הבה ננתח שני סוגי פתרונות למערכות משוואות:

1. פתרון המערכת בשיטת ההחלפה.
2. פתרון המערכת על ידי חיבור (חיסור) מונח אחר מונח של משוואות המערכת.

על מנת לפתור את מערכת המשוואות לפי שיטת החלפהאתה צריך לעקוב אחר אלגוריתם פשוט:
1. אקספרס. מכל משוואה אנו מבטאים משתנה אחד.
2. מחליף. אנו מחליפים את הערך המתקבל במשוואה אחרת במקום המשתנה המובע.
3. פתרו את המשוואה המתקבלת עם משתנה אחד. אנחנו מוצאים פתרון למערכת.

לפתור מערכת לפי שיטת חיבור (חיסור) מונח אחר מונחצריך ל:
1. בחר משתנה שעבורו נכין מקדמים זהים.
2. אנו מוסיפים או מפחיתים משוואות, וכתוצאה מכך נוצרת משוואה עם משתנה אחד.
3. פתרו את המשוואה הליניארית שהתקבלה. אנחנו מוצאים פתרון למערכת.

הפתרון למערכת הוא נקודות החיתוך של גרפי הפונקציות.

הבה נבחן בפירוט את הפתרון של מערכות באמצעות דוגמאות.

דוגמה מס' 1:

בואו נפתור בשיטת החלפה

פתרון מערכת משוואות בשיטת ההחלפה

2x+5y=1 (משוואה אחת)
x-10y=3 (משוואה שנייה)

1. אקספרס
ניתן לראות שבמשוואה השנייה יש משתנה x עם מקדם 1, כלומר הכי קל לבטא את המשתנה x מהמשוואה השנייה.
x=3+10y

2.לאחר שהבענו את זה, נחליף את 3+10y במשוואה הראשונה במקום המשתנה x.
2(3+10y)+5y=1

3. פתרו את המשוואה המתקבלת עם משתנה אחד.
2(3+10y)+5y=1 (פתח את הסוגריים)
6+20Y+5y=1
25 שנים=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

הפתרון למערכת המשוואות הוא נקודות החיתוך של הגרפים, לכן צריך למצוא את x ו-y, כי נקודת החיתוך מורכבת מ-x ו-y. בוא נמצא את x, בנקודה הראשונה שבה ביטאנו אותה נחליף את y.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

נהוג לכתוב נקודות מלכתחילה אנו כותבים את המשתנה x, ובמקום השני את המשתנה y.
תשובה: (1; -0.2)

דוגמה מס' 2:

בואו נפתור בשיטת חיבור (חיסור) מונח אחר מונח.

פתרון מערכת משוואות בשיטת החיבור

3x-2y=1 (משוואה אחת)
2x-3y=-10 (משוואה שנייה)

1. אנו בוחרים משתנה, נניח שאנו בוחרים ב-x. במשוואה הראשונה, למשתנה x יש מקדם של 3, בשני - 2. אנחנו צריכים להפוך את המקדמים זהים, בשביל זה יש לנו את הזכות להכפיל את המשוואות או לחלק בכל מספר. נכפיל את המשוואה הראשונה ב-2, ואת השנייה ב-3 ונקבל מקדם כולל של 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. הורידו את השני מהמשוואה הראשונה כדי להיפטר מהמשתנה x. פתרו את המשוואה הליניארית.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. מצא את x. אנחנו מחליפים את ה-y שנמצא בכל אחת מהמשוואות, נניח למשוואה הראשונה.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

נקודת החיתוך תהיה x=4.6; y=6.4
תשובה: (4.6; 6.4)

רוצים להתכונן למבחנים בחינם? מורה באינטרנט בחינם. בלי צחוק.

פתרון של מערכות ליניאריות משוואות אלגבריות(SLAE) הוא ללא ספק הנושא החשוב ביותר בקורס האלגברה הליניארית. מספר עצום של בעיות מכל ענפי המתמטיקה מסתכם בפתרון מערכות משוואות ליניאריות. גורמים אלה מסבירים את הסיבה למאמר זה. החומר של המאמר נבחר ומובנה כך שבעזרתו תוכל

• לאסוף שיטה אופטימליתפתרונות למערכת המשוואות האלגבריות ליניאריות שלך,
• ללמוד את התיאוריה של השיטה הנבחרת,
• פתרו את מערכת המשוואות הלינאריות שלכם על ידי בחינת פתרונות מפורטים לדוגמאות ובעיות טיפוסיות.

תיאור קצר של חומר המאמר.

קודם בואו ניתן הכל הגדרות נחוצות, מושגים והכנסת סימונים.

לאחר מכן, נשקול שיטות לפתרון מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות שבהן מספר המשוואות שווה למספר המשתנים הלא ידועים ושיש להן פתרון ייחודי. ראשית, נתמקד בשיטת קריימר, שנית, נציג את שיטת המטריצה ​​לפתרון מערכות משוואות כאלה, ושלישית, ננתח את שיטת גאוס (השיטה של ​​חיסול רציף של משתנים לא ידועים). כדי לגבש את התיאוריה, אנחנו בהחלט נפתור כמה SLAEs בדרכים שונות.

לאחר מכן, נעבור לפתרון מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות השקפה כללית, שבו מספר המשוואות אינו עולה בקנה אחד עם מספר המשתנים הלא ידועים או שהמטריקס הראשי של המערכת הוא יחיד. הבה ננסח את משפט Kronecker-Capelli, המאפשר לנו לבסס את התאימות של SLAEs. הבה ננתח את הפתרון של מערכות (אם הן תואמות) באמצעות המושג קטין בסיסימטריצות. נשקול גם את שיטת גאוס ונתאר בפירוט את הפתרונות לדוגמאות.

בהחלט נתעכב על המבנה של הפתרון הכללי של מערכות הומוגניות ואי-הומוגניות של משוואות אלגבריות ליניאריות. הבה ניתן את הרעיון של מערכת בסיסית של פתרונות ונראה כיצד הפתרון הכללי של SLAE נכתב באמצעות הוקטורים של מערכת הפתרונות הבסיסית. להבנה טובה יותר, הבה נסתכל על כמה דוגמאות.

לסיכום, נשקול מערכות של משוואות שניתן לצמצם ללינאריות, וכן בעיות שונות שבפתרון שלהן נוצרות SLAEs.

ניווט בדף.

הגדרות, מושגים, ייעודים.

נשקול מערכות של p משוואות אלגבריות לינאריות עם n משתנים לא ידועים (p יכול להיות שווה ל-n) מהצורה

משתנים לא ידועים, - מקדמים (כמה מספרים ממשיים או מרוכבים), - איברים חופשיים (גם מספרים ממשיים או מרוכבים).

צורה זו של הקלטה SLAE נקראת לְתַאֵם.

IN צורת מטריצהלכתיבת מערכת המשוואות הזו יש את הצורה,
איפה - המטריצה ​​הראשית של המערכת, - מטריצת עמודות של משתנים לא ידועים, - מטריצת עמודות של מונחים חופשיים.

אם נוסיף מטריצה-עמודה של מונחים חופשיים למטריצה ​​A כעמודה (n+1), נקבל את מה שנקרא מטריצה ​​מורחבתמערכות של משוואות ליניאריות. בדרך כלל, מטריצה ​​מורחבת מסומנת באות T, ועמודת המונחים החופשיים מופרדת על ידי קו אנכי מהעמודות הנותרות, כלומר,

פתרון מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריותנקרא קבוצה של ערכים של משתנים לא ידועים שהופכת את כל המשוואות של המערכת לזהויות. גם משוואת המטריצה ​​עבור ערכים נתונים של המשתנים הלא ידועים הופכת לזהות.

אם למערכת משוואות יש לפחות פתרון אחד, אז זה נקרא משותף.

אם למערכת משוואות אין פתרונות, אז היא נקראת לא משותף.

אם ל-SLAE יש פתרון ייחודי, אז הוא נקרא מסוים; אם יש יותר מפתרון אחד, אז - לֹא בָּטוּחַ.

אם האיברים החופשיים של כל משוואות המערכת שווים לאפס , אז המערכת נקראת הוֹמוֹגֵנִי, אחרת - הֵטֵרוֹגֵנִי.

פתרון מערכות יסודיות של משוואות אלגבריות ליניאריות.

