V tem članku bomo analizirali množenje mešanih števil. Najprej bomo izrazili pravilo za množenje mešanih števil in razmislili o uporabi tega pravila pri reševanju primerov. V nadaljevanju bomo govorili o množenju mešanega in naravnega števila. Na koncu se bomo naučili izvajati množenje mešanega števila in navadni ulomek.

Navigacija po straneh.

Množenje mešanih števil.

Množenje mešanih števil lahko zmanjšamo na množenje navadnih ulomkov. Če želite to narediti, je dovolj, da pretvorite mešana števila v nepravilne ulomke.

Zapišimo pravilo množenja za mešana števila:

• Najprej je treba mešana števila, ki jih je treba pomnožiti, nadomestiti z nepravilnimi ulomki;
• Drugič, uporabiti morate pravilo množenja ulomka z ulomkom.

Razmislite o primerih uporabe tega pravila pri množenju mešanega števila z mešanim številom.

Izvedite mešano množenje števil in .

Najprej predstavimo pomnožena mešana števila kot nepravilne ulomke: in . Sedaj lahko zamenjamo množenje mešanih števil z množenjem navadnih ulomkov: . Z uporabo pravila množenja ulomkov dobimo . Nastali ulomek je nezmanjšljiv (glej pomanjšane in nezmanjšane ulomke), vendar je napačen (glej navadne in nepravilne ulomke), zato je za končni odgovor treba iz nepravilnega ulomka izluščiti celo število: .

Zapišimo celotno rešitev v eno vrstico: .

.

Za utrjevanje spretnosti množenja mešanih števil razmislite o rešitvi drugega primera.

Izvedite množenje.

Smešna števila in sta enaka ulomkoma 13/5 oziroma 10/9. Potem . Na tej stopnji je čas, da se spomnimo redukcije ulomkov: vsa števila v ulomku bomo zamenjali z njihovimi razširitvami v prafaktorje in izvedli redukcijo enakih faktorjev.

Množenje mešanega in naravnega števila

Po zamenjavi mešanega števila z nepravilnim ulomkom, množenje mešanega in naravnega števila se reducira na množenje navadnega ulomka in naravnega števila.

Pomnoži mešano število in naravno število 45 .

Mešano število je torej ulomek . Zamenjajmo števila v dobljenem ulomku z njihovimi razširitvami na prafaktorje, naredimo redukcijo, nato pa izberemo celoštevilski del: .

.

Množenje mešanega števila in naravnega števila je včasih priročno izvedeno z uporabo distribucijske lastnosti množenja glede na seštevanje. V tem primeru je zmnožek mešanega in naravnega števila enak vsoti zmnožkov celega dela in danega naravno število in ulomek danega naravnega števila, tj. .

Izračunajte produkt.

Mešano število nadomestimo z vsoto celega in ulomka, za tem pa uporabimo razdelilno lastnost množenja: .

Množenje mešanega števila in navadnega ulomka najprimerneje je zmanjšati na množenje navadnih ulomkov, ki predstavljajo pomnoženo mešano število kot nepravilni ulomek.

Mešano število pomnožite z navadnim ulomkom 4/15.

Če zamenjamo mešano število z ulomkom, dobimo .

www.cleverstudents.ru

Množenje ulomkov

§ 140. Definicije. 1) Množenje delnega števila s celim številom je definirano na enak način kot množenje celih števil, in sicer: pomnožiti neko število (množilec) s celim številom (faktorjem) pomeni sestaviti vsoto enakih členov, v kateri je vsak člen enak množitelju, število členov pa je enako množitelju.

Torej množenje s 5 pomeni iskanje vsote:
2) Pomnožiti neko število (množitelj) z ulomkom (množitelj) pomeni najti ta ulomek množitelja.

Tako bomo iskanje ulomka danega števila, ki smo ga obravnavali prej, zdaj imenovali množenje z ulomkom.

3) Pomnožiti neko število (množilec) z mešanim številom (faktorjem) pomeni, da množitelj najprej pomnožimo s celim številom faktorja, nato z ulomkom faktorja in rezultate teh dveh množenj seštejemo.

Na primer:

Število, dobljeno po množenju, se v vseh teh primerih imenuje delo, tj. na enak način kot pri množenju celih števil.

Iz teh definicij je razvidno, da je množenje ulomkov dejanje, ki je vedno možno in vedno nedvoumno.

§ 141. Primernost teh opredelitev. Da bi razumeli smotrnost uvedbe zadnjih dveh definicij množenja v aritmetiko, vzemimo naslednji problem:

Naloga. Vlak, ki se premika enakomerno, vozi 40 km na uro; kako ugotoviti, koliko kilometrov bo ta vlak prevozil v določenem številu ur?

Če bi ostali pri enaki definiciji množenja, ki je navedena v aritmetiki celih števil (seštevanje enakih členov), bi imel naš problem tri različne rešitve, in sicer:

Če je podano število ur celo število (na primer 5 ur), je treba za rešitev problema 40 km pomnožiti s tem številom ur.

Če je dano število ur izraženo kot ulomek (na primer ure), potem boste morali ugotoviti vrednost tega ulomka iz 40 km.

Končno, če je podano število ur mešano (na primer ur), bo treba 40 km pomnožiti s celim številom, ki ga vsebuje mešano število, in rezultatu dodati tak ulomek od 40 km, kot je v mešano število.

Definicije, ki smo jih podali, omogočajo vse to možni primeri podajte en splošen odgovor:

40 km je treba pomnožiti z danim številom ur, kakršno koli že je.

Torej, če je naloga predstavljena v splošni pogled Torej:

Vlak, ki se giblje enakomerno, vozi v km na uro. Koliko kilometrov bo vlak prevozil v t urah?

potem, ne glede na število v in t, lahko izrazimo en odgovor: želeno število je izraženo s formulo v · t.

Opomba. Iskanje nekega ulomka danega števila po naši definiciji pomeni isto kot množenje danega števila s tem ulomkom; zato na primer najti 5 % (tj. pet stotink) danega števila pomeni enako kot pomnožiti dano število z ali z; iskanje 125 % danega števila je enako kot množenje tega števila z ali z itd.

§ 142. Opomba o tem, kdaj se število poveča in kdaj zmanjša pri množenju.

Od množenja s pravim ulomkom se število zmanjša, od množenja z nepravilnim ulomkom pa se število poveča, če je ta nepravi ulomek večji od ena, in ostane nespremenjeno, če je enak ena.
Komentiraj. Pri množenju delnih števil, pa tudi celih števil, je produkt enak nič, če je kateri koli faktor enak nič, torej,.

§ 143. Izpeljava pravil množenja.

1) Množenje ulomka s celim številom. Naj bo ulomek pomnožen s 5. To pomeni, da se poveča za 5-krat. Če želite povečati ulomek za 5, je dovolj, da povečate njegov števec ali zmanjšate njegov imenovalec za 5-krat (§ 127).

Zato:
1. pravilo Če želite pomnožiti ulomek s celim številom, morate števec pomnožiti s tem celim številom in pustiti imenovalec enak; namesto tega lahko tudi imenovalec ulomka delite z danim celim številom (če je mogoče), števec pa pustite enak.

Komentiraj. Zmnožek ulomka in njegovega imenovalca je enak njegovemu števcu.

Torej:
2. pravilo. Če želite pomnožiti celo število z ulomkom, morate celo število pomnožiti s števcem ulomka in narediti ta produkt števec, imenovalec danega ulomka pa podpisati kot imenovalec.
3. pravilo Če želite pomnožiti ulomek z ulomkom, morate števec pomnožiti s števcem in imenovalec z imenovalcem in narediti prvi produkt števec, drugi pa imenovalec produkta.

Komentiraj. To pravilo lahko uporabimo tudi za množenje ulomka s celim številom in celega števila z ulomkom, če le celo število obravnavamo kot ulomek z imenovalcem ena. Torej:

Tako so tri zdaj navedena pravila vsebovana v enem, ki ga lahko na splošno izrazimo takole:
4) Množenje mešanih števil.

Pravilo 4. Če želite pomnožiti mešana števila, jih morate pretvoriti v nepravilne ulomke in nato pomnožiti v skladu s pravili za množenje ulomkov. Na primer:
§ 144. Zmanjšanje pri množenju. Pri množenju ulomkov je treba, če je mogoče, izvesti predhodno zmanjšanje, kot je razvidno iz naslednjih primerov:

Takšno zmanjšanje je mogoče narediti, ker se vrednost ulomka ne spremeni, če števec in imenovalec zmanjšamo za enako število krat.

§ 145. Sprememba produkta s spremembo faktorjev. Ko se faktorji spremenijo, se bo zmnožek ulomkov spremenil na popolnoma enak način kot zmnožek celih števil (§ 53), in sicer: če kateri koli faktor povečate (ali zmanjšate) večkrat, se bo zmnožek povečal (ali zmanjšal) za enak znesek.

Torej, če v primeru:
da bi pomnožili več ulomkov, je treba pomnožiti njihove števce med seboj in imenovalce med seboj in narediti prvi produkt števec, drugi pa imenovalec produkta.

