Najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) akceptovaná hodnota ordináty v uvažovanom intervale.

Ak chcete nájsť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie, musíte:

1. Skontrolujte, ktoré stacionárne body sú zahrnuté v danom segmente.
2. Vypočítajte hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnych bodoch z kroku 3
3. Vyberte zo získaných výsledkov najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu.

Ak chcete nájsť maximálny alebo minimálny počet bodov, musíte:

1. Nájdite deriváciu funkcie $f"(x)$
2. Nájdite stacionárne body riešením rovnice $f"(x)=0$
3. Faktorizujte deriváciu funkcie.
4. Nakreslite súradnicovú čiaru, umiestnite na ňu stacionárne body a určte znamienka derivácie v získaných intervaloch pomocou zápisu vety 3.
5. Nájdite maximálny alebo minimálny počet bodov podľa pravidla: ak v určitom bode derivácia zmení znamienko z plus na mínus, potom to bude maximálny bod (ak z mínus na plus, bude to minimálny bod). V praxi je vhodné použiť obrázok šípok na intervaloch: na intervale, kde je derivácia kladná, sa šípka ťahá nahor a naopak.

Tabuľka derivácií niektorých elementárnych funkcií:

Funkcia	Derivát
$c$	$0$
$ x $	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Základné pravidlá diferenciácie

1. Derivácia súčtu a rozdielu sa rovná derivácii každého člena

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Nájdite deriváciu funkcie $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Derivácia súčtu a rozdielu sa rovná derivácii každého člena

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivát produktu.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Nájdite deriváciu $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivácia kvocientu

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Nájdite deriváciu $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivát komplexná funkcia sa rovná súčinu derivátu vonkajšia funkcia na deriváciu vnútornej funkcie

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Nájdite minimálny bod funkcie $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Nájdite ODZ funkcie: $x+11>0; x>-11 $

2. Nájdite deriváciu funkcie $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Nájdite stacionárne body prirovnaním derivácie k nule

$(2x+21)/(x+11)=0$

Zlomok je nula, ak je čitateľ nula a menovateľ nie je nula

$2x+21=0; x≠ -11 $

4. Nakreslite súradnicovú čiaru, umiestnite na ňu stacionárne body a určte znamienka derivácie v získaných intervaloch. Aby sme to dosiahli, do derivácie dosadíme ľubovoľné číslo z krajnej pravej oblasti, napríklad nulu.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. V minimálnom bode sa derivácia zmení znamienko z mínus na plus, preto je bod $ -10,5 $ minimálny bod.

Odpoveď: $-10,5 $

Nájdite maximálnu hodnotu funkcie $y=6x^5-90x^3-5$ na segmente $[-5;1]$

1. Nájdite deriváciu funkcie $y′=30x^4-270x^2$

2. Prirovnajte deriváciu k nule a nájdite stacionárne body

$30x^4-270x^2=0$

Vyberme spoločný faktor $30x^2$ zo zátvoriek

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Nastavte každý faktor rovný nule

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Vyberte stacionárne body, ktoré patria do daného segmentu $[-5;1]$

Stacionárne body $x=0$ a $x=-3$ sú pre nás vhodné

4. Z položky 3 vypočítajte hodnotu funkcie na koncoch úsečky a v stacionárnych bodoch

drobná a pekná jednoduchá úloha z kategórie tých, ktoré slúžia ako záchranné lano pre plávajúceho študenta. V prírode, ospalá ríša polovice júla, a tak je čas usadiť sa s notebookom na pláži. Skoro ráno zahral slnečný lúč teórie, aby sa čoskoro zameral na prax, ktorá napriek deklarovanej ľahkosti obsahuje v piesku úlomky skla. V tejto súvislosti odporúčam svedomito zvážiť niekoľko príkladov tejto stránky. Na riešenie praktických úloh musíte byť schopní nájsť deriváty a porozumieť obsahu článku Intervaly monotónnosti a extrémy funkcie.

Najprv stručne o hlavnej veci. V lekcii o kontinuita funkcie Uviedol som definíciu spojitosti v bode a spojitosti v intervale. Podobným spôsobom je formulované aj príkladné správanie funkcie na segmente. Funkcia je spojitá na segmente, ak:

1) je spojitá na intervale;
2) súvislý v bode napravo a na mieste vľavo.