אם מספר המשוואות של מערכת שווה למספר המשתנים הלא ידועים והדטרמיננטה של ​​המטריצה ​​הראשית שלה לא שווה לאפס, אזי SLAE כאלה ייקראו יְסוֹדִי. למערכות משוואות כאלה יש פתרון ייחודי, ובמקרה מערכת הומוגניתכל המשתנים הלא ידועים הם אפס.

התחלנו ללמוד SLAE כאלה בתיכון. כשפתרו אותם, לקחנו משוואה אחת, הבענו משתנה לא ידוע אחד במונחים של אחרים והחלפנו אותו במשוואות הנותרות, ואז לקחנו את המשוואה הבאה, ביטאנו את המשתנה הלא ידוע הבא והחלפנו אותו במשוואות אחרות, וכן הלאה. או שהם השתמשו בשיטת החיבור, כלומר, הם הוסיפו שתי משוואות או יותר כדי לחסל כמה משתנים לא ידועים. לא נתעכב על שיטות אלו בפירוט, שכן הן בעצם שינויים של שיטת גאוס.

השיטות העיקריות לפתרון מערכות יסודיות של משוואות ליניאריות הן שיטת קראמר, שיטת המטריצה ​​ושיטת גאוס. בואו נעשה סדר בהם.

פתרון מערכות משוואות ליניאריות בשיטת קריימר.

נניח שעלינו לפתור מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות

שבו מספר המשוואות שווה למספר המשתנים הלא ידועים והקביעה של המטריצה ​​הראשית של המערכת שונה מאפס, כלומר.

לאפשר להיות הקובע של המטריצה ​​הראשית של המערכת, ו - דטרמיננטים של מטריצות המתקבלות מ-A בהחלפה 1, 2, …, nעמודה בהתאמה לעמודת החברים החופשיים:

עם סימון זה, משתנים לא ידועים מחושבים באמצעות הנוסחאות של השיטה של ​​Cramer as . כך נמצא הפתרון למערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות בשיטת קריימר.

דוגמא.

השיטה של ​​קריימר .

פִּתָרוֹן.

למטריצה ​​הראשית של המערכת יש את הצורה . בואו נחשב את הקובע שלו (במידת הצורך, ראה את המאמר):

מכיוון שהקביעה של המטריצה ​​הראשית של המערכת היא לא אפס, למערכת יש פתרון ייחודי שניתן למצוא בשיטת קרימר.

בואו נחבר ונחשב את הקובעים הדרושים (אנחנו מקבלים את הקובע על ידי החלפת העמודה הראשונה במטריצה ​​A בעמודה של מונחים חופשיים, הקובע על ידי החלפת העמודה השנייה בעמודה של איברים חופשיים, ועל ידי החלפת העמודה השלישית של מטריצה ​​A בעמודה של איברים חופשיים) :

מציאת משתנים לא ידועים באמצעות נוסחאות :

תשובה:

החיסרון העיקרי של שיטת קריימר (אם אפשר לקרוא לה חיסרון) הוא המורכבות של חישוב הקובעים כאשר מספר המשוואות במערכת הוא יותר משלוש.

פתרון מערכות של משוואות אלגבריות לינאריות בשיטת המטריצה ​​(באמצעות מטריצה ​​הפוכה).

תן מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות בצורה מטריצה, כאשר למטריצה ​​A יש ממד n על n והקביעה שלה אינה אפס.

מאז, מטריצה ​​A היא הפיכה, כלומר, יש מטריצה ​​הפוכה. אם נכפיל את שני הצדדים של השוויון בשמאל, נקבל נוסחה למציאת עמודת מטריצה ​​של משתנים לא ידועים. כך קיבלנו פתרון למערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות בשיטת המטריצה.

דוגמא.

לפתור מערכת משוואות ליניאריות שיטת מטריצה.

פִּתָרוֹן.

נכתוב מחדש את מערכת המשוואות בצורה מטריצה:

כי

אז ניתן לפתור את ה-SLAE באמצעות שיטת המטריצה. באמצעות המטריצה ​​ההפוכה, ניתן למצוא את הפתרון למערכת זו כ .

בואו נבנה את המטריצה ​​ההפוכה באמצעות המטריצה ​​מ תוספות אלגבריותאלמנטים של מטריצה ​​A (במידת הצורך, ראה מאמר):

נותר לחשב את המטריצה ​​של משתנים לא ידועים על ידי הכפלת המטריצה ​​ההפוכה לטור-מטריקס של חברים בחינם (במידת הצורך, עיין במאמר):

תשובה:

או בסימון אחר x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

הבעיה העיקרית בעת מציאת פתרונות למערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות בשיטת המטריצה ​​היא המורכבות של מציאת המטריצה ​​ההפוכה, במיוחד עבור מטריצות מרובעות בסדר גבוה משליש.

פתרון מערכות משוואות ליניאריות בשיטת גאוס.

נניח שעלינו למצוא פתרון למערכת של n משוואות ליניאריות עם n משתנים לא ידועים
הקובע של המטריצה ​​הראשית שלה שונה מאפס.

המהות של שיטת גאוסמורכב מאי הכללה רציפה של משתנים לא ידועים: ראשית, x 1 אינו נכלל מכל משוואות המערכת, החל מהשנייה, ואז x 2 אינו נכלל מכל המשוואות, החל מהשלישית, וכן הלאה, עד שרק המשתנה הלא ידוע x n נשאר במשוואה האחרונה. תהליך זה של הפיכת משוואות מערכת לביטול משתנים לא ידועים ברצף נקרא שיטת גאוס ישירה. לאחר השלמת המהלך קדימה של שיטת גאוס, נמצא x n מהמשוואה האחרונה, תוך שימוש בערך זה מהמשוואה הלפני אחרונה, מחושב x n-1, וכן הלאה, x 1 נמצא מהמשוואה הראשונה. תהליך חישוב משתנים לא ידועים בעת מעבר מהמשוואה האחרונה של המערכת לראשונה נקרא הפוך לשיטת גאוס.

הבה נתאר בקצרה את האלגוריתם לחיסול משתנים לא ידועים.

אנו נניח שכן, מכיוון שתמיד נוכל להשיג זאת על ידי ארגון מחדש של משוואות המערכת. הבה נבטל את המשתנה הלא ידוע x 1 מכל משוואות המערכת, החל מהשני. לשם כך, למשוואה השנייה של המערכת נוסיף את הראשונה, כפול , למשוואה השלישית נוסיף את הראשונה, כפול , וכן הלאה, למשוואה ה-n נוסיף את הראשונה, כפול . מערכת המשוואות לאחר טרנספורמציות כאלה תקבל את הצורה

איפה ו .

היינו מגיעים לאותה תוצאה אם ​​היינו מבטאים את x 1 במונחים של משתנים לא ידועים אחרים במשוואה הראשונה של המערכת ומחליפים את הביטוי המתקבל בכל שאר המשוואות. לפיכך, המשתנה x 1 אינו נכלל בכל המשוואות, החל מהשנייה.

לאחר מכן, אנו ממשיכים בצורה דומה, אך רק עם חלק מהמערכת המתקבלת, המסומנת באיור

לשם כך, למשוואה השלישית של המערכת נוסיף את השנייה, כפול , למשוואה הרביעית נוסיף את השנייה, כפול , וכן הלאה, למשוואה ה-n נוסיף את השנייה, כפול . מערכת המשוואות לאחר טרנספורמציות כאלה תקבל את הצורה

איפה ו . לפיכך, המשתנה x 2 אינו נכלל בכל המשוואות, החל מהשלישית.

לאחר מכן, נמשיך לביטול ה-x 3 הלא ידוע, בעוד אנו פועלים באופן דומה עם החלק של המערכת המסומן באיור

אז אנחנו ממשיכים את ההתקדמות הישירה של השיטה הגאוסית עד שהמערכת מקבלת את הצורה

מרגע זה אנו מתחילים את ההפך של שיטת גאוס: אנו מחשבים את x n מהמשוואה האחרונה כמו , באמצעות הערך המתקבל של x n נמצא את x n-1 מהמשוואה הלפני אחרונה, וכן הלאה, נמצא את x 1 מהמשוואה הראשונה .

דוגמא.

לפתור מערכת משוואות ליניאריות שיטת גאוס.

פִּתָרוֹן.

