Teraz prejdeme k otváraniu zátvoriek vo výrazoch, v ktorých je výraz v zátvorkách vynásobený číslom alebo výrazom. Sformulujme pravidlo pre otváranie zátvoriek, pred ktorými je znamienko mínus: zátvorky spolu so znamienkom mínus sa vynechávajú a znamienka všetkých pojmov v zátvorkách sa nahradia opačnými.

Jedným typom transformácie výrazu je rozšírenie zátvoriek. Číselné, doslovné a variabilné výrazy je možné písať pomocou zátvoriek, ktoré môžu označovať poradie akcií, obsahovať záporné číslo atď. Predpokladajme, že vo výrazoch opísaných vyššie môžu byť namiesto čísel a premenných akékoľvek výrazy.

A venujme pozornosť ešte jednému bodu, ktorý sa týka zvláštností písania riešenia pri otváraní zátvoriek. V predchádzajúcom odseku sme sa zaoberali tým, čo sa nazýva otváracie zátvorky. Na tento účel existujú pravidlá otvárania zátvoriek, ktoré teraz preskúmame. Toto pravidlo je dané skutočnosťou, že kladné čísla sa zvyčajne píšu bez zátvoriek, v tomto prípade sú zátvorky zbytočné. Výraz (−3.7)−(−2)+4+(−9) možno zapísať bez zátvoriek ako −3.7+2+4−9.

Nakoniec, tretia časť pravidla je jednoducho spôsobená zvláštnosťami písania záporných čísel vľavo vo výraze (ktoré sme spomenuli v časti o zátvorkách na písanie záporných čísel). Môžete sa stretnúť s výrazmi zloženými z čísla, znamienka mínus a niekoľkých párov zátvoriek. Ak otvoríte zátvorky a presuniete sa z interného na externé, riešenie bude nasledovné: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5) ))=−(5)=−5.

Ako otvoriť zátvorky?

Tu je vysvetlenie: −(−2 x) je +2 x, a keďže tento výraz je na prvom mieste, +2 x možno zapísať ako 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /xa -(2 x y2:z) = -2 x y2:z. Prvá časť písaného pravidla pre otváranie zátvoriek vyplýva priamo z pravidla pre násobenie záporných čísel. Jeho druhá časť je dôsledkom pravidla pre násobenie čísel s rôzne znamenia. Prejdime na príklady otvárania zátvoriek v súčinoch a podiely dvoch čísel s rôznymi znamienkami.

Úvodné zátvorky: pravidlá, príklady, riešenia.

Vyššie uvedené pravidlo zohľadňuje celý reťazec týchto akcií a výrazne urýchľuje proces otvárania zátvoriek. Rovnaké pravidlo vám umožňuje otvárať zátvorky vo výrazoch, ktoré sú súčinmi a čiastkové výrazy so znamienkom mínus, ktoré nie sú súčty a rozdiely.

Pozrime sa na príklady aplikácie tohto pravidla. Uveďme zodpovedajúce pravidlo. Vyššie sme sa už stretli s výrazmi v tvare −(a) a −(−a), ktoré sa bez zátvoriek píšu ako −a a a. Napríklad −(3)=3 a. Ide o špeciálne prípady uvedeného pravidla. Teraz sa pozrime na príklady otvárania zátvoriek, keď obsahujú súčty alebo rozdiely. Ukážme si príklady použitia tohto pravidla. Výraz (b1+b2) označme ako b, po čom použijeme pravidlo o násobení zátvorky výrazom z predchádzajúceho odseku, máme (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(al·b+a2·b)=al·b+a2·b.

Indukciou možno toto tvrdenie rozšíriť na ľubovoľný počet výrazov v každej zátvorke. Zostáva otvoriť zátvorky vo výslednom výraze pomocou pravidiel z predchádzajúcich odsekov, nakoniec dostaneme 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.

Pravidlom v matematike je otváranie zátvoriek, ak sú pred zátvorkami (+) a (-).

Tento výraz je súčinom troch faktorov (2+4), 3 a (5+7·8). Zátvorky budete musieť otvárať postupne. Teraz použijeme pravidlo na násobenie zátvorky číslom, máme ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Stupne, ktorých základom sú niektoré výrazy písané v zátvorkách s prirodzenými exponentmi, možno považovať za súčin viacerých zátvoriek.

Napríklad transformujme výraz (a+b+c)2. Najprv to napíšeme ako súčin dvoch zátvoriek (a+b+c)·(a+b+c), teraz zátvorku vynásobíme zátvorkou, dostaneme a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Povedzme tiež, že zvýšiť súčty a rozdiely dvoch čísel v prirodzený stupeň Je vhodné použiť Newtonov binomický vzorec. Napríklad (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Nemenej vhodné je najprv nahradiť delenie násobením a potom použiť príslušné pravidlo na otváranie zátvoriek v produkte.

Zostáva pochopiť poradie otvárania zátvoriek pomocou príkladov. Zoberme si výraz (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Tieto výsledky dosadíme do pôvodného výrazu: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7). Zostáva už len dokončiť otváranie zátvoriek, výsledkom je −5+3·2:4+6·7. To znamená, že pri prechode z ľavej strany rovnosti na pravú došlo k otvoreniu zátvoriek.

Všimnite si, že vo všetkých troch príkladoch sme jednoducho odstránili zátvorky. Najprv pridajte 445 k 889. Túto akciu je možné vykonať mentálne, ale nie je to veľmi jednoduché. Otvorme zátvorky a uvidíme, že zmenený postup výrazne zjednoduší výpočty.

Ako rozšíriť zátvorky na iný stupeň

Ilustrujúci príklad a pravidlo. Pozrime sa na príklad: . Hodnotu výrazu zistíte tak, že sčítate 2 a 5 a potom zoberiete výsledné číslo s opačným znamienkom. Pravidlo sa nemení, ak v zátvorkách nie sú dva, ale tri alebo viac výrazov. Komentujte. Značky sú obrátené iba pred pojmami. Aby sme otvorili zátvorky, v tomto prípade si musíme zapamätať distributívnu vlastnosť.

Pre jednotlivé čísla v zátvorkách

Vaša chyba nie je v znamienkach, ale v nesprávnom zaobchádzaní so zlomkami? V 6. ročníku sme sa stretli s pozitívnymi a záporné čísla. Ako budeme riešiť príklady a rovnice?

Koľko je v zátvorkách? Čo poviete na tieto výrazy? Samozrejme, výsledok prvého a druhého príkladu je rovnaký, čo znamená, že medzi ne môžeme vložiť znamienko rovnosti: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Čo sme urobili so zátvorkami?

Ukážka snímky 6 s pravidlami otvárania zátvoriek. Pravidlá otvárania zátvoriek nám teda pomôžu vyriešiť príklady a zjednodušiť výrazy. Ďalej sú študenti požiadaní, aby pracovali vo dvojiciach: musia použiť šípky na spojenie výrazu obsahujúceho zátvorky so zodpovedajúcim výrazom bez zátvoriek.

Snímka 11 Raz v Slnečnom meste sa Znayka a Dunno hádali o tom, kto z nich vyriešil rovnicu správne. Ďalej študenti riešia rovnicu sami pomocou pravidiel otvárania zátvoriek. Riešenie rovníc“ Ciele hodiny: vzdelávacie (upevnenie vedomostí na tému: „Otváracie zátvorky.

Téma lekcie: „Otvorená zátvorka. V tomto prípade musíte vynásobiť každý výraz z prvých zátvoriek každým výrazom z druhých zátvoriek a potom pridať výsledky. Najprv sa vezmú prvé dva faktory uzavreté v jednej zátvorke a vo vnútri týchto zátvoriek sa otvoria zátvorky podľa jedného z už známych pravidiel.

rawalan.freezeet.ru

Úvodné zátvorky: pravidlá a príklady (7. ročník)

Hlavnou funkciou zátvoriek je zmeniť poradie akcií pri výpočte hodnôt číselné výrazy . Napríklad, v číselnom vyjadrení \(5·3+7\) sa najskôr vypočíta násobenie a potom sčítanie: \(5·3+7 =15+7=22\). Ale vo výraze \(5·(3+7)\) sa najskôr vypočíta sčítanie v zátvorkách a až potom násobenie: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Ak však máme do činenia s algebraický výraz obsahujúce premenlivý- napríklad takto: \(2(x-3)\) - potom nie je možné vypočítať hodnotu v zátvorke, premenná je v ceste. Preto sú v tomto prípade zátvorky „otvorené“ pomocou príslušných pravidiel.

Pravidlá otvárania zátvoriek

Ak je pred zátvorkou znamienko plus, zátvorka sa jednoducho odstráni, výraz v nej zostane nezmenený. Inými slovami:

Tu je potrebné objasniť, že v matematike je na skrátenie zápisov zvykom nepísať znamienko plus, ak je vo výraze prvé. Napríklad, ak sčítame dve kladné čísla, napríklad sedem a tri, napíšeme nie \(+7+3\), ale jednoducho \(7+3\), napriek tomu, že sedem je tiež kladné číslo. . Podobne, ak vidíte napríklad výraz \((5+x)\) - vedzte to pred zátvorkou je plus, ktoré sa nepíše.

Príklad . Otvorte zátvorku a zadajte podobné výrazy: \((x-11)+(2+3x)\).
Riešenie : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Ak je pred zátvorkou znamienko mínus, potom keď sa zátvorka odstráni, každý výraz výrazu v nej zmení znamienko na opačné:

Tu je potrebné objasniť, že kým bolo a v zátvorke, bolo tam znamienko plus (len to nenapísali) a po odstránení zátvorky sa toto plus zmenilo na mínus.

Príklad : Zjednodušte výraz \(2x-(-7+x)\).
Riešenie : vo vnútri zátvorky sú dva výrazy: \(-7\) a \(x\) a pred zátvorkou je mínus. To znamená, že znamienka sa zmenia - a sedem bude teraz plus a x bude teraz mínus. Otvorte držiak a uvádzame podobné pojmy .

Príklad. Otvorte zátvorku a zadajte podobné výrazy \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Riešenie : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Ak je pred zátvorkou faktor, potom sa ním vynásobí každý člen zátvorky, to znamená:

Príklad. Rozbaľte zátvorky \(5(3-x)\).
Riešenie : V zátvorke máme \(3\) a \(-x\) a pred zátvorkou je päťka. To znamená, že každý člen zátvorky sa vynásobí \(5\) - to vám pripomínam Znamienko násobenia medzi číslom a zátvorkou sa v matematike nepíše, aby sa zmenšila veľkosť položiek.

Príklad. Rozbaľte zátvorky \(-2(-3x+5)\).
Riešenie : Rovnako ako v predchádzajúcom príklade sú \(-3x\) a \(5\) v zátvorkách vynásobené \(-2\).

Zostáva zvážiť poslednú situáciu.

Pri násobení zátvorky zátvorkou sa každý člen prvej zátvorky vynásobí každým členom druhej zátvorky:

Príklad. Rozbaľte zátvorky \((2-x)(3x-1)\).
Riešenie : Máme produkt zátvoriek a možno ho okamžite rozšíriť pomocou vyššie uvedeného vzorca. Ale aby sme sa nemýlili, urobme všetko krok za krokom.
Krok 1. Odstráňte prvú zátvorku a vynásobte každý člen druhou zátvorkou:

Krok 2. Rozbaľte súčin zátvoriek a faktor, ako je popísané vyššie:
- Najprv veci...

Krok 3. Teraz vynásobíme a predstavíme podobné výrazy:

Všetky premeny nie je potrebné tak podrobne popisovať, môžete ich hneď znásobiť. Ale ak sa práve učíte otvárať zátvorky, píšte podrobne, bude menšia šanca robiť chyby.

Poznámka k celej sekcii. V skutočnosti si nemusíte pamätať všetky štyri pravidlá, stačí si zapamätať jedno, toto: \(c(a-b)=ca-cb\) . prečo? Pretože ak namiesto c dosadíte jedno, dostanete pravidlo \((a-b)=a-b\) . A ak dosadíme mínus jedna, dostaneme pravidlo \(-(a-b)=-a+b\) . No, ak nahradíte inú zátvorku namiesto c, môžete získať posledné pravidlo.