Komentiraj. To pravilo lahko uporabimo tudi za take zmnožke, v katerih so nekateri faktorji števila celi ali mešani, če le celo število obravnavamo kot ulomek, katerega imenovalec je ena, in mešana števila spremenimo v neprave ulomke. Na primer:
§ 147. Osnovne lastnosti množenja. K množenju ulomkov spadajo tudi tiste lastnosti množenja, ki smo jih navedli pri celih številih (§ 56, 57, 59). Določimo te lastnosti.

1) Zmnožek se ne spremeni s spreminjanjem mest faktorjev.

Na primer:

Dejansko je po pravilu prejšnjega odstavka prvi produkt enak ulomku, drugi pa ulomku. Toda ti ulomki so enaki, ker se njihovi člani razlikujejo le po vrstnem redu celih faktorjev, produkt celih števil pa se ne spremeni, ko faktorji zamenjajo mesta.

2) Produkt se ne bo spremenil, če katerokoli skupino dejavnikov nadomesti njihov produkt.

Na primer:

Rezultati so enaki.

Iz te lastnosti množenja lahko izpeljemo naslednji sklep:

če želite neko število pomnožiti z zmnožkom, lahko to število pomnožite s prvim faktorjem, dobljeno število pomnožite z drugim in tako naprej.

Na primer:
3) Distributivni zakon množenja (glede na seštevanje). Če želite vsoto pomnožiti z nekim številom, lahko vsak člen posebej pomnožite s tem številom in rezultate seštejete.

Ta zakon smo razložili mi (§ 59) v uporabi za cela števila. Za ulomka ostane brez sprememb.

Pokažimo dejansko, da je enakost

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(distribucijski zakon množenja glede na seštevanje) ostane resničen, tudi če črke pomenijo ulomkov. Razmislimo o treh primerih.

1) Predpostavimo, da je faktor m celo število, na primer m = 3 (a, b, c so poljubna števila). V skladu z definicijo množenja s celim številom lahko zapišemo (zaradi preprostosti omejeno na tri izraze):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Na podlagi asociativnega zakona seštevanja lahko izpustimo vse oklepaje na desni strani; z uporabo komutativnega zakona seštevanja in nato spet asociativnega, lahko očitno prepišemo desna stran Torej:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Torej je distribucijski zakon v tem primeru potrjen.

Množenje in deljenje ulomkov

Zadnjič smo se naučili seštevati in odštevati ulomke (glej lekcijo "Seštevanje in odštevanje ulomkov"). Najtežji trenutek v teh akcijah je bilo spravljanje ulomkov na skupni imenovalec.

Zdaj je čas, da se ukvarjamo z množenjem in deljenjem. Dobra novica je, da so te operacije celo lažje kot seštevanje in odštevanje. Za začetek razmislimo o najpreprostejšem primeru, ko obstajata dva pozitivna ulomka brez ločenega celega dela.

Če želite pomnožiti dva ulomka, morate ločeno pomnožiti njune števce in imenovalce. Prvo število bo števec novega ulomka, drugo pa imenovalec.

Če želite razdeliti dva ulomka, morate prvi ulomek pomnožiti z "obrnjenim" drugim.

Iz definicije sledi, da se deljenje ulomkov zmanjša na množenje. Če želite obrniti ulomek, preprosto zamenjajte števec in imenovalec. Zato bomo celotno lekcijo obravnavali predvsem množenje.

Kot posledica množenja lahko nastane (in pogosto nastane) zmanjšan ulomek - seveda ga je treba zmanjšati. Če se je po vseh zmanjšanjih ulomek izkazal za napačnega, je treba v njem ločiti celoten del. Toda tisto, kar se točno ne bo zgodilo z množenjem, je redukcija na skupni imenovalec: brez navzkrižnih metod, maksimalnih faktorjev in najmanjših skupnih večkratnikov.

Po definiciji imamo:

Množenje ulomkov s celim delom in negativnimi ulomki

Če je v ulomkih celo število, jih je treba pretvoriti v nepravilne - in šele nato pomnožiti v skladu z zgoraj navedenimi shemami.

Če je v števcu ulomka, v imenovalcu ali pred njim minus, ga lahko vzamemo iz meja množenja ali popolnoma odstranimo po naslednjih pravilih:

1. Plus krat minus daje minus;
2. Dve nikalnici pomenita pritrdilno.

Doslej smo ta pravila srečali le pri seštevanju in odštevanju. negativni ulomki ko se je bilo treba znebiti celotnega dela. Za izdelek jih je mogoče posplošiti, da bi "zažgali" več minusov hkrati:

1. Minuse v parih prečrtamo, dokler popolnoma ne izginejo. V skrajnem primeru lahko preživi en minus - tisti, ki ni našel ujemanja;
2. Če ni več minusov, je operacija končana - lahko začnete množiti. Če zadnji minus ni prečrtan, ker ni našel para, ga vzamemo iz meja množenja. Dobiš negativni ulomek.

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Vse ulomke prevedemo v neprave, nato pa minuse izločimo izven meja množenja. Kar ostane, se pomnoži po običajnih pravilih. Dobimo:

Naj vas še enkrat spomnim, da se minus pred ulomkom s poudarjenim celim delom nanaša prav na celoten ulomek in ne le na njegov celoštevilski del (to velja za zadnja dva primera).

Bodite pozorni tudi na negativna števila: Pri množenju so v oklepajih. To se naredi zato, da ločimo minuse od znakov za množenje in naredimo celoten zapis natančnejši.

Zmanjševanje ulomkov sproti

Množenje je zelo naporna operacija. Številke tukaj so precej velike in za poenostavitev naloge lahko poskusite ulomek še bolj zmanjšati pred množenjem. V bistvu so števci in imenovalci ulomkov navadni faktorji, zato jih je mogoče zmanjšati z uporabo osnovne lastnosti ulomka. Oglejte si primere:

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Po definiciji imamo:

V vseh primerih so z rdečo označena števila, ki so bila zmanjšana, in tisto, kar je od njih ostalo.

Opomba: v prvem primeru so bili množitelji popolnoma zmanjšani. Na svojem mestu so ostale enote, ki jih na splošno lahko izpustimo. V drugem primeru ni bilo mogoče doseči popolnega zmanjšanja, vendar se je skupna količina izračunov vseeno zmanjšala.

Vendar te tehnike v nobenem primeru ne uporabljajte pri seštevanju in odštevanju ulomkov! Da, včasih so podobne številke, ki jih želite samo zmanjšati. Tukaj, poglej:

Tega ne smeš!

Napaka nastane zaradi dejstva, da se pri seštevanju ulomka v števcu ulomka pojavi vsota in ne produkt števil. Zato je nemogoče uporabiti glavno lastnost ulomka, saj v tej lastnosti pogovarjamo se Gre za množenje števil.

Preprosto ni drugega razloga za zmanjševanje ulomkov, zato je pravilna rešitev prejšnjega problema videti takole:

Kot lahko vidite, se pravilni odgovor ni izkazal za tako lepega. Na splošno bodite previdni.

Množenje ulomkov.

Če želite pravilno pomnožiti ulomek z ulomkom ali ulomek s številom, morate vedeti preprosta pravila. Zdaj bomo ta pravila podrobno analizirali.

Množenje ulomka z ulomkom.

Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate izračunati zmnožek števcev in zmnožek imenovalcev teh ulomkov.

Razmislite o primeru:
Števec prvega ulomka pomnožimo s števcem drugega ulomka, pomnožimo pa tudi imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka.

Množenje ulomka s številom.

Začnimo s pravilom poljubno število je mogoče predstaviti kot ulomek \(\bf n = \frac \) .

Uporabimo to pravilo za množenje.

Nepravilni ulomek \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) je bil pretvorjen v mešani ulomek.

Z drugimi besedami, Ko množite število z ulomkom, pomnožite število s števcem in pustite imenovalec nespremenjen. primer:

Množenje mešanih ulomkov.

Če želite pomnožiti mešane ulomke, morate vsak mešani ulomek najprej predstaviti kot nepravilni ulomek in nato uporabiti pravilo množenja. Števec pomnožimo s števcem, imenovalec pomnožimo z imenovalcem.

Množenje recipročnih ulomkov in števil.

Povezana vprašanja:
Kako pomnožiti ulomek z ulomkom?
Odgovor: zmnožek navadnih ulomkov je množenje števca s števcem, imenovalca z imenovalcem. Da dobim delo mešane frakcije jih morate pretvoriti v nepravilni ulomek in pomnožiti v skladu s pravili.

Kako pomnožiti ulomke z različnimi imenovalci?
Odgovor: ni pomembno ali sta enaka oz različne imenovalce pri ulomkih se množenje izvaja po pravilu iskanja produkta števca s števcem, imenovalca z imenovalcem.

Kako pomnožiti mešane ulomke?
Odgovor: najprej morate mešani ulomek pretvoriti v nepravi ulomek in nato poiskati produkt po pravilih množenja.

Kako pomnožiti število z ulomkom?
Odgovor: Število pomnožimo s števcem, imenovalec pustimo enak.

