Už sme sa naučili riešiť kvadratické rovnice. Rozšírme teraz študované metódy na racionálne rovnice.

Čo je to racionálne vyjadrenie? S týmto konceptom sme sa už stretli. Racionálne výrazy nazývané výrazy zložené z čísel, premenných, ich stupňov a znakov matematických operácií.

Podľa toho sú racionálne rovnice rovnicami tvaru: , kde - racionálne prejavy.

Predtým sme zvažovali iba tie racionálne rovnice, ktoré sa redukujú na lineárne. Teraz sa pozrime na tie racionálne rovnice, ktoré možno zredukovať na kvadratické.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

Zlomok je 0 práve vtedy, ak jeho čitateľ je 0 a jeho menovateľ nie je 0.

Získame nasledujúci systém:

Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica. Pred riešením vydelíme všetky jeho koeficienty 3. Dostaneme:

Získame dva korene: ; .

Keďže 2 sa nikdy nerovná 0, musia byť splnené dve podmienky: . Pretože žiadny z koreňov rovnice získanej vyššie nezodpovedá neplatným hodnotám premennej, ktoré boli získané pri riešení druhej nerovnosti, sú obe riešeniami tejto rovnice.

odpoveď:.

Poďme teda sformulovať algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetky výrazy na ľavú stranu tak, aby na pravej strane bola 0.

2. Transformujte a zjednodušte ľavú stranu, priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi.

3. Výsledný zlomok prirovnajte k 0 podľa nasledujúceho algoritmu: .

4. Napíšte tie korene, ktoré sú získané v prvej rovnici a ako odpoveď spĺňajú druhú nerovnosť.

Pozrime sa na ďalší príklad.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie

Na úplnom začiatku prenesieme všetky členy na ľavú stranu tak, aby na pravej strane zostala 0. Dostaneme:

Teraz privedieme ľavú stranu rovnice k spoločnému menovateľovi:

Táto rovnica je ekvivalentná systému:

Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica.

Koeficienty tejto rovnice: . Vypočítame diskriminant:

Získame dva korene: ; .

Teraz riešime druhú nerovnosť: súčin faktorov sa nerovná 0 práve vtedy, ak žiadny z faktorov nie je rovný 0.

Musia byť splnené dve podmienky: . Dostaneme, že z dvoch koreňov prvej rovnice je vhodný iba jeden - 3.

odpoveď:.

V tejto lekcii sme si pripomenuli, čo je racionálne vyjadrenie, a tiež sme sa naučili riešiť racionálne rovnice, ktoré sú redukované na kvadratické rovnice.

V ďalšej lekcii budeme uvažovať o racionálnych rovniciach ako o modeloch reálnych situácií a tiež o pohybových problémoch.

Bibliografia

1. Bašmakov M.I. Algebra, 8. ročník. - M.: Osveta, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a kol., Algebra, 8. 5. vydanie. - M.: Vzdelávanie, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. ročník. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie. - M.: Vzdelávanie, 2006.

1. Festival pedagogické myšlienky "Verejná lekcia" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Domáca úloha

Poďme sa zoznámiť s racionálnymi a zlomkovými racionálnymi rovnicami, uviesť ich definíciu, uviesť príklady a tiež analyzovať najbežnejšie typy problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionálna rovnica: definícia a príklady

Oboznamovanie sa s racionálnymi výrazmi začína v 8. ročníku školy. V tejto dobe sa žiaci na hodinách algebry čoraz častejšie začínajú stretávať s úlohami s rovnicami, ktoré v poznámkach obsahujú racionálne vyjadrenia. Osviežme si pamäť, čo to je.

Definícia 1

racionálna rovnica je rovnica, v ktorej obe strany obsahujú racionálne výrazy.

V rôznych príručkách môžete nájsť iné znenie.

Definícia 2

racionálna rovnica- toto je rovnica, ktorej záznam na ľavej strane obsahuje racionálny výraz a na pravej strane je nula.

Definície, ktoré sme uviedli pre racionálne rovnice, sú ekvivalentné, pretože znamenajú to isté. Správnosť našich slov potvrdzuje fakt, že za akékoľvek racionálne vyjadrenia P A Q rovnice P=Q A P − Q = 0 budú ekvivalentné výrazy.

Teraz poďme na príklady.

Príklad 1

Racionálne rovnice:

x = 1, 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

Racionálne rovnice, rovnako ako rovnice iných typov, môžu obsahovať ľubovoľný počet premenných od 1 do niekoľkých. Na začiatok zvážime jednoduché príklady, v ktorom budú rovnice obsahovať len jednu premennú. A potom začneme úlohu postupne komplikovať.

Racionálne rovnice sa delia na dve veľké skupiny: celé a zlomkové. Pozrime sa, ktoré rovnice budú platiť pre každú zo skupín.

Definícia 3

Racionálna rovnica bude celé číslo, ak záznam jej ľavej a pravej časti obsahuje celé racionálne výrazy.

Definícia 4

Racionálna rovnica bude zlomková, ak jedna alebo obe jej časti obsahujú zlomok.

Zlomkovo racionálne rovnice v celkom určite obsahuje delenie premennou, alebo je premenná prítomná v menovateli. Pri písaní celočíselných rovníc takéto delenie neexistuje.

Príklad 2

3 x + 2 = 0 A (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0, 5 sú celé racionálne rovnice. Tu sú obe časti rovnice reprezentované celočíselnými výrazmi.

1 x - 1 = x 3 a x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 sú zlomkové racionálne rovnice.

Celé racionálne rovnice zahŕňajú lineárne a kvadratické rovnice.

Riešenie celočíselných rovníc

Riešenie takýchto rovníc sa zvyčajne redukuje na ich transformáciu na ekvivalentné algebraické rovnice. To sa dá dosiahnuť vykonaním ekvivalentných transformácií rovníc v súlade s nasledujúcim algoritmom:

• najprv dostaneme nulu na pravej strane rovnice, preto je potrebné preniesť výraz, ktorý je na pravej strane rovnice, na jej ľavú stranu a zmeniť znamienko;
• potom transformujeme výraz na ľavej strane rovnice do štandardného polynómu.

Musíme dostať algebraická rovnica. Táto rovnica bude ekvivalentná vzhľadom na pôvodnú rovnicu. Jednoduché prípady nám umožňujú vyriešiť problém redukciou celej rovnice na lineárnu alebo kvadratickú. Vo všeobecnom prípade riešime algebraickú rovnicu stupňa n.

Príklad 3

Je potrebné nájsť korene celej rovnice 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Riešenie

Transformujme pôvodný výraz, aby sme získali ekvivalentnú algebraickú rovnicu. Za týmto účelom prenesieme výraz obsiahnutý v pravej strane rovnice na ľavú stranu a zmeníme znamienko na opačné. V dôsledku toho dostaneme: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Teraz transformujeme výraz, ktorý je na ľavej strane, na polynóm štandardného tvaru a vykonáme potrebné opatrenia s týmto polynómom:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Riešenie pôvodnej rovnice sa nám podarilo zredukovať na riešenie kvadratická rovnica milý x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminant tejto rovnice je kladný: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . To znamená, že budú existovať dva skutočné korene. Nájdite ich pomocou vzorca koreňov kvadratickej rovnice:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 alebo x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 alebo x 2 = - 1

Skontrolujme si správnosť koreňov rovnice, ktoré sme našli v priebehu riešenia. Za toto číslo, ktoré sme dostali, dosadíme do pôvodnej rovnice: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 A 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. V prvom prípade 63 = 63 , v druhom 0 = 0 . Korene x=6 A x = - 1 sú skutočne koreňmi rovnice uvedenej v príklade podmienky.

odpoveď: 6 , − 1 .

Pozrime sa, čo znamená „mocnosť celej rovnice“. S týmto pojmom sa často stretneme v prípadoch, keď potrebujeme reprezentovať celú rovnicu vo forme algebraickej. Definujme pojem.

Definícia 5

Stupeň celočíselnej rovnice je stupeň algebraickej rovnice ekvivalentný pôvodnej celej rovnici.

Ak sa pozriete na rovnice z vyššie uvedeného príkladu, môžete zistiť: stupeň celej tejto rovnice je druhý.

Ak by sa náš kurz obmedzil na riešenie rovníc druhého stupňa, tu by sa úvaha o téme mohla dokončiť. Ale všetko nie je také jednoduché. Riešenie rovníc tretieho stupňa je plné ťažkostí. A pre rovnice nad štvrtým stupňom neexistujú vôbec žiadne všeobecné vzorce pre korene. V tomto smere si riešenie celých rovníc tretieho, štvrtého a ďalších stupňov vyžaduje použitie množstva ďalších techník a metód.

Najčastejšie používaný prístup k riešeniu celých racionálnych rovníc je založený na metóde faktorizácie. Algoritmus akcií v tomto prípade je nasledujúci:

• výraz prenesieme z pravej strany na ľavú tak, aby na pravej strane záznamu zostala nula;
• reprezentujeme výraz na ľavej strane ako súčin faktorov a potom prejdeme k množine niekoľkých jednoduchších rovníc.

Príklad 4

Nájdite riešenie rovnice (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Riešenie

Výraz prenesieme z pravej strany záznamu na ľavú stranu s opačným znamienkom: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Prevod ľavej strany na polynóm štandardného tvaru je nepraktický, pretože dostaneme algebraickú rovnicu štvrtého stupňa: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Jednoduchosť transformácie neospravedlňuje všetky ťažkosti pri riešení takejto rovnice.

Je oveľa jednoduchšie ísť opačným smerom: odstránime spoločný faktor x 2 - 10 x + 13 . Tak sa dostávame k rovnici tvaru (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Teraz nahradíme výslednú rovnicu sadou dvoch kvadratických rovníc x 2 − 10 x + 13 = 0 A x 2 − 2 x − 1 = 0 a nájsť ich korene cez diskriminant: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

odpoveď: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Podobne môžeme použiť metódu zavedenia novej premennej. Táto metóda nám umožňuje prejsť na ekvivalentné rovnice s mocninami nižšími, ako sú v pôvodnej celej rovnici.

Príklad 5

Má rovnica korene? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Riešenie

Ak sa teraz pokúsime zredukovať celú racionálnu rovnicu na algebraickú, dostaneme rovnicu 4. stupňa, ktorá nemá racionálne korene. Preto bude pre nás jednoduchšie ísť inou cestou: zaviesť novú premennú y, ktorá nahradí výraz v rovnici x 2 + 3 x.

Teraz budeme pracovať s celou rovnicou (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). preplánovať pravá strana rovnicu doľava s opačným znamienkom a vykonajte potrebné transformácie. Dostaneme: y2 + 4 y + 3 = 0. Poďme nájsť korene kvadratickej rovnice: y = - 1 A y = - 3.

Teraz urobme opačnú substitúciu. Dostaneme dve rovnice x 2 + 3 x = − 1 A x 2 + 3 x = -3. Prepíšme ich ako x 2 + 3 x + 1 = 0 a x 2 + 3 x + 3 = 0. Na nájdenie koreňov prvej získanej rovnice použijeme vzorec koreňov kvadratickej rovnice: - 3 ± 5 2 . Diskriminant druhej rovnice je záporný. To znamená, že druhá rovnica nemá žiadne skutočné korene.

odpoveď:- 3 ± 5 2

Celé rovnice vysokých stupňov naraziť v úlohách pomerne často. Netreba sa ich báť. Musíte byť pripravení aplikovať neštandardnú metódu ich riešenia, vrátane množstva umelých transformácií.

Riešenie zlomkovo racionálnych rovníc

Našu úvahu o tejto podtéme začneme algoritmom na riešenie zlomkovo racionálnych rovníc v tvare p (x) q (x) = 0 , kde p(x) A q(x) sú celočíselné racionálne výrazy. Riešenie iných zlomkovo racionálnych rovníc možno vždy zredukovať na riešenie rovníc uvedeného tvaru.

Najčastejšie používaná metóda na riešenie rovníc p (x) q (x) = 0 je založená na nasledujúcom tvrdení: zlomok u v, Kde v je číslo, ktoré sa líši od nuly, rovná sa nule iba v prípadoch, keď sa čitateľ zlomku rovná nule. Podľa logiky vyššie uvedeného tvrdenia môžeme tvrdiť, že riešenie rovnice p (x) q (x) = 0 možno redukovať na splnenie dvoch podmienok: p(x)=0 A q(x) ≠ 0. Na tomto je postavený algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc v tvare p (x) q (x) = 0:

• nájdeme riešenie celej racionálnej rovnice p(x)=0;
• skontrolujeme, či je podmienka splnená pre korene nájdené pri riešení q(x) ≠ 0.

Ak je táto podmienka splnená, potom nájdený koreň. Ak nie, potom koreň nie je riešením problému.

Príklad 6

Nájdite korene rovnice 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Riešenie

Ide o zlomkovú racionálnu rovnicu tvaru p (x) q (x) = 0 , v ktorej p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Začnime riešiť lineárnu rovnicu 3 x - 2 = 0. Koreň tejto rovnice bude x = 2 3.

Skontrolujme nájdený koreň, či spĺňa podmienku 5 x 2 - 2 ≠ 0. Ak to chcete urobiť, nahraďte do výrazu číselnú hodnotu. Získame: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Podmienka je splnená. Znamená to, že x = 2 3 je koreň pôvodnej rovnice.

odpoveď: 2 3 .

Existuje ešte jedna možnosť riešenia zlomkových racionálnych rovníc p (x) q (x) = 0 . Pripomeňme, že táto rovnica je ekvivalentná celej rovnici p(x)=0 v regióne povolené hodnoty premenná x pôvodnej rovnice. To nám umožňuje použiť nasledujúci algoritmus pri riešení rovníc p(x) q(x) = 0:

• vyriešiť rovnicu p(x)=0;
• nájdite rozsah prijateľných hodnôt pre premennú x;
• berieme korene, ktoré ležia v oblasti prípustných hodnôt premennej x, ako požadované korene pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice.

Príklad 7

Vyriešte rovnicu x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Riešenie

Najprv vyriešme kvadratickú rovnicu x 2 − 2 x − 11 = 0. Na výpočet jeho koreňov používame koreňový vzorec pre párny druhý koeficient. Dostaneme D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 a x = 1 ± 23.

Teraz môžeme nájsť ODV x pre pôvodnú rovnicu. To všetko sú čísla, pre ktoré x 2 + 3 x ≠ 0. Je to rovnaké ako x (x + 3) ≠ 0, odkiaľ x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Teraz skontrolujeme, či korene x = 1 ± 2 3 získané v prvej fáze riešenia sú v rozsahu prijateľných hodnôt premennej x . Vidíme, čo prichádza. To znamená, že pôvodná zlomková racionálna rovnica má dva korene x = 1 ± 2 3 .

odpoveď: x = 1 ± 2 3

Druhá opísaná metóda riešenia je jednoduchšia ako prvá v prípadoch, keď sa dá ľahko nájsť oblasť prípustných hodnôt premennej x a korene rovnice p(x)=0 iracionálny. Napríklad 7 ± 4 26 9 . Korene môžu byť racionálne, ale s veľkým čitateľom alebo menovateľom. Napríklad, 127 1101 A − 31 59 . To šetrí čas na kontrolu stavu. q(x) ≠ 0: oveľa jednoduchšie je podľa ODZ vylúčiť korene, ktoré nesedia.

Keď korene rovnice p(x)=0 sú celé čísla, na riešenie rovníc v tvare p (x) q (x) = 0 je účelnejšie použiť prvý z opísaných algoritmov. Rýchlejšie nájdenie koreňov celej rovnice p(x)=0 a potom skontrolujte, či je pre ne splnená podmienka q(x) ≠ 0, a nie nájsť ODZ, a potom vyriešiť rovnicu p(x)=0 na tejto ODZ. Je to spôsobené tým, že v takýchto prípadoch je väčšinou jednoduchšie vykonať kontrolu ako nájsť ODZ.

Príklad 8

Nájdite korene rovnice (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Riešenie

Začneme tým, že zvážime celú rovnicu (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 a hľadanie jeho koreňov. Na tento účel aplikujeme metódu riešenia rovníc pomocou faktorizácie. Ukazuje sa, že pôvodná rovnica je ekvivalentná množine štyroch rovníc 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, z ktorých tri sú lineárne a jeden je štvorcový. Nájdeme korene: z prvej rovnice x = 12, z druhej x=6, od tretieho - x \u003d 7, x \u003d - 2, od štvrtého - x = - 1.

Skontrolujeme získané korene. V tomto prípade je pre nás ťažké určiť ODZ, pretože na to budeme musieť vyriešiť algebraickú rovnicu piateho stupňa. Jednoduchšie bude kontrolovať podmienku, podľa ktorej by nemal zaniknúť menovateľ zlomku, ktorý je na ľavej strane rovnice.

Na druhej strane nahraďte korene namiesto premennej x vo výraze x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 a vypočítajte jeho hodnotu:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Vykonané overenie nám umožňuje stanoviť, že korene pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice sú 1 2, 6 a − 2 .

odpoveď: 1 2 , 6 , - 2

Príklad 9

Nájdite korene zlomkovej racionálnej rovnice 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Riešenie

Začnime rovnicou (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Poďme nájsť jeho korene. Je pre nás jednoduchšie reprezentovať túto rovnicu ako kombináciu kvadratických a lineárnych rovníc 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 A x - 2 = 0.

Na nájdenie koreňov používame vzorec koreňov kvadratickej rovnice. Z prvej rovnice dostaneme dva korene x = 7 ± 69 10 az druhej x=2.

Dosadenie hodnoty koreňov do pôvodnej rovnice na kontrolu podmienok bude pre nás dosť náročné. Jednoduchšie bude určiť LPV premennej x . V tomto prípade sú DPV premennej x všetky čísla okrem tých, pre ktoré je podmienka splnená x 2 + 5 x − 14 = 0. Dostaneme: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Teraz skontrolujme, či korene, ktoré sme našli, patria do rozsahu prijateľných hodnôt pre premennú x.

Korene x = 7 ± 69 10 - patria, teda sú koreňmi pôvodnej rovnice a x=2- nepatrí, teda je to cudzí koreň.

odpoveď: x = 7 ± 6910.

Preskúmajme oddelene prípady, keď čitateľ zlomkovej racionálnej rovnice v tvare p (x) q (x) = 0 obsahuje číslo. V takýchto prípadoch, ak čitateľ obsahuje číslo iné ako nula, potom rovnica nebude mať korene. Ak sa toto číslo rovná nule, potom koreňom rovnice bude ľubovoľné číslo z ODZ.

Príklad 10

Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Riešenie

Táto rovnica nebude mať korene, pretože čitateľ zlomku z ľavej strany rovnice obsahuje nenulové číslo. To znamená, že pre žiadne hodnoty x sa hodnota zlomku uvedená v podmienke problému nebude rovnať nule.

odpoveď:žiadne korene.

Príklad 11

Vyriešte rovnicu 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Riešenie

Keďže čitateľ zlomku je nula, riešením rovnice bude ľubovoľná hodnota x z premennej ODZ x.

Teraz definujme ODZ. Bude obsahovať všetkých x hodnôt, pre ktoré x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Riešenia rovníc x 4 + 5 x 3 = 0 sú 0 A − 5 , pretože táto rovnica je ekvivalentná rovnici x 3 (x + 5) = 0, a to je zase ekvivalentné množine dvoch rovníc x 3 = 0 a x + 5 = 0 kde sú tieto korene viditeľné. Dospeli sme k záveru, že požadovaný rozsah prijateľných hodnôt je ľubovoľný x, okrem x=0 A x = -5.

Ukazuje sa, že zlomková racionálna rovnica 0 x 4 + 5 x 3 = 0 má nekonečný počet riešení, ktoré sú ľubovoľné čísla okrem nuly a - 5.

odpoveď: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Teraz hovorme o zlomkových racionálnych rovniciach ľubovoľného tvaru a metódach ich riešenia. Môžu byť napísané ako r(x) = s(x), Kde r(x) A s(x) sú racionálne výrazy a aspoň jeden z nich je zlomkový. Riešenie takýchto rovníc sa redukuje na riešenie rovníc v tvare p (x) q (x) = 0 .

Už vieme, že ekvivalentnú rovnicu získame prenesením výrazu z pravej strany rovnice na ľavú stranu s opačným znamienkom. To znamená, že rovnica r(x) = s(x) je ekvivalentná rovnici r (x) − s (x) = 0. Už sme tiež diskutovali o tom, ako previesť racionálny výraz na racionálny zlomok. Vďaka tomu môžeme rovnicu jednoducho transformovať r (x) − s (x) = 0 na jeho identický racionálny zlomok tvaru p (x) q (x) .

Prejdeme teda od pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice r(x) = s(x) na rovnicu v tvare p (x) q (x) = 0 , ktorú sme sa už naučili riešiť.

Treba poznamenať, že pri vykonávaní prechodov z r (x) − s (x) = 0 do p (x) q (x) = 0 a potom do p(x)=0 nesmieme brať do úvahy rozšírenie rozsahu platných hodnôt premennej x .

