Vidutinė vertė- tai bendras rodiklis, apibūdinantis kokybiškai vienarūšę populiaciją pagal tam tikrą kiekybinę charakteristiką. Pavyzdžiui, vidutinis už vagystes teistų asmenų amžius.

Teisminėje statistikoje vidutinės vertės naudojamos apibūdinti:

Vidutinis šios kategorijos bylų nagrinėjimo laikas;

Vidutinis ieškinio dydis;

Vidutinis kaltinamųjų skaičius byloje;

Vidutinė žala;

Vidutinis teisėjų darbo krūvis ir kt.

Vidurkis visada yra įvardyta reikšmė ir turi tą patį matmenį kaip ir atskiro populiacijos vieneto charakteristika. Kiekviena vidutinė reikšmė apibūdina tiriamą populiaciją pagal bet kurią kintantį požymį, todėl už kiekvienos vidutinės reikšmės slypi šios populiacijos vienetų pasiskirstymo serija pagal tiriamą požymį. Vidurkio tipo pasirinkimą lemia rodiklio turinys ir pradiniai duomenys vidutinei vertei skaičiuoti.

Visų rūšių vidutines vertes, naudojami statistiniuose tyrimuose, skirstomi į dvi kategorijas:

1) galios vidurkiai;

2) struktūriniai vidurkiai.

Pirmoji vidurkių kategorija apima: aritmetinis vidurkis, harmoninis vidurkis, geometrinis vidurkis Ir vidurkio kvadratas . Antroji kategorija yra mada Ir mediana. Be to, kiekvienas iš išvardytų galios vidurkių tipų gali būti dviejų formų: paprastas Ir svertinis . Paprasta forma Vidutinė reikšmė naudojama tiriamos charakteristikos vidutinei vertei gauti, kai skaičiuojama naudojant nesugrupuotus statistinius duomenis arba kai kiekviena agregato parinktis pasitaiko tik vieną kartą. Svertiniai vidurkiai yra reikšmės, kuriose atsižvelgiama į tai, kad atributų reikšmių variantai gali turėti skirtingus skaičius, todėl kiekvienas variantas turi būti padaugintas iš atitinkamo dažnio. Kitaip tariant, kiekviena parinktis yra „sveriama“ pagal jos dažnumą. Dažnis vadinamas statistiniu svoriu.

Paprastas aritmetinis vidurkis- labiausiai paplitęs vidurkio tipas. Jis lygus atskirų atributo verčių sumai, padalytai iš bendro šių reikšmių skaičiaus:

Kur x 1 , x 2 , … , x N yra individualios kintamos charakteristikos (variantų) reikšmės, o N yra vienetų skaičius populiacijoje.

Svertinis aritmetinis vidurkis naudojami tais atvejais, kai duomenys pateikiami pasiskirstymo eilučių arba grupuočių forma. Jis apskaičiuojamas kaip opcionų ir atitinkamų dažnių sandaugų suma, padalyta iš visų opcionų dažnių sumos:

Kur x i- prasmė i charakteristikos variantai; f i- dažnis i parinktys.

Taigi kiekviena varianto reikšmė yra pasverta pagal dažnį, todėl dažniai kartais vadinami statistiniais svoriais.

komentuoti. Kada mes kalbame apie apie aritmetinį vidurkį nenurodant jo tipo, aritmetinis vidurkis paprastas.

12 lentelė.

Sprendimas. Norėdami apskaičiuoti, naudojame svertinio aritmetinio vidurkio formulę:

Taigi vienoje baudžiamojoje byloje vidutiniškai yra du kaltinamieji.

Jei vidutinė vertė apskaičiuojama naudojant duomenis, sugrupuotus intervalų pasiskirstymo eilučių forma, pirmiausia turite nustatyti kiekvieno intervalo x"i vidurines reikšmes, o tada apskaičiuoti vidutinę vertę naudodami aritmetinį svertinį vidurkį. formulė, kurioje vietoj xi pakeičiamas x"i.

Pavyzdys. Duomenys apie nusikaltėlių, nuteistų už vagystes, amžių pateikti lentelėje:

13 lentelė.

Nustatykite vidutinį nusikaltėlių, nuteistų už vagystes, amžių.

Sprendimas. Norint nustatyti vidutinį nusikaltėlių amžių pagal intervalų variacijų eilutę, pirmiausia reikia rasti vidutines intervalų reikšmes. Kadangi mums duota intervalų serija su pirmiausia atidarykite ir paskutiniai intervalai, tada šių intervalų reikšmės yra lygios gretimų uždarų intervalų reikšmėms. Mūsų atveju pirmojo ir paskutinio intervalų reikšmės yra lygios 10.

Dabar vidutinį nusikaltėlių amžių randame naudodami svertinio aritmetinio vidurkio formulę:

Taigi vidutinis už vagystes teistų nusikaltėlių amžius yra maždaug 27 metai.

Reiškia harmoninė paprasta reiškia atvirkštinės charakteristikos verčių aritmetinio vidurkio atvirkštinę vertę:

kur 1/ x i yra atvirkštinės parinkčių reikšmės, o N yra vienetų skaičius populiacijoje.

Pavyzdys. Vidutiniam metiniam apylinkės teismo teisėjų darbo krūviui nagrinėjant baudžiamąsias bylas nustatyti buvo atliktas 5 šio teismo teisėjų darbo krūvio tyrimas. Vidutinis laikas, praleistas nagrinėjant vieną baudžiamąją bylą kiekvienam iš apklaustų teisėjų, buvo lygus (dienomis): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Raskite vidutines išlaidas vienam. baudžiamąją bylą ir vidutinį metinį atitinkamo apylinkės teismo teisėjų darbo krūvį nagrinėjant baudžiamąsias bylas.

