ערך ממוצע- זהו אינדיקטור כללי המאפיין אוכלוסייה הומוגנית מבחינה איכותית לפי מאפיין כמותי מסוים. למשל, הגיל הממוצע של אנשים שהורשעו בגניבה.

בסטטיסטיקה שיפוטית, ערכים ממוצעים משמשים לאפיון:

זמן ממוצע לבחינת מקרים מקטגוריה זו;

גודל תביעה ממוצע;

מספר ממוצע של נאשמים לתיק;

נזק ממוצע;

עומס עבודה ממוצע של שופטים וכו'.

הממוצע הוא תמיד ערך בעל שם ובעל אותו מימד כמו המאפיין של יחידה בודדת באוכלוסייה. כל ערך ממוצע מאפיין את האוכלוסייה הנחקרת לפי כל מאפיין משתנה אחד, לכן מאחורי כל ערך ממוצע מסתתרת סדרה של התפלגות של יחידות של אוכלוסייה זו לפי המאפיין הנחקר. בחירת סוג הממוצע נקבעת לפי תוכן המחוון והנתונים הראשוניים לחישוב הערך הממוצע.

כל הסוגים ערכים ממוצעים, המשמשים במחקר סטטיסטי, מחולקים לשתי קטגוריות:

1) ממוצעי הספק;

2) ממוצעים מבניים.

הקטגוריה הראשונה של ממוצעים כוללת: ממוצע אריתמטי, ממוצע הרמוני, ממוצע גיאומטרי ו שורש ממוצע ריבועים . הקטגוריה השנייה היא אופנהו חֲצִיוֹן. יתר על כן, לכל אחד מהסוגים המפורטים של ממוצעי הספק יכולים להיות שתי צורות: פָּשׁוּט ו מְשׁוּקלָל . טופס פשוטהערך הממוצע משמש לקבלת הערך הממוצע של המאפיין הנלמד, כאשר החישוב מתבצע באמצעות נתונים סטטיסטיים לא מקובצים, או כאשר כל אפשרות במצטבר מתרחשת פעם אחת בלבד. ממוצעים משוקללים הם ערכים שלוקחים בחשבון שלוריאנטים של ערכי תכונות עשויים להיות מספרים שונים, ולכן יש להכפיל כל גרסה בתדירות המתאימה. במילים אחרות, כל אפשרות "מושקללת" לפי התדירות שלה. תדירות נקראת משקל סטטיסטי.

ממוצע אריתמטי פשוט- הסוג הנפוץ ביותר של ממוצע. זה שווה לסכום הערכים האישיים של התכונה חלקי המספר הכולל של הערכים האלה:

איפה x 1 ,x 2 , … ,x Nהם הערכים האישיים של המאפיין המשתנה (הווריאציות), ו-N הוא מספר היחידות באוכלוסייה.

ממוצע אריתמטי משוקללמשמש במקרים שבהם הנתונים מוצגים בצורה של סדרות הפצה או קבוצות. זה מחושב כסכום תוצרי האופציות והתדרים התואמים להן, חלקי סכום התדרים של כל האופציות:

איפה x i- משמעות אניהווריאציות של המאפיין; f i- תדירות אניהאפשרויות.

לפיכך, כל ערך וריאציה משוקלל לפי התדירות שלו, וזו הסיבה שהתדרים נקראים לפעמים משקלים סטטיסטיים.

תגובה.מתי אנחנו מדברים עללגבי הממוצע האריתמטי מבלי לציין את סוגו, הממוצע האריתמטי הוא פשוט.

טבלה 12.

פִּתָרוֹן.כדי לחשב, אנו משתמשים בנוסחת הממוצע האריתמטי המשוקלל:

כך, בממוצע ישנם שני נאשמים לכל תיק פלילי.

אם חישוב הערך הממוצע מתבצע באמצעות נתונים המקובצים בצורה של סדרת התפלגות מרווחים, תחילה עליך לקבוע את הערכים האמצעיים של כל מרווח x"i, ולאחר מכן לחשב את הערך הממוצע באמצעות הממוצע המשוקלל האריתמטי. נוסחה, שבה מוחלף x"i במקום xi.

דוגמא.נתונים על גילם של עבריינים שהורשעו בגניבה מוצגים בטבלה:

טבלה 13.

קבע את הגיל הממוצע של עבריינים שהורשעו בגניבה.

פִּתָרוֹן.על מנת לקבוע את הגיל הממוצע של פושעים על סמך סדרת וריאציות של מרווחים, יש צורך למצוא תחילה את ערכי האמצע של המרווחים. מאז ניתנת לנו סדרת מרווחים עם לפתוח קודםוהמרווחים האחרונים, אז הערכים של המרווחים הללו נלקחים בשווים לערכי המרווחים הסגורים הסמוכים. במקרה שלנו, הערכים של המרווח הראשון והאחרון שווים ל-10.

כעת אנו מוצאים את הגיל הממוצע של פושעים באמצעות נוסחת הממוצע האריתמטי המשוקלל:

לפיכך, הגיל הממוצע של עבריינים שהורשעו בגניבה הוא כ-27 שנים.

מתכוון הרמוני פשוט מייצג את ההדדיות של הממוצע האריתמטי של הערכים ההפוכים של המאפיין:

איפה 1/ x iהם הערכים ההפוכים של האפשרויות, ו-N הוא מספר היחידות באוכלוסיה.

דוגמא.כדי לקבוע את עומס העבודה השנתי הממוצע על שופטי בית משפט מחוזי בבחינת תיקים פליליים, נערך מחקר על עומס העבודה של 5 שופטים בבית משפט זה. הזמן הממוצע שהושקע בתיק פלילי אחד עבור כל אחד מהשופטים שנסקרו התברר כשווה (בימים): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. מצא את העלויות הממוצעות על אחד תיק פלילי ועומס העבודה השנתי הממוצע על שופטים של בית משפט מחוזי נתון בבחינת תיקים פליליים.