Je celkom reálne, že pôvodná rovnica r(x) = s(x) a rovnica p(x)=0 v dôsledku premien prestanú byť rovnocenné. Potom riešenie rovnice p(x)=0 nám môže dať korene, ktoré budú cudzie r(x) = s(x). V tomto ohľade je v každom prípade potrebné vykonať kontrolu ktoroukoľvek z vyššie opísaných metód.

Aby sme vám uľahčili štúdium témy, zovšeobecnili sme všetky informácie do algoritmu na riešenie zlomkovej racionálnej rovnice tvaru r(x) = s(x):

• prenesieme výraz z pravej strany s opačným znamienkom a napravo dostaneme nulu;
• pôvodný výraz transformujeme na racionálny zlomok p (x) q (x) postupným vykonávaním akcií so zlomkami a polynómami;
• vyriešiť rovnicu p(x)=0;
• cudzie korene odhalíme kontrolou ich príslušnosti k ODZ alebo dosadením do pôvodnej rovnice.

Vizuálne bude reťazec akcií vyzerať takto:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → vypadnutie r o n d e r o o n s

Príklad 12

Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu x x + 1 = 1 x + 1 .

Riešenie

Prejdime k rovnici x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Transformujme zlomkový racionálny výraz na ľavej strane rovnice na tvar p (x) q (x) .

Aby sme to dosiahli, musíme zredukovať racionálne zlomky na spoločného menovateľa a zjednodušiť výraz:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Aby sme našli korene rovnice - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, musíme vyriešiť rovnicu − 2 x − 1 = 0. Získame jeden koreň x = -12.

Zostáva nám vykonať kontrolu ktoroukoľvek z metód. Zoberme si ich oboch.

Výslednú hodnotu dosaďte do pôvodnej rovnice. Dostaneme - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Dospeli sme k správnej číselnej rovnosti − 1 = − 1 . Znamená to, že x = − 1 2 je koreň pôvodnej rovnice.

Teraz skontrolujeme cez ODZ. Definujme rozsah prijateľných hodnôt pre premennú x. Toto bude celá množina čísel okrem - 1 a 0 (pre x = - 1 a x = 0 menovatele zlomkov zmiznú). Koreň, ktorý sme dostali x = − 1 2 patrí do ODZ. To znamená, že je to koreň pôvodnej rovnice.

odpoveď: − 1 2 .

Príklad 13

Nájdite korene rovnice x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Riešenie

Máme čo do činenia s zlomkovou racionálnou rovnicou. Preto budeme konať podľa algoritmu.

Presuňme výraz z pravej strany na ľavú s opačným znamienkom: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Vykonajte potrebné transformácie: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Dostávame sa k rovnici x=0. Koreň tejto rovnice je nula.

Skontrolujeme, či je tento koreň cudzí pre pôvodnú rovnicu. Do pôvodnej rovnice dosaďte hodnotu: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Ako vidíte, výsledná rovnica nedáva zmysel. To znamená, že 0 je cudzí koreň a pôvodná zlomková racionálna rovnica nemá žiadne korene.

odpoveď:žiadne korene.

Ak sme do algoritmu nezahrnuli iné ekvivalentné transformácie, vôbec to neznamená, že ich nemožno použiť. Algoritmus je univerzálny, ale je navrhnutý tak, aby pomáhal, nie obmedzoval.

Príklad 14

Vyriešte rovnicu 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Riešenie

Najjednoduchšie je vyriešiť danú zlomkovú racionálnu rovnicu podľa algoritmu. Existuje však aj iný spôsob. Zvážme to.

Odčítaním od pravej a ľavej časti 7 dostaneme: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Z toho môžeme usúdiť, že výraz v menovateli ľavej strany by sa mal rovnať číslu prevrátenému k číslu z pravej strany, teda 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Odčítajte od oboch častí 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Analogicky 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, odkiaľ 1 5 - x 2 \u003d 1 3 a ďalej 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Skontrolujme, či nájdené korene sú koreňmi pôvodnej rovnice.

odpoveď: x = ± 2

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Prezentácia a lekcia na tému: "Racionálne rovnice. Algoritmus a príklady riešenia racionálnych rovníc"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 8
Manuál k učebnici Makarychev Yu.N. Manuál k učebnici Mordkovich A.G.

Úvod do iracionálnych rovníc

Chlapci, naučili sme sa riešiť kvadratické rovnice. Ale matematika sa neobmedzuje len na nich. Dnes sa naučíme riešiť racionálne rovnice. Pojem racionálnych rovníc je v mnohom podobný pojmu racionálnych čísel. Len okrem čísel sme teraz zaviedli aj nejakú premennú $x$. A tak dostaneme výraz, v ktorom sú operácie sčítania, odčítania, násobenia, delenia a umocňovania na celé číslo.

Nech je $r(x)$ racionálne vyjadrenie. Takýmto výrazom môže byť jednoduchý polynóm v premennej $x$ alebo pomer polynómov (zavádza sa operácia delenia, ako pri racionálnych číslach).
Zavolá sa rovnica $r(x)=0$ racionálna rovnica.
Akákoľvek rovnica v tvare $p(x)=q(x)$, kde $p(x)$ a $q(x)$ sú racionálne výrazy, bude tiež racionálna rovnica.

Zvážte príklady riešenia racionálnych rovníc.

Príklad 1
Vyriešte rovnicu: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Riešenie.
Presuňme všetky výrazy na ľavú stranu: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ak by na ľavej strane rovnice boli zastúpené obyčajné čísla, potom by sme priviedli dva zlomky k spoločnému menovateľovi.
Urobme toto: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dostali sme rovnicu: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Zlomok je nula práve vtedy, ak je čitateľ zlomku nulový a menovateľ nenulový. Potom samostatne prirovnajte čitateľa k nule a nájdite korene čitateľa.
$3(x^2+2x-3)=0$ alebo $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Teraz skontrolujme menovateľ zlomku: $(x-3)*x≠0$.
Súčin dvoch čísel sa rovná nule, keď sa aspoň jedno z týchto čísel rovná nule. Potom: $x≠0$ alebo $x-3≠0$.
$x≠0$ alebo $x≠3$.
Korene získané v čitateli a menovateli sa nezhodujú. Takže ako odpoveď zapíšeme oba korene čitateľa.
Odpoveď: $x=1$ alebo $x=-3$.

Ak sa náhle jeden z koreňov čitateľa zhoduje s koreňom menovateľa, mal by sa vylúčiť. Takéto korene sa nazývajú cudzie!

Algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetky výrazy obsiahnuté v rovnici naľavo od znamienka rovnosti.
2. Preveďte túto časť rovnice na algebraický zlomok: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Výsledný čitateľ prirovnajte k nule, čiže vyriešte rovnicu $p(x)=0$.
4. Priraďte menovateľa k nule a vyriešte výslednú rovnicu. Ak sa korene menovateľa zhodujú s koreňmi čitateľa, mali by byť z odpovede vylúčené.

