שלב ראשון
תואר ותכונותיו. מדריך מקיף (2019)
למה צריך תארים? איפה אתה צריך אותם? למה אתה צריך להשקיע זמן בלימוד אותם?
כדי ללמוד הכל על תארים, למה הם מיועדים, איך להשתמש בידע שלך חיי היום - יוםלקרוא את המאמר הזה.
וכמובן, ידיעת התארים תקרב אותך מסירה מוצלחת OGE או USE ולהיכנס לאוניברסיטת חלומותיך.
בוא נלך בוא נלך!)
הערה חשובה! אם במקום נוסחאות אתה רואה ג'יבריש, נקה את המטמון שלך. כדי לעשות זאת, הקש CTRL+F5 (ב-Windows) או Cmd+R (ב-Mac).
שלב ראשון
אקספוננציה היא אותה פעולה מתמטית כמו חיבור, חיסור, כפל או חילוק.
עכשיו אני אסביר הכל בשפה אנושית מאוד דוגמאות פשוטות. הזהר. דוגמאות הן אלמנטריות, אבל מסבירות דברים חשובים.
נתחיל בתוספת.
אין כאן מה להסביר. אתה כבר יודע הכל: אנחנו שמונה. לכל אחד יש שני בקבוקי קולה. כמה קולה? נכון - 16 בקבוקים.
עכשיו כפל.
את אותה דוגמה עם קולה אפשר לכתוב בצורה אחרת: . מתמטיקאים הם אנשים ערמומיים ועצלנים. תחילה הם מבחינים בכמה דפוסים, ואז מוצאים דרך "לספור" אותם מהר יותר. במקרה שלנו, הם שמו לב שלכל אחד משמונת האנשים יש את אותו מספר של בקבוקי קולה והגיעו עם טכניקה שנקראת כפל. מסכים, זה נחשב קל ומהיר יותר מאשר.
אז, כדי לספור מהר יותר, קל יותר וללא שגיאות, אתה רק צריך לזכור לוח הכפל. כמובן, אתה יכול לעשות הכל יותר לאט, קשה יותר ועם טעויות! אבל…
הנה לוח הכפל. חזור.
ועוד אחד, יותר יפה:
ואיזה עוד תחבולות ספירה מסובכות העלו מתמטיקאים עצלנים? ימין - העלאת מספר לחזקה.
העלאת מספר לעוצמה
אם אתה צריך להכפיל מספר בפני עצמו חמש פעמים, אז מתמטיקאים אומרים שאתה צריך להעלות את המספר הזה לחזקה חמישית. לדוגמה, . מתמטיקאים זוכרים שכוח שני עד חמישי הוא. ולפתור חידות כאלה בראש - מהר יותר, קל יותר וללא שגיאות.
כדי לעשות זאת, אתה רק צריך זכור מה מודגש בצבע בטבלת החזקות של מספרים. תאמין לי, זה יעשה לך את החיים הרבה יותר קלים.
אגב, למה נקראת התואר השני כיכרמספרים, והשלישי קוּבִּיָה? מה זה אומר? מאוד שאלה טובה. עכשיו יהיו לך גם ריבועים וגם קוביות.
דוגמה מס' 1 לחיים האמיתיים
נתחיל בריבוע או בחזקת שנייה של מספר.
דמיינו לעצמכם בריכה מרובעת בגודל מטר על מטר. הבריכה נמצאת בחצר האחורית שלך. חם ואני ממש רוצה לשחות. אבל ... בריכה ללא תחתית! יש צורך לכסות את קרקעית הבריכה באריחים. כמה אריחים אתה צריך? כדי לקבוע זאת, אתה צריך לדעת את השטח של קרקעית הבריכה.
אפשר פשוט לספור על ידי דחיפה באצבע שתחתית הבריכה מורכבת מקוביות מטר אחר מטר. אם האריחים שלך הם מטר על מטר, תצטרך חתיכות. זה קל... אבל איפה ראית אריח כזה? האריח יהיה דווקא ס"מ על ס"מ. ואז תתייסר ב"ספירה באצבע". אז צריך להכפיל. לכן, בצד אחד של קרקעית הבריכה נתאים אריחים (חתיכות) וגם בצד השני אריחים. מכפילים בפי, מקבלים אריחים ().
שמתם לב שהכפלנו את אותו מספר בעצמו כדי לקבוע את שטח קרקעית הבריכה? מה זה אומר? מכיוון שאותו מספר מוכפל, נוכל להשתמש בטכניקת האקספונציה. (כמובן, כשיש לך רק שני מספרים, אתה עדיין צריך להכפיל אותם או להעלות אותם לחזקה. אבל אם יש לך הרבה מהם, אז העלאה לחזקה היא הרבה יותר קלה ויש גם פחות שגיאות בחישובים לבחינה זה חשוב מאוד).
אז, שלושים לתואר השני יהיו (). או שאתה יכול לומר ששלושים בריבוע יהיו. במילים אחרות, החזקה השנייה של מספר תמיד יכולה להיות מיוצגת כריבוע. ולהיפך, אם אתה רואה ריבוע, זה תמיד החזקה השנייה של מספר כלשהו. ריבוע הוא תמונה בחזקת השנייה של מספר.
דוגמה מהחיים האמיתיים מס' 2
הנה משימה עבורכם, ספרו כמה משבצות יש על לוח השחמט באמצעות הריבוע של המספר... בצד אחד של התאים וגם בצד השני. כדי לספור את מספרם, עליך להכפיל שמונה בשמונה או ... אם אתה מבחין בכך לוח שחמטהוא ריבוע עם צלע, אז אתה יכול ריבוע שמונה. קבל תאים. () כך?
דוגמה מס' 3 מהחיים האמיתיים
כעת הקובייה או החזקה השלישית של מספר. אותה בריכה. אבל עכשיו אתה צריך לגלות כמה מים יהיה צורך לשפוך לתוך הבריכה הזו. אתה צריך לחשב את הנפח. (נפחים ונוזלים, אגב, נמדדים ב מטר מעוקב. באופן בלתי צפוי, נכון?) ציירו בריכה: תחתית בגודל של מטר ובעומק מטר ונסו לחשב כמה קוביות מטר על מטר בסך הכל ייכנסו לבריכה שלכם.
רק להצביע באצבע ולספור! אחת, שתיים, שלוש, ארבע... עשרים ושתיים, עשרים ושלושה... כמה זה יצא? לא הלכת לאיבוד? קשה לספור עם האצבע? אז זה! קח דוגמה ממתמטיקאים. הם עצלנים ולכן שמו לב שכדי לחשב את נפח הבריכה צריך להכפיל זה בזה את אורכה, רוחבה וגובהה. במקרה שלנו, נפח הבריכה יהיה שווה לקוביות... יותר קל, נכון?
עכשיו תארו לעצמכם כמה מתמטיקאים עצלנים וערמומיים הם אם הם עושים את זה קל מדי. צמצם הכל לפעולה אחת. הם שמו לב שהאורך, הרוחב והגובה שווים ושאותו מספר מוכפל בעצמו... ומה זה אומר? זה אומר שאתה יכול להשתמש בתואר. אז מה שפעם ספרתם באצבע, הם עושים בפעולה אחת: שלוש בקובייה זהות. זה כתוב כך:
נשאר רק לשנן את טבלת התארים. אלא אם כן, כמובן, אתה עצלן וערמומי כמו מתמטיקאים. אם אתה אוהב לעבוד קשה ולעשות טעויות, אתה יכול להמשיך לספור עם האצבע.
ובכן, על מנת לשכנע אותך סוף סוף שתארים הומצאו על ידי לופרים ואנשים ערמומיים כדי לפתור את בעיות החיים שלהם, ולא כדי ליצור עבורך בעיות, הנה עוד כמה דוגמאות מהחיים.
דוגמה בחיים האמיתיים מס' 4
יש לך מיליון רובל. בתחילת כל שנה אתה מרוויח עוד מיליון על כל מיליון. כלומר, כל אחד מהמיליון שלך בתחילת כל שנה מוכפל. כמה כסף יהיה לך בעוד שנים? אם אתה עכשיו יושב ו"סופר באצבע", אז אתה אדם מאוד חרוץ ו.. טיפש. אבל סביר להניח שתתן תשובה תוך כמה שניות, כי אתה חכם! אז, בשנה הראשונה - פעמיים פעמיים ... בשנה השנייה - מה קרה, בעוד שניים, בשנה השלישית ... תפסיק! שמתם לב שהמספר מוכפל בעצמו פעם אחת. אז שניים עד חמישית זה מיליון! עכשיו דמיינו שיש לכם תחרות ומי שיחשב יותר מהר יקבל את המיליונים האלה... האם כדאי לזכור את דרגות המספרים, מה דעתכם?
דוגמה מס' 5 מהחיים האמיתיים
יש לך מיליון. בתחילת כל שנה אתה מרוויח שניים נוספים על כל מיליון. זה מעולה נכון? כל מיליון גדל פי שלושה. כמה כסף יהיה לך בשנה? בוא נספור. בשנה הראשונה - תכפילו, ואז התוצאה בעוד... זה כבר משעמם, כי כבר הבנתם הכל: שלוש מוכפל בעצמו פעמים. אז החזקה הרביעית היא מיליון. אתה רק צריך לזכור ששלוש עד החזקה היא או.
עכשיו אתה יודע שעל ידי העלאת מספר לעוצמה, אתה תעשה את החיים שלך הרבה יותר קלים. בואו נסתכל עוד על מה אתה יכול לעשות עם תארים ומה אתה צריך לדעת עליהם.
מונחים ומושגים... כדי לא להתבלבל
אז, ראשית, בואו נגדיר את המושגים. מה אתה חושב, מה זה אקספוננט? זה מאוד פשוט – זה המספר שנמצא "בראש" בחזקת המספר. לא מדעי, אבל ברור וקל לזכור...
ובכן, במקביל, מה בסיס כזה של תואר? פשוט יותר הוא המספר שנמצא בתחתית, בבסיס.
הנה תמונה בשבילך כדי להיות בטוח.
טוב ובפנים השקפה כלליתלהכליל ולזכור טוב יותר... תואר עם בסיס "" ומעריך "" נקרא כ"לדרגה" ונכתב כך:
כוח של מספר עם מעריך טבעי
בטח כבר ניחשתם: כי המעריך הוא מספר טבעי. כן, אבל מה כן מספר טבעי? יְסוֹדִי! מספרים טבעיים הם אלה המשמשים בספירה בעת רישום פריטים: אחד, שניים, שלושה ... כאשר אנו סופרים פריטים, אנו לא אומרים: "מינוס חמש", "מינוס שש", "מינוס שבע". אנחנו גם לא אומרים "שליש" או "אפס נקודה חמש עשיריות". אלו לא מספרים טבעיים. מה לדעתך המספרים האלה?
