La linea mediana del trapezio è pari alla metà della somma motivi. Collega i punti medi dei lati del trapezio ed è sempre parallelo alle basi.

Se le basi di un trapezio sono uguali ad a e b, allora la linea mediana m è uguale a m=(a+b)/2.

Se l'area del trapezio è nota, allora è possibile trovare la linea di mezzo e in altro modo, dividendo l'area del trapezio S per l'altezza del trapezio h:



Questo è, linea mediana del trapezio m=S/h

Esistono molti modi per trovare la lunghezza della linea mediana di un trapezio. La scelta del metodo dipende dai dati iniziali.

Qui formule per la lunghezza della linea mediana di un trapezio:

Per trovare la linea mediana di un trapezio, puoi utilizzare una delle cinque formule (non le scriverò, poiché sono già in altre risposte), ma questo solo nei casi in cui abbiamo bisogno dei valori dei dati iniziali sono conosciuti.

In pratica, dobbiamo risolvere molti problemi quando non ci sono dati sufficienti, e misura giusta devo ancora trovarlo.

Ci sono tali opzioni qui

una soluzione passo passo per riunire tutto sotto la formula;

utilizzando altre formule, comporre e risolvere le equazioni necessarie.

trovare la lunghezza del centro di un trapezio usando la formula di cui abbiamo bisogno con l'aiuto di altre conoscenze sulla geometria e sull'utilizzo equazioni algebriche:

Abbiamo un trapezio isoscele, le sue diagonali si intersecano ad angolo retto, la sua altezza è 9 cm.

Facciamo un disegno e vediamo che questo problema non può essere risolto frontalmente (non ci sono abbastanza dati)



Pertanto, semplificheremo un po' e disegneremo l'altezza attraverso il punto di intersezione delle diagonali.

Questo è il primo passo importante che porta ad una soluzione rapida.

indichiamo l'altezza con due incognite, vedremo i triangoli isosceli di cui abbiamo bisogno con i lati X E A



e possiamo trovarlo facilmente somma dei motivi trapezi

è uguale 2х+2у

E solo ora possiamo applicare la formula dove

ed è uguale x+y e secondo le condizioni del problema, questa è la lunghezza dell'altezza pari a 9 cm.

E ora abbiamo derivato diversi momenti per un trapezio isoscele, le cui diagonali si intersecano ad angolo retto

in tali trapezi

la linea mediana è sempre uguale all'altezza

l'area è sempre uguale al quadrato dell'altezza.

La linea mediana di un trapezio è un segmento che collega i punti medi dei lati del trapezio.

La linea mediana di qualsiasi trapezio è facile da trovare se usi la formula:

m = (a+b)/2

m è la lunghezza della linea mediana del trapezio;

a, b lunghezze delle basi del trapezio.

COSÌ, la lunghezza della linea mediana di un trapezio è pari alla metà della somma delle lunghezze delle basi.

La formula base per la formula per la linea mediana di un trapezio: la lunghezza della linea mediana di un trapezio è pari alla metà della somma delle basi a e b: MN=(a+b)2 La prova di questa formula è la formula per la linea mediana di un triangolo. Qualsiasi trapezio può essere rappresentato dopo aver disegnato dalle estremità una base più piccola fino a una base più grande. Successivamente, vengono considerati i 2 triangoli risultanti e la formula per la linea mediana del trapezio facilmente dimostrabile.

Per trovare la linea mediana del trapezio dobbiamo conoscere i valori delle basi.

Dopo aver trovato questi valori, o forse che ci erano noti, sommiamo questi numeri e li dividiamo semplicemente a metà.

Questo è ciò che accadrà linea mediana del trapezio.

Per quanto ricordo nelle mie lezioni di geometria a scuola, per trovare la lunghezza della linea mediana di un trapezio, devi sommare le lunghezze delle basi e dividere per due. Pertanto la lunghezza della linea mediana del trapezio è pari alla metà della somma delle basi.

In questo articolo cercheremo di riflettere nel modo più completo possibile le proprietà di un trapezio. In particolare, parleremo di segnali generali e proprietà di un trapezio, nonché sulle proprietà di un trapezio inscritto e attorno a un cerchio inscritto in un trapezio. Toccheremo anche le proprietà di un trapezio isoscele e rettangolare.

Un esempio di risoluzione di un problema utilizzando le proprietà discusse ti aiuterà a risolverlo nella tua testa e a ricordare meglio il materiale.

Trapezio e tutto, tutto, tutto

Per cominciare, ricordiamo brevemente cos'è un trapezio e quali altri concetti sono associati ad esso.

Quindi, un trapezio è una figura quadrilatera, due dei cui lati sono paralleli tra loro (queste sono le basi). E i due non sono paralleli: questi sono i lati.

In un trapezio l'altezza può essere abbassata, perpendicolarmente alle basi. Si disegnano la linea centrale e le diagonali. È anche possibile disegnare una bisettrice da qualsiasi angolo del trapezio.

Parleremo ora delle varie proprietà associate a tutti questi elementi e delle loro combinazioni.

Proprietà delle diagonali del trapezio

Per renderlo più chiaro, mentre leggi, disegna il trapezio ACME su un foglio di carta e disegna al suo interno le diagonali.

1. Se trovi i punti medi di ciascuna diagonale (chiamiamo questi punti X e T) e li colleghi, ottieni un segmento. Una delle proprietà delle diagonali di un trapezio è che il segmento HT giace sulla linea mediana. E la sua lunghezza si ottiene dividendo la differenza delle basi per due: ХТ = (a – b)/2.
2. Davanti a noi c'è lo stesso trapezio ACME. Le diagonali si intersecano nel punto O. Consideriamo i triangoli AOE e MOK, formati dai segmenti delle diagonali insieme alle basi del trapezio. Questi triangoli sono simili. Il coefficiente di somiglianza k dei triangoli è espresso attraverso il rapporto tra le basi del trapezio: k = AE/KM.
   Il rapporto tra le aree dei triangoli AOE e MOK è descritto dal coefficiente k 2 .
3. Lo stesso trapezio, le stesse diagonali che si intersecano nel punto O. Solo che questa volta considereremo i triangoli che i segmenti delle diagonali formano insieme ai lati del trapezio. Le aree dei triangoli AKO ed EMO hanno la stessa dimensione: le loro aree sono le stesse.
4. Un'altra proprietà del trapezio riguarda la costruzione delle diagonali. Quindi, se continui i lati di AK e ME nella direzione della base più piccola, prima o poi si intersecheranno ad un certo punto. Successivamente, traccia una linea retta attraverso il centro delle basi del trapezio. Interseca le basi nei punti X e T.
   Se ora prolungamo la linea XT, essa collegherà insieme il punto di intersezione delle diagonali del trapezio O, il punto in cui si intersecano i prolungamenti dei lati e del centro delle basi X e T.
5. Attraverso il punto di intersezione delle diagonali tracceremo un segmento che collegherà le basi del trapezio (T giace sulla base minore KM, X su quella maggiore AE). Il punto di intersezione delle diagonali divide questo segmento nel seguente rapporto: TO/OX = KM/AE.
6. Ora, attraverso il punto di intersezione delle diagonali, tracceremo un segmento parallelo alle basi del trapezio (aeb). Il punto di intersezione lo dividerà in due parti uguali. Puoi trovare la lunghezza del segmento utilizzando la formula 2ab/(a+b).

Proprietà della linea mediana di un trapezio

Disegna la linea mediana del trapezio parallela alle sue basi.

1. La lunghezza della linea mediana di un trapezio può essere calcolata sommando le lunghezze delle basi e dividendole a metà: m = (a+b)/2.
2. Se tracci un segmento qualsiasi (ad esempio l'altezza) che passa attraverso entrambe le basi del trapezio, la linea mediana lo dividerà in due parti uguali.

Proprietà della bisettrice del trapezio

Seleziona un angolo qualsiasi del trapezio e disegna una bisettrice. Prendiamo ad esempio l'angolo KAE del nostro trapezio ACME. Avendo completato voi stessi la costruzione, potrete facilmente verificare che la bisettrice taglia dalla base (o dalla sua continuazione su una retta esterna alla figura stessa) un segmento della stessa lunghezza del lato.

Proprietà degli angoli trapezi

1. Qualunque delle due coppie di angoli adiacenti al lato scelto, la somma degli angoli nella coppia è sempre 180 0: α + β = 180 0 e γ + δ = 180 0.
2. Colleghiamo i punti medi delle basi del trapezio con un segmento TX. Ora diamo un'occhiata agli angoli alle basi del trapezio. Se la somma degli angoli di uno qualsiasi di essi è 90 0, la lunghezza del segmento TX può essere facilmente calcolata in base alla differenza delle lunghezze delle basi, divisa a metà: TX = (AE – KM)/2.
3. Se si tracciano linee parallele attraverso i lati di un angolo trapezio, esse divideranno i lati dell'angolo in segmenti proporzionali.

Proprietà di un trapezio isoscele (equilatero).

1. In un trapezio isoscele gli angoli ad ogni base sono uguali.
2. Ora costruisci di nuovo un trapezio per rendere più facile immaginare di cosa stiamo parlando. Osserva attentamente la base AE: il vertice della base opposta M è proiettato in un certo punto della linea che contiene AE. La distanza dal vertice A al punto di proiezione del vertice M e la linea mediana del trapezio isoscele sono uguali.
3. Qualche parola sulla proprietà delle diagonali di un trapezio isoscele: le loro lunghezze sono uguali. E anche gli angoli di inclinazione di queste diagonali rispetto alla base del trapezio sono gli stessi.
4. Solo attorno a un trapezio isoscele si può descrivere un cerchio, poiché la somma degli angoli opposti di un quadrilatero è 180 0 - un prerequisito per questo.
5. La proprietà di un trapezio isoscele deriva dal paragrafo precedente: se un cerchio può essere descritto vicino al trapezio, allora è isoscele.
6. Dalle caratteristiche di un trapezio isoscele segue la proprietà dell'altezza di un trapezio: se le sue diagonali si intersecano ad angolo retto, allora la lunghezza dell'altezza è uguale alla metà della somma delle basi: h = (a+b)/2.
7. Ancora una volta, traccia il segmento TX attraverso i punti medi delle basi del trapezio: in un trapezio isoscele è perpendicolare alle basi. E allo stesso tempo TX è l'asse di simmetria di un trapezio isoscele.
8. Questa volta abbassa l'altezza dal vertice opposto del trapezio sulla base più grande (chiamiamola a). Otterrai due segmenti. La lunghezza di uno si trova se si sommano le lunghezze delle basi e si dividono a metà: (a+b)/2. Otteniamo il secondo quando sottraiamo quello più piccolo dalla base più grande e dividiamo la differenza risultante per due: (a – b)/2.

