priemerná hodnota- ide o zovšeobecňujúci ukazovateľ, ktorý charakterizuje kvalitatívne homogénnu populáciu podľa určitého kvantitatívneho atribútu. Napríklad priemerný vek osôb odsúdených za krádež.

V súdnej štatistike sa priemery používajú na charakterizáciu:

Priemerné podmienky posudzovania prípadov tejto kategórie;

Stredne veľký nárok;

Priemerný počet obžalovaných na prípad;

Priemerná výška škody;

Priemerná vyťaženosť sudcov a pod.

Priemerná hodnota je vždy pomenovaná a má rovnaký rozmer ako atribút samostatnej jednotky populácie. Každá priemerná hodnota charakterizuje študovanú populáciu podľa ľubovoľného premenlivého atribútu, preto za každým priemerom je séria rozdelenia jednotiek tejto populácie podľa študovaného atribútu. Voľba typu priemeru je daná obsahom ukazovateľa a východiskovým údajom pre výpočet priemeru.

Všetky druhy priemerné hodnoty používané v štatistických štúdiách spadajú do dvoch kategórií:

1) priemery výkonu;

2) štrukturálne priemery.

Prvá kategória priemerov zahŕňa: aritmetický priemer, harmonický priemer, geometrický priemer A odmocnina stredná štvorec . Druhá kategória je móda A medián. Okrem toho každý z uvedených typov priemerov výkonu môže mať dve formy: jednoduché A vážený . jednoduchá forma stredná hodnota sa používa na získanie priemernej hodnoty študovaného znaku, keď sa výpočet vykonáva na nezoskupených štatistických údajoch, alebo keď sa každý variant v populácii vyskytuje iba raz. Vážené priemery sa nazývajú hodnoty, ktoré berú do úvahy, že možnosti pre hodnoty funkcie môžu mať rôzne čísla, a preto sa každá možnosť musí vynásobiť príslušnou frekvenciou. Inými slovami, každá možnosť je „vážená“ svojou frekvenciou. Frekvencia sa nazýva štatistická váha.

jednoduchý aritmetický priemer- najbežnejší typ média. Rovná sa súčtu jednotlivých charakteristických hodnôt vydelených celkovým počtom týchto hodnôt:

Kde x 1, x 2, …, x N- jednotlivé hodnoty atribútu premennej (možnosti) a N - počet jednotiek populácie.

Aritmetický vážený priemer používa sa, keď sú údaje prezentované vo forme distribučných radov alebo zoskupení. Vypočítava sa ako súčet súčinov opcií a ich zodpovedajúcich frekvencií vydelený súčtom frekvencií všetkých opcií:

Kde x i- význam i-té varianty znaku; fi- frekvencia i možnosti.

Každá hodnota variantu je teda vážená svojou frekvenciou, a preto sa frekvencie niekedy nazývajú štatistické váhy.

Komentujte. Kedy rozprávame sa o aritmetickom priemere bez uvedenia jeho druhu sa myslí jednoduchý aritmetický priemer.

Tabuľka 12

Riešenie. Na výpočet používame vzorec aritmetického váženého priemeru:

Na jednu trestnú vec teda pripadajú v priemere dvaja obžalovaní.

Ak sa výpočet priemernej hodnoty vykonáva podľa údajov zoskupených vo forme intervalových distribučných sérií, potom musíte najprv určiť stredné hodnoty každého intervalu x "i, potom vypočítať priemernú hodnotu pomocou váženého vzorec aritmetického priemeru, v ktorom je x" i nahradené namiesto x i.

Príklad.Údaje o veku zločincov odsúdených za krádež sú uvedené v tabuľke:

Tabuľka 13

Určte priemerný vek zločincov odsúdených za krádež.

Riešenie. Ak chcete určiť priemerný vek zločincov na základe série variácií intervalov, musíte najprv nájsť stredné hodnoty intervalov. Keďže nám je daný intervalový rad s najprv otvorte a posledné intervaly, potom sa hodnoty týchto intervalov považujú za rovné hodnotám susedných uzavretých intervalov. V našom prípade je hodnota prvého a posledného intervalu 10.

Teraz zistíme priemerný vek zločincov pomocou vzorca váženého aritmetického priemeru:

Priemerný vek páchateľov odsúdených za krádež je teda približne 27 rokov.

Priemerná harmonická jednoduchá je prevrátená hodnota aritmetického priemeru recipročných hodnôt prvku:

kde 1/ x i sú prevrátené hodnoty možností a N je počet jednotiek populácie.

Príklad. Za účelom zistenia priemerného ročného úväzku sudcov okresného súdu pri posudzovaní trestných vecí bol vykonaný prieskum o zaťaženosti 5 sudcov tohto súdu. Priemerný čas strávený na jednej trestnej veci pre každého z opýtaných sudcov bol rovnaký (v dňoch): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Zistite priemerné náklady na jedného sudcu trestnej veci a priemernej ročnej záťaži sudcov tohto okresného súdu pri posudzovaní trestných vecí.