מספרים כמו "מינוס חמש", "מינוס שש", "מינוס שבע" מתייחסים מספרים שלמים.באופן כללי, מספרים שלמים כוללים את כל המספרים הטבעיים, מספרים הפוכים למספרים טבעיים (כלומר, נלקחים עם סימן מינוס), ומספר. קל להבין את אפס - זה כשאין כלום. ומה המשמעות של מספרים שליליים ("מינוס")? אבל הם הומצאו בעיקר כדי לציין חובות: אם יש לך יתרה בטלפון שלך ברובלים, זה אומר שאתה חייב רובל למפעיל.
כל השברים הם מספר רציונלי. איך הם הגיעו, אתה חושב? פשוט מאוד. לפני כמה אלפי שנים גילו אבותינו שאין להם מספיק מספרים טבעיים למדידת אורך, משקל, שטח וכו'. והם הגיעו עם מספר רציונלי... מעניין, לא?
יש גם מספרים אי-רציונליים. מה זה המספרים האלה? בקיצור, אין סוף נקודה. לדוגמה, אם מחלקים את היקף המעגל בקוטר שלו, תקבל מספר אי-רציונלי.
סיכום:
נגדיר את מושג התואר, שהמעריך שלו הוא מספר טבעי (כלומר, מספר שלם וחיובי).
- כל מספר בחזקת ראשון שווה לעצמו:
- ריבוע של מספר זה להכפיל אותו בעצמו:
- להכפיל מספר בקובייה זה להכפיל אותו בעצמו שלוש פעמים:
הַגדָרָה.להעלות מספר לחזקה טבעית זה להכפיל את המספר בעצמו פעמים:
.
מאפייני תואר
מאיפה הגיעו הנכסים האלה? אני אראה לך עכשיו.
בוא נראה מה זה ו ?
A-priory:
כמה מכפילים יש בסך הכל?
זה מאוד פשוט: הוספנו גורמים לגורמים, והתוצאה היא גורמים.
אבל בהגדרה, זו המדרגה של מספר עם מעריך, כלומר: , שנדרשה להוכחה.
דוגמא: פשט את הביטוי.
פִּתָרוֹן:
דוגמא:פשט את הביטוי.
פִּתָרוֹן:חשוב לציין שבכלל שלנו בהכרחחייבת להיות אותה סיבה!
לכן, אנו משלבים את המעלות עם הבסיס, אך נשארים גורם נפרד:
רק עבור תוצרי כוחות!
בשום פנים ואופן אסור לכתוב את זה.
2. כלומר -חזק של מספר
בדיוק כמו במאפיין הקודם, נעבור להגדרת התואר:
מסתבר שהביטוי מוכפל בעצמו פעם אחת, כלומר לפי ההגדרה זהו החזקה של המספר:
למעשה, זה יכול להיקרא "התאמת המחוון". אבל אתה אף פעם לא יכול לעשות את זה בסך הכל:
נזכיר את הנוסחאות לכפל מקוצר: כמה פעמים רצינו לכתוב?
אבל זה לא נכון, באמת.
תואר עם בסיס שלילי
עד לנקודה זו, דנו רק במה צריך להיות המעריך.
אבל מה צריך להיות הבסיס?
במעלות מ אינדיקטור טבעיהבסיס עשוי להיות כל מספר. אכן, אנו יכולים להכפיל כל מספר זה בזה, בין אם הם חיוביים, שליליים או זוגיים.
בואו נחשוב לאילו סימנים (" או "") יהיו דרגות של מספרים חיוביים ושליליים?
לדוגמה, האם המספר יהיה חיובי או שלילי? א? ? עם הראשון, הכל ברור: לא משנה כמה מספרים חיוביים נכפיל זה עם זה, התוצאה תהיה חיובית.
אבל השליליים קצת יותר מעניינים. אחרי הכל, אנו זוכרים כלל פשוט מכיתה ו': "מינוס כפול מינוס נותן פלוס". כלומר, או. אבל אם נכפיל בפי, מסתבר.
קבע בעצמך איזה סימן יהיו לביטויים הבאים:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
הסתדרת?
הנה התשובות: בארבע הדוגמאות הראשונות, אני מקווה שהכל ברור? אנחנו פשוט מסתכלים על הבסיס והמעריך, ומיישמים את הכלל המתאים.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
בדוגמה 5), הכל גם לא מפחיד כמו שזה נראה: זה לא משנה למה שווה הבסיס - המידה היא זוגית, מה שאומר שהתוצאה תמיד תהיה חיובית.
ובכן, למעט כאשר הבסיס הוא אפס. הבסיס לא זהה, נכון? ברור שלא, שכן (כי).
דוגמה 6) כבר לא כל כך פשוטה!
6 דוגמאות לתרגול
ניתוח הפתרון 6 דוגמאות
אם לא נשים לב למדרגה השמינית, מה אנחנו רואים כאן? בואו נסתכל על תכנית כיתה ז'. אז זכור? זוהי נוסחת הכפל המקוצר, כלומר הפרש הריבועים! אנחנו מקבלים:
אנו מסתכלים היטב על המכנה. זה נראה מאוד כמו אחד מגורמי המונה, אבל מה רע? סדר תנאים שגוי. אם הם יוחלפו, הכלל יכול לחול.
אבל איך לעשות את זה? מסתבר שזה מאוד קל: המדרגה הזוגית של המכנה עוזרת לנו כאן.
המונחים שינו מקומות בצורה קסומה. "תופעה" זו חלה על כל ביטוי במידה שווה: אנו יכולים לשנות באופן חופשי את הסימנים בסוגריים.
אבל חשוב לזכור: כל הסימנים משתנים בו זמנית!
נחזור לדוגמא:
ושוב הנוסחה:
כֹּלאנו קוראים למספרים הטבעיים, את ההפכים שלהם (כלומר, בסימן "") ואת המספר.
מספר שלם חיובי, וזה לא שונה מטבעי, אז הכל נראה בדיוק כמו בסעיף הקודם.
עכשיו בואו נסתכל על מקרים חדשים. נתחיל עם מחוון השווה ל.
כל מספר בחזקת אפס שווה לאחד:
כמו תמיד, אנו שואלים את עצמנו: מדוע זה כך?
שקול קצת כוח עם בסיס. קח, למשל, והכפיל ב:
אז, הכפלנו את המספר ב-, וקיבלנו אותו הדבר שהיה -. באיזה מספר יש להכפיל כדי ששום דבר לא ישתנה? נכון, הלאה. אומר.
אנחנו יכולים לעשות את אותו הדבר עם מספר שרירותי:
בואו נחזור על הכלל:
כל מספר בחזקת אפס שווה לאחד.
אבל יש חריגים לכללים רבים. והנה זה גם שם - זה מספר (כבסיס).
מצד אחד, זה חייב להיות שווה בכל מעלה - לא משנה כמה מכפילים אפס בעצמו, עדיין מקבלים אפס, זה ברור. אבל מצד שני, כמו כל מספר בדרגת אפס, הוא חייב להיות שווה. אז מה האמת של זה? מתמטיקאים החליטו לא להתערב וסירבו להעלות אפס לחזקת אפס. כלומר, כעת נוכל לא רק לחלק באפס, אלא גם להעלות אותו לחזקת אפס.
בוא נלך רחוק יותר. בנוסף למספרים ומספרים טבעיים, מספרים שלמים כוללים מספרים שליליים. כדי להבין מהי דרגה שלילית, בוא נעשה אותו דבר כמו בפעם הקודמת: נכפיל מספר נורמלי כלשהו באותה מידה שלילית:
מכאן כבר קל לבטא את הרצוי:
כעת אנו מרחיבים את הכלל המתקבל במידה שרירותית:
אז בואו ננסח את הכלל:
מספר בחזקת שלילי הוא היפוך של אותו מספר בחזקת חיובית. אבל באותו זמן הבסיס לא יכול להיות null:(כי אי אפשר לחלק).
בואו נסכם:
I. ביטוי אינו מוגדר במקרה. אם, אז.
II. כל מספר בחזקת אפס שווה לאחד: .
III. מספר שאינו שווה לאפס בחזקת שלילית הוא היפוך של אותו מספר בחזקת חיובית:.
משימות לפתרון עצמאי:
ובכן, כרגיל, דוגמאות לפתרון עצמאי:
ניתוח משימות לפתרון עצמאי:
אני יודע, אני יודע, המספרים מפחידים, אבל בבחינה אתה צריך להיות מוכן לכל דבר! פתרו את הדוגמאות הללו או נתחו את הפתרון שלהן אם לא הצלחתם לפתור אותה ותלמדו איך להתמודד איתן בקלות בבחינה!
בואו נמשיך להרחיב את טווח המספרים "המתאימים" כמעריך.
עכשיו תשקול מספר רציונלי.אילו מספרים נקראים רציונליים?
תשובה: כל מה שניתן לייצג כשבר, היכן והם מספרים שלמים, יתר על כן.
להבין מה זה "תואר חלקי"בואו ניקח בחשבון שבר:
בואו נעלה את שני הצדדים של המשוואה לחזקה:
עכשיו תזכרו את הכלל "תואר לתואר":
איזה מספר צריך להעלות לכוח כדי לקבל?
ניסוח זה הוא ההגדרה של שורש התואר.
תן לי להזכיר לך: שורש החזקה של מספר () הוא מספר שכאשר מועלה לחזקה, שווה.
כלומר, שורש התואר ה' הוא הפעולה ההפוכה של האקספונציה: .
מסתבר ש. ברור שזה מקרה מיוחדניתן להאריך: .
עכשיו הוסף את המונה: מה זה? קל לקבל את התשובה עם כלל כוח לכוח:
אבל האם הבסיס יכול להיות מספר כלשהו? אחרי הכל, לא ניתן לחלץ את השורש מכל המספרים.
אף אחד!
זכרו את הכלל: כל מספר שהועלה לחזקה זוגית הוא מספר חיובי. כלומר, אי אפשר לחלץ שורשים בדרגה זוגית ממספרים שליליים!
וזה אומר שאי אפשר להעלות מספרים כאלה לחזקה שברית עם מכנה זוגי, כלומר הביטוי לא הגיוני.
מה לגבי ביטוי?
אבל כאן נוצרת בעיה.
המספר יכול להיות מיוצג כשברים אחרים, מופחתים, למשל, או.
ומסתבר שזה קיים, אבל לא קיים, ואלה רק שני רשומות שונות מאותו מספר.
או דוגמה אחרת: פעם אחת, אז אתה יכול לרשום את זה. אבל ברגע שאנחנו כותבים את המחוון בצורה אחרת, אנחנו שוב נתקלים בצרות: (כלומר, קיבלנו תוצאה אחרת לגמרי!).
כדי להימנע מפרדוקסים כאלה, שקול רק מעריך בסיס חיובי עם מעריך שבר.