Príklad 2
Vyriešte rovnicu: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Riešenie.
Budeme riešiť podľa bodov algoritmu.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Prirovnajte čitateľa k nule: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Prirovnajte menovateľa k nule:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ a $x=-1$.
Jeden z koreňov $x=1$ sa zhodoval s koreňom čitateľa, potom ho v odpovedi nezapisujeme.
Odpoveď: $x=-1$.

Racionálne rovnice je vhodné riešiť metódou zmeny premenných. Poďme si to ukázať.

Príklad 3
Vyriešte rovnicu: $x^4+12x^2-64=0$.

Riešenie.
Zavádzame náhradu: $t=x^2$.
Potom bude mať naša rovnica tvar:
$t^2+12t-64=0$ je obyčajná kvadratická rovnica.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 doláre.
Zavedme inverznú náhradu: $x^2=4$ alebo $x^2=-16$.
Korene prvej rovnice sú dvojice čísel $x=±2$. Druhý nemá korene.
Odpoveď: $x=±2$.

Príklad 4
Vyriešte rovnicu: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Riešenie.
Predstavme si novú premennú: $t=x^2+x+1$.
Potom bude mať rovnica tvar: $t=\frac(15)(t+2)$.
Ďalej budeme konať podľa algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 doláre.
4. $t≠-2$ - korene sa nezhodujú.
Zavádzame spätnú substitúciu.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Poďme riešiť každú rovnicu samostatne:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nie korene.
A druhá rovnica: $x^2+x-2=0$.
Korene tejto rovnice budú čísla $x=-2$ a $x=1$.
Odpoveď: $x=-2$ a $x=1$.

Príklad 5
Vyriešte rovnicu: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Riešenie.
Zavádzame náhradu: $t=x+\frac(1)(x)$.
potom:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ alebo $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dostali sme rovnicu: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Korene tejto rovnice sú dvojice:
$t=-3$ a $t=2$.
Predstavme si spätnú substitúciu:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Rozhodneme sa samostatne.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Poďme vyriešiť druhú rovnicu:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Koreňom tejto rovnice je číslo $x=1$.
Odpoveď: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Úlohy na samostatné riešenie

Riešiť rovnice:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Pokračujeme v rozprávaní o riešenie rovníc. V tomto článku sa zameriame na racionálne rovnice a princípy riešenia racionálnych rovníc s jednou premennou. Po prvé, poďme zistiť, aké druhy rovníc sa nazývajú racionálne, uveďte definíciu celočíselných racionálnych a zlomkových racionálnych rovníc a uveďte príklady. Ďalej získame algoritmy na riešenie racionálnych rovníc a samozrejme zvážime riešenia typických príkladov so všetkými potrebnými vysvetleniami.

Navigácia na stránke.

Na základe odznených definícií uvádzame niekoľko príkladov racionálnych rovníc. Napríklad x=1, 2 x−12 x 2 y z 3 =0, , sú všetky racionálne rovnice.

Z uvedených príkladov je vidieť, že racionálne rovnice, ako aj rovnice iných typov, môžu byť buď s jednou premennou, alebo s dvoma, tromi atď. premenných. V nasledujúcich odsekoch si povieme niečo o riešení racionálnych rovníc v jednej premennej. Riešenie rovníc s dvoma premennými a oni Vysoké číslo si zaslúžia osobitnú pozornosť.

Okrem delenia racionálnych rovníc počtom neznámych premenných sa delia aj na celočíselné a zlomkové. Uveďme zodpovedajúce definície.

Definícia.

Racionálna rovnica sa nazýva celý, ak jeho ľavá aj pravá časť sú celočíselnými racionálnymi výrazmi.

Definícia.

Ak je aspoň jedna z častí racionálnej rovnice zlomkovým výrazom, potom sa takáto rovnica nazýva čiastočne racionálne(alebo zlomkové racionálne).

Je jasné, že celočíselné rovnice neobsahujú delenie premennou, naopak zlomkové racionálne rovnice nevyhnutne obsahujú delenie premennou (alebo premennou v menovateli). Takže 3 x + 2 = 0 a (x+y) (3x2-1)+x=-y+0,5 sú celé racionálne rovnice, obe ich časti sú celočíselné výrazy. A a x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sú príklady zlomkových racionálnych rovníc.

Na záver tohto odseku venujme pozornosť skutočnosti, že lineárne rovnice a kvadratické rovnice známe v tomto okamihu sú celé racionálne rovnice.

Riešenie celočíselných rovníc

Jedným z hlavných prístupov k riešeniu celých rovníc je ich redukcia na ekvivalent algebraické rovnice. To sa dá vždy urobiť vykonaním nasledujúcich ekvivalentných transformácií rovnice:

• najprv sa výraz z pravej strany pôvodnej celočíselnej rovnice prenesie na ľavú stranu s opačným znamienkom, aby sa na pravej strane dostala nula;
• potom na ľavej strane rovnice výsledný štandardný tvar.

Výsledkom je algebraická rovnica, ktorá je ekvivalentná pôvodnej celej rovnici. Takže v najjednoduchších prípadoch sa riešenie celých rovníc redukuje na riešenie lineárnych alebo kvadratických rovníc a vo všeobecnom prípade - na riešenie algebraickej rovnice stupňa n. Pre názornosť rozoberme riešenie príkladu.

Príklad.

Nájdite korene celej rovnice 3 (x+1) (x-3)=x (2 x-1)-3.

Riešenie.

Zredukujme riešenie celej tejto rovnice na riešenie ekvivalentnej algebraickej rovnice. Aby sme to dosiahli, najprv prenesieme výraz z pravej strany na ľavú, čím sa dostaneme k rovnici 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. A po druhé, transformujeme výraz vytvorený na ľavej strane na polynóm štandardného tvaru vykonaním potrebných krokov: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Riešenie pôvodnej celočíselnej rovnice sa teda redukuje na riešenie kvadratickej rovnice x 2 −5·x−6=0 .

Vypočítajte jeho diskriminant D = (-5)2-41 (-6) = 25 + 24 = 49, je kladná, čo znamená, že rovnica má dva reálne korene, ktoré zistíme podľa vzorca koreňov kvadratickej rovnice:

Aby sme si boli úplne istí, poďme na to kontrola nájdených koreňov rovnice. Najprv skontrolujeme koreň 6, dosadíme ho namiesto premennej x v pôvodnej celočíselnej rovnici: 3 (6+1) (6-3)=6 (26-1)-3, čo je rovnaké, 63=63 . Toto je platná numerická rovnica, takže x=6 je skutočne koreňom rovnice. Teraz skontrolujeme koreň −1 , máme 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, odkiaľ, 0=0 . Pre x=−1 sa pôvodná rovnica tiež zmenila na skutočnú číselnú rovnosť, preto je x=−1 tiež koreňom rovnice.

odpoveď:

6 , −1 .

Tu je tiež potrebné poznamenať, že pojem „mocnosť celej rovnice“ je spojený so zobrazením celej rovnice vo forme algebraickej rovnice. Uvádzame zodpovedajúcu definíciu:

Definícia.

Stupeň celej rovnice nazývame stupeň algebraickej rovnice jej ekvivalentný.

Podľa tejto definície má celá rovnica z predchádzajúceho príkladu druhý stupeň.

Na tomto by sa dalo skončiť riešením celých racionálnych rovníc, ak nie jednej, ale .... Ako je známe, riešenie algebraických rovníc stupňa vyššieho ako druhého je spojené so značnými ťažkosťami a pre rovnice vyššieho stupňa ako štvrtý neexistujú vôbec žiadne všeobecné vzorce pre korene. Preto sa na riešenie celých rovníc tretieho, štvrtého a vyššieho stupňa často musí uchýliť k iným metódam riešenia.

V takýchto prípadoch je niekedy prístup k riešeniu celých racionálnych rovníc založený na faktorizačná metóda. Súčasne sa postupuje podľa nasledujúceho algoritmu:

• najprv sa snažia mať nulu na pravej strane rovnice, preto prenesú výraz z pravej strany celej rovnice na ľavú;
• potom je výsledný výraz na ľavej strane prezentovaný ako súčin niekoľkých faktorov, čo umožňuje prejsť na množinu niekoľkých jednoduchších rovníc.

Vyššie uvedený algoritmus na riešenie celej rovnice pomocou faktorizácie vyžaduje podrobné vysvetlenie na príklade.

Príklad.

Vyriešte celú rovnicu (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13)= 2 x (x 2 -10 x + 13) .

Riešenie.

Najprv, ako obvykle, prenesieme výraz z pravej strany na ľavú stranu rovnice, pričom nezabudneme zmeniť znamienko, dostaneme (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) − 2 x (x 2 -10 x + 13) = 0 . Tu je celkom zrejmé, že nie je vhodné transformovať ľavú stranu výslednej rovnice na polynóm štandardného tvaru, pretože tak vznikne algebraická rovnica štvrtého stupňa tvaru. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, ktorého riešenie je náročné.

Na druhej strane je zrejmé, že x 2 −10·x+13 možno nájsť na ľavej strane výslednej rovnice, čím ju predstavujeme ako súčin. Máme (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1) = 0. Výsledná rovnica je ekvivalentná pôvodnej celej rovnici a môže byť nahradená sústavou dvoch kvadratických rovníc x 2 −10·x+13=0 a x 2 −2·x−1=0 . Nájsť ich korene pomocou známych koreňových vzorcov cez diskriminant nie je ťažké, korene sú rovnaké. Sú to požadované korene pôvodnej rovnice.

odpoveď:

Je tiež užitočný pri riešení celých racionálnych rovníc. metóda na zavedenie novej premennej. V niektorých prípadoch umožňuje prejsť na rovnice, ktorých stupeň je nižší ako stupeň pôvodnej celočíselnej rovnice.

Príklad.

Nájdite skutočné korene racionálnej rovnice (x 2 +3 x+1) 2 +10=-2 (x 2 +3 x-4).

Riešenie.

Redukovať celú túto racionálnu rovnicu na algebraickú rovnicu nie je, mierne povedané, veľmi dobrý nápad, keďže v tomto prípade prídeme k potrebe vyriešiť rovnicu štvrtého stupňa, ktorá nemá racionálne korene. Preto budete musieť hľadať iné riešenie.

Tu je ľahké vidieť, že môžete zaviesť novú premennú y a nahradiť ňou výraz x 2 +3 x. Takéto nahradenie nás vedie k celej rovnici (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , ktorá po prenesení výrazu −2 (y−4) na ľavú stranu a následnej transformácii tam vytvoreného výrazu , redukuje na rovnicu y 2 +4 y+3=0 . Korene tejto rovnice y=−1 a y=−3 sa dajú ľahko nájsť, možno ich napríklad nájsť na základe inverznej vety Vietovej vety.

Teraz prejdime k druhej časti metódy zavedenia novej premennej, teda k vykonaniu spätnej substitúcie. Po vykonaní obrátenej substitúcie dostaneme dve rovnice x 2 +3 x=−1 a x 2 +3 x=−3 , ktoré možno prepísať ako x 2 +3 x+1=0 a x 2 +3 x+3 =0. Podľa vzorca koreňov kvadratickej rovnice nájdeme korene prvej rovnice. A druhá kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene, pretože jej diskriminant je záporný (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

odpoveď:

Vo všeobecnosti, keď sa zaoberáme celými rovnicami vysokých stupňov, musíme byť vždy pripravení hľadať neštandardnú metódu alebo umelú techniku ​​na ich riešenie.

Riešenie zlomkovo racionálnych rovníc

Po prvé, bude užitočné pochopiť, ako riešiť zlomkovo racionálne rovnice tvaru , kde p(x) a q(x) sú racionálne celočíselné výrazy. A potom si ukážeme, ako zredukovať riešenie zvyšných zlomkovo racionálnych rovníc na riešenie rovníc uvedeného tvaru.

Jeden z prístupov k riešeniu rovnice je založený na nasledovnom tvrdení: číselný zlomok u/v, kde v je nenulové číslo (inak sa stretneme s , ktoré nie je definované), sa rovná nule práve vtedy, ak jeho čitateľ sa rovná nule, potom je vtedy a len vtedy, ak u=0 . Na základe tohto tvrdenia sa riešenie rovnice redukuje na splnenie dvoch podmienok p(x)=0 a q(x)≠0 .

Tento záver je v súlade s nasledujúcim algoritmus na riešenie zlomkovo racionálnej rovnice. Vyriešiť zlomkovú racionálnu rovnicu tvaru

• vyriešiť celú racionálnu rovnicu p(x)=0 ;
• a skontrolujte, či je splnená podmienka q(x)≠0 pre každý nájdený koreň, zatiaľ čo
• ak je pravda, potom tento koreň je koreňom pôvodnej rovnice;
• ak nie, potom je tento koreň cudzí, to znamená, že nie je koreňom pôvodnej rovnice.

Poďme analyzovať príklad použitia hlasového algoritmu pri riešení zlomkovej racionálnej rovnice.

Príklad.

Nájdite korene rovnice.

Riešenie.

Toto je zlomkovo racionálna rovnica tvaru , kde p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Podľa algoritmu na riešenie zlomkovo racionálnych rovníc tohto druhu musíme najskôr vyriešiť rovnicu 3·x−2=0 . Toto lineárna rovnica, ktorého koreň je x=2/3 .

Zostáva skontrolovať tento koreň, teda skontrolovať, či spĺňa podmienku 5·x 2 −2≠0 . Do výrazu 5 x 2 −2 dosadíme namiesto x číslo 2/3, dostaneme . Podmienka je splnená, takže x=2/3 je koreň pôvodnej rovnice.

odpoveď:

2/3 .

K riešeniu zlomkovej racionálnej rovnice možno pristupovať z trochu inej pozície. Táto rovnica je ekvivalentná celej rovnici p(x)=0 na premennej x pôvodnej rovnice. To znamená, že toto môžete sledovať algoritmus na riešenie zlomkovo racionálnej rovnice :

• vyriešiť rovnicu p(x)=0 ;
• nájsť premennú ODZ x ;
• vziať korene patriace do oblasti prípustných hodnôt - sú to požadované korene pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice.

Napríklad pomocou tohto algoritmu vyriešme zlomkovú racionálnu rovnicu.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

Riešenie.

