Aluksi todennäköisyysteoriasta, joka oli vain kokoelma tietoa ja empiirisiä havaintoja noppapelistä, tuli perusteellinen tiede. Ensimmäiset, jotka antoivat sille matemaattisen viitekehyksen, olivat Fermat ja Pascal.

Ikuisen ajattelusta todennäköisyysteoriaan

Kaksi henkilöä, joille todennäköisyysteoria on velkaa monista peruskaavoistaan, Blaise Pascal ja Thomas Bayes, tunnetaan syvästi uskonnollisina ihmisinä, joista jälkimmäinen on presbyteeripappi. Ilmeisesti näiden kahden tiedemiehen halu todistaa väärän mielipiteen tietystä omaisuudesta, joka antoi onnea suosikeilleen, antoi sysäyksen tämän alan tutkimukselle. Itse asiassa mikä tahansa uhkapeli voittoineen ja tappioineen on vain matemaattisten periaatteiden sinfonia.

Chevalier de Meren intohimon ansiosta, joka oli yhtä lailla peluri ja tieteelle välinpitämätön mies, Pascal joutui löytämään tavan laskea todennäköisyys. De Mere oli kiinnostunut seuraavasta kysymyksestä: "Kuinka monta kertaa sinun täytyy heittää kaksi noppaa pareittain, jotta todennäköisyys saada 12 pistettä ylittää 50%?" Toinen kysymys, joka kiinnosti herraa suuresti: "Kuinka jakaa panos keskeneräisen pelin osallistujien kesken?" Tietenkin Pascal vastasi onnistuneesti molempiin de Meren kysymyksiin, josta tuli tahaton todennäköisyysteorian kehityksen aloittelija. On mielenkiintoista, että de Meren henkilö pysyi tunnetuksi tällä alueella, ei kirjallisuudessa.

Aikaisemmin kukaan matemaatikko ei ollut koskaan yrittänyt laskea tapahtumien todennäköisyyksiä, koska uskottiin, että tämä oli vain arvausratkaisu. Blaise Pascal antoi ensimmäisen määritelmän tapahtuman todennäköisyydestä ja osoitti, että se on tietty luku, joka voidaan perustella matemaattisesti. Todennäköisyysteoriasta on tullut tilastojen perusta, ja sitä käytetään laajasti modernissa tieteessä.

Mitä on sattumanvaraisuus

Harkitaan testiä, joka voidaan toistaa ääretön luku kertaa, voimme määritellä satunnaisen tapahtuman. Tämä on yksi kokeilun todennäköisistä tuloksista.

Kokemus on tiettyjen toimien toteuttamista jatkuvissa olosuhteissa.

Kokeen tulosten käsittelyä varten tapahtumat merkitään yleensä kirjaimilla A, B, C, D, E...

Satunnaisen tapahtuman todennäköisyys

Todennäköisyyden matemaattisen osan aloittamiseksi on tarpeen määritellä kaikki sen komponentit.

Tapahtuman todennäköisyys on numeerinen mitta jonkin tapahtuman (A tai B) mahdollisuudesta tapahtua kokemuksen seurauksena. Todennäköisyys merkitään P(A) tai P(B).

Todennäköisyysteoriassa ne erottavat:

• luotettava tapahtuma taatusti tapahtuu kokemuksen P(Ω) = 1 seurauksena;
• mahdotonta tapahtumaa ei voi koskaan tapahtua P(Ø) = 0;
• satunnainen tapahtuma on luotettavan ja mahdottoman välillä, eli sen todennäköisyys on mahdollinen, mutta ei taattu (satunnaistapahtuman todennäköisyys on aina välillä 0≤Р(А)≤ 1).

Tapahtumien väliset suhteet

Sekä yksi että tapahtumien A+B summa otetaan huomioon, kun tapahtuma lasketaan, kun ainakin yksi komponenteista A tai B tai molemmat, A ja B, täyttyy.

Suhteessa toisiinsa tapahtumat voivat olla:

• Yhtä mahdollista.
• Yhteensopiva.
• Yhteensopimaton.
• Vastakkainen (toisensa poissulkeva).
• Riippuvainen.

Jos kaksi tapahtumaa voi tapahtua samalla todennäköisyydellä, niin ne yhtä mahdollista.

Jos tapahtuman A esiintyminen ei vähennä tapahtuman B toteutumisen todennäköisyyttä nollaan, niin ne yhteensopiva.

Jos tapahtumat A ja B eivät koskaan tapahdu samanaikaisesti samassa kokemuksessa, niitä kutsutaan yhteensopimaton. Kolikonheitto - hyvä esimerkki: päiden esiintyminen tarkoittaa automaattisesti päiden puuttumista.

Tällaisten yhteensopimattomien tapahtumien summan todennäköisyys koostuu kunkin tapahtuman todennäköisyyksien summasta:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Jos yhden tapahtuman esiintyminen tekee toisen tapahtumisen mahdottomaksi, niitä kutsutaan vastakkaisiksi. Sitten yksi niistä on merkitty A:ksi ja toinen - Ā (lue "ei A"). Tapahtuman A esiintyminen tarkoittaa, että Â ei tapahtunut. Nämä kaksi tapahtumaa muodostavat täydellisen ryhmän, jonka todennäköisyyksien summa on 1.

Riippuvilla tapahtumilla on keskinäinen vaikutus, mikä pienentää tai lisää toistensa todennäköisyyttä.

Tapahtumien väliset suhteet. Esimerkkejä

Esimerkkejä käyttämällä on paljon helpompi ymmärtää todennäköisyysteorian periaatteet ja tapahtumien yhdistelmiä.

Suoritettava koe koostuu pallojen poistamisesta laatikosta, ja jokaisen kokeen tulos on alkeellinen tulos.

Tapahtuma on yksi niistä mahdollisia tuloksia kokemus - punainen pallo, sininen pallo, pallo numerolla kuusi jne.

Testi nro 1. Mukana on 6 palloa, joista kolme on sinisiä ja niissä on parittomat numerot ja kolme muuta punaista parillisilla numeroilla.

Testi nro 2. Mukana 6 palloa sinisen väristä numeroilla yhdestä kuuteen.

Tämän esimerkin perusteella voimme nimetä yhdistelmiä:

• Luotettava tapahtuma. Espanjaksi Nro 2 tapahtuma "hanki sininen pallo" on luotettava, koska sen esiintymistodennäköisyys on yhtä suuri kuin 1, koska kaikki pallot ovat sinisiä eikä missaa voi tulla. Kun taas tapahtuma "hae pallo numerolla 1" on satunnainen.
• Mahdoton tapahtuma. Espanjaksi Nro 1 sinisillä ja punaisilla palloilla tapahtuma "purppuranvärisen pallon saaminen" on mahdoton, koska sen esiintymistodennäköisyys on 0.
• Yhtä mahdollisia tapahtumia. Espanjaksi Nro 1, tapahtumat "hanki pallo numerolla 2" ja "hanki pallo numerolla 3" ovat yhtä mahdollisia, ja tapahtumat "saa pallo, jolla on parillinen numero" ja "hanki pallo numerolla 2" ” on eri todennäköisyydet.
• Yhteensopivat tapahtumat. Kuusen saaminen kahdesti peräkkäin noppaa heittäessä on yhteensopiva tapahtuma.
• Yhteensopimattomat tapahtumat. Samalla espanjalla Nro 1, tapahtumia "saa punainen pallo" ja "saa pallo, jolla on pariton numero" ei voida yhdistää samaan kokemukseen.
• Vastakkaiset tapahtumat. Suurin osa loistava esimerkki Tämä on kolikonheitto, jossa päiden piirtäminen vastaa hännän piirtämättä jättämistä ja niiden todennäköisyyksien summa on aina 1 (täysi ryhmä).
• Riippuvaiset tapahtumat. Eli espanjaksi Nro 1, voit asettaa tavoitteeksi nostaa punaisen pallon kahdesti peräkkäin. Se, noudetaanko se ensimmäisen kerran vai ei, vaikuttaa todennäköisyyteen, että se noudetaan toisella kerralla.

Voidaan nähdä, että ensimmäinen tapahtuma vaikuttaa merkittävästi toisen todennäköisyyteen (40% ja 60%).

Tapahtuman todennäköisyyskaava

Siirtyminen ennustamisesta tarkkoihin tietoihin tapahtuu kääntämällä aihe matemaattiselle tasolle. Toisin sanoen satunnaista tapahtumaa koskevat arviot, kuten "suuri todennäköisyys" tai "minimaalinen todennäköisyys", voidaan muuntaa erityisiksi numeerisiksi tiedoiksi. Tällaista materiaalia on jo sallittu arvioida, vertailla ja syöttää monimutkaisempiin laskelmiin.

Laskennan näkökulmasta tapahtuman todennäköisyyden määrittäminen on alkeellisten positiivisten tulosten määrän suhdetta tiettyä tapahtumaa koskevien kokemusten kaikkien mahdollisten tulosten määrään. Todennäköisyys on merkitty P(A), jossa P tarkoittaa sanaa "todennäköisyys", joka käännetään ranskasta "todennäköisyydeksi".

Joten kaava tapahtuman todennäköisyydelle on:

Missä m on tapahtuman A suotuisten tulosten lukumäärä, n on kaikkien tämän kokemuksen mahdollisten tulosten summa. Tässä tapauksessa tapahtuman todennäköisyys on aina välillä 0 ja 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Tapahtuman todennäköisyyden laskeminen. Esimerkki

Otetaanpa espanja. No. 1 palloilla, joka on kuvattu aiemmin: 3 sinistä palloa numeroilla 1/3/5 ja 3 punaista palloa numeroilla 2/4/6.

Tämän testin perusteella voidaan harkita useita erilaisia ​​ongelmia:

• A - punainen pallo putoaa ulos. Siellä on 3 punaista palloa, ja vaihtoehtoja on yhteensä 6. Tämä on yksinkertaisin esimerkki, jossa tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin P(A)=3/6=0,5.
• B - parillisen luvun pyörittäminen. Parillisia lukuja on 3 (2,4,6) ja kaikki yhteensä Mahdollisia numeerisia vaihtoehtoja on 6. Tapahtuman todennäköisyys on P(B)=3/6=0,5.
• C - luvun, joka on suurempi kuin 2, esiintyminen. Tällaisia ​​vaihtoehtoja on 4 (3,4,5,6) mahdollisten tulosten kokonaismäärästä 6. Tapahtuman C todennäköisyys on yhtä suuri kuin P(C)=4 /6=0,67.

Kuten laskelmista voidaan nähdä, tapahtumalla C on suurempi todennäköisyys, koska todennäköisten positiivisten tulosten määrä on suurempi kuin A:ssa ja B:ssä.

Yhteensopimattomat tapahtumat

Sellaiset tapahtumat eivät voi esiintyä samanaikaisesti samassa kokemuksessa. Kuten espanjaksi Nro 1 on mahdotonta saada sinistä ja punaista palloa samanaikaisesti. Eli voit saada joko sinisen tai punaisen pallon. Samalla tavalla parillinen ja pariton luku eivät voi esiintyä noppassa yhtä aikaa.

Kahden tapahtuman todennäköisyys katsotaan niiden summan tai tulon todennäköisyydeksi. Tällaisten tapahtumien summana A+B katsotaan tapahtuma, joka koostuu tapahtuman A tai B esiintymisestä, ja niiden tulo AB on molempien tapahtuminen. Esimerkiksi kahden kuuden esiintyminen kerralla kahden nopan edessä yhdellä heitolla.

Useiden tapahtumien summa on tapahtuman mukaan tapahtuma, joka edellyttää tapahtumista vähintään, yksi heistä. Useiden tapahtumien tuottaminen on niiden kaikkien yhteinen esiintyminen.