פִּתָרוֹן.כדי לקבוע את הזמן הממוצע שהושקע בתיק פלילי אחד, אנו משתמשים בנוסחת הממוצע ההרמוני:

כדי לפשט את החישובים, בדוגמה אנו לוקחים את מספר הימים בשנה להיות 365, כולל סופי שבוע (זה לא משפיע על מתודולוגיית החישוב, וכאשר מחשבים אינדיקטור דומה בפועל, יש צורך להחליף את מספר העובדים ימים בשנה מסוימת במקום 365 ימים). אז עומס העבודה השנתי הממוצע עבור שופטים של בית משפט מחוזי נתון בבחינת תיקים פליליים יהיה: 365 (ימים): 5.56 ≈ 65.6 (תיקים).

אם היינו משתמשים בנוסחת הממוצע האריתמטי הפשוטה כדי לקבוע את הזמן הממוצע שהושקע בתיק פלילי אחד, היינו מקבלים:

365 (ימים): 5.64 ≈ 64.7 (מקרים), כלומר. העומס הממוצע על השופטים התברר כפחות.

בואו נבדוק את תקפותה של גישה זו. לשם כך, נשתמש בנתונים על משך הזמן שהושקע בתיק פלילי אחד לכל שופט ונחשב את מספר התיקים הפליליים ששקלו כל אחד מהם בשנה.

אנחנו מקבלים בהתאם:

365 (ימים) : 6 ≈ 61 (מקרים), 365 (ימים) : 5.6 ≈ 65.2 (מקרים), 365 (ימים) : 6.3 ≈ 58 (מקרים),

365 (ימים) : 4.9 ≈ 74.5 (מקרים), 365 (ימים) : 5.4 ≈ 68 (מקרים).

כעת הבה נחשב את עומס העבודה השנתי הממוצע עבור שופטים של בית משפט מחוזי נתון כאשר בוחנים תיקים פליליים:

הָהֵן. העומס השנתי הממוצע זהה לשימוש בממוצע ההרמוני.

לפיכך, השימוש בממוצע האריתמטי במקרה זה אינו חוקי.

במקרים בהם הווריאציות של מאפיין והערכים הנפחיים שלהן (תוצר הווריאציות והתדר) ידועות, אך התדרים עצמם אינם ידועים, נעשה שימוש בנוסחה הממוצעת ההרמונית המשוקללת:

,

איפה x iהם הערכים של אפשרויות התכונה, ו-w i הם הערכים הנפחיים של האפשרויות ( w i = x i f i).

דוגמא.נתונים על מחיר יחידה מאותו סוג מוצר המיוצר על ידי מוסדות שונים של מערכת העונשין ועל היקף מכירותיה מובאים בטבלה 14.

טבלה 14

מצא את מחיר המכירה הממוצע של המוצר.

פִּתָרוֹן.בחישוב המחיר הממוצע, עלינו להשתמש ביחס בין כמות המכירות למספר היחידות שנמכרו. אנחנו לא יודעים את מספר היחידות שנמכרו, אבל אנחנו יודעים את כמות המכירות של הסחורה. לכן, כדי למצוא את המחיר הממוצע של סחורה שנמכרה, נשתמש בנוסחה הממוצע ההרמוני המשוקלל. אנחנו מקבלים

אם אתה משתמש בנוסחת הממוצע האריתמטי כאן, אתה יכול לקבל מחיר ממוצע שיהיה לא ריאלי:

ממוצע גיאומטרימחושב על ידי חילוץ השורש של תואר N מהמכפלה של כל הערכים של גרסאות התכונה:

,

איפה x 1 ,x 2 , … ,x N- ערכים בודדים של המאפיין (הווריאציות) המשתנים ו

נ- מספר היחידות באוכלוסייה.

סוג זה של ממוצע משמש לחישוב שיעורי הצמיחה הממוצעים של סדרות זמן.

ריבוע ממוצעמשמש לחישוב ממוצע סטיית ריבוע, המהווה אינדיקטור לווריאציה, ועליו נדון להלן.

כדי לקבוע את מבנה האוכלוסייה, נעשה שימוש באינדיקטורים ממוצעים מיוחדים, הכוללים חֲצִיוֹן ו אופנה , או מה שנקרא ממוצעים מבניים. אם הממוצע האריתמטי מחושב על סמך השימוש בכל הווריאציות של ערכי תכונות, אז החציון והמצב מאפיינים את הערך של הווריאציה שתופס מיקום ממוצע מסוים בסדרה המדורגת (המסודרת). ניתן לסדר את היחידות של אוכלוסייה סטטיסטית בסדר עולה או יורד של גרסאות של המאפיין הנחקר.

חציון (אני)- זהו הערך המתאים לאופציה הממוקמת באמצע הסדרה המדורגת. לפיכך, החציון הוא אותה גרסה של הסדרה המדורגת, שבשני הצדדים שלה בסדרה זו אמורה להיות מספר שווהיחידות האוכלוסייה.

כדי למצוא את החציון, תחילה עליך לקבוע אותו מספר סידוריבסדרה מדורגת לפי הנוסחה:

כאשר N הוא נפח הסדרה (מספר היחידות באוכלוסיה).

אם הסדרה מורכבת ממספר אי זוגי של איברים, אז החציון שווה לאפשרות עם המספר N Me. אם הסדרה מורכבת ממספר זוגי של איברים, אז החציון מוגדר כממוצע האריתמטי של שתי אפשרויות סמוכות הממוקמות באמצע.

דוגמא.בהינתן סדרה מדורגת 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. נפח הסדרה הוא N = 9, כלומר N Me = (9 + 1) / 2 = 5. לכן, Me = 6, כלומר . אפשרות חמישית. אם השורה ניתנת 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, כלומר. סדרה עם מספר זוגי של איברים (N = 8), ואז N Me = (8 + 1) / 2 = 4.5. המשמעות היא שהחציון שווה למחצית הסכום של האפשרויות הרביעית והחמישית, כלומר. אני = (9 + 11) / 2 = 10.

בסדרת וריאציות בדיד, החציון נקבע על פי התדרים המצטברים. תדירויות האופציה, החל מהראשונה, מסוכמות עד לחרוג מהמספר החציוני. הערך של האופציות האחרונות המסוכמות יהיה החציון.

דוגמא.מצא את המספר החציוני של נאשמים לכל תיק פלילי באמצעות הנתונים בטבלה 12.

פִּתָרוֹן.במקרה זה, הנפח של סדרת הווריאציות הוא N = 154, לכן, N Me = (154 + 1) / 2 = 77.5. לאחר שסיכמנו את התדרים של האפשרויות הראשונה והשנייה, נקבל: 75 + 43 = 118, כלומר. עברנו את המספר החציוני. אז אני = 2.

בסדרת וריאציות מרווחים, ההתפלגות מציינת תחילה את המרווח שבו ימוקם החציון. הוא נקרא חֲצִיוֹן . זהו המרווח הראשון שהתדירות המצטברת שלו עולה על מחצית הנפח של סדרת וריאציות המרווחים. לאחר מכן ערך מספריהחציון נקבע על ידי הנוסחה:

איפה x אני- גבול תחתון של המרווח החציוני; i הוא הערך של המרווח החציוני; S Me-1- תדירות מצטברת של המרווח שלפני החציון; f אני- תדירות המרווח החציוני.

דוגמא.מצא את הגיל החציוני של עבריינים שהורשעו בגניבה על סמך הנתונים הסטטיסטיים המוצגים בטבלה 13.

פִּתָרוֹן.נתונים סטטיסטיים מוצגים על ידי סדרת וריאציות של מרווחים, כלומר אנו קובעים תחילה את המרווח החציוני. נפח האוכלוסייה הוא N = 162, לכן, המרווח החציוני הוא המרווח 18-28, מכיוון זהו המרווח הראשון שהתדירות המצטברת שלו (15 + 90 = 105) עולה על מחצית הנפח (162: 2 = 81) של סדרת וריאציות המרווחים. כעת אנו קובעים את הערך המספרי של החציון באמצעות הנוסחה לעיל:

לפיכך, מחצית מהמורשעים בגניבה הם מתחת לגיל 25.

אופנה (מו)הם קוראים לערך של מאפיין שנמצא לרוב ביחידות של אוכלוסייה. אופנה משמשת כדי לזהות את הערך של מאפיין שהוא הנפוץ ביותר. עבור סדרה בדידה, המצב יהיה האפשרות עם התדר הגבוה ביותר. לדוגמה, עבור הסדרות הבדידות המוצגות בטבלה 3 מו= 1, מכיוון שערך זה מתאים לתדר הגבוה ביותר - 75. כדי לקבוע את מצב סדרת המרווחים, קבע תחילה מוֹדָלִי מרווח (המרווח בעל התדירות הגבוהה ביותר). לאחר מכן, בתוך מרווח זה, נמצא הערך של התכונה, שיכול להיות מצב.

ערכו נמצא באמצעות הנוסחה:

איפה x מו- גבול תחתון של המרווח המודאלי; i הוא הערך של המרווח המודאלי; ו מו- תדירות המרווח המודאלי; f Mo-1- תדירות המרווח שלפני המודאלי; f Mo+1- תדירות המרווח שאחרי המודאלי.

דוגמא.מצא את גילם של הפושעים שהורשעו בגניבה, הנתונים עליהם מוצגים בטבלה 13.

פִּתָרוֹן.התדר הגבוה ביותר מתאים למרווח 18-28, לכן, המצב צריך להיות במרווח זה. ערכו נקבע על ידי הנוסחה לעיל:

לכן, המספר הגדול ביותרעבריינים שהורשעו בגניבה הם בני 24.

הערך הממוצע מספק מאפיין כללי של מכלול התופעה הנחקרת. עם זאת, שתי אוכלוסיות בעלות ערכים ממוצעים זהים עשויות להיות שונות זו מזו באופן משמעותי במידת התנודות (השונות) בערך המאפיין הנחקר. למשל, בבית משפט אחד הם מינו התאריכים הבאיםמאסר: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 שנים, ובעוד - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 שנים. בשני המקרים, הממוצע האריתמטי הוא 6.7 שנים. עם זאת, אוכלוסיות אלו שונות זו מזו באופן משמעותי בהתפשטות הערכים הפרטניים של תקופת המאסר שנקבעה ביחס לערך הממוצע.

ולבית המשפט הראשון, שבו הפריסה הזו גדולה למדי, תקופת המאסר הממוצעת אינה משקפת את כלל האוכלוסייה. לפיכך, אם הערכים האישיים של מאפיין שונים מעט זה מזה, אז הממוצע האריתמטי יהיה מאפיין אינדיקטיבי למדי של המאפיינים של אוכלוסייה נתונה. אחרת, הממוצע האריתמטי יהיה מאפיין לא אמין של אוכלוסייה זו והשימוש בו בפועל לא יהיה יעיל. לכן, יש צורך לקחת בחשבון את השונות בערכים של המאפיין הנלמד.

וָרִיאַצִיָה- אלו הם הבדלים בערכים של כל מאפיין בין יחידות שונות של אוכלוסייה נתונה באותה תקופה או נקודת זמן. המונח "וריאציה" הוא ממקור לטיני - variatio, שפירושו הבדל, שינוי, תנודה. זה נובע כתוצאה מהעובדה שהערכים האינדיבידואליים של מאפיין נוצרים בהשפעה משולבת של גורמים שונים (תנאים), המשולבים באופן שונה בכל מקרה לגופו. שונות מוחלטת ו אינדיקטורים יחסיים.

האינדיקטורים העיקריים לשונות כוללים את הדברים הבאים:

1) היקף השונות;

2) סטייה ליניארית ממוצעת;

3) פיזור;

4) סטיית תקן;

5) מקדם וריאציה.

בואו נסתכל בקצרה על כל אחד מהם.

טווח וריאציות R הוא המדד המוחלט הנגיש ביותר מבחינת קלות החישוב, המוגדר כהפרש בין הערכים הגדולים והקטנים ביותר של מאפיין עבור יחידות של אוכלוסייה נתונה:

טווח וריאציה (טווח תנודות) - אינדיקטור חשובאת השונות של השלט, אך היא מאפשרת לראות רק סטיות קיצוניות, מה שמגביל את היקף היישום שלו. כדי לאפיין בצורה מדויקת יותר את השונות של תכונה על סמך השונות שלה, משתמשים באינדיקטורים אחרים.

סטייה ליניארית ממוצעתמייצג את הממוצע האריתמטי של ערכים מוחלטיםסטיות של ערכים בודדים של מאפיין מהממוצע ונקבעת על ידי הנוסחאות:

1) ל נתונים לא מקובצים

2) ל סדרת וריאציות

עם זאת, המדד הנפוץ ביותר לשונות הוא פְּזִירָה . הוא מאפיין את מידת הפיזור של ערכי המאפיין הנלמד ביחס לערכו הממוצע. פיזור מוגדר כממוצע הסטיות בריבוע.

שונות פשוטהעבור נתונים לא מקובצים:

.

השונות משוקללתעבור סדרת הווריאציות:

תגובה.בפועל, עדיף להשתמש בנוסחאות הבאות לחישוב השונות:

לשונות פשוטה

.

לשונות משוקללת

סטיית תקןהוא השורש הריבועי של השונות:

סטיית התקן היא מדד לאמינות הממוצע. ככל שסטיית התקן קטנה יותר, האוכלוסייה הומוגנית יותר והממוצע האריתמטי משקף טוב יותר את כל האוכלוסייה.

מדדי הפיזור שנדונו לעיל (טווח שונות, פיזור, סטיית תקן) הם במונחים מוחלטים, לפיו לא תמיד ניתן לשפוט את מידת השונות של מאפיין. בחלק מהבעיות יש צורך להשתמש במדדי פיזור יחסי, אחד מהם הוא מקדם השונות.

מקדם השונות- היחס בין סטיית התקן לממוצע האריתמטי, מבוטא באחוזים:

מקדם השונות משמש לא רק עבור הערכה השוואתיתוריאציות של מאפיינים שונים או אותו מאפיין באוכלוסיות שונות, אך גם לאפיין את ההומוגניות של האוכלוסייה. אוכלוסייה סטטיסטית נחשבת הומוגנית כמותית אם מקדם השונות אינו עולה על 33% (עבור התפלגויות קרובות להתפלגות הנורמלית).

דוגמא.קיימים הנתונים הבאים על תנאי המאסר של 50 מורשעים שניתנו לריצוי עונש שנגזר על ידי בית המשפט במוסד תיקון של מערכת העונשין: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. בניית סדרה של חלוקות לפי תנאי מאסר.

2. מצא את הממוצע, השונות וסטיית התקן.

3. חשב את מקדם השונות וקבל מסקנה לגבי ההומוגניות או ההטרוגניות של האוכלוסייה הנחקרת.

פִּתָרוֹן.כדי לבנות סדרת הפצה בדידה, יש צורך לקבוע אפשרויות ותדרים. האפשרות בבעיה זו היא תקופת המאסר, והתדירות היא מספר האפשרויות הבודדות. לאחר חישוב התדרים, אנו מקבלים את סדרת ההפצה הבדידה הבאה:

בואו נמצא את הממוצע והשונות. מכיוון שהנתונים הסטטיסטיים מיוצגים על ידי סדרת וריאציות בדיד, נשתמש בנוסחאות עבור הממוצע האריתמטי המשוקלל והפיזור כדי לחשב אותם. אנחנו מקבלים:

= = 4,1;

= 5,21.

כעת אנו מחשבים את סטיית התקן:

מציאת מקדם השונות:

כתוצאה מכך, האוכלוסייה הסטטיסטית היא הטרוגנית מבחינה כמותית.

עכשיו בואו נדבר על איך לחשב ממוצע.
בצורתה הקלאסית, התיאוריה הכללית של הסטטיסטיקה מציעה לנו גרסה אחת של הכללים לבחירת ערך ממוצע.
ראשית, עליך ליצור את הנוסחה הלוגית הנכונה לחישוב הערך הממוצע (AFV). לכל ערך ממוצע תמיד יש רק נוסחה לוגית אחת לחישובו, כך שקשה לטעות כאן. אבל עלינו לזכור תמיד שבמונה (זה מה שנמצא בראש השבר) סכום כל התופעות, ובמכנה (זה מה שנמצא בתחתית השבר) סה"כאלמנטים.

לאחר הרכבת הנוסחה הלוגית, ניתן להשתמש בכללים (למען נוחות ההבנה, נפשט ונקצר אותם):
1. אם נתוני המקור (הנקבעים לפי תדירות) מכילים את המכנה של נוסחה לוגית, אזי החישוב מתבצע באמצעות נוסחת הממוצע האריתמטי המשוקלל.
2. אם המונה של נוסחה לוגית מוצג בנתוני המקור, החישוב מתבצע באמצעות נוסחת הממוצע ההרמוני המשוקלל.
3. אם הבעיה מציגה גם את המונה וגם את המכנה של נוסחה לוגית (זה קורה לעתים רחוקות), אז אנחנו מבצעים את החישוב באמצעות נוסחה זו או בנוסחה הממוצעת האריתמטית הפשוטה.
זהו הרעיון הקלאסי של בחירת הנוסחה הנכונה לחישוב הממוצע. לאחר מכן, נציג את רצף הפעולות בעת פתרון בעיות לחישוב הערך הממוצע.

