Povprečna vrednost- to je generalizacijski indikator, ki označuje kvalitativno homogeno populacijo glede na določeno kvantitativno lastnost. Na primer povprečna starost oseb, obsojenih za tatvino.

V sodni statistiki se povprečja uporabljajo za opredelitev:

Povprečni roki obravnave primerov te kategorije;

Zahtevek srednje velikosti;

Povprečno število obtožencev na zadevo;

Povprečna višina škode;

Povprečna obremenitev sodnikov itd.

Povprečna vrednost je vedno imenovana in ima enako dimenzijo kot atribut posamezne enote populacije. Vsaka povprečna vrednost označuje proučevano populacijo po katerem koli spremenljivem atributu, zato za vsakim povprečjem obstaja niz porazdelitev enot te populacije glede na proučevani atribut. Izbira vrste povprečja je odvisna od vsebine kazalnika in izhodiščnih podatkov za izračun povprečja.

Vse vrste povprečne vrednosti ki se uporabljajo v statističnih študijah, spadajo v dve kategoriji:

1) povprečja moči;

2) strukturna povprečja.

Prva kategorija povprečij vključuje: aritmetična sredina, harmonična sredina, geometrična sredina in efektivna vrednost . Druga kategorija je moda in mediana. Poleg tega ima lahko vsaka od naštetih vrst povprečij moči dve obliki: preprosto in tehtano . preprosta oblika povprečna vrednost se uporablja za pridobitev povprečne vrednosti proučevane lastnosti, kadar se izračun izvaja na nezdruženih statističnih podatkih ali kadar se vsaka različica v populaciji pojavi samo enkrat. Utežena povprečja se imenujejo vrednosti, ki upoštevajo, da imajo možnosti za vrednosti funkcije lahko različne številke, zato je treba vsako možnost pomnožiti z ustrezno frekvenco. Z drugimi besedami, vsaka možnost je "pretehtana" glede na svojo pogostost. Pogostost se imenuje statistična utež.

enostavna aritmetična sredina- najpogostejša vrsta medija. Enak je vsoti posameznih značilnih vrednosti, deljenih s skupnim številom teh vrednosti:

Kje x 1 ,x 2 , … ,x N- posamezne vrednosti atributa spremenljivke (možnosti) in N - število populacijskih enot.

Aritmetično tehtano povprečje uporablja se, ko so podatki predstavljeni v obliki porazdelitvenih serij ali skupin. Izračuna se kot vsota zmnožkov možnosti in njihovih ustreznih frekvenc, deljena z vsoto frekvenc vseh možnosti:

Kje x i- pomen jaz-th različice značilnosti; fi- pogostost jaz th možnosti.

Tako je vsaka vrednost variant ponderirana s svojo frekvenco, zato se frekvence včasih imenujejo statistične uteži.

Komentiraj. Kdaj pogovarjamo se o aritmetični sredini brez navedbe njene vrste je mišljena preprosta aritmetična sredina.

Tabela 12

rešitev. Za izračun uporabimo formulo aritmetičnega tehtanega povprečja:

Tako sta v povprečju dva obtoženca na eno kazensko zadevo.

Če se izračun povprečne vrednosti izvede glede na podatke, združene v obliki nizov intervalne porazdelitve, potem morate najprej določiti mediane vrednosti ​​​​​​vsakega intervala x "i, nato pa izračunati povprečno vrednost z uteženim formula aritmetične sredine, v kateri je x" i substituiran namesto x i.

Primer. Podatki o starosti obsojenih storilcev tatvin so predstavljeni v tabeli:

Tabela 13

Določite povprečno starost kriminalcev, obsojenih za tatvino.

rešitev.Če želite določiti povprečno starost kriminalcev na podlagi serije variacij intervalov, morate najprej najti mediane vrednosti intervalov. Ker imamo intervalno serijo z najprej odpreti in zadnji intervali, potem so vrednosti teh intervalov enake vrednostim sosednjih zaprtih intervalov. V našem primeru sta vrednost prvega in zadnjega intervala 10.

Zdaj najdemo povprečno starost kriminalcev z uporabo formule utežene aritmetične sredine:

Tako je povprečna starost obsojenih storilcev tatvin približno 27 let.

Povprečno harmonično preprosto je recipročna vrednost aritmetične sredine vzajemnih vrednosti atributa:

kjer je 1/ x i so recipročne vrednosti možnosti, N pa je število populacijskih enot.

Primer. Za določitev povprečne letne obremenitve sodnikov okrožnega sodišča pri obravnavanju kazenskih zadev je bila opravljena anketa o obremenitvi 5 sodnikov tega sodišča. Izkazalo se je, da je povprečni čas, porabljen za eno kazensko zadevo za vsakega od anketiranih sodnikov, enak (v dnevih): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Poiščite povprečne stroške za enega kazenski zadevi in ​​povprečno letno obremenitev sodnikov tega okrožnega sodišča pri obravnavanju kazenskih zadev.

rešitev. Za določitev povprečnega časa, porabljenega za eno kazensko zadevo, uporabimo harmonično preprosto formulo:

Za poenostavitev izračunov v primeru vzemimo število dni v letu 365, vključno z vikendi (to ne vpliva na metodo izračuna in pri izračunu podobnega kazalnika v praksi je treba nadomestiti število delovnih dni v posameznem letu namesto 365 dni). Potem bo povprečna letna obremenitev sodnikov tega okrožnega sodišča pri obravnavanju kazenskih zadev: 365 (dni): 5,56 ≈ 65,6 (zadeve).

Če bi uporabili preprosto formulo aritmetične sredine za določitev povprečnega časa, porabljenega za eno kazensko zadevo, bi dobili:

365 (dnevi): 5,64 ≈ 64,7 (primeri), tj. povprečna obremenitev sodnikov je bila manjša.

Preverimo veljavnost tega pristopa. Za to uporabimo podatke o času, porabljenem za eno kazensko zadevo za vsakega sodnika, in izračunamo število kazenskih zadev, ki jih obravnava vsak od njih na leto.

Temu primerno dobimo:

365(dni) : 6 ≈ 61 (primer), 365(dni) : 5,6 ≈ 65,2 (primer), 365(dni) : 6,3 ≈ 58 (primer),

365(dni) : 4,9 ≈ 74,5 (primeri), 365(dni) : 5,4 ≈ 68 (primeri).

Zdaj izračunamo povprečno letno obremenitev sodnikov tega okrožnega sodišča pri obravnavanju kazenskih zadev:

Tisti. povprečna letna obremenitev je enaka kot pri uporabi harmonične sredine.

Tako je uporaba aritmetične sredine v tem primeru nezakonita.

V primerih, ko so različice značilnosti znane, njihove volumetrične vrednosti (zmnožek različic s frekvenco), vendar same frekvence niso znane, se uporabi harmonična tehtana povprečna formula:

,

Kje x i so vrednosti možnosti lastnosti in w i so volumetrične vrednosti možnosti ( w i = x i f i).

Primer. Podatki o ceni enote istovrstnega blaga, ki ga proizvajajo različne ustanove kazenskega sistema, in o obsegu njegove realizacije so podani v tabeli 14.

Tabela 14

Poiščite povprečno prodajno ceno izdelka.

rešitev. Pri izračunu povprečne cene moramo uporabiti razmerje med prodano količino in številom prodanih enot. Ne poznamo števila prodanih enot, poznamo pa količino prodaje blaga. Zato za iskanje povprečne cene prodanega blaga uporabimo formulo za harmonično tehtano povprečje. Dobimo

Če tukaj uporabite formulo aritmetične sredine, lahko dobite povprečno ceno, ki bo nerealna:

Geometrijska sredina se izračuna tako, da se iz zmnožka vseh vrednosti možnosti lastnosti izvleče koren stopnje N:

,

Kje x 1 ,x 2 , … ,x N- posamezne vrednosti spremenljive lastnosti (možnosti) in

n- število populacijskih enot.

Ta vrsta povprečja se uporablja za izračun povprečnih stopenj rasti časovnih vrst.

efektivna vrednost uporablja za izračun povprečja standardni odklon, ki je indikator variacije in bo obravnavan v nadaljevanju.

Za ugotavljanje strukture prebivalstva se uporabljajo posebna povprečja, ki vključujejo mediana in moda , ali tako imenovana strukturna povprečja. Če je aritmetična sredina izračunana na podlagi uporabe vseh variant vrednosti atributa, potem mediana in moda označujeta vrednost variante, ki zavzema določeno povprečno mesto v rangirani (urejeni) seriji. Urejanje enot statistične populacije se lahko izvede v naraščajočem ali padajočem vrstnem redu glede na različice proučevane lastnosti.

Mediana (jaz) je vrednost, ki ustreza različici na sredini razvrščene serije. Tako je mediana tista varianta rangirane serije, na obeh straneh katere naj bi bila v tej seriji enako število agregatne enote.

Če želite najti mediano, jo morate najprej določiti. serijska številka v razvrščeni vrsti po formuli:

kjer je N obseg serije (število populacijskih enot).

Če je serija sestavljena iz lihega števila članov, potem je mediana enaka varianti s številom N Me . Če je serija sestavljena iz sodega števila članov, potem je mediana definirana kot aritmetična sredina dveh sosednjih možnosti, ki se nahajata na sredini.

Primer. Podana je razvrščena serija 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Prostornina serije je N = 9, kar pomeni N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Zato je Me = 6, tj. peta možnost. Če je vrstica podana s številkami 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, tj. serije s sodim številom članov (N = 8), potem je N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Torej je mediana enaka polovici vsote četrte in pete možnosti, tj. Jaz = (9 + 11) / 2 = 10.

V seriji diskretnih variacij je mediana določena z akumuliranimi frekvencami. Različne frekvence, začenši s prvo, se seštevajo, dokler ni presežena mediana. Vrednost zadnjih seštetih opcij bo mediana.

Primer. Poiščite mediano število obtožencev na kazensko zadevo s pomočjo podatkov v tabeli 12.

rešitev. V tem primeru je prostornina variacijske serije N = 154, zato je N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Če seštejemo frekvence prve in druge možnosti, dobimo: 75 + 43 = 118, tj. smo presegli mediano število. Torej jaz = 2.

V nizu intervalnih variacij porazdelitve najprej označite interval, v katerem bo mediana. Imenuje se mediana . To je prvi interval, katerega kumulativna frekvenca presega polovico volumna variacijske serije intervala. Potem številčna vrednost mediana je določena s formulo:

Kje x Jaz- spodnja meja medianega intervala; i - vrednost medianega intervala; S Me-1- akumulirana frekvenca intervala, ki je pred mediano; f jaz- frekvenca medianega intervala.

Primer. Poiščite povprečno starost storilcev kaznivih dejanj, obsojenih za tatvino, na podlagi statističnih podatkov, predstavljenih v tabeli 13.

rešitev. Statistični podatki so predstavljeni z intervalno variacijsko serijo, kar pomeni, da najprej določimo mediani interval. Obseg populacije N = 162, torej je mediani interval interval 18-28, ker to je prvi interval, katerega akumulirana frekvenca (15 + 90 = 105) presega polovico volumna (162: 2 = 81) intervalne variacijske serije. Zdaj je številčna vrednost mediane določena z zgornjo formulo:

Tako je polovica obsojenih za tatvino mlajših od 25 let.

Moda (Mo) poimenovati vrednost lastnosti, ki jo najpogosteje najdemo v enotah populacije. Moda se uporablja za identifikacijo vrednosti lastnosti, ki je najbolj razširjena. Za diskretno serijo bo način varianta z najvišjo frekvenco. Na primer za diskretno serijo, predstavljeno v tabeli 3 Mo= 1, saj ta vrednost možnosti ustreza najvišji frekvenci - 75. Za določitev načina intervalne serije najprej določite modalno interval (interval z najvišjo frekvenco). Nato se znotraj tega intervala najde vrednost lastnosti, ki je lahko način.

Njegovo vrednost najdemo po formuli:

Kje x Mo- spodnja meja modalnega intervala; i - vrednost modalnega intervala; f Mo- modalna intervalna frekvenca; f Mo-1- pogostost intervala pred modalnim; f Mo+1- pogostost intervala, ki sledi modalu.

Primer. Poiščite starostno obliko storilcev kaznivih dejanj, obsojenih za tatvino, podatki o katerih so predstavljeni v tabeli 13.

rešitev. Najvišja frekvenca ustreza intervalu 18-28, zato mora biti način v tem intervalu. Njegova vrednost je določena z zgornjo formulo:

torej največje število storilca kaznivega dejanja tatvine je star 24 let.

Povprečna vrednost daje splošno značilnost celotnega pojava, ki se proučuje. Dve populaciji z enakimi srednjimi vrednostmi pa se lahko bistveno razlikujeta med seboj glede na stopnjo nihanja (variacije) vrednosti proučevane lastnosti. Na primer, na enem sodišču so bili imenovani naslednji datumi zaporna kazen: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 let, v drugem pa 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 let. V obeh primerih je aritmetična sredina 6,7 ​​leta. Ti agregati pa se med seboj bistveno razlikujejo v razponu posameznih vrednosti pripisane dobe zapora glede na povprečno vrednost.

In za prvo sodišče, kjer je ta razlika precej velika, povprečna doba zapora ne odraža dobro celotne populacije. Torej, če se posamezne vrednosti atributa med seboj malo razlikujejo, bo aritmetična sredina dokaj indikativna značilnost lastnosti te populacije. V nasprotnem primeru bo aritmetična sredina nezanesljiva značilnost te populacije in njena uporaba v praksi neučinkovita. Zato je treba upoštevati variacijo vrednosti proučevane lastnosti.

Različica- to so razlike v vrednostih značilnosti v različnih enotah dane populacije v istem obdobju ali časovni točki. Izraz "variacija" je latinskega izvora - variatio, kar pomeni razlika, sprememba, nihanje. Nastane kot posledica dejstva, da se posamezne vrednosti atributa oblikujejo pod skupnim vplivom različnih dejavnikov (pogojev), ki se v vsakem posameznem primeru kombinirajo na različne načine. Za merjenje variacije lastnosti se uporabljajo različne absolutne in relativno uspešnost.

Glavni kazalniki variacije vključujejo naslednje:

1) obseg variacije;

2) povprečno linearno odstopanje;

3) disperzija;

4) standardni odklon;

5) koeficient variacije.

Na kratko se posvetimo vsakemu od njih.

Variacija razpona R je najbolj dostopen absolutni indikator v smislu enostavnosti izračuna, ki je opredeljen kot razlika med največjo in najmanjšo vrednostjo atributa za enote te populacije:

Razpon variacije (razpon nihanj) - pomemben indikator nihanja lastnosti, vendar omogoča opazovanje le ekstremnih odstopanj, kar omejuje obseg njegove uporabe. Za natančnejšo karakterizacijo variacije lastnosti na podlagi njenega nihanja se uporabljajo drugi indikatorji.

Povprečno linearno odstopanje je aritmetična sredina absolutne vrednosti odstopanja posameznih vrednosti atributa od povprečja in se določi s formulami:

1) Za nezdruženih podatkov

2) Za variacijske serije

Vendar je najpogosteje uporabljena mera variacije disperzija . Označuje mero širjenja vrednosti preučevane lastnosti glede na njeno povprečno vrednost. Varianca je opredeljena kot povprečje odstopanj na kvadrat.

enostavna varianta za nezdružene podatke:

.

Utežena varianca za variacijsko serijo:

Komentiraj. V praksi je za izračun variance bolje uporabiti naslednje formule:

Za enostavno varianto

.

Za tehtano varianco

Standardni odklon je kvadratni koren variance:

Standardni odklon je merilo zanesljivosti povprečja. Manjši kot je standardni odklon, bolj homogena je populacija in bolje aritmetična sredina odraža celotno populacijo.

Zgoraj obravnavane disperzijske mere (razpon variacije, variance, standardni odklon) so absolutni indikatorji, po kateri ni vedno mogoče presoditi stopnje nihanja lastnosti. Pri nekaterih problemih je treba uporabiti relativne indekse sipanja, eden izmed njih je koeficient variacije.

Koeficient variacije- izraženo kot odstotek razmerja med standardnim odklonom in aritmetično sredino:

Koeficient variacije se uporablja ne le za primerjalno vrednotenje variacije različnih lastnosti ali iste lastnosti v različnih populacijah, temveč tudi za karakterizacijo homogenosti populacije. Statistična populacija se šteje za kvantitativno homogeno, če koeficient variacije ne presega 33 % (za porazdelitve, ki so blizu normalne porazdelitve).

Primer. Podatki o trajanju zapora za 50 obsojencev, ki so bili oddani na prestajanje kazni, ki jih je izreklo sodišče, v prevzgojni zavod sistema za prestajanje kazni zapora so naslednji: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Konstruirajte porazdelitveno serijo glede na zaporne kazni.

2. Poiščite povprečje, varianco in standardni odklon.

3. Izračunajte koeficient variacije in sklepajte o homogenosti ali heterogenosti proučevane populacije.

rešitev. Za sestavo diskretne porazdelitvene serije je treba določiti različice in frekvence. Varianta v tem problemu je trajanje zapora, pogostost pa število posamezne variante. Po izračunu frekvenc dobimo naslednjo diskretno porazdelitveno serijo:

Poiščite povprečje in varianco. Ker so statistični podatki predstavljeni z diskretnimi variacijskimi vrstami, bomo za njihov izračun uporabili formule aritmetičnega tehtanega povprečja in variance. Dobimo:

= = 4,1;

= 5,21.

Zdaj izračunamo standardni odklon:

Najdemo koeficient variacije:

Posledično je statistična populacija kvantitativno heterogena.

Zdaj pa se pogovorimo o kako izračunati povprečje.
V svoji klasični obliki nam splošna teorija statistike ponuja eno različico pravil za izbiro povprečne vrednosti.
Najprej morate narediti pravilno logično formulo za izračun povprečne vrednosti (LFS). Za vsako povprečno vrednost vedno obstaja le ena logična formula za njen izračun, zato se tukaj težko zmotimo. Vedno pa si morate zapomniti, da je v števcu (to je tisto, kar je na vrhu ulomka) vsota vseh pojavov, v imenovalcu (to, kar je na dnu ulomka) skupaj elementi.

Ko je logična formula sestavljena, lahko uporabite pravila (za lažje razumevanje jih bomo poenostavili in zmanjšali):
1. Če je imenovalec logične formule predstavljen v začetnih podatkih (določen s frekvenco), se izračun izvede po formuli utežene aritmetične sredine.
2. Če je v začetnih podatkih predstavljen števec logične formule, se izračun izvede po formuli harmoničnega tehtanega povprečja.
3. Če sta v problemu hkrati prisotna števec in imenovalec logične formule (to se redko zgodi), se izračun izvede s to formulo ali z uporabo preproste formule aritmetične sredine.
To je klasična ideja izbire prave formule za izračun povprečne vrednosti. Nato predstavimo zaporedje dejanj pri reševanju nalog za izračun povprečne vrednosti.

Algoritem za reševanje nalog za izračun povprečne vrednosti

A. Določite metodo za izračun povprečne vrednosti - enostavna ali utežena . Če so podatki predstavljeni v tabeli, potem uporabimo utežno metodo, če so podatki predstavljeni z enostavnim naštevanjem, pa uporabimo metodo enostavnega izračuna.

B. Določite ali uredite konvencije – x - možnost, f – pogostost . Različica je pojav, za katerega želite najti povprečno vrednost. Preostali podatki v tabeli bodo frekvenca.

B. Določimo obrazec za izračun povprečne vrednosti - aritmetično ali harmonično . Opredelitev je izvedena v stolpcu frekvence. Aritmetična oblika se uporablja, če so frekvence podane z eksplicitnim številom (pogojno lahko nadomestite besedo kosov, število elementov "kosi" zanje). Harmonična oblika se uporablja, če frekvence niso podane z eksplicitnim številom, temveč s kompleksnim indikatorjem (zmnožek povprečne vrednosti in frekvence).

Najtežje je uganiti, kje in koliko se daje, še posebej za študenta, ki nima izkušenj v takih zadevah. V takšni situaciji lahko uporabite eno od naslednjih metod. Za nekatere naloge (ekonomske) je primerna izjava, razvita v letih prakse (točka B.1). V drugih primerih boste morali uporabiti odstavek B.2.

C.1 Če je frekvenca nastavljena v denarnih enotah (v rubljih), potem se za izračun uporabi harmonična sredina, taka izjava je vedno resnična, če je zaznana frekvenca nastavljena v denarju, v drugih primerih to pravilo ne velja.

B.2 Uporabite pravila za izbiro povprečne vrednosti, navedena zgoraj v tem članku. Če je frekvenca podana z imenovalcem logične formule za izračun povprečne vrednosti, potem izračunamo z obliko aritmetične sredine, če je frekvenca podana s števcem logične formule za izračun povprečne vrednosti, potem izračunamo z harmonična srednja oblika.

Razmislite o primerih uporabe tega algoritma.

A. Ker so podatki predstavljeni v vrsti, uporabljamo preprosto metodo izračuna.

B. V. Imamo samo podatke o višini pokojnin, ti pa bodo naša različica – x. Podatki so predstavljeni kot preprosto število (12 oseb), za izračun uporabljamo preprosto aritmetično sredino.

Povprečna pokojnina upokojenca je 9208,3 rubljev.

B. Ker je treba najti povprečni znesek plačila na otroka, so možnosti v prvem stolpcu, tam postavimo oznako x, drugi stolpec samodejno postane frekvenca f.

C. Pogostost (število otrok) je podana z eksplicitnim številom (lahko zamenjate besedo kosov otrok, z vidika ruskega jezika je besedna zveza napačna, vendar je v resnici zelo priročno preveri), kar pomeni, da se za izračun uporabi aritmetično tehtano povprečje.

Modno je rešiti isto težavo ne na formularni način, ampak na tabelarni, to je, da vse podatke vmesnih izračunov vnesete v tabelo.

Posledično je vse, kar je treba zdaj storiti, ločiti dve vsoti v pravilnem vrstnem redu.

Povprečno plačilo na otroka na mesec je bilo 1910 rubljev.

A. Ker so podatki predstavljeni v tabeli, za izračun uporabimo ponderirano obliko.

B. Pogostost (stroški proizvodnje) je določena z implicitno količino (frekvenca je nastavljena v rubljev Algoritem točka B1), kar pomeni, da je za izračun uporabljeno harmonično tehtano povprečje. Na splošno so v resnici proizvodni stroški kompleksen kazalnik, ki ga dobimo tako, da stroške enote izdelka pomnožimo s številom takih izdelkov, to je bistvo povprečne harmonične vrednosti.

Da bi ta problem rešili s formulo aritmetične sredine, je potrebno, da namesto proizvodnih stroškov obstaja število izdelkov z ustreznimi stroški.

Upoštevajte, da je znesek v imenovalcu, dobljen po izračunih 410 (120 + 80 + 210), skupno število proizvedenih izdelkov.

Povprečni strošek na enoto izdelka je bil 314,4 rubljev.

A. Ker so podatki predstavljeni v tabeli, za izračun uporabimo ponderirano obliko.

B. Ker je potrebno najti povprečne stroške na enoto izdelka, so možnosti v prvem stolpcu, tam vnesemo oznako x, drugi stolpec samodejno postane frekvenca f.

C. Frekvenca (skupno število vrzeli) je podana z implicitnim številom (je zmnožek dveh kazalnikov števila vrzeli in števila učencev s takšnim številom vrzeli), kar pomeni, da je harmonično tehtano povprečje uporabljen za izračun. Uporabili bomo točko algoritma B2.

Da bi lahko ta problem rešili s formulo aritmetične sredine, je potrebno, da namesto skupnega števila vrzeli navedemo število študentov.

Naredimo logično formulo za izračun povprečnega števila prehodov na študenta.

Pogostost glede na pogoje naloge Skupno število prehaja. V logični formuli je ta kazalnik v števcu, kar pomeni, da uporabljamo formulo harmonične sredine.

Upoštevajte, da je vsota v imenovalcu po izračunu 31 (18+8+5) skupno število študentov.

Povprečno število izostankov na dijaka je 13,8 dni.

Povprečne vrednosti se pogosto uporabljajo v statistiki. Povprečne vrednosti označujejo kvalitativne kazalnike komercialne dejavnosti: stroške distribucije, dobiček, donosnost itd.

Srednje To je ena najpogostejših posplošitev. Pravilno razumevanje bistva povprečja določa njegov poseben pomen z vidika tržno gospodarstvo, ko povprečje skozi posamezno in naključno omogoča prepoznavanje splošnega in potrebnega, prepoznavanje trenda vzorcev gospodarskega razvoja.

Povprečna vrednost - to so posploševalni kazalci, v katerih najdejo izraz delovanja splošni pogoji, zakonitosti proučevanega pojava.

Statistična povprečja so izračunana na podlagi množičnih podatkov pravilno statistično organiziranega množičnega opazovanja (kontinuiranega in selektivnega). Vendar pa bo statistično povprečje objektivno in tipično, če je izračunano iz množičnih podatkov za kvalitativno homogeno populacijo (masovni pojavi). Če na primer izračunamo povprečne plače v zadrugah in državnih podjetjih ter rezultat razširimo na celotno populacijo, potem je povprečje fiktivno, saj je izračunano za heterogeno populacijo in takšno povprečje izgubi vsak pomen.

S pomočjo povprečja gre tako rekoč za glajenje razlik v velikosti značilnosti, ki se iz takšnih ali drugačnih razlogov pojavijo v posameznih enotah opazovanja.

Na primer, povprečni rezultat prodajalca je odvisen od številnih dejavnikov: kvalifikacij, delovne dobe, starosti, oblike storitve, zdravja itd.

Povprečni rezultat odraža splošno lastnost celotne populacije.

Povprečna vrednost je odraz vrednosti proučevane lastnosti, zato se meri v enaki dimenziji kot ta lastnost.

Vsaka povprečna vrednost označuje proučevano populacijo glede na kateri koli atribut. Da bi dobili popolno in celovito sliko proučevane populacije v smislu številnih bistvenih značilnosti, je na splošno potreben sistem povprečnih vrednosti, ki lahko opišejo pojav iz različnih zornih kotov.

Obstajajo različna povprečja:

aritmetična sredina;

geometrična sredina;

povprečna harmonika;

efektivna vrednost;

kronološko povprečje.

Razmislite o nekaterih vrstah povprečij, ki se najpogosteje uporabljajo v statistiki.

Aritmetična sredina

Preprosta aritmetična sredina (neutežena) je enaka vsoti posameznih vrednosti značilnosti, deljena s številom teh vrednosti.

Posamezne vrednosti atributa se imenujejo različice in so označene z x (); število populacijskih enot je označeno z n, povprečna vrednost značilnosti - z . Zato je preprosta aritmetična sredina:

Glede na podatke serije diskretne porazdelitve je razvidno, da se iste vrednosti atributa (možnosti) ponavljajo večkrat. Torej se različica x pojavi v agregatu 2-krat, različica x pa 16-krat itd.

Število enakih vrednosti lastnosti v nizu porazdelitve se imenuje frekvenca ali utež in je označeno s simbolom n.

Izračunajte povprečno plačo na delavca v rubljih:

Sklad plače za vsako skupino delavcev enak zmnožku možnosti in frekvence, vsota teh zmnožkov pa daje skupni plačni fond vseh delavcev.

V skladu s tem lahko izračune predstavimo v splošni obliki:

Nastala formula se imenuje utežena aritmetična sredina.

Statistično gradivo kot rezultat obdelave je mogoče predstaviti ne samo v obliki diskretnih porazdelitvenih serij, temveč tudi v obliki intervalnih variacijskih serij z zaprtimi ali odprtimi intervali.

Izračun povprečja za združene podatke se izvede po formuli utežene aritmetične sredine:

V praksi ekonomske statistike je včasih potrebno izračunati povprečje po skupinskih povprečjih ali po povprečjih posameznih delov populacije (delna povprečja). V takih primerih se kot možnosti (x) vzamejo skupinska ali delna povprečja, na podlagi katerih se izračuna skupno povprečje kot običajno aritmetično tehtano povprečje.