Todennäköisyysteoriassa konjunktio "ja" tarkoittaa yleensä summaa ja konjunktio "tai" - kertolaskua. Esimerkkejä sisältävät kaavat auttavat ymmärtämään yhteen- ja kertolaskulogiikkaa todennäköisyysteoriassa.

Yhteensopimattomien tapahtumien summan todennäköisyys

Jos otetaan huomioon yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyys, niin tapahtumien summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien summa:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Esimerkiksi: lasketaan todennäköisyys, että espanjaksi. Nro 1, jossa on sininen ja punainen pallo, ilmestyy luku väliltä 1 - 4. Emme laske yhdellä toimenpiteellä, vaan alkeiskomponenttien todennäköisyyksien summalla. Joten tällaisessa kokeessa on vain 6 palloa tai 6 kaikista mahdollisista tuloksista. Ehdon täyttävät luvut ovat 2 ja 3. Todennäköisyys saada numero 2 on 1/6, todennäköisyys saada numero 3 on myös 1/6. Todennäköisyys saada luku väliltä 1 ja 4 on:

Koko ryhmän yhteensopimattomien tapahtumien summan todennäköisyys on 1.

Joten jos kuutiokokeessa laskemme yhteen kaikkien lukujen esiintymistodennäköisyydet, tulos on yksi.

Tämä pätee myös vastakkaisiin tapahtumiin, esimerkiksi kolikon kokeessa, jossa toinen puoli on tapahtuma A ja toinen puoli vastakkainen tapahtumaÂ, kuten tiedetään,

P(A) + P(Ā) = 1

Yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyys

Todennäköisyyden kertolaskua käytetään, kun tarkastellaan kahden tai useamman yhteensopimattoman tapahtuman esiintymistä yhdessä havainnossa. Todennäköisyys, että tapahtumat A ja B esiintyvät siinä samanaikaisesti, on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien tulo, tai:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Esimerkiksi todennäköisyys, että espanjaksi Nro 1, kahden yrityksen tuloksena sininen pallo ilmestyy kahdesti, yhtä suuri kuin

Toisin sanoen tapahtuman todennäköisyys, kun kahden pallojen irrotusyrityksen tuloksena vain sinisiä palloja poistetaan, on 25 %. On erittäin helppoa tehdä käytännön kokeita tähän ongelmaan ja katsoa, ​​onko tämä todella niin.

Yhteisiä tapahtumia

Tapahtumia pidetään yhteisinä, kun yksi niistä voi sattua samaan aikaan toisen kanssa. Huolimatta siitä, että ne ovat yhteisiä, riippumattomien tapahtumien todennäköisyys otetaan huomioon. Esimerkiksi kahden nopan heittäminen voi antaa tuloksen, kun molemmissa esiintyy numero 6. Vaikka tapahtumat sattuivat ja ilmestyivät samaan aikaan, ne ovat toisistaan ​​riippumattomia - vain yksi kuusi voi pudota, toisella noppaa ei ole. vaikuttaa siihen.

Yhteisten tapahtumien todennäköisyyden katsotaan olevan niiden summan todennäköisyys.

Yhteisten tapahtumien summan todennäköisyys. Esimerkki

Toistensa suhteen yhteisten tapahtumien A ja B summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin tapahtuman todennäköisyyksien summa miinus niiden toteutumistodennäköisyys (eli niiden yhteinen esiintyminen):

R-nivel (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Oletetaan, että todennäköisyys osua maaliin yhdellä laukauksella on 0,4. Silloin tapahtuma A osuu maaliin ensimmäisellä yrityksellä, B - toisella. Nämä tapahtumat ovat yhteisiä, koska on mahdollista, että voit osua maaliin sekä ensimmäisellä että toisella laukauksella. Mutta tapahtumat eivät ole riippuvaisia. Millä todennäköisyydellä tapahtuma osuu maaliin kahdella laukauksella (ainakin yhdellä)? Kaavan mukaan:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Vastaus kysymykseen on: "Todennäköisyys osua maaliin kahdella laukauksella on 64 %."

Tätä tapahtuman todennäköisyyden kaavaa voidaan soveltaa myös yhteensopimattomiin tapahtumiin, joissa tapahtuman yhteistapahtuman todennäköisyys P(AB) = 0. Tämä tarkoittaa, että yhteensopimattomien tapahtumien summan todennäköisyyttä voidaan pitää erikoistapauksena ehdotetusta kaavasta.

Todennäköisyysgeometria selvyyden vuoksi

Mielenkiintoista on, että yhteisten tapahtumien summan todennäköisyys voidaan esittää kahtena alueena A ja B, jotka leikkaavat toisiaan. Kuten kuvasta näkyy, heidän liiton pinta-ala on yhtä suuri kokonaisalue miinus niiden risteyksen alue. Tämä geometrinen selitys tekee näennäisesti epäloogiselta kaavasta ymmärrettävämmäksi. Ota huomioon, että geometrisia ratkaisuja- ei ole harvinaista todennäköisyysteoriassa.

Monen (enemmän kuin kahden) yhteistapahtuman summan todennäköisyyden määrittäminen on melko hankalaa. Sen laskemiseksi sinun on käytettävä näitä tapauksia varten annettuja kaavoja.

Riippuvaiset tapahtumat

Tapahtumia kutsutaan riippuviksi, jos yhden (A) tapahtuminen vaikuttaa toisen (B) esiintymistodennäköisyyteen. Lisäksi huomioidaan sekä tapahtuman A tapahtumisen että sen toteutumatta jättämisen vaikutus. Vaikka tapahtumia kutsutaan määritelmän mukaan riippuviksi, vain yksi niistä on riippuvainen (B). Tavallinen todennäköisyys merkittiin P(B) tai riippumattomien tapahtumien todennäköisyydellä. Riippuvien tapahtumien tapauksessa otetaan käyttöön uusi käsite - ehdollinen todennäköisyys P A (B), joka on riippuvan tapahtuman B todennäköisyys, jos tapahtuma A tapahtuu (hypoteesi), josta se riippuu.

Mutta tapahtuma A on myös satunnainen, joten sillä on myös todennäköisyys, joka tarvitsee ja voidaan ottaa huomioon suoritetuissa laskelmissa. Seuraava esimerkki näyttää kuinka toimia riippuvaisten tapahtumien ja hypoteesin kanssa.

Esimerkki riippuvien tapahtumien todennäköisyyden laskemisesta

Hyvä esimerkki riippuvien tapahtumien laskemisesta olisi tavallinen korttipakka.

Tarkastellaanpa riippuvaisia ​​tapahtumia käyttämällä esimerkkinä 36 kortin pakkaa. Meidän on määritettävä todennäköisyys, että pakasta vedetty toinen kortti on timantteja, jos ensimmäinen vedetty kortti on:

1. Bubnovaya.
2. Eri värinen.

Ilmeisesti toisen tapahtuman B todennäköisyys riippuu ensimmäisestä A:sta. Joten jos ensimmäinen vaihtoehto on tosi, että pakassa on 1 kortti (35) ja 1 timantti (8) vähemmän, tapahtuman B todennäköisyys:

RA (B) = 8/35 = 0,23

Jos toinen vaihtoehto on tosi, niin pakassa on 35 korttia ja täysi määrä timantteja (9) säilyy edelleen, niin seuraavan tapahtuman B todennäköisyys:

RA(B) = 9/35 = 0,26.

Voidaan nähdä, että jos tapahtuma A on ehdollinen siitä, että ensimmäinen kortti on timantti, niin tapahtuman B todennäköisyys pienenee ja päinvastoin.

Riippuvien tapahtumien moninkertaistaminen

Edellisen luvun ohjaamana hyväksymme ensimmäisen tapahtuman (A) tosiasiana, mutta pohjimmiltaan se on satunnainen. Tämän tapahtuman todennäköisyys, nimittäin timantin nostaminen korttipakasta, on yhtä suuri:

P(A) = 9/36 = 1/4

Koska teoria ei ole olemassa yksinään, vaan se on tarkoitettu palvelemaan käytännön tarkoitusperiä, on syytä huomata, että useimmiten tarvitaan riippuvaisten tapahtumien synnyttämisen todennäköisyyttä.

Riippuvien tapahtumien todennäköisyyksien tulon lauseen mukaan yhteisriippuvaisten tapahtumien A ja B esiintymistodennäköisyys on yhtä suuri kuin yhden tapahtuman A todennäköisyys kerrottuna tapahtuman B ehdollisella todennäköisyydellä (riippuvainen A:sta):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Sitten pakkaesimerkissä todennäköisyys nostaa kaksi korttia timanttien maalla on:

9/36*8/35 = 0,0571 eli 5,7 %

Ja todennäköisyys, että ei louhita ensin timantteja ja sitten timantteja, on yhtä suuri:

27/36*9/35=0,19 eli 19 %

Voidaan nähdä, että tapahtuman B todennäköisyys on suurempi edellyttäen, että ensimmäisenä vedettävä kortti on muuta maata kuin timantteja. Tämä tulos on varsin looginen ja ymmärrettävä.

Tapahtuman kokonaistodennäköisyys

Kun ehdollisten todennäköisyyksien ongelmasta tulee monitahoinen, sitä ei voida laskea perinteisillä menetelmillä. Kun hypoteeseja on enemmän kuin kaksi, nimittäin A1, A2,…, A n, .. muodostaa täydellisen tapahtumaryhmän, jos:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j = Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Joten kaava tapahtuman B kokonaistodennäköisyydelle täydellisellä satunnaisten tapahtumien ryhmällä A1, A2,..., A n on yhtä suuri:

Katse tulevaisuuteen

Satunnaisen tapahtuman todennäköisyys on äärimmäisen välttämätön monilla tieteenaloilla: ekonometriassa, tilastoissa, fysiikassa jne. Koska joitain prosesseja ei voida kuvata deterministisesti, koska ne ovat luonteeltaan todennäköisyyksiä, tarvitaan erityisiä työmenetelmiä. Tapahtumatodennäköisyysteoriaa voidaan käyttää millä tahansa tekniikan alalla tapana määrittää virheen tai toimintahäiriön mahdollisuus.

Voidaan sanoa, että todennäköisyyden tunnistamisella otamme jollain tavalla teoreettisen askeleen tulevaisuuteen katsoen sitä kaavojen prisman läpi.

On epätodennäköistä, että monet ihmiset ajattelevat, onko mahdollista laskea tapahtumia, jotka ovat enemmän tai vähemmän satunnaisia. Yksinkertaisesti yksinkertaisilla sanoilla, onko todella mahdollista tietää, kumpi kuution puoli nousee esiin seuraavan kerran? Tämän kysymyksen esittivät itselleen kaksi suurta tiedemiestä, jotka loivat perustan sellaiselle tieteelle kuin todennäköisyysteoria, jossa tapahtuman todennäköisyyttä tutkitaan melko laajasti.

Alkuperä

Jos yrität määritellä sellaisen käsitteen todennäköisyysteoriaksi, saat seuraavan: tämä on yksi matematiikan haaroista, joka tutkii satunnaisten tapahtumien pysyvyyttä. Tietenkin tämä käsite ei todellakaan paljasta koko olemusta, joten on tarpeen tarkastella sitä yksityiskohtaisemmin.

Haluaisin aloittaa teorian tekijöistä. Kuten edellä mainittiin, heitä oli kaksi, ja he olivat ensimmäisiä, jotka yrittivät laskea tämän tai toisen tapahtuman lopputuloksen kaavoilla ja matemaattisilla laskelmilla. Yleensä tämän tieteen alku ilmestyi keskiajalla. Tuolloin useat ajattelijat ja tiedemiehet yrittivät analysoida uhkapelejä, kuten rulettia, crapsia ja niin edelleen, ja näin määritelleet tietyn numeron putoamisen kuvion ja prosenttiosuuden. Perustan loivat 1600-luvulla edellä mainitut tiedemiehet.