Zátvorka v zátvorke

Niekedy sa v praxi vyskytujú problémy so zátvorkami vnorenými do iných zátvoriek. Tu je príklad takejto úlohy: zjednodušte výraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Na úspešné vyriešenie takýchto úloh potrebujete:
- pozorne porozumieť vnoreniu zátvoriek - ktorá je v ktorej;
— zátvorky otvárajte postupne, začnite napríklad najvnútornejším.

Je to dôležité pri otváraní jednej zo zátvoriek nedotýkajte sa zvyšku výrazu, len to prepíšem tak, ako je.
Pozrime sa ako príklad na vyššie napísanú úlohu.

Príklad. Otvorte zátvorky a zadajte podobné výrazy \(7x+2(5-(3x+y))\).
Riešenie:

Začnime úlohu otvorením vnútornej konzoly (tej vnútri). Pri jej rozšírení sa zaoberáme len tým, čo sa jej priamo týka - je to samotná zátvorka a mínus pred ňou (zvýraznené zelenou farbou). Všetko ostatné (nezvýraznené) prepíšeme tak, ako to bolo.

Riešenie matematických úloh online

Online kalkulačka.
Zjednodušenie polynómu.
Násobenie polynómov.

Pomocou tohto matematického programu môžete zjednodušiť polynóm.
Počas spustenia programu:
- násobí polynómy
- zhrnie jednočleny (uvedie podobné)
- otvára zátvorky
- umocní mnohočlen na mocninu

Program na zjednodušenie polynómov dáva nielen odpoveď na problém, poskytuje podrobné riešenie s vysvetleniami, t.j. zobrazí proces riešenia, aby ste si mohli overiť svoje znalosti z matematiky a/alebo algebry.

Tento program môže byť užitočný pre študentov stredné školy v príprave na testy a skúšky, pri preverovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou, aby rodičia ovládali riešenie mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať čo najrýchlejšie domácu úlohu z matematiky či algebry? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s podrobnými riešeniami.

Týmto spôsobom môžete viesť svoj vlastný tréning a/alebo tréning váš. mladší bratiači sestry, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešených problémov.

Pretože Existuje veľa ľudí ochotných vyriešiť problém, vaša požiadavka bola zaradená do frontu.
O niekoľko sekúnd sa nižšie zobrazí riešenie.
Počkajte chvíľu.

Trochu teórie.

Súčin jednočlena a mnohočlenu. Pojem polynóm

Medzi rôzne výrazy, ktoré sa berú do úvahy v algebre, patria dôležité miesto zaberajú súčty monomiálov. Tu sú príklady takýchto výrazov:

Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Termíny v polynóme sa nazývajú členy polynómu. Monómy sú tiež klasifikované ako polynómy, pričom monomály považujú za polynóm pozostávajúci z jedného člena.

Predstavme si všetky termíny vo forme monomílov štandardného tvaru:

Uveďme podobné výrazy vo výslednom polynóme:

Výsledkom je polynóm, ktorého všetky členy sú monomály štandardného tvaru a medzi nimi neexistujú žiadne podobné. Takéto polynómy sa nazývajú polynómy štandardného tvaru.

vzadu stupeň polynómuštandardnej formy preberajú najvyššie právomoci svojich členov. Dvojčlen má teda tretí stupeň a trojčlen má druhý stupeň.

Termíny polynómov štandardnej formy obsahujúce jednu premennú sú zvyčajne usporiadané v zostupnom poradí podľa exponentov. Napríklad:

Súčet viacerých polynómov možno transformovať (zjednodušiť) na polynóm štandardného tvaru.

Niekedy je potrebné členy polynómu rozdeliť do skupín, pričom každú skupinu uzatvoríme do zátvoriek. Keďže uzatváranie zátvoriek je inverznou transformáciou otváracích zátvoriek, je ľahké ho formulovať pravidlá otvárania zátvoriek:

Ak je znamienko „+“ umiestnené pred zátvorkami, výrazy v zátvorkách sú napísané rovnakými znamienkami.

Ak je pred zátvorkami umiestnený znak „-“, potom sú výrazy v zátvorkách napísané opačnými znakmi.

Transformácia (zjednodušenie) súčinu jednočlenu a mnohočlenu

Pomocou distributívnej vlastnosti násobenia môžete transformovať (zjednodušiť) súčin jednočlenu a mnohočlenu na mnohočlen. Napríklad:

Súčin monočlenu a mnohočlenu sa zhodne rovná súčtu súčinov tohto monočlenu a každého z členov mnohočlenu.

Tento výsledok je zvyčajne formulovaný ako pravidlo.

Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte tento monočlen vynásobiť každým z členov polynómu.

Toto pravidlo sme už niekoľkokrát použili na násobenie súčtom.

Súčin polynómov. Transformácia (zjednodušenie) súčinu dvoch polynómov

Vo všeobecnosti sa súčin dvoch polynómov rovná súčtu súčinu každého člena jedného polynómu a každého člena druhého.

Zvyčajne sa používa nasledujúce pravidlo.

Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty.

Skrátené vzorce násobenia. Súčet druhých mocnín, rozdiely a rozdiel druhých mocnín

S niektorými výrazmi v algebraických transformáciách sa musíte zaoberať častejšie ako s inými. Azda najbežnejšími výrazmi sú u, teda druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdielu a rozdiel druhých mocnín. Všimli ste si, že názvy týchto výrazov sa zdajú byť neúplné, napríklad toto, samozrejme, nie je len druhá mocnina súčtu, ale druhá mocnina súčtu a a b. Druhá mocnina súčtu a a b sa však nevyskytuje príliš často, spravidla namiesto písmen a a b obsahuje rôzne, niekedy dosť zložité výrazy.

Výrazy sa dajú jednoducho previesť (zjednodušiť) na polynómy štandardného tvaru, v skutočnosti ste sa už pri násobení polynómov stretli s takouto úlohou:

Je užitočné zapamätať si výsledné identity a použiť ich bez medzivýpočtov. Pomáhajú tomu stručné slovné formulácie.

- druhá mocnina súčtu rovná súčtuštvorčeky a zdvojnásobte súčin.

- druhá mocnina rozdielu sa rovná súčtu druhých mocnín bez dvojitého súčinu.

- rozdiel štvorcov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu.

Tieto tri identity umožňujú nahradiť jeho ľavostranné časti pravostrannými pri transformáciách a naopak - pravé časti ľavostrannými. Najťažšie je vidieť zodpovedajúce výrazy a pochopiť, ako sa v nich nahrádzajú premenné a a b. Pozrime sa na niekoľko príkladov použitia skrátených vzorcov na násobenie.

Knihy (učebnice) Abstrakty Jednotná štátna skúška a testy OGE Online hry, hlavolamy Konštrukcia grafov funkcií Pravopisný slovník ruského jazyka Slovník slangu mládeže Katalóg ruských škôl Katalóg stredných vzdelávacích inštitúcií Ruska Katalóg ruských univerzít Zoznam úloh Hľadanie GCD a LCM Zjednodušenie polynómu (násobenie polynómov) Delenie polynómu podľa polynóm so stĺpcom Výpočet číselné zlomky Riešenie úloh s percentami Komplexné čísla: súčet, rozdiel, súčin a podielové sústavy 2 lineárne rovnice s dvoma premennými Riešenie kvadratická rovnica Izolovanie druhej mocniny dvojčlenu a súčinenie štvorcového trojčlenu Riešenie nerovníc Riešenie sústav nerovníc Vykreslenie grafu kvadratickej funkcie Vykreslenie grafu lineárnej zlomkovej funkcie Riešenie aritmetických a geometrické postupnosti Riešenie goniometrických, exponenciálnych, logaritmické rovnice Výpočet limity, derivácia, dotyčnica Integrál, primitívna derivácia Riešenie trojuholníkov Výpočet pôsobenia s vektormi Výpočet pôsobenia s priamkami a rovinami Plocha geometrických útvarov Obvod geometrických útvarov Objem geometrických telies Plocha geometrických telies
Konštruktér dopravnej situácie
Počasie - novinky - horoskopy

www.mathsolution.ru

Rozširujúce zátvorky

Pokračujeme v štúdiu základov algebry. V tejto lekcii sa naučíme, ako rozšíriť zátvorky vo výrazoch. Rozšírenie zátvoriek znamená odstránenie zátvoriek z výrazu.

Ak chcete otvoriť zátvorky, musíte si zapamätať iba dve pravidlá. Pri pravidelnom cvičení môžete zátvorky otvárať pomocou oči zatvorené a tie pravidlá, ktoré sa museli naučiť naspamäť, môžete bezpečne zabudnúť.

Prvé pravidlo otvárania zátvoriek

Zvážte nasledujúci výraz:

Hodnota tohto výrazu je 2 . Otvorme zátvorky v tomto výraze. Rozšírenie zátvoriek znamená zbaviť sa ich bez ovplyvnenia významu výrazu. Teda po zbavení sa zátvoriek hodnotu výrazu 8+(−9+3) by sa mala stále rovnať dvom.

Prvé pravidlo otvárania zátvoriek je nasledovné:

Pri otváraní zátvoriek, ak je pred zátvorkami plus, potom sa toto plus vynecháva spolu so zátvorkami.

Takže to vidíme vo výraze 8+(−9+3) Pred zátvorkou je znamienko plus. Toto plus je potrebné vynechať spolu so zátvorkami. Inými slovami, zátvorky zmiznú spolu s plusom, ktoré stálo pred nimi. A to, čo bolo v zátvorkách, bude napísané bez zmien:

8−9+3 . Tento výraz sa rovná 2 , rovnako ako predchádzajúci výraz so zátvorkami, bol rovný 2 .

8+(−9+3) A 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Príklad 2 Rozbaliť zátvorky vo výraze 3 + (−1 − 4)

Pred zátvorkami je plus, čo znamená, že toto plus je vynechané spolu so zátvorkami. Čo bolo v zátvorkách, zostane nezmenené:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Príklad 3 Rozbaliť zátvorky vo výraze 2 + (−1)

V tomto príklade sa otvorenie zátvoriek stalo druhom opačnej operácie nahradenia odčítania sčítaním. Čo to znamená?

Vo výraze 2−1 dochádza k odčítaniu, ale možno ho nahradiť sčítaním. Potom dostaneme výraz 2+(−1) . Ale ak vo výraze 2+(−1) otvorte zátvorky, dostanete originál 2−1 .

Preto prvé pravidlo pre otváranie zátvoriek možno použiť na zjednodušenie výrazov po niektorých transformáciách. To znamená, že ho zbavte zátvoriek a zjednodušte ho.

Zjednodušme si napríklad výraz 2a+a-5b+b .

Na zjednodušenie tohto výrazu možno uviesť podobné výrazy. Pripomeňme, že na zníženie podobných výrazov je potrebné pridať koeficienty podobných výrazov a výsledok vynásobiť spoločnou časťou písmena:

Mám výraz 3a+(-4b). Odstránime zátvorky v tomto výraze. Pred zátvorkami je plus, takže používame prvé pravidlo na otváranie zátvoriek, to znamená, že vynechávame zátvorky spolu so plusom, ktoré je pred týmito zátvorkami:

Takže výraz 2a+a-5b+b zjednodušuje 3a-4b .

Po otvorení niektorých zátvoriek môžete po ceste stretnúť ďalšie. Aplikujeme na ne rovnaké pravidlá ako na tie prvé. Rozšírme napríklad zátvorky v nasledujúcom výraze:

Existujú dve miesta, kde musíte otvoriť zátvorky. V tomto prípade platí prvé pravidlo otvárania zátvoriek, a to vynechanie zátvoriek spolu so znamienkom plus, ktorý je pred týmito zátvorkami:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Príklad 3 Rozbaliť zátvorky vo výraze 6+(−3)+(−2)

Na oboch miestach, kde sú zátvorky, im predchádza znamienko plus. Aj tu platí prvé pravidlo otvárania zátvoriek:

Niekedy sa prvý výraz v zátvorke píše bez znamienka. Napríklad vo výraze 1+(2+3−4) prvý termín v zátvorkách 2 napísané bez znamienka. Vynára sa otázka, aké znamienko sa objaví pred dvojkou po vynechaní zátvoriek a plus pred zátvorkami? Odpoveď sa navrhuje sama – pred dvojkou bude plus.

V skutočnosti, dokonca aj v zátvorkách je pred nimi plus, ale nevidíme to, pretože to nie je napísané. Už sme povedali, že úplný zápis kladných čísel vyzerá +1, +2, +3. No podľa tradície sa plusy nezapisujú, preto vidíme tie kladné čísla, ktoré sú nám známe 1, 2, 3 .

Preto na rozšírenie zátvoriek vo výraze 1+(2+3−4) , ako obvykle, musíte vynechať zátvorky spolu so znamienkom plus pred týmito zátvorkami, ale napíšte prvý výraz, ktorý bol v zátvorkách, so znamienkom plus:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Príklad 4. Rozbaliť zátvorky vo výraze −5 + (2 − 3)

Pred zátvorkami je plus, takže použijeme prvé pravidlo pre otváranie zátvoriek, a to vynecháme zátvorky spolu s plusom, ktoré je pred týmito zátvorkami. Ale prvý výraz, ktorý píšeme v zátvorkách so znamienkom plus:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Príklad 5. Rozbaliť zátvorky vo výraze (−5)

Pred zátvorkou je plus, ale nie je zapísané, pretože pred ním neboli žiadne iné čísla alebo výrazy. Našou úlohou je odstrániť zátvorky použitím prvého pravidla otvárania zátvoriek, a to vynechať zátvorky spolu s týmto plusom (aj keď je neviditeľný)

Príklad 6. Rozbaliť zátvorky vo výraze 2a + (-6a + b)

Pred zátvorkami je plus, čo znamená, že toto plus je vynechané spolu so zátvorkami. To, čo bolo v zátvorkách, sa zapíše nezmenené:

2a + (-6a + b) = 2a -6a + b

Príklad 7. Rozbaliť zátvorky vo výraze 5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d)

V tomto výraze sú dve miesta, kde je potrebné rozšíriť zátvorky. V oboch sekciách je pred zátvorkami plus, čo znamená, že toto plus je vynechané spolu so zátvorkami. To, čo bolo v zátvorkách, sa zapíše nezmenené:

5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d) = 5a -7b + 6c + 3a - 2d

Druhé pravidlo otvárania zátvoriek

Teraz sa pozrime na druhé pravidlo otvárania zátvoriek. Používa sa, keď je pred zátvorkou mínus.

Ak je pred zátvorkami mínus, potom sa toto mínus vynechá spolu so zátvorkami, ale výrazy, ktoré boli v zátvorkách, zmenia svoje znamienko na opačné.

Rozšírme napríklad zátvorky v nasledujúcom výraze

Vidíme, že pred zátvorkami je mínus. To znamená, že musíte použiť druhé pravidlo rozšírenia, a to vynechať zátvorky spolu so znamienkom mínus pred týmito zátvorkami. V tomto prípade výrazy v zátvorkách zmenia svoje znamienko na opačné:

Dostali sme výraz bez zátvoriek 5+2+3 . Tento výraz sa rovná 10, rovnako ako predchádzajúci výraz so zátvorkami bol rovný 10.

Teda medzi výrazmi 5−(−2−3) A 5+2+3 môžete dať znamienko rovnosti, pretože sa rovnajú rovnakej hodnote:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Príklad 2 Rozbaliť zátvorky vo výraze 6 − (−2 − 5)

Pred zátvorkami je mínus, preto použijeme druhé pravidlo pre otváranie zátvoriek, a to vynecháme zátvorky spolu s mínusom, ktoré je pred týmito zátvorkami. V tomto prípade napíšeme pojmy, ktoré boli v zátvorkách, s opačnými znamienkami:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Príklad 3 Rozbaliť zátvorky vo výraze 2 − (7 + 3)

Pred zátvorkami je mínus, takže na otváranie zátvoriek použijeme druhé pravidlo:

Príklad 4. Rozbaliť zátvorky vo výraze −(−3 + 4)

Príklad 5. Rozbaliť zátvorky vo výraze −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Existujú dve miesta, kde musíte otvoriť zátvorky. V prvom prípade musíte použiť druhé pravidlo pre otváranie zátvoriek a pokiaľ ide o výraz +(−9−2) musíte použiť prvé pravidlo:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Príklad 6. Rozbaliť zátvorky vo výraze −(−a − 1)

Príklad 7. Rozbaliť zátvorky vo výraze −(4a + 3)

Príklad 8. Rozbaliť zátvorky vo výraze a − (4b + 3) + 15

Príklad 9. Rozbaliť zátvorky vo výraze 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Existujú dve miesta, kde musíte otvoriť zátvorky. V prvom prípade musíte použiť prvé pravidlo pre otváranie zátvoriek a pokiaľ ide o výraz −(3c+5) musíte použiť druhé pravidlo:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Príklad 10. Rozbaliť zátvorky vo výraze −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Existujú tri miesta, kde musíte otvoriť držiaky. Najprv musíte použiť druhé pravidlo na otváranie zátvoriek, potom prvé a potom znova druhé:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

Mechanizmus otvárania držiaka

Pravidlá otvárania zátvoriek, ktoré sme teraz preskúmali, sú založené na distributívnom zákone násobenia:

v skutočnosti otváracie zátvorky je postup, pri ktorom sa spoločný činiteľ násobí každým výrazom v zátvorkách. V dôsledku tohto násobenia zátvorky zmiznú. Rozšírme napríklad zátvorky vo výraze 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Preto, ak potrebujete vynásobiť číslo výrazom v zátvorkách (alebo vynásobiť výraz v zátvorkách číslom), musíte povedať otvoríme zátvorky.

Ako však súvisí distributívny zákon násobenia s pravidlami otvárania zátvoriek, ktoré sme skúmali skôr?

Faktom je, že pred zátvorkami je spoločný faktor. V príklade 3×(4+5) spoločným faktorom je 3 . A v príklade a(b+c) spoločným faktorom je premenná a.

Ak pred zátvorkami nie sú žiadne čísla alebo premenné, potom spoločný faktor je 1 alebo −1 , podľa toho, aký znak je pred zátvorkami. Ak je pred zátvorkou plus, potom spoločný faktor je 1 . Ak je pred zátvorkou mínus, potom je spoločný faktor −1 .

Rozšírme napríklad zátvorky vo výraze −(3b−1). Pred zátvorkami je znamienko mínus, takže na otváranie zátvoriek musíte použiť druhé pravidlo, to znamená vynechať zátvorky spolu so znamienkom mínus pred zátvorkami. A napíšte výraz, ktorý bol v zátvorkách, s opačnými znamienkami:

Zátvorky sme rozšírili pomocou pravidla pre rozširovanie zátvoriek. Ale tie isté zátvorky možno otvoriť pomocou distributívneho zákona násobenia. Ak to chcete urobiť, najprv napíšte pred zátvorky spoločný faktor 1, ktorý nebol zapísaný:

Znamienko mínus, ktoré predtým stálo pred zátvorkami, sa týkalo tejto jednotky. Teraz môžete otvoriť zátvorky pomocou distributívneho zákona násobenia. Na tento účel je spoločný faktor −1 musíte vynásobiť každým výrazom v zátvorkách a pridať výsledky.

Pre pohodlie nahrádzame rozdiel v zátvorkách sumou:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Ako minule sme dostali výraz −3b+1. Každý bude súhlasiť, že tentoraz sa viac času venovalo vyriešeniu takéhoto jednoduchého príkladu. Preto je rozumnejšie použiť hotové pravidlá na otváranie zátvoriek, o ktorých sme hovorili v tejto lekcii:

Nie je však na škodu vedieť, ako tieto pravidlá fungujú.

V tejto lekcii sme sa naučili ďalšiu identickú transformáciu. Spolu s otvorením zátvoriek, odstránením generála zo zátvoriek a uvedením podobných výrazov môžete mierne rozšíriť okruh problémov, ktoré je potrebné vyriešiť. Napríklad:

Tu musíte vykonať dve akcie - najprv otvorte zátvorky a potom uveďte podobné podmienky. Takže v poradí:

1) Otvorte zátvorky:

2) Uvádzame podobné výrazy:

Vo výslednom výraze −10b+(−1) môžete rozšíriť zátvorky:

Príklad 2 Otvorte zátvorky a pridajte podobné výrazy do nasledujúceho výrazu:

1) Otvorme zátvorky:

2) Uveďme podobné pojmy. Tentoraz z dôvodu úspory času a miesta nebudeme zapisovať, ako sa koeficienty násobia spoločnou písmenovou časťou

Príklad 3 Zjednodušte výraz 8m + 3m a nájdite jeho hodnotu m = -4

1) Najprv si zjednodušíme výraz. Pre zjednodušenie výrazu 8m + 3m, môžete v ňom vyňať spoločný faktor m mimo zátvoriek:

2) Nájdite hodnotu výrazu m(8+3) pri m = -4. K tomu vo výraze m(8+3) namiesto premennej m nahradiť číslo −4

m (8 + 3) = -4 (8 + 3) = -4 × 8 + (-4) × 3 = -32 + (-12) = -44

V tejto lekcii sa naučíte, ako transformovať výraz obsahujúci zátvorky na výraz bez zátvoriek. Naučíte sa otvárať zátvorky, pred ktorými je znamienko plus a znamienko mínus. Spomenieme si, ako otvárať zátvorky pomocou distributívneho zákona násobenia. Uvažované príklady vám umožnia spojiť nový a predtým študovaný materiál do jedného celku.

Téma: Riešenie rovníc

Lekcia: Rozšírenie zátvoriek

Ako rozbaliť zátvorky, pred ktorými je znak „+“. Použitie asociatívneho zákona sčítania.

Ak potrebujete k číslu pridať súčet dvoch čísel, môžete k tomuto číslu najskôr pridať prvý výraz a potom druhý.

Naľavo od znamienka rovnosti je výraz so zátvorkami a napravo je výraz bez zátvoriek. To znamená, že pri prechode z ľavej strany rovnosti na pravú došlo k otvoreniu zátvoriek.

Pozrime sa na príklady.

Príklad 1

Otvorením zátvoriek sme zmenili poradie akcií. Stalo sa pohodlnejšie počítať.

Príklad 2

Príklad 3

Všimnite si, že vo všetkých troch príkladoch sme jednoducho odstránili zátvorky. Sformulujme pravidlo:

Komentujte.

Ak je prvý výraz v zátvorkách bez znamienka, musí byť napísaný so znamienkom plus.

Môžete postupovať podľa príkladu krok za krokom. Najprv pridajte 445 k 889. Túto akciu je možné vykonať mentálne, ale nie je to veľmi jednoduché. Otvorme zátvorky a uvidíme, že zmenený postup výrazne zjednoduší výpočty.

Ak dodržíte naznačený postup, musíte od 512 najskôr odpočítať 345 a potom k výsledku pripočítať 1345. Otvorením zátvoriek zmeníme postup a výrazne zjednodušíme výpočty.

Ilustrujúci príklad a pravidlo.

Pozrime sa na príklad: . Hodnotu výrazu zistíte tak, že sčítate 2 a 5 a potom zoberiete výsledné číslo s opačným znamienkom. Dostávame -7.

Na druhej strane, rovnaký výsledok možno získať sčítaním opačných čísel pôvodných.

Sformulujme pravidlo:

Príklad 1

Príklad 2

Pravidlo sa nemení, ak v zátvorkách nie sú dva, ale tri alebo viac výrazov.

Príklad 3

Komentujte. Značky sú obrátené iba pred pojmami.

Aby sme otvorili zátvorky, v tomto prípade si musíme zapamätať distributívnu vlastnosť.

Najprv vynásobte prvú zátvorku 2 a druhú 3.

Pred prvou zátvorkou je znamienko „+“, čo znamená, že znamienka musia zostať nezmenené. Pred druhým znakom je znak „-“, preto je potrebné všetky znaky zmeniť na opačný

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. ročník. - Gymnázium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. - Osvietenstvo, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úlohy do 5.-6. ročníka kurzu matematiky - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Príručka pre žiakov 6. ročníka korešpondenčnej školy MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Učebnica-rozhovor pre ročníky 5-6 stredná škola. Knižnica učiteľa matematiky. - Osvietenstvo, 1989.

1. Online testy z matematiky ().
2. Môžete si stiahnuť tie, ktoré sú uvedené v článku 1.2. knihy ().

Domáca úloha

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (odkaz pozri 1.2)
2. Domáca úloha: č. 1254, č. 1255, č. 1256 (b, d)
3. Ďalšie úlohy: č.1258(c), č.1248

Zátvorky sa používajú na označenie poradia, v ktorom sa akcie vykonávajú v číselných a doslovné výrazy, ako aj vo výrazoch s premennými. Je vhodné prejsť z výrazu so zátvorkami na identicky rovnaký výraz bez zátvoriek. Táto technika sa nazýva otváranie zátvoriek.

Rozšírenie zátvoriek znamená odstránenie zátvoriek z výrazu.

Osobitnú pozornosť si zaslúži ešte jeden bod, ktorý sa týka zvláštností zaznamenávania rozhodnutí pri otváraní zátvoriek. Počiatočný výraz so zátvorkami a výsledok získaný po otvorení zátvoriek môžeme zapísať ako rovnosť. Napríklad po rozšírení zátvoriek namiesto výrazu
3−(5−7) dostaneme výraz 3−5+7. Oba tieto výrazy môžeme zapísať ako rovnosť 3−(5−7)=3−5+7.

A ešte jeden dôležitý bod. V matematike je na skrátenie zápisov zvykom nepísať znamienko plus, ak je vo výraze alebo v zátvorke uvedené ako prvé. Ak napríklad sčítame dve kladné čísla, napríklad sedem a tri, napíšeme nie +7+3, ale jednoducho 7+3, napriek tomu, že aj sedem je kladné číslo. Podobne, ak vidíte napríklad výraz (5+x) - vedzte, že pred zátvorkou je plus, ktoré sa nepíše a pred päťkou je plus +(+5+x).

Pravidlo otvárania zátvoriek počas pridávania

Pri otváraní zátvoriek, ak je pred zátvorkami plus, potom sa toto plus vynecháva spolu so zátvorkami.

Príklad. Otvorte zátvorky vo výraze 2 + (7 + 3) Pred zátvorkami je plus, čo znamená, že znamienka pred číslami v zátvorkách nemeníme.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Pravidlo otvárania zátvoriek pri odčítaní

Ak je pred zátvorkami mínus, potom sa toto mínus vynechá spolu so zátvorkami, ale výrazy, ktoré boli v zátvorkách, zmenia svoje znamienko na opačné. Neprítomnosť znamienka pred prvým výrazom v zátvorke znamená znamienko +.

Príklad. Rozbaľte zátvorky vo výraze 2 − (7 + 3)

Pred zátvorkami je mínus, čo znamená, že musíte zmeniť znamienka pred číslami v zátvorkách. V zátvorke nie je pred číslom 7 žiadne znamienko, to znamená, že sedmička je kladná, má sa za to, že je pred ňou znamienko +.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Pri otváraní zátvoriek odstránime z príkladu mínus, ktoré bolo pred zátvorkami, a samotné zátvorky 2 − (+ 7 + 3) a zmeníme znamienka, ktoré boli v zátvorkách, na opačné.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Rozširujúce zátvorky pri násobení

Ak je pred zátvorkami znak násobenia, potom sa každé číslo v zátvorkách vynásobí koeficientom pred zátvorkami. V tomto prípade vynásobenie mínus mínusom dáva plus a vynásobenie mínus plusom, ako keď vynásobíte plus mínusom, mínus.

Zátvorky v produktoch sa teda rozširujú v súlade s distribučnou vlastnosťou násobenia.

Príklad. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Keď zátvorku vynásobíte zátvorkou, každý výraz v prvej zátvorke sa vynásobí každým výrazom v druhej zátvorke.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

V skutočnosti si netreba pamätať všetky pravidlá, stačí si zapamätať len jedno, toto: c(a−b)=ca−cb. prečo? Pretože ak namiesto c dosadíte jedno, dostanete pravidlo (a−b)=a−b. A ak dosadíme mínus jedna, dostaneme pravidlo −(a−b)=−a+b. No, ak nahradíte inú zátvorku namiesto c, môžete získať posledné pravidlo.

Otváranie zátvoriek pri delení

Ak je za zátvorkou deliace znamienko, potom každé číslo v zátvorke sa delí deliteľom za zátvorkou a naopak.

Príklad. (9 + 6) : 3 = 9 : 3 + 6 : 3

Ako rozšíriť vnorené zátvorky

Ak výraz obsahuje vnorené zátvorky, rozšíria sa v poradí, počnúc vonkajšími alebo vnútornými.

V tomto prípade je dôležité, aby ste sa pri otváraní jednej zo zátvoriek nedotýkali zostávajúcich zátvoriek, jednoducho ich prepíšte tak, ako sú.

Príklad. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

V tejto lekcii sa naučíte, ako transformovať výraz obsahujúci zátvorky na výraz bez zátvoriek. Naučíte sa otvárať zátvorky, pred ktorými je znamienko plus a znamienko mínus. Spomenieme si, ako otvárať zátvorky pomocou distributívneho zákona násobenia. Uvažované príklady vám umožnia spojiť nový a predtým študovaný materiál do jedného celku.

Téma: Riešenie rovníc

Lekcia: Rozšírenie zátvoriek

Ako rozbaliť zátvorky, pred ktorými je znak „+“. Použitie asociatívneho zákona sčítania.

Ak potrebujete k číslu pridať súčet dvoch čísel, môžete k tomuto číslu najskôr pridať prvý výraz a potom druhý.

Naľavo od znamienka rovnosti je výraz so zátvorkami a napravo je výraz bez zátvoriek. To znamená, že pri prechode z ľavej strany rovnosti na pravú došlo k otvoreniu zátvoriek.

Pozrime sa na príklady.

Príklad 1

Otvorením zátvoriek sme zmenili poradie akcií. Stalo sa pohodlnejšie počítať.

Príklad 2

Príklad 3

Všimnite si, že vo všetkých troch príkladoch sme jednoducho odstránili zátvorky. Sformulujme pravidlo:

Komentujte.

Ak je prvý výraz v zátvorkách bez znamienka, musí byť napísaný so znamienkom plus.

Môžete postupovať podľa príkladu krok za krokom. Najprv pridajte 445 k 889. Túto akciu je možné vykonať mentálne, ale nie je to veľmi jednoduché. Otvorme zátvorky a uvidíme, že zmenený postup výrazne zjednoduší výpočty.

Ak dodržíte naznačený postup, musíte od 512 najskôr odpočítať 345 a potom k výsledku pripočítať 1345. Otvorením zátvoriek zmeníme postup a výrazne zjednodušíme výpočty.

Ilustrujúci príklad a pravidlo.

Pozrime sa na príklad: . Hodnotu výrazu zistíte tak, že sčítate 2 a 5 a potom zoberiete výsledné číslo s opačným znamienkom. Dostávame -7.

Na druhej strane, rovnaký výsledok možno získať sčítaním opačných čísel pôvodných.

Sformulujme pravidlo:

Príklad 1

Príklad 2

Pravidlo sa nemení, ak v zátvorkách nie sú dva, ale tri alebo viac výrazov.

Príklad 3

Komentujte. Značky sú obrátené iba pred pojmami.

Aby sme otvorili zátvorky, v tomto prípade si musíme zapamätať distributívnu vlastnosť.

Najprv vynásobte prvú zátvorku 2 a druhú 3.

Pred prvou zátvorkou je znamienko „+“, čo znamená, že znamienka musia zostať nezmenené. Pred druhým znakom je znak „-“, preto je potrebné všetky znaky zmeniť na opačný

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. ročník. - Gymnázium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. - Osvietenstvo, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úlohy do 5.-6. ročníka kurzu matematiky - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Príručka pre žiakov 6. ročníka korešpondenčnej školy MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Učebnica-príhovor pre 5-6 ročníkov strednej školy. Knižnica učiteľa matematiky. - Osvietenstvo, 1989.

1. Online testy z matematiky ().
2. Môžete si stiahnuť tie, ktoré sú uvedené v článku 1.2. knihy ().

Domáca úloha

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (odkaz pozri 1.2)
2. Domáca úloha: č. 1254, č. 1255, č. 1256 (b, d)
3. Ďalšie úlohy: č.1258(c), č.1248

Medzi rôznymi výrazmi, ktoré sa berú do úvahy v algebre, zaujímajú dôležité miesto súčty monomilov. Tu sú príklady takýchto výrazov:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5r - 2\)

Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Termíny v polynóme sa nazývajú členy polynómu. Monómy sú tiež klasifikované ako polynómy, pričom monomály považujú za polynóm pozostávajúci z jedného člena.

Napríklad polynóm
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
možno zjednodušiť.

Predstavme si všetky termíny vo forme monomílov štandardného tvaru:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Uveďme podobné výrazy vo výslednom polynóme:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Výsledkom je polynóm, ktorého všetky členy sú monomály štandardného tvaru a medzi nimi neexistujú žiadne podobné. Takéto polynómy sa nazývajú polynómy štandardného tvaru.

vzadu stupeň polynómuštandardnej formy preberajú najvyššie právomoci svojich členov. Dvojčlenka \(12a^2b - 7b\) má teda tretí stupeň a trojčlenka \(2b^2 -7b + 6\) druhý stupeň.

Termíny polynómov štandardnej formy obsahujúce jednu premennú sú zvyčajne usporiadané v zostupnom poradí podľa exponentov. Napríklad:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Súčet viacerých polynómov možno transformovať (zjednodušiť) na polynóm štandardného tvaru.

Niekedy je potrebné členy polynómu rozdeliť do skupín, pričom každú skupinu uzatvoríme do zátvoriek. Keďže uzatváranie zátvoriek je inverznou transformáciou otváracích zátvoriek, je ľahké ho formulovať pravidlá otvárania zátvoriek:

Ak je znamienko „+“ umiestnené pred zátvorkami, výrazy v zátvorkách sú napísané rovnakými znamienkami.

Ak je pred zátvorkami umiestnený znak „-“, potom sú výrazy v zátvorkách napísané opačnými znakmi.

Transformácia (zjednodušenie) súčinu jednočlenu a mnohočlenu

Pomocou distributívnej vlastnosti násobenia môžete transformovať (zjednodušiť) súčin jednočlenu a mnohočlenu na mnohočlen. Napríklad:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Súčin monočlenu a mnohočlenu sa zhodne rovná súčtu súčinov tohto monočlenu a každého z členov mnohočlenu.

Tento výsledok je zvyčajne formulovaný ako pravidlo.

Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte tento monočlen vynásobiť každým z členov polynómu.

Toto pravidlo sme už niekoľkokrát použili na násobenie súčtom.

Súčin polynómov. Transformácia (zjednodušenie) súčinu dvoch polynómov

Vo všeobecnosti sa súčin dvoch polynómov rovná súčtu súčinu každého člena jedného polynómu a každého člena druhého.

Zvyčajne sa používa nasledujúce pravidlo.

Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty.

Skrátené vzorce násobenia. Súčet druhých mocnín, rozdiely a rozdiel druhých mocnín

S niektorými výrazmi v algebraických transformáciách sa musíte zaoberať častejšie ako s inými. Snáď najbežnejšie výrazy sú \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) a \(a^2 - b^2 \), t.j. druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdiel a rozdiel štvorcov. Všimli ste si, že názvy týchto výrazov sa zdajú byť neúplné, napríklad \((a + b)^2 \) samozrejme nie je len druhá mocnina súčtu, ale druhá mocnina súčtu a a b . Druhá mocnina súčtu a a b sa však nevyskytuje príliš často, spravidla namiesto písmen a a b obsahuje rôzne, niekedy dosť zložité výrazy.

Výrazy \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sa dajú jednoducho previesť (zjednodušiť) na polynómy štandardného tvaru, v skutočnosti ste sa s touto úlohou už stretli pri násobení polynómov:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Je užitočné zapamätať si výsledné identity a použiť ich bez medzivýpočtov. Pomáhajú tomu stručné slovné formulácie.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - druhá mocnina súčtu sa rovná súčtu druhých mocnín a dvojitého súčinu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - druhá mocnina rozdielu sa rovná súčtu druhých mocnín bez zdvojeného súčinu.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - rozdiel štvorcov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu.

Tieto tri identity umožňujú nahradiť jeho ľavostranné časti pravostrannými pri transformáciách a naopak - pravé časti ľavostrannými. Najťažšie je vidieť zodpovedajúce výrazy a pochopiť, ako sa v nich nahrádzajú premenné a a b. Pozrime sa na niekoľko príkladov použitia skrátených vzorcov na násobenie.