השורש הריבועי של מספר x הוא מספר a, שכאשר מוכפל בעצמו נותן את המספר x: a * a = a^2 = x, √x = a. כמו בכל מספר, אתה יכול לבצע את פעולות החשבון של חיבור וחיסור עם שורשים מרובעים.

הוראות

• ראשית, כאשר מוסיפים שורשים מרובעים, נסו לחלץ את השורשים הללו. זה יהיה אפשרי אם המספרים מתחת לסימן השורש הם ריבועים מושלמים. לדוגמה, תן את הביטוי √4 + √9. המספר הראשון 4 הוא הריבוע של המספר 2. המספר השני 9 הוא הריבוע של המספר 3. כך יוצא ש: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• אם אין ריבועים שלמים מתחת לסימן השורש, נסה להסיר את מכפיל המספר מתחת לסימן השורש. לדוגמה, תן את הביטוי √24 + √54. חשב את המספרים: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. למספר 24 יש פקטור 4, אותו ניתן להוציא מתחת לשלט שורש ריבועי. למספר 54 יש גורם 9. כך יוצא ש: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . בדוגמה זו, כתוצאה מהסרת המכפיל מתחת לסימן השורש, ניתן היה לפשט את הביטוי הנתון.
• תנו לסכום של שני שורשים ריבועיים להיות המכנה של שבר, למשל, A / (√a + √b). ותנו למשימה שלכם להיות "להיפטר מחוסר ההיגיון במכנה". לאחר מכן תוכל להשתמש בשיטה הבאה. הכפלו את המונה והמכנה של השבר בביטוי √a - √b. כך, במכנה נקבל את נוסחת הכפל המקוצר: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. באנלוגיה, אם המכנה מכיל את ההבדל בין השורשים: √a - √b, אזי יש להכפיל את המונה והמכנה של השבר בביטוי √a + √b. לדוגמה, תן לשבר 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• שקול יותר דוגמה מורכבתלהיפטר מחוסר ההיגיון במכנה. תן את השבר 12 / (√2 + √3 + √5). יש צורך להכפיל את המונה והמכנה של השבר בביטוי √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• לבסוף, אם אתה צריך רק ערך משוער, אתה יכול להשתמש במחשבון כדי לחשב את השורשים הריבועיים. חשב את הערכים בנפרד עבור כל מספר ורשום אותם לפי הדיוק הנדרש (לדוגמה, שני מקומות עשרוניים). ולאחר מכן בצע את פעולות החשבון הנדרשות, כמו עם מספרים רגילים. לדוגמה, נניח שאתה צריך לדעת את הערך המשוער של הביטוי √7 + √5 ≈ 2.65 + 2.24 = 4.89.

תשומת הלב!
ישנם נוספים
חומרים בסעיף מיוחד 555.
למי שהם מאוד "לא מאוד. »
ולמי ש"מאוד. ")

בשיעור הקודם הבנו מהו שורש ריבועי. הגיע הזמן להבין אילו קיימים נוסחאות לשורשיםמה הם תכונות של שורשים, ומה אפשר לעשות עם כל זה.

נוסחאות שורשים, תכונות שורשים וכללים לעבודה עם שורשים- זה בעצם אותו דבר. יש באופן מפתיע מעט נוסחאות לשורשים מרובעים. מה שבהחלט משמח אותי! ליתר דיוק, אפשר לכתוב הרבה נוסחאות שונות, אבל לעבודה מעשית ובטוחה עם שורשים מספיקות רק שלוש. כל השאר נובע מהשלושה האלה. למרות שאנשים רבים מתבלבלים בשלוש נוסחאות השורש, כן.

נתחיל עם הפשוטה ביותר. הנה היא:

הרשו לי להזכיר לכם (מהשיעור הקודם): a ו-b הם מספרים לא שליליים! אחרת הנוסחה לא הגיונית.

זֶה תכונה של שורשים , כפי שאתה יכול לראות, הוא פשוט, קצר ולא מזיק. אבל יש כל כך הרבה דברים נהדרים שאתה יכול לעשות עם נוסחת השורש הזו! בוא נסתכל על דוגמאותכל הדברים השימושיים האלה.

דבר שימושיראשון. הנוסחה הזו מאפשרת לנו להרבות שורשים.

איך להכפיל שורשים?

כן, מאוד פשוט. ישר לנוסחה. לדוגמה:

נראה שהם הכפילו את זה, אז מה? יש הרבה שמחה?! אני מסכים, קצת. איך אתה אוהב את זה דוגמא?

השורשים לא בדיוק מופקים מהגורמים. והתוצאה מעולה! זה יותר טוב, נכון? ליתר בטחון, הרשו לי לומר לכם שיכולים להיות מכפילים רבים ככל שתרצו. הנוסחה להכפלת שורשים עדיין עובדת. לדוגמה:

אז, עם הכפל הכל ברור, למה זה נחוץ? תכונה של שורשים- גם מובן.

הדבר השני השימושי. הזנת מספר מתחת לסימן השורש.

כיצד להזין מספר מתחת לשורש?

בוא נניח שיש לנו את הביטוי הזה:

האם אפשר להסתיר את הצמד בתוך השורש? בְּקַלוּת! אם תעשה שורש משניים, הנוסחה להכפלת שורשים תעבוד. איך אפשר לעשות שורש משניים? כן, גם אין שאלה! שניים זה שורש ריבועי של ארבע!

אגב, אפשר לעשות שורש מכל מספר לא שלילי! זה יהיה השורש הריבועי של הריבוע של מספר זה. 3 הוא השורש של 9. 8 הוא השורש של 64. 11 הוא השורש של 121. ובכן, וכן הלאה.

כמובן, אין צורך לתאר בפירוט כזה. ובכן, בתור התחלה. די להבין שניתן להוסיף כל מספר לא שלילי כפול בשורש מתחת לשורש. אבל - אל תשכח! - מתחת לשורש מספר זה יהפוך כיכרעַצמְךָ. פעולה זו - הזנת מספר מתחת לשורש - יכולה להיקרא גם הכפלת המספר בשורש. באופן כללי נוכל לכתוב:

ההליך פשוט, כפי שאתה יכול לראות. למה זה נחוץ?

כמו כל טרנספורמציה, הליך זה מרחיב את היכולות שלנו. הזדמנויות להפוך ביטוי אכזרי ולא נוח לביטוי רך ורך). הנה אחד פשוט בשבילך דוגמא:

כמו שאתה רואה, תכונת השורשים,המאפשר לך להזין מכפיל תחת סימן השורש, מתאים למדי לפישוט.

בנוסף, הוספת פקטור לשורש מקלה על השוואה בין הערכים של שורשים שונים. בלי שום חישובים או מחשבון! הדבר השימושי השלישי.

איך להשוות שורשים?

מיומנות זו חשובה מאוד במשימות רציניות, כאשר חושפים מודולים ודברים מגניבים אחרים.

השוו בין הביטויים הללו. מי מהם גדול יותר? בלי מחשבון! כל אחד עם מחשבון. אה-אה. בקיצור, כולם יכולים לעשות את זה!)

אתה לא יכול להגיד את זה מיד. מה אם תזין מספרים מתחת לסימן השורש?

בואו נזכור (מה אם לא ידעתם?): אם המספר מתחת לסימן השורש גדול יותר, אז השורש עצמו גדול יותר! מכאן התשובה הנכונה מיד, ללא כל חישובים מורכביםוחישובים:

נהדר, נכון? אבל זה לא הכל! זכור שכל הנוסחאות פועלות גם משמאל לימין וגם מימין לשמאל. עד כה השתמשנו בנוסחה להכפלת שורשים משמאל לימין. בואו נפעיל את המאפיין הזה של שורשים הפוך, מימין לשמאל. ככה:

ומה ההבדל? זה נותן משהו? בְּהֶחלֵט! עכשיו תראה בעצמך.

נניח שעלינו לחלץ (ללא מחשבון!) את השורש הריבועי של המספר 6561. חלק מהאנשים בשלב זה ייקלעו למאבק לא שוויוני במשימה. אבל אנחנו מתמידים, אנחנו לא מוותרים! הדבר השימושי הרביעי.

איך לחלץ שורשים ממספרים גדולים?

הבה ניזכר בנוסחה להפקת שורשים ממוצר. זה שכתבתי למעלה. אבל איפה העבודה שלנו!? יש לנו מספר עצום 6561 וזהו. כן, העבודה לא כאן. אבל אם נצטרך את זה, נצטרך בוא נעשה את זה! בואו נחשוב על המספר הזה. יש לנו את הזכות.

