Интервален метод: решаване на най-простите строги неравенства. Системата от неравенства е решението. Система от линейни неравенства

Представени са основните видове неравенства, включително неравенствата на Бернули, Коши - Буняковски, Минковски, Чебишев. Разглеждат се свойствата на неравенствата и действията върху тях. Дадени са основните методи за решаване на неравенства.

Формули за основни неравенства

Формули за универсални неравенства

Универсалните неравенства са изпълнени за всякакви стойности на количествата, включени в тях. Основните видове универсални неравенства са изброени по-долу.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |а| + |b| ≥ | а - б | ≥ | |а| - |b| |

3)
Равенство възниква само когато a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Неравенството на Коши-Буняковски

Равенството е в сила тогава и само ако α a k = β b k за всички k = 1, 2, ..., n и някои α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Неравенството на Минковски, за p ≥ 1

Формули на изпълними неравенства

Удовлетворимите неравенства са изпълнени за определени стойности на количествата, включени в тях.

1) Неравенството на Бернули:
.
В повече общ изглед:
,
където , числа със същия знак и по-големи от -1 : .
Лема на Бернули:
.
Вижте "Доказателства за неравенства и лема на Бернули".

2)
за a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Неравенството на Чебишев
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Обобщени неравенства на Чебишев
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n и k естествено
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Свойства на неравенствата

Свойствата на неравенствата са набор от правила, които се спазват при преобразуването им. По-долу са свойствата на неравенствата. Разбираемо е, че първоначалните неравенства са изпълнени за стойности на x i (i = 1, 2, 3, 4), принадлежащи към някакъв предварително определен интервал.

1) Когато редът на страните се промени, знакът за неравенство се променя на противоположния.
Ако x 1< x 2 , то x 2 >х 1.
Ако x 1 ≤ x 2, тогава x 2 ≥ x 1.
Ако x 1 ≥ x 2, тогава x 2 ≤ x 1.
Ако x 1 > x 2, тогава x 2< x 1 .

2) Едно равенство е еквивалентно на две слаби неравенства различен знак.
Ако x 1 = x 2, тогава x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2.
Ако x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2, тогава x 1 = x 2.

3) Свойство на транзитивност
Ако x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Ако x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Ако x 1 ≤ x 2 и x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Ако x 1 ≤ x 2 и x 2 ≤ x 3, тогава x 1 ≤ x 3.

4) Едно и също число може да се добави (извади) към двете страни на неравенството.
Ако x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Ако x 1 ≤ x 2, тогава x 1 + A ≤ x 2 + A.
Ако x 1 ≥ x 2, тогава x 1 + A ≥ x 2 + A.
Ако x 1 > x 2, тогава x 1 + A > x 2 + A.

5) Ако има две или повече неравенства със знак на една и съща посока, тогава лявата и дясната им страна могат да бъдат добавени.
Ако x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ако x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, тогава x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Подобни изрази важат за знаците ≥, >.
Ако първоначалните неравенства съдържат признаци на нестроги неравенства и поне едно строго неравенство (но всички знаци имат една и съща посока), тогава добавянето води до строго неравенство.

6) И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по положително число.
Ако x 1< x 2 и A >0, след това A x 1< A · x 2 .
Ако x 1 ≤ x 2 и A > 0, тогава A x 1 ≤ A x 2.
Ако x 1 ≥ x 2 и A > 0, тогава A x 1 ≥ A x 2.
Ако x 1 > x 2 и A > 0, тогава A · x 1 > A · x 2.

7) И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по отрицателно число. В този случай знакът на неравенството ще се промени на обратното.
Ако x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Ако x 1 ≤ x 2 и A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Ако x 1 ≥ x 2 и A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Ако x 1 > x 2 и A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Ако има две или повече неравенства с положителни членове, със знак на една и съща посока, тогава техните лява и дясна страна могат да се умножат една по друга.
Ако x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 след това x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ако x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 след това x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 след това x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0, тогава x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Подобни изрази важат за знаците ≥, >.
Ако оригиналните неравенства съдържат признаци на нестроги неравенства и поне едно строго неравенство (но всички знаци имат една и съща посока), тогава умножението води до строго неравенство.

9) Нека f(x) е монотонно нарастваща функция. Тоест, за всеки x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). След това тази функция може да се приложи към двете страни на неравенството, което няма да промени знака на неравенството.
Ако x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Ако x 1 ≤ x 2, тогава f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ако x 1 ≥ x 2, тогава f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ако x 1 > x 2, тогава f(x 1) > f(x 2).

10) Нека f(x) е монотонно намаляваща функция, тоест за всяко x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Ако x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
Ако x 1 ≤ x 2, тогава f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ако x 1 ≥ x 2, тогава f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ако x 1 > x 2 тогава f(x 1)< f(x 2) .