Osnovne lastnosti aritmetične sredine .

Aritmetična sredina ima več lastnosti:

1. Od zmanjšanja ali povečanja frekvenc vsake vrednosti atributa x za n-krat se vrednost aritmetične sredine ne bo spremenila.

Če vse frekvence delimo ali pomnožimo z določenim številom, se vrednost povprečja ne spremeni.

2. Skupni množitelj posameznih vrednosti atributa se lahko vzame iz znaka povprečja:

3. Povprečni znesek(razlika) dveh ali več količin je enaka vsoti (razliki) njihovih povprečij:

4. Če je x \u003d c, kjer je c konstantna vrednost, potem
.

5. Vsota odstopanj vrednosti značilnosti X od aritmetične sredine x je enaka nič:

Povprečna harmonika.

Skupaj z aritmetično sredino statistika uporablja harmonično sredino, recipročno vrednost aritmetične sredine vzajemnih vrednosti atributa. Tako kot aritmetična sredina je lahko enostavna in utežena.

Poleg povprečij sta značilnosti variacijske serije mod in mediana.

Moda - to je vrednost lastnosti (različice), ki se najpogosteje ponavlja v proučevani populaciji. Za serije diskretne porazdelitve bo način vrednost različice z najvišjo frekvenco.

Za serije intervalne porazdelitve z enakimi intervali je način določen s formulo:

Kje
- začetna vrednost intervala, ki vsebuje modus;

- vrednost modalnega intervala;

- modalna intervalna frekvenca;

- pogostost intervala pred modalnim;

- pogostost intervala, ki sledi modalu.

Mediana je različica, ki se nahaja na sredini variacijske vrstice. Če je porazdelitvena serija diskretna in ima liho število članov, bo mediana varianta, ki se nahaja na sredini urejene serije (urejena serija je razporeditev populacijskih enot v naraščajočem ali padajočem vrstnem redu).

Aritmetična sredina - statistični indikator, ki prikazuje povprečno vrednost danega niza podatkov. Tak indikator se izračuna kot ulomek, katerega števec je vsota vseh vrednosti niza, imenovalec pa njihovo število. Aritmetična sredina je pomemben koeficient, ki se uporablja v gospodinjskih izračunih.

Pomen koeficienta

Aritmetična sredina je osnovni indikator za primerjavo podatkov in izračun sprejemljive vrednosti. Na primer, pločevinka piva določenega proizvajalca se prodaja v različnih trgovinah. Toda v eni trgovini stane 67 rubljev, v drugi - 70 rubljev, v tretji - 65 rubljev in v zadnji - 62 rubljev. Obstaja precej velik razpon cen, zato bo kupca zanimal povprečni strošek pločevinke, tako da bo lahko pri nakupu izdelka primerjal svoje stroške. Povprečna cena pločevinke piva v mestu:

Povprečna cena = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubljev.

Če poznate povprečno ceno, je enostavno ugotoviti, kje je donosno kupiti blago in kje boste morali preplačati.

Aritmetična sredina se stalno uporablja v statističnih izračunih v primerih, ko se analizira homogen niz podatkov. V zgornjem primeru je to cena pločevinke piva iste znamke. Ne moremo pa primerjati cen piva različnih proizvajalcev ali cen piva in limonade, saj bo v tem primeru razpon vrednosti večji, povprečna cena zamegljena in nezanesljiva, sam pomen izračunov pa bo izkrivljena v karikaturo "povprečna temperatura v bolnišnici." Za izračun heterogenih podatkovnih nizov se uporablja aritmetično tehtano povprečje, ko vsaka vrednost prejme svoj utežni faktor.

Izračunavanje aritmetične sredine

Formula za izračun je zelo preprosta:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

kjer je an vrednost količine, n je skupno število vrednosti.

Za kaj se lahko uporablja ta indikator? Prva in očitna uporaba je v statistiki. V skoraj vsakem statistična študija uporabljena je aritmetična sredina. To je lahko povprečna starost za poroko v Rusiji, povprečna ocena študenta pri predmetu ali povprečna poraba živil na dan. Kot je navedeno zgoraj, lahko izračun povprečij brez upoštevanja uteži da nenavadne ali absurdne vrednosti.

Na primer predsednik Ruska federacija podal izjavo, da je po statističnih podatkih povprečna plača Rusa 27.000 rubljev. Za večino ljudi v Rusiji se je ta raven plače zdela absurdna. Ni presenetljivo, če se pri izračunu upoštevajo dohodki oligarhov, vodij industrijskih podjetij, velikih bankirjev na eni strani ter plače učiteljev, čistilk in prodajalcev na drugi strani. Tudi povprečne plače v eni specialnosti, na primer računovodja, bodo imele resne razlike v Moskvi, Kostromi in Jekaterinburgu.

