Prva stopnja

Stopnja in njene lastnosti. Obsežen vodnik (2019)

Zakaj so potrebne diplome? Kje jih potrebujete? Zakaj morate porabiti čas za njihovo preučevanje?

Če želite izvedeti vse o diplomah, čemu so namenjene, kako uporabiti svoje znanje v Vsakdanje življenje preberi ta članek.

In, seveda, poznavanje diplom vas bo približalo uspešna dostava OGE ali USE in za vpis na univerzo svojih sanj.

Gremo ... (Gremo!)

Pomembna opomba! Če namesto formul vidite blebetanje, počistite predpomnilnik. Če želite to narediti, pritisnite CTRL+F5 (v sistemu Windows) ali Cmd+R (v sistemu Mac).

PRVA STOPNJA

Potenciranje je enaka matematična operacija kot seštevanje, odštevanje, množenje ali deljenje.

Zdaj bom vse razložil v človeškem jeziku na zelo preprost način preprosti primeri. Bodi previden. Primeri so osnovni, vendar pojasnjujejo pomembne stvari.

Začnimo z dodajanjem.

Tukaj ni kaj razlagati. Saj že vse veš: osem nas je. Vsak ima dve steklenici kole. Koliko kole? Tako je - 16 steklenic.

Zdaj pa množenje.

Isti primer s colo lahko zapišemo na drugačen način: . Matematiki so zviti in leni ljudje. Najprej opazijo neke vzorce, nato pa se domislijo načina, kako jih hitreje »prešteti«. V našem primeru so opazili, da ima vsak od osmih ljudi enako število steklenic kole, in prišli do tehnike, imenovane množenje. Strinjam se, da je lažje in hitreje kot.

Če želite šteti hitreje, lažje in brez napak, si morate le zapomniti tabela množenja. Seveda lahko vse naredite počasneje, težje in z napakami! ampak...

Tukaj je tabela množenja. ponovi

In še ena, lepša:

In katere druge zapletene trike s štetjem so si izmislili leni matematiki? Prav - povišanje števila na potenco.

Dvig števila na potenco

Če morate število pomnožiti s samim seboj petkrat, potem matematiki pravijo, da morate to število dvigniti na peto potenco. Na primer,. Matematiki se spominjajo, da je dva na peto potenco. In takšne težave rešujejo v mislih – hitreje, lažje in brez napak.

Če želite to narediti, potrebujete le spomnite se, kaj je v tabeli potenc števil označeno z barvo. Verjemite, zelo vam bo olajšalo življenje.

Mimogrede, zakaj se imenuje druga stopnja kvadratštevilke in tretji kocka? Kaj to pomeni? Zelo Dobro vprašanje. Zdaj boste imeli kvadrate in kocke.

Primer iz resničnega življenja #1

Začnimo s kvadratom ali drugo potenco števila.

Predstavljajte si kvadraten bazen, ki meri meter za meter. Bazen je na vašem dvorišču. Vroče je in zelo si želim plavati. Ampak ... bazen brez dna! Dno bazena je treba obložiti s ploščicami. Koliko ploščic potrebujete? Da bi to ugotovili, morate poznati površino dna bazena.

Preprosto lahko z vbodom prsta preštejete, da je dno bazena sestavljeno iz kock meter za metrom. Če so vaše ploščice meter za metrom, boste potrebovali kose. Enostavno... Kje pa si videl tako ploščico? Ploščica bo raje cm za cm, potem pa vas bo mučilo "štetje s prstom". Potem morate pomnožiti. Tako bomo na eno stran dna bazena namestili ploščice (kose), na drugo pa tudi ploščice. Če pomnožite s, dobite ploščice ().

Ste opazili, da smo isto število pomnožili samo s seboj, da bi določili površino dna bazena? Kaj to pomeni? Ker se isto število pomnoži, lahko uporabimo tehniko potenciranja. (Seveda, ko imaš samo dve števili, ju moraš še vedno pomnožiti ali dvigniti na potenco. Če pa jih imaš veliko, potem je dvig na potenco veliko lažji in tudi manj je napak pri izračunih. .Za izpit je to zelo pomembno).
Torej, trideset do druge stopnje bo (). Lahko pa rečete, da bo trideset na kvadrat. Z drugimi besedami, drugo potenco števila lahko vedno predstavimo kot kvadrat. In obratno, če vidite kvadrat, je to VEDNO druga potenca nekega števila. Kvadrat je podoba druge potence števila.

Primer iz resničnega življenja št. 2

Tukaj je naloga za vas, preštejte, koliko polj je na šahovnici s pomočjo kvadrata števila ... Na eni in na drugi strani celic. Če želite prešteti njihovo število, morate osem pomnožiti z osem ali ... če to opazite Šahovnica je kvadrat s stranico, potem lahko kvadrirate osem. Pridobite celice. () Torej?

Primer iz resničnega življenja #3

Zdaj pa kocka ali tretja potenca števila. Isti bazen. Zdaj pa morate ugotoviti, koliko vode bo treba vliti v ta bazen. Izračunati morate prostornino. (Mimogrede, prostornine in tekočine se merijo v kubičnih metrov. Nepričakovano, kajne?) Narišite bazen: dno veliko en meter in globoko en meter in poskusite izračunati, koliko kock meter za metrom skupaj bo prišlo v vaš bazen.

Samo pokažite s prstom in preštejte! Ena, dva, tri, štiri ... dvaindvajset, triindvajset ... Koliko se je izkazalo? Se niste izgubili? Je težko šteti s prstom? Torej to! Vzemite primer od matematikov. So leni, zato so opazili, da je treba za izračun prostornine bazena pomnožiti njegovo dolžino, širino in višino. V našem primeru bo prostornina bazena enaka kockam ... Lažje, kajne?

Zdaj pa si predstavljajte, kako leni in zviti so matematiki, če to naredijo preveč enostavno. Zreduciral vse na eno akcijo. Opazili so, da so dolžina, širina in višina enake in da se isto število pomnoži samo s seboj ... In kaj to pomeni? To pomeni, da lahko uporabite diplomo. Torej, kar ste nekoč prešteli s prstom, naredijo v enem dejanju: tri v kocki je enako. Napisano je takole:

Ostaja samo zapomni si tabelo stopinj. Razen seveda, če ste tako leni in zviti kot matematiki. Če radi trdo delate in delate napake, lahko kar naprej štejete s prstom.

No, da bi vas dokončno prepričali, da so si diplome izmislili lenuhi in pretkani ljudje, da bi rešili svoje življenjske težave in ne, da bi vam delali težave, je tu še nekaj primerov iz življenja.

Primer iz resničnega življenja št. 4

Imate milijon rubljev. Na začetku vsakega leta zaslužite še en milijon za vsak milijon. To pomeni, da se vsak vaš milijon na začetku vsakega leta podvoji. Koliko denarja boste imeli čez leta? Če zdaj sedite in "štejete s prstom", potem ste zelo pridna oseba in .. neumna. Toda najverjetneje boste odgovorili v nekaj sekundah, ker ste pametni! Torej, v prvem letu - dvakrat dva ... v drugem letu - kaj se je zgodilo, še za dva, v tretjem letu ... Stop! Opazili ste, da se število enkrat pomnoži samo s seboj. Dva na peto potenco je torej milijon! Zdaj pa si predstavljajte, da imate konkurenco in tisti, ki hitreje izračuna, bo dobil te milijone ... Ali je vredno zapomniti stopnje številk, kaj mislite?

Primer iz resničnega življenja #5

Imaš milijon. Na začetku vsakega leta zaslužite dva več za vsak milijon. Super je kajne? Vsak milijon se potroji. Koliko denarja boste imeli čez eno leto? Preštejmo. Prvo leto - pomnožite z, nato rezultat z drugim ... To je že dolgočasno, ker ste že vse razumeli: tri se pomnoži s samim seboj. Četrta potenca je torej milijon. Zapomniti si morate le, da je tri na četrto potenco oz.

Zdaj veste, da si boste z dvigom števila na potenco zelo olajšali življenje. Oglejmo si še, kaj lahko storite z diplomami in kaj morate vedeti o njih.

Izrazi in pojmi ... da ne bo zmede

Torej, najprej opredelimo pojme. Kaj misliš, kaj je eksponent? Zelo preprosto – to je število, ki je »na vrhu« moči števila. Ni znanstveno, ampak jasno in lahko zapomniti ...

No, hkrati pa kaj takšno bazo diplome? Še enostavnejša je številka, ki je na dnu, na dnu.

Tukaj je slika, da se prepričate.

No in notri splošni pogled posplošiti in si bolje zapomniti ... Stopnja z osnovo "" in eksponentom "" se bere kot "do stopnje" in se zapiše takole:

Potenca števila z naravnim eksponentom

Verjetno ste že uganili: ker je eksponent naravno število. Da, ampak kaj je naravno število? Osnovno! Naravna števila so tista, ki jih uporabljamo pri štetju pri naštevanju stvari: ena, dve, tri ... Ko štejemo stvari, ne rečemo: »minus pet«, »minus šest«, »minus sedem«. Prav tako ne rečemo "ena tretjina" ali "nič pika pet desetin". To niso naravna števila. Kaj mislite, kaj so te številke?

Številke, kot so "minus pet", "minus šest", "minus sedem", se nanašajo na cela števila. Cela števila na splošno vključujejo vsa naravna števila, števila nasprotna naravnim številom (torej vzeta z znakom minus) in število. Ničlo je enostavno razumeti - to je takrat, ko ni ničesar. In kaj pomenijo negativna ("minus") števila? Vendar so bili izumljeni predvsem za označevanje dolgov: če imate stanje na telefonu v rubljih, to pomeni, da operaterju dolgujete rublje.

Vsi ulomki so racionalna števila. Kaj mislite, kako so nastali? Zelo preprosto. Pred več tisoč leti so naši predniki ugotovili, da nimajo dovolj naravnih števil za merjenje dolžine, teže, površine itd. In so se domislili racionalna števila… Zanimivo, kajne?

Obstajajo tudi iracionalna števila. Kakšne so te številke? Skratka neskončno decimalno. Na primer, če obseg kroga delite z njegovim premerom, potem dobite iracionalno število.

Povzetek:

Opredelimo pojem stopnje, katere eksponent je naravno število (to je celo in pozitivno).

Vsako število na prvo potenco je enako samemu sebi:
Kvadrat števila pomeni, da ga pomnožimo s samim seboj:
Kockirati število pomeni, da ga trikrat pomnožimo s samim seboj:

Opredelitev.Če želite dvigniti število na naravno potenco, pomeni, da število pomnožite s samim seboj krat:
.

Lastnosti stopnje

Od kod te lastnosti? Ti bom pokazal zdaj.

Poglejmo, kaj je in ?

A-priory:

Koliko množiteljev je skupaj?

Zelo preprosto: faktorjem smo dodali faktorje in rezultat so faktorji.

Toda po definiciji je to stopnja števila z eksponentom, to je: , ki jo je bilo treba dokazati.

Primer: Poenostavite izraz.

rešitev:

primer: Poenostavite izraz.

rešitev: Pomembno je omeniti, da v našem pravilu Nujno mora biti isti razlog!
Zato združujemo stopnje z osnovo, vendar ostajamo ločen faktor:

samo za izdelke moči!

Tega v nobenem primeru ne smete napisati.

2. to je -ta potenca števila

Tako kot pri prejšnji lastnosti se obrnemo na definicijo stopnje:

Izkazalo se je, da se izraz enkrat pomnoži sam s seboj, to je po definiciji to potenca števila:

Pravzaprav lahko temu rečemo "oklepaj indikatorja". Vendar tega nikoli ne morete storiti v celoti:

Spomnimo se formule za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati?

Ampak to res ni res.

Stopnja z negativno osnovo

Do te točke smo razpravljali samo o tem, kakšen naj bo eksponent.

Toda kaj bi morala biti osnova?

V stopinjah od naravni indikator osnova je lahko poljubno število. Dejansko lahko katero koli število pomnožimo eno z drugim, ne glede na to, ali je pozitivno, negativno ali sodo.

Pomislimo, kateri znaki ("" ali "") bodo imeli stopnje pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, ali bo število pozitivno ali negativno? A? ? S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih števil pomnožimo med seboj, bo rezultat pozitiven.

Toda negativni so malo bolj zanimivi. Navsezadnje se spomnimo preprostega pravila iz 6. razreda: "minus krat minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo s, se izkaže.

Sami določite, kakšen predznak bodo imeli naslednji izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Vam je uspelo?

Tukaj so odgovori: Upam, da je v prvih štirih primerih vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: ni pomembno, čemu je osnova enaka - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven.

No, razen ko je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost!

6 primerov iz prakse

Analiza rešitve 6 primerov

Če ne bomo pozorni na osmo stopnjo, kaj vidimo tukaj? Oglejmo si program za 7. razred. Torej, se spomniš? To je skrajšana formula množenja, namreč razlika kvadratov! Dobimo:

Pazljivo pogledamo imenovalec. Videti je kot eden od faktorjev števca, toda kaj je narobe? Napačen vrstni red izrazov. Če bi bili zamenjani, bi lahko veljalo pravilo.

Toda kako to narediti? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Izrazi so čudežno zamenjali mesta. Ta »fenomen« velja za kateri koli izraz v celotni meri: znake v oklepaju lahko poljubno spreminjamo.

Vendar si je pomembno zapomniti: vsi znaki se spremenijo hkrati!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

cela imenujemo naravna števila, njihova nasprotja (to je vzeta z znakom "") in število.

pozitivno celo število, in se ne razlikuje od naravnega, potem je vse videti tako kot v prejšnjem razdelku.

Zdaj pa poglejmo nove primere. Začnimo z indikatorjem, ki je enak.

Vsako število na ničelno potenco je enako ena:

Kot vedno se sprašujemo: zakaj je tako?

Razmislite o moči z bazo. Vzemite na primer in pomnožite z:

Torej smo število pomnožili z in dobili enako, kot je bilo -. S katerim številom je treba pomnožiti, da se nič ne spremeni? Tako je, naprej. Pomeni.

Enako lahko storimo s poljubnim številom:

Ponovimo pravilo:

Vsako število na ničelno potenco je enako ena.

Vendar obstajajo izjeme od mnogih pravil. In tukaj je tudi tam - to je številka (kot osnova).

Po eni strani mora biti enako kateri koli stopinji - ne glede na to, koliko nič pomnožiš s samo seboj, še vedno dobiš nič, to je jasno. Po drugi strani pa mora biti enako kot vsako število do ničelne stopnje. Kaj je torej resnica tega? Matematiki so se odločili, da se ne bodo vpletali, in zavrnili dvig ničle na ničelno potenco. To pomeni, da zdaj ne moremo samo deliti z nič, ampak ga tudi dvignemo na ničelno potenco.

Gremo dalje. Cela števila vključujejo poleg naravnih števil in števil tudi negativna števila. Da bi razumeli, kaj je negativna stopnja, naredimo enako kot zadnjič: neko normalno število pomnožimo z enakim v negativni stopnji:

Od tu je že enostavno izraziti želeno:

Zdaj dobljeno pravilo razširimo na poljubno stopnjo:

Torej, oblikujmo pravilo:

Število na negativno potenco je obratno število istega števila na pozitivno potenco. Toda hkrati osnova ne more biti ničelna:(ker je nemogoče razdeliti).

Naj povzamemo:

I. Izraz ni definiran v primeru. Če, potem.

II. Vsako število na ničelno potenco je enako ena: .

III. Število, ki ni enako nič na negativno potenco, je obratna vrednost istega števila na pozitivno potenco: .

Naloge za samostojno reševanje:

No, kot običajno, primeri za neodvisno rešitev:

Analiza nalog za samostojno rešitev:

Vem, vem, številke so strašljive, a na izpitu moraš biti pripravljen na vse! Reši te primere ali analiziraj njihovo rešitev, če je nisi mogel rešiti, in naučil se boš, kako se z njimi zlahka spopasti na izpitu!

Nadaljujmo s širitvijo obsega števil, "primernih" kot eksponent.

Zdaj razmislite racionalna števila. Katera števila imenujemo racionalna?

Odgovor: vse, kar je mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila, poleg tega.

Da bi razumeli, kaj je "frakcijska stopnja" Razmislimo o ulomku:

Dvignimo obe strani enačbe na potenco:

Zdaj pa se spomnite pravila "stopnja do stopinje":

Katero število je treba dvigniti na potenco, da dobimo?

Ta formulacija je definicija korena th stopnje.

Naj vas spomnim: koren th potence števila () je število, ki je, če ga dvignete na potenco, enako.

To pomeni, da je koren th stopnje inverzna operacija potenciranja: .

Izkazalo se je, da. Očitno to poseben primer se lahko podaljša: .

Zdaj dodajte števec: kaj je to? Odgovor je enostavno dobiti s pravilom moči na moč:

Toda ali je lahko osnova poljubno število? Navsezadnje korena ni mogoče izvleči iz vseh števil.

nobene!

Zapomnite si pravilo: vsako število, povišano na sodo potenco, je pozitivno število. To pomeni, da je nemogoče izluščiti korenine sode stopnje iz negativnih števil!

In to pomeni, da takšnih števil ni mogoče dvigniti na ulomek s sodim imenovalcem, kar pomeni, da izraz nima smisla.

Kaj pa izražanje?

Tu pa nastane težava.

Število lahko predstavimo kot druge, zmanjšane ulomke, na primer ali.

In izkaže se, da obstaja, vendar ne obstaja, in to sta le dva različna zapisa iste številke.

Ali drug primer: enkrat, potem lahko zapišeš. Toda takoj, ko indikator zapišemo na drugačen način, spet dobimo težave: (torej, dobili smo popolnoma drugačen rezultat!).

Da bi se izognili takšnim paradoksom, razmislite le pozitivni osnovni eksponent z delnim eksponentom.

Torej če:

- naravno število;
je celo število;

Primeri:

Potence z racionalnim eksponentom so zelo uporabne za pretvorbo izrazov s koreni, na primer:

5 primerov iz prakse

Analiza 5 primerov za usposabljanje

No, zdaj - najtežje. Zdaj bomo analizirali stopnje z iracionalnim eksponentom.

Vsa pravila in lastnosti stopinj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnje z racionalnim eksponentom, z izjemo

Dejansko so po definiciji iracionalna števila števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila (to pomeni, da so iracionalna števila vsa realna števila razen racionalnih).

Pri preučevanju stopenj z naravnim, celoštevilskim in racionalnim indikatorjem smo vsakič sestavili določeno »podobo«, »analogijo« ali opis v bolj znanih izrazih.

Na primer, naravni eksponent je število, večkrat pomnoženo s samim seboj;

...ničelna moč- to je tako rekoč število, pomnoženo samo s seboj enkrat, to pomeni, da se še ni začelo množiti, kar pomeni, da se samo število še ni pojavilo - zato je rezultat le določeno "prazno število" , in sicer število;

...negativno celo število eksponent- kot da je prišlo do določenega "obratnega procesa", to je, da število ni bilo pomnoženo samo s seboj, ampak razdeljeno.

Mimogrede, znanost pogosto uporablja diplomo s kompleksnim eksponentom, torej eksponent sploh ni pravo število.

Toda v šoli ne razmišljamo o takšnih težavah; te nove koncepte boste imeli priložnost razumeti na inštitutu.

KAMOR SMO PREPRIČANI, DA BOSTE ŠLI! (če se naučiš reševati take primere :))

Na primer:

Odločite se sami:

Analiza rešitev:

1. Začnimo z že običajnim pravilom za povišanje stopnje v stopnjo:

Zdaj pa poglejte rezultat. Vas na kaj spominja? Spomnimo se formule za skrajšano množenje razlike kvadratov:

V tem primeru,

Izkazalo se je, da:

odgovor: .

2. Ulomke v eksponentih spravimo v isto obliko: ali oba decimalna ali oba navadna. Dobimo na primer:

Odgovor: 16

3. Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopinj:

NAPREDNI NIVO

Opredelitev stopnje

Stopnja je izraz v obliki: , kjer je:

— osnova diplome;
- eksponent.

Stopnja z naravnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Dvig števila na naravno potenco n pomeni, da število pomnožimo s samim seboj krat:

Potenca s celim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Če je eksponent pozitivno celo številoštevilka:

erekcija na nič moči:

Izraz je nedoločen, ker je po eni strani na katerikoli stopnji to, na drugi strani pa je poljubno število na th stopnjo to.

Če je eksponent celo število negativnoštevilka:

(ker je nemogoče razdeliti).

Še enkrat o ničelnih vrednostih: izraz ni definiran v primeru. Če, potem.

Primeri:

Stopnja z racionalnim eksponentom

- naravno število;
je celo število;

Primeri:

Lastnosti stopnje

Za lažje reševanje težav poskusimo razumeti: od kod te lastnosti? Dokažimo jim.

Poglejmo: kaj je in?

A-priory:

Torej, na desni strani tega izraza dobimo naslednji produkt:

Toda po definiciji je to potenca števila z eksponentom, to je:

Q.E.D.

Primer : Poenostavite izraz.

rešitev : .

Primer : Poenostavite izraz.

rešitev : Pomembno je omeniti, da v našem pravilu Nujno morajo biti na enaki podlagi. Zato združujemo stopnje z osnovo, vendar ostajamo ločen faktor:

Druga pomembna opomba: to pravilo - samo za produkte moči!

Tega pod nobenim pogojem ne smem napisati.

Tako kot pri prejšnji lastnosti se obrnemo na definicijo stopnje:

Preuredimo ga takole:

Izkazalo se je, da se izraz enkrat pomnoži sam s seboj, to je po definiciji to -ta potenca števila:

Pravzaprav lahko temu rečemo "oklepaj indikatorja". Ampak tega nikoli ne morete storiti v celoti:!

Spomnimo se formule za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati? Ampak to res ni res.

Moč z negativno osnovo.

Do te točke smo razpravljali le o tem, kar bi moralo biti kazalo stopnja. Toda kaj bi morala biti osnova? V stopinjah od naravno indikator osnova je lahko poljubno število .

Dejansko lahko katero koli število pomnožimo eno z drugim, ne glede na to, ali je pozitivno, negativno ali sodo. Pomislimo, kateri znaki ("" ali "") bodo imeli stopnje pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, ali bo število pozitivno ali negativno? A? ?

S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih števil pomnožimo med seboj, bo rezultat pozitiven.

Toda negativni so malo bolj zanimivi. Navsezadnje se spomnimo preprostega pravila iz 6. razreda: "minus krat minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo z (), dobimo -.

In tako naprej do neskončnosti: z vsakim naslednjim množenjem se bo predznak spremenil. Možno je oblikovati tako preprosta pravila:

celo stopnja, - št pozitivno.
Negativno število, postavljen v Čuden stopnja, - št negativno.
Pozitivno število na katero koli potenco je pozitivno število.
Nič na katero koli potenco je enako nič.

Sami določite, kakšen predznak bodo imeli naslednji izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Vam je uspelo? Tukaj so odgovori:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Upam, da je v prvih štirih primerih vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: ni pomembno, čemu je osnova enaka - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven. No, razen ko je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost. Tukaj morate ugotoviti, kaj je manj: ali? Če se tega spomnimo, postane jasno, da, kar pomeni, da osnova manj kot nič. To pomeni, da uporabljamo pravilo 2: rezultat bo negativen.

In spet uporabimo definicijo stopnje:

Vse je kot običajno - zapišemo definicijo stopinj in jih razdelimo eno na drugo, razdelimo v pare in dobimo:

Preden analiziramo zadnje pravilo, rešimo nekaj primerov.

Izračunajte vrednosti izrazov:

Rešitve :

Če ne bomo pozorni na osmo stopnjo, kaj vidimo tukaj? Oglejmo si program za 7. razred. Torej, se spomniš? To je skrajšana formula množenja, namreč razlika kvadratov!

Dobimo:

Pazljivo pogledamo imenovalec. Videti je kot eden od faktorjev števca, toda kaj je narobe? Napačen vrstni red izrazov. Če bi bili obrnjeni, bi lahko uporabili pravilo 3. Toda kako to storiti? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Če pomnožite s, se nič ne spremeni, kajne? Zdaj pa izgleda takole:

Izrazi so čudežno zamenjali mesta. Ta »fenomen« velja za kateri koli izraz v celotni meri: znake v oklepaju lahko poljubno spreminjamo. Vendar si je pomembno zapomniti: vsa znamenja se spremenijo hkrati! Tega se ne da nadomestiti s spremembo samo enega za nas oporečnega minusa!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

Zdaj pa še zadnje pravilo:

Kako bomo to dokazali? Seveda, kot običajno: razširimo pojem diplome in poenostavimo:

No, zdaj pa odprimo oklepaje. Koliko črk bo? krat z množitelji - kako to izgleda? To ni nič drugega kot definicija operacije množenje: skupaj se je izkazalo, da so množitelji. To pomeni, da je po definiciji potenca števila z eksponentom:

primer:

Stopnja z iracionalnim eksponentom

Poleg informacij o stopnjah za povprečno stopnjo bomo analizirali stopnjo z iracionalnim indikatorjem. Vsa pravila in lastnosti stopinj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnjo z racionalnim eksponentom, z izjemo - navsezadnje so iracionalna števila po definiciji števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila (to je iracionalna števila so vsa realna števila razen racionalnih).

Pri preučevanju stopenj z naravnim, celoštevilskim in racionalnim indikatorjem smo vsakič sestavili določeno »podobo«, »analogijo« ali opis v bolj znanih izrazih. Na primer, naravni eksponent je število, večkrat pomnoženo s samim seboj; število do ničelne stopnje je tako rekoč število, ki je enkrat pomnoženo samo s seboj, to pomeni, da se še ni začelo množiti, kar pomeni, da se samo število še ni niti pojavilo - torej je rezultat samo določena »priprava številke«, namreč številka; stopnja s celim negativnim indikatorjem - kot da se je zgodil določen "obraten proces", to je, da število ni bilo pomnoženo samo s seboj, ampak razdeljeno.

Zelo težko si je predstavljati stopnjo z iracionalnim eksponentom (tako kot si je težko predstavljati 4-dimenzionalni prostor). Namesto tega gre za povsem matematični objekt, ki so ga matematiki ustvarili, da bi koncept stopnje razširili na celoten prostor števil.

Mimogrede, znanost pogosto uporablja diplomo s kompleksnim eksponentom, torej eksponent sploh ni pravo število. Toda v šoli ne razmišljamo o takšnih težavah; te nove koncepte boste imeli priložnost razumeti na inštitutu.

Kaj torej naredimo, če vidimo iracionalen eksponent? Trudimo se ga znebiti! :)

Na primer:

Odločite se sami:

odgovori:

Zapomni si formulo razlike kvadratov. Odgovor: .
Ulomke spravimo v isto obliko: bodisi oba decimalna ali oba navadna. Dobimo na primer: .
Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopinj:

POVZETEK ODDELKA IN OSNOVNA FORMULA

stopnja se imenuje izraz v obliki: , kjer je:

Stopnja s celim eksponentom

stopnje, katere eksponent je naravno število (tj. celo in pozitivno).

Stopnja z racionalnim eksponentom

stopnje, katere indikator so negativna in delna števila.

Stopnja z iracionalnim eksponentom

eksponent, katerega eksponent je neskončen decimalni ulomek ali koren.

Lastnosti stopnje

Značilnosti diplom.

Negativno število povišano na celo stopnja, - št pozitivno.
Negativno število povišano na Čuden stopnja, - št negativno.
Pozitivno število na katero koli potenco je pozitivno število.
Nič je enaka kateri koli potenci.
Vsako število na ničelno potenco je enako.

ZDAJ IMATE BESEDO ...

Kako vam je všeč članek? V spodnjih komentarjih mi sporočite, ali vam je bil všeč ali ne.

Povejte nam o svojih izkušnjah z lastnostmi moči.

Morda imate vprašanja. Ali predlogi.

Zapiši v komentarje.

Pa srečno pri izpitih!

Stopnja z negativnim eksponentom. Delitev oblasti z isto bazo. 4. Zmanjšaj eksponente 2a4/5a3 in 2/a4 ter ju spravi na skupni imenovalec. Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Ta lastnost se razširi na stopnjo produkta treh ali več faktorjev. Zato je am−an>0 in am>an, kar je bilo treba dokazati. Ostaja, da dokažemo še zadnjo od naštetih lastnosti potenc z naravnimi eksponenti.

Upoštevajte, da se lastnost št. 4, tako kot druge lastnosti stopinj, uporablja tudi v obratnem vrstnem redu. Če želite pomnožiti stopinje z istimi eksponenti, lahko pomnožite osnove in pustite eksponent nespremenjen. Izračun vrednosti moči se imenuje dejanje potenciranja. To pomeni, da pri izračunu vrednosti izraza, ki ne vsebuje oklepajev, najprej izvedete dejanje tretjega koraka, nato drugega (množenje in deljenje) in na koncu prvega (seštevanje in odštevanje).

Ko je določena stopnja števila, je logično govoriti o lastnostih stopnje. V tem članku bomo podali osnovne lastnosti stopnje števila, pri tem pa se dotaknili vseh možnih eksponentov. Tu bomo podali dokaze vseh lastnosti stopnje in pokazali, kako se te lastnosti uporabljajo pri reševanju primerov. Takoj opozorimo, da so vse zapisane enakosti pod navedenimi pogoji enake, njihov desni in levi del pa se lahko zamenjata.

Naj navedemo primer, ki potrjuje glavno lastnost diplome. Preden podamo dokaz te lastnosti, se pogovorimo o pomenu dodatnih pogojev v formulaciji. Pogoj m>n uvedemo, da ne presežemo naravnih eksponentov. Glavna lastnost ulomka nam omogoča, da zapišemo enakost am−n·an=a(m−n)+n=am.

Prehod na novo podlago

To pomeni, da je lastnost naravne stopnje n produkta k faktorjev zapisana kot (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Zaradi jasnosti prikazujemo to lastnost s primerom. Dokaz se lahko izvede z uporabo prejšnje lastnosti. Na primer, enakost velja za poljubna naravna števila p, q, r in s. Za večjo jasnost navedimo primer s posebnimi številkami: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

To dejstvo in lastnosti množenja nam omogočajo, da trdimo, da bo tudi rezultat množenja poljubnega števila pozitivnih števil pozitivno število. Povsem očitno je, da je za vsak naravni n z a=0 stopnja an nič. Dejansko je 0n=0·0·…·0=0. Na primer, 03=0 in 0762=0. Pojdimo k negativnim osnovam. Začnimo s primerom, ko je eksponent sodo število, označimo ga kot 2·m, kjer je m naravno število.

Obrnimo se na dokaz te lastnosti. Dokažimo, da za m>n in 0. Po istem principu je mogoče dokazati vse druge lastnosti stopnje s celoštevilskim eksponentom, zapisanim kot enačbe. Pogoji p 0 bodo v tem primeru enakovredni pogojem m 0. V tem primeru bo pogoj p>q ustrezal pogoju m1>m2, ki izhaja iz primerjalnega pravila navadni ulomki z enakimi imenovalci.

Operacije s koreninami. Razširitev koncepta stopnje. Doslej smo upoštevali samo eksponente z naravnimi eksponenti, vendar lahko dejanja s eksponenti in koreni vodijo tudi do negativnih, ničelnih in delnih eksponentov. Vsi ti eksponenti zahtevajo dodatno opredelitev. Če želimo, da formula a m: a n=a m - n velja za m = n, moramo določiti ničelno stopnjo. Logaritme, tako kot vsako število, lahko seštevamo, odštevamo in pretvarjamo na vse možne načine.

Odstranjevanje eksponenta iz logaritma

Če so podlage različne, ta pravila ne delujejo! Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Iz druge formule sledi, da je možno zamenjati osnovo in argument logaritma, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem je v imenovalcu.

Kako priročni so, je mogoče oceniti šele pri odločanju logaritemske enačbe in neenakosti. Ker se produkt ne spremeni s permutacijo faktorjev, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa izračunali logaritme. Pogosto je v procesu reševanja potrebno število predstaviti kot logaritem na dano osnovo.

Lastnosti stopenj, formulacije, dokazi, primeri.

Število n je lahko karkoli, ker je le vrednost logaritma. Tako se temu reče: osnovno logaritemska identiteta. Tako kot nove formule za pretvorbo baz je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev. Na koncu bom podal dve identiteti, ki ju je težko imenovati lastnosti - prej sta to posledica definicije logaritma.

Primeri reševanja primerov z ulomki, ki vsebujejo števila s potencami

Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem katere koli baze a iz te same baze je enak ena. 1 = 0 je logaritemska ničla. Osnova a je lahko karkoli, a če je argument ena - je logaritem nič! Ker je a0 = 1 neposredna posledica definicije. To so vse lastnosti. Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite - in rešite težave.

Logaritemska enota in logaritemska ničla

2.a-4 je a-2 prvi števec. V tem primeru vam svetujemo, da storite naslednje. To je dejanje tretje stopnje. Na primer, glavna lastnost ulomka am·an=am+n se pri poenostavljanju izrazov pogosto uporablja v obliki am+n=am·an. Pogoj a≠0 je nujen, da se izognemo deljenju z nič, saj je 0n=0, in ko smo se seznanili z deljenjem, smo se strinjali, da je nemogoče deliti z nič. Iz nastale enakosti am−n·an=am in iz povezave med množenjem in deljenjem sledi, da je am−n količnik am in an. To dokazuje lastnost delnih potenc z iste podlage.

Podobno, če je q=0, potem je (ap)0=1 in ap 0=a0=1, od koder je (ap)0=ap 0. V več težki primeri lahko pride do primerov, ko je treba množenje in deljenje izvesti nad potencami s različne podlage in različne indikatorje. Te neenakosti v lastnostih korenin lahko prepišemo kot oz. In definicija stopnje z racionalnim eksponentom nam omogoča, da preidemo na neenakosti oz.

Če morate določeno število dvigniti na potenco, lahko uporabite . Zdaj si bomo podrobneje ogledali lastnosti potenc.

Eksponentna števila odpirajo velike možnosti, omogočajo nam, da množenje pretvorimo v seštevanje, seštevanje pa je veliko lažje kot množenje.

Na primer, 16 moramo pomnožiti s 64. Zmnožek teh dveh števil je 1024. Toda 16 je 4x4, 64 pa 4x4x4. Torej 16 krat 64=4x4x4x4x4, kar je prav tako 1024.

Število 16 lahko predstavimo tudi kot 2x2x2x2, 64 pa kot 2x2x2x2x2x2 in če pomnožimo, spet dobimo 1024.

Zdaj pa uporabimo pravilo. 16=4 2 ali 2 4 , 64=4 3 ali 2 6 , medtem ko je 1024=6 4 =4 5 ali 2 10 .

Zato lahko naš problem zapišemo drugače: 4 2 x4 3 =4 5 ali 2 4 x2 6 =2 10 in vsakič dobimo 1024.

Rešimo lahko številne podobne primere in vidimo, da se množenje števil s potencami zmanjša na seštevanje eksponentov, ali eksponent, seveda pod pogojem, da so baze faktorjev enake.

Tako lahko brez množenja takoj rečemo, da je 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

To pravilo velja tudi pri deljenju števil s potencami, vendar v tem primeru npr eksponent delitelja se odšteje od eksponenta dividende. Tako je 2 5:2 3 =2 2 , kar je v navadnih številih enako 32:8=4, torej 2 2 . Naj povzamemo:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kjer sta m in n celi števili.

Na prvi pogled se morda zdi, da množenje in deljenje števil s potencami ni zelo priročno, ker morate najprej številko predstaviti v eksponentni obliki. Števila 8 in 16 ni težko predstaviti v tej obliki, to je 2 3 in 2 4, ampak kako to storiti s števili 7 in 17? Ali kaj storiti v tistih primerih, ko je število mogoče predstaviti v eksponentni obliki, vendar so osnove eksponentnih izrazov števil zelo različne. Na primer, 8×9 je 2 3 x 3 2, v tem primeru ne moremo sešteti eksponentov. Niti 2 5 niti 3 5 ni odgovor, niti ni odgovor med obema.

Ali se potem sploh splača ukvarjati s to metodo? Vsekakor vredno. Zagotavlja velike prednosti, zlasti pri zapletenih in zamudnih izračunih.

Prva stopnja

Stopnja in njene lastnosti. Obsežen vodnik (2019)

Zakaj so potrebne diplome? Kje jih potrebujete? Zakaj morate porabiti čas za njihovo preučevanje?

Če želite izvedeti vse o diplomah, čemu so namenjene, kako uporabiti svoje znanje v vsakdanjem življenju, preberite ta članek.

In seveda, poznavanje diplom vas bo približalo uspešnemu opravljanju OGE ali enotnega državnega izpita in vstopu na univerzo vaših sanj.

Gremo ... (Gremo!)

Pomembna opomba! Če namesto formul vidite blebetanje, počistite predpomnilnik. Če želite to narediti, pritisnite CTRL+F5 (v sistemu Windows) ali Cmd+R (v sistemu Mac).

PRVA STOPNJA

Potenciranje je enaka matematična operacija kot seštevanje, odštevanje, množenje ali deljenje.

Zdaj bom vse razložil v človeškem jeziku z zelo preprostimi primeri. Bodi previden. Primeri so osnovni, vendar pojasnjujejo pomembne stvari.

Začnimo z dodajanjem.

Tukaj ni kaj razlagati. Saj že vse veš: osem nas je. Vsak ima dve steklenici kole. Koliko kole? Tako je - 16 steklenic.

Zdaj pa množenje.

Če želite šteti hitreje, lažje in brez napak, si morate le zapomniti tabela množenja. Seveda lahko vse naredite počasneje, težje in z napakami! ampak...

Tukaj je tabela množenja. ponovi

In še ena, lepša:

In katere druge zapletene trike s štetjem so si izmislili leni matematiki? Prav - povišanje števila na potenco.

Dvig števila na potenco

Če želite to narediti, potrebujete le spomnite se, kaj je v tabeli potenc števil označeno z barvo. Verjemite, zelo vam bo olajšalo življenje.

Mimogrede, zakaj se imenuje druga stopnja kvadratštevilke in tretji kocka? Kaj to pomeni? Zelo dobro vprašanje. Zdaj boste imeli kvadrate in kocke.

Primer iz resničnega življenja #1

Začnimo s kvadratom ali drugo potenco števila.

Primer iz resničnega življenja št. 2

Tukaj je naloga za vas, preštejte, koliko polj je na šahovnici s pomočjo kvadrata števila ... Na eni in na drugi strani celic. Če želite prešteti njihovo število, morate pomnožiti osem z osmimi ali ... če opazite, da je šahovnica kvadrat s stranico, potem lahko kvadratirate osem. Pridobite celice. () Torej?

Primer iz resničnega življenja #3

Zdaj pa kocka ali tretja potenca števila. Isti bazen. Zdaj pa morate ugotoviti, koliko vode bo treba vliti v ta bazen. Izračunati morate prostornino. (Mimogrede, prostornine in tekočine se merijo v kubičnih metrih. Nepričakovano, kajne?) Narišite bazen: dno veliko en meter in globoko en meter in poskusite izračunati, koliko kock, ki merijo meter na meter, bo vstopilo v vaš bazen. bazen.

Ostaja samo zapomni si tabelo stopinj. Razen seveda, če ste tako leni in zviti kot matematiki. Če radi trdo delate in delate napake, lahko kar naprej štejete s prstom.

Primer iz resničnega življenja št. 4

Primer iz resničnega življenja #5

Zdaj veste, da si boste z dvigom števila na potenco zelo olajšali življenje. Oglejmo si še, kaj lahko storite z diplomami in kaj morate vedeti o njih.

Izrazi in pojmi ... da ne bo zmede

Torej, najprej opredelimo pojme. Kaj misliš, kaj je eksponent? Zelo preprosto – to je število, ki je »na vrhu« moči števila. Ni znanstveno, ampak jasno in lahko zapomniti ...

No, hkrati pa kaj takšno bazo diplome? Še enostavnejša je številka, ki je na dnu, na dnu.

Tukaj je slika, da se prepričate.

No, na splošno, da posplošimo in si bolje zapomnimo ... Stopnja z osnovo "" in indikatorjem "" se bere kot "v stopinji" in je zapisana na naslednji način:

Potenca števila z naravnim eksponentom

Obstajajo tudi iracionalna števila. Kakšne so te številke? Skratka, neskončen decimalni ulomek. Na primer, če obseg kroga delite z njegovim premerom, potem dobite iracionalno število.

Povzetek:

Opredelimo pojem stopnje, katere eksponent je naravno število (to je celo in pozitivno).

Vsako število na prvo potenco je enako samemu sebi:
Kvadrat števila pomeni, da ga pomnožimo s samim seboj:
Kockirati število pomeni, da ga trikrat pomnožimo s samim seboj:

Opredelitev.Če želite dvigniti število na naravno potenco, pomeni, da število pomnožite s samim seboj krat:
.

Lastnosti stopnje

Od kod te lastnosti? Ti bom pokazal zdaj.

Poglejmo, kaj je in ?

A-priory:

Koliko množiteljev je skupaj?

Zelo preprosto: faktorjem smo dodali faktorje in rezultat so faktorji.

Toda po definiciji je to stopnja števila z eksponentom, to je: , ki jo je bilo treba dokazati.

Primer: Poenostavite izraz.

rešitev:

primer: Poenostavite izraz.

rešitev: Pomembno je omeniti, da v našem pravilu Nujno mora biti isti razlog!
Zato združujemo stopnje z osnovo, vendar ostajamo ločen faktor:

samo za izdelke moči!

Tega v nobenem primeru ne smete napisati.

2. to je -ta potenca števila

Tako kot pri prejšnji lastnosti se obrnemo na definicijo stopnje:

Izkazalo se je, da se izraz enkrat pomnoži sam s seboj, to je po definiciji to potenca števila:

Pravzaprav lahko temu rečemo "oklepaj indikatorja". Vendar tega nikoli ne morete storiti v celoti:

Spomnimo se formule za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati?

Ampak to res ni res.

Stopnja z negativno osnovo

Do te točke smo razpravljali samo o tem, kakšen naj bo eksponent.

Toda kaj bi morala biti osnova?

V stopinjah od naravni indikator osnova je lahko poljubno število. Dejansko lahko katero koli število pomnožimo eno z drugim, ne glede na to, ali je pozitivno, negativno ali sodo.

Pomislimo, kateri znaki ("" ali "") bodo imeli stopnje pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, ali bo število pozitivno ali negativno? A? ? S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih števil pomnožimo med seboj, bo rezultat pozitiven.

Toda negativni so malo bolj zanimivi. Navsezadnje se spomnimo preprostega pravila iz 6. razreda: "minus krat minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo s, se izkaže.

Sami določite, kakšen predznak bodo imeli naslednji izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Vam je uspelo?

Tukaj so odgovori: Upam, da je v prvih štirih primerih vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: ni pomembno, čemu je osnova enaka - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven.

No, razen ko je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost!

6 primerov iz prakse

Analiza rešitve 6 primerov

Če ne bomo pozorni na osmo stopnjo, kaj vidimo tukaj? Oglejmo si program za 7. razred. Torej, se spomniš? To je skrajšana formula množenja, namreč razlika kvadratov! Dobimo:

Pazljivo pogledamo imenovalec. Videti je kot eden od faktorjev števca, toda kaj je narobe? Napačen vrstni red izrazov. Če bi bili zamenjani, bi lahko veljalo pravilo.

Toda kako to narediti? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Izrazi so čudežno zamenjali mesta. Ta »fenomen« velja za kateri koli izraz v celotni meri: znake v oklepaju lahko poljubno spreminjamo.

Vendar si je pomembno zapomniti: vsi znaki se spremenijo hkrati!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

cela imenujemo naravna števila, njihova nasprotja (to je vzeta z znakom "") in število.

pozitivno celo število, in se ne razlikuje od naravnega, potem je vse videti tako kot v prejšnjem razdelku.

Zdaj pa poglejmo nove primere. Začnimo z indikatorjem, ki je enak.

Vsako število na ničelno potenco je enako ena:

Kot vedno se sprašujemo: zakaj je tako?

Razmislite o moči z bazo. Vzemite na primer in pomnožite z:

Torej smo število pomnožili z in dobili enako, kot je bilo -. S katerim številom je treba pomnožiti, da se nič ne spremeni? Tako je, naprej. Pomeni.

Enako lahko storimo s poljubnim številom:

Ponovimo pravilo:

Vsako število na ničelno potenco je enako ena.

Vendar obstajajo izjeme od mnogih pravil. In tukaj je tudi tam - to je številka (kot osnova).

Od tu je že enostavno izraziti želeno:

Zdaj dobljeno pravilo razširimo na poljubno stopnjo:

Torej, oblikujmo pravilo:

Število na negativno potenco je obratno število istega števila na pozitivno potenco. Toda hkrati osnova ne more biti ničelna:(ker je nemogoče razdeliti).

Naj povzamemo:

I. Izraz ni definiran v primeru. Če, potem.

II. Vsako število na ničelno potenco je enako ena: .

III. Število, ki ni enako nič na negativno potenco, je obratna vrednost istega števila na pozitivno potenco: .

Naloge za samostojno reševanje:

No, kot običajno, primeri za neodvisno rešitev:

Analiza nalog za samostojno rešitev:

Nadaljujmo s širitvijo obsega števil, "primernih" kot eksponent.

Zdaj razmislite racionalna števila. Katera števila imenujemo racionalna?

Odgovor: vse, kar je mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila, poleg tega.

Da bi razumeli, kaj je "frakcijska stopnja" Razmislimo o ulomku:

Dvignimo obe strani enačbe na potenco:

Zdaj pa se spomnite pravila "stopnja do stopinje":

Katero število je treba dvigniti na potenco, da dobimo?

Ta formulacija je definicija korena th stopnje.

Naj vas spomnim: koren th potence števila () je število, ki je, če ga dvignete na potenco, enako.

To pomeni, da je koren th stopnje inverzna operacija potenciranja: .

Izkazalo se je, da. Očitno je ta poseben primer mogoče razširiti: .

Zdaj dodajte števec: kaj je to? Odgovor je enostavno dobiti s pravilom moči na moč:

Toda ali je lahko osnova poljubno število? Navsezadnje korena ni mogoče izvleči iz vseh števil.

nobene!

Zapomnite si pravilo: vsako število, povišano na sodo potenco, je pozitivno število. To pomeni, da je nemogoče izluščiti korenine sode stopnje iz negativnih števil!

In to pomeni, da takšnih števil ni mogoče dvigniti na ulomek s sodim imenovalcem, kar pomeni, da izraz nima smisla.

Kaj pa izražanje?

Tu pa nastane težava.

Število lahko predstavimo kot druge, zmanjšane ulomke, na primer ali.

In izkaže se, da obstaja, vendar ne obstaja, in to sta le dva različna zapisa iste številke.

Ali drug primer: enkrat, potem lahko zapišeš. Toda takoj, ko indikator zapišemo na drugačen način, spet dobimo težave: (torej, dobili smo popolnoma drugačen rezultat!).

Da bi se izognili takšnim paradoksom, razmislite le pozitivni osnovni eksponent z delnim eksponentom.

Torej če:

- naravno število;
je celo število;