Druhý odsek pojednáva o tzv jednostranná kontinuita funguje v určitom bode. Existuje niekoľko prístupov k jeho definícii, ale ja sa budem držať skôr začatej línie:

Funkcia je spojitá v bode napravo, ak je definovaný v danom bode a jeho pravá hranica sa zhoduje s hodnotou funkcie v danom bode: . V bode je spojitá vľavo, ak je definovaný v danom bode a jeho ľavá hranica sa rovná hodnote v tomto bode:

Predstavte si, že zelené bodky sú nechty, na ktorých je pripevnená magická gumička:

V duchu vezmite červenú čiaru do svojich rúk. Je zrejmé, že bez ohľadu na to, ako ďaleko natiahneme graf nahor a nadol (pozdĺž osi), funkcia stále zostane obmedzené- hore živý plot, dole živý plot a náš produkt sa pasie vo výbehu. teda funkcia spojitá na segmente je na ňom ohraničená. V priebehu matematickej analýzy je tento zdanlivo jednoduchý fakt konštatovaný a dôsledne dokázaný Prvá Weierstrassova veta.... Mnohým ľuďom vadí, že elementárne tvrdenia sú v matematike zdĺhavo podložené, no má to dôležitý význam. Predpokladajme, že istý obyvateľ terryho stredoveku vytiahol graf na oblohu za hranice viditeľnosti, toto bolo vložené. Pred vynálezom ďalekohľadu nebola obmedzená funkcia vo vesmíre vôbec zrejmá! Ako viete, čo nás čaká za horizontom? Veď kedysi bola Zem považovaná za plochú, takže dnes aj obyčajná teleportácia vyžaduje dôkaz =)

Podľa druhá Weierstrassova veta, kontinuálne na segmentefunkcia dosiahne svoje presný horný okraj a jeho presný spodný okraj .

Číslo sa tiež volá maximálna hodnota funkcie na segmente a označené a číslom - minimálna hodnota funkcie na intervale označené .

V našom prípade:

Poznámka : teoreticky sú záznamy bežné .

Zhruba povedané, najväčšia hodnota sa nachádza tam, kde je najväčšia vysoký bod grafika, a najmenší - kde je najnižší bod.

Dôležité! Ako už bolo uvedené v článku o extrémy funkcie, najväčšia hodnota funkcie A najmenšia funkčná hodnota – NIE SÚ ROVNAKÉ, Čo maximálna funkcia A funkčné minimum. Takže v tomto príklade je číslo minimom funkcie, ale nie minimálnou hodnotou.

Mimochodom, čo sa deje mimo segmentu? Áno, aj potopa, v kontexte zvažovaného problému nás toto vôbec nezaujíma. Úlohou je nájsť iba dve čísla a je to!

Navyše, riešenie je čisto analytické, preto netreba kresliť!

Algoritmus leží na povrchu a naznačuje sa z vyššie uvedeného obrázku:

1) Nájdite hodnoty funkcií v kritických bodov, ktoré patria do tohto segmentu.

Chyťte ešte jednu dobrotu: nie je potrebné kontrolovať dostatočnú podmienku pre extrém, pretože, ako sme práve ukázali, prítomnosť minima alebo maxima ešte nie je zaručené aká je minimálna alebo maximálna hodnota. Demonštračná funkcia dosahuje maximum a z vôle osudu je rovnaké číslo najväčšou hodnotou funkcie na intervale . Ale, samozrejme, nie vždy sa takáto náhoda odohrá.

Takže v prvom kroku je rýchlejšie a jednoduchšie vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do segmentu bez toho, aby ste sa obťažovali, či majú extrémy alebo nie.

2) Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu.

3) Spomedzi hodnôt funkcie nájdených v 1. a 2. odseku vyberieme najmenšiu a najviac veľké číslo, zapíšte si odpoveď.

