Úloha č. 3. Vytvorte nákres a vypočítajte plochu obrázku, obmedzené čiarami

Aplikácia integrálu na riešenie aplikovaných úloh

Výpočet plochy

Určitý integrál spojitej nezápornej funkcie f(x) sa numericky rovná oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničeného krivkou y = f(x), osou O x a priamkami x = a a x = b. V súlade s tým je vzorec oblasti napísaný takto:

Pozrime sa na niekoľko príkladov výpočtu plôch rovinných útvarov.

Úloha č.1. Vypočítajte plochu ohraničenú priamkami y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Riešenie. Zostrojme obrazec, ktorého plochu budeme musieť vypočítať.

y = x 2 + 1 je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor a parabola je oproti osi O y posunutá nahor o jednu jednotku (obrázok 1).

Obrázok 1. Graf funkcie y = x 2 + 1

Úloha č.2. Vypočítajte plochu ohraničenú priamkami y = x 2 – 1, y = 0 v rozsahu od 0 do 1.

Riešenie. Graf tejto funkcie je parabola vetiev, ktoré sú nasmerované nahor a parabola je posunutá vzhľadom na os O y nadol o jednu jednotku (obrázok 2).

Obrázok 2. Graf funkcie y = x 2 – 1

Úloha č. 3. Nakreslite a vypočítajte plochu figúry ohraničenú čiarami

y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4.

Riešenie. Prvá z týchto dvoch čiar je parabola s vetvami smerujúcimi nadol, pretože koeficient x 2 je záporný, a druhá čiara je priamka pretínajúca obe súradnicové osi.

Na zostrojenie paraboly nájdeme súradnice jej vrcholu: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – úsečka vrcholu; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je jeho ordináta, N(1;9) je vrchol.

Teraz nájdime priesečníky paraboly a priamky riešením sústavy rovníc:

Vyrovnanie pravých strán rovnice, ktorej ľavé strany sú rovnaké.

Dostaneme 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 alebo x 2 – 12 = 0, odkiaľ .

Body sú teda priesečníky paraboly a priamky (obrázok 1).

Obrázok 3 Grafy funkcií y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4

Zostrojme priamku y = 2x – 4. Prechádza bodmi (0;-4), (2;0) na súradnicových osiach.

Na zostrojenie paraboly môžete použiť aj jej priesečníky s osou 0x, teda korene rovnice 8 + 2x – x 2 = 0 alebo x 2 – 2x – 8 = 0. Pomocou Vietovej vety je jednoduché nájsť jeho korene: x 1 = 2, x 2 = 4.

Obrázok 3 zobrazuje obrazec (parabolický segment M1N M2) ohraničený týmito čiarami.

Druhou časťou problému je nájsť oblasť tohto obrázku. Jeho obsah možno nájsť pomocou určitého integrálu podľa vzorca .

Aplikovaný na tento stav, dostaneme integrál:

2 Výpočet objemu rotačného telesa

Objem telesa získaný z rotácie krivky y = f(x) okolo osi O x sa vypočíta podľa vzorca:

Pri otáčaní okolo osi Oy vzorec vyzerá takto:

Úloha č.4. Určte objem telesa získaného rotáciou zakriveného lichobežníka ohraničeného priamkami x = 0 x = 3 a krivkou y = okolo osi O x.

Riešenie. Nakreslíme obrázok (obrázok 4).

Obrázok 4. Graf funkcie y =

Požadovaný objem je

Úloha č.5. Vypočítajte objem telesa získaný rotáciou zakriveného lichobežníka ohraničeného krivkou y = x 2 a priamkami y = 0 a y = 4 okolo osi O y.

Riešenie. Máme:

Kontrolné otázky

Nech je funkcia nezáporná a spojitá na intervale. Potom podľa geometrického významu určitého integrálu je plocha krivočiareho lichobežníka ohraničená hore grafom tejto funkcie, dole osou, vľavo a vpravo priamkami a (pozri obr. 2) je vypočítané podľa vzorca

Príklad 9. Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarou a os.

Riešenie. Funkčný graf je parabola, ktorej vetvy smerujú nadol. Poďme si ho postaviť (obr. 3). Na určenie hraníc integrácie nájdeme priesečníky priamky (paraboly) s osou (priamka). Aby sme to dosiahli, riešime sústavu rovníc

Dostaneme: , kde , ; teda,,.

Ryža. 3

Plochu obrázku nájdeme pomocou vzorca (5):

Ak je funkcia na segmente nekladná a spojitá, potom plocha krivočiareho lichobežníka ohraničená dole grafom tejto funkcie, nad osou, vľavo a vpravo priamkami a , je vypočítaná pomocou vzorec

. (6)

Ak je funkcia spojitá na segmente a mení znamienko na konečnom počte bodov, potom sa plocha tieňovaného obrázku (obr. 4) rovná algebraický súčet zodpovedajúce určité integrály:

Ryža. 4

Príklad 10. Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú osou a grafom funkcie v .

Ryža. 5

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 5). Požadovaná plocha je súčtom plôch a . Poďme nájsť každú z týchto oblastí. Najprv určíme hranice integrácie riešením systému Dostaneme , . Preto:

;

.

Oblasť tieňovaného obrázku je teda

(jednotky štvorcových).

Ryža. 6

Nakoniec nech je krivočiary lichobežník ohraničený nad a pod grafmi funkcií spojitých na segmente a ,
a vľavo a vpravo - rovné čiary a (obr. 6). Potom sa jeho plocha vypočíta podľa vzorca

. (8)

Príklad 11. Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami a.

Riešenie. Tento obrázok je znázornený na obr. 7. Vypočítajme jeho plochu pomocou vzorca (8). Riešením sústavy rovníc nájdeme, ; teda,,. Na segmente máme: . To znamená, že vo vzorci (8) berieme ako X, a ako kvalita – . Dostaneme:

(jednotky štvorcových).

Zložitejšie problémy výpočtu plôch sa riešia rozdelením obrázku na neprekrývajúce sa časti a vypočítaním plochy celého obrázku ako súčtu plôch týchto častí.

Ryža. 7

Príklad 12. Nájdite plochu obrázku ohraničenú čiarami , , .

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 8). Tento obrázok možno považovať za krivočiary lichobežník ohraničený zospodu osou, vľavo a vpravo - rovnými čiarami a zhora - grafmi funkcií a. Keďže obrazec je zhora obmedzený grafmi dvoch funkcií, na výpočet jeho plochy rozdelíme tento priamkový obrazec na dve časti (1 je úsečka priesečníka priamok a ). Oblasť každej z týchto častí sa zistí pomocou vzorca (4):

(jednotky štvorcových); (jednotky štvorcových). Preto:

(jednotky štvorcových).

Ryža. 8

X= j( pri)

Ryža. 9

Na záver poznamenávame, že ak je krivočiary lichobežník ohraničený priamkami a , osou a spojitým na krivke (obr. 9), potom jeho obsah nájdeme podľa vzorca

Objem rotačného telesa

Nech sa krivočiary lichobežník, ohraničený grafom funkcie spojitej na úsečke, osou, priamkami a , otáča okolo osi (obr. 10). Potom sa objem výsledného rotačného telesa vypočíta podľa vzorca

. (9)

Príklad 13. Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi krivočiareho lichobežníka ohraničeného hyperbolou, priamkami a osou.

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 11).

Z podmienok problému vyplýva, že , . Zo vzorca (9) dostaneme

.

Ryža. 10

Ryža. jedenásť

Objem telesa získaný rotáciou okolo osi OU krivočiary lichobežník ohraničený priamkami y = c A y = d, os OU a graf funkcie spojitej na segmente (obr. 12), určenej vzorcom

. (10)

X= j( pri)

Ryža. 12

Príklad 14. Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním okolo osi OU krivočiary lichobežník ohraničený čiarami X 2 = 4pri, y = 4, x = 0 (obr. 13).

Riešenie. V súlade s podmienkami problému nachádzame hranice integrácie: , . Pomocou vzorca (10) dostaneme:

Ryža. 13

Dĺžka oblúka rovinnej krivky

Nech krivka daná rovnicou , kde , leží v rovine (obr. 14).

Ryža. 14

Definícia. Dĺžka oblúka sa chápe ako hranica, ku ktorej smeruje dĺžka prerušovanej čiary vpísanej do tohto oblúka, keď počet článkov prerušovanej čiary smeruje k nekonečnu a dĺžka najväčšieho spoja smeruje k nule.

Ak je funkcia a jej derivácia spojitá na segmente, potom sa dĺžka oblúka krivky vypočíta podľa vzorca

. (11)

Príklad 15. Vypočítajte dĺžku oblúka krivky uzavretej medzi bodmi, pre ktoré .

