Online kalkulačka.
Riešenie aritmetická progresia.
Dané: a n , d, n
Nájdite: a 1

Tento matematický program nájde \(a_1\) aritmetickú postupnosť založenú na číslach zadaných používateľom \(a_n, d\) a \(n\).
Čísla \(a_n\) a \(d\) možno zadať nielen ako celé čísla, ale aj ako zlomky. navyše zlomkové číslo možno zadať ako desatinný zlomok (\(2,5\)) a ako spoločný zlomok(\(-5\frac(2)(7)\)).

Program nielen dáva odpoveď na problém, ale zobrazuje aj proces hľadania riešenia.

Táto online kalkulačka môže byť užitočná pre študentov stredných škôl pri príprave testy a skúšky, pri preverovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou, aby rodičia ovládali riešenie mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať čo najrýchlejšie domácu úlohu z matematiky či algebry? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s podrobnými riešeniami.

Týmto spôsobom môžete viesť svoj vlastný tréning a/alebo tréning váš. mladší bratiači sestry, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešených problémov.

Ak nie ste oboznámení s pravidlami zadávania čísel, odporúčame vám sa s nimi oboznámiť.

Pravidlá pre zadávanie čísel

Čísla \(a_n\) a \(d\) možno zadať nielen ako celé čísla, ale aj ako zlomky.
Číslo \(n\) môže byť iba kladné celé číslo.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
Celé číslo a zlomkové časti v desatinných zlomkoch možno oddeliť bodkou alebo čiarkou.
Môžete napríklad zadať desatinné miesta tak 2,5 alebo tak 2,5

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.

Menovateľ nemôže byť záporný.

Pri vstupe číselný zlomokČitateľ je oddelený od menovateľa deliacim znamienkom: /
Vstup:
Výsledok: \(-\frac(2)(3)\)

Celá časť je oddelená od zlomku znakom ampersand: &
Vstup:
Výsledok: \(-1\frac(2)(3)\)

Zadajte čísla a n , d, n

Nájdite 1

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tohto problému neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

JavaScript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Aby sa riešenie objavilo, musíte povoliť JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí ochotných vyriešiť problém, vaša požiadavka bola zaradená do frontu.
O niekoľko sekúnd sa nižšie zobrazí riešenie.
Prosím čakajte sek...

Ak ty všimol si chybu v riešení, potom o tom môžete napísať vo formulári spätnej väzby.
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Poradie čísel

V každodennej praxi sa číslovanie rôznych predmetov často používa na označenie poradia, v ktorom sú usporiadané. Napríklad domy na každej ulici sú očíslované. V knižnici sú čitateľské predplatné očíslované a následne usporiadané v poradí pridelených čísel v špeciálnych kartotékach.

V sporiteľni pomocou čísla osobného účtu vkladateľa tento účet ľahko nájdete a zistíte, aký vklad je na ňom uložený. Nech účet č. 1 obsahuje vklad vo výške a1 rubľov, účet č. 2 obsahuje vklad vo výške a2 rubľov atď. číselná postupnosť
a 1, a 2, a 3, ..., a N
kde N je počet všetkých účtov. Tu je každé prirodzené číslo n od 1 do N spojené s číslom a n.

Študoval aj matematiku nekonečné číselné rady:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Volá sa číslo a 1 prvý člen sekvencie, číslo 2 - druhý člen sekvencie, číslo 3 - tretí člen sekvencie atď.
Volá sa číslo a n n-tý (n-tý) člen postupnosti, a prirodzené číslo n je jeho číslo.

Napríklad v slede štvorcov prirodzené čísla 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... a 1 = 1 je prvý člen sekvencie; a n = n2 je n-tý termín sekvencie; a n+1 = (n + 1) 2 je (n + 1)-tý (n plus prvý) člen postupnosti. Postupnosť môže byť často špecifikovaná vzorcom jej n-tého člena. Napríklad vzorec \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definuje postupnosť \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Aritmetický postup

Dĺžka roka je približne 365 dní. Viac presná hodnota sa rovná \(365\frac(1)(4)\) dňom, takže každé štyri roky sa nahromadí chyba jedného dňa.

Na započítanie tejto chyby sa ku každému štvrtému roku pridáva deň a predĺžený rok sa nazýva priestupný rok.