Sadneme si na breh modré more a naraziť na päty v plytkej vode:

Príklad 1

Nájdite najväčšie a najmenšia hodnota funkcie na segmente

Riešenie:
1) Vypočítajte hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do tohto segmentu:

Vypočítajme hodnotu funkcie v druhom kritickom bode:

2) Vypočítajte hodnoty funkcie na koncoch segmentu:

3) „Tučné“ výsledky boli získané s exponenciálami a logaritmami, čo značne komplikuje ich porovnanie. Z tohto dôvodu sa vyzbrojíme kalkulačkou alebo Excelom a vypočítame približné hodnoty, pričom nezabudneme, že:

Teraz je všetko jasné.

Odpoveď:

Zlomkovo-racionálna inštancia pre nezávislé riešenie:

Príklad 6

Nájdite maximálne a minimálne hodnoty funkcie v segmente

Nechajte funkciu y=f(X) súvislé na segmente [ a, b]. Ako je známe, takáto funkcia dosahuje maximálne a minimálne hodnoty v tomto intervale. Funkcia môže nadobudnúť tieto hodnoty buď vo vnútornom bode segmentu [ a, b] alebo na hranici segmentu.

Ak chcete nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na intervale [ a, b] potrebné:

1) nájsť kritických bodov funkcie v intervale ( a, b);

2) vypočítajte hodnoty funkcie v nájdených kritických bodoch;

3) vypočítajte hodnoty funkcie na koncoch segmentu, to znamená pre X=A a x = b;

4) zo všetkých vypočítaných hodnôt funkcie vyberte najväčšiu a najmenšiu.

Príklad. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

na segmente.

Nájdenie kritických bodov:

Tieto body ležia vo vnútri segmentu; r(1) = ‒ 3; r(2) = ‒ 4; r(0) = ‒ 8; r(3) = 1;

v bode X= 3 a v bode X= 0.

Vyšetrovanie funkcie pre konvexnosť a inflexný bod.

Funkcia r = f (X) volal konvexný medzi (a, b) , ak jeho graf leží pod dotyčnicou nakreslenou v ľubovoľnom bode tohto intervalu a je volaný konvexné nadol (konkávne) ak jeho graf leží nad dotyčnicou.

Bod na prechode, cez ktorý je konvexnosť nahradená konkávnosťou alebo naopak, sa nazýva inflexný bod.

Algoritmus na štúdium konvexnosti a inflexného bodu:

1. Nájdite kritické body druhého druhu, teda body, v ktorých sa druhá derivácia rovná nule alebo neexistuje.

2. Umiestnite kritické body na číselnú os a rozdeľte ju na intervaly. Nájdite znamienko druhej derivácie na každom intervale; if , potom je funkcia konvexná smerom nahor, ak, potom je funkcia konvexná smerom nadol.

3. Ak pri prechode cez kritický bod druhého druhu zmení znamienko a v tomto bode sa druhá derivácia rovná nule, potom je tento bod osou inflexného bodu. Nájdite jeho súradnicu.

Asymptoty grafu funkcie. Skúmanie funkcie do asymptot.

Definícia. Asymptota grafu funkcie sa nazýva rovno, ktorý má tú vlastnosť, že vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu grafu k tejto priamke má tendenciu k nule s neobmedzeným odstránením bodu grafu z počiatku.

Existujú tri typy asymptot: vertikálne, horizontálne a šikmé.

Definícia. Priamy hovor vertikálna asymptota funkčný graf y = f(x), ak sa aspoň jedna z jednostranných limitov funkcie v tomto bode rovná nekonečnu, tzn.

kde je bod nespojitosti funkcie, to znamená, že nepatrí do definičného oboru.

Príklad.

D( r) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 - bod zlomu.

Definícia. Rovno y=A volal horizontálna asymptota funkčný graf y = f(x) v , ak

Príklad.

X
r

Definícia. Rovno y=kx +b (k≠ 0) sa nazýva šikmá asymptota funkčný graf y = f(x) kde

Všeobecná schéma pre štúdium funkcií a vykresľovanie.

Algoritmus výskumu funkciíy = f(x) :

1. Nájdite doménu funkcie D (r).

2. Nájdite (ak je to možné) priesečníky grafu so súradnicovými osami (s X= 0 a at r = 0).

3. Preskúmajte párne a nepárne funkcie ( r (‒ X) = r (X) ‒ parita; r(‒ X) = ‒ r (X) ‒ zvláštny).

4. Nájdite asymptoty grafu funkcie.

5. Nájdite intervaly monotónnosti funkcie.

6. Nájdite extrémy funkcie.

7. Nájdite intervaly konvexnosti (konkávnosti) a inflexné body grafu funkcie.

8. Na základe vykonaného výskumu zostrojte graf funkcie.

Príklad. Preskúmajte funkciu a nakreslite jej graf.

