Naučili smo se že reševati kvadratne enačbe. Razširimo zdaj preučene metode na racionalne enačbe.

Kaj je racionalno izražanje? S tem konceptom smo se že srečali. Racionalni izrazi so izrazi, sestavljeni iz števil, spremenljivk, njihovih potenc in simbolov matematičnih operacij.

V skladu s tem so racionalne enačbe enačbe oblike: , kjer je - racionalni izrazi.

Prej smo obravnavali samo tiste racionalne enačbe, ki jih je mogoče reducirati na linearne. Zdaj pa poglejmo tiste racionalne enačbe, ki jih je mogoče zmanjšati na kvadratne enačbe.

Primer 1

Reši enačbo: .

rešitev:

Ulomek je enak 0, če in samo če je njegov števec enak 0 in imenovalec ni enak 0.

Dobimo naslednji sistem:

Prva enačba sistema je kvadratna enačba. Preden ga rešimo, delimo vse njegove koeficiente s 3. Dobimo:

Dobimo dva korena: ; .

Ker 2 nikoli ni enako 0, morata biti izpolnjena dva pogoja: . Ker nobeden od korenin zgoraj dobljene enačbe ne sovpada z neveljavnimi vrednostmi spremenljivke, ki so bile pridobljene pri reševanju druge neenačbe, sta obe rešitvi te enačbe.

odgovor:.

Torej, oblikujmo algoritem za reševanje racionalnih enačb:

1. Premaknite vse člene na levo stran, tako da se desna stran konča z 0.

2. Preoblikuj in poenostavi levo stran, vse ulomke spravi na skupni imenovalec.

3. Dobljeni ulomek enačite z 0 z uporabo naslednjega algoritma: .

4. Zapišite tiste korene, ki ste jih dobili v prvi enačbi in v odgovoru zadostite drugi neenakosti.

Poglejmo še en primer.

Primer 2

Reši enačbo: .

rešitev

Na samem začetku vse člene premaknemo v levo, tako da na desni ostane 0. Dobimo:

Zdaj pa spravimo levo stran enačbe na skupni imenovalec:

Ta enačba je enakovredna sistemu:

Prva enačba sistema je kvadratna enačba.

Koeficienti te enačbe: . Izračunamo diskriminanco:

Dobimo dva korena: ; .

Zdaj pa rešimo drugo neenačbo: zmnožek faktorjev ni enak 0, če in samo če nobeden od faktorjev ni enak 0.

Izpolnjena morata biti dva pogoja: . Ugotovimo, da je od dveh korenov prve enačbe primeren le eden - 3.

odgovor:.

V tej lekciji smo se spomnili, kaj je racionalni izraz, in se tudi naučili reševati racionalne enačbe, ki se reducirajo na kvadratne enačbe.

V naslednji lekciji si bomo ogledali racionalne enačbe kot modele realnih situacij in si ogledali tudi probleme gibanja.

Bibliografija

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. razred. - M.: Izobraževanje, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. in drugi Algebra, 8. 5. izd. - M.: Izobraževanje, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. razred. Učbenik za splošne izobraževalne ustanove. - M.: Izobraževanje, 2006.

1. Festival pedagoške ideje "Javna lekcija" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com().

Domača naloga

Spoznajmo racionalne in frakcijske racionalne enačbe, podamo njihovo definicijo, podamo primere in analiziramo tudi najpogostejše vrste problemov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalna enačba: definicija in primeri

Spoznavanje racionalnih izrazov se začne v 8. razredu šole. V tem času se učenci pri pouku algebre vedno pogosteje srečujejo z nalogami z enačbami, ki v zapiskih vsebujejo racionalne izraze. Osvežimo si spomin, kaj je.

Definicija 1

Racionalna enačba je enačba, v kateri obe strani vsebujeta racionalne izraze.

V različnih priročnikih lahko najdete drugo formulacijo.

Definicija 2

Racionalna enačba- to je enačba, katere leva stran vsebuje racionalni izraz, desna pa nič.

Definicije, ki smo jih podali za racionalne enačbe, so enakovredne, saj govorijo o isti stvari. Pravilnost naših besed potrjuje dejstvo, da za vse racionalne izraze p in Q enačbe P=Q in P − Q = 0 bodo enakovredni izrazi.

Zdaj pa poglejmo primere.

Primer 1

Racionalne enačbe:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Racionalne enačbe, tako kot enačbe drugih vrst, lahko vsebujejo poljubno število spremenljivk od 1 do več. Najprej si bomo ogledali preprosti primeri, v katerem bodo enačbe vsebovale samo eno spremenljivko. In potem bomo začeli postopoma zapletati nalogo.

Racionalne enačbe delimo na dvoje velike skupine: cela števila in ulomki. Poglejmo, katere enačbe bodo veljale za vsako od skupin.

Definicija 3

Racionalna enačba bo celo število, če njena leva in desna stran vsebujeta celotne racionalne izraze.

Definicija 4

Racionalna enačba bo ulomka, če en ali oba njena dela vsebujeta ulomek.

Ulomke racionalnih enačb v obvezno vsebujejo deljenje s spremenljivko ali pa je spremenljivka v imenovalcu. Pri pisanju celih enačb te delitve ni.

Primer 2

3 x + 2 = 0 in (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– celotne racionalne enačbe. Tu sta obe strani enačbe predstavljeni s celoštevilskimi izrazi.

1 x - 1 = x 3 in x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 so delno racionalne enačbe.

Celotne racionalne enačbe vključujejo linearne in kvadratne enačbe.

Reševanje celih enačb

Reševanje takih enačb se običajno zmanjša na njihovo pretvorbo v enakovredne algebrske enačbe. To lahko dosežemo z izvedbo ekvivalentnih transformacij enačb v skladu z naslednjim algoritmom:

• najprej dobimo ničlo na desni strani enačbe, za to pa moramo izraz, ki je na desni strani enačbe, premakniti na levo stran in spremeniti predznak;
• nato izraz na levi strani enačbe pretvorimo v polinom standardne oblike.

Dobiti moramo algebrska enačba. Ta enačba bo enakovredna prvotni enačbi. Preprosti primeri nam omogočajo reduciranje celotne enačbe na linearno ali kvadratno in tako rešimo problem. Na splošno rešujemo algebraično enačbo stopnje n.