Kako izračunati povprečja za heterogene podatke

Pri obračunu plač je pomembno upoštevati težo vsake vrednosti. To pomeni, da bi plače oligarhov in bankirjev dobile utež na primer 0,00001, plače prodajalcev pa 0,12. To so številke s stropa, vendar približno ponazarjajo razširjenost oligarhov in prodajalcev v ruski družbi.

Zato je za izračun povprečja povprečij ali povprečne vrednosti v heterogenem podatkovnem nizu potrebna uporaba aritmetično tehtanega povprečja. V nasprotnem primeru boste prejeli povprečno plačo v Rusiji na ravni 27.000 rubljev. Če želite izvedeti svojo povprečno oceno pri matematiki ali povprečno število golov, ki jih je dosegel izbrani hokejist, potem vam bo ustrezal kalkulator aritmetične sredine.

Naš program je preprost in priročen kalkulator za izračun aritmetične sredine. Za izvedbo izračunov morate samo vnesti vrednosti parametrov.

Poglejmo si nekaj primerov

Izračun povprečne ocene

Mnogi učitelji za določanje letne ocene pri predmetu uporabljajo metodo aritmetične sredine. Predstavljajmo si, da otrok pri matematiki dobi četrtletne ocene: 3, 3, 5, 4. Kakšno letno oceno mu bo dal učitelj? Uporabimo kalkulator in izračunajmo aritmetično sredino. Najprej izberite ustrezno število polj in v celice, ki se prikažejo, vnesite vrednosti ocene:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Učitelj bo vrednost zaokrožil v korist učenca, učenec pa bo za letnik prejel solidno štirico.

Izračun pojedenih sladkarij

Ponazorimo nekaj absurdnosti aritmetične sredine. Predstavljajte si, da sta Maša in Vova imela 10 sladkarij. Maša je pojedla 8 bonbonov, Vova pa le 2. Koliko bonbonov je v povprečju pojedel vsak otrok? S kalkulatorjem je enostavno izračunati, da so otroci v povprečju pojedli 5 sladkarij, kar je popolnoma neresnično in zdrava pamet. Ta primer kaže, da je aritmetična sredina pomembna za smiselne nize podatkov.

Zaključek

Izračun aritmetične sredine se pogosto uporablja na številnih znanstvenih področjih. Ta indikator ni priljubljen le v statističnih izračunih, ampak tudi v fiziki, mehaniki, ekonomiji, medicini ali financah. Uporabite naše kalkulatorje kot pomočnike pri reševanju problemov aritmetične sredine.

Tema aritmetične in geometrijske sredine je vključena v program matematike za 6.-7. razred. Ker je odstavek dokaj enostaven za razumevanje, ga hitro prenesemo in do konca šolskega leta ga učenci pozabijo. Toda za to je potrebno znanje osnovne statistike opravljanje izpita, kot tudi za mednarodne izpite SOB. Da in za Vsakdanje življenje razvito analitično mišljenje nikoli ne škodi.

Kako izračunati aritmetično in geometrično sredino števil

Recimo, da obstaja niz števil: 11, 4 in 3. Aritmetična sredina je vsota vseh števil, deljena s številom danih števil. To pomeni, da bo v primeru števil 11, 4, 3 odgovor 6. Kako dobimo 6?

Rešitev: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Imenovalec mora vsebovati število, ki je enako številu števil, katerih povprečje je treba najti. Vsota je deljiva s 3, ker so členi trije.

Zdaj se moramo ukvarjati z geometrijsko sredino. Recimo, da obstaja niz števil: 4, 2 in 8.

Geometrična sredina je zmnožek vseh danih števil, ki je pod korenom s stopnjo, ki je enaka številu danih števil.To pomeni, da je v primeru števil 4, 2 in 8 odgovor 4. Tako se je zgodilo :

Rešitev: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Pri obeh možnostih so bili pridobljeni celi odgovori, saj so bila za primer vzeta posebna števila. Ni vedno tako. V večini primerov je treba odgovor zaokrožiti ali pustiti pri korenu. Na primer, za števila 11, 7 in 20 je aritmetična sredina ≈ 12,67, geometrična sredina pa ∛1540. In za številki 6 in 5 bosta odgovora 5,5 oziroma √30.

Ali se lahko zgodi, da aritmetična sredina postane enaka geometrični sredini?

Seveda lahko. A le v dveh primerih. Če obstaja vrsta števil, sestavljena samo iz enic ali ničel. Omeniti velja tudi, da odgovor ni odvisen od njihovega števila.

Dokaz z enotami: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetična sredina).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrijska sredina).

Dokaz z ničlami: (0 + 0) / 2=0 (aritmetična sredina).

√(0 × 0) = 0 (geometrijska sredina).

Druge možnosti ni in je ne more biti.