Najprv vyriešime kvadratickú rovnicu x 2 −2·x−11=0 . Jeho korene sa dajú vypočítať pomocou koreňového vzorca pre párny druhý koeficient, máme D1 = (-1)2-1 (-11)=12, A .

Po druhé, nájdeme ODZ premennej x pre pôvodnú rovnicu. Pozostáva zo všetkých čísel, pre ktoré x 2 +3 x≠0 , čo je rovnaké x (x+3)≠0 , odkiaľ x≠0 , x≠−3 .

Zostáva skontrolovať, či korene nájdené v prvom kroku sú zahrnuté v ODZ. Očividne áno. Preto má pôvodná zlomkovo racionálna rovnica dva korene.

odpoveď:

Všimnite si, že tento prístup je ziskovejší ako prvý, ak sa ODZ dá ľahko nájsť, a je obzvlášť výhodné, ak sú korene rovnice p(x)=0 iracionálne, napríklad , alebo racionálne, ale s pomerne veľkým čitateľ a/alebo menovateľ, napríklad 127/1101 a -31/59. Je to spôsobené tým, že v takýchto prípadoch bude kontrola podmienky q(x)≠0 vyžadovať značné výpočtové úsilie a je jednoduchšie vylúčiť cudzie korene z ODZ.

V iných prípadoch pri riešení rovnice, najmä keď korene rovnice p(x)=0 sú celé čísla, je výhodnejšie použiť prvý z vyššie uvedených algoritmov. To znamená, že je vhodné okamžite nájsť korene celej rovnice p(x)=0 a potom skontrolovať, či je pre nich splnená podmienka q(x)≠0, a nie nájsť ODZ a potom rovnicu vyriešiť p(x)=0 na tomto ODZ . Je to spôsobené tým, že v takýchto prípadoch je väčšinou jednoduchšie vykonať kontrolu ako nájsť ODZ.

Zvážte riešenie dvoch príkladov na ilustráciu stanovených nuancií.

Príklad.

Nájdite korene rovnice.

Riešenie.

Najprv nájdeme korene celej rovnice (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, zostavený pomocou čitateľa zlomku. Ľavá strana tejto rovnice je súčin a pravá je nula, preto podľa spôsobu riešenia rovníc rozkladom na rozklad je táto rovnica ekvivalentná množine štyroch rovníc 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 -5 x+14= 0, x+1=0. Tri z týchto rovníc sú lineárne a jedna kvadratická, môžeme ich vyriešiť. Z prvej rovnice nájdeme x=1/2, z druhej - x=6, z tretej - x=7, x=−2, zo štvrtej - x=−1.

S nájdenými koreňmi je celkom jednoduché ich skontrolovať, či s nimi nezaniká aj menovateľ zlomku nachádzajúceho sa na ľavej strane pôvodnej rovnice a naopak určenie ODZ nie je také jednoduché, keďže to bude musieť vyriešiť algebraickú rovnicu piateho stupňa. Preto odmietneme nájsť ODZ v prospech kontroly koreňov. Aby sme to dosiahli, dosadíme ich postupne namiesto premennej x vo výraze x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x + 112, získané po substitúcii a porovnajte ich s nulou: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2) + 112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (-2)+112=-720≠0;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(-1)+112=0.

Teda 1/2, 6 a -2 sú požadované korene pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice a 7 a -1 sú cudzie korene.

odpoveď:

1/2 , 6 , −2 .

Príklad.

Nájdite korene zlomkovej racionálnej rovnice.

Riešenie.

Najprv nájdeme korene rovnice (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Táto rovnica je ekvivalentná množine dvoch rovníc: štvorcová 5·x 2 −7·x−1=0 a lineárna x−2=0 . Podľa vzorca koreňov kvadratickej rovnice nájdeme dva korene a z druhej rovnice máme x=2.

Kontrola, či menovateľ nezmizne pri zistených hodnotách x, je dosť nepríjemná. A určiť rozsah prijateľných hodnôt premennej x v pôvodnej rovnici je pomerne jednoduché. Preto budeme konať cez ODZ.

V našom prípade ODZ premennej x pôvodnej zlomkovo racionálnej rovnice pozostáva zo všetkých čísel, okrem tých, pre ktoré je splnená podmienka x 2 +5·x−14=0. Korene tejto kvadratickej rovnice sú x=−7 a x=2, z čoho vyvodíme záver o ODZ: skladá sa zo všetkých x takých, že .

Zostáva skontrolovať, či nájdené korene a x=2 patria do oblasti prípustných hodnôt. Korene - patria, teda sú koreňmi pôvodnej rovnice, a x=2 nepatrí, teda je to cudzí koreň.

odpoveď:

Bude tiež užitočné venovať sa osobitne prípadom, keď zlomková racionálna rovnica tvaru obsahuje číslo v čitateli, to znamená, keď p (x) je reprezentované nejakým číslom. V čom

• ak je toto číslo iné ako nula, potom rovnica nemá korene, pretože zlomok je nula práve vtedy, ak je jej čitateľ nula;
• ak je toto číslo nula, potom koreňom rovnice je ľubovoľné číslo z ODZ.

Príklad.

Riešenie.

Keďže v čitateli zlomku na ľavej strane rovnice je nenulové číslo, pre žiadne x sa hodnota tohto zlomku nemôže rovnať nule. Preto táto rovnica nemá korene.

odpoveď:

žiadne korene.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

Riešenie.

Čitateľ zlomku na ľavej strane tejto zlomkovej racionálnej rovnice je nula, takže hodnota tohto zlomku je nula pre ľubovoľné x, pre ktoré to dáva zmysel. Inými slovami, riešením tejto rovnice je ľubovoľná hodnota x z DPV tejto premennej.

Zostáva určiť tento rozsah prijateľných hodnôt. Zahŕňa všetky hodnoty x, pre ktoré x 4 +5 x 3 ≠0. Riešenia rovnice x 4 + 5 x 3 \u003d 0 sú 0 a -5, pretože táto rovnica je ekvivalentná rovnici x 3 (x + 5) \u003d 0 a je zase ekvivalentná kombinácii dvoch rovníc x 3 \u003d 0 a x +5=0, odkiaľ sú tieto korene viditeľné. Preto je požadovaný rozsah prijateľných hodnôt ľubovoľné x okrem x=0 a x=−5.

Zlomkovo racionálna rovnica má teda nekonečne veľa riešení, ktorými sú ľubovoľné čísla okrem nuly a mínus päť.

odpoveď:

Nakoniec je čas hovoriť o riešení ľubovoľných zlomkových racionálnych rovníc. Možno ich zapísať ako r(x)=s(x) , kde r(x) a s(x) sú racionálne výrazy a aspoň jeden z nich je zlomkový. Pri pohľade do budúcnosti hovoríme, že ich riešenie je redukované na riešenie rovníc v nám už známej forme.

Je známe, že prenos člena z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom vedie k ekvivalentnej rovnici, takže rovnica r(x)=s(x) je ekvivalentná rovnici r(x)−s (x) = 0 .