Методи за решаване на неравенства

Решаване на неравенства по интервалния метод

Интервалният метод е приложим, ако неравенството включва една променлива, която означаваме с x и има формата:
f(x) > 0
където f(x) - непрекъсната функция, имащи краен брой точки на прекъсване. Знакът за неравенство може да бъде всичко: >, ≥,<, ≤ .

Интервалният метод е както следва.

1) Намерете областта на дефиниция на функцията f(x) и я маркирайте с интервали на числовата ос.

2) Намерете точките на прекъсване на функцията f(x). Например, ако това е дроб, тогава намираме точките, в които знаменателят става нула. Маркираме тези точки на числовата ос.

3) Решете уравнението
f(x) = 0.
Отбелязваме корените на това уравнение върху числовата ос.

4) В резултат на това числовата ос ще бъде разделена на интервали (сегменти) по точки. В рамките на всеки интервал, включен в областта на дефиниция, ние избираме всяка точка и в тази точка изчисляваме стойността на функцията. Ако тази стойност е по-голяма от нула, тогава поставяме знак "+" над сегмента (интервала). Ако тази стойност е по-малка от нула, тогава поставяме знак "-" над сегмента (интервал).

5) Ако неравенството има формата: f(x) > 0, тогава изберете интервали със знака "+". Решението на неравенството е да се комбинират тези интервали, които не включват техните граници.
Ако неравенството има формата: f(x) ≥ 0, тогава към решението добавяме точки, в които f(x) = 0. Тоест някои интервали може да имат затворени граници (границата принадлежи на интервала). другата част може да има отворени граници (границата не принадлежи на интервала).
По същия начин, ако неравенството има формата: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Ако неравенството има формата: f(x) ≤ 0, тогава към решението добавяме точки, в които f(x) = 0.

Решаване на неравенства с помощта на техните свойства

Този метод е приложим за неравенства с всякаква сложност. Състои се от прилагане на свойствата (представени по-горе), за да се намалят неравенствата до по-проста форма и да се получи решение. Напълно възможно е това да доведе не до едно, а до система от неравенства. Това е универсален метод. Отнася се за всякакви неравенства.

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.

Една от темите, които изискват максимално внимание и постоянство от учениците, е решаването на неравенства. Толкова подобни на уравненията и в същото време много различни от тях. Защото решаването им изисква специален подход.

Свойства, които ще са необходими за намиране на отговора

Всички те се използват за замяна на съществуващ запис с еквивалентен. Повечето от тях са подобни на това, което беше в уравненията. Но има и разлики.

Функция, която е дефинирана в ODZ, или произволно число, може да се добави към двете страни на оригиналното неравенство.
По същия начин умножението е възможно, но само с положителна функция или число.
Ако това действие се извършва с отрицателна функция или число, тогава знакът за неравенство трябва да бъде заменен с противоположния.
Функциите, които не са отрицателни, могат да бъдат повдигнати на положителна степен.

Понякога решаването на неравенства е придружено от действия, които предоставят странични отговори. Те трябва да бъдат изключени чрез сравняване Район ОДЗи много решения.

Използване на метода на интервалите

Същността му е да сведе неравенството до уравнение, в което от дясната страна има нула.

Определете областта, в която се намират допустимите стойности на променливите, т.е. ODZ.
Преобразувайте неравенството с помощта на математически операции, така че дясната страна да има нула.
Заменете знака за неравенство с “=” и решете съответното уравнение.
На цифровата ос маркирайте всички отговори, получени по време на решението, както и OD интервалите. В случай на строго неравенство, точките трябва да бъдат начертани като пунктирани. Ако има знак за равенство, те трябва да бъдат боядисани.
Определете знака на първоначалната функция на всеки интервал, получен от точките на ODZ и отговорите, които го разделят. Ако знакът на функцията не се променя при преминаване през точка, тогава тя се включва в отговора. В противен случай е изключено.
Граничните точки за ODZ трябва да бъдат допълнително проверени и едва тогава да бъдат включени или не в отговора.
Полученият отговор трябва да бъде написан под формата на комбинирани набори.

Малко за двойните неравенства

Те използват два знака за неравенство наведнъж. Тоест, някаква функция е ограничена от условия два пъти наведнъж. Такива неравенства се решават като система от две, когато оригиналът е разделен на части. А в интервалния метод са посочени отговорите от решаването на двете уравнения.

За разрешаването им също е допустимо да се използват свойствата, посочени по-горе. С тяхна помощ е удобно да се намали неравенството до нула.

Какво ще кажете за неравенствата, които имат модул?

В този случай решението на неравенствата използва следните свойства и те са валидни за положителна стойност на „a“.

Ако "x" вземе алгебричен израз, тогава следните замени са валидни:

|x|< a на -a < х < a;
|x| > от a до x< -a или х >а.

Ако неравенствата не са строги, тогава формулите също са правилни, само че в тях освен по-голям или по-малък знак се появява "=".

Как се решава система от неравенства?

Тези знания ще са необходими в случаите, когато се дава такава задача или има запис на двойно неравенство или в записа фигурира модул. В такава ситуация решението ще бъдат стойностите на променливите, които биха задоволили всички неравенства в записа. Ако няма такива числа, системата няма решения.

Планът, според който се извършва решението на системата от неравенства:

решавайте всеки от тях поотделно;
изобразяват всички интервали върху числовата ос и определят техните пресечни точки;
запишете отговора на системата, който ще бъде комбинация от случилото се във втория параграф.

Какво да правим с дробните неравенства?

Тъй като решаването им може да изисква промяна на знака на неравенството, трябва много внимателно и внимателно да следвате всички точки на плана. В противен случай може да получите обратния отговор.

Решаването на дробни неравенства също използва интервалния метод. И планът за действие ще бъде такъв:

Използвайки описаните свойства, придайте на дроба такава форма, че да остане само нула вдясно от знака.
Заменете неравенството с “=” и определете точките, в които функцията ще бъде равна на нула.
Маркирайте ги върху координатната ос. В този случай числата, получени в резултат на изчисления в знаменателя, винаги ще бъдат избити. Всички останали се основават на условието за неравенство.
Определете интервалите на постоянство на знака.
В отговор запишете обединението на онези интервали, чийто знак съответства на този в първоначалното неравенство.

Ситуации, когато ирационалността се проявява в неравенството

С други думи, в нотацията има математически корен. От училищния курс по алгебра повечето отзаданията са за корен квадратен, тогава това ще бъде разгледано.

Решението на ирационалните неравенства се свежда до получаване на система от две или три, която ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Първоначално неравенство	състояние	еквивалентна система
√ n(x)< m(х)	m(x) по-малко или равно на 0	няма решения
√ n(x)< m(х)	m(x) по-голямо от 0	n(x) е по-голямо или равно на 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) по-голямо или равно на 0 n(x) > (m(x)) 2
√ n(x) > m(x)		n(x) е по-голямо или равно на 0 m(x) по-малко от 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) по-малко от 0	няма решения
√n(x) ≤ m(x)	m(x) по-голямо или равно на 0	n(x) е по-голямо или равно на 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) по-голямо или равно на 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		n(x) е по-голямо или равно на 0 m(x) по-малко от 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) е по-голямо или равно на 0 n(x) по-малко от m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) по-голямо от 0 m(x) по-малко от 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) по-голямо от 0 m(x) по-голямо от 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) по-голямо от 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) е равно на 0 m(x) - всякакви
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) по-голямо от 0
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) е равно на 0 m(x) - всякакви

Примери за решаване на различни видове неравенства

За да добавим яснота към теорията за решаване на неравенства, по-долу са дадени примери.

Първи пример. 2x - 4 > 1 + x

Решение: За да определите ADI, всичко, което трябва да направите, е да разгледате внимателно неравенството. Образува се от линейни функции, следователно дефиниран за всички стойности на променливата.

Сега трябва да извадите (1 + x) от двете страни на неравенството. Оказва се: 2x - 4 - (1 + x) > 0. След отваряне на скобите и задаване на подобни членове неравенството ще приеме следния вид: x - 5 > 0.

Приравнявайки го на нула, е лесно да се намери неговото решение: x = 5.

Сега тази точка с номер 5 трябва да бъде отбелязана на координатния лъч. След това проверете знаците на оригиналната функция. На първия интервал от минус безкрайност до 5 можете да вземете числото 0 и да го замените в неравенството, получено след трансформациите. След изчисления се получава -7 >0. под дъгата на интервала трябва да подпишете знак минус.

На следващия интервал от 5 до безкрайност можете да изберете числото 6. Тогава се оказва, че 1 > 0. Под дъгата има знак „+“. Този втори интервал ще бъде отговорът на неравенството.

Отговор: x се намира в интервала (5; ∞).

Втори пример. Необходимо е да се реши система от две уравнения: 3x + 3 ≤ 2x + 1 и 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Решение. VA на тези неравенства също лежи в областта на произволни числа, тъй като са дадени линейни функции.

Второто неравенство ще приеме формата на следното уравнение: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. След трансформация: -x - 4 =0. Това създава стойност за променливата, равна на -4.

Тези две числа трябва да бъдат маркирани на оста, изобразяващи интервали. Тъй като неравенството не е строго, всички точки трябва да бъдат защриховани. Първият интервал е от минус безкрайност до -4. Нека бъде избрано числото -5. Първото неравенство ще даде стойност -3, а второто 1. Това означава, че този интервал не е включен в отговора.

Вторият интервал е от -4 до -2. Можете да изберете числото -3 и да го замените и в двете неравенства. В първия и втория стойността е -1. Това означава, че под дъгата "-".

В последния интервал от -2 до безкрайност най-доброто число е нула. Трябва да го замените и да намерите стойностите на неравенствата. Първото от тях дава положително число, а второто - нула. Тази празнина също трябва да бъде изключена от отговора.

От трите интервала само един е решение на неравенството.

Отговор: x принадлежи на [-4; -2].

Трети пример. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Решение. Първата стъпка е да се определят точките, в които функциите изчезват. За левия това число ще бъде 2, за десния - 1. Те трябва да бъдат маркирани върху лъча и да се определят интервалите на постоянство на знака.

На първия интервал, от минус безкрайност до 1, функцията от лявата страна на неравенството приема положителни стойности, а функцията от дясната страна приема отрицателни стойности. Под дъгата трябва да напишете два знака „+“ и „-“ един до друг.

Следващият интервал е от 1 до 2. На него и двете функции приемат положителни стойности. Това означава, че има два плюса под дъгата.

Третият интервал от 2 до безкрайност ще даде следния резултат: лява функция- отрицателен, дясно - положителен.

Като вземете предвид получените знаци, трябва да изчислите стойностите на неравенството за всички интервали.

Първото води до следното неравенство: 2 - x > - 2 (x - 1). Минусът преди двете във второто неравенство се дължи на факта, че тази функция е отрицателна.

След трансформацията неравенството изглежда така: x > 0. То веднага дава стойностите на променливата. Тоест от този интервал ще се отговори само на интервала от 0 до 1.

На втория: 2 - x > 2 (x - 1). Трансформациите ще дадат следното неравенство: -3x + 4 е по-голямо от нула. Неговата нула ще бъде x = 4/3. Като се вземе предвид знакът за неравенство, се оказва, че x трябва да е по-малко от това число. Това означава, че този интервал се свежда до интервал от 1 до 4/3.

Последното дава следното неравенство: - (2 - x) > 2 (x - 1). Трансформацията му води до следното: -x > 0. Тоест, уравнението е вярно, когато x е по-малко от нула. Това означава, че на търсения интервал неравенството не дава решения.

В първите два интервала граничното число се оказа 1. Трябва да се провери отделно. Тоест, заместете го в първоначалното неравенство. Оказва се: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Преброяването показва, че 1 е по-голямо от 0. Това е вярно твърдение, така че единица е включена в отговора.

Отговор: x се намира в интервала (0; 4/3).

От древни времена е необходимо да се сравняват количества и количества при решаване на практически проблеми. В същото време се появиха думи като повече и по-малко, по-високо и по-ниско, по-леко и по-тежко, по-тихо и по-силно, по-евтино и по-скъпо и др., обозначаващи резултатите от сравняване на еднородни величини.

Понятията повече и по-малко възникват във връзка с броенето на предмети, измерването и сравняването на количества. Например математиците от Древна Гърция са знаели, че страната на всеки триъгълник е по-малка от сумата на другите две страни и че по-голямата страна лежи срещу по-големия ъгъл в триъгълника. Архимед, докато изчислява обиколката, установи, че периметърът на всеки кръг е равен на три пъти диаметъра с излишък, който е по-малък от една седма от диаметъра, но повече от десет седемдесет пъти диаметъра.

Запишете символично връзките между числата и количествата, като използвате знаците > и b. Записи, в които две числа са свързани с един от знаците: > (по-голямо от), Срещнахте и числови неравенства в младши класове. Знаете, че неравенствата могат да бъдат верни или неверни. Например \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) е правилно числово неравенство, 0,23 > 0,235 е неправилно числено неравенство.

Неравенствата, включващи неизвестни, могат да бъдат верни за някои стойности на неизвестните и неверни за други. Например неравенството 2x+1>5 е вярно за x = 3, но е невярно за x = -3. За неравенство с едно неизвестно можете да поставите задача: решете неравенството. Проблемите за решаване на неравенства на практика се поставят и решават не по-рядко от задачите за решаване на уравнения. Например много икономически проблеми се свеждат до изучаването и решаването на системи линейни неравенства. В много клонове на математиката неравенствата са по-често срещани от уравненията.

Някои неравенства служат като единствени спомагателни, което ви позволява да докажете или опровергаете съществуването на определен обект, например корен на уравнение.

Числени неравенства

Можете ли да сравнявате цели числа? десетични знаци. Знаете ли правилата за сравнение? обикновени дробис еднакви знаменатели, но различни числители; със същите числители, но различни знаменатели. Тук ще научите как да сравнявате произволни две числа, като намирате знака на тяхната разлика.

Сравняването на числа се използва широко в практиката. Например, икономистът сравнява планираните показатели с действителните, лекарят сравнява температурата на пациента с нормалната, стругарът сравнява размерите на обработената част със стандарта. Във всички подобни случаи някои числа се сравняват. В резултат на сравняване на числа възникват числени неравенства.

Определение.Номер а повече брой b, ако разлика a-bположителен. Номер а по-малко число b, ако разликата a-b е отрицателна.

Ако a е по-голямо от b, тогава те пишат: a > b; ако a е по-малко от b, тогава те пишат: a По този начин неравенството a > b означава, че разликата a - b е положителна, т.е. a - b > 0. Неравенство a За произволни две числа a и b от следните три отношения a > b, a = b, a Да сравним числата a и b означава да открием кой от знаците >, = или Теорема.Ако a > b и b > c, тогава a > c.

Теорема.Ако добавите едно и също число към двете страни на неравенството, знакът на неравенството няма да се промени.
Последица.Всеки член може да бъде преместен от една част на неравенството в друга чрез промяна на знака на този член на противоположния.

Теорема.Ако двете страни на неравенството се умножат по едно и също положително число, тогава знакът на неравенството не се променя. Ако двете страни на неравенството се умножат по едно и също отрицателно число, тогава знакът на неравенството ще се промени на противоположния.
Последица.Ако двете страни на неравенството се разделят на едно и също положително число, тогава знакът на неравенството няма да се промени. Ако двете страни на неравенството се разделят на едно и също отрицателно число, тогава знакът на неравенството ще се промени на противоположния.

Знаете, че числените равенства могат да се събират и умножават член по член. След това ще научите как да извършвате подобни действия с неравенства. Способността да се събират и умножават неравенства член по член често се използва в практиката. Тези действия помагат за решаването на проблеми с оценяването и сравняването на значенията на изразите.

Когато се решават различни задачи, често е необходимо да се добавят или умножават лявата и дясната страна на неравенства член по член. В същото време понякога се казва, че неравенствата се събират или умножават. Например, ако един турист е изминал повече от 20 км през първия ден и повече от 25 км през втория, тогава можем да кажем, че за два дни той е изминал повече от 45 км. По същия начин, ако дължината на правоъгълник е по-малка от 13 cm и ширината е по-малка от 5 cm, тогава можем да кажем, че площта на този правоъгълник е по-малка от 65 cm2.

При разглеждането на тези примери бяха използвани следните: теореми за събиране и умножение на неравенства:

Теорема.При събиране на неравенства със същия знак се получава неравенство със същия знак: ако a > b и c > d, то a + c > b + d.

Теорема.При умножаване на неравенства от един и същи знак, чиято лява и дясна страна са положителни, се получава неравенство от същия знак: ако a > b, c > d и a, b, c, d са положителни числа, то ac > bd.

Неравенства със знак > (по-голямо от) и 1/2, 3/4 b, c Заедно със знаците на строги неравенства > и По същия начин неравенството \(a \geq b \) означава, че числото a е по-голямо или равно на b, т.е. и не по-малко от b.

Неравенствата, съдържащи знака \(\geq \) или знака \(\leq \), се наричат нестроги. Например \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) не са строги неравенства.

Всички свойства на строги неравенства са валидни и за нестроги неравенства. Освен това, ако за строги неравенства знаците > се считат за противоположни и знаете, че за решаването на редица приложни задачи трябва да създадете математически модел под формата на уравнение или система от уравнения. След това ще разберете това математически моделиЗа решаването на много задачи има неравенства с неизвестни. Ще бъде въведена концепцията за решаване на неравенство и ще бъде показано как да се провери дали дадено число е решение на определено неравенство.

Неравенства на формата
\(ax > b, \quad ax, в който a и b са дадени числа и x е неизвестно, се наричат линейни неравенства с едно неизвестно.

Определение.Решението на неравенство с едно неизвестно е стойността на неизвестното, при която това неравенство става истинско числено неравенство. Решаването на неравенство означава да се намерят всички негови решения или да се установи, че няма такива.

Решихте уравненията, като ги редуцирахте до най-простите уравнения. По същия начин, когато се решават неравенства, човек се опитва да ги намали, използвайки свойства, до формата на прости неравенства.

Решаване на неравенства от втора степен с една променлива

Неравенства на формата
\(ax^2+bx+c >0 \) и \(ax^2+bx+c, където x е променлива, a, b и c са някои числа и \(a \neq 0 \), наречени неравенства от втора степен с една променлива.

Решение на неравенството
\(ax^2+bx+c >0 \) или \(ax^2+bx+c може да се счита за намиране на интервали, в които функцията \(y= ax^2+bx+c \) приема положително или отрицателно стойности За да направите това, е достатъчно да анализирате как е разположена графиката на функцията \(y= ax^2+bx+c\) в координатната равнина: накъде са насочени клоновете на параболата - нагоре или надолу, дали параболата пресича оста х и ако пресича, тогава в кои точки.

Алгоритъм за решаване на неравенства от втора степен с една променлива:
1) намерете дискриминанта на квадратния трином \(ax^2+bx+c\) и разберете дали триномът има корени;
2) ако тричленът има корени, тогава ги маркирайте на оста x и през маркираните точки начертайте схематична парабола, чиито клонове са насочени нагоре за a > 0 или надолу за a 0 или отдолу за a 3) намерете интервали по оста x, за които точковите параболи са разположени над оста x (ако решават неравенството \(ax^2+bx+c >0\)) или под оста x (ако решават неравенство
\(ax^2+bx+c Решаване на неравенства чрез интервалния метод

Помислете за функцията
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Домейнът на тази функция е множеството от всички числа. Нулите на функцията са числата -2, 3, 5. Те разделят областта на дефиниране на функцията на интервалите \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) и \( (5; +\infty)\)

Нека разберем какви са знаците на тази функция във всеки от посочените интервали.

Изразът (x + 2)(x - 3)(x - 5) е произведението на три фактора. Знакът на всеки от тези фактори в разглежданите интервали е посочен в таблицата:

Като цяло нека функцията е дадена с формулата
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
където x е променлива, а x 1, x 2, ..., x n са числа, които не са равни едно на друго. Числата x 1 , x 2 , ..., x n са нули на функцията. Във всеки от интервалите, на които областта на дефиниране е разделена от нули на функцията, знакът на функцията се запазва, а при преминаване през нула знакът й се променя.

Това свойство се използва за решаване на неравенства от формата
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) където x 1, x 2, ..., x n са числа, които не са равни едно на друго

Обмислен метод решаването на неравенства се нарича интервален метод.

Нека дадем примери за решаване на неравенства с помощта на интервалния метод.

Решете неравенство:

\(x(0,5-x)(x+4) Очевидно нулите на функцията f(x) = x(0,5-x)(x+4) са точките \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Начертаваме нулите на функцията върху числовата ос и изчисляваме знака на всеки интервал:

Избираме тези интервали, при които функцията е по-малка или равна на нула и записваме отговора.

Отговор:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Какво трябва да знаете за иконите за неравенство? Неравенства с икона Повече ▼ (> ), или по-малко (< ) са наречени строг.С икони повече или равно (≥ ), по-малко или равно (≤ ) са наречени не е строг.Икона не е равно (≠ ) стои отделно, но вие също трябва да решавате примери с тази икона през цялото време. И ние ще решим.)

Самата икона няма голямо влияние върху процеса на решение. Но в края на решението, при избора на окончателния отговор, значението на иконата се появява с пълна сила! Това ще видим по-долу в примери. Има някакви вицове...

Неравенствата, както и равенствата, съществуват верни и неверни.Тук всичко е просто, без трикове. Да речем 5 > 2 е истинско неравенство. 5 < 2 - неправилно.

Този препарат работи при неравности всякакъв види просто до точката на ужас.) Просто трябва правилно да изпълните две (само две!) елементарни действия. Тези действия са познати на всички. Но, което е характерно, грешките в тези действия са основната грешка при решаването на неравенства, да... Следователно тези действия трябва да се повтарят. Тези действия се наричат по следния начин:

Тъждествени преобразувания на неравенства.

Тъждествените трансформации на неравенства са много подобни на тъждествените трансформации на уравнения. Всъщност това е основният проблем. Разликите минават през главата ви и... ето ви.) Затова ще подчертая специално тези разлики. И така, първата идентична трансформация на неравенства:

1. Едно и също число или израз може да се добави (извади) към двете страни на неравенството. Всякакви. Това няма да промени знака за неравенство.

На практика това правило се използва като прехвърляне на членове от лявата страна на неравенството в дясната (и обратно) с промяна на знака. Със смяна на знака на члена, а не на неравенството! Правилото едно към едно е същото като правилото за уравнения. Но следващите идентични трансформации в неравенствата се различават значително от тези в уравненията. Затова ги маркирам в червено:

2. И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също нещоположителенномер. За всякаквиположителен Няма да се промени.

3. И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също нещоотрицателенномер. За всякаквиотрицателенномер. Знакът за неравенство от товаще се промени на обратното.

Спомняте си (надявам се...), че уравнението може да бъде умножено/разделено по всичко. И за всяко число, и за израз с X. Само да не беше нула. Това го прави, уравнението, нито горещ, нито студен.) Не се променя. Но неравенствата са по-чувствителни към умножение/деление.

