enačb - to pomeni iskanje vrednosti (x, y), pri katerih se sistem spremeni v pravo enakost ali ugotovitev, da primerne vrednosti x in y ne obstajajo.

Par vrednosti (x, y), zapisan kot koordinate točke, se imenuje rešitev sistema linearnih enačb.

Če imajo sistemi eno skupno rešitev ali rešitev ne obstaja, jih imenujemo enakovredni.

Homogeni sistemi linearnih enačb so sistemi desni del ki je enaka nič. Če ima desni del za enačajom vrednost ali je izražen s funkcijo, je tak sistem heterogen.

Število spremenljivk je lahko veliko več kot dve, potem bi morali govoriti o primeru sistema linearnih enačb s tremi ali več spremenljivkami.

Ko se soočajo s sistemi, šolarji predpostavljajo, da mora število enačb nujno sovpadati s številom neznank, vendar ni tako. Število enačb v sistemu ni odvisno od spremenljivk, lahko jih je poljubno veliko.

Enostavne in kompleksne metode za reševanje sistemov enačb

Splošne analitične metode za reševanje takih sistemov ne obstaja, vse metode temeljijo na numeričnih rešitvah. Šolski tečaj matematike podrobno opisuje metode, kot so permutacija, algebraično seštevanje, substitucija, pa tudi grafične in matrične metode, rešitev po Gaussovi metodi.

Glavna naloga pri poučevanju metod reševanja je naučiti se pravilno analizirati sistem in najti optimalen algoritem rešitve za vsak primer. Glavna stvar ni zapomniti sistema pravil in dejanj za vsako metodo, ampak razumeti načela uporabe določene metode.

Reševanje primerov sistemov linearnih enačb programa za 7. razred Srednja šola zelo preprosto in zelo podrobno razloženo. V katerem koli matematičnem učbeniku je temu razdelku namenjena dovolj pozornosti. Reševanje primerov sistemov linearnih enačb po Gaussovi in ​​Cramerjevi metodi se podrobneje obravnava v prvih letnikih visokošolskega študija.

Reševanje sistemov z metodo substitucije

Ukrepi substitucijske metode so usmerjeni v izražanje vrednosti ene spremenljivke v smislu druge. Izraz nadomestimo v preostalo enačbo, nato pa jo reduciramo na obliko z eno spremenljivko. Akcija se ponovi glede na število neznank v sistemu

Naj podamo rešitev primera sistema linearnih enačb razreda 7 z uporabo substitucijske metode:

Kot je razvidno iz primera, je bila spremenljivka x izražena s F(X) = 7 + Y. Nastali izraz, zamenjan v 2. enačbi sistema namesto X, je pomagal pridobiti eno spremenljivko Y v 2. enačbi . Reševanje tega primera je enostavno in vam omogoča, da dobite vrednost Y. Zadnji korak To je preverjanje prejetih vrednosti.

Primera sistema linearnih enačb ni vedno mogoče rešiti s substitucijo. Enačbe so lahko zapletene in izražanje spremenljivke v smislu druge neznanke bo preveč okorno za nadaljnje izračune. Kadar so v sistemu več kot 3 neznanke, je tudi reševanje z zamenjavo neustrezno.

Rešitev primera sistema linearnih nehomogenih enačb:

Rešitev z algebraičnim seštevanjem

Pri iskanju rešitev sistemov z metodo seštevanja se enačbe seštevajo člen za členom in množijo z različnimi števili. Končni cilj matematične operacije je enačba z eno spremenljivko.

Za aplikacije ta metoda sta potrebna praksa in opazovanje. Reševanje sistema linearnih enačb z metodo seštevanja, ko so spremenljivke 3 ali več, ni preprosto. Algebraično seštevanje je priročno za uporabo, ko enačbe vsebujejo ulomke in decimalke.

Algoritem rešitve:

1. Pomnožite obe strani enačbe z določenim številom. Kot rezultat aritmetične operacije mora eden od koeficientov spremenljivke postati enak 1.
2. Dobljeni izraz seštejte člen za členom in poiščite eno od neznank.
3. Zamenjajte dobljeno vrednost v 2. enačbo sistema, da poiščete preostalo spremenljivko.

Metoda rešitve z vnosom nove spremenljivke

Novo spremenljivko lahko uvedemo, če sistem zahteva iskanje rešitve za največ dve enačbi, število neznank pa prav tako ne sme biti večje od dveh.

Metoda se uporablja za poenostavitev ene od enačb z uvedbo nove spremenljivke. Nova enačba se reši za uvedeno neznanko, dobljena vrednost pa se uporabi za določitev izvirne spremenljivke.

Primer kaže, da je bilo mogoče z uvedbo nove spremenljivke t reducirati 1. enačbo sistema na standardni kvadratni trinom. Polinom lahko rešite tako, da poiščete diskriminanto.

Vrednost diskriminante je treba najti po znani formuli: D = b2 - 4*a*c, kjer je D želena diskriminanta, b, a, c so faktorji polinoma. V danem primeru je a=1, b=16, c=39, torej D=100. Če je diskriminanta večja od nič, potem obstajata dve rešitvi: t = -b±√D / 2*a, če je diskriminanta manj kot nič, potem obstaja samo ena rešitev: x= -b / 2*a.

Rešitev za nastale sisteme najdemo z metodo dodajanja.

Vizualna metoda za reševanje sistemov

Primerno za 3 sisteme enačb. Metoda je sestavljena iz konstruiranja grafov vsake enačbe, vključene v sistem, na koordinatni osi. Koordinate točk presečišča krivulj in bodo splošna odločitev sistemi.

Grafična metoda ima številne nianse. Oglejmo si nekaj primerov reševanja sistemov linearnih enačb na vizualni način.

Kot je razvidno iz primera, sta bili za vsako vrstico zgrajeni dve točki, vrednosti spremenljivke x so bile izbrane poljubno: 0 in 3. Na podlagi vrednosti x so bile ugotovljene vrednosti za y: 3 in 0. Na grafu smo označili točki s koordinatama (0, 3) in (3, 0) ter jih povezali s črto.

Korake je treba ponoviti za drugo enačbo. Točka presečišča premic je rešitev sistema.

Naslednji primer zahteva iskanje grafične rešitve sistema linearnih enačb: 0,5x-y+2=0 in 0,5x-y-1=0.

Kot je razvidno iz primera, sistem nima rešitve, ker sta grafa vzporedna in se ne sekata po celi dolžini.

Sistema iz primerov 2 in 3 sta si podobna, vendar se pri konstrukciji pokaže, da sta njuni rešitvi različni. Ne smemo pozabiti, da ni vedno mogoče reči, ali ima sistem rešitev ali ne, vedno je treba sestaviti graf.

Matrica in njene sorte

Matrike se uporabljajo za strnjeno pisanje sistema linearnih enačb. Matrica je tabela posebna vrsta napolnjena s številkami. n*m ima n - vrstic in m - stolpcev.

Matrika je kvadratna, ko je število stolpcev in vrstic enako. Matrika-vektor je matrika enega stolpca z neskončno možnim številom vrstic. Matrika z enicami vzdolž ene od diagonal in drugimi ničelnimi elementi se imenuje identiteta.

Inverzna matrika je matrika, ko se pomnoži s katero se prvotna spremeni v enotsko matriko; takšna matrika obstaja samo za prvotno kvadratno.

Pravila za pretvorbo sistema enačb v matriko

V zvezi s sistemi enačb so koeficienti in prosti členi enačb zapisani kot matrična števila; ena enačba je ena vrstica matrike.

Za vrstico matrike pravimo, da ni nič, če vsaj en element vrstice ni nič. Če se torej v kateri od enačb število spremenljivk razlikuje, je treba namesto manjkajoče neznanke vpisati nič.

Stolpci matrike se morajo strogo ujemati s spremenljivkami. To pomeni, da lahko koeficiente spremenljivke x zapišemo samo v en stolpec, na primer prvi, koeficient neznane y - samo v drugi.

Pri množenju matrike se vsi elementi matrike zaporedno pomnožijo s številom.

Možnosti iskanja inverzne matrike

Formula za iskanje inverzne matrike je zelo preprosta: K -1 = 1 / |K|, kjer je K -1 inverzna matrika in |K| je determinanta matrike. |K| ne sme biti enaka nič, potem ima sistem rešitev.