Proprietà del trapezio inscritto in una circonferenza

Poiché stiamo già parlando di un trapezio inscritto in un cerchio, soffermiamoci su questo problema in modo più dettagliato. In particolare, su dove si trova il centro del cerchio rispetto al trapezio. Anche in questo caso si consiglia di prendersi il tempo necessario per prendere in mano una matita e disegnare quanto verrà discusso di seguito. In questo modo capirai più velocemente e ricorderai meglio.

1. La posizione del centro del cerchio è determinata dall'angolo di inclinazione della diagonale del trapezio rispetto al suo lato. Ad esempio, una diagonale può estendersi dalla parte superiore di un trapezio ad angolo retto rispetto al lato. In questo caso la base maggiore interseca il centro della circonferenza circoscritta esattamente al centro (R = ½AE).
2. La diagonale e il lato possono anche incontrarsi ad angolo acuto: il centro del cerchio si trova all'interno del trapezio.
3. Il centro del cerchio circoscritto può trovarsi all'esterno del trapezio, oltre la sua base maggiore, se tra la diagonale del trapezio e il lato esiste un angolo ottuso.
4. L'angolo formato dalla diagonale e dalla base maggiore del trapezio ACME (angolo inscritto) è la metà angolo centrale, che ad esso corrisponde: MAE = ½MOE.
5. Brevemente circa due modi per trovare il raggio di un cerchio circoscritto. Metodo uno: guarda attentamente il tuo disegno: cosa vedi? Puoi facilmente notare che la diagonale divide il trapezio in due triangoli. Il raggio può essere trovato dal rapporto tra il lato del triangolo e il seno dell'angolo opposto, moltiplicato per due. Per esempio, R = AE/2*sinAME. In modo simile, la formula può essere scritta per qualsiasi lato di entrambi i triangoli.
6. Metodo due: trova il raggio del cerchio circoscritto passando per l'area del triangolo formato da diagonale, lato e base del trapezio: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Proprietà del trapezio circoscritto ad una circonferenza

Puoi inserire un cerchio in un trapezio se viene soddisfatta una condizione. Leggi di più a riguardo di seguito. E insieme questa combinazione di figure ha una serie di proprietà interessanti.

1. Se un cerchio è inscritto in un trapezio, la lunghezza della sua linea mediana può essere facilmente trovata sommando le lunghezze dei lati e dividendo la somma risultante a metà: m = (c + d)/2.
2. Per il trapezio ACME, descritto attorno ad una circonferenza, la somma delle lunghezze delle basi è uguale alla somma delle lunghezze dei lati: AK + ME = KM + AE.
3. Da questa proprietà delle basi di un trapezio segue l'affermazione inversa: un cerchio può essere inscritto in un trapezio la cui somma delle basi è uguale alla somma dei suoi lati.
4. Il punto tangente di una circonferenza di raggio r inscritta in un trapezio divide il lato in due segmenti, chiamiamoli a e b. Il raggio di un cerchio può essere calcolato utilizzando la formula: r = √ab.
5. E un'altra proprietà. Per evitare confusione, disegna anche tu questo esempio. Abbiamo il buon vecchio trapezio ACME, descritto attorno a un cerchio. Contiene diagonali che si intersecano nel punto O. I triangoli AOK e EOM formati dai segmenti delle diagonali e dai lati laterali sono rettangolari.
   Le altezze di questi triangoli, abbassate all'ipotenusa (cioè i lati laterali del trapezio), coincidono con i raggi del cerchio inscritto. E l'altezza del trapezio coincide con il diametro del cerchio inscritto.

Proprietà di un trapezio rettangolo

Un trapezio si dice rettangolo se uno dei suoi angoli è retto. E le sue proprietà derivano da questa circostanza.

1. Un trapezio rettangolare ha uno dei lati perpendicolare alla base.
2. Altezza e lato laterale del trapezio adiacente angolo retto, sono uguali. Ciò consente di calcolare l'area di un trapezio rettangolare (formula generale S = (a + b) * h/2) non solo attraverso l'altezza, ma anche attraverso il lato adiacente all'angolo retto.
3. Per un trapezio rettangolare sono rilevanti le proprietà generali delle diagonali di un trapezio già descritte sopra.

Prova di alcune proprietà del trapezio

Uguaglianza degli angoli alla base di un trapezio isoscele:

• Probabilmente hai già intuito che qui avremo di nuovo bisogno del trapezio AKME: disegna un trapezio isoscele. Dal vertice M traccia una linea retta MT, parallela al lato di AK (MT || AK).

Il quadrilatero AKMT risultante è un parallelogramma (AK || MT, KM || AT). Poiché ME = KA = MT, ∆ MTE è isoscele e MET = MTE.

Ak || MT, quindi MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Dove AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Ora, basandoci sulla proprietà del trapezio isoscele (uguaglianza delle diagonali), lo dimostriamo il trapezio ACME è isoscele:

• Per prima cosa tracciamo una linea retta MX – MX || KE. Otteniamo un parallelogramma KMHE (base – MX || KE e KM || EX).

∆AMX è isoscele, poiché AM = KE = MX e MAX = MEA.

M.H. || KE, KEA = MXE, quindi MAE = MXE.

Si è scoperto che i triangoli AKE ed EMA sono uguali tra loro, perché AM = KE e AE – lato comune due triangoli. E anche MAE = MXE. Possiamo concludere che AK = ME, e da ciò segue che il trapezio AKME è isoscele.

Compito di revisione

Le basi del trapezio ACME sono 9 cm e 21 cm, il lato KA, pari a 8 cm, forma con la base minore un angolo di 150 0. Devi trovare l'area del trapezio.

Soluzione: Dal vertice K abbassiamo l'altezza alla base maggiore del trapezio. E cominciamo a guardare gli angoli del trapezio.

Gli angoli AEM e KAN sono unilaterali. Ciò significa che in totale danno 180 0. Pertanto, KAN = 30 0 (in base alla proprietà degli angoli trapezoidali).

Consideriamo ora il ∆ANC rettangolare (credo che questo punto sia ovvio ai lettori senza ulteriori prove). Da esso troveremo l'altezza del trapezio KH - in un triangolo è una gamba che si trova di fronte all'angolo di 30 0. Pertanto KN = ½AB = 4 cm.

Troviamo l'area del trapezio utilizzando la formula: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Epilogo

Se hai studiato attentamente e attentamente questo articolo, non sei troppo pigro per disegnare trapezi per tutte le proprietà indicate con una matita tra le mani e analizzarli nella pratica, dovresti padroneggiare bene il materiale.

Certo, qui ci sono molte informazioni, varie e talvolta anche confuse: non è così difficile confondere le proprietà del trapezio descritto con le proprietà di quello inscritto. Ma tu stesso hai visto che la differenza è enorme.

Ora hai uno schema dettagliato di tutte le proprietà generali di un trapezio. Oltre a proprietà e caratteristiche specifiche degli isosceli e dei trapezi rettangolari. È molto comodo da usare per prepararsi a test ed esami. Provalo tu stesso e condividi il link con i tuoi amici!

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Il segmento di linea retta che collega i punti medi dei lati laterali del trapezio si chiama linea mediana del trapezio. Di seguito ti diremo come trovare la linea mediana di un trapezio e come si collega agli altri elementi di questa figura.

Teorema della linea centrale

Disegniamo un trapezio in cui AD è la base maggiore, BC è la base minore, EF è la linea mediana. Estendiamo la base AD oltre il punto D. Tracciamo una linea BF e proseguiamo fino ad intersecare la continuazione della base AD nel punto O. Consideriamo i triangoli ∆BCF e ∆DFO. Angoli ∟BCF = ∟DFO come verticali. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, perché VS // JSC. Pertanto, i triangoli ∆BCF = ∆DFO. Quindi i lati BF = FO.

Consideriamo ora ∆ABO e ∆EBF. ∟ABO è comune ad entrambi i triangoli. BE/AB = ½ per condizione, BF/BO = ½, poiché ∆BCF = ∆DFO. Pertanto i triangoli ABO e EFB sono simili. Quindi il rapporto tra i partiti EF/AO = ½, così come il rapporto tra gli altri partiti.

Troviamo EF = ½ AO. Il disegno mostra che AO = AD + DO. DO = BC come lati triangoli uguali, che significa AO = AD + BC. Quindi EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Quelli. la lunghezza della linea mediana di un trapezio è pari alla metà della somma delle basi.

La linea mediana di un trapezio è sempre uguale alla metà della somma delle basi?

Supponiamo che esista tale caso speciale, quando EF ≠ ½ (AD + BC). Allora BC ≠ DO, quindi ∆BCF ≠ ∆DCF. Ma questo è impossibile, poiché hanno tra loro due angoli e due lati uguali. Pertanto il teorema è vero in tutte le condizioni.

Problema della linea mediana

Supponiamo che nel nostro trapezio ABCD AD // BC, ∟A = 90°, ∟C = 135°, AB = 2 cm, la diagonale AC sia perpendicolare al lato. Trova la linea mediana del trapezio EF.

Se ∟A = 90°, allora ∟B = 90°, il che significa che ∆ABC è rettangolare.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° per convenzione, quindi, ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

Se in un triangolo rettangolo ∆ABC un angolo è uguale a 45°, allora i suoi cateti sono uguali: AB = BC = 2 cm.

Ipotenusa AC = √(AB² + BC²) = √8 cm.

Consideriamo ∆ACD. ∟ACD = 90° a seconda delle condizioni. ∟CAD = ∟BCA = 45° come gli angoli formati dalla trasversale delle basi parallele del trapezio. Pertanto, gambe AC ​​= CD = √8.

Ipotenusa AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.

Linea mediana del trapezio EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 cm.

Obiettivi della lezione:

1) introdurre gli studenti al concetto di linea mediana di un trapezio, considerarne le proprietà e dimostrarle;

2) insegnare come costruire la linea mediana del trapezio;

3) sviluppare la capacità degli studenti di utilizzare la definizione della linea mediana di un trapezio e le proprietà della linea mediana di un trapezio durante la risoluzione dei problemi;

4) continuare a sviluppare la capacità degli studenti di parlare con competenza, utilizzando i termini matematici necessari; dimostrare il tuo punto di vista;

5) sviluppare pensiero logico, memoria, attenzione.