Riešenie. Na určenie priemerného času stráveného na jednom kriminálnom prípade používame harmonický jednoduchý vzorec:

Pre zjednodušenie výpočtov v príklade vezmime počet dní v roku rovný 365 vrátane víkendov (toto nemá vplyv na spôsob výpočtu a pri výpočte podobného ukazovateľa v praxi je potrebné dosadiť počet odprac. dní v konkrétnom roku namiesto 365 dní). Potom priemerné ročné zaťaženie sudcov tohto okresného súdu pri posudzovaní trestných vecí bude: 365 (dní): 5,56 ≈ 65,6 (vecií).

Ak by sme použili jednoduchý vzorec aritmetického priemeru na určenie priemerného času stráveného na jednom trestnom prípade, dostali by sme:

365 (dni): 5,64 ≈ 64,7 (prípady), t.j. priemerná pracovná záťaž sudcov bola nižšia.

Overme si opodstatnenosť tohto prístupu. Na tento účel používame údaje o čase strávenom na jednej trestnej veci pre každého sudcu a vypočítame počet trestných vecí, ktoré každý z nich posudzoval za rok.

Podľa toho dostaneme:

365 (dni): 6 ≈ 61 (prípad), 365 (dni) : 5,6 ≈ 65,2 (prípad), 365 (dni) : 6,3 ≈ 58 (prípad),

365 (dni): 4,9 ≈ 74,5 (prípady), 365 (dni) : 5,4 ≈ 68 (prípady).

Teraz vypočítame priemerné ročné pracovné zaťaženie sudcov tohto okresného súdu pri posudzovaní trestných vecí:

Tie. priemerné ročné zaťaženie je rovnaké ako pri použití harmonického priemeru.

Preto je použitie aritmetického priemeru v tomto prípade nezákonné.

V prípadoch, keď sú známe varianty prvku, ich objemové hodnoty (súčin variantov podľa frekvencie), ale samotné frekvencie nie sú známe, použije sa vzorec harmonického váženého priemeru:

,

Kde x i sú hodnoty možností vlastností a w i sú objemové hodnoty možností ( w i = x i f i).

Príklad.Údaje o cene jednotky rovnakého druhu tovaru vyrobeného rôznymi inštitúciami väzenského systému a o objeme jeho implementácie sú uvedené v tabuľke 14.

Tabuľka 14

Zistite priemernú predajnú cenu produktu.

Riešenie. Pri výpočte priemernej ceny musíme použiť pomer predaného množstva k počtu predaných kusov. Nepoznáme počet predaných kusov, ale poznáme výšku predaja tovaru. Preto na zistenie priemernej ceny predaného tovaru používame vzorec harmonického váženého priemeru. Dostaneme

Ak tu použijete vzorec aritmetického priemeru, môžete získať priemernú cenu, ktorá bude nereálna:

Geometrický priemer sa vypočíta extrahovaním koreňa stupňa N zo súčinu všetkých hodnôt možností funkcie:

,

Kde x 1, x 2, …, x N- individuálne hodnoty premennej vlastnosti (možnosti) a

N- počet jednotiek obyvateľstva.

Tento typ priemeru sa používa na výpočet priemerných mier rastu časových radov.

odmocnina stredná štvorec používa sa na výpočet priemeru smerodajná odchýlka, ktorý je indikátorom variácie a bude diskutovaný nižšie.

Na určenie štruktúry obyvateľstva sa používajú špeciálne priemery, medzi ktoré patrí medián A móda , alebo takzvané štrukturálne priemery. Ak je aritmetický priemer vypočítaný na základe použitia všetkých variantov hodnôt atribútov, potom medián a mód charakterizujú hodnotu variantu, ktorý zaberá určitú priemernú pozíciu v zoradenej (usporiadanej) sérii. Zoradenie jednotiek štatistickej populácie sa môže uskutočniť vzostupne alebo zostupne podľa variantov študovaného znaku.

Medián (ja) je hodnota, ktorá zodpovedá variantu v strede zoradeného radu. Medián je teda ten variant hodnotenej série, na ktorej oboch stranách by mala byť táto séria rovnaký počet agregátne jednotky.

Ak chcete nájsť medián, musíte ho najprv určiť. sériové číslo v zoradenom riadku podľa vzorca:

kde N je objem série (počet jednotiek populácie).

Ak rad pozostáva z nepárneho počtu členov, potom sa medián rovná variantu s číslom N Me . Ak séria pozostáva z párneho počtu členov, potom je medián definovaný ako aritmetický priemer dvoch susedných možností umiestnených v strede.

Príklad. Daná zoradená séria 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Objem série je N = 9, čo znamená N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Preto Me = 6, t.j. piata možnosť. Ak je v riadku uvedené 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, t.j. séria s párnym počtom členov (N = 8), potom N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Takže medián sa rovná polovici súčtu štvrtej a piatej možnosti, t.j. Me = (9 + 11)/2 = 10.

V sérii diskrétnych variácií je medián určený akumulovanými frekvenciami. Variantné frekvencie, počnúc prvou, sa sčítavajú, kým sa neprekročí stredný počet. Hodnota posledných sčítaných opcií bude medián.