1) D (r) =

X= 4 - bod zlomu.

2) Kedy X = 0,

(0; – 5) – priesečník s oy.

O r = 0,

3) r(‒ X)= funkciu všeobecný pohľad(ani párne, ani nepárne).

4) Vyšetrujeme asymptoty.

a) vertikálne

b) horizontálne

c) nájdite šikmé asymptoty kde

‒šikmá asymptotná rovnica

5) V tejto rovnici nie je potrebné nájsť intervaly monotónnosti funkcie.

6)

Tieto kritické body rozdeľujú celú doménu funkcie na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) a (10; +∞). Získané výsledky je vhodné prezentovať vo forme nasledujúcej tabuľky.

A na jeho vyriešenie potrebujete minimálne znalosti danej témy. Ďalší akademický rok sa končí, každý chce ísť na dovolenku a aby som tento moment priblížil, hneď sa pustím do práce:

Začnime oblasťou. Oblasť uvedená v podmienke je obmedzené ZATVORENÉ množina bodov v rovine. Napríklad množina bodov ohraničená trojuholníkom vrátane CELÉHO trojuholníka (ak od hranice„Vystrčte“ aspoň jeden bod, potom už oblasť nebude uzavretá). V praxi sa vyskytujú aj plochy pravouhlých, okrúhlych a trochu zložitejších tvarov. Treba poznamenať, že v teórii matematickej analýzy sú uvedené prísne definície obmedzenia, izolácia, hranice atď., ale myslím si, že každý si je vedomý týchto pojmov na intuitívnej úrovni a viac teraz nie je potrebné.

Plocha sa štandardne označuje písmenom a spravidla je daná analyticky - niekoľkými rovnicami (nie nevyhnutne lineárne); menej často nerovnosti. Typický slovný obrat: „uzavretá oblasť, ohraničené čiarami ».

Neoddeliteľnou súčasťou uvažovanej úlohy je konštrukcia plochy na výkrese. Ako to spraviť? Je potrebné nakresliť všetky uvedené čiary (v tomto prípade 3 rovno) a analyzujte, čo sa stalo. Požadovaná oblasť je zvyčajne jemne šrafovaná a jej okraj je zvýraznený hrubou čiarou:


Je možné nastaviť rovnakú oblasť lineárne nerovnosti: , ktoré sa z nejakého dôvodu častejšie píšu ako zoznam enumerácií, a nie systému.
Keďže hranica patrí regiónu, potom všetky nerovnosti, samozrejme, neprísne.

A teraz jadro veci. Predstavte si, že z počiatku súradníc ide os priamo k vám. Zvážte funkciu, ktorá nepretržitý v každom plošný bod. Graf tejto funkcie je povrch, a malým šťastím je, že na vyriešenie dnešného problému vôbec nepotrebujeme vedieť, ako tento povrch vyzerá. Môže byť umiestnený nad, pod, cez rovinu - to všetko nie je dôležité. A dôležité je nasledovné: podľa Weierstrassove vety, nepretržitý V obmedzené zatvorené oblasti, funkcia dosahuje maximum (z "najvyšších") a najmenej (z "najnižších") hodnoty, ktoré treba nájsť. Tieto hodnoty sa dosahujú alebo V stacionárne body, patriace do regiónuD , alebo v bodoch, ktoré ležia na hranici tohto regiónu. Z toho vyplýva jednoduchý a prehľadný algoritmus riešenia:

Príklad 1

V obmedzenom uzavretom priestore

Riešenie: Najprv musíte na výkrese znázorniť oblasť. Bohužiaľ je pre mňa technicky náročné urobiť interaktívny model problému, a preto hneď uvediem finálnu ilustráciu, na ktorej sú zobrazené všetky „podozrivé“ body zistené počas štúdia. Zvyčajne sa ukladajú jeden po druhom, keď sa nájdu:

Na základe preambuly možno rozhodnutie pohodlne rozdeliť do dvoch bodov:

I) Nájdite stacionárne body. Ide o štandardný úkon, ktorý sme na lekcii opakovane vykonávali. o extrémoch viacerých premenných:

Nájdený stacionárny bod patrí oblasti: (označte to na výkrese), čo znamená, že by sme mali vypočítať hodnotu funkcie v danom bode:

- ako v článku Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente, dôležité výsledky zvýrazním tučným písmom. V zošite je vhodné ich zakrúžkovať ceruzkou.

Venujte pozornosť nášmu druhému šťastiu - nemá zmysel kontrolovať postačujúca podmienka pre extrém. prečo? Aj keď v bode, kedy funkcia dosiahne napr. miestne minimum, potom to NEZNAMENÁ, že výsledná hodnota bude minimálne v celom regióne (pozri začiatok lekcie o bezpodmienečných extrémoch) .

Čo ak stacionárny bod NEPATRÍ do oblasti? Takmer nič! Treba poznamenať, že a prejdite na ďalší odsek.

II) Skúmame hranicu regiónu.

Keďže hranica pozostáva zo strán trojuholníka, je vhodné rozdeliť štúdiu na 3 pododseky. Ale je lepšie to urobiť nie. Z môjho pohľadu je najskôr výhodnejšie uvažovať o segmentoch rovnobežných so súradnicovými osami a v prvom rade o tých, ktoré ležia na samotných osiach. Ak chcete zachytiť celú postupnosť a logiku akcií, skúste si naštudovať koniec „jedným dychom“:

1) Poďme sa zaoberať spodnou stranou trojuholníka. Aby sme to dosiahli, dosadíme priamo do funkcie:

Prípadne to môžete urobiť takto:

Geometricky to znamená, že súradnicová rovina (čo je dané aj rovnicou)„vystrihnúť“ z povrchy„priestorová“ parabola, ktorej vrchol okamžite padne do podozrenia. Poďme zistiť kde je:

- výsledná hodnota "zasiahla" oblasť a pokojne to môže byť aj v bode (značka na výkrese) funkcia dosahuje najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v celej oblasti. V každom prípade urobme výpočty:

Ďalšími „kandidátmi“ sú samozrejme konce segmentu. Vypočítajte hodnoty funkcie v bodoch (značka na výkrese):

Tu, mimochodom, môžete vykonať ústnu mini-kontrolu na „oblečenej“ verzii:

2) Na výskum pravá strana dosadíme trojuholník do funkcie a „dáme veci do poriadku“:

Tu okamžite vykonáme hrubú kontrolu a „prezvoníme“ už spracovaný koniec segmentu:
, Skvelé.

Geometrická situácia súvisí s predchádzajúcim bodom:

- výsledná hodnota tiež „vstúpila do rozsahu našich záujmov“, čo znamená, že musíme vypočítať, čomu sa funkcia rovná v bode, ktorý sa objavil:

Pozrime sa na druhý koniec segmentu:

Pomocou funkcie , Skontrolujme to:

3) Každý asi vie, ako preskúmať zvyšnú stranu. Do funkcie nahrádzame a vykonávame zjednodušenia:

Linka končí už boli preskúmané, ale na koncepte stále kontrolujeme, či sme funkciu našli správne :
– zhoduje sa s výsledkom podľa prvého pododseku;
– sa zhoduje s výsledkom podľa druhého pododseku.

Zostáva zistiť, či je v segmente niečo zaujímavé:

- Existuje! Nahradením priamky do rovnice dostaneme ordinátu tejto „zaujímavosti“:

Označíme bod na výkrese a nájdeme zodpovedajúcu hodnotu funkcie:

Ovládajme výpočty podľa „rozpočtovej“ verzie :
, objednať.

A posledný krok: POZORNE si prezrite všetky "tučné" čísla, odporúčam aj začiatočníkom urobiť si jeden zoznam:

z ktorých vyberáme najväčšie a najmenšie hodnoty. Odpoveď napíš štýlom problém nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente:

Pre každý prípad sa ešte vyjadrím. geometrický zmysel výsledok:
– tu je najvyšší bod povrchu v regióne;
- tu je najnižší bod povrchu v oblasti.

V analyzovanom probléme sme našli 7 „podozrivých“ bodov, no ich počet sa líši od úlohy k úlohe. V prípade trojuholníkovej oblasti sa minimálna „súbor na prieskum“ skladá z tri body. To sa stane, keď sa funkcia napr lietadlo- je celkom jasné, že neexistujú žiadne stacionárne body a funkcia môže dosiahnuť maximálne / minimálne hodnoty iba vo vrcholoch trojuholníka. Ale neexistujú také príklady raz, dvakrát - zvyčajne sa s nejakým musíte vyrovnať povrch 2. rádu.

Ak takéto úlohy málo riešite, tak z trojuholníkov sa vám môže zakrútiť hlava, a preto som si pre vás pripravil nezvyčajné príklady aby to bolo hranaté :)

Príklad 2

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v uzavretom priestore ohraničenom čiarami

Príklad 3

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v ohraničenej uzavretej oblasti.

Osobitná pozornosť dbajte na racionálne poradie a techniku ​​skúmania hranice územia, ako aj na reťaz medzikontrol, ktoré takmer úplne zabránia výpočtovým chybám. Vo všeobecnosti to môžete vyriešiť, ako chcete, ale v niektorých problémoch, napríklad v rovnakom príklade 2, existuje šanca výrazne skomplikovať váš život. Ukážka Ukážka dokončovanie úloh na konci hodiny.

Algoritmus riešenia systematizujeme, inak sa s mojou usilovnosťou pavúka akosi stratil v dlhom vlákne komentárov prvého príkladu:

- V prvom kroku vybudujeme oblasť, je vhodné ju zatieniť a zvýrazniť hranicu hrubou čiarou. Počas riešenia sa objavia body, ktoré je potrebné umiestniť na výkres.

- Nájdite stacionárne body a vypočítajte hodnoty funkcie len v tých, ktoré patria do oblasti . Získané hodnoty sú v texte zvýraznené (napríklad zakrúžkované ceruzkou). Ak stacionárny bod NEPATRÍ do oblasti, potom túto skutočnosť označíme ikonou alebo slovne. Ak neexistujú žiadne stacionárne body, vyvodíme písomný záver, že chýbajú. V každom prípade túto položku nie je možné preskočiť!

– Prieskum pohraničnej oblasti. Najprv je výhodné zaoberať sa priamkami, ktoré sú rovnobežné so súradnicovými osami (ak nejaké existujú). Zvýraznené sú aj funkčné hodnoty vypočítané v "podozrivých" bodoch. O technike riešenia vyššie bolo povedané veľa a niečo iné bude povedané nižšie - čítajte, znova čítajte, ponorte sa do toho!

- Z vybraných čísel vyberte najväčšiu a najmenšiu hodnotu a odpovedzte. Niekedy sa stáva, že funkcia dosiahne takéto hodnoty v niekoľkých bodoch naraz - v tomto prípade by sa všetky tieto body mali prejaviť v odpovedi. Nech napr. a ukázalo sa, že je to najmenšia hodnota. Potom to napíšeme

Záverečné príklady sú venované ďalším užitočným nápadom, ktoré sa budú hodiť v praxi:

Príklad 4

Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v uzavretej oblasti .

Ponechal som autorovu formuláciu, v ktorej je plocha uvedená ako dvojitá nerovnosť. Táto podmienka môže byť napísaná v ekvivalentnom systéme alebo v tradičnejšej forme pre tento problém:

Pripomínam, že s nelineárne na nerovnosť sme narazili na , a ak nerozumiete geometrickému významu zadania, tak prosím neodkladajte a objasnite situáciu hneď teraz ;-)

Riešenie, ako vždy, začína výstavbou plochy, ktorá je akousi „podrážkou“:

Hmm, niekedy treba hlodať nielen žulu vedy....

I) Nájdite stacionárne body:

Idiotov vysnívaný systém :)

Stacionárny bod patrí do regiónu, konkrétne leží na jeho hranici.

A tak to nie je nič ... prebehla zábavná lekcia - to znamená piť správny čaj =)

II) Skúmame hranicu regiónu. Bez ďalších okolkov začnime s osou x:

1) Ak , tak

Zistite, kde je vrchol paraboly:
- Oceňujte takéto momenty - "trafte" až do bodu, z ktorého je už všetko jasné. Ale nezabudnite skontrolovať:

Vypočítajme hodnoty funkcie na koncoch segmentu:

2) Spodnú časť „podrážky“ vyriešime „na jedno posedenie“ - bez komplexov ju dosadíme do funkcie, navyše nás bude zaujímať len segment:

ovládanie:

Teraz to už prináša oživenie do monotónnej jazdy na ryhovanej trati. Poďme nájsť kritické body:

My rozhodujeme kvadratická rovnica pamätáš si tento? ... Pamätajte však, samozrejme, inak by ste tieto riadky nečítali =) Ak by v dvoch predchádzajúcich príkladoch boli výpočty vhodné v desatinné zlomky(čo je mimochodom zriedkavé), potom tu čakáme na obvyklé bežné zlomky. Nájdeme korene „x“ a pomocou rovnice určíme zodpovedajúce „herné“ súradnice „kandidátskych“ bodov:


Vypočítajme hodnoty funkcie v nájdených bodoch:

Skontrolujte funkciu sami.

Teraz pozorne študujeme získané trofeje a zapisujeme si ich odpoveď:

Tu sú „kandidáti“, teda „kandidáti“!

Pre samostatné riešenie:

Príklad 5

Nájdite najmenšie a najväčšiu hodnotu funkcie v uzavretom priestore

Záznam so zloženými zátvorkami znie takto: „súbor bodov takých, že“.

Niekedy v takýchto príkladoch používajú Lagrangeova multiplikačná metóda, ale skutočná potreba jeho použitia pravdepodobne nevznikne. Takže napríklad, ak je daná funkcia s rovnakou oblasťou "de", potom po dosadení do nej - s deriváciou bez ťažkostí; navyše je všetko nakreslené v „jednom riadku“ (so znakmi) bez toho, aby bolo potrebné posudzovať horný a dolný polkruh oddelene. Samozrejme, existujú aj komplikovanejšie prípady, kedy bez funkcie Lagrange (kde je napríklad rovnaká kruhová rovnica) je ťažké sa zaobísť – aké ťažké je zaobísť sa bez dobrého odpočinku!

Všetko najlepšie, aby ste prešli reláciou a čoskoro sa uvidíme v budúcej sezóne!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie: nakreslite oblasť na výkres:

Z praktického hľadiska je najzaujímavejšie použitie derivácie na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. S čím to súvisí? Maximalizácia zisku, minimalizácia nákladov, určenie optimálneho zaťaženia zariadení... Inými slovami, v mnohých oblastiach života treba riešiť problém s optimalizáciou niektorých parametrov. A to je problém nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Treba si uvedomiť, že najväčšia a najmenšia hodnota funkcie sa zvyčajne hľadá na nejakom intervale X , ktorý je buď celým definičným oborom funkcie alebo časťou definičného oboru. Samotný interval X môže byť úsečka, otvorený interval , nekonečný interval .

V tomto článku budeme hovoriť o tom, ako explicitne nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty. danú funkciu jedna premenná y=f(x) .

Navigácia na stránke.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie - definície, ilustrácie.

Zastavme sa krátko pri hlavných definíciách.

Najväčšia hodnota funkcie , ktorý pre hociktorý nerovnosť je pravdivá.

Najmenšia hodnota funkcie y=f(x) na intervale X sa nazýva takáto hodnota , ktorý pre hociktorý nerovnosť je pravdivá.

Tieto definície sú intuitívne: najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) hodnota prijatá na uvažovanom intervale s osou x.

Stacionárne body sú hodnoty argumentu, pri ktorom derivácia funkcie zaniká.

Prečo potrebujeme stacionárne body pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt? Odpoveď na túto otázku dáva Fermatova veta. Z tejto vety vyplýva, že ak má diferencovateľná funkcia v určitom bode extrém (lokálne minimum alebo lokálne maximum), potom je tento bod stacionárny. Funkcia teda často nadobúda svoju najväčšiu (najmenšiu) hodnotu na intervale X v jednom zo stacionárnych bodov z tohto intervalu.

Funkcia môže tiež často nadobúdať najväčšie a najmenšie hodnoty v bodoch, kde prvá derivácia tejto funkcie neexistuje a je definovaná samotná funkcia.

Hneď si odpovedzme na jednu z najčastejších otázok na túto tému: „Je vždy možné určiť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie“? Nie vždy. Niekedy sa hranice intervalu X zhodujú s hranicami definičného oboru funkcie, alebo je interval X nekonečný. A niektoré funkcie v nekonečne a na hraniciach oblasti definície môžu nadobúdať nekonečne veľké aj nekonečne malé hodnoty. V týchto prípadoch nemožno nič povedať o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Pre prehľadnosť uvádzame grafické znázornenie. Pozrite sa na obrázky - a veľa bude jasné.

Na segmente

Na prvom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch vo vnútri segmentu [-6;6].

Zvážte prípad zobrazený na druhom obrázku. Zmeňte segment na . V tomto príklade sa najmenšia hodnota funkcie dosiahne v stacionárnom bode a najväčšia - v bode s osou zodpovedajúcou pravá hranica interval.

Na obrázku č. 3 sú hraničné body úsečky [-3; 2] úsečkami bodov zodpovedajúcich najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Vo voľnom výbehu

Na štvrtom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch v rámci otvoreného intervalu (-6;6).

O intervale nemožno vyvodiť žiadne závery o najväčšej hodnote.

V nekonečne

V príklade znázornenom na siedmom obrázku má funkcia najväčšiu hodnotu (max y ) v stacionárnom bode s os x=1 a najmenšiu hodnotu (min y ) dosiahne na pravej hranici intervalu. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky blížia k y=3.

Na intervale funkcia nedosahuje ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Keďže x=2 smeruje doprava, funkčné hodnoty majú sklon k mínus nekonečnu (priama čiara x=2 je vertikálna asymptota), a keďže úsečka smeruje k plus nekonečnu, hodnoty funkcie sa asymptoticky približujú k y=3. Grafické znázornenie tohto príkladu je znázornené na obrázku 8.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie na segmente.

Napíšeme algoritmus, ktorý nám umožní nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na segmente.

1. Nájdeme doménu funkcie a skontrolujeme, či obsahuje celý segment.
2. Nájdeme všetky body, v ktorých prvá derivácia neexistuje a ktoré sú obsiahnuté v segmente (spravidla sa takéto body vyskytujú vo funkciách s argumentom pod znamienkom modulu a v mocenské funkcie so zlomkovým racionálnym exponentom). Ak takéto body neexistujú, prejdite na ďalší bod.
3. Určujeme všetky stacionárne body, ktoré spadajú do segmentu. Aby sme to urobili, vyrovnáme sa nule, vyriešime výslednú rovnicu a vyberieme vhodné korene. Ak neexistujú žiadne stacionárne body alebo žiadny z nich nespadá do segmentu, prejdite na ďalší krok.
4. Hodnoty funkcie vypočítame vo vybraných stacionárnych bodoch (ak existujú), v bodoch, kde prvá derivácia neexistuje (ak existuje), a tiež v x=a a x=b.
5. Zo získaných hodnôt funkcie vyberieme najväčšiu a najmenšiu - budú to požadované maximálne a najmenšie hodnoty funkcie.

Poďme analyzovať algoritmus pri riešení príkladu na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie na segmente.

Príklad.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

• na segmente;
• na intervale [-4;-1] .

Riešenie.

Definičný obor funkcie je celá množina reálnych čísel okrem nuly, teda . Oba segmenty spadajú do oblasti definície.

Nájdeme deriváciu funkcie vzhľadom na:

Je zrejmé, že derivácia funkcie existuje vo všetkých bodoch segmentov a [-4;-1] .

Stacionárne body sa určia z rovnice . Jediný skutočný koreň je x=2 . Tento stacionárny bod spadá do prvého segmentu.

V prvom prípade vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnom bode, teda pre x=1, x=2 a x=4:

Preto najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne pri x=1 a najmenšej hodnote – pri x=2.

V druhom prípade vypočítame hodnoty funkcie iba na koncoch segmentu [-4;-1] (keďže neobsahuje jediný stacionárny bod):