Aluksi heidän töitään ei voitu pitää suurina saavutuksina tällä alalla, koska he tekivät vain empiirisiä faktoja ja kokeita tehtiin visuaalisesti ilman kaavoja. Ajan myötä oli mahdollista saavuttaa mahtavia tuloksia, jotka ilmenivät nopanheiton tarkkailun seurauksena. Juuri tämä työkalu auttoi johtamaan ensimmäiset ymmärrettävät kaavat.

Samanmieliset ihmiset

On mahdotonta olla mainitsematta sellaista henkilöä kuin Christiaan Huygens tutkiessaan aihetta nimeltä "todennäköisyysteoria" (tapahtuman todennäköisyys katetaan juuri tässä tieteessä). Tämä henkilö on erittäin mielenkiintoinen. Hän, kuten edellä esitetyt tutkijat, yritti johtaa satunnaisten tapahtumien mallia matemaattisten kaavojen muodossa. On huomionarvoista, että hän ei tehnyt tätä yhdessä Pascalin ja Fermatin kanssa, eli kaikki hänen työnsä eivät leikkaaneet näitä mieliä. Huygens päätteli

Mielenkiintoinen tosiasia on, että hänen työnsä ilmestyi kauan ennen löytäjien työn tuloksia, tai pikemminkin kaksikymmentä vuotta aikaisemmin. Tunnistetuista käsitteistä tunnetuimpia ovat:

• todennäköisyyden käsite sattuman arvona;
• matemaattinen odotus diskreeteille tapauksille;
• todennäköisyyksien kerto- ja yhteenlaskulauseet.

On myös mahdotonta olla muistamatta, kuka myös osallistui merkittävästi ongelman tutkimiseen. Hän suoritti omat testinsä, kenestäkään riippumatta, pystyi todistamaan lain noudattamisen suuret numerot. 1800-luvun alussa työskennelleet tiedemiehet Poisson ja Laplace pystyivät puolestaan ​​todistamaan alkuperäiset lauseet. Tästä hetkestä lähtien todennäköisyysteoriaa alettiin käyttää havaintojen virheiden analysointiin. Venäläiset tiedemiehet, tai pikemminkin Markov, Chebyshev ja Dyapunov, eivät voineet sivuuttaa tätä tiedettä. Suurten nerojen työn perusteella he perustivat tämän aiheen matematiikan haaraksi. Nämä luvut toimivat jo 1800-luvun lopulla, ja heidän panoksensa ansiosta seuraavat ilmiöt todistettiin:

• suurten lukujen laki;
• Markovin ketjuteoria;
• keskirajalause.

Joten tieteen syntyhistorian ja siihen vaikuttaneiden tärkeimpien ihmisten kanssa kaikki on enemmän tai vähemmän selvää. Nyt on aika selvittää kaikki tosiasiat.

Peruskonseptit

Ennen kuin puututaan lakeihin ja lauseisiin, kannattaa tutustua todennäköisyysteorian peruskäsitteisiin. Tapahtumalla on siinä johtava rooli. Tämä aihe on melko laaja, mutta ilman sitä ei ole mahdollista ymmärtää kaikkea muuta.

Tapahtuma on todennäköisyysteoriassa mikä tahansa kokeen tulosten joukko. Käsitteet Tämä ilmiö niitä on aika vähän. Näin ollen tällä alalla työskentelevä tiedemies Lotman sanoi, että tässä tapauksessa puhumme siitä, mitä "tapahtui, vaikka sitä ei ehkä olisi tapahtunut".

Satunnaiset tapahtumat (todennäköisyysteoria kiinnittää niihin erityistä huomiota) on käsite, joka tarkoittaa ehdottomasti mitä tahansa ilmiötä, jolla on mahdollisuus tapahtua. Tai päinvastoin, tämä skenaario ei välttämättä toteudu, jos monet ehdot täyttyvät. On myös syytä tietää, että sattumanvaraiset tapahtumat kuvaavat koko tapahtuneen ilmiömäärän. Todennäköisyysteoria osoittaa, että kaikki ehdot voivat toistua jatkuvasti. Heidän käyttäytymistään kutsutaan "kokemukseksi" tai "testiksi".

Luotettava tapahtuma on ilmiö, joka on sataprosenttisesti todennäköinen tietyssä testissä. Näin ollen mahdoton tapahtuma on sellainen, jota ei tapahdu.

Toimiparin (ehdollisesti tapaus A ja tapaus B) yhdistelmä on ilmiö, joka tapahtuu samanaikaisesti. Niitä kutsutaan nimellä AB.

Tapahtumien A ja B parien summa on C, eli jos ainakin yksi niistä tapahtuu (A tai B), niin saadaan C. Kuvatun ilmiön kaava kirjoitetaan seuraavasti: C = A + B.

Epäkongruentit tapahtumat todennäköisyysteoriassa tarkoittavat, että kaksi tapausta ovat toisensa poissulkevia. Missään tapauksessa ne eivät voi tapahtua samanaikaisesti. Yhteiset tapahtumat todennäköisyysteoriassa ovat niiden vastakohta. Tässä tarkoitetaan sitä, että jos A tapahtui, se ei estä B:tä millään tavalla.

Vastakkaiset tapahtumat (todennäköisyysteoria käsittelee niitä hyvin yksityiskohtaisesti) on helppo ymmärtää. Paras tapa ymmärtää ne on vertaamalla. Ne ovat melkein samat kuin yhteensopimattomat tapahtumat todennäköisyysteoriassa. Mutta niiden ero on siinä tosiasiassa, että yhden monista ilmiöistä täytyy tapahtua joka tapauksessa.

Yhtä todennäköisiä tapahtumia ovat ne toiminnot, joiden toisto on yhtä suuri. Selventääksesi asiaa, voit kuvitella heittävän kolikon: sen toinen puoli putoaa yhtä todennäköisesti toisesta.

On helpompi pohtia suotuisaa tapahtumaa esimerkin avulla. Oletetaan, että on jakso B ja jakso A. Ensimmäinen on nopan heittäminen parittoman numeron kanssa, ja toinen on numeron viisi ilmestyminen noppaan. Sitten käy ilmi, että A suosii B:tä.

Todennäköisyysteoriassa riippumattomat tapahtumat heijastetaan vain kahteen tai useampaan tapaukseen ja ne tarkoittavat minkä tahansa toiminnan riippumattomuutta toisesta. Esimerkiksi A on päiden menetys kolikkoa heitettäessä, ja B on tunkin nosto kannelta. Ne ovat itsenäisiä tapahtumia todennäköisyysteoriassa. Tässä vaiheessa asia tuli selvemmäksi.

Myös riippuvat tapahtumat todennäköisyysteoriassa ovat sallittuja vain joukolle niitä. Ne tarkoittavat toisen riippuvuutta toisesta, eli ilmiö B voi tapahtua vain, jos A on jo tapahtunut tai päinvastoin ei ole tapahtunut, kun tämä on B:n pääehto.

Yhdestä komponentista koostuvan satunnaisen kokeen tulos on alkeistapahtumia. Todennäköisyysteoria selittää, että tämä on ilmiö, joka tapahtui vain kerran.

Peruskaavat

Joten käsitteitä "tapahtuma" ja "todennäköisyysteoria" käsiteltiin edellä, ja annettiin myös määritelmä tämän tieteen perustermeistä. Nyt on aika tutustua suoraan tärkeisiin kaavoihin. Nämä lausekkeet vahvistavat matemaattisesti kaikki pääkäsitteet niin monimutkaisessa aiheessa kuin todennäköisyysteoria. Tapahtuman todennäköisyydellä on tässäkin suuri rooli.

On parempi aloittaa perusasioista. Ja ennen kuin aloitat niistä, kannattaa harkita, mitä ne ovat.

Kombinatoriikka on ensisijaisesti matematiikan haara; se käsittelee valtavan määrän kokonaislukuja, sekä itse lukujen ja niiden elementtien erilaisia ​​permutaatioita, erilaisia ​​​​tietoja jne., jotka johtavat useiden yhdistelmien ilmestymiseen. Todennäköisyysteorian lisäksi tämä ala on tärkeä tilastoille, tietojenkäsittelytieteelle ja kryptografialle.

Joten nyt voimme siirtyä esittämään itse kaavat ja niiden määritelmät.

Ensimmäinen niistä on lauseke permutaatioiden lukumäärälle, se näyttää tältä:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Yhtälöä sovelletaan vain, jos elementit eroavat toisistaan ​​vain järjestyksensä mukaan.

Nyt sijoittelukaavaa tarkastellaan, se näyttää tältä:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Tämä lauseke ei sovellu vain elementin sijoitusjärjestykseen, vaan myös sen koostumukseen.

Kombinatoriikasta kolmatta yhtälöä, joka on myös viimeinen, kutsutaan yhdistelmien lukumäärän kaavaksi:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Yhdistelmä viittaa valintoihin, joita ei ole järjestetty, joten tämä sääntö koskee niitä.

Kombinatoriikan kaavat oli helppo ymmärtää, nyt voit siirtyä klassiseen todennäköisyyksien määritelmään. Tämä ilmaisu näyttää tältä:

Tässä kaavassa m on tapahtumalle A suotuisten olosuhteiden lukumäärä ja n on ehdottomasti kaikkien yhtä mahdollisten ja alkeellisten tulosten lukumäärä.

Olemassa suuri määrä ilmaisuja, artikkelissa ei käsitellä kaikkia, mutta tärkeimpiä niistä käsitellään, kuten esimerkiksi tapahtumien summan todennäköisyys:

P(A + B) = P(A) + P(B) - tämä lause on tarkoitettu vain yhteensopimattomien tapahtumien lisäämiseen;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - ja tämä on vain yhteensopivien lisäämiseen.

Tapahtumien todennäköisyys:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - tämä lause on riippumattomille tapahtumille;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - ja tämä on riippuvaiselle.

Tapahtumaluetteloa täydentää tapahtumakaava. Todennäköisyysteoria kertoo meille Bayesin lauseesta, joka näyttää tältä:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Tässä kaavassa H 1, H 2, ..., H n on täydellinen ryhmä hypoteeseja.

Esimerkkejä

Jos tutkit huolellisesti mitä tahansa matematiikan osaa, se ei ole täydellinen ilman harjoituksia ja esimerkkiratkaisuja. Samoin todennäköisyysteoria: tapahtumat ja esimerkit ovat tässä olennainen osa, joka vahvistaa tieteellisiä laskelmia.

Permutaatioiden lukumäärän kaava

Oletetaan, että korttipakassa on kolmekymmentä korttia, alkaen arvosta yksi. Seuraava kysymys. Kuinka monella tavalla pakkaa voidaan pinota niin, että kortit, joiden arvo on yksi ja kaksi, eivät ole vierekkäin?

Tehtävä on asetettu, nyt siirrytään sen ratkaisemiseen. Ensin sinun on määritettävä kolmenkymmenen elementin permutaatioiden lukumäärä, tätä varten otamme yllä esitetyn kaavan, osoittautuu P_30 = 30!.

Tämän säännön perusteella selvitetään kuinka monta vaihtoehtoa on taittaa pakka eri tavoin, mutta meidän on vähennettävä niistä ne, joissa ensimmäinen ja toinen kortti ovat vierekkäin. Aloitetaan vaihtoehdolla, kun ensimmäinen on toisen yläpuolella. Osoittautuu, että ensimmäinen kortti voi ottaa kaksikymmentäyhdeksän paikkaa - ensimmäisestä kahdeskymmenesyhdeksänteen ja toinen kortti toisesta kolmeenkymmeneenteen, mikä tekee yhteensä kaksikymmentäyhdeksän paikkaa korttiparille. Loput puolestaan ​​​​voivat hyväksyä 28 paikkaa ja missä tahansa järjestyksessä. Eli kaksikymmentäkahdeksan kortin uudelleenjärjestämiseksi on kaksikymmentäkahdeksan vaihtoehtoa P_28 = 28!

Tuloksena käy ilmi, että jos tarkastellaan ratkaisua, kun ensimmäinen kortti on toisen yläpuolella, on 29 ⋅ 28 ylimääräistä mahdollisuutta! = 29!

Samaa menetelmää käyttämällä sinun on laskettava ylimääräisten vaihtoehtojen määrä siinä tapauksessa, että ensimmäinen kortti on toisen alla. Se osoittautuu myös 29 ⋅ 28! = 29!

Tästä seuraa, että ylimääräisiä vaihtoehtoja on 2⋅ 29!, kun taas tarvittavia tapoja kokoaa kansi on 30! - 2 ⋅ 29!. Jäljelle jää vain laskea.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nyt sinun on kerrottava kaikki luvut yhdestä kahteenkymmeneenyhdeksään ja lopuksi kerrottava kaikki 28:lla. Vastaus on 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Esimerkki ratkaisusta. Kaava sijoitusnumerolle

Tässä tehtävässä sinun on selvitettävä, kuinka monta tapaa on laittaa viisitoista osaa yhdelle hyllylle, mutta edellyttäen, että niitä on yhteensä kolmekymmentä.

Ratkaisu tähän ongelmaan on hieman yksinkertaisempi kuin edellinen. Jo tunnetun kaavan avulla on tarpeen laskea kolmenkymmenen viidentoista tilavuuden järjestelyjen kokonaismäärä.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 30

Vastaus on vastaavasti 202 843 204 931 727 360 000.

Otetaan nyt vähän vaikeampi tehtävä. Sinun on selvitettävä, kuinka monella tavalla on mahdollista järjestää kolmekymmentä kirjaa kahdelle kirjahyllylle, kun otetaan huomioon, että yhteen hyllyyn mahtuu vain viisitoista osaa.

Ennen kuin aloitan ratkaisun, haluaisin selventää, että jotkut ongelmat voidaan ratkaista useilla tavoilla, ja tässä on kaksi menetelmää, mutta molemmat käyttävät samaa kaavaa.

Tässä tehtävässä voit ottaa vastauksen edellisestä, koska siellä laskimme kuinka monta kertaa voit täyttää hyllyn viidellätoista kirjalla eri tavoin. Osoittautui, että A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Laskemme toisen hyllyn permutaatiokaavalla, koska siihen voidaan sijoittaa viisitoista kirjaa, kun taas vain viisitoista kirjaa on jäljellä. Käytämme kaavaa P_15 = 15!.

Osoittautuu, että kokonaissumma on A_30^15 ⋅ P_15 tapaa, mutta tämän lisäksi kaikkien lukujen tulo kolmestakymmenestä kuuteentoista on kerrottava lukujen tulolla yhdestä viiteentoista. saa kaikkien lukujen tulon yhdestä kolmeenkymmeneen, eli vastaus on 30!

Mutta tämä ongelma voidaan ratkaista toisella tavalla - helpommin. Voit tehdä tämän kuvittelemalla, että kolmellekymmenelle kirjalle on yksi hylly. Kaikki ne on sijoitettu tälle tasolle, mutta koska ehto vaatii, että hyllyjä on kaksi, näimme yhden pitkän puoliksi, joten saamme kaksi viidestätoista. Tästä käy ilmi, että järjestelyssä voi olla P_30 = 30 vaihtoehtoa!.

Esimerkki ratkaisusta. Kaava yhdistelmänumerolle

Nyt tarkastelemme versiota kombinatoriikasta kolmannesta ongelmasta. On tarpeen selvittää, kuinka monta tapaa on järjestää viisitoista kirjaa, jos sinun on valittava kolmestakymmenestä täysin identtisestä.

Ratkaisuun käytetään tietysti yhdistelmien lukumäärän kaavaa. Ehdosta käy selväksi, että identtisten viidentoista kirjan järjestyksellä ei ole merkitystä. Siksi sinun on ensin otettava selvää kokonaismäärä kolmenkymmenen 15 kirjan yhdistelmät.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

Siinä kaikki. Käyttämällä tätä kaavaa sisään lyhin aika onnistui ratkaisemaan tämän ongelman, vastaus on vastaavasti 155 117 520.

Esimerkki ratkaisusta. Klassinen todennäköisyyden määritelmä

Yllä olevan kaavan avulla voit löytää vastauksen yksinkertaiseen ongelmaan. Mutta tämä auttaa näkemään selvästi ja seuraamaan toimien edistymistä.

Ongelma kertoo, että uurnassa on kymmenen täysin identtistä palloa. Näistä neljä on keltaisia ​​ja kuusi sinisiä. Urnasta otetaan yksi pallo. Sinun on selvitettävä todennäköisyys tulla siniseksi.

Ongelman ratkaisemiseksi on välttämätöntä määrittää sinisen pallon saaminen tapahtumaksi A. Tällä kokeella voi olla kymmenen lopputulosta, jotka puolestaan ​​ovat alkeellisia ja yhtä mahdollisia. Samanaikaisesti kuusi kymmenestä on suotuisa tapahtumalle A. Ratkaisemme kaavalla:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Tätä kaavaa soveltamalla opimme, että todennäköisyys saada sininen pallo on 0,6.

Esimerkki ratkaisusta. Tapahtumien summan todennäköisyys

Nyt esitetään vaihtoehto, joka ratkaistaan ​​tapahtumien summan todennäköisyyskaavalla. Edellytyksenä on siis, että laatikoita on kaksi, joista ensimmäinen sisältää yhden harmaan ja viisi valkoista palloa ja toisessa kahdeksan harmaata ja neljä valkoista palloa. Tämän seurauksena he ottivat yhden niistä ensimmäisestä ja toisesta laatikosta. Sinun on selvitettävä, mikä on mahdollisuus, että saamasi pallot ovat harmaita ja valkoisia.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi on tarpeen tunnistaa tapahtumat.

• Joten A - otti harmaan pallon ensimmäisestä laatikosta: P(A) = 1/6.
• A’ - otti valkoisen pallon myös ensimmäisestä laatikosta: P(A") = 5/6.
• B - toisesta laatikosta poistettiin harmaa pallo: P(B) = 2/3.
• B’ - otti harmaan pallon toisesta laatikosta: P(B") = 1/3.

Ongelman ehtojen mukaan on välttämätöntä, että jokin ilmiöistä tapahtuu: AB’ tai A’B. Kaavaa käyttämällä saadaan: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Nyt on käytetty kaavaa todennäköisyyden kertomiseksi. Seuraavaksi saadaksesi vastauksen, sinun on sovellettava niiden yhteenlaskuyhtälöä:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Näin voit ratkaista samanlaisia ​​ongelmia kaavan avulla.

Bottom line

Artikkelissa esitettiin tietoa aiheesta "Todennäköisyysteoria", jossa tapahtuman todennäköisyydellä on tärkeä rooli. Tietenkään kaikkea ei otettu huomioon, mutta esitetyn tekstin perusteella voit teoreettisesti tutustua tähän matematiikan osaan. Kyseinen tiede voi olla hyödyllinen paitsi ammatillisessa työssä, myös siinä Jokapäiväinen elämä. Sen avulla voit laskea minkä tahansa tapahtuman mahdollisuuden.

Tekstissä käsiteltiin myös merkittäviä päivämääriä todennäköisyysteorian muodostumishistoriassa tieteenä ja niiden ihmisten nimiä, joiden työtä siihen on panostettu. Näin inhimillinen uteliaisuus johti siihen, että ihmiset oppivat laskemaan jopa satunnaisia ​​tapahtumia. Joskus he olivat vain kiinnostuneita tästä, mutta nykyään kaikki tietävät sen jo. Eikä kukaan kerro, mikä meitä odottaa tulevaisuudessa, mitä muita loistavia löytöjä tarkasteltavana olevaan teoriaan liittyen tehdään. Mutta yksi asia on varma - tutkimus ei pysähdy!

Kun kolikkoa heitetään, voimme sanoa, että se laskeutuu heads up, tai todennäköisyys tämä on 1/2. Tämä ei tietenkään tarkoita, että jos kolikkoa heitetään 10 kertaa, se putoaa päihin 5 kertaa. Jos kolikko on "reilu" ja jos sitä heitetään monta kertaa, päät laskeutuvat hyvin lähelle puolet ajasta. Näin ollen on olemassa kahdenlaisia ​​todennäköisyyksiä: kokeellinen Ja teoreettinen .

Kokeellinen ja teoreettinen todennäköisyys

Jos käännämme kolikkoa useita kertoja - esimerkiksi 1000 - ja laskemme, kuinka monta kertaa se osuu päähän, voimme määrittää todennäköisyyden, että se osuu päiden päälle. Jos päitä heitetään 503 kertaa, voimme laskea niiden laskeutumisen todennäköisyyden:
503/1000 tai 0,503.

Tämä kokeellinen todennäköisyyden määrittäminen. Tämä todennäköisyyden määritelmä tulee havainnoinnista ja tietojen tutkimisesta, ja se on melko yleinen ja erittäin hyödyllinen. Tässä on esimerkiksi joitain todennäköisyyksiä, jotka määritettiin kokeellisesti:

1. Todennäköisyys, että nainen sairastuu rintasyöpään, on 1/11.

2. Jos suutelet vilustunutta henkilöä, todennäköisyys, että sinäkin flunssat, on 0,07.

3. Juuri vankilasta vapautuneella henkilöllä on 80 % mahdollisuus palata vankilaan.

Jos harkitsemme kolikon heittämistä ja otamme huomioon, että on yhtä todennäköistä, että se nousee päätä tai häntää, voimme laskea päiden saamisen todennäköisyyden: 1/2. Tämä on todennäköisyyden teoreettinen määritelmä. Tässä on joitain muita todennäköisyyksiä, jotka on määritetty teoreettisesti matematiikan avulla:

1. Jos huoneessa on 30 henkilöä, todennäköisyys, että heistä kahdella on sama syntymäpäivä (ilman vuotta), on 0,706.

2. Matkan aikana tapaat jonkun ja keskustelun aikana huomaat, että sinulla on yhteinen ystävä. Tyypillinen reaktio: "Tämä ei voi olla!" Itse asiassa tämä lause ei sovellu, koska tällaisen tapahtuman todennäköisyys on melko korkea - hieman yli 22%.

Siten kokeelliset todennäköisyydet määritetään havainnoinnin ja tiedonkeruun avulla. Teoreettiset todennäköisyydet määritetään matemaattisen päättelyn avulla. Esimerkit kokeellisista ja teoreettisista todennäköisyyksistä, kuten edellä käsitellyt, ja erityisesti ne, joita emme odota, johtavat meidät todennäköisyyksien tutkimisen tärkeyteen. Saatat kysyä: "Mikä on todellinen todennäköisyys?" Itse asiassa sellaista ei ole olemassa. Tietyissä rajoissa olevat todennäköisyydet voidaan määrittää kokeellisesti. Ne voivat olla yhtäpitäviä teoreettisesti saamiemme todennäköisyyksien kanssa tai eivät. On tilanteita, joissa yhden tyyppinen todennäköisyys on paljon helpompi määrittää kuin toinen. Esimerkiksi flunssan todennäköisyys riittäisi laskemaan teoreettisella todennäköisyydellä.

Kokeellisten todennäköisyyksien laskeminen

Tarkastellaan ensin todennäköisyyden kokeellista määritelmää. Perusperiaate, jota käytämme tällaisten todennäköisyyksien laskemiseen, on seuraava.

Periaate P (kokeellinen)

Jos kokeessa, jossa tehdään n havaintoa, tilanne tai tapahtuma E esiintyy m kertaa n havainnossa, niin tapahtuman kokeellisen todennäköisyyden sanotaan olevan P (E) = m/n.

Esimerkki 1 Sosiologinen tutkimus. Tehtiin kokeellinen tutkimus, jossa selvitettiin vasenkätisten, oikeakätisten ja yhtäläisesti kehittyneiden molempien käsien lukumäärää, jonka tulokset esitetään kaaviossa.

a) Määritä todennäköisyys, että henkilö on oikeakätinen.

b) Määritä todennäköisyys, että henkilö on vasenkätinen.

c) Määritä todennäköisyys, että henkilö puhuu yhtä sujuvasti molemmissa käsissä.

d) Useimmat Professional Bowling Associationin turnaukset ovat rajoitettuja 120 pelaajaan. Kuinka monta pelaajaa voisi tämän kokeilun tietojen perusteella olla vasenkätisiä?

Ratkaisu

a)Oikeakätisiä on 82, vasenkätisiä 17 ja molemmissa käsissä yhtä sujuvasti puhuvia 1. Havaintoja on yhteensä 100. Näin ollen todennäköisyys että henkilö on oikeakätinen on P
P = 82/100 tai 0,82 tai 82 %.

b) Todennäköisyys, että henkilö on vasenkätinen, on P, jossa
P = 17/100 tai 0,17 tai 17 %.

c) Todennäköisyys, että henkilö puhuu yhtä sujuvasti molemmissa käsissä, on P, jossa
P = 1/100 tai 0,01 tai 1 %.

d) 120 keilaajaa, ja kohdasta (b) voimme olettaa, että 17 % on vasenkätisiä. Täältä
17 % 120:sta = 0,17,120 = 20,4,
eli voimme odottaa noin 20 pelaajaa olevan vasenkätisiä.

Esimerkki 2 Laadunvalvonta . Valmistajan on erittäin tärkeää säilyttää tuotteidensa laatu korkeatasoinen. Itse asiassa yritykset palkkaavat laadunvalvontatarkastajia varmistaakseen tämän prosessin. Tavoitteena on tuottaa mahdollisimman vähän viallisia tuotteita. Mutta koska yritys tuottaa tuhansia tuotteita joka päivä, sillä ei ole varaa testata jokaista tuotetta sen määrittämiseksi, onko se viallinen vai ei. Selvittääkseen, kuinka suuri osa tuotteista on viallisia, yritys testaa paljon vähemmän tuotteita.
ministeriö Maatalous Yhdysvallat vaatii, että 80 % viljelijöiden myymistä siemenistä on itää. Maatalousyrityksen tuottamien siementen laadun määrittämiseksi kylvetään 500 siementä tuotetuista siemenistä. Tämän jälkeen laskettiin 417 siementä itäneen.

a) Millä todennäköisyydellä siemen itää?

b) Ovatko siemenet valtion standardien mukaisia?

Ratkaisu a) Tiedämme, että 500 kylvetystä siemenestä 417 itää. Siementen itämisen todennäköisyys P ja
P = 417/500 = 0,834 eli 83,4 %.

b) Koska itäneiden siementen prosenttiosuus on ylittänyt vaaditun 80 %, siemenet täyttävät hallituksen vaatimukset.

Esimerkki 3 Television luokitukset. Tilastojen mukaan Yhdysvalloissa on 105 500 000 kotitaloutta, joissa on televisio. Ohjelmien katselutiedot kerätään ja käsitellään viikoittain. Viikon aikana 7 815 000 kotitaloutta viritti CBS:n hittikomediasarjaan "Everybody Loves Raymond" ja 8 302 000 kotitaloutta NBC:n hittisarjaan "Law & Order" (lähde: Nielsen Media Research). Millä todennäköisyydellä yhden kotitalouden televisiossa on tietyn viikon aikana "Everybody Loves Raymond"? "Laki ja järjestys"?

Ratkaisu Todennäköisyys, että yhden kotitalouden televisio on viritetty "Everybody Loves Raymondiin" on P, ja
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
Todennäköisyys, että kotitalouden televisio on viritetty lakiin ja järjestykseen, on P, ja
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9 %.
Näitä prosenttiosuuksia kutsutaan luokituksiksi.

Teoreettinen todennäköisyys

Oletetaan, että suoritamme kokeen, kuten kolikon tai darts-heiton, kortin nostamisen pakasta tai tuotteiden laadun testaamisen kokoonpanolinjalla. Kutakin mahdollista tällaisen kokeen tulosta kutsutaan Exodus . Kaikkien mahdollisten tulosten joukkoa kutsutaan lopputulos tilaa . Tapahtuma se on joukko tuloksia, toisin sanoen tulostilan osajoukko.

Esimerkki 4 Tikan heitto. Oletetaan, että tikanheittokokeessa tikka osuu maaliin. Etsi jokainen seuraavista:

b) Tulostila

Ratkaisu
a) Tulokset ovat: osuminen mustalle (B), osuminen punaiselle (R) ja osuminen valkoiselle (B).

b) Tulosavaruus on (lyö musta, osui punaiseksi, osuu valkoiseksi), joka voidaan kirjoittaa yksinkertaisesti muodossa (H, K, B).

Esimerkki 5 Noppien heitto. Noppi on kuutio, jossa on kuusi sivua, joista jokaisessa on yhdestä kuuteen pistettä.


Oletetaan, että heitämme noppaa. löytö
a) Tulokset
b) Tulostila

Ratkaisu
a) Tulokset: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Tulosavaruus (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Merkitään todennäköisyys, että tapahtuma E tapahtuu P(E). Esimerkiksi "kolikko laskeutuu pään päälle" voidaan merkitä H:lla. Tällöin P(H) edustaa todennäköisyyttä, että kolikko laskeutuu pään päälle. Kun kaikilla kokeen tuloksilla on sama todennäköisyys tapahtua, niiden sanotaan olevan yhtä todennäköisiä. Jos haluat nähdä erot yhtä todennäköisten ja epätodennäköisten tapahtumien välillä, harkitse alla olevaa kohdetta.

Kohteessa A mustaan, punaiseen ja valkoiseen osuvat tapahtumat ovat yhtä todennäköisiä, koska musta, punainen ja valkoinen sektori ovat samat. Kohteen B kohdalla näillä väreillä olevat vyöhykkeet eivät kuitenkaan ole samoja, eli niihin osuminen ei ole yhtä todennäköistä.

Periaate P (teoreettinen)

Jos tapahtuma E voi tapahtua m tavalla n:stä mahdollisesta yhtä todennäköisestä lopputuloksesta tulosavaruudesta S, niin teoreettinen todennäköisyys tapahtumia, P(E) on
P(E) = m/n.

Esimerkki 6 Millä todennäköisyydellä noppaa heitetään saadaksesi 3?

Ratkaisu Nopan kanssa on 6 yhtä todennäköistä lopputulosta ja on vain yksi mahdollisuus heittää numeroa 3. Tällöin todennäköisyys P on P(3) = 1/6.

Esimerkki 7 Millä todennäköisyydellä noppaa heitetään parillinen luku?

Ratkaisu Tapahtuma on parillisen luvun heittäminen. Tämä voi tapahtua kolmella tavalla (jos heittää 2, 4 tai 6). Yhtä todennäköisten tulosten lukumäärä on 6. Tällöin todennäköisyys P(parillinen) = 3/6 eli 1/2.

Käytämme useita esimerkkejä, jotka koskevat tavallista 52 kortin pakkaa. Tämä pakka koostuu alla olevassa kuvassa olevista korteista.

Esimerkki 8 Millä todennäköisyydellä nostetaan ässä hyvin sekoitetusta korttipakasta?

Ratkaisu Tuloksia on 52 (pakassa olevien korttien määrä), ne ovat yhtä todennäköisiä (jos paka on hyvin sekoitettu) ja ässän nostamiseen on 4 tapaa, joten P-periaatteen mukaan todennäköisyys
P(piirtää ässä) = 4/52 tai 1/13.

Esimerkki 9 Oletetaan, että valitsemme katsomatta yhden pallon pussista, jossa on 3 punaista palloa ja 4 vihreää palloa. Mikä on todennäköisyys valita punainen pallo?

Ratkaisu Minkä tahansa pallon vetämisessä on 7 yhtä todennäköistä lopputulosta, ja koska punaisen pallon nostamistapoja on 3, saamme
P (punaisen pallon valinta) = 3/7.

Seuraavat lausunnot ovat tuloksia periaatteesta P.

Todennäköisyyden ominaisuudet

a) Jos tapahtumaa E ei voi tapahtua, niin P(E) = 0.
b) Jos tapahtuma E tapahtuu varmasti, niin P(E) = 1.
c) Tapahtuman E toteutumisen todennäköisyys on luku 0-1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Esimerkiksi kolikonheitossa tapahtumalla, että kolikko osuu sen reunaan, on nolla todennäköisyys. Todennäköisyys, että kolikko on joko päätä tai häntää, on todennäköisyys 1.

Esimerkki 10 Oletetaan, että 52 kortin pakasta vedetään 2 korttia. Mikä on todennäköisyys, että molemmat ovat huippuja?

Ratkaisu Lukumäärä n tapoja nostaa 2 korttia hyvin sekoitetusta 52 kortin pakasta on 52 C 2 . Koska 13 kortista 52 kortista on pataa, millä tavoilla m nostaa 2 pata on 13 C 2 . Sitten,
P (vetämällä 2 huippua) = m/n = 13 C2 / 52 C2 = 78/1326 = 1/17.

Esimerkki 11 Oletetaan, että 3 henkilöä valitaan satunnaisesti 6 miehen ja 4 naisen ryhmästä. Millä todennäköisyydellä valitaan 1 mies ja 2 naista?

Ratkaisu Tapoja valita kolme henkilöä 10 hengen ryhmästä on 10 C 3. Yksi mies voidaan valita 6 C 1 -tavalla ja 2 naista voidaan valita 4 C 2 -tavalla. Laskennan perusperiaatteen mukaan tapoja valita 1 mies ja 2 naista on 6 C 1. 4 C 2 . Tällöin todennäköisyys, että 1 mies ja 2 naista valitaan, on
P = 6 C1. 4 C2/10 C3 = 3/10.

Esimerkki 12 Noppien heitto. Mikä on todennäköisyys heittää yhteensä 8 kahdella noppaa?

Ratkaisu Jokaisella noppalla on 6 mahdollista lopputulosta. Tulokset kaksinkertaistuvat, mikä tarkoittaa, että on 6,6 tai 36 mahdollista tapaa, jolla kahdessa nopan numerot voivat esiintyä. (On parempi, jos kuutiot ovat erilaisia, esimerkiksi toinen on punainen ja toinen sininen - tämä auttaa visualisoimaan tuloksen.)

Lukuparit, joiden summa on 8, on esitetty alla olevassa kuvassa. Niitä on 5 mahdollisia tapoja saada summa, joka on yhtä suuri kuin 8, joten todennäköisyys on 5/36.

"Onnettomuudet eivät ole sattumia"... Kuulostaa siltä kuin filosofi sanoi, mutta itse asiassa onnettomuuksien tutkiminen on kohtalo hieno tiede matematiikka. Matematiikassa sattumaa käsitellään todennäköisyysteorialla. Tehtävien kaavat ja esimerkit sekä tämän tieteen tärkeimmät määritelmät esitetään artikkelissa.

Mikä on todennäköisyysteoria?

Todennäköisyysteoria on yksi matemaattisista tieteistä, joka tutkii satunnaisia ​​tapahtumia.

Jotta asia olisi hieman selvempi, annetaan pieni esimerkki: jos heität kolikon ylös, se voi laskeutua päähän tai häntään. Kun kolikko on ilmassa, nämä molemmat todennäköisyydet ovat mahdollisia. Eli todennäköisyys mahdollisia seurauksia suhde on 1:1. Jos yksi vedetään 36 kortin pakasta, todennäköisyydeksi ilmoitetaan 1:36. Vaikuttaa siltä, ​​​​että täällä ei ole mitään tutkittavaa ja ennustamista, etenkään matemaattisten kaavojen avulla. Jos kuitenkin toistat erityistä toimintaa monta kertaa on mahdollista tunnistaa tietty malli ja sen perusteella ennustaa tapahtumien lopputulos muissa olosuhteissa.

Yhteenvetona kaikesta yllä olevasta todennäköisyysteoria klassisessa mielessä tutkii mahdollisuutta yhden mahdollisen tapahtuman esiintymisestä numeerisena arvona.

Historian sivuilta

Todennäköisyysteoria, kaavat ja esimerkit ensimmäisistä tehtävistä ilmestyivät kaukaisella keskiajalla, kun korttipelien lopputulosta yritettiin ensin ennustaa.

Aluksi todennäköisyysteorialla ei ollut mitään tekemistä matematiikan kanssa. Se oli perusteltu empiiristen tosiseikkojen tai tapahtuman ominaisuuksien perusteella, jotka voidaan toistaa käytännössä. Ensimmäiset teokset tällä alalla matemaattisena tieteenalana ilmestyivät 1600-luvulla. Perustajat olivat Blaise Pascal ja Pierre Fermat. Pitkä aika he opiskelivat uhkapeliä ja näkivät tiettyjä malleja, joista he päättivät kertoa yhteiskunnalle.

Saman tekniikan keksi Christiaan Huygens, vaikka hän ei ollutkaan perehtynyt Pascalin ja Fermatin tutkimuksen tuloksiin. Hän esitteli käsitteen "todennäköisyysteoria", kaavat ja esimerkit, joita pidetään ensimmäisinä tieteenalan historiassa.

Myös Jacob Bernoullin teoksilla, Laplacen ja Poissonin teoreemoilla ei ole vähäistä merkitystä. He tekivät todennäköisyysteoriasta enemmän matemaattisen tieteenalan. Todennäköisyysteoria, kaavat ja esimerkit perustehtävistä saivat nykyisen muotonsa Kolmogorovin aksioomien ansiosta. Kaikkien muutosten seurauksena todennäköisyysteoriasta tuli yksi matemaattisista haaroista.

Todennäköisyysteorian peruskäsitteet. Tapahtumat

Tämän tieteenalan pääkäsite on "tapahtuma". Tapahtumia on kolmenlaisia:

• Luotettava. Ne, jotka tapahtuvat joka tapauksessa (kolikko putoaa).
• Mahdotonta. Tapahtumat, joita ei tapahdu missään olosuhteissa (kolikko jää roikkumaan ilmassa).
• Satunnainen. Sellaisia, joita tapahtuu tai ei tapahdu. Niihin voivat vaikuttaa erilaiset tekijät, joita on erittäin vaikea ennustaa. Jos puhumme kolikosta, niin satunnaiset tekijät, jotka voivat vaikuttaa tulokseen: fyysiset ominaisuudet kolikot, sen muoto, alkuasento, heittovoima jne.

Kaikki esimerkeissä olevat tapahtumat on merkitty isoilla kirjaimilla latinalaisilla kirjaimilla, paitsi P, jolla on eri rooli. Esimerkiksi:

• A = "opiskelijat tulivat luennoille."
• Ā = "opiskelijat eivät tulleet luennolle."

Käytännön tehtävissä tapahtumat kirjoitetaan yleensä sanoin.

Yksi tapahtumien tärkeimmistä ominaisuuksista on niiden yhtäläinen mahdollisuus. Eli jos heität kolikon, kaikki alkuperäisen putoamisen variantit ovat mahdollisia, kunnes se putoaa. Mutta tapahtumat eivät myöskään ole yhtä mahdollisia. Näin tapahtuu, kun joku tietoisesti vaikuttaa tulokseen. Esimerkiksi "merkitty" pelikortit tai noppaa, jossa painopiste on siirtynyt.

Tapahtumat voivat myös olla yhteensopivia ja yhteensopimattomia. Yhteensopivat tapahtumat eivät sulje pois toistensa esiintymistä. Esimerkiksi:

• A = "opiskelija tuli luennolle."
• B = "opiskelija tuli luennolle."

Nämä tapahtumat ovat toisistaan ​​riippumattomia, eikä yhden tapahtuminen vaikuta toisen tapahtumiseen. Yhteensopimattomat tapahtumat määritellään sillä tosiasialla, että yhden tapahtuminen sulkee pois toisen tapahtumisen. Jos puhumme samasta kolikosta, "häntien" menetys tekee mahdottomaksi "päiden" esiintymisen samassa kokeessa.

Toimenpiteet tapahtumissa

Tapahtumia voidaan kertoa ja lisätä, vastaavasti loogiset konnektiivit "AND" ja "OR" otetaan käyttöön kurissa.

Summa määräytyy sen perusteella, että joko tapahtuma A tai B tai kaksi voi tapahtua samanaikaisesti. Jos ne eivät ole yhteensopivia, viimeinen vaihtoehto on mahdoton; joko A tai B heitetään.

Tapahtumien kertominen koostuu A:n ja B:n esiintymisestä samanaikaisesti.

Nyt voimme antaa useita esimerkkejä muistaaksemme paremmin perusasiat, todennäköisyysteorian ja kaavat. Alla esimerkkejä ongelmanratkaisusta.

Harjoitus 1: Yritys osallistuu kilpailuun saada sopimuksia kolmenlaisia ​​töitä varten. Mahdollisia tapahtumia:

• A = "yritys saa ensimmäisen sopimuksen".
• A 1 = "yritys ei saa ensimmäistä sopimusta".
• B = "yritys saa toisen sopimuksen."
• B 1 = "yritys ei saa toista sopimusta"
• C = "yritys saa kolmannen sopimuksen".
• C 1 = "yritys ei saa kolmatta sopimusta."

Käytämme tapahtumia koskevia toimia, yritämme ilmaista seuraavat tilanteet:

• K = "yritys saa kaikki sopimukset."

Matemaattisessa muodossa yhtälöllä on seuraava muoto: K = ABC.

• M = "yritys ei saa yhtäkään sopimusta."

M = A 1 B 1 C 1.

Monimutkaistaan ​​tehtävää: H = "yritys saa yhden sopimuksen." Koska ei tiedetä, minkä sopimuksen yritys saa (ensimmäinen, toinen tai kolmas), on tarpeen tallentaa koko sarja mahdollisia tapahtumia:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Ja 1 eKr 1 on sarja tapahtumia, joissa yritys ei saa ensimmäistä ja kolmatta sopimusta, vaan saa toisen. Muut mahdolliset tapahtumat kirjattiin sopivalla menetelmällä. Symboli υ tieteenalassa tarkoittaa konnektiivista "TAI". Jos käännämme yllä olevan esimerkin ihmiskielelle, yritys saa joko kolmannen sopimuksen tai toisen tai ensimmäisen. Samalla tavalla voit kirjoittaa muita ehtoja tieteenalaan ”Todennäköisyysteoria”. Yllä esitetyt ongelmanratkaisukaavat ja esimerkit auttavat sinua tekemään tämän itse.

Itse asiassa todennäköisyys

Ehkä tässä matemaattisessa tieteenalassa tapahtuman todennäköisyys on keskeinen käsite. Todennäköisyydellä on kolme määritelmää:

• klassikko;
• tilastollinen;
• geometrinen.

Jokaisella on paikkansa todennäköisyystutkimuksessa. Todennäköisyysteoria, kaavat ja esimerkit (9. luokka) käyttävät pääasiassa klassista määritelmää, joka kuulostaa tältä:

• Tilanteen A todennäköisyys on yhtä suuri kuin sen toteutumista edistävien tulosten lukumäärän suhde kaikkien mahdollisten tulosten määrään.

Kaava näyttää tältä: P(A)=m/n.

A on itse asiassa tapahtuma. Jos A:n vastainen tapaus ilmestyy, se voidaan kirjoittaa muodossa Ā tai A 1 .

m on mahdollisten suotuisten tapausten lukumäärä.

n - kaikki tapahtumat, jotka voivat tapahtua.

Esimerkiksi A = "piirrä kortti sydänpuvusta". Vakiopakassa on 36 korttia, joista 9 on sydämiä. Vastaavasti kaava ongelman ratkaisemiseksi näyttää tältä:

P(A) = 9/36 = 0,25.

Tämän seurauksena todennäköisyys, että sydänmaun kortti vedetään pakasta, on 0,25.

Kohti korkeampaa matematiikkaa

Nyt on tullut vähän tiedoksi, mitä todennäköisyysteoria on, kaavoja ja esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta, joita tulee vastaan koulun opetussuunnitelma. Todennäköisyysteoriaa löytyy kuitenkin myös korkeammasta matematiikasta, jota opetetaan yliopistoissa. Useimmiten ne toimivat geometristen ja tilastollisten määritelmien ja monimutkaisten kaavojen avulla.

Todennäköisyysteoria on erittäin mielenkiintoinen. Kaavat ja esimerkit ( korkeampi matematiikka) on parempi aloittaa opiskelu pienestä - tilastollisella (tai frekvenssi) todennäköisyyden määritelmällä.

Tilastollinen lähestymistapa ei ole ristiriidassa klassisen lähestymistavan kanssa, mutta laajentaa sitä hieman. Jos ensimmäisessä tapauksessa oli tarpeen määrittää, millä todennäköisyydellä tapahtuma tapahtuu, niin tässä menetelmässä on tarpeen osoittaa, kuinka usein se tapahtuu. Tässä otetaan käyttöön uusi "suhteellisen taajuuden" käsite, jota voidaan merkitä W n:llä (A). Kaava ei eroa klassisesta:

Jos ennusteelle lasketaan klassinen kaava, niin tilastollinen lasketaan kokeen tulosten mukaan. Otetaan esimerkiksi pieni tehtävä.

Teknologinen valvontaosasto tarkastaa tuotteiden laadun. 100 tuotteesta 3 todettiin huonolaatuisiksi. Kuinka löytää laadukkaan tuotteen taajuustodennäköisyys?

A = "laadukkaan tuotteen ulkonäkö".

Wn (A) = 97/100 = 0,97

Siten laadukkaan tuotteen taajuus on 0,97. Mistä sait 97? 100 tarkastetusta tuotteesta 3 todettiin huonolaatuisiksi. Vähennämme 100:sta 3 ja saamme 97, tämä on laadukkaiden tuotteiden määrä.

Hieman kombinatoriikasta

Toista todennäköisyysteorian menetelmää kutsutaan kombinatoriikaksi. Sen perusperiaate on, että jos tietty valinta A voidaan tehdä m eri tavoilla, ja B:n valinta on n eri tavalla, niin A:n ja B:n valinta voidaan tehdä kertomalla.

Esimerkiksi kaupungista A kaupunkiin B johtaa 5 tietä. Kaupungista B kaupunkiin C on 4 polkua. Kuinka monella tavalla pääset kaupungista A kaupunkiin C?

Se on yksinkertainen: 5x4=20, eli kahdellakymmenellä eri tavalla pääset pisteestä A pisteeseen C.

Monimutkaistaan ​​tehtävää. Kuinka monella tavalla kortteja voi asettaa pasianssissa? Pakassa on 36 korttia - tämä on lähtökohta. Saadaksesi selville eri tapoja, sinun on "vähennettävä" yksi kortti kerrallaan aloituspisteestä ja kerrottava.

Eli 36x35x34x33x32...x2x1= tulos ei mahdu laskimen näyttöön, joten se voidaan yksinkertaisesti nimetä 36!. Merkitse "!" numeron vieressä osoittaa, että koko numerosarja on kerrottu yhteen.

Kombinatoriikassa on sellaisia ​​käsitteitä kuin permutaatio, sijoitus ja yhdistelmä. Jokaisella niistä on oma kaavansa.

Järjestättyä joukon elementtien joukkoa kutsutaan järjestelyksi. Sijoittelut voidaan toistaa, eli yhtä elementtiä voidaan käyttää useita kertoja. Ja ilman toistoa, kun elementtejä ei toisteta. n ovat kaikki elementit, m ovat elementtejä, jotka osallistuvat sijoitteluun. Kaava sijoittamiseen ilman toistoa näyttää tältä:

A n m = n!/(n-m)!

Permutaatioiksi kutsutaan n elementin yhteyksiä, jotka eroavat toisistaan ​​vain sijoitusjärjestyksessä. Matematiikassa se näyttää tältä: P n = n!

M:n n alkuaineen yhdistelmät ovat niitä yhdisteitä, joissa on tärkeää, mitä alkuaineita ne olivat ja mikä niiden kokonaismäärä on. Kaava näyttää tältä:

A n m = n!/m! (n-m)!

Bernoullin kaava

Todennäköisyysteoriassa, kuten kaikilla tieteenaloilla, on alansa huippututkijoiden töitä, jotka ovat nostaneet sen uudelle tasolle. Yksi näistä teoksista on Bernoullin kaava, jonka avulla voit määrittää tietyn tapahtuman todennäköisyyden riippumattomissa olosuhteissa. Tämä viittaa siihen, että A:n esiintyminen kokeessa ei riipu saman tapahtuman esiintymisestä tai ei-tapahtumista aikaisemmissa tai myöhemmissä kokeissa.

Bernoullin yhtälö:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Tapahtuman (A) toteutumisen todennäköisyys (p) on vakio jokaisessa kokeessa. Todennäköisyys, että tilanne toistuu täsmälleen m kertaa n kokeen aikana, lasketaan yllä esitetyllä kaavalla. Näin ollen herää kysymys, kuinka selvittää numero q.

Jos tapahtuma A esiintyy p monta kertaa, sitä ei ehkä tapahdu. Yksikkö on numero, jota käytetään osoittamaan kaikkia tilanteen tuloksia tietyllä tieteenalalla. Siksi q on luku, joka ilmaisee mahdollisuutta, että tapahtuma ei tapahdu.

Nyt tiedät Bernoullin kaavan (todennäköisyysteoria). Tarkastellaan alla esimerkkejä ongelmanratkaisusta (ensimmäinen taso).

Tehtävä 2: Kaupan kävijä tekee ostoksen todennäköisyydellä 0,2. 6 kävijää tuli itsenäisesti myymälään. Mikä on todennäköisyys, että kävijä tekee ostoksen?

Ratkaisu: Koska ei tiedetä, kuinka monen kävijän tulisi tehdä ostos, yksi tai kaikki kuusi, on tarpeen laskea kaikki mahdolliset todennäköisyydet Bernoullin kaavalla.

A = "vierailija tekee ostoksen."

Tässä tapauksessa: p = 0,2 (tehtävän mukaisesti). Vastaavasti q = 1 - 0,2 = 0,8.

n = 6 (koska kaupassa on 6 asiakasta). Luku m vaihtelee 0:sta (yksikään asiakas ei tee ostosta) 6:een (kaikki myymälän kävijät ostavat jotain). Lopputuloksena saamme ratkaisun:

P6(0) = C06 ×p0 ×q6 =q6 = (0,8)6 = 0,2621.

Kukaan ostajista ei tee ostoa todennäköisyydellä 0,2621.

Miten muuten Bernoullin kaavaa (todennäköisyysteoria) käytetään? Esimerkkejä ongelmanratkaisusta (toinen taso) alla.

Yllä olevan esimerkin jälkeen herää kysymyksiä siitä, minne C ja r menivät. Suhteessa p:ään 0:n potenssilla oleva luku on yhtä suuri kuin yksi. Mitä tulee C:hen, se löytyy kaavasta:

C n m = n! /m!(n-m)!

Koska ensimmäisessä esimerkissä vastaavasti m = 0, C = 1, mikä ei periaatteessa vaikuta tulokseen. Uuden kaavan avulla yritetään selvittää, mikä on todennäköisyys, että kaksi kävijää ostavat tavaroita.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / ( 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × ( 0,2 ) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Todennäköisyysteoria ei ole niin monimutkainen. Bernoullin kaava, josta on esimerkkejä edellä, on suora todiste tästä.

Poissonin kaava

Poissonin yhtälöä käytetään pienen todennäköisyyden satunnaisten tilanteiden laskemiseen.

Peruskaava:

P n (m) = λ m/m! × e (-λ).

Tässä tapauksessa λ = n x p. Tässä on yksinkertainen Poisson-kaava (todennäköisyysteoria). Tarkastellaan alla esimerkkejä ongelmanratkaisusta.

Tehtävä 3: Tehdas tuotti 100 000 osaa. Viallisen osan esiintyminen = 0,0001. Mikä on todennäköisyys, että erässä on 5 viallista osaa?

Kuten näette, avioliitto on epätodennäköinen tapahtuma, ja siksi laskennassa käytetään Poissonin kaavaa (todennäköisyysteoria). Esimerkit tällaisten ongelmien ratkaisemisesta eivät eroa muista alan tehtävistä; korvaamme tarvittavat tiedot annettuun kaavaan:

A = "satunnaisesti valittu osa on viallinen."

p = 0,0001 (tehtäväehtojen mukaan).

n = 100000 (osien lukumäärä).

m = 5 (vialliset osat). Korvaamme tiedot kaavaan ja saamme:

R 100 000 (5) = 10 5 / 5! Xe-10 = 0,0375.

Aivan kuten Bernoullin kaavalla (todennäköisyysteoria), esimerkkejä ratkaisuista, joita käytetään edellä, Poisson-yhtälöllä on tuntematon e. Itse asiassa se voidaan löytää kaavasta:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

On kuitenkin olemassa erityisiä taulukoita, jotka sisältävät melkein kaikki e.

De Moivre-Laplacen lause

Jos Bernoulli-kaaviossa kokeiden lukumäärä on riittävän suuri ja tapahtuman A esiintymistodennäköisyys kaikissa kaavioissa on sama, niin tapahtuman A esiintymistodennäköisyys tietyn määrän kertoja testisarjassa voidaan löytää Laplacen kaava:

Рn (m) = 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Jotta Laplacen kaava (todennäköisyysteoria) muistaisi paremmin, alla on avuksi esimerkkejä ongelmista.

Ensin etsitään X m, korvataan tiedot (ne kaikki on lueteltu yllä) kaavaan ja saadaan 0,025. Taulukoiden avulla löydämme luvun ϕ(0,025), jonka arvo on 0,3988. Nyt voit korvata kaikki tiedot kaavaan:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Näin ollen todennäköisyys, että flyer toimii täsmälleen 267 kertaa, on 0,03.

Bayesin kaava

Bayesin kaava (todennäköisyysteoria), jonka avulla annetaan esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta alla, on yhtälö, joka kuvaa tapahtuman todennäköisyyttä siihen liittyvien olosuhteiden perusteella. Peruskaava on seuraava:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A ja B ovat varmoja tapahtumia.

P(A|B) on ehdollinen todennäköisyys, eli tapahtuma A voi tapahtua, jos tapahtuma B on tosi.

P (B|A) - tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys.

Lyhyen kurssin ”Todennäköisyysteoria” viimeinen osa on siis Bayesin kaava, jonka esimerkkejä ongelmien ratkaisuista on alla.

Tehtävä 5: Kolmen yrityksen puhelimia tuotiin varastoon. Samaan aikaan ensimmäisessä tehtaassa valmistettavien puhelimien osuus on 25%, toisessa - 60%, kolmannessa - 15%. Tiedetään myös, että viallisten tuotteiden keskimääräinen prosenttiosuus ensimmäisessä tehtaassa on 2 %, toisessa - 4 % ja kolmannessa - 1 %. Sinun on löydettävä todennäköisyys, että satunnaisesti valittu puhelin on viallinen.

A = "satunnaisesti valittu puhelin".

B 1 - puhelin, jonka ensimmäinen tehdas tuotti. Vastaavasti johdantokappaleet B 2 ja B 3 ilmestyvät (toiselle ja kolmannelle tehtaalle).

Tuloksena saamme:

P (B1) = 25 %/100 % = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - näin löydettiin kunkin vaihtoehdon todennäköisyys.

Nyt sinun on löydettävä halutun tapahtuman ehdolliset todennäköisyydet, eli viallisten tuotteiden todennäköisyys yrityksissä:

P (A/B 1) = 2 %/100 % = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B3) = 0,01.

Korvataan nyt tiedot Bayesin kaavaan ja saadaan:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Artikkelissa esitetään todennäköisyysteoriaa, kaavoja ja esimerkkejä ongelmanratkaisusta, mutta tämä on vain laajan tieteenalan jäävuoren huippu. Ja kaiken kirjoitetun jälkeen on loogista kysyä, tarvitaanko todennäköisyysteoriaa elämässä. Tavalliselle ihmiselle On vaikea vastata, on parempi pyytää jotakuta, joka on käyttänyt sitä, voittamaan jättipotin useammin kuin kerran.

Itse asiassa kaavat (1) ja (2) ovat lyhyt tietue ehdollisesta todennäköisyydestä, joka perustuu ominaisuuksien ehdollisuustaulukkoon. Palataan käsiteltyyn esimerkkiin (kuva 1). Oletetaan, että saamme tietää, että perhe suunnittelee laajakuvatelevision ostamista. Millä todennäköisyydellä tämä perhe todella ostaa tällaisen television?

Riisi. 1. Laajakuvatelevision ostokäyttäytyminen

Tässä tapauksessa meidän on laskettava ehdollinen todennäköisyys P (ostos suoritettu | osto suunniteltu). Koska tiedämme, että perhe suunnittelee ostoa, näytetila ei koostu kaikista 1000 perheestä, vaan vain laajakuvatelevision ostoa suunnittelevista. Näistä 250 perheestä 200 itse asiassa osti tämän television. Siksi todennäköisyys, että perhe todella ostaa laajakuvatelevision, jos se on suunnitellut ostaa niin, voidaan laskea seuraavalla kaavalla:

P (ostos tehty | osto suunniteltu) = laajakuvatelevision suunnitteleneiden ja ostaneiden perheiden määrä / laajakuvatelevision ostamista suunnittelevien perheiden määrä = 200 / 250 = 0,8

Kaava (2) antaa saman tuloksen:

missä tapahtuma on A on, että perhe suunnittelee laajakuvatelevision ostamista ja tapahtumaa SISÄÄN- että hän todella ostaa sen. Korvaamalla todelliset tiedot kaavaan, saamme:

Päätöspuu

Kuvassa 1 perheet on jaettu neljään kategoriaan: ne, jotka suunnittelivat laajakuvatelevision ostamista ja ne, jotka eivät ostaneet, sekä ne, jotka ostivat sellaisen television ja ne, jotka eivät ostaneet. Samanlainen luokittelu voidaan suorittaa käyttämällä päätöspuuta (kuva 2). Kuvassa näkyvä puu. 2:lla on kaksi haaraa, jotka vastaavat perheitä, jotka suunnittelivat laajakuvatelevision ostamista, ja perheitä, jotka eivät ostaneet sitä. Kukin näistä haaroista jakautuu kahdeksi lisähaaraksi, jotka vastaavat kotitalouksia, jotka ostivat tai eivät ostaneet laajakuvatelevisiota. Kahden päähaaran päihin kirjoitetut todennäköisyydet ovat tapahtumien ehdottomia todennäköisyyksiä A Ja A'. Neljän lisähaaran päihin kirjoitetut todennäköisyydet ovat kunkin tapahtumayhdistelmän ehdollisia todennäköisyyksiä A Ja SISÄÄN. Ehdolliset todennäköisyydet lasketaan jakamalla tapahtumien yhteinen todennäköisyys kunkin niistä vastaavalla ehdottomalla todennäköisyydellä.

Riisi. 2. Päätöspuu

Esimerkiksi, jotta voidaan laskea todennäköisyys, että perhe ostaa laajakuvatelevision, jos se on suunnitellut niin, on määritettävä tapahtuman todennäköisyys osto on suunniteltu ja valmis ja jaa se sitten tapahtuman todennäköisyydellä ostoa suunniteltu. Liikkuminen kuviossa näkyvää päätöspuuta pitkin. 2, saamme seuraavan (samanlaisen kuin edellinen) vastauksen:

Tilastollinen riippumattomuus

Laajakuvatelevision ostoesimerkissä todennäköisyys, että satunnaisesti valittu perhe ostaa laajakuvatelevision, koska he aikoivat ostaa niin, on 200/250 = 0,8. Muista, että ehdoton todennäköisyys, että satunnaisesti valittu perhe ostaa laajakuvatelevision, on 300/1000 = 0,3. Tämä johtaa erittäin tärkeään johtopäätökseen. Aiempi tieto perheen suunnitellusta ostosta vaikuttaa itse oston todennäköisyyteen. Toisin sanoen nämä kaksi tapahtumaa riippuvat toisistaan. Toisin kuin tässä esimerkissä, on tilastollisesti riippumattomia tapahtumia, joiden todennäköisyydet eivät riipu toisistaan. Tilastollinen riippumattomuus ilmaistaan ​​identiteetillä: P(A|B) = P(A), Missä P(A|B)- tapahtuman todennäköisyys A edellyttäen, että tapahtuma sattui SISÄÄN, P(A)- tapahtuman A ehdoton todennäköisyys.

Huomaa, että tapahtumat A Ja SISÄÄN P(A|B) = P(A). Jos ominaisuustaulukossa, jonka koko on 2 × 2, tämä ehto täyttyy vähintään yhdelle tapahtumayhdistelmälle A Ja SISÄÄN, se pätee mihin tahansa muuhun yhdistelmään. Esimerkkitapahtumissamme ostoa suunniteltu Ja ostos suoritettu eivät ole tilastollisesti riippumattomia, koska tiedot yhdestä tapahtumasta vaikuttavat toisen tapahtuman todennäköisyyteen.

Katsotaanpa esimerkkiä, joka näyttää kuinka testataan kahden tapahtuman tilastollinen riippumattomuus. Kysytään 300 laajakuvatelevision ostaneelta perheeltä, olivatko he tyytyväisiä ostokseensa (kuva 3). Selvitä, liittyvätkö ostotyytyväisyysaste ja television tyyppi toisiinsa.

Riisi. 3. Tiedot, jotka kuvaavat laajakuvatelevisioiden ostajien tyytyväisyyttä

Näiden tietojen perusteella päätellen

Samaan aikaan,

P (asiakas tyytyväinen) = 240 / 300 = 0,80

Näin ollen todennäköisyys, että asiakas on tyytyväinen ostokseen ja että perhe ostaa HDTV:n, on yhtä suuri, ja nämä tapahtumat ovat tilastollisesti riippumattomia, koska ne eivät liity toisiinsa.

Todennäköisyyskertolasääntö

Ehdollisen todennäköisyyden laskentakaavan avulla voit määrittää yhteisen tapahtuman todennäköisyyden A ja B. Kun kaava (1) on ratkaistu

suhteessa yhteisen todennäköisyyteen P(A ja B), saamme yleisen säännön todennäköisyyksien kertomiselle. Tapahtuman todennäköisyys A ja B yhtä suuri kuin tapahtuman todennäköisyys A edellyttäen, että tapahtuma tapahtuu SISÄÄN SISÄÄN:

(3) P(A ja B) = P(A|B) * P(B)

Otetaan esimerkkinä 80 perhettä, jotka ostivat laajakuva-HDTV-television (kuva 3). Taulukosta näkyy, että 64 perhettä on tyytyväisiä ostoon ja 16 ei. Oletetaan, että heidän joukostaan ​​valitaan satunnaisesti kaksi perhettä. Määritä todennäköisyys, että molemmat asiakkaat ovat tyytyväisiä. Kaavan (3) avulla saamme:

P(A ja B) = P(A|B) * P(B)

missä tapahtuma on A että toinen perhe on tyytyväinen ostokseensa ja tapahtumaan SISÄÄN- että ensimmäinen perhe on tyytyväinen ostokseensa. Todennäköisyys, että ensimmäinen perhe on tyytyväinen ostokseensa, on 64/80. Todennäköisyys, että myös toinen perhe on tyytyväinen ostokseensa, riippuu kuitenkin ensimmäisen perheen vastauksesta. Jos ensimmäinen perhe ei palaa otokseen kyselyn jälkeen (valinta ilman palautusta), vastaajien määrä pienenee 79:ään. Jos ensimmäinen perhe on tyytyväinen ostokseensa, on todennäköisyys, että myös toinen perhe on tyytyväinen, 63 /79, koska otosperheitä on jäljellä enää 63 ostokseensa tyytyväisiä. Siten korvaamalla tietyt tiedot kaavaan (3), saamme seuraavan vastauksen:

P(A ja B) = (63/79) (64/80) = 0,638.

Siksi todennäköisyys, että molemmat perheet ovat tyytyväisiä ostoksiinsa, on 63,8 %.

Oletetaan, että tutkimuksen jälkeen ensimmäinen perhe palaa otokseen. Määritä todennäköisyys, että molemmat perheet ovat tyytyväisiä ostokseensa. Tässä tapauksessa todennäköisyys, että molemmat perheet ovat tyytyväisiä ostokseensa, on sama, 64/80. Siksi P(A ja B) = (64/80) (64/80) = 0,64. Näin ollen todennäköisyys, että molemmat perheet ovat tyytyväisiä ostoihinsa, on 64,0 %. Tämä esimerkki osoittaa, että toisen perheen valinta ei riipu ensimmäisen perheen valinnasta. Siten ehdollisen todennäköisyyden korvaaminen kaavassa (3) P(A|B) todennäköisyys P(A), saamme kaavan riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertomiseksi.

Sääntö itsenäisten tapahtumien todennäköisyyksien kertomisesta. Jos tapahtumia A Ja SISÄÄN ovat tilastollisesti riippumattomia, tapahtuman todennäköisyys A ja B yhtä suuri kuin tapahtuman todennäköisyys A, kerrottuna tapahtuman todennäköisyydellä SISÄÄN.

(4) P(A ja B) = P(A)P(B)

Jos tämä sääntö pätee tapahtumiin A Ja SISÄÄN, mikä tarkoittaa, että ne ovat tilastollisesti riippumattomia. On siis kaksi tapaa määrittää kahden tapahtuman tilastollinen riippumattomuus:

1. Tapahtumat A Ja SISÄÄN ovat tilastollisesti riippumattomia toisistaan ​​jos ja vain jos P(A|B) = P(A).
2. Tapahtumat A Ja B ovat tilastollisesti riippumattomia toisistaan ​​jos ja vain jos P(A ja B) = P(A)P(B).

Jos 2x2-satunnaisuustaulukossa yksi näistä ehdoista täyttyy vähintään yhdessä tapahtumayhdistelmässä A Ja B, se pätee mihin tahansa muuhun yhdistelmään.

Alkeistapahtuman ehdoton todennäköisyys

(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)

jossa tapahtumat B 1, B 2, ... B k ovat toisensa poissulkevia ja tyhjentäviä.

Havainnollistetaan tämän kaavan soveltamista käyttämällä kuvan 1 esimerkkiä. Kaavan (5) avulla saamme:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

Missä P(A)- todennäköisyys, että osto oli suunniteltu, P(B 1)- oston tekemisen todennäköisyys, P(B 2)- todennäköisyys, että ostoa ei tehdä loppuun.

BAYESIN LAUSE

Tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ottaa huomioon tiedon, että jokin muu tapahtuma on tapahtunut. Tätä lähestymistapaa voidaan käyttää sekä tarkentamaan todennäköisyyttä ottamalla huomioon uudet tiedot, että laskemaan todennäköisyyttä, että havaittu vaikutus on seurausta jostain tietty syy. Proseduuria näiden todennäköisyyksien jalostamiseksi kutsutaan Bayesin lauseeksi. Sen kehitti ensimmäisenä Thomas Bayes 1700-luvulla.

Oletetaan, että edellä mainittu yritys tutkii uuden TV-mallin markkinoita. Aiemmin 40 % yrityksen luomista televisioista onnistui, kun taas 60 % malleista jäi tunnistamatta. Ennen uuden mallin julkaisemista markkinoinnin asiantuntijat tutkivat huolellisesti markkinoita ja tallentavat kysynnän. Aiemmin 80 % onnistuneista malleista ennustettiin menestyvän, kun taas 30 % onnistuneista ennusteista osoittautui vääriksi. Markkinointiosasto antoi uudelle mallille suotuisan ennusteen. Millä todennäköisyydellä uudelle TV-mallille tulee kysyntää?

Bayesin lause voidaan johtaa ehdollisen todennäköisyyden (1) ja (2) määritelmistä. Laske todennäköisyys P(B|A) käyttämällä kaavaa (2):

ja korvaa P(A ja B) sijasta kaavan (3) arvo:

P(A ja B) = P(A|B) * P(B)

Korvaamalla kaavan (5) P(A:n sijaan) saadaan Bayesin lause:

jossa tapahtumat B 1, B 2, ... B k ovat toisensa poissulkevia ja tyhjentäviä.

Otetaan käyttöön seuraava merkintä: tapahtuma S - TV on kysytty, Tapahtumat' - TV:lle ei ole kysyntää, tapahtuma F - suotuisa ennuste, tapahtuma F' - huono ennuste. Oletetaan, että P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Bayesin lausetta soveltamalla saadaan:

Uuden TV-mallin kysynnän todennäköisyys suotuisa ennuste yhtä suuri kuin 0,64. Näin ollen kysynnän puutteen todennäköisyys suotuisalla ennusteella on 1–0,64=0,36. Laskentaprosessi on esitetty kuvassa. 4.

Riisi. 4. a) Bayesin kaavaa käyttävät laskelmat televisioiden kysynnän todennäköisyyden arvioimiseksi; (b) Päätöspuu, kun tutkitaan uuden TV-mallin kysyntää

Tarkastellaan esimerkkiä Bayesin lauseen soveltamisesta for lääketieteellinen diagnostiikka. Todennäköisyys, että henkilö sairastuu tietystä sairaudesta, on 0,03. Lääketieteellinen testi voi tarkistaa, onko tämä totta. Jos henkilö on todella sairas, todennäköisyys tarkka diagnoosi(väitetään, että ihminen on sairas, kun hän todella on sairas) on 0,9. Jos henkilö on terve, väärän positiivisen diagnoosin (sanomalla, että henkilö on sairas kun hän on terve) todennäköisyys on 0,02. Oletetaan, että lääketieteellinen testi antoi positiivinen tulos. Millä todennäköisyydellä henkilö on todella sairas? Mikä on tarkan diagnoosin todennäköisyys?

Otetaan käyttöön seuraava merkintä: tapahtuma D - henkilö on sairas, tapahtuma D' - henkilö on terve, tapahtuma T - diagnoosi on positiivinen, tapahtuma T' - diagnoosi negatiivinen. Tehtävän ehdoista seuraa, että P(D) = 0.03, P(D’) = 0.97, P(T|D) = 0.90, P(T|D’) = 0.02. Käyttämällä kaavaa (6) saamme:

Todennäköisyys, että positiivisella diagnoosilla henkilö on todella sairas, on 0,582 (ks. myös kuva 5). Huomaa, että Bayesin kaavan nimittäjä on yhtä suuri kuin positiivisen diagnoosin todennäköisyys, ts. 0,0464.