Sprendimas. Norėdami nustatyti vidutinį laiką, praleistą vienoje baudžiamojoje byloje, naudojame harmoninio vidurkio formulę:

Kad būtų paprasčiau atlikti skaičiavimus, pavyzdyje dienų skaičių per metus laikome 365, įskaitant savaitgalius (tai neturi įtakos skaičiavimo metodikai, o skaičiuojant panašų rodiklį praktikoje, reikia pakeisti darbo skaičių dienų tam tikrais metais, o ne 365 dienas). Tuomet atitinkamo apylinkės teismo teisėjų vidutinis metinis darbo krūvis nagrinėjant baudžiamąsias bylas bus: 365 (dienos) : 5,56 ≈ 65,6 (bylos).

Jei naudotume paprastą aritmetinio vidurkio formulę, kad nustatytų vidutinį laiką, praleistą vienoje baudžiamojoje byloje, gautume:

365 (dienos): 5,64 ≈ 64,7 (atvejai), t.y. vidutinis teisėjų darbo krūvis pasirodė mažesnis.

Patikrinkime šio požiūrio pagrįstumą. Tam naudosime duomenis apie kiekvieno teisėjo vienai baudžiamajai bylai sugaištą laiką ir apskaičiuosime kiekvieno iš jų nagrinėjamų baudžiamųjų bylų skaičių per metus.

Atitinkamai gauname:

365 (dienos): 6 ≈ 61 (atvejai), 365 (dienos): 5,6 ≈ 65,2 (atvejai), 365 (dienos): 6,3 ≈ 58 (atvejai),

365 (dienos): 4,9 ≈ 74,5 (atvejai), 365 (dienos): 5,4 ≈ 68 (atvejai).

Dabar paskaičiuokime vidutinį metinį konkretaus apygardos teismo teisėjų darbo krūvį nagrinėjant baudžiamąsias bylas:

Tie. vidutinė metinė apkrova yra tokia pati kaip ir naudojant harmoninį vidurkį.

Taigi aritmetinio vidurkio naudojimas šiuo atveju yra neteisėtas.

Tais atvejais, kai charakteristikos variantai ir jų tūrinės reikšmės (variantų ir dažnio sandauga) žinomi, bet patys dažniai nežinomi, naudojama svertinio harmoninio vidurkio formulė:

,

Kur x i yra atributų parinkčių reikšmės, o w i yra parinkčių tūrinės reikšmės ( w i = x i f i).

Pavyzdys. Duomenys apie įvairiose baudžiamosios sistemos įstaigose pagaminto tos pačios rūšies prekės vieneto kainą, pardavimo apimtis pateikti 14 lentelėje.

14 lentelė

Raskite vidutinę produkto pardavimo kainą.

Sprendimas. Skaičiuodami vidutinę kainą, turime remtis pardavimo sumos ir parduotų vienetų skaičiaus santykiu. Mes nežinome parduotų vienetų skaičiaus, bet žinome prekių pardavimo kiekį. Todėl norėdami rasti vidutinę parduodamų prekių kainą, naudosime svertinio harmoninio vidurkio formulę. Mes gauname

Jei čia naudosite aritmetinio vidurkio formulę, galite gauti vidutinę kainą, kuri bus nereali:

Geometrinis vidurkis apskaičiuojamas N laipsnio šaknį ištraukiant iš visų požymio variantų reikšmių sandaugos:

,

Kur x 1 , x 2 , … , x N- individualios kintamos charakteristikos vertės (variantai) ir

N- vienetų skaičius populiacijoje.

Šio tipo vidurkis naudojamas vidutiniams laiko eilučių augimo tempams apskaičiuoti.

Vidutinis kvadratas naudojamas vidurkiui apskaičiuoti kvadratinis nuokrypis, kuris yra kitimo rodiklis, ir bus aptartas toliau.

Gyventojų struktūrai nustatyti naudojami specialūs vidutiniai rodikliai, kurie apima mediana Ir mada , arba vadinamieji struktūriniai vidurkiai. Jei aritmetinis vidurkis apskaičiuojamas naudojant visus atributų reikšmių variantus, tai mediana ir režimas apibūdina varianto, užimančio tam tikrą vidutinę poziciją reitinguotoje (sutvarkytoje) eilutėje, reikšmę. Statistinės visumos vienetai gali būti išdėstyti didėjančia arba mažėjančia tiriamos charakteristikos variantų tvarka.

Mediana (aš)- tai vertė, atitinkanti parinktį, esančią reitinguojamos serijos viduryje. Taigi mediana yra ta reitinguotos serijos versija, kurios abiejose pusėse turėtų būti šioje serijoje vienodas skaičius gyventojų vienetų.

Norėdami rasti medianą, pirmiausia turite ją nustatyti serijos numeris reitinguotoje serijoje pagal formulę:

čia N yra eilutės tūris (vienetų skaičius visumoje).

Jei seriją sudaro nelyginis terminų skaičius, mediana yra lygi variantui su skaičiumi N Me. Jei seriją sudaro lyginis skaičius terminų, mediana apibrėžiama kaip dviejų gretimų variantų, esančių viduryje, aritmetinis vidurkis.

Pavyzdys. Pateikta reitinguota serija 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Eilučių tūris yra N = 9, o tai reiškia, N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Todėl Me = 6, t.y. penktas variantas. Jei eilutei duoti 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, t.y. serija su lyginiu terminų skaičiumi (N = 8), tada N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Tai reiškia, kad mediana lygi pusei ketvirto ir penkto variantų sumos, t.y. Aš = (9 + 11) / 2 = 10.