Napríklad v treťom tisícročí priestupné roky sú roky 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

V tejto postupnosti sa každý člen, počnúc druhým, rovná predchádzajúcemu, pripočítanému k rovnakému číslu 4. Takéto postupnosti sa nazývajú aritmetické postupnosti.

Definícia.
Nazýva sa číselná postupnosť a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... aritmetická progresia, ak pre všetky prirodzené n rovnosť
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kde d je nejaké číslo.

Z tohto vzorca vyplýva, že a n+1 - a n = d. Číslo d sa nazýva rozdiel aritmetická progresia.

Podľa definície aritmetickej progresie máme:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
kde
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kde \(n>1 \)

Každý člen aritmetickej progresie, počnúc druhým, sa teda rovná aritmetickému priemeru jeho dvoch susedných členov. To vysvetľuje názov „aritmetická“ progresia.

Všimnite si, že ak sú uvedené a 1 a d, potom zostávajúce členy aritmetickej progresie možno vypočítať pomocou opakujúceho sa vzorca a n+1 = a n + d. Týmto spôsobom nie je ťažké vypočítať niekoľko prvých členov progresie, ale napríklad 100 už bude vyžadovať veľa výpočtov. Zvyčajne sa na to používa vzorec n-tého členu. Podľa definície aritmetického postupu
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
atď.
Vôbec,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
pretože n-tý termín aritmetickej progresie sa získa z prvého člena sčítaním (n-1) násobku čísla d.
Tento vzorec sa nazýva vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti.

Súčet prvých n členov aritmetickej progresie

Nájdite súčet všetkých prirodzených čísel od 1 do 100.
Túto sumu zapíšme dvoma spôsobmi:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Pridajme tieto rovnosti termín po termíne:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Táto suma má 100 výrazov
Preto 2S = 101 * 100, teda S = 101 * 50 = 5050.

Uvažujme teraz o ľubovoľnom aritmetickom postupe
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
Nech S n je súčet prvých n členov tejto postupnosti:
Sn = a1, a2, a3, ..., a n
Potom súčet prvých n členov aritmetickej progresie sa rovná
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Pretože \(a_n=a_1+(n-1)d\), nahradením n v tomto vzorci dostaneme ďalší vzorec na nájdenie súčet prvých n členov aritmetickej progresie:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Knihy (učebnice) Abstrakty Jednotnej štátnej skúšky a Jednotnej štátnej skúšky testy online Hry, hádanky Kreslenie grafov funkcií Pravopisný slovník ruského jazyka Slovník slangu mládeže Katalóg ruských škôl Katalóg stredných vzdelávacích inštitúcií Ruska Katalóg ruských univerzít Zoznam úloh

Alebo aritmetika je typ usporiadanej číselnej postupnosti, ktorej vlastnosti sa študujú v kurze školskej algebry. Tento článok podrobne rozoberá otázku, ako nájsť súčet aritmetickej progresie.

Čo je to za progresiu?

Predtým, ako prejdeme k otázke (ako nájsť súčet aritmetickej progresie), stojí za to pochopiť, o čom hovoríme.

Akákoľvek postupnosť reálnych čísel, ktorá sa získa pripočítaním (odčítaním) nejakej hodnoty od každého predchádzajúceho čísla, sa nazýva algebraická (aritmetická) postupnosť. Táto definícia, keď je preložená do matematického jazyka, má podobu:

Tu som - sériové číslo prvok radu a i . Ak teda poznáte iba jedno štartovné číslo, môžete ľahko obnoviť celú sériu. Parameter d vo vzorci sa nazýva progresívny rozdiel.

Dá sa ľahko ukázať, že pre uvažovaný rad čísel platí nasledujúca rovnosť:

a n = ai + d* (n - 1).

To znamená, že ak chcete nájsť hodnotu n-tého prvku v poradí, mali by ste pridať rozdiel d k prvému prvku a 1 n-1 krát.

Aký je súčet aritmetickej progresie: vzorec

Pred uvedením vzorca pre uvedené množstvo stojí za zváženie jednoduché špeciálny prípad. Vzhľadom na postupnosť prirodzených čísel od 1 do 10 musíte nájsť ich súčet. Keďže v postupnosti je málo pojmov (10), je možné problém vyriešiť priamočiaro, teda sčítať všetky prvky v poradí.

S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Stojí za to zvážiť jednu zaujímavosť: keďže sa každý člen líši od nasledujúceho o rovnakú hodnotu d = 1, potom párovým sčítaním prvého s desiatym, druhého s deviatym atď. dostaneme rovnaký výsledok. naozaj:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Ako vidíte, týchto súčtov je len 5, teda presne dvakrát menej ako je počet prvkov série. Potom vynásobením počtu súčtov (5) výsledkom každého súčtu (11) sa dostanete k výsledku získanému v prvom príklade.

Ak tieto argumenty zovšeobecníme, môžeme napísať nasledujúci výraz:

Sn = n* (a 1 + a n) / 2.

Tento výraz ukazuje, že vôbec nie je potrebné sčítať všetky prvky za sebou, stačí poznať hodnotu prvého a 1 a posledného a n , ako aj celkový počet n podmienok.

Predpokladá sa, že Gauss ako prvý na túto rovnosť myslel, keď hľadal riešenie daného problému. školský učiteľúloha: zrátajte prvých 100 celých čísel.

Súčet prvkov od m do n: vzorec

Vzorec uvedený v predchádzajúcom odseku odpovedá na otázku, ako nájsť súčet aritmetickej postupnosti (prvé prvky), ale často je v problémoch potrebné sčítať sériu čísel v strede postupnosti. Ako to spraviť?

Najjednoduchší spôsob, ako odpovedať na túto otázku, je zvážiť nasledujúci príklad: nech je potrebné nájsť súčet členov od m-tej do n-tej. Na vyriešenie problému by ste mali prezentovať daný segment od m do n postupu vo forme nového číselného radu. V tomto pohľade mesačný termín a m bude prvé a a n bude očíslované n-(m-1). V tomto prípade použitím štandardného vzorca pre súčet získame nasledujúci výraz:

Smn = (n - m + 1) * (am + an) / 2.

Príklad použitia vzorcov

Keď vieme, ako nájsť súčet aritmetickej progresie, stojí za to zvážiť jednoduchý príklad použitia vyššie uvedených vzorcov.

Nižšie je číselná postupnosť, mali by ste nájsť súčet jej členov, počnúc 5. a končiac 12.:

Uvedené čísla naznačujú, že rozdiel d je rovný 3. Pomocou výrazu pre n-tý prvok môžete nájsť hodnoty 5. a 12. člena progresie. Ukázalo sa:

a5 = ai + d*4 = -4 + 3*4 = 8;

a12 = a1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Poznanie hodnôt čísel na koncoch daného algebraická progresia, a tiež vedieť, aké čísla v riadku zaberajú, môžete použiť vzorec pre sumu získanú v predchádzajúcom odseku. Ukáže sa:

S512 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Stojí za zmienku, že túto hodnotu možno získať inak: najprv nájdite súčet prvých 12 prvkov pomocou štandardného vzorca, potom vypočítajte súčet prvých 4 prvkov pomocou rovnakého vzorca a potom odpočítajte druhý od prvého súčtu.

Koncept číselnej postupnosti znamená, že každé prirodzené číslo zodpovedá nejakej skutočnej hodnote. Takáto séria čísel môže byť ľubovoľná alebo môže mať určité vlastnosti - progresiu. V druhom prípade možno každý nasledujúci prvok (člen) sekvencie vypočítať pomocou predchádzajúceho.

Aritmetický postup je postupnosť číselných hodnôt, v ktorých sa susedné členy navzájom líšia rovnakým číslom (všetky prvky série, počnúc 2., majú podobnú vlastnosť). Toto číslo - rozdiel medzi predchádzajúcimi a nasledujúcimi členmi - je konštantné a nazýva sa progresívny rozdiel.

Rozdiel v postupe: definícia

Uvažujme postupnosť pozostávajúcu z j hodnôt A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j patrí do množiny prirodzených čísel N. Aritmetika progresia je podľa svojej definície postupnosť, v ktorej a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Hodnota d je požadovaný rozdiel tejto progresie.

d = a(j) – a(j-1).

Zlatý klinec:

• Rastúca progresia, v tomto prípade d > 0. Príklad: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Klesajúca progresia, potom d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresia rozdielov a jej arbitrárne prvky

Ak sú známe 2 ľubovoľné členy progresie (i-tá, k-tá), potom rozdiel pre danú postupnosť možno určiť na základe vzťahu:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, čo znamená d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Rozdiel progresie a jej prvý termín

Tento výraz pomôže určiť neznámu hodnotu iba v prípadoch, keď je známe číslo prvku sekvencie.

Postupový rozdiel a jeho súčet

Súčet progresie je súčtom jej členov. Na výpočet celkovej hodnoty jeho prvých j prvkov použite príslušný vzorec:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ale keďže a(j) = a(1) + d(j – 1), potom S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Pri štúdiu algebry v stredná škola(9. ročník) jeden z dôležité témy je štúdium číselné postupnosti, ktoré zahŕňajú postupnosti – geometrické a aritmetické. V tomto článku sa pozrieme na aritmetický postup a príklady s riešeniami.

Čo je to aritmetická progresia?

Aby sme to pochopili, je potrebné definovať príslušný postup, ako aj poskytnúť základné vzorce, ktoré sa neskôr použijú pri riešení problémov.

Je známe, že v niektorých algebraických postupnostiach sa 1. člen rovná 6 a 7. člen sa rovná 18. Je potrebné nájsť rozdiel a obnoviť túto postupnosť na 7. člen.

Na určenie neznámeho členu použijeme vzorec: a n = (n - 1) * d + a 1 . Dosadíme do nej známe údaje z podmienky, teda čísla a 1 a a 7, máme: 18 = 6 + 6 * d. Z tohto výrazu ľahko vypočítate rozdiel: d = (18 - 6) /6 = 2. Tým sme odpovedali na prvú časť úlohy.

Ak chcete obnoviť postupnosť na 7. člen, mali by ste použiť definíciu algebraickej progresie, to znamená a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d atď. V dôsledku toho obnovíme celú postupnosť: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Príklad č. 3: zostavenie postupu

Poďme si problém ešte viac skomplikovať. Teraz musíme odpovedať na otázku, ako nájsť aritmetickú progresiu. Môžeme uviesť nasledujúci príklad: sú uvedené dve čísla, napríklad - 4 a 5. Je potrebné vytvoriť algebraickú postupnosť tak, aby sa medzi ne umiestnili ďalšie tri členy.

Predtým, ako začnete tento problém riešiť, musíte pochopiť, aké miesto budú v budúcom postupe zaberať dané čísla. Keďže medzi nimi budú ďalšie tri členy, potom a 1 = -4 a a 5 = 5. Keď sme to určili, prejdeme k problému, ktorý je podobný predchádzajúcemu. Opäť pre n-tý člen použijeme vzorec, dostaneme: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. To, čo tu máme, nie je celočíselná hodnota rozdielu, ale je racionálne číslo, takže vzorce pre algebraickú postupnosť zostávajú rovnaké.

Teraz pripočítajme nájdený rozdiel k 1 a obnovíme chýbajúce členy progresie. Získame: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, čo sa zhoduje s podmienkami problému.

Príklad č. 4: prvý termín postupu

Pokračujme v uvádzaní príkladov aritmetickej progresie s riešeniami. Vo všetkých predchádzajúcich úlohách bolo známe prvé číslo algebraickej progresie. Uvažujme teraz problém iného typu: nech sú dané dve čísla, kde a 15 = 50 a a 43 = 37. Je potrebné zistiť, ktorým číslom táto postupnosť začína.

Doteraz používané vzorce predpokladajú znalosť a 1 a d. Vo vyhlásení o probléme nie je o týchto číslach nič známe. Napriek tomu si zapíšeme výrazy pre každý výraz, o ktorom sú dostupné informácie: a 15 = a 1 + 14 * d a a 43 = a 1 + 42 * d. Dostali sme dve rovnice, v ktorých sú 2 neznáme veličiny (a 1 a d). To znamená, že problém je redukovaný na riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Najjednoduchším spôsobom riešenia tohto systému je vyjadrenie 1 v každej rovnici a následné porovnanie výsledných výrazov. Prvá rovnica: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druhá rovnica: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Prirovnaním týchto výrazov dostaneme: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odkiaľ je rozdiel d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (uvedené sú len 3 desatinné miesta).

Ak poznáte d, môžete pre 1 použiť ktorýkoľvek z 2 vyššie uvedených výrazov. Napríklad po prvé: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ak máte pochybnosti o dosiahnutom výsledku, môžete si ho skontrolovať, napríklad určiť 43. termín progresie, ktorý je uvedený v podmienke. Získame: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Malá chyba je spôsobená tým, že pri výpočtoch bolo použité zaokrúhľovanie na tisíciny.

Príklad č. 5: suma

Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov s riešeniami pre súčet aritmetickej progresie.

Nech je daný číselný postup v nasledujúcom tvare: 1, 2, 3, 4, ...,. Ako vypočítať súčet 100 z týchto čísel?

Vďaka rozvoju výpočtovej techniky je možné tento problém vyriešiť, to znamená sčítať postupne všetky čísla, čo počítač urobí hneď, ako človek stlačí kláves Enter. Problém sa však dá vyriešiť mentálne, ak si všimnete, že prezentovaný rad čísel je algebraická postupnosť a jej rozdiel sa rovná 1. Použitím vzorca pre súčet dostaneme: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Je zaujímavé, že tento problém sa nazýva „gausovský“, pretože začiatkom 18. storočia ho slávny Nemec, ešte len 10-ročný, dokázal vyriešiť v hlave za pár sekúnd. Chlapec nepoznal vzorec pre súčet algebraickej postupnosti, ale všimol si, že ak sčítate čísla na koncoch postupnosti v pároch, vždy dostanete rovnaký výsledok, teda 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a keďže tieto súčty budú presne 50 (100 / 2), na získanie správnej odpovede stačí vynásobiť 50 číslom 101.

Príklad č. 6: súčet členov od n do m

Ďalší typický príklad súčtu aritmetickej progresie je nasledujúci: ak je daný rad čísel: 3, 7, 11, 15, ..., musíte zistiť, aký bude súčet jej členov od 8 do 14. .

Problém sa rieši dvoma spôsobmi. Prvý z nich zahŕňa nájdenie neznámych výrazov od 8 do 14 a ich postupné sčítanie. Keďže existuje málo výrazov, táto metóda nie je celkom náročná na prácu. Napriek tomu sa navrhuje vyriešiť tento problém pomocou druhej metódy, ktorá je univerzálnejšia.

Cieľom je získať vzorec pre súčet algebraickej postupnosti medzi členmi m a n, kde n > m sú celé čísla. Pre oba prípady napíšeme pre súčet dva výrazy:

1. Sm = m* (am + a 1) / 2.
2. Sn = n* (an + a 1) / 2.

Keďže n > m, je zrejmé, že 2. súčet zahŕňa prvý. Posledný záver znamená, že ak zoberieme rozdiel medzi týmito súčtami a pripočítame k nemu člen a m (v prípade brania rozdielu sa odpočíta od súčtu S n), dostaneme potrebnú odpoveď na úlohu. Máme: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m* (1- m/2). Do tohto výrazu je potrebné dosadiť vzorce pre a n a a m. Potom dostaneme: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1* (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m2 - 2) / 2.

Výsledný vzorec je trochu ťažkopádny, avšak súčet S mn závisí len od n, m, a 1 a d. V našom prípade a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Dosadením týchto čísel dostaneme: S mn = 301.

Ako vidno z vyššie uvedených riešení, všetky úlohy vychádzajú zo znalosti výrazu pre n-tý člen a vzorca pre súčet množiny prvých členov. Pred začatím riešenia niektorého z týchto problémov sa odporúča, aby ste si pozorne prečítali stav, jasne pochopili, čo potrebujete nájsť, a až potom pokračujte v riešení.

Ďalším tipom je usilovať sa o jednoduchosť, to znamená, že ak môžete odpovedať na otázku bez použitia zložitých matematických výpočtov, musíte to urobiť, pretože v tomto prípade je pravdepodobnosť, že urobíte chybu, menšia. Napríklad v príklade aritmetickej progresie s riešením č. 6 by sme sa mohli zastaviť pri vzorci S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, a prestávka spoločná úloha do samostatných podúloh (v tomto prípade najskôr nájdite pojmy a n a a m).

Ak máte pochybnosti o dosiahnutom výsledku, odporúča sa ho skontrolovať, ako to bolo urobené v niektorých uvedených príkladoch. Zistili sme, ako nájsť aritmetickú progresiu. Ak na to prídete, nie je to také ťažké.

Aritmetický postup pomenovať postupnosť čísel (pojmov progresie)

V ktorom sa každý nasledujúci pojem líši od predchádzajúceho novým pojmom, ktorý sa nazýva aj tzv krokový alebo postupový rozdiel.

Zadaním kroku postupu a jeho prvého členu teda môžete pomocou vzorca nájsť ktorýkoľvek z jeho prvkov

Vlastnosti aritmetického postupu

1) Každý člen aritmetického postupu, počnúc druhým číslom, je aritmetickým priemerom predchádzajúceho a nasledujúceho člena postupu

Opak je tiež pravdou. Ak sa aritmetický priemer susedných nepárnych (párnych) členov progresie rovná členu, ktorý stojí medzi nimi, potom je táto postupnosť čísel aritmetickou progresiou. Pomocou tohto príkazu je veľmi jednoduché skontrolovať akúkoľvek sekvenciu.

Tiež vďaka vlastnosti aritmetickej progresie možno vyššie uvedený vzorec zovšeobecniť na nasledujúce

Dá sa to ľahko overiť, ak výrazy napíšete napravo od znamienka rovnosti

V praxi sa často používa na zjednodušenie výpočtov v problémoch.

2) Súčet prvých n členov aritmetickej progresie sa vypočíta pomocou vzorca

Dobre si zapamätajte vzorec pre súčet aritmetickej progresie; je nevyhnutný pri výpočtoch a pomerne často sa vyskytuje v jednoduchých životných situáciách.

3) Ak potrebujete nájsť nie celý súčet, ale časť postupnosti od jej k-tého členu, bude pre vás užitočný nasledujúci súčet

4) Prakticky zaujímavé je nájdenie súčtu n členov aritmetickej postupnosti od k-tého čísla. Ak to chcete urobiť, použite vzorec

Týmto sa končí teoretický materiál a prechádza sa k riešeniu bežných problémov v praxi.

Príklad 1. Nájdite štyridsiaty člen aritmetickej postupnosti 4;7;...

Riešenie:

Podľa stavu, ktorý máme

Poďme určiť krok postupu

Pomocou známeho vzorca nájdeme štyridsiaty člen progresie

Príklad 2 Aritmetický postup je daný jeho tretím a siedmym členom. Nájdite prvý člen postupu a súčet desiatich.

Riešenie:

Zapíšme si dané prvky postupu pomocou vzorcov

Odpočítame prvú od druhej rovnice, ako výsledok nájdeme krok postupu

Nájdenú hodnotu dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc, aby sme našli prvý člen aritmetickej progresie

Vypočítame súčet prvých desiatich členov progresie

Bez prihlášky zložité výpočty Našli sme všetky potrebné množstvá.

Príklad 3. Aritmetický postup je daný menovateľom a jedným z jeho členov. Nájdite prvý člen postupu, súčet jeho 50 termínov od 50 a súčet prvých 100.

Riešenie:

Zapíšme si vzorec pre stý prvok postupu

a nájsť prvého

Na základe prvého nájdeme 50. termín progresie

Nájdenie súčtu časti progresie

a súčet prvých 100

Postupová čiastka je 250.

Príklad 4.

Nájdite počet členov aritmetickej progresie, ak:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Riešenie:

Napíšme rovnice z hľadiska prvého člena a progresívneho kroku a určme ich

Získané hodnoty dosadíme do súčtového vzorca, aby sme určili počet členov v súčte

Vykonávame zjednodušenia

a vyriešiť kvadratickú rovnicu

Z dvoch zistených hodnôt iba číslo 8 zodpovedá problémom. Súčet prvých ôsmich členov progresie je teda 111.

Príklad 5.

Vyriešte rovnicu

1+3+5+...+x=307.

Riešenie: Táto rovnica je súčtom aritmetickej progresie. Napíšme si jeho prvý termín a nájdime rozdiel v postupe