הבה נוציא את המשתנה הלא ידוע x 1 מהמשוואה השנייה והשלישית של המערכת. לשם כך, לשני הצדדים של המשוואה השנייה והשלישית נוסיף את החלקים המתאימים של המשוואה הראשונה, כפול ובהתאמה, בהתאמה:

כעת אנו מבטלים את x 2 מהמשוואה השלישית על ידי הוספת לצד שמאל וימין שלה את הצדדים השמאלי והימני של המשוואה השנייה, כפול:

זה משלים את המהלך קדימה של שיטת גאוס; אנו מתחילים את המהלך לאחור.

מהמשוואה האחרונה של מערכת המשוואות שנוצרה אנו מוצאים x 3:

מהמשוואה השנייה נקבל .

מהמשוואה הראשונה אנו מוצאים את המשתנה הלא ידוע הנותר ובכך משלימים את ההפך של שיטת גאוס.

תשובה:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

פתרון מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות בצורה כללית.

באופן כללי, מספר המשוואות של המערכת p אינו עולה בקנה אחד עם מספר המשתנים הלא ידועים n:

ל-SLAE כאלה אולי אין פתרונות, יש להם פתרון יחיד או שיש להם אינסוף פתרונות. הצהרה זו חלה גם על מערכות משוואות שהמטריקס העיקרי שלהן הוא מרובע ויחיד.

משפט קרונקר-קפלי.

לפני מציאת פתרון למערכת של משוואות לינאריות, יש צורך לבסס את התאימות שלה. התשובה לשאלה מתי SLAE תואם ומתי הוא לא עקבי ניתנת על ידי משפט קרונקר-קפלי:
כדי שמערכת של משוואות p עם n לא ידועים (p יכול להיות שווה ל-n) תהיה עקבית, יש צורך ומספיק שדרגת המטריצה ​​הראשית של המערכת תהיה שווה לדרגת המטריצה ​​המורחבת, כלומר , Rank(A)=Rank(T).

הבה נבחן, כדוגמה, את היישום של משפט קרונקר-קפלי כדי לקבוע את התאימות של מערכת משוואות ליניאריות.

דוגמא.

גלה אם יש למערכת המשוואות הלינאריות פתרונות.

פִּתָרוֹן.

. בואו נשתמש בשיטת הגבול עם קטינים. קטין מהסדר השני שונה מאפס. בואו נסתכל על הקטינים מסדר שלישי הגובלים בו:

מכיוון שכל הקטינים הגובלים מהסדר השלישי שווים לאפס, דרגת המטריצה ​​הראשית שווה לשניים.

בתורו, דרגת המטריצה ​​המורחבת שווה לשלוש, מכיוון שהקטין הוא מסדר שלישי

שונה מאפס.

לכן, Rang(A), לפיכך, באמצעות משפט קרונקר-קפלי, אנו יכולים להסיק שמערכת המשוואות הלינאריות המקורית אינה עקבית.

תשובה:

למערכת אין פתרונות.

אז, למדנו לבסס את חוסר העקביות של מערכת באמצעות משפט קרונקר-קפלי.

אבל איך למצוא פתרון ל-SLAE אם התאימות שלו מבוססת?

לשם כך, אנו זקוקים למושג בסיס מינור של מטריצה ​​ומשפט על דרגת מטריצה.

הקטין מהסדר הגבוה ביותר של מטריצה ​​A, השונה מאפס, נקרא בסיסי.

מהגדרת בסיס קטין עולה שסדרו שווה לדרגת המטריצה. עבור מטריצה ​​A שאינה מאפס, יכולות להיות מספר מינור בסיס; תמיד יש מינור בסיס אחד.

לדוגמה, שקול את המטריצה .

כל הקטינים מסדר שלישי של מטריצה ​​זו שווים לאפס, מכיוון שהרכיבים של השורה השלישית של המטריצה ​​הזו הם סכום האלמנטים המתאימים של השורה הראשונה והשנייה.

הקטינים הבאים מסדר שני הם בסיסיים, מכיוון שהם לא אפס

קטינים אינם בסיסיים, מכיוון שהם שווים לאפס.

משפט דירוג מטריצה.

אם הדרגה של מטריצה ​​בסדר p על n שווה ל-r, אז כל רכיבי השורה (והעמודה) של המטריצה ​​שאינם מהווים את הבסיס המינור שנבחר באים לידי ביטוי ליניארי במונחים של רכיבי השורה (והעמודה) המתאימים הנוצרים הקטין הבסיסי.

מה אומר לנו משפט דירוג המטריצה?

אם, לפי משפט קרונקר-קפלי, קבענו את התאימות של המערכת, אז נבחר כל מינור בסיס של המטריצה ​​הראשית של המערכת (הסדר שלה שווה ל-r), ומוציאים מהמערכת את כל המשוואות שעושות זאת. לא מהווים את הקטין הבסיסי שנבחר. ה-SLAE המתקבל בדרך זו יהיה שווה ערך למקורי, שכן המשוואות שהושלכו עדיין מיותרות (לפי משפט דירוג המטריצה, הן שילוב ליניארי של המשוואות הנותרות).

כתוצאה מכך, לאחר ביטול משוואות מיותרות של המערכת, שני מקרים אפשריים.

אם מספר המשוואות r במערכת המתקבלת שווה למספר המשתנים הלא ידועים, אזי הוא יהיה מוגדר וניתן למצוא את הפתרון היחיד בשיטת קראמר, שיטת המטריצה ​​או שיטת גאוס.

דוגמא.

.

פִּתָרוֹן.

דירוג המטריצה ​​הראשית של המערכת שווה לשניים, מכיוון שהקטין הוא מסדר שני שונה מאפס. דירוג מטריקס מורחב שווה גם לשניים, מכיוון שהמינור היחיד מסדר שלישי הוא אפס

והקטין מסדר שני שנחשב לעיל שונה מאפס. בהתבסס על משפט קרונקר-קפלי, אנו יכולים לקבוע את התאימות של מערכת המשוואות הלינאריות המקוריות, שכן דרגה(A)=דירוג(T)=2.

כבסיס קטין אנחנו לוקחים . הוא נוצר על ידי המקדמים של המשוואה הראשונה והשנייה:


המשוואה השלישית של המערכת אינה משתתפת ביצירת המינור הבסיסי, ולכן אנו מוציאים אותה מהמערכת על סמך המשפט על דרגת המטריצה:


כך קיבלנו מערכת יסודית של משוואות אלגבריות ליניאריות. בוא נפתור את זה בשיטת קריימר:


תשובה:

x 1 = 1, x 2 = 2.

אם מספר המשוואות r ב-SLAE המתקבל פחות מספרמשתנים לא ידועים n, אז בצד שמאל של המשוואות נשאיר את האיברים המהווים את הבסיס קטין, ואת שאר האיברים נעביר לצדים הימניים של משוואות המערכת עם הסימן ההפוך.

המשתנים הלא ידועים (r מהם) שנותרו בצדי השמאלי של המשוואות נקראים רָאשִׁי.

משתנים לא ידועים (יש n - r pieces) שנמצאים בצד ימין נקראים חינם.

כעת אנו מאמינים שמשתנים בלתי ידועים חופשיים יכולים לקבל ערכים שרירותיים, בעוד שהמשתנים הלא ידועים r העיקריים יבואו לידי ביטוי באמצעות משתנים בלתי ידועים חופשיים בצורה ייחודית. ניתן למצוא את הביטוי שלהם על ידי פתרון ה-SLAE המתקבל בשיטת Cramer, שיטת המטריצה ​​או שיטת Gauss.

בואו נסתכל על זה עם דוגמה.

דוגמא.

פתור מערכת של משוואות אלגבריות לינאריות .

פִּתָרוֹן.

בואו נמצא את הדרגה של המטריצה ​​הראשית של המערכת בשיטת הגבול עם קטינים. ניקח 1 1 = 1 בתור מינור לא אפס מהסדר הראשון. בואו נתחיל לחפש קטין שאינו אפס מהסדר השני הגובל בקטנה זו:


כך מצאנו מינור לא אפס מהסדר השני. בואו נתחיל לחפש קטין גובל שאינו מאפס מהסדר השלישי:


לפיכך, הדרגה של המטריצה ​​הראשית היא שלוש. גם הדרגה של המטריצה ​​המורחבת שווה לשלוש, כלומר, המערכת עקבית.

אנו לוקחים את המינור המצוי שאינו אפס מהסדר השלישי כבסיס אחד.

למען הבהירות, אנו מציגים את האלמנטים המהווים את הבסיס מינור:


אנו משאירים את האיברים המעורבים בבסיס מינור בצד שמאל של משוואות המערכת, ומעבירים את השאר עם סימנים מנוגדים לצדדים הימניים:


בואו ניתן את המשתנים הלא ידועים החופשיים x 2 ו-x 5 ערכים שרירותיים, כלומר, אנו מקבלים , איפה הם מספרים שרירותיים. במקרה זה, ה-SLAE יקבל את הטופס


הבה נפתור את המערכת היסודית המתקבלת של משוואות אלגבריות ליניאריות באמצעות השיטה של ​​קריימר:


מכאן, .

בתשובתך, אל תשכח לציין משתנים לא ידועים חופשיים.

תשובה:

איפה יש מספרים שרירותיים.

לְסַכֵּם.

כדי לפתור מערכת של משוואות אלגבריות לינאריות כלליות, אנו קובעים תחילה את התאימות שלה באמצעות משפט קרונקר-קפלי. אם הדרגה של המטריצה ​​הראשית אינה שווה לדרגת המטריצה ​​המורחבת, אז אנו מסיקים שהמערכת אינה תואמת.

אם הדרגה של המטריצה ​​הראשית שווה לדרגת המטריצה ​​המורחבת, אז אנו בוחרים בסיס מינור ומבטלים את משוואות המערכת שאינן משתתפות ביצירת המינור הבסיסי שנבחר.

אם סדר הבסיס קטין שווה למספרמשתנים לא ידועים, אז ל-SLAE יש פתרון ייחודי, אותו אנו מוצאים בכל שיטה המוכרת לנו.

אם סדר המינור הבסיסי קטן ממספר המשתנים הלא ידועים, אז בצד שמאל של משוואות המערכת נשאיר את האיברים עם המשתנים הלא ידועים העיקריים, נעביר את שאר האיברים לצד ימין ונותן ערכים שרירותיים ל המשתנים הלא ידועים החופשיים. ממערכת המשוואות הלינאריות המתקבלת אנו מוצאים את המשתנים הלא ידועים העיקריים בשיטת Cramer, שיטת המטריצה ​​או שיטת גאוס.

שיטת גאוס לפתרון מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות בצורה כללית.

ניתן להשתמש בשיטת גאוס כדי לפתור מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות מכל סוג שהוא מבלי לבדוק תחילה את העקביות שלהן. תהליך הביטול הרציף של משתנים לא ידועים מאפשר להסיק מסקנה הן לגבי התאימות והן לגבי חוסר ההתאמה של ה-SLAE, ואם קיים פתרון, הוא מאפשר למצוא אותו.

מנקודת מבט חישובית עדיפה שיטת גאוס.

צפה בזה תיאור מפורטוניתח דוגמאות במאמר שיטת גאוס לפתרון מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות בצורה כללית.

כתיבת פתרון כללי למערכות אלגבריות ליניאריות הומוגניות ואי-הומוגניות באמצעות וקטורים של מערכת הפתרונות הבסיסית.

בחלק זה נדבר על מערכות הומוגניות ואי-הומוגניות בו-זמנית של משוואות אלגבריות ליניאריות שיש להן מספר אינסופי של פתרונות.

תחילה נעסוק במערכות הומוגניות.

מערכת בסיסית של פתרונותמערכת הומוגנית של p משוואות אלגבריות ליניאריות עם n משתנים לא ידועים היא אוסף של (n - r) פתרונות בלתי תלויים ליניאריים של מערכת זו, כאשר r הוא סדר הבסיס מינור של המטריצה ​​הראשית של המערכת.

אם נסמן פתרונות עצמאיים באופן ליניארי SLAE הומוגניתכמו X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) הם מטריצות עמודות בעלות ממד n על 1), אז הפתרון הכללי של זה מערכת הומוגנית המוצגת בטופס צירוף ליניאריוקטורים של המערכת הבסיסית של פתרונות עם מקדמים קבועים שרירותיים C 1, C 2, ..., C (n-r), כלומר, .

מה פירוש המונח פתרון כללי של מערכת הומוגנית של משוואות אלגבריות ליניאריות (אורסלאו)?

המשמעות היא פשוטה: הנוסחה מציינת את כל הפתרונות האפשריים של ה-SLAE המקורי, במילים אחרות, לוקחת כל סט של ערכים של קבועים שרירותיים C 1, C 2, ..., C (n-r), תוך שימוש בנוסחה שנעשה להשיג את אחת הפתרונות של ה-SLAE ההומוגנית המקורית.

לפיכך, אם נמצא מערכת בסיסית של פתרונות, אז נוכל להגדיר את כל הפתרונות של SLAE הומוגנית זה כ.

הבה נראה את התהליך של בניית מערכת בסיסית של פתרונות ל-SLAE הומוגנית.

אנו בוחרים את הבסיס המינור של המערכת המקורית של המשוואות הליניאריות, מוציאים את כל המשוואות האחרות מהמערכת ומעבירים את כל האיברים המכילים משתנים בלתי ידועים חופשיים לצד ימין של משוואות המערכת עם סימנים מנוגדים. בואו ניתן חינם אלמונים ערכים משתנים 1,0,0,…,0 וחשב את הבלתי ידועים העיקריים על ידי פתרון המערכת היסודית המתקבלת של משוואות לינאריות בכל דרך שהיא, למשל, באמצעות שיטת Cramer. זה יביא ל-X (1) - הפתרון הראשון של המערכת הבסיסית. אם ניתן לבלתי ידועים החופשיים את הערכים 0,1,0,0,...,0 ונחשב את הבלתי ידועים העיקריים, נקבל X (2) . וכולי. אם נקצה את הערכים 0.0,…,0.1 למשתנים הלא ידועים החופשיים ונחשב את הבלתי ידועים העיקריים, נקבל X (n-r) . בדרך זו, תיבנה מערכת בסיסית של פתרונות ל-SLAE הומוגנית וניתן לכתוב את הפתרון הכללי שלה בצורה .

עבור מערכות לא-הומוגניות של משוואות אלגבריות ליניאריות, הפתרון הכללי מיוצג בצורה , כאשר הוא הפתרון הכללי של המערכת ההומוגנית המקבילה, והוא הפתרון המסוים של ה-SLAE הבלתי-הומגני המקורי, אותו אנו משיגים על ידי מתן הערכים החופשיים ללא ידועים ​0,0,…,0 וחישוב הערכים של הלא ידועים העיקריים.

בואו נסתכל על דוגמאות.

דוגמא.

מצא את מערכת הפתרונות הבסיסית ואת הפתרון הכללי של מערכת הומוגנית של משוואות אלגבריות ליניאריות .

פִּתָרוֹן.

דרגת המטריצה ​​הראשית של מערכות הומוגניות של משוואות ליניאריות שווה תמיד לדרגת המטריצה ​​המורחבת. בואו נמצא את הדרגה של המטריצה ​​הראשית בשיטת הגבול עם קטינים. בתור מינור לא-אפס מהסדר הראשון, ניקח את האלמנט a 1 1 = 9 של המטריצה ​​הראשית של המערכת. בואו נמצא את הגבול שאינו אפס מינור מהסדר השני:

נמצא קטין מהסדר השני, שונה מאפס. בוא נעבור על הקטינים מסדר שלישי הגובלים בו בחיפוש אחר קטינים לא אפס:

כל הקטינים הגובלים מסדר שלישי שווים לאפס, לכן, הדרגה של המטריצה ​​הראשית והמורחבת שווה לשניים. בוא ניקח . למען הבהירות, נציין את מרכיבי המערכת היוצרים אותה:

המשוואה השלישית של ה-SLAE המקורי אינה משתתפת ביצירת הקטין הבסיסי, לכן, ניתן לשלול אותה:

אנו משאירים את המונחים המכילים את הבלתי ידועים העיקריים בצד ימין של המשוואות, ומעבירים את המונחים עם אלמונים חופשיים לצדדים הימניים:

הבה נבנה מערכת בסיסית של פתרונות למערכת ההומוגנית המקורית של משוואות ליניאריות. מערכת הפתרונות הבסיסית של SLAE זה מורכבת משני פתרונות, מכיוון שה-SLAE המקורי מכיל ארבעה משתנים לא ידועים, וסדר הבסיס המינור שלו שווה לשניים. כדי למצוא את X (1), אנו נותנים למשתנים הלא ידועים החופשיים את הערכים x 2 = 1, x 4 = 0, ואז נמצא את הבלתי ידועים העיקריים ממערכת המשוואות
.

מערכות משוואות היו בשימוש נרחב בתעשייה הכלכלית עם מידול מתמטיתהליכים שונים. למשל, בפתרון בעיות של ניהול ותכנון ייצור, מסלולים לוגיסטיים (בעיית הובלה) או הצבת ציוד.

מערכות משוואות משמשות לא רק במתמטיקה, אלא גם בפיזיקה, כימיה וביולוגיה, בעת פתרון בעיות של מציאת גודל אוכלוסיה.

מערכת משוואות לינאריות היא שתי משוואות או יותר עם מספר משתנים שעבורן יש צורך למצוא פתרון משותף. רצף כזה של מספרים שכל המשוואות הופכות לשוויון אמיתי או מוכיחות שהרצף אינו קיים.

משוואה לינארית

משוואות בצורה ax+by=c נקראות לינאריות. הייעודים x, y הם הלא ידועים שיש למצוא את ערכם, b, a הם המקדמים של המשתנים, c הוא האיבר החופשי של המשוואה.
פתרון משוואה באמצעות שרטוט יראה כמו קו ישר, שכל נקודותיו הן פתרונות לפולינום.

סוגי מערכות של משוואות ליניאריות

הדוגמאות הפשוטות ביותר נחשבות למערכות של משוואות ליניאריות עם שני משתנים X ו-Y.

F1(x, y) = 0 ו-F2(x, y) = 0, כאשר F1,2 הם פונקציות ו-(x, y) הם משתני פונקציה.

לפתור מערכת משוואות - זה אומר למצוא ערכים (x, y) שבהם המערכת הופכת לשוויון אמיתי או לקבוע שערכים מתאימים של x ו-y לא קיימים.

זוג ערכים (x, y), שנכתב כקואורדינטות של נקודה, נקרא פתרון למערכת של משוואות לינאריות.

אם למערכות יש פתרון אחד משותף או שאין פתרון, הן נקראות שווה ערך.

מערכות הומוגניות של משוואות ליניאריות הן מערכות חלק ימיןשהוא שווה לאפס. אם לחלק הימני אחרי סימן השוויון יש ערך או מתבטא בפונקציה, מערכת כזו היא הטרוגנית.

מספר המשתנים יכול להיות הרבה יותר משניים, אז צריך לדבר על דוגמה למערכת של משוואות ליניאריות עם שלושה משתנים או יותר.

כאשר הם מתמודדים עם מערכות, תלמידי בית הספר מניחים שמספר המשוואות חייב בהכרח להתאים למספר הלא ידועים, אבל זה לא המקרה. מספר המשוואות במערכת אינו תלוי במשתנים; יכולים להיות כמה מהן כרצונך.

שיטות פשוטות ומורכבות לפתרון מערכות משוואות

אין שיטה אנליטית כללית לפתרון מערכות כאלה; כל השיטות מבוססות על פתרונות מספריים. קורס מתמטיקה בבית הספר מתאר בפירוט שיטות כגון תמורה, חיבור אלגברי, החלפה, וכן שיטות גרפיות ומטריצות, פתרון בשיטת גאוס.

המשימה העיקרית בלימוד שיטות פתרון היא ללמד כיצד לנתח נכון את המערכת ולמצוא את אלגוריתם הפתרון האופטימלי לכל דוגמה. העיקר הוא לא לשנן מערכת של כללים ופעולות לכל שיטה, אלא להבין את העקרונות של שימוש בשיטה מסוימת

פתרון דוגמאות למערכות משוואות ליניאריות של תכנית כיתה ז' בית ספר תיכוןדי פשוט ומוסבר בפירוט רב. בכל ספר לימוד במתמטיקה, חלק זה זוכה לתשומת לב מספקת. פתרון דוגמאות של מערכות משוואות ליניאריות בשיטת גאוס וקרמר נלמד ביתר פירוט בשנים הראשונות של ההשכלה הגבוהה.

פתרון מערכות בשיטת ההחלפה

הפעולות של שיטת ההחלפה מכוונות לבטא את ערכו של משתנה אחד במונחים של השני. הביטוי מוחלף לתוך המשוואה הנותרת, ואז הוא מצטמצם לצורה עם משתנה אחד. הפעולה חוזרת על עצמה בהתאם למספר הלא ידועים במערכת

הבה ניתן פתרון לדוגמה של מערכת משוואות לינאריות של מחלקה 7 בשיטת ההחלפה:

כפי שניתן לראות מהדוגמה, המשתנה x הובע באמצעות F(X) = 7 + Y. הביטוי שהתקבל, שהוחלף במשוואה השנייה של המערכת במקום X, עזר לקבל משתנה אחד Y במשוואה השנייה . פתרון דוגמה זו קל ומאפשר לך לקבל את הערך Y. צעד אחרוןזוהי בדיקה של הערכים שהתקבלו.

לא תמיד ניתן לפתור דוגמה למערכת של משוואות ליניאריות על ידי החלפה. המשוואות יכולות להיות מורכבות וביטוי המשתנה במונחים של הלא נודע השני יהיה מסורבל מדי לחישובים נוספים. כאשר ישנם יותר מ-3 אלמונים במערכת, גם פתרון באמצעות החלפה אינו הולם.

פתרון של דוגמה למערכת של משוואות לא הומוגניות ליניאריות:

פתרון באמצעות חיבור אלגברי

בחיפוש אחר פתרונות למערכות בשיטת החיבור מוסיפים משוואות מונח אחר מונח ומכפילים במספרים שונים. המטרה האולטימטיבית פעולות מתמטיותהיא משוואה עם משתנה אחד.

עבור יישומים השיטה הזאתנדרשים תרגול והתבוננות. פתרון מערכת משוואות ליניאריות בשיטת החיבור כאשר יש 3 משתנים או יותר אינו קל. חיבור אלגברי נוח לשימוש כאשר משוואות מכילות שברים ועשרונים.

אלגוריתם פתרון:

1. הכפל את שני הצדדים של המשוואה במספר מסוים. כתוצאה מהפעולה האריתמטית, אחד מהמקדמים של המשתנה צריך להיות שווה ל-1.
2. הוסף את הביטוי המתקבל מונח אחר מונח ומצא אחד מהלא ידועים.
3. החלף את הערך המתקבל במשוואה השנייה של המערכת כדי למצוא את המשתנה הנותר.

שיטת פתרון על ידי הכנסת משתנה חדש

ניתן להציג משתנה חדש אם המערכת דורשת מציאת פתרון עבור לא יותר משתי משוואות; גם מספר הלא ידועים צריך להיות לא יותר משניים.

השיטה משמשת לפישוט אחת מהמשוואות על ידי הכנסת משתנה חדש. המשוואה החדשה נפתרת עבור הלא נודע שהוצג, והערך המתקבל משמש לקביעת המשתנה המקורי.

הדוגמה מראה שעל ידי הכנסת משתנה חדש t, ניתן היה להקטין את המשוואה הראשונה של המערכת לטרינום ריבועי סטנדרטי. אתה יכול לפתור פולינום על ידי מציאת המבחין.

יש צורך למצוא את ערכו של המבחין באמצעות הנוסחה הידועה: D = b2 - 4*a*c, כאשר D הוא המבחין הרצוי, b, a, c הם הגורמים של הפולינום. בדוגמה הנתונה, a=1, b=16, c=39, ולכן D=100. אם המבחין גדול מאפס, אז יש שני פתרונות: t = -b±√D / 2*a, אם המבחין פחות מאפס, אז יש רק פתרון אחד: x= -b / 2*a.

הפתרון למערכות המתקבלות נמצא בשיטת ההוספה.

שיטה חזותית לפתרון מערכות

מתאים ל-3 מערכות משוואות. השיטה מורכבת מבניית גרפים של כל משוואה הכלולה במערכת על ציר הקואורדינטות. הקואורדינטות של נקודות החיתוך של העקומות ויהיו החלטה כלליתמערכות.

לשיטה הגרפית יש מספר ניואנסים. הבה נסתכל על מספר דוגמאות לפתרון מערכות של משוואות ליניאריות בצורה ויזואלית.

כפי שניתן לראות מהדוגמה, עבור כל קו נבנו שתי נקודות, ערכי המשתנה x נבחרו באופן שרירותי: 0 ו-3. בהתבסס על ערכי x, נמצאו הערכים של y: 3 ו-0. נקודות עם קואורדינטות (0, 3) ו- (3, 0) סומנו על הגרף והתחברו באמצעות קו.

יש לחזור על השלבים עבור המשוואה השנייה. נקודת החיתוך של הקווים היא הפתרון של המערכת.

הדוגמה הבאה דורשת מציאת פתרון גרפי למערכת של משוואות לינאריות: 0.5x-y+2=0 ו-0.5x-y-1=0.

כפי שניתן לראות מהדוגמה, למערכת אין פתרון, מכיוון שהגרפים מקבילים ואינם מצטלבים לכל אורכם.

המערכות מדוגמאות 2 ו-3 דומות, אך כאשר הן בנויות ברור שהפתרונות שלהן שונים. צריך לזכור שלא תמיד ניתן לומר אם למערכת יש פתרון או אין, תמיד יש צורך לבנות גרף.

המטריצה ​​והזנים שלה

מטריצות משמשות לכתיבה תמציתית של מערכת משוואות ליניאריות. מטריצה ​​היא טבלה סוג מיוחדמלא במספרים. ל-n*m יש n - שורות ו-m - עמודות.

מטריצה ​​היא מרובעת כאשר מספר העמודות והשורות שווה. מטריצה-וקטור היא מטריצה ​​של עמודה אחת עם מספר אפשרי אינסופי של שורות. מטריצה ​​עם אחדים לאורך אחד האלכסונים ושאר מרכיבי אפס נקראת זהות.

מטריצה ​​הפוכה היא מטריצה ​​כאשר כפולה בה המקורית הופכת למטריצת יחידה; מטריצה ​​כזו קיימת רק עבור הריבוע המקורי.

כללים להמרת מערכת משוואות למטריצה

ביחס למערכות משוואות, המקדמים והאיברים החופשיים של המשוואות נכתבים כמספרי מטריצה; משוואה אחת היא שורה אחת של המטריצה.

אומרים ששורת מטריצה ​​אינה אפס אם לפחות אלמנט אחד בשורה אינו אפס. לכן, אם בכל אחת מהמשוואות מספר המשתנים שונה, אז יש צורך להזין אפס במקום הלא נודע החסר.

עמודות המטריצה ​​חייבות להתאים לחלוטין למשתנים. המשמעות היא שניתן לכתוב את המקדמים של המשתנה x רק בעמודה אחת, למשל הראשונה, מקדם ה-y הלא ידוע - רק בשנייה.

כאשר מכפילים מטריצה, כל הרכיבים של המטריצה ​​מוכפלים ברצף במספר.

אפשרויות למציאת המטריצה ​​ההפוכה

הנוסחה למציאת המטריצה ​​ההפוכה היא פשוטה למדי: K -1 = 1 / |K|, כאשר K -1 היא המטריצה ​​ההפוכה, ו- |K| הוא הקובע של המטריצה. |K| לא חייב להיות שווה לאפס, אז למערכת יש פתרון.

הקובע מחושב בקלות עבור מטריצה ​​של שניים על שניים; אתה רק צריך להכפיל את האלמנטים האלכסוניים זה בזה. לאפשרות "שלוש על שלוש", יש נוסחה |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . אתה יכול להשתמש בנוסחה, או שאתה יכול לזכור שצריך לקחת אלמנט אחד מכל שורה ומכל עמודה כדי שמספרי העמודות ושורות האלמנטים לא יחזרו על עצמם בעבודה.

פתרון דוגמאות למערכות משוואות ליניאריות בשיטת המטריצה

שיטת המטריצה ​​למציאת פתרון מאפשרת לצמצם ערכים מסורבלים בעת פתרון מערכות עם מספר רב של משתנים ומשוואות.

בדוגמה, a nm הם המקדמים של המשוואות, המטריצה ​​היא וקטור x n הם משתנים, ו- b n הם איברים חופשיים.

פתרון מערכות בשיטת גאוס

IN מתמטיקה גבוהה יותרשיטת גאוס נלמדת יחד עם שיטת קראמר, ותהליך מציאת פתרונות למערכות נקרא שיטת פתרון גאוס-קרמר. שיטות אלו משמשות למציאת משתנים של מערכות עם מספר רב של משוואות ליניאריות.

שיטת גאוס דומה מאוד לפתרונות על ידי החלפה וחיבור אלגברי, אך היא שיטתית יותר. בקורס בית הספר, הפתרון בשיטת גאוס משמש למערכות של 3 ו-4 משוואות. מטרת השיטה היא לצמצם את המערכת לצורת טרפז הפוך. באמצעות טרנספורמציות והחלפות אלגבריות נמצא ערכו של משתנה אחד באחת ממשוואות המערכת. המשוואה השנייה היא ביטוי עם 2 לא ידועים, בעוד ש-3 ו-4 הם, בהתאמה, עם 3 ו-4 משתנים.

לאחר הבאת המערכת לצורה המתוארת, הפתרון הנוסף מצטמצם להחלפה רציפה של משתנים ידועים לתוך משוואות המערכת.

בספרי הלימוד לכיתה ז' מתוארת דוגמה לפתרון בשיטת גאוס באופן הבא:

כפי שניתן לראות מהדוגמה, בשלב (3) התקבלו שתי משוואות: 3x 3 -2x 4 =11 ו-3x 3 +2x 4 =7. פתרון כל אחת מהמשוואות יאפשר לך לגלות את אחד המשתנים x n.

משפט 5, המוזכר בטקסט, קובע שאם אחת מהמשוואות של המערכת תוחלף באחת שווה ערך, אז המערכת המתקבלת תהיה שוות ערך גם לזו המקורית.

קשה לתלמידים להבין את שיטת גאוס בית ספר תיכון, אבל הוא אחד מהרובים דרכים מעניינותלפתח את כושר ההמצאה של ילדים הלומדים במסגרת התוכנית מחקר מעמיקבשיעורי מתמטיקה ופיזיקה.

כדי להקל על ההקלטה, החישובים נעשים בדרך כלל באופן הבא:

המקדמים של המשוואות והאיברים החופשיים נכתבים בצורה של מטריצה, כאשר כל שורה של המטריצה ​​מתאימה לאחת ממשוואות המערכת. מפריד צד שמאלמשוואות מימין. ספרות רומיות מציינות את מספרי המשוואות במערכת.

ראשית, רשום את המטריצה ​​שאיתה יש לעבוד, ולאחר מכן את כל הפעולות שבוצעו עם אחת השורות. המטריצה ​​המתקבלת נכתבת לאחר סימן "חץ" וממשיכים את הפעולות האלגבריות הדרושות עד להשגת התוצאה.

התוצאה צריכה להיות מטריצה ​​שבה אחד האלכסונים שווה ל-1, וכל שאר המקדמים שווים לאפס, כלומר המטריצה ​​מצטמצמת לצורת יחידה. אסור לשכוח לבצע חישובים עם מספרים משני צידי המשוואה.

שיטת הקלטה זו פחות מסורבלת ומאפשרת לך לא להסיח את דעתך על ידי פירוט של אלמונים רבים.

השימוש החופשי בכל שיטת פתרון ידרוש טיפול וקצת ניסיון. לא כל השיטות הן בעלות אופי יישומי. שיטות מסוימות למציאת פתרונות עדיפות יותר בתחום מסוים של פעילות אנושית, בעוד שאחרות קיימות למטרות חינוכיות.

בסרטון זה אני מתחיל סדרת שיעורים המוקדשים למערכות משוואות. היום נדבר על פתרון מערכות של משוואות ליניאריות שיטת תוספת- זה אחד הכי הרבה דרכים פשוטות, אך יחד עם זאת אחד היעילים ביותר.

שיטת התוספת מורכבת מ שלוש פשוטותשלבים:

1. הסתכלו על המערכת ובחרו משתנה בעל אותם מקדמים (או מנוגדים) בכל משוואה;
2. בצעו חיסור אלגברי (עבור מספרים מנוגדים - חיבור) של משוואות זו מזו, ולאחר מכן הביאו איברים דומים;
3. פתרו את המשוואה החדשה שהתקבלה לאחר השלב השני.

אם הכל נעשה נכון, אז בפלט נקבל משוואה בודדת עם משתנה אחד- לא יהיה קשה לפתור את זה. ואז כל מה שנותר הוא להחליף את השורש שנמצא במערכת המקורית ולקבל את התשובה הסופית.

עם זאת, בפועל הכל לא כל כך פשוט. יש לכך מספר סיבות:

• פתרון משוואות בשיטת החיבור מרמז שכל הקווים חייבים להכיל משתנים בעלי מקדמים שווים/הפוכים. מה לעשות אם דרישה זו לא מתקיימת?
• לא תמיד, לאחר חיבור/חיסור משוואות בצורה המצוינת, נקבל בנייה יפה שניתן לפתור בקלות. האם אפשר איכשהו לפשט את החישובים ולהאיץ את החישובים?

כדי לקבל את התשובה לשאלות הללו, ובמקביל להבין כמה דקויות נוספות שתלמידים רבים נכשלים בהן, צפו בשיעור הווידאו שלי:

עם שיעור זה אנו מתחילים סדרת הרצאות המוקדשות למערכות משוואות. ונתחיל מהפשוטה שבהן, כלומר אלה המכילות שתי משוואות ושני משתנים. כל אחד מהם יהיה ליניארי.

מערכות הוא חומר לכיתה ז', אבל שיעור זה יהיה שימושי גם לתלמידי תיכון שרוצים לרענן את הידע שלהם בנושא זה.

באופן כללי, ישנן שתי שיטות לפתרון מערכות כאלה:

1. שיטת הוספה;
2. שיטה לבטא משתנה אחד במונחים של משתנה אחר.

היום נעסוק בשיטה הראשונה - נשתמש בשיטת החיסור והחיבור. אבל כדי לעשות זאת, אתה צריך להבין את העובדה הבאה: ברגע שיש לך שתי משוואות או יותר, אתה יכול לקחת כל שתיים מהן ולהוסיף אותן אחת לשנייה. הם מתווספים חבר אחר חבר, כלומר. מוסיפים "X" ל"X" ונותנים דומים, "Y" עם "Y" שוב דומים, ומה שנמצא מימין לסימן השוויון מתווסף גם זה לזה, וגם שם ניתנים דומים. .

התוצאות של תחבולות כאלה יהיו משוואה חדשה, שאם יש לה שורשים, הם בהחלט יהיו בין השורשים של המשוואה המקורית. לכן, המשימה שלנו היא לבצע את החיסור או החיבור בצורה כזו ש$x$ או $y$ ייעלמו.

איך להשיג את זה ובאיזה כלי להשתמש בשביל זה - נדבר על זה עכשיו.

פתרון בעיות קלות באמצעות הוספה

אז, אנו לומדים להשתמש בשיטת החיבור באמצעות הדוגמה של שני ביטויים פשוטים.

משימה מס' 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

שימו לב של-$y$ יש מקדם של $-4$ במשוואה הראשונה, ו-$+4$ בשני. הם מנוגדים זה לזה, ולכן הגיוני להניח שאם נחבר אותם, אז בסכום המתקבל ה"משחקים" יושמדו הדדית. הוסף את זה וקבל:

בואו נפתור את הבנייה הפשוטה ביותר:

מצוין, מצאנו את ה-"X". מה עלינו לעשות עם זה עכשיו? יש לנו את הזכות להחליף אותו בכל אחת מהמשוואות. בוא נחליף בראשון:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]

תשובה: $\left(2;-3 \right)$.

בעיה מס' 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

המצב כאן דומה לחלוטין, רק עם "X". בואו נחבר אותם:

יש לנו את המשוואה הליניארית הפשוטה ביותר, בואו נפתור אותה:

עכשיו בואו נמצא $x$:

תשובה: $\left(-3;3 \right)$.

נקודות חשובות

אז, זה עתה פתרנו שתי מערכות פשוטות של משוואות ליניאריות באמצעות שיטת החיבור. שוב נקודות מפתח:

1. אם יש מקדמים הפוכים לאחד המשתנים, אז יש צורך להוסיף את כל המשתנים במשוואה. במקרה זה, אחד מהם יושמד.
2. אנו מחליפים את המשתנה שנמצא בכל אחת ממשוואות המערכת כדי למצוא את השנייה.
3. ניתן להציג את רשומת התגובה הסופית בדרכים שונות. לדוגמה, כך - $x=...,y=...$, או בצורה של קואורדינטות של נקודות - $\left(...;... \right)$. האפשרות השנייה עדיפה. הדבר העיקרי שיש לזכור הוא שהקואורדינטה הראשונה היא $x$, והשנייה היא $y$.
4. הכלל של כתיבת התשובה בצורה של קואורדינטות נקודות לא תמיד ישים. לדוגמה, לא ניתן להשתמש בו כאשר המשתנים אינם $x$ ו-$y$, אלא, למשל, $a$ ו-$b$.

בבעיות הבאות נשקול את טכניקת החיסור כאשר המקדמים אינם מנוגדים.

פתרון בעיות קלות בשיטת החיסור

משימה מס' 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

שימו לב שאין כאן מקדמים הפוכים, אבל יש מקדמים זהים. לכן, נחסר את השני מהמשוואה הראשונה:

כעת נחליף את הערך $x$ בכל אחת ממשוואות המערכת. בוא נלך קודם:

תשובה: $\left(2;5\right)$.

בעיה מס' 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

אנו רואים שוב את אותו מקדם של $5$ עבור $x$ במשוואה הראשונה והשנייה. לכן, זה הגיוני להניח שאתה צריך להחסיר את השני מהמשוואה הראשונה:

חישבנו משתנה אחד. כעת, בואו נמצא את השני, למשל, על ידי החלפת הערך $y$ במבנה השני:

תשובה: $\left(-3;-2 \right)$.

ניואנסים של הפתרון

אז מה אנחנו רואים? בעיקרו של דבר, הסכימה אינה שונה מהפתרון של מערכות קודמות. ההבדל היחיד הוא שאנחנו לא מוסיפים משוואות, אלא מפחיתים אותן. אנחנו עושים חיסור אלגברי.

במילים אחרות, ברגע שאתה רואה מערכת המורכבת משתי משוואות בשני לא ידועים, הדבר הראשון שאתה צריך להסתכל עליו הוא המקדמים. אם הם זהים בכל מקום, מפחיתים את המשוואות, ואם הן מנוגדות, משתמשים בשיטת החיבור. זה נעשה תמיד כדי שאחד מהם ייעלם, ובמשוואה הסופית, שנשארת לאחר החיסור, נשאר רק משתנה אחד.

כמובן, זה לא הכל. כעת נשקול מערכות שבהן המשוואות בדרך כלל אינן עקביות. הָהֵן. אין בהם משתנים שהם זהים או מנוגדים. במקרה זה, כדי לפתור מערכות כאלה, אנו משתמשים מנה נוספת, כלומר, הכפלת כל אחת מהמשוואות במקדם מיוחד. איך למצוא את זה ואיך לפתור מערכות כאלה באופן כללי, נדבר על זה עכשיו.

פתרון בעיות על ידי הכפלה במקדם

דוגמה מס' 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

אנו רואים שלא עבור $x$ ולא עבור $y$ המקדמים אינם רק מנוגדים זה לזה, אלא גם אינם מתואמים בשום אופן עם המשוואה האחרת. מקדמים אלו לא ייעלמו בשום אופן, גם אם נוסיף או נחסר את המשוואות זו מזו. לכן, יש צורך להחיל כפל. בואו ננסה להיפטר מהמשתנה $y$. לשם כך, נכפיל את המשוואה הראשונה במקדם $y$ מהמשוואה השנייה, ואת המשוואה השנייה במקדם $y$ מהמשוואה הראשונה, מבלי לגעת בסימן. אנו מכפילים ומקבלים מערכת חדשה:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

בואו נסתכל על זה: ב-$y$ המקדמים הפוכים. במצב כזה יש צורך להשתמש בשיטת התוספת. בואו נוסיף:

עכשיו אנחנו צריכים למצוא $y$. כדי לעשות זאת, החלף את $x$ בביטוי הראשון:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]

תשובה: $\left(4;-2 \right)$.

דוגמה מס' 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

שוב, המקדמים עבור אף אחד מהמשתנים אינם עקביים. בוא נכפיל במקדמים של $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

שֶׁלָנוּ מערכת חדשהשווה לקודם, עם זאת, המקדמים של $y$ מנוגדים זה לזה, ולכן קל ליישם את שיטת החיבור כאן:

כעת בוא נמצא את $y$ על ידי החלפת $x$ במשוואה הראשונה:

תשובה: $\left(-2;1 \right)$.