Determinanto je enostavno izračunati za matriko dva krat dva; diagonalne elemente morate le pomnožiti drug z drugim. Za možnost »tri krat tri« obstaja formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Lahko uporabite formulo ali pa se spomnite, da morate vzeti en element iz vsake vrstice in vsakega stolpca, tako da se število stolpcev in vrstic elementov ne ponavlja pri delu.

Reševanje primerov sistemov linearnih enačb z matrično metodo

Matrična metoda iskanja rešitve vam omogoča zmanjšanje okornih vnosov pri reševanju sistemov z velikim številom spremenljivk in enačb.

V primeru so a nm koeficienti enačb, matrika je vektor, x n so spremenljivke, b n pa prosti členi.

Reševanje sistemov z Gaussovo metodo

IN višja matematika Gaussovo metodo preučujemo skupaj s Cramerjevo metodo, postopek iskanja rešitev sistemov pa imenujemo Gauss-Cramerjeva metoda rešitev. Te metode se uporabljajo za iskanje spremenljivk sistemov z velikim številom linearnih enačb.

Gaussova metoda je zelo podobna rešitvam s substitucijo in algebrskim seštevanjem, vendar je bolj sistematična. Pri šolskem tečaju se za sisteme 3 in 4 enačb uporablja reševanje po Gaussovi metodi. Namen metode je reducirati sistem na obliko obrnjenega trapeza. Z algebrskimi transformacijami in substitucijami najdemo vrednost ene spremenljivke v eni od enačb sistema. Druga enačba je izraz z 2 neznankama, medtem ko sta 3 in 4 s 3 oziroma 4 spremenljivkami.

Po tem, ko sistem privedemo do opisane oblike, se nadaljnja rešitev zmanjša na zaporedno zamenjavo znanih spremenljivk v enačbe sistema.

V šolskih učbenikih za 7. razred je primer rešitve po Gaussovi metodi opisan na naslednji način:

Kot je razvidno iz primera, sta bili v koraku (3) dobljeni dve enačbi: 3x 3 -2x 4 =11 in 3x 3 +2x 4 =7. Reševanje katere koli enačbe vam bo omogočilo, da ugotovite eno od spremenljivk x n.

Izrek 5, ki je omenjen v besedilu, pravi, da če eno od enačb sistema nadomestimo z enakovredno, bo tudi nastali sistem enakovreden prvotnemu.

Dijakom je Gaussova metoda težko razumljiva Srednja šola, a je eden izmed najbolj zanimive načine razvijati iznajdljivost otrok, ki študirajo po programu poglobljena študija pri pouku matematike in fizike.

Zaradi lažjega beleženja se izračuni običajno izvedejo na naslednji način:

Koeficienti enačb in prosti členi so zapisani v obliki matrike, kjer vsaka vrstica matrike ustreza eni od enačb sistema. loči leva stran enačbe z desne. Rimske številke označujejo številke enačb v sistemu.

Najprej zapišite matriko, s katero boste delali, nato pa vsa dejanja, izvedena z eno od vrstic. Nastala matrika je zapisana za znakom "puščica" in potrebne algebraične operacije se nadaljujejo, dokler ni dosežen rezultat.

Rezultat mora biti matrika, v kateri je ena od diagonal enaka 1, vsi drugi koeficienti pa so enaki nič, to pomeni, da je matrika reducirana na obliko enote. Ne smemo pozabiti izvesti izračunov s številkami na obeh straneh enačbe.

Ta način snemanja je manj okoren in vam omogoča, da vas ne zmoti naštevanje številnih neznank.

Brezplačna uporaba katere koli metode rešitve zahteva previdnost in nekaj izkušenj. Niso vse metode uporabne narave. Nekatere metode iskanja rešitev so bolj zaželene na določenem področju človeške dejavnosti, druge pa obstajajo za izobraževalne namene.

S tem videom začenjam serijo lekcij, posvečenih sistemom enačb. Danes bomo govorili o reševanju sistemov linearnih enačb način dodajanja- to je eden izmed najbolj preprostih načinov, a hkrati eden najučinkovitejših.

Metoda dodajanja je sestavljena iz tri preproste koraki:

1. Oglejte si sistem in izberite spremenljivko, ki ima v vsaki enačbi enake (ali nasprotne) koeficiente;
2. Izvedite algebraično odštevanje (za nasprotna števila - seštevanje) enačb med seboj in nato prinesite podobne člene;
3. Rešite novo enačbo, dobljeno po drugem koraku.

Če je vse opravljeno pravilno, bomo na izhodu dobili eno enačbo z eno spremenljivko- ne bo težko rešiti. Nato preostane le, da najdeni koren nadomestimo z izvirnim sistemom in dobimo končni odgovor.

Vendar v praksi vse ni tako preprosto. Razlogov za to je več:

• Reševanje enačb z metodo dodajanja pomeni, da morajo vse vrstice vsebovati spremenljivke z enakimi/nasprotnimi koeficienti. Kaj storiti, če ta zahteva ni izpolnjena?
• Ne vedno, po dodajanju/odštevanju enačb na naveden način dobimo lepo konstrukcijo, ki jo je mogoče zlahka rešiti. Ali je mogoče nekako poenostaviti izračune in pospešiti izračune?

Če želite dobiti odgovor na ta vprašanja in hkrati razumeti nekaj dodatnih tankosti, ki jih številni študenti ne razumejo, si oglejte mojo video lekcijo:

S to lekcijo začenjamo serijo predavanj, posvečenih sistemom enačb. In začeli bomo z najpreprostejšimi med njimi, in sicer s tistimi, ki vsebujejo dve enačbi in dve spremenljivki. Vsak od njih bo linearen.

Sistemi so gradivo za 7. razred, vendar bo ta lekcija koristna tudi za srednješolce, ki želijo obnoviti svoje znanje o tej temi.

Na splošno obstajata dve metodi za reševanje takih sistemov:

1. Metoda dodajanja;
2. Metoda izražanja ene spremenljivke v smislu druge.

Danes se bomo ukvarjali s prvo metodo – uporabili bomo metodo odštevanja in seštevanja. Toda za to morate razumeti naslednje dejstvo: ko imate dve ali več enačb, lahko vzamete kateri koli dve od njih in ju dodate eno drugi. Dodajajo se član za članom, tj. “X” se dodajo “X” in so podani podobni, “Y” z “Y” so spet podobni, in tisto, kar je desno od znaka enačaja, se prav tako doda drug drugemu, in tam so tudi podani podobni .

Rezultat takšnih mahinacij bo nova enačba, ki bo, če ima korenine, zagotovo med koreninami prvotne enačbe. Zato je naša naloga narediti odštevanje ali seštevanje tako, da $x$ ali $y$ izgine.

Kako to doseči in katero orodje za to uporabiti - o tem bomo zdaj govorili.

Reševanje enostavnih nalog z uporabo seštevanja

Tako se naučimo uporabljati metodo dodajanja na primeru dveh preprostih izrazov.

Naloga št. 1

\[\levo\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \desno.\]

Upoštevajte, da ima $y$ koeficient $-4$ v prvi enačbi in $+4$ v drugi. Med seboj so nasprotni, zato je logično domnevati, da če jih seštejemo, se bodo v dobljenem seštevku »igre« medsebojno uničile. Seštejte in dobite:

Rešimo najpreprostejšo konstrukcijo:

Super, našli smo "x". Kaj naj zdaj naredimo s tem? Imamo pravico, da ga nadomestimo v katero koli enačbo. Nadomestimo prvo:

\[-4y=12\levo| :\levo(-4 \desno) \desno.\]

Odgovor: $\levo(2;-3 \desno)$.

Problem št. 2

\[\levo\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \desno.\]

Tukaj je situacija popolnoma podobna, le z "X-ji". Seštejmo jih:

Imamo najpreprostejšo linearno enačbo, rešimo jo:

Zdaj pa poiščimo $x$:

Odgovor: $\levo(-3;3 \desno)$.

Pomembne točke

Torej, pravkar smo rešili dva preprosta sistema linearnih enačb z uporabo metode dodajanja. Ponovno ključne točke:

1. Če sta za eno od spremenljivk nasprotna koeficienta, je treba sešteti vse spremenljivke v enačbi. V tem primeru bo eden od njih uničen.
2. Najdeno spremenljivko nadomestimo v katero koli sistemsko enačbo, da poiščemo drugo.
3. Končni odzivni zapis je mogoče predstaviti na različne načine. Na primer tako - $x=...,y=...$ ali v obliki koordinat točk - $\left(...;... \right)$. Druga možnost je boljša. Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti, je, da je prva koordinata $x$, druga pa $y$.
4. Pravilo zapisovanja odgovora v obliki koordinat točke ni vedno uporabno. Na primer, ni ga mogoče uporabiti, če spremenljivki nista $x$ in $y$, ampak na primer $a$ in $b$.

V naslednjih nalogah bomo obravnavali tehniko odštevanja, ko koeficienti niso nasprotni.

Reševanje lažjih nalog z metodo odštevanja

Naloga št. 1

\[\levo\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \desno.\]

Upoštevajte, da tukaj ni nasprotnih koeficientov, ampak so enaki. Zato od prve enačbe odštejemo drugo:

Sedaj zamenjamo vrednost $x$ v katero koli sistemsko enačbo. Gremo najprej:

Odgovor: $\levo(2;5\desno)$.

Problem št. 2

\[\levo\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \desno.\]

Ponovno vidimo isti koeficient $5$ za $x$ v prvi in ​​drugi enačbi. Zato je logično domnevati, da morate od prve enačbe odšteti drugo:

Izračunali smo eno spremenljivko. Zdaj poiščemo drugega, na primer tako, da vrednost $y$ nadomestimo v drugo konstrukcijo:

Odgovor: $\levo(-3;-2 \desno)$.

Nianse rešitve

Kaj torej vidimo? Shema se v bistvu ne razlikuje od rešitve prejšnjih sistemov. Edina razlika je v tem, da enačb ne seštevamo, ampak odštevamo. Delamo algebraično odštevanje.

Z drugimi besedami, takoj ko vidite sistem, sestavljen iz dveh enačb z dvema neznankama, morate najprej pogledati koeficiente. Če sta kjer koli enaki, se enačbi odštejeta, če sta nasprotni pa se uporabi metoda seštevanja. To se vedno naredi tako, da ena izmed njih izgine, v končni enačbi, ki ostane po odštevanju, pa ostane samo ena spremenljivka.

Seveda to še ni vse. Zdaj bomo obravnavali sisteme, v katerih so enačbe na splošno neskladne. Tisti. V njih ni spremenljivk, ki bi bile enake ali nasprotne. V tem primeru za reševanje takih sistemov uporabljamo dodatni odmerek, in sicer množenje vsake enačbe s posebnim koeficientom. Kako ga najti in kako rešiti takšne sisteme na splošno, o tem bomo zdaj govorili.

Reševanje nalog z množenjem s koeficientom

Primer #1

\[\levo\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \desno.\]

Vidimo, da niti za $x$ niti za $y$ koeficienta nista le medsebojno nasprotna, ampak tudi nista v nobeni korelaciji z drugo enačbo. Ti koeficienti nikakor ne bodo izginili, tudi če enačbe med seboj seštejemo ali odštejemo. Zato je treba uporabiti množenje. Poskusimo se znebiti spremenljivke $y$. Da bi to naredili, pomnožimo prvo enačbo s koeficientom $y$ iz druge enačbe, drugo enačbo pa s koeficientom $y$ iz prve enačbe, ne da bi se dotaknili predznaka. Pomnožimo in dobimo nov sistem:

\[\levo\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \desno.\]

Poglejmo: pri $y$ sta si koeficienta nasprotna. V takšni situaciji je treba uporabiti metodo dodajanja. Dodajmo:

Zdaj moramo najti $y$. Če želite to narediti, zamenjajte $x$ v prvi izraz:

\[-9y=18\levo| :\levo(-9 \desno) \desno.\]

Odgovor: $\levo(4;-2 \desno)$.