Primer 3

Treba je najti korenine celotne enačbe 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

rešitev

Transformirajmo prvotni izraz, da dobimo enakovredno algebrsko enačbo. Da bi to naredili, bomo izraz, ki ga vsebuje desna stran enačbe, prenesli na levo stran in predznak zamenjali z nasprotnim. Kot rezultat dobimo: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Zdaj transformirajmo izraz, ki je na levi strani, v polinom standardne oblike in izdelajmo potrebna dejanja s tem polinomom:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Uspelo nam je reducirati rešitev izvirne enačbe na rešitev kvadratna enačba prijazen x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminant te enačbe je pozitiven: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . To pomeni, da bosta dve pravi korenini. Poiščimo jih s formulo za korenine kvadratne enačbe:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 ali x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 ali x 2 = - 1

Preverimo pravilnost korenov enačbe, ki smo jih našli med reševanjem. Za to zamenjamo številke, ki smo jih prejeli, v prvotno enačbo: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 in 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. V prvem primeru 63 = 63 , v drugem 0 = 0 . Korenine x=6 in x = − 1 so dejansko korenine enačbe, podane v primeru pogoja.

odgovor: 6 , − 1 .

Poglejmo, kaj pomeni "moč celotne enačbe". Ta izraz bomo pogosto srečali v primerih, ko moramo predstaviti celotno enačbo v algebraični obliki. Opredelimo pojem.

Definicija 5

Stopnja celotne enačbe je stopnja algebraične enačbe, ki je enakovredna izvirni celoštevilski enačbi.

Če pogledate enačbe iz zgornjega primera, lahko ugotovite: stopnja te celotne enačbe je druga.

Če bi bil naš tečaj omejen na reševanje enačb druge stopnje, bi se razprava o temi lahko končala. A ni tako preprosto. Reševanje enačb tretje stopnje je polno težav. In za enačbe nad četrto stopnjo sploh ni splošnih korenskih formul. V zvezi s tem reševanje celotnih enačb tretje, četrte in drugih stopenj zahteva uporabo številnih drugih tehnik in metod.

Najpogosteje uporabljen pristop k reševanju celotnih racionalnih enačb temelji na metodi faktorizacije. Algoritem dejanj v tem primeru je naslednji:

• izraz premaknemo z desne strani na levo, tako da na desni strani zapisa ostane ničla;
• Izraz na levi strani predstavimo kot produkt faktorjev, nato pa preidemo na niz več enostavnejših enačb.

Primer 4

Poišči rešitev enačbe (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

rešitev

Izraz premaknemo z desne strani zapisa na levo z nasprotnim predznakom: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Pretvarjanje leve strani v polinom standardne oblike je neustrezno, ker bomo s tem dobili algebraično enačbo četrte stopnje: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Enostavnost pretvorbe ne opravičuje vseh težav pri reševanju takšne enačbe.

Veliko lažje je iti v drugo smer: vzemimo skupni faktor iz oklepaja x 2 − 10 x + 13 . Tako pridemo do enačbe oblike (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Sedaj nadomestimo dobljeno enačbo z nizom dveh kvadratnih enačb x 2 − 10 x + 13 = 0 in x 2 − 2 x − 1 = 0 in poiščite njihove korene skozi diskriminanto: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

odgovor: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Na enak način lahko uporabimo metodo vnosa nove spremenljivke. Ta metoda nam omogoča prehod na enakovredne enačbe s stopnjami, nižjimi od stopenj v prvotni celoštevilski enačbi.

Primer 5

Ali ima enačba korenine? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

rešitev

Če poskušamo zdaj celotno racionalno enačbo reducirati na algebraično, bomo dobili enačbo stopnje 4, ki nima racionalne korenine. Zato bomo lažje šli v drugo smer: uvedli novo spremenljivko y, ki bo nadomestila izraz v enačbi x 2 + 3 x.

Zdaj bomo delali s celotno enačbo (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Prestavimo desna stran enačbe na levo z nasprotnim predznakom in izvedite potrebne transformacije. Dobimo: y 2 + 4 y + 3 = 0. Poiščimo korenine kvadratne enačbe: y = − 1 in y = − 3.

Zdaj pa naredimo obratno zamenjavo. Dobimo dve enačbi x 2 + 3 x = − 1 in x 2 + 3 · x = − 3 . Zapišimo jih kot x 2 + 3 x + 1 = 0 in x 2 + 3 x + 3 = 0. Uporabimo formulo za korenine kvadratne enačbe, da iz dobljenih enačb poiščemo korenine prve: - 3 ± 5 2. Diskriminanta druge enačbe je negativna. To pomeni, da druga enačba nima pravih korenin.

odgovor:- 3 ± 5 2

Cele enačbe visoke stopnje pogosto srečate pri nalogah. Ni se jih treba bati. Za njihovo reševanje morate biti pripravljeni uporabiti nestandardno metodo, vključno s številnimi umetnimi transformacijami.

Rešitev delno racionalnih enačb

Obravnavo te podteme bomo začeli z algoritmom za reševanje delno racionalnih enačb oblike p (x) q (x) = 0, kjer je p(x) in q(x)– celi racionalni izrazi. Rešitev drugih delno racionalnih enačb je vedno mogoče reducirati na rešitev enačb navedenega tipa.

Najpogosteje uporabljena metoda za reševanje enačb p (x) q (x) = 0 temelji na naslednji izjavi: številčni ulomek u v, Kje v- to je število, ki je različno od nič, enako nič le v tistih primerih, ko je števec ulomka enak nič. Po logiki zgornje izjave lahko trdimo, da je rešitev enačbe p (x) q (x) = 0 reducirana na izpolnjevanje dveh pogojev: p(x)=0 in q(x) ≠ 0. To je osnova za izdelavo algoritma za reševanje ulomkov racionalnih enačb oblike p (x) q (x) = 0:

• najti rešitev celotne racionalne enačbe p(x)=0;
• preverimo, ali je pogoj izpolnjen za korenine, ki jih najdemo med reševanjem q(x) ≠ 0.

Če je ta pogoj izpolnjen, je najden koren, če ni, potem koren ni rešitev problema.

Primer 6

Poiščimo korenine enačbe 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

rešitev

Opravka imamo z ulomljeno racionalno enačbo oblike p (x) q (x) = 0, pri kateri je p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Začnimo reševati linearno enačbo 3 x - 2 = 0. Koren te enačbe bo x = 2 3.

Preverimo najdeni koren, ali izpolnjuje pogoj 5 x 2 - 2 ≠ 0. Če želite to narediti, v izraz nadomestite številsko vrednost. Dobimo: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Pogoj je izpolnjen. To pomeni, da x = 2 3 je koren izvirne enačbe.

odgovor: 2 3 .

Obstaja še ena možnost za reševanje ulomljenih racionalnih enačb p (x) q (x) = 0. Spomnimo se, da je ta enačba enakovredna celotni enačbi p(x)=0 v regiji sprejemljive vrednosti spremenljivka x izvirne enačbe. To nam omogoča uporabo naslednjega algoritma pri reševanju enačb p (x) q (x) = 0:

• reši enačbo p(x)=0;
• poiščite obseg dovoljenih vrednosti spremenljivke x;
• vzamemo korenine, ki ležijo v območju dovoljenih vrednosti spremenljivke x, kot želene korenine izvirne frakcijske racionalne enačbe.