Diskrečių variacijų serijoje mediana nustatoma pagal sukauptus dažnius. Opciono dažniai, pradedant nuo pirmojo, sumuojami, kol viršijamas medianinis skaičius. Paskutinių sumuotų variantų vertė bus mediana.

Pavyzdys. Naudodami 12 lentelės duomenis suraskite kaltinamųjų skaičiaus medianą vienoje baudžiamojoje byloje.

Sprendimas.Šiuo atveju variacijų serijos tūris yra N = 154, todėl N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Susumavę pirmojo ir antrojo variantų dažnius, gauname: 75 + 43 = 118, t.y. viršijome vidutinį skaičių. Taigi aš = 2.

Intervalų variacijų serijoje pasiskirstymas pirmiausia nurodo intervalą, kuriame bus mediana. Jis vadinamas mediana . Tai pirmasis intervalas, kurio sukauptas dažnis viršija pusę intervalo variacijų serijos tūrio. Tada skaitinė reikšmė Mediana nustatoma pagal formulę:

Kur x Aš- apatinė medianinio intervalo riba; i yra vidutinio intervalo reikšmė; S Me-1- sukauptas intervalo, einančio prieš medianą, dažnis; f Aš- vidutinio intervalo dažnis.

Pavyzdys. Pagal 13 lentelėje pateiktą statistiką suraskite už vagystes nuteistų nusikaltėlių amžiaus medianą.

Sprendimas. Statistiniai duomenys pateikiami intervalų variacijų eilėmis, o tai reiškia, kad pirmiausia nustatome vidutinį intervalą. Populiacijos tūris yra N = 162, todėl vidutinis intervalas yra intervalas 18-28, nes tai pirmasis intervalas, kurio sukauptas dažnis (15 + 90 = 105) viršija pusę intervalo variacijų serijos tūrio (162: 2 = 81). Dabar mes nustatome skaitinę medianos vertę naudodami aukščiau pateiktą formulę:

Taigi pusė nuteistųjų už vagystes yra jaunesni nei 25 metų.

Mada (pirm.) Jie vadina charakteristikos vertę, kuri dažniausiai randama populiacijos vienetuose. Mada naudojama siekiant nustatyti labiausiai paplitusios savybės vertę. Atskirai serijai režimas bus parinktis su didžiausiu dažniu. Pavyzdžiui, atskiroms serijoms, pateiktoms 3 lentelėje Mo= 1, nes ši reikšmė atitinka didžiausią dažnį – 75. Norėdami nustatyti intervalų serijos režimą, pirmiausia nustatykite modalinis intervalas (intervalas, kurio dažnis didžiausias). Tada šiame intervale randama funkcijos reikšmė, kuri gali būti režimas.

Jo vertė nustatoma naudojant formulę:

Kur xMo- apatinė modalinio intervalo riba; i modalinio intervalo reikšmė; f Mo- modalinio intervalo dažnis; f Mo-1- intervalo prieš modalinį dažnumą; f Mo+1- intervalo dažnis po modalinio.

Pavyzdys. Raskite už vagystę nuteistų nusikaltėlių amžių, kurių duomenys pateikti 13 lentelėje.

Sprendimas. Didžiausias dažnis atitinka 18-28 intervalą, todėl režimas turėtų būti šiame intervale. Jo vertė nustatoma pagal aukščiau pateiktą formulę:

Taigi, didžiausias skaičius Už vagystes teisti pažeidėjai yra 24 metų amžiaus.

Vidutinė reikšmė suteikia bendrą tiriamo reiškinio visumos charakteristiką. Tačiau dvi populiacijos, kurių vidutinės vertės yra vienodos, gali labai skirtis viena nuo kitos pagal tiriamos charakteristikos vertės svyravimo laipsnį (variaciją). Pavyzdžiui, viename teisme jie paskyrė sekančios datos laisvės atėmimu: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 metų, o dar - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 metus. Abiem atvejais aritmetinis vidurkis yra 6,7 ​​metų. Tačiau šios populiacijos labai skiriasi viena nuo kitos pagal paskirtos įkalinimo trukmės individualių verčių sklaidą, palyginti su vidutine verte.

O pirmajam teismui, kur ši sklaida gana didelė, vidutinė įkalinimo trukmė neatspindi visų gyventojų. Taigi, jei individualios charakteristikos reikšmės mažai skiriasi viena nuo kitos, aritmetinis vidurkis bus gana orientacinė tam tikros populiacijos savybių charakteristika. Priešingu atveju aritmetinis vidurkis bus nepatikima šios populiacijos charakteristika ir jo naudojimas praktiškai bus neefektyvus. Todėl būtina atsižvelgti į tiriamos charakteristikos verčių kitimą.

Variacija- tai yra bet kurios charakteristikos reikšmių skirtumai tarp skirtingų tam tikros populiacijos vienetų tuo pačiu laikotarpiu arba tuo pačiu momentu. Terminas „variacija“ yra lotyniškos kilmės – variatio, reiškiantis skirtumą, pasikeitimą, svyravimą. Ji atsiranda dėl to, kad individualios charakteristikos reikšmės susidaro bendrai veikiant įvairiems veiksniams (sąlygoms), kurie kiekvienu konkrečiu atveju derinami skirtingai. Įvairūs absoliutūs ir santykiniai rodikliai.

Pagrindiniai svyravimo rodikliai yra šie:

1) variacijos apimtis;

2) vidutinis tiesinis nuokrypis;

3) dispersija;

4) standartinis nuokrypis;

5) variacijos koeficientas.

Trumpai pažvelkime į kiekvieną iš jų.

Variacijų diapazonas R yra labiausiai prieinamas absoliutus rodiklis skaičiavimo paprastumo požiūriu, kuris apibrėžiamas kaip skirtumas tarp didžiausios ir mažiausios tam tikros populiacijos vienetų charakteristikos verčių:

Variacijų diapazonas (svyravimų diapazonas) - svarbus rodiklisženklo kintamumą, tačiau leidžia matyti tik kraštutinius nukrypimus, o tai riboja jo taikymo sritį. Norint tiksliau apibūdinti požymio kitimą pagal jo kintamumą, naudojami kiti rodikliai.

Vidutinis tiesinis nuokrypis reiškia aritmetinį vidurkį absoliučios vertės individualių charakteristikų verčių nuokrypiai nuo vidurkio ir nustatomi pagal formules:

1) Dėl nesugrupuoti duomenys

2) Dėl variacijų serija

Tačiau plačiausiai naudojamas variacijos matas yra dispersija . Jis apibūdina tiriamos charakteristikos verčių sklaidos matą, palyginti su jo vidutine verte. Sklaida apibrėžiama kaip nuokrypių vidurkis kvadratu.

Paprasta dispersija negrupuotiems duomenims:

.

Svertinis dispersija variacijų serijai:

komentuoti. Praktiškai dispersijai apskaičiuoti geriau naudoti šias formules:

Dėl paprastos dispersijos

.

Dėl svertinio dispersijos

Standartinis nuokrypis yra dispersijos kvadratinė šaknis:

Standartinis nuokrypis yra vidurkio patikimumo matas. Kuo mažesnis standartinis nuokrypis, tuo populiacija homogeniškesnė ir aritmetinis vidurkis geriau atspindi visą populiaciją.

Aukščiau aptartos sklaidos priemonės (variacijos diapazonas, sklaida, standartinis nuokrypis) yra absoliučiais dydžiais, pagal kurį ne visada galima spręsti apie charakteristikos kintamumo laipsnį. Kai kuriose problemose būtina naudoti santykinius sklaidos indeksus, iš kurių vienas yra variacijos koeficientas.

Variacijos koeficientas- standartinio nuokrypio ir aritmetinio vidurkio santykis, išreikštas procentais:

Variacijos koeficientas naudojamas ne tik lyginamąjį vertinimą skirtingų charakteristikų variacijos arba ta pati savybė skirtingose ​​populiacijose, bet ir populiacijos homogeniškumui apibūdinti. Statistinė visuma laikoma kiekybiškai vienalyte, jei variacijos koeficientas neviršija 33 % (skirstiniams, artimiems normaliajam pasiskirstymui).

Pavyzdys. Apie 50 nuteistųjų, pristatytų atlikti teismo paskirtą bausmę pataisos įstaigoje, įkalinimo terminus turimi šie duomenys: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Sukurkite paskirstymų seriją pagal įkalinimo terminus.

2. Raskite vidurkį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.

3. Apskaičiuokite variacijos koeficientą ir padarykite išvadą apie tiriamos populiacijos homogeniškumą arba nevienalytiškumą.

Sprendimas. Norint sudaryti diskrečią paskirstymo eilutę, būtina nustatyti parinktis ir dažnius. Šios problemos variantas yra įkalinimo terminas, o dažnis – atskirų pasirinkimų skaičius. Apskaičiavę dažnius, gauname tokias diskrečiąsias pasiskirstymo eilutes:

Raskime vidurkį ir dispersiją. Kadangi statistiniai duomenys pateikiami diskrečiųjų variacijų eilėmis, joms apskaičiuoti naudosime svertinio aritmetinio vidurkio ir dispersijos formules. Mes gauname:

= = 4,1;

= 5,21.

Dabar apskaičiuojame standartinį nuokrypį:

Variacijos koeficiento nustatymas:

Vadinasi, statistinė populiacija yra kiekybiškai nevienalytė.

Dabar pakalbėkime apie kaip apskaičiuoti vidurkį.
Klasikine forma bendroji statistikos teorija mums siūlo vieną vidutinės vertės pasirinkimo taisyklių variantą.
Pirmiausia turite sukurti teisingą loginę vidutinės vertės (AFV) skaičiavimo formulę. Kiekvienai vidutinei vertei visada yra tik viena loginė formulė jai apskaičiuoti, todėl čia sunku suklysti. Tačiau visada turime atsiminti, kad skaitiklyje (tai yra trupmenos viršuje) visų reiškinių suma, o vardiklyje (tai yra trupmenos apačioje) viso elementai.

Sudarę loginę formulę, galite naudoti taisykles (kad būtų lengviau suprasti, jas supaprastinsime ir sutrumpinsime):
1. Jei pirminiuose duomenyse (nustatytuose pagal dažnumą) yra loginės formulės vardiklis, tada skaičiavimas atliekamas naudojant svertinio aritmetinio vidurkio formulę.
2. Jei pirminiuose duomenyse pateikiamas loginės formulės skaitiklis, tada skaičiavimas atliekamas naudojant svertinio harmoninio vidurkio formulę.
3. Jei užduotyje pateikiamas ir loginės formulės skaitiklis, ir vardiklis (taip nutinka retai), tada atliekame skaičiavimą naudodami šią formulę arba paprastą aritmetinio vidurkio formulę.
Tai yra klasikinė idėja pasirinkti tinkamą vidurkio skaičiavimo formulę. Toliau pateikiame veiksmų seką sprendžiant vidutinės reikšmės skaičiavimo uždavinius.

Vidutinės vertės skaičiavimo uždavinių sprendimo algoritmas

A. Nustatykite vidutinės vertės apskaičiavimo metodą - paprastas arba svertinis . Jei duomenys pateikiami lentelėje, tai naudojame svertinį metodą, jei duomenys pateikiami paprastu surašymu, tai naudojame paprastą skaičiavimo metodą.

B. Nustatykite arba sutvarkykite simboliai – x - variantas, f – dažnis . Galima pasirinkti, kurio reiškinio vidutinę vertę norite rasti. Likę duomenys lentelėje bus dažnis.

B. Nustatome vidutinės vertės apskaičiavimo formą - aritmetinė arba harmoninė . Nustatymas atliekamas naudojant dažnio stulpelį. Aritmetinė forma naudojama, jei dažniai nurodyti aiškiu dydžiu (sąlygiškai galite pakeisti žodį gabalai, elementų skaičius "gabalai"). Harmoninė forma naudojama, jei dažniai nurodomi ne aiškiu dydžiu, o kompleksiniu rodikliu (vidutinio dydžio ir dažnio sandauga).

Sunkiausia atspėti, kur ir koks kiekis duotas, ypač tokiuose reikaluose nepatyrusiam studentui. Esant tokiai situacijai, galite naudoti vieną iš šių būdų. Kai kurioms užduotims (ekonominėms) tinka per ilgus praktikos metus parengtas teiginys (B.1 punktas). Kitose situacijose turėsite naudoti B.2 punktą.

B.1 Jei dažnis nurodomas piniginiais vienetais (rubliais), tada skaičiavimui naudojamas harmoninis vidurkis, šis teiginys visada teisingas, jei nustatytas dažnis nurodomas pinigais, kitose situacijose ši taisyklė negalioja.

B.2 Naudokite šiame straipsnyje nurodytas vidutinės vertės pasirinkimo taisykles. Jei dažnis pateikiamas vidutinės vertės apskaičiavimo loginės formulės vardikliu, tada apskaičiuojame naudodamiesi aritmetinio vidurkio forma, jei dažnis pateikiamas pagal vidutinės vertės skaičiavimo loginės formulės skaitiklį, tada apskaičiuojame naudodami harmoninė vidurkio forma.

Pažvelkime į šio algoritmo naudojimo pavyzdžius.

A. Kadangi duomenys pateikiami eilutėje, naudojame paprastą skaičiavimo metodą.

B.V. Turime tik duomenis apie pensijų dydį, o jie bus mūsų pasirinkimas - x. Duomenys pateikiami kaip paprastas skaičius (12 žmonių), skaičiavimui naudojame paprastą aritmetinį vidurkį.

Vidutinė pensininko pensija yra 9208,3 rubliai.

B. Kadangi reikia rasti vidutinį mokėjimą vienam vaikui, pirmoje skiltyje yra parinktys, ten dedame žymėjimą x, antrasis stulpelis automatiškai tampa dažniu f.

B. Dažnis (vaikų skaičius) nurodomas aiškiai išreikštu kiekiu (galite pakeisti žodį „vaikai“, rusų kalbos požiūriu tai yra neteisinga frazė, bet iš tikrųjų labai patogu patikrinti), o tai reiškia, kad skaičiavimui naudojamas svertinis aritmetinis vidurkis.

Tą pačią problemą galima išspręsti ne formuliniu, o lentelės metodu, tai yra, visus tarpinių skaičiavimų duomenis suvedant į lentelę.

Todėl viskas, ką dabar reikia padaryti, yra atskirti dvi sumas teisinga tvarka.

Vidutinė išmoka vienam vaikui per mėnesį buvo 1910 rublių.

A. Kadangi duomenys pateikti lentelėje, skaičiavimui naudojame svertinę formą.

B. Dažnis (gamybos savikaina) nurodomas numanomu dydžiu (dažnis nurodomas rublių algoritmo taškas B1), o tai reiškia, kad skaičiavimui naudojamas svertinis harmoninis vidurkis. Apskritai, iš esmės gamybos savikaina yra kompleksinis rodiklis, kuris gaunamas padauginus produkto vieneto savikainą iš tokių gaminių skaičiaus, tai yra harmoninio vidurkio esmė.

Kad ši problema būtų išspręsta naudojant aritmetinio vidurkio formulę, būtina, kad vietoj gamybos savikainos būtų keletas gaminių su atitinkama savikaina.

Atkreipkite dėmesį, kad po skaičiavimų gauta suma vardiklyje yra 410 (120+80+210), tai yra bendras pagamintų gaminių skaičius.

Vidutinė produkto vieneto kaina buvo 314,4 rubliai.

A. Kadangi duomenys pateikti lentelėje, skaičiavimui naudojame svertinę formą.

B. Kadangi reikia rasti vidutinę produkto vieneto kainą, parinktys yra pirmame stulpelyje, ten dedame žymėjimą x, antrasis stulpelis automatiškai tampa dažniu f.

B. Dažnumas (bendras neatvykimų skaičius) pateikiamas numanomu dydžiu (tai yra dviejų neatvykimų skaičiaus ir mokinių, turinčių tokį neatvykimų skaičių, rodiklių sandauga), o tai reiškia, kad naudojamas svertinis harmoninis vidurkis. apskaičiavimui. Naudosime algoritmo tašką B2.

Kad šis uždavinys būtų išspręstas naudojant aritmetinio vidurkio formulę, būtina, kad vietoj bendro pravaikštų skaičiaus būtų mokinių skaičius.

Sudarome loginę formulę, kaip apskaičiuoti vidutinį vieno mokinio neatvykimų skaičių.

Dažnumas pagal užduoties sąlygas Iš viso Leidimai. Loginėje formulėje šis rodiklis yra skaitiklyje, o tai reiškia, kad naudojame harmoninio vidurkio formulę.

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje esanti suma, gauta po skaičiavimų 31 (18+8+5), yra bendras studentų skaičius.

Vidutinis vieno mokinio neatvykimų skaičius yra 13,8 dienos.

Vidutinės vertės plačiai naudojamos statistikoje. Vidutinės reikšmės apibūdina kokybinius komercinės veiklos rodiklius: paskirstymo sąnaudas, pelną, pelningumą ir kt.

Vidutinis – Tai viena iš įprastų apibendrinimo technikų. Teisingas vidurkio esmės supratimas lemia jo ypatingą reikšmę sąlygomis rinkos ekonomika, kai vidurkis per individualų ir atsitiktinį leidžia identifikuoti bendrus ir būtinus, nustatyti ekonominės raidos modelių tendenciją.

Vidutinė vertė – tai bendrieji rodikliai, kuriais išreiškiami veiksmai bendros sąlygos, tiriamo reiškinio modelius.

Statistiniai vidurkiai apskaičiuojami remiantis teisingai statistiškai organizuoto masės stebėjimo (nuolatinio ir atrankinio) masės duomenimis. Tačiau statistinis vidurkis bus objektyvus ir tipiškas, jei jis bus skaičiuojamas pagal kokybiškai homogeniškos populiacijos (masės reiškinių) masės duomenis. Pavyzdžiui, jei apskaičiuojate vidutinį darbo užmokestį kooperatyvuose ir valstybės valdomose įmonėse, o rezultatą išplėtote visiems gyventojams, tada vidurkis yra fiktyvus, nes jis skaičiuojamas nevienalyčiai populiacijai ir toks vidurkis netenka prasmės.

Vidurkio pagalba išlyginami charakteristikos vertės skirtumai, atsirandantys dėl vienokių ar kitokių priežasčių atskiruose stebėjimo vienetuose.

Pavyzdžiui, vidutinis pardavėjo produktyvumas priklauso nuo daugelio priežasčių: kvalifikacijos, stažo, amžiaus, tarnybos formos, sveikatos ir kt.

Vidutinė produkcija atspindi bendrą visų gyventojų savybę.

Vidutinė vertė yra tiriamos charakteristikos verčių atspindys, todėl ji matuojama tuo pačiu matmeniu kaip ir ši charakteristika.

Kiekviena vidutinė reikšmė apibūdina tiriamą populiaciją pagal kurią nors vieną požymį. Norint gauti išsamų ir visapusišką tiriamos populiacijos supratimą pagal daugybę esminių charakteristikų, apskritai reikia turėti vidutinių verčių sistemą, kuri galėtų apibūdinti reiškinį skirtingais kampais.

Yra skirtingi vidurkiai:

aritmetinis vidurkis;

geometrinis vidurkis;

harmoninis vidurkis;

vidutinis kvadratas;

vidutinis chronologinis.

Pažvelkime į kai kuriuos vidurkių tipus, kurie dažniausiai naudojami statistikoje.

Aritmetinis vidurkis

Paprastas aritmetinis vidurkis (nesvertinis) yra lygus atskirų požymio verčių sumai, padalytai iš šių reikšmių skaičiaus.

Individualios charakteristikos reikšmės vadinamos variantais ir žymimos x(); populiacijos vienetų skaičius žymimas n, vidutinė charakteristikos reikšmė žymima . Todėl paprastasis aritmetinis vidurkis yra lygus:

Remiantis diskrečiųjų pasiskirstymo serijų duomenimis, aišku, kad tos pačios charakteristikos vertės (variantai) kartojasi keletą kartų. Taigi variantas x iš viso pasitaiko 2 kartus, o variantas x – 16 kartų ir t.t.

Identiškų charakteristikų reikšmių skaičius pasiskirstymo serijoje vadinamas dažniu arba svoriu ir žymimas simboliu n.

Apskaičiuokime vieno darbuotojo vidutinį atlyginimą rub.:

fondas darbo užmokesčio kiekvienai darbuotojų grupei yra lygi pasirinkimų ir dažnumo sandaugai, o šių sandaugų suma sudaro bendrą visų darbuotojų darbo užmokesčio fondą.

Atsižvelgiant į tai, skaičiavimai gali būti pateikti bendra forma:

Gauta formulė vadinama svertiniu aritmetiniu vidurkiu.

Apdorojimo rezultate statistinė medžiaga gali būti pateikta ne tik diskrečiųjų pasiskirstymo eilučių pavidalu, bet ir intervalų variacijos eilučių su uždarais arba atvirais intervalais forma.

Sugrupuotų duomenų vidurkis apskaičiuojamas naudojant svertinio aritmetinio vidurkio formulę:

Ekonominės statistikos praktikoje kartais tenka skaičiuoti vidurkį naudojant grupinius vidurkius arba atskirų gyventojų dalių vidurkius (dalinius vidurkius). Tokiais atvejais grupiniai arba privatūs vidurkiai laikomi pasirinkimu (x), kurių pagrindu bendras vidurkis apskaičiuojamas kaip įprastas svertinis aritmetinis vidurkis.

Pagrindinės aritmetinio vidurkio savybės .

Aritmetinis vidurkis turi keletą savybių:

1. Aritmetinio vidurkio reikšmė nepasikeis mažinant ar padidinus kiekvienos charakteristikos x reikšmės dažnį n kartų.

Jei visi dažniai yra padalinti arba padauginti iš bet kurio skaičiaus, vidutinė vertė nepasikeis.

2. Bendras individualių charakteristikos verčių daugiklis gali būti paimtas už vidurkio ženklo:

3. Vidutinė suma Dviejų ar daugiau dydžių (skirtumas) yra lygus jų vidurkių sumai (skirtumui):

4. Jei x = c, kur c yra pastovi reikšmė, tada
.

5. Požymio X reikšmių nuokrypių nuo aritmetinio vidurkio x suma lygi nuliui:

Harmoninis vidurkis.

Kartu su aritmetiniu vidurkiu, statistikoje naudojamas harmoninis vidurkis, atvirkštinis atributo atvirkštinių reikšmių aritmetinio vidurkio dydis. Kaip ir aritmetinis vidurkis, jis gali būti paprastas ir svertinis.

Variacijų eilučių charakteristikos kartu su vidurkiais yra režimas ir mediana.

Mada - tai dažniausiai tiriamoje populiacijoje pasikartojančios charakteristikos (varianto) reikšmė. Diskrečių paskirstymo serijų atveju režimas bus didžiausio dažnio varianto vertė.

Intervalų pasiskirstymo serijoms su vienodais intervalais režimas nustatomas pagal formulę:

Kur
- pradinė intervalo, kuriame yra režimas, reikšmė;

- modalinio intervalo reikšmė;

- modalinio intervalo dažnis;

- intervalo prieš modalinį dažnumą;

- intervalo dažnis po modalinio.

Mediana - tai variantas, esantis variacijų serijos viduryje. Jei pasiskirstymo serija yra diskreti ir turi nelyginį narių skaičių, mediana bus parinktis, esanti eilės serijos viduryje (tvarkinga eilutė yra populiacijos vienetų išdėstymas didėjančia arba mažėjančia tvarka).

Aritmetinis vidurkis yra statistinis rodiklis, parodantis vidutinę tam tikro duomenų masyvo reikšmę. Šis rodiklis apskaičiuojamas kaip trupmena, kurios skaitiklis yra visų masyvo reikšmių suma, o vardiklis yra jų skaičius. Aritmetinis vidurkis yra svarbus koeficientas, naudojamas kasdieniuose skaičiavimuose.

Koeficiento reikšmė

Aritmetinis vidurkis yra elementarus rodiklis, leidžiantis palyginti duomenis ir apskaičiuoti priimtiną reikšmę. Pavyzdžiui, skirtingos parduotuvės parduoda konkretaus gamintojo alaus skardines. Bet vienoje parduotuvėje kainuoja 67 rublius, kitoje – 70, trečioje – 65, o paskutinėje – 62 rublius. Yra gana platus kainų diapazonas, todėl pirkėjas bus suinteresuotas vidutine skardinės kaina, kad pirkdamas prekę galėtų palyginti savo išlaidas. Vidutinė alaus skardinės kaina mieste:

Vidutinė kaina = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubliai.

Žinant vidutinę kainą, nesunku nustatyti, kur prekę pirkti apsimoka, o kur teks permokėti.

Aritmetinis vidurkis nuolat naudojamas statistiniuose skaičiavimuose tais atvejais, kai analizuojamas vienalytis duomenų rinkinys. Aukščiau pateiktame pavyzdyje tai yra to paties prekės ženklo alaus skardinės kaina. Tačiau negalime lyginti skirtingų gamintojų alaus kainos ar alaus ir limonado kainų, nes tokiu atveju vertybių sklaida bus didesnė, vidutinė kaina bus neryški ir nepatikima, o pati skaičiavimų prasmė bus iškreipta į „vidutinės temperatūros ligoninėje“ karikatūrą. Heterogeniniams duomenų rinkiniams apskaičiuoti naudojamas svertinis aritmetinis vidurkis, kai kiekviena reikšmė gauna savo svorio koeficientą.

Aritmetinio vidurkio apskaičiavimas

Skaičiavimo formulė labai paprasta:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

kur an yra kiekio reikšmė, n yra bendras reikšmių skaičius.

Kam gali būti naudojamas šis indikatorius? Pirmasis ir akivaizdžiausias jo panaudojimas yra statistikoje. Beveik kiekviename statistiniai tyrimai Naudojamas aritmetinis vidurkis. Tai gali būti vidutinis santuokos amžius Rusijoje, mokinio mokinio balo vidurkis arba vidutinės išlaidos bakalėjos pirkiniams per dieną. Kaip minėta pirmiau, neatsižvelgiant į svorius, skaičiuojant vidurkius gali atsirasti keistų ar absurdiškų verčių.

Pavyzdžiui, prezidentas Rusijos Federacija padarė pareiškimą, kad pagal statistiką vidutinis ruso atlyginimas yra 27 000 rublių. Daugumai Rusijos gyventojų toks atlyginimo lygis atrodė absurdiškas. Nenuostabu, jei skaičiuodami iš vienos pusės atsižvelgsime į oligarchų, pramonės įmonių vadovų, stambiųjų bankininkų pajamas, iš kitos – į mokytojų, valytojų ir pardavėjų atlyginimus. Net vidutiniai atlyginimai vienoje specialybėje, pavyzdžiui, buhalterio, turės rimtų skirtumų Maskvoje, Kostromoje ir Jekaterinburge.

Kaip apskaičiuoti nevienalyčių duomenų vidurkius

Darbo užmokesčio apskaičiavimo situacijose svarbu atsižvelgti į kiekvienos vertės svorį. Tai reiškia, kad oligarchų ir bankininkų atlyginimai gautų, pavyzdžiui, 0,00001, o pardavėjų – 0,12. Tai netikėti skaičiai, tačiau jie maždaug iliustruoja oligarchų ir pardavėjų paplitimą Rusijos visuomenėje.

Taigi, norint apskaičiuoti nevienalyčio duomenų rinkinio vidurkių arba vidutinių verčių vidurkį, reikia naudoti aritmetinį svertinį vidurkį. Priešingu atveju jūs gausite vidutinį atlyginimą Rusijoje 27 000 rublių. Jei norite sužinoti savo matematikos pažymių vidurkį ar pasirinkto ledo ritulininko įmuštų įvarčių vidurkį, tuomet jums tiks aritmetinio vidurkio skaičiuoklė.

Mūsų programa yra paprastas ir patogus skaičiuotuvas, skirtas apskaičiuoti aritmetinį vidurkį. Norint atlikti skaičiavimus, reikia įvesti tik parametrų reikšmes.

Pažvelkime į porą pavyzdžių

Vidutinio balo skaičiavimas

Daugelis mokytojų, norėdami nustatyti dalyko metinį pažymį, naudoja aritmetinio vidurkio metodą. Įsivaizduokime, kad vaikas iš matematikos gavo tokius ketvirčio balus: 3, 3, 5, 4. Kokį metinį pažymį jam skirs mokytojas? Pasinaudokime skaičiuokle ir apskaičiuokime aritmetinį vidurkį. Norėdami pradėti, pasirinkite reikiamą skaičių laukų ir pasirodžiusiuose langeliuose įveskite įvertinimo reikšmes:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Mokytojas apvalins vertę mokinio naudai, o mokinys už metus gaus solidų B.

Suvalgytų saldainių skaičiavimas

Pavaizduokime tam tikrą aritmetinio vidurkio absurdiškumą. Įsivaizduokime, kad Maša ir Vova turėjo 10 saldainių. Maša suvalgė 8 saldainius, o Vova tik 2. Kiek saldainių vidutiniškai suvalgė kiekvienas vaikas? Naudojant skaičiuotuvą nesunku apskaičiuoti, kad vaikai vidutiniškai suvalgė 5 saldainius, o tai visiškai netiesa ir Sveikas protas. Šis pavyzdys rodo, kad aritmetinis vidurkis yra svarbus prasmingiems duomenų rinkiniams.

Išvada

Aritmetinio vidurkio skaičiavimas plačiai naudojamas daugelyje mokslo sričių. Šis rodiklis populiarus ne tik statistiniuose skaičiavimuose, bet ir fizikoje, mechanikoje, ekonomikoje, medicinoje ar finansuose. Norėdami išspręsti aritmetinio vidurkio skaičiavimo problemas, naudokite mūsų skaičiuotuvus.

Aritmetinio vidurkio ir geometrinio vidurkio tema įtraukta į 6-7 klasių matematikos programą. Kadangi pastraipa gana lengvai suprantama, ji greitai praeina, o baigiantis mokslo metams mokiniai ją pamiršo. Tačiau tam reikalingos pagrindinės statistikos žinios išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą, taip pat už tarptautinius egzaminus SAT. Taip ir už Kasdienybė išvystytas analitinis mąstymas niekada nekenkia.

Kaip apskaičiuoti skaičių aritmetinį ir geometrinį vidurkį

Tarkime, kad yra skaičių eilutė: 11, 4 ir 3. Aritmetinis vidurkis yra visų skaičių suma, padalyta iš pateiktų skaičių. Tai yra, skaičių 11, 4, 3 atveju atsakymas bus 6. Kaip gauti 6?

Sprendimas: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Vardiklyje turi būti skaičius, lygus skaičių, kurių vidurkį reikia rasti, skaičiui. Suma dalijasi iš 3, nes yra trys nariai.

Dabar turime išsiaiškinti geometrinį vidurkį. Tarkime, kad yra skaičių serija: 4, 2 ir 8.

Skaičių geometrinis vidurkis yra visų pateiktų skaičių sandauga, esanti po šaknimi, kurios galia lygi nurodytų skaičių skaičiui. Tai reiškia, kad skaičių 4, 2 ir 8 atveju atsakymas bus 4. Štai kaip. tai paaiškėjo:

Sprendimas: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Abiejuose variantuose gavome ištisus atsakymus, nes pavyzdžiui buvo paimti specialūs skaičiai. Taip nutinka ne visada. Daugeliu atvejų atsakymas turi būti suapvalintas arba paliktas šaknyje. Pavyzdžiui, skaičių 11, 7 ir 20 aritmetinis vidurkis yra ≈ 12,67, o geometrinis vidurkis yra ∛1540. O į skaičius 6 ir 5 atsakymai bus atitinkamai 5,5 ir √30.

Ar gali atsitikti taip, kad aritmetinis vidurkis taps lygus geometriniam vidurkiui?

Žinoma, kad gali. Bet tik dviem atvejais. Jei yra skaičių serija, susidedanti tik iš vienetų arba nulių. Taip pat pažymėtina, kad atsakymas nepriklauso nuo jų skaičiaus.

Įrodymas su vienetais: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetinis vidurkis).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrinis vidurkis).

Įrodymas su nuliais: (0 + 0) / 2=0 (aritmetinis vidurkis).

√(0 × 0) = 0 (geometrinis vidurkis).

Kito varianto nėra ir negali būti.