Durante le lezioni

1. I compiti vengono controllati durante la lezione. I compiti erano orali, ricorda:

a) definizione di trapezio; tipi di trapezi;

b) determinare la linea mediana del triangolo;

c) proprietà della linea mediana di un triangolo;

d) segno della linea mediana del triangolo.

2. Studio di nuovo materiale.

a) La scacchiera mostra un trapezio ABCD.

b) L'insegnante ti chiede di ricordare la definizione di trapezio. Ogni banco ha un diagramma di suggerimento per aiutarti a ricordare i concetti di base dell'argomento “Trapezoide” (vedi Appendice 1). Ad ogni postazione viene consegnata l'Appendice 1.

Gli studenti disegnano sui loro quaderni il trapezio ABCD.

c) L'insegnante ti chiede di ricordare in quale argomento è stato incontrato il concetto di linea mediana (“Linea mediana di un triangolo”). Gli studenti ricordano la definizione di linea mediana di un triangolo e le sue proprietà.

e) Annotare la definizione della linea mediana del trapezio, disegnandola su un quaderno.

Linea di mezzo Un trapezio è un segmento che collega i punti medi dei suoi lati.

La proprietà della linea mediana di un trapezio non è ancora stata dimostrata in questa fase, quindi la fase successiva della lezione prevede di provare la proprietà della linea mediana di un trapezio.

Teorema. La linea mediana del trapezio è parallela alle sue basi ed è uguale alla loro semisomma.

Dato: ABCD – trapezio,

MN – linea mediana ABCD

Dimostrare, Che cosa:

1.BC || MN || ANNO DOMINI.

2. MN = (AD + BC).

Possiamo scrivere alcuni corollari che seguono dalle condizioni del teorema:

AM = MB, CN = ND, BC || ANNO DOMINI.

È impossibile dimostrare ciò che è richiesto basandosi solo sulle proprietà elencate. Il sistema di domande ed esercizi dovrebbe portare gli studenti al desiderio di collegare la linea mediana del trapezio con la linea mediana di un triangolo, di cui già conoscono le proprietà. Se non ci sono proposte, allora puoi porre la domanda: come costruire un triangolo per il quale il segmento MN sarebbe la linea mediana?

Scriviamo una costruzione aggiuntiva per uno dei casi.

Tracciamo una linea retta BN che interseca la continuazione del lato AD nel punto K.

Appaiono elementi aggiuntivi: triangoli: ABD, BNM, DNK, BCN. Se proviamo che BN = NK, allora ciò significherà che MN è la linea mediana di ABD, e quindi possiamo usare la proprietà della linea mediana di un triangolo e dimostrare la necessità.

Prova:

1. Considera BNC e DNK, contengono:

a) CNB = DNK (proprietà angoli verticali);

b) BCN = NDK (proprietà degli angoli interni trasversali);

c) CN = ND (per corollario alle condizioni del teorema).

Ciò significa BNC = DNK (sul lato e due angoli adiacenti).

Q.E.D.

La dimostrazione può essere fatta oralmente in classe, oppure può essere ricostruita e trascritta su un quaderno a casa (a discrezione del docente).

È necessario dire di altri modi possibili per dimostrare questo teorema:

1. Disegna una delle diagonali del trapezio e utilizza il segno e la proprietà della linea mediana del triangolo.

2. Eseguire CF || BA e consideriamo i parallelogrammi ABCF e DCF.

3. Eseguire EF || BA e considerare l'uguaglianza di FND ed ENC.

g) In questa fase vengono assegnati i compiti: paragrafo 84, libro di testo ed. Atanasyan L.S. (dimostrazione della proprietà della linea mediana di un trapezio utilizzando un metodo vettoriale), annotalo sul tuo quaderno.

h) Risolviamo i problemi utilizzando la definizione e le proprietà della linea mediana di un trapezio utilizzando disegni già pronti (vedi Appendice 2). A ogni studente viene consegnata l'Appendice 2 e la soluzione dei problemi è scritta sullo stesso foglio in forma breve.

Un trapezio è un caso speciale di quadrilatero in cui una coppia di lati è parallela. Il termine "trapezio" deriva dalla parola greca τράπεζα, che significa "tavolo", "tavolo". In questo articolo esamineremo i tipi di trapezio e le sue proprietà. Inoltre, scopriremo come calcolare i singoli elementi di questo. Ad esempio, la diagonale di un trapezio isoscele, la linea centrale, l'area, ecc. Il materiale è presentato nello stile della geometria popolare elementare, ad es. in una forma facilmente accessibile .

informazioni generali

Per prima cosa, scopriamo cos'è un quadrilatero. Questa figura è un caso speciale di poligono contenente quattro lati e quattro vertici. Due vertici di un quadrilatero che non sono adiacenti si dicono opposti. Lo stesso si può dire per due lati non adiacenti. I principali tipi di quadrilateri sono il parallelogramma, il rettangolo, il rombo, il quadrato, il trapezio e il deltoide.

Torniamo quindi ai trapezi. Come abbiamo già detto, questa figura ha due lati paralleli. Si chiamano basi. Gli altri due (non paralleli) sono i lati laterali. Nei materiali d'esame e vari test molto spesso si possono riscontrare problemi legati ai trapezi, la cui soluzione spesso richiede allo studente il possesso di conoscenze non previste dal programma. Il corso di geometria scolastica introduce gli studenti alle proprietà degli angoli e delle diagonali, nonché alla linea mediana di un trapezio isoscele. Ma, oltre a ciò, la figura geometrica menzionata ha altre caratteristiche. Ma ne parleremo più avanti...

Tipi di trapezio

Esistono molti tipi di questa figura. Tuttavia, molto spesso è consuetudine considerarne due: isoscele e rettangolari.

1. Un trapezio rettangolare è una figura in cui uno dei lati è perpendicolare alle basi. I suoi due angoli sono sempre uguali a novanta gradi.

2. Un trapezio isoscele è una figura geometrica i cui lati sono uguali tra loro. Ciò significa che anche gli angoli alle basi sono uguali a coppie.

I principi fondamentali della metodologia per lo studio delle proprietà di un trapezio

Il principio fondamentale include l'uso del cosiddetto approccio compito. In effetti, non è necessario introdurre nuove proprietà di questa figura nel corso teorico della geometria. Possono essere scoperti e formulati nel processo di risoluzione di vari problemi (preferibilmente di sistema). Allo stesso tempo, è molto importante che l'insegnante sappia quali compiti devono essere assegnati agli studenti prima o poi processo educativo. Inoltre, ciascuna proprietà di un trapezio può essere rappresentata come un compito chiave in un sistema di compiti.

Il secondo principio è la cosiddetta organizzazione a spirale dello studio delle proprietà “notevoli” del trapezio. Ciò implica un ritorno nel processo di apprendimento alle caratteristiche individuali di una determinata figura geometrica. Ciò rende più facile per gli studenti ricordarli. Ad esempio, la proprietà di quattro punti. Può essere dimostrato sia studiando la somiglianza che successivamente utilizzando i vettori. E l'equivalenza dei triangoli adiacenti ai lati laterali di una figura può essere dimostrata applicando non solo le proprietà dei triangoli di uguale altezza disegnati ai lati che giacciono sulla stessa retta, ma anche utilizzando la formula S = 1/2( ab*senα). Inoltre, puoi lavorare su un trapezio inscritto o un triangolo rettangolo su un trapezio inscritto, ecc.

L'uso delle caratteristiche “extracurricolari” di una figura geometrica nel contenuto di un corso scolastico è una tecnologia basata sui compiti per insegnarli. Fare costantemente riferimento alle proprietà studiate mentre si affrontano altri argomenti consente agli studenti di acquisire una conoscenza più approfondita del trapezio e garantisce il successo nella risoluzione dei problemi assegnati. Allora, iniziamo a studiare questa meravigliosa figura.

Elementi e proprietà di un trapezio isoscele

Come abbiamo già notato, questa figura geometrica ha i lati uguali. È noto anche come trapezio corretto. Perché è così straordinario e perché ha preso questo nome? La particolarità di questa figura è che non solo i lati e gli angoli alle basi sono uguali, ma anche le diagonali. Inoltre, la somma degli angoli di un trapezio isoscele è 360 gradi. Ma non è tutto! Di tutti i trapezi conosciuti, solo quello isoscele può essere descritto come un cerchio. Ciò è dovuto al fatto che la somma degli angoli opposti di questa figura è pari a 180 gradi, e solo in questa condizione si può descrivere un cerchio attorno a un quadrilatero. La proprietà successiva della figura geometrica in esame è che la distanza dal vertice della base alla proiezione del vertice opposto sulla retta che contiene questa base sarà uguale alla linea mediana.

Ora scopriamo come trovare gli angoli di un trapezio isoscele. Consideriamo una soluzione a questo problema, a condizione che siano note le dimensioni dei lati della figura.

Soluzione

Tipicamente, un quadrilatero è solitamente indicato con le lettere A, B, C, D, dove BS e AD sono le basi. In un trapezio isoscele i lati sono uguali. Assumeremo che la loro dimensione sia uguale a X e che le dimensioni delle basi siano uguali a Y e Z (rispettivamente più piccola e più grande). Per effettuare il calcolo è necessario ricavare l'altezza H dall'angolo B. Il risultato è un triangolo rettangolo ABN, dove AB è l'ipotenusa, e BN e AN sono i cateti. Calcoliamo la misura della gamba AN: sottraiamo quella più piccola dalla base più grande, e dividiamo il risultato per 2. Lo scriviamo sotto forma di formula: (Z-Y)/2 = F. Ora, per calcolare l'acuto angolo del triangolo, usiamo la funzione cos. Otteniamo la seguente voce: cos(β) = X/F. Ora calcoliamo l'angolo: β=arcos (X/F). Inoltre, conoscendo un angolo, possiamo determinare il secondo, per questo eseguiamo un'operazione aritmetica elementare: 180 - β. Tutti gli angoli sono definiti.

