V „starých“ učebniciach sa tomu hovorí aj „reťazové“ pravidlo. Ak teda y = f (u) a u = φ (x), tj

y = f (φ (x))

komplexná – zložená funkcia (zloženie funkcií) vtedy

Kde , po výpočte sa uvažuje pri u = φ (x).

Všimnite si, že tu sme vzali „rôzne“ kompozície z rovnakých funkcií a výsledok diferenciácie sa prirodzene ukázal ako závislý od poradia „miešania“.

Reťazové pravidlo sa prirodzene rozširuje na kompozície troch alebo viacerých funkcií. V tomto prípade budú tri alebo viac „odkazov“ v „reťazci“, ktorý tvorí derivát. Tu je analógia s násobením: „máme“ tabuľku derivátov; „tam“ - násobiteľská tabuľka; „s nami“ je pravidlo reťaze a „tam“ je pravidlo násobenia „stĺpcov“. Pri výpočte takýchto „komplexných“ derivátov sa samozrejme nezavádzajú žiadne pomocné argumenty (u¸v atď.), Ale keď si sami všimnú počet a postupnosť funkcií zahrnutých v kompozícii, príslušné odkazy sú „navlečené“ v uvedenom poradí.

. Tu sa pomocou „x“ na získanie hodnoty „y“ vykoná päť operácií, to znamená, že existuje zloženie piatich funkcií: „vonkajšia“ (posledná z nich) - exponenciálna - e  ; potom v opačnom poradí, napájanie. (♦) 2; trigonometrický hriech(); upokojiť. () 3 a nakoniec logaritmické ln.(). Preto

S nasledujúcimi príkladmi „zabijeme pár vtákov jednou ranou“: precvičíme si diferenciáciu zložitých funkcií a doplníme si tabuľku derivácií elementárnych funkcií. Takže:

4. Pre mocninovú funkciu - y = x α - jej prepísanie pomocou známeho „zákl. logaritmická identita" - b = e ln b - v tvare x α = x α ln x dostaneme

5. Zadarmo exponenciálna funkcia pomocou rovnakej techniky, akú budeme mať

6. Pre ľubovoľnú logaritmickú funkciu pomocou známeho vzorca na prechod na nový základ dôsledne získame

.

7. Na diferenciáciu tangens (kotangens) používame pravidlo pre diferenciáciu kvocientov:

Na získanie derivácií inverzných goniometrických funkcií použijeme vzťah, ktorý je splnený deriváciami dvoch vzájomne inverzných funkcií, teda funkcií φ (x) a f (x) súvisiacich vzťahmi:

Toto je pomer

Je to z tohto vzorca pre vzájomne inverzné funkcie

A
,

Nakoniec zhrňme tieto a niektoré ďalšie deriváty, ktoré sa dajú tiež ľahko získať, v nasledujúcej tabuľke.

Keďže ste sem prišli, pravdepodobne ste už tento vzorec videli v učebnici

a urobte tvár takto:

Priateľ, neboj sa! V skutočnosti je všetko jednoducho poburujúce. Určite všetko pochopíte. Len jedna prosba - prečítajte si článok pomaly snažte sa pochopiť každý krok. Napísal som čo najjednoduchšie a najzrozumiteľnejšie, ale stále musíte pochopiť myšlienku. A nezabudnite vyriešiť úlohy z článku.

Čo je to komplexná funkcia?

Predstavte si, že sa sťahujete do iného bytu a preto balíte veci do veľkých krabíc. Predpokladajme, že potrebujete zbierať nejaké malé predmety, napríklad školské písacie potreby. Ak ich len hodíte do obrovskej krabice, okrem iného sa stratia. Aby ste tomu predišli, najskôr ich vložíte napríklad do vrecka, ktoré potom vložíte do veľkej škatule, ktorú následne zalepíte. Tento „komplexný“ proces je znázornený na obrázku nižšie:

Zdalo by sa, čo s tým má spoločné matematika? Áno, napriek tomu, že komplexná funkcia sa tvorí PRESNE ROVNAKÝM spôsobom! Len my „balíme“ nie zošity a perá, ale \(x\), pričom „balíky“ a „škatule“ sú odlišné.

Vezmime si napríklad x a „zabalíme“ ho do funkcie:

Výsledkom je, samozrejme, \(\cos⁡x\). Toto je naša „taška vecí“. Teraz to dáme do „škatule“ – zabalíme to napríklad do kubickej funkcie.

Čo sa nakoniec stane? Áno, je to tak, bude tam „taška vecí v škatuli“, to znamená „kosínus X na kocky“.

Výsledný dizajn je komplexná funkcia. V tom sa líši od jednoduchého NIEKOĽKO „vplyvov“ (balíčkov) sa aplikuje na jeden X v rade a ukáže sa, ako keby „funkcia z funkcie“ - „balenie v obale“.

V školskom kurze je veľmi málo typov týchto „balíčkov“, iba štyri:

Poďme teraz „zabaliť“ X najprv do exponenciálnej funkcie so základom 7 a potom do goniometrickej funkcie. Dostaneme:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Teraz „zabalíme“ X dvakrát do goniometrické funkcie, najprv v a potom v:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Jednoduché, však?

Teraz napíšte funkcie sami, kde x:
- najprv sa „zabalí“ do kosínusu a potom do exponenciálnej funkcie so základom \(3\);
- najprv k piatej mocnine a potom k dotyčnici;
- najprv na logaritmus so základňou \(4\) , potom na mocninu \(-2\).

Odpovede na túto úlohu nájdete na konci článku.

Môžeme „zbaliť“ X nie dva, ale trikrát? Žiaden problém! A štyri, päť a dvadsaťpäťkrát. Tu je napríklad funkcia, v ktorej je x „zbalené“ \(4\)-krát:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ale takéto vzorce sa v školskej praxi nenájdu (študenti majú viac šťastia - tí môžu byť komplikovanejší☺).

"Rozbalenie" komplexnej funkcie

Pozrite sa znova na predchádzajúcu funkciu. Dokážete zistiť poradie „balenia“? Do čoho sa X napchalo ako prvé, do čoho potom a tak ďalej až do úplného konca. To znamená, ktorá funkcia je vnorená do ktorej? Vezmite si kus papiera a napíšte, čo si myslíte. Môžete to urobiť retiazkou so šípkami ako sme písali vyššie alebo iným spôsobom.

Teraz je správna odpoveď: najprv sa x „zabalilo“ do \(4\)-tej mocniny, potom sa výsledok zabalil do sínusu a ten sa zasa umiestnil do logaritmu na základ \(2\) , a nakoniec sa celá táto konštrukcia napchala do silových pätiek.

To znamená, že musíte rozvinúť sekvenciu V OPAČNOM PORADÍ. A tu je rada, ako to urobiť jednoduchšie: okamžite sa pozrite na X – mali by ste z neho tancovať. Pozrime sa na pár príkladov.

Napríklad tu je nasledujúca funkcia: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Pozeráme sa na X – čo sa s ním stane ako prvé? Prevzaté od neho. A potom? Zoberie sa tangens výsledku. Postupnosť bude rovnaká:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Ďalší príklad: \(y=\cos⁡((x^3))\). Poďme analyzovať - ​​najprv sme X na kocky a potom vzali kosínus výsledku. To znamená, že postupnosť bude: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Venujte pozornosť, funkcia sa zdá byť podobná úplne prvej (kde má obrázky). Ale toto je úplne iná funkcia: tu v kocke je x (to znamená \(\cos⁡((x·x·x)))\) a tam v kocke je kosínus \(x\) ( tj \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Tento rozdiel vyplýva z rôznych „baliacich“ sekvencií.

Posledný príklad (s dôležitá informácia v ňom): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Je jasné, že tu najprv robili aritmetické operácie s x, potom vzali sínus výsledku: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). A to dôležitý bod: Napriek tomu, že aritmetické operácie nie sú samy osebe funkciami, tu fungujú aj ako spôsob „zbalenia“. Poďme sa ponoriť trochu hlbšie do tejto jemnosti.

Ako som povedal vyššie, v jednoduchých funkciách je x „zabalené“ raz a v zložitých funkciách - dva alebo viac. Navyše, každá kombinácia jednoduchých funkcií (to znamená ich súčet, rozdiel, násobenie alebo delenie) je tiež jednoduchou funkciou. Napríklad \(x^7\) je jednoduchá funkcia a rovnako aj \(ctg x\). To znamená, že všetky ich kombinácie sú jednoduché funkcie:

\(x^7+ ctg x\) - jednoduché,
\(x^7· postieľka x\) – jednoduché,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – jednoduché atď.

Ak sa však na takúto kombináciu použije ešte jedna funkcia, stane sa z nej komplexná funkcia, pretože budú existovať dva „balíky“. Pozri diagram:

Dobre, pokračuj. Napíšte postupnosť „baliacich“ funkcií:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odpovede sú opäť na konci článku.

Vnútorné a vonkajšie funkcie

Prečo musíme rozumieť vnoreniu funkcií? Čo nám to dáva? Faktom je, že bez takejto analýzy nebudeme schopní spoľahlivo nájsť deriváty vyššie uvedených funkcií.

A aby sme sa pohli ďalej, budeme potrebovať ešte dva pojmy: interné a externé funkcie. Je to veľmi jednoduchá vec, navyše sme ich už analyzovali vyššie: ak si spomenieme na našu analógiu na samom začiatku, potom je vnútorná funkcia „balíček“ a vonkajšia funkcia je „škatuľka“. Tie. to, v čom je X „zabalené“ ako prvé, je vnútorná funkcia a to, do čoho je „zabalená“ vnútorná funkcia, je už externé. No, je jasné prečo - je vonku, to znamená externe.

V tomto príklade: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcia \(\log_2⁡x\) je interná a
- vonkajší.

A v tomto: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je interné a
- vonkajší.

Dokončite posledný nácvik analýzy komplexných funkcií a prejdime konečne k tomu, s čím sme všetci začali – nájdeme deriváty komplexných funkcií:

Vyplňte prázdne miesta v tabuľke:

Derivácia komplexnej funkcie

Bravo, konečne sme sa dostali k „šéfovi“ tejto témy – vlastne derivátu komplexná funkcia, a konkrétne na tú veľmi hroznú formulku zo začiatku článku.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Tento vzorec znie takto:

Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie vonkajšej funkcie vzhľadom na konštantnú vnútornú funkciu a deriváciu vnútornej funkcie.

A okamžite sa pozrite na diagram analýzy podľa slov, aby ste pochopili, čo robiť s čím:

Dúfam, že výrazy „derivát“ a „produkt“ nespôsobujú žiadne ťažkosti. „Komplexná funkcia“ - už sme to vyriešili. Háčik je v „deriváte vonkajšej funkcie vzhľadom na konštantnú vnútornú funkciu“. Čo to je?

Odpoveď: Toto je obvyklá derivácia vonkajšej funkcie, pri ktorej sa mení iba vonkajšia funkcia a vnútorná zostáva rovnaká. Stále nie je jasné? Dobre, použime príklad.

Majme funkciu \(y=\sin⁡(x^3)\). Je jasné, že vnútorná funkcia je tu \(x^3\) a vonkajšia
. Nájdime teraz derivát exteriéru vzhľadom na konštantný interiér.

Prvá úroveň

Derivácia funkcie. Komplexný sprievodca (2019)

Predstavme si rovnú cestu prechádzajúcu kopcovitou oblasťou. To znamená, že ide hore a dole, ale nezatáča doprava ani doľava. Ak je os nasmerovaná horizontálne pozdĺž cesty a vertikálne, potom bude čiara cesty veľmi podobná grafu nejakej spojitej funkcie:

Os je určitá úroveň nulovej nadmorskej výšky; v živote ako to používame hladinu mora.

Keď sa po takejto ceste pohybujeme vpred, pohybujeme sa aj nahor alebo nadol. Môžeme tiež povedať: keď sa argument zmení (pohyb po vodorovnej osi), zmení sa hodnota funkcie (pohyb po zvislej osi). Teraz sa zamyslime nad tým, ako určiť „strmosť“ našej cesty? Aká by to mohla byť hodnota? Je to veľmi jednoduché: ako veľmi sa zmení výška pri pohybe vpred o určitú vzdialenosť. V skutočnosti na rôznych úsekoch cesty, keď sa posunieme vpred (pozdĺž osi x) o jeden kilometer, budeme stúpať alebo klesať o iný počet metrov v porovnaní s hladinou mora (pozdĺž osi y).

Označme pokrok (čítaj „delta x“).

Grécke písmeno (delta) sa bežne používa v matematike ako predpona s významom „zmena“. To je - to je zmena množstva, - zmena; čo je potom? Správne, zmena veľkosti.

Dôležité: výraz je jeden celok, jedna premenná. Nikdy neoddeľujte „delta“ od „x“ alebo akéhokoľvek iného písmena! To je napríklad .

Takže sme sa posunuli vpred, horizontálne, o. Ak porovnáme čiaru cesty s grafom funkcie, ako potom označíme stúpanie? Určite,. To znamená, že keď napredujeme, stúpame vyššie.

Hodnota sa dá ľahko vypočítať: ak sme na začiatku boli vo výške a po presťahovaní sme sa ocitli vo výške, potom. Ak je koncový bod nižšie ako začiatočný bod, bude záporný – to znamená, že nestúpame, ale klesáme.

Vráťme sa k „strmosti“: toto je hodnota, ktorá ukazuje, o koľko (strmšie) sa výška zväčší pri pohybe dopredu o jednu jednotku vzdialenosti:

Predpokladajme, že na niektorom úseku cesty sa pri posune vpred o kilometer cesta zdvihne o kilometer. Potom je sklon na tomto mieste rovnaký. A ak cesta pri pohybe vpred o m klesla o km? Potom je sklon rovnaký.

Teraz sa pozrime na vrchol kopca. Ak si vezmete začiatok úseku pol kilometra pred vrcholom a koniec pol kilometra za ním, môžete vidieť, že výška je takmer rovnaká.

To znamená, že podľa našej logiky sa ukazuje, že sklon je tu takmer rovný nule, čo zjavne nie je pravda. Len na vzdialenosť niekoľkých kilometrov sa môže veľa zmeniť. Pre adekvátnejšie a presnejšie posúdenie strmosti je potrebné zvážiť menšie plochy. Ak napríklad zmeriate zmenu výšky pri pohybe o jeden meter, výsledok bude oveľa presnejší. Ale ani táto presnosť nám nemusí stačiť – veď ak je v strede cesty stĺp, jednoducho ho prejdeme. Akú vzdialenosť by sme teda mali zvoliť? Centimeter? Milimeter? Menej je lepšie!

IN skutočný život Meranie vzdialeností s presnosťou na milimeter je viac než dosť. Ale matematici sa vždy snažia o dokonalosť. Preto bol vynájdený koncept nekonečne malý, to znamená, že absolútna hodnota je menšia ako akékoľvek číslo, ktoré vieme pomenovať. Napríklad poviete: jeden bilión! O koľko menej? A toto číslo vydelíte - a bude ešte menej. A tak ďalej. Ak chceme napísať, že množstvo je nekonečne malé, napíšeme takto: (čítame „x má tendenciu k nule“). Je veľmi dôležité pochopiť že toto číslo nie je nula! Ale veľmi blízko k tomu. To znamená, že ním môžete deliť.

Pojem opačný k nekonečne malému je nekonečne veľký (). Pravdepodobne ste sa s tým už stretli, keď ste pracovali na nerovnostiach: toto číslo je modulo väčšie ako akékoľvek číslo, ktoré si dokážete predstaviť. Ak prídete na najväčšie možné číslo, jednoducho ho vynásobte dvomi a dostanete ešte väčšie číslo. A nekonečno je ešte väčšie ako to, čo sa deje. V skutočnosti sú nekonečne veľké a nekonečne malé navzájom inverzné, teda at, a naopak: at.

Teraz sa vráťme na našu cestu. Ideálne vypočítaný sklon je sklon vypočítaný pre nekonečne malý segment cesty, to znamená:

Podotýkam, že pri nekonečne malom posune bude aj zmena výšky nekonečne malá. Dovoľte mi však pripomenúť, že nekonečne malý neznamená rovný nule. Ak rozdelíte nekonečne malé čísla navzájom, dostanete úplne obyčajné číslo, napríklad . To znamená, že jedna malá hodnota môže byť presne krát väčšia ako druhá.

Načo to všetko je? Cesta, strmosť... Nejdeme na automobilovú rely, ale učíme matematiku. A v matematike je všetko úplne rovnaké, len sa inak volá.

Koncept derivátu

Derivácia funkcie je pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu pre nekonečne malý prírastok argumentu.

Postupne v matematike nazývajú zmena. Rozsah, v akom sa argument () mení, keď sa pohybuje pozdĺž osi, sa nazýva prírastok argumentov a je určený.O koľko sa zmenila funkcia (výška) pri pohybe vpred pozdĺž osi o vzdialenosť sa nazýva prírastok funkcie a je určený.

Derivácia funkcie je teda pomer k kedy. Deriváciu označujeme rovnakým písmenom ako funkcia, len s prvočíslom vpravo hore: alebo jednoducho. Takže napíšme odvodený vzorec pomocou týchto zápisov:

Rovnako ako v analógii s cestou, aj tu, keď sa funkcia zvyšuje, derivácia je kladná, a keď klesá, je záporná.

Môže sa derivácia rovnať nule? určite. Napríklad, ak ideme po rovnej vodorovnej ceste, strmosť je nulová. A je pravda, že výška sa vôbec nemení. Tak je to aj s deriváciou: derivácia konštantnej funkcie (konštanta) sa rovná nule:

keďže prírastok takejto funkcie je rovný nule pre ľubovoľnú.

Spomeňme si na príklad z kopca. Ukázalo sa, že je možné usporiadať konce segmentu na opačných stranách vrcholu tak, aby výška na koncoch bola rovnaká, to znamená, že segment bol rovnobežný s osou:

Ale veľké segmenty sú znakom nepresného merania. Zdvihneme náš segment nahor rovnobežne so sebou, potom sa jeho dĺžka zníži.

Nakoniec, keď sme nekonečne blízko vrcholu, dĺžka segmentu bude nekonečne malá. Zároveň však zostal rovnobežný s osou, to znamená, že rozdiel vo výškach na jej koncoch je rovný nule (nemá tendenciu, ale rovná sa). Takže derivát

Dá sa to chápať takto: keď stojíme na samom vrchole, malý posun doľava alebo doprava zmení našu výšku zanedbateľne.

Existuje aj čisto algebraické vysvetlenie: vľavo od vrcholu sa funkcia zvyšuje a vpravo klesá. Ako sme už skôr zistili, keď funkcia rastie, derivácia je kladná, a keď klesá, je záporná. Mení sa ale plynulo, bez skokov (keďže cesta nikde prudko nemení sklon). Preto musia existovať záporné a kladné hodnoty. Bude to tam, kde sa funkcia ani nezväčšuje, ani neznižuje – v bode vrcholu.

To isté platí pre žľab (oblasť, kde funkcia vľavo klesá a vpravo sa zvyšuje):

Trochu viac o prírastkoch.

Takže zmeníme argument na veľkosť. Z akej hodnoty sa meníme? Čo sa z toho (argument) stalo teraz? Môžeme si vybrať ľubovoľný bod a teraz z neho budeme tancovať.

Zvážte bod so súradnicou. Hodnota funkcie v ňom je rovnaká. Potom urobíme rovnaký prírastok: zväčšíme súradnicu o. Aký je teraz argument? Veľmi ľahké: . Akú hodnotu má funkcia teraz? Kam smeruje argument, tam je aj funkcia: . A čo prírastok funkcie? Nič nové: toto je stále suma, o ktorú sa funkcia zmenila:

Precvičte si nájdenie prírastkov:

1. Nájdite prírastok funkcie v bode, v ktorom je prírastok argumentu rovný.
2. To isté platí pre funkciu v bode.

Riešenia:

V rôznych bodoch s rovnakým prírastkom argumentov bude prírastok funkcie odlišný. To znamená, že derivácia v každom bode je iná (rozoberali sme to úplne na začiatku – strmosť cesty je v rôznych bodoch rôzna). Preto, keď píšeme derivát, musíme uviesť, v ktorom bode:

Funkcia napájania.

Mocninná funkcia je funkcia, ktorej argument je do určitej miery (logický, však?).

Navyše - v akomkoľvek rozsahu: .

Najjednoduchší prípad je, keď je exponent:

Nájdite jeho derivát v bode. Pripomeňme si definíciu derivátu:

Takže argument sa mení z na. Aký je prírastok funkcie?

Prírastok je toto. Ale funkcia v ktoromkoľvek bode sa rovná jej argumentu. Preto:

Derivát sa rovná:

Derivácia sa rovná:

b) Teraz zvážte kvadratickej funkcie (): .

Teraz si to pripomeňme. To znamená, že hodnotu prírastku možno zanedbať, pretože je nekonečne malá, a preto je na pozadí druhého výrazu nevýznamná:

Tak sme prišli s ďalším pravidlom:

c) Pokračujeme v logickom rade: .

Tento výraz je možné zjednodušiť rôznymi spôsobmi: otvorte prvú zátvorku pomocou vzorca na skrátené násobenie kocky súčtu alebo celý výraz rozložte pomocou vzorca rozdielu kociek. Skúste to urobiť sami pomocou ktorejkoľvek z navrhovaných metód.

Takže som dostal nasledovné:

A opäť si to pripomeňme. To znamená, že môžeme zanedbať všetky výrazy obsahujúce:

Dostaneme: .

d) Podobné pravidlá možno získať pre veľké právomoci:

e) Ukazuje sa, že toto pravidlo možno zovšeobecniť pre mocninnú funkciu s ľubovoľným exponentom, dokonca ani nie celým číslom:

(2)

Pravidlo možno formulovať slovami: „stupeň sa posunie dopredu ako koeficient a potom sa zníži o .

Toto pravidlo si preukážeme neskôr (takmer na samom konci). Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov. Nájdite deriváciu funkcií:

1. (dvoma spôsobmi: vzorcom a pomocou definície derivácie - výpočtom prírastku funkcie);

1. . Verte alebo nie, toto je mocenská funkcia. Ak máte otázky typu „Ako to je? Kde je titul?“, zapamätajte si tému „“!
   Áno, áno, koreň je tiež stupeň, len zlomkový: .
   Takže náš Odmocnina- toto je len stupeň s indikátorom:
   .
   Hľadáme derivát pomocou nedávno naučeného vzorca:

   Ak to bude v tomto bode opäť nejasné, zopakujte tému „“!!! (asi stupeň so záporným exponentom)

2. . Teraz exponent:

   A teraz cez definíciu (ešte ste zabudli?):
   ;
   .
   Teraz, ako obvykle, zanedbávame výraz obsahujúci:
   .

3. . Kombinácia predchádzajúcich prípadov: .

Goniometrické funkcie.

Tu použijeme jeden fakt z vyššej matematiky:

S výrazom.

Dôkaz sa naučíte v prvom ročníku inštitútu (a aby ste sa tam dostali, musíte dobre zložiť jednotnú štátnu skúšku). Teraz to ukážem graficky:

Vidíme, že keď funkcia neexistuje - bod na grafe je vyrezaný. Ale čím bližšie k hodnote, tým bližšie je funkcia. To je to, čo je cieľom.

Toto pravidlo môžete navyše skontrolovať pomocou kalkulačky. Áno, áno, nehanbite sa, vezmite si kalkulačku, ešte nie sme na Jednotnej štátnej skúške.

Tak skúsme: ;

Nezabudnite si prepnúť kalkulačku do režimu Radians!

atď. Vidíme, že čím je menší, tým je hodnota pomeru bližšie.

a) Zvážte funkciu. Ako obvykle, nájdime jeho prírastok:

Premeňme rozdiel sínusov na produkt. Na tento účel používame vzorec (zapamätajte si tému „“): .

Teraz derivát:

Urobme náhradu: . Potom pre nekonečne malé je tiež nekonečne malé: . Výraz pre má tvar:

A teraz si to pamätáme s výrazom. A tiež, čo ak možno v súčte (teda at) zanedbať nekonečne malé množstvo.

Takže dostaneme nasledujúce pravidlo: derivácia sínusu sa rovná kosínusu:

Ide o základné („tabuľkové“) deriváty. Tu sú v jednom zozname:

Neskôr k nim pridáme niekoľko ďalších, no tieto sú najdôležitejšie, keďže sa používajú najčastejšie.

Cvičenie:

1. Nájdite deriváciu funkcie v bode;
2. Nájdite deriváciu funkcie.

Riešenia:

1. Najprv nájdime derivát v všeobecný pohľad a potom nahraďte jeho hodnotu:
   ;
   .
2. Tu máme niečo podobné výkonová funkcia. Skúsme ju priviesť
   normálny pohľad:
   .
   Skvelé, teraz môžete použiť vzorec:
   .
   .
3. . Eeeeeee.....Toto je čo????

Dobre, máte pravdu, zatiaľ nevieme, ako takéto deriváty nájsť. Tu máme kombináciu niekoľkých typov funkcií. Ak chcete s nimi pracovať, musíte sa naučiť niekoľko ďalších pravidiel:

Exponent a prirodzený logaritmus.

V matematike existuje funkcia, ktorej derivácia pre ľubovoľnú hodnotu sa zároveň rovná hodnote samotnej funkcie. Nazýva sa „exponent“ a je to exponenciálna funkcia

Základom tejto funkcie je konštanta – je nekonečná desiatkový, teda iracionálne číslo (ako napr.). Nazýva sa „Eulerovo číslo“, a preto je označené písmenom.

Takže, pravidlo:

Veľmi ľahko zapamätateľné.

No nechoďme ďaleko, pozrime sa na to hneď inverzná funkcia. Ktorá funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii? Logaritmus:

V našom prípade je základom číslo:

Takýto logaritmus (to znamená logaritmus so základom) sa nazýva „prirodzený“ a používame preň špeciálny zápis: namiesto toho píšeme.

Čomu sa to rovná? Samozrejme, .

Derivácia prirodzeného logaritmu je tiež veľmi jednoduchá:

Príklady:

1. Nájdite deriváciu funkcie.
2. Aká je derivácia funkcie?

Odpovede: Vystavovateľ a prirodzený logaritmus- funkcie sú z hľadiska derivácií jedinečne jednoduché. Exponenciálne a logaritmické funkcie s akoukoľvek inou bázou budú mať inú deriváciu, ktorú budeme analyzovať neskôr, keď si prejdeme pravidlá diferenciácie.

Pravidlá diferenciácie

Pravidlá čoho? Opäť nový termín, opäť?!...

Diferenciácia je proces hľadania derivátu.

To je všetko. Ako inak môžete nazvať tento proces jedným slovom? Nie derivácia... Matematici nazývajú diferenciál rovnakým prírastkom funkcie at. Tento výraz pochádza z latinského differentia – rozdiel. Tu.

Pri odvodzovaní všetkých týchto pravidiel použijeme dve funkcie, napríklad a. Budeme tiež potrebovať vzorce pre ich prírastky:

Celkovo existuje 5 pravidiel.

Konštanta je vyňatá z derivačného znamienka.

Ak - nejaké konštantné číslo (konštanta), potom.

Je zrejmé, že toto pravidlo funguje aj pre rozdiel: .

Poďme to dokázať. Nech je to tak, alebo jednoduchšie.

Príklady.

Nájdite deriváty funkcií:

1. v bode;
2. v bode;
3. v bode;
4. v bode.

Riešenia:

1. (derivát je vo všetkých bodoch rovnaký, pretože toto lineárna funkcia, pamätáš?);

Derivát produktu

Tu je všetko podobné: predstavme si novú funkciu a nájdime jej prírastok:

odvodený:

Príklady:

1. Nájdite derivácie funkcií a;
2. Nájdite deriváciu funkcie v bode.

Riešenia:

Derivácia exponenciálnej funkcie

Teraz sú vaše znalosti dostatočné na to, aby ste sa naučili nájsť deriváciu akejkoľvek exponenciálnej funkcie, a nielen exponentov (zabudli ste, čo to je?).

Takže, kde je nejaké číslo.

Deriváciu funkcie už poznáme, takže skúsme našu funkciu zredukovať na nový základ:

Na to použijeme jednoduché pravidlo: . potom:

No podarilo sa. Teraz skúste nájsť deriváciu a nezabudnite, že táto funkcia je zložitá.

Stalo?

Tu sa presvedčte:

Ukázalo sa, že vzorec je veľmi podobný derivátu exponentu: ako to bolo, zostáva rovnaký, objavil sa iba faktor, ktorý je len číslom, ale nie premennou.

Príklady:
Nájdite deriváty funkcií:

Odpovede:

To je len číslo, ktoré sa bez kalkulačky nedá vypočítať, teda nedá sa zapísať v jednoduchšej forme. Preto ho v odpovedi necháme v tejto podobe.

Derivácia logaritmickej funkcie

Tu je to podobné: deriváciu prirodzeného logaritmu už poznáte:

Preto nájsť ľubovoľný logaritmus s inou základňou, napríklad:

Tento logaritmus musíme zredukovať na základňu. Ako zmeníte základ logaritmu? Dúfam, že si pamätáte tento vzorec:

Len teraz namiesto toho napíšeme:

Menovateľ je jednoducho konštanta (konštantné číslo, bez premennej). Derivát sa získa veľmi jednoducho:

Deriváty exponenciálnych a logaritmických funkcií sa v jednotnej štátnej skúške takmer nikdy nenachádzajú, ale nebude zbytočné ich poznať.

Derivácia komplexnej funkcie.

Čo je to „komplexná funkcia“? Nie, toto nie je logaritmus ani arkustangens. Tieto funkcie môžu byť ťažko pochopiteľné (hoci ak sa vám zdá logaritmus ťažký, prečítajte si tému „Logaritmy“ a budete v poriadku), ale z matematického hľadiska slovo „komplexný“ neznamená „ťažký“.

Predstavte si malý dopravný pás: dvaja ľudia sedia a robia nejaké akcie s nejakými predmetmi. Napríklad prvý zabalí čokoládovú tyčinku do obalu a druhý ju previaže stuhou. Výsledkom je zložený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a previazaná stuhou. Ak chcete zjesť čokoládovú tyčinku, musíte vykonať opačné kroky v opačnom poradí.

Vytvorme podobný matematický reťazec: najprv nájdeme kosínus čísla a potom odmocnime výsledné číslo. Takže dostaneme číslo (čokoláda), nájdem jeho kosínus (obal) a potom utvoríte štvorec, čo som dostal (previažte to stuhou). Čo sa stalo? Funkcia. Toto je príklad komplexnej funkcie: keď na zistenie jej hodnoty vykonáme prvú akciu priamo s premennou a potom druhú akciu s tým, čo vyplynulo z prvej.

Rovnaké kroky môžeme jednoducho urobiť v opačnom poradí: najprv to odmocni a ja potom hľadám kosínus výsledného čísla: . Je ľahké uhádnuť, že výsledok bude takmer vždy iný. Dôležitá vlastnosť komplexných funkcií: keď sa zmení poradie akcií, funkcia sa zmení.

Inými slovami, komplexná funkcia je funkcia, ktorej argumentom je iná funkcia: .

Pre prvý príklad, .

Druhý príklad: (to isté). .

Akcia, ktorú urobíme ako posledná, bude zavolaná „vonkajšiu“ funkciu, a akcia vykonaná ako prvá - podľa toho „vnútorná“ funkcia(sú to neformálne názvy, používam ich len na vysvetlenie látky jednoduchým jazykom).

Skúste sami určiť, ktorá funkcia je externá a ktorá interná:

Odpovede: Oddelenie vnútorných a vonkajších funkcií je veľmi podobné zmene premenných: napríklad vo funkcii

1. Akú akciu vykonáme ako prvú? Najprv vypočítame sínus a až potom ho dáme na kocku. To znamená, že ide o vnútornú funkciu, ale vonkajšiu.
   A pôvodnou funkciou je ich zloženie: .
2. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .
3. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .
4. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .
5. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .

Zmeníme premenné a dostaneme funkciu.

Teraz vyberieme našu čokoládovú tyčinku a budeme hľadať derivát. Postup je vždy opačný: najprv hľadáme deriváciu vonkajšej funkcie, potom výsledok vynásobíme deriváciou vnútornej funkcie. Vo vzťahu k pôvodnému príkladu to vyzerá takto:

Ďalší príklad:

Takže konečne sformulujme oficiálne pravidlo:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

Zdá sa to jednoduché, však?

Pozrime sa na príklady:

Riešenia:

1) Interné: ;

Vonkajšie: ;

2) Interné: ;

(Len to teraz neskúšajte odstrihnúť! Spod kosínusu nič nevychádza, pamätáte?)

3) Interné: ;

Vonkajšie: ;

Hneď je jasné, že ide o trojúrovňovú komplexnú funkciu: veď toto je už sama o sebe zložitá funkcia a extrahujeme z nej aj koreň, čiže vykonáme tretiu akciu (čokoládu vložíme do zavinovačkou a so stuhou v kufríku). Nie je však dôvod na strach: túto funkciu budeme stále „rozbaľovať“ v rovnakom poradí ako obvykle: od konca.

To znamená, že najprv diferencujeme koreň, potom kosínus a až potom výraz v zátvorkách. A potom to všetko vynásobíme.

V takýchto prípadoch je vhodné akcie očíslovať. To znamená, predstavme si, čo vieme. V akom poradí vykonáme akcie na výpočet hodnoty tohto výrazu? Pozrime sa na príklad:

Čím neskôr sa akcia vykoná, tým „externejšia“ bude príslušná funkcia. Postupnosť akcií je rovnaká ako predtým:

Tu je hniezdenie vo všeobecnosti 4-úrovňové. Stanovme si postup.

1. Radikálne vyjadrenie. .

2. Koreň. .

3. Sínus. .

4. Štvorec. .

5. Daj to všetko dokopy:

DERIVÁT. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Derivácia funkcie- pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu pre nekonečne malý prírastok argumentu:

Základné deriváty:

Pravidlá rozlišovania:

Konštanta je vyňatá z derivačného znamienka:

Derivát súčtu:

Derivát produktu:

Derivát kvocientu:

Derivácia komplexnej funkcie:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

1. Definujeme „internú“ funkciu a nájdeme jej deriváciu.
2. Definujeme „vonkajšiu“ funkciu a nájdeme jej deriváciu.
3. Výsledky prvého a druhého bodu vynásobíme.

Riešenie fyzikálnych úloh alebo príkladov v matematike je úplne nemožné bez znalosti derivácie a metód na jej výpočet. Derivát je jedným z najdôležitejších pojmov v matematickej analýze. Dnešný článok sme sa rozhodli venovať tejto zásadnej téme. Čo je derivát, aký je jeho fyzikálny a geometrický význam ako vypočítať deriváciu funkcie? Všetky tieto otázky možno spojiť do jednej: ako porozumieť derivátu?

Geometrický a fyzikálny význam derivácie

Nech existuje funkcia f(x) , špecifikované v určitom intervale (a, b) . Do tohto intervalu patria body x a x0. Keď sa zmení x, zmení sa aj samotná funkcia. Zmena argumentu - rozdiel v jeho hodnotách x-x0 . Tento rozdiel je napísaný ako delta x a nazýva sa prírastok argumentov. Zmena alebo prírastok funkcie je rozdiel medzi hodnotami funkcie v dvoch bodoch. Definícia derivátu:

Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v danom bode k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule.

Inak sa to dá napísať aj takto:

Aký má zmysel nájsť takúto hranicu? A tu je to, čo to je:

derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla medzi osou OX a dotyčnici ku grafu funkcie v danom bode.

Fyzický význam derivát: derivácia dráhy vzhľadom na čas sa rovná rýchlosti priamočiareho pohybu.

V skutočnosti už od školských čias každý vie, že rýchlosť je osobitná cesta x=f(t) a čas t . priemerná rýchlosť na určitú dobu:

Ak chcete zistiť rýchlosť pohybu v danom okamihu t0 musíte vypočítať limit:

Pravidlo jedna: nastavte konštantu

Konštantu možno vyňať z derivačného znamienka. Okrem toho sa to musí urobiť. Pri riešení príkladov v matematike to berte ako pravidlo - Ak môžete zjednodušiť výraz, určite ho zjednodušte .

Príklad. Vypočítajme deriváciu:

Pravidlo dva: derivácia súčtu funkcií

Derivácia súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií. To isté platí pre deriváciu rozdielu funkcií.

Nebudeme dávať dôkazy o tejto vete, ale uvažujme skôr o praktickom príklade.

Nájdite deriváciu funkcie:

Pravidlo tri: derivácia súčinu funkcií

Derivácia súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa vypočíta podľa vzorca:

Príklad: nájdite deriváciu funkcie:

Riešenie:

Tu je dôležité hovoriť o výpočte derivátov komplexných funkcií. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie vzhľadom na stredný argument a derivácie stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Vo vyššie uvedenom príklade sa stretneme s výrazom:

V tomto prípade je stredný argument 8-násobok ku piatej mocnine. Aby sme mohli vypočítať deriváciu takéhoto výrazu, najprv vypočítame deriváciu externej funkcie vzhľadom na stredný argument a potom vynásobíme deriváciou samotného stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Pravidlo štyri: derivácia podielu dvoch funkcií

Vzorec na určenie derivácie podielu dvoch funkcií:

Snažili sme sa hovoriť o derivátoch pre figuríny od začiatku. Táto téma nie je taká jednoduchá, ako sa zdá, takže buďte upozornení: v príkladoch sa často vyskytujú úskalia, preto buďte opatrní pri výpočte derivátov.

S akýmikoľvek otázkami na túto a iné témy sa môžete obrátiť na študentský servis. vzadu krátkodobý Pomôžeme vám vyriešiť tie najťažšie testy a problémy, aj keď ste ešte nikdy nerobili derivačné výpočty.

A veta o derivácii komplexnej funkcie, ktorej formulácia je nasledovná:

Nech 1) funkcia $u=\varphi (x)$ má v určitom bode $x_0$ deriváciu $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funkcia $y=f(u)$ mať v zodpovedajúcom bode $u_0=\varphi (x_0)$ deriváciu $y_(u)"=f"(u)$. Potom bude mať aj komplexná funkcia $y=f\left(\varphi (x) \right)$ v spomínanom bode deriváciu rovnú súčinu derivácií funkcií $f(u)$ a $\varphi ( x) $:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

alebo v kratšom zápise: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

V príkladoch v tejto časti majú všetky funkcie tvar $y=f(x)$ (t. j. uvažujeme len funkcie jednej premennej $x$). Preto sa vo všetkých príkladoch derivácia $y"$ berie vzhľadom na premennú $x$. Aby sa zdôraznilo, že derivácia sa berie vzhľadom na premennú $x$, namiesto $y sa často píše $y"_x$ "$.

Príklady č. 1, č. 2 a č. 3 načrtávajú podrobný postup hľadania derivácie komplexných funkcií. Príklad č.4 je určený pre úplnejšie pochopenie derivačnej tabuľky a má zmysel sa s ňou oboznámiť.

Je vhodné po preštudovaní látky v príkladoch č.1-3 prejsť na samostatné riešenie príkladov č.5, č.6 a č.7. Príklady #5, #6 a #7 obsahujú krátke riešenie, aby si čitateľ mohol skontrolovať správnosť svojho výsledku.

Príklad č.1

Nájdite deriváciu funkcie $y=e^(\cos x)$.

Potrebujeme nájsť deriváciu komplexnej funkcie $y"$. Keďže $y=e^(\cos x)$, potom $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Ak chcete nájdite deriváciu $ \left(e^(\cos x)\right)"$ použijeme vzorec č.6 z tabuľky derivácií. Aby sme mohli použiť vzorec č. 6, musíme vziať do úvahy, že v našom prípade $u=\cos x$. Ďalšie riešenie spočíva v jednoduchom dosadení výrazu $\cos x$ namiesto $u$ do vzorca č. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Teraz musíme nájsť hodnotu výrazu $(\cos x)"$. Opäť sa obrátime na tabuľku derivácií a vyberieme z nej vzorec č. 10. Dosadením $u=x$ do vzorca č. 10 máme : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Teraz pokračujme v rovnosti (1.1) a doplňte ju o nájdený výsledok:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Keďže $x"=1$, pokračujeme v rovnosti (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Takže z rovnosti (1.3) máme: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Prirodzene, vysvetlenia a medziľahlé rovnosti sa zvyčajne preskakujú, pričom sa nájdenie derivácie zapíše do jedného riadku, ako v rovnosti ( 1.3) Takže derivácia komplexnej funkcie bola nájdená, ostáva už len zapísať odpoveď.

Odpoveď: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Príklad č.2

Nájdite deriváciu funkcie $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Musíme vypočítať deriváciu $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Na začiatok si všimneme, že konštantu (t. j. číslo 9) možno vyňať z derivačného znamienka:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Teraz prejdime k výrazu $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pre uľahčenie výberu požadovaného vzorca z tabuľky derivátov uvediem výraz dotyčný v tomto tvare: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Teraz je jasné, že je potrebné použiť vzorec č.2, t.j. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Nahraďte $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ a $\alpha=12$ do tohto vzorca:

Doplnením rovnosti (2.1) k získanému výsledku máme:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))“ \tag (2.2) $$

V tejto situácii sa často stáva chyba, keď riešiteľ v prvom kroku vyberie namiesto vzorca vzorec $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Ide o to, že derivácia vonkajšej funkcie musí byť na prvom mieste. Aby ste pochopili, ktorá funkcia bude externá voči výrazu $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, predstavte si, že počítate hodnotu výrazu $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ v nejakej hodnote $x$. Najprv vypočítate hodnotu $5^x$, potom výsledok vynásobíte 4, čím získate $4\cdot 5^x$. Teraz z tohto výsledku vezmeme arkustangens a získame $\arctg(4\cdot 5^x)$. Potom výsledné číslo zvýšime na dvanástu mocninu, čím dostaneme $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Posledná akcia, t.j. zvýšenie na silu 12,- a bude vonkajšia funkcia. A práve od toho musíme začať hľadať deriváciu, čo sa urobilo v rovnosti (2.2).

Teraz musíme nájsť $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Použijeme vzorec č. 19 z tabuľky derivátov, do ktorého dosadíme $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Výsledný výraz trochu zjednodušíme, berúc do úvahy $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Rovnosť (2.2) sa teraz zmení na:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))“=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Zostáva nájsť $(4\cdot \ln x)"$. Vyberme konštantu (t.j. 4) z derivačného znamienka: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Pre Na nájdenie $(\ln x)"$ použijeme vzorec č. 8, do ktorého nahradíme $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Keďže $x"=1$, potom $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Nahradením získaného výsledku do vzorca (2.3) dostaneme:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))“=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Pripomínam, že derivácia komplexnej funkcie sa najčastejšie nachádza v jednom riadku, ako je napísané v poslednej rovnosti. Preto pri príprave štandardných výpočtov resp testy Riešenie nie je vôbec potrebné tak podrobne popisovať.

Odpoveď: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Príklad č.3

Nájdite $y"$ funkcie $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Najprv trochu transformujme funkciu $y$, vyjadrime radikál (odmocninu) ako mocninu: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \vpravo)^(\frac(3)(7))$. Teraz začnime hľadať derivát. Keďže $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, potom:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Použijeme vzorec č. 2 z tabuľky derivátov, do ktorého dosadíme $u=\sin(5\cdot 9^x)$ a $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Pokračujme v rovnosti (3.1) s použitím získaného výsledku:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Teraz musíme nájsť $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Na to použijeme vzorec č. 9 z tabuľky derivátov, do ktorého dosadíme $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Po doplnení rovnosti (3.2) o získaný výsledok máme:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Zostáva nájsť $(5\cdot 9^x)"$. Najprv zoberme konštantu (číslo $5$) mimo derivačného znamienka, t.j. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Ak chcete nájsť derivát $(9^x)"$, použite vzorec č. 5 z tabuľky derivátov, pričom doň nahradíte $a=9$ a $u=x$: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Keďže $x"=1$, potom $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Teraz môžeme pokračovať v rovnosti (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Z mocností sa môžeme opäť vrátiť k radikálom (t. j. ku koreňom), písaním $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ v tvare $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Potom bude derivát zapísaný v tomto tvare:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Odpoveď: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Príklad č.4

Ukážte, že vzorce č. 3 a č. 4 tabuľky derivátov sú špeciálny prípad vzorca č. 2 tejto tabuľky.

Vzorec č.2 tabuľky derivácií obsahuje deriváciu funkcie $u^\alpha$. Dosadením $\alpha=-1$ do vzorca č. 2 dostaneme:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Keďže $u^(-1)=\frac(1)(u)$ a $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, možno rovnosť (4.1) prepísať takto: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Toto je vzorec č. 3 tabuľky derivátov.

Vráťme sa opäť k vzorcu č. 2 tabuľky derivátov. Dosaďte doň $\alpha=\frac(1)(2)$:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Pretože $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ a $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, potom možno rovnosť (4.2) prepísať takto:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Výsledná rovnosť $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ je vzorec č. 4 tabuľky derivácií. Ako vidíte, vzorce č. 3 a č. 4 z tabuľky derivátov sa získajú zo vzorca č. 2 dosadením zodpovedajúcej hodnoty $\alpha$.