במאמר זה ננתח הכפלה של מספרים מעורבים. ראשית, נשמיע את הכלל להכפלת מספרים מעורבים ונשקול את היישום של כלל זה בעת פתרון דוגמאות. לאחר מכן, נדבר על הכפל של מספר מעורב ומספר טבעי. לבסוף, נלמד כיצד לבצע כפל של מספר מעורב ו שבר נפוץ.
ניווט בדף.
הכפלה של מספרים מעורבים.
הכפלה של מספרים מעורביםניתן לצמצם לכפל שברים רגילים. כדי לעשות זאת, מספיק להמיר מספרים מעורבים לשברים לא תקינים.
בואו נכתוב כלל הכפל למספרים מעורבים:
- ראשית, יש להחליף את המספרים המעורבים שיש להכפיל בשברים לא תקינים;
- שנית, אתה צריך להשתמש בכלל של הכפלת שבר בשבר.
שקול דוגמאות ליישום כלל זה בעת הכפלת מספר מעורב במספר מעורב.
בצע כפל מספר מעורב ו.
ראשית, אנו מייצגים את המספרים המעורבים המוכפלים כשברים לא תקינים: 
ו 
. כעת נוכל להחליף את הכפל של מספרים מעורבים בכפל של שברים רגילים: 
. יישום הכלל של כפל שברים, נקבל 
. השבר המתקבל הוא בלתי ניתן לצמצום (ראה שברים ניתנים לצמצום ובלתי ניתנים לצמצום), אך הוא שגוי (ראה שברים רגילים ובלתי תקינים), לכן, כדי לקבל את התשובה הסופית, נותר לחלץ את החלק השלם מהשבר הפסול:.
נכתוב את כל הפתרון בשורה אחת: .
.
כדי לגבש את המיומנויות של הכפלת מספרים מעורבים, שקול את הפתרון של דוגמה אחרת.
תעשה את הכפל.
מספרים מצחיקים ושווים לשברים 13/5 ו-10/9, בהתאמה. לאחר מכן 
. בשלב זה, זה הזמן לזכור לגבי הפחתת השבר: נחליף את כל המספרים בשבר בהרחבותיהם לגורמים ראשוניים, ונבצע את הפחתת אותם גורמים.
כפל של מספר מעורב ומספר טבעי
לאחר החלפת המספר המעורב בשבר לא תקין, הכפלת מספר מעורב ומספר טבעימצטמצם לכפל של שבר רגיל ומספר טבעי.
הכפל את המספר המעורב ואת המספר הטבעי 45.
מספר מעורב הוא שבר, אם כן 
. הבה נחליף את המספרים בשבר המתקבל בהרחבות שלהם לגורמים ראשוניים, נעשה הפחתה, ולאחר מכן נבחר את החלק השלם: .
.
הכפל של מספר מעורב ומספר טבעי נעשה לעתים בצורה נוחה באמצעות התכונה החלוקה של הכפל ביחס לחיבור. במקרה זה, המכפלה של מספר מעורב ומספר טבעי שווה לסכום המכפלה של החלק השלם והנתון מספר טבעיוהחלק השברי של המספר הטבעי הנתון, כלומר, 
.
מחשב את המוצר.
אנו מחליפים את המספר המעורב בסכום של החלקים השלמים והשברים, ולאחר מכן אנו מיישמים את התכונה החלוקה של הכפל: .
הכפלת מספר מעורב ושבר משותףהכי נוח להפחית לכפל של שברים רגילים, המייצגים את המספר המעורב המוכפל כשבר לא תקין.
הכפל את המספר המעורב בשבר המשותף 4/15.
החלפת המספר המעורב בשבר, נקבל 
.
www.cleverstudents.ru
הכפלה של מספרים שברים
§ 140. הגדרות. 1) הכפלה של מספר שבר במספר שלם מוגדרת באותו אופן כמו הכפל של מספרים שלמים, כלומר: להכפיל מספר כלשהו (מכפיל) במספר שלם (פקטור) פירושו ליצור סכום של איברים זהים, שבהם כל איבר שווה למכפיל, ומספר האיברים שווה למכפיל.
אז הכפלה ב-5 פירושה למצוא את הסכום:
2) להכפיל מספר כלשהו (מכפיל) בשבר (מכפיל) פירושו למצוא את השבר הזה של הכפל.
לפיכך, מציאת שבר של מספר נתון, שחשבנו עליו קודם, נקרא כעת כפל בשבר.
3) להכפיל מספר כלשהו (מכפיל) במספר מעורב (גורם) פירושו להכפיל את הכפל תחילה במספר השלם של הגורם, אחר כך בשבר של הגורם, ולחבר את תוצאות שתי הכפלות הללו יחד.
לדוגמה:
המספר המתקבל לאחר הכפל נקרא בכל המקרים הללו עֲבוֹדָה, כלומר, באותו אופן כמו כאשר מכפילים מספרים שלמים.
מהגדרות אלו ברור שכפל מספרים שברים היא פעולה שתמיד אפשרית ותמיד חד משמעית.
§ 141. כדאיות ההגדרות הללו.כדי להבין את כדאיות הכנסת שתי ההגדרות האחרונות של כפל בחשבון, הבה ניקח את הבעיה הבאה:
מְשִׁימָה. הרכבת, נעה באופן שווה, נוסעת 40 ק"מ לשעה; איך לגלות כמה קילומטרים הרכבת הזו תיסע במספר שעות נתון?
אם היינו נשארים עם אותה הגדרה של כפל, המצוינת בחשבון של מספרים שלמים (הוספת איברים שווים), אז לבעיה שלנו היו שלושה פתרונות שונים, כלומר:
אם מספר השעות הנתון הוא מספר שלם (לדוגמה, 5 שעות), אז כדי לפתור את הבעיה, יש להכפיל 40 ק"מ במספר השעות הזה.
אם מספר שעות נתון מבוטא כשבר (לדוגמה, שעות), אז תצטרך למצוא את הערך של שבר זה מ-40 ק"מ.
לבסוף, אם מספר השעות הנתון מעורב (לדוגמה, שעות), יהיה צורך להכפיל 40 ק"מ במספר שלם הכלול במספר המעורב, ולהוסיף לתוצאה שבר כזה מ-40 ק"מ כפי שנמצא ב- מספר מעורב.
ההגדרות שנתנו מאפשרות את כל אלה מקרים אפשרייםתן תשובה אחת כללית:
יש להכפיל 40 ק"מ במספר השעות הנתון, יהיה אשר יהיה.
לפיכך, אם המשימה מוצגת ב השקפה כלליתכך:
רכבת שנוסעת באופן אחיד נוסעת v ק"מ לשעה. כמה קילומטרים תעבור הרכבת ב-t שעות?
לאחר מכן, יהיו המספרים v ו-t אשר יהיו, נוכל לבטא תשובה אחת: המספר הרצוי מבוטא בנוסחה v · t.
הערה. מציאת שבר כלשהו של מספר נתון, לפי ההגדרה שלנו, פירושו אותו דבר כמו הכפלת מספר נתון בשבר זה; לכן, למשל, למצוא 5% (כלומר חמש מאיות) ממספר נתון פירושו זהה להכפלת המספר הנתון ב- או בפי; מציאת 125% ממספר נתון זהה להכפלת המספר הזה ב- או ב- וכו'.
§ 142. הערה לגבי מתי מספר גדל ומתי הוא יורד מכפל.
מכפלה בשבר תקין המספר יורד, ומכפל בשבר לא תקין, המספר גדל אם שבר פסול זה גדול מאחד, ונשאר ללא שינוי אם הוא שווה לאחד.
תגובה. כאשר מכפילים מספרים שברים, כמו גם מספרים שלמים, המכפלה נלקחת שווה לאפס אם כל אחד מהגורמים שווה לאפס, אז,.
§ 143. גזירת כללי הכפל.
1) הכפלת שבר במספר שלם. תן להכפיל את השבר ב-5. זה אומר להגדיל פי 5. כדי להגדיל שבר ב-5, מספיק להגדיל את המונה שלו או להקטין את המכנה שלו פי 5 (§ 127).
זו הסיבה:
חוק מספר 1. כדי להכפיל שבר במספר שלם, עליך להכפיל את המונה במספר שלם זה, ולהשאיר את המכנה זהה; במקום זאת, אתה יכול גם לחלק את המכנה של השבר במספר השלם הנתון (אם אפשר), ולהשאיר את המונה זהה.
תגובה. מכפלת השבר והמכנה שלו שווה למונה שלו.
כך:
כלל 2. כדי להכפיל מספר שלם בשבר, אתה צריך להכפיל את המספר השלם במונה של השבר ולהפוך את המכפלה הזה למונה, ולחתום על המכנה של השבר הנתון כמכנה.
כלל 3. כדי להכפיל שבר בשבר, צריך להכפיל את המונה במונה ואת המכנה במכנה ולהפוך את המכפלה הראשונה למונה והשני למכנה של המכפלה.
תגובה. ניתן להחיל כלל זה גם על כפל של שבר במספר שלם ומספר שלם בשבר, אם רק נתייחס למספר השלם כשבר עם מכנה של אחד. כך:
לפיכך, שלושת הכללים המוזכרים כעת כלולים באחד, אשר ניתן לבטא באופן כללי כדלקמן:
4) כפל מספרים מעורבים.
כלל 4. כדי להכפיל מספרים מעורבים, עליך להמיר אותם לשברים לא תקינים ולאחר מכן להכפיל לפי הכללים להכפלת שברים. לדוגמה:
§ 144. צמצום בכפל. כאשר מכפילים שברים, במידת האפשר, יש לבצע הפחתה ראשונית, כפי שניתן לראות מהדוגמאות הבאות:
הפחתה כזו יכולה להיעשות מכיוון שערכו של שבר לא ישתנה אם המונה והמכנה יופחתו באותו מספר פעמים.
§ 145. שינוי מוצר עם שינוי גורמים.כאשר הגורמים משתנים, מכפלת המספרים השבריים תשתנה בדיוק באותו אופן כמו מכפלת המספרים השלמים (§ 53), כלומר: אם תגדיל (או תקטין) גורם כלשהו מספר פעמים, אז המכפלה תגדל (או תקטן) באותה כמות.
אז אם בדוגמה:
כדי להכפיל מספר שברים, יש צורך להכפיל את המונים שלהם בינם לבין עצמם ואת המכנים בינם לבין עצמם ולהפוך את המכפלה הראשונה למונה ואת השני למכנה של המכפלה.
תגובה. ניתן להחיל כלל זה גם על מוצרים כאלה שבהם חלק מהגורמים של המספר הם מספרים שלמים או מעורבים, אם רק ניקח בחשבון את המספר השלם כשבר שהמכנה שלו הוא אחד, ונהפוך מספרים מעורבים לשברים לא תקינים. לדוגמה:
§ 147. תכונות בסיסיות של כפל.אותן תכונות של הכפל שציינו עבור מספרים שלמים (§ 56, 57, 59) שייכות גם לכפל של מספרים שברים. בוא נפרט את המאפיינים האלה.