Ярък пример за дълга памет. Нека напишем неравенството съмнително:

5 > 2

Умножете двете страни по +3, получаваме:

15 > 6

Някакви възражения? Няма възражения.) И ако умножим двете страни на първоначалното неравенство по -3, получаваме:

15 > -6

И това е откровена лъжа.) Пълна лъжа! Измама на народа! Но веднага щом промените знака за неравенство на противоположния, всичко си идва на мястото:

15 < -6

Не се кълна само за лъжи и измами.) „Забравих да променя знака за равенство...“- Това У домагрешка при решаване на неравенства. Това тривиално и просто правило нарани толкова много хора! Което те забравиха...) Така че се заклевам. Може би ще си спомня...)

Особено внимателните хора ще забележат, че неравенството не може да се умножи с израз с X. Уважение към тези, които са внимателни!) Защо не? Отговорът е лесен. Не знаем знака на този израз с X. То може да бъде положително, отрицателно... Следователно не знаем кой знак за неравенство да поставим след умножението. Трябва ли да го сменя или не? неизвестен Разбира се, това ограничение (забраната за умножаване/деление на неравенство с израз с x) може да бъде заобиколено. Ако наистина имате нужда. Но това е тема за други уроци.

Това са всички тъждествени трансформации на неравенства. Нека ви напомня още веднъж, че работят за всякаквинеравенства Сега можете да преминете към конкретни видове.

Линейни неравенства. Решение, примери.

Линейните неравенства са неравенства, при които x е на първа степен и няма деление на x. Тип:

х+3 > 5x-5

Как се разрешават подобни неравенства? Решават се много лесно! А именно: с помощта на намаляваме най-объркващото линейно неравенство направо към отговора.Това е решението. Ще подчертая основните точки на решението. За да избегнете глупави грешки.)

Нека решим това неравенство:

х+3 > 5x-5

Решаваме го по абсолютно същия начин като линейно уравнение. С единствената разлика:

Ние внимателно следим знака за неравенство!

Първата стъпка е най-честата. С Х - наляво, без Х - надясно... Това е първата идентична трансформация, проста и безпроблемна.) Само не забравяйте да промените знаците на пренесените членове.

Знакът за неравенство остава:

х-5х > -5-3

Ето подобни.

Знакът за неравенство остава:

4x > -8

Остава да приложим последната идентична трансформация: разделете двете страни на -4.

Разделете на отрицателенномер.

Знакът за неравенство ще се промени на противоположния:

х < 2

Това е отговорът.

Така се решават всички линейни неравенства.

внимание! Точка 2 е изчертана бяла, т.е. небоядисана. Празно вътре. Това означава, че тя не е включена в отговора! Нарочно я нарисувах толкова здрава. Такава точка (празна, нездрава!)) в математиката се нарича пробита точка.

Останалите числа на оста могат да бъдат маркирани, но не е необходимо. Странни числа, които не са свързани с нашето неравенство, могат да бъдат объркващи, да... Просто трябва да запомните, че числата нарастват по посока на стрелката, т.е. числа 3, 4, 5 и т.н. са надясноса двойки, а числата са 1, 0, -1 и т.н. - наляво.

Неравенство x < 2 - строг. X е строго по-малко от две. Ако се съмнявате, проверката е проста. Заместваме съмнителното число в неравенството и си мислим: "Две е по-малко от две? Не, разбира се!" Точно. Неравенство 2 < 2 неправилно.Две в отговор не е подходящо.

Едното добре ли е? Със сигурност. По-малко... И нулата е добра, и -17, и 0,34... Да, всички числа, които са по-малки от две, са добри! И дори 1.9999... Поне малко, но по-малко!

Така че нека отбележим всички тези числа на числовата ос. как? Тук има опции. Първият вариант е засенчване. Преместваме мишката върху картината (или докосваме снимката на таблета) и виждаме, че областта на всички x, които отговарят на условието x, е защрихована < 2 . Това е всичко.

Нека да разгледаме втората опция, използвайки втория пример:

х ≥ -0,5

Начертайте ос и маркирайте числото -0,5. Като този:

Забелязвате ли разликата?) Е, да, трудно е да не забележите... Тази точка е черна! Боядисани. Това означава -0,5 е включено в отговора.Тук, между другото, проверката може да обърка някого. Нека заместим:

-0,5 ≥ -0,5

Как така? -0,5 не е повече от -0,5! И има още икона...

Всичко е наред. При слабо неравенство всичко, което пасва на иконата, е подходящо. И равно надобре и Повече ▼добре. Следователно -0,5 е включено в отговора.

И така, отбелязахме -0,5 на оста, остава да маркираме всички числа, които са по-големи от -0,5. Този път маркирам зоната на подходящи x стойности лък(от думата дъга), а не засенчване. Задръжте курсора върху рисунката и ще видите този лък.

Няма особена разлика между засенчването и ръцете. Направете както казва учителят. Ако няма учител, нарисувайте арки. При по-сложни задачи засенчването е по-малко очевидно. Можете да се объркате.

Така се чертаят линейни неравенства върху ос. Нека да преминем към следващата характеристика на неравенствата.

Записване на отговора за неравенства.

Уравненията бяха добри.) Намерихме x и записахме отговора, например: x=3. Има две форми за записване на отговорите в неравенствата. Единият е под формата на крайно неравенство. Добър за прости случаи. Например:

х< 2.

Това е пълен отговор.

Понякога трябва да запишете едно и също нещо, но в различна форма, на цифрови интервали. Тогава записът започва да изглежда много научно):

x ∈ (-∞; 2)

Под иконата ∈ думата е скрита "принадлежи".

Записът гласи така: x принадлежи на интервала от минус безкрайност до две без да включва. Съвсем логично. X може да бъде всяко число от всички възможни числа от минус безкрайност до две. Не може да има двойно Х, което ни казва думата "без да включва".

И къде в отговора е ясно, че "без да включва"? Този факт е отбелязан в отговора кръгълскоба непосредствено след двете. Ако двете бяха включени, скобата щеше да бъде квадрат.Като този: ]. Следващият пример използва такава скоба.

Нека запишем отговора: x ≥ -0,5 на интервали:

x ∈ [-0,5; +∞)

Чете: x принадлежи на интервала от минус 0,5, включително,до плюс безкрайност.

Безкрайността никога не може да бъде включена. Това не е число, а символ. Следователно в такива обозначения безкрайността винаги е съседна на скоба.

Тази форма на запис е удобна за сложни отговори, състоящи се от няколко интервала. Но – само за окончателни отговори. При междинни резултати, където се очаква по-нататъшно решение, е по-добре да използвате обичайната форма, във формуляра просто неравенство. Ще се занимаваме с това в съответните теми.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Концепцията за математическото неравенство възниква в древни времена. Това се случи, когато първобитният човек започна да има нужда да сравнява тяхното количество и размер, когато броеше и боравеше с различни предмети. От древни времена Архимед, Евклид и други известни учени: математици, астрономи, дизайнери и философи са използвали неравенства в своите разсъждения.

Но те, като правило, използваха словесна терминология в своите произведения. За първи път в Англия са изобретени и въведени в практиката съвременни знаци за обозначаване на понятията „повече“ и „по-малко“ във формата, в която ги познава днес всеки ученик. Математикът Томас Хариот е предоставил такава услуга на своите потомци. И това се е случило преди около четири века.

Известни са много видове неравенства. Сред тях има прости, съдържащи една, две или повече променливи, квадратни, дробни, сложни съотношения и дори такива, представени чрез система от изрази. Най-добрият начин да разберете как да решавате неравенства е да използвате различни примери.

Не изпускайте влака

Като начало, нека си представим, че жител на селски район бърза към жп гарата, която се намира на 20 км от неговото село. За да не изпусне влака, тръгващ в 11 часа, той трябва да напусне къщата навреме. В колко часа трябва да стане това, ако скоростта му е 5 km/h? Решението на това практически проблемсе свежда до изпълнение на условията на израза: 5 (11 - X) ≥ 20, където X е времето на тръгване.

Това е разбираемо, тъй като разстоянието, което селянинът трябва да измине до гарата, е равно на скоростта на движение, умножена по броя на часовете по пътя. Човек може да дойде рано, но не може да закъснее. Като знаете как да решавате неравенства и прилагате уменията си на практика, ще получите X ≤ 7, което е отговорът. Това означава, че селянинът трябва да отиде на гарата в седем сутринта или малко по-рано.

Числови интервали на координатна права

Сега нека разберем как да нанесем описаните отношения върху. Полученото по-горе неравенство не е строго. Това означава, че променливата може да приема стойности по-малки от 7 или може да бъде равна на това число. Нека дадем други примери. За да направите това, разгледайте внимателно четирите фигури, представени по-долу.

На първия можете да видите графично изображениепразнина [-7; 7]. Състои се от набор от числа, поставени на координатна линия и разположени между -7 и 7, включително границите. В този случай точките на графиката се изобразяват като запълнени кръгове, а интервалът се записва с помощта на

Втората фигура е графично представяне на строгото неравенство. В този случай граничните числа -7 и 7, показани с пунктирани (незапълнени) точки, не са включени в посочения набор. А самият интервал се записва в скоби, както следва: (-7; 7).

Тоест, след като разбрахме как да решаваме неравенства от този тип и получихме подобен отговор, можем да заключим, че той се състои от числа, които са между въпросните граници, с изключение на -7 и 7. Следващите два случая трябва да бъдат оценени в подобен начин. Третата фигура показва изображения на интервалите (-∞; -7] U)