ראשית, בואו נבין במה בדיוק מתחלק המספר הזה? מה, אתה לא יודע!? שכחת את סימני ההתחלקות!? לשווא. עבור לסעיף מיוחד 555, נושא "שברים", הם שם. מספר זה מתחלק ב-3 וב-9. כי סכום המספרים (6+5+6+1=18) מחולק במספרים אלו. זהו אחד מסימני ההתחלקות. אנחנו לא צריכים לחלק בשלוש (עכשיו תבינו למה), אבל נחלק ב-9. לפחות בפינה. אנחנו מקבלים 729. אז מצאנו שני גורמים! הראשון הוא תשע (בחרנו אותו בעצמנו), והשני הוא 729 (ככה זה יצא). אתה כבר יכול לכתוב:

אתה מבין את הרעיון? נעשה את אותו הדבר עם המספר 729. זה גם מתחלק ב-3 ו-9. אנחנו לא מחלקים שוב ב-3, אנחנו מחלקים ב-9. אנחנו מקבלים 81. ואנחנו יודעים את המספר הזה! אנחנו רושמים:

הכל יצא קל ואלגנטי! היה צריך לחלץ את השורש חתיכה אחר חתיכה, אבל נו טוב. אתה יכול לעשות את זה עם כל אחד מספרים גדולים. תכפיל אותם ותמשיך!

אגב, למה לא היית צריך לחלק ב-3? ניחשתם? כן, כי לא ניתן לחלץ את השורש של שלוש בדיוק! הגיוני לחלק אותו לגורמים כאלה שניתן לחלץ היטב את השורש מאחד לפחות. אלה הם 4, 9, 16 ובכן, וכן הלאה. חלקו את המספר העצום שלכם במספרים אלה אחד אחד, ויהיה לכם מזל!

אבל לא בהכרח. אולי אין לך מזל. נניח שהמספר 432, כאשר נלקח בחשבון ושימוש בנוסחת השורש של המוצר, ייתן את התוצאה הבאה:

טוב בסדר. בכל מקרה, פישטנו את הביטוי. במתמטיקה נהוג לעזוב הכי הרבה מספר קטןשל האפשרי. בתהליך הפתרון הכל תלוי בדוגמה (אולי אפשר לקצר הכל בלי פישוט), אבל בתשובה צריך לתת תוצאה שאי אפשר לפשט עוד יותר.

אגב, אתה יודע מה עשינו עם השורש של 432?

אָנוּ הוציא את הגורמים מתחת לסימן השורש ! כך קוראים למבצע הזה. אחרת תקבל משימה - " הסר את הגורם מתחת לסימן השורש"אבל גברים אפילו לא יודעים.) הנה עוד אפליקציה בשבילך תכונות של שורשים.דבר שימושי חמישי.

כיצד להסיר את המכפיל מתחת לשורש?

בְּקַלוּת. גורם לביטוי הרדיקלי ולחלץ את השורשים שנשלפים. בואו נראה:

שום דבר על טבעי. חשוב לבחור את המכפילים הנכונים. כאן הרחבנו את 72 כ-36·2. והכל יצא טוב. או שהם היו יכולים להרחיב את זה אחרת: 72 = 6·12. ומה!? לא ניתן לחלץ את השורש מ-6 או 12. מה לעשות?!

זה בסדר. או לחפש אפשרויות פירוק אחרות, או להמשיך לפרק הכל עד שזה ייפסק! ככה:

כפי שאתה יכול לראות, הכל הסתדר. זה, אגב, לא המהיר ביותר, אלא המהיר ביותר דרך אמינה. חלקו את המספר לגורמים הקטנים ביותר, ואז אספו את אותם לערימות. השיטה משמשת בהצלחה גם כאשר מכפילים שורשים לא נוחים. לדוגמה, אתה צריך לחשב:

תכפילו הכל - תקבלו מספר מטורף! ואז איך לחלץ ממנו את השורש?! שוב פקטורינג? לא, אנחנו לא צריכים עבודה נוספת. אנו גורמים את זה מיד לגורמים ואוספים אותם בקבוצות:

זה הכל. כמובן, אין צורך להרחיב אותו עד הסוף. הכל נקבע על פי היכולות האישיות שלך. הבאנו את הדוגמה לנקודה שבה הכל ברור לךזה אומר שאנחנו כבר יכולים לספור. העיקר לא לעשות טעויות. לא האדם בשביל מתמטיקה, אלא מתמטיקה בשביל האדם!)

בואו ליישם ידע לתרגול? נתחיל במשהו פשוט:

כלל להוספת שורשים מרובעים

מאפיינים של שורשים ריבועיים

עד כה ביצענו חמש פעולות אריתמטיות במספרים: חיבור, חיסור, כֶּפֶל, חלוקה ואקספונציה, ובחישובים נעשה שימוש פעיל במאפיינים שונים של פעולות אלו, למשל a + b = b + a, a n -b n = (ab) n וכו'.

פרק זה מציג פעולה חדשה - לקיחת שורש ריבועי של מספר לא שלילי. כדי להשתמש בו בהצלחה, עליך להכיר את המאפיינים של פעולה זו, מה שנעשה בסעיף זה.

הוכחה. הבה נציג את הסימון הבא:
אנחנו צריכים להוכיח שזה לא מספרים שליליים x, y, z השוויון x = yz מתקיים.

אז, x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. ואז x 2 = y 2 z 2, כלומר x 2 = (yz) 2.

אם ריבועיםשני מספרים לא שליליים שווים, ואז המספרים עצמם שווים, כלומר מהשוויון x 2 = (yz) 2 יוצא ש-x = yz, וזה מה שהיה צריך להוכיח.

להלן סיכום קצר של הוכחת המשפט:

הערה 1. המשפט נשאר תקף למקרה שבו הביטוי הרדיקלי הוא מכפלה של יותר משני גורמים לא שליליים.

פתק 2. מִשׁפָּטניתן לכתוב את 1 באמצעות המבנה "אם". , אז" (כמקובל למשפטים במתמטיקה). בוא ניתן את הניסוח המתאים: אם a ו-b הם מספרים לא שליליים, אז השוויון נכון .

כך בדיוק ננסח את המשפט הבא.

(ניסוח קצר שיותר נוח לשימוש בפועל: שורש שבר שווה לשבר של השורשים, או שורש המנה שווה למנה השורשים).

הפעם נביא רק סיכום קצר של ההוכחה, ואתה מנסה להעיר הערות מתאימות בדומה לאלו שהיוו את מהות ההוכחה של משפט 1.

דוגמה 1. חשב .
פִּתָרוֹן. שימוש בנכס הראשון שורשים ריבועיים(משפט 1), אנו מקבלים

פתק 3. כמובן שניתן לפתור את הדוגמה הזו אחרת, במיוחד אם יש לך מחשבון מיקרו בהישג יד: הכפל את המספרים 36, 64, 9, ולאחר מכן קח את השורש הריבועי של המכפלה המתקבלת. עם זאת, תסכים שהפתרון המוצע לעיל נראה תרבותי יותר.

הערה 4. בשיטה הראשונה ביצענו חישובים "חזיתית". הדרך השנייה אלגנטית יותר:
הגשנו בקשה נוּסחָה a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) והשתמשו בתכונה של שורשים ריבועיים.

הערה 5. כמה "ראשים לוהטים" מציעים לפעמים את ה"פתרון" הזה לדוגמא 3:

זה כמובן לא נכון: אתה מבין - התוצאה לא זהה לדוגמא 3. העובדה היא שאין קניין , מכיוון שאין נכסים יש רק תכונות הקשורות לכפל ולחילוק של שורשים ריבועיים. היזהר וזהיר, אל תיקח משאלת לב.

דוגמה 4. חשב: א)
פִּתָרוֹן. כל נוסחה באלגברה משמשת לא רק "מימין לשמאל", אלא גם "משמאל לימין". לפיכך, התכונה הראשונה של שורשים ריבועיים פירושה שבמידת הצורך ניתן לייצג בצורה , ולהיפך, אותה ניתן להחליף בביטוי. כך גם לגבי התכונה השנייה של שורשים ריבועיים. בהתחשב בכך, בואו נפתור את הדוגמה המוצעת.

לסיום פסקה זו, הבה נציין עוד דבר אחד שהוא די פשוט ובו בזמן רכוש חשוב:
אם a > 0 ו-n - מספר טבעי , זה

דוגמה 5.לחשב מבלי להשתמש בטבלת ריבועי מספרים ובמיקרו מחשבון.

פִּתָרוֹן. בואו נמנה את המספר הרדיקלי לגורמים ראשוניים:

הערה 6. ניתן לפתור דוגמה זו באותו אופן כמו הדוגמה הדומה בסעיף 15. קל לנחש שהתשובה תהיה "80 עם זנב", שכן 80 2 2 . בואו נמצא את ה"זנב", כלומר את הספרה האחרונה של המספר הרצוי. עד כה אנחנו יודעים שאם השורש נלקח, אז התשובה יכולה להיות 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 או 89. אנחנו צריכים רק לבדוק שני מספרים: 84 ו-86, שכן רק הם, כאשר בריבוע, ייתן כתוצאה מכך ארבע ספרותמספר המסתיים ב-6, כלומר. אותו מספר שמסיים את המספר 7056. יש לנו 84 2 = 7056 - זה מה שאנחנו צריכים. אומר,

מורדקוביץ' א.ג., אַלגֶבּרָה. כיתה ח': ספר לימוד. לחינוך כללי מוסדות - מהדורה שלישית, מתוקנת. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: ill.

ספרים, הורדת ספרי לימוד במתמטיקה, הערות לעזרה למורה ולתלמידים, ללמוד באינטרנט

אם יש לך תיקונים או הצעות לשיעור זה, אנא כתוב לנו.

אם תרצו לראות התאמות והצעות נוספות לשיעורים, חפשו כאן - פורום חינוכי.

כיצד להוסיף שורשים מרובעים

שורש ריבועי של מספר איקסמספר שנקרא א, אשר בתהליך של הכפלה מעצמה ( א*א) יכול לתת מספר איקס.
הָהֵן. A * A = A 2 = X, ו √X = A.

מעל שורשים ריבועיים ( √x), כמו מספרים אחרים, ניתן לבצע פעולות אריתמטיות כגון חיסור וחיבור. כדי לגרוע ולהוסיף שורשים, הם צריכים להיות מחוברים באמצעות סימנים התואמים לפעולות אלו (לדוגמה √x — √y ).
ואז להביא את השורשים אליהם הצורה הפשוטה ביותר- אם יש ביניהם דומים, יש צורך לעשות הפחתה. זה מורכב מלקיחת המקדמים של איברים דומים עם הסימנים של האיברים התואמים, ואז לשים אותם בסוגריים ולהסיק את השורש המשותף מחוץ לסוגריים של הגורם. המקדם שהשגנו מפושט לפי הכללים הרגילים.

שלב 1: חילוץ שורשים מרובעים

ראשית, כדי להוסיף שורשים מרובעים, תחילה עליך לחלץ את השורשים הללו. ניתן לעשות זאת אם המספרים מתחת לסימן השורש הם ריבועים מושלמים. לדוגמה, קח את הביטוי הנתון √4 + √9 . מספר ראשון 4 הוא הריבוע של המספר 2 . מספר שני 9 הוא הריבוע של המספר 3 . לפיכך, נוכל להשיג את השוויון הבא: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
זהו, הדוגמה נפתרה. אבל זה לא תמיד קורה כל כך בקלות.

שלב 2. הוצאת מכפיל המספר מתחת לשורש

אם אין ריבועים מושלמים מתחת לסימן השורש, אפשר לנסות להסיר את מכפיל המספר מתחת לסימן השורש. לדוגמה, ניקח את הביטוי √24 + √54 .

קחו בחשבון את המספרים:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

בין 24 יש לנו מכפיל 4 , ניתן להוציא אותו מתחת לשלט השורש הריבועי. בין 54 יש לנו מכפיל 9 .

אנחנו מקבלים שוויון:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

בהתחשב בדוגמה זו, אנו משיגים את הסרת המכפיל מתחת לסימן השורש, ובכך מפשטים את הביטוי הנתון.

שלב 3: הקטנת המכנה

שקול את המצב הבא: סכום שני שורשים ריבועיים הוא המכנה של השבר, למשל, A/(√a + √b).
כעת אנו עומדים בפני המשימה "להיפטר מחוסר ההיגיון במכנה".
נשתמש בשיטה הבאה: נכפיל את המונה והמכנה של השבר בביטוי √a - √ב.

כעת נקבל את נוסחת הכפל המקוצר במכנה:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

באופן דומה, אם למכנה יש הפרש שורש: √a - √ב, המונה והמכנה של השבר מוכפלים בביטוי √a + √b.

ניקח את השבר כדוגמה:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

דוגמה להפחתת מכנה מורכב

כעת נשקול דוגמה מורכבת למדי להיפטרות מחוסר היגיון במכנה.

לדוגמה, ניקח שבר: 12 / (√2 + √3 + √5) .
אתה צריך לקחת את המונה והמכנה שלו ולהכפיל בביטוי √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

שלב 4. חשב את הערך המשוער במחשבון

אם אתה צריך רק ערך משוער, ניתן לעשות זאת במחשבון על ידי חישוב ערך השורשים הריבועיים. הערך מחושב בנפרד עבור כל מספר ונרשם בדיוק הנדרש, הנקבע לפי מספר המקומות העשרוניים. לאחר מכן, כל הפעולות הנדרשות מבוצעות, כמו עם מספרים רגילים.

דוגמה לחישוב ערך משוער

יש צורך לחשב את הערך המשוער של ביטוי זה √7 + √5 .

כתוצאה מכך אנו מקבלים:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

שימו לב: בשום פנים ואופן אין להוסיף שורשים מרובעים כמו מספרים ראשוניים, זה לגמרי לא מקובל. כלומר, אם נוסיף את השורש הריבועי של חמש ואת השורש של שלוש, לא נוכל לקבל את השורש של שמונה.

עצה מועילה: אם החלטתם לחלק מספר, כדי לגזור את הריבוע מתחת לסימן השורש, עליכם לבצע בדיקה הפוכה, כלומר להכפיל את כל הגורמים שנבעו מהחישובים, ואת התוצאה הסופית של זה. חישוב מתמטי צריך להיות המספר שניתן לנו במקור.

פעולה עם שורשים: חיבור וחיסור

חילוץ שורש הריבוע של מספר אינו הפעולה היחידה שניתן לבצע עם תופעה מתמטית זו. בדיוק כמו מספרים רגילים, שורשים מרובעים מוסיפים ומחסירים.

כללים לחיבור והפחתה של שורשים מרובעים

פעולות כמו חיבור וחיסור של שורשים ריבועיים אפשריות רק אם הביטוי הרדיקלי זהה.

אתה יכול להוסיף או לגרוע ביטויים 2 3 ו-6 3, אבל לא 5 6 ו 9 4. אם אפשר לפשט את הביטוי ולצמצם אותו לשורשים עם אותו רדיקל, אז לפשט ואז להוסיף או להחסיר.

פעולות עם שורשים: יסודות

6 50 — 2 8 + 5 12

1. פשט את הביטוי הרדיקלי. לשם כך, יש צורך לפרק את הביטוי הרדיקלי ל-2 גורמים, שאחד מהם הוא מספר ריבועי (המספר שממנו מופק כל השורש הריבועי, למשל, 25 או 9).
2. אז אתה צריך לקחת את השורש של המספר הריבועיוכתוב את הערך המתקבל לפני סימן השורש. שימו לב שהגורם השני מוזן תחת סימן השורש.
3. לאחר תהליך הפשט, יש צורך להדגיש את השורשים באותם ביטויים רדיקליים - רק אותם ניתן להוסיף ולגרוע.
4. עבור שורשים עם אותם ביטויים רדיקליים, יש צורך להוסיף או להחסיר את הגורמים המופיעים לפני סימן השורש. הביטוי הרדיקלי נותר ללא שינוי. אתה לא יכול להוסיף או להחסיר מספרים רדיקליים!

אם יש לך דוגמה עם מספר רב של ביטויים רדיקליים זהים, סמן ביטויים כאלה עם קווים בודדים, כפולים ומשולשים כדי להקל על תהליך החישוב.

בואו ננסה לפתור את הדוגמה הזו:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. ראשית אתה צריך לפרק את 50 ל-2 גורמים 25 ו-2, ואז לקחת את השורש של 25, ששווה ל-5, ולהוציא 5 מתחת לשורש. לאחר מכן, עליך להכפיל 5 ב-6 (הגורם בשורש) ולקבל 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. ראשית, אתה צריך לפרק 8 ל-2 גורמים: 4 ו-2. לאחר מכן, מ-4, לחלץ את השורש, ששווה ל-2, ולהסיר 2 מתחת לשורש. לאחר מכן, עליך להכפיל 2 ב-2 (המכפיל בשורש) ולקבל 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. ראשית עליך לפרק 12 ל-2 גורמים: 4 ו-3. לאחר מכן לחלץ את השורש של 4, ששווה ל-2, ולהסיר אותו מתחת לשורש. לאחר מכן, עליך להכפיל 2 ב-5 (הגורם בשורש) ולקבל 10 3.

תוצאת פישוט: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

כתוצאה מכך, ראינו כמה ביטויים רדיקליים זהים מכילים בדוגמה זו. עכשיו בואו נתאמן עם דוגמאות אחרות.

• בואו נפשט (45). פקטור 45: (45) = (9 × 5);
• אנו מוציאים 3 מתחת לשורש (9 = 3): 45 = 3 5 ;
• הוסף את הגורמים בשורשים: 3 5 + 4 5 = 7 5.
• בואו נפשט את 6 40. אנו גורמים ל-40: 6 40 = 6 (4 × 10);
• אנו מוציאים 2 מתחת לשורש (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• נכפיל את הגורמים המופיעים מול השורש: 12 10 ;
• אנו כותבים את הביטוי בצורה פשוטה: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• מכיוון שלשני האיברים הראשונים יש אותם מספרים רדיקליים, נוכל להחסיר אותם: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

כפי שאנו רואים, לא ניתן לפשט את המספרים הרדיקליים, ולכן אנו מחפשים מונחים עם אותם מספרים רדיקליים בדוגמה, לבצע פעולות מתמטיות(חיבור, חיסור וכו') ורשום את התוצאה:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

עצה:

• לפני חיבור או חיסור, יש צורך לפשט (אם אפשר) את הביטויים הרדיקליים.
• הוספה והפחתה של שורשים עם ביטויים רדיקליים שונים אסורה בהחלט.
• אין להוסיף או לגרוע מספר שלם או שורש: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• כשמבצעים פעולות עם שברים, צריך למצוא מספר שמתחלק בכל מכנה, לאחר מכן להביא את השברים למכנה משותף, לאחר מכן להוסיף את המונים ולהשאיר את המכנים ללא שינוי.

תכונות השורש הריבועי החשבוני. כוחו של השורש הריבועי האריתמטי

המרת שורשים ריבועיים אריתמטיים. היפוך של שורשים ריבועיים אריתמטיים

לחלץ שורש ריבועי של פולינום, עליך לחשב את הפולינום ולחלץ את השורש מהמספר המתקבל.

תשומת הלב!אינך יכול לחלץ את השורש מכל איבר (מופחת וחסר) בנפרד.

שחוב ויטיאגתי שורש ריבועי של פולינום, אתה צריך לחשב את המונח העשיר ולקחת את השורש מהמספר שהוסר.

הערכה!לא ניתן לחלץ את השורש מהתוספת של העור (שונה או הוסר) אוקרמו.

לקחת את השורש הריבועי של מוצר (מנה), אתה יכול לחשב את השורש הריבועי של כל גורם (דיבידנד ומחלק), ולקחת את הערכים המתקבלים כמכפלה (מנה).

להחסיר את השורש הריבועי מהחלק הנוסף (חלקים), ניתן לחשב את השורש הריבועי של מכפיל העור (מחולק ומחולק), ולקחת את הערך המופחת כחלק נוסף (חלק).

כדי לחלץ את השורש הריבועי של שבר, עליך לחלץ את השורש הריבועי של המונה והמכנה בנפרד, ולהשאיר את הערכים המתקבלים כשבר או לחשב אותם כמנה (אם זה אפשרי לפי תנאי).

להחסיר את השורש הריבועי מהשבר, צריך לחלץ את השורש הריבועי מהמספר ומסימן הסימן, ולהסיר את הערך מהשבר או לחשב אותו כחלק (כפי שאפשר למוח).

אפשר להוציא מכפיל מתחת לסימן השורש ואפשר לשים מכפיל מתחת לסימן השורש. כאשר מסירים גורם, שואבים ממנו את השורש, ובהוספתו מעלים אותו לעוצמה המתאימה.

אתה יכול להזין מכפיל מאחורי סימן השורש, ואפשר להזין מכפיל מתחת לסימן השורש. כשמוסיפים מכפיל, נמשכים ממנו השורש, וכשמוסיפים ממנו נמשכים השורש.

דוגמאות. יישם זאת

כדי להמיר את סכום (ההבדל) של שורשים ריבועיים, צריך לצמצם את הביטויים הרדיקליים לאותו בסיס של התואר, אם אפשר, לחלץ את השורשים מהכוחות ולכתוב אותם מול סימני השורשים, ואת השאר. ניתן להוסיף שורשים מרובעים עם אותם ביטויים רדיקליים, שעבורם מוסיפים שורש את המקדמים שלפני הסימן ומוסיפים את אותו שורש ריבועי.

על מנת להפוך את סכום (התוצאה) של שורשים ריבועיים, יש צורך להביא את הביטויים הרדיקליים למדרגת בסיס אחת, דבר המתאפשר על ידי הפחתת שורשי המדרגות וכתיבתם מול סימני השורשים, וה פתרון השורש הריבועי באותם שלבים ניתן להשתמש בביטויי שורש לקיפול, עבורם מוסיפים מקדמים לפני סימן השורש ומוסיפים אותו שורש ריבועי.

הבה נצמצם את כל הביטויים הרדיקליים לבסיס 2.

ממדרגה זוגית מסירים את השורש לגמרי, ממדרגה אי-זוגית משאירים את שורש הבסיס בחזקת 1 בסימן השורש.

אנו מציגים מספרים שלמים דומים ומוסיפים את המקדמים עם אותם שורשים. בוא נכתוב את הבינומי כמכפלה של מספר ובינומי סכום.

בוא נוריד את כל השורשים לבסיס 2.

ממדרגה זוגית, השורש נמשך החוצה; ממדרגה לא מזווגת, מסירים את שורש הבסיס בשלב 1 תחת סימן השורש.

מספרים ומקדמים דומים מתווספים לאותם שורשים. בוא נכתוב את הבינומי כתוספת של המספר והסכום הבינומי.

אנו מצמצמים ביטויים רדיקליים לבסיס הקטן ביותר או למכפלה של כוחות עם הבסיסים הקטנים ביותר. מכוחות אפילו של ביטויים רדיקליים אנו מחלצים את השורש; השאריות בצורת בסיס התואר עם מעריך 1 או המכפלה של בסיסים כאלה נשארים תחת סימן השורש. אנו מציגים מונחים דומים (הוסף את המקדמים של שורשים זהים).

אנו מבצעים את השתרשות הביטוי לבסיס הקטן ביותר או יצירת מדרגות מהבסיס הקטן ביותר. השורש נמשך משני השלבים של זנים משנה שורש, העודף בצורת בסיס המדרגה עם מחוון 1 או תוספת של בסיסים כאלה מוסרים תחת סימן השורש. אנו מציגים חברים דומים (מקדם השורשים החדשים מתווסף).

נחליף את חלוקת השברים בכפל (בהחלפת השבר השני בהדדיות שלו). נכפיל בנפרד את המונים והמכנים של השברים. מתחת לכל סימן שורש אנו מדגישים את המעלות. הבה נצמצם את אותם גורמים במונה ובמכנה. בואו נשרש כוחות אפילו.

החלף חלוקת שברים בכפל (על ידי החלפת שבר אחר בשבר). נכפיל יחד את המספרים והמסממנים של השברים. שלבים נראים מתחת לסימן העור של השורש. עם זאת, במהירות יש מכפילים חדשים בספר המספרים ובספר הסימנים. שורש וינסמו ממדרגות החבר'ה.

להשוות בין שני שורשים ריבועיים, יש לצמצם את הביטויים הרדיקליים שלהם למעלות עם אותו בסיס, ואז ככל שיוצגו יותר דרגות של הביטוי הרדיקלי, כך יותר ערךשורש ריבועי.

בדוגמה זו, אי אפשר לצמצם ביטויים רדיקליים לבסיס אחד, שכן בראשון הבסיס הוא 3, ובשני - 3 ו-7.

דרך ההשוואה השנייה היא להזין את מקדם השורש לביטוי הרדיקלי ולהשוות בין הערכים המספריים של הביטויים הרדיקליים. עבור שורש ריבועי, ככל שהביטוי הרדיקלי גדול יותר, כך גדל ערכו של השורש.

להשוות שני שורשים מרובעים, יש להביא את ביטויי השורש שלהם לרמה עם אותו בסיס, ולכן ככל שמידת ביטוי השורש גדולה יותר, כך גדל הערך של השורש הריבועי.

במקרה אחד לא ניתן להוריד את שורש הביטוי לבסיס אחד, שכן בראשון הבסיס הוא 3, ובשני - 3 ו-7.

דרך נוספת להשוות היא להכניס את מקדם השורש לביטוי השורש ולהשוות את הערכים המספריים של ביטויי השורש. בשורש ריבועי, ככל שקודקוד המשנה גדול יותר, ערך השורש גדול יותר.

באמצעות חוק הכפל החלוקתי והכלל להכפלת שורשים עם אותם מעריכים (במקרה שלנו, שורשים מרובעים), קיבלנו את הסכום של שני שורשים מרובעים כשהמכפלה מתחת לסימן השורש. בואו נפרק את 91 לגורמים ראשוניים ונוציא את השורש מסוגריים עם גורמים רדיקליים משותפים (13*5).

השגנו את המכפלה של שורש ובינום, שאחד המונומיאלים שלהם הוא מספר שלם (1).

חוק הכפל הנפרד של ויקוריסט וכלל הכפלת שורשים עם אותם אינדיקטורים (במקרה שלנו - שורשים ריבועיים), גרעו את סכום שני שורשים מרובעים עם חיבור מתחת לסימן השורש. אנו פורסים 91 על מכפילים פשוטים ונושאים את השורש בזרועות מהמכפילים מתחת לשורש (13*5).

לקחנו תוספת של שורש ובינום, שבהם לאחד המונומיאלים יש מספר שלם (1).

ישבן 9:

בביטויים רדיקליים, אנו בוחרים לפי גורמים את המספרים שמהם ניתן לחלץ את כל השורש הריבועי. נחלץ את השורשים הריבועיים של החזקות ונקצה את המספרים למקדמי השורשים הריבועיים.

למונחים של פולינום זה יש גורם משותף √3, אותו ניתן להוציא מסוגריים. הבה נציג מונחים דומים.

בביטויי שורש, מספרים נתפסים כמכפילים, מהם ניתן לגרוע את כל השורש הריבועי. ניקח את השורשים הריבועיים מהמדרגות ונשים את המספרים כמקדמים של השורשים הריבועיים.