Primer št. 2

\[\levo\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \desno.\]

Ponovno, koeficienti za nobeno od spremenljivk niso skladni. Pomnožimo s koeficienti $y$:

\[\levo\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \desno. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \desno. \\\end(align) \right .\]

\[\levo\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \desno.\]

Naš nov sistem je enakovredna prejšnjemu, vendar sta koeficienta $y$ medsebojno nasprotna, zato je tukaj enostavno uporabiti metodo dodajanja:

Zdaj pa poiščimo $y$ tako, da nadomestimo $x$ v prvo enačbo:

Odgovor: $\levo(-2;1 \desno)$.

Nianse rešitve

Ključno pravilo pri tem je naslednje: vedno množimo samo s pozitivnimi števili - to vas bo rešilo pred neumnimi in žaljivimi napakami, povezanimi s spreminjanjem znakov. Na splošno je shema rešitve precej preprosta:

1. Ogledamo si sistem in analiziramo vsako enačbo.
2. Če vidimo, da niti $y$ niti $x$ nista konsistentna, tj. niso niti enaki niti nasprotni, potem naredimo naslednje: izberemo spremenljivko, ki se je moramo znebiti, nato pa pogledamo koeficiente teh enačb. Če prvo enačbo pomnožimo s koeficientom iz druge, drugo pa ustrezno pomnožimo s koeficientom iz prve, potem bomo na koncu dobili sistem, ki je popolnoma enakovreden prejšnjemu, in koeficiente $ y$ bo dosleden. Vsa naša dejanja ali transformacije so usmerjene le v to, da dobimo eno spremenljivko v eni enačbi.
3. Najdemo eno spremenljivko.
4. Najdeno spremenljivko nadomestimo v eno od obeh enačb sistema in poiščemo drugo.
5. Odgovor zapišemo v obliki koordinat točk, če imamo spremenljivki $x$ in $y$.

Toda tudi tako preprost algoritem ima svoje posebnosti, na primer, koeficienti $x$ ali $y$ so lahko ulomki in druga "grda" števila. Zdaj bomo te primere obravnavali ločeno, saj lahko v njih delujete nekoliko drugače kot po standardnem algoritmu.

Reševanje nalog z ulomki

Primer #1

\[\levo\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \desno.\]

Najprej opazite, da druga enačba vsebuje ulomke. Vendar upoštevajte, da lahko 4 $ delite z 0,8 $. Prejeli bomo 5$. Pomnožimo drugo enačbo s $5$:

\[\levo\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Enačbe odštejemo eno od druge:

Našli smo $n$, zdaj pa preštejmo $m$:

Odgovor: $n=-4;m=5$

Primer št. 2

\[\levo\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \desno. \\& 2p-5k=2\left| 5 \desno. \\\end(align )\ prav.\]

Tukaj, tako kot v prejšnjem sistemu, obstajajo delni koeficienti, vendar se za nobeno od spremenljivk koeficienti ne prilegajo drug drugemu celo število krat. Zato uporabljamo standardni algoritem. Znebite se $p$:

\[\levo\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \desno.\]

Uporabljamo metodo odštevanja:

Poiščimo $p$ tako, da $k$ nadomestimo v drugo konstrukcijo:

Odgovor: $p=-4;k=-2$.

Nianse rešitve

To je vsa optimizacija. V prvi enačbi nismo množili z ničemer, ampak smo drugo enačbo pomnožili s 5 $. Kot rezultat smo dobili konsistentno in celo identično enačbo za prvo spremenljivko. Pri drugem sistemu smo sledili standardnemu algoritmu.

Kako pa najdeš števila, s katerimi pomnožiš enačbe? Konec koncev, če pomnožite s ulomkov, bomo dobili nove ulomke. Zato je treba ulomke pomnožiti s številom, ki bi dalo novo celo število, nato pa spremenljivke pomnožiti s koeficienti po standardnem algoritmu.

Na koncu bi vas rad opozoril na obliko zapisa odgovora. Kot sem že rekel, ker tukaj nimamo $x$ in $y$, ampak druge vrednosti, uporabljamo nestandardni zapis oblike:

Reševanje kompleksnih sistemov enačb

Za zaključek današnje video vadnice si poglejmo nekaj res zapletenih sistemov. Njihova kompleksnost bo v tem, da bodo imeli spremenljivke na levi in ​​desni strani. Zato bomo morali za njihovo rešitev uporabiti predobdelavo.

Sistem št. 1

\[\levo\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\desno)+4 \\& 6\left(y+1 \desno )-1=5\levo(2x-1 \desno)+8 \\\konec(poravnaj) \desno.\]

Vsaka enačba nosi določeno kompleksnost. Zato obravnavajmo vsak izraz kot navadno linearno konstrukcijo.

Skupaj dobimo končni sistem, ki je enakovreden prvotnemu:

\[\levo\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \desno.\]

Poglejmo koeficiente $y$: $3$ se dvakrat prilega $6$, zato pomnožimo prvo enačbo z $2$:

\[\levo\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \desno.\]

Koeficienti $y$ so zdaj enaki, zato od prve enačbe odštejemo drugo: $$

Zdaj pa poiščimo $y$:

Odgovor: $\levo(0;-\frac(1)(3) \desno)$

Sistem št. 2

\[\levo\( \begin(align)& 4\left(a-3b \desno)-2a=3\levo(b+4 \desno)-11 \\& -3\levo(b-2a \desno) )-12=2\levo(a-5 \desno)+b \\\konec(poravnaj) \desno.\]

Preoblikujemo prvi izraz:

Ukvarjajmo se z drugim:

\[-3\levo(b-2a \desno)-12=2\levo(a-5 \desno)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Skupaj bo naš začetni sistem imel naslednjo obliko:

\[\levo\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \desno.\]

Če pogledamo koeficiente $a$, vidimo, da je treba prvo enačbo pomnožiti z $2$:

\[\levo\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \desno.\]

Odštejte drugo od prve konstrukcije:

Zdaj pa poiščimo $a$:

Odgovor: $\levo(a=\frac(1)(2);b=0 \desno)$.

To je vse. Upam, da vam bo ta video vadnica pomagala razumeti to težko temo, namreč reševanje sistemov preprostih linearnih enačb. Na to temo bo še veliko lekcij: pogledali jih bomo več zapleteni primeri, kjer bo več spremenljivk, same enačbe pa bodo že nelinearne. Se vidiva!

1. Metoda zamenjave: iz poljubne enačbe sistema izrazimo eno neznanko skozi drugo in jo nadomestimo v drugo enačbo sistema.

Naloga. Rešite sistem enačb:

rešitev. Iz prve enačbe sistema izrazimo pri skozi X in ga nadomestimo v drugo enačbo sistema. Vzemimo sistem enakovreden originalnemu.

Po vnosu podobnih pogojev bo sistem dobil obliko:

Iz druge enačbe dobimo: . Zamenjava te vrednosti v enačbo pri = 2 - 2X, dobimo pri= 3. Zato je rešitev tega sistema par števil.

2. Algebraična metoda dodajanja: Če seštejete dve enačbi, dobite enačbo z eno spremenljivko.

Naloga. Reši sistemsko enačbo:

rešitev.Če pomnožimo obe strani druge enačbe z 2, dobimo sistem enakovreden originalnemu. Če dodamo dve enačbi tega sistema, pridemo do sistema

Po uvedbi podobnih pogojev bo ta sistem dobil obliko: Iz druge enačbe najdemo. Zamenjava te vrednosti v enačbo 3 X + 4pri= 5, dobimo , kje . Zato je rešitev tega sistema par številk.

3. Metoda za uvajanje novih spremenljivk: v sistemu iščemo nekaj ponavljajočih se izrazov, ki jih bomo označili z novimi spremenljivkami in s tem poenostavili videz sistema.

Naloga. Rešite sistem enačb:

rešitev. Zapišimo ta sistem drugače:

Pustiti x + y = u, xy = v. Potem dobimo sistem

Rešimo ga z metodo zamenjave. Iz prve enačbe sistema izrazimo u skozi v in ga nadomestimo v drugo enačbo sistema. Vzemimo sistem tiste.

Iz druge enačbe sistema najdemo v 1 = 2, v 2 = 3.

Zamenjava teh vrednosti v enačbo u = 5 - v, dobimo u 1 = 3,
u 2 = 2. Potem imamo dva sistema

Pri reševanju prvega sistema dobimo dva para števil (1; 2), (2; 1). Drugi sistem nima rešitev.

Vaje za samostojno delo

1. Reši sisteme enačb z metodo substitucije.