1) המוצר אינו משתנה משינוי מקומות הגורמים.
לדוגמה:
אכן, לפי כלל הפסקה הקודמת, המכפלה הראשונה שווה לשבר, והשנייה שווה לשבר. אבל השברים האלה זהים, כי האיברים שלהם נבדלים רק בסדר הגורמים השלמים, והמכפלה של המספרים השלמים לא משתנה כשהגורמים מחליפים מקום.
2) המוצר לא ישתנה אם קבוצת גורמים כלשהי תוחלף במוצר שלהם.
לדוגמה:
התוצאות זהות.
מתכונת הכפל הזה נוכל להסיק את המסקנה הבאה:
כדי להכפיל מספר כלשהו במכפלה, אתה יכול להכפיל את המספר הזה בגורם הראשון, להכפיל את המספר המתקבל בשני, וכן הלאה.
לדוגמה:
3) החוק החלוקתי של הכפל (בקשר לחיבור). כדי להכפיל את הסכום במספר כלשהו, ניתן להכפיל כל איבר במספר זה בנפרד ולהוסיף את התוצאות.
חוק זה הוסבר על ידינו (סעיף 59) כפי שהוחל על מספרים שלמים. זה נשאר נכון ללא שינויים עבור מספרים שברים.
הבה נראה, למעשה, שהשוויון
(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .
(החוק החלוקתי של הכפל ביחס לחיבור) נשאר נכון גם כאשר האותיות מתכוונות מספרים שברים. בואו נבחן שלושה מקרים.
1) נניח תחילה שהגורם m הוא מספר שלם, למשל m = 3 (a, b, c הם כל מספר). על פי הגדרת הכפל במספר שלם, ניתן לכתוב (מוגבל לשם הפשטות לשלושה איברים):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
על בסיס החוק האסוציאטיבי של החיבור, נוכל להשמיט את כל הסוגריים בצד ימין; בהחלת החוק הקומוטטיבי של החיבור, ואחר כך שוב את האסוציאטיבי, נוכל כמובן לשכתב צד ימיןכך:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
מכאן שהדין החלוקתי במקרה זה מאושר.
כפל וחילוק שברים
בפעם הקודמת למדנו איך להוסיף ולחסיר שברים (ראה שיעור "חיבור והפחתה של שברים"). הרגע הקשה ביותר בפעולות הללו היה הבאת שברים למכנה משותף.
עכשיו הגיע הזמן להתמודד עם כפל וחילוק. החדשות הטובות הן שפעולות אלו קלות אפילו יותר מחיבור וחיסור. ראשית, שקול את המקרה הפשוט ביותר, כאשר ישנם שני שברים חיוביים ללא חלק שלם מובחן.
כדי להכפיל שני שברים, אתה צריך להכפיל את המונים והמכנים שלהם בנפרד. המספר הראשון יהיה המונה של השבר החדש, והשני יהיה המכנה.
כדי לחלק שני שברים, אתה צריך להכפיל את השבר הראשון בשני "ההפוך".
מההגדרה עולה שחלוקת השברים מצטמצמת לכפל. כדי להפוך שבר, פשוט החליפו את המונה והמכנה. לכן, את כל השיעור נשקול בעיקר כפל.
כתוצאה מהכפל, יכול להיווצר שבר מופחת (ולעיתים קרובות עולה) - כמובן שיש לצמצם אותו. אם לאחר כל ההפחתות התברר שהשבר אינו נכון, יש להבחין בו את כל החלק. אבל מה שבדיוק לא יקרה עם הכפל הוא צמצום למכנה משותף: אין שיטות צולבות, גורמים מקסימליים וכפולות משותפים לפחות.
בהגדרה יש לנו:
כפל שברים עם חלק שלם ושברים שליליים
אם יש חלק שלם בשברים, יש להמיר אותם לשברים לא תקינים - ורק אז להכפיל אותם לפי הסכמות שפורטו לעיל.
אם יש מינוס במונה של שבר, במכנה או לפניו, ניתן להוציאו מגבולות הכפל או להסירו לגמרי לפי הכללים הבאים:
- פלוס פעמים מינוס נותן מינוס;
- שתי שליליות גורמות לחיוב.
עד כה, כללים אלה נתקלו רק בחיבור וחיסור. שברים שלילייםכשנדרש להיפטר מכל החלק. עבור מוצר, ניתן להכליל אותם כדי "לשרוף" כמה מינוסים בבת אחת:
- אנו חוצים את המינוסים בזוגות עד שהם נעלמים לחלוטין. במקרה קיצוני, מינוס אחד יכול לשרוד - זה שלא מצא התאמה;
- אם לא נותרו מינוסים, הפעולה הושלמה - אפשר להתחיל להכפיל. אם המינוס האחרון לא נחצה, מכיוון שהוא לא מצא זוג, נוציא אותו מגבולות הכפל. אתה מקבל שבר שלילי.
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:
אנו מתרגמים את כל השברים לשברים לא תקינים, ואז אנו מוציאים את המינוסים מחוץ לגבולות הכפל. מה שנשאר מוכפל לפי הכללים הרגילים. אנחנו מקבלים:
הרשו לי להזכיר לכם שוב שהמינוס שבא לפני שבר עם חלק שלם מודגש מתייחס ספציפית לכל השבר, ולא רק לחלק השלם שלו (זה חל על שתי הדוגמאות האחרונות).
שימו לב גם ל מספרים שליליים: כשמכפילים אותם, הם מוקפים בסוגריים. זה נעשה על מנת להפריד את המינוסים מסימני הכפל ולהפוך את כל הסימון למדויק יותר.
הפחתת שברים תוך כדי תנועה
הכפל הוא פעולה מאוד מפרכת. המספרים כאן די גדולים, וכדי לפשט את המשימה, אתה יכול לנסות לצמצם את השבר עוד יותר לפני הכפל. למעשה, בעצם, המונים והמכנים של שברים הם גורמים רגילים, ולכן ניתן לצמצם אותם באמצעות התכונה הבסיסית של שבר. תסתכל על הדוגמאות:
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:
בהגדרה יש לנו:
בכל הדוגמאות המספרים שצומצמו ומה שנשאר מהם מסומנים באדום.
שימו לב: במקרה הראשון, המכפילים הופחתו לחלוטין. יחידות נותרו במקומן, שבאופן כללי ניתן לוותר עליהן. בדוגמה השנייה לא ניתן היה להגיע להפחתה מוחלטת, אך סך החישובים עדיין ירד.
עם זאת, בשום מקרה אל תשתמש בטכניקה זו בעת חיבור וחיסור שברים! כן, לפעמים יש מספרים דומים שפשוט רוצים להפחית. הנה, תראה:
אתה לא יכול לעשות את זה!
השגיאה מתרחשת בשל העובדה שכאשר מוסיפים שבר, הסכום מופיע במונה של שבר, ולא במכפלה של מספרים. לכן, אי אפשר ליישם את המאפיין העיקרי של שבר, שכן במאפיין זה אנחנו מדבריםמדובר על הכפלת מספרים.
פשוט אין סיבה אחרת לצמצם שברים, אז הפתרון הנכון לבעיה הקודמת נראה כך:
כפי שאתה יכול לראות, התשובה הנכונה התבררה כל כך לא יפה. באופן כללי, היזהר.
כפל שברים.
כדי להכפיל נכון שבר בשבר או שבר במספר, אתה צריך לדעת כללים פשוטים. כעת ננתח כללים אלה בפירוט.
הכפלת שבר בשבר.
כדי להכפיל שבר בשבר, עליך לחשב את מכפלת המונים ואת מכפלת המכנים של השברים הללו.
שקול דוגמה:
נכפיל את המונה של השבר הראשון עם המונה של השבר השני, וכן נכפיל את המכנה של השבר הראשון עם המכנה של השבר השני.
הכפלת שבר במספר.
נתחיל עם הכלל כל מספר יכול להיות מיוצג כשבר \(\bf n = \frac \) .
בואו נשתמש בכלל זה לכפל.
השבר הלא תקין \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) הומר לשבר מעורב.
במילים אחרות, כאשר מכפילים מספר בשבר, מכפילים את המספר במונה ומשאירים את המכנה ללא שינוי.דוגמא:
הכפלה של שברים מעורבים.
כדי להכפיל שברים מעורבים, תחילה עליך לייצג כל שבר מעורב כשבר לא תקין, ולאחר מכן להשתמש בכלל הכפל. המונה מוכפל עם המונה, המכנה מוכפל עם המכנה.
הכפלה של שברים ומספרים הדדיים.
שאלות קשורות:
איך מכפילים שבר בשבר?
תשובה: המכפלה של שברים רגילים היא הכפלה של המונה עם המונה, המכנה עם המכנה. כדי לקבל עבודה שברים מעורביםאתה צריך להמיר אותם לשבר לא תקין ולהכפיל לפי הכללים.
איך מכפילים שברים עם מכנים שונים?
תשובה: זה לא משנה אם הם זהים או מכנים שוניםעבור שברים, הכפל מתרחש על פי הכלל של מציאת מכפלת המונה עם המונה, המכנה עם המכנה.
איך מכפילים שברים מעורבים?
תשובה: קודם כל צריך להמיר את השבר המעורב לשבר לא תקין ואז למצוא את המכפלה לפי כללי הכפל.
איך מכפילים מספר בשבר?
תשובה: אנחנו מכפילים את המספר עם המונה, ומשאירים את המכנה זהה.
דוגמה מס' 1:
חשב את המכפלה: א) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)
דוגמה מס' 2:
חשב את המכפלה של מספר ושבר: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)
דוגמה מס' 3:
לכתוב את ההדדיות של השבר \(\frac \)?
תשובה: \(\frac = 3\)
דוגמה מס' 4:
חשב את המכפלה של שני הדדיות: א) \(\frac \times \frac \)
דוגמה מס' 5:
יכולים שברים הפוכים זה לזה להיות:
א) שני השברים הנכונים;
ב) שברים לא תקינים בו זמנית;
ג) מספרים טבעיים בו זמנית?
פִּתָרוֹן:
א) נשתמש בדוגמה כדי לענות על השאלה הראשונה. השבר \(\frac \) נכון, ההדדיות שלו תהיה שווה ל-\(\frac \) - שבר לא תקין. תשובה: לא.
ב) כמעט בכל ספירות השברים, תנאי זה אינו מתקיים, אך ישנם מספר מספרים הממלאים את התנאי של היותו שבר פסול בו-זמנית. לדוגמה, השבר הלא תקין הוא \(\frac \) , ההדדיות שלו היא \(\frac \). נקבל שני שברים לא תקינים. תשובה: לא תמיד בתנאים מסוימים, כאשר המונה והמכנה שווים.
ג) מספרים טבעיים הם המספרים שבהם אנו משתמשים בספירה, למשל, 1, 2, 3, .... אם ניקח את המספר \(3 = \frac \), אז ההדדיות שלו תהיה \(\frac \). השבר \(\frac \) אינו מספר טבעי. אם נעבור על כל המספרים, ההדדיות היא תמיד שבר, מלבד 1. אם ניקח את המספר 1, אז ההדדיות שלו תהיה \(\frac = \frac = 1\). המספר 1 הוא מספר טבעי. תשובה: הם יכולים להיות מספרים טבעיים בו זמנית רק במקרה אחד, אם המספר הזה הוא 1.
דוגמה מס' 6:
בצע את המכפלה של שברים מעורבים: א) \(4 \xtimes 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)
פִּתָרוֹן:
א) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
ב) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)
דוגמה מס' 7:
האם שני מספרים הדדיים יכולים להיות מספרים מעורבים בו זמנית?
בואו נסתכל על דוגמה. ניקח שבר מעורב \(1\frac \), נמצא את ההדדיות שלו, בשביל זה נתרגם אותו לשבר לא תקין \(1\frac = \frac \) . ההדדיות שלו תהיה שווה ל-\(\frac \) . השבר \(\frac \) הוא שבר תקין. תשובה: שני שברים הפוכים זה לזה לא יכולים להיות מספרים מעורבים בו-זמנית.
הכפלת עשרוני במספר טבעי
מצגת לשיעור
תשומת הלב! התצוגה המקדימה של השקופית היא למטרות מידע בלבד וייתכן שאינה מייצגת את מלוא היקף המצגת. אם אתה מעוניין העבודה הזואנא הורד את הגרסה המלאה.
- הכירו לתלמידים בצורה מהנה את הכלל של הכפלת שבר עשרוני במספר טבעי, ביחידת סיביות ואת הכלל של ביטוי שבר עשרוני באחוזים. לפתח את היכולת ליישם את הידע הנרכש בפתרון דוגמאות ובעיות.
- לפתח ולהפעיל חשיבה לוגיתהתלמידים, היכולת לזהות דפוסים ולהכליל אותם, לחזק את הזיכרון, את היכולת לשתף פעולה, להעניק סיוע, להעריך את עבודתם ואת עבודתם של זה.
- לטפח עניין במתמטיקה, פעילות, ניידות, יכולת לתקשר.
צִיוּד:לוח אינטראקטיבי, כרזה עם ציפרגרם, פוסטרים עם הצהרות של מתמטיקאים.
- ארגון זמן.
- ספירה בעל פה היא הכללה של חומר שנלמד בעבר, הכנה ללימוד חומר חדש.
- הסבר על חומר חדש.
- שיעורי בית.
- חינוך גופני מתמטי.
- הכללה ושיטתיות של הידע הנרכש ב צורת משחקלהשתמש במחשב.
- תִשׁבּוּץ.
2. חבר'ה, היום השיעור שלנו יהיה קצת יוצא דופן, כי אני לא אבלה אותו לבד, אלא עם חבר שלי. וגם החבר שלי יוצא דופן, עכשיו תראה אותו. (מחשב מצויר מופיע על המסך.) לחבר שלי יש שם והוא יכול לדבר. איך קוראים לך חבר? קומפוזה עונה: "שמי קומפוזה". האם אתה מוכן לעזור לי היום? כן! טוב אז בואו נתחיל את השיעור.
היום קיבלתי ציפרגרם מוצפן, חבר'ה, שעלינו לפתור ולפענח ביחד. (על הלוח מועלה פוסטר עם חשבון בעל פה לחיבור והפחתה של שברים עשרוניים, וכתוצאה מכך החבר'ה מקבלים את הקוד הבא 523914687. )
קומפוזה עוזרת לפענח את הקוד שהתקבל. כתוצאה מהפענוח מתקבלת המילה MULTIPLICATION. כפל היא מילת המפתח של נושא השיעור של היום. נושא השיעור מוצג על הצג: "כפל שבר עשרוני במספר טבעי"
חבר'ה, אנחנו יודעים איך מתבצע הכפל של מספרים טבעיים. היום נסתכל על הכפל. מספרים עשרונייםלמספר טבעי. הכפלה של שבר עשרוני במספר טבעי יכולה להיחשב כסכום האיברים, שכל אחד מהם שווה לשבר עשרוני זה, ומספר האיברים שווה למספר הטבעי הזה. לדוגמה: 5.21 3 = 5.21 + 5, 21 + 5.21 = 15.63 אז 5.21 3 = 15.63. המייצג את 5.21 כשבריר רגיל של מספר טבעי, אנו מקבלים
ובמקרה הזה, קיבלנו את אותה תוצאה של 15.63. כעת, בהתעלם מהפסיק, ניקח את המספר 521 במקום המספר 5.21 ונכפיל במספר הטבעי הנתון. כאן עלינו לזכור שבאחד הגורמים הפסיק מזיז שני מקומות ימינה. כשמכפילים את המספרים 5, 21 ו-3, נקבל מכפלה השווה ל-15.63. כעת, בדוגמה זו, נעביר את הפסיק שמאלה בשתי ספרות. לפיכך, בכמה פעמים הוגדל אחד הגורמים, המוצר הצטמצם כל כך הרבה פעמים. בהתבסס על הנקודות הדומות של שיטות אלה, אנו מסיקים מסקנה.
להתרבות נקודהלמספר טבעי, אתה צריך:
1) התעלמות מהפסיק, בצע את הכפל של המספרים הטבעיים;
2) במוצר המתקבל, הפרד עם פסיק מימין כמה תווים שיש בשבר עשרוני.
הדוגמאות הבאות מוצגות על המוניטור, אותם אנו מנתחים יחד עם קומפוזה והחבר'ה: 5.21 3 = 15.63 ו-7.624 15 = 114.34. אחרי שאני מראה כפל במספר עגול 12.6 50 \u003d 630. לאחר מכן, אני פונה לכפל של שבר עשרוני ביחידת סיביות. אני מציג את הדוגמאות הבאות: 7.423 100 \u003d 742.3 ו-5.2 1000 \u003d 5200. אז, אני מציג את הכלל להכפלת שבר עשרוני ביחידת סיביות:
כדי להכפיל שבר עשרוני ביחידות סיביות 10, 100, 1000 וכו', יש צורך להזיז את הפסיק ימינה בשבר זה במספר ספרות ככל שיש אפסים ברשומת יחידת הסיביות.
אני מסיים את ההסבר בביטוי של שבר עשרוני באחוזים. אני נכנס לכלל:
כדי לבטא עשרוני באחוזים, הכפל אותו ב-100 והוסף את הסימן %.
אני נותן דוגמה במחשב 0.5 100 = 50 או 0.5 = 50%.
4. בסוף ההסבר, אני נותן לחבר'ה שיעורי בית, שמוצגים גם על צג המחשב: № 1030, № 1034, № 1032.
5. כדי שהחבר'ה ינוחו קצת, כדי לגבש את הנושא, אנחנו עושים מפגש חינוך גופני מתמטי ביחד עם קומפוזה. כולם קמים, מראים לכיתה את הדוגמאות שנפתרו ועליהם לענות אם הדוגמה נכונה או לא נכונה. אם הדוגמה נפתרה נכון, אז הם מרימים את ידיהם מעל לראשיהם ומוחאים כפיים. אם הדוגמה לא נפתרה נכון, החבר'ה מותחים את הידיים לצדדים ולשים את האצבעות.
6. ועכשיו יש לך קצת מנוחה, אתה יכול לפתור את המשימות. פתח את ספר הלימוד שלך לעמוד 205, № 1029. במשימה זו יש צורך לחשב את הערך של ביטויים:
משימות מופיעות במחשב. כשהם נפתרים, מופיעה תמונה עם תמונה של סירה, שכאשר היא מורכבת במלואה, מפליגה משם.
בפתרון משימה זו במחשב, הרקטה מתפתחת בהדרגה, כאשר פותרים את הדוגמה האחרונה, הרקטה עפה משם. המורה מוסרת מידע קטן לתלמידים: "כל שנה מארץ קזחית מהקוסמודרום בייקונור ממריאים לכוכבים חלליות. ליד Baikonur, קזחסטן בונה את הקוסמודרום החדש שלה Baiterek.
כמה רחוק תיסע מכונית ב-4 שעות אם מהירות המכונית היא 74.8 קמ"ש.
שובר מתנה לא יודעים מה לתת לאדם המשמעותי שלכם, חברים, עובדים, קרובי משפחה? נצלו את ההצעה המיוחדת שלנו: "תעודת מתנה של מלון קאנטרי בלו אוסוקה". התעודה […]
נשקול את הכפל של שברים רגילים בכמה דרכים אפשריות.
הכפלת שבר בשבר
זהו המקרה הפשוט ביותר, שבו אתה צריך להשתמש בדברים הבאים כללי כפל שברים.
ל להכפיל שבר בשבר, נחוץ:
- הכפלו את המונה של השבר הראשון במונה של השבר השני ורשמו את המכפלה שלהם למונה של השבר החדש;
- הכפלו את המכנה של השבר הראשון במכנה של השבר השני ורשמו את המכפלה שלהם למכנה של השבר החדש;
- הוספת שברים עם אותם מכנים
- הוספת שברים עם מכנים שונים
לפני הכפלת המונים והמכנים, בדוק אם ניתן לצמצם את השברים. הפחתת שברים בחישובים תקל מאוד על החישובים שלך.
הכפלת שבר במספר טבעי
לשבר להכפיל במספר טבעיעליך להכפיל את מונה השבר במספר זה, ולהשאיר את המכנה של השבר ללא שינוי.
אם תוצאת הכפל היא שבר לא תקין, אל תשכח להפוך אותו למספר מעורב, כלומר, בחר את החלק כולו.
הכפלה של מספרים מעורבים
כדי להכפיל מספרים מעורבים, תחילה עליך להמיר אותם לשברים לא תקינים ולאחר מכן להכפיל לפי הכלל להכפלת שברים רגילים.
דרך נוספת להכפיל שבר במספר טבעי
לפעמים בחישובים נוח יותר להשתמש בשיטה אחרת להכפלת שבר רגיל במספר.
כדי להכפיל שבר במספר טבעי, צריך לחלק את המכנה של השבר במספר זה, ולהשאיר את המונה זהה.
כפי שניתן לראות מהדוגמה, נוח יותר להשתמש בגרסה זו של הכלל אם המכנה של השבר מתחלק ללא שארית במספר טבעי.
פעולות עם שברים
הוספת שברים עם אותם מכנים
הוספת שברים היא משני סוגים:
נתחיל בהוספת שברים עם אותם מכנים. הכל פשוט כאן. כדי להוסיף שברים עם אותם מכנים, עליך להוסיף את המונים שלהם, ולהשאיר את המכנה ללא שינוי. לדוגמה, בואו נוסיף את השברים ואת . אנו מוסיפים את המונים ומשאירים את המכנה ללא שינוי:
ניתן להבין בקלות את הדוגמה הזו אם נחשוב על פיצה שמחולקת לארבעה חלקים. אם אתה מוסיף פיצה לפיצה, אתה מקבל פיצה:
דוגמה 2הוסף שברים ו.
שוב, הוסף את המונה, והשאר את המכנה ללא שינוי:
התשובה היא שבר לא תקין. אם סוף המשימה מגיע, אז נהוג להיפטר משברים לא תקינים. כדי להיפטר משבר לא תקין, עליך לבחור את כל החלק בו. במקרה שלנו, החלק השלם מוקצה בקלות - שניים חלקי שניים שווה לאחד:
ניתן להבין בקלות את הדוגמה הזו אם נחשוב על פיצה שמחולקת לשני חלקים. אם מוסיפים עוד פיצות לפיצה, מקבלים פיצה אחת שלמה:
דוגמה 3. הוסף שברים ו.
ניתן להבין בקלות את הדוגמה הזו אם נחשוב על פיצה המחולקת לשלושה חלקים. אם תוסיפו פיצות נוספות לפיצה, תקבלו פיצות:
דוגמה 4מצא את הערך של ביטוי 
דוגמה זו נפתרת בדיוק באותו אופן כמו הקודמות. יש להוסיף את המונים ולהשאיר את המכנה ללא שינוי:
בואו ננסה לתאר את הפתרון שלנו באמצעות תמונה. אם מוסיפים פיצות לפיצה ומוסיפים פיצות נוספות, מקבלים פיצה אחת שלמה ועוד פיצות.
כפי שאתה יכול לראות, הוספת שברים עם אותם מכנים אינה קשה. זה מספיק כדי להבין את הכללים הבאים:
- כדי להוסיף שברים עם אותו מכנה, אתה צריך להוסיף את המונים שלהם, ולהשאיר את המכנה זהה;
- אם התשובה התבררה כשבריר לא תקין, אז אתה צריך לבחור את כל החלק בו.
- מצא את LCM של מכנים של שברים;
- חלקו את ה-LCM במכנה של כל שבר וקבל מכפיל נוסף עבור כל שבר;
- הכפל את המונים והמכנים של השברים בגורמים הנוספים שלהם;
- הוסף שברים בעלי אותם מכנים;
- אם התברר שהתשובה היא שבר לא תקין, בחר את כל החלק שלה;
- חיסור של שברים עם אותם מכנים
- חיסור של שברים עם מכנים שונים
הוספת שברים עם מכנים שונים
כעת נלמד כיצד להוסיף שברים עם מכנים שונים. כאשר מוסיפים שברים, המכנים של אותם שברים חייבים להיות זהים. אבל הם לא תמיד זהים.
לדוגמה, ניתן להוסיף שברים כי יש להם אותם מכנים.
אבל אי אפשר להוסיף שברים בבת אחת, כי לשברים האלה יש מכנים שונים. במקרים כאלה, יש לצמצם שברים לאותו מכנה (משותף).
ישנן מספר דרכים לצמצם שברים לאותו מכנה. היום נשקול רק אחת מהן, שכן שאר השיטות עשויות להיראות מסובכות למתחילים.
המהות של שיטה זו היא שתחילה מחפשים את הכפולה הפחות משותפת (LCM) של המכנים של שני השברים. לאחר מכן מחלקים את ה-LCM במכנה של השבר הראשון ומתקבל הגורם הנוסף הראשון. הם עושים את אותו הדבר עם השבר השני - ה-NOC מחולק במכנה של השבר השני ומתקבל הגורם הנוסף השני.
לאחר מכן מוכפלים המונים והמכנים של השברים בגורמים הנוספים שלהם. כתוצאה מפעולות אלו, שברים שהיו להם מכנים שונים הופכים לשברים בעלי אותם מכנים. ואנחנו כבר יודעים להוסיף שברים כאלה.
דוגמה 1. הוסף שברים ו
לשברים האלה יש מכנים שונים, אז צריך להביא אותם לאותו מכנה (משותף).
ראשית, אנו מוצאים את הכפולה הפחות משותפת של המכנים של שני השברים. המכנה של השבר הראשון הוא המספר 3, והמכנה של השבר השני הוא המספר 2. הכפולה הפחות משותפת של המספרים הללו היא 6
LCM (2 ו-3) = 6
כעת נחזור לשברים ו. ראשית, נחלק את ה-LCM במכנה של השבר הראשון ונקבל את הגורם הנוסף הראשון. LCM הוא המספר 6, והמכנה של השבר הראשון הוא המספר 3. נחלק 6 ב-3, נקבל 2.
המספר 2 המתקבל הוא הגורם הנוסף הראשון. אנחנו רושמים את זה לשבר הראשון. לשם כך, אנו יוצרים קו אלכסוני קטן מעל השבר ורושמים את הגורם הנוסף שנמצא מעליו:
אנחנו עושים את אותו הדבר עם השבר השני. נחלק את ה-LCM במכנה של השבר השני ונקבל את הגורם הנוסף השני. LCM הוא המספר 6, והמכנה של השבר השני הוא המספר 2. נחלק 6 ב-2, נקבל 3.
המספר 3 המתקבל הוא הגורם הנוסף השני. אנחנו כותבים את זה לשבר השני. שוב, אנו יוצרים קו אלכסוני קטן מעל השבר השני ונכתוב מעליו את הגורם הנוסף שנמצא:
עכשיו כולנו מוכנים להוסיף. נותר להכפיל את המונים והמכנים של השברים בגורמים הנוספים שלהם:
תסתכל מקרוב על מה שהגענו אליו. הגענו למסקנה ששברים בעלי מכנים שונים הפכו לשברים בעלי אותם מכנים. ואנחנו כבר יודעים להוסיף שברים כאלה. בוא נשלים את הדוגמה הזו עד הסוף:
כך מסתיימת הדוגמה. להוסיף מסתבר.
בואו ננסה לתאר את הפתרון שלנו באמצעות תמונה. אם מוסיפים פיצה לפיצה, מקבלים פיצה אחת שלמה ועוד שישית של פיצה:
הפחתת שברים לאותו מכנה (משותף) יכולה להיות מתוארת גם באמצעות תמונה. מביאים את השברים ולמכנה משותף, נקבל את השברים ו. שני השברים האלה יוצגו על ידי אותן פרוסות פיצות. ההבדל היחיד יהיה שהפעם הם יחולקו לחלקים שווים (יצטמצמו לאותו מכנה).
הציור הראשון מציג שבר (ארבעה חלקים מתוך שש) והתמונה השנייה מציגה שבר (שלושה חלקים מתוך שש). אם נחבר את החלקים האלה ביחד אנחנו מקבלים (שבע חלקים מתוך שישה). השבר הזה שגוי, אז הדגשנו את החלק השלם שבו. התוצאה הייתה (פיצה אחת שלמה ועוד פיצה שישית).
שימו לב שציירנו את הדוגמה הזו בפירוט רב מדי. במוסדות חינוך לא נהוג לכתוב בצורה כל כך מפורטת. אתה צריך להיות מסוגל למצוא במהירות את ה-LCM של שני המכנים והגורמים הנוספים להם, כמו גם להכפיל במהירות את הגורמים הנוספים שנמצאו על ידי המונים והמכנים שלך. בזמן הלימודים, נצטרך לכתוב את הדוגמה הבאה:
אבל יש גם הצד האחורימדליות. אם אין הערות מפורטות בשלבים הראשונים של לימוד מתמטיקה, אז שאלות מסוג זה "מאיפה המספר הזה?", "למה שברים הופכים פתאום לשברים שונים לגמרי? «.
כדי להקל על הוספת שברים עם מכנים שונים, תוכל להשתמש בהוראות המפורטות הבאות:
דוגמה 2מצא את הערך של ביטוי 
.
בואו נשתמש בתרשים למעלה.
שלב 1. מצא את ה-LCM עבור המכנים של השברים
אנו מוצאים את LCM עבור המכנים של שני השברים. המכנים של השברים הם המספרים 2, 3 ו-4. אתה צריך למצוא את ה-LCM עבור המספרים האלה:
שלב 2. חלקו את LCM במכנה של כל שבר וקבל מכפיל נוסף עבור כל שבר
מחלקים את ה-LCM במכנה של השבר הראשון. LCM הוא המספר 12, והמכנה של השבר הראשון הוא המספר 2. נחלק 12 ב-2, נקבל 6. קיבלנו את הגורם הנוסף הראשון 6. נכתוב אותו על השבר הראשון:
כעת נחלק את LCM במכנה של השבר השני. LCM הוא המספר 12, והמכנה של השבר השני הוא המספר 3. נחלק 12 ב-3, נקבל 4. קיבלנו את הגורם השני הנוסף 4. נכתוב אותו על השבר השני:
כעת נחלק את ה-LCM במכנה של השבר השלישי. LCM הוא המספר 12, והמכנה של השבר השלישי הוא המספר 4. נחלק 12 ב-4, נקבל 3. קיבלנו את הגורם השלישי הנוסף 3. נכתוב אותו על השבר השלישי:
שלב 3. הכפל את המונים והמכנים של השברים בגורמים הנוספים שלך
אנו מכפילים את המונים והמכנים בגורמים הנוספים שלנו:
שלב 4. הוסף שברים בעלי אותם מכנים
הגענו למסקנה ששברים בעלי מכנים שונים הפכו לשברים בעלי אותם מכנים (משותפים). נותר להוסיף את השברים הללו. להוסיף:
התוספת לא התאימה לשורה אחת, אז העברנו את הביטוי הנותר לשורה הבאה. זה מותר במתמטיקה. כאשר ביטוי אינו מתאים לשורה אחת, הוא מועבר לשורה הבאה, ויש צורך לשים סימן שוויון (=) בסוף השורה הראשונה ובתחילת שורה חדשה. סימן השוויון בשורה השנייה מציין שזהו המשך של הביטוי שהיה בשורה הראשונה.
שלב 5. אם התברר שהתשובה היא שבר לא תקין, בחר את החלק השלם שלו
התשובה שלנו היא שבר לא תקין. עלינו לייחד את כל החלק בו. אנו מדגישים:
קיבלתי תשובה
חיסור של שברים עם אותם מכנים
ישנם שני סוגים של חיסור שברים:
ראשית, בואו נלמד כיצד להחסיר שברים עם אותם מכנים. הכל פשוט כאן. כדי להחסיר אחר משבר אחד, צריך להחסיר את המונה של השבר השני מהמונה של השבר הראשון, ולהשאיר את המכנה זהה.
לדוגמה, בואו נמצא את הערך של הביטוי . כדי לפתור דוגמה זו, יש צורך להחסיר את המונה של השבר השני מהמונה של השבר הראשון, ולהשאיר את המכנה זהה. בוא נעשה את זה:
ניתן להבין בקלות את הדוגמה הזו אם נחשוב על פיצה שמחולקת לארבעה חלקים. אם אתה חותך פיצה מפיצה, אתה מקבל פיצות:
דוגמה 2מצא את הערך של הביטוי.
שוב, מהמונה של השבר הראשון, מחסירים את המונה של השבר השני, ומשאירים את המכנה זהה:
ניתן להבין בקלות את הדוגמה הזו אם נחשוב על פיצה המחולקת לשלושה חלקים. אם אתה חותך פיצה מפיצה, אתה מקבל פיצות:
דוגמה 3מצא את הערך של ביטוי 
דוגמה זו נפתרת בדיוק באותו אופן כמו הקודמות. מהמונה של השבר הראשון, אתה צריך להחסיר את המונה של השברים הנותרים:
התשובה היא שבר לא תקין. אם הדוגמה שלמה, אז נהוג להיפטר מהשבר הלא תקין. בואו נפטר מהשבר הלא נכון בתשובה. כדי לעשות זאת, בחר את כל החלק שלו:
כפי שאתה יכול לראות, אין שום דבר מסובך בהפחתת שברים עם אותם מכנים. זה מספיק כדי להבין את הכללים הבאים:
חיסור של שברים עם מכנים שונים
לדוגמה, ניתן להחסיר שבר משבר, שכן לשברים אלה יש אותם מכנים. אבל אי אפשר להחסיר שבר משבר, שכן לשברים אלה יש מכנים שונים. במקרים כאלה, יש לצמצם שברים לאותו מכנה (משותף).
המכנה המשותף נמצא על פי אותו עיקרון בו השתמשנו בחיבור שברים בעלי מכנים שונים. קודם כל, מצא את LCM של המכנים של שני השברים. לאחר מכן מחלקים את ה-LCM במכנה של השבר הראשון ומתקבל הגורם הנוסף הראשון, שנכתב על השבר הראשון. באופן דומה, ה-LCM מחולק במכנה של השבר השני ומתקבל גורם נוסף שני, שנכתב על השבר השני.
לאחר מכן מוכפלים השברים בגורמים הנוספים שלהם. כתוצאה מפעולות אלו, שברים שהיו להם מכנים שונים הופכים לשברים בעלי אותם מכנים. ואנחנו כבר יודעים להחסיר שברים כאלה.
דוגמה 1מצא את הערך של ביטוי:
ראשית, אנו מוצאים את LCM של המכנים של שני השברים. המכנה של השבר הראשון הוא המספר 3, והמכנה של השבר השני הוא המספר 4. הכפולה הפחות משותפת של המספרים הללו היא 12
LCM (3 ו-4) = 12
כעת נחזור לשברים ו
הבה נמצא גורם נוסף עבור השבר הראשון. לשם כך, נחלק את ה-LCM במכנה של השבר הראשון. LCM הוא המספר 12, והמכנה של השבר הראשון הוא המספר 3. נחלק 12 ב-3, נקבל 4. נכתוב את הארבעה על השבר הראשון:
אנחנו עושים את אותו הדבר עם השבר השני. נחלק את LCM במכנה של השבר השני. LCM הוא המספר 12, והמכנה של השבר השני הוא המספר 4. נחלק 12 ב-4, נקבל 3. נכתוב את המשולש על השבר השני:
עכשיו כולנו מוכנים לחיסור. נותר להכפיל את השברים בגורמים הנוספים שלהם:
הגענו למסקנה ששברים בעלי מכנים שונים הפכו לשברים בעלי אותם מכנים. ואנחנו כבר יודעים להחסיר שברים כאלה. בוא נשלים את הדוגמה הזו עד הסוף:
קיבלתי תשובה
בואו ננסה לתאר את הפתרון שלנו באמצעות תמונה. אם חותכים פיצות מפיצה, מקבלים פיצות.
זוהי הגרסה המפורטת של הפתרון. בהיותנו בבית הספר, נצטרך לפתור את הדוגמה הזו בצורה קצרה יותר. פתרון כזה ייראה כך:
הקטנה של שברים ולמכנה משותף ניתן גם לתאר באמצעות תמונה. אם נביא את השברים האלה למכנה משותף, נקבל את השברים ואת . השברים האלה יוצגו על ידי אותם פרוסות פיצה, אבל הפעם הם יחולקו לאותם שברים (מופחתים לאותו מכנה):
הציור הראשון מציג שבר (שמונה חלקים מתוך שתים עשרה), והתמונה השנייה מציגה שבר (שלושה חלקים מתוך שתים עשרה). על ידי חיתוך של שלושה חלקים משמונה חלקים, אנו מקבלים חמישה חלקים מתוך שתים עשרה. השבר מתאר את חמשת החלקים הללו.
דוגמה 2מצא את הערך של ביטוי 
לשברים האלה יש מכנים שונים, אז תחילה צריך להביא אותם לאותו מכנה (משותף).
מצא את ה-LCM של המכנים של השברים הללו.
המכנים של השברים הם המספרים 10, 3 ו-5. הכפולה הפחות משותפת של המספרים הללו היא 30
LCM(10, 3, 5) = 30
כעת אנו מוצאים גורמים נוספים עבור כל שבר. לשם כך, נחלק את ה-LCM במכנה של כל שבר.
הבה נמצא גורם נוסף עבור השבר הראשון. LCM הוא המספר 30, והמכנה של השבר הראשון הוא המספר 10. נחלק 30 ב-10, נקבל את הגורם הנוסף הראשון 3. נכתוב אותו על השבר הראשון:
כעת אנו מוצאים גורם נוסף עבור השבר השני. מחלקים את ה-LCM במכנה של השבר השני. LCM הוא המספר 30, והמכנה של השבר השני הוא המספר 3. נחלק 30 ב-3, נקבל את הגורם השני הנוסף 10. נכתוב אותו על השבר השני:
כעת אנו מוצאים גורם נוסף עבור השבר השלישי. מחלקים את ה-LCM במכנה של השבר השלישי. LCM הוא המספר 30, והמכנה של השבר השלישי הוא המספר 5. נחלק 30 ב-5, נקבל את הגורם השלישי הנוסף 6. נכתוב אותו על השבר השלישי:
עכשיו הכל מוכן לחיסור. נותר להכפיל את השברים בגורמים הנוספים שלהם:
הגענו למסקנה ששברים בעלי מכנים שונים הפכו לשברים בעלי אותם מכנים (משותפים). ואנחנו כבר יודעים להחסיר שברים כאלה. בואו נסיים את הדוגמה הזו.
המשך הדוגמה לא יתאים לשורה אחת, ולכן נעביר את ההמשך לשורה הבאה. אל תשכח את סימן השוויון (=) בשורה החדשה:
התשובה התבררה כשברית נכונה, ונראה שהכל מתאים לנו, אבל היא מסורבלת ומכוערת מדי. אנחנו צריכים לעשות את זה פשוט יותר ואסתטי יותר. מה אפשר לעשות? אתה יכול להפחית את השבר הזה. נזכיר שהקטנה של שבר היא החלוקה של המונה והמכנה בגדול מחלק משותףמונה ומכנה.
כדי לצמצם נכון שבר, עליך לחלק את המונה והמכנה שלו במחלק המשותף הגדול ביותר (GCD) של המספרים 20 ו-30.
אל תבלבל GCD עם NOC. הטעות הנפוצה ביותר למתחילים רבים. GCD הוא המחלק המשותף הגדול ביותר. אנחנו מוצאים את זה להפחתת שברים.
ו-LCM הוא הכפול הפחות משותף. אנו מוצאים אותו כדי להביא שברים לאותו מכנה (משותף).
כעת נמצא את המחלק המשותף הגדול ביותר (gcd) של המספרים 20 ו-30.
אז, אנו מוצאים את ה-GCD עבור המספרים 20 ו-30:
GCD (20 ו-30) = 10
כעת נחזור לדוגמא שלנו ונחלק את המונה והמכנה של השבר ב-10:
קיבלתי תשובה יפה
הכפלת שבר במספר
כדי להכפיל שבר במספר, צריך להכפיל את המונה של השבר הנתון במספר זה, ולהשאיר את המכנה זהה.
דוגמה 1. הכפל את השבר במספר 1.
הכפלו את המונה של השבר במספר 1
ניתן להבין את הערך כאילו לוקח חצי פעם אחת. לדוגמה, אם אתה לוקח פיצה פעם אחת, אתה מקבל פיצה
מחוקי הכפל אנו יודעים שאם הכפל והמכפיל מתחלפים, אז המכפלה לא תשתנה. אם הביטוי נכתב כ-, אז המוצר עדיין יהיה שווה ל-. שוב, הכלל להכפלת מספר שלם ושבר עובד:
ניתן להבין את הערך הזה כלוקח מחצית מהיחידה. לדוגמה, אם יש פיצה אחת שלמה וניקח חצי ממנה, אז תהיה לנו פיצה:
דוגמה 2. מצא את הערך של ביטוי
הכפלו את המונה של השבר ב-4
ניתן להבין את הביטוי כלוקח שני רבעים 4 פעמים. לדוגמה, אם אתה לוקח פיצות 4 פעמים, אתה מקבל שתי פיצות שלמות.
ואם נחליף את הכפיל והמכפיל במקומות, נקבל את הביטוי. זה יהיה גם שווה ל-2. ניתן להבין את הביטוי הזה כלקחת שתי פיצות מארבע פיצות שלמות:
כפל שברים
כדי להכפיל שברים, אתה צריך להכפיל את המונים והמכנים שלהם. אם התשובה היא שבר לא תקין, עליך לבחור את כל החלק שבו.
דוגמה 1מצא את הערך של הביטוי.
קיבלתי תשובה. רצוי לצמצם חלק זה. ניתן להקטין את השבר ב-2. ואז הפתרון הסופי יקבל את הצורה הבאה:
ניתן להבין את הביטוי כלקחת פיצה מחצי פיצה. נניח שיש לנו חצי פיצה:
איך לקחת שני שליש מהחצי הזה? ראשית עליך לחלק את החצי הזה לשלושה חלקים שווים:
וקח שניים משלושת החלקים האלה:
אנחנו נביא פיצה. זכרו איך נראית פיצה מחולקת לשלושה חלקים:
פרוסה אחת מהפיצה הזו ושתי הפרוסות שלקחנו יהיו במידות זהות:
במילים אחרות, אנחנו מדברים על אותו גודל פיצה. לכן, ערכו של הביטוי הוא
דוגמה 2. מצא את הערך של ביטוי
הכפלו את המונה של השבר הראשון במונה של השבר השני, ואת המכנה של השבר הראשון במכנה של השבר השני:
התשובה היא שבר לא תקין. בואו ניקח חלק שלם מזה:
דוגמה 3מצא את הערך של ביטוי
התשובה התבררה כשבר נכון, אבל יהיה טוב אם יצטמצם. כדי לצמצם את השבר הזה, יש לחלק אותו ב-gcd של המונה והמכנה. אז בואו נמצא את ה-GCD של המספרים 105 ו-450:
GCD עבור (105 ו-150) הוא 15
כעת נחלק את המונה והמכנה של התשובה שלנו ל-GCD:
מייצג מספר שלם כשבר
כל מספר שלם יכול להיות מיוצג כשבר. לדוגמה, המספר 5 יכול להיות מיוצג כ-. מכאן, החמישה לא ישנו את משמעותם, שכן הביטוי פירושו "מספר חמש חלקי אחד", וזה, כידוע, שווה לחמש:
מספרים הפוכים
עכשיו נכיר נושא מענייןבמתמטיקה. זה נקרא "מספרים הפוכים".
הַגדָרָה. הפוך למספר א הוא המספר שכאשר מוכפל ב א נותן יחידה.
בואו נחליף בהגדרה זו במקום משתנה אמספר 5 ונסה לקרוא את ההגדרה:
הפוך למספר 5 הוא המספר שכאשר מוכפל ב 5 נותן יחידה.
האם ניתן למצוא מספר שכאשר מכפילים אותו ב-5 הוא נותן אחד? מסתבר שאתה יכול. נציג חמישה כשבר:
לאחר מכן תכפילו את השבר הזה בעצמו, פשוט החליפו את המונה והמכנה. במילים אחרות, הכפל את השבר בעצמו, רק הפוך:
מה תהיה התוצאה של זה? אם נמשיך לפתור את הדוגמה הזו, נקבל אחת:
זה אומר שההיפוך של המספר 5 הוא המספר, שכן כאשר 5 מוכפל באחד, מתקבל אחד.
ניתן למצוא את ההדדיות גם עבור כל מספר שלם אחר.
- ההדדיות של 3 היא שבר
- ההדדיות של 4 היא שבר
אתה יכול גם למצוא את ההדדיות עבור כל שבר אחר. כדי לעשות זאת, זה מספיק כדי להפוך אותו.
עקוף כבר את המגרפות האלה! 🙂
כפל וחילוק שברים.
תשומת הלב!
ישנם נוספים
חומר בסעיף מיוחד 555.
למי שחזק "לא מאוד. »
ולמי ש"מאוד שווה. "")
הפעולה הזו הרבה יותר נחמדה מחיבור-חיסור! כי זה יותר קל. אני מזכיר לכם: כדי להכפיל שבר בשבר, צריך להכפיל את המונים (זה יהיה המונה של התוצאה) ואת המכנים (זה יהיה המכנה). זה:
הכל פשוט ביותר. ובבקשה אל תחפשו מכנה משותף! לא צריך את זה כאן...
כדי לחלק שבר בשבר, אתה צריך להפוך שְׁנִיָה(זה חשוב!) שבר והכפל אותם, כלומר:
אם נתפס הכפל או החלוקה עם מספרים שלמים ושברים, זה בסדר. כמו בחיבור, אנחנו יוצרים שבר ממספר שלם עם יחידה במכנה - והולכים! לדוגמה:
בתיכון, לעתים קרובות אתה צריך להתמודד עם שברים של שלוש קומות (או אפילו ארבע קומות!). לדוגמה:
איך להביא את השבר הזה לצורה הגונה? כן, קל מאוד! השתמש בחלוקה לשתי נקודות:
אבל אל תשכח את סדר החלוקה! בניגוד לכפל, זה מאוד חשוב כאן! כמובן, לא נבלבל בין 4:2 או 2:4. אבל בשבר של שלוש קומות קל לטעות. שימו לב, למשל:
במקרה הראשון (ביטוי משמאל):
בשני (ביטוי מימין):
מרגישים את ההבדל? 4 ו-1/9!
מהו סדר החלוקה? או סוגריים, או (כמו כאן) אורך המקפים האופקיים. לפתח עין. ואם אין סוגריים או מקפים, כמו:
ואז לחלק-להכפיל לפי הסדר, משמאל לימין!
ועוד טריק מאוד פשוט וחשוב. בפעולות עם תארים זה יעזור לך! בואו נחלק את היחידה בשבר כלשהו, למשל, ב-13/15:
הזריקה התהפכה! וזה תמיד קורה. כאשר מחלקים 1 בשבר כלשהו, התוצאה היא אותו שבר, רק הפוך.
זה כל הפעולות עם שברים. העניין די פשוט, אבל נותן די והותר שגיאות. שימו לב לעצות מעשיות, ויהיו פחות מהן (טעויות)!
1. הדבר החשוב ביותר בעבודה עם ביטויים שברים הוא דיוק וקשב! אלו לא מילים נפוצות, לא איחולים טובים! זהו צורך חמור! בצע את כל החישובים בבחינה כמשימה מלאה, בריכוז ובבהירות. עדיף לכתוב שתי שורות נוספות בטיוטה מאשר לבלגן בחישוב בראש.
2. בדוגמאות עם סוגים שוניםשברים - עבור לשברים רגילים.
3. אנו מצמצמים את כל השברים עד הסוף.
4. אנו מצמצמים ביטויים שברים רב-שכבתיים לאלה רגילים באמצעות חלוקה דרך שתי נקודות (אנו פועלים לפי סדר החלוקה!).
להלן המשימות שאתה צריך להשלים. התשובות ניתנות לאחר כל המשימות. השתמש בחומרים של נושא זה ובעצות מעשיות. הערך כמה דוגמאות תוכל לפתור בצורה נכונה. הפעם הראשונה! בלי מחשבון! ולהסיק את המסקנות הנכונות.
זכור את התשובה הנכונה מתקבל מהפעם השנייה (במיוחד השלישית) - לא נחשב!כאלה הם החיים הקשים.
כך, לפתור במצב בחינה ! זאת דרך אגב הכנה למבחן. אנחנו פותרים דוגמה, אנחנו בודקים, אנחנו פותרים את הדברים הבאים. החלטנו הכל – בדקנו שוב מהראשון ועד האחרון. אבל רק לאחר מכןלהסתכל על התשובות.
מחפש תשובות שמתאימות לשלך. רשמתי אותם בכוונה בבלגן, הרחק מפיתוי, כביכול. הנה הן, התשובות, מופרדות על ידי נקודה-פסיק.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
ועכשיו אנחנו מסיקים מסקנות. אם הכל הסתדר - שמח בשבילך! חישובים אלמנטריים עם שברים הם לא הבעיה שלך! אתה יכול לעשות דברים יותר רציניים. אם לא.
אז יש לך אחת משתי בעיות. או שניהם בבת אחת.) חוסר ידע ו(או) חוסר תשומת לב. אבל. זֶה פָּתִיר בעיות.
בסעיף מיוחד 555 "שברים" כל הדוגמאות הללו (ולא רק!) מנותחות. עם הסברים מפורטים על מה, למה ואיך. ניתוח כזה עוזר מאוד עם חוסר ידע ומיומנויות!
כן, ובבעיה השנייה יש שם משהו.) די עצות מעשיות, איך להיות קשוב יותר. כן כן! עצות שיכולות לחול כֹּל.
בנוסף לידע וקשב, יש צורך באוטומטיזם מסוים להצלחה. איפה משיגים? אני שומע אנחה כבדה... כן, רק בפועל, בשום מקום אחר.
אתה יכול ללכת לאתר 321start.ru להדרכה. שם, באפשרות "נסה", יש 10 דוגמאות שכולם יוכלו להשתמש בהן. עם אימות מיידי. למשתמשים רשומים - 34 דוגמאות מפשוטות ועד חמורות. זה רק לשברים.
אם אתה אוהב את האתר הזה.
אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)
כאן תוכלו להתאמן בפתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלכם. בדיקה עם אימות מיידי. למד בעניין!
וכאן תוכלו להכיר פונקציות ונגזרות.
חוק מספר 1
כדי להכפיל שבר במספר טבעי, צריך להכפיל את המונה שלו במספר זה, ולהשאיר את המכנה ללא שינוי.
כלל 2
כדי להכפיל שבר בשבר:
1. מצא את מכפלת המונים ואת מכפלת המכנים של השברים הללו
2. כתוב את המוצר הראשון בתור המונה, ואת השני כמכנה.
כלל 3
כדי להכפיל מספרים מעורבים, עליך לכתוב אותם כשברים לא תקינים, ולאחר מכן להשתמש בכלל להכפלת שברים.
כלל 4
כדי לחלק שבר אחד בשני, אתה צריך להכפיל את הדיבידנד בהדדיות של המחלק.
דוגמה 1
לחשב
דוגמה 2
לחשב
דוגמה 3
לחשב
דוגמה 4
לחשב
מָתֵימָטִיקָה. חומרים אחרים
העלאת מספר לכוח רציונלי. (
העלאת מספר לעוצמה טבעית. (
שיטת מרווחים כלליים לפתרון אי-שוויון אלגברי (המחבר Kolchanov A.V.)
שיטת החלפת גורמים בפתרון אי-שוויון אלגברי (המחבר Kolchanov A.V.)
סימני חלוקה (Lungu Alena)
בדוק את עצמך בנושא 'כפל וחילוק של שברים רגילים'
כפל שברים
נשקול את הכפל של שברים רגילים בכמה דרכים אפשריות.
הכפלת שבר בשבר
זהו המקרה הפשוט ביותר, שבו אתה צריך להשתמש בדברים הבאים כללי כפל שברים.
ל להכפיל שבר בשבר, נחוץ:
לפני הכפלת המונים והמכנים, בדוק אם ניתן לצמצם את השברים. הפחתת שברים בחישובים תקל מאוד על החישובים שלך.
הכפלת שבר במספר טבעי
לשבר להכפיל במספר טבעיעליך להכפיל את מונה השבר במספר זה, ולהשאיר את המכנה של השבר ללא שינוי.
אם תוצאת הכפל היא שבר לא תקין, אל תשכח להפוך אותו למספר מעורב, כלומר, בחר את החלק כולו.
הכפלה של מספרים מעורבים
כדי להכפיל מספרים מעורבים, תחילה עליך להמיר אותם לשברים לא תקינים ולאחר מכן להכפיל לפי הכלל להכפלת שברים רגילים.
דרך נוספת להכפיל שבר במספר טבעי
לפעמים בחישובים נוח יותר להשתמש בשיטה אחרת להכפלת שבר רגיל במספר.
כדי להכפיל שבר במספר טבעי, צריך לחלק את המכנה של השבר במספר זה, ולהשאיר את המונה זהה.
כפי שניתן לראות מהדוגמה, נוח יותר להשתמש בגרסה זו של הכלל אם המכנה של השבר מתחלק ללא שארית במספר טבעי.
חלוקה של שבר במספר
מהי הדרך המהירה ביותר לחלק שבר במספר? בואו ננתח את התיאוריה, נסיק מסקנה ונשתמש בדוגמאות כדי לראות כיצד ניתן לבצע חלוקה של שבר במספר לפי כלל קצר חדש.
לרוב, חלוקת שבר במספר מתבצעת לפי כלל חלוקת השברים. המספר הראשון (שבר) מוכפל בהדדיות של השני. מכיוון שהמספר השני הוא מספר שלם, ההדדיות שלו היא שבר, המונה שלו שווה לאחד, והמכנה הוא המספר הנתון. באופן סכמטי, חלוקת שבר במספר טבעי נראית כך:
מכאן אנו מסיקים:
כדי לחלק שבר במספר, הכפל את המכנה במספר הזה והשאר את המונה זהה. ניתן לנסח את הכלל בקצרה אפילו יותר:
כאשר מחלקים שבר במספר, המספר עובר למכנה.
חלקו שבר במספר:
כדי לחלק שבר במספר, נכתוב מחדש את המונה ללא שינוי, ונכפיל את המכנה במספר זה. אנו מצמצמים 6 ו-3 ב-3.
כאשר מחלקים שבר במספר, אנו כותבים מחדש את המונה ומכפילים את המכנה במספר זה. אנו מצמצמים את 16 ו-24 ב-8.
כשמחלקים שבר במספר, המספר עובר למכנה, אז נשאיר את המונה זהה, ומכפילים את המכנה במחלק. אנו מצמצמים 21 ו-35 ב-7.
כפל וחילוק שברים
בפעם הקודמת למדנו איך להוסיף ולחסיר שברים (ראה שיעור "חיבור והפחתה של שברים"). הרגע הקשה ביותר בפעולות הללו היה הבאת שברים למכנה משותף.
עכשיו הגיע הזמן להתמודד עם כפל וחילוק. החדשות הטובות הן שפעולות אלו קלות אפילו יותר מחיבור וחיסור. ראשית, שקול את המקרה הפשוט ביותר, כאשר ישנם שני שברים חיוביים ללא חלק שלם מובחן.
כדי להכפיל שני שברים, אתה צריך להכפיל את המונים והמכנים שלהם בנפרד. המספר הראשון יהיה המונה של השבר החדש, והשני יהיה המכנה.
כדי לחלק שני שברים, אתה צריך להכפיל את השבר הראשון בשני "ההפוך".
מההגדרה עולה שחלוקת השברים מצטמצמת לכפל. כדי להפוך שבר, פשוט החליפו את המונה והמכנה. לכן, את כל השיעור נשקול בעיקר כפל.
כתוצאה מהכפל, יכול להיווצר שבר מופחת (ולעיתים קרובות עולה) - כמובן שיש לצמצם אותו. אם לאחר כל ההפחתות התברר שהשבר אינו נכון, יש להבחין בו את כל החלק. אבל מה שבדיוק לא יקרה עם הכפל הוא צמצום למכנה משותף: אין שיטות צולבות, גורמים מקסימליים וכפולות משותפים לפחות.
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:
בהגדרה יש לנו:
כפל שברים עם חלק שלם ושברים שליליים
אם יש חלק שלם בשברים, יש להמיר אותם לשברים לא תקינים - ורק אז להכפיל אותם לפי הסכמות שפורטו לעיל.
אם יש מינוס במונה של שבר, במכנה או לפניו, ניתן להוציאו מגבולות הכפל או להסירו לגמרי לפי הכללים הבאים:
- פלוס פעמים מינוס נותן מינוס;
- שתי שליליות גורמות לחיוב.
- אנו חוצים את המינוסים בזוגות עד שהם נעלמים לחלוטין. במקרה קיצוני, מינוס אחד יכול לשרוד - זה שלא מצא התאמה;
- אם לא נותרו מינוסים, הפעולה הושלמה - אפשר להתחיל להכפיל. אם המינוס האחרון לא נחצה, מכיוון שהוא לא מצא זוג, נוציא אותו מגבולות הכפל. אתה מקבל שבר שלילי.
עד כה, כללים אלו נתקלו רק בחיבור והפחתה של שברים שליליים, כאשר זה היה נדרש כדי להיפטר מהחלק כולו. עבור מוצר, ניתן להכליל אותם כדי "לשרוף" כמה מינוסים בבת אחת:
אנו מתרגמים את כל השברים לשברים לא תקינים, ואז אנו מוציאים את המינוסים מחוץ לגבולות הכפל. מה שנשאר מוכפל לפי הכללים הרגילים. אנחנו מקבלים:
הרשו לי להזכיר לכם שוב שהמינוס שבא לפני שבר עם חלק שלם מודגש מתייחס ספציפית לכל השבר, ולא רק לחלק השלם שלו (זה חל על שתי הדוגמאות האחרונות).
שימו לב גם למספרים שליליים: כאשר מכפילים אותם, הם מוקפים בסוגריים. זה נעשה על מנת להפריד את המינוסים מסימני הכפל ולהפוך את כל הסימון למדויק יותר.
הפחתת שברים תוך כדי תנועה
הכפל הוא פעולה מאוד מפרכת. המספרים כאן די גדולים, וכדי לפשט את המשימה, אתה יכול לנסות לצמצם את השבר עוד יותר לפני הכפל. למעשה, בעצם, המונים והמכנים של שברים הם גורמים רגילים, ולכן ניתן לצמצם אותם באמצעות התכונה הבסיסית של שבר. תסתכל על הדוגמאות:
בכל הדוגמאות המספרים שצומצמו ומה שנשאר מהם מסומנים באדום.
שימו לב: במקרה הראשון, המכפילים הופחתו לחלוטין. יחידות נותרו במקומן, שבאופן כללי ניתן לוותר עליהן. בדוגמה השנייה לא ניתן היה להגיע להפחתה מוחלטת, אך סך החישובים עדיין ירד.
עם זאת, בשום מקרה אל תשתמש בטכניקה זו בעת חיבור וחיסור שברים! כן, לפעמים יש מספרים דומים שפשוט רוצים להפחית. הנה, תראה:
אתה לא יכול לעשות את זה!
השגיאה מתרחשת בשל העובדה שכאשר מוסיפים שבר, הסכום מופיע במונה של שבר, ולא במכפלה של מספרים. לכן, אי אפשר ליישם את התכונה העיקרית של שבר, שכן תכונה זו עוסקת במיוחד בכפל מספרים.
פשוט אין סיבה אחרת לצמצם שברים, אז הפתרון הנכון לבעיה הקודמת נראה כך:
כפי שאתה יכול לראות, התשובה הנכונה התבררה כל כך לא יפה. באופן כללי, היזהר.
חלוקה של שברים.
חלוקה של שבר במספר טבעי.
דוגמאות לחלוקת שבר במספר טבעי
חלוקה של מספר טבעי בשבר.
דוגמאות לחלוקת מספר טבעי בשבר
חלוקה של שברים רגילים.
דוגמאות לחלוקה של שברים רגילים
חלוקה של מספרים מעורבים.
- כדי לחלק מספר מעורב אחד במספר אחר, אתה צריך:
- להמיר שברים מעורבים לשברים לא תקינים;
- להכפיל את השבר הראשון בהדדיות של השני;
- להפחית את השבר המתקבל;
- אם אתה מקבל שבר לא תקין, המיר את השבר הלא תקין לשבר מעורב.
- להמיר שברים מעורבים לשברים לא תקינים;
- להכפיל את המונים והמכנים של שברים;
- אנו מצמצמים את השבר;
- אם נקבל שבר לא תקין, אז נמיר את השבר הלא תקין לשבר מעורב.
- מתחת-ולא עד-שיר מחודש "טנגו אביב" (הגיע הזמן - מגיעות ציפורים מהדרום) - מוזיקה. ולרי מילייב לא שמעתי נכון, לא הבנתי נכון, לא הצלחתי להדביק את הקצב, במובן שלא ניחשתי, כתבתי את כל הפעלים עם לא בנפרד, לא ידעתי על הקידומת nedo-. זה קורה, […]
- הדף לא נמצא בקריאה סופית שלישית, אומצה חבילה של מסמכי ממשלה המספקים יצירת אזורים מנהליים מיוחדים (SAR). בשל היציאה מהאיחוד האירופי, בריטניה לא תיכלל באזור המע"מ האירופי ו- […]
- ועדת החקירה המשותפת תופיע בסתיו
- פטנט אלגוריתם איך נראה פטנט אלגוריתם איך מכינים פטנט אלגוריתם תיאורים טכנייםדרכים לאחסון, עיבוד והעברת אותות ו/או נתונים במיוחד למטרות פטנט בדרך כלל אינן מציגות קשיים מיוחדים, ו- […]
- מה חשוב לדעת על הטיוטה החדשה על פנסיה 12 בדצמבר 1993 החוקה של הפדרציה הרוסית (בכפוף לתיקונים שנעשו על ידי חוקי הפדרציה הרוסית על תיקונים לחוקת הפדרציה הרוסית מתאריך 30 בדצמבר 2008 N 6-6 FKZ, מיום 30 בדצמבר 2008 N 7-FKZ, […]
- דיוטות לגבי פרישה לאישה מגניבות לגיבור היום של גבר לגיבור היום של גבר - במקהלה לגיבור היום של אישה - הקדשה לנשים בדימוס היא קומית תחרויות לגמלאים יהיו מעניינות חברים יקרים! רגע של תשומת לב! תְחוּשָׁה! רק […]
דוגמאות לחלוקת מספרים מעורבים
1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16
2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7
כל הערה מגונה תוסר ומחבריהן יועברו לרשימה השחורה!
ברוכים הבאים ל-OnlineMSschool.
שמי דובז'יק מיכאיל ויקטורוביץ'. אני הבעלים והמחבר של האתר הזה, כתבתי את כל החומר התיאורטי, כמו גם פיתחתי תרגילים ומחשבונים מקוונים שבהם אתה יכול להשתמש כדי ללמוד מתמטיקה.
שברים. כפל וחילוק שברים.
הכפלת שבר בשבר.
כדי להכפיל שברים רגילים, יש צורך להכפיל את המונה במונה (נקבל את המונה של המכפלה) ואת המכנה במכנה (נקבל את המכנה של המכפלה).
נוסחת כפל שברים:
לפני שממשיכים בכפל המונים והמכנים, יש לבדוק את האפשרות להקטין את השבר. אם תצליחו לצמצם את השבר, אז יהיה לכם קל יותר להמשיך ולעשות חישובים.
הערה! אין צורך לחפש מכנה משותף!!
חלוקה של שבר רגיל בשבר.
החלוקה של שבר רגיל בשבר היא כדלקמן: הופכים את השבר השני (כלומר משנים את המונה והמכנה במקומות) ואחרי זה מוכפלים השברים.
הנוסחה לחלוקת שברים רגילים:
הכפלת שבר במספר טבעי.
הערה!כשמכפילים שבר במספר טבעי, מונה השבר מוכפל במספר הטבעי שלנו, והמכנה של השבר נשאר זהה. אם התוצאה של המוצר היא חלק לא תקין, הקפד לבחור את כל החלק על ידי הפיכת החלק הלא תקין לשבר מעורב.
חלוקה של שברים הכוללים מספר טבעי.
זה לא מפחיד כמו שזה נראה. כמו במקרה של חיבור, אנו ממירים מספר שלם לשבר עם יחידה במכנה. לדוגמה:
הכפלה של שברים מעורבים.
כללים להכפלת שברים (מעורב):
הערה!כדי להכפיל שבר מעורב בשבר מעורב אחר, תחילה עליך להביא אותם לצורה של שברים לא תקינים, ולאחר מכן להכפיל לפי הכלל להכפלת שברים רגילים.
הדרך השנייה להכפיל שבר במספר טבעי.
נוח יותר להשתמש בשיטה השנייה של הכפלת שבר רגיל במספר.
הערה!כדי להכפיל שבר במספר טבעי, יש צורך לחלק את המכנה של השבר במספר זה, ולהשאיר את המונה ללא שינוי.
מהדוגמה לעיל, ברור שאופציה זו נוחה יותר לשימוש כאשר מחלקים את המכנה של שבר ללא שארית במספר טבעי.
שברים מרובים.
בתיכון, לעתים קרובות מוצאים שברים בני שלוש קומות (או יותר). דוגמא:
כדי להביא שבר כזה לצורתו הרגילה, משתמשים בחלוקה ל-2 נקודות:
הערה!כאשר מחלקים שברים, יש חשיבות רבה לסדר החלוקה. היזהר, קל להתבלבל כאן.
הערה, לדוגמה:
כשמחלקים אחד בשבר כלשהו, התוצאה תהיה אותו שבר, רק הפוך:
עצות מעשיות להכפלה וחלוקת שברים:
1. הדבר החשוב ביותר בעבודה עם ביטויים שברים הוא דיוק וקשב. בצע את כל החישובים בזהירות ובדייקנות, מרוכז וברור. עדיף לרשום כמה שורות נוספות בטיוטה מאשר להתבלבל בחישובים בראש.
2. במשימות עם סוגים שונים של שברים, עברו לסוג השברים הרגילים.
3. אנחנו מצמצמים את כל השברים עד שכבר אי אפשר להפחית.
4. אנו מביאים ביטויים שברים מרובי רמות לביטויים רגילים, תוך שימוש בחלוקה ל-2 נקודות.
כדי להכפיל נכון שבר בשבר או שבר במספר, אתה צריך לדעת כללים פשוטים. כעת ננתח כללים אלה בפירוט.
הכפלת שבר בשבר.
כדי להכפיל שבר בשבר, עליך לחשב את מכפלת המונים ואת מכפלת המכנים של השברים הללו.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
שקול דוגמה:
נכפיל את המונה של השבר הראשון עם המונה של השבר השני, וכן נכפיל את המכנה של השבר הראשון עם המכנה של השבר השני.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ כפול 3)(7 \ פעמים 3) = \frac(4)(7)\\\)
השבר \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) הופחת ב-3.
הכפלת שבר במספר.
נתחיל עם הכלל כל מספר יכול להיות מיוצג כשבר \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
בואו נשתמש בכלל זה לכפל.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
שבר לא תקין \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) המרה לשבר מעורב.
במילים אחרות, כאשר מכפילים מספר בשבר, מכפילים את המספר במונה ומשאירים את המכנה ללא שינוי.דוגמא:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
הכפלה של שברים מעורבים.
כדי להכפיל שברים מעורבים, תחילה עליך לייצג כל שבר מעורב כשבר לא תקין, ולאחר מכן להשתמש בכלל הכפל. המונה מוכפל עם המונה, המכנה מוכפל עם המכנה.
דוגמא:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
הכפלה של שברים ומספרים הדדיים.
השבר \(\bf \frac(a)(b)\) הוא היפוך של השבר \(\bf \frac(b)(a)\), בתנאי a≠0,b≠0.
השברים \(\bf \frac(a)(b)\) ו-\(\bf \frac(b)(a)\) נקראים הדדיים. המכפלה של שברים הדדיים הוא 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
דוגמא:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
שאלות קשורות:
איך מכפילים שבר בשבר?
תשובה: המכפלה של שברים רגילים היא הכפלה של המונה עם המונה, המכנה עם המכנה. כדי לקבל את המכפלה של שברים מעורבים, אתה צריך להמיר אותם לשבר לא תקין ולהכפיל לפי הכללים.
איך מכפילים שברים עם מכנים שונים?
תשובה: זה לא משנה אם המכנים של השברים זהים או שונים, הכפל מתרחש לפי הכלל למציאת המכפלה של המונה עם המונה, המכנה עם המכנה.
איך מכפילים שברים מעורבים?
תשובה: קודם כל צריך להמיר את השבר המעורב לשבר לא תקין ואז למצוא את המכפלה לפי כללי הכפל.
איך מכפילים מספר בשבר?
תשובה: אנחנו מכפילים את המספר עם המונה, ומשאירים את המכנה זהה.
דוגמה מס' 1:
חשב את המכפלה: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
פִּתָרוֹן:
א) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
ב) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( red) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
דוגמה מס' 2:
חשב את המכפלה של מספר ושבר: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
פִּתָרוֹן:
א) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
ב) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
דוגמה מס' 3:
לכתוב את ההדדיות של \(\frac(1)(3)\)?
תשובה: \(\frac(3)(1) = 3\)
דוגמה מס' 4:
חשב את המכפלה של שני שברים הדדיים: א) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
פִּתָרוֹן:
א) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
דוגמה מס' 5:
יכולים שברים הפוכים זה לזה להיות:
א) שני השברים הנכונים;
ב) שברים לא תקינים בו זמנית;
ג) מספרים טבעיים בו זמנית?
פִּתָרוֹן:
א) נשתמש בדוגמה כדי לענות על השאלה הראשונה. השבר \(\frac(2)(3)\) תקין, ההדדיות שלו תהיה שווה ל-\(\frac(3)(2)\) - שבר לא תקין. תשובה: לא.
ב) כמעט בכל ספירות השברים, תנאי זה אינו מתקיים, אך ישנם מספר מספרים הממלאים את התנאי של היותו שבר פסול בו-זמנית. לדוגמה, השבר הלא תקין הוא \(\frac(3)(3)\), ההדדיות שלו היא \(\frac(3)(3)\). נקבל שני שברים לא תקינים. תשובה: לא תמיד בתנאים מסוימים, כאשר המונה והמכנה שווים.
ג) מספרים טבעיים הם המספרים שבהם אנו משתמשים בספירה, למשל, 1, 2, 3, .... אם ניקח את המספר \(3 = \frac(3)(1)\), אז ההדדיות שלו תהיה \(\frac(1)(3)\). השבר \(\frac(1)(3)\) אינו מספר טבעי. אם נעבור על כל המספרים, ההדדיות היא תמיד שבר, מלבד 1. אם ניקח את המספר 1, אז ההדדיות שלו תהיה \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). המספר 1 הוא מספר טבעי. תשובה: הם יכולים להיות מספרים טבעיים בו זמנית רק במקרה אחד, אם המספר הזה הוא 1.
דוגמה מס' 6:
בצע את המכפלה של שברים מעורבים: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
פִּתָרוֹן:
א) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
ב) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
דוגמה מס' 7:
האם שני מספרים הדדיים יכולים להיות מספרים מעורבים בו זמנית?
בואו נסתכל על דוגמה. בואו ניקח שבר מעורב \(1\frac(1)(2)\), נמצא את ההדדיות שלו, בשביל זה נתרגם אותו לשבר לא תקין \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . ההדדיות שלו תהיה שווה ל-\(\frac(2)(3)\) . השבר \(\frac(2)(3)\) הוא שבר תקין. תשובה: שני שברים הפוכים זה לזה לא יכולים להיות מספרים מעורבים בו-זמנית.
) והמכנה לפי המכנה (נקבל את המכנה של המוצר).
נוסחת כפל שברים:
לדוגמה:
לפני שתמשיך עם הכפל של המונים והמכנים, יש צורך לבדוק אפשרות של הפחתת שברים. אם תצליחו לצמצם את השבר, אז יהיה לכם קל יותר להמשיך ולעשות חישובים.
חלוקה של שבר רגיל בשבר.
חלוקה של שברים הכוללים מספר טבעי.
זה לא מפחיד כמו שזה נראה. כמו במקרה של חיבור, אנו ממירים מספר שלם לשבר עם יחידה במכנה. לדוגמה:
הכפלה של שברים מעורבים.
כללים להכפלת שברים (מעורב):
- להמיר שברים מעורבים לשברים לא תקינים;
- להכפיל את המונים והמכנים של שברים;
- אנו מצמצמים את השבר;
- אם נקבל שבר לא תקין, אז נמיר את השבר הלא תקין לשבר מעורב.
הערה!כדי להכפיל שבר מעורב בשבר מעורב אחר, תחילה עליך להביא אותם לצורה של שברים לא תקינים, ולאחר מכן להכפיל לפי הכלל להכפלת שברים רגילים.
הדרך השנייה להכפיל שבר במספר טבעי.
נוח יותר להשתמש בשיטה השנייה של הכפלת שבר רגיל במספר.
הערה!כדי להכפיל שבר במספר טבעי, יש צורך לחלק את המכנה של השבר במספר זה, ולהשאיר את המונה ללא שינוי.
מהדוגמה לעיל, ברור שאופציה זו נוחה יותר לשימוש כאשר מחלקים את המכנה של שבר ללא שארית במספר טבעי.
שברים מרובים.
בתיכון, לעתים קרובות מוצאים שברים בני שלוש קומות (או יותר). דוגמא:
כדי להביא שבר כזה לצורתו הרגילה, משתמשים בחלוקה ל-2 נקודות:
הערה!כאשר מחלקים שברים, יש חשיבות רבה לסדר החלוקה. היזהר, קל להתבלבל כאן.
הערה, לדוגמה:
כשמחלקים אחד בשבר כלשהו, התוצאה תהיה אותו שבר, רק הפוך:
עצות מעשיות להכפלה וחלוקת שברים:
1. הדבר החשוב ביותר בעבודה עם ביטויים שברים הוא דיוק וקשב. בצע את כל החישובים בזהירות ובדייקנות, מרוכז וברור. עדיף לרשום כמה שורות נוספות בטיוטה מאשר להתבלבל בחישובים בראש.
2. במשימות עם סוגים שונים של שברים - עברו לסוג השברים הרגילים.
3. אנחנו מצמצמים את כל השברים עד שכבר אי אפשר להפחית.
4. אנו מביאים ביטויים שברים מרובי רמות לביטויים רגילים, תוך שימוש בחלוקה ל-2 נקודות.
5. אנו מחלקים את היחידה לשבר במוחנו, פשוט על ידי הפיכת השבר.