למונחים של פולינום זה יש מכפיל כפול √3, אותו ניתן לשאת על ידי הזרועות. אנחנו עושים תוספות דומות.

מכפלת הסכום וההפרש של שניים נימוקים זהים(3 ו-√5) באמצעות נוסחת הכפל המקוצר ניתן לכתוב כהפרש ריבועי הבסיסים.

השורש הריבועי בריבוע שווה תמיד לביטוי הרדיקלי, ולכן נפטר מהרדיקל (סימן השורש) בביטוי.

ניתן לכתוב את חיבור הסכום וההפרש של שני בסיסים חדשים (3 ו-√5) באמצעות נוסחת הכפל הקצרה כהפרש ריבועי הבסיסים.

השורש הריבועי של הריבוע תמיד ישן יותר משורש הנגיף, ולכן נזכור את הרדיקל (סימן השורש) של הנגיף.

בחזרה לבית הספר. הוספת שורשים

בזמננו עם מחשבים אלקטרוניים מודרניים, חישוב השורש של מספר אינו נראה כמשימה קשה. לדוגמה, √2704=52, כל מחשבון יחשב זאת עבורך. למרבה המזל, המחשבון זמין לא רק ב-Windows, אלא גם בטלפון רגיל, אפילו הפשוט ביותר. נכון, אם פתאום (במידה קטנה של הסתברות, שהחישוב שלו, אגב, כולל הוספת השורשים) תמצא את עצמך בלי כספים זמינים, אז, אבוי, תצטרך לסמוך רק על המוח שלך.

אימון התודעה אף פעם לא נכשל. במיוחד למי שלא עובד עם מספרים כל כך הרבה, הרבה פחות עם שורשים. הוספה והפחתה של שורשים היא אימון טוב למוח משועמם. אני גם אראה לך איך להוסיף שורשים צעד אחר צעד. דוגמאות לביטויים עשויות להיות כדלקמן.

משוואה לפשט:

זהו ביטוי לא הגיוני. כדי לפשט את זה, אתה צריך לצמצם את כל הביטויים הרדיקליים ל הופעה כללית. אנחנו עושים את זה צעד אחר צעד:

לא ניתן עוד לפשט את המספר הראשון. נעבור לקדנציה השנייה.

3√48 אנחנו מביאים 48: 48=2×24 או 48=3×16. השורש הריבועי של 24 אינו מספר שלם, כלומר. יש שארית חלקית. כי אנחנו צריכים ערך מדויק, אז שורשים משוערים אינם מתאימים לנו. השורש הריבועי של 16 הוא 4, הוציאו אותו מתחת לסימן השורש. נקבל: 3×4×√3=12×√3

הביטוי הבא שלנו הוא שלילי, כלומר. נכתב עם סימן מינוס -4×√(27.) אנחנו מפרקים 27. נקבל 27=3×9. אנחנו לא משתמשים בגורמים שברים מכיוון שקשה יותר לחשב את השורש הריבועי של שברים. אנחנו מוציאים 9 מתחת לשלט, כלומר. חשב את השורש הריבועי. נקבל את הביטוי הבא: -4×3×√3 = -12×√3

האיבר הבא √128 מחשב את החלק שניתן להוציא מתחת לשורש. 128=64×2, כאשר √64=8. אם זה מקל עליך, אתה יכול לדמיין את הביטוי הזה כך: √128=√(8^2×2)

אנו משכתבים את הביטוי במונחים מפושטים:

כעת נוסיף את המספרים באמצעות אותו ביטוי רדיקלי. לא ניתן להוסיף או לגרוע ביטויים עם ביטויים רדיקליים שונים. הוספת שורשים מחייבת ציות לכלל זה.

נקבל את התשובה הבאה:

√2=1×√2 - אני מקווה שהעובדה שבאלגברה נהוג להשמיט אלמנטים כאלה לא תהיה חדשות עבורך.

ביטויים יכולים להיות מיוצגים לא רק על ידי השורש הריבועי, אלא גם על ידי השורש המעוקב או ה-n'י.

חיבור וחיסור שורשים עם אינדיקטורים שוניםמעלות, אך עם ביטוי רדיקלי שווה ערך, מתרחש באופן הבא:

אם יש לנו ביטוי בצורה √a+∛b+∜b, אז נוכל לפשט את הביטוי הזה באופן הבא:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

הבאנו שני חברים דומים ל אינדיקטור כוללשורש כאן נעשה שימוש בתכונת השורשים, האומרת: אם מספר דרגת הביטוי הרדיקלי ומספר המעריך של השורש מוכפלים באותו מספר, אזי החישוב שלו יישאר ללא שינוי.

הערה: מעריכים מוסיפים רק בעת הכפלה.

הבה נבחן דוגמה כאשר הביטוי מכיל שברים.

נחליט בשלבים:

5√8=5*2√2 - נוציא את החלק שחולץ מתחת לשורש.

אם גוף השורש מיוצג על ידי שבר, לעתים קרובות שבר זה לא ישתנה אם תיקחו את השורש הריבועי של הדיבידנד והמחלק. כתוצאה מכך, קיבלנו את השוויון המתואר לעיל.

הנה התשובה.

הדבר העיקרי שיש לזכור הוא שלא ניתן לחלץ שורש עם מעריך זוגי ממספרים שליליים. אם הביטוי הרדיקלי של מידה זוגית הוא שלילי, אז הביטוי אינו ניתן לפתרון.

הוספת שורשים אפשרית רק אם הביטויים הרדיקליים עולים בקנה אחד, מכיוון שהם מונחים דומים. כך גם לגבי ההבדל.

הוספת שורשים עם מעריכים מספריים שונים מתבצעת על ידי הפחתת שני האיברים לדרגת שורש משותפת. חוק זה פועל באותו אופן כמו צמצום למכנה משותף בעת חיבור או חיסור של שברים.

אם ביטוי רדיקלי מכיל מספר שהועלה לחזקה, אז ניתן לפשט את הביטוי הזה בתנאי שיש מכנה משותף בין מעריך השורש לחזקה.

שורש ריבועי של מוצר ושבר

השורש הריבועי של מספר הוא מספר שהריבוע שלו שווה ל-a. לדוגמה, המספרים -5 ו-5 הם שורשים ריבועיים של המספר 25. כלומר, שורשי המשוואה x^2=25 הם השורשים הריבועיים של המספר 25. כעת עליך ללמוד כיצד לעבוד עם הריבוע פעולת שורש: למד את התכונות הבסיסיות שלו.

שורש ריבועי של המוצר

√(a*b) =√a*√b

השורש הריבועי של מכפלת שני מספרים לא שליליים שווה למכפלת השורשים הריבועיים של המספרים הללו. לדוגמה, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

חשוב להבין שתכונה זו חלה גם במקרה בו הביטוי הרדיקלי הוא תוצר של שלוש, ארבע וכו'. גורמים לא שליליים.

לפעמים יש ניסוח אחר של נכס זה. אם a ו-b הם מספרים לא שליליים, אז השוויון הבא נכון: √(a*b) =√a*√b. אין שום הבדל ביניהם; אתה יכול להשתמש בניסוח כזה או אחר (שנוח לך יותר לזכור).

שורש ריבועי של שבר

אם a>=0 ו-b>0, אז השוויון הבא נכון:

√(a/b) =√a/√b.

לדוגמה, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

גם למאפיין הזה יש ניסוח אחר, שלדעתי נוח יותר לשינון.
השורש הריבועי של המנה שווה למנת השורשים.

ראוי לציין שהנוסחאות הללו פועלות הן משמאל לימין והן מימין לשמאל. כלומר, במידת הצורך, נוכל לייצג את תוצר השורשים כשורש של תוצר. כך גם לגבי הנכס השני.

כפי שאולי שמתם לב, המאפיינים הללו נוחים מאוד, ואני רוצה לקבל את אותם מאפיינים עבור חיבור וחיסור:

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

אבל למרבה הצער נכסים כאלה הם מרובעים אין שורשים, ובגלל זה זה כך לא ניתן לעשות בחישובים.

• 13. נסיעה בצמתים של תקנות התעבורה 2018 עם הערות מקוונות 13.1. בפנייה ימינה או שמאלה, על הנהג לפנות את מקומו להולכי רגל ורוכבי אופניים החוצים את הכביש אליו הוא פונה. הוראה זו חלה על כל [...]
• פגישת הורים"זכויות, חובות וחובות הורים" מצגת לשיעור הורדת מצגת (536.6 קילובייט) שימו לב! תצוגות מקדימות של השקופיות מיועדות למטרות מידע בלבד וייתכן שאינן מייצגות את כל […]
• בירת לידה אזורית בחבל אוריול בירת יולדות אזורית (MK) באוריול ובאזור אוריול הוקמה בשנת 2011. כעת הוא מייצג מדד נוסף תמיכה חברתיתמשפחות גדולות בצורה של מזומן חד פעמי [...]
• סכום ההטבה החד פעמית בעת ההרשמה דייטים מוקדמיםבשנת 2018 הדף שביקשת לא נמצא. ייתכן שהזנת כתובת שגויה, או שהדף נמחק. כדי לנווט, השתמש [...]
• עורך דין לתיקים כלכליים פשעים ב תחום כלכלי- מושג די רחב. מעשים כאלה כוללים הונאה, עסק לא חוקי, לגליזציה כֶּסֶף, שהושג באופן לא חוקי, בנקאות לא חוקית […]
• שירות העיתונות של הבנק המרכזי הפדרציה הרוסית(בנק רוסיה) שירות העיתונות 107016, מוסקבה, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru על מינוי ממשל זמני, המחלקה ליחסי חוץ ויחסי ציבור של בנק רוסיה מדווחת כי בהתאם לסעיף 2 […]
• מאפיינים כללייםוסקירה קצרה של נתיבי מים סיווג אגני מים סיווג אגני מים לניווט של ספינות הנאה (קטנות) בפיקוח GIMS של רוסיה מתבצע בהתאם […]
• קוצ'רנה = עורך דינו של ויקטור צוי וזה בלעדי: המכתב של היום מאנטולי קוצ'רנה. המשך הנושא. אף אחד לא פרסם עדיין את המכתב הזה. וזה הכרחי, אני חושב. חלק 1 לעת עתה. בקרוב אפרסם את החלק השני, חתום על ידי עורך הדין המפורסם. למה זה חשוב? […]

הדרך הקלה ביותר להחסיר שורש ממספר היא באמצעות מחשבון. אבל, אם אין לך מחשבון, אז אתה צריך לדעת את האלגוריתם לחישוב השורש הריבועי. העובדה היא שמתחת לשורש יש מספר בריבוע. לדוגמה, 4 בריבוע הוא 16. כלומר, השורש הריבועי של 16 יהיה שווה לארבעה. כמו כן, 5 בריבוע הוא 25. לכן, השורש של 25 יהיה 5. וכן הלאה.

אם המספר קטן, ניתן להחסיר אותו בקלות מילולית, למשל, השורש של 25 יהיה שווה ל-5, והשורש של 144-12. אתה יכול גם לחשב במחשבון; יש סמל שורש מיוחד; עליך להזין את המספר וללחוץ על הסמל.

טבלה של שורשים מרובעים תעזור גם:

ישנן גם שיטות מורכבות יותר, אך יעילות מאוד:

ניתן לגרוע את השורש של כל מספר באמצעות מחשבון, במיוחד מכיוון שהם זמינים היום בכל טלפון.

אתה יכול לנסות להעריך באופן גס כיצד מספר נתון יכול להתברר על ידי הכפלת מספר אחד בפני עצמו.



חישוב השורש הריבועי של מספר אינו קשה, במיוחד אם יש לך טבלה מיוחדת. טבלה ידועה משיעורי אלגברה. פעולה זו נקראת לקיחת שורש ריבועי של מספר, במילים אחרות פתרון משוואה. כמעט לכל המחשבונים בסמארטפונים יש פונקציה לקביעת השורש הריבועי.



התוצאה של נטילת השורש הריבועי של מספר ידוע תהיה מספר אחר, שכאשר מועלה לחזקה השנייה (ריבוע), ייתן את אותו מספר שאנו מכירים. הבה נסתכל על אחד מתיאורי החישוב, שנראה קצר וברור:







הנה סרטון על הנושא:

ישנן מספר דרכים לחשב את השורש הריבועי של מספר.

הדרך הפופולרית ביותר היא להשתמש בטבלת שורשים מיוחדת (ראה להלן).

כמו כן, לכל מחשבון יש פונקציה שבאמצעותה ניתן לגלות את השורש.

או באמצעות נוסחה מיוחדת.



ישנן מספר דרכים לחלץ את השורש הריבועי של מספר. אחד מהם הוא המהיר ביותר, באמצעות מחשבון.

אבל אם אין לך מחשבון, אתה יכול לעשות זאת באופן ידני.

התוצאה תהיה מדויקת.

העיקרון כמעט זהה לחלוקה בעמודה:



















בוא ננסה למצוא את השורש הריבועי של מספר ללא מחשבון, למשל, 190969.







לפיכך, הכל פשוט ביותר. בחישובים, העיקר הוא לדבוק בוודאות כללים פשוטיםולחשוב בהיגיון.

בשביל זה אתה צריך טבלה של ריבועים



לדוגמה, השורש של 100 = 10, של 20 = 400 מתוך 43 = 1849

כעת כמעט כל המחשבונים, כולל אלה שבסמארטפונים, יכולים לחשב את השורש הריבועי של מספר. אבל אם אין לך מחשבון, אז אתה יכול למצוא את השורש של מספר בכמה דרכים פשוטות:

פירוק לגורמים ראשוניים



חלק את המספר הרדיקלי לגורמים שהם מספרים מרובעים. בהתאם למספר הרדיקלי, תקבל תשובה משוערת או מדויקת. מספרים ריבועיים הם מספרים שמהם ניתן לקחת את כל השורש הריבועי. גורמים של מספר שעם הכפלה נותנים את המספר המקורי. לדוגמה, הגורמים של המספר 8 הם 2 ו-4, שכן 2 x 4 = 8, המספרים 25, 36, 49 הם מספרים מרובעים, שכן 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. גורמים ריבועיים הם גורמים ש הם מספרים מרובעים. ראשית, נסו לחלק את המספר הרדיקלי לגורמים ריבועיים.

לדוגמה, חשב את השורש הריבועי של 400 (ביד). תחילה נסה לחלק 400 לגורמים ריבועיים. 400 הוא כפולה של 100, כלומר מתחלק ב-25 הוא מספר ריבועי. חלוקת 400 ב-25 נותנת לך 16, שהוא גם מספר ריבועי. לפיכך, ניתן לחלק 400 לגורמים הריבועיים של 25 ו-16, כלומר 25 x 16 = 400.

רשום את זה כ: 400 = (25 x 16).



השורש הריבועי של מכפלת איברים מסוימים שווה למכפלת השורשים הריבועיים של כל איבר, כלומר (a x b) = a x b. בעזרת כלל זה, קחו את השורש הריבועי של כל גורם ריבועי והכפילו את התוצאות כדי למצוא את התשובה.

בדוגמה שלנו, קחו את השורש של 25 ו-16.



אם המספר הרדיקלי לא מתערב לשני גורמים ריבועיים (וזה קורה ברוב המקרים), לא תוכל למצוא את התשובה המדויקת בצורה של מספר שלם. אבל אתה יכול לפשט את הבעיה על ידי פירוק המספר הרדיקלי לגורם ריבועי ולגורם רגיל (מספר שלא ניתן לקחת ממנו את כל השורש הריבועי). לאחר מכן תיקח את השורש הריבועי של הגורם הריבועי ותיקח את השורש של הגורם המשותף.

לדוגמה, חשב את השורש הריבועי של המספר 147. לא ניתן לחלק את המספר 147 לשני גורמים ריבועיים, אך ניתן לחלק אותו לגורמים הבאים: 49 ו-3. פתרו את הבעיה באופן הבא:



כעת ניתן להעריך את ערך השורש (למצוא ערך משוער) על ידי השוואתו לערכי השורשים של המספרים הריבועיים הקרובים ביותר (משני צידי קו המספרים) למספר הרדיקלי. תקבל את הערך של השורש as נקודה, שיש להכפיל במספר מאחורי סימן השורש.

נחזור לדוגמה שלנו. המספר הרדיקלי הוא 3. המספרים הריבועיים הקרובים ביותר אליו יהיו המספרים 1 (1 = 1) ו-4 (4 = 2). לפיכך, הערך של 3 ממוקם בין 1 ל-2. מכיוון שהערך של 3 קרוב לוודאי יותר ל-2 מאשר ל-1, ההערכה שלנו היא: 3 = 1.7. נכפיל את הערך הזה במספר בסימן השורש: 7 x 1.7 = 11.9. אם תעשה את החישוב במחשבון, תקבל 12.13, שזה די קרוב לתשובה שלנו.

שיטה זו עובדת גם עם מספרים גדולים. לדוגמה, קחו בחשבון 35. המספר הרדיקלי הוא 35. המספרים הריבועיים הקרובים ביותר אליו הם המספרים 25 (25 = 5) ו-36 (36 = 6). לפיכך, הערך של 35 ממוקם בין 5 ל-6. מכיוון שהערך של 35 קרוב הרבה יותר ל-6 מאשר ל-5 (מכיוון ש-35 הוא רק 1 פחות מ-36), אנו יכולים לומר ש-35 הוא מעט פחות מ-6. המחשבון נותן לנו את התשובה 5.92 - צדקנו.



דרך נוספת היא לחלק את המספר הרדיקלי לגורמים ראשוניים. גורמים ראשוניים של מספרים המתחלקים רק ב-1 ובעצמם. כתבו את הגורמים הראשוניים בסדרה ומצאו זוגות של גורמים זהים. ניתן להוציא גורמים כאלה מתוך סימן השורש.

לדוגמה, חשב את השורש הריבועי של 45. נמנה את המספר הרדיקלי לגורמים ראשוניים: 45 = 9 x 5, ו-9 = 3 x 3. לפיכך, 45 = (3 x 3 x 5). ניתן להוציא 3 כסימן שורש: 45 = 35. כעת נוכל להעריך 5.

בואו נסתכל על דוגמה נוספת: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). קיבלת שלושה מכפילים של 2; קח כמה מהם והעבר אותם מעבר לסימן השורש.

2(2 x 11) = 22 x 11. כעת תוכל להעריך את 2 ו-11 ולמצוא תשובה משוערת.

סרטון הדרכה זה עשוי להיות שימושי גם:

כדי לחלץ את השורש של מספר, עליך להשתמש במחשבון, או אם אין לך מחשבון מתאים, אני ממליץ לך להיכנס לאתר זה ולפתור את הבעיה באמצעות מחשבון מקוון, שייתן את הערך הנכון בשניות.

שלום, חתולים! בפעם הקודמת דנו בפירוט מה הם שורשים (אם אתה לא זוכר, אני ממליץ לקרוא את זה). הלקח העיקרי מהשיעור הזה: יש רק הגדרה אוניברסלית אחת של שורשים, וזה מה שאתה צריך לדעת. השאר זה שטויות וחבל על הזמן.

היום אנחנו הולכים רחוק יותר. נלמד להכפיל שורשים, נלמד כמה בעיות הקשורות בכפל (אם בעיות אלו לא ייפתרו, הן עלולות להפוך לקטלניות בבחינה) ונתאמן כמו שצריך. אז הצטייד בפופקורן, תרגיש נוח, ובואו נתחיל. :)

גם אתה עדיין לא עישנת את זה, נכון?

השיעור היה די ארוך, אז חילקתי אותו לשני חלקים:

1. ראשית נסתכל על כללי הכפל. נראה שהכובע רומז: זה כשיש שני שורשים, ביניהם יש סימן "הכפלה" - ואנחנו רוצים לעשות עם זה משהו.
2. אז בואו נסתכל על המצב ההפוך: יש שורש אחד גדול, אבל היינו להוטים לייצג אותו כתוצר של שני שורשים פשוטים יותר. מדוע זה נחוץ, זו שאלה נפרדת. ננתח רק את האלגוריתם.

למי שלא יכול לחכות לעבור מיד לחלק השני, אתה מוזמן. נתחיל עם השאר לפי הסדר.

כלל בסיסי של כפל

נתחיל מהדבר הפשוט ביותר – שורשים מרובעים קלאסיים. אותם אלה המסומנים ב-$\sqrt(a)$ ו-$\sqrt(b)$. הכל ברור להם:

כלל הכפל. כדי להכפיל שורש ריבועי אחד בשורש אחר, פשוט מכפילים את הביטויים הרדיקליים שלהם, וכותבים את התוצאה תחת הרדיקל המשותף:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

לא מוטלות הגבלות נוספות על המספרים מימין או שמאל: אם קיימים גורמי השורש, אז גם המוצר קיים.

דוגמאות. בואו נסתכל על ארבע דוגמאות עם מספרים בבת אחת:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

כפי שאתה יכול לראות, המשמעות העיקרית של כלל זה היא לפשט ביטויים לא רציונליים. ואם בדוגמה הראשונה אנחנו בעצמנו היינו מחלצים את השורשים של 25 ו-4 ללא כללים חדשים, אז העניינים נהיים קשים: $\sqrt(32)$ ו-$\sqrt(2)$ לא נחשבים בפני עצמם, אבל התוצר שלהם מתברר כריבוע מושלם, ולכן השורש שלו שווה למספר רציונלי.

אני רוצה להדגיש במיוחד את השורה האחרונה. שם, שני הביטויים הרדיקליים הם שברים. הודות למוצר, גורמים רבים מתבטלים, והביטוי כולו הופך למספר הולם.

כמובן, דברים לא תמיד יהיו כל כך יפים. לפעמים יהיו שטויות מוחלטות מתחת לשורשים - לא ברור מה לעשות עם זה ואיך להפוך אותו לאחר הכפל. קצת אחר כך, כשאתה מתחיל ללמוד משוואות לא רציונליותואי-שוויון, בדרך כלל יהיו כל מיני משתנים ופונקציות. ולעתים קרובות מאוד, כותבי בעיות סומכים על כך שתגלו כמה תנאים או גורמים מבטלים, שלאחריהם הבעיה תפושט פי כמה.

בנוסף, אין בכלל צורך להכפיל בדיוק שני שורשים. אתה יכול להכפיל שלוש, ארבע או אפילו עשרה בבת אחת! זה לא ישנה את הכלל. תסתכל:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

ושוב הערה קטנה על הדוגמה השנייה. כפי שאתה יכול לראות, בגורם השלישי מתחת לשורש יש שבר עשרוני - בתהליך החישובים אנו מחליפים אותו ברגיל, שלאחריו הכל מצטמצם בקלות. אז: אני ממליץ בחום להיפטר משברים עשרוניים בכל ביטוי לא רציונלי (כלומר מכיל לפחות סמל רדיקלי אחד). זה יחסוך לך הרבה זמן ועצבים בעתיד.

אבל זו הייתה סטייה לירית. כעת נבחן מקרה כללי יותר - כאשר מעריך השורש מכיל מספר שרירותי $n$, ולא רק השניים ה"קלאסיים".

המקרה של אינדיקטור שרירותי

אז, מיינו את השורשים הריבועיים. מה לעשות עם קוביות? או אפילו עם שורשים בדרגה שרירותית $n$? כן, הכל אותו דבר. הכלל נשאר זהה:

כדי להכפיל שני שורשים של תואר $n$, מספיק להכפיל את הביטויים הרדיקליים שלהם, ואז לכתוב את התוצאה תחת רדיקל אחד.

באופן כללי, שום דבר לא מסובך. אלא שכמות החישובים עשויה להיות גדולה יותר. בואו נסתכל על כמה דוגמאות:

דוגמאות. חשב מוצרים:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3)) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

ושוב, שימו לב לביטוי השני. אנחנו מכפילים את שורשי הקובייה, נפטרים מהשבר העשרוני ומגיעים למכפלת המספרים 625 ו-25 במכנה. מספר גדול- באופן אישי, אני לא יכול לחשב מיד מה זה שווה.

לכן, פשוט בודדנו את הקובייה המדויקת במונה ובמכנה, ולאחר מכן השתמשנו באחד ממאפייני המפתח (או, אם תרצו, בהגדרה) של השורש $n$th:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \end(align)\]

"תחבולות" כאלה יכולות לחסוך לך הרבה זמן בבחינה או עבודת מבחן, אז זכור:

אל תמהרו להכפיל מספרים באמצעות ביטויים רדיקליים. ראשית, בדוק: מה אם הדרגה המדויקת של ביטוי כלשהו "מוצפנת" שם?

למרות המובן מאליו של הערה זו, אני חייב להודות שרוב התלמידים הלא מוכנים לא רואים את התארים המדויקים בטווח נקודתי. במקום זאת, הם מכפילים הכל על הסף, ואז תוהים: למה הם קיבלו מספרים כל כך אכזריים? :)

עם זאת, כל זה הוא שיחת תינוקות בהשוואה למה שנלמד עכשיו.

הכפלת שורשים עם מעריכים שונים

אוקיי, עכשיו אנחנו יכולים להכפיל שורשים עם אותם אינדיקטורים. מה אם האינדיקטורים שונים? נניח, איך מכפילים $\sqrt(2)$ רגיל בשטויות כמו $\sqrt(23)$? האם זה בכלל אפשרי לעשות את זה?

כן כמובן שאתה יכול. הכל נעשה לפי הנוסחה הזו:

כלל להכפלת שורשים. כדי להכפיל את $\sqrt[n](a)$ ב-$\sqrt[p](b)$, מספיק לבצע את הטרנספורמציה הבאה:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))))\]

עם זאת, נוסחה זו פועלת רק אם ביטויים רדיקליים אינם שליליים. זו הערה חשובה מאוד שנחזור אליה מעט בהמשך.

לעת עתה, הבה נסתכל על כמה דוגמאות:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

כפי שאתה יכול לראות, שום דבר לא מסובך. עכשיו בואו נבין מאיפה הגיעה דרישת אי השליליות, ומה יקרה אם נפר אותה. :)

הכפלת שורשים היא קלה

מדוע ביטויים רדיקליים חייבים להיות לא שליליים?

כמובן שאתה יכול להיות כזה מורי בית הספרוצטט בחוכמה את ספר הלימוד:

דרישת אי השליליות קשורה ל הגדרות שונותשורשים של דרגות זוגיות ואי-זוגיות (בהתאם לכך, גם תחומי ההגדרה שלהם שונים).

ובכן, זה נעשה ברור יותר? באופן אישי, כשקראתי את השטויות האלה בכיתה ח' הבנתי משהו כמו הבא: "דרישת אי-שליליות קשורה ל-*#&^@(*#@^#)~%" - בקיצור, הבנתי אני לא מבין דבר לעזאזל באותו זמן. :)

אז עכשיו אני אסביר הכל בצורה נורמלית.