אז אם:
- - מספר טבעי;
- הוא מספר שלם;
דוגמאות:
עצמות עם מעריך רציונלי שימושיים מאוד להמרת ביטויים עם שורשים, למשל:
5 דוגמאות לתרגול
ניתוח 5 דוגמאות להדרכה
ובכן, עכשיו - הכי קשה. עכשיו ננתח תואר עם מעריך לא רציונלי.
כל הכללים והמאפיינים של תארים כאן זהים לחלוטין לאלו של תארים עם מעריך רציונלי, למעט
אכן, בהגדרה, מספרים אי-רציונליים הם מספרים שלא ניתן לייצג אותם כשבר, כאשר ו הם מספרים שלמים (כלומר, מספרים אי-רציונליים הם כולם מספרים ממשיים מלבד אלה רציונליים).
כשלומדים תארים עם אינדיקטור טבעי, שלם ורציונלי, בכל פעם המצאנו "תמונה", "אנלוגיה" מסוימת או תיאור במונחים מוכרים יותר.
לדוגמה, מעריך טבעי הוא מספר המוכפל בעצמו מספר פעמים;
...אפס כוח- זהו, כביכול, מספר שהוכפל בעצמו פעם אחת, כלומר, עדיין לא התחיל להכפיל אותו, מה שאומר שהמספר עצמו אפילו לא הופיע עדיין - לכן התוצאה היא רק "מספר ריק" מסוים , כלומר המספר;
...מעריך מספר שלם שלילי- זה כאילו התרחש "תהליך הפוך" מסוים, כלומר, המספר לא הוכפל בעצמו, אלא חולק.
אגב, המדע משתמש לעתים קרובות בתואר עם מעריך מורכב, כלומר, מעריך הוא אפילו לא מספר ממשי.
אבל בבית הספר, אנחנו לא חושבים על קשיים כאלה; תהיה לך הזדמנות להבין את המושגים החדשים האלה במכון.
לאן אנחנו בטוחים שתלך! (אם תלמד איך לפתור דוגמאות כאלה :))
לדוגמה:
תחליט בעצמך:
ניתוח פתרונות:
1. נתחיל עם הכלל הרגיל ממילא להעלאת תואר לדרגה:
עכשיו תסתכל על הציון. הוא מזכיר לך משהו? אנו זוכרים את הנוסחה לכפל מקוצר של הפרש הריבועים:
במקרה הזה,
מסתבר ש:
תשובה: .
2. אנו מביאים שברים במעריכים לאותה צורה: או שניהם עשרוניים או שניהם רגילים. אנחנו מקבלים, למשל:
תשובה: 16
3. שום דבר מיוחד, אנו מיישמים את המאפיינים הרגילים של מעלות:
שלב מתקדם
הגדרה של תואר
התואר הוא ביטוי של הצורה: , שבו:
- — בסיס התואר;
- - מעריך.
תואר עם מעריך טבעי (n = 1, 2, 3,...)
העלאת מספר בחזקת n הטבעית פירושה הכפלת המספר בעצמו פעמים:
הספק עם מעריך שלם (0, ±1, ±2,...)
אם המעריך הוא מספר שלם חיובימספר:
זִקפָּה לאפס כוח:
הביטוי הוא בלתי מוגדר, כי מצד אחד, בכל דרגה זה, ומצד שני, כל מספר במעלה ה' הוא זה.
אם המעריך הוא מספר שלם שלילימספר:
(כי אי אפשר לחלק).
עוד פעם אחת על nulls: הביטוי אינו מוגדר בתיק. אם, אז.
דוגמאות:
תואר עם מעריך רציונלי
- - מספר טבעי;
- הוא מספר שלם;
דוגמאות:
מאפייני תואר
כדי להקל על פתרון בעיות, בואו ננסה להבין: מהיכן הגיעו התכונות הללו? בואו נוכיח אותם.
בוא נראה: מה זה ו?
A-priory:
אז, בצד ימין של ביטוי זה, מתקבל המוצר הבא:
אבל בהגדרה, זהו חזקה של מספר עם מעריך, כלומר:
Q.E.D.
דוגמא : פשט את הביטוי.
פִּתָרוֹן : .
דוגמא : פשט את הביטוי.
פִּתָרוֹן : חשוב לציין שבכלל שלנו בהכרחחייב להיות על אותו בסיס. לכן, אנו משלבים את המעלות עם הבסיס, אך נשארים גורם נפרד:
הערה חשובה נוספת: כלל זה - רק עבור תוצרי סמכויות!
בשום פנים ואופן אסור לי לכתוב את זה.
בדיוק כמו במאפיין הקודם, נעבור להגדרת התואר:
בואו נסדר את זה מחדש כך:
מסתבר שהביטוי מוכפל בעצמו פעם אחת, כלומר, לפי ההגדרה, זהו החזקה של המספר:
למעשה, זה יכול להיקרא "התאמת המחוון". אבל אתה אף פעם לא יכול לעשות את זה בסך הכל:!
נזכיר את הנוסחאות לכפל מקוצר: כמה פעמים רצינו לכתוב? אבל זה לא נכון, באמת.
כוח עם בסיס שלילי.
עד לנקודה זו, דנו רק במה שצריך להיות אינדקסתוֹאַר. אבל מה צריך להיות הבסיס? במעלות מ טִבעִי אינדיקטור הבסיס עשוי להיות כל מספר .
אכן, אנו יכולים להכפיל כל מספר זה בזה, בין אם הם חיוביים, שליליים או זוגיים. בואו נחשוב לאילו סימנים (" או "") יהיו דרגות של מספרים חיוביים ושליליים?
לדוגמה, האם המספר יהיה חיובי או שלילי? א? ?
עם הראשון, הכל ברור: לא משנה כמה מספרים חיוביים נכפיל זה עם זה, התוצאה תהיה חיובית.
אבל השליליים קצת יותר מעניינים. אחרי הכל, אנו זוכרים כלל פשוט מכיתה ו': "מינוס כפול מינוס נותן פלוס". כלומר, או. אבל אם נכפיל ב-(), נקבל -.
וכך הלאה עד אינסוף: עם כל כפל עוקב, הסימן ישתנה. אפשר לנסח כזה כללים פשוטים:
- אֲפִילוּתואר, - מספר חִיוּבִי.
- מספר שלילי, הוקם ב מוזרתואר, - מספר שלילי.
- מספר חיובי בכל חזקה הוא מספר חיובי.
- אפס בכל חזקה שווה לאפס.
קבע בעצמך איזה סימן יהיו לביטויים הבאים:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
הסתדרת? הנה התשובות:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
בארבע הדוגמאות הראשונות, אני מקווה שהכל ברור? אנחנו פשוט מסתכלים על הבסיס והמעריך, ומיישמים את הכלל המתאים.
בדוגמה 5), הכל גם לא מפחיד כמו שזה נראה: זה לא משנה למה שווה הבסיס - המידה היא זוגית, מה שאומר שהתוצאה תמיד תהיה חיובית. ובכן, למעט כאשר הבסיס הוא אפס. הבסיס לא זהה, נכון? ברור שלא, שכן (כי).
דוגמה 6) כבר לא כל כך פשוטה. כאן אתה צריך לגלות מה פחות: או? אם נזכור את זה, יתברר כי, כלומר הבסיס פחות מאפס. כלומר, אנו מיישמים כלל 2: התוצאה תהיה שלילית.
ושוב אנו משתמשים בהגדרה של תואר:
הכל כרגיל - אנחנו רושמים את הגדרת התארים ומחלקים אותם זה לזה, מחלקים אותם לזוגות ומקבלים:
לפני שננתח את הכלל האחרון, בואו נפתור כמה דוגמאות.
חשב את ערכי הביטויים:
פתרונות :
אם לא נשים לב למדרגה השמינית, מה אנחנו רואים כאן? בואו נסתכל על תכנית כיתה ז'. אז זכור? זוהי נוסחת הכפל המקוצר, כלומר הפרש הריבועים!
אנחנו מקבלים:
אנו מסתכלים היטב על המכנה. זה נראה מאוד כמו אחד מגורמי המונה, אבל מה רע? סדר תנאים שגוי. אם הם היו הפוכים, ניתן היה ליישם כלל 3. אבל איך עושים זאת? מסתבר שזה מאוד קל: המדרגה הזוגית של המכנה עוזרת לנו כאן.
אם תכפיל את זה בשום דבר לא ישתנה, נכון? אבל עכשיו זה נראה ככה:
המונחים שינו מקומות בצורה קסומה. "תופעה" זו חלה על כל ביטוי במידה שווה: אנו יכולים לשנות באופן חופשי את הסימנים בסוגריים. אבל חשוב לזכור: כל הסימנים משתנים בו זמנית!לא ניתן להחליף אותו בשינוי רק מינוס אחד מעורר התנגדות עבורנו!
נחזור לדוגמא:
ושוב הנוסחה:
אז עכשיו הכלל האחרון:
איך אנחנו הולכים להוכיח את זה? כמובן, כרגיל: בואו נרחיב את מושג התואר ונפשט:
ובכן, עכשיו בואו נפתח את הסוגריים. כמה אותיות יהיו? פעמים לפי מכפילים - איך זה נראה? אין זו אלא הגדרה של מבצע כֶּפֶל: סך הכל התברר שיש מכפילים. כלומר, זה, בהגדרה, חזק של מספר עם מעריך:
דוגמא:
תואר עם מעריך לא רציונלי
בנוסף למידע על התארים לרמה הממוצעת, ננתח את התואר עם אינדיקטור לא רציונלי. כל הכללים והמאפיינים של מעלות כאן זהים לחלוטין לתואר עם מעריך רציונלי, למעט החריג - אחרי הכל, בהגדרה, מספרים אי-רציונליים הם מספרים שלא ניתן לייצג כשבר, כאשר והם מספרים שלמים (כלומר. , מספרים אי-רציונליים הם כולם מספרים ממשיים למעט רציונליים).
כשלומדים תארים עם אינדיקטור טבעי, שלם ורציונלי, בכל פעם המצאנו "תמונה", "אנלוגיה" מסוימת או תיאור במונחים מוכרים יותר. לדוגמה, מעריך טבעי הוא מספר המוכפל בעצמו מספר פעמים; מספר בדרגת אפס הוא, כביכול, מספר המוכפל בעצמו פעם אחת, כלומר, עדיין לא התחיל להכפיל אותו, מה שאומר שהמספר עצמו אפילו לא הופיע עדיין - לכן, התוצאה היא רק "הכנה של מספר" מסוימת, כלומר מספר; תואר עם אינדיקטור שלילי של מספר שלם - זה כאילו התרחש "תהליך הפוך" מסוים, כלומר, המספר לא הוכפל בעצמו, אלא חולק.
קשה מאוד לדמיין תואר עם מעריך לא רציונלי (כמו שקשה לדמיין מרחב 4 מימדי). במקום זאת, מדובר באובייקט מתמטי בלבד שמתמטיקאים יצרו כדי להרחיב את מושג התואר לכל מרחב המספרים.
אגב, המדע משתמש לעתים קרובות בתואר עם מעריך מורכב, כלומר, מעריך הוא אפילו לא מספר ממשי. אבל בבית הספר, אנחנו לא חושבים על קשיים כאלה; תהיה לך הזדמנות להבין את המושגים החדשים האלה במכון.
אז מה אנחנו עושים אם אנחנו רואים מעריך לא רציונלי? אנחנו מנסים כמיטב יכולתנו להיפטר מזה! :)
לדוגמה:
תחליט בעצמך:
| 1) | 2) | 3) |
תשובות:
- זכור את נוסחת ההבדל של הריבועים. תשובה: .
- אנו מביאים שברים לאותה צורה: או שני העשרונים, או שניהם רגילים. אנו מקבלים, למשל: .
- שום דבר מיוחד, אנו מיישמים את המאפיינים הרגילים של תארים:
תקציר הסעיף ונוסחה בסיסית
תוֹאַרנקרא ביטוי של הצורה: , כאשר:
תואר עם מעריך מספר שלם
תואר, שהמעריך שלו הוא מספר טבעי (כלומר מספר שלם וחיובי).
תואר עם מעריך רציונלי
תואר, שהאינדיקטור שלו הוא מספרים שליליים ושברים.
תואר עם מעריך לא רציונלי
מעריך שהמעריך שלו הוא שבר או שורש עשרוני אינסופי.
מאפייני תואר
תכונות של מעלות.
- מספר שלילי הועלה ל אֲפִילוּתואר, - מספר חִיוּבִי.
- מספר שלילי הועלה ל מוזרתואר, - מספר שלילי.
- מספר חיובי בכל חזקה הוא מספר חיובי.
- אפס שווה לכל כוח.
- כל מספר בחזקת אפס שווה.
עכשיו יש לך מילה...
איך אתה אוהב את המאמר? ספרו לי בתגובות למטה אם אהבתם או לא.
ספר לנו על הניסיון שלך עם מאפייני הכוח.
אולי יש לך שאלות. או הצעות.
כתבו בתגובות.
ובהצלחה במבחנים!
תואר עם מעריך שלילי. חלוקת סמכויות עם אותו בסיס. 4. צמצמו את המעריכים 2a4/5a3 ו-2/a4 והביאו אותם למכנה משותף. הבסיס והטיעון של הלוגריתם הראשון הם חזקות מדויקות. תכונה זו משתרעת על מידת המכפלה של שלושה גורמים או יותר. לכן, am−an>0 ו-am>an, שהיה צריך להוכיח. נותר להוכיח את אחרון המאפיינים המפורטים של כוחות עם אקספוננטים טבעיים.
שימו לב שגם מאפיין מס' 4, כמו מאפיינים אחרים של תארים, מיושם בסדר הפוך. כלומר, כדי להכפיל מעלות עם אותם מעריכים, ניתן להכפיל את הבסיסים, ולהשאיר את המעריך ללא שינוי. חישוב ערך ההספק נקרא פעולת האקספונציה. כלומר, כאשר מחשבים את הערך של ביטוי שאינו מכיל סוגריים, תחילה בצעו את הפעולה של השלב השלישי, לאחר מכן את השני (כפל וחילוק), ולבסוף את הראשון (חיבור וחיסור).
לאחר קביעת המדרגה של מספר, הגיוני לדבר על תכונות התואר. במאמר זה ניתן את המאפיינים הבסיסיים של המידה של מספר, תוך נגיעה בכל המעריכים האפשריים. כאן נביא הוכחות לכל תכונות התואר, וגם נראה כיצד מאפיינים אלו מיושמים בעת פתרון דוגמאות. אנו מציינים מיד כי כל השוויון הכתוב זהים בתנאים שצוינו, וניתן להחליף את החלק הימני והשמאלי שלהם.
הבה ניתן דוגמה המאששת את המאפיין העיקרי של התואר. לפני מתן הוכחה למאפיין זה, הבה נדון במשמעות התנאים הנוספים בניסוח. התנאי m>n מובא כדי שלא נצא מעבר למעריכים טבעיים. התכונה העיקרית של שבר מאפשרת לנו לכתוב את השוויון am−n·an=a(m−n)+n=am.
מעבר לקרן חדשה
כלומר, תכונת המדרגה הטבעית n של המכפלה של k גורמים נכתבת כ(a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. למען הבהירות, אנו מראים מאפיין זה עם דוגמה. ניתן לבצע את ההוכחה באמצעות המאפיין הקודם. לדוגמה, שוויון מתקיים עבור כל המספרים הטבעיים p, q, r ו-s. לבהירות רבה יותר, בואו ניתן דוגמה עם מספרים ספציפיים: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.
עובדה זו ותכונות הכפל מאפשרים לנו לקבוע שהתוצאה של הכפלת מספר כלשהו של מספרים חיוביים תהיה גם מספר חיובי. זה די ברור שלכל n טבעי עם a=0 המדרגה של an היא אפס. אכן, 0n=0·0·…·0=0. לדוגמה, 03=0 ו-0762=0. בואו נעבור לבסיסים שליליים. נתחיל במקרה שבו המעריך הוא מספר זוגי, נסמן אותו כ-2·m, כאשר m הוא מספר טבעי.
אנו פונים להוכחה של נכס זה. הבה נוכיח כי עבור m>n ו-0 על פי אותו עיקרון ניתן להוכיח את כל שאר המאפיינים של התואר עם מעריך שלם, הכתוב כשוויון. תנאים p 0 במקרה זה יהיו שוות ערך לתנאים m 0, בהתאמה. במקרה זה, התנאי p>q יתאים לתנאי m1>m2, הנובע מכלל ההשוואה שברים רגיליםעם אותם מכנים.
פעולות עם שורשים. הרחבת מושג התואר. עד כה, שקלנו מעריכים עם אקספוננטים טבעיים בלבד; אבל פעולות עם מעריכים ושורשים יכולים להוביל גם למעריכים שליליים, אפסים ושברים. כל המעריכים הללו דורשים הגדרה נוספת. אם נרצה שהנוסחה a m: a n=a m - n תהיה תקפה עבור m = n, עלינו להגדיר את דרגת האפס. לוגריתמים, כמו כל מספר, ניתן להוסיף, לגרוע ולהמיר בכל דרך אפשרית.
הסרת המעריך מהלוגריתם
אם הבסיסים שונים, הכללים האלה לא עובדים! כשדיברתי על הכללים לחיבור והפחתה של לוגריתמים, הדגשתי במיוחד שהם עובדים רק עם אותם בסיסים. מהנוסחה השנייה עולה שאפשר להחליף בין הבסיס לבין הטיעון של הלוגריתם, אבל במקרה זה הביטוי כולו "מתהפך", כלומר. הלוגריתם נמצא במכנה.
אפשר להעריך עד כמה הם נוחים רק כשמחליטים משוואות לוגריתמיותואי שוויון. מכיוון שהמכפלה לא משתנה מתמורה של גורמים, הכפלנו בשלווה ארבע ושתיים, ואז הבנו את הלוגריתמים. לעתים קרובות בתהליך הפתרון נדרש לייצג מספר כלוגריתם לבסיס נתון.
מאפיינים של תארים, ניסוחים, הוכחות, דוגמאות.
המספר n יכול להיות כל דבר, כי זה רק הערך של הלוגריתם. ככה זה נקרא: בסיסי זהות לוגריתמית. כמו נוסחאות המרת הבסיס החדשות, הזהות הלוגריתמית הבסיסית היא לפעמים הפתרון האפשרי היחיד. לסיכום, אתן שתי זהויות שקשה לקרוא להן מאפיינים – אלא אלו השלכות מהגדרת הלוגריתם.
דוגמאות לפתרון דוגמאות עם שברים המכילים מספרים בחזקות
זכור אחת ולתמיד: הלוגריתם לכל בסיס a מהבסיס הזה עצמו שווה לאחד. 1 = 0 הוא אפס לוגריתמי. הבסיס a יכול להיות כל דבר, אבל אם הארגומנט הוא אחד - הלוגריתם הוא אפס! כי a0 = 1 היא תוצאה ישירה של ההגדרה. זה כל הנכסים. הורידו את דף הצ'יט בתחילת השיעור, הדפיסו אותו - ופתרו את הבעיות.
יחידה לוגריתמית ואפס לוגריתמי
2.a-4 הוא a-2 המונה הראשון. במקרה זה, אנו ממליצים לך לבצע את הפעולות הבאות. זוהי הפעולה בשלב השלישי. לדוגמה, המאפיין העיקרי של השבר am·an=am+n, בעת פישוט ביטויים, משמש לעתים קרובות בצורה am+n=am·an. התנאי a≠0 נחוץ כדי להימנע מחילוק באפס, שכן 0n=0, וכשהכרנו לחלוקה הסכמנו שאי אפשר לחלק באפס. מהשוויון שנוצר am−n·an=am ומהקשר בין כפל וחילוק, נובע ש-am−n היא מנה של am ו-an. זה מוכיח את הרכוש של סמכויות חלקיות עם אותם נימוקים.
באופן דומה, אם q=0, אז (ap)0=1 ו-ap 0=a0=1, ומכאן (ap)0=ap 0. בעוד דוגמאות קשותייתכנו מקרים שבהם יש לבצע כפל וחילוק על פני חזקה עם נימוקים שוניםו אינדיקטורים שונים. אי שוויון אלו במאפייני השורשים ניתנים לכתיבה מחדש בהתאמה. וההגדרה של תואר עם מעריך רציונלי מאפשרת לנו לעבור לאי השוויון ובהתאמה.
אם אתה צריך להעלות מספר מסוים לחזקה, אתה יכול להשתמש . כעת נסתכל מקרוב על תכונות של מעלות.
מספרים אקספוננציאלייםפותחים אפשרויות גדולות, הם מאפשרים לנו להמיר כפל לחיבור, וחיבור הרבה יותר קל מכפל.
לדוגמה, עלינו להכפיל את 16 ב-64. המכפלה של הכפלת שני המספרים הללו היא 1024. אבל 16 הוא 4x4, ו-64 הוא 4x4x4. אז 16 כפול 64=4x4x4x4x4 שזה גם 1024.
המספר 16 יכול להיות מיוצג גם כ-2x2x2x2, ו-64 כ-2x2x2x2x2x2, ואם נכפיל, נקבל שוב 1024.
עכשיו בואו נשתמש בכלל. 16=4 2, או 2 4, 64=4 3, או 2 6, בעוד 1024=6 4 =4 5, או 2 10.
לכן, ניתן לכתוב את הבעיה שלנו בצורה אחרת: 4 2 x4 3 =4 5 או 2 4 x2 6 =2 10, ובכל פעם נקבל 1024.
נוכל לפתור מספר דוגמאות דומות ולראות שכפל מספרים בחזקות מצטמצם ל תוספת של אקספוננטים, או מעריך, כמובן, בתנאי שבסיסי הגורמים שווים.
לפיכך, אנו יכולים, מבלי להכפיל, לומר מיד כי 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
כלל זה נכון גם כאשר מחלקים מספרים בחזקות, אך במקרה זה, ה המעריך של המחלק מופחת מהמעריך של הדיבידנד. כך, 2 5:2 3 =2 2, שבמספרים רגילים שווה ל-32:8=4, כלומר 2 2. בואו נסכם:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, כאשר m ו-n הם מספרים שלמים.
במבט ראשון זה אולי נראה כך כפל וחילוק מספרים בחזקותלא מאוד נוח, כי קודם כל אתה צריך לייצג את המספר בצורה אקספוננציאלית. לא קשה לייצג את המספרים 8 ו-16 בצורה הזו, כלומר 2 3 ו-2 4, אבל איך עושים זאת עם המספרים 7 ו-17? או מה לעשות באותם מקרים שבהם ניתן לייצג את המספר בצורה אקספוננציאלית, אבל הבסיסים של ביטויים אקספוננציאליים של מספרים שונים מאוד. לדוגמה, 8×9 הוא 2 3 x 3 2, ובמקרה זה איננו יכולים לסכם את המעריכים. לא 2 5 ולא 3 5 היא התשובה, וגם לא התשובה בין השניים.
אז האם בכלל כדאי להתעסק בשיטה הזו? בהחלט שווה את זה. הוא מספק יתרונות עצומים, במיוחד לחישובים מורכבים וגוזלים זמן.
שלב ראשון
תואר ותכונותיו. מדריך מקיף (2019)
למה צריך תארים? איפה אתה צריך אותם? למה אתה צריך להשקיע זמן בלימוד אותם?
כדי ללמוד הכל על תארים, למה הם מיועדים, איך להשתמש בידע שלך בחיי היומיום, קרא את המאמר הזה.
וכמובן, ידיעת התארים תקרב אותך לעבור בהצלחה את ה-OGE או את בחינת המדינה המאוחדת ולהיכנס לאוניברסיטת חלומותיך.
בוא נלך בוא נלך!)
הערה חשובה! אם במקום נוסחאות אתה רואה ג'יבריש, נקה את המטמון שלך. כדי לעשות זאת, הקש CTRL+F5 (ב-Windows) או Cmd+R (ב-Mac).
שלב ראשון
אקספוננציה היא אותה פעולה מתמטית כמו חיבור, חיסור, כפל או חילוק.
כעת אסביר הכל בשפה אנושית באמצעות דוגמאות פשוטות מאוד. הזהר. דוגמאות הן אלמנטריות, אבל מסבירות דברים חשובים.
נתחיל בתוספת.
אין כאן מה להסביר. אתה כבר יודע הכל: אנחנו שמונה. לכל אחד יש שני בקבוקי קולה. כמה קולה? נכון - 16 בקבוקים.
עכשיו כפל.
את אותה דוגמה עם קולה אפשר לכתוב בצורה אחרת: . מתמטיקאים הם אנשים ערמומיים ועצלנים. תחילה הם מבחינים בכמה דפוסים, ואז מוצאים דרך "לספור" אותם מהר יותר. במקרה שלנו, הם שמו לב שלכל אחד משמונת האנשים יש את אותו מספר של בקבוקי קולה והגיעו עם טכניקה שנקראת כפל. מסכים, זה נחשב קל ומהיר יותר מאשר.
אז, כדי לספור מהר יותר, קל יותר וללא שגיאות, אתה רק צריך לזכור לוח הכפל. כמובן, אתה יכול לעשות הכל יותר לאט, קשה יותר ועם טעויות! אבל…
הנה לוח הכפל. חזור.
ועוד אחד, יותר יפה:
ואיזה עוד תחבולות ספירה מסובכות העלו מתמטיקאים עצלנים? ימין - העלאת מספר לחזקה.
העלאת מספר לעוצמה
אם אתה צריך להכפיל מספר בפני עצמו חמש פעמים, אז מתמטיקאים אומרים שאתה צריך להעלות את המספר הזה לחזקה חמישית. לדוגמה, . מתמטיקאים זוכרים שכוח שני עד חמישי הוא. ולפתור חידות כאלה בראש - מהר יותר, קל יותר וללא שגיאות.
כדי לעשות זאת, אתה רק צריך זכור מה מודגש בצבע בטבלת החזקות של מספרים. תאמין לי, זה יעשה לך את החיים הרבה יותר קלים.
אגב, למה נקראת התואר השני כיכרמספרים, והשלישי קוּבִּיָה? מה זה אומר? שאלה טובה מאוד. עכשיו יהיו לך גם ריבועים וגם קוביות.
דוגמה מס' 1 לחיים האמיתיים
נתחיל בריבוע או בחזקת שנייה של מספר.
דמיינו לעצמכם בריכה מרובעת בגודל מטר על מטר. הבריכה נמצאת בחצר האחורית שלך. חם ואני ממש רוצה לשחות. אבל ... בריכה ללא תחתית! יש צורך לכסות את קרקעית הבריכה באריחים. כמה אריחים אתה צריך? כדי לקבוע זאת, אתה צריך לדעת את השטח של קרקעית הבריכה.
אפשר פשוט לספור על ידי דחיפה באצבע שתחתית הבריכה מורכבת מקוביות מטר אחר מטר. אם האריחים שלך הם מטר על מטר, תצטרך חתיכות. זה קל... אבל איפה ראית אריח כזה? האריח יהיה דווקא ס"מ על ס"מ. ואז תתייסר ב"ספירה באצבע". אז צריך להכפיל. לכן, בצד אחד של קרקעית הבריכה נתאים אריחים (חתיכות) וגם בצד השני אריחים. מכפילים בפי, מקבלים אריחים ().
שמתם לב שהכפלנו את אותו מספר בעצמו כדי לקבוע את שטח קרקעית הבריכה? מה זה אומר? מכיוון שאותו מספר מוכפל, נוכל להשתמש בטכניקת האקספונציה. (כמובן, כשיש לך רק שני מספרים, אתה עדיין צריך להכפיל אותם או להעלות אותם לחזקה. אבל אם יש לך הרבה מהם, אז העלאה לחזקה היא הרבה יותר קלה ויש גם פחות שגיאות בחישובים לבחינה זה חשוב מאוד).
אז, שלושים לתואר השני יהיו (). או שאתה יכול לומר ששלושים בריבוע יהיו. במילים אחרות, החזקה השנייה של מספר תמיד יכולה להיות מיוצגת כריבוע. ולהיפך, אם אתה רואה ריבוע, זה תמיד החזקה השנייה של מספר כלשהו. ריבוע הוא תמונה בחזקת השנייה של מספר.
דוגמה מהחיים האמיתיים מס' 2
הנה משימה עבורכם, ספרו כמה משבצות יש על לוח השחמט באמצעות הריבוע של המספר... בצד אחד של התאים וגם בצד השני. כדי לספור את מספרם, אתה צריך להכפיל שמונה בשמונה, או ... אם אתה שם לב שלוח שחמט הוא ריבוע עם צד, אז אתה יכול בריבוע שמונה. קבל תאים. () כך?
דוגמה מס' 3 מהחיים האמיתיים
כעת הקובייה או החזקה השלישית של מספר. אותה בריכה. אבל עכשיו אתה צריך לגלות כמה מים יהיה צורך לשפוך לתוך הבריכה הזו. אתה צריך לחשב את הנפח. (נפחים ונוזלים, אגב, נמדדים במטר מעוקב. לא צפוי, נכון?) צייר בריכה: תחתית בגודל של מטר ועומק מטר ונסו לחשב כמה קוביות בגודל מטר על מטר ייכנסו אליכם. בריכה.
רק להצביע באצבע ולספור! אחת, שתיים, שלוש, ארבע... עשרים ושתיים, עשרים ושלושה... כמה זה יצא? לא הלכת לאיבוד? קשה לספור עם האצבע? אז זה! קח דוגמה ממתמטיקאים. הם עצלנים ולכן שמו לב שכדי לחשב את נפח הבריכה צריך להכפיל זה בזה את אורכה, רוחבה וגובהה. במקרה שלנו, נפח הבריכה יהיה שווה לקוביות... יותר קל, נכון?
עכשיו תארו לעצמכם כמה מתמטיקאים עצלנים וערמומיים הם אם הם עושים את זה קל מדי. צמצם הכל לפעולה אחת. הם שמו לב שהאורך, הרוחב והגובה שווים ושאותו מספר מוכפל בעצמו... ומה זה אומר? זה אומר שאתה יכול להשתמש בתואר. אז מה שפעם ספרתם באצבע, הם עושים בפעולה אחת: שלוש בקובייה זהות. זה כתוב כך:
נשאר רק לשנן את טבלת התארים. אלא אם כן, כמובן, אתה עצלן וערמומי כמו מתמטיקאים. אם אתה אוהב לעבוד קשה ולעשות טעויות, אתה יכול להמשיך לספור עם האצבע.
ובכן, על מנת לשכנע אותך סוף סוף שתארים הומצאו על ידי לופרים ואנשים ערמומיים כדי לפתור את בעיות החיים שלהם, ולא כדי ליצור עבורך בעיות, הנה עוד כמה דוגמאות מהחיים.
דוגמה בחיים האמיתיים מס' 4
יש לך מיליון רובל. בתחילת כל שנה אתה מרוויח עוד מיליון על כל מיליון. כלומר, כל אחד מהמיליון שלך בתחילת כל שנה מוכפל. כמה כסף יהיה לך בעוד שנים? אם אתה עכשיו יושב ו"סופר באצבע", אז אתה אדם מאוד חרוץ ו.. טיפש. אבל סביר להניח שתתן תשובה תוך כמה שניות, כי אתה חכם! אז, בשנה הראשונה - פעמיים פעמיים ... בשנה השנייה - מה קרה, בעוד שניים, בשנה השלישית ... תפסיק! שמתם לב שהמספר מוכפל בעצמו פעם אחת. אז שניים עד חמישית זה מיליון! עכשיו דמיינו שיש לכם תחרות ומי שיחשב יותר מהר יקבל את המיליונים האלה... האם כדאי לזכור את דרגות המספרים, מה דעתכם?
דוגמה מס' 5 מהחיים האמיתיים
יש לך מיליון. בתחילת כל שנה אתה מרוויח שניים נוספים על כל מיליון. זה מעולה נכון? כל מיליון גדל פי שלושה. כמה כסף יהיה לך בשנה? בוא נספור. בשנה הראשונה - תכפילו, ואז התוצאה בעוד... זה כבר משעמם, כי כבר הבנתם הכל: שלוש מוכפל בעצמו פעמים. אז החזקה הרביעית היא מיליון. אתה רק צריך לזכור ששלוש עד החזקה היא או.
עכשיו אתה יודע שעל ידי העלאת מספר לעוצמה, אתה תעשה את החיים שלך הרבה יותר קלים. בואו נסתכל עוד על מה אתה יכול לעשות עם תארים ומה אתה צריך לדעת עליהם.
מונחים ומושגים... כדי לא להתבלבל
אז, ראשית, בואו נגדיר את המושגים. מה אתה חושב, מה זה אקספוננט? זה מאוד פשוט – זה המספר שנמצא "בראש" בחזקת המספר. לא מדעי, אבל ברור וקל לזכור...
ובכן, במקביל, מה בסיס כזה של תואר? פשוט יותר הוא המספר שנמצא בתחתית, בבסיס.
הנה תמונה בשבילך כדי להיות בטוח.
ובכן, באופן כללי, כדי להכליל ולזכור טוב יותר... תואר עם בסיס "" ומחוון "" נקרא "בתואר" ונכתב כך:
כוח של מספר עם מעריך טבעי
בטח כבר ניחשתם: כי המעריך הוא מספר טבעי. כן, אבל מה כן מספר טבעי? יְסוֹדִי! מספרים טבעיים הם אלה המשמשים בספירה בעת רישום פריטים: אחד, שניים, שלושה ... כאשר אנו סופרים פריטים, אנו לא אומרים: "מינוס חמש", "מינוס שש", "מינוס שבע". אנחנו גם לא אומרים "שליש" או "אפס נקודה חמש עשיריות". אלו לא מספרים טבעיים. מה לדעתך המספרים האלה?
מספרים כמו "מינוס חמש", "מינוס שש", "מינוס שבע" מתייחסים מספרים שלמים.באופן כללי, מספרים שלמים כוללים את כל המספרים הטבעיים, מספרים הפוכים למספרים טבעיים (כלומר, נלקחים עם סימן מינוס), ומספר. קל להבין את אפס - זה כשאין כלום. ומה המשמעות של מספרים שליליים ("מינוס")? אבל הם הומצאו בעיקר כדי לציין חובות: אם יש לך יתרה בטלפון שלך ברובלים, זה אומר שאתה חייב רובל למפעיל.
כל השברים הם מספרים רציונליים. איך הם הגיעו, אתה חושב? פשוט מאוד. לפני כמה אלפי שנים גילו אבותינו שאין להם מספיק מספרים טבעיים למדידת אורך, משקל, שטח וכו'. והם הגיעו עם מספר רציונלי... מעניין, לא?
יש גם מספרים אי-רציונליים. מה זה המספרים האלה? בקיצור, שבר עשרוני אינסופי. לדוגמה, אם מחלקים את היקף המעגל בקוטר שלו, תקבל מספר אי-רציונלי.
סיכום:
נגדיר את מושג התואר, שהמעריך שלו הוא מספר טבעי (כלומר, מספר שלם וחיובי).
- כל מספר בחזקת ראשון שווה לעצמו:
- ריבוע של מספר זה להכפיל אותו בעצמו:
- להכפיל מספר בקובייה זה להכפיל אותו בעצמו שלוש פעמים:
הַגדָרָה.להעלות מספר לחזקה טבעית זה להכפיל את המספר בעצמו פעמים:
.
מאפייני תואר
מאיפה הגיעו הנכסים האלה? אני אראה לך עכשיו.
בוא נראה מה זה ו ?
A-priory:
כמה מכפילים יש בסך הכל?
זה מאוד פשוט: הוספנו גורמים לגורמים, והתוצאה היא גורמים.
אבל בהגדרה, זו המדרגה של מספר עם מעריך, כלומר: , שנדרשה להוכחה.
דוגמא: פשט את הביטוי.
פִּתָרוֹן:
דוגמא:פשט את הביטוי.
פִּתָרוֹן:חשוב לציין שבכלל שלנו בהכרחחייבת להיות אותה סיבה!
לכן, אנו משלבים את המעלות עם הבסיס, אך נשארים גורם נפרד:
רק עבור תוצרי כוחות!
בשום פנים ואופן אסור לכתוב את זה.
2. כלומר -חזק של מספר
בדיוק כמו במאפיין הקודם, נעבור להגדרת התואר:
מסתבר שהביטוי מוכפל בעצמו פעם אחת, כלומר לפי ההגדרה זהו החזקה של המספר:
למעשה, זה יכול להיקרא "התאמת המחוון". אבל אתה אף פעם לא יכול לעשות את זה בסך הכל:
נזכיר את הנוסחאות לכפל מקוצר: כמה פעמים רצינו לכתוב?
אבל זה לא נכון, באמת.
תואר עם בסיס שלילי
עד לנקודה זו, דנו רק במה צריך להיות המעריך.
אבל מה צריך להיות הבסיס?
במעלות מ אינדיקטור טבעיהבסיס עשוי להיות כל מספר. אכן, אנו יכולים להכפיל כל מספר זה בזה, בין אם הם חיוביים, שליליים או זוגיים.
בואו נחשוב לאילו סימנים (" או "") יהיו דרגות של מספרים חיוביים ושליליים?
לדוגמה, האם המספר יהיה חיובי או שלילי? א? ? עם הראשון, הכל ברור: לא משנה כמה מספרים חיוביים נכפיל זה עם זה, התוצאה תהיה חיובית.
אבל השליליים קצת יותר מעניינים. אחרי הכל, אנו זוכרים כלל פשוט מכיתה ו': "מינוס כפול מינוס נותן פלוס". כלומר, או. אבל אם נכפיל בפי, מסתבר.
קבע בעצמך איזה סימן יהיו לביטויים הבאים:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
הסתדרת?
הנה התשובות: בארבע הדוגמאות הראשונות, אני מקווה שהכל ברור? אנחנו פשוט מסתכלים על הבסיס והמעריך, ומיישמים את הכלל המתאים.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
בדוגמה 5), הכל גם לא מפחיד כמו שזה נראה: זה לא משנה למה שווה הבסיס - המידה היא זוגית, מה שאומר שהתוצאה תמיד תהיה חיובית.
ובכן, למעט כאשר הבסיס הוא אפס. הבסיס לא זהה, נכון? ברור שלא, שכן (כי).
דוגמה 6) כבר לא כל כך פשוטה!
6 דוגמאות לתרגול
ניתוח הפתרון 6 דוגמאות
אם לא נשים לב למדרגה השמינית, מה אנחנו רואים כאן? בואו נסתכל על תכנית כיתה ז'. אז זכור? זוהי נוסחת הכפל המקוצר, כלומר הפרש הריבועים! אנחנו מקבלים:
אנו מסתכלים היטב על המכנה. זה נראה מאוד כמו אחד מגורמי המונה, אבל מה רע? סדר תנאים שגוי. אם הם יוחלפו, הכלל יכול לחול.
אבל איך לעשות את זה? מסתבר שזה מאוד קל: המדרגה הזוגית של המכנה עוזרת לנו כאן.
המונחים שינו מקומות בצורה קסומה. "תופעה" זו חלה על כל ביטוי במידה שווה: אנו יכולים לשנות באופן חופשי את הסימנים בסוגריים.
אבל חשוב לזכור: כל הסימנים משתנים בו זמנית!
נחזור לדוגמא:
ושוב הנוסחה:
כֹּלאנו קוראים למספרים הטבעיים, את ההפכים שלהם (כלומר, בסימן "") ואת המספר.
מספר שלם חיובי, וזה לא שונה מטבעי, אז הכל נראה בדיוק כמו בסעיף הקודם.
עכשיו בואו נסתכל על מקרים חדשים. נתחיל עם מחוון השווה ל.
כל מספר בחזקת אפס שווה לאחד:
כמו תמיד, אנו שואלים את עצמנו: מדוע זה כך?
שקול קצת כוח עם בסיס. קח, למשל, והכפיל ב:
אז, הכפלנו את המספר ב-, וקיבלנו אותו הדבר שהיה -. באיזה מספר יש להכפיל כדי ששום דבר לא ישתנה? נכון, הלאה. אומר.
אנחנו יכולים לעשות את אותו הדבר עם מספר שרירותי:
בואו נחזור על הכלל:
כל מספר בחזקת אפס שווה לאחד.
אבל יש חריגים לכללים רבים. והנה זה גם שם - זה מספר (כבסיס).
מצד אחד, זה חייב להיות שווה בכל מעלה - לא משנה כמה מכפילים אפס בעצמו, עדיין מקבלים אפס, זה ברור. אבל מצד שני, כמו כל מספר בדרגת אפס, הוא חייב להיות שווה. אז מה האמת של זה? מתמטיקאים החליטו לא להתערב וסירבו להעלות אפס לחזקת אפס. כלומר, כעת נוכל לא רק לחלק באפס, אלא גם להעלות אותו לחזקת אפס.
בוא נלך רחוק יותר. בנוסף למספרים ומספרים טבעיים, מספרים שלמים כוללים מספרים שליליים. כדי להבין מהי דרגה שלילית, בוא נעשה אותו דבר כמו בפעם הקודמת: נכפיל מספר נורמלי כלשהו באותה מידה שלילית:
מכאן כבר קל לבטא את הרצוי:
כעת אנו מרחיבים את הכלל המתקבל במידה שרירותית:
אז בואו ננסח את הכלל:
מספר בחזקת שלילי הוא היפוך של אותו מספר בחזקת חיובית. אבל באותו זמן הבסיס לא יכול להיות null:(כי אי אפשר לחלק).
בואו נסכם:
I. ביטוי אינו מוגדר במקרה. אם, אז.
II. כל מספר בחזקת אפס שווה לאחד: .
III. מספר שאינו שווה לאפס בחזקת שלילית הוא היפוך של אותו מספר בחזקת חיובית:.
משימות לפתרון עצמאי:
ובכן, כרגיל, דוגמאות לפתרון עצמאי:
ניתוח משימות לפתרון עצמאי:
אני יודע, אני יודע, המספרים מפחידים, אבל בבחינה אתה צריך להיות מוכן לכל דבר! פתרו את הדוגמאות הללו או נתחו את הפתרון שלהן אם לא הצלחתם לפתור אותה ותלמדו איך להתמודד איתן בקלות בבחינה!
בואו נמשיך להרחיב את טווח המספרים "המתאימים" כמעריך.
עכשיו תשקול מספר רציונלי.אילו מספרים נקראים רציונליים?
תשובה: כל מה שניתן לייצג כשבר, היכן והם מספרים שלמים, יתר על כן.
להבין מה זה "תואר חלקי"בואו ניקח בחשבון שבר:
בואו נעלה את שני הצדדים של המשוואה לחזקה:
עכשיו תזכרו את הכלל "תואר לתואר":
איזה מספר צריך להעלות לכוח כדי לקבל?
ניסוח זה הוא ההגדרה של שורש התואר.
תן לי להזכיר לך: שורש החזקה של מספר () הוא מספר שכאשר מועלה לחזקה, שווה.
כלומר, שורש התואר ה' הוא הפעולה ההפוכה של האקספונציה: .
מסתבר ש. ברור, ניתן להרחיב את המקרה המיוחד הזה: .
עכשיו הוסף את המונה: מה זה? קל לקבל את התשובה עם כלל כוח לכוח:
אבל האם הבסיס יכול להיות מספר כלשהו? אחרי הכל, לא ניתן לחלץ את השורש מכל המספרים.
אף אחד!
זכרו את הכלל: כל מספר שהועלה לחזקה זוגית הוא מספר חיובי. כלומר, אי אפשר לחלץ שורשים בדרגה זוגית ממספרים שליליים!
וזה אומר שאי אפשר להעלות מספרים כאלה לחזקה שברית עם מכנה זוגי, כלומר הביטוי לא הגיוני.
מה לגבי ביטוי?
אבל כאן נוצרת בעיה.
המספר יכול להיות מיוצג כשברים אחרים, מופחתים, למשל, או.
ומסתבר שזה קיים, אבל לא קיים, ואלה רק שני רשומות שונות מאותו מספר.
או דוגמה אחרת: פעם אחת, אז אתה יכול לרשום את זה. אבל ברגע שאנחנו כותבים את המחוון בצורה אחרת, אנחנו שוב נתקלים בצרות: (כלומר, קיבלנו תוצאה אחרת לגמרי!).
כדי להימנע מפרדוקסים כאלה, שקול רק מעריך בסיס חיובי עם מעריך שבר.
אז אם:
- - מספר טבעי;
- הוא מספר שלם;
דוגמאות:
עצמות עם מעריך רציונלי שימושיים מאוד להמרת ביטויים עם שורשים, למשל:
5 דוגמאות לתרגול
ניתוח 5 דוגמאות להדרכה
ובכן, עכשיו - הכי קשה. עכשיו ננתח תואר עם מעריך לא רציונלי.
כל הכללים והמאפיינים של תארים כאן זהים לחלוטין לאלו של תארים עם מעריך רציונלי, למעט
אכן, בהגדרה, מספרים אי-רציונליים הם מספרים שלא ניתן לייצג אותם כשבר, כאשר ו הם מספרים שלמים (כלומר, מספרים אי-רציונליים הם כולם מספרים ממשיים מלבד אלה רציונליים).
כשלומדים תארים עם אינדיקטור טבעי, שלם ורציונלי, בכל פעם המצאנו "תמונה", "אנלוגיה" מסוימת או תיאור במונחים מוכרים יותר.
לדוגמה, מעריך טבעי הוא מספר המוכפל בעצמו מספר פעמים;
...אפס כוח- זהו, כביכול, מספר שהוכפל בעצמו פעם אחת, כלומר, עדיין לא התחיל להכפיל אותו, מה שאומר שהמספר עצמו אפילו לא הופיע עדיין - לכן התוצאה היא רק "מספר ריק" מסוים , כלומר המספר;
...מעריך מספר שלם שלילי- זה כאילו התרחש "תהליך הפוך" מסוים, כלומר, המספר לא הוכפל בעצמו, אלא חולק.
אגב, המדע משתמש לעתים קרובות בתואר עם מעריך מורכב, כלומר, מעריך הוא אפילו לא מספר ממשי.
אבל בבית הספר, אנחנו לא חושבים על קשיים כאלה; תהיה לך הזדמנות להבין את המושגים החדשים האלה במכון.
לאן אנחנו בטוחים שתלך! (אם תלמד איך לפתור דוגמאות כאלה :))
לדוגמה:
תחליט בעצמך:
ניתוח פתרונות:
1. נתחיל עם הכלל הרגיל ממילא להעלאת תואר לדרגה:
עכשיו תסתכל על הציון. הוא מזכיר לך משהו? אנו זוכרים את הנוסחה לכפל מקוצר של הפרש הריבועים:
במקרה הזה,
מסתבר ש:
תשובה: .
2. אנו מביאים שברים במעריכים לאותה צורה: או שניהם עשרוניים או שניהם רגילים. אנחנו מקבלים, למשל:
תשובה: 16
3. שום דבר מיוחד, אנו מיישמים את המאפיינים הרגילים של מעלות:
שלב מתקדם
הגדרה של תואר
התואר הוא ביטוי של הצורה: , שבו:
- — בסיס התואר;
- - מעריך.
תואר עם מעריך טבעי (n = 1, 2, 3,...)
העלאת מספר בחזקת n הטבעית פירושה הכפלת המספר בעצמו פעמים:
הספק עם מעריך שלם (0, ±1, ±2,...)
אם המעריך הוא מספר שלם חיובימספר:
זִקפָּה לאפס כוח:
הביטוי הוא בלתי מוגדר, כי מצד אחד, בכל דרגה זה, ומצד שני, כל מספר במעלה ה' הוא זה.
אם המעריך הוא מספר שלם שלילימספר:
(כי אי אפשר לחלק).
עוד פעם אחת על nulls: הביטוי אינו מוגדר בתיק. אם, אז.
דוגמאות:
תואר עם מעריך רציונלי
- - מספר טבעי;
- הוא מספר שלם;
דוגמאות:
מאפייני תואר
כדי להקל על פתרון בעיות, בואו ננסה להבין: מהיכן הגיעו התכונות הללו? בואו נוכיח אותם.
בוא נראה: מה זה ו?
A-priory:
אז, בצד ימין של ביטוי זה, מתקבל המוצר הבא:
אבל בהגדרה, זהו חזקה של מספר עם מעריך, כלומר:
Q.E.D.
דוגמא : פשט את הביטוי.
פִּתָרוֹן : .
דוגמא : פשט את הביטוי.
פִּתָרוֹן : חשוב לציין שבכלל שלנו בהכרחחייב להיות על אותו בסיס. לכן, אנו משלבים את המעלות עם הבסיס, אך נשארים גורם נפרד:
הערה חשובה נוספת: כלל זה - רק עבור תוצרי סמכויות!
בשום פנים ואופן אסור לי לכתוב את זה.
בדיוק כמו במאפיין הקודם, נעבור להגדרת התואר:
בואו נסדר את זה מחדש כך:
מסתבר שהביטוי מוכפל בעצמו פעם אחת, כלומר, לפי ההגדרה, זהו החזקה של המספר:
למעשה, זה יכול להיקרא "התאמת המחוון". אבל אתה אף פעם לא יכול לעשות את זה בסך הכל:!
נזכיר את הנוסחאות לכפל מקוצר: כמה פעמים רצינו לכתוב? אבל זה לא נכון, באמת.
כוח עם בסיס שלילי.
עד לנקודה זו, דנו רק במה שצריך להיות אינדקסתוֹאַר. אבל מה צריך להיות הבסיס? במעלות מ טִבעִי אינדיקטור הבסיס עשוי להיות כל מספר .
אכן, אנו יכולים להכפיל כל מספר זה בזה, בין אם הם חיוביים, שליליים או זוגיים. בואו נחשוב לאילו סימנים (" או "") יהיו דרגות של מספרים חיוביים ושליליים?
לדוגמה, האם המספר יהיה חיובי או שלילי? א? ?
עם הראשון, הכל ברור: לא משנה כמה מספרים חיוביים נכפיל זה עם זה, התוצאה תהיה חיובית.
אבל השליליים קצת יותר מעניינים. אחרי הכל, אנו זוכרים כלל פשוט מכיתה ו': "מינוס כפול מינוס נותן פלוס". כלומר, או. אבל אם נכפיל ב-(), נקבל -.
וכך הלאה עד אינסוף: עם כל כפל עוקב, הסימן ישתנה. אתה יכול לנסח את הכללים הפשוטים הבאים:
- אֲפִילוּתואר, - מספר חִיוּבִי.
- מספר שלילי הועלה ל מוזרתואר, - מספר שלילי.
- מספר חיובי בכל חזקה הוא מספר חיובי.
- אפס בכל חזקה שווה לאפס.
קבע בעצמך איזה סימן יהיו לביטויים הבאים:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
הסתדרת? הנה התשובות:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
בארבע הדוגמאות הראשונות, אני מקווה שהכל ברור? אנחנו פשוט מסתכלים על הבסיס והמעריך, ומיישמים את הכלל המתאים.
בדוגמה 5), הכל גם לא מפחיד כמו שזה נראה: זה לא משנה למה שווה הבסיס - המידה היא זוגית, מה שאומר שהתוצאה תמיד תהיה חיובית. ובכן, למעט כאשר הבסיס הוא אפס. הבסיס לא זהה, נכון? ברור שלא, שכן (כי).
דוגמה 6) כבר לא כל כך פשוטה. כאן אתה צריך לגלות מה פחות: או? אם אתה זוכר את זה, זה מתברר שזה, כלומר הבסיס הוא פחות מאפס. כלומר, אנו מיישמים כלל 2: התוצאה תהיה שלילית.
ושוב אנו משתמשים בהגדרה של תואר:
הכל כרגיל - אנחנו רושמים את הגדרת התארים ומחלקים אותם זה לזה, מחלקים אותם לזוגות ומקבלים:
לפני שננתח את הכלל האחרון, בואו נפתור כמה דוגמאות.
חשב את ערכי הביטויים:
פתרונות :
אם לא נשים לב למדרגה השמינית, מה אנחנו רואים כאן? בואו נסתכל על תכנית כיתה ז'. אז זכור? זוהי נוסחת הכפל המקוצר, כלומר הפרש הריבועים!
אנחנו מקבלים:
אנו מסתכלים היטב על המכנה. זה נראה מאוד כמו אחד מגורמי המונה, אבל מה רע? סדר תנאים שגוי. אם הם היו הפוכים, ניתן היה ליישם כלל 3. אבל איך עושים זאת? מסתבר שזה מאוד קל: המדרגה הזוגית של המכנה עוזרת לנו כאן.
אם תכפיל את זה בשום דבר לא ישתנה, נכון? אבל עכשיו זה נראה ככה:
המונחים שינו מקומות בצורה קסומה. "תופעה" זו חלה על כל ביטוי במידה שווה: אנו יכולים לשנות באופן חופשי את הסימנים בסוגריים. אבל חשוב לזכור: כל הסימנים משתנים בו זמנית!לא ניתן להחליף אותו בשינוי רק מינוס אחד מעורר התנגדות עבורנו!
נחזור לדוגמא:
ושוב הנוסחה:
אז עכשיו הכלל האחרון:
איך אנחנו הולכים להוכיח את זה? כמובן, כרגיל: בואו נרחיב את מושג התואר ונפשט:
ובכן, עכשיו בואו נפתח את הסוגריים. כמה אותיות יהיו? פעמים לפי מכפילים - איך זה נראה? אין זו אלא הגדרה של מבצע כֶּפֶל: סך הכל התברר שיש מכפילים. כלומר, זה, בהגדרה, חזק של מספר עם מעריך:
דוגמא:
תואר עם מעריך לא רציונלי
בנוסף למידע על התארים לרמה הממוצעת, ננתח את התואר עם אינדיקטור לא רציונלי. כל הכללים והמאפיינים של מעלות כאן זהים לחלוטין לתואר עם מעריך רציונלי, למעט החריג - אחרי הכל, בהגדרה, מספרים אי-רציונליים הם מספרים שלא ניתן לייצג כשבר, כאשר והם מספרים שלמים (כלומר. , מספרים אי-רציונליים הם כולם מספרים ממשיים למעט רציונליים).
כשלומדים תארים עם אינדיקטור טבעי, שלם ורציונלי, בכל פעם המצאנו "תמונה", "אנלוגיה" מסוימת או תיאור במונחים מוכרים יותר. לדוגמה, מעריך טבעי הוא מספר המוכפל בעצמו מספר פעמים; מספר בדרגת אפס הוא, כביכול, מספר המוכפל בעצמו פעם אחת, כלומר, עדיין לא התחיל להכפיל אותו, מה שאומר שהמספר עצמו אפילו לא הופיע עדיין - לכן, התוצאה היא רק "הכנה של מספר" מסוימת, כלומר מספר; תואר עם אינדיקטור שלילי של מספר שלם - זה כאילו התרחש "תהליך הפוך" מסוים, כלומר, המספר לא הוכפל בעצמו, אלא חולק.
קשה מאוד לדמיין תואר עם מעריך לא רציונלי (כמו שקשה לדמיין מרחב 4 מימדי). במקום זאת, מדובר באובייקט מתמטי בלבד שמתמטיקאים יצרו כדי להרחיב את מושג התואר לכל מרחב המספרים.
אגב, המדע משתמש לעתים קרובות בתואר עם מעריך מורכב, כלומר, מעריך הוא אפילו לא מספר ממשי. אבל בבית הספר, אנחנו לא חושבים על קשיים כאלה; תהיה לך הזדמנות להבין את המושגים החדשים האלה במכון.
אז מה אנחנו עושים אם אנחנו רואים מעריך לא רציונלי? אנחנו מנסים כמיטב יכולתנו להיפטר מזה! :)
לדוגמה:
תחליט בעצמך:
| 1) | 2) | 3) |
תשובות:
- זכור את נוסחת ההבדל של הריבועים. תשובה: .
- אנו מביאים שברים לאותה צורה: או שני העשרונים, או שניהם רגילים. אנו מקבלים, למשל: .
- שום דבר מיוחד, אנו מיישמים את המאפיינים הרגילים של תארים:
תקציר הסעיף ונוסחה בסיסית
תוֹאַרנקרא ביטוי של הצורה: , כאשר:
תואר עם מעריך מספר שלם
תואר, שהמעריך שלו הוא מספר טבעי (כלומר מספר שלם וחיובי).
תואר עם מעריך רציונלי
תואר, שהאינדיקטור שלו הוא מספרים שליליים ושברים.
תואר עם מעריך לא רציונלי
מעריך שהמעריך שלו הוא שבר או שורש עשרוני אינסופי.
מאפייני תואר
תכונות של מעלות.
- מספר שלילי הועלה ל אֲפִילוּתואר, - מספר חִיוּבִי.
- מספר שלילי הועלה ל מוזרתואר, - מספר שלילי.
- מספר חיובי בכל חזקה הוא מספר חיובי.
- אפס שווה לכל כוח.
- כל מספר בחזקת אפס שווה.
עכשיו יש לך מילה...
איך אתה אוהב את המאמר? ספרו לי בתגובות למטה אם אהבתם או לא.
ספר לנו על הניסיון שלך עם מאפייני הכוח.
אולי יש לך שאלות. או הצעות.
כתבו בתגובות.
ובהצלחה במבחנים!
המושג תואר במתמטיקה מובא כבר בכיתה ז' בשיעור אלגברה. ובעתיד, במהלך לימוד המתמטיקה, נעשה שימוש פעיל במושג זה בצורותיו השונות. תארים הם נושא קשה למדי, הדורש שינון ערכים ויכולת לספור נכון ומהיר. למהירות ו עבודה איכותיתעם תארים במתמטיקה הגיעו לתכונות של תואר. הם עוזרים לצמצם חישובים גדולים, להמיר דוגמה ענקית למספר בודד במידה מסוימת. אין כל כך הרבה מאפיינים, ואת כולם קל לזכור וליישם בפועל. לכן, המאמר דן במאפיינים העיקריים של התואר, כמו גם היכן הם מיושמים.
מאפייני תואר
נשקול 12 מאפיינים של תואר, כולל מאפיינים של חזקה עם אותו בסיס, וניתן דוגמה לכל מאפיין. כל אחד מהמאפיינים הללו יעזור לך לפתור בעיות עם תארים מהר יותר, כמו גם לחסוך ממך שגיאות חישוב רבות.
נכס ראשון.
אנשים רבים שוכחים לעתים קרובות מאוד מהנכס הזה, עושים טעויות, ומייצגים מספר בדרגה אפסית כאפס.
נכס שני.
נכס שלישי.
צריך לזכור שאפשר להשתמש בתכונה הזו רק כשמכפילים מספרים, זה לא עובד עם הסכום! ואסור לשכוח שמאפיינים זה והמאפיינים הבאים חלים רק על כוחות עם אותו בסיס.
נכס 4.
אם המספר במכנה מועלה ל כוח שלילי, אז בעת חיסור, דרגת המכנה נלקחת בסוגריים להחלפה נכונה של הסימן בחישובים נוספים.
המאפיין עובד רק בעת חלוקה, לא בעת חיסור!
נכס 5.
נכס 6.
ניתן להחיל גם על מאפיין זה צד הפוך. יחידה המחולקת במספר במידה מסוימת היא המספר הזה בחזקת שלילית.
נכס 7.
לא ניתן להחיל מאפיין זה על סכום והפרש! כאשר מעלים סכום או הפרש לחזקה, משתמשים בנוסחאות כפל מקוצר, לא במאפייני החזקה.
נכס 8.
נכס 9.
תכונה זו פועלת עבור כל מעלה שברית עם מונה השווה לאחד, הנוסחה תהיה זהה, רק מידת השורש תשתנה בהתאם למכנה של המעלה.
כמו כן, מאפיין זה משמש לעתים קרובות בסדר הפוך. ניתן לייצג את השורש של כל חזקה של מספר כמספר זה בחזקת אחד חלקי בחזקת השורש. מאפיין זה שימושי מאוד במקרים בהם שורש המספר אינו מופק.
נכס 10.
הנכס הזה עובד לא רק עם שורש ריבועיותואר שני. אם מידת השורש ומידת ההעלאה של השורש הזה זהים, אז התשובה תהיה ביטוי רדיקלי.
נכס 11.
אתה צריך להיות מסוגל לראות את הנכס הזה בזמן בעת פתרון זה כדי להציל את עצמך מחישובי ענק.
נכס 12.
כל אחד מהנכסים הללו יפגוש אותך יותר מפעם אחת במשימות, ניתן לתת אותו צורה טהורה, ועשויים לדרוש שינויים מסוימים ושימוש בנוסחאות אחרות. לכן, בשביל הפתרון הנכון, לא מספיק לדעת רק את המאפיינים, צריך לתרגל ולחבר את שאר הידע המתמטי.
יישום התארים ותכונותיהם
הם משמשים באופן פעיל באלגברה ובגיאומטריה. לתארים במתמטיקה יש נפרד, מקום חשוב. בעזרתם נפתרים משוואות ואי-שוויון מעריכי, כמו גם כוחות מסבכים לעתים קרובות משוואות ודוגמאות הקשורות לחלקים אחרים במתמטיקה. אקספוננטים עוזרים להימנע מחישובים גדולים וארוכים, קל יותר לצמצם ולחשב את המעריכים. אבל לעבוד עם תארים גדולים, או עם תארים מספרים גדולים, אתה צריך לדעת לא רק את המאפיינים של התואר, אלא גם לעבוד במיומנות עם הבסיסים, להיות מסוגל לפרק אותם כדי להקל על המשימה שלך. מטעמי נוחות, כדאי לדעת גם את המשמעות של מספרים המועלים לחזקה. זה יקצר את זמן הפתרון על ידי ביטול הצורך בחישובים ארוכים.
מושג התואר ממלא תפקיד מיוחד בלוגריתמים. מכיוון שהלוגריתם, במהותו, הוא כוחו של מספר.
נוסחאות כפל מקוצר הן דוגמה נוספת לשימוש בחזקות. הם לא יכולים להשתמש בתכונות של מעלות, הם מפורקים לפי כללים מיוחדים, אבל בכל נוסחת כפל מקוצרת יש תמיד מעלות.
תארים נמצאים בשימוש פעיל גם בפיזיקה ובמדעי המחשב. כל התרגומים למערכת SI נעשים באמצעות תארים, ובעתיד, בעת פתרון בעיות, מיושמות תכונות התואר. במדעי המחשב נעשה שימוש פעיל בחזקות של שניים, לנוחות הספירה ופישוט תפיסת המספרים. חישובים נוספים להמרות של יחידות מדידה או חישובים של בעיות, ממש כמו בפיזיקה, מתרחשים באמצעות תכונות התואר.
מעלות הן שימושיות מאוד גם באסטרונומיה, שבה אתה יכול למצוא רק לעתים רחוקות את השימוש במאפיינים של תואר, אבל התארים עצמם משמשים באופן פעיל כדי לקצר את ההקלטה של כמויות ומרחקים שונים.
מעלות משמשות גם בחיי היומיום, בעת חישוב שטחים, נפחים, מרחקים.
בעזרת תארים, ערכים גדולים מאוד וקטנים מאוד נכתבים בכל תחום מדעי.
משוואות אקספוננציאליות ואי-שוויון
נכסי תואר תופסים מקום מיוחד בדיוק ב משוואות אקספוננציאליותואי שוויון. משימות אלו נפוצות מאוד, הן בקורס בית הספר והן בבחינות. את כולם פותרים על ידי יישום תכונות התואר. הלא נודע נמצא תמיד בדרגה עצמה, לכן, בהכרת כל המאפיינים, לא יהיה קשה לפתור משוואה או אי שוויון כאלה.