Primer 7

Rešite enačbo x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

rešitev

Najprej rešimo kvadratno enačbo x 2 − 2 x − 11 = 0. Za izračun njegovih korenov uporabimo formulo korenov za sodi drugi koeficient. Dobimo D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 in x = 1 ± 2 3 .

Zdaj lahko najdemo ODZ spremenljivke x za prvotno enačbo. To so vse številke, za katere x 2 + 3 x ≠ 0. Enako je kot x (x + 3) ≠ 0, od koder je x ≠ 0, x ≠ − 3.

Zdaj pa preverimo, ali so korenine x = 1 ± 2 3, dobljene na prvi stopnji rešitve, znotraj območja dovoljenih vrednosti spremenljivke x. Vidimo jih, da prihajajo. To pomeni, da ima izvirna ulomljena racionalna enačba dva korena x = 1 ± 2 3.

odgovor: x = 1 ± 2 3

Druga opisana metoda reševanja je preprostejša od prve v primerih, ko je območje dovoljenih vrednosti spremenljivke x enostavno najti in korenine enačbe p(x)=0 neracionalno. Na primer, 7 ± 4 · 26 9. Koreni so lahko racionalni, vendar z velikim števcem ali imenovalcem. na primer 127 1101 in − 31 59 . To prihrani čas pri preverjanju stanja q(x) ≠ 0: Veliko lažje je izločiti korenine, ki po ODZ ne ustrezajo.

V primerih, ko so koreni enačbe p(x)=0 cela števila, je za reševanje enačb oblike p (x) q (x) = 0 smotrneje uporabiti prvega izmed opisanih algoritmov. Hitreje poiščite korenine celotne enačbe p(x)=0, nato pa preverite, ali je pogoj zanje izpolnjen q(x) ≠ 0, in ne poiščite ODZ, nato pa rešite enačbo p(x)=0 na tem ODZ. To je posledica dejstva, da je v takih primerih običajno lažje opraviti pregled kot najti ODZ.

Primer 8

Poiščite korene enačbe (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

rešitev

Začnemo z upoštevanjem celotne enačbe (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 in iskanje njenih korenin. Za to uporabimo metodo reševanja enačb s faktorizacijo. Izkazalo se je, da je prvotna enačba enakovredna naboru štirih enačb 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, od katerih so tri linearne in ena je kvadratna. Poiščemo korenine: iz prve enačbe x = 1 2, od drugega – x=6, od tretjega - x \u003d 7, x \u003d - 2, od četrtega - x = − 1.

Preverimo pridobljene korenine. V tem primeru težko določimo ODZ, saj bomo za to morali rešiti algebraično enačbo pete stopnje. Lažje bomo preverili pogoj, po katerem imenovalec ulomka, ki je na levi strani enačbe, ne sme iti na nič.

Zamenjajmo korene za spremenljivko x v izrazu x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 in izračunajte njegovo vrednost:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Izvedeno preverjanje nam omogoča, da ugotovimo, da so koreni izvirne ulomljene racionalne enačbe 1 2, 6 in − 2 .

odgovor: 1 2 , 6 , - 2

Primer 9

Poiščite korene ulomljene racionalne enačbe 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

rešitev

Začnimo delati z enačbo (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Poiščimo njene korenine. To enačbo si lažje predstavljamo kot množico kvadratnih in linearnih enačb 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 in x − 2 = 0.

Za iskanje korenin uporabimo formulo za korenine kvadratne enačbe. Iz prve enačbe dobimo dva korena x = 7 ± 69 10, iz druge pa x = 2.

Precej težko nam bo nadomestiti vrednost korenov v prvotno enačbo, da preverimo pogoje. Lažje bo določiti ODZ spremenljivke x. V tem primeru so ODZ spremenljivke x vsa števila razen tistih, za katera je pogoj izpolnjen x 2 + 5 x − 14 = 0. Dobimo: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Zdaj pa preverimo, ali korenine, ki smo jih našli, spadajo v obseg dovoljenih vrednosti spremenljivke x.

Korenine x = 7 ± 69 10 pripadajo, torej so korenine prvotne enačbe in x = 2- ne pripada, torej je tuja korenina.

odgovor: x = 7 ± 69 10 .

Ločeno preučimo primere, ko števec ulomljene racionalne enačbe oblike p (x) q (x) = 0 vsebuje število. V takih primerih, če števec vsebuje število, ki ni nič, enačba ne bo imela korenin. Če je to število enako nič, bo koren enačbe poljubno število iz ODZ.

Primer 10

Rešite ulomljeno racionalno enačbo - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

rešitev

Ta enačba ne bo imela korenin, saj števec ulomka na levi strani enačbe vsebuje število, ki ni nič. To pomeni, da pri nobeni vrednosti x vrednost ulomka, podanega v izjavi problema, ne bo enaka nič.

odgovor: brez korenin.

Primer 11

Rešite enačbo 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

rešitev

Ker je v števcu ulomka nič, bo rešitev enačbe poljubna vrednost x iz ODZ spremenljivke x.

Zdaj pa definirajmo ODZ. Vključeval bo vse vrednosti x, za katere x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Rešitve enačbe x 4 + 5 x 3 = 0 so 0 in − 5 , saj je ta enačba enakovredna enačbi x 3 (x + 5) = 0, to pa je enakovredno kombinaciji dveh enačb x 3 = 0 in x + 5 = 0, kjer so te korenine vidne. Pridemo do zaključka, da je želeni obseg sprejemljivih vrednosti vsak x razen x = 0 in x = − 5.

Izkazalo se je, da ima ulomljena racionalna enačba 0 x 4 + 5 x 3 = 0 neskončno število rešitev, ki so poljubna števila, razen nič in - 5.

odgovor: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Zdaj pa se pogovorimo o frakcijskih racionalnih enačbah poljubne oblike in metodah za njihovo reševanje. Lahko jih zapišemo kot r(x) = s(x), Kje r(x) in s(x)– racionalni izrazi in vsaj eden od njih je ulomek. Reševanje takih enačb se zmanjša na reševanje enačb oblike p (x) q (x) = 0.

Vemo že, da lahko dobimo ekvivalentno enačbo, če prenesemo izraz z desne strani enačbe na levo z nasprotnim predznakom. To pomeni, da enačba r(x) = s(x) je enakovredna enačbi r (x) − s (x) = 0. Prav tako smo že razpravljali o načinih za pretvorbo racionalnega izraza v racionalni ulomek. Zahvaljujoč temu lahko enačbo enostavno transformiramo r (x) − s (x) = 0 v enak racionalni ulomek oblike p (x) q (x) .

Tako se premaknemo iz prvotne ulomljene racionalne enačbe r(x) = s(x) na enačbo oblike p (x) q (x) = 0, ki smo se jo že naučili reševati.

Upoštevati je treba, da pri prehodih iz r (x) − s (x) = 0 na p(x)q(x) = 0 in nato na p(x)=0 morda ne bomo upoštevali razširitve obsega veljavnih vrednosti spremenljivke x.

Povsem realno je, da je prvotna enačba r(x) = s(x) in enačba p(x)=0 zaradi transformacij ne bosta več enakovredni. Nato rešitev enačbe p(x)=0 nam lahko da korenine, ki nam bodo tuje r(x) = s(x). V zvezi s tem je v vsakem primeru potrebno opraviti preverjanje s katero koli od zgoraj opisanih metod.

Da bi vam olajšali študij teme, smo vse informacije strnili v algoritem za reševanje ulomljene racionalne enačbe oblike r(x) = s(x):

• prenesemo izraz z desne strani z nasprotnim predznakom in dobimo na desni ničlo;
• preoblikujejo izvirni izraz v racionalni ulomek p (x) q (x) , zaporedoma izvajajo operacije z ulomki in polinomi;
• reši enačbo p(x)=0;
• Tuje korene identificiramo s preverjanjem njihove pripadnosti ODZ ali s substitucijo v izvirno enačbo.

Vizualno bo veriga dejanj videti takole:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → izločitev ZUNANJE KORENINE

Primer 12

Rešite ulomljeno racionalno enačbo x x + 1 = 1 x + 1 .

rešitev

Pojdimo k enačbi x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Transformirajmo ulomljeni racionalni izraz na levi strani enačbe v obliko p (x) q (x) .

Da bi to naredili, bomo morali racionalne ulomke zreducirati na skupni imenovalec in poenostaviti izraz:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Da bi našli korenine enačbe - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, moramo rešiti enačbo − 2 x − 1 = 0. Dobimo en koren x = - 1 2.

Vse kar moramo storiti je, da preverimo s katero od metod. Poglejmo oba.

Zamenjajmo dobljeno vrednost v prvotno enačbo. Dobimo - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Prišli smo do pravilne številske enakosti − 1 = − 1 . To pomeni, da x = − 1 2 je koren izvirne enačbe.

Zdaj pa preverimo skozi ODZ. Določimo obseg dovoljenih vrednosti spremenljivke x. To bo celoten niz števil z izjemo − 1 in 0 (pri x = − 1 in x = 0 se imenovalca ulomkov izničita). Koren, ki smo ga dobili x = − 1 2 spada v ODZ. To pomeni, da je koren izvirne enačbe.

odgovor: − 1 2 .

Primer 13

Poiščite korenine enačbe x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

rešitev

Opravka imamo z ulomljeno racionalno enačbo. Zato bomo ravnali po algoritmu.

Premaknimo izraz z desne strani na levo z nasprotnim predznakom: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Izvedimo potrebne transformacije: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Pridemo do enačbe x = 0. Koren te enačbe je nič.

Preverimo, ali je ta koren izvirni enačbi tuj. Nadomestimo vrednost v prvotno enačbo: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Kot lahko vidite, nastala enačba nima smisla. To pomeni, da je 0 tuja korenina in izvirna frakcijska racionalna enačba nima korenin.

odgovor: brez korenin.

Če v algoritem nismo vključili drugih ekvivalentnih transformacij, to ne pomeni, da jih ni mogoče uporabiti. Algoritem je univerzalen, vendar je zasnovan tako, da pomaga, ne omejuje.

Primer 14

Rešite enačbo 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

rešitev

Najlažji način je, da dano ulomljeno racionalno enačbo rešimo po algoritmu. Vendar obstaja še en način. Razmislimo o tem.

Od desne in leve strani odštejemo 7, dobimo: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Iz tega lahko sklepamo, da mora biti izraz v imenovalcu na levi strani enak recipročni vrednosti števila na desni strani, to je 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Od obeh strani odštejte 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Po analogiji je 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, od koder je 1 5 - x 2 = 1 3, nato pa 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2.

Preverimo, ali so najdeni koreni koreni prvotne enačbe.

odgovor: x = ± 2

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Predstavitev in lekcija na temo: "Racionalne enačbe. Algoritem in primeri reševanja racionalnih enačb"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, povratnih informacij, predlogov! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 8. razred
Priročnik za učbenik Makarycheva Yu.N. Priročnik za učbenik Mordkovich A.G.

Uvod v iracionalne enačbe

Fantje, naučili smo se reševati kvadratne enačbe. A matematika ni omejena le nanje. Danes se bomo naučili reševati racionalne enačbe. Koncept racionalnih enačb je v mnogih pogledih podoben konceptu racionalnih števil. Le da smo poleg številk zdaj uvedli še spremenljivko $x$. In tako dobimo izraz, v katerem so prisotne operacije seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja in dvigovanja na celo potenco.

Naj bo $r(x)$ racionalno izražanje. Tak izraz je lahko preprost polinom v spremenljivki $x$ ali razmerje polinomov (uvedena je operacija deljenja, kot pri racionalnih številih).
Enačba $r(x)=0$ se imenuje racionalna enačba.
Vsaka enačba v obliki $p(x)=q(x)$, kjer sta $p(x)$ in $q(x)$ racionalna izraza, bo prav tako racionalna enačba.

Razmislite o primerih reševanja racionalnih enačb.

Primer 1.
Rešite enačbo: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

rešitev.
Premaknimo vse izraze na levo stran: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Če bi levo stran enačbe predstavili z navadnimi številkami, bi oba ulomka zreducirali na skupni imenovalec.
Naredimo tole: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dobili smo enačbo: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Ulomek je enak nič, če in samo če je števec ulomka nič in imenovalec različen od nič. Nato ločeno enačite števec z nič in poiščite korenine števca.
$3(x^2+2x-3)=0$ ali $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Zdaj pa preverimo imenovalec ulomka: $(x-3)*x≠0$.
Zmnožek dveh števil je enak nič, če je vsaj eno od teh števil enako nič. Potem: $x≠0$ ali $x-3≠0$.
$x≠0$ ali $x≠3$.
Korenine, dobljene v števcu in imenovalcu, ne sovpadajo. V odgovor torej zapišemo oba korena števca.
Odgovor: $x=1$ ali $x=-3$.

Če nenadoma ena od korenin števca sovpada s korenino imenovalca, jo je treba izključiti. Takšne korenine se imenujejo tuje!