Primer #1:
Izračunajte zmnožek: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

Primer #2:
Izračunajte zmnožek števila in ulomka: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)

Primer #3:
Zapišite recipročno vrednost ulomka \(\frac \)?
Odgovor: \(\frac = 3\)

Primer #4:
Izračunajte zmnožek dveh recipročnih vrednosti: a) \(\frac \times \frac \)

Primer #5:
Ali so lahko medsebojno inverzni ulomki:
a) oba prava ulomka;
b) hkrati nepravi ulomki;
c) naravna števila hkrati?

rešitev:
a) Za odgovor na prvo vprašanje uporabimo primer. Ulomek \(\frac \) je pravilen, njegova recipročna vrednost bo enaka \(\frac \) - nepravilni ulomek. Odgovor: ne.

b) pri skoraj vseh naštevanjih ulomkov ta pogoj ni izpolnjen, so pa nekatera števila, ki izpolnjujejo pogoj, da so hkrati nepravi ulomek. Na primer, nepravi ulomek je \(\frac \) , njegova recipročna vrednost je \(\frac \). Dobimo dva neprava ulomka. Odgovor: ne vedno pod določenimi pogoji, ko sta števec in imenovalec enaka.

c) naravna števila so števila, ki jih uporabljamo pri štetju, na primer 1, 2, 3, .... Če vzamemo število \(3 = \frac \), bo njegova recipročna vrednost \(\frac \). Ulomek \(\frac \) ni naravno število. Če gremo skozi vsa števila, je recipročna vrednost vedno ulomek, razen 1. Če vzamemo število 1, bo njena recipročna vrednost \(\frac = \frac = 1\). Število 1 je naravno število. Odgovor: so lahko hkrati naravna števila le v enem primeru, če je to število 1.

Primer #6:
Izvedite zmnožek mešanih ulomkov: a) \(4 \krat 2\frac \) b) \(1\frac \krat 3\frac \)

rešitev:
a) \(4 \krat 2\frac = \frac \krat \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

Primer #7:
Ali sta lahko dve recipročni števili hkrati mešani števili?

Poglejmo si primer. Vzemimo mešani ulomek \(1\frac \), poiščimo njegovo recipročno vrednost, za to ga prevedemo v nepravi ulomek \(1\frac = \frac \) . Njegova recipročna vrednost bo enaka \(\frac \) . Ulomek \(\frac \) je pravi ulomek. Odgovor: Dva medsebojno inverzna ulomka ne moreta biti hkrati mešana števila.

Množenje decimalke z naravnim številom

Predstavitev za lekcijo

Pozor! Predogled diapozitiva je zgolj informativne narave in morda ne predstavlja celotnega obsega predstavitve. Če vas zanima to delo prenesite polno različico.

• Na zabaven način učence seznanite s pravilom množenja decimalnega ulomka z naravnim številom, z bitno enoto in pravilom izražanja decimalnega ulomka v odstotkih. Razviti sposobnost uporabe pridobljenega znanja pri reševanju primerov in problemov.
• Razvijte in aktivirajte logično razmišljanje učenci, zmožnost prepoznavanja vzorcev in posploševanja le-teh, krepitev spomina, zmožnost sodelovanja, pomoči, vrednotenja svojega in dela drug drugega.
• Gojiti zanimanje za matematiko, aktivnost, mobilnost, sposobnost komuniciranja.

Oprema: interaktivna tabla, plakat s šifrogramom, plakati z izjavami matematikov.

1. Organiziranje časa.
2. Ustno štetje je posploševanje predhodno preučenega gradiva, priprava na študij novega materiala.
3. Razlaga nove snovi.
4. Domača naloga.
5. Matematična fizična vzgoja.
6. Posploševanje in sistematizacija pridobljenega znanja pri igralno obliko uporabo računalnika.
7. Ocenjevanje.

2. Fantje, današnja lekcija bo nekoliko nenavadna, saj je ne bom preživel sam, ampak s prijateljem. In moj prijatelj je tudi nenavaden, zdaj ga boste videli. (Na zaslonu se prikaže risani računalnik.) Moj prijatelj ima ime in lahko govori. Kako ti je ime, prijatelj? Komposha odgovori: "Ime mi je Komposha." Ste mi danes pripravljeni pomagati? DA! No, potem pa začnimo z lekcijo.

Danes sem prejel šifriran šifrat, fantje, ki ga moramo rešiti in dešifrirati skupaj. (Na tabli je objavljen plakat z ustnim računom za seštevanje in odštevanje decimalnih ulomkov, zaradi česar fantje dobijo naslednjo kodo 523914687. )

Komposha pomaga dešifrirati prejeto kodo. Kot rezultat dekodiranja dobimo besedo MNOŽENJE. Množenje je ključna beseda teme današnje lekcije. Na monitorju je prikazana tema lekcije: "Množenje decimalnega ulomka z naravnim številom"

Fantje, vemo, kako poteka množenje naravnih števil. Danes si bomo ogledali množenje. decimalna števila na naravno število. Množenje decimalnega ulomka z naravnim številom lahko obravnavamo kot vsoto členov, od katerih je vsak enak temu decimalnemu ulomku, število členov pa je enako temu naravnemu številu. Na primer: 5,21 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Torej 5,21 3 = 15,63. Če 5,21 predstavimo kot navaden ulomek naravnega števila, dobimo

In v tem primeru smo dobili enak rezultat 15,63. Sedaj pa ne upoštevajmo vejice, namesto števila 5,21 vzemimo število 521 in pomnožimo z danim naravnim številom. Pri tem ne smemo pozabiti, da je pri enem izmed faktorjev vejica premaknjena za dve mesti v desno. Pri množenju števil 5, 21 in 3 dobimo produkt, ki je enak 15,63. Zdaj bomo v tem primeru premaknili vejico v levo za dve števki. Torej, za kolikokrat se je eden od faktorjev povečal, za tolikokrat se je produkt zmanjšal. Na podlagi podobnih točk teh metod naredimo sklep.

Pomnožiti decimalno do naravnega števila, potrebujete:
1) brez upoštevanja vejice izvedite množenje naravnih števil;
2) v dobljenem zmnožku ločite z vejico na desni strani toliko znakov, kolikor jih je v decimalnem ulomku.

Na monitorju so prikazani naslednji primeri, ki jih analiziramo skupaj s Komposho in fanti: 5,21 3 = 15,63 in 7,624 15 = 114,34. Ko pokažem množenje z okroglim številom 12,6 50 \u003d 630. Nato se posvetim množenju decimalnega ulomka z bitno enoto. Prikazujem naslednje primere: 7,423 100 \u003d 742,3 in 5,2 1000 \u003d 5200. Torej, uvedem pravilo za množenje decimalnega ulomka z bitno enoto:

Če želite decimalni ulomek pomnožiti z bitnimi enotami 10, 100, 1000 itd., je treba v tem ulomku premakniti vejico v desno za toliko števk, kolikor je ničel v zapisu bitne enote.

Razlago končam z izrazom decimalnega ulomka v odstotkih. Vpišem pravilo:

Če želite izraziti decimalko kot odstotek, jo pomnožite s 100 in dodajte znak %.

Dajem primer na računalniku 0,5 100 = 50 ali 0,5 = 50%.

4. Na koncu razlage dam fantom domačo nalogo, ki je prikazana tudi na računalniškem monitorju: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Da se fantje malo odpočijejo, utrdimo temo, skupaj s Kompošo opravimo matematično telesno vzgojo. Vsi vstanejo, razredu pokažejo rešene primere in morajo odgovoriti, ali je primer pravilen ali nepravilen. Če je primer pravilno rešen, potem dvignejo roke nad glavo in tlesknejo z dlanmi. Če primer ni pravilno rešen, fantje iztegnejo roke vstran in gnetejo prste.

6. In zdaj imate malo počitka, lahko rešite naloge. Odprite učbenik na strani 205, № 1029. v tej nalogi je potrebno izračunati vrednost izrazov:

Opravila se prikažejo na računalniku. Ko jih rešijo, se pojavi slika s podobo čolna, ki, ko je popolnoma sestavljen, odpluje.

Pri reševanju te naloge na računalniku se raketa postopoma razvija, pri reševanju zadnjega primera pa raketa odleti. Učitelj učencem poda nekaj informacij: »Vsako leto iz kazahstanske dežele s kozmodroma Bajkonur vzletite do zvezd. vesoljske ladje. V bližini Baikonurja v Kazahstanu gradijo svoj novi kozmodrom Baiterek.

Koliko bo avto prevozil v 4 urah, če je hitrost avtomobila 74,8 km/h.

Darilni bon Ne veste kaj podariti svoji sorodni duši, prijateljem, zaposlenim, sorodnikom? Izkoristite našo posebno ponudbo: »Darilni bon hotela Blue Osoka Country Hotel« Certifikat […]

Zamenjava števca za plin: pravila o stroških in zamenjavi, življenjska doba, seznam dokumentov. Vsak lastnik nepremičnine je zainteresiran za kakovostno delovanje števca za plin. Če ga ne zamenjate pravočasno, potem [...]

Otroški dodatki v Krasnodarju in Krasnodarskem ozemlju leta 2018 Prebivalstvo toplega (v primerjavi z mnogimi drugimi regijami Rusije) Kubana nenehno narašča zaradi migracij in povečanja rodnosti. Vendar avtoritete predmeta […]

Invalidska pokojnina za vojaške osebe v letu 2018 Služenje vojaškega roka je dejavnost, za katero so značilna posebna tveganja za zdravje. Ker zakon Ruska federacija pod pogojem posebni pogoji vzdrževanje invalidov, […]

Otroški dodatki v Samari in regiji Samara v letu 2018 Dodatki za mladoletnike v regiji Samara so namenjeni državljanom, ki vzgajajo predšolske otroke in študente. Pri dodeljevanju sredstev ne le […]

Pokojninsko zavarovanje prebivalcev Krasnodarja in Krasnodarskega ozemlja v letu 2018 Invalidi, ki jih zakon priznava kot take, prejemajo materialno podporo države. Pretvarjati se proračunska sredstva […]

Pokojninsko zavarovanje za prebivalce Čeljabinska in Čeljabinska regija leta 2018 Pri določeni starosti so državljani upravičeni do pokojnine. Je različno in pogoji imenovanja so različni. Npr. […]

Otroški dodatki v moskovski regiji leta 2018 Socialna politika moskovske regije je usmerjena v prepoznavanje družin, ki potrebujejo dodatno podporo iz državne blagajne. Zvezni podporni ukrepi za družine z otroki v letu 2018 […]

Množenje navadnih ulomkov bomo obravnavali na več možnih načinov.

Množenje ulomka z ulomkom

To je najpreprostejši primer, v katerem morate uporabiti naslednje pravila množenja ulomkov.

Za pomnožiti ulomek z ulomkom, potrebno:

• števec prvega ulomka pomnožijo s števcem drugega ulomka in njun produkt zapišejo v števec novega ulomka;
• pomnožijo imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka in zapišejo njun produkt v imenovalec novega ulomka;

Pred množenjem števcev in imenovalcev preverite, ali je mogoče ulomke skrajšati. Zmanjševanje ulomkov v izračunih vam bo močno olajšalo izračune.



Množenje ulomka z naravnim številom

Na ulomek pomnožimo z naravnim številomštevec ulomka morate pomnožiti s tem številom, imenovalec ulomka pa pustiti nespremenjen.

Če je rezultat množenja nepravilen ulomek, ga ne pozabite spremeniti v mešano število, torej izberite cel del.



Množenje mešanih števil

Če želite pomnožiti mešana števila, jih morate najprej pretvoriti v neprave ulomke in nato množiti po pravilu za množenje navadnih ulomkov.



Drug način za množenje ulomka z naravnim številom

Včasih je pri izračunih bolj priročno uporabiti drugačen način množenja navadnega ulomka s številom.

Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate imenovalec ulomka deliti s tem številom, števec pa pustiti enak.



Kot je razvidno iz primera, je to različico pravila bolj priročno uporabiti, če je imenovalec ulomka brez ostanka deljiv z naravnim številom.

Dejanja z ulomki

Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Seštevanje ulomkov je dveh vrst:

• Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
• Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Začnimo s seštevanjem ulomkov z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen. Na primer, seštejmo ulomke in . Števce seštejemo, imenovalec pustimo nespremenjen:



Ta primer zlahka razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na štiri dele. Če dodate pico k pici, dobite pico:

Primer 2 Seštejte ulomke in.

Še enkrat seštejte števce in pustite imenovalec nespremenjen:



Odgovor je nepravilen ulomek. Če pride do konca naloge, je običajno, da se znebite nepravilnih ulomkov. Če se želite znebiti nepravilnega ulomka, morate v njem izbrati cel del. V našem primeru se celoštevilski del enostavno dodeli - dva deljeno z dva je enako ena:



Ta primer zlahka razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na dva dela. Če pici dodate več pic, dobite eno celo pico:

Primer 3. Seštejte ulomke in.



Ta primer zlahka razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na tri dele. Če pici dodate več pic, dobite pice:

Primer 4 Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Števce je treba sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen:

Poskusimo našo rešitev prikazati s sliko. Če dodate pico k pici in dodate še več pic, dobite 1 celo pico in več pic.

Kot lahko vidite, seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci ni težko. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite dodati ulomke z enakim imenovalcem, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti enak;
2. Če se je izkazalo, da je odgovor nepravilen ulomek, morate v njem izbrati cel del.

Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Zdaj se bomo naučili seštevati ulomke z različnimi imenovalci. Pri seštevanju ulomkov morata biti imenovalca teh ulomkov enaka. Niso pa vedno enaki.

Na primer, ulomke je mogoče sešteti, ker imajo enake imenovalce.

Toda ulomkov ni mogoče sešteti naenkrat, ker imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Obstaja več načinov za zmanjšanje ulomkov na isti imenovalec. Danes bomo obravnavali le enega od njih, saj se lahko preostale metode začetniku zdijo zapletene.

Bistvo te metode je v tem, da se najprej poišče najmanjši skupni večkratnik (LCM) imenovalcev obeh ulomkov. Nato LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor. Enako naredijo z drugim ulomkom - NOC delijo z imenovalcem drugega ulomka in dobijo drugi dodatni faktor.

Nato se števci in imenovalci ulomkov pomnožijo z njihovimi dodatnimi faktorji. Zaradi teh dejanj se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati.

Primer 1. Dodajte ulomke in

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate pripeljati na isti (skupni) imenovalec.

Najprej poiščemo najmanjši skupni večkratnik imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 2. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 6

LCM (2 in 3) = 6

Zdaj pa nazaj k ulomkom in . Najprej LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 6 delimo s 3, dobimo 2.

Dobljeno število 2 je prvi dodatni faktor. Zapišemo ga do prvega ulomka. Da bi to naredili, naredimo majhno poševno črto nad ulomkom in nad njim zapišemo najdeni dodatni faktor:

Enako storimo z drugim ulomkom. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec drugega ulomka pa je število 2. 6 delimo z 2, dobimo 3.

Dobljeno število 3 je drugi dodatni faktor. Zapišemo ga v drugi ulomek. Ponovno naredimo majhno poševno črto nad drugim ulomkom in nad njim zapišemo najdeni dodatni faktor:

Zdaj smo pripravljeni na dodajanje. Ostaja še pomnožiti števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji:



Poglejte natančno, do česa smo prišli. Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati. Dopolnimo ta primer do konca:



Tako se primer konča. Če želite dodati, se izkaže.

Poskusimo našo rešitev prikazati s sliko. Če pici dodaš pice, dobiš eno celo pico in še eno šestino pice:

Zmanjševanje ulomkov na isti (skupni) imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Če ulomke in združimo na skupni imenovalec, dobimo ulomke in . Ti dve frakciji bosta predstavljali enaki kosi pice. Razlika bo le v tem, da bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zreducirani na isti imenovalec).



Prva risba prikazuje ulomek (štirje kosi od šestih), druga slika pa ulomek (trije kosi od šestih). Če te kose sestavimo skupaj, dobimo (sedem kosov od šestih). Ta ulomek ni pravilen, zato smo v njem poudarili celoštevilski del. Rezultat je bil (ena cela pica in še ena šesta pica).

Upoštevajte, da smo ta primer naslikali preveč podrobno. V izobraževalnih ustanovah ni običajno pisati tako podrobno. Morate biti sposobni hitro najti LCM obeh imenovalcev in dodatnih faktorjev k njim, pa tudi hitro pomnožiti dodatne faktorje, ki jih najdete z vašimi števci in imenovalci. V šoli bi morali ta primer napisati takole:



Ampak obstaja tudi Zadnja stran medalje. Če na prvih stopnjah študija matematike niso narejeni podrobni zapiski, potem so vprašanja te vrste »Od kod ta številka?«, »Zakaj se ulomki nenadoma spremenijo v povsem druge ulomke? «.

Za lažje seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci lahko uporabite naslednja navodila po korakih:

3. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov;
4. LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka in dobite dodaten množitelj za vsak ulomek;
5. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji;
6. Seštejte ulomke, ki imajo enake imenovalce;
7. Če se je izkazalo, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del;

Primer 2 Poiščite vrednost izraza .

Uporabimo zgornji diagram.

Korak 1. Poiščite LCM za imenovalce ulomkov

Najdemo LCM za imenovalca obeh ulomkov. Imenovalec ulomkov so števila 2, 3 in 4. Za ta števila morate najti LCM:

2. korak. Delite LCM z imenovalcem vsakega ulomka in dobite dodaten množitelj za vsak ulomek

LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 2. 12 delimo z 2, dobimo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapišemo ga čez prvi ulomek:

Zdaj LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Dobili smo drugi dodatni faktor 4. Zapišemo ga čez drugi ulomek:

Zdaj LCM delimo z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 12, imenovalec tretjega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Dobili smo tretji dodatni faktor 3. Zapišemo ga čez tretji ulomek:

3. korak. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z dodatnimi faktorji

Števce in imenovalce pomnožimo z dodatnimi faktorji:

4. korak. Seštejte ulomke z enakimi imenovalci

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke, ki imajo enake (skupne) imenovalce. Ostaja še dodati te ulomke. Seštejte:



Dodatek ni sodil v eno vrstico, zato smo preostali izraz premaknili v naslednjo vrstico. To je v matematiki dovoljeno. Ko izraz ne sodi v eno vrstico, se prenese v naslednjo vrstico, pri čemer je treba na koncu prve in na začetku nove vrstice postaviti znak enačaja (=). Znak enačaja v drugi vrstici pomeni, da je to nadaljevanje izraza, ki je bil v prvi vrstici.

Korak 5. Če se je izkazalo, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov celoštevilski del

Naš odgovor je nepravilen ulomek. Izpostaviti moramo celoten del. Izpostavljamo:



Imam odgovor

Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Obstajata dve vrsti odštevanja ulomkov:

8. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
9. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Najprej se naučimo odštevati ulomke z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec enak.

Na primer, poiščimo vrednost izraza. Za rešitev tega primera je potrebno števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka, imenovalec pa pustiti enak. Naredimo to:

Ta primer zlahka razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na štiri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:

Primer 2 Poiščite vrednost izraza.

Spet od števca prvega ulomka odštejemo števec drugega ulomka in pustimo imenovalec enak:

Ta primer zlahka razumemo, če pomislimo na pico, ki je razdeljena na tri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:

Primer 3 Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Od števca prvega ulomka morate odšteti števce preostalih ulomkov:

Odgovor je nepravilen ulomek. Če je primer popoln, potem je običajno, da se znebite nepravilnega ulomka. Znebimo se napačnega ulomka v odgovoru. Če želite to narediti, izberite njegov celoten del:

Kot lahko vidite, pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec enak;

Če se je izkazalo, da je odgovor nepravilen ulomek, morate izbrati njegov cel del.

Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Na primer, ulomek je mogoče odšteti od ulomka, saj imajo ti ulomki enake imenovalce. Toda ulomka ni mogoče odšteti od ulomka, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Skupni imenovalec poiščemo po istem principu, kot smo ga uporabili pri seštevanju ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Nato LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor, ki ga zapišemo čez prvi ulomek. Podobno LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor, ki ga zapišemo čez drugi ulomek.

Ulomki se nato pomnožijo z dodatnimi faktorji. Zaradi teh operacij se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti.

Primer 1 Poiščite vrednost izraza:

Najprej poiščemo LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 4. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 12

LCM (3 in 4) = 12

Zdaj pa nazaj k ulomkom in

Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. To naredimo tako, da LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Čez prvi ulomek zapišemo štirico:

Enako storimo z drugim ulomkom. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Čez drugi ulomek zapišemo trojček:

Zdaj smo vsi pripravljeni na odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Dopolnimo ta primer do konca:

Imam odgovor

Poskusimo našo rešitev prikazati s sliko. Če iz pice režete pice, dobite pice.

To je podrobna različica rešitve. Ker smo v šoli, bi morali ta primer rešiti na krajši način. Takšna rešitev bi izgledala takole:

Zmanjševanje ulomkov in na skupni imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Če te ulomke pospravimo na skupni imenovalec, dobimo ulomke in . Ti ulomki bodo predstavljeni z enakimi rezinami pice, vendar bodo tokrat razdeljeni na enake ulomke (zmanjšane na isti imenovalec):

Prva risba prikazuje ulomek (osem kosov od dvanajstih), druga slika pa ulomek (trije delci od dvanajstih). Če od osmih kosov odrežemo tri kose, dobimo pet kosov od dvanajstih. Ulomek opisuje teh pet kosov.

Primer 2 Poiščite vrednost izraza

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate najprej pripeljati na isti (skupni) imenovalec.

Poiščite LCM imenovalcev teh ulomkov.

Imenovalec ulomkov so števila 10, 3 in 5. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Zdaj najdemo dodatne faktorje za vsak ulomek. To naredimo tako, da LCM delimo z imenovalcem vsakega ulomka.

Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. LCM je število 30, imenovalec prvega ulomka pa je število 10. Če 30 delimo z 10, dobimo prvi dodatni faktor 3. Zapišemo ga čez prvi ulomek:

Zdaj najdemo dodatni faktor za drugi ulomek. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 30, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. Če 30 delimo s 3, dobimo drugi dodatni faktor 10. Zapišemo ga čez drugi ulomek:

Zdaj najdemo dodatni faktor za tretji ulomek. LCM delite z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 30, imenovalec tretjega ulomka pa je število 5. 30 delimo s 5, dobimo tretji dodatni faktor 6. Zapišemo ga čez tretji ulomek:

Zdaj je vse pripravljeno za odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke, ki imajo enake (skupne) imenovalce. In takšne ulomke že znamo odšteti. Končajmo ta primer.

Nadaljevanje primera ne bo šlo v eno vrstico, zato nadaljevanje premaknemo v naslednjo vrstico. Ne pozabite na enačaj (=) v novi vrstici:

Izkazalo se je, da je odgovor pravilen ulomek in zdi se, da nam vse ustreza, vendar je preveč okoren in grd. Morali bi ga narediti preprostejšega in bolj estetskega. Kaj se lahko naredi? Ta delež lahko zmanjšate. Spomnimo se, da je zmanjšanje ulomka deljenje števca in imenovalca z največjim skupni delilnikštevec in imenovalec.

Če želite pravilno zmanjšati ulomek, morate njegov števec in imenovalec deliti z največjim skupnim deliteljem (GCD) števil 20 in 30.

Ne zamenjujte GCD z NOC. Najpogostejša napaka mnogih začetnikov. GCD je največji skupni delitelj. Najdemo ga za zmanjševanje ulomkov.

In LCM je najmanjši skupni večkratnik. Najdemo ga zato, da ulomke spravimo na isti (skupni) imenovalec.

Zdaj bomo poiskali največji skupni delitelj (gcd) števil 20 in 30.

Torej, najdemo GCD za številki 20 in 30:

GCD (20 in 30) = 10

Zdaj se vrnemo k našemu primeru in delimo števec in imenovalec ulomka z 10:

Dobil sem lep odgovor

Množenje ulomka s številom

Če želite ulomek pomnožiti s številom, morate števec danega ulomka pomnožiti s tem številom, imenovalec pa pustiti enak.

Primer 1. Ulomek pomnožite s številom 1.

Števec ulomka pomnožite s številom 1

Vnos lahko razumemo kot polovico 1 časa. Na primer, če vzamete pico enkrat, dobite pico

Iz zakonov množenja vemo, da če se množitelj in množitelj zamenjata, se produkt ne spremeni. Če je izraz zapisan kot , bo produkt še vedno enak . Spet velja pravilo za množenje celega števila in ulomka:

Ta vnos lahko razumemo kot prevzem polovice enote. Na primer, če je 1 cela pica in jo vzamemo polovico, potem bomo imeli pico:

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec ulomka s 4

Izraz lahko razumemo tako, da vzamemo dve četrtini 4-krat. Na primer, če vzamete pico 4-krat, dobite dve celi pici.

In če zamenjamo množitelj in množitelj na mestih, dobimo izraz. Prav tako bo enako 2. Ta izraz lahko razumemo kot vzeti dve pici iz štirih celih pic:

Množenje ulomkov

Če želite pomnožiti ulomke, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce. Če je odgovor nepravilen ulomek, morate v njem izbrati cel del.

Primer 1 Poiščite vrednost izraza.

Imam odgovor. Zaželeno je zmanjšati ta delež. Ulomek lahko zmanjšamo za 2. Potem bo končna rešitev imela naslednjo obliko:

Izraz lahko razumemo kot vzeti pico iz polovice pice. Recimo, da imamo pol pice:

Kako od te polovice vzeti dve tretjini? Najprej morate to polovico razdeliti na tri enake dele:

In vzemite dva od teh treh kosov:

Dobili bomo pico. Spomnite se, kako izgleda pica, razdeljena na tri dele:

Ena rezina te pice in dve rezini, ki sva jih vzela, bodo imeli enake dimenzije:

Z drugimi besedami, govorimo o enaki velikosti pice. Zato je vrednost izraza

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:

Odgovor je nepravilen ulomek. Vzemimo cel del:

Primer 3 Poiščite vrednost izraza

Izkazalo se je, da je odgovor pravilen ulomek, vendar bo dobro, če ga zmanjšamo. Da zmanjšamo ta ulomek, ga moramo deliti z gcd števca in imenovalca. Torej, poiščimo GCD števil 105 in 450:

GCD za (105 in 150) je 15

Zdaj delimo števec in imenovalec našega odgovora na GCD:

Predstavljanje celega števila kot ulomka

Vsako celo število je mogoče predstaviti kot ulomek. Na primer, številko 5 lahko predstavimo kot. Iz tega pet ne bo spremenilo svojega pomena, saj izraz pomeni "število pet, deljeno z eno", in to je, kot veste, enako pet:

Obratne številke

Zdaj se bomo seznanili z zanimiva tema v matematiki. Imenuje se "obratne številke".

Opredelitev. Obrnite na številko a je število, s katerim se pomnoži a daje enoto.

V tej definiciji zamenjajmo namesto spremenljivke aštevilko 5 in poskusite prebrati definicijo:

Obrnite na številko 5 je število, s katerim se pomnoži 5 daje enoto.

Ali je mogoče najti število, ki, če ga pomnožimo s 5, da ena? Izkazalo se je, da lahko. Predstavimo pet kot ulomek:

Nato pomnožite ta ulomek sam s seboj, samo zamenjajte števec in imenovalec. Z drugimi besedami, pomnožite ulomek sam s seboj, le obrnjeno:

Kaj bo rezultat tega? Če nadaljujemo z reševanjem tega primera, dobimo enega:

To pomeni, da je inverzna številka 5 število, saj ko 5 pomnožimo z ena, dobimo ena.

Vzajemno vrednost je mogoče najti tudi za katero koli drugo celo število.

• recipročna vrednost 3 je ulomek
• recipročna vrednost 4 je ulomek

Recipročno vrednost lahko najdete tudi za kateri koli drug ulomek. Če želite to narediti, je dovolj, da ga obrnete.

ZAOBODITE ŽE TE GRABLJE! 🙂

Množenje in deljenje ulomkov.

Pozor!
Obstajajo dodatni
material v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so močni "ne zelo. »
In za tiste, ki »zelo celo. "")

Ta operacija je veliko lepša od seštevanja-odštevanja! Ker je lažje. Opomnim vas: če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate pomnožiti števce (to bo števec rezultata) in imenovalce (to bo imenovalec). To je:

Vse je izjemno preprosto. In prosim, ne iščite skupnega imenovalca! Tukaj ga ne potrebujem ...

Če želite deliti ulomek z ulomkom, morate obrniti drugo(to je pomembno!) ulomek in jih pomnožite, tj.

Če je ujeto množenje ali deljenje s celimi števili in ulomki, je v redu. Tako kot pri seštevanju iz celega števila z enoto v imenovalcu naredimo ulomek - in gremo! Na primer:

V srednji šoli se moraš pogosto ukvarjati s trinadstropnimi (ali celo štirinadstropnimi!) frakcijami. Na primer:

Kako ta ulomek spraviti v spodobno obliko? Da, zelo enostavno! Uporabite delitev na dve točki:

Ne pozabite pa na vrstni red delitve! Za razliko od množenja je to tukaj zelo pomembno! Seveda ne bomo zamenjali 4:2 ali 2:4. Toda v trinadstropni frakciji je enostavno narediti napako. Upoštevajte na primer:

V prvem primeru (izraz na levi):

V drugem (izraz na desni):

Občutite razliko? 4 in 1/9!

Kakšen je vrstni red delitve? Ali oklepaji ali (kot tukaj) dolžina vodoravnih pomišljajev. Razviti oko. In če ni oklepajev ali pomišljajev, na primer:

nato deli-množi po vrsti, od leve proti desni!

In še en zelo preprost in pomemben trik. Pri akcijah z diplomami vam bo prišel prav! Enoto delimo s poljubnim ulomkom, na primer s 13/15:

Strel se je obrnil! In vedno se zgodi. Pri delitvi 1 s poljubnim ulomkom je rezultat isti ulomek, le obrnjen.

To so vsa dejanja z ulomki. Zadeva je precej enostavna, vendar daje več kot dovolj napak. Upoštevajte praktične nasvete, pa jih bo (napak) manj!

1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost! To niso običajne besede, ne dobre želje! To je huda potreba! Vse izračune na izpitu opravite kot popolno nalogo, zbrano in jasno. Bolje je, da napišete dve dodatni vrstici v osnutku, kot da se motite pri računanju v glavi.

2. V primerih z različni tipi ulomki - pojdite na navadne ulomke.

3. Vse ulomke zmanjšamo do konca.

4. Večnivojske ulomke reduciramo na navadne z deljenjem skozi dve točki (upoštevamo vrstni red deljenja!).

Tukaj so naloge, ki jih morate opraviti. Odgovori so podani po vseh nalogah. Uporabite materiale te teme in praktične nasvete. Ocenite, koliko primerov bi lahko rešili pravilno. Prvič! Brez kalkulatorja! In naredite prave zaključke.

Zapomni si pravilen odgovor pridobljeno iz drugega (predvsem tretjega) časa - ne šteje! Tako je kruto življenje.

Torej, rešiti v izpitnem načinu ! Mimogrede, to je priprava na izpit. Rešimo primer, preverimo, rešimo naslednji. Odločili smo se za vse – ponovno smo preverili od prvega do zadnjega. Ampak le Potem poglej odgovore.

Iščete odgovore, ki ustrezajo vašim. Zapisal sem jih namenoma v zmešnjavi, tako rekoč stran od skušnjave. Tukaj so odgovori, ločeni s podpičjem.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

In zdaj sklepamo. Če je vse uspelo - veselo za vas! Elementarni izračuni z ulomki niso vaš problem! Lahko počnete resnejše stvari. Če ne.

Torej imate eno od dveh težav. Ali oboje hkrati.) Pomanjkanje znanja in (ali) nepazljivost. Ampak. to rešljiv Težave.

V posebnem oddelku 555 "Ulomki" so analizirani vsi ti (in ne samo!) primeri. S podrobnimi razlagami kaj, zakaj in kako. Takšna analiza zelo pomaga pri pomanjkanju znanja in veščin!

Ja, in pri drugi težavi je nekaj tam.) Precej praktičen nasvet, kako postati bolj pozoren. Da Da! Nasvet, ki se lahko uporablja vsak.

Za uspeh je poleg znanja in pozornosti potreben tudi določen avtomatizem. Kje ga dobiti? Slišim težak vzdih ... Ja, samo v praksi, nikjer drugje.

Za usposabljanje lahko obiščete spletno mesto 321start.ru. Tam je v možnosti »Poskusi« 10 primerov, ki jih lahko uporabi vsak. S takojšnjim preverjanjem. Za registrirane uporabnike - 34 primerov od preprostih do hudih. To je samo za frakcije.

Če vam je všeč ta stran.

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Tukaj lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učite se z zanimanjem!

In tukaj se lahko seznanite s funkcijami in derivati.

1. pravilo

Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate njegov števec pomnožiti s tem številom, imenovalec pa pustiti nespremenjen.

2. pravilo

Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom:

1. poišči zmnožek števcev in zmnožek imenovalcev teh ulomkov

2. Prvi zmnožek zapiši kot števec, drugega pa kot imenovalec.

3. pravilo

Če želite pomnožiti mešana števila, jih morate zapisati kot nepravilne ulomke in nato uporabiti pravilo za množenje ulomkov.

Pravilo 4

Če želite deliti en ulomek z drugim, morate dividendo pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja.

Primer 1

Izračunaj

Primer 2

Izračunaj

Primer 3

Izračunaj

Primer 4

Izračunaj

Matematika. Drugi materiali

Dvig števila na racionalno potenco. (

Dvig števila na naravno potenco. (

Posplošena intervalna metoda za reševanje algebraičnih neenakosti (Avtor Kolchanov A.V.)

Metoda zamenjave faktorjev pri reševanju algebraičnih neenakosti (Avtor Kolchanov A.V.)

Znaki deljivosti (Lungu Alena)

Preizkusite se na temo 'Množenje in deljenje navadnih ulomkov'

Množenje ulomkov

Množenje navadnih ulomkov bomo obravnavali na več možnih načinov.

Množenje ulomka z ulomkom

To je najpreprostejši primer, v katerem morate uporabiti naslednje pravila množenja ulomkov.

Za pomnožiti ulomek z ulomkom, potrebno:

števec prvega ulomka pomnožijo s števcem drugega ulomka in njun produkt zapišejo v števec novega ulomka;

pomnožijo imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka in zapišejo njun produkt v imenovalec novega ulomka;

Pred množenjem števcev in imenovalcev preverite, ali je mogoče ulomke skrajšati. Zmanjševanje ulomkov v izračunih vam bo močno olajšalo izračune.

Množenje ulomka z naravnim številom

Na ulomek pomnožimo z naravnim številomštevec ulomka morate pomnožiti s tem številom, imenovalec ulomka pa pustiti nespremenjen.

Če je rezultat množenja nepravilen ulomek, ga ne pozabite spremeniti v mešano število, torej izberite cel del.

Množenje mešanih števil

Če želite pomnožiti mešana števila, jih morate najprej pretvoriti v neprave ulomke in nato množiti po pravilu za množenje navadnih ulomkov.

Drug način za množenje ulomka z naravnim številom

Včasih je pri izračunih bolj priročno uporabiti drugačen način množenja navadnega ulomka s številom.

Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate imenovalec ulomka deliti s tem številom, števec pa pustiti enak.

Kot je razvidno iz primera, je to različico pravila bolj priročno uporabiti, če je imenovalec ulomka brez ostanka deljiv z naravnim številom.

Deljenje ulomka s številom

Kako najhitreje delimo ulomek s številom? Analizirajmo teorijo, naredimo sklep in na primerih poglejmo, kako je mogoče deliti ulomek s številom po novem kratkem pravilu.

Običajno se delitev ulomka s številom izvaja po pravilu deljenja ulomkov. Prvo število (ulomek) pomnožimo z recipročno vrednostjo drugega. Ker je drugo število celo število, je njegova povratna vrednost ulomek, katerega števec je enak ena, imenovalec pa dano število. Shematično je deljenje ulomka z naravnim številom videti takole:

Iz tega sklepamo:

Če želite ulomek deliti s številom, pomnožite imenovalec s tem številom in pustite števec enak. Pravilo lahko formuliramo še bolj na kratko:

Ko delite ulomek s številom, gre število na imenovalec.

Delite ulomek s številom:

Če želite ulomek deliti s številom, prepišemo števec nespremenjen in imenovalec pomnožimo s tem številom. 6 in 3 zmanjšamo za 3.

Ko delimo ulomek s številom, prepišemo števec in imenovalec pomnožimo s tem številom. 16 in 24 zmanjšamo za 8.

Pri deljenju ulomka s številom gre število na imenovalec, zato pustimo števec enak, imenovalec pa pomnožimo z deliteljem. 21 in 35 zmanjšamo za 7.

Množenje in deljenje ulomkov

Zadnjič smo se naučili seštevati in odštevati ulomke (glej lekcijo "Seštevanje in odštevanje ulomkov"). Najtežji trenutek v teh akcijah je bilo spravljanje ulomkov na skupni imenovalec.

Zdaj je čas, da se ukvarjamo z množenjem in deljenjem. Dobra novica je, da so te operacije celo lažje kot seštevanje in odštevanje. Za začetek razmislimo o najpreprostejšem primeru, ko obstajata dva pozitivna ulomka brez ločenega celega dela.

Če želite pomnožiti dva ulomka, morate ločeno pomnožiti njune števce in imenovalce. Prvo število bo števec novega ulomka, drugo pa imenovalec.

Če želite razdeliti dva ulomka, morate prvi ulomek pomnožiti z "obrnjenim" drugim.

Iz definicije sledi, da se deljenje ulomkov zmanjša na množenje. Če želite obrniti ulomek, preprosto zamenjajte števec in imenovalec. Zato bomo celotno lekcijo obravnavali predvsem množenje.

Kot posledica množenja lahko nastane (in pogosto nastane) zmanjšan ulomek - seveda ga je treba zmanjšati. Če se je po vseh zmanjšanjih ulomek izkazal za napačnega, je treba v njem ločiti celoten del. Toda tisto, kar se točno ne bo zgodilo z množenjem, je redukcija na skupni imenovalec: brez navzkrižnih metod, maksimalnih faktorjev in najmanjših skupnih večkratnikov.

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Po definiciji imamo:

Množenje ulomkov s celim delom in negativnimi ulomki

Če je v ulomkih celo število, jih je treba pretvoriti v nepravilne - in šele nato pomnožiti v skladu z zgoraj navedenimi shemami.

Če je v števcu ulomka, v imenovalcu ali pred njim minus, ga lahko vzamemo iz meja množenja ali popolnoma odstranimo po naslednjih pravilih:

1. Plus krat minus daje minus;
2. Dve nikalnici pomenita pritrdilno.

Doslej so se ta pravila pojavljala le pri seštevanju in odštevanju negativnih ulomkov, ko se je bilo treba znebiti celega dela. Za izdelek jih je mogoče posplošiti, da bi "zažgali" več minusov hkrati:

3. Minuse v parih prečrtamo, dokler popolnoma ne izginejo. V skrajnem primeru lahko preživi en minus - tisti, ki ni našel ujemanja;
4. Če ni več minusov, je operacija končana - lahko začnete množiti. Če zadnji minus ni prečrtan, ker ni našel para, ga vzamemo iz meja množenja. Dobiš negativni ulomek.

Vse ulomke prevedemo v neprave, nato pa minuse izločimo izven meja množenja. Kar ostane, se pomnoži po običajnih pravilih. Dobimo:

Naj vas še enkrat spomnim, da se minus pred ulomkom s poudarjenim celim delom nanaša prav na celoten ulomek in ne le na njegov celoštevilski del (to velja za zadnja dva primera).

Bodite pozorni tudi na negativna števila: pri množenju so v oklepajih. To se naredi zato, da ločimo minuse od znakov za množenje in naredimo celoten zapis natančnejši.

Zmanjševanje ulomkov sproti

Množenje je zelo naporna operacija. Številke tukaj so precej velike in za poenostavitev naloge lahko poskusite ulomek še bolj zmanjšati pred množenjem. V bistvu so števci in imenovalci ulomkov navadni faktorji, zato jih je mogoče zmanjšati z uporabo osnovne lastnosti ulomka. Oglejte si primere:

V vseh primerih so z rdečo označena števila, ki so bila zmanjšana, in tisto, kar je od njih ostalo.

Opomba: v prvem primeru so bili množitelji popolnoma zmanjšani. Na svojem mestu so ostale enote, ki jih na splošno lahko izpustimo. V drugem primeru ni bilo mogoče doseči popolnega zmanjšanja, vendar se je skupna količina izračunov vseeno zmanjšala.

Vendar te tehnike v nobenem primeru ne uporabljajte pri seštevanju in odštevanju ulomkov! Da, včasih so podobne številke, ki jih želite samo zmanjšati. Tukaj, poglej:

Tega ne smeš!

Napaka nastane zaradi dejstva, da se pri seštevanju ulomka v števcu ulomka pojavi vsota in ne produkt števil. Zato je nemogoče uporabiti glavno lastnost ulomka, saj se ta lastnost ukvarja posebej z množenjem števil.

Preprosto ni drugega razloga za zmanjševanje ulomkov, zato je pravilna rešitev prejšnjega problema videti takole:

Kot lahko vidite, se pravilni odgovor ni izkazal za tako lepega. Na splošno bodite previdni.

Delitev ulomkov.

Deljenje ulomka z naravnim številom.

Primeri deljenja ulomka z naravnim številom

Deljenje naravnega števila z ulomkom.

Primeri deljenja naravnega števila z ulomkom

Deljenje navadnih ulomkov.

Primeri deljenja navadnih ulomkov

Deljenje mešanih števil.

Če želite eno mešano število deliti z drugim, potrebujete:
• pretvori mešane ulomke v nepravilne;
• pomnožite prvi ulomek z recipročno vrednostjo drugega;
• zmanjšati nastalo frakcijo;
• Če dobite nepravilni ulomek, pretvorite nepravilni ulomek v mešanega.

Primeri deljenja mešanih števil

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Vsi nespodobni komentarji bodo odstranjeni, njihovi avtorji pa uvrščeni na črno listo!

Dobrodošli v OnlineMSchool.
Moje ime je Dovzhik Mikhail Viktorovich. Sem lastnik in avtor te strani, napisal sem vse teoretično gradivo, pa tudi razvil spletne vaje in kalkulatorje, ki jih lahko uporabite za študij matematike.

Ulomki. Množenje in deljenje ulomkov.

Množenje ulomka z ulomkom.

Za množenje navadnih ulomkov je potrebno števec pomnožiti s števcem (dobimo števec produkta) in imenovalec z imenovalcem (dobimo imenovalec produkta).

Formula za množenje ulomkov:





Preden nadaljujete z množenjem števcev in imenovalcev, je treba preveriti možnost zmanjšanja ulomka. Če vam uspe zmanjšati ulomek, boste lažje nadaljevali z izračuni.

Opomba! Ni treba iskati skupnega imenovalca!!

Deljenje navadnega ulomka z ulomkom.

Delitev navadnega ulomka z ulomkom je naslednja: drugi ulomek obrnemo (t.j. zamenjamo števec in imenovalec na mestih) in za tem se ulomki pomnožijo.

Formula za deljenje navadnih ulomkov:





Množenje ulomka z naravnim številom.

Opomba! Pri množenju ulomka z naravnim številom se števec ulomka pomnoži z našim naravnim številom, imenovalec ulomka pa ostane enak. Če je rezultat produkta nepravilni ulomek, se prepričajte, da ste izbrali cel del tako, da nepravilni ulomek spremenite v mešanega.



Deljenje ulomkov z naravnim številom.

Ni tako strašno, kot se zdi. Tako kot pri seštevanju pretvorimo celo število v ulomek z enoto v imenovalcu. Na primer:



Množenje mešanih ulomkov.

Pravila za množenje ulomkov (mešano):

• pretvori mešane ulomke v nepravilne;
• pomnožijo števce in imenovalce ulomkov;
• zmanjšamo ulomek;
• če dobimo nepravi ulomek, potem nepravi ulomek pretvorimo v mešanega.

Opomba!Če želite pomnožiti mešani ulomek z drugim mešanim ulomkom, jih morate najprej spraviti v obliko nepravilnih ulomkov in nato pomnožiti po pravilu za množenje navadnih ulomkov.



Drugi način množenja ulomka z naravnim številom.

Bolj priročno je uporabiti drugo metodo množenja navadnega ulomka s številom.

Opomba!Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, je treba imenovalec ulomka deliti s tem številom, števec pa pustiti nespremenjen.



Iz zgornjega primera je jasno, da je ta možnost bolj priročna za uporabo, ko je imenovalec ulomka brez ostanka deljen z naravnim številom.

Večnivojski ulomki.

V srednji šoli pogosto najdemo trinadstropne (ali več) frakcije. primer:

Da bi tak ulomek pridobil običajno obliko, se uporabi delitev na 2 točki:



Opomba! Pri deljenju ulomkov je vrstni red deljenja zelo pomemben. Bodite previdni, tukaj se zlahka zmedete.

Opomba, Na primer:

Pri delitvi enega s katerimkoli ulomkom bo rezultat isti ulomek, le obrnjen:

Praktični nasveti za množenje in deljenje ulomkov:

1. Najpomembnejša stvar pri delu z frakcijskimi izrazi je natančnost in pozornost. Vse izračune opravite previdno in natančno, zbrano in jasno. Bolje je, da zapišete nekaj dodatnih vrstic v osnutek, kot da se zmedete v izračunih v svoji glavi.