ראשית, בואו נגלה מאיפה נובעת נוסחת הכפל לעיל. כדי לעשות זאת, הרשו לי להזכיר לכם מאפיין חשוב אחד של השורש:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

במילים אחרות, אנחנו יכולים בקלות להעלות את הביטוי הרדיקלי לכל תואר טבעי$k$ - במקרה זה, המעריך השורש יצטרך להיות מוכפל באותה חזקה. לכן, אנחנו יכולים בקלות לצמצם כל שורשים למעריך משותף, ואז להכפיל אותם. מכאן נובעת נוסחת הכפל:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

אבל יש בעיה אחת שמגבילה באופן חד את השימוש בכל הנוסחאות הללו. שקול את המספר הזה:

לפי הנוסחה שניתנה זה עתה, אנו יכולים להוסיף כל תואר. בוא ננסה להוסיף $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2))))\]

הסרנו את המינוס בדיוק בגלל שהריבוע שורף את המינוס (כמו כל תואר זוגי אחר). כעת נבצע את הטרנספורמציה ההפוכה: "צמצם" את השניים במעריך ובעוצמה. הרי כל שוויון ניתן לקרוא גם משמאל לימין וגם מימין לשמאל:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](א); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

אבל אז מסתבר שזה סוג של שטויות:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

זה לא יכול לקרות, כי $\sqrt(-5) \lt 0$, ו-$\sqrt(5) \gt 0$. זה אומר שעבור חזקות זוגיות ומספרים שליליים הנוסחה שלנו כבר לא עובדת. לאחר מכן יש לנו שתי אפשרויות:

1. להכות בקיר ולקבוע שמתמטיקה היא מדע טיפשי, שבו "יש כמה כללים, אבל הם לא מדויקים";
2. הכנס הגבלות נוספות לפיהן הנוסחה תהפוך לעבודה ב-100%.

באפשרות הראשונה, נצטרך לתפוס כל הזמן מקרים "לא עובדים" - זה קשה, גוזל זמן ובאופן כללי אופס. לכן, מתמטיקאים העדיפו את האפשרות השנייה. :)

אבל אל תדאג! בפועל, מגבלה זו אינה משפיעה בשום צורה על החישובים, מכיוון שכל הבעיות המתוארות נוגעות רק לשורשים בדרגות מוזרות, וניתן לקחת מהם מינוסים.

לכן, הבה ננסח כלל אחד נוסף, אשר חל בדרך כלל על כל הפעולות עם שורשים:

לפני הכפלת שורשים, ודא שהביטויים הרדיקליים אינם שליליים.

דוגמא. במספר $\sqrt(-5)$ אפשר להסיר את המינוס מתחת לסימן השורש - אז הכל יהיה רגיל:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

האם אתה מרגיש את ההבדל? אם תשאירו מינוס מתחת לשורש, אז כשהביטוי הרדיקלי יהיה בריבוע, הוא ייעלם, ויתחילו שטויות. ואם קודם תוציא את המינוס, אז אתה יכול לריבוע/להסיר עד שתהיה כחול בפנים - המספר יישאר שלילי. :)

לפיכך, הדרך הנכונה והאמינה ביותר להכפיל שורשים היא כדלקמן:

1. הסר את כל השליליות מהרדיקלים. מינוסים קיימים רק בשורשים של ריבוי אי זוגי - ניתן להציב אותם מול השורש ובמידת הצורך לצמצם (למשל אם יש שניים מהמינוסים הללו).
2. בצע כפל לפי הכללים שנדונו לעיל בשיעור של היום. אם האינדיקטורים של השורשים זהים, אנחנו פשוט מכפילים את הביטויים הרדיקליים. ואם הם שונים, אנו משתמשים בנוסחה הרעה \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.תהנה מהתוצאה ומציונים טובים. :)

נו? נתאמן?

דוגמה 1: פשט את הביטוי:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

זו האפשרות הפשוטה ביותר: השורשים זהים ומוזרים, הבעיה היחידה היא שהגורם השני שלילי. אנחנו מוציאים את המינוס הזה מהתמונה, ולאחר מכן הכל מחושב בקלות.

דוגמה 2: פשט את הביטוי:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right)))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( יישר)\]

כאן, רבים יתבלבלו מהעובדה שהתפוקה התבררה כמספר אי-רציונלי. כן, זה קורה: לא הצלחנו להיפטר לחלוטין מהשורש, אבל לפחותפישט משמעותית את הביטוי.

דוגמה 3: פשט את הביטוי:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt((((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

ברצוני להסב את תשומת לבכם למשימה זו. יש כאן שתי נקודות:

1. השורש אינו מספר או חזקה ספציפיים, אלא המשתנה $a$. במבט ראשון, זה קצת יוצא דופן, אבל במציאות, כשפותרים בעיות מתמטיות, צריך לרוב להתמודד עם משתנים.
2. בסופו של דבר, הצלחנו "להפחית" את המדד הרדיקלי ואת מידת הביטוי הרדיקלי. זה קורה לעתים קרובות למדי. וזה אומר שאפשר היה לפשט משמעותית את החישובים אם לא השתמשת בנוסחה הבסיסית.

לדוגמה, תוכל לעשות זאת:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3)))\ \\end(align)\]

למעשה, כל השינויים בוצעו רק עם הרדיקל השני. ואם לא תתאר בפירוט את כל שלבי הביניים, אז בסופו של דבר כמות החישובים תפחת משמעותית.

למעשה, כבר נתקלנו במשימה דומה לעיל כאשר פתרנו את הדוגמה $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. עכשיו אפשר לכתוב את זה הרבה יותר פשוט:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

ובכן, סידרנו את כפל השורשים. עכשיו בואו נבחן את הפעולה ההפוכה: מה לעשות כשיש מוצר מתחת לשורש?

מאפיינים של שורשים ריבועיים

עד כה ביצענו חמש פעולות אריתמטיות במספרים: חיבור, חיסור, כֶּפֶל, חלוקה ואקספונציה, ובחישובים נעשה שימוש פעיל במאפיינים שונים של פעולות אלו, למשל a + b = b + a, an-bn = (ab)n וכו'.

פרק זה מציג פעולה חדשה - לקיחת שורש ריבועי של מספר לא שלילי. כדי להשתמש בו בהצלחה, עליך להכיר את המאפיינים של פעולה זו, מה שנעשה בסעיף זה.

הוכחה. הבה נציג את הסימון הבא: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="שוויון" width="120" height="25 id=">!}.

כך בדיוק ננסח את המשפט הבא.

(ניסוח קצר שיותר נוח לשימוש בפועל: שורש שבר שווה לשבר של השורשים, או שורש המנה שווה למנה השורשים).

הפעם נביא רק סיכום קצר של ההוכחה, ואתה מנסה להעיר הערות מתאימות בדומה לאלו שהיוו את מהות ההוכחה של משפט 1.

פתק 3. כמובן שניתן לפתור את הדוגמה הזו אחרת, במיוחד אם יש לך מחשבון מיקרו בהישג יד: הכפל את המספרים 36, 64, 9, ולאחר מכן קח את השורש הריבועי של המכפלה המתקבלת. עם זאת, תסכים שהפתרון המוצע לעיל נראה תרבותי יותר.

הערה 4. בשיטה הראשונה ביצענו חישובים "חזיתית". הדרך השנייה אלגנטית יותר:
הגשנו בקשה נוּסחָה a2 - b2 = (a - b) (a + b) והשתמשו בתכונה של שורשים ריבועיים.

הערה 5. כמה "ראשים לוהטים" מציעים לפעמים את ה"פתרון" הזה לדוגמא 3:

זה כמובן לא נכון: אתה מבין - התוצאה לא זהה לדוגמא 3. העובדה היא שאין קניין https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="משימה" width="148" height="26 id=">!}יש רק תכונות הקשורות לכפל ולחילוק של שורשים ריבועיים. היזהר וזהיר, אל תיקח משאלת לב.

לסיום סעיף זה, נציין עוד נכס די פשוט ובו בזמן חשוב:
אם a > 0 ו-n - מספר טבעי, זה

המרת ביטויים המכילים פעולת שורש ריבועי

עד עכשיו ביצענו רק טרנספורמציות ביטויים רציונליים, משתמש לשם כך בכללי הפעולות על פולינומים ו שברים אלגבריים, נוסחאות כפל מקוצרת וכו'. בפרק זה הצגנו מבצע חדש- פעולת מיצוי שורש ריבועי; קבענו את זה

כאשר, זכור, a, b הם מספרים לא שליליים.

שימוש באלה נוסחאות, ניתן לבצע טרנספורמציות שונות על ביטויים המכילים פעולת שורש ריבועי. הבה נסתכל על מספר דוגמאות, ובכל הדוגמאות נניח שהמשתנים מקבלים רק ערכים לא שליליים.

דוגמה 3.הזן את המכפיל מתחת לסימן השורש הריבועי:

דוגמה 6. פשט את הביטוי פתרון. בואו נבצע טרנספורמציות עוקבות: