לפי ספר הלימוד של סובטוב ויעקובלב: "מודל (lat. modulus - מידה) הוא תחליף אובייקט של האובייקט המקורי, המספק מחקר של כמה תכונות של המקור". (עמ' 6) "החלפת אובייקט אחד באחר על מנת לקבל מידע על המאפיינים החשובים ביותר של האובייקט המקורי בעזרת אובייקט דגם נקראת מידול". (עמ' 6) "תחת דוגמנות מתמטית נבין את תהליך יצירת ההתאמה לאובייקט אמיתי נתון של אובייקט מתמטי כלשהו, הנקרא מודל מתמטי, ואת חקר המודל הזה, המאפשר השגת המאפיינים של האובייקט האמיתי הנדון. . סוג המודל המתמטי תלוי הן באופי האובייקט האמיתי והן במשימות לימוד האובייקט והן באמינות ובדיוק הנדרשים לפתרון בעיה זו.
לבסוף, ההגדרה התמציתית ביותר של מודל מתמטי: "משוואה המבטאת את הרעיון».
סיווג מודלים
סיווג פורמלי של דגמים
הסיווג הפורמלי של מודלים מבוסס על סיווג הכלים המתמטיים בהם נעשה שימוש. לרוב בנוי בצורה של דיכוטומיות. לדוגמה, אחת מקבוצות הדיכוטומיות הפופולריות היא:
וכולי. כל מודל בנוי הוא ליניארי או לא ליניארי, דטרמיניסטי או סטוכסטי, ... מטבע הדברים אפשריים גם סוגים מעורבים: מרוכזים מבחינה אחת (מבחינת פרמטרים), מודלים מבוזרים במובן אחר וכו'.
סיווג לפי אופן ייצוג האובייקט
יחד עם הסיווג הפורמלי, המודלים שונים באופן שבו הם מייצגים את האובייקט:
- מודלים מבניים או פונקציונליים
מודלים מבנייםלייצג אובייקט כמערכת עם התקן ומנגנון תפקוד משלו. מודלים פונקציונלייםאין להשתמש בייצוגים כאלה ומשקפים רק את ההתנהגות (תפקוד) הנתפסת כלפי חוץ של האובייקט. בביטוי הקיצוני שלהם, הם מכונים גם דגמי "קופסה שחורה". אפשריים גם סוגים משולבים של דגמים, המכונה לעתים "דגמים" קופסה אפורה».
תוכן ומודלים פורמליים
כמעט כל המחברים המתארים את תהליך המידול המתמטי מצביעים על כך שקודם כל נבנית בנייה אידיאלית מיוחדת, מודל תוכן. אין כאן טרמינולוגיה מבוססת, ומחברים אחרים קוראים לאובייקט אידיאלי זה דגם קונספטואלי , מודל ספקולטיביאוֹ מודל קדם. במקרה זה, הבנייה המתמטית הסופית נקראת מודל רשמיאו סתם מודל מתמטי שהושג כתוצאה מהפורמליזציה של מודל תוכן זה (קדם-מודל). ניתן לבנות מודל משמעותי באמצעות סט של אידיאליזציות מוכנות, כמו במכניקה, שבה קפיצים אידיאליים, גופים קשיחים, מטוטלות אידיאליות, מדיה אלסטית וכו' מספקים אלמנטים מבניים מוכנים למידול משמעותי. עם זאת, בתחומי ידע שבהם אין תיאוריות רשמיות שהושלמו במלואן (חוד החנית של פיזיקה, ביולוגיה, כלכלה, סוציולוגיה, פסיכולוגיה ורוב התחומים האחרים), יצירת מודלים משמעותיים מסובכת באופן דרמטי יותר.
סיווג משמעותי של דגמים
שום השערה במדע אינה ניתנת להוכחה אחת ולתמיד. ריצ'רד פיינמן ניסח זאת בצורה ברורה מאוד:
"תמיד יש לנו את היכולת להפריך תיאוריה, אבל שימו לב שלעולם לא נוכל להוכיח שהיא נכונה. נניח שאתה מעלה השערה מוצלחת, תחשב לאן היא מובילה ותגלה שכל ההשלכות שלה מאושרות בניסוי. האם זה אומר שהתיאוריה שלך נכונה? לא, זה פשוט אומר שלא הצלחת להפריך את זה.
אם נבנה דגם מהסוג הראשון, אז זה אומר שהוא מזוהה באופן זמני כנכון ואפשר להתרכז בבעיות אחרות. עם זאת, זו לא יכולה להיות נקודה במחקר, אלא רק הפסקה זמנית: מעמדו של המודל מהסוג הראשון יכול להיות זמני בלבד.
סוג 2: מודל פנומנולוגי (להתנהג כאילו…)
המודל הפנומנולוגי מכיל מנגנון לתיאור התופעה. עם זאת, מנגנון זה אינו משכנע מספיק, אינו ניתן לאישוש מספק על ידי הנתונים הזמינים, או אינו מתאים היטב לתיאוריות הזמינות ולידע המצטבר על האובייקט. לכן, למודלים פנומנולוגיים יש מעמד של פתרונות זמניים. מאמינים שהתשובה עדיין לא ידועה ויש צורך להמשיך בחיפוש אחר "מנגנונים אמיתיים". פיירלס מתייחס, למשל, את המודל הקלורי ואת מודל הקווארק של חלקיקים אלמנטריים לסוג השני.
תפקידו של המודל במחקר עשוי להשתנות עם הזמן, יכול לקרות שנתונים ותיאוריות חדשות מאששות מודלים פנומנולוגיים והם מקודמים למעמד של השערה. כמו כן, ידע חדש עלול להסתבך בהדרגה עם מודלים-השערות מהסוג הראשון, והן עשויות לעבור לשני. לפיכך, מודל הקווארק עובר בהדרגה לקטגוריית ההשערות; האטומיזם בפיזיקה עלה כפתרון זמני, אך עם מהלך ההיסטוריה הוא עבר לסוג הראשון. אבל דגמי האתר עברו מסוג 1 לסוג 2, ועכשיו הם מחוץ למדע.
רעיון הפשטות פופולרי מאוד בעת בניית דגמים. אבל הפשטות היא אחרת. פיירלס מבחין בין שלושה סוגים של הפשטות בדוגמנות.
סוג 3: אוּמדָן (משהו נחשב לגדול מאוד או קטן מאוד)
אם ניתן לבנות משוואות המתארות את המערכת הנחקרת, אין זה אומר שניתן לפתור אותן אפילו בעזרת מחשב. טכניקה נפוצה במקרה זה היא שימוש בקירוב (מודלים מסוג 3). ביניהם מודלים של תגובה ליניארית. המשוואות מוחלפות בלינאריות. הדוגמה הסטנדרטית היא חוק אוהם.
והנה סוג 8, שנמצא בשימוש נרחב במודלים מתמטיים של מערכות ביולוגיות.
סוג 8: הדגמת אפשרות (העיקר הוא להראות את העקביות הפנימית של האפשרות)
אלו גם ניסויי מחשבה.עם ישויות דמיוניות המדגימות זאת תופעה כביכולתואם עקרונות בסיסיים ועקבי פנימי. זה ההבדל העיקרי מדגמים מסוג 7, החושפים סתירות נסתרות.
אחד המפורסמים מבין הניסויים הללו הוא הגיאומטריה של לובצ'בסקי (לובצ'בסקי כינה אותה "גיאומטריה דמיונית"). דוגמה נוספת היא ייצור המוני של מודלים קינטיים פורמליים של תנודות כימיות וביולוגיות, גלי אוטומטי וכו'. פרדוקס איינשטיין-פודולסקי-רוזן נתפס כדגם מסוג 7 כדי להדגים חוסר עקביות מכניקה קוואנטית. באופן בלתי מתוכנן לחלוטין, הוא הפך בסופו של דבר לדגם מסוג 8 - הדגמה לאפשרות של טלפורטציה קוונטית של מידע.
דוגמא
הבה נבחן מערכת מכנית המורכבת מקפיץ קבוע בקצה אחד ועומס של מסה, המחובר לקצה החופשי של הקפיץ. נניח שהעומס יכול לנוע רק בכיוון ציר הקפיץ (לדוגמה, התנועה מתרחשת לאורך המוט). הבה נבנה מודל מתמטי של מערכת זו. נתאר את מצב המערכת לפי המרחק ממרכז העומס למצב שיווי המשקל שלו. הבה נתאר את האינטראקציה של קפיץ ועומס באמצעות חוק הוק() שלאחריו אנו משתמשים בחוק השני של ניוטון כדי לבטא אותו בצורה של משוואה דיפרנציאלית:
כאשר פירושו הנגזרת השנייה של ביחס לזמן:.
המשוואה שהתקבלה מתארת את המודל המתמטי של המערכת הפיזיקלית הנחשבת. דפוס זה נקרא "מתנד הרמוני".
לפי הסיווג הפורמלי, מודל זה הוא ליניארי, דטרמיניסטי, דינאמי, מרוכז, רציף. בתהליך בנייתו הנחנו הנחות רבות (על היעדר כוחות חיצוניים, היעדר חיכוך, מיעוט הסטיות וכו'), שבמציאות אולי לא יתממשו.
ביחס למציאות, לרוב מדובר בדגם מסוג 4. פישוט("אנו משמיטים כמה פרטים לשם הבהירות"), מכיוון שכמה תכונות אוניברסליות חיוניות (לדוגמה, פיזור) מושמטות. בקירוב מסוים (נניח, בעוד הסטייה של העומס משיווי משקל קטנה, עם מעט חיכוך, למשך זמן לא ארוך מדי ובכפוף לתנאים מסוימים אחרים), מודל כזה מתאר מערכת מכנית אמיתית די טוב, שכן הגורמים שהושלכו. יש השפעה זניחה על התנהגותו. עם זאת, ניתן לשכלל את המודל על ידי התחשבות בחלק מהגורמים הללו. זה יוביל לדגם חדש, עם היקף רחב יותר (אם כי שוב מוגבל).
עם זאת, כאשר המודל משוכלל, המורכבות של המחקר המתמטי שלו יכולה לגדול משמעותית ולהפוך את המודל לחסר תועלת למעשה. לעתים קרובות, מודל פשוט יותר מאפשר לך לחקור טוב יותר ומעמיק יותר את המערכת האמיתית מאשר מודל מורכב יותר (ורשמית, "נכון יותר").
אם ניישם את מודל המתנד ההרמוני על עצמים שרחוקים מפיזיקה, מצבו המשמעותי עשוי להיות שונה. לדוגמה, כאשר מיישמים מודל זה על אוכלוסיות ביולוגיות, סביר להניח שיש לייחס אותו לסוג 6 אֲנָלוֹגִיָה("בואו ניקח בחשבון רק כמה תכונות").
דגמים קשים ורכים
המתנד ההרמוני הוא דוגמה למודל שנקרא "קשה". זה מתקבל כתוצאה מאידיאליזציה חזקה של מערכת פיזית אמיתית. כדי לפתור את סוגיית תחולתו, יש להבין עד כמה הגורמים שהזנחנו הם משמעותיים. במילים אחרות, יש צורך לחקור את המודל ה"רך", המתקבל על ידי הפרעה קטנה של ה"קשה". זה יכול להינתן, למשל, על ידי המשוואה הבאה:
כאן - פונקציה כלשהי, שיכולה לקחת בחשבון את כוח החיכוך או את התלות של מקדם הקשיחות של הקפיץ במידת המתיחה שלו - איזה פרמטר קטן. הצורה המפורשת של הפונקציה לא מעניינת אותנו כרגע. אם נוכיח שהתנהגותו של מודל רך אינה שונה מהותית מזו של מודל קשיח (ללא קשר לצורה המפורשת של הגורמים המטרידים, אם הם קטנים מספיק), הבעיה תצטמצם ללימוד המודל הקשיח. אחרת, יישום התוצאות שהושגו בחקר המודל הנוקשה ידרוש מחקר נוסף. לדוגמה, הפתרון למשוואה של מתנד הרמוני הם פונקציות של הצורה , כלומר, תנודות עם משרעת קבועה. האם מכאן נובע שמתנד אמיתי יתנדנד ללא הגבלת זמן עם משרעת קבועה? לא, כי אם לוקחים בחשבון מערכת עם חיכוך קטן באופן שרירותי (נוכח תמיד במערכת אמיתית), אנו מקבלים תנודות דחוסות. התנהגות המערכת השתנתה מבחינה איכותית.
אם מערכת שומרת על התנהגותה האיכותית תחת הפרעה קטנה, אומרים שהיא יציבה מבנית. המתנד ההרמוני הוא דוגמה למערכת לא יציבה מבנית (לא מחוספסת). עם זאת, מודל זה יכול לשמש ללימוד תהליכים במרווחי זמן מוגבלים.
אוניברסליות של דגמים
למודלים המתמטיים החשובים ביותר יש בדרך כלל את התכונה החשובה אוניברסליות: ניתן לתאר תופעות אמיתיות שונות באופן מהותי על ידי אותו מודל מתמטי. לדוגמה, מתנד הרמוני מתאר לא רק את התנהגות עומס על קפיץ, אלא גם תהליכים נדנודיים אחרים, לרוב בעלי אופי שונה לחלוטין: תנודות קטנות של מטוטלת, תנודות ברמת הנוזל בכלי בצורת - או שינוי בעוצמת הזרם במעגל נדנוד. לפיכך, בלימוד מודל מתמטי אחד, אנו לומדים בבת אחת מחלקה שלמה של תופעות המתוארות על ידו. זהו איזומורפיזם זה של חוקים המובעים על ידי מודלים מתמטיים בקטעים שונים ידע מדעי, הישגו של לודוויג פון ברטלנפי ביצירת "תורת המערכות הכללית".
בעיות ישירות והפוכות של מידול מתמטי
ישנן בעיות רבות הקשורות למידול מתמטי. ראשית, יש צורך להמציא את הסכימה הבסיסית של האובייקט המעצב, לשחזר אותו במסגרת האידיאליזציות של מדע זה. אז, קרון רכבת הופך למערכת של לוחות וגופים מורכבים יותר חומרים שונים, כל חומר מצויין כאידיאליזציה המכנית הסטנדרטית שלו (צפיפות, מודולים אלסטיים, מאפייני חוזק סטנדרטיים), לאחר מכן מורכבות משוואות, לאורך כל הדרך נמחקים כמה פרטים כחסרי משמעות, מתבצעים חישובים, בהשוואה למדידות, המודל משוכלל, וכולי. עם זאת, לפיתוח טכנולוגיות מידול מתמטי, כדאי לפרק תהליך זה למרכיבים המרכיבים העיקריים שלו.
באופן מסורתי, ישנם שני סוגים עיקריים של בעיות הקשורות למודלים מתמטיים: ישיר והיפוך.
בעיה ישירה: מבנה המודל וכל הפרמטרים שלו נחשבים ידועים, המשימה העיקרית היא ללמוד את המודל כדי לחלץ ידע שימושי על האובייקט. באיזה עומס סטטי הגשר יכול לעמוד? איך הוא יגיב לעומס דינמי (למשל לצעידה של פלוגת חיילים, או למעבר רכבת במהירויות שונות), איך המטוס יתגבר על מחסום הקול, האם יתפרק מרפרוף - אלו הן דוגמאות טיפוסיות למשימה ישירה. הגדרת הבעיה הישירה הנכונה (שאילת השאלה הנכונה) דורשת מיומנות מיוחדת. אם לא ישאלו את השאלות הנכונות, הגשר עלול לקרוס, גם אם נבנה מודל טוב להתנהגותו. אז, בשנת 1879, גשר מתכת מעבר לנהר הטיי קרס בבריטניה הגדולה, שמתכנניו בנו דגם של הגשר, חישבו אותו עבור מרווח בטיחות של פי 20 עבור המטען, אבל שכחו מהרוחות הנושבות ללא הרף. אותם מקומות. ואחרי שנה וחצי זה קרס.
במקרה הפשוט ביותר (משוואת מתנד אחת, למשל), הבעיה הישירה פשוטה מאוד ומצטמצמת לפתרון מפורש של המשוואה הזו.
בעיה הפוכה: ידועים מודלים אפשריים רבים, יש צורך לבחור דגם ספציפי על סמך נתונים נוספים על האובייקט. לרוב, מבנה המודל ידוע ויש לקבוע כמה פרמטרים לא ידועים. מידע נוסףעשוי להיות מורכב בנתונים אמפיריים נוספים, או בדרישות לאובייקט ( משימת עיצוב). נתונים נוספים יכולים להגיע ללא תלות בתהליך ההחלטה בעיה הפוכה (התבוננות פסיבית) או להיות תוצאה של ניסוי שתוכנן במיוחד במהלך הפתרון ( מעקב פעיל).
אחת הדוגמאות הראשונות לפתרון וירטואוזי של בעיה הפוכה עם שימוש מלא אפשרי בנתונים זמינים הייתה השיטה שנבנתה על ידי I. Newton לשחזור כוחות חיכוך מתנודות דחוסות שנצפו.
דוגמה נוספת היא סטטיסטיקה מתמטית. המשימה של מדע זה היא פיתוח שיטות לרישום, תיאור וניתוח של נתונים תצפיתיים וניסיוניים על מנת לבנות מודלים הסתברותיים של תופעות אקראיות המוניות. הָהֵן. סט המודלים האפשריים מוגבל על ידי מודלים הסתברותיים. בבעיות ספציפיות, סט הדגמים מוגבל יותר.
מערכות הדמיית מחשב
כדי לתמוך במודלים מתמטיים, פותחו מערכות מתמטיקה ממוחשבות, לדוגמה, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim וכו'. הן מאפשרות ליצור מודלים פורמליים ובלוקים של תהליכים והתקנים פשוטים ומורכבים ולשנות בקלות פרמטרים של מודל במהלך סימולציה. דגמי בלוקמיוצגים על ידי בלוקים (לרוב גרפיים), שהקבוצה והחיבור שלהם מצוינים בתרשים הדגם.
דוגמאות נוספות
דגם מלתוס
קצב הגידול הוא פרופורציונלי לגודל האוכלוסייה הנוכחי. זה מתואר על ידי המשוואה הדיפרנציאלית
היכן נמצא פרמטר מסוים שנקבע על ידי ההפרש בין שיעור הילודה לשיעור התמותה. הפתרון למשוואה זו הוא פונקציה אקספוננציאלית. אם שיעור הילודה עולה על שיעור התמותה (), גודל האוכלוסייה גדל ללא הגבלה ובמהירות רבה. ברור שבמציאות זה לא יכול לקרות בגלל משאבים מוגבלים. כאשר מגיעים לגודל אוכלוסייה קריטי מסוים, המודל מפסיק להיות הולם, שכן הוא אינו לוקח בחשבון את המשאבים המוגבלים. חידוד של מודל מלתוס יכול להיות המודל הלוגיסטי, המתואר על ידי משוואת הדיפרנציאל של Verhulst
היכן גודל האוכלוסייה "שיווי משקל", שבו שיעור הילודה מפוצה בדיוק בשיעור התמותה. גודל האוכלוסייה במודל כזה נוטה לערך שיווי המשקל, והתנהגות זו יציבה מבחינה מבנית.
מערכת טורף-טרף
נניח שבאזור מסוים חיים שני סוגי חיות: ארנבות (אוכלות צמחים) ושועלים (ארנבות אוכלות). תן למספר הארנבים, למספר השועלים. באמצעות מודל Malthus עם התיקונים הנדרשים, תוך התחשבות באכילת ארנבות על ידי שועלים, אנו מגיעים למערכת הבאה, הנושאת את השם דגמי מגש - וולטרה:
למערכת זו יש מצב שיווי משקל שבו מספר הארנבים והשועלים קבוע. סטייה ממצב זה מובילה לתנודות במספר הארנבים והשועלים, בדומה לתנודות במתנד ההרמוני. כמו במקרה של המתנד ההרמוני, התנהגות זו אינה יציבה מבנית: שינוי קטן במודל (למשל, תוך התחשבות במשאבים המוגבלים הדרושים לארנבים) יכול להוביל לשינוי איכותי בהתנהגות. לדוגמה, מצב שיווי המשקל יכול להפוך ליציב, ותנודות האוכלוסייה יתפוגגו. ייתכן גם מצב הפוך, כאשר כל סטייה קטנה ממצב שיווי המשקל תוביל לתוצאות קטסטרופליות, עד להכחדה מוחלטת של אחד המינים. לשאלה איזה מהתרחישים הללו מתממש, מודל וולטרה-לוטקה אינו נותן תשובה: נדרש כאן מחקר נוסף.
הערות
- "ייצוג מתמטי של המציאות" (אנציקלופדיה בריטניקה)
- נוביק אי.ב., על שאלות פילוסופיות של דוגמנות קיברנטית. מ., ידע, 1964.
- סובטוב ב' יא, יעקובלב ש' א., מודל מערכות: פרוק. לאוניברסיטאות - מהדורה שלישית, מתוקנת. ועוד - מ.: גבוה יותר. בית ספר, 2001. - 343 עמ'. ISBN 5-06-003860-2
- סמרסקי א.א., מיכאילוב א.פ.דוגמנות במתמטיקה. רעיונות. שיטות. דוגמאות. - מהדורה שנייה, מתוקנת. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
- מישקיס א.ד., יסודות תורת המודלים המתמטיים. - מהדורה שלישית, כומר. - M.: KomKniga, 2007. - 192 עם ISBN 978-5-484-00953-4
- סבוסטיאנוב, א.ג. דוּגמָנוּת תהליכים טכנולוגיים: ספר לימוד / א.ג. סבוסטיאנוב, P.A. סבוסטיאנוב. - מ.: תעשיית הקלה והמזון, 1984. - 344 עמ'.
- ויקימילון: מודלים מתמטיים
- CliffsNotes.com. מילון מדעי כדור הארץ. 20 בספטמבר 2010
- Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
- "תיאוריה נחשבת ליניארית או לא ליניארית, תלוי באיזה מנגנון מתמטי - ליניארי או לא ליניארי, באיזה מודלים מתמטיים - ליניאריים או לא לינאריים - היא משתמשת. ... מבלי להכחיש את האחרון. פיזיקאי מודרני, אם במקרה היה מגדיר מחדש ישות חשובה כל כך כמו אי-לינאריות, סביר להניח שיפעל אחרת, ומעדיף את אי-לינאריות בתור החשוב והמשותף יותר מבין שני ההפכים, יגדיר את ליניאריות כ"אי-לא-לינאריות. ליניאריות". דנילוב יו.א., הרצאות על דינמיקה לא ליניארית. מבוא יסודי. סינרגטיות: מהעבר לסדרה העתידית. Ed.2. - מ.: URSS, 2006. - 208 עמ'. ISBN 5-484-00183-8
- "מערכות דינמיות המבוססות על מספר סופי של משוואות דיפרנציאליות רגילות נקראות מערכות גושים או נקודות. הם מתוארים באמצעות מרחב פאזה סופי ממדי ומאופיינים במספר סופי של דרגות חופש. מערכת אחת ויחידה בתנאים שונים יכולה להיחשב כמרוכזת או מבוזרת. מודלים מתמטיים של מערכות מבוזרות הם משוואות דיפרנציאליות חלקיות, משוואות אינטגרליות או משוואות השהייה רגילות. מספר דרגות החופש של מערכת מבוזרת הוא אינסופי, והוא נדרש מספר אין סופינתונים כדי לקבוע את מצבו. אנישצ'נקו ו.ס., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, No. 11, p. 77-84.
- "בהתאם לאופי התהליכים הנלמדים במערכת S, ניתן לחלק את כל סוגי המידול לדטרמיניסטים וסטוכסטיים, סטטיים ודינאמיים, דיסקרטיים, מתמשכים ובדידים-רציפים. סימולציה דטרמיניסטיתמציג תהליכים דטרמיניסטיים, כלומר תהליכים שבהם מניחים היעדר השפעות אקראיות כלשהן; מודלים סטוכסטיים מציגים תהליכים ואירועים הסתברותיים. ... מידול סטטי משמש לתיאור התנהגות של אובייקט בכל נקודת זמן, בעוד דוגמנות דינמית משקפת את התנהגותו של אובייקט לאורך זמן. מידול דיסקרטי משמש לתיאור תהליכים אשר מניחים שהם בדידים, בהתאמה, מידול רציף מאפשר לך לשקף תהליכים מתמשכים במערכות, ומידול דיסקרטי-רציף משמש למקרים שבהם אתה רוצה להדגיש את נוכחותם של תהליכים דיסקרטיים ורציפים כאחד. סובטוב ב' יא, יעקובלב ש' א. ISBN 5-06-003860-2
- בדרך כלל, המודל המתמטי משקף את המבנה (הסידור) של האובייקט המודגם, את המאפיינים והחיבורים ההדדיים של מרכיבי האובייקט הזה החיוניים למטרות המחקר; מודל כזה נקרא מבני. אם המודל משקף רק את אופן פעולתו של האובייקט - למשל, איך הוא מגיב להשפעות חיצוניות - אז הוא נקרא קופסה פונקציונלית או, באופן פיגורטיבי, קופסה שחורה. אפשר גם דגמים משולבים. מישקיס א.ד. ISBN 978-5-484-00953-4
- "השלב הראשוני המובן מאליו, אך החשוב ביותר, בבניית מודל מתמטי או בבחירתו הוא לקבל כמה שיותר ברור לגבי האובייקט המדגם ולחדד את מודל התוכן שלו בהתבסס על דיונים לא פורמליים. אין לחסוך זמן ומאמצים בשלב זה, הצלחת המחקר כולו תלויה בכך במידה רבה. לא פעם קרה שעבודה ניכרת שהושקעה בפתרון בעיה מתמטית התבררה כלא יעילה או אפילו מבוזבזת בגלל חוסר תשומת לב מספקת לצד זה של העניין. מישקיס א.ד., יסודות תורת המודלים המתמטיים. - מהדורה שלישית, כומר. - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
- « תיאור המודל הרעיוני של המערכת.בתת-שלב זה של בניית מודל מערכת: א) המודל המושגי M מתואר במונחים ומושגים מופשטים; ב) תיאור המודל ניתן באמצעות סכמות מתמטיות טיפוסיות; ג) השערות והנחות מתקבלות לבסוף; ד) הבחירה בנוהל לקירוב תהליכים אמיתיים בעת בניית מודל מבוססת". סובטוב ב' יא, יעקובלב ש' א., מודל מערכות: פרוק. לאוניברסיטאות - מהדורה שלישית, מתוקנת. ועוד - מ.: גבוה יותר. בית ספר, 2001. - 343 עמ'. ISBN 5-06-003860-2, עמ'. 93.
- Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., מתמטיקה שימושית: נושא, לוגיקה, תכונות של גישות. עם דוגמאות ממכניקה: הדרכה. - מהדורה שלישית, כומר. ועוד - מ.: URSS, 2006. - 376 עמ'. ISBN 5-484-00163-3, פרק 2.
הערות ההרצאה
בקצב
"מידול מתמטי של מכונות ומערכות תחבורה"
הקורס עוסק בסוגיות הקשורות למידול מתמטי, עם צורת ועיקרון הייצוג של מודלים מתמטיים. נשקלות שיטות מספריות לפתרון מערכות לא ליניאריות חד-ממדיות. נסקרות שאלות של מודלים ממוחשבים וניסויים חישוביים. שיטות לעיבוד נתונים שהתקבלו כתוצאה מניסויים מדעיים או תעשייתיים נחשבות; מחקר של תהליכים שונים, זיהוי תבניות בהתנהגות של עצמים, תהליכים ומערכות. שיטות האינטרפולציה והקירוב של נתוני ניסוי נחשבות. נושאים הקשורים להדמיית מחשב ופתרון של מערכות דינמיות לא ליניאריות נשקלות. בפרט, נשקלות שיטות של אינטגרציה מספרית ופתרון של משוואות דיפרנציאליות רגילות מהסדר הראשון, השני והגבוה יותר.
הרצאה: מידול מתמטי. צורה ועקרונות ייצוג של מודלים מתמטיים
ההרצאה כיסה בעיות כלליותמידול מתמטי. ניתן סיווג המודלים המתמטיים.
מחשבים נכנסו חזק לחיינו, ואין כמעט תחום כזה של פעילות אנושית שבו לא נעשה שימוש במחשבים. מחשבים נמצאים כיום בשימוש נרחב בתהליך של יצירה ומחקר של מכונות חדשות, תהליכים טכנולוגיים חדשים וחיפוש אחר האפשרויות האופטימליות שלהן; בפתרון בעיות כלכליות, בפתרון בעיות של תכנון וניהול ייצור ברמות שונות. יצירת חפצים גדולים ברקטות, בניית מטוסים, בניית ספינות, כמו גם עיצוב של סכרים, גשרים וכו', בדרך כלל בלתי אפשרית ללא שימוש במחשבים.
כדי להשתמש במחשב בפתרון בעיות יישומיות, קודם כל יש "לתרגם" את הבעיה היישומית לשפה מתמטית פורמלית, כלומר. עבור אובייקט, תהליך או מערכת אמיתיים, יש לבנות את המודל המתמטי שלו.
המילה "דגם" מגיעה מהמודוס הלטיני (העתקה, תמונה, מתאר). דוגמנות היא החלפה של אובייקט A כלשהו באובייקט אחר ב'. האובייקט המוחלף A נקרא האובייקט המקורי או אובייקט הסימולציה, וההחלפה B נקראת המודל. במילים אחרות, מודל הוא החלפת אובייקט של האובייקט המקורי, המספק מחקר של כמה מאפיינים של המקור.
מטרת המידול היא להשיג, לעבד, להציג ולהשתמש במידע על אובייקטים המקיימים אינטראקציה זה עם זה ו סביבה חיצונית; והמודל כאן פועל כאמצעי להכרת המאפיינים והדפוסים של התנהגות האובייקט.
מודלינג נמצא בשימוש נרחב בתחומים שונים של פעילות אנושית, בעיקר בתחומי העיצוב והניהול, בהם תהליכי קבלת החלטות אפקטיביות על סמך המידע המתקבל הם מיוחדים.
מודל נבנה תמיד מתוך מחשבה על מטרה ספציפית, המשפיעה אילו מאפיינים של תופעה אובייקטיבית הם משמעותיים ואילו לא. המודל הוא, כביכול, השלכה של מציאות אובייקטיבית מזווית ראייה מסוימת. לפעמים, בהתאם למטרות, ניתן לקבל מספר השלכות של מציאות אובייקטיבית שנכנסות לקונפליקט. זה אופייני, ככלל, למערכות מורכבות, שבהן כל הקרנה מייחדת את החיוני למטרה מסוימת מתוך קבוצה של לא חיוניים.
תורת הדוגמנות היא ענף מדעי החוקר דרכים לחקור את המאפיינים של אובייקטים מקוריים על סמך החלפתם באובייקטי מודל אחרים. תורת הדמיון עומדת בבסיס תורת הדוגמנות. בעת מודלים, דמיון מוחלט אינו מתקיים ורק שואף להבטיח שהמודל משקף את הצד הנחקר בתפקוד האובייקט בצורה מספיק טובה. דמיון מוחלט יכול להתרחש רק כאשר אובייקט אחד מוחלף באחר בדיוק אותו הדבר.
ניתן לחלק את כל הדגמים לשתי מחלקות:
1. אמיתי,
2. מושלם.
בתורו, ניתן לחלק מודלים אמיתיים ל:
1. טבעי,
2. פיזי,
3. מתמטי.
ניתן לחלק את הדגמים האידיאליים ל:
1. ויזואלי,
2. אייקוני,
3. מתמטי.
מודלים אמיתיים בקנה מידה מלא הם אובייקטים, תהליכים ומערכות אמיתיים שעליהם מתבצעים ניסויים מדעיים, טכניים ותעשייתיים.
מודלים פיזיים אמיתיים הם דגמים, בובות, רבייה תכונות גשמיותמקוריים (דגמים קינמטיים, דינמיים, הידראוליים, תרמיים, חשמליים, קלים).
מתמטיים אמיתיים הם מודלים אנלוגיים, מבניים, גיאומטריים, גרפיים, דיגיטליים וקיברנטיים.
מודלים חזותיים אידיאליים הם דיאגרמות, מפות, שרטוטים, גרפים, גרפים, אנלוגים, מודלים מבניים וגיאומטריים.
מודלים של סימנים אידיאליים הם סמלים, אלפבית, שפות תכנות, סימון מסודר, סימון טופולוגי, ייצוג רשת.
מודלים מתמטיים אידיאליים הם מודלים אנליטיים, פונקציונליים, סימולציות, משולבים.
בסיווג לעיל, לדגמים מסוימים יש פרשנות כפולה (לדוגמה, אנלוגי). כל הדגמים, למעט אלה בקנה מידה מלא, יכולים להיות משולבים למחלקה אחת של מודלים מנטליים, שכן הם מוצר חשיבה מופשטתאדם.
הבה נתעכב על אחד מסוגי המידול האוניברסליים ביותר - מתמטי, המקשר בין התהליך הפיזי המדומה למערכת של קשרים מתמטיים, שפתרונה מאפשר לך לקבל תשובה לשאלה על התנהגותו של אובייקט מבלי ליצור מודל פיזי, שלעתים קרובות מתברר כיקר ולא יעיל.
מידול מתמטי הוא אמצעי לחקר אובייקט, תהליך או מערכת אמיתיים על ידי החלפתם במודל מתמטי הנוחה יותר למחקר ניסיוני באמצעות מחשב.
מודל מתמטי הוא ייצוג משוער של עצמים, תהליכים או מערכות אמיתיים, המתבטאים במונחים מתמטיים ושומרים על המאפיינים המהותיים של המקור. מודלים מתמטיים בצורה כמותית, בעזרת מבנים לוגיים ומתמטיים, מתארים את המאפיינים העיקריים של אובייקט, תהליך או מערכת, הפרמטרים שלו, פנימיים ו יחסי חוץ.
במקרה הכללי, מודל מתמטי של אובייקט, תהליך או מערכת אמיתיים מיוצג כמערכת של פונקציות
Ф i (X,Y,Z,t)=0,
כאשר X הוא וקטור של משתני קלט, X= t ,
Y - וקטור של משתני פלט, Y= t ,
וקטור Z השפעות חיצוניות, Z= t ,
t - קואורדינטת זמן.
בניית מודל מתמטי מורכבת מקביעת היחסים בין תהליכים ותופעות מסוימים, יצירת מנגנון מתמטי המאפשר לבטא באופן כמותי ואיכותי את הקשר בין תהליכים ותופעות מסוימים, בין גדלים פיזיקליים המעניינים את המומחה, לבין גורמים המשפיעים על תוצאה סופית.
בדרך כלל יש כל כך הרבה כאלה שלא ניתן להכניס את כל הסט שלהם לדגם. בעת בניית מודל מתמטי, לפני המחקר, עולה המשימה לזהות ולהוציא מהשיקול גורמים שאינם משפיעים באופן משמעותי על התוצאה הסופית (מודל מתמטי כולל בדרך כלל מספר קטן משמעותית של גורמים מאשר במציאות). בהתבסס על נתוני הניסוי, מועלות השערות לגבי הקשר בין הכמויות המבטאות את התוצאה הסופית לבין הגורמים המוכנסים למודל המתמטי. קשר כזה מתבטא לעתים קרובות על ידי מערכות של משוואות דיפרנציאליות בנגזרות חלקיות (לדוגמה, בבעיות מכניקה גוף מוצק, נוזל וגז, תורת הסינון, מוליכות תרמית, תורת השדות האלקטרוסטטיים והאלקטרודינמיים).
המטרה הסופית של שלב זה היא ניסוח של בעיה מתמטית, שפתרונן, בדיוק הדרוש, מבטא את התוצאות המעניינות למומחה.
צורת ועקרונות הייצוג של מודל מתמטי תלויים בגורמים רבים.
על פי עקרונות הבנייה, מודלים מתמטיים מחולקים ל:
1. אנליטי;
2. חיקוי.
במודלים אנליטיים, תהליכי התפקוד של אובייקטים, תהליכים או מערכות אמיתיים נכתבים בצורה של תלות פונקציונלית מפורשת.
המודל האנליטי מחולק לסוגים בהתאם לבעיה המתמטית:
1. משוואות (אלגברית, טרנסנדנטלית, דיפרנציאלית, אינטגרלית),
2. בעיות קירוב (אינטרפולציה, אקסטרפולציה, אינטגרציה ודיפרנציאציה מספרית),
3. בעיות אופטימיזציה,
4. בעיות סטוכסטיות.
עם זאת, ככל שאובייקט הדוגמנות הופך מורכב יותר, בניית מודל אנליטי הופכת לבעיה בלתי פתירה. ואז החוקר נאלץ להשתמש בדוגמנות סימולציה.
בדוגמנות סימולציה, תפקודם של אובייקטים, תהליכים או מערכות מתואר על ידי קבוצה של אלגוריתמים. אלגוריתמים מחקים תופעות אלמנטריות אמיתיות המרכיבות תהליך או מערכת תוך שמירה על המבנה והרצף הלוגי שלהם בזמן. מודל סימולציה מאפשר לקבל מידע על מצבי תהליך או מערכת בנקודות זמן מסוימות מהנתונים הראשוניים, אך קשה לחזות את התנהגותם של אובייקטים, תהליכים או מערכות. אנו יכולים לומר שמודלים של סימולציה הם ניסויים חישוביים מבוססי מחשב עם מודלים מתמטיים המדמים התנהגות של עצמים, תהליכים או מערכות אמיתיות.
בהתאם לאופי התהליכים והמערכות האמיתיות שנחקרו, מודלים מתמטיים יכולים להיות:
1. דטרמיניסטי,
2. סטוכסטי.
במודלים דטרמיניסטיים, ההנחה היא שאין השפעות אקראיות, מרכיבי המודל (משתנים, קשרים מתמטיים) מבוססים למדי, וניתן לקבוע במדויק את התנהגות המערכת. בעת בניית מודלים דטרמיניסטיים, משתמשים לרוב במשוואות אלגבריות, משוואות אינטגרליות ואלגברה מטריצתית.
המודל הסטוכסטי לוקח בחשבון את האופי האקראי של התהליכים באובייקטים ובמערכות הנחקרים, המתואר בשיטות של תורת ההסתברות וסטטיסטיקה מתמטית.
על פי סוג המידע הקלט, המודלים מחולקים ל:
1. מתמשך,
2. דיסקרטי.
אם המידע והפרמטרים רציפים, והקשרים המתמטיים יציבים, אז המודל הוא רציף. ולהיפך, אם המידע והפרמטרים בדידים, והקשרים אינם יציבים, אז גם המודל המתמטי הוא דיסקרטי.
על פי התנהגות המודלים בזמן, הם מחולקים ל:
1. סטטי,
2. דינמי.
מודלים סטטיים מתארים התנהגות של אובייקט, תהליך או מערכת בכל נקודת זמן. מודלים דינמיים משקפים את ההתנהגות של אובייקט, תהליך או מערכת לאורך זמן.
לפי מידת ההתאמה בין המודל המתמטי לבין האובייקט, התהליך או המערכת האמיתיים, מודלים מתמטיים מחולקים ל:
1. איזומורפי (זהה בצורתו),
2. הומומורפי (בצורה שונה).
מודל נקרא איזומורפי אם יש התאמה מלאה של אלמנט אחר אלמנט בינו לבין אובייקט, תהליך או מערכת אמיתיים. הומומורפי - אם יש התאמה רק בין המשמעותיים ביותר חלקי מרכיביםאובייקט ודגם.
בעתיד, להגדרה קצרה של סוג המודל המתמטי בסיווג לעיל, נשתמש בסימון הבא:
מכתב ראשון:
D - דטרמיניסטי,
C - סטוכסטי.
מכתב שני:
H - רציף,
ד - דיסקרטי.
מכתב שלישי:
א - אנליטי,
וגם - חיקוי.
1. אין (ליתר דיוק, זה לא נלקח בחשבון) השפעה של תהליכים אקראיים, כלומר. מודל דטרמיניסטי (D).
2. המידע והפרמטרים הם רציפים, כלומר. דגם - רציף (H),
3. תפקוד מודל מנגנון הארכובה מתואר בצורה של משוואות טרנסצנדנטליות לא ליניאריות, כלומר. מודל - אנליטי (א)
2. הרצאה: תכונות של בניית מודלים מתמטיים
ההרצאה מתארת את תהליך בניית מודל מתמטי. ניתן האלגוריתם המילולי של התהליך.
כדי להשתמש במחשבים בפתרון בעיות יישומיות, קודם כל יש "לתרגם" את הבעיה היישומית לשפה מתמטית פורמלית, כלומר. עבור אובייקט, תהליך או מערכת אמיתיים, יש לבנות את המודל המתמטי שלו.
מודלים מתמטיים בצורה כמותית, בעזרת הבניות לוגיות ומתמטיות, מתארים את המאפיינים העיקריים של עצם, תהליך או מערכת, הפרמטרים, הקשרים הפנימיים והחיצוניים שלו.
כדי לבנות מודל מתמטי, אתה צריך:
1. לנתח בקפידה אובייקט או תהליך אמיתי;
2. להדגיש את המאפיינים והמאפיינים המשמעותיים ביותר שלו;
3. להגדיר משתנים, כלומר. פרמטרים שהערכים שלהם משפיעים על התכונות והמאפיינים העיקריים של האובייקט;
4. לתאר את התלות של המאפיינים הבסיסיים של אובייקט, תהליך או מערכת בערכם של משתנים תוך שימוש בקשרים לוגיים ומתמטיים (משוואות, שוויון, אי-שוויון, מבנים לוגיים ומתמטיים);
5. להדגיש את הקשרים הפנימיים של אובייקט, תהליך או מערכת באמצעות הגבלות, משוואות, שוויון, אי-שוויון, מבנים לוגיים ומתמטיים;
6. לקבוע יחסי חוץ ולתאר אותם באמצעות הגבלות, משוואות, שוויון, אי-שוויון, הבניות לוגיות ומתמטיות.
מידול מתמטי, בנוסף ללימוד אובייקט, תהליך או מערכת והרכבת התיאור המתמטי שלהם, כולל גם:
1. בניית אלגוריתם המדגים התנהגות של אובייקט, תהליך או מערכת;
2. אימות הלימות המודל והאובייקט, התהליך או המערכת על בסיס ניסוי חישובי וטבעי;
3. התאמת דגם;
4. שימוש במודל.
התיאור המתמטי של התהליכים והמערכות הנחקרים תלוי ב:
1. טבעו של תהליך או מערכת ממשיים והוא מורכב על בסיס חוקי הפיזיקה, הכימיה, המכניקה, התרמודינמיקה, ההידרודינמיקה, הנדסת חשמל, תורת הפלסטיות, תורת האלסטיות וכו'.
2. המהימנות והדיוק הנדרשים בלימוד וחקר תהליכים ומערכות אמיתיות.
בשלב בחירת מודל מתמטי, נקבעים: ליניאריות ואי-לינאריות של אובייקט, תהליך או מערכת, דינמיות או סטטית, נייחות או אי-נייאריות, וכן מידת הדטרמיניזם של האובייקט או התהליך תחת לימוד. במודלים מתמטיים, מופשטים בכוונה מהטבע הפיזי הספציפי של עצמים, תהליכים או מערכות ומתמקדים בעיקר בחקר התלות הכמותית בין הגדלים המתארים תהליכים אלו.
מודל מתמטי לעולם אינו זהה לחלוטין לאובייקט, לתהליך או למערכת הנחשבים. בהתבסס על פישוט, אידיאליזציה, זהו תיאור משוער של האובייקט. לכן, התוצאות המתקבלות בניתוח המודל הן משוערות. הדיוק שלהם נקבע על פי מידת ההתאמה (התכתבות) של המודל והאובייקט.
בניית מודל מתמטי מתחילה בדרך כלל בבנייה וניתוח של המודל המתמטי הפשוט והגס ביותר של האובייקט, התהליך או המערכת הנבדקים. בעתיד, במידת הצורך, המודל משוכלל, התאמתו לאובייקט הופכת לשלמה יותר.
ניקח דוגמה פשוטה. אתה צריך לקבוע את שטח הפנים של השולחן. בדרך כלל, לשם כך, מודדים את אורכו ורוחבו, ולאחר מכן מוכפלים המספרים המתקבלים. הליך אלמנטרי שכזה אומר למעשה את הדבר הבא: האובייקט האמיתי (משטח השולחן) מוחלף במודל מתמטי מופשט - מלבן. הממדים המתקבלים כתוצאה ממדידת אורך ורוחב משטח השולחן מיוחסים למלבן, ושטחו של מלבן כזה נלקח בערך כשטח הרצוי של השולחן.
עם זאת, דגם מלבן השולחן הוא הדגם הפשוט והגס ביותר. עם גישה רצינית יותר לבעיה, לפני השימוש במודל המלבן לקביעת שטח הטבלה, יש לבדוק את המודל הזה. ניתן לבצע את הבדיקות באופן הבא: למדוד את אורכי הצדדים המנוגדים של השולחן, כמו גם את אורכי האלכסונים שלו ולהשוות ביניהם. אם, במידת הדיוק הנדרשת, אורכי הצלעות הנגדיות ואורכי האלכסונים שווים לזוג, אזי פני הטבלה אכן יכולים להיחשב כמלבן. אחרת, יהיה צורך לדחות את מודל המלבן ולהחליף אותו במודל מרובע כללי. עם דרישה גבוהה יותר לדיוק, ייתכן שיהיה צורך לחדד את המודל עוד יותר, למשל, כדי לקחת בחשבון את עיגול פינות השולחן.
בעזרת זה דוגמה פשוטההוכח שהמודל המתמטי אינו נקבע באופן ייחודי על ידי האובייקט, התהליך או המערכת הנחקרת. עבור אותה טבלה, אנו יכולים לקבל מודל מלבן, או מודל מורכב יותר של מרובע כללי, או מרובע עם פינות מעוגלות. הבחירה בדגם זה או אחר נקבעת על פי דרישת הדיוק. עם דיוק הולך וגובר, המודל צריך להיות מסובך, תוך התחשבות בתכונות חדשות וחדשות של האובייקט, התהליך או המערכת הנחקרת.
שקול דוגמה נוספת: חקר התנועה של מנגנון הארכובה (איור 2.1).
אורז. 2.1.
לניתוח קינמטי של מנגנון זה, קודם כל, יש צורך לבנות את המודל הקינמטי שלו. לזה:
1. אנו מחליפים את המנגנון בסכימה הקינמטית שלו, שבה כל הקישורים מוחלפים בקישורים קשיחים;
2. באמצעות סכמה זו, אנו גוזרים את משוואת התנועה של המנגנון;
3. מבדיל את האחרונים, נקבל את משוואות המהירויות והתאוצה, שהן משוואות דיפרנציאליות מסדר 1 ו-2.
בוא נכתוב את המשוואות האלה:
כאשר C 0 הוא המיקום הימני הקיצוני של המחוון C:
r הוא הרדיוס של הארכובה AB;
l הוא אורך המוט המחבר BC;
- זווית סיבוב של הארכובה;
המשוואות הטרנסצנדנטליות המתקבלות מייצגות מודל מתמטי של תנועת מנגנון ארכובה צירית שטוחה המבוססת על ההנחות המפשטות הבאות:
1. לא התעניינו בצורות הקונסטרוקטיביות ובסידור המסות הכלולות במנגנון הגופים, והחלפנו את כל גופי המנגנון בקטעי קו. למעשה, לכל הקישורים של המנגנון יש מסה וצורה מורכבת למדי. למשל, מוט מחבר הוא חיבור טרומי מורכב, שצורתו ומידותיו ישפיעו כמובן על תנועת המנגנון;
2. בעת בניית מודל מתמטי של תנועת המנגנון הנדון, לא לקחנו בחשבון גם את הגמישות של הגופים הכלולים במנגנון, כלומר. כל הקישורים נחשבו לגופים נוקשים לחלוטין. למעשה, כל הגופים הכלולים במנגנון - גופים אלסטיים. כשהמנגנון זז, הם יהיו מעוותים איכשהו, תנודות אלסטיות עלולות אפילו להתרחש בהם. כל זה ישפיע כמובן גם על תנועת המנגנון;
3. לא לקחנו בחשבון את טעות הייצור של הקישורים, את הפערים בזוגות הקינמטיים A, B, C וכו'.
לפיכך, חשוב להדגיש שוב שככל שהדרישות לדיוק תוצאות פתרון הבעיה גבוהות יותר, כך גדל הצורך לקחת בחשבון את תכונות האובייקט, התהליך או המערכת הנחקרת בעת בניית מודל מתמטי. עם זאת, חשוב לעצור כאן בזמן, שכן מודל מתמטי מורכב יכול להפוך למשימה קשה.
המודל נבנה בצורה הפשוטה ביותר כאשר החוקים הקובעים את ההתנהגות והמאפיינים של אובייקט, תהליך או מערכת ידועים היטב, ויש ניסיון מעשי רב ביישום שלהם.
יותר מצב קשהמתעורר כאשר הידע שלנו על האובייקט, התהליך או המערכת הנחקרת אינו מספיק. במקרה זה, כאשר בונים מודל מתמטי, יש להניח הנחות נוספות שהן בגדר השערות, מודל כזה נקרא היפותטי. המסקנות המתקבלות מהמחקר של מודל היפותטי כזה הן מותנות. כדי לאמת את המסקנות, יש צורך להשוות את תוצאות חקר המודל במחשב עם תוצאות של ניסוי בקנה מידה מלא. לפיכך, שאלת הישימות של מודל מתמטי מסוים לחקר האובייקט, התהליך או המערכת הנבדקים אינה שאלה מתמטית ואינה ניתנת לפתרון בשיטות מתמטיות.
הקריטריון העיקרי של האמת הוא ניסוי, תרגול במובן הרחב של המילה.
בניית מודל מתמטי בבעיות יישומיות היא אחד השלבים המורכבים והאחראים ביותר של העבודה. הניסיון מלמד שבמקרים רבים בחירה בדגם הנכון פירושה פתרון הבעיה ביותר מחצי. הקושי של שלב זה הוא שהוא דורש שילוב של ידע מתמטי ומיוחד. לכן, חשוב מאוד שבעת פתרון בעיות יישומיות, למתמטיקאים יהיה ידע מיוחד על האובייקט, ולשותפים שלהם, מומחים, תרבות מתמטית מסוימת, ניסיון מחקרי בתחומם, ידע במחשבים ותכנות.
הרצאה 3. מידול ממוחשב וניסוי חישובי. פתרון מודלים מתמטיים
הדמיית מחשב כמו שיטה חדשהמחקר מדעי מבוסס על:
1. בניית מודלים מתמטיים לתיאור התהליכים הנבדקים;
2. שימוש במחשבים החדישים ביותר במהירות גבוהה (מיליוני פעולות בשנייה) ומסוגלים לנהל דיאלוג עם אדם.
המהות של הדמיית מחשב היא כדלקמן: על בסיס מודל מתמטי מתבצעת סדרה של ניסויים חישוביים בעזרת מחשב, כלומר. המאפיינים של אובייקטים או תהליכים נלמדים, נמצאו הפרמטרים האופטימליים ואופני הפעולה שלהם, המודל מעודן. לדוגמה, אם יש משוואה שמתארת מהלך של תהליך מסוים, אתה יכול לשנות את המקדמים שלו, תנאי ההתחלה והגבול שלו, ולחקור איך האובייקט יתנהג במקרה זה. יתרה מכך, ניתן לחזות את התנהגותו של אובייקט בתנאים שונים.
הניסוי החישובי מאפשר להחליף ניסוי יקר בקנה מידה מלא בחישובי מחשב. היא מאפשרת תוך זמן קצר וללא עלויות חומר משמעותיות לבצע מחקר של מספר רב של אפשרויות עבור האובייקט או התהליך המתוכנן עבור אופני פעולתו השונים, מה שמפחית משמעותית את הזמן הנדרש לפיתוח מערכות מורכבות והכנסתן. לתוך הייצור.
מודלים ממוחשבים וניסוי חישובי כשיטה חדשה למחקר מדעי מחייבים לשפר את המנגנון המתמטי המשמש בבניית מודלים מתמטיים, מאפשר, באמצעות שיטות מתמטיות, לחדד ולסבך מודלים מתמטיים. המבטיח ביותר לביצוע ניסוי חישובי הוא השימוש בו לפתרון בעיות מדעיות, טכניות וחברתיות-כלכליות עיקריות של זמננו (תכנון כורים לתחנות כוח גרעיניות, תכנון סכרים ותחנות כוח הידרואלקטריות, ממירי אנרגיה מגנטו-הידרו-דינמיים ובתחום הכלכלה - עריכת תכנית מאוזנת לענף, אזור, למדינה וכו').
בתהליכים מסוימים שבהם ניסוי בקנה מידה מלא מסוכן לחיי אדם ולבריאות האדם, ניסוי חישובי הוא היחיד האפשרי (היתוך תרמי גרעיני, חקר חלל, תכנון ומחקר של תעשיות כימיות ואחרות).
כדי לבדוק את הלימות המודל המתמטי והאובייקט, התהליך או המערכת האמיתיים, תוצאות מחקר במחשב מושוות לתוצאות של ניסוי במדגם ניסיוני בקנה מידה מלא. תוצאות האימות משמשות לתיקון המודל המתמטי או שאלת הישימות של המודל המתמטי שנבנה על תכנון או מחקר של אובייקטים, תהליכים או מערכות נתון.
לסיכום, נדגיש שוב כי הדמיית מחשב וניסוי חישובי מאפשרים לצמצם את חקר אובייקט "לא מתמטי" לפתרון בעיה מתמטית. זה פותח את האפשרות להשתמש במנגנון מתמטי מפותח ללימודו בשילוב עם טכנולוגיית מחשבים חזקה. זהו הבסיס לשימוש במתמטיקה ובמחשבים להכרת חוקי העולם האמיתי והשימוש בהם בפועל.
במשימות של תכנון או לימוד התנהגות של עצמים, תהליכים או מערכות אמיתיים, מודלים מתמטיים, ככלל, אינם ליניאריים, מכיוון הם חייבים לשקף את התהליכים הפיזיים הלא ליניאריים האמיתיים המתרחשים בהם. במקביל, הפרמטרים (המשתנים) של תהליכים אלו קשורים זה בזה על ידי חוקים פיזיקליים לא ליניאריים. לכן, בבעיות של תכנון או לימוד התנהגות של אובייקטים, תהליכים או מערכות אמיתיים, משתמשים לרוב במודלים מתמטיים מסוג DND.
לפי הסיווג שניתן בהרצאה 1:
ד - המודל דטרמיניסטי, אין (ליתר דיוק, זה לא נלקח בחשבון) השפעה של תהליכים אקראיים.
ח - המודל רציף, מידע ופרמטרים רציפים.
א - מודל אנליטי, תפקוד המודל מתואר בצורה של משוואות (לינאריות, לא ליניאריות, מערכות משוואות, משוואות דיפרנציאליות ואינטגרליות).
אז בנינו מודל מתמטי של האובייקט, התהליך או המערכת הנחשבים, כלומר. הציג בעיה יישומית כבעיה מתמטית. לאחר מכן מתחיל השלב השני של פתרון הבעיה היישומית - חיפוש או פיתוח של שיטה לפתרון הבעיה המתמטית שנוסחה. השיטה צריכה להיות נוחה ליישום שלה במחשב, לספק את האיכות הדרושה של הפתרון.
ניתן לחלק את כל השיטות לפתרון בעיות מתמטיות ל-2 קבוצות:
1. שיטות מדויקות לפתרון בעיות;
2. שיטות מספריות לפתרון בעיות.
בשיטות מדויקות לפתרון בעיות מתמטיות ניתן לקבל את התשובה בצורת נוסחאות.
למשל, חישוב שורשים משוואה ריבועית:
או, למשל, חישוב של פונקציות נגזרות:
או חישוב של אינטגרל מוגדר:
עם זאת, החלפת מספרים בנוסחה כשברים עשרוניים סופיים, אנו עדיין מקבלים ערכים משוערים של התוצאה.
עבור רוב הבעיות שנתקלות בהן בפועל, שיטות הפתרון המדויקות אינן ידועות או נותנות נוסחאות מסורבלות מאוד. עם זאת, הם לא תמיד נחוצים. בעיה יישומית יכולה להיחשב כפתורה מעשית אם נוכל לפתור אותה במידת הדיוק הנדרשת.
כדי לפתור בעיות כאלה, פותחו שיטות מספריות שבהן הפתרון של בעיות מתמטיות מורכבות מצטמצם לביצוע רציף של מספר רב של פעולות אריתמטיות פשוטות. הפיתוח הישיר של שיטות מספריות שייך למתמטיקה חישובית.
דוגמה לשיטה מספרית היא שיטת המלבנים לאינטגרציה משוערת, שאינה מצריכה חישוב של האנטי-נגזרת לאינטגרנד. במקום האינטגרל, מחושב סכום הריבוע הסופי:
x 1 =a - הגבול התחתון של אינטגרציה;
x n+1 =b - גבול עליון של אינטגרציה;
n הוא מספר המקטעים שאליהם מחולק מרווח האינטגרציה (a,b);
הוא אורך קטע יסודי;
f(x i) הוא הערך של האינטגרנד בקצות המקטעים האלמנטריים של האינטגרציה.
אֵיך מספר נוסףמקטעים n שלתוכם מחולק מרווח האינטגרציה, ככל שהפתרון המשוער קרוב יותר לזה האמיתי, כלומר. ככל שהתוצאה מדויקת יותר.
כך, בבעיות יישומיות וביישום שיטות מדויקותפתרון, וכאשר משתמשים בשיטות פתרון מספריות, תוצאות החישובים משוערות. חשוב רק לוודא שהשגיאות מתאימות לדיוק הנדרש.
שיטות מספריות לפתרון בעיות מתמטיות ידועות כבר זמן רב, עוד לפני הופעת המחשבים, אך נעשה בהן שימוש נדיר ורק במקרים פשוטים יחסית בשל מורכבות החישובים הקיצונית. השימוש הנרחב בשיטות מספריות התאפשר הודות למחשבים.
דוגמנות במתמטיקה
1. מהו מידול מתמטי?
מאז אמצע המאה העשרים. בתחומים שונים של פעילות אנושית החלו לעשות שימוש נרחב בשיטות מתמטיות ובמחשבים. דיסציפלינות חדשות כמו "כלכלה מתמטית", "כימיה מתמטית", "בלשנות מתמטית" וכו', צצו החוקרים מודלים מתמטיים של האובייקטים והתופעות התואמים, וכן שיטות לחקר מודלים אלו.
מודל מתמטי הוא תיאור משוער של כל מחלקה של תופעות או אובייקטים של העולם האמיתי בשפת המתמטיקה. המטרה העיקרית של המודלים היא לחקור אובייקטים אלה ולחזות את התוצאות של תצפיות עתידיות. עם זאת, דוגמנות היא גם שיטת הכרה של העולם הסובב, המאפשרת לשלוט בו.
מודלים מתמטיים והניסוי הממוחשב הנלווה הם הכרחיים במקרים בהם ניסוי בקנה מידה מלא הוא בלתי אפשרי או קשה מסיבה זו או אחרת. למשל, אי אפשר להקים ניסוי בקנה מידה מלא בהיסטוריה כדי לבדוק "מה היה קורה אם..." אי אפשר לבדוק את נכונותה של תיאוריה קוסמולוגית כזו או אחרת. באופן עקרוני, אפשר, אבל בקושי הגיוני, להתנסות בהפצת מחלה כלשהי, כמו המגפה, או לבצע פיצוץ גרעיני כדי לחקור את השלכותיו. עם זאת, כל זה יכול להיעשות במחשב, לאחר שבנה בעבר מודלים מתמטיים של התופעות הנחקרות.
2. שלבים עיקריים של מידול מתמטי
1) בניית דגמים. בשלב זה מצוין אובייקט "לא מתמטי" כלשהו - תופעת טבע, בנייה, תכנית כלכלית, תהליך ייצור וכו'. במקרה זה, ככלל, תיאור ברור של המצב קשה. ראשית, מזוהים המאפיינים העיקריים של התופעה והקשר ביניהם ברמה האיכותית. לאחר מכן מנוסחות התלות האיכותיות שנמצאו בשפת המתמטיקה, כלומר נבנה מודל מתמטי. זה החלק הקשה ביותר בדוגמנות.
2) פתרון הבעיה המתמטית שהמודל מוביל אליה. בשלב זה מוקדשת תשומת לב רבה לפיתוח אלגוריתמים ושיטות מספריות לפתרון הבעיה במחשב, בעזרתן ניתן למצוא את התוצאה בדיוק הנדרש ובזמן מקובל.
3) פרשנות ההשלכות המתקבלות מהמודל המתמטי.ההשלכות הנגזרות מהמודל בשפת המתמטיקה מתפרשות בשפה המקובלת בתחום זה.
4) בדיקת נאותות הדגם.בשלב זה מתברר האם תוצאות הניסוי מתיישבות עם ההשלכות התיאורטיות מהמודל ברמת דיוק מסוימת.
5) שינוי דגם.בשלב זה, או שהמודל נעשה מורכב יותר כך שיתאים יותר למציאות, או שהוא מפושט על מנת להגיע לפתרון מקובל מעשית.
3. סיווג דגמים
ניתן לסווג מודלים לפי קריטריונים שונים. לדוגמה, על פי אופי הבעיות הנפתרות, ניתן לחלק מודלים לפונקציונליים ומבניים. במקרה הראשון, כל הכמויות המאפיינות תופעה או אובייקט באות לידי ביטוי כמותי. יחד עם זאת, חלקם נחשבים כמשתנים בלתי תלויים, בעוד שאחרים נחשבים כפונקציות של כמויות אלו. מודל מתמטי הוא בדרך כלל מערכת של משוואות מסוגים שונים (דיפרנציאלי, אלגברי וכו') הקובעות קשרים כמותיים בין הכמויות הנחשבות. במקרה השני, המודל מאפיין מבנה של אובייקט מורכב, המורכב מחלקים נפרדים, שביניהם יש קשרים מסוימים. בדרך כלל, קשרים אלה אינם ניתנים לכימות. כדי לבנות מודלים כאלה, נוח להשתמש בתורת הגרפים. גרף הוא עצם מתמטי, שהוא קבוצה של נקודות (קודקודים) במישור או במרחב, שחלקן מחוברות בקווים (קצוות).
על פי אופי הנתונים הראשוניים ותוצאות החיזוי, ניתן לחלק את המודלים לדטרמיניסטים והסתברותיים-סטטיסטיים. מודלים מהסוג הראשון נותנים תחזיות ברורות וחד משמעיות. מודלים מהסוג השני מבוססים על מידע סטטיסטי, והתחזיות המתקבלות בעזרתם הן בעלות אופי הסתברותי.
4. דוגמאות למודלים מתמטיים
1) בעיות בתנועת הקליע.
שקול את הבעיה הבאה במכניקה.
הקליע משוגר מכדור הארץ במהירות התחלתית v 0 = 30 m/s בזווית a = 45° אל פני השטח שלו; הוא נדרש למצוא את מסלול התנועה שלו ואת המרחק S בין נקודות ההתחלה והסיום של מסלול זה.
לאחר מכן, כפי שידוע מהקורס בפיזיקה בבית הספר, תנועת הקליע מתוארת על ידי הנוסחאות:
כאשר t - זמן, g = 10 m/s 2 - תאוצת נפילה חופשית. נוסחאות אלו נותנות את המודל המתמטי של המשימה. מבטאים את t במונחים של x מהמשוואה הראשונה ומחליפים אותה בשניה, נקבל את המשוואה עבור מסלול הקליע:
עקומה זו (פרבולה) חותכת את ציר ה-x בשתי נקודות: x 1 \u003d 0 (תחילת המסלול) ו 
(המקום בו נפל הקליע). החלפת הערכים הנתונים v0 ו-a בנוסחאות שהתקבלו, נקבל
תשובה: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 מ'.
שימו לב שבבניית המודל הזה נעשה שימוש במספר הנחות: למשל, ההנחה היא שכדור הארץ שטוח, והאוויר והסיבוב של כדור הארץ אינם משפיעים על תנועת הקליע.
2) הבעיה של מיכל עם שטח הפנים הקטן ביותר.
נדרש למצוא את הגובה h 0 ורדיוס r 0 של מיכל פח בנפח V = 30 מ' 3, בעל צורה של גליל עגול סגור, שבו שטח הפנים שלו S מינימלי (במקרה זה, הכמות הקטנה ביותר של פח ייכנס לייצורו).
אנו כותבים את הנוסחאות הבאות לנפח ושטח הפנים של גליל בגובה h ורדיוס r:
V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).
אם מביעים את h במונחים של r ו-V מהנוסחה הראשונה ומחליפים את הביטוי שהתקבל בשני, נקבל:
כך, מנקודת מבט מתמטית, הבעיה מצטמצמת לקביעת הערך של r שבו הפונקציה S(r) מגיעה למינימום שלה. הבה נמצא את הערכים של r 0 שעבורם הנגזרת
הולך לאפס: 
ניתן לבדוק שהנגזרת השנייה של הפונקציה S(r) משנה סימן ממינוס לפלוס כאשר הארגומנט r עובר דרך הנקודה r 0 . לכן, לפונקציה S(r) יש מינימום בנקודה r0. הערך המתאים h 0 = 2r 0 . החלפת הערך הנתון V בביטוי עבור r 0 ו- h 0, נקבל את הרדיוס הרצוי 
וגובה 
3) משימת הובלה.
בעיר שני מחסני קמח ושתי מאפיות. מדי יום יוצאים 50 טון קמח מהמחסן הראשון, ו-70 טון מהשני למפעלים, כש-40 טון לראשון ו-80 טון לשני.
סמן ב א ij עלות הובלת 1 טון קמח מהמחסן ה-i ל צמח j-th(i, j = 1.2). לתת
א 11 \u003d 1.2 עמ', א 12 \u003d 1.6 עמ', א 21 \u003d 0.8 עמ', א 22 = 1 עמ'.
כיצד יש לתכנן הובלה כך שעלותם תהיה מינימלית?
בואו ניתן לבעיה ניסוח מתמטי. נסמן ב-x 1 ו-x 2 את כמות הקמח שיש להעביר מהמחסן הראשון למפעל הראשון והשני, ודרך x 3 ו-x 4 - מהמחסן השני למפעל הראשון והשני, בהתאמה. לאחר מכן:
x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)
העלות הכוללת של כל ההובלה נקבעת לפי הנוסחה
f = 1.2x1 + 1.6x2 + 0.8x3 + x4.
מנקודת מבט מתמטית, המשימה היא למצוא ארבעה מספרים x 1 , x 2 , x 3 ו x 4 העומדים בכל התנאים הנתונים ונותנים את המינימום של הפונקציה f. הבה נפתור את מערכת המשוואות (1) ביחס ל-xi (i = 1, 2, 3, 4) בשיטת חיסול לא ידועים. אנחנו מקבלים את זה
x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)
ו-x 4 לא ניתן לקבוע באופן ייחודי. מכיוון ש-x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), נובע ממשוואות (2) ש-30J x 4 J 70. החלפת הביטוי עבור x 1, x 2, x 3 בנוסחה של f, נקבל
f \u003d 148 - 0.2x 4.
קל לראות שהמינימום של פונקציה זו מושג בערך המקסימלי האפשרי של x 4, כלומר ב-x 4 = 70. הערכים התואמים של לא ידועים אחרים נקבעים על ידי נוסחאות (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.
4) בעיית ההתפרקות הרדיואקטיבית.
תנו ל-N(0) להיות המספר הראשוני של האטומים של החומר הרדיואקטיבי, ו-N(t) יהיה מספר האטומים שלא נרקבו בזמן t. נקבע בניסוי שקצב השינוי במספר האטומים N "(t) הוא פרופורציונלי ל-N (t), כלומר, N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 הוא קבוע הרדיואקטיביות של חומר נתון. בקורס בית הספר של ניתוח מתמטי, מוצג כי הפתרון למשוואה דיפרנציאלית זו הוא בעל הצורה N(t) = N(0)e –l t . הזמן T, שבמהלכו ירד מספר האטומים הראשוניים בחצי, נקרא זמן מחצית החיים, והוא מאפיין חשוב של הרדיואקטיביות של חומר. כדי לקבוע T, יש צורך להכניס את הנוסחה 
לאחר מכן 
לדוגמה, עבור ראדון l = 2.084 10–6, ומכאן T = 3.15 ימים.
5) בעיית המוכר הנוסע.
איש מכירות נודד המתגורר בעיר A 1 צריך לבקר בערים A 2 , A 3 ו- A 4 , כל עיר בדיוק פעם אחת, ואז לחזור חזרה ל A 1 . ידוע שכל הערים מחוברות בזוגות בכבישים, ואורכי הדרכים b ij בין הערים A i ו-A j (i, j = 1, 2, 3, 4) הם כדלקמן:
b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.
יש צורך לקבוע את סדר הביקור בערים, שבהן אורך השביל המתאים הוא מינימלי.
הבה נצייר כל עיר כנקודה על המטוס ונסמן אותה בתווית המתאימה Ai (i = 1, 2, 3, 4). בואו נחבר את הנקודות הללו עם קטעי קווים: הם יציירו כבישים בין ערים. עבור כל "כביש", אנו מציינים את אורכו בקילומטרים (איור 2). התוצאה היא גרף - עצם מתמטי המורכב מקבוצה מסוימת של נקודות במישור (הנקראות קודקודים) ומקבוצה מסוימת של קווים המחברים בין נקודות אלו (הנקראות קצוות). יתרה מכך, גרף זה מסומן, מכיוון שחלק מהתוויות מוקצות לקודקודים ולקצוות שלו - מספרים (קצוות) או סמלים (קודקודים). מחזור על גרף הוא רצף של קודקודים V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 כך שהקודקודים V 1 , ..., V k שונים, וכל זוג קודקודים V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) והזוג V 1, V k מחוברים בקצה. לפיכך, הבעיה הנחשבת היא למצוא מחזור כזה על הגרף העובר דרך כל ארבעת הקודקודים שעבורו סכום כל משקלי הקצוות הוא מינימלי. בואו נחפש את כל המחזורים השונים העוברים דרך ארבעה קודקודים ומתחילים ב-A 1:
1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .
עכשיו בואו נמצא את אורכי המחזורים האלה (בק"מ): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. לכן, המסלול של האורך הקטן ביותר הוא הראשון.
שימו לב שאם יש n קודקודים בגרף וכל הקודקודים מחוברים בזוגות ע"י קצוות (גרף כזה נקרא שלם), אז מספר המחזורים שעוברים בכל הקודקודים שווה. לכן במקרה שלנו יש בדיוק שלושה מחזורים .
6) בעיית מציאת קשר בין מבנה ותכונות של חומרים.
שקול כמה תרכובות כימיות הנקראות אלקנים נורמליים. הם מורכבים מ-n אטומי פחמן ו-n + 2 אטומי מימן (n = 1, 2 ...), מחוברים זה לזה כפי שמוצג באיור 3 עבור n = 3. אפשר לדעת את הערכים הניסויים של נקודות הרתיחה של תרכובות אלה:
y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.
נדרש למצוא קשר משוער בין נקודת הרתיחה למספר n עבור תרכובות אלו. אנו מניחים שלתלות זו יש את הצורה
י » א n+b
איפה א, b - קבועים שייקבעו. בשביל למצוא או-b אנו מחליפים לנוסחה זו ברציפות את n = 3, 4, 5, 6 ואת הערכים המתאימים של נקודות הרתיחה. יש לנו:
– 42 » 3 א+ b, 0 » 4 א+ b, 28 » 5 א+ b, 69 » 6 א+ב.
כדי לקבוע את הטוב ביותר או-ב ישנן שיטות רבות ושונות. בואו נשתמש בפשוטים שבהם. אנו מבטאים את b במונחים של אמהמשוואות האלה:
b" - 42 - 3 א, ב » – 4 א, ב » 28 - 5 א, ב » 69 – 6 א.
הבה ניקח כ-b הרצוי את הממוצע האריתמטי של ערכים אלה, כלומר, נשים את b » 16 - 4.5 א. הבה נחליף ערך זה b במערכת המשוואות המקורית וחישוב א, אנחנו מקבלים עבור אהערכים הבאים: א» 37, א» 28, א» 28, א» 36 אהערך הממוצע של המספרים האלה, כלומר, אנחנו שמים א» 34. אז, למשוואה הרצויה יש את הצורה
y » 34n – 139.
בואו נבדוק את דיוק המודל על ארבעת התרכובות הראשוניות, עבורן אנו מחשבים את נקודות הרתיחה באמצעות הנוסחה שהתקבלה:
y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.
לפיכך, טעות החישוב של תכונה זו עבור תרכובות אלה אינה עולה על 5°. אנו משתמשים במשוואה המתקבלת כדי לחשב את נקודת הרתיחה של תרכובת עם n = 7, שאינה נכללת בקבוצה הראשונית, שעבורה נחליף את n = 7 במשוואה זו: y р (7) = 99°. התוצאה התבררה כמדויקת למדי: ידוע שערך הניסוי של נקודת הרתיחה y e (7) = 98°.
7) בעיית קביעת מהימנות המעגל החשמלי.
כאן אנו רואים דוגמה למודל הסתברותי. ראשית, בואו ניתן קצת מידע מתורת ההסתברות - דיסציפלינה מתמטית החוקרת את הדפוסים של תופעות אקראיות הנצפות במהלך חזרה חוזרת ונשנית על ניסוי. בואו נקרא לאירוע אקראי A תוצאה אפשרית של חוויה כלשהי. אירועים A 1 , ..., A k יוצרים קבוצה שלמה אם אחד מהם מתרחש בהכרח כתוצאה מהניסוי. אירועים נקראים בלתי תואמים אם הם לא יכולים להתרחש בו זמנית באותה חוויה. תן לאירוע A להתרחש m פעמים במהלך החזרה פי n של הניסוי. תדירות האירוע A היא המספר W = . ברור שלא ניתן לחזות בדיוק את הערך של W עד שבוצעה סדרה של n ניסויים. עם זאת, טבעם של אירועים אקראיים הוא כזה שבפועל נצפית לפעמים ההשפעה הבאה: עם עלייה במספר הניסויים, הערך כמעט מפסיק להיות אקראי ומתייצב סביב מספר לא אקראי P(A), הנקרא הסתברות לאירוע A. לאירוע בלתי אפשרי (שאף פעם לא מתרחש בניסוי) P(A)=0, ולאירוע מסוים (שמתרחש תמיד בניסוי) P(A)=1. אם אירועים A 1 , ..., A k יוצרים קבוצה שלמה של אירועים לא תואמים, אז P(A 1)+...+P(A k)=1.
תנו, למשל, החוויה מורכבת מהשלכת קובייה ותצפית על מספר הנקודות שירד X. לאחר מכן נוכל להציג את האירועים האקראיים הבאים A i = (X = i), i = 1, ..., 6. הם יוצרים קבוצה שלמה של אירועים בלתי תואמים בעלי סבירות שווה, לכן P(A i) = (i = 1, ..., 6).
סכום האירועים A ו-B הוא האירוע A+B, המורכב מכך שלפחות אחד מהם מתרחש בניסוי. התוצר של אירועים A ו-B הוא האירוע AB, המורכב מהתרחשות בו-זמנית של אירועים אלה. עבור אירועים עצמאיים A ו-B, הנוסחאות נכונות
P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).
8) שקול כעת את הדברים הבאים מְשִׁימָה. נניח ששלושה אלמנטים מחוברים בסדרה במעגל חשמלי, הפועלים ללא תלות זה בזה. הסתברויות הכשל של האלמנטים הראשון, השני והשלישי הם בהתאמה P 1 = 0.1, P 2 = 0.15, P 3 = 0.2. נשקול את המעגל אמין אם ההסתברות שלא יהיה זרם במעגל אינה עולה על 0.4. נדרש לקבוע אם השרשרת הנתונה אמינה.
מכיוון שהאלמנטים מחוברים בסדרה, לא יהיה זרם במעגל (אירוע A) אם לפחות אחד מהאלמנטים נכשל. תן א אני להיות האירוע כי אלמנט i-thעובד (i = 1, 2, 3). אז P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8. ברור, A 1 A 2 A 3 הוא האירוע שכל שלושת האלמנטים פועלים בו זמנית, ו
P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612.
אז P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, אז P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.
לסיכום, נציין כי הדוגמאות לעיל של מודלים מתמטיים (ביניהם ישנם פונקציונליים ומבניים, דטרמיניסטים והסתברותיים) הן המחשות, וכמובן, אינן ממצות את כל מגוון המודלים המתמטיים שעולים במדעי הטבע והאנוש.
הרעיון של מודל וסימולציה.
מודל במובן הרחב- זוהי כל תמונה, אנלוגי של תמונה נפשית או מבוססת, תיאור, דיאגרמה, שרטוט, מפה וכו' מכל נפח, תהליך או תופעה, המשמשת כתחליף או מייצג שלה. האובייקט, התהליך או התופעה עצמם נקראים המקור של המודל הזה.
דוּגמָנוּת - זהו לימוד של כל אובייקט או מערכת של אובייקטים על ידי בנייה ולימוד המודלים שלהם. זהו שימוש במודלים כדי לקבוע או לחדד את המאפיינים ולהנמק את הדרכים לבניית אובייקטים חדשים שנבנו.
כל שיטה של מחקר מדעי מבוססת על הרעיון של מודלים, במקביל, סוגים שונים של סימנים, מודלים מופשטים משמשים בשיטות תיאורטיות, ומודלים נושאים משמשים בניסויים.
במחקר, תופעה אמיתית מורכבת מוחלפת בעותק או סכמה מפושטת כלשהי, לפעמים עותק כזה משמש רק לזכור ולזיהוי התופעה הרצויה במפגש הבא. לפעמים הסכימה הבנויה משקפת כמה תכונות חיוניות, מאפשרת לך להבין את מנגנון התופעה, מאפשרת לחזות את השינוי שלה. אותה תופעה יכולה להתאים דגמים שונים.
תפקידו של החוקר הוא לחזות את אופי התופעה ומהלך התהליך.
לפעמים, קורה שאובייקט זמין, אבל הניסויים בו יקרים או מובילים להשלכות סביבתיות חמורות. הידע על תהליכים כאלה מתקבל בעזרת מודלים.
נקודה חשובה היא שעצם טבעו של המדע כרוך בחקר לא תופעה ספציפית אחת, אלא מחלקה רחבה של תופעות קשורות. זה מרמז על הצורך לנסח כמה הצהרות קטגוריות כלליות, הנקראות חוקים. באופן טבעי, עם ניסוח כזה, פרטים רבים מוזנחים. כדי לזהות בצורה ברורה יותר את הדפוס, הם הולכים בכוונה על גסות, אידיאליזציה, סכמטיות, כלומר, הם חוקרים לא את התופעה עצמה, אלא העתקה או מודל מדויקים פחות או יותר שלה. כל החוקים הם חוקים לגבי מודלים, ולפיכך אין זה מפתיע שעם הזמן, חלק מהתיאוריות המדעיות נמצאות בלתי שמישות. זה לא מוביל לקריסת המדע, שכן מודל אחד הוחלף באחר. מודרני יותר.
תפקיד מיוחד במדע ממלאים מודלים מתמטיים, חומר הבנייה והכלים של מודלים אלו - מושגים מתמטיים. הם הצטברו והשתפרו במשך אלפי שנים. המתמטיקה המודרנית מספקת אמצעי מחקר חזקים ואוניברסליים במיוחד. כמעט כל מושג במתמטיקה, כל אובייקט מתמטי, החל מהמושג מספר, הוא מודל מתמטי. כאשר בונים מודל מתמטי של עצם או תופעה הנבדקים, מבחינים בתכונותיו, תכונותיו ופרטיו, שמצד אחד מכילים מידע מלא פחות או יותר על האובייקט, ומאידך, מאפשרים מתמטיים. פוֹרמָלִיזָצִיָה. פורמליזציה מתמטית פירושה שניתן לשייך את התכונות והפרטים של אובייקט למושגים מתמטיים נאותים: מספרים, פונקציות, מטריצות וכו'. לאחר מכן ניתן לכתוב את הקשרים והקשרים שנמצאו ומונחים באובייקט הנחקר בין חלקיו ומרכיביו הבודדים באמצעות קשרים מתמטיים: שוויון, אי-שוויון, משוואות. התוצאה היא תיאור מתמטי של התהליך או התופעה הנחקרת, כלומר המודל המתמטי שלו.
חקר מודל מתמטי קשור תמיד לכמה כללי פעולה על האובייקטים הנחקרים. כללים אלה משקפים את היחסים בין סיבות ותוצאות.
בניית מודל מתמטי היא שלב מרכזי בלימוד או תכנון של כל מערכת. כל הניתוח שלאחר מכן של האובייקט תלוי באיכות המודל. בניית מודל אינה הליך פורמלי. זה מאוד תלוי בחוקר, בניסיונו ובטעמו, תמיד מסתמך על חומר ניסיוני מסוים. הדגם צריך להיות מדויק מספיק, מתאים וצריך להיות נוח לשימוש.
דוגמנות במתמטיקה.
סיווג מודלים מתמטיים.
מודלים מתמטיים יכולים להיותנחוש בדעתו ו הסתברותי .
דטרמיניסטי דֶגֶם וכן - אלו מודלים שבהם נוצרת התאמה אחד לאחד בין המשתנים המתארים אובייקט או תופעה.
גישה זו מבוססת על ידע על מנגנון התפקוד של אובייקטים. האובייקט המדגם מורכב לרוב ופענוח המנגנון שלו עשוי להיות מאוד מייגע וגוזל זמן. במקרה זה, הם ממשיכים כדלקמן: ניסויים מבוצעים על המקור, התוצאות מעובדות, ובלי להתעמק במנגנון ובתיאוריה של האובייקט המודגם, תוך שימוש בשיטות של סטטיסטיקה מתמטית ותורת ההסתברות, הם מבססים קשרים בין המשתנים המתארים את האובייקט. במקרה זה, קבלהסתברותי דֶגֶם . IN הסתברותי מודל, הקשר בין משתנים הוא אקראי, לפעמים זה קורה ביסודו. ההשפעה של מספר עצום של גורמים, השילוב שלהם מוביל לקבוצה אקראית של משתנים המתארים אובייקט או תופעה. מטבעם של המצבים, המודל הואסטָטִיסטִי ו דִינָמִי.
סטָטִיסטִידֶגֶםכולל תיאור של הקשרים בין המשתנים העיקריים של האובייקט המדומה במצב יציב מבלי לקחת בחשבון את השינוי בפרמטרים לאורך זמן.
IN דִינָמִידגמיםמתאר את הקשר בין המשתנים העיקריים של האובייקט המדומה במעבר ממצב אחד למשנהו.
דוגמניות הן נִבדָלו רָצִיף, ו מעורב סוּג. IN רָצִיף משתנים לוקחים ערכים ממרווח מסוים, בנִבדָלמשתנים מקבלים ערכים מבודדים.
מודלים ליניאריים- כל הפונקציות והיחסים המתארים את המודל תלויים לינארית במשתנים ולא ליניאריאחרת.
דוגמנות במתמטיקה.
דרישות , הוצג לדוגמניות.
1. רבגוניות- מאפיין את שלמות התצוגה על ידי מודל המאפיינים הנלמדים של האובייקט האמיתי.
- Adequacy - היכולת לשקף את המאפיינים הרצויים של האובייקט עם שגיאה שאינה גבוהה מהמצוין.
- דיוק - מוערך לפי מידת צירוף המקרים של ערכי המאפיינים של אובייקט אמיתי והערכים של מאפיינים אלה המתקבלים באמצעות מודלים.
- כַּלְכָּלָה - נקבע על פי עלות משאבי זיכרון המחשב וזמן היישום וההפעלה שלו.
דוגמנות במתמטיקה.
השלבים העיקריים של הדוגמנות.
1. הצהרת הבעיה.
קביעת מטרת הניתוח והדרכים להשגתה ופיתוח גישה משותפת לבעיה הנחקרת. בשלב זה נדרשת הבנה מעמיקה של מהות המשימה. לפעמים, זה לא פחות קשה להגדיר נכון משימה מאשר לפתור אותה. בימוי אינו תהליך פורמלי, חוקים כללייםלא.
2. לימוד היסודות התיאורטיים ואיסוף מידע על מושא המקור.
בשלב זה נבחר או מפתח תיאוריה מתאימה. אם הוא אינו קיים, נוצרים קשרים סיבתיים בין המשתנים המתארים את האובייקט. נתוני קלט ופלט נקבעים, מניחים הנחות מפשטות.
3. פורמליזציה.
הוא מורכב מבחירת מערכת סמלים ושימוש בהם כדי לרשום את הקשר בין מרכיבי העצם בצורה של ביטויים מתמטיים. נוצרת מחלקה של משימות, אליה ניתן לייחס את המודל המתמטי המתקבל של האובייקט. ייתכן שהערכים של חלק מהפרמטרים בשלב זה עדיין לא יצוינו.
4. בחירת שיטת הפתרון.
בשלב זה נקבעים הפרמטרים הסופיים של המודלים, תוך התחשבות בתנאים להפעלת האובייקט. עבור הבעיה המתמטית שהתקבלה, נבחר שיטת פתרון או מפתחת שיטה מיוחדת. בבחירת השיטה נלקחים בחשבון הידע של המשתמש, העדפותיו וכן העדפותיו של המפתח.
5. יישום המודל.
לאחר פיתוח אלגוריתם, נכתבת תוכנית שמתבצעת באגים, נבדקת ומתקבלת פתרון לבעיה הרצויה.
6. ניתוח המידע שהתקבל.
הפתרון שהתקבל והצפוי מושווה, שגיאת הדוגמנות נשלטת.
7. בדיקת הלימות של חפץ אמיתי.
התוצאות שהושגו במודל מושוותאו עם המידע הזמין על האובייקט, או שנערך ניסוי ותוצאותיו מושוות לאלו המחושבות.
תהליך הדוגמנות הוא איטרטיבי. במקרה של תוצאות לא מספקות של השלבים 6. אוֹ 7. מתבצעת חזרה לאחד השלבים המוקדמים, שעלולה להוביל לפיתוח מודל לא מוצלח. שלב זה וכל השלבים הבאים משוכללים, וחידוד כזה של המודל מתרחש עד לקבלת תוצאות מקובלות.
מודל מתמטי הוא תיאור משוער של כל מחלקה של תופעות או אובייקטים של העולם האמיתי בשפת המתמטיקה. המטרה העיקרית של המודלים היא לחקור אובייקטים אלה ולחזות את התוצאות של תצפיות עתידיות. עם זאת, דוגמנות היא גם שיטת הכרה של העולם הסובב, המאפשרת לשלוט בו.
מודלים מתמטיים והניסוי הממוחשב הנלווה הם הכרחיים במקרים בהם ניסוי בקנה מידה מלא הוא בלתי אפשרי או קשה מסיבה זו או אחרת. למשל, אי אפשר להקים ניסוי בקנה מידה מלא בהיסטוריה כדי לבדוק "מה היה קורה אם..." אי אפשר לבדוק את נכונותה של תיאוריה קוסמולוגית כזו או אחרת. באופן עקרוני, אפשר, אבל בקושי הגיוני, להתנסות בהפצת מחלה כלשהי, כמו המגפה, או לבצע פיצוץ גרעיני כדי לחקור את השלכותיו. עם זאת, כל זה יכול להיעשות במחשב, לאחר שבנה בעבר מודלים מתמטיים של התופעות הנחקרות.
1.1.2 2. שלבים עיקריים של מידול מתמטי
1) בניית דגמים. בשלב זה מצוין אובייקט "לא מתמטי" כלשהו - תופעת טבע, בנייה, תכנית כלכלית, תהליך ייצור וכו'. במקרה זה, ככלל, תיאור ברור של המצב קשה.ראשית, מזוהים המאפיינים העיקריים של התופעה והקשר ביניהם ברמה האיכותית. לאחר מכן מנוסחות התלות האיכותיות שנמצאו בשפת המתמטיקה, כלומר נבנה מודל מתמטי. זה החלק הקשה ביותר בדוגמנות.
2) פתרון הבעיה המתמטית שהמודל מוביל אליה. בשלב זה מוקדשת תשומת לב רבה לפיתוח אלגוריתמים ושיטות מספריות לפתרון הבעיה במחשב, בעזרתן ניתן למצוא את התוצאה בדיוק הנדרש ובזמן מקובל.
3) פרשנות ההשלכות המתקבלות מהמודל המתמטי.ההשלכות הנגזרות מהמודל בשפת המתמטיקה מתפרשות בשפה המקובלת בתחום זה.
4) בדיקת נאותות הדגם.בשלב זה מתברר האם תוצאות הניסוי מתיישבות עם ההשלכות התיאורטיות מהמודל ברמת דיוק מסוימת.
5) שינוי דגם.בשלב זה, או שהמודל נעשה מורכב יותר כך שיתאים יותר למציאות, או שהוא מפושט על מנת להגיע לפתרון מקובל מעשית.
1.1.3 3. סיווג מודלים
ניתן לסווג מודלים לפי קריטריונים שונים. לדוגמה, על פי אופי הבעיות הנפתרות, ניתן לחלק מודלים לפונקציונליים ומבניים. במקרה הראשון, כל הכמויות המאפיינות תופעה או אובייקט באות לידי ביטוי כמותי. יחד עם זאת, חלקם נחשבים כמשתנים בלתי תלויים, בעוד שאחרים נחשבים כפונקציות של כמויות אלו. מודל מתמטי הוא בדרך כלל מערכת של משוואות מסוגים שונים (דיפרנציאלי, אלגברי וכו') הקובעות קשרים כמותיים בין הכמויות הנחשבות. במקרה השני, המודל מאפיין מבנה של אובייקט מורכב, המורכב מחלקים נפרדים, שביניהם יש קשרים מסוימים. בדרך כלל, קשרים אלה אינם ניתנים לכימות. כדי לבנות מודלים כאלה, נוח להשתמש בתורת הגרפים. גרף הוא עצם מתמטי, שהוא קבוצה של נקודות (קודקודים) במישור או במרחב, שחלקן מחוברות בקווים (קצוות).
על פי אופי הנתונים הראשוניים ותוצאות החיזוי, ניתן לחלק את המודלים לדטרמיניסטים והסתברותיים-סטטיסטיים. מודלים מהסוג הראשון נותנים תחזיות ברורות וחד משמעיות. מודלים מהסוג השני מבוססים על מידע סטטיסטי, והתחזיות המתקבלות בעזרתם הן בעלות אופי הסתברותי.
מודלים מתמטיים ומודלים כלליים של מחשוב או סימולציה
כעת, כאשר מתרחש בארץ מחשוב כמעט אוניברסלי, ניתן לשמוע אמירות של מומחים ממקצועות שונים: "בואו נכניס מחשב בארצנו, אז כל המשימות ייפתרו מיד". נקודת המבט הזו שגויה לחלוטין, המחשבים עצמם אינם יכולים לעשות דבר ללא מודלים מתמטיים של תהליכים מסוימים, ואפשר רק לחלום על מחשוב אוניברסלי.
לתמיכה באמור, ננסה להצדיק את הצורך בדוגמנות, לרבות מידול מתמטי, לחשוף את יתרונותיו בהכרת העולם החיצון והפיכתו על ידי אדם, לזהות חסרונות קיימים ולעבור...למדול סימולציה, כלומר. דוגמנות באמצעות מחשבים. אבל הכל מסודר.
קודם כל, בואו נענה על השאלה: מה זה דגם?
מודל הוא אובייקט חומרי או מיוצג נפשית, אשר בתהליך ההכרה (מחקר), מחליף את המקור, תוך שמירה על כמה תכונות אופייניות שחשובות למחקר זה.
מודל בנוי היטב נגיש יותר למחקר מאשר אובייקט אמיתי. למשל, ניסויים בכלכלת המדינה לצורכי חינוך אינם מקובלים, כאן אי אפשר בלי מודל.
אם נסכם את הנאמר, נוכל לענות על השאלה: בשביל מה יש מודלים? כדי
- להבין כיצד אובייקט פועל (מבנהו, תכונותיו, חוקי ההתפתחות, האינטראקציה עם העולם החיצון).
- ללמוד לנהל אובייקט (תהליך) ולקבוע האסטרטגיות הטובות ביותר
- לחזות את ההשלכות של ההשפעה על האובייקט.
מה חיובי בכל דגם? זה מאפשר לך לקבל ידע חדש על האובייקט, אבל, למרבה הצער, הוא אינו שלם במידה זו או אחרת.
דֶגֶםשנוסח בשפת המתמטיקה תוך שימוש בשיטות מתמטיות נקרא מודל מתמטי.
נקודת המוצא לבנייתו היא בדרך כלל משימה כלשהי, למשל, משימה כלכלית. נרחב, הן תיאורי והן אופטימיזציה מתמטית, מאפיין שונים תהליכים כלכלייםואירועים כגון:
- הקצאת משאבים
- חיתוך רציונלי
- הוֹבָלָה
- איחוד מפעלים
- תכנון רשת.
כיצד בנוי מודל מתמטי?
- ראשית, מנוסחים מטרת ונושא המחקר.
- שנית, המאפיינים החשובים ביותר התואמים למטרה זו מודגשים.
- שלישית, היחסים בין מרכיבי המודל מתוארים מילולית.
- יתר על כן, הקשר הוא רשמי.
- והחישוב מתבצע על פי המודל המתמטי וניתוח הפתרון שהושג.
באמצעות אלגוריתם זהאפשר לפתור כל בעיית אופטימיזציה, כולל אחת רב-אובייקטיבית, כלומר. אחת שבה לא אחת, אלא כמה מטרות, כולל אחת הסותרות, נחופות.
בואו ניקח דוגמה. תורת התורים - בעיית העמידה בתור. צריך לאזן בין שני גורמים – עלות אחזקת מכשירי שירות ועלות הישארות בתור. לאחר בניית תיאור פורמלי של המודל, מתבצעים חישובים בשיטות אנליטיות וחישוביות. אם המודל טוב, אז התשובות שנמצאו בעזרתו מתאימות למערכת הדוגמנות; אם הוא גרוע, אז יש לשפר אותו ולהחליף אותו. קריטריון ההלימה הוא תרגול.
למודלים של אופטימיזציה, לרבות ריבוי קריטריונים, יש תכונה משותפת - ידוע להשיג מטרה (או מספר יעדים) שלעתים קרובות נאלצים להתמודד עם מערכות מורכבות, שבהן מדובר לא כל כך בפתרון בעיות אופטימיזציה, אלא במחקר ובניבוי מצבים. בהתאם לאסטרטגיות הבקרה שנבחרו. וכאן אנו מתמודדים עם קשיים ביישום התכנית הקודמת. הם כדלקמן:
- מערכת מורכבת מכילה קשרים רבים בין אלמנטים
- המערכת האמיתית מושפעת מגורמים אקראיים, אי אפשר לקחת אותם בחשבון בצורה אנליטית
- האפשרות להשוות את המקור למודל קיימת רק בהתחלה ואחרי היישום של המנגנון המתמטי, כי ייתכן שלתוצאות ביניים אין אנלוגים במערכת אמיתית.
בהקשר לקשיים המפורטים המתעוררים בלימוד מערכות מורכבות, התרגול הצריך שיטה גמישה יותר, והופיע - סימולציה של מודלים "סימוג'ציה".
בדרך כלל, מודל סימולציה מובן כמערכת של תוכנות מחשב המתארות את תפקודם של בלוקים בודדים של מערכות ואת כללי האינטראקציה ביניהם. השימוש במשתנים אקראיים מחייב לערוך שוב ושוב ניסויים עם מערכת סימולציה (במחשב) וניתוח סטטיסטי לאחר מכן של התוצאות שהתקבלו. דוגמה נפוצה מאוד לשימוש במודלים של סימולציה היא פתרון בעיית תור בשיטת MONTE CARLO.
לפיכך, עבודה עם מערכת הסימולציה היא ניסוי המתבצע על גבי מחשב. מה הם היתרונות?
- קרבה גדולה יותר למערכת האמיתית מאשר מודלים מתמטיים;
– עקרון הבלוק מאפשר לאמת כל בלוק לפני הכללתו במערכת הכוללת;
– שימוש בתלות בעלות אופי מורכב יותר, שאינן מתוארות על ידי קשרים מתמטיים פשוטים.
היתרונות המפורטים קובעים את החסרונות
- לבנות מודל סימולציה זה ארוך יותר, קשה יותר ויקר יותר;
– לעבודה עם מערכת הסימולציה יש להצטייד במחשב המתאים לכיתה;
– אינטראקציה בין המשתמש למודל (ממשק) הסימולציה לא צריכה להיות מסובכת מדי, נוחה וידועה;
- בניית מודל סימולציה דורשת מחקר מעמיק יותר של התהליך האמיתי מאשר מידול מתמטי.
נשאלת השאלה: האם מודל סימולציה יכול להחליף שיטות אופטימיזציה? לא, אבל משלים אותם בצורה נוחה. מודל סימולציה הוא תוכנית המיישמת אלגוריתם כלשהו, כדי לייעל את השליטה בו בעיית אופטימיזציה נפתרת לראשונה.
לכן, לא מחשב, לא מודל מתמטי, ולא אלגוריתם ללימוד זה בנפרד יכולים לפתור בעיה מסובכת למדי. אבל ביחד הם מייצגים את הכוח שמאפשר לך להכיר את העולם סביבך, לנהל אותו לטובת האדם.
1.2 סיווג מודלים
1.2.1
|
1.2.2 סיווג לפי אזורי שימוש (Makarova N.A.)
הַדְרָכָה-חָזוּתִיעזרים, מאמנים , הו חוטףתוכניות |
1.2.3 סיווג לפי שיטת ההצגה Makarova N.A.)
חוֹמֶר
דגמים- אחרת
יכול להיקרא נושא. הם תופסים את התכונות הגיאומטריות והפיזיקליות של המקור ותמיד יש להם התגלמות אמיתית. |
1.2.4 סיווג המודלים שניתן בספר "ארץ אינפורמטיקה" (Gein A.G.))"...הנה משימה פשוטה לכאורה: כמה זמן ייקח לחצות את מדבר קרקום? תשובה, כמובןתלוי בצורת הנסיעה. אם לנסוע הלאהגמלים, אז תידרש קדנציה אחת, נוספת אם אתה נוסע ברכב, שלישית אם אתה טס במטוס. והכי חשוב, נדרשים דגמים שונים לתכנון נסיעות. במקרה הראשון, ניתן למצוא את הדגם הנדרש בזיכרונותיהם של מגלי מדבר מפורסמים: אחרי הכל, אי אפשר בלי מידע על נווה מדבר ושבילי גמלים. במקרה השני, מידע שאין לו תחליף הכלול באטלס הכבישים. בשלישית - ניתן להשתמש בלוח הטיסות. |
1.2.5 סיווג הדגמים ניתן במדריך של A.I. Bochkinיש הרבה דרכים לסווג .אנחנו מציגיםרק כמה מהקרנות היותר ידועות ו סימנים: דיסקרטיותו המשכיות, מטריצהומודלים סקלרים, מודלים סטטיים ודינמיים, מודלים אנליטיים ומידע, מודלים נושאיים וסימנים פיגורטיביים, בקנה מידה גדול ולא בקנה מידה... |
מודל מתמטי b הוא הייצוג המתמטי של המציאות.
דוגמנות במתמטיקה- תהליך בנייה ולימוד מודלים מתמטיים.
כל מדעי הטבע והחברה המשתמשים במנגנון המתמטי עוסקים למעשה במודלים מתמטיים: הם מחליפים את האובייקט האמיתי במודל המתמטי שלו ואז לומדים את האחרון.
הגדרות.
שום הגדרה לא יכולה לכסות במלואה את הפעילות האמיתית של מודלים מתמטיים. למרות זאת, הגדרות שימושיות בכך שהן מנסות להדגיש את התכונות המשמעותיות ביותר.
הגדרת מודל לפי A. A. Lyapunov: דוגמנות היא מחקר מעשי או תיאורטי עקיף של אובייקט, שבו לא נחקר ישירות את האובייקט המעניין אותנו, אלא מערכת עזר מלאכותית או טבעית כלשהי:
ממוקם בהתכתבות אובייקטיבית כלשהי עם האובייקט הניתן לזיהוי;
מסוגל להחליף אותו במובנים מסוימים;
שבמהלך המחקר שלו, מספק בסופו של דבר מידע על האובייקט שמעצבים אותו.
על פי ספר הלימוד של סובטוב ויעקובלב: "מודל הוא תחליף אובייקט של האובייקט המקורי, המספק מחקר של כמה תכונות של המקור." "החלפת אובייקט אחד באחר כדי לקבל מידע על המאפיינים החשובים ביותר של האובייקט המקורי באמצעות אובייקט הדגם נקראת מידול." "תחת דוגמנות מתמטית נבין את תהליך יצירת ההתאמה לאובייקט אמיתי נתון של אובייקט מתמטי כלשהו, הנקרא מודל מתמטי, ואת לימוד המודל הזה, המאפשר לקבל את המאפיינים של האובייקט האמיתי הנדון. סוג המודל המתמטי תלוי הן באופי האובייקט האמיתי והן במשימות לימוד האובייקט והן באמינות ובדיוק הנדרשים לפתרון בעיה זו".
לפי סמרסקי ומיכאילוב, מודל מתמטי הוא "מקביל" של עצם, המשקף בצורה מתמטית את תכונותיו החשובות ביותר: החוקים להם הוא מציית, הקשרים הגלומים בחלקיו המרכיבים וכו'. הוא קיים בשלישיות " מודל-אלגוריתם-תוכנית". לאחר שיצר את הטריאדה של "מודל-אלגוריתם-תוכנית", החוקר מקבל כלי אוניברסלי, גמיש וזול, אשר נבדק ונבדק לראשונה בניסויים חישוביים. לאחר ביסוס הלימות השלשה לאובייקט המקורי, מתבצעים "ניסויים" שונים ומפורטים עם המודל, המעניקים את כל המאפיינים והמאפיינים האיכותיים והכמותיים הנדרשים של האובייקט.
לפי המונוגרפיה של מישקיס: "בוא נעבור להגדרה כללית. בואו נחקור כמה קבוצה S של מאפיינים של אובייקט אמיתי עם
בעזרת המתמטיקה. לשם כך, אנו בוחרים "אובייקט מתמטי" א" - מערכת של משוואות, או יחסים אריתמטיים, או דמויות גיאומטריות, או שילוב של שניהם וכו', - שלימודו באמצעות מתמטיקה אמור לענות על השאלות שנשאלו. על תכונותיו של S. בתנאים אלו נקרא a" המודל המתמטי של האובייקט a ביחס לכלל S של תכונותיו".
לפי A. G. Sevostyanov: "מודל מתמטי הוא קבוצה של קשרים מתמטיים, משוואות, אי-שוויון וכו', המתארים את הדפוסים העיקריים הטמונים בתהליך, באובייקט או במערכת הנחקרים."
קצת פחות הגדרה כלליתמודל מתמטי המבוסס על אידיאליזציה של "קלט - פלט - מצב", השאול מתורת האוטומטים, נותן לוויקימילון: "ייצוג מתמטי מופשט של תהליך, מכשיר או רעיון תיאורטי; הוא משתמש בקבוצה של משתנים כדי לייצג תשומות, תפוקות ומצבים פנימיים, ובקבוצות של משוואות ואי-שוויון כדי לתאר את האינטראקציות שלהם".
לבסוף, ההגדרה התמציתית ביותר של מודל מתמטי: "משוואה המבטאת רעיון".
סיווג פורמלי של דגמים.
הסיווג הפורמלי של מודלים מבוסס על סיווג הכלים המתמטיים בהם נעשה שימוש. לרוב בנוי בצורה של דיכוטומיות. לדוגמה, אחת מקבוצות הדיכוטומיות הפופולריות היא:
מודלים ליניאריים או לא ליניאריים; מערכות מרוכזות או מבוזרות; דטרמיניסטי או סטוכסטי; סטטי או דינמי; בדידות או מתמשכות.
וכולי. כל מודל בנוי הוא ליניארי או לא ליניארי, דטרמיניסטי או סטוכסטי, ... מטבע הדברים אפשריים גם סוגים מעורבים: מרוכזים מבחינה אחת, מודלים מבוזרים במובן אחר וכו'.
סיווג לפי אופן ייצוג האובייקט.
יחד עם הסיווג הפורמלי, המודלים שונים באופן שבו הם מייצגים את האובייקט:
מודלים מבניים מייצגים אובייקט כמערכת עם התקן ומנגנון תפקוד משלו. מודלים פונקציונליים אינם משתמשים בייצוגים כאלה ומשקפים רק את ההתנהגות הנתפסת מבחוץ של האובייקט. בביטוי הקיצוני שלהם הם מכונים גם דגמי "קופסה שחורה", יתכנו גם סוגי דגמים משולבים, הנקראים לעיתים דגמי "קופסה אפורה".
כמעט כל המחברים המתארים את תהליך המידול המתמטי מצביעים על כך שקודם כל נבנית בנייה אידיאלית מיוחדת, מודל משמעותי. אין כאן טרמינולוגיה מבוססת, ומחברים אחרים קוראים לאובייקט האידיאלי הזה מודל מושגי, מודל ספקולטיבי או מודל קדם. במקרה זה, הבנייה המתמטית הסופית נקראת מודל פורמלי או פשוט מודל מתמטי המתקבל כתוצאה מפורמליזציה של מודל תוכן זה. ניתן לבנות מודל משמעותי באמצעות סט של אידיאליזציות מוכנות, כמו במכניקה, שבה קפיצים אידיאליים, גופים קשיחים, מטוטלות אידיאליות, מדיה אלסטית וכו' מספקים אלמנטים מבניים מוכנים למידול משמעותי. עם זאת, בתחומי ידע שבהם אין תיאוריות פורמליות שהושלמו במלואן, יצירת מודלים משמעותיים הופכת להרבה יותר מסובכת.
עבודתו של ר' פיירלס נותנת סיווג של מודלים מתמטיים המשמשים בפיזיקה, ובאופן רחב יותר, במדעי הטבע. בספרם של A. N. Gorban ו- R. G. Khlebopros, סיווג זה מנותח ומורחב. סיווג זה מתמקד בעיקר בשלב של בניית מודל משמעותי.
מודלים אלה "מייצגים תיאור ניסוי של התופעה, והמחבר או מאמין באפשרות שלה, או אפילו מחשיב אותה כנכונה". לפי ר' פיירלס, מדובר למשל במודל מערכת השמשלפי תלמי והמודל הקופרניקאי, מודל האטום רתרפורד ומודל המפץ הגדול.
שום השערה במדע אינה ניתנת להוכחה אחת ולתמיד. ריצ'רד פיינמן ניסח זאת בצורה ברורה מאוד:
"תמיד יש לנו את היכולת להפריך תיאוריה, אבל שימו לב שלעולם לא נוכל להוכיח שהיא נכונה. נניח שאתה מעלה השערה מוצלחת, תחשב לאן היא מובילה ותגלה שכל ההשלכות שלה מאושרות בניסוי. האם זה אומר שהתיאוריה שלך נכונה? לא, זה פשוט אומר שלא הצלחת להפריך את זה.
אם נבנה דגם מהסוג הראשון, אז זה אומר שהוא מזוהה באופן זמני כנכון ואפשר להתרכז בבעיות אחרות. עם זאת, זו לא יכולה להיות נקודה במחקר, אלא רק הפסקה זמנית: מעמדו של המודל מהסוג הראשון יכול להיות זמני בלבד.
המודל הפנומנולוגי מכיל מנגנון לתיאור התופעה. עם זאת, מנגנון זה אינו משכנע מספיק, אינו ניתן לאישוש מספק על ידי הנתונים הזמינים, או אינו מתאים היטב לתיאוריות הזמינות ולידע המצטבר על האובייקט. לכן, למודלים פנומנולוגיים יש מעמד של פתרונות זמניים. מאמינים שהתשובה עדיין לא ידועה ויש צורך להמשיך בחיפוש אחר "מנגנונים אמיתיים". פיירלס מתייחס, למשל, את המודל הקלורי ואת מודל הקווארק של חלקיקים אלמנטריים לסוג השני.
תפקידו של המודל במחקר עשוי להשתנות עם הזמן, יכול לקרות שנתונים ותיאוריות חדשות מאשרות את המודלים הפנומנולוגיים והם ישודרגו ל-
מצב השערה. כמו כן, ידע חדש עלול להסתבך בהדרגה עם מודלים-השערות מהסוג הראשון, והן עשויות לעבור לשני. לפיכך, מודל הקווארק עובר בהדרגה לקטגוריית ההשערות; האטומיזם בפיזיקה עלה כפתרון זמני, אך עם מהלך ההיסטוריה הוא עבר לסוג הראשון. אבל דגמי האתר עברו מסוג 1 לסוג 2, ועכשיו הם מחוץ למדע.
רעיון הפשטות פופולרי מאוד בעת בניית דגמים. אבל הפשטות היא אחרת. פיירלס מבחין בין שלושה סוגים של הפשטות בדוגמנות.
אם ניתן לבנות משוואות המתארות את המערכת הנחקרת, אין זה אומר שניתן לפתור אותן אפילו בעזרת מחשב. טכניקה נפוצה במקרה זה היא שימוש בקירוב. ביניהם יש מודלים של תגובה ליניארית. המשוואות מוחלפות בלינאריות. הדוגמה הסטנדרטית היא חוק אוהם.
אם נשתמש במודל גז אידיאליכדי לתאר גזים נדירים מספיק, אז זה דגם מסוג 3. לפרטים נוספים צפיפות גבוההגז, כדאי גם לדמיין מצב פשוט יותר עם גז אידיאלי להבנה והערכה איכותית, אבל אז זה כבר סוג 4.
בדגם מסוג 4 מושלכים פרטים שיכולים להשפיע באופן ניכר ולא תמיד בשליטה על התוצאה. אותן משוואות יכולות לשמש כמודל סוג 3 או סוג 4, בהתאם לתופעה שהמודל משמש לחקר. לכן, אם נעשה שימוש במודלים של תגובה ליניארית בהיעדר מודלים מורכבים יותר, אז אלו כבר מודלים ליניאריים פנומנולוגיים, והם שייכים לסוג 4 הבא.
דוגמאות: יישום של מודל גז אידיאלי למודל לא אידיאלי, משוואת המצב של ואן דר ואלס, רוב המודלים של מצב מוצק, פיזיקה נוזלית וגרעינית. הדרך ממיקרו-תיאור למאפיינים של גופים המורכבים ממספר רב של חלקיקים הוא ארוך מאוד. יש להשאיר פרטים רבים בחוץ. זה מוביל לדגמים מהסוג הרביעי.
המודל ההיוריסטי שומר רק על דמיון איכותי למציאות ומבצע תחזיות רק "לפי סדר גודל". דוגמה טיפוסית היא קירוב הנתיב החופשי הממוצע בתיאוריה הקינטית. הוא נותן נוסחאות פשוטות למקדמי צמיגות, דיפוזיה, מוליכות תרמית, התואמים את המציאות לפי סדר גודל.
אבל כשבונים פיזיקה חדשה, זה רחוק מלהשיג מיד מודל שנותן לפחות תיאור איכותי של עצם - מודל מהסוג החמישי. במקרה זה, מודל משמש לעתים קרובות באנלוגיה, המשקף את המציאות לפחות בדרך כלשהי.
ר' פיירלס מצטט את ההיסטוריה של השימוש באנלוגיות במאמרו הראשון של וו.הייזנברג על טבעם של כוחות גרעיניים. "זה קרה לאחר גילוי הנייטרון, ולמרות ש-W. Heisenberg עצמו הבין שאפשר לתאר גרעינים כמורכבים מנוטרונים ופרוטונים, הוא עדיין לא הצליח להיפטר מהרעיון שהנייטרון צריך להיות מורכב בסופו של דבר מפרוטון ואלקטרון. . במקרה זה נוצרה אנלוגיה בין האינטראקציה במערכת הנויטרונים-פרוטון לבין האינטראקציה של אטום מימן לפרוטון. אנלוגיה זו היא שהובילה אותו למסקנה שחייבים להיות כוחות חליפין של אינטראקציה בין נויטרון לפרוטון, המקבילים לכוחות החליפין במערכת H - H, עקב מעבר של אלקטרון בין שני פרוטונים. ... מאוחר יותר, בכל זאת הוכח קיומם של כוחות חליפין של אינטראקציה בין נויטרון לפרוטון, למרות שהם לא מוצו לחלוטין
אינטראקציה בין שני חלקיקים... אבל, בעקבות אותה אנלוגיה, W. Heisenberg הגיע למסקנה שאין כוחות גרעיניים של אינטראקציה בין שני פרוטונים ולהנחה של דחייה בין שני נויטרונים. שני הממצאים האחרונים הללו עומדים בסתירה לממצאי מחקרים מאוחרים יותר.
א' איינשטיין היה אחד המאסטרים הגדולים של ניסוי המחשבה. הנה אחד הניסויים שלו. הוא הוגה בצעירותו והוביל בסופו של דבר לבנייה תיאוריה מיוחדתתוֹרַת הָיַחֲסוּת. נניח שבפיסיקה הקלאסית אנו עוקבים אחר גל אור במהירות האור. נצפה בשדה אלקטרומגנטי המשתנה מעת לעת במרחב וקבוע בזמן. לפי המשוואות של מקסוול, זה לא יכול להיות. מכאן הסיק איינשטיין הצעיר: או שחוקי הטבע משתנים כאשר מסגרת ההתייחסות משתנה, או שמהירות האור אינה תלויה במסגרת הייחוס. הוא בחר באפשרות השנייה - יפה יותר. ניסוי מחשבתי מפורסם נוסף של איינשטיין הוא פרדוקס איינשטיין-פודולסקי-רוזן.
והנה סוג 8, שנמצא בשימוש נרחב במודלים מתמטיים של מערכות ביולוגיות.
אלו הם גם ניסויים מחשבתיים עם ישויות דמיוניות, המוכיחים שהתופעה לכאורה עולה בקנה אחד עם העקרונות הבסיסיים ועקבית פנימית. זה ההבדל העיקרי מדגמים מסוג 7, החושפים סתירות נסתרות.
אחד הניסויים המפורסמים ביותר מסוג זה הוא הגיאומטריה של לובצ'בסקי. דוגמה נוספת היא ייצור המוני של מודלים קינטיים פורמליים של תנודות כימיות וביולוגיות, גלי אוטומטי וכו'. פרדוקס איינשטיין-פודולסקי-רוזן נתפס כדגם מסוג 7 כדי להדגים את חוסר העקביות של מכניקת הקוונטים. באופן בלתי מתוכנן לחלוטין, הוא הפך בסופו של דבר לדגם מסוג 8 - הדגמה לאפשרות של טלפורטציה קוונטית של מידע.
שקול מערכת מכנית המורכבת מקפיץ קבוע בקצה אחד ומעומס של מסה m המחובר לקצה החופשי של הקפיץ. נניח שהעומס יכול לנוע רק לכיוון ציר הקפיץ. הבה נבנה מודל מתמטי של מערכת זו. נתאר את מצב המערכת לפי המרחק x ממרכז העומס למיקום שיווי המשקל שלו. אנו מתארים את האינטראקציה של קפיץ ועומס באמצעות חוק הוק, ולאחר מכן אנו משתמשים בחוק השני של ניוטון כדי לבטא אותו בצורה של משוואה דיפרנציאלית:
כאשר פירושו הנגזרת השנייה של x ביחס לזמן..
המשוואה שהתקבלה מתארת את המודל המתמטי של המערכת הפיזיקלית הנחשבת. דפוס זה נקרא "מתנד הרמוני".
לפי הסיווג הפורמלי, מודל זה הוא ליניארי, דטרמיניסטי, דינאמי, מרוכז, רציף. בתהליך בנייתו, הנחנו הנחות רבות שאולי אינן נכונות במציאות.
ביחס למציאות, מדובר, לרוב, בדגם מסוג 4, פישוט, מכיוון שהושמטו כמה תכונות אוניברסליות חיוניות. בקירוב מסוים, מודל כזה מתאר מערכת מכנית אמיתית די טוב, שכן
לגורמים שהושלכו יש השפעה זניחה על התנהגותו. עם זאת, ניתן לשכלל את המודל על ידי התחשבות בחלק מהגורמים הללו. זה יוביל לדגם חדש, עם היקף רחב יותר.
עם זאת, כאשר המודל משוכלל, המורכבות של המחקר המתמטי שלו יכולה לגדול משמעותית ולהפוך את המודל לחסר תועלת למעשה. לעתים קרובות, מודל פשוט יותר מאפשר לך לחקור טוב יותר ומעמיק יותר את המערכת האמיתית מאשר מודל מורכב יותר.
אם ניישם את מודל המתנד ההרמוני על עצמים שרחוקים מפיזיקה, מצבו המשמעותי עשוי להיות שונה. לדוגמה, כאשר מיישמים מודל זה על אוכלוסיות ביולוגיות, סביר להניח שיש לייחס אותו לאנלוגיה מסוג 6.
דגמים קשים ורכים.
המתנד ההרמוני הוא דוגמה למודל שנקרא "קשה". זה מתקבל כתוצאה מאידיאליזציה חזקה של מערכת פיזית אמיתית. כדי לפתור את סוגיית תחולתו, יש להבין עד כמה הגורמים שהזנחנו הם משמעותיים. במילים אחרות, יש צורך לחקור את המודל ה"רך", המתקבל על ידי הפרעה קטנה של ה"קשה". זה יכול להינתן, למשל, על ידי המשוואה הבאה:
כאן - פונקציה כלשהי, שיכולה לקחת בחשבון את כוח החיכוך או את התלות של קשיחות הקפיץ במידת המתיחה שלו, ε - פרמטר קטן כלשהו. הצורה המפורשת של הפונקציה f לא מעניינת אותנו כרגע. אם נוכיח שהתנהגותו של מודל רך אינה שונה מהותית מהתנהגותו של מודל קשיח, הבעיה תצטמצם לחקר מודל קשיח. אחרת, יישום התוצאות שהושגו בחקר המודל הנוקשה ידרוש מחקר נוסף. לדוגמה, הפתרון למשוואה של מתנד הרמוני הן פונקציות של הצורה
כלומר, תנודות עם משרעת קבועה. האם מכאן נובע שמתנד אמיתי יתנדנד ללא הגבלת זמן עם משרעת קבועה? לא, כי בהתחשב במערכת עם חיכוך קטן באופן שרירותי, אנו מקבלים תנודות דחוסות. התנהגות המערכת השתנתה מבחינה איכותית.
אם מערכת שומרת על התנהגותה האיכותית תחת הפרעה קטנה, אומרים שהיא יציבה מבנית. המתנד ההרמוני הוא דוגמה למערכת לא יציבה מבחינה מבנית. עם זאת, מודל זה יכול לשמש ללימוד תהליכים במרווחי זמן מוגבלים.
צדדיות של דגם.
למודלים המתמטיים החשובים ביותר יש בדרך כלל תכונה חשובה של אוניברסליות: ניתן לתאר תופעות אמיתיות שונות באופן מהותי על ידי אותו מודל מתמטי. לדוגמה, מתנד הרמוני מתאר לא רק את התנהגות עומס על קפיץ, אלא גם תהליכים נדנודים אחרים, לרוב בעלי אופי שונה לחלוטין: תנודות קטנות של מטוטלת, תנודות ברמת הנוזל בכלי בצורת U, או שינוי בעוצמת הזרם במעגל נדנוד. לפיכך, בלימוד מודל מתמטי אחד, אנו לומדים בבת אחת מחלקה שלמה של תופעות המתוארות על ידו. איזומורפיזם זה של החוקים המובעים על ידי מודלים מתמטיים במקטעים שונים של ידע מדעי הוא שהוביל את לודוויג פון ברטלנפי ליצור את תורת המערכות הכללית.
בעיות ישירות והפוכות של מידול מתמטי
ישנן בעיות רבות הקשורות למידול מתמטי. ראשית, יש צורך להמציא את הסכימה הבסיסית של האובייקט המעצב, לשחזר אותו במסגרת האידיאליזציות של מדע זה. אז, קרון הרכבת הופך למערכת של לוחות ומורכבים יותר
גופים מחומרים שונים, כל חומר מצויין כאידיאליזציה המכנית הסטנדרטית שלו, לאחר מכן מרכיבים משוואות, לאורך כל הדרך נמחקים כמה פרטים כלא משמעותיים, מבוצעים חישובים, השוואה למדידות, המודל משוכלל וכו'. עם זאת, לפיתוח טכנולוגיות מידול מתמטי, כדאי לפרק תהליך זה למרכיבים המרכיבים העיקריים שלו.
באופן מסורתי, ישנם שני סוגים עיקריים של בעיות הקשורות למודלים מתמטיים: ישיר והיפוך.
משימה ישירה: מבנה המודל וכל הפרמטרים שלו נחשבים ידועים, המשימה העיקרית היא ללמוד את המודל על מנת להפיק ידע שימושי על האובייקט. באיזה עומס סטטי הגשר יכול לעמוד? איך הוא יגיב לעומס דינמי, איך המטוס יתגבר על מחסום הקול, האם יתפרק מרפרוף - אלו דוגמאות אופייניות לבעיה ישירה. ניסוח של בעיה ישירה נכונה דורש מיומנות מיוחדת. אם לא ישאלו את השאלות הנכונות, הגשר עלול לקרוס, גם אם נבנה מודל טוב להתנהגותו. אז, בשנת 1879 בבריטניה, קרס גשר מתכת מעבר לנהר הטיי, שמתכנניו בנו דגם של הגשר, חישבו אותו עבור מרווח בטיחות של פי 20 למטען, אבל שכחו מהרוחות הנושבות ללא הרף. מקומות. ואחרי שנה וחצי זה קרס.
IN במקרה הפשוט ביותר, הבעיה הישירה היא פשוטה מאוד ומצטמצמת לפתרון מפורש של המשוואה הזו.
בעיה הפוכה: ידועה קבוצה של מודלים אפשריים, יש צורך לבחור מודל ספציפי על סמך נתונים נוספים על האובייקט. לרוב, מבנה המודל ידוע ויש לקבוע כמה פרמטרים לא ידועים. מידע נוסף עשוי להיות בנתונים אמפיריים נוספים, או בדרישות לאובייקט. נתונים נוספים יכולים להגיע ללא תלות בתהליך פתרון הבעיה ההפוכה או להיות תוצאה של ניסוי שתוכנן במיוחד במהלך הפתרון.
אחת הדוגמאות הראשונות לפתרון וירטואוזי של בעיה הפוכה עם שימוש מלא אפשרי בנתונים זמינים הייתה השיטה שנבנתה על ידי I. Newton לשחזור כוחות חיכוך מתנודות דחוסות שנצפו.
IN דוגמה נוספת היא סטטיסטיקה מתמטית. המשימה של מדע זה היא פיתוח שיטות לרישום, תיאור וניתוח של נתונים תצפיתיים וניסיוניים על מנת לבנות מודלים הסתברותיים של תופעות אקראיות המוניות. הָהֵן. סט המודלים האפשריים מוגבל על ידי מודלים הסתברותיים. בבעיות ספציפיות, סט הדגמים מוגבל יותר.
מערכות מחשוב של דוגמנות.
כדי לתמוך במודלים מתמטיים, פותחו מערכות מתמטיקה ממוחשבות, לדוגמה, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim וכו'. הן מאפשרות ליצור מודלים פורמליים ובלוקים של תהליכים והתקנים פשוטים ומורכבים ולשנות בקלות פרמטרים של מודל במהלך סימולציה. מודלים בלוקים מיוצגים על ידי בלוקים, שהקבוצה והחיבור שלהם מצוינים בתרשים המודל.
דוגמאות נוספות.
קצב הגידול הוא פרופורציונלי לגודל האוכלוסייה הנוכחי. זה מתואר על ידי המשוואה הדיפרנציאלית
כאשר α הוא פרמטר כלשהו שנקבע על ידי ההבדל בין פוריות ותמותה. הפתרון למשוואה זו הוא הפונקציה המעריכית x = x0 e. אם שיעור הילודה עולה על שיעור התמותה, גודל האוכלוסייה גדל ללא הגבלה ובמהירות רבה. ברור שבמציאות זה לא יכול לקרות בגלל המוגבל
אֶמְצָעִי. כאשר מגיעים לגודל אוכלוסייה קריטי מסוים, המודל מפסיק להיות הולם, שכן הוא אינו לוקח בחשבון את המשאבים המוגבלים. חידוד של מודל Malthus יכול להיות המודל הלוגיסטי, המתואר על ידי משוואת הדיפרנציאל של Verhulst
כאשר xs הוא גודל האוכלוסייה ב"שיווי המשקל", שבו שיעור הילודה מפוצה בדיוק על ידי שיעור התמותה. גודל האוכלוסייה במודל כזה נוטה לערך שיווי המשקל xs, והתנהגות זו יציבה מבחינה מבנית.
נניח ששני סוגים של בעלי חיים חיים בטריטוריה מסוימת: ארנבות ושועלים. תן למספר הארנבים להיות x, מספר השועלים y. באמצעות מודל Malthus עם התיקונים הנדרשים, תוך התחשבות באכילת ארנבות על ידי שועלים, אנו מגיעים למערכת הבאה, הנושאת את שמו של דגם Lotka-Volterra:
למערכת זו יש מצב שיווי משקל כאשר מספר הארנבים והשועלים קבוע. סטייה ממצב זה מובילה לתנודות במספר הארנבים והשועלים, בדומה לתנודות במתנד ההרמוני. כמו במקרה של מתנד הרמוני, התנהגות זו אינה יציבה מבנית: שינוי קטן במודל יכול להוביל לשינוי איכותי בהתנהגות. לדוגמה, מצב שיווי המשקל יכול להפוך ליציב, ותנודות האוכלוסייה יתפוגגו. ייתכן גם מצב הפוך, כאשר כל סטייה קטנה ממצב שיווי המשקל תוביל לתוצאות קטסטרופליות, עד להכחדה מוחלטת של אחד המינים. לשאלה איזה מהתרחישים הללו מתממש, מודל וולטרה-לוטקה אינו נותן תשובה: נדרש כאן מחקר נוסף.