Príklad. Nájdite priemerný počet obžalovaných na trestný prípad pomocou údajov v tabuľke 12.

Riešenie. V tomto prípade je objem variačnej série N = 154, teda N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Sčítaním frekvencií prvej a druhej možnosti dostaneme: 75 + 43 = 118, t.j. prekročili sme stredný počet. Takže ja = 2.

V intervalovom variačnom rade distribúcie najprv uveďte interval, v ktorom sa bude nachádzať medián. Volá sa medián . Toto je prvý interval, ktorého kumulatívna frekvencia presahuje polovicu objemu série variácií intervalu. Potom číselná hodnota medián je určený vzorcom:

Kde x Ja- spodná hranica stredného intervalu; i - hodnota stredného intervalu; S Me-1- akumulovaná frekvencia intervalu, ktorý predchádza mediánu; f Ja- frekvencia stredného intervalu.

Príklad. Nájdite stredný vek páchateľov odsúdených za krádež na základe štatistík uvedených v tabuľke 13.

Riešenie.Štatistické údaje sú reprezentované intervalovým variačným radom, čo znamená, že najskôr určíme medián intervalu. Objem populácie N = 162, teda mediánový interval je interval 18-28, pretože toto je prvý interval, ktorého akumulovaná frekvencia (15 + 90 = 105) presahuje polovicu objemu (162: 2 = 81) série variácií intervalu. Teraz je číselná hodnota mediánu určená vyššie uvedeným vzorcom:

Polovica odsúdených za krádež má teda menej ako 25 rokov.

Móda (Po) pomenujte hodnotu atribútu, ktorá sa najčastejšie nachádza v jednotkách populácie. Móda sa používa na identifikáciu hodnoty vlastnosti, ktorá má najväčšiu distribúciu. Pre diskrétnu sériu bude režimom variant s najvyššou frekvenciou. Napríklad pre samostatné série uvedené v tabuľke 3 Mo= 1, keďže táto hodnota možností zodpovedá najvyššej frekvencii - 75. Na určenie režimu intervalového radu najskôr určte modálny interval (interval s najvyššou frekvenciou). Potom sa v tomto intervale nájde hodnota funkcie, ktorou môže byť režim.

Jeho hodnota sa zistí podľa vzorca:

Kde x Po- spodná hranica modálneho intervalu; i - hodnota modálneho intervalu; f Po- frekvencia modálnych intervalov; f Po-1- frekvencia intervalu pred modálom; f Po+1- frekvencia intervalu nasledujúceho po spôsobe.

Príklad. Nájdite vekový režim zločincov odsúdených za krádež, údaje o nich sú uvedené v tabuľke 13.

Riešenie. Najvyššia frekvencia zodpovedá intervalu 18-28, preto musí byť režim v tomto intervale. Jeho hodnota je určená vyššie uvedeným vzorcom:

teda najväčší počet páchateľ odsúdený za krádež má 24 rokov.

Priemerná hodnota dáva zovšeobecňujúcu charakteristiku celkového skúmaného javu. Dve populácie s rovnakými strednými hodnotami sa však môžu navzájom výrazne líšiť, pokiaľ ide o stupeň fluktuácie (variácie) hodnoty študovaného znaku. Napríklad na jednom súde boli vymenovaní ďalšie termíny trest odňatia slobody: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 rokov a v ďalšom - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 rokov. V oboch prípadoch je aritmetický priemer 6,7 roka. Tieto agregáty sa však navzájom výrazne líšia v rozptyle jednotlivých hodnôt prideleného trestu odňatia slobody vo vzťahu k priemernej hodnote.

A pre prvý súd, kde je táto odchýlka dosť veľká, priemerná dĺžka trestu odňatia slobody dobre neodráža celú populáciu. Ak sa teda jednotlivé hodnoty atribútu navzájom málo líšia, potom bude aritmetický priemer pomerne indikatívnou charakteristikou vlastností tejto populácie. V opačnom prípade bude aritmetický priemer nespoľahlivou charakteristikou tejto populácie a jeho aplikácia v praxi je neúčinná. Preto je potrebné vziať do úvahy kolísanie hodnôt študovaného znaku.

Variácia- ide o rozdiely v hodnotách charakteristiky v rôznych jednotkách danej populácie v rovnakom období alebo časovom bode. Pojem „variácia“ je latinského pôvodu – variatio, čo znamená rozdiel, zmena, kolísanie. Vzniká v dôsledku skutočnosti, že jednotlivé hodnoty atribútu sa tvoria pod kombinovaným vplyvom rôznych faktorov (podmienok), ktoré sa v každom jednotlivom prípade kombinujú rôznymi spôsobmi. Na meranie variácie vlastnosti, rôznych absolútnych a relatívny výkon.

Medzi hlavné ukazovatele variácie patria:

1) rozsah variácií;

2) priemerná lineárna odchýlka;

3) disperzia;

4) štandardná odchýlka;

5) variačný koeficient.

V krátkosti sa zastavíme pri každom z nich.