ניואנסים של הפתרון

כלל המפתח כאן הוא הבא: אנחנו תמיד מכפילים רק במספרים חיוביים - זה יחסוך מכם טעויות מטופשות ופוגעניות הקשורות בשינוי שלטים. באופן כללי, ערכת הפתרונות פשוטה למדי:

1. אנו מסתכלים על המערכת ומנתחים כל משוואה.
2. אם נראה שלא $y$ ולא $x$ המקדמים עקביים, כלומר. הם לא שווים ולא מנוגדים, אז אנחנו עושים את הפעולות הבאות: אנחנו בוחרים את המשתנה שאנחנו צריכים להיפטר ממנו, ואז אנחנו מסתכלים על המקדמים של המשוואות האלה. אם נכפיל את המשוואה הראשונה במקדם מהשני, והשנייה, בהתאם, נכפיל במקדם מהראשון, אז בסופו של דבר נקבל מערכת ששווה לחלוטין לקודמתה, ואת המקדמים של $ y$ יהיה עקבי. כל הפעולות או הטרנספורמציות שלנו מכוונות רק לקבל משתנה אחד במשוואה אחת.
3. אנו מוצאים משתנה אחד.
4. נחליף את המשתנה המצוי באחת משתי המשוואות של המערכת ונמצא את השנייה.
5. נכתוב את התשובה בצורה של קואורדינטות של נקודות אם יש לנו משתנים $x$ ו-$y$.

אבל אפילו לאלגוריתם פשוט כזה יש דקויות משלו, למשל, המקדמים של $x$ או $y$ יכולים להיות שברים ומספרים "מכוערים" אחרים. כעת נשקול את המקרים הללו בנפרד, כי בהם ניתן לפעול בצורה שונה במקצת מאשר לפי האלגוריתם הסטנדרטי.

פתרון בעיות עם שברים

דוגמה מס' 1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

ראשית, שימו לב שהמשוואה השנייה מכילה שברים. אבל שים לב שאתה יכול לחלק $4$ ב$0.8$. נקבל $5$. בוא נכפיל את המשוואה השנייה ב-$5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

נחסר את המשוואות זו מזו:

מצאנו $n$, עכשיו בואו נספור $m$:

תשובה: $n=-4;m=5$

דוגמה מס' 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ ימין.\]

כאן, כמו במערכת הקודמת, ישנם מקדמים שברים, אך עבור אף אחד מהמשתנים המקדמים אינם מתאימים זה לזה מספר שלם של פעמים. לכן, אנו משתמשים באלגוריתם הסטנדרטי. היפטר מ-$p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

אנו משתמשים בשיטת החיסור:

בואו נמצא את $p$ על ידי החלפת $k$ במבנה השני:

תשובה: $p=-4;k=-2$.

ניואנסים של הפתרון

זה הכל אופטימיזציה. במשוואה הראשונה לא הכפלנו בשום דבר, אלא הכפלנו את המשוואה השנייה ב-$5$. כתוצאה מכך, קיבלנו משוואה עקבית ואפילו זהה עבור המשתנה הראשון. במערכת השנייה עקבנו אחר אלגוריתם סטנדרטי.

אבל איך מוצאים את המספרים שבהם מכפילים את המשוואות? הרי אם תכפיל ב מספרים שברים, נקבל שברים חדשים. לכן יש להכפיל את השברים במספר שייתן מספר שלם חדש, ולאחר מכן יש להכפיל את המשתנים במקדמים, לפי האלגוריתם הסטנדרטי.

לסיכום, ברצוני להסב את תשומת לבכם לפורמט הקלטת התגובה. כפי שכבר אמרתי, מכיוון שכאן אין לנו $x$ ו-$y$, אלא ערכים אחרים, אנו משתמשים בסימון לא סטנדרטי של הצורה:

פתרון מערכות משוואות מורכבות

כהערה אחרונה למדריך הווידאו של היום, בואו נסתכל על כמה מערכות מורכבות באמת. המורכבות שלהם תהיה מורכבת מהעובדה שיהיו להם משתנים גם משמאל וגם מימין. לכן, כדי לפתור אותם נצטרך ליישם עיבוד מקדים.

מערכת מס' 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

כל משוואה נושאת מורכבות מסוימת. לכן, הבה נתייחס לכל ביטוי כמו בבנייה ליניארית רגילה.

בסך הכל, אנו מקבלים את המערכת הסופית, המקבילה למערכת המקורית:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

בואו נסתכל על המקדמים של $y$: $3$ מתאים ל-$6$ פעמיים, אז בואו נכפיל את המשוואה הראשונה ב-$2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

המקדמים של $y$ שווים כעת, אז נחסר את השני מהמשוואה הראשונה: $$

עכשיו בואו נמצא את $y$:

תשובה: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

מערכת מס' 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

בואו נשנה את הביטוי הראשון:

בוא נתמודד עם השני:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

בסך הכל, המערכת הראשונית שלנו תהיה בטופס הבא:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

בהסתכלות על המקדמים של $a$, אנו רואים שיש להכפיל את המשוואה הראשונה ב-$2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

הורידו את השני מהבנייה הראשונה:

עכשיו בואו נמצא $a$:

תשובה: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

זה הכל. אני מקווה שמדריך וידאו זה יעזור לך להבין את הנושא הקשה הזה, כלומר פתרון מערכות של משוואות ליניאריות פשוטות. יהיו עוד שיעורים רבים בנושא זה: נסתכל על עוד דוגמאות מורכבות, שבו יהיו יותר משתנים, והמשוואות עצמן כבר יהיו לא ליניאריות. נתראה שוב!

1. שיטת החלפה: מכל משוואה של המערכת אנו מבטאים אחד לא ידוע דרך אחר ומחליפים אותו במשוואה השנייה של המערכת.

מְשִׁימָה.פתרו את מערכת המשוואות:

פִּתָרוֹן.מהמשוואה הראשונה של המערכת אנו מבטאים בְּ-דרך איקסולהחליף אותו במשוואה השנייה של המערכת. בואו נשיג את המערכת שווה למקור.

לאחר הבאת תנאים דומים, המערכת תלבש את הטופס:

מהמשוואה השנייה אנו מוצאים: . החלפת ערך זה במשוואה בְּ- = 2 - 2איקס, אנחנו מקבלים בְּ-= 3. לכן, הפתרון למערכת זו הוא זוג מספרים.

2. שיטת חיבור אלגברית: על ידי הוספת שתי משוואות, מקבלים משוואה עם משתנה אחד.

מְשִׁימָה.פתרו את משוואת המערכת:

פִּתָרוֹן.מכפילים את שני הצדדים של המשוואה השנייה ב-2, נקבל את המערכת שווה למקור. בהוספת שתי המשוואות של מערכת זו, אנו מגיעים למערכת

לאחר הבאת תנאים דומים, מערכת זו תקבל את הצורה: מהמשוואה השנייה אנו מוצאים . החלפת ערך זה במשוואה 3 איקס + 4בְּ-= 5, אנחנו מקבלים , איפה . לכן, הפתרון למערכת זו הוא זוג מספרים.

3. שיטה להכנסת משתנים חדשים: אנו מחפשים כמה ביטויים חוזרים במערכת, אותם נסמן במשתנים חדשים, ובכך נפשט את מראה המערכת.

מְשִׁימָה.פתרו את מערכת המשוואות:

פִּתָרוֹן.בוא נכתוב את המערכת הזו אחרת:

לתת x + y = u, xy = v.ואז נקבל את המערכת

בואו נפתור את זה בשיטת ההחלפה. מהמשוואה הראשונה של המערכת אנו מבטאים uדרך vולהחליף אותו במשוואה השנייה של המערכת. בואו נשיג את המערכת הָהֵן.

מהמשוואה השנייה של המערכת אנו מוצאים v 1 = 2, v 2 = 3.

החלפת ערכים אלו במשוואה u = 5 - v, אנחנו מקבלים u 1 = 3,
u 2 = 2. אז יש לנו שתי מערכות

בפתרון המערכת הראשונה, נקבל שני זוגות של מספרים (1; 2), (2; 1). למערכת השנייה אין פתרונות.

תרגילים לעבודה עצמאית

1. לפתור מערכות משוואות בשיטת ההחלפה.