Algoritem za reševanje racionalnih enačb:

1. Vse izraze v enačbi premaknite na levo stran enačaja.
2. Pretvorite ta del enačbe v algebrski ulomek: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Dobljeni števec izenačimo z nič, to pomeni, da rešimo enačbo $p(x)=0$.
4. Odštevanec izenači z nič in reši dobljeno enačbo. Če korenine imenovalca sovpadajo s koreninami števca, jih je treba izključiti iz odgovora.

Primer 2.
Rešite enačbo: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

rešitev.
Rešimo po točkah algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Števec enačite na nič: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Izenačite imenovalec na nič:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ in $x=-1$.
Eden od korenov $x=1$ sovpada s korenom števca, potem ga v odgovoru ne zapišemo.
Odgovor: $x=-1$.

Racionalne enačbe je priročno reševati z metodo menjave spremenljivk. Pokažimo to.

Primer 3.
Rešite enačbo: $x^4+12x^2-64=0$.

rešitev.
Predstavimo zamenjavo: $t=x^2$.
Potem bo naša enačba dobila obliko:
$t^2+12t-64=0$ - navadna kvadratna enačba.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Uvedimo obratno zamenjavo: $x^2=4$ ali $x^2=-16$.
Koreni prve enačbe so par števil $x=±2$. Druga stvar je, da nima korenin.
Odgovor: $x=±2$.

Primer 4.
Rešite enačbo: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
rešitev.
Predstavimo novo spremenljivko: $t=x^2+x+1$.
Potem bo enačba prevzela obliko: $t=\frac(15)(t+2)$.
Nato bomo ravnali po algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 $.
4. $t≠-2$ - korena se ne ujemata.
Uvedimo obratno zamenjavo.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Rešimo vsako enačbo posebej:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ne korenine.
In druga enačba: $x^2+x-2=0$.
Koreni te enačbe bodo števili $x=-2$ in $x=1$.
Odgovor: $x=-2$ in $x=1$.

Primer 5
Rešite enačbo: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

rešitev.
Predstavimo zamenjavo: $t=x+\frac(1)(x)$.
Nato:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ali $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dobili smo enačbo: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Koreni te enačbe so par:
$t=-3$ in $t=2$.
Predstavimo obratno zamenjavo:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Odločili se bomo ločeno.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Rešimo drugo enačbo:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Koren te enačbe je število $x=1$.
Odgovor: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno

Reši enačbe:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Nadaljujmo s pogovorom o reševanje enačb. V tem članku bomo podrobno obravnavali racionalne enačbe in principi reševanja racionalnih enačb z eno spremenljivko. Najprej ugotovimo, katero vrsto enačb imenujemo racionalne, dajmo definicijo celih racionalnih in delnih racionalnih enačb in navedimo primere. V nadaljevanju bomo pridobili algoritme za reševanje racionalnih enačb, seveda pa bomo obravnavali rešitve tipičnih primerov z vsemi potrebnimi pojasnili.

Navigacija po straneh.

Na podlagi navedenih definicij podajamo nekaj primerov racionalnih enačb. Na primer, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , so vse racionalne enačbe.

Iz prikazanih primerov je razvidno, da so lahko racionalne enačbe, pa tudi enačbe drugih vrst, z eno spremenljivko, z dvema, tremi itd. spremenljivke. V naslednjih odstavkih bomo govorili o reševanju racionalnih enačb z eno spremenljivko. Reševanje enačb v dveh spremenljivkah in njih veliko število zaslužijo posebno pozornost.

Poleg tega, da racionalne enačbe delimo s številom neznanih spremenljivk, jih delimo tudi na cele in ulomke. Navedimo ustrezne definicije.

Opredelitev.

Racionalna enačba se imenuje cela, če sta njegova leva in desna stran celoštevilski racionalni izraz.

Opredelitev.

Če je vsaj eden od delov racionalne enačbe ulomek, potem se taka enačba imenuje delno racionalno(ali delno racionalno).

Jasno je, da cele enačbe ne vsebujejo deljenja s spremenljivko, nasprotno, ulomljene racionalne enačbe nujno vsebujejo deljenje s spremenljivko (ali spremenljivko v imenovalcu). Torej 3 x+2=0 in (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– to so cele racionalne enačbe, oba dela sta cela izraza. A in x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sta primera ulomljenih racionalnih enačb.

Ob zaključku te točke bodimo pozorni na dejstvo, da so do te točke znane linearne in kvadratne enačbe celotne racionalne enačbe.

Reševanje celih enačb

Eden od glavnih pristopov k reševanju celotnih enačb je njihova redukcija na enakovredne algebraične enačbe. To lahko vedno storite tako, da izvedete naslednje enakovredne transformacije enačbe:

• najprej se izraz z desne strani prvotne celoštevilske enačbe prenese na levo stran z nasprotnim predznakom, da dobimo nič na desni strani;
• za tem na levi strani enačbe nastala standardna oblika.

Rezultat je algebrska enačba, ki je enakovredna prvotni celoštevilski enačbi. Tako se v najpreprostejših primerih reševanje celotnih enačb zreducira na reševanje linearnih ali kvadratnih enačb, v splošnem primeru pa na reševanje algebraične enačbe stopnje n. Za jasnost analizirajmo rešitev primera.

Primer.

Poiščite korenine celotne enačbe 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

rešitev.

Zmanjšajmo rešitev te celotne enačbe na rešitev enakovredne algebrske enačbe. Da bi to naredili, najprej prenesemo izraz z desne strani na levo, posledično pridemo do enačbe 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. In drugič, transformiramo izraz, oblikovan na levi strani, v polinom standardne oblike tako, da izpolnimo potrebno: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Tako se reševanje prvotne celoštevilske enačbe zmanjša na reševanje kvadratne enačbe x 2 −5·x−6=0.

Izračunajte njegovo diskriminanto D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, je pozitiven, kar pomeni, da ima enačba dva realna korena, ki ju najdemo s formulo za korenine kvadratne enačbe:

Da smo popolnoma prepričani, naredimo preverjanje najdenih korenin enačbe. Najprej preverimo koren 6, ga nadomestimo namesto spremenljivke x v prvotni celoštevilski enačbi: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, kar je enako, 63=63. To je veljavna numerična enačba, zato je x=6 res koren enačbe. Zdaj preverimo koren −1, imamo 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, od koder je 0=0 . Ko je x=−1, se tudi prvotna enačba spremeni v pravilno numerično enakost, torej je tudi x=−1 koren enačbe.

odgovor:

6 , −1 .

Tukaj je treba tudi opozoriti, da je izraz "stopnja celotne enačbe" povezan s predstavitvijo celotne enačbe v obliki algebraične enačbe. Naj podamo ustrezno definicijo:

Opredelitev.

Stopnja celotne enačbe se imenuje stopnja ekvivalentne algebraične enačbe.

Po tej definiciji ima celotna enačba iz prejšnjega primera drugo stopnjo.

To bi lahko bil konec reševanja celih racionalnih enačb, če ne bi bila ena stvar…. Kot je znano, je reševanje algebraičnih enačb stopnje nad drugo povezano s precejšnjimi težavami, za enačbe stopnje nad četrto pa sploh ni splošnih korenskih formul. Zato se je za reševanje celotnih enačb tretje, četrte in višjih stopenj pogosto treba zateči k drugim metodam reševanja.

V takih primerih pristop k reševanju celotnih racionalnih enačb temelji na metoda faktorizacije. V tem primeru se upošteva naslednji algoritem:

• najprej zagotovijo, da je na desni strani enačbe ničla, za to prenesejo izraz z desne strani celotne enačbe na levo;
• nato je dobljeni izraz na levi strani predstavljen kot produkt več faktorjev, kar nam omogoča, da preidemo na niz več enostavnejših enačb.

Podani algoritem za reševanje celotne enačbe s faktorizacijo zahteva podrobno razlago na primeru.

Primer.

Reši celotno enačbo (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

rešitev.

Najprej, kot običajno, prenesemo izraz z desne strani na levo stran enačbe, ne da bi pozabili spremeniti znak, dobimo (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Tukaj je povsem očitno, da leve strani dobljene enačbe ni priporočljivo preoblikovati v polinom standardne oblike, saj bomo s tem dobili algebraično enačbo četrte stopnje oblike x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, katerega rešitev je težka.

Po drugi strani pa je očitno, da lahko na levi strani nastale enačbe x 2 −10 x+13 in jo tako predstavimo kot produkt. Imamo (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Nastala enačba je enakovredna prvotni celotni enačbi in jo je mogoče nadomestiti z nizom dveh kvadratnih enačb x 2 −10·x+13=0 in x 2 −2·x−1=0. Iskanje njihovih korenin z uporabo znanih korenskih formul skozi diskriminanto ni težko; korenine so enake. So želene korenine izvirne enačbe.

odgovor:

Uporabno tudi za reševanje celotnih racionalnih enačb metoda za uvedbo nove spremenljivke. V nekaterih primerih vam omogoča prehod na enačbe, katerih stopnja je nižja od stopnje prvotne celotne enačbe.

Primer.

Poiščite prave korenine racionalne enačbe (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

rešitev.

Zmanjšanje te celotne racionalne enačbe na algebraično enačbo je, milo rečeno, ne preveč dobra ideja, saj bomo v tem primeru prišli do potrebe po reševanju enačbe četrte stopnje, ki nima racionalnih korenin. Zato boste morali poiskati drugo rešitev.

Tukaj je enostavno videti, da lahko uvedete novo spremenljivko y in z njo zamenjate izraz x 2 +3·x. Ta zamenjava nas pripelje do celotne enačbe (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , ki po premiku izraza −2·(y−4) na levo stran in kasnejši transformaciji izraza ki nastane tam, se zmanjša na kvadratno enačbo y 2 +4 y+3=0 . Korene te enačbe y=−1 in y=−3 je enostavno najti, na primer, lahko jih izberete na podlagi izreka, ki je inverzen Vietovemu izreku.

Zdaj preidemo na drugi del metode uvajanja nove spremenljivke, to je na izvedbo obratne zamenjave. Po izvedbi obratne zamenjave dobimo dve enačbi x 2 +3 x=−1 in x 2 +3 x=−3, ki ju lahko prepišemo kot x 2 +3 x+1=0 in x 2 +3 x+3 =0. Po formuli korenin kvadratne enačbe najdemo korenine prve enačbe. In druga kvadratna enačba nima pravih korenin, ker je njena diskriminanta negativna (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

odgovor:

Na splošno, ko imamo opravka s celotnimi enačbami visokih stopenj, moramo biti vedno pripravljeni iskati nestandardno metodo ali umetno tehniko za njihovo reševanje.

Rešitev delno racionalnih enačb

Najprej bo koristno razumeti, kako rešiti ulomljene racionalne enačbe oblike , kjer sta p(x) in q(x) celoštevilska racionalna izraza. Nato bomo pokazali, kako reducirati rešitev drugih delno racionalnih enačb na rešitev enačb navedenega tipa.

En pristop k reševanju enačbe temelji na naslednji trditvi: številski ulomek u/v, kjer je v ničelno število (sicer bomo naleteli na , ki je nedefinirano), je enak nič, če in samo če je njegov števec enako nič, potem je, če in samo če je u=0 . Na podlagi te izjave je reševanje enačbe zmanjšano na izpolnitev dveh pogojev p(x)=0 in q(x)≠0.

Ta sklep je skladen z naslednjim algoritem za reševanje ulomljeno racionalne enačbe. Če želite rešiti ulomljeno racionalno enačbo oblike , potrebujete

• rešiti celotno racionalno enačbo p(x)=0 ;
• in preverite, ali je pogoj q(x)≠0 izpolnjen za vsak najdeni koren, medtem ko
• če drži, potem je ta koren koren izvirne enačbe;
• če ni izpolnjena, potem je ta koren tuj, kar pomeni, da ni koren prvotne enačbe.

Oglejmo si primer uporabe napovedanega algoritma pri reševanju ulomljene racionalne enačbe.

Primer.

Poiščite korenine enačbe.

rešitev.

To je delno racionalna enačba oblike , kjer je p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Po algoritmu za reševanje tovrstnih ulomljeno racionalnih enačb moramo najprej rešiti enačbo 3·x−2=0 . to linearna enačba, katerega koren je x=2/3.

Preostalo je še, da preverimo ta koren, torej preverimo, ali izpolnjuje pogoj 5·x 2 −2≠0 . V izraz 5 x 2 −2 namesto x nadomestimo število 2/3 in dobimo . Pogoj je izpolnjen, zato je x=2/3 koren izvirne enačbe.

odgovor:

2/3 .

Rešitve ulomljene racionalne enačbe se lahko lotimo z nekoliko drugačnega položaja. Ta enačba je enakovredna celotni enačbi p(x)=0 na spremenljivki x izvirne enačbe. Se pravi, tega se lahko držite algoritem za reševanje ulomljene racionalne enačbe :

• reši enačbo p(x)=0 ;
• poiščite ODZ spremenljivke x;
• vzemite korenine, ki pripadajo območju dopustnih vrednosti - to so želene korenine prvotne frakcijske racionalne enačbe.

Na primer, rešimo ulomljeno racionalno enačbo s tem algoritmom.

Primer.

Reši enačbo.

rešitev.

Najprej rešimo kvadratno enačbo x 2 −2·x−11=0. Njegove korene je mogoče izračunati z uporabo formule za koren za sodi drugi koeficient, ki ga imamo D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, In .

Drugič, najdemo ODZ spremenljivke x za prvotno enačbo. Sestavljena je iz vseh števil, za katera je x 2 +3 x≠0 , kar je enako x (x+3)≠0 , od koder je x≠0 , x≠−3 .

Preveriti je treba, ali so korenine, najdene v prvem koraku, vključene v ODZ. Očitno da. Zato ima izvirna ulomka racionalna enačba dva korena.

odgovor:

Upoštevajte, da je ta pristop donosnejši od prvega, če je ODZ enostavno najti, in je še posebej koristen, če so koreni enačbe p(x) = 0 na primer iracionalni ali racionalni, vendar s precej velikim števcem in /ali imenovalec, na primer 127/1101 in −31/59. To je posledica dejstva, da bo v takšnih primerih preverjanje pogoja q(x)≠0 zahtevalo velik računski napor in je lažje izključiti tuje korenine z uporabo ODZ.

V drugih primerih je pri reševanju enačbe, zlasti kadar so koreni enačbe p(x) = 0 cela števila, bolj donosna uporaba prvega od danih algoritmov. To pomeni, da je priporočljivo takoj poiskati korenine celotne enačbe p(x)=0 in nato preveriti, ali je zanje izpolnjen pogoj q(x)≠0, namesto da bi našli ODZ in nato rešili enačbo p(x)=0 na tem ODZ . To je posledica dejstva, da je v takih primerih običajno lažje opraviti pregled kot najti ODZ.

Razmislite o rešitvi dveh primerov za ponazoritev določenih nians.

Primer.

Poiščite korenine enačbe.

rešitev.

Najprej poiščimo korenine celotne enačbe (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, sestavljeno s števcem ulomka. Leva stran te enačbe je zmnožek, desna pa nič, zato je glede na metodo reševanja enačb s faktorizacijo ta enačba enakovredna nizu štirih enačb 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14= 0 , x+1=0 . Tri od teh enačb so linearne in ena je kvadratna; lahko jih rešimo. Iz prve enačbe najdemo x=1/2, iz druge - x=6, iz tretje - x=7, x=−2, iz četrte - x=−1.

Z najdenimi koreninami jih je precej enostavno preveriti, ali imenovalec ulomka, ki se nahaja na levi strani prvotne enačbe, ne izgine z njimi, določanje ODZ pa, nasprotno, ni tako preprosto, saj ta bo moral rešiti algebraično enačbo pete stopnje. Zato bomo opustili iskanje ODZ v korist preverjanja korenin. Da bi to naredili, jih enega za drugim zamenjamo namesto spremenljivke x v izrazu x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, dobljene po zamenjavi, in jih primerjajte z ničlo: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Tako so 1/2, 6 in −2 želeni koreni izvirne delno racionalne enačbe, 7 in −1 pa sta tuja korena.

odgovor:

1/2 , 6 , −2 .

Primer.

Poiščite korenine ulomljene racionalne enačbe.

rešitev.

Najprej poiščimo korenine enačbe (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Ta enačba je enakovredna nizu dveh enačb: kvadratni 5·x 2 −7·x−1=0 in linearni x−2=0. Po formuli korenov kvadratne enačbe najdemo dva korena, iz druge enačbe pa imamo x=2.

Preverjanje, ali imenovalec ne izgine pri najdenih vrednostih x, je precej neprijetno. In določiti obseg sprejemljivih vrednosti spremenljivke x v prvotni enačbi je precej preprosto. Zato bomo ukrepali preko ODZ.

V našem primeru je ODZ spremenljivke x izvirne ulomljene racionalne enačbe sestavljen iz vseh števil razen tistih, za katera je izpolnjen pogoj x 2 +5·x−14=0. Korenini te kvadratne enačbe sta x=−7 in x=2, iz česar sklepamo o ODZ: sestavljena je iz vseh x, tako da je .

Ostaja še preveriti, ali najdene korenine in x=2 spadajo v območje sprejemljivih vrednosti. Korenine pripadajo, torej so korenine prvotne enačbe, x=2 pa ne pripada, torej je tuja korenina.

odgovor:

Prav tako se bo koristno posebej posvetiti primerom, ko je v ulomki racionalne enačbe oblike število v števcu, to je, ko je p(x) predstavljeno z nekim številom. pri čemer

• če je to število različno od nič, potem enačba nima korenov, saj je ulomek enak nič, če in samo če je njegov števec enak nič;
• če je to število nič, potem je koren enačbe poljubno število iz ODZ.

Primer.

rešitev.

Ker števec ulomka na levi strani enačbe vsebuje neničelno število, potem za noben x vrednost tega ulomka ne more biti enaka nič. Zato ta enačba nima korenin.

odgovor:

brez korenin.

Primer.

Reši enačbo.

rešitev.

Števec ulomka na levi strani te ulomljene racionalne enačbe vsebuje nič, zato je vrednost tega ulomka nič za vsak x, za katerega je smiseln. Z drugimi besedami, rešitev te enačbe je katera koli vrednost x iz ODZ te spremenljivke.

Še vedno je treba določiti to območje sprejemljivih vrednosti. Vključuje vse vrednosti x, za katere je x 4 +5 x 3 ≠0. Rešitvi enačbe x 4 +5 x 3 =0 sta 0 in −5, saj je ta enačba enakovredna enačbi x 3 (x+5)=0, ta pa je enakovredna kombinaciji dveh enačb x 3 =0 in x +5=0, od koder so ti koreni vidni. Zato je želeni obseg sprejemljivih vrednosti vsak x razen x=0 in x=−5.

Tako ima ulomljena racionalna enačba neskončno veliko rešitev, ki so poljubna števila razen nič in minus pet.

odgovor:

Končno je čas za pogovor o reševanju ulomkov racionalnih enačb poljubne oblike. Zapišemo jih lahko kot r(x)=s(x), kjer sta r(x) in s(x) racionalna izraza, vsaj eden od njih pa je ulomek. Če pogledamo naprej, recimo, da se njihova rešitev zmanjša na reševanje enačb oblike, ki nam je že znana.

Znano je, da prenos člena iz enega dela enačbe v drugega z nasprotnim predznakom vodi do ekvivalentne enačbe, zato je enačba r(x)=s(x) enakovredna enačbi r(x)−s(x). )=0.

Vemo tudi, da je možen vsak , identično enak temu izrazu. Tako lahko vedno transformiramo racionalni izraz na levi strani enačbe r(x)−s(x)=0 v identično enak racionalni ulomek oblike .

Tako se premaknemo iz prvotne ulomljene racionalne enačbe r(x)=s(x) v enačbo, njena rešitev pa se, kot smo ugotovili zgoraj, zmanjša na rešitev enačbe p(x)=0.

Toda tukaj je treba upoštevati dejstvo, da se lahko pri zamenjavi r(x)−s(x)=0 z in nato s p(x)=0 območje dovoljenih vrednosti spremenljivke x razširi .

Posledično se lahko prvotna enačba r(x)=s(x) in enačba p(x)=0, do katere smo prišli, izkažeta za neenaki in z rešitvijo enačbe p(x)=0 lahko dobimo korenine ki bodo tuje korenine izvirne enačbe r(x)=s(x) . Tuje korene lahko identificirate in jih ne vključite v odgovor, tako da izvedete preverjanje ali preverite, ali pripadajo ODZ izvirne enačbe.

Povzemimo te podatke v algoritem za reševanje ulomljene racionalne enačbe r(x)=s(x). Za rešitev ulomljene racionalne enačbe r(x)=s(x) potrebujete

• Dobite ničlo na desni tako, da premaknete izraz z desne strani z nasprotnim predznakom.
• Izvedite operacije z ulomki in polinomi na levi strani enačbe in jo tako pretvorite v racionalni ulomek oblike.
• Rešite enačbo p(x)=0.
• Identificiramo in izločimo tuje korene, kar naredimo tako, da jih zamenjamo v izvirno enačbo ali preverimo njihovo pripadnost ODZ izvirne enačbe.

Za večjo jasnost bomo prikazali celotno verigo reševanja ulomkov racionalnih enačb:
.

Oglejmo si rešitve več primerov s podrobno razlago postopka reševanja, da bi razjasnili dani blok informacij.

Primer.

Rešite ulomljeno racionalno enačbo.

rešitev.

Delovali bomo v skladu s pravkar pridobljenim algoritmom rešitve. In najprej premaknemo člene z desne strani enačbe na levo, posledično preidemo na enačbo.

V drugem koraku moramo ulomljeni racionalni izraz na levi strani dobljene enačbe pretvoriti v obliko ulomka. Da bi to naredili, izvedemo oddajo racionalni ulomki na skupni imenovalec in dobljeni izraz poenostavimo: . Tako smo prišli do enačbe.

V naslednjem koraku moramo rešiti enačbo −2·x−1=0. Ugotovimo x=−1/2.

Ostaja še preveriti, ali najdeno število −1/2 ni tuja korenina prvotne enačbe. Če želite to narediti, lahko preverite ali poiščete VA spremenljivke x izvirne enačbe. Pokažimo oba pristopa.

Začnimo s preverjanjem. V prvotno enačbo nadomestimo število −1/2 namesto spremenljivke x in dobimo isto stvar, −1=−1. Zamenjava daje pravilno numerično enakost, tako da je x=−1/2 koren prvotne enačbe.

Zdaj bomo pokazali, kako se zadnja točka algoritma izvaja skozi ODZ. Razpon dovoljenih vrednosti izvirne enačbe je množica vseh števil razen −1 in 0 (pri x=−1 in x=0 se imenovalci ulomkov izničijo). Koren x=−1/2, najden v prejšnjem koraku, pripada ODZ, zato je x=−1/2 koren izvirne enačbe.

odgovor:

−1/2 .

Poglejmo še en primer.

Primer.

Poiščite korenine enačbe.

rešitev.

Rešiti moramo ulomljeno racionalno enačbo, pojdimo skozi vse korake algoritma.

Najprej izraz premaknemo z desne strani na levo, dobimo .

Drugič, transformiramo izraz, oblikovan na levi strani: . Posledično pridemo do enačbe x=0.

Njegov koren je očiten - je nič.

V četrtem koraku je treba še ugotoviti, ali je najdeni koren tuj za prvotno delno racionalno enačbo. Ko ga nadomestimo v prvotno enačbo, dobimo izraz. Očitno ni smiselno, ker vsebuje deljenje z ničlo. Od tod sklepamo, da je 0 tuj koren. Zato izvirna enačba nima korenin.

7, kar vodi do enačbe. Iz tega lahko sklepamo, da mora biti izraz v imenovalcu leve strani enak izrazu desne strani, to je . Sedaj odštejemo od obeh strani trojčka: . Po analogiji, od koder in dlje.

Preverjanje pokaže, da sta oba najdena korena korena izvirne ulomljene racionalne enačbe.

odgovor:

Bibliografija.

• Algebra: učbenik za 8 celic. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A. G. Algebra. 8. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9. razred: poučna. za splošno izobraževanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.

“Racionalne enačbe s polinomi” je ena najpogostejših tem v testne naloge Enotni državni izpit iz matematike. Zaradi tega jih je vredno ponoviti Posebna pozornost. Mnogi učenci se soočajo s problemom iskanja diskriminante, prenosa indikatorjev z desne na levo in spravljanja enačbe na skupni imenovalec, zato izpolnjevanje takšnih nalog povzroča težave. Reševanje racionalnih enačb med pripravo na enotni državni izpit na našem spletnem mestu vam bo pomagalo hitro obvladati težave katere koli zapletenosti in opraviti test z odliko.

Za uspešno pripravo na enotni izpit iz matematike izberite izobraževalni portal Shkolkovo!

Če želite poznati pravila za izračun neznank in enostavno pridobiti pravilne rezultate, uporabite našo spletno storitev. Portal Shkolkovo je edinstvena platforma, ki vsebuje vse, kar je potrebno za pripravo Materiali za enotni državni izpit. Naši učitelji so sistematizirali in v razumljivi obliki predstavili vsa matematična pravila. Poleg tega vabimo šolarje, da se preizkusijo v reševanju standardnih racionalnih enačb, katerih osnova se nenehno posodablja in širi.

Za učinkovitejšo pripravo na testiranje priporočamo, da sledite naši posebni metodi in začnete s ponavljanjem pravil in rešitev preproste naloge, postopoma prehajajo na bolj zapletene. Tako bo diplomant lahko sam prepoznal najtežje teme in se posvetil njihovemu študiju.

Začnite se pripravljati na končni test s Shkolkovom že danes in rezultati ne bodo dolgo čakali! Izmed navedenih primerov izberite najlažji. Če hitro obvladate izraz, nadaljujte s težjo nalogo. Tako lahko izboljšate svoje znanje do te mere, da rešite naloge USE iz matematike na specializirani ravni.

Usposabljanje je na voljo ne le diplomantom iz Moskve, ampak tudi šolarjem iz drugih mest. Preživite na primer nekaj ur na dan za učenje na našem portalu in zelo kmalu se boste lahko spopadli z enačbami katere koli zahtevnosti!