2. Pri nalogah z različnimi vrstami ulomkov pojdite na vrsto navadnih ulomkov.

3. Zmanjšujemo vse ulomke, dokler ni več mogoče zmanjševati.

4. Večnivojske frakcijske izraze prenesemo v navadne z deljenjem na 2 točki.

• Pod-in ne do- Predelana pesem "Pomladni tango" (Čas prihaja - ptice z juga prihajajo) - glasb. Valery Milyaev Napačno sem slišal, narobe razumel, nisem dohitel, v smislu, da nisem uganil, vse glagole sem napisal z ne ločeno, nisem vedel za predpono nedo-. Zgodi se, […]
• Stran ni najdena V tretji končni obravnavi je bil sprejet sveženj vladnih aktov, ki predvidevajo oblikovanje posebnih upravnih regij (PPU). Zaradi izstopa iz Evropske unije Združeno kraljestvo ne bo vključeno v evropsko območje DDV in […]
• Skupni preiskovalni odbor se bo pojavil jeseni
• Patent algoritma Kako izgleda patent algoritma Kako se pripravlja patent algoritma tehnični opisi načini shranjevanja, obdelave in prenosa signalov in/ali podatkov posebej za namene patentiranja običajno ne predstavljajo posebnih težav in […]
• KAJ JE POMEMBNO VEDETI O NOVEM OSNUtku POKOJNIN 12. december 1993 USTAVA RUSKE FEDERACIJE (ob upoštevanju sprememb zakonov Ruske federacije o spremembah ustave Ruske federacije z dne 30. decembra 2008 N 6- FKZ, z dne 30. decembra 2008 N 7-FKZ, […]
• Pesme o upokojitvi za žensko so kul za moškega junaka dneva za moškega junaka dneva - v zboru za žensko junakinjo dneva - posvetilo upokojenkam je komično Natečaji za upokojence bodo zanimivi dragi prijatelji! Trenutek pozornosti! Senzacija! Samo […]

Če želite pravilno pomnožiti ulomek z ulomkom ali ulomek s številom, morate poznati preprosta pravila. Zdaj bomo ta pravila podrobno analizirali.

Množenje ulomka z ulomkom.

Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate izračunati zmnožek števcev in zmnožek imenovalcev teh ulomkov.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Razmislite o primeru:
Števec prvega ulomka pomnožimo s števcem drugega ulomka, pomnožimo pa tudi imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ krat 3)(7 \krat 3) = \frac(4)(7)\\\)

Ulomek \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) je bil zmanjšan za 3.

Množenje ulomka s številom.

Začnimo s pravilom poljubno število je mogoče predstaviti kot ulomek \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Uporabimo to pravilo za množenje.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Nepravi ulomek \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) pretvorjen v mešani ulomek.

Z drugimi besedami, Ko množite število z ulomkom, pomnožite število s števcem in pustite imenovalec nespremenjen. primer:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Množenje mešanih ulomkov.

Če želite pomnožiti mešane ulomke, morate vsak mešani ulomek najprej predstaviti kot nepravilni ulomek in nato uporabiti pravilo množenja. Števec pomnožimo s števcem, imenovalec pomnožimo z imenovalcem.

primer:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(rdeča) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(rdeča) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Množenje recipročnih ulomkov in števil.

Ulomek \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzna ulomku \(\bf \frac(b)(a)\), če je a≠0,b≠0.
Ulomka \(\bf \frac(a)(b)\) in \(\bf \frac(b)(a)\) imenujemo recipročne vrednosti. Produkt vzajemnih ulomkov je 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

primer:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Povezana vprašanja:
Kako pomnožiti ulomek z ulomkom?
Odgovor: zmnožek navadnih ulomkov je množenje števca s števcem, imenovalca z imenovalcem. Če želite dobiti produkt mešanih ulomkov, jih morate pretvoriti v nepravilni ulomek in pomnožiti v skladu s pravili.

Kako pomnožiti ulomke z različnimi imenovalci?
Odgovor: ni pomembno, ali so imenovalci ulomkov enaki ali različni, množenje poteka po pravilu za iskanje produkta števca s števcem, imenovalca z imenovalcem.

Kako pomnožiti mešane ulomke?
Odgovor: najprej morate mešani ulomek pretvoriti v nepravi ulomek in nato poiskati produkt po pravilih množenja.

Kako pomnožiti število z ulomkom?
Odgovor: Število pomnožimo s števcem, imenovalec pustimo enak.

Primer #1:
Izračunajte zmnožek: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

rešitev:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rdeča) (5))(3 \krat \barva(rdeča) (5) \krat 13) = \frac(4)(39)\)

Primer #2:
Izračunajte zmnožek števila in ulomka: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

rešitev:
a) \(3 \krat \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \krat \frac(17)(23) = \frac(3 \krat 17)(1 \krat 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Primer #3:
Zapišite recipročno vrednost \(\frac(1)(3)\)?
Odgovor: \(\frac(3)(1) = 3\)

Primer #4:
Izračunajte zmnožek dveh recipročnih ulomkov: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

rešitev:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Primer #5:
Ali so lahko medsebojno inverzni ulomki:
a) oba prava ulomka;
b) hkrati nepravi ulomki;
c) naravna števila hkrati?

rešitev:
a) Za odgovor na prvo vprašanje uporabimo primer. Ulomek \(\frac(2)(3)\) je pravi, njegova recipročna vrednost bo enaka \(\frac(3)(2)\) - nepravi ulomek. Odgovor: ne.

b) pri skoraj vseh naštevanjih ulomkov ta pogoj ni izpolnjen, so pa nekatera števila, ki izpolnjujejo pogoj, da so hkrati nepravi ulomek. Na primer, nepravi ulomek je \(\frac(3)(3)\) , njegova recipročna vrednost je \(\frac(3)(3)\). Dobimo dva neprava ulomka. Odgovor: ne vedno pod določenimi pogoji, ko sta števec in imenovalec enaka.

c) naravna števila so števila, ki jih uporabljamo pri štetju, na primer 1, 2, 3, .... Če vzamemo število \(3 = \frac(3)(1)\), bo njegova recipročna vrednost \(\frac(1)(3)\). Ulomek \(\frac(1)(3)\) ni naravno število. Če preberemo vsa števila, je recipročna vrednost vedno ulomek, razen 1. Če vzamemo število 1, bo njena recipročna vrednost \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Število 1 je naravno število. Odgovor: so lahko hkrati naravna števila le v enem primeru, če je to število 1.

Primer #6:
Izvedite zmnožek mešanih ulomkov: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

rešitev:
a) \(4 \krat 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \krat \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Primer #7:
Ali sta lahko dve recipročni števili hkrati mešani števili?

Poglejmo si primer. Vzemimo mešani ulomek \(1\frac(1)(2)\), poiščemo njegovo recipročno vrednost, za to ga prevedemo v nepravi ulomek \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Njegova recipročna vrednost bo enaka \(\frac(2)(3)\) . Ulomek \(\frac(2)(3)\) je pravi ulomek. Odgovor: Dva medsebojno inverzna ulomka ne moreta biti hkrati mešana števila.

) in imenovalec z imenovalcem (dobimo imenovalec produkta).

Formula za množenje ulomkov:

Na primer:

Preden nadaljujete z množenjem števcev in imenovalcev, je treba preveriti možnost zmanjšanja ulomkov. Če vam uspe zmanjšati ulomek, boste lažje nadaljevali z izračuni.

Deljenje navadnega ulomka z ulomkom.

Deljenje ulomkov z naravnim številom.

Ni tako strašno, kot se zdi. Tako kot pri seštevanju pretvorimo celo število v ulomek z enoto v imenovalcu. Na primer:

Množenje mešanih ulomkov.

Pravila za množenje ulomkov (mešano):

• pretvori mešane ulomke v nepravilne;
• pomnožijo števce in imenovalce ulomkov;
• zmanjšamo ulomek;
• če dobimo nepravi ulomek, potem nepravi ulomek pretvorimo v mešanega.

Opomba!Če želite pomnožiti mešani ulomek z drugim mešanim ulomkom, jih morate najprej spraviti v obliko nepravilnih ulomkov in nato pomnožiti po pravilu za množenje navadnih ulomkov.

Drugi način množenja ulomka z naravnim številom.

Bolj priročno je uporabiti drugo metodo množenja navadnega ulomka s številom.

Opomba!Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, je treba imenovalec ulomka deliti s tem številom, števec pa pustiti nespremenjen.

Iz zgornjega primera je jasno, da je ta možnost bolj priročna za uporabo, ko je imenovalec ulomka brez ostanka deljen z naravnim številom.

Večnivojski ulomki.

V srednji šoli pogosto najdemo trinadstropne (ali več) frakcije. primer:

Da bi tak ulomek pridobil običajno obliko, se uporabi delitev na 2 točki:

Opomba! Pri deljenju ulomkov je vrstni red deljenja zelo pomemben. Bodite previdni, tukaj se zlahka zmedete.

Opomba, Na primer:

Pri delitvi enega s katerimkoli ulomkom bo rezultat isti ulomek, le obrnjen:

Praktični nasveti za množenje in deljenje ulomkov:

1. Najpomembnejša stvar pri delu z frakcijskimi izrazi je natančnost in pozornost. Vse izračune opravite previdno in natančno, zbrano in jasno. Bolje je, da zapišete nekaj dodatnih vrstic v osnutek, kot da se zmedete v izračunih v svoji glavi.

2. Pri nalogah z različnimi vrstami ulomkov - pojdite na vrsto navadnih ulomkov.

3. Zmanjšujemo vse ulomke, dokler ni več mogoče zmanjševati.

4. Večnivojske frakcijske izraze prenesemo v navadne z deljenjem na 2 točki.

5. Enoto v mislih razdelimo na ulomek, preprosto tako, da ulomek obrnemo.