Začnimo z obravnavanjem vrtenja telesa okoli negibne osi, ki jo bomo imenovali os z (slika 41.1). Linearna hitrost osnovne mase je enaka razdalji mase od osi. Zato dobimo za kinetično energijo osnovne mase izraz

Kinetična energija telo je sestavljeno iz kinetične energije njegovih delov:

Vsota na desni strani tega razmerja predstavlja vztrajnostni moment telesa 1 glede na vrtilno os. Tako je kinetična energija telesa, ki se vrti okoli nepremične osi, enaka

Naj na maso delujeta notranja in zunanja sila (glej sliko 41.1). Po (20.5) bodo te sile pravočasno opravile delo

Ko smo izvedli ciklično preureditev faktorjev v mešanih produktih vektorjev (glej (2.34)), dobimo:

kjer je N moment notranje sile glede na točko O, N je podoben moment zunanje sile.

Če seštejemo izraz (41.2) po vseh elementarnih masah, dobimo elementarno delo, opravljeno na telesu v času dt:

Vsota momentov notranjih sil je enaka nič (glej (29.12)). Posledično, če označimo skupni moment zunanjih sil z N, pridemo do izraza

(uporabili smo formulo (2.21)).

Končno, ob upoštevanju, da obstaja kot, skozi katerega se telo vrti skozi čas, dobimo:

Predznak dela je odvisen od predznaka, tj. od predznaka projekcije vektorja N na smer vektorja

Torej, ko se telo vrti notranje sile ne opravljajo nobenega dela, vendar je delo zunanjih sil določeno s formulo (41.4).

Do formule (41.4) lahko pridemo tako, da izkoristimo dejstvo, da gre delo vseh sil, ki delujejo na telo, v smeri povečanja njegove kinetične energije (glej (19.11)). Če vzamemo diferencial z obeh strani enakosti (41.1), pridemo do razmerja

V skladu z enačbo (38.8) torej z zamenjavo skozi pridemo do formule (41.4).

Tabela 41.1

V tabeli 41.1 formule mehanike rotacijskega gibanja primerjamo s podobnimi formulami mehanike gibanje naprej(točka mehanike). Iz te primerjave je enostavno sklepati, da v vseh primerih vlogo mase igra vztrajnostni moment, vlogo sile moment sile, vlogo gibalne količine vrtilna količina itd.

Formula. (41.1) smo dobili za primer, ko se telo vrti okoli stacionarne osi, ki je pritrjena na telo. Zdaj predpostavimo, da se telo vrti na poljuben način glede na fiksno točko, ki sovpada z njegovim masnim središčem.

Telesu bomo togo povezali kartezični koordinatni sistem, katerega izhodišče bo postavljeno v masno središče telesa. Hitrost i-ta osnovna masa je enaka. Zato lahko za kinetično energijo telesa zapišemo izraz

kjer je kot med vektorjema.Če zamenjamo skozenj in upoštevamo, da dobimo:

Zapišimo skalarne produkte skozi projekcije vektorjev na osi koordinatnega sistema, povezanega s telesom:

Končno z združevanjem členov z enakimi produkti komponent kotne hitrosti in odvzemom teh produktov iz predznakov vsot dobimo: torej formula (41.7) dobi obliko (prim. (41.1)). Ko se poljubno telo vrti okoli ene od glavnih vztrajnostnih osi, recimo osi in, formula (41.7) postane (41.10.

torej. kinetična energija rotirajočega telesa je enaka polovici produkta vztrajnostnega momenta in kvadrata kotne hitrosti v treh primerih: 1) za telo, ki se vrti okoli fiksne osi; 2) za telo, ki se vrti okoli ene od glavnih vztrajnostnih osi; 3) za vrh krogle. V drugih primerih je kinetična energija določena bolj jasno kompleksne formule(41.5) ali (41.7).

Glavne dinamične značilnosti rotacijskega gibanja - vrtilna količina glede na os vrtenja z:

in kinetično energijo

Na splošno se energija med vrtenjem s kotno hitrostjo najde po formuli:

, kjer je vztrajnostni tenzor.

V termodinamiki

Po popolnoma enakem sklepanju kot v primeru translacijskega gibanja ekviparticija pomeni, da je v toplotnem ravnovesju povprečna rotacijska energija vsakega delca enoatomskega plina: (3/2)k B T. Podobno nam izrek o enakomernosti omogoča izračun srednje kvadratne kotne hitrosti molekul.

Poglej tudi

Fundacija Wikimedia. 2010.

Oglejte si, kaj je "Energija rotacijskega gibanja" v drugih slovarjih:

Ta izraz ima druge pomene, glejte Energija (pomeni). Energija, dimenzija... Wikipedia

GIBANJA- GIBANJA. Vsebina: Geometrija D...................452 Kinematika D.................456 Dinamika D. . ..................461 Motorični mehanizmi................465 Metode preučevanja človekovega gibanja......471 Patologija človeške D............. 474… … Velika medicinska enciklopedija

Kinetična energija je energija mehanskega sistema, odvisna od hitrosti gibanja njegovih točk. Pogosto se sprošča kinetična energija translacijskega in rotacijskega gibanja. Natančneje, kinetična energija je razlika med celotno... ... Wikipedia

Toplotno gibanje peptida α. Kompleksno tresenje atomov, ki sestavljajo peptid, je naključno in energija posameznega atoma močno niha, vendar se z uporabo zakona enakomernosti izračuna kot povprečna kinetična energija vsakega ... ... Wikipedia

Toplotno gibanje peptida α. Kompleksno tresenje atomov, ki sestavljajo peptid, je naključno in energija posameznega atoma močno niha, vendar se z uporabo zakona enakomernosti izračuna kot povprečna kinetična energija vsakega ... ... Wikipedia

- (franc. marées, nem. Gezeiten, angl. tides) periodična nihanja gladine vode zaradi privlačnosti Lune in Sonca. Splošne informacije. P. je najbolj opazen ob obalah oceanov. Takoj po oseki se gladina oceana začne ... ... Enciklopedični slovar F.A. Brockhaus in I.A. Efron

Hladilno plovilo Ivory Tirupati začetna stabilnost je negativna Sposobnost stabilnosti ... Wikipedia

Hladilno plovilo Ivory Tirupati začetna stabilnost je negativna Stabilnost je zmožnost plavajočega plovila, da prenese zunanje sile, ki povzročijo, da se kotali ali trimira, in se vrne v stanje ravnovesja po koncu motenj... ... Wikipedia

Najprej si oglejmo togo telo, ki se vrti okoli nepremične osi OZ s kotno hitrostjo ω (slika 5.6). Razčlenimo telo na osnovne mase. Linearna hitrost osnovne mase je enaka , kjer je njena oddaljenost od vrtilne osi. Kinetična energija jaz- ta osnovna masa bo enaka

.

Kinetična energija celega telesa je torej sestavljena iz kinetičnih energij njegovih delov

.

Ob upoštevanju, da vsota na desni strani te relacije predstavlja vztrajnostni moment telesa glede na vrtilno os, končno dobimo

. (5.30)

Formule za kinetično energijo rotacijskega telesa (5.30) so podobne ustreznim formulam za kinetično energijo translacijskega gibanja telesa. Iz slednjih se pridobijo s formalno zamenjavo .

Na splošno lahko gibanje togega telesa predstavimo kot vsoto gibov - translacijskega s hitrostjo, enaka hitrost središče mase telesa in vrtenje s kotno hitrostjo okoli trenutne osi, ki poteka skozi središče mase. V tem primeru ima izraz za kinetično energijo telesa obliko

.

Poiščimo zdaj delo, ki ga opravi moment zunanjih sil med vrtenjem togega telesa. Elementarno delo zunanjih sil v času dt bo enaka spremembi kinetične energije telesa

Če vzamemo razliko od kinetične energije rotacijskega gibanja, najdemo njen prirastek

.

V skladu z osnovno enačbo dinamike za rotacijsko gibanje

Ob upoštevanju teh razmerij reduciramo izražanje elementarnega dela na formo

kjer je projekcija nastalega momenta zunanjih sil na smer vrtilne osi OZ, je kot vrtenja telesa v obravnavanem časovnem obdobju.

Z integracijo (5.31) dobimo formulo za delo zunanjih sil, ki delujejo na vrteče se telo

Če je , potem je formula poenostavljena

Tako je delo zunanjih sil med vrtenjem togega telesa glede na fiksno os določeno z delovanjem projekcije momenta teh sil na to os.

Žiroskop

Žiroskop je hitro vrteče se simetrično telo, katerega os vrtenja lahko spreminja svojo smer v prostoru. Da se lahko os žiroskopa prosto vrti v prostoru, je žiroskop nameščen v tako imenovanem kardanskem vzmetenju (slika 5.13). Vztrajnik žiroskopa se vrti v notranjem obroču okoli osi C 1 C 2, ki poteka skozi njegovo težišče. Notranji obroč pa se lahko vrti v zunanjem obroču okoli osi B 1 B 2, pravokotno na C 1 C 2. Končno se zunanja dirka lahko prosto vrti v ležajih opornika okoli osi A 1 A 2, pravokotno na osi C 1 C 2 in B 1 B 2. Vse tri osi se sekajo v neki fiksni točki O, imenovani središče vzmetenja ali oporišče žiroskopa. Žiroskop v kardanu ima tri prostostne stopnje in se lahko poljubno vrti okoli središča kardana. Če središče vzmetenja žiroskopa sovpada z njegovim težiščem, potem je posledični gravitacijski moment vseh delov žiroskopa glede na središče vzmetenja enak nič. Takšen žiroskop se imenuje uravnotežen.

Razmislimo zdaj o najbolj pomembne lastnostižiroskop, ki je našel široko uporabo na različnih področjih.

1) Stabilnost.

Pri vsakem vrtenju stojala uravnoteženega žiroskopa ostane njegova os vrtenja nespremenjena v smeri glede na laboratorijski sistem odštevanje. To je posledica dejstva, da je moment vseh zunanjih sil, enak momentu sil trenja, zelo majhen in praktično ne povzroča spremembe vrtilne količine žiroskopa, tj.

Ker je kotna količina usmerjena vzdolž osi vrtenja žiroskopa, mora njegova orientacija ostati nespremenjena.

Če zunanja sila deluje kratek čas, bo integral, ki določa prirastek vrtilne količine, majhen

. (5.34)

To pomeni, da se pri kratkotrajnih vplivih tudi velikih sil gibanje uravnoteženega žiroskopa malo spremeni. Zdi se, da se žiroskop upira kakršnim koli poskusom spreminjanja velikosti in smeri njegovega kotnega momenta. To je posledica izjemne stabilnosti, ki jo pridobi gibanje žiroskopa, ko se hitro vrti. Ta lastnost žiroskopa se pogosto uporablja za samodejno krmiljenje gibanja letal, ladij, raket in drugih naprav.

Če delujete na žiroskop dolgo časaČe je moment zunanjih sil v smeri konstanten, potem je os žiroskopa na koncu nastavljena v smeri momenta zunanjih sil. Ta pojav uporablja se v žirokompasu. Ta naprava je žiroskop, katerega os se lahko prosto vrti v vodoravni ravnini. Zaradi dnevne rotacije Zemlje in delovanja momenta centrifugalnih sil se os žiroskopa vrti tako, da postane kot med in minimalen (slika 5.14). To ustreza položaju osi žiroskopa v meridianski ravnini.

2). Žiroskopski učinek.

Če na vrteči se žiroskop deluje par sil in se nagiba k vrtenju okoli osi, ki je pravokotna na os vrtenja, se bo začel vrteti okoli tretje osi, pravokotne na prvi dve (slika 5.15). To nenavadno obnašanje žiroskopa imenujemo žiroskopski učinek. To je razloženo z dejstvom, da je moment para sil usmerjen vzdolž osi O 1 O 1 in sprememba vektorja po velikosti skozi čas bo imela isto smer. Posledično se bo novi vektor vrtel glede na os O 2 O 2 . Tako se obnašanje žiroskopa, na prvi pogled nenaravno, popolnoma ujema z zakoni dinamike rotacijskega gibanja.

3). Precesija žiroskopa.

Precesija žiroskopa je stožčasto gibanje njegove osi. Pojavi se v primeru, ko se trenutek zunanjih sil, ki ostane konstanten po velikosti, vrti hkrati z osjo žiroskopa in z njo ves čas tvori pravi kot. Za prikaz precesije lahko uporabimo kolo kolesa s podaljšano osjo, nastavljeno na hitro vrtenje (slika 5.16).

Če je kolo obešeno na iztegnjenem koncu osi, se začne njegova os pod vplivom lastne teže vrteti okoli navpične osi. Hitro vrteči vrh lahko služi tudi kot demonstracija precesije.

Ugotovimo razloge za precesijo žiroskopa. Razmislimo o neuravnoteženem žiroskopu, katerega os se lahko prosto vrti okoli določene točke O (slika 5.16). Težnostni moment, ki deluje na žiroskop, je enak po velikosti

kjer je masa žiroskopa, je razdalja od točke O do središča mase žiroskopa, je kot, ki ga tvori os žiroskopa z navpičnico. Vektor je usmerjen pravokotno na navpično ravnino, ki poteka skozi os žiroskopa.

Pod vplivom tega trenutka se bo kotni moment žiroskopa (njegov izvor je postavljen v točko O) povečal v času, navpična ravnina, ki poteka skozi os žiroskopa, pa se bo zasukala za kot. Vektor je vedno pravokoten na , zato se vektor spreminja samo v smeri, ne da bi se spremenil v velikosti. Vendar čez nekaj časa medsebojni dogovor vektorjev in bo enak kot v začetnem trenutku. Posledično se bo os žiroskopa nenehno vrtela okoli navpičnice in opisovala stožec. To gibanje se imenuje precesija.

Določimo kotno hitrost precesije. Glede na sliko 5.16 je kot vrtenja ravnine, ki poteka skozi os stožca in os žiroskopa, enak

kjer je momentna količina žiroskopa in je njegov prirastek skozi čas.

Če delimo z , ob upoštevanju navedenih razmerij in transformacij dobimo kotno hitrost precesije

. (5.35)

Pri žiroskopih, ki se uporabljajo v tehnologiji, je kotna hitrost precesije milijonkrat manjša od hitrosti vrtenja žiroskopa.

Na koncu omenimo, da je pojav precesije opazen tudi pri atomih zaradi orbitalnega gibanja elektronov.

Primeri uporabe zakonov dinamike

Med rotacijskim gibanjem

1. Oglejmo si nekaj primerov o zakonu o ohranitvi kotne količine, ki ga je mogoče izvesti s klopjo Žukovskega. V najpreprostejšem primeru je klop Žukovskega ploščad (stol) v obliki diska, ki se lahko prosto vrti okoli navpične osi na krogličnih ležajih (slika 5.17). Demonstrator sedi ali stoji na klopi, nato pa se vrti. Ker so sile trenja zaradi uporabe ležajev zelo majhne, ​​se kotna količina sistema, ki ga sestavljata miza in demonstrator, glede na vrtilno os ne more spreminjati skozi čas, če je sistem prepuščen samemu sebi. . Če demonstrator v rokah drži težke uteži in raztegne roke na straneh, bo povečal vztrajnostni moment sistema, zato se mora kotna hitrost vrtenja zmanjšati, tako da kotni moment ostane nespremenjen.

V skladu z zakonom o ohranitvi kotne količine sestavimo enačbo za ta primer

kjer je vztrajnostni moment osebe in klopi, in je vztrajnostni moment uteži v prvem in drugem položaju, in je kotni hitrosti sistema.

Kotna hitrost vrtenja sistema pri dvigovanju uteži na stran bo enaka

.

delo, zagreši človek pri premikanju uteži se lahko določi s spremembo kinetične energije sistema

2. Oglejmo si še en poskus s klopjo Žukovskega. Demonstrator sedi ali stoji na klopi in ima v roki hitro vrteče se kolo z navpično usmerjeno osjo (slika 5.18). Demonstrator nato zavrti kolo za 180 0 . V tem primeru se sprememba vrtilne količine kolesa v celoti prenese na mizo in demonstrator. Zaradi tega se klop skupaj z demonstratorjem začne vrteti s kotno hitrostjo, ki je določena na podlagi zakona o ohranitvi vrtilne količine.

Kotna količina sistema v začetnem stanju je določena samo z vrtilno količino kolesa in je enaka

kjer je vztrajnostni moment kolesa, in je kotna hitrost njegovega vrtenja.

Po vrtenju kolesa za kot 180 0 bo kotna količina sistema določena z vsoto kotne količine klopi z osebo in kotne količine kolesa. Ob upoštevanju dejstva, da je vektor vrtilne količine kolesa spremenil svojo smer v nasprotno in je njegova projekcija na navpično os postala negativna, dobimo

,

kjer je vztrajnostni moment sistema "oseba-platforma" in je kotna hitrost vrtenja klopi z osebo.

Po zakonu o ohranitvi kotne količine

in .

Kot rezultat najdemo hitrost vrtenja klopi

3. Tanka palica mase m in dolžina l vrti s kotno hitrostjo ω=10 s -1 v vodoravni ravnini okoli navpične osi, ki poteka skozi sredino palice. Z nadaljnjim vrtenjem v isti ravnini se palica premakne tako, da gre os vrtenja zdaj skozi konec palice. Poiščite kotno hitrost v drugem primeru.

V tem problemu se zaradi dejstva, da se porazdelitev mase palice glede na vrtilno os spremeni, spremeni tudi vztrajnostni moment palice. V skladu z zakonom o ohranitvi vrtilne količine izoliranega sistema imamo

Tukaj je vztrajnostni moment palice glede na os, ki poteka skozi sredino palice; je vztrajnostni moment palice glede na os, ki poteka skozi njen konec in je določen s Steinerjevim izrekom.

Če te izraze zamenjamo z zakonom o ohranitvi kotne količine, dobimo

,

.

4. Dolžina palice L=1,5 m in maso m 1=10 kg viseče na tečajih na zgornjem koncu. Krogla z maso m 2=10 g, ki leti vodoravno s hitrostjo =500 m/s, in se zatakne v palico. Za kakšen kot se bo palica po udarcu odklonila?

Predstavljajmo si na sl. 5.19. sistem medsebojno delujočih teles "palica-krogla". Momenti zunanjih sil (težnost, osna reakcija) so v trenutku udarca enaki nič, zato lahko uporabimo zakon o ohranitvi vrtilne količine

Kotni moment sistema pred udarcem je enak kotnemu momentu krogle glede na točko vzmetenja.

Kotni moment sistema po neelastičnem udarcu je določen s formulo

,

kjer je vztrajnostni moment palice glede na točko vzmetenja, je vztrajnostni moment krogle, je kotna hitrost palice s kroglo takoj po udarcu.

Reševanje nastale enačbe po zamenjavi najdemo

.

Zdaj uporabimo zakon o ohranitvi mehanske energije. Izenačimo kinetično energijo palice, potem ko jo krogla zadene, z njeno potencialno energijo najvišja točka dvig:

,

kjer je višina središča mase tega sistema.

Ko smo izvedli potrebne transformacije, dobimo

Kot odklona palice je povezan z razmerjem

.

Po opravljenih izračunih dobimo =0,1p=18 0 .

5. Določite pospešek teles in napetost niti na Atwoodovem stroju ob predpostavki, da (slika 5.20). Vztrajnostni moment bloka glede na vrtilno os je enak jaz, polmer bloka r. Maso niti zanemarimo.

Uredimo vse sile, ki delujejo na obremenitve in blok, in zanje sestavimo dinamične enačbe

Če ni drsenja niti vzdolž bloka, sta linearni in kotni pospešek med seboj povezana z razmerjem

Če rešimo te enačbe, dobimo

Nato najdemo T1 in T2.

6. Na jermenico Oberbeckovega križa je pritrjen navoj (slika 5.21), iz katerega tehta obremenitev M= 0,5 kg. Ugotovite, koliko časa traja, da breme pade z višine h=1 m do spodnjega položaja. Polmer škripca r=3 cm Tehtajo štiri uteži m=250 g vsak na daljavo R= 30 cm od svoje osi. Vztrajnostni moment križa in samega škripca je zanemarjen v primerjavi z vztrajnostnimi momenti bremen.

Mehanika.

Vprašanje št. 1

Referenčni sistem. Inercialni referenčni sistemi. Načelo relativnosti Galileo - Einstein.

Referenčni okvir- to je niz teles, glede na katere je opisano gibanje danega telesa in z njim povezan koordinatni sistem.

Inercialni referenčni sistem (IRS) je sistem, v katerem je prosto gibajoče se telo v stanju mirovanja ali enakomernega premokotnega gibanja.

Galileo-Einsteinov princip relativnosti- Vsi naravni pojavi v katerem koli inercialnem referenčnem sistemu se pojavljajo na enak način in imajo enako matematična oblika. Z drugimi besedami, vsi ISO-ji so enaki.

Vprašanje št. 2

Enačba gibanja. Vrste gibanja trdna. Glavna naloga kinematike.

Enačbe gibanja materialne točke:

- kinematična enačba gibanja

Vrste gibanja togega telesa:

1) Translacijsko gibanje - vsaka ravna črta, narisana v telesu, se premika vzporedno sama s seboj.

2) Rotacijsko gibanje - katera koli točka telesa se giblje v krogu.

φ = φ(t)

Glavna naloga kinematike- to je pridobitev časovne odvisnosti hitrosti V= V(t) in koordinat (ali radijnega vektorja) r = r(t) materialne točke iz poznana odvisnost o času njegovega pospeška a = a(t) in znanih začetnih pogojih V 0 in r 0 .

Vprašanje št. 7

utrip (Količina gibanja) - vektor fizikalna količina, ki označuje mero mehanskega gibanja telesa. V klasični mehaniki je gibalna količina telesa enaka produktu mase m to točko s svojo hitrostjo v, smer impulza sovpada s smerjo vektorja hitrosti:

V teoretični mehaniki generaliziran impulz je delni odvod Lagrangiana sistema glede na posplošeno hitrost

Če lagrangian sistema ni odvisen od nekaterih generalizirane koordinate, nato zaradi Lagrangeove enačbe .

Za prosti delec ima Lagrangeova funkcija obliko: , torej:

Neodvisnost lagrangiana zaprtega sistema od njegovega položaja v prostoru izhaja iz lastnosti homogenost prostora: pri dobro izoliranem sistemu njegovo obnašanje ni odvisno od tega, kam v prostoru ga postavimo. Avtor: Noetherjev izrek Iz te homogenosti sledi ohranitev neke fizikalne količine. Ta količina se imenuje impulz (navaden, ne posplošen).

V klasični mehaniki popolno impulz Sistem materialnih točk imenujemo vektorska količina, ki je enaka vsoti produktov mase materialnih točk in njihove hitrosti:

v skladu s tem se količina imenuje gibalna količina ene materialne točke. To je vektorska količina, usmerjena v isto smer kot hitrost delca. Enota za impulz mednarodnega sistema enot (SI). kilogram-meter na sekundo(kg m/s)

Če imamo opravka s telesom končne velikosti, je za določitev njegove gibalne količine potrebno telo razdeliti na majhne dele, ki jih lahko štejemo za materialne točke in jih seštejemo, kot rezultat dobimo:

Impulz sistema, na katerega ne vplivajo zunanje sile (ali pa so kompenzirane) shranjeno pravočasno:

Ohranjanje gibalne količine v tem primeru izhaja iz drugega in tretjega Newtonovega zakona: s pisanjem drugega Newtonovega zakona za vsako od materialnih točk, ki sestavljajo sistem, in seštevanjem vseh materialnih točk, ki sestavljajo sistem, na podlagi tretjega Newtonovega zakona dobimo enakost (* ).

V relativistični mehaniki je tridimenzionalni moment sistema materialnih točk, ki niso v interakciji, količina

,

Kje m i- utež jaz materialna točka.

Za zaprt sistem materialnih točk, ki niso v interakciji, se ta vrednost ohrani. Vendar pa tridimenzionalni moment ni relativistično invariantna količina, saj je odvisen od referenčnega sistema. Bolj pomembna količina bo štiridimenzionalni moment, ki je za eno materialno točko definiran kot

V praksi se pogosto uporabljajo naslednja razmerja med maso, gibalno količino in energijo delca:

Načeloma se za sistem materialnih točk, ki niso v interakciji, njihovi 4-momenti seštejejo. Za medsebojno delujoče delce v relativistični mehaniki pa je treba upoštevati ne le gibalno količino delcev, ki sestavljajo sistem, temveč tudi gibalno količino polja interakcije med njimi. Zato je veliko bolj pomembna količina v relativistični mehaniki tenzor energije in gibalne količine, ki v celoti zadošča ohranitvenim zakonom.

Vprašanje #8

Vztrajnostni moment- skalarna fizikalna količina, merilo za vztrajnost telesa pri rotacijskem gibanju okoli osi, tako kot je masa telesa merilo za njegovo vztrajnost pri translacijskem gibanju. Zanj je značilna porazdelitev mase v telesu: vztrajnostni moment enaka vsoti zmnožki osnovnih mas s kvadratom njihovih razdalj do osnovne množice

Aksialni vztrajnostni moment

Aksialni vztrajnostni momenti nekaterih teles.

Vztrajnostni moment mehanskega sistema relativno glede na fiksno os ("aksialni vztrajnostni moment") je količina J a, ki je enaka vsoti zmnožkov vseh mas n materialne točke sistema s kvadrati njihovih razdalj do osi:

,

• m i- utež jaz točka,
• r i- oddaljenost od jaz točko na os.

Aksialni vztrajnostni moment telo J a je merilo vztrajnosti telesa pri rotacijskem gibanju okoli osi, tako kot je masa telesa merilo njegove vztrajnosti pri translacijskem gibanju.

,

• dm = ρ dV- masa majhnega elementa prostornine telesa dV,
• ρ - gostota,
• r- oddaljenost od elementa dV do osi a.

Če je telo homogeno, to pomeni, da je njegova gostota povsod enaka, potem

Izpeljava formule

dm in vztrajnostni momenti dJ i. Potem

Tankostenski valj (obroč, obroč)

Izpeljava formule

Vztrajnostni moment telesa je enak vsoti vztrajnostnih momentov njegovih sestavnih delov. Tankostenski valj razdeli na elemente z maso dm in vztrajnostni momenti dJ i. Potem

Ker so vsi elementi tankostenskega valja na enaki razdalji od osi vrtenja, se formula (1) pretvori v obliko

Steinerjev izrek

Vztrajnostni moment trdnega telesa glede na katero koli os ni odvisna le od mase, oblike in velikosti telesa, temveč tudi od položaja telesa glede na to os. Po Steinerjevem izreku (Huygens-Steinerjev izrek) vztrajnostni moment telo J glede na poljubno os je enaka vsoti vztrajnostni moment to telo J c glede na os, ki poteka skozi središče mase telesa vzporedno z obravnavano osjo, in produkt mase telesa m na kvadrat razdalje d med osema:

Če je vztrajnostni moment telesa glede na os, ki poteka skozi središče mase telesa, potem je vztrajnostni moment glede na vzporedno os, ki je oddaljena od nje, enak

,

Kje - polna masa telesa.

Na primer, vztrajnostni moment palice glede na os, ki poteka skozi njen konec, je enak:

Rotacijska energija

Kinetična energija rotacijskega gibanja- energija telesa, povezana z njegovim vrtenjem.

Glavne kinematične značilnosti rotacijskega gibanja telesa so njegova kotna hitrost (ω) in kotni pospešek. Glavne dinamične značilnosti rotacijskega gibanja - vrtilna količina glede na os vrtenja z:

K z = Izω

in kinetično energijo

kjer je I z vztrajnostni moment telesa glede na vrtilno os.

Podoben primer lahko najdemo, ko obravnavamo rotirajočo molekulo z glavnimi vztrajnostnimi osmi jaz 1, jaz 2 in jaz 3. Rotacijska energija takšne molekule je podana z izrazom

Kje ω 1, ω 2, In ω 3- glavne komponente kotne hitrosti.

Na splošno se energija med vrtenjem s kotno hitrostjo najde po formuli:

, Kje jaz- vztrajnostni tenzor.

Vprašanje št. 9

Trenutek impulza (kotni moment, kotni moment, orbitalni moment, kotni moment) označuje količino rotacijskega gibanja. Količina, ki je odvisna od tega, koliko mase se vrti, kako je porazdeljena glede na vrtilno os in s kakšno hitrostjo se vrti.

Opozoriti je treba, da je vrtenje tukaj razumljeno v širšem smislu, ne samo kot pravilno vrtenje okoli osi. Na primer, tudi z ravno gibanje telo mimo poljubne namišljene točke, ki ne leži na premici gibanja, ima tudi vrtilno količino. Morda največjo vlogo igra vrtilna količina pri opisovanju dejanskega rotacijskega gibanja. Vendar pa je izredno pomemben za veliko širši razred problemov (še posebej, če ima problem centralno ali osno simetrijo, vendar ne samo v teh primerih).

Zakon o ohranitvi kotne količine(zakon o ohranitvi kotne količine) - vektorska vsota vseh kotnih količin glede na katero koli os za zaprt sistem ostane konstantna v primeru ravnovesja sistema. V skladu s tem je kotna količina zaprtega sistema glede na kateri koli neizvod kotne količine glede na čas moment sile:

Tako lahko zahtevo, da je sistem zaprt, oslabimo na zahtevo, da je glavni (skupni) moment zunanjih sil enak nič:

kjer je moment ene od sil, ki deluje na sistem delcev. (Seveda, če zunanjih sil sploh ni, je tudi ta zahteva izpolnjena).

Matematično gledano zakon o ohranitvi vrtilne količine izhaja iz izotropnosti prostora, to je iz invariantnosti prostora glede na vrtenje za poljuben kot. Pri vrtenju za poljuben neskončno majhen kot se bo vektor polmera delca s številko spremenil za , hitrost pa za . Lagrangeova funkcija sistema se s takšno rotacijo ne bo spremenila zaradi izotropnosti prostora. Zato

Izraz za kinetično energijo rotacijskega telesa ob upoštevanju tega linearna hitrost poljubne materialne točke, ki sestavlja telo, je glede na vrtilno os enaka ima obliko

kjer je vztrajnostni moment telesa glede na izbrano vrtilno os, njegova kotna hitrost glede na to os in vrtilna količina telesa glede na vrtilno os.

Če je telo podvrženo translacijskemu rotacijskemu gibanju, je izračun kinetične energije odvisen od izbire pola, glede na katerega je opisano gibanje telesa. Končni rezultat bo enak. Torej, če za okroglo telo, ki se kotali s hitrostjo v brez zdrsa s polmerom R in vztrajnostnim koeficientom k, vzamemo pol v njegovem CM, v točki C, potem je njegov vztrajnostni moment , in kotna hitrost vrtenja okoli osi C je . Potem je kinetična energija telesa .

Če je pol vzet na točki O stika med telesom in površino, skozi katero poteka trenutna os vrtenja telesa, bo njegov vztrajnostni moment glede na os O postal enak . Takrat bo kinetična energija telesa, ob upoštevanju, da so kotne hitrosti vrtenja telesa enake glede na vzporedne osi in telo izvaja čisto vrtenje okoli osi O, enaka . Rezultat je isti.

Izrek o kinetični energiji telesa, ki izvaja kompleksno gibanje, bo imel enako obliko kot za njegovo translacijsko gibanje: .

Primer 1. Telo z maso m je pritrjeno na konec niti, navite okoli valjastega bloka s polmerom R in maso M. Telo dvignemo na višino h in ga sprostimo (slika 65). Po neelastičnem sunku niti se telo in blok takoj začneta premikati skupaj. Koliko toplote se bo sprostilo med sunkom? Kolikšen bosta pospešek telesa in napetost niti po sunku? Kakšna bo hitrost telesa in pot, ki jo bo prepotovalo po sunkovitem sunjenju niti po času t?

dano: M, R, m, h, g, t. Najti: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

rešitev: Hitrost telesa pred sunkom niti. Po sunkovitem navoju bosta blok in telo prešla v rotacijsko gibanje glede na os bloka O in se bosta obnašala kot telesa z vztrajnostnimi momenti glede na to os, ki so enaki in . Njihovo splošni trenutek vztrajnost okoli vrtilne osi.

kreten v niti - hiter postopek in med sunkom velja zakon o ohranitvi vrtilne količine sistema blok-telo, ki ima zaradi dejstva, da se telo in blok takoj po sunku začneta premikati skupaj, obliko: . Od kod izvira začetna kotna hitrost vrtenja bloka? , in začetno linearno hitrost telesa .

Kinetična energija sistema je zaradi ohranitve njegove vrtilne količine takoj po sunkih niti enaka . Toplota, ki se sprosti med sunkom v skladu z zakonom o ohranitvi energije

Dinamične enačbe gibanja teles sistema po sunku niti niso odvisne od njihove začetne hitrosti. Za blok ima obliko ali, in za telo. Če seštejemo ti dve enačbi, dobimo . Od kod izvira pospešek gibanja telesa? Napetost niti

Kinematične enačbe gibanja telesa po sunku bodo imele obliko , kjer so znani vsi parametri.

odgovor: . .

Primer 2. Dve okrogli telesi s koeficientom vztrajnosti (votel valj) in (krogla), ki se nahajata na dnu nagnjene ravnine z naklonskim kotom α poročajo o enakih začetnih hitrostih, usmerjenih navzgor vzdolž nagnjene ravnine. Do katere višine in v kolikšnem času se bodo telesa dvignila na to višino? Kakšni so pospeški dvigajočih se teles? Kolikokrat se razlikujejo višine, časi in pospeški dviga teles? Telesa se gibljejo po nagnjeni ravnini brez zdrsa.

dano: . Najti:

rešitev: Na telo delujejo: gravitacija m g, reakcija na nagnjeni ravnini n, in torna sila sklopke (slika 67). dela normalna reakcija in adhezijske sile trenja (na mestu sprijema telesa in ravnine ni drsenja in se ne sprošča toplota) enake nič: , zato je za opis gibanja teles mogoče uporabiti zakon o ohranitvi energije: . Kje .