אלגוריתם לפתרון בעיות בחישוב הערך הממוצע

א. קבע את השיטה לחישוב הערך הממוצע - פשוט או משוקלל . אם הנתונים מוצגים בטבלה, אז אנחנו משתמשים בשיטה משוקללת, אם הנתונים מוצגים בספירה פשוטה אז אנחנו משתמשים בשיטת חישוב פשוטה.

ב. לקבוע או לארגן סמלים – איקס - אפשרות, ו - תדירות . האפשרות היא לאיזו תופעה רוצים למצוא את הערך הממוצע. הנתונים הנותרים בטבלה יהיו התדירות.

ב. אנו קובעים את הטופס לחישוב הערך הממוצע - אריתמטי או הרמוני . הקביעה מתבצעת באמצעות עמודת התדירות. הצורה האריתמטית משמשת אם התדרים מצוינים על ידי כמות מפורשת (בתנאי, אתה יכול להחליף את המילה חתיכות, מספר האלמנטים "חתיכות"). הצורה ההרמונית משמשת אם תדרים מצוינים לא לפי כמות מפורשת, אלא לפי אינדיקטור מורכב (המכפלה של הכמות והתדר הממוצעים).

הדבר הקשה ביותר הוא לנחש היכן ואיזו כמות ניתנת, במיוחד עבור תלמיד חסר ניסיון בעניינים כאלה. במצב כזה, אתה יכול להשתמש באחת מהשיטות הבאות. למשימות מסוימות (כלכליות), מתאימה הצהרה שפותחה לאורך שנים של תרגול (נקודה B.1). במצבים אחרים, יהיה עליך להשתמש בנקודה B.2.

ב.1 אם התדירות ניתנת ביחידות כספיות (ברובלים), אזי הממוצע ההרמוני משמש לחישוב, הצהרה זו נכונה תמיד, אם התדירות המזוהה ניתנת בכסף, במצבים אחרים כלל זה אינו חל.

ב.2 השתמש בכללים לבחירת הערך הממוצע המצוין לעיל במאמר זה. אם התדירות ניתנת על ידי המכנה של הנוסחה הלוגית לחישוב הערך הממוצע, אזי אנו מחשבים באמצעות צורת הממוצע האריתמטי; אם התדירות ניתנת על ידי המונה של הנוסחה הלוגית לחישוב הערך הממוצע, אנו מחשבים באמצעות ה- צורת ממוצע הרמונית.

בואו נסתכל על דוגמאות לשימוש באלגוריתם זה.

א. מאחר שהנתונים מוצגים בשורה, אנו משתמשים בשיטת חישוב פשוטה.

B.V. יש לנו רק נתונים על גובה הפנסיה, והם יהיו האופציה שלנו - x. הנתונים מוצגים כמספר פשוט (12 אנשים), לחישוב אנו משתמשים בממוצע האריתמטי הפשוט.

הפנסיה הממוצעת לפנסיונר היא 9208.3 רובל.

ב.מכיוון שצריך למצוא את התשלום הממוצע לילד, האפשרויות נמצאות בעמודה הראשונה, שם את הייעוד x, העמודה השנייה הופכת אוטומטית לתדירות f.

ב. התדירות (מספר הילדים) ניתנת על ידי כמות מפורשת (אפשר להחליף את המילה חתיכות של ילדים, מנקודת מבט של השפה הרוסית זה ביטוי לא נכון, אבל, למעשה, זה מאוד נוח check), כלומר הממוצע האריתמטי המשוקלל משמש לחישוב.

את אותה בעיה אפשר לפתור לא בשיטה נוסחתית, אלא בשיטה טבלאית, כלומר הכנסת כל הנתונים של חישובי ביניים לטבלה.

כתוצאה מכך, כל מה שצריך לעשות כעת הוא להפריד בין שני הסכומים בסדר הנכון.

התשלום הממוצע לילד לחודש היה 1,910 רובל.

א. מאחר שהנתונים מוצגים בטבלה, אנו משתמשים בטופס משוקלל לחישוב.

ב. תדירות (עלות ייצור) ניתנת על ידי כמות מרומזת (תדירות ניתנת ב רובל נקודת האלגוריתם B1), כלומר הממוצע ההרמוני המשוקלל משמש לחישוב. באופן כללי, במהותה, עלות הייצור היא אינדיקטור מורכב, המתקבל על ידי הכפלת העלות של יחידת מוצר במספר מוצרים כאלה, זוהי המהות של הערך הממוצע ההרמוני.

על מנת שבעיה זו תיפתר באמצעות נוסחת הממוצע האריתמטי, יש צורך שבמקום עלות הייצור יהיה מספר המוצרים עם העלות המתאימה.

שימו לב שהסכום במכנה המתקבל לאחר חישובים הוא 410 (120+80+210) זהו המספר הכולל של המוצרים שיוצרו.

העלות הממוצעת ליחידת מוצר הייתה 314.4 רובל.

א. מאחר שהנתונים מוצגים בטבלה, אנו משתמשים בטופס משוקלל לחישוב.

ב.מכיוון שצריך למצוא את העלות הממוצעת ליחידת מוצר, האפשרויות נמצאות בעמודה הראשונה, שם את הייעוד x, העמודה השנייה הופכת אוטומטית לתדר f.

ב. התדירות (מספר ההיעדרויות הכולל) ניתנת על ידי כמות מרומזת (זהו מכפלה של שני אינדיקטורים של מספר ההיעדרויות ומספר התלמידים עם מספר ההיעדרויות הזה), כלומר נעשה שימוש בממוצע ההרמוני המשוקלל. לחישוב. נשתמש בנקודת אלגוריתם B2.

על מנת שבעיה זו תיפתר באמצעות נוסחת הממוצע האריתמטי, יש צורך שבמקום סך ההיעדרויות יהיה מספר התלמידים.

אנו יוצרים נוסחה הגיונית לחישוב מספר ההיעדרויות הממוצע לתלמיד.

תדירות לפי תנאי המשימה מספר כוללעובר. בנוסחה הלוגית, מחוון זה נמצא במונה, מה שאומר שאנו משתמשים בנוסחת הממוצע ההרמוני.

שימו לב שהסכום במכנה, שנוצר לאחר חישובים 31 (18+8+5), הוא המספר הכולל של התלמידים.

ממוצע ההיעדרויות לתלמיד הוא 13.8 ימים.

ערכים ממוצעים נמצאים בשימוש נרחב בסטטיסטיקה. ערכים ממוצעים מאפיינים את האינדיקטורים האיכותיים של פעילות מסחרית: עלויות הפצה, רווח, רווחיות וכו'.

מְמוּצָע - זוהי אחת מטכניקות ההכללה הנפוצות. הבנה נכונה של מהות הממוצע קובעת את משמעותו המיוחדת בתנאים כלכלת שוק, כאשר הממוצע דרך הפרט והאקראי מאפשר לנו לזהות את הכללי והדרוש, לזהות את מגמת דפוסי ההתפתחות הכלכלית.

ערך ממוצע - אלו הם אינדיקטורים כלליים שבהם מתבטאות פעולות תנאים כלליים, דפוסים של התופעה הנחקרת.

ממוצעים סטטיסטיים מחושבים על בסיס נתוני מסה מתצפית המונית מאורגנת נכונה סטטיסטית (רציפה וסלקטיבית). עם זאת, הממוצע הסטטיסטי יהיה אובייקטיבי ואופייני אם הוא יחושב מנתוני המונים עבור אוכלוסייה הומוגנית איכותית (תופעות מסה). למשל, אם מחשבים את השכר הממוצע בקואופרטיבים ובמפעלים ממשלתיים, ומרחיבים את התוצאה לכלל האוכלוסייה, אז הממוצע הוא פיקטיבי, שכן הוא מחושב לאוכלוסייה הטרוגנית, וממוצע כזה מאבד כל משמעות.

בעזרת הממוצע מחליקים הבדלים בערך של מאפיין הנוצרים מסיבה זו או אחרת ביחידות צפייה בודדות.

לדוגמה, התפוקה הממוצעת של איש מכירות תלויה בסיבות רבות: כישורים, משך שירות, גיל, צורת שירות, בריאות וכו'.

התפוקה הממוצעת משקפת את הרכוש הכללי של כלל האוכלוסייה.

הערך הממוצע הוא השתקפות של ערכי המאפיין הנלמד, ולכן הוא נמדד באותו מימד כמו המאפיין הזה.

כל ערך ממוצע מאפיין את האוכלוסייה הנחקרת לפי כל מאפיין אחד. על מנת לקבל הבנה מלאה ומקיפה של האוכלוסייה הנחקרת על פי מספר מאפיינים חיוניים, באופן כללי יש צורך במערכת של ערכים ממוצעים שתוכל לתאר את התופעה מזוויות שונות.

ישנם ממוצעים שונים:

ממוצע אריתמטי;

ממוצע גיאומטרי;

ממוצע הרמוני;

מרובע מתכוון;

כרונולוגי ממוצע.

בואו נסתכל על כמה סוגים של ממוצעים המשמשים לרוב בסטטיסטיקה.

ממוצע אריתמטי

הממוצע האריתמטי הפשוט (לא משוקלל) שווה לסכום הערכים האישיים של התכונה חלקי מספר הערכים הללו.

ערכים בודדים של מאפיין נקראים גרסאות ומסומנים ב-x(); מספר יחידות האוכלוסייה מסומן ב-n, הערך הממוצע של המאפיין מסומן ב . לכן, הממוצע האריתמטי הפשוט שווה ל:

על פי נתוני סדרות ההפצה הבדידות, ברור שאותם ערכים אופייניים (וריאציות) חוזרים על עצמם מספר פעמים. לפיכך, אפשרות x מופיעה 2 פעמים בסך הכל, ואופציה x 16 פעמים וכו'.

מספר הערכים הזהים של מאפיין בסדרת ההפצה נקרא תדירות או משקל ומסומן בסמל n.

בוא נחשב את השכר הממוצע של עובד אחד בשפשוף.:

קֶרֶן שכרעבור כל קבוצת עובדים שווה למכפלת האפשרויות והתדירות, וסכום המוצרים הללו נותן את קרן השכר הכוללת של כל העובדים.

בהתאם לכך, ניתן להציג את החישובים בצורה כללית:

הנוסחה המתקבלת נקראת הממוצע האריתמטי המשוקלל.

כתוצאה מעיבוד, ניתן להציג חומר סטטיסטי לא רק בצורה של סדרות התפלגות בדידות, אלא גם בצורה של סדרות וריאציות מרווחים עם מרווחים סגורים או פתוחים.

הממוצע עבור נתונים מקובצים מחושב באמצעות נוסחת הממוצע האריתמטי המשוקלל:

בפרקטיקה של סטטיסטיקה כלכלית, לעיתים יש צורך לחשב את הממוצע באמצעות ממוצעים קבוצתיים או ממוצעים של חלקים בודדים באוכלוסייה (ממוצעים חלקיים). במקרים כאלה, ממוצעים קבוצתיים או פרטיים נלקחים כאופציות (x), שעל בסיסם מחושב הממוצע הכולל כממוצע אריתמטי משוקלל רגיל.

תכונות בסיסיות של הממוצע האריתמטי .

לממוצע האריתמטי יש מספר תכונות:

1. הערך של הממוצע האריתמטי לא ישתנה מירידה או הגדלת התדירות של כל ערך של המאפיין x ב-n פעמים.

אם כל התדרים מחולקים או מוכפלים במספר כלשהו, ​​הערך הממוצע לא ישתנה.

2. ניתן לקחת את המכפיל המשותף של ערכים בודדים של מאפיין מעבר לסימן הממוצע:

3. כמות ממוצעת(הפרש) של שתי כמויות או יותר שווה לסכום (ההבדל) של הממוצעים שלהן:

4. אם x = c, כאשר c הוא ערך קבוע, אז
.

5. סכום הסטיות של ערכי התכונה X מהממוצע האריתמטי x שווה לאפס:

ממוצע הרמוני.

יחד עם הממוצע האריתמטי, הסטטיסטיקה משתמשת בממוצע ההרמוני, בהיפוך של הממוצע האריתמטי של הערכים ההפוכים של התכונה. כמו הממוצע האריתמטי, הוא יכול להיות פשוט ומשקולל.

המאפיינים של סדרות וריאציות, יחד עם ממוצעים, הם מצב וחציון.

אופנה - זהו הערך של מאפיין (וריאנט) שחוזר לרוב באוכלוסייה הנחקרת. עבור סדרות הפצה בדידות, המצב יהיה הערך של הגרסה בעלת התדר הגבוה ביותר.

עבור סדרות התפלגות מרווחים עם מרווחים שווים, המצב נקבע על ידי הנוסחה:

איפה
- ערך התחלתי של המרווח המכיל את המצב;

- הערך של המרווח המודאלי;

- תדירות המרווח המודאלי;

- תדירות המרווח שלפני המודאלי;

- תדירות המרווח שאחרי המודאלי.

חֲצִיוֹן - זוהי אפשרות הממוקמת באמצע סדרת הווריאציות. אם סדרת התפוצה היא בדידה ובעלת מספר אי זוגי של חברים, אזי החציון יהיה האופציה הממוקמת באמצע הסדרה המסודרת (סדרה מסודרת היא סידור יחידות האוכלוסייה בסדר עולה או יורד).

הממוצע האריתמטי הוא אינדיקטור סטטיסטי המדגים את הערך הממוצע של מערך נתונים נתון. מחוון זה מחושב כשבר, המונה שלו הוא סכום כל הערכים במערך, והמכנה הוא מספרם. הממוצע האריתמטי הוא מקדם חשוב המשמש בחישובים יומיומיים.

משמעות המקדם

הממוצע האריתמטי הוא אינדיקטור אלמנטרי להשוואת נתונים וחישוב ערך מקובל. לדוגמה, חנויות שונות מוכרות פחית בירה מיצרן ספציפי. אבל בחנות אחת זה עולה 67 רובל, באחרת - 70 רובל, בשלישית - 65 רובל, ובאחרונה - 62 רובל. יש טווח די רחב של מחירים, ולכן הקונה יתעניין בעלות הממוצעת של הפחית כך שברכישת מוצר יוכל להשוות את העלויות שלו. המחיר הממוצע לפחית בירה בעיר הוא:

מחיר ממוצע = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 רובל.

לדעת את המחיר הממוצע, קל לקבוע היכן משתלם לקנות מוצר, והיכן תצטרך לשלם יותר מדי.

הממוצע האריתמטי משמש כל העת בחישובים סטטיסטיים במקרים שבהם מנתחים קבוצה הומוגנית של נתונים. בדוגמה למעלה, זהו המחיר של פחית בירה מאותו מותג. עם זאת, לא נוכל להשוות את מחיר הבירה מיצרנים שונים או את מחירי הבירה והלימונדה, שכן במקרה זה פיזור הערכים יהיה גדול יותר, המחיר הממוצע יהיה מטושטש ולא אמין, ועצם המשמעות של החישובים. יעוות לקריקטורה של "הטמפרטורה הממוצעת בבית החולים". כדי לחשב מערכי נתונים הטרוגניים, נעשה שימוש בממוצע אריתמטי משוקלל, כאשר כל ערך מקבל מקדם ניפוח משלו.

חישוב הממוצע האריתמטי

הנוסחה לחישובים פשוטה ביותר:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

כאשר an הוא הערך של הכמות, n הוא המספר הכולל של הערכים.

לשם מה ניתן להשתמש במדד זה? השימוש הראשון והברור בו הוא בסטטיסטיקה. כמעט בכל מחקר סטטיסטינעשה שימוש בממוצע האריתמטי. זה יכול להיות גיל הנישואים הממוצע ברוסיה, הציון הממוצע במקצוע לתלמיד בית ספר, או ההוצאה הממוצעת על מצרכים ביום. כפי שהוזכר לעיל, מבלי לקחת בחשבון משקלים, חישוב ממוצעים יכול לייצר ערכים מוזרים או אבסורדיים.

למשל, הנשיא הפדרציה הרוסיתהצהיר כי על פי הסטטיסטיקה, השכר הממוצע של רוסי הוא 27,000 רובל. עבור רוב תושבי רוסיה, רמת השכר הזו נראתה אבסורדית. אין זה מפתיע אם בחישוב ניקח בחשבון את הכנסתם של אוליגרכים, ראשי מפעלי תעשייה, בנקאים גדולים מחד, ומשכורות של מורים, מנקים ומוכרים מאידך. אפילו משכורות ממוצעות במומחיות אחת, למשל, רואה חשבון, יהיו הבדלים רציניים במוסקבה, קוסטרומה ויקטרינבורג.

כיצד לחשב ממוצעים עבור נתונים הטרוגניים

במצבי שכר, חשוב לקחת בחשבון את המשקל של כל ערך. המשמעות היא שהמשכורות של אוליגרכים ובנקאים יקבלו משקל של, למשל, 0.00001, ומשכורות אנשי המכירות - 0.12. אלו מספרים ישר, אבל הם ממחישים בערך את השכיחות של אוליגרכים ואנשי מכירות בחברה הרוסית.

לפיכך, כדי לחשב את הממוצע של הממוצעים או הערכים הממוצעים במערך נתונים הטרוגני, נדרש להשתמש בממוצע המשוקלל האריתמטי. אחרת, תקבל משכורת ממוצעת ברוסיה של 27,000 רובל. אם אתה רוצה לברר את הציון הממוצע שלך במתמטיקה או את מספר השערים הממוצע שכבש שחקן הוקי נבחר, אז מחשבון הממוצע החשבוני מתאים לך.

התוכנית שלנו היא מחשבון פשוט ונוח לחישוב הממוצע האריתמטי. כדי לבצע את החישובים, אתה רק צריך להזין את ערכי הפרמטרים.

בואו נסתכל על כמה דוגמאות

חישוב ציון ממוצע

מורים רבים משתמשים בשיטת הממוצע החשבוני כדי לקבוע את הציון השנתי למקצוע. בואו נדמיין שהילד קיבל את הרבעון הבא במתמטיקה: 3, 3, 5, 4. איזה ציון שנתי ייתן לו המורה? בוא נשתמש במחשבון ונחשב את הממוצע האריתמטי. כדי להתחיל, בחר את מספר השדות המתאים והזן את ערכי הדירוג בתאים שמופיעים:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

המורה יעגל את הערך לטובת התלמיד, והתלמיד יקבל ב' מוצק לשנה.

חישוב סוכריות שנאכלו

הבה נדגים חלק מהאבסורד של הממוצע האריתמטי. בואו נדמיין שלמאשה ול-Vova היו 10 סוכריות. מאשה אכלה 8 סוכריות, ו-Vova רק 2. כמה סוכריות אכל כל ילד בממוצע? בעזרת מחשבון קל לחשב שבממוצע ילדים אכלו 5 סוכריות, וזה לגמרי לא נכון שכל ישר. דוגמה זו מראה שהממוצע האריתמטי חשוב עבור מערכי נתונים משמעותיים.

סיכום

חישוב הממוצע האריתמטי נמצא בשימוש נרחב בתחומים מדעיים רבים. אינדיקטור זה פופולרי לא רק בחישובים סטטיסטיים, אלא גם בפיזיקה, מכניקה, כלכלה, רפואה או פיננסים. השתמש במחשבונים שלנו כעוזר כדי לפתור בעיות הכרוכות בחישוב הממוצע האריתמטי.

נושא הממוצע החשבוני והממוצע הגיאומטרי כלול בתכנית המתמטיקה לכיתות ו'-ז'. מכיוון שהפסקה די קלה להבנה, היא עוברת במהירות, ועד סוף שנת הלימודים, התלמידים שכחו אותה. אבל יש צורך בידע בסטטיסטיקה בסיסית לעבור את מבחן המדינה המאוחדת, וגם עבור בחינות בינלאומיותישב. כן ועבור חיי היום - יוםחשיבה אנליטית מפותחת אף פעם לא מזיק.

כיצד לחשב את הממוצע האריתמטי והממוצע הגיאומטרי של מספרים

נניח שיש סדרה של מספרים: 11, 4 ו-3. הממוצע האריתמטי הוא סכום כל המספרים חלקי מספר המספרים הנתונים. כלומר, במקרה של המספרים 11, 4, 3, התשובה תהיה 6. איך משיגים 6?

פתרון: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

המכנה חייב להכיל מספר השווה למספר המספרים שצריך למצוא את הממוצע שלהם. הסכום מתחלק ב-3, מכיוון שיש שלושה איברים.

עכשיו אנחנו צריכים להבין את הממוצע הגיאומטרי. נניח שיש סדרה של מספרים: 4, 2 ו-8.

הממוצע הגיאומטרי של מספרים הוא המכפלה של כל המספרים הנתונים, הממוקמים מתחת לשורש בחזקת שווה למספר המספרים הנתונים. כלומר, במקרה של המספרים 4, 2 ו-8 התשובה תהיה 4. הנה איך התברר:

פתרון: ∛(4 × 2 × 8) = 4

בשתי האפשרויות קיבלנו תשובות שלמות, מכיוון שמספרים מיוחדים נלקחו לדוגמא. זה לא תמיד קורה. ברוב המקרים, יש לעגל את התשובה או להשאיר אותה בשורש. לדוגמה, עבור המספרים 11, 7 ו-20, הממוצע האריתמטי הוא ≈ 12.67, והממוצע הגיאומטרי הוא ∛1540. ולמספרים 6 ו-5, התשובות יהיו 5.5 ו-√30, בהתאמה.

האם יכול לקרות שהממוצע האריתמטי ישתווה לממוצע הגיאומטרי?

כמובן שזה יכול. אבל רק בשני מקרים. אם יש סדרת מספרים המורכבת רק מאחד או מאפסים. ראוי לציין גם שהתשובה אינה תלויה במספרם.

הוכחה עם יחידות: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (ממוצע אריתמטי).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(ממוצע גיאומטרי).

הוכחה עם אפסים: (0 + 0) / 2=0 (ממוצע אריתמטי).

√(0 × 0) = 0 (ממוצע גיאומטרי).

אין אפשרות אחרת ולא יכולה להיות.