Vieme tiež, že ktorýkoľvek sa môže identicky rovnať tomuto výrazu. Racionálny výraz na ľavej strane rovnice r(x)−s(x)=0 teda môžeme vždy transformovať na identicky rovnaký racionálny zlomok tvaru .

Prejdeme teda od pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice r(x)=s(x) k rovnici a jej riešenie, ako sme zistili vyššie, sa zredukuje na vyriešenie rovnice p(x)=0 .

Tu je však potrebné vziať do úvahy skutočnosť, že pri nahradení r(x)−s(x)=0 za a potom za p(x)=0 sa rozsah prípustných hodnôt premennej x môže rozšíriť. .

Preto pôvodná rovnica r(x)=s(x) a rovnica p(x)=0 , ku ktorej sme dospeli, nemusia byť ekvivalentné a riešením rovnice p(x)=0 môžeme získať korene to budú cudzie korene pôvodnej rovnice r(x)=s(x) . Je možné identifikovať a nezahrnúť cudzie korene do odpovede buď kontrolou, alebo kontrolou ich príslušnosti k ODZ pôvodnej rovnice.

Tieto informácie zhrnieme v algoritmus na riešenie zlomkovej racionálnej rovnice r(x)=s(x). Na vyriešenie zlomkovej racionálnej rovnice r(x)=s(x) je potrebné

• Získajte nulu vpravo posunutím výrazu z pravej strany s opačným znamienkom.
• Vykonajte akcie so zlomkami a polynómami na ľavej strane rovnice, čím ju prevediete na racionálny zlomok tvaru.
• Riešte rovnicu p(x)=0 .
• Identifikujte a vylúčte cudzie korene, čo sa robí ich dosadením do pôvodnej rovnice alebo kontrolou ich príslušnosti k ODZ pôvodnej rovnice.

Pre väčšiu prehľadnosť ukážeme celý reťazec riešenia zlomkových racionálnych rovníc:
.

Poďme si prejsť riešenia niekoľkých príkladov s podrobným vysvetlením riešenia, aby sme daný blok informácií objasnili.

Príklad.

Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu.

Riešenie.

Budeme konať v súlade s práve získaným algoritmom riešenia. A najprv prenesieme pojmy z pravej strany rovnice na ľavú stranu, čím prejdeme na rovnicu .

V druhom kroku musíme zlomkový racionálny výraz na ľavej strane výslednej rovnice previesť do tvaru zlomku. Za týmto účelom vykonávame obsadenie racionálne zlomky na spoločného menovateľa a výsledný výraz zjednodušiť: . Takže sa dostávame k rovnici.

V ďalšom kroku musíme vyriešiť rovnicu −2·x−1=0 . Nájdite x=−1/2 .

Zostáva skontrolovať, či nájdené číslo −1/2 je cudzí koreň pôvodnej rovnice. Ak to chcete urobiť, môžete skontrolovať alebo nájsť premennú ODZ x pôvodnej rovnice. Ukážme si oba prístupy.

Začnime šekom. Do pôvodnej rovnice dosadíme namiesto premennej x číslo −1/2, dostaneme , ktoré je rovnaké, −1=−1. Substitúcia dáva správnu číselnú rovnosť, preto x=−1/2 je koreň pôvodnej rovnice.

Teraz si ukážeme, ako sa cez ODZ vykonáva posledný krok algoritmu. Rozsah prípustných hodnôt pôvodnej rovnice je množina všetkých čísel okrem −1 a 0 (keď x=−1 a x=0, menovatele zlomkov zmiznú). Koreň x=−1/2 nájdený v predchádzajúcom kroku patrí do ODZ, preto x=−1/2 je koreň pôvodnej rovnice.

odpoveď:

−1/2 .

Uvažujme o ďalšom príklade.

Príklad.

Nájdite korene rovnice.

Riešenie.

Potrebujeme vyriešiť zlomkovo racionálnu rovnicu, prejdeme si všetky kroky algoritmu.

Najprv prenesieme výraz z pravej strany na ľavú, dostaneme .

Po druhé, transformujeme výraz vytvorený na ľavej strane: . Výsledkom je, že sa dostaneme k rovnici x=0.

Jeho koreň je zrejmý - je nulový.

V štvrtom kroku zostáva zistiť, či nájdený koreň nie je vonkajším koreňom pre pôvodnú zlomkovo racionálnu rovnicu. Keď sa dosadí do pôvodnej rovnice, získa sa výraz. Očividne to nedáva zmysel, keďže obsahuje delenie nulou. Z toho sme dospeli k záveru, že 0 je cudzí koreň. Preto pôvodná rovnica nemá korene.

7, čo vedie k rovnici. Z toho môžeme usúdiť, že výraz v menovateli ľavej strany sa musí rovnať z pravej strany, teda . Teraz z oboch častí trojky odčítame: . Analogicky, odkiaľ a ďalej.

Kontrola ukazuje, že oba nájdené korene sú koreňmi pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice.

odpoveď:

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.

„Racionálne rovnice s polynómami“ sú jednou z najčastejšie sa vyskytujúcich tém v testovacie úlohy POUŽITIE v matematike. Z tohto dôvodu by malo byť uvedené ich opakovanie Osobitná pozornosť. Mnohí študenti sa stretávajú s problémom nájsť diskriminant, preniesť ukazovatele z pravej strany na ľavú a priviesť rovnicu k spoločnému menovateľovi, čo sťažuje splnenie takýchto úloh. Riešenie racionálnych rovníc pri príprave na skúšku na našej webovej stránke vám pomôže rýchlo zvládnuť úlohy akejkoľvek zložitosti a dokonale prejsť testom.

Vyberte si vzdelávací portál "Shkolkovo" pre úspešnú prípravu na jednotnú skúšku z matematiky!

Ak chcete poznať pravidlá výpočtu neznámych a ľahko získať správne výsledky, použite našu online službu. Portál "Shkolkovo" je jedinečná platforma tam, kde je to potrebné POUŽÍVAJTE materiály. Naši učitelia systematizovali a zrozumiteľnou formou prezentovali všetky matematické pravidlá. Okrem toho pozývame školákov, aby si vyskúšali riešenie typických racionálnych rovníc, ktorých základ je neustále aktualizovaný a dopĺňaný.

Pre efektívnejšiu prípravu na testovanie odporúčame postupovať podľa našej špeciálnej metódy a začať zopakovaním pravidiel a riešením jednoduché úlohy, postupne prechádza na zložitejšie. Absolvent tak bude môcť vyzdvihnúť pre seba najťažšie témy a sústrediť sa na ich štúdium.

Začnite sa pripravovať na záverečné testovanie so Shkolkovo už dnes a výsledok vás nenechá čakať! Vyberte najjednoduchší príklad z uvedených. Ak ste si rýchlo osvojili výraz, prejdite na ťažšiu úlohu. Môžete si tak zlepšiť svoje znalosti až po riešenie USE úloh v matematike na úrovni profilu.

Vzdelávanie je dostupné nielen absolventom z Moskvy, ale aj školákom z iných miest. Strávte pár hodín denne napríklad štúdiom na našom portáli a už čoskoro si budete vedieť poradiť s rovnicami akejkoľvek zložitosti!