Čase in pospeške gibanja teles bomo ugotavljali iz kinematičnih enačb . Kje , . Razmerje med višinami, časi in pospeški dvižnih teles:

Odgovori: , , , .

Primer 3. Krogla z maso , ki leti s hitrostjo, zadene središče krogle z maso M in polmerom R, pritrjeno na konec palice z maso m in dolžine l, obešeno na točki O na svojem drugem koncu, in odleti iz nje. s hitrostjo (slika 68). Poiščite kotno hitrost vrtenja sistema palica-krogla takoj po udarcu in odklonski kot palice po udarcu krogle.

dano: . Najti:

rešitev: Vztrajnostni momenti palice in kroglice glede na vzmetno točko O palice po Steinerjevem izreku: in . Skupni vztrajnostni moment sistema palica-krogla . Udar krogle je hiter proces, pri čemer velja zakon o ohranitvi vrtilne količine sistema krogla-palica-krogla (telesa po trku začnejo rotacijsko gibanje): . Od kod izvira kotna hitrost gibanja sistema palica-kroglica takoj po udarcu?

Položaj CM sistema palica-krogla glede na točko obešanja O: . Zakon o ohranitvi energije za CM sistema po udarcu, ob upoštevanju zakona o ohranitvi vrtilne količine sistema ob udarcu, ima obliko . Od kod se dvigne višina CM sistema po trku? . Kot odklona palice po udarcu je določen s stanjem .

odgovor: , , .

Primer 4. Blok je s silo N pritisnjen na okroglo telo z maso m in polmerom R, z vztrajnostnim koeficientom k, ki se vrti s kotno hitrostjo . Koliko časa bo trajalo, da se bo valj ustavil in koliko toplote se bo sprostilo, ko bo blazinica v tem času drgnila ob valj? Koeficient trenja med blokom in valjem je .

dano: Najti:

rešitev: Delo sile trenja, preden se telo ustavi, je po izreku o kinetični energiji enako . Toplota, ki se sprošča med vrtenjem .

Enačba rotacijskega gibanja telesa ima obliko . Od kod izvira kotni pospešek njegovega počasnega vrtenja? . Čas, ki je potreben, da se telo vrti, dokler se ne ustavi.

Odgovori: , .

Primer 5. Okroglo telo z maso m in polmerom R z vztrajnostnim koeficientom k zavrtimo s kotno hitrostjo v nasprotni smeri urinega kazalca in ga postavimo na vodoravno površino ob navpični steni (slika 70). Koliko časa bo trajalo, da se bo telo ustavilo in koliko obratov bo naredilo, preden se bo ustavilo? Kolikšna bo količina toplote, ki se bo v tem času sprostila pri drgnjenju telesa ob površino? Koeficient trenja telesa ob podlago je enak .

dano: . Najti:

rešitev: Toplota, ki se sprosti med vrtenjem telesa do njegove ustavitve, je enaka delu sil trenja, ki ga lahko ugotovimo s pomočjo izreka o kinetični energiji telesa. Imamo.

Horizontalna ravninska reakcija. Sile trenja, ki delujejo na telo z vodoravne in navpične površine, so enake: in .Iz sistema teh dveh enačb dobimo in .

Ob upoštevanju teh razmerij ima enačba rotacijskega gibanja telesa obliko (. Od koder je kotni pospešek vrtenja telesa enak. Potem je čas vrtenja telesa, preden se ustavi, in število vrtljajev, ki jih naredi.

Odgovori: , , , .

Primer 6. Okroglo telo z vztrajnostnim koeficientom k se kotali brez zdrsa z vrha poloble s polmerom R, ki stoji na vodoravni površini (slika 71). Na kateri višini in s kakšno hitrostjo se bo odtrgala od poloble in s kakšno hitrostjo bo padla na vodoravno površino?

dano: k, g, R. Najti:

rešitev: Na telo delujejo sile . Delo in 0, (na mestu sprijemanja poloble in kroglice ni zdrsa in toplota se ne sprošča), zato je za opis gibanja telesa mogoče uporabiti zakon o ohranitvi energije. Newtonov drugi zakon za CM telesa na točki njegove ločitve od poloble, ob upoštevanju, da ima na tej točki obliko , od koder . Zakon o ohranitvi energije za začetno točko in točko ločitve telesa ima obliko . Od koder sta višina in hitrost ločitve telesa od poloble enaki, .

Po ločitvi telesa od poloble se spremeni le njegova translacijska kinetična energija, zato ima zakon ohranitve energije za točke ločitve in padca telesa na tla obliko . Kam ob upoštevanju dobimo . Za telo, ki drsi po površini poloble brez trenja, je k=0 in , , .

odgovor: , , .