Variácia rozpätia R je najdostupnejší absolútny ukazovateľ z hľadiska jednoduchosti výpočtu, ktorý je definovaný ako rozdiel medzi najväčšou a najmenšou hodnotou atribútu pre jednotky tejto populácie:

Rozsah variácie (rozsah kolísania) - dôležitý ukazovateľ kolísanie znamienka, ale umožňuje vidieť len extrémne odchýlky, čo obmedzuje rozsah jeho použitia. Na presnejšiu charakterizáciu variácie znaku na základe jeho kolísania sa používajú iné ukazovatele.

Priemerná lineárna odchýlka je aritmetický priemer absolútne hodnoty odchýlky jednotlivých hodnôt atribútu od priemeru a je určená vzorcami:

1) Pre nezoskupené údaje

2) Pre variačná séria

Najpoužívanejším meradlom variácie je však disperzia . Charakterizuje mieru šírenia hodnôt študovaného znaku vo vzťahu k jeho priemernej hodnote. Rozptyl je definovaný ako priemer druhej mocniny odchýlok.

jednoduchý rozptyl pre nezoskupené údaje:

.

Vážený rozptyl pre sériu variácií:

Komentujte. V praxi je na výpočet rozptylu lepšie použiť nasledujúce vzorce:

Pre jednoduchú variáciu

.

Pre vážený rozptyl

Smerodajná odchýlka je druhá odmocnina z rozptylu:

Smerodajná odchýlka je mierou spoľahlivosti priemeru. Čím je štandardná odchýlka menšia, tým je populácia homogénnejšia a tým lepšie aritmetický priemer odráža celú populáciu.

Miery rozptylu uvedené vyššie (rozsah variácie, rozptyl, štandardná odchýlka) sú absolútne ukazovatele, podľa ktorého nie je vždy možné posúdiť mieru kolísania vlastnosti. V niektorých problémoch je potrebné použiť relatívne indexy rozptylu, z ktorých jeden je variačný koeficient.

Variačný koeficient- vyjadrené ako percento pomeru štandardnej odchýlky k aritmetickému priemeru:

Variačný koeficient sa používa nielen na porovnávacie hodnotenie variácií rôznych znakov alebo rovnakého znaku v rôznych populáciách, ale aj na charakterizáciu homogenity populácie. Štatistická populácia sa považuje za kvantitatívne homogénnu, ak variačný koeficient nepresiahne 33 % (pre distribúcie blízke normálnemu rozdeleniu).

Príklad. O trvaní trestu odňatia slobody 50 odsúdeným odovzdaným na výkon trestu uloženého súdom v ústave na výkon trestu odňatia slobody sú tieto údaje: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Zostavte distribučnú sériu podľa trestov odňatia slobody.

2. Nájdite priemer, rozptyl a smerodajnú odchýlku.

3. Vypočítajte variačný koeficient a urobte záver o homogenite alebo heterogenite skúmanej populácie.

Riešenie. Na zostavenie diskrétneho distribučného radu je potrebné určiť varianty a frekvencie. Variantom v tomto probléme je doba odňatia slobody a frekvencia je počet jednotlivých variantov. Po vypočítaní frekvencií získame nasledujúce diskrétne distribučné rady:

Nájdite priemer a rozptyl. Keďže štatistické údaje sú reprezentované diskrétnymi variačnými radmi, na ich výpočet použijeme vzorce aritmetického váženého priemeru a rozptylu. Dostaneme:

= = 4,1;

= 5,21.

Teraz vypočítame smerodajnú odchýlku:

Nájdeme variačný koeficient:

V dôsledku toho je štatistická populácia kvantitatívne heterogénna.

Teraz si pohovorme o ako vypočítať priemer.
Vo svojej klasickej podobe nám všeobecná teória štatistiky ponúka jednu verziu pravidiel pre výber priemernej hodnoty.
Najprv musíte urobiť správny logický vzorec na výpočet priemernej hodnoty (LFS). Pre každú priemernú hodnotu existuje vždy len jeden logický vzorec na jej výpočet, takže tu sa ťažko môžeme pomýliť. Vždy si však musíte pamätať, že v čitateli (to je to, čo je na vrchu zlomku) je súčet všetkých javov a v menovateli (to, čo je na konci zlomku) Celkom prvkov.

Po zostavení logického vzorca môžete použiť pravidlá (pre ľahšie pochopenie ich zjednodušíme a zredukujeme):
1. Ak je menovateľ logického vzorca uvedený v počiatočných údajoch (určených frekvenciou), potom sa výpočet vykoná podľa vzorca váženého aritmetického priemeru.
2. Ak je v počiatočných údajoch uvedený čitateľ logického vzorca, potom sa výpočet vykoná podľa vzorca harmonického váženého priemeru.
3. Ak je v úlohe súčasne čitateľ aj menovateľ logického vzorca (toto sa stáva len zriedka), výpočet sa vykoná pomocou tohto vzorca alebo pomocou jednoduchého vzorca aritmetického priemeru.
Toto je klasická myšlienka výberu správneho vzorca na výpočet priemernej hodnoty. Ďalej uvádzame postupnosť akcií pri riešení problémov na výpočet priemernej hodnoty.

Algoritmus na riešenie problémov na výpočet priemernej hodnoty

A. Určite metódu výpočtu priemernej hodnoty - jednoduché alebo vážené . Ak sú údaje prezentované v tabuľke, potom použijeme váženú metódu, ak sú údaje prezentované jednoduchým enumeráciou, potom použijeme jednoduchú metódu výpočtu.

B. Definujte alebo usporiadajte dohovorov – X - možnosť, f – frekvencia . Variant je jav, pre ktorý chcete zistiť priemernú hodnotu. Zvyšok údajov v tabuľke bude frekvencia.

B. Určíme formu na výpočet priemernej hodnoty - aritmetický alebo harmonický . Definícia sa vykonáva v stĺpci frekvencie. Aritmetický tvar sa používa, ak sú frekvencie dané explicitným číslom (podmienečne ich môžete nahradiť slovom kusy, počet prvkov "kusy"). Harmonická forma sa používa, ak frekvencie nie sú dané explicitným číslom, ale komplexným ukazovateľom (súčin priemernej hodnoty a frekvencie).

Najťažšie je uhádnuť, kde a koľko sa dáva, najmä pre študenta, ktorý je v takýchto veciach neskúsený. V takejto situácii môžete použiť jednu z nasledujúcich metód. Pre niektoré úlohy (ekonomické) je vhodný výrok vypracovaný rokmi praxe (bod B.1). V iných situáciách budete musieť použiť odsek B.2.

C.1 Ak je frekvencia nastavená v peňažných jednotkách (v rubľoch), potom sa na výpočet používa harmonický priemer, takéto tvrdenie je vždy pravdivé, ak je zistená frekvencia nastavená v peniazoch, v iných situáciách toto pravidlo neplatí.

B.2 Použite pravidlá pre výber priemernej hodnoty uvedené vyššie v tomto článku. Ak je frekvencia daná menovateľom logického vzorca na výpočet priemernej hodnoty, počítame podľa tvaru aritmetického priemeru, ak je frekvencia daná čitateľom logického vzorca na výpočet priemernej hodnoty, počítame podľa tvaru harmonický stredný tvar.

Zvážte príklady použitia tohto algoritmu.

Odpoveď: Keďže údaje sú uvedené v rade, používame jednoduchú metódu výpočtu.

B. V. Máme len údaje o výške dôchodkov a tie budú našou verziou – x. Údaje sú prezentované ako jednoduché číslo (12 osôb), na výpočet používame jednoduchý aritmetický priemer.

Priemerný dôchodok dôchodcu je 9208,3 rubľov.

B. Keďže je potrebné zistiť priemernú výšku platby na dieťa, možnosti sú v prvom stĺpci, tam dáme označenie x, druhý stĺpec sa automaticky stáva frekvenciou f.

C. Frekvencia (počet detí) je daná jednoznačným číslom (môžete nahradiť slovné časti detí, z pohľadu ruského jazyka je fráza nesprávna, ale v skutočnosti je veľmi vhodné kontrola), čo znamená, že na výpočet sa použije aritmetický vážený priemer.

Je módne vyriešiť ten istý problém nie vzorovým spôsobom, ale tabuľkovo, to znamená zadať všetky údaje medzivýpočtov do tabuľky.

Výsledkom je, že všetko, čo teraz musíte urobiť, je oddeliť dva súčty v správnom poradí.

Priemerná platba na dieťa za mesiac bola 1 910 rubľov.

A. Keďže údaje sú uvedené v tabuľke, na výpočet používame váženú formu.

B. Frekvencia (náklady na výstup) je nastavená implicitnou veličinou (frekvencia je nastavená v rubľov Položka algoritmu B1), čo znamená, že na výpočet sa použije harmonický vážený priemer. Vo všeobecnosti sú výrobné náklady v skutočnosti komplexným ukazovateľom, ktorý sa získa vynásobením nákladov na jednotku výrobku počtom takýchto výrobkov, čo je podstatou priemernej harmonickej hodnoty.

Aby sa tento problém vyriešil pomocou vzorca aritmetického priemeru, je potrebné, aby namiesto výrobných nákladov existoval počet výrobkov s príslušnými nákladmi.

Upozorňujeme, že suma v menovateli získaná po výpočtoch 410 (120 + 80 + 210) je celkový počet vyrobených produktov.

Priemerné jednotkové náklady na výrobok boli 314,4 rubľov.

A. Keďže údaje sú uvedené v tabuľke, na výpočet používame váženú formu.

B. Keďže je potrebné zistiť priemerné jednotkové náklady, možnosti sú v prvom stĺpci, tam dáme označenie x, druhý stĺpec sa automaticky stáva frekvenciou f.

B. Frekvencia (celkový počet medzier) je daná implicitným číslom (je súčinom dvoch ukazovateľov počtu medzier a počtu žiakov s takýmto počtom medzier), čo znamená, že harmonický vážený priemer je použité na výpočet. Použijeme bod algoritmu B2.

Aby sa tento problém vyriešil pomocou vzorca aritmetického priemeru, je potrebné, aby namiesto celkového počtu medzier bol počet študentov.

Zostavíme logický vzorec na výpočet priemerného počtu absolvovaných študentov.

Frekvencia podľa stavu úlohy Celkový počet prechádza. V logickom vzorci je tento ukazovateľ v čitateli, čo znamená, že používame vzorec harmonického priemeru.

Upozorňujeme, že súčet v menovateli po výpočte 31 (18+8+5) je celkový počet študentov.

Priemerný počet absencií na študenta je 13,8 dňa.

Priemerné hodnoty sú široko používané v štatistike. Priemerné hodnoty charakterizujú kvalitatívne ukazovatele obchodnej činnosti: distribučné náklady, zisk, ziskovosť atď.

Stredná Toto je jedno z najbežnejších zovšeobecnení. Správne pochopenie podstaty priemeru určuje jeho osobitný význam z hľadiska trhové hospodárstvo, kedy priemer cez jednotlivé a náhodné umožňuje identifikovať všeobecné a potrebné, identifikovať trend vzorcov ekonomického vývoja.

priemerná hodnota - sú to zovšeobecňujúce ukazovatele, v ktorých nachádzajú vyjadrenie pôsobenia všeobecné podmienky, zákonitosti skúmaného javu.

Štatistické priemery sa vypočítavajú na základe hromadných údajov správne štatisticky organizovaného hromadného pozorovania (kontinuálneho a selektívneho). Štatistický priemer však bude objektívny a typický, ak sa vypočíta z hromadných údajov pre kvalitatívne homogénnu populáciu (masové javy). Ak napríklad vypočítame priemernú mzdu v družstvách a štátnych podnikoch a výsledok rozšírime na celú populáciu, potom je priemer fiktívny, keďže sa počíta pre heterogénnu populáciu a takýto priemer stráca zmysel.

Pomocou priemeru dochádza akoby k vyhladzovaniu rozdielov vo veľkosti znaku, ktoré vznikajú z toho či onoho dôvodu v jednotlivých jednotkách pozorovania.

Napríklad priemerný výkon predajcu závisí od mnohých faktorov: kvalifikácia, dĺžka služby, vek, forma služby, zdravotný stav atď.

Priemerná produkcia odráža všeobecný majetok celej populácie.

Priemerná hodnota je odrazom hodnôt študovaného znaku, preto sa meria v rovnakej dimenzii ako tento znak.

Každá priemerná hodnota charakterizuje skúmanú populáciu podľa ľubovoľného jedného atribútu. Aby sme získali úplný a komplexný obraz o skúmanej populácii z hľadiska množstva podstatných znakov, je vo všeobecnosti potrebné mať systém priemerných hodnôt, ktorý dokáže opísať jav z rôznych uhlov pohľadu.

Existujú rôzne priemery:

aritmetický priemer;

geometrický priemer;

priemerná harmonická;

stredná odmocnina;

chronologický priemer.

Zvážte niektoré typy priemerov, ktoré sa najčastejšie používajú v štatistike.

Aritmetický priemer

Jednoduchý aritmetický priemer (nevážený) sa rovná súčtu jednotlivých hodnôt charakteristiky vydelenému počtom týchto hodnôt.

Jednotlivé hodnoty atribútu sa nazývajú varianty a sú označené x (); počet populačných jednotiek sa označí n, priemerná hodnota znaku - by . Preto jednoduchý aritmetický priemer je:

Podľa údajov diskrétneho distribučného radu je zrejmé, že rovnaké hodnoty atribútu (možností) sa niekoľkokrát opakujú. Variant x sa teda vyskytuje v súhrne 2-krát a variant x - 16-krát atď.

Počet identických hodnôt prvku v distribučnom rade sa nazýva frekvencia alebo váha a označuje sa symbolom n.

Vypočítajte priemernú mzdu na pracovníka v rubľoch:

Fond mzdy pre každú skupinu pracovníkov sa rovná súčinu možností a frekvencie a súčet týchto súčinov dáva celkový mzdový fond všetkých pracovníkov.

V súlade s tým môžu byť výpočty prezentované vo všeobecnej forme:

Výsledný vzorec sa nazýva vážený aritmetický priemer.

Štatistický materiál ako výsledok spracovania môže byť prezentovaný nielen vo forme diskrétnych distribučných radov, ale aj vo forme intervalových variačných radov s uzavretými alebo otvorenými intervalmi.

Výpočet priemeru pre zoskupené údaje sa vykonáva podľa vzorca váženého aritmetického priemeru:

V praxi ekonomických štatistík je niekedy potrebné vypočítať priemer skupinovými priemermi alebo priemermi jednotlivých častí obyvateľstva (čiastkové priemery). V takýchto prípadoch sa ako možnosti (x) berú skupinové alebo čiastkové priemery, na základe ktorých sa vypočíta celkový priemer ako obvyklý aritmetický vážený priemer.

Základné vlastnosti aritmetického priemeru .

Aritmetický priemer má niekoľko vlastností:

1. Od zníženia alebo zvýšenia frekvencií každej hodnoty atribútu x o n-krát sa hodnota aritmetického priemeru nezmení.

Ak sa všetky frekvencie vydelia alebo vynásobia nejakým číslom, potom sa hodnota priemeru nezmení.

2. Celkový násobiteľ jednotlivých hodnôt atribútu je možné odobrať zo znamienka priemeru:

3. Priemerná suma(rozdiel) dvoch alebo viacerých veličín sa rovná súčtu (rozdielu) ich priemerov:

4. Ak x \u003d c, kde c je konštantná hodnota, potom
.

5. Súčet odchýlok hodnôt znaku X od aritmetického priemeru x sa rovná nule:

Priemerná harmonická.

Spolu s aritmetickým priemerom používa štatistika harmonický priemer, prevrátenú hodnotu aritmetického priemeru recipročných hodnôt atribútu. Rovnako ako aritmetický priemer môže byť jednoduchý a vážený.

Spolu s priemermi sú charakteristikami série variácií modus a medián.

Móda - ide o hodnotu znaku (variantu), najčastejšie sa opakujúceho v skúmanej populácii. Pre diskrétne distribučné série bude módom hodnota variantu s najvyššou frekvenciou.

Pre intervalové distribučné série s rovnakými intervalmi je režim určený vzorcom:

Kde
- počiatočná hodnota intervalu obsahujúceho režim;

- hodnota modálneho intervalu;

- frekvencia modálnych intervalov;

- frekvencia intervalu pred modálom;

- frekvencia intervalu nasledujúceho po spôsobe.

Medián je variant umiestnený v strede radu variácií. Ak je distribučný rad diskrétny a má nepárny počet členov, potom medián bude variant umiestnený v strede usporiadaného radu (usporiadaný rad je usporiadanie jednotiek populácie vo vzostupnom alebo zostupnom poradí).

Aritmetický priemer – štatistický ukazovateľ, ktorý zobrazuje priemernú hodnotu daného dátového poľa. Takýto ukazovateľ sa vypočíta ako zlomok, ktorého čitateľ je súčtom všetkých hodnôt poľa a menovateľom je ich počet. Aritmetický priemer je dôležitý koeficient, ktorý sa používa pri výpočtoch domácností.

Význam koeficientu

Aritmetický priemer je základným ukazovateľom na porovnanie údajov a výpočet prijateľnej hodnoty. Napríklad plechovka piva od konkrétneho výrobcu sa predáva v rôznych obchodoch. Ale v jednom obchode to stojí 67 rubľov, v inom - 70 rubľov, v treťom - 65 rubľov a v poslednom - 62 rubľov. Existuje pomerne veľký rozsah cien, takže kupujúceho budú zaujímať priemerné náklady na plechovku, aby si pri nákupe produktu mohol porovnať svoje náklady. V priemere má plechovka piva v meste cenu:

Priemerná cena = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubľov.

Keď poznáte priemernú cenu, je ľahké určiť, kde je výhodné nakupovať tovar a kde budete musieť preplatiť.

Aritmetický priemer sa neustále používa v štatistických výpočtoch v prípadoch, keď sa analyzuje homogénny súbor údajov. Vo vyššie uvedenom príklade ide o cenu plechovky piva rovnakej značky. Nemôžeme však porovnávať cenu piva od rôznych výrobcov alebo ceny piva a limonády, pretože v tomto prípade bude rozptyl hodnôt väčší, priemerná cena bude rozmazaná a nespoľahlivá a samotný význam výpočtov bude skreslená na karikatúru „priemerná teplota v nemocnici“. Na výpočet heterogénnych dátových polí sa používa aritmetický vážený priemer, keď každá hodnota dostane svoj vlastný váhový faktor.

Výpočet aritmetického priemeru

Vzorec na výpočty je veľmi jednoduchý:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

kde a je hodnota veličiny, n je celkový počet hodnôt.

Na čo sa dá tento ukazovateľ použiť? Prvé a zrejmé využitie je v štatistike. Takmer v každom štatistická štúdia používa sa aritmetický priemer. Môže to byť priemerný vek sobáša v Rusku, priemerná známka študenta z predmetu alebo priemerné výdavky na nákup potravín za deň. Ako je uvedené vyššie, bez zohľadnenia váh môže výpočet priemerov poskytnúť zvláštne alebo absurdné hodnoty.

Napríklad prezident Ruská federácia urobil vyhlásenie, že podľa štatistík je priemerný plat Rusa 27 000 rubľov. Pre väčšinu ľudí v Rusku sa táto výška platu zdala absurdná. Nie je prekvapujúce, ak výpočet zohľadňuje príjmy oligarchov, šéfov priemyselných podnikov, veľkých bankárov na jednej strane a platy učiteľov, upratovačiek a predavačov na strane druhej. Dokonca aj priemerné platy v jednej špecializácii, napríklad účtovník, budú mať vážne rozdiely v Moskve, Kostrome a Jekaterinburgu.

Ako vypočítať priemery pre heterogénne údaje

V mzdových situáciách je dôležité zvážiť váhu každej hodnoty. To znamená, že platom oligarchov a bankárov by bola prisúdená váha napríklad 0,00001 a platom predajcov 0,12. Sú to čísla zo stropu, ale zhruba ilustrujú prevahu oligarchov a predajcov v ruskej spoločnosti.

Preto na výpočet priemeru priemerov alebo priemernej hodnoty v heterogénnom dátovom poli je potrebné použiť aritmetický vážený priemer. V opačnom prípade dostanete priemerný plat v Rusku na úrovni 27 000 rubľov. Ak chcete vedieť svoju priemernú známku z matematiky alebo priemerný počet strelených gólov vybraného hokejistu, potom sa vám bude hodiť kalkulačka aritmetického priemeru.

Náš program je jednoduchá a pohodlná kalkulačka na výpočet aritmetického priemeru. Na vykonanie výpočtov stačí zadať hodnoty parametrov.

Pozrime sa na pár príkladov

Výpočet priemernej známky

Mnoho učiteľov používa metódu aritmetického priemeru na určenie ročnej známky z predmetu. Predstavme si, že dieťa dostane z matematiky tieto štvrťročné známky: 3, 3, 5, 4. Akú ročnú známku mu dá učiteľ? Použime kalkulačku a vypočítajme aritmetický priemer. Najprv vyberte príslušný počet polí a zadajte hodnoty známok do buniek, ktoré sa objavia:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Učiteľ zaokrúhli hodnotu v prospech žiaka a žiak dostane solídnu štvorku za ročník.

Výpočet zjedených sladkostí

Ilustrujme si nejakú absurdnosť aritmetického priemeru. Predstavte si, že Masha a Vova mali 10 sladkostí. Máša zjedla 8 cukríkov a Vova len 2. Koľko cukríkov priemerne zjedlo každé dieťa? Pomocou kalkulačky sa dá ľahko vypočítať, že deti v priemere zjedli 5 sladkostí, čo je úplne nepravdivé a zdravý rozum. Tento príklad ukazuje, že aritmetický priemer je dôležitý pre zmysluplné súbory údajov.

Záver

Výpočet aritmetického priemeru je široko používaný v mnohých vedeckých oblastiach. Tento ukazovateľ je obľúbený nielen v štatistických výpočtoch, ale aj vo fyzike, mechanike, ekonómii, medicíne alebo financiách. Použite naše kalkulačky ako pomocníka pri riešení problémov s aritmetickým priemerom.

Téma aritmetický a geometrický priemer je zaradená do matematického programu pre 6. – 7. ročník. Keďže je odsek celkom jednoduchý na pochopenie, rýchlo sa míňa a do konca školského roka ho žiaci zabudnú. Na to sú však potrebné znalosti základných štatistík absolvovanie skúšky, ako aj pre medzinárodné skúšky SAT. Áno a pre Každodenný život rozvinuté analytické myslenie nikdy neuškodí.

Ako vypočítať aritmetický a geometrický priemer čísel

Predpokladajme, že existuje séria čísel: 11, 4 a 3. Aritmetický priemer je súčet všetkých čísel vydelený počtom daných čísel. To znamená, že v prípade čísel 11, 4, 3 bude odpoveď 6. Ako sa získa 6?

Riešenie: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Menovateľ musí obsahovať číslo, ktoré sa rovná počtu čísel, ktorých priemer sa má nájsť. Súčet je deliteľný 3, keďže existujú tri členy.

Teraz sa musíme zaoberať geometrickým priemerom. Povedzme, že existuje séria čísel: 4, 2 a 8.

Geometrický priemer je súčin všetkých daných čísel, ktorý je pod odmocninou so stupňom rovným počtu daných čísel. To znamená, že v prípade čísel 4, 2 a 8 je odpoveď 4. Tu je návod, ako sa to stalo :

Riešenie: ∛(4 × 2 × 8) = 4

V oboch možnostiach boli získané celé odpovede, pretože ako príklad boli brané špeciálne čísla. Nie vždy je to tak. Vo väčšine prípadov musí byť odpoveď zaokrúhlená alebo ponechaná pri koreni. Napríklad pre čísla 11, 7 a 20 je aritmetický priemer ≈ 12,67 a geometrický priemer je ∛1540. A pre čísla 6 a 5 budú odpovede 5,5 a √30.

Môže sa stať, že sa aritmetický priemer rovná geometrickému priemeru?

Samozrejme, že môže. Ale len v dvoch prípadoch. Ak existuje séria čísel pozostávajúca iba z jednotiek alebo núl. Je tiež pozoruhodné, že odpoveď nezávisí od ich počtu.

Dôkaz s jednotkami: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetický priemer).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrický priemer).

Dôkaz s nulami: (0 + 0) / 2 = 0 (aritmetický priemer).

√(0 × 0) = 0 (geometrický priemer).

Iná možnosť nie je a ani nemôže byť.