Esiste una seconda soluzione a questo problema. Per prima cosa lo abbassiamo dall'angolo all'altezza H. Calcoliamo il valore della gamba BN. Sappiamo che il quadrato dell'ipotenusa triangolo rettangolo pari alla somma quadrati di gambe. Otteniamo: BN = √(X2-F2). Successivamente usiamo funzione trigonometrica tg. Di conseguenza, abbiamo: β = arctan (BN/F). Angolo acuto trovato. Successivamente, lo definiamo in modo simile al primo metodo.

Proprietà delle diagonali di un trapezio isoscele

Per prima cosa scriviamo quattro regole. Se le diagonali di un trapezio isoscele sono perpendicolari, allora:

L'altezza della figura sarà pari alla somma delle basi divisa per due;

La sua altezza e la linea mediana sono uguali;

Il centro del cerchio è il punto in cui ;

Se il lato laterale è diviso dal punto di tangenza nei segmenti H e M, allora è uguale a radice quadrata prodotti di questi segmenti;

Il quadrilatero formato dai punti di tangenza, dal vertice del trapezio e dal centro del cerchio inscritto è un quadrato il cui lato è uguale al raggio;

L'area di una figura è uguale al prodotto delle basi per il prodotto della metà della somma delle basi e della sua altezza.

Trapezi simili

Questo argomento è molto comodo per studiare le proprietà di questo. Ad esempio, le diagonali dividono un trapezio in quattro triangoli, e quelli adiacenti alle basi sono simili, e quelli adiacenti ai lati hanno la stessa dimensione. Questa affermazione può essere definita una proprietà dei triangoli in cui il trapezio è diviso dalle sue diagonali. La prima parte di questa affermazione è dimostrata dal segno di somiglianza su due angoli. Per dimostrare la seconda parte, è meglio utilizzare il metodo indicato di seguito.

Dimostrazione del teorema

Accettiamo che la figura ABSD (AD e BS sono le basi del trapezio) sia divisa per le diagonali VD e AC. Il punto della loro intersezione è O. Otteniamo quattro triangoli: AOS - alla base inferiore, BOS - alla base superiore, ABO e SOD ai lati. I triangoli SOD e BOS hanno un'altezza comune se i segmenti BO e OD sono le loro basi. Troviamo che la differenza tra le loro aree (P) è uguale alla differenza tra questi segmenti: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Pertanto, PSOD = PBOS/K. Allo stesso modo, i triangoli BOS e AOB hanno un'altezza comune. Prendiamo come basi i segmenti CO e OA. Otteniamo PBOS/PAOB = CO/OA = K e PAOB = PBOS/K. Ne consegue che PSOD = PAOB.

Per consolidare il materiale, si consiglia agli studenti di trovare la connessione tra le aree dei triangoli risultanti in cui il trapezio è diviso dalle sue diagonali risolvendo il seguente problema. È noto che i triangoli BOS e AOD hanno aree uguali è necessario trovare l'area del trapezio; Poiché PSOD = PAOB, significa PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Dalla somiglianza dei triangoli BOS e AOD segue che BO/OD = √(PBOS/PAOD). Pertanto, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Otteniamo PSOD = √(PBOS*PAOD). Allora PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Proprietà di somiglianza

Continuando a sviluppare questo argomento, se ne può dimostrare altro caratteristiche interessanti trapezio. Quindi, usando la somiglianza, puoi dimostrare la proprietà di un segmento che passa per un punto, formato dall'intersezione diagonali di questa figura geometrica, parallele alle basi. Per fare ciò, risolviamo il seguente problema: dobbiamo trovare la lunghezza del segmento RK che passa per il punto O. Dalla somiglianza dei triangoli AOD e BOS segue che AO/OS = AD/BS. Dalla somiglianza dei triangoli AOP e ASB segue che AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Da qui otteniamo che RO=BS*BP/(BS+BP). Allo stesso modo, dalla somiglianza dei triangoli DOC e DBS, segue che OK = BS*AD/(BS+AD). Da qui otteniamo che RO=OK e RK=2*BS*AD/(BS+AD). Un segmento passante per il punto di intersezione delle diagonali, parallelo alle basi e che collega due lati laterali, è diviso a metà dal punto di intersezione. La sua lunghezza è la media armonica delle basi della figura.

Consideriamo la seguente proprietà del trapezio, chiamata proprietà dei quattro punti. I punti di intersezione delle diagonali (O), l'intersezione della continuazione dei lati (E), così come i punti medi delle basi (T e F) giacciono sempre sulla stessa linea. Ciò può essere facilmente dimostrato con il metodo della somiglianza. I triangoli risultanti BES e AED sono simili, e in ciascuno di essi le mediane ET ed EJ dividono l'angolo al vertice E in parti uguali. Pertanto i punti E, T e F giacciono sulla stessa retta. Allo stesso modo, i punti T, O e Zh si trovano sulla stessa retta. Tutto ciò deriva dalla somiglianza dei triangoli BOS e AOD. Da qui concludiamo che tutti e quattro i punti - E, T, O e F - giaceranno sulla stessa linea retta.

Utilizzando trapezi simili, puoi chiedere agli studenti di trovare la lunghezza del segmento (LS) che divide la figura in due segmenti simili. Questo segmento deve essere parallelo alle basi. Poiché i trapezi risultanti ALFD e LBSF sono simili, allora BS/LF = LF/AD. Ne consegue che LF=√(BS*AD). Troviamo che il segmento che divide il trapezio in due simili ha lunghezza pari alla media geometrica delle lunghezze delle basi della figura.

Considera la seguente proprietà di somiglianza. Si basa su un segmento che divide il trapezio in due figure uguali. Assumiamo che il trapezio ABSD sia diviso dal segmento EH in due segmenti simili. Dal vertice B viene omessa l'altezza, che è divisa dal segmento EN in due parti: B1 e B2. Otteniamo: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 e PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Successivamente, componiamo un sistema la cui prima equazione è (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 e la seconda (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Ne consegue che B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) e BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Troviamo che la lunghezza del segmento che divide il trapezio in due uguali è uguale alla radice quadrata media delle lunghezze delle basi: √((BS2+AD2)/2).

Risultati di somiglianza

Pertanto, abbiamo dimostrato che:

1. Il segmento che collega i punti medi dei lati laterali di un trapezio è parallelo ad AD e BS ed è uguale alla media aritmetica di BS e AD (la lunghezza della base del trapezio).

2. La linea che passa per il punto O dell'intersezione delle diagonali parallele ad AD e BS sarà uguale alla media armonica dei numeri AD e BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Il segmento che divide il trapezio in segmenti simili ha la lunghezza della media geometrica delle basi BS e AD.

4. Un elemento che divide una figura in due uguali ha la lunghezza della radice quadrata media dei numeri AD e BS.

Per consolidare il materiale e comprendere la connessione tra i segmenti considerati, lo studente deve costruirli per un trapezio specifico. Può facilmente visualizzare la linea mediana e il segmento che passa per il punto O - l'intersezione delle diagonali della figura - parallelamente alle basi. Ma dove saranno collocati il ​​terzo e il quarto? Questa risposta porterà lo studente alla scoperta della relazione desiderata tra i valori medi.

Segmento che collega i punti medi delle diagonali di un trapezio

Considera la seguente proprietà di questa figura. Assumiamo che il segmento MH sia parallelo alle basi e divida in due le diagonali. Chiamiamo i punti di intersezione Ø e Ø. Questo segmento sarà uguale alla metà della differenza delle basi. Diamo un'occhiata a questo in modo più dettagliato. MS è la linea mediana del triangolo ABS, è uguale a BS/2. MSH è la linea mediana del triangolo ABD, è uguale a AD/2. Quindi otteniamo che ShShch = MSh-MSh, quindi ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Centro di gravità

Diamo un'occhiata a come viene determinato questo elemento per una determinata figura geometrica. Per fare ciò è necessario estendere il terreno lati opposti. Cosa significa? Devi aggiungere la base inferiore a quella superiore, in qualsiasi direzione, ad esempio a destra. E estendiamo quello inferiore per la lunghezza di quello superiore a sinistra. Successivamente, li colleghiamo in diagonale. Il punto di intersezione di questo segmento con la linea mediana della figura è il centro di gravità del trapezio.

Trapezi inscritti e circoscritti

Elenchiamo le caratteristiche di tali figure:

1. Un trapezio può essere inscritto in una circonferenza solo se è isoscele.

2. Un trapezio può essere descritto attorno a un cerchio, purché la somma delle lunghezze delle sue basi sia uguale alla somma delle lunghezze dei lati.

Corollari dell'incerchio:

1. L'altezza del trapezio descritto è sempre uguale a due raggi.

2. Il lato del trapezio descritto è osservato dal centro del cerchio ad angolo retto.

Il primo corollario è ovvio, ma per dimostrare il secondo è necessario stabilire che l'angolo SOD è retto, il che, in effetti, non è nemmeno difficile. Ma la conoscenza di questa proprietà ti consentirà di utilizzare un triangolo rettangolo per risolvere i problemi.

Specifichiamo ora queste conseguenze per un trapezio isoscele inscritto in una circonferenza. Troviamo che l'altezza è la media geometrica delle basi della figura: H=2R=√(BS*AD). Mentre pratica la tecnica di base per risolvere i problemi con i trapezi (il principio di disegnare due altezze), lo studente deve risolvere il seguente compito. Assumiamo che BT sia l'altezza della figura isoscele ABSD. È necessario trovare i segmenti AT e TD. Usando la formula sopra descritta, questo non sarà difficile da fare.

Ora scopriamo come determinare il raggio di un cerchio utilizzando l'area del trapezio circoscritto. Abbassiamo l'altezza dal vertice B alla base AD. Poiché il cerchio è inscritto in un trapezio, allora BS+AD = 2AB oppure AB = (BS+AD)/2. Dal triangolo ABN troviamo sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Otteniamo PABSD = (BS+BP)*R, ne consegue che R = PABSD/(BS+BP).

Tutte le formule per la linea mediana di un trapezio

Ora è il momento di passare all'ultimo elemento di questa figura geometrica. Scopriamo a cosa corrisponde la linea mediana del trapezio (M):

1. Attraverso le basi: M = (A+B)/2.

2. Attraverso l'altezza, la base e gli angoli:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Attraverso l'altezza, le diagonali e l'angolo tra loro. Ad esempio, D1 e D2 sono le diagonali di un trapezio; α, β - angoli tra loro:

M = D1*D2*senα/2N = D1*D2*senβ/2N.

4. Area di passaggio e altezza: M = P/N.