Riešenie. Z problémových podmienok, ktoré máme . Pomocou vzorca (11) dostaneme:

.

4. Nevlastné integrály
s nekonečnými hranicami integrácie

Pri zavádzaní pojmu určitého integrálu sa predpokladalo, že sú splnené tieto dve podmienky:

a) limity integrácie A a sú konečné;

b) integrand je ohraničený na intervale.

Ak aspoň jedna z týchto podmienok nie je splnená, potom sa volá integrál nie svoje vlastné.

Uvažujme najprv nevlastné integrály s nekonečnými limitmi integrácie.

Definícia. Nech je funkcia definovaná a spojitá na intervale a neobmedzené vpravo (obr. 15).

Ak nevlastný integrál konverguje, potom je táto oblasť konečná; ak sa nevlastný integrál diverguje, potom je táto oblasť nekonečná.

Ryža. 15

Nevlastný integrál s nekonečnou spodnou hranicou integrácie je definovaný podobne:

. (13)

Tento integrál konverguje, ak limita na pravej strane rovnosti (13) existuje a je konečná; inak sa hovorí, že integrál je divergentný.

Nevlastný integrál s dvoma nekonečnými hranicami integrácie je definovaný takto:

, (14)

kde с je ľubovoľný bod intervalu. Integrál konverguje len vtedy, ak oba integrály na pravej strane rovnosti (14) konvergujú.

;

G) = [vyberte celý štvorec v menovateli: ] = [náhrada:

] =

To znamená, že nevlastný integrál konverguje a jeho hodnota sa rovná .

V tomto článku sa dozviete, ako nájsť oblasť obrázku ohraničenú čiarami pomocou integrálnych výpočtov. Prvýkrát sa s formuláciou takéhoto problému stretávame na strednej škole, keď sme práve ukončili štúdium určitých integrálov a je čas začať s geometrickým výkladom získaných poznatkov v praxi.

Čo je teda potrebné na úspešné vyriešenie problému nájdenia oblasti obrázku pomocou integrálov:

• Schopnosť robiť kompetentné výkresy;
• Schopnosť riešiť určitý integrál pomocou známeho Newtonovho-Leibnizovho vzorca;
• Schopnosť „vidieť“ viac zisková možnosť riešenia - t.j. pochopiť, ako bude pohodlnejšie vykonať integráciu v jednom alebo druhom prípade? Pozdĺž osi x (OX) alebo osi y (OY)?
• Kde by sme boli bez správnych výpočtov?) To zahŕňa pochopenie toho, ako vyriešiť tento iný typ integrálov a správne numerické výpočty.

Algoritmus na riešenie problému výpočtu plochy obrazca ohraničeného čiarami:

1. Vytvárame výkres. Je vhodné to urobiť na kockovanom papieri vo veľkom meradle. Názov tejto funkcie podpíšeme ceruzkou nad každým grafom. Podpisovanie grafov sa vykonáva výlučne pre pohodlie ďalších výpočtov. Po získaní grafu požadovaného čísla bude vo väčšine prípadov okamžite jasné, ktoré limity integrácie sa použijú. Úlohu teda riešime graficky. Stáva sa však, že hodnoty limitov sú zlomkové alebo iracionálne. Preto môžete vykonať ďalšie výpočty, prejdite na druhý krok.

2. Ak nie sú hranice integrácie explicitne špecifikované, nájdeme priesečníky grafov medzi sebou a uvidíme, či sa naše grafické riešenie zhoduje s analytickým.

3. Ďalej musíte analyzovať výkres. V závislosti od toho, ako sú grafy funkcií usporiadané, existujú rôzne prístupy k nájdeniu oblasti obrázku. Pozrime sa na rôzne príklady hľadania oblasti obrazca pomocou integrálov.

3.1. Najklasickejšia a najjednoduchšia verzia problému je, keď potrebujete nájsť oblasť zakriveného lichobežníka. Čo je to zakrivený lichobežník? Toto je plochý údaj ohraničený osou x (y = 0), rovný x = a, x = b a ľubovoľná krivka súvislá na intervale od a predtým b. Navyše tento údaj nie je záporný a nenachádza sa pod osou x. V tomto prípade sa plocha krivočiareho lichobežníka numericky rovná určitému integrálu, vypočítanému pomocou vzorca Newton-Leibniz:

Príklad 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Akými čiarami je obrazec ohraničený? Máme parabolu y = x2 – 3x + 3, ktorá sa nachádza nad osou OH, je nezáporné, pretože všetky body tejto paraboly majú kladné hodnoty. Ďalej, dané rovné čiary x = 1 A x = 3, ktoré prebiehajú rovnobežne s osou OU, sú hraničné čiary obrázku vľavo a vpravo. Dobre y = 0, je to aj os x, ktorá obmedzuje obrázok zdola. Výsledný obrázok je vytieňovaný, ako je možné vidieť na obrázku vľavo. V takom prípade môžete problém okamžite začať riešiť. Pred nami je jednoduchý príklad zakriveného lichobežníka, ktorý potom vyriešime pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.

3.2. V predchádzajúcom odseku 3.1 sme skúmali prípad, keď sa nad osou x nachádza zakrivený lichobežník. Teraz zvážte prípad, keď sú podmienky problému rovnaké, okrem toho, že funkcia leží pod osou x. K štandardnému Newton-Leibnizovmu vzorcu sa pridáva mínus. Ako vyriešiť takýto problém, zvážime nižšie.

Príklad 2 . Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

V tomto príklade máme parabolu y = x2 + 6x + 2, ktorý vychádza z os OH, rovný x = -4, x = -1, y = 0. Tu y = 0 obmedzuje požadovanú hodnotu zhora. Priamy x = -4 A x = -1 toto sú hranice, v rámci ktorých sa bude počítať určitý integrál. Princíp riešenia problému nájdenia plochy obrázku sa takmer úplne zhoduje s príkladom číslo 1. Jediný rozdiel je v tom, že danú funkciu nie je kladný a stále je na intervale nepretržitý [-4; -1] . Čo tým myslíš nie pozitívne? Ako vidno z obrázku, obrazec, ktorý leží v rámci daného x, má výlučne „záporné“ súradnice, čo musíme vidieť a zapamätať si pri riešení úlohy. Hľadáme oblasť obrázku pomocou vzorca Newton-Leibniz, iba so znamienkom mínus na začiatku.

Článok nie je dokončený.

A)

Riešenie.

Najprv a najdôležitejší moment riešenia - kresba kresba.

Urobme výkres:

Rovnica y=0 nastaví os „x“;

- x = -2 A x=1 - rovný, rovnobežný s osou OU;

- y=x 2 +2 - parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, s vrcholom v bode (0;2).

Komentujte. Na zostrojenie paraboly stačí nájsť body jej priesečníka so súradnicovými osami, t.j. uvedenie x=0 nájsť priesečník s osou OU a podľa toho sa rozhodnúť kvadratická rovnica, nájdite priesečník s osou Oh .

Vrchol paraboly možno nájsť pomocou vzorcov:

Môžete tiež vytvárať čiary bod po bode.

Na intervale [-2;1] graf funkcie y=x2+2 Nachádza nad osou Vôl , Preto:

odpoveď: S = 9 štvorcových jednotiek

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ spočítame počet buniek na výkrese - no, bude ich asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak je zrejmé, že niekde sa stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak je odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Čo robiť, ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod nápravou Oh?

b) Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y=-e x , x=1 a súradnicové osi.

Riešenie.

Urobme si kresbu.

Ak zakrivený lichobežník úplne umiestnené pod osou Oh , potom jeho oblasť možno nájsť pomocou vzorca:

odpoveď: S=(e-1) štvorcových jednotiek“ 1,72 štvorcových jednotiek

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak vás požiadajú, aby ste jednoducho vyriešili určitý integrál bez akéhokoľvek geometrický význam, potom môže byť negatívny.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve diskutovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa najčastejšie postava nachádza v hornej aj dolnej polrovine.

s) Nájdite plochu rovinnej postavy ohraničenú čiarami y=2x-x2, y=-x.

Riešenie.

Najprv musíte dokončiť výkres. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a rovno Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvá metóda je analytická.

Riešime rovnicu:

To znamená, že spodná hranica integrácie a=0 , horná hranica integrácie b = 3 .

Dané priamky postavíme: 1. Parabola - vrchol v bode (1;1); priesečník osí oh - body (0;0) a (0;2). 2. Priamka - os 2. a 4. súradnicového uhla. A teraz Pozor! Ak na segmente [ a;b] nejaká nepretržitá funkcia f(x) väčší alebo rovný niektorým nepretržitá funkcia g(x), potom oblasť zodpovedajúceho obrázku možno nájsť pomocou vzorca: . A nezáleží na tom, kde sa obrázok nachádza - nad osou alebo pod osou, ale dôležité je, ktorý graf je VYŠŠÍ (v porovnaní s iným grafom) a ktorý je POD. V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Môžete vytvárať čiary bod po bode a hranice integrácie sa vyjasnia „samo od seba“. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo podrobná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne).

Požadovaná hodnota je obmedzená parabolou nad a priamkou pod ňou.

Na segmente , podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď: S = 4,5 štvorcových jednotiek

Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku

Poďme ďalej zvážiť aplikácie integrálneho počtu. V tejto lekcii budeme analyzovať typickú a najbežnejšiu úlohu - ako použiť určitý integrál na výpočet plochy rovinného útvaru. Konečne hľadať zmysel v vyššia matematika- nech ho nájdu. Nikdy nevieš. V reálnom živote budete musieť aproximovať dacha pomocou elementárnych funkcií a nájsť jej plochu pomocou určitého integrálu.

Ak chcete úspešne zvládnuť materiál, musíte:

1) Pochopte neurčitý integrál aspoň na priemernej úrovni. Preto by si figuríny mali lekciu najskôr prečítať nie.

2) Byť schopný použiť Newtonov-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. S určitými integrálmi na stránke môžete nadviazať vrúcne priateľské vzťahy Určitý integrál. Príklady riešení.

V skutočnosti, aby ste našli oblasť obrazca, nepotrebujete toľko vedomostí o neurčitom a určitom integráli. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa vytvorenie výkresu, takže vaše znalosti a zručnosti v kreslení budú oveľa naliehavejším problémom. V tomto ohľade je užitočné osviežiť si pamäť grafov hlavnej elementárne funkcie a prinajmenšom byť schopný zostrojiť priamku, parabolu a hyperbolu. To sa dá (pre mnohých je to nevyhnutné) pomocou metodický materiál a články o geometrických transformáciách grafov.

Úlohu nájsť oblasť pomocou určitého integrálu pozná vlastne každý už od školy, a už od toho nebudeme oveľa ďalej. školské osnovy. Tento článok by možno vôbec neexistoval, no faktom je, že problém nastáva v 99 prípadoch zo 100, keď študent trpí nenávidenou školou a s nadšením ovláda kurz vyššej matematiky.

Materiály tohto workshopu sú prezentované jednoducho, podrobne a s minimom teórie.

Začnime so zakriveným lichobežníkom.

Krivočiary lichobežník je plochý útvar ohraničený osou, priamkami a grafom funkcie súvislej na intervale, ktorý na tomto intervale nemení znamienko. Nechajte tento obrázok nájsť nie menej os x:

Potom plocha krivočiareho lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu. Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. Na lekcii Určitý integrál. Príklady riešení Povedal som, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ešte jednu užitočná skutočnosť. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.

teda určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche určitého útvaru. Uvažujme napríklad určitý integrál. Integrand definuje krivku v rovine umiestnenej nad osou (kto chce, môže nakresliť) a samotný určitý integrál je numerický rovná ploche zodpovedajúci zakrivený lichobežník.

Príklad 1

Toto je typický príkaz na zadanie. Prvým a najdôležitejším bodom pri rozhodovaní je konštrukcia výkresu. Okrem toho musí byť výkres vytvorený SPRÁVNY.

Pri konštrukcii výkresu odporúčam nasledovné poradie: najprv je lepšie zostrojiť všetky priame čiary (ak existujú) a len Potom– paraboly, hyperboly, grafy iných funkcií. Je výhodnejšie vytvárať grafy funkcií bod po bode, techniku ​​konštrukcie bod po bode nájdete v referenčnom materiáli Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Nájdete tam aj veľmi užitočný materiál pre našu lekciu - ako rýchlo postaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Nakreslíme výkres (všimnite si, že rovnica definuje os):

Nebudem liahnuť zakrivený lichobežník, tu je zrejmé, o akú oblasť ide hovoríme o. Riešenie pokračuje takto:

Na segmente sa nachádza graf funkcie nad osou, Preto:

odpoveď:

Kto má problémy s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newton-Leibnizovho vzorca , pozrite si prednášku Určitý integrál. Príklady riešení.

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade počítame počet buniek na výkrese „okom“ - no, bude ich asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak je zrejmé, že niekde sa stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak je odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami, a osami

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Čo robiť, ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod nápravou?

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.

Riešenie: Urobme kresbu:

Ak je umiestnený zakrivený lichobežník pod nápravou(alebo podľa najmenej, nie vyššie danú os), potom jeho plochu možno nájsť pomocou vzorca:
V tomto prípade:

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak vás požiadajú, aby ste jednoducho vyriešili určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve diskutovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa obrazca najčastejšie nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu rovinnej postavy ohraničenú čiarami , .

Riešenie: Najprv musíte dokončiť výkres. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvá metóda je analytická. Riešime rovnicu:

To znamená, že dolná hranica integrácie je , horná hranica integrácie je .
Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať..

Je oveľa výnosnejšie a rýchlejšie stavať čiary bod po bode a hranice integrácie sa vyjasnia „samo od seba“. Technika vytvárania bodov po bode pre rôzne grafy je podrobne popísaná v pomocníkovi Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo podrobná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime taký príklad.

Vráťme sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme výkres:

Opakujem, že pri bodovej konštrukcii sa hranice integrácie najčastejšie zisťujú „automaticky“.

A teraz pracovný vzorec : Ak je na segmente nejaká súvislá funkcia väčšie alebo rovné nejaká spojitá funkcia, potom oblasť obrázku ohraničená grafmi týchto funkcií a čiarami, možno nájsť pomocou vzorca:

Tu už nemusíte premýšľať o tom, kde sa postava nachádza - nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané, záleží, ktorý graf je VYŠŠIE(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý je DOLE.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Hotové riešenie môže vyzerať takto:

Požadovaná hodnota je obmedzená parabolou nad a priamkou pod ňou.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

v skutočnosti školská formula pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) – špeciálny prípad vzorce . Keďže os je určená rovnicou a graf funkcie je umiestnený nie vyššie osy teda

A teraz pár príkladov pre vlastné riešenie

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami , .

Pri riešení problémov s výpočtom plochy pomocou určitého integrálu sa niekedy stane vtipná príhoda. Kresba bola urobená správne, výpočty boli správne, ale kvôli neopatrnosti... bola nájdená oblasť nesprávneho obrázku, presne takto sa tvoj skromný sluha niekoľkokrát posral. Tu skutočný prípad zo života:

Príklad 7

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .

Riešenie: Najprv si urobme kresbu:

...Eh, kresba mi vyšla, ale všetko sa zdá byť čitateľné.

Postava, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou(pozorne sa pozrite na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi však v dôsledku nepozornosti často vzniká „závada“, že musíte nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelená!

Tento príklad je užitočný aj v tom, že vypočítava plochu obrazca pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:

1) Na segmente nad osou je graf priamky;

2) Na segmente nad osou je graf hyperboly.

Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:

odpoveď:

Prejdime k ďalšej zmysluplnej úlohe.

Príklad 8

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami,
Predstavme si rovnice v „školskej“ forme a urobme bod po bode:

Z nákresu je zrejmé, že naša horná hranica je „dobrá“: .
Ale aká je spodná hranica?! Je jasné, že to nie je celé číslo, ale čo to je? Možno ? Ale kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže sa dobre ukázať, že... Alebo koreň. Čo ak sme graf zostavili nesprávne?

V takýchto prípadoch musíte stráviť viac času a analyticky si ujasniť hranice integrácie.

Nájdite priesečníky priamky a paraboly.
Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:


,

Naozaj,.

Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znamienkach, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.

Na segmente , podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Na záver lekcie sa pozrime na dve zložitejšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , ,

Riešenie: Znázornime túto postavu na výkrese.

Sakra, zabudol som podpísať rozvrh a, prepáčte, nechcel som prerobiť obrázok. Nie je deň kreslenia, skrátka dnes je ten deň =)

Pre stavbu bod po bode potrebujete vedieť vzhľad sínusoidy (a všeobecne užitočné vedieť grafy všetkých elementárnych funkcií), ako aj niektoré sínusové hodnoty, možno ich nájsť v trigonometrická tabuľka. V niektorých prípadoch (ako v tomto prípade) je možné zostrojiť schematický nákres, na ktorom by mali byť grafy a limity integrácie zásadne správne zobrazené.

Tu nie sú žiadne problémy s limitmi integrácie, vyplývajú priamo z podmienky: „x“ sa mení z nuly na „pi“. Urobme ďalšie rozhodnutie:

Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto: