Shamshurin A.V. 1

Gagarina N.A. 1

1 Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia „Stredná všeobecná školač. 31"

Text práce je uverejnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia práca je dostupná v záložke "Pracovné súbory" vo formáte PDF

Úvod

Začal som tým, že som si prezrel veľa matematických tém na internete a vybral som si túto tému, pretože som presvedčený, že dôležitosť hľadania DL hrá obrovskú úlohu pri riešení rovníc a problémov. V jeho výskumná práca Pozrel som sa na rovnice, v ktorých stačí nájsť ODZ, nebezpečenstvo, voliteľnosť, obmedzenú ODZ, nejaké zákazy v matematike. Najdôležitejšie pre mňa je dobre zložiť Jednotnú štátnu skúšku z matematiky, a preto potrebujem vedieť: kedy, prečo a ako nájsť DL. To ma podnietilo k výskumu témy, ktorého cieľom bolo ukázať, že zvládnutie tejto témy pomôže študentom správne splniť úlohy na Jednotnej štátnej skúške. Na dosiahnutie tohto cieľa som skúmal Ďalšie čítanie a iné zdroje. Zaujímalo ma, či žiaci našej školy vedia: kedy, prečo a ako nájsť ODZ. Preto som urobil test na tému „Kedy, prečo a ako nájsť ODZ? (bolo uvedených 10 rovníc). Počet žiakov - 28. zvládlo to - 14 %, nebezpečenstvo DD (zohľadnené) - 68 %, nepovinnosť (zohľadnené) - 36 %.

Cieľ: identifikácia: kedy, prečo a ako nájsť ODZ.

problém: rovnice a nerovnice, v ktorých je potrebné nájsť ODZ nenašli v kurze algebry miesto na systematickú prezentáciu, zrejme aj preto sa s mojimi rovesníkmi často pri riešení takýchto príkladov mýlime, trávime ich riešením veľa času, pričom zabúdame o ODZ.

Úlohy:

1. Ukážte význam ODZ pri riešení rovníc a nerovníc.
2. Vykonajte praktickú prácu na túto tému a zhrňte jej výsledky.

Myslím, že vedomosti a zručnosti, ktoré som nadobudol, mi pomôžu vyriešiť otázku: je potrebné hľadať DZ alebo nie? Prestanem robiť chyby tým, že sa naučím správne robiť ODZ. Či to dokážem, ukáže čas, alebo skôr Jednotná štátna skúška.

Kapitola 1

čo je ODZ?

ODZ je rozsah prijateľných hodnôt, to znamená, že toto sú všetky hodnoty premennej, pre ktoré má výraz zmysel.

Dôležité. Na nájdenie ODZ príklad neriešime! Riešime kúsky príkladu, aby sme našli zakázané miesta.

Niektoré zákazy v matematike. Takýchto zakázaných úkonov je v matematike veľmi málo. Nie každý si ich však pamätá...

• Výrazy pozostávajúce zo znamienka párnej násobnosti alebo musia byť >0 alebo rovné nule, ODZ:f(x)
• Výraz v menovateli zlomku sa nemôže rovnať nule, ODZ:f(x)
• |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0

Ako zaznamenať ODZ? Veľmi jednoduché. Vedľa príkladu vždy napíšte ODZ. Pod tieto známe písmená pri pohľade na pôvodnú rovnicu zapíšeme hodnoty x, ktoré sú povolené pre pôvodný príklad. Transformácia príkladu môže zmeniť OD a podľa toho aj odpoveď.

Algoritmus na nájdenie ODZ:

1. Určite typ zákazu.
2. Nájdite hodnoty, pri ktorých výraz nedáva zmysel.
3. Odstráňte tieto hodnoty z množiny reálnych čísel R.

Vyriešte rovnicu: =

Bez DZ	S ODZ
Odpoveď: x=5	ODZ: => => Odpoveď: žiadne korene

Rozsah prijateľných hodnôt nás chráni pred takýmito vážnymi chybami. Úprimne povedané, práve kvôli ODZ sa mnohí „šokoví študenti“ menia na študentov „C“. Vzhľadom na to, že hľadanie a zohľadnenie DL je bezvýznamný krok v rozhodovaní, preskočia ho a potom sa čudujú: „prečo tomu učiteľ dal 2?“ Áno, preto som to uviedol, pretože odpoveď je nesprávna! Toto nie je učiteľské „hnidopišstvo“, ale veľmi špecifická chyba, rovnako ako nesprávny výpočet alebo stratené znamenie.

Dodatočné rovnice:

a) = ; b) -42 = 14x+; c) = 0; d) |x-5|=2x-2

Kapitola 2

ODZ. Prečo? Kedy? Ako?

Rozsah prijateľných hodnôt - existuje riešenie

1. ODZ je prázdna množina, čo znamená, že pôvodný príklad nemá žiadne riešenia

• = ODZ:

Odpoveď: žiadne korene.

• = ODZ:

Odpoveď: žiadne korene.

0, rovnica nemá korene

Odpoveď: žiadne korene.

Ďalšie príklady:

a) + = 5; b)+=23x-18; c) = 0.

1. ODZ obsahuje jedno alebo viac čísel a jednoduchá substitúcia rýchlo určí korene.

ODZ: x=2, x=3

Kontrola: x=2, +, 0<1, верно

Kontrola: x=3, + , 0<1, верно.

Odpoveď: x=2, x=3.

• > ODZ: x=1,x=0

Skontrolujte: x=0, > , 0>0, nesprávne

Skontrolujte: x=1, > , 1>0, pravda

Odpoveď: x=1.

• + = x ODZ: x = 3

Skontrolujte: + =3, 0=3, nesprávne.

Odpoveď: žiadne korene.

Ďalšie príklady:

a) = ; b) + = 0; c) + = x -1

Nebezpečenstvo DD

Upozorňujeme, že transformácia identity môže:

• neovplyvňujú DL;
• viesť k rozšírenému DL;
• viesť k zúženiu ODZ.

Je tiež známe, že v dôsledku niektorých transformácií, ktoré menia pôvodnú ODZ, môže dôjsť k nesprávnym rozhodnutiam.

Ukážme si každý prípad na príklade.

1) Uvažujme výraz x + 4x + 7x, ODZ premennej x je pre to množina R. Uveďme podobné pojmy. V dôsledku toho bude mať tvar x 2 + 11x. Je zrejmé, že ODZ premennej x tohto výrazu je tiež množina R. Vykonaná transformácia teda nezmenila ODZ.

2) Vezmite rovnicu x+ - =0. V tomto prípade ODZ: x≠0. Aj tento výraz obsahuje podobné členy, po zmenšení ktorých dospejeme k výrazu x, pre ktorý je ODZ R. Čo vidíme: v dôsledku transformácie došlo k rozšíreniu ODZ (k ODZ pribudlo číslo nula). premenná x pre pôvodný výraz).

3) Zoberme si výraz. VA premennej x je určená nerovnosťou (x−5)·(x−2)≥0, VA: (−∞, 2]∪∪/Režim prístupu: Materiály zo stránok www.fipi.ru, www.eg

Rozsah prijateľných hodnôt - existuje riešenie [Elektronický zdroj]/Režim prístupu: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ODZ - oblasť prijateľných hodnôt, ako nájsť ODZ [Elektronický zdroj]/Režim prístupu: smartstudents.ru›expressions/odz.html

Rozsah prijateľných hodnôt: teória a prax [Elektronický zdroj]/Režim prístupu: pandia.ru›text/78/083/13650.php

Čo je ODZ [Elektronický zdroj]/ Režim prístupu: www.cleverstudents.ru›odz.html

Čo je ODZ a ako ho hľadať - vysvetlenie a príklad. Elektronický zdroj]/ Režim prístupu: cos-cos.ru›math/82/

Príloha 1

Praktická práca "ODZ: kedy, prečo a ako?"

možnosť 1	Možnosť 2
│x+14│= 2 - 2x
	│3x│=1 - 3x

Dodatok 2

Odpovede na úlohy praktická práca"ODZ: kedy, prečo a ako?"

možnosť 1	Možnosť 2
Odpoveď: žiadne korene	Odpoveď: x-akékoľvek číslo okrem x=5
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Odpoveď: žiadne korene	ODZ: x=-3, x=5. Odpoveď: -3;5.
y= -klesá, y= -zvyšuje sa To znamená, že rovnica má najviac jeden koreň. Odpoveď: x=6.	ODZ: → →х≥5 Odpoveď: x≥5, x≤-6.
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 nepatrí do ODZ	Znižuje, zvyšuje Rovnica má najviac jeden koreň. Odpoveď: žiadne korene.
0, ODZ: x≥3, x≤2 Odpoveď: x≥3, x≤2	8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Odpoveď: žiadne korene.
x=7, x=1. Odpoveď: žiadne riešenia	Zvyšovanie - klesanie Odpoveď: x=2.
0 ODZ: x≠15 Odpoveď: x je akékoľvek číslo okrem x=15.	│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 nepatrí do ODZ. Odpoveď: x=-1.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu určitá osoba alebo spojenie s ním.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym konaním, súdnym konaním a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

ako?
Príklady riešení

Ak niekde niečo chýba, znamená to, že niekde niečo je

Pokračujeme v štúdiu časti „Funkcie a grafy“ a ďalšou stanicou na našej ceste je. Aktívna diskusia o tomto koncepte začala v článku o zostavách a pokračovala v prvej lekcii funkčné grafy, kde som sa pozrel na elementárne funkcie a najmä na ich definičné domény. Preto odporúčam, aby figuríny začali základmi témy, keďže sa nebudem znova venovať niektorým základným bodom.

Predpokladá sa, že čitateľ pozná oblasť definície nasledujúcich funkcií: lineárna, kvadratická, kubická funkcia, polynómy, exponenciála, sínus, kosínus. Sú definované na (množina všetkých reálnych čísel). Pre tangens, arcsínus, tak nech, prepáčim =) - redšie grafy sa hneď nezapamätajú.

Rozsah definície sa zdá byť jednoduchý a vynára sa logická otázka: o čom bude článok? V tejto lekcii sa pozriem na bežné problémy pri hľadaní domény funkcie. Navyše budeme opakovať nerovnosti s jednou premennou, ktorých riešiteľské schopnosti sa budú vyžadovať pri iných úlohách vyššia matematika. Materiál je mimochodom všetok školský materiál, takže bude užitočný nielen pre študentov, ale aj pre študentov. Informácie, samozrejme, nepredstierajú, že sú encyklopedické, ale tu nie sú pritiahnuté „mŕtve“ príklady, ale pečené gaštany, ktoré sú prevzaté zo skutočných praktických prác.

Začnime rýchlym ponorom do témy. Stručne k tomu hlavnému: hovoríme o funkcii jednej premennej. Jeho doménou definície je veľa významov "x", pre ktoré existujú významy „hráčov“. Pozrime sa na hypotetický príklad:

Oblasť definície tejto funkcie je spojenie intervalov:
(pre tých, ktorí zabudli: - ikona zjednotenia). Inými slovami, ak vezmete akúkoľvek hodnotu „x“ z intervalu , alebo z , alebo z , potom pre každé takéto „x“ bude existovať hodnota „y“.

Zhruba povedané, tam, kde je doména definície, existuje graf funkcie. Polinterval a bod „tse“ však nie sú zahrnuté v oblasti definície a neexistuje tam žiadny graf.

Ako nájsť doménu funkcie? Mnoho ľudí si pamätá detskú riekanku: „kameň, papier, nožnice“ a v tomto prípade sa dá bezpečne parafrázovať: „odmocnina, zlomok a logaritmus“. Teda, ak si životná cesta narazíte na zlomok, koreň alebo logaritmus, mali by ste byť okamžite veľmi, veľmi opatrní! Tangenta, kotangens, arksínus, arkkozín sú oveľa menej bežné a tiež si o nich povieme. Najprv však náčrty zo života mravcov:

Doména funkcie, ktorá obsahuje zlomok

Predpokladajme, že máme funkciu obsahujúcu nejaký zlomok. Ako viete, nemôžete deliť nulou: , takže tie Hodnoty „X“, ktoré menia menovateľa na nulu, nie sú zahrnuté v rozsahu tejto funkcie.

Nebudem sa venovať tomu najviac jednoduché funkcie Páči sa mi to atď., pretože každý dokonale vidí body, ktoré nie sú zahrnuté v jeho doméne definície. Pozrime sa na zmysluplnejšie zlomky:

Príklad 1

Nájdite doménu funkcie

Riešenie: V čitateli nie je nič zvláštne, no menovateľ musí byť nenulový. Nastavme ho na nulu a pokúsme sa nájsť „zlé“ body:

Výsledná rovnica má dva korene: . Hodnoty údajov nie sú v rozsahu funkcie. Vskutku, dosaďte alebo do funkcie a uvidíte, že menovateľ ide na nulu.

Odpoveď: doména:

Záznam znie takto: „definičný obor sú všetky reálne čísla s výnimkou množiny pozostávajúcej z hodnôt " Dovoľte mi pripomenúť, že symbol spätnej lomky v matematike označuje logické odčítanie a zložené zátvorky označujú množinu. Odpoveď možno ekvivalentne napísať ako spojenie troch intervalov:

Komu sa to páči.

V bodoch funkcia toleruje nekonečné prestávky a priamky dané rovnicami sú vertikálne asymptoty pre graf tejto funkcie. Toto je však trochu iná téma a ďalej tomu nebudem venovať veľkú pozornosť.

Príklad 2

Nájdite doménu funkcie

Úloha je v podstate ústna a mnohí z vás takmer okamžite nájdu oblasť definície. Odpoveď je na konci lekcie.

Bude zlomok vždy „zlý“? Nie Napríklad funkcia je definovaná na celej číselnej osi. Bez ohľadu na to, akú hodnotu „x“ vezmeme, menovateľ nepôjde na nulu, navyše bude vždy kladný: . Rozsah tejto funkcie je teda: .

Všetky funkcie ako definované a nepretržitý na .

Situácia je trochu komplikovanejšia, keď je menovateľ obsadený kvadratickým trinomom:

Príklad 3

Nájdite doménu funkcie

Riešenie: Skúsme nájsť body, v ktorých menovateľ klesne na nulu. Pre toto sa rozhodneme kvadratická rovnica:

Diskriminant sa ukázal ako záporný, čo znamená, že neexistujú žiadne skutočné korene a naša funkcia je definovaná na celej číselnej osi.

Odpoveď: doména:

Príklad 4

Nájdite doménu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie. Odporúčam vám, aby ste neboli leniví s jednoduchými problémami, pretože nedorozumenia sa budú hromadiť s ďalšími príkladmi.

Doména funkcie s koreňom

Funkcia druhej odmocniny je definovaná len pre tie hodnoty „x“, keď radikálny výraz nie je negatívny: . Ak sa koreň nachádza v menovateli , potom je podmienka zjavne sprísnená: . Podobné výpočty sú platné pre každý koreň kladného párneho stupňa: , však koreň je už 4. stupňa v funkčné štúdie nepamätám si.

Príklad 5

Nájdite doménu funkcie

Riešenie: radikálny výraz musí byť nezáporný:

Pred pokračovaním v riešení pripomeniem základné pravidlá práce s nerovnosťami, známe zo školy.

Vezmite prosím na vedomie Osobitná pozornosť! Teraz uvažujeme o nerovnostiach s jednou premennou- to znamená, že pre nás existuje len jeden rozmer pozdĺž osi. Prosím, nezamieňajte s nerovnosti dvoch premenných, kde je geometricky zapojená celá súradnicová rovina. Sú však aj príjemné náhody! Takže pre nerovnosť sú ekvivalentné nasledujúce transformácie:

1) Podmienky je možné preniesť z časti na časť zmenou ich (podmienok) znamenia.

2) Obe strany nerovnosti možno vynásobiť kladným číslom.

3) Ak sú obe strany nerovnosti vynásobené o negatívnečíslo, potom ho musíte zmeniť znakom samotnej nerovnosti. Napríklad, ak tam bolo „viac“, potom sa to stane „menej“; ak to bolo „menej alebo rovné“, potom sa stane „väčším alebo rovným“.

V nerovnosti presunieme „trojku“ do pravá strana so zmenou označenia (pravidlo č. 1):

Vynásobme obe strany nerovnosti –1 (pravidlo č. 3):

Vynásobme obe strany nerovnosti (pravidlo č. 2):

Odpoveď: doména:

Odpoveď možno napísať aj ekvivalentnou frázou: „funkcia je definovaná na .
Geometricky je oblasť definície znázornená tieňovaním zodpovedajúcich intervalov na osi x. V tomto prípade:

Ešte raz pripomínam geometrický význam definičný obor – graf funkcie existuje iba v zatienenej oblasti a chýba v .

Vo väčšine prípadov je vhodné čisto analytické určenie domény definície, ale keď je funkcia veľmi komplikovaná, mali by ste nakresliť os a robiť si poznámky.

Príklad 6

Nájdite doménu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.

Keď je pod druhou odmocninou štvorcový binom alebo trojčlen, situácia sa trochu skomplikuje a teraz podrobne analyzujeme techniku ​​riešenia:

Príklad 7

Nájdite doménu funkcie

Riešenie: radikálny výraz musí byť striktne pozitívny, to znamená, že musíme vyriešiť nerovnosť. V prvom kroku sa pokúsime vypočítať kvadratický trinom:

Diskriminant je pozitívny, hľadáme korene:

Takže parabola pretína os úsečky v dvoch bodoch, čo znamená, že časť paraboly sa nachádza pod osou (nerovnosť) a časť paraboly sa nachádza nad osou (nerovnosť, ktorú potrebujeme).

Keďže koeficient je , vetvy paraboly smerujú nahor. Z vyššie uvedeného vyplýva, že nerovnosť je splnená na intervaloch (vetvy paraboly idú nahor do nekonečna) a vrchol paraboly sa nachádza na intervale pod osou x, čo zodpovedá nerovnosti:

! Poznámka: Ak úplne nerozumiete vysvetleniam, nakreslite druhú os a celú parabolu! Je vhodné vrátiť sa k článku a manuálu Horúce vzorce pre kurz školskej matematiky.

Upozorňujeme, že samotné body sú odstránené (nie sú zahrnuté v riešení), pretože naša nerovnosť je prísna.

Odpoveď: doména:

Vo všeobecnosti mnohé nerovnosti (vrátane tej uvažovanej) rieši univerzál intervalová metóda, známy opäť z školské osnovy. Ale v prípade štvorcových dvojčlenov a trojčlenov je podľa môjho názoru oveľa pohodlnejšie a rýchlejšie analyzovať umiestnenie paraboly vzhľadom na os. A hlavnú metódu - intervalovú metódu - podrobne rozoberieme v článku. Funkčné nuly. Intervaly stálosti.

Príklad 8

Nájdite doménu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Ukážka podrobne komentuje logiku uvažovania + druhý spôsob riešenia a ďalšiu dôležitú premenu nerovnosti, bez znalosti ktorej bude študent krívať na jednu nohu..., ...hmm... snáď som sa nadchol o nohe, skôr na jednom prste. Palec.

Môže byť funkcia druhej odmocniny definovaná na celej číselnej osi? určite. Všetky známe tváre: . Alebo podobný súčet s exponentom: . V skutočnosti pre akékoľvek hodnoty „x“ a „ka“: , teda tiež a .

Tu je menej jasný príklad: . Tu je diskriminant záporný (parabola nepretína os x), zatiaľ čo vetvy paraboly smerujú nahor, teda doména definície: .

Opačná otázka: môže byť definičný obor funkcie prázdny? Áno, a primitívny príklad sa okamžite naznačuje , kde radikálny výraz je záporný pre akúkoľvek hodnotu „x“ a doména definície: (ikona prázdnej sady). Takáto funkcia nie je vôbec definovaná (samozrejme aj graf je iluzórny).

So zvláštnymi koreňmi atď. všetko je oveľa lepšie - tu radikálne vyjadrenie môže byť negatívne. Napríklad funkcia je definovaná na celej číselnej osi. Funkcia má však jeden bod, ktorý stále nie je zahrnutý v doméne definície, pretože menovateľ je nastavený na nulu. Z rovnakého dôvodu funkcie body sú vylúčené.

Doména funkcie s logaritmom

Treťou spoločnou funkciou je logaritmus. Ako ukážku nakreslím prirodzený logaritmus, ktorý sa vyskytuje v približne 99 príkladoch zo 100. Ak určitá funkcia obsahuje logaritmus, potom by jej doména definície mala zahŕňať iba tie hodnoty „x“, ktoré spĺňajú nerovnosť. Ak je logaritmus v menovateli: , potom dodatočne je uložená podmienka (od ).

Príklad 9

Nájdite doménu funkcie

Riešenie: v súlade s vyššie uvedeným zostavíme a vyriešime systém:

Grafické riešenie pre figuríny:

Odpoveď: doména:

Zastavím sa ešte pri jednom technický bod– Nemám vyznačenú mierku a dieliky pozdĺž osi nie sú označené. Vynára sa otázka: ako urobiť takéto kresby v notebooku na kockovanom papieri? Mala by sa vzdialenosť medzi bodmi merať bunkami striktne podľa mierky? Je kanonický a prísnejší, samozrejme, v mierke, ale celkom prijateľný je aj schematický nákres, ktorý zásadne odráža situáciu.

Príklad 10

Nájdite doménu funkcie

Na vyriešenie problému môžete použiť metódu predchádzajúceho odseku - analyzujte, ako je parabola umiestnená vzhľadom na os x. Odpoveď je na konci lekcie.

Ako vidíte, v oblasti logaritmov je všetko veľmi podobné situácii s odmocninami: funkcia (štvorcová trojčlenka z príkladu č. 7) je definovaná na intervaloch a funkcii (štvorcový binom z príkladu č. 6) na intervale . Je nepríjemné dokonca povedať, že typové funkcie sú definované na celej číselnej osi.

Užitočné informácie : typická funkcia je zaujímavá, je definovaná na celej číselnej osi okrem bodky. Podľa vlastnosti logaritmu sa „dva“ môže vynásobiť mimo logaritmu, ale aby sa funkcia nezmenila, musí byť „x“ uzavreté pod znamienkom modulu: . Tu je ďalší pre vás" praktické využitie» modul =). To je to, čo musíte urobiť vo väčšine prípadov, keď búrate dokonca stupňa, napríklad: . Ak je základ stupňa napríklad evidentne kladný, potom znamienko modulu netreba a stačí použiť zátvorky: .

Aby sme sa vyhli opakovaniu, skomplikujme úlohu:

Príklad 11

Nájdite doménu funkcie

Riešenie: v tejto funkcii máme koreň aj logaritmus.

Radikálny výraz musí byť nezáporný: a výraz pod logaritmickým znakom musí byť striktne kladný: . Preto je potrebné vyriešiť systém:

Mnohí z vás veľmi dobre vedia alebo intuitívne tuší, že systémové riešenie musí vyhovovať každému stave.

Skúmaním polohy paraboly vzhľadom k osi dospejeme k záveru, že nerovnosť je splnená intervalom (modré tieňovanie):

Nerovnosť zjavne zodpovedá „červenému“ polintervalu.

Keďže musia byť splnené obe podmienky súčasne, potom riešením sústavy je priesečník týchto intervalov. "Spoločné záujmy" sú splnené v polčase.

Odpoveď: doména:

Typická nerovnosť, ako je demonštrovaná v príklade č. 8, nie je ťažké analyticky vyriešiť.

Nájdená doména sa nezmení pre „podobné funkcie“, napr. alebo . Môžete tiež pridať niektoré spojité funkcie, napríklad: , alebo takto: , alebo aj takto: . Ako sa hovorí, koreň a logaritmus sú tvrdohlavé veci. Jediná vec je, že ak je jedna z funkcií „resetovaná“ na menovateľa, zmení sa doména definície (hoci vo všeobecnom prípade to nie je vždy pravda). No, v matanskej teórii o tomto verbálnom... oh... sú vety.

Príklad 12

Nájdite doménu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Použitie kresby je celkom vhodné, pretože funkcia nie je najjednoduchšia.

Niekoľko ďalších príkladov na posilnenie materiálu:

Príklad 13

Nájdite doménu funkcie

Riešenie: poskladajme a vyriešme systém:

Všetky akcie už boli prediskutované v celom článku. Znázornime interval zodpovedajúci nerovnosti na číselnej osi a podľa druhej podmienky vylúčme dva body:

Význam sa ukázal ako úplne irelevantný.

Odpoveď: doména

Malá matematická hračka na variáciu 13. príkladu:

Príklad 14

Nájdite doménu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Kto to nestihol, má smolu ;-)

Záverečná časť lekcie je venovaná zriedkavejším, ale aj „pracovným“ funkciám:

Oblasti definície funkcií
s dotyčnicami, kotangens, arcsínusy, arkozínusy

Ak nejaká funkcia obsahuje , potom z jej domény definície vylúčené bodov , Kde Z– množina celých čísel. Najmä, ako je uvedené v článku Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií, funkcia má nasledujúce hodnoty:

To znamená, že doména definície dotyčnice: .

Nezabíjajme priveľa:

Príklad 15

Nájdite doménu funkcie

Riešenie: v tomto prípade nebudú do oblasti definície zahrnuté tieto body:

Hodíme „dvojku“ ľavej strany do menovateľa pravej strany:

Ako výsledok :

Odpoveď: doména: .

V zásade môže byť odpoveď napísaná ako kombinácia nekonečného počtu intervalov, ale konštrukcia bude veľmi ťažkopádna:

Analytické riešenie je úplne v súlade s geometrická transformácia grafu: ak sa argument funkcie vynásobí 2, potom sa jej graf zmenší na os dvakrát. Všimnite si, ako bola perióda funkcie skrátená na polovicu a body zlomu zdvojnásobil frekvenciu. Tachykardia.

Podobný príbeh s kotangentom. Ak nejaká funkcia obsahuje , potom sú body vylúčené z jej domény definície. Najmä pre funkciu automatického sériového snímania snímame nasledujúce hodnoty:

Inými slovami:

Zlomkové rovnice. ODZ.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Pokračujeme v zvládnutí rovníc. S lineárnymi a kvadratickými rovnicami už vieme pracovať. Zostáva posledný pohľad - zlomkové rovnice . Alebo sa tiež nazývajú oveľa slušnejšie - zlomkové racionálne rovnice . To je to isté.

Zlomkové rovnice.

Ako už názov napovedá, tieto rovnice nevyhnutne obsahujú zlomky. Ale nielen zlomky, ale zlomky, ktoré majú neznámy v menovateli. Aspoň v jednom. Napríklad:

Dovoľte mi pripomenúť, že ak sú menovatelia iba čísla, to sú lineárne rovnice.

Ako sa rozhodnúť zlomkové rovnice? V prvom rade sa zbavte zlomkov! Potom sa rovnica najčastejšie zmení na lineárnu alebo kvadratickú. A potom vieme, čo máme robiť... V niektorých prípadoch sa to môže zmeniť na identitu, napríklad 5=5 alebo nesprávny výraz, napríklad 7=2. Ale to sa stáva zriedka. Spomeniem to nižšie.

Ale ako sa zbaviť zlomkov!? Veľmi jednoduché. Použitie rovnakých identických transformácií.

Musíme vynásobiť celú rovnicu rovnakým výrazom. Aby sa znížili všetky menovatele! Všetko bude hneď jednoduchšie. Vysvetlím to na príklade. Musíme vyriešiť rovnicu:

Ako sa učilo v juniorské triedy? Všetko presunieme na jednu stranu, privedieme k spoločnému menovateľovi atď. Zabudni ako strašný sen! To je to, čo musíte urobiť, keď sčítate alebo odčítate zlomky. Alebo pracujete s nerovnosťami. A v rovniciach hneď vynásobíme obe strany výrazom, ktorý nám dá možnosť zredukovať všetky menovatele (t.j. v podstate o spoločného menovateľa). A čo je toto za výraz?

Na ľavej strane zmenšenie menovateľa vyžaduje násobenie x+2. A vpravo je potrebné násobenie číslom 2. To znamená, že rovnicu treba vynásobiť číslom 2(x+2). Násobiť:

Toto je bežné násobenie zlomkov, ale popíšem to podrobne:

Upozorňujeme, že zatiaľ neotváram držiak (x + 2)! Takže to píšem celé:

Na ľavej strane sa úplne stiahne (x+2), a vpravo 2. Čo bolo požadované! Po redukcii dostaneme lineárne rovnica:

A túto rovnicu dokáže vyriešiť každý! x = 2.

Poďme vyriešiť ďalší príklad, trochu komplikovanejší:

Ak si pamätáme, že 3 = 3/1, a 2x = 2x/ 1, môžeme napísať:

A opäť sa zbavíme toho, čo sa nám v skutočnosti nepáči - zlomkov.

Vidíme, že na zmenšenie menovateľa s X musíme zlomok vynásobiť (x – 2). A zopár nám nie je prekážkou. Nuž, množme sa. Všetky ľavá strana A všetky pravá strana:

Opäť zátvorky (x – 2) neprezrádzam. Pracujem so zátvorkou ako celkom, ako keby to bolo jedno číslo! Toto sa musí robiť vždy, inak sa nič nezníži.

S pocitom hlbokej spokojnosti redukujeme (x – 2) a dostaneme rovnicu bez zlomkov, s pravítkom!

Teraz otvoríme zátvorky:

Prinášame podobné, všetko presunieme na ľavú stranu a získame:

Predtým sa však naučíme riešiť iné problémy. Na úrokoch. To sú mimochodom hrable!

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Každý výraz s premennou má svoj vlastný rozsah platných hodnôt, ak existuje. Pri rozhodovaní treba vždy brať do úvahy ODZ. Ak chýba, môžete získať nesprávny výsledok.

Tento článok ukáže, ako správne nájsť ODZ a použiť príklady. Diskutovať sa bude aj o dôležitosti uvádzania DZ pri rozhodovaní.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Platné a neplatné hodnoty premenných

Táto definícia súvisí s povolenými hodnotami premennej. Keď predstavíme definíciu, uvidíme, k akému výsledku to povedie.

Od 7. ročníka začíname pracovať s číslami a číselné výrazy. Počiatočné definície s premennými prechádzajú k významu výrazov s vybranými premennými.

Keď existujú výrazy s vybranými premennými, niektoré z nich nemusia vyhovovať. Napríklad vyjadrenie v tvare 1: a, ak a = 0, potom to nedáva zmysel, pretože nie je možné deliť nulou. To znamená, že výraz musí mať hodnoty, ktoré sú v každom prípade vhodné a dajú odpoveď. Inými slovami, dávajú zmysel s existujúcimi premennými.

Definícia 1

Ak existuje výraz s premennými, potom má zmysel iba vtedy, ak sa hodnota dá vypočítať ich dosadením.

Definícia 2

Ak existuje výraz s premennými, potom to nemá zmysel, keď sa pri ich dosadení nedá hodnota vypočítať.

To znamená, že to znamená úplnú definíciu

Definícia 3

Existujúce prípustné premenné sú tie hodnoty, pre ktoré má výraz zmysel. A ak to nedáva zmysel, potom sa považujú za neprijateľné.

Na objasnenie vyššie uvedeného: ak existuje viac ako jedna premenná, potom môže existovať pár vhodných hodnôt.

Príklad 1

Uvažujme napríklad výraz v tvare 1 x - y + z, kde sú tri premenné. V opačnom prípade ho môžete zapísať ako x = 0, y = 1, z = 2, pričom iný záznam má tvar (0, 1, 2). Tieto hodnoty sa nazývajú platné, čo znamená, že hodnotu výrazu možno nájsť. Dostaneme, že 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. Z toho vidíme, že (1, 1, 2) sú neprijateľné. Výsledkom substitúcie je delenie nulou, teda 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

čo je ODZ?

Rozsah prijateľných hodnôt - dôležitý prvok pri výpočte algebraické výrazy. Preto stojí za to venovať pozornosť tomu pri výpočtoch.

Definícia 4

oblasť ODZ je množina hodnôt povolených pre daný výraz.

Pozrime sa na príklad výrazu.

Príklad 2

Ak máme výraz v tvare 5 z - 3, tak ODZ má tvar (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Toto je rozsah platných hodnôt, ktorý spĺňa premennú z pre daný výraz.

Ak existujú výrazy v tvare z x - y, potom je jasné, že x ≠ y, z má akúkoľvek hodnotu. Toto sa nazýva výrazy ODZ. Musí sa to vziať do úvahy, aby sa pri dosadzovaní nezískalo delenie nulou.

Rozsah prípustných hodnôt a rozsah definície majú rovnaký význam. Iba druhý z nich sa používa na výrazy a prvý sa používa na rovnice alebo nerovnice. Pomocou DL má výraz alebo nerovnosť zmysel. Oblasť definície funkcie sa zhoduje s rozsahom prípustných hodnôt premennej x pre výraz f (x).

Ako nájsť ODZ? Príklady, riešenia

Nájsť ODZ znamená nájsť všetko platné hodnoty, vhodné pre danú funkciu alebo nerovnosť. Nesplnenie týchto podmienok môže viesť k nesprávnym výsledkom. Na nájdenie ODZ je často potrebné prejsť transformáciami v danom výraze.

Existujú výrazy, pri ktorých je ich výpočet nemožný:

• ak existuje delenie nulou;
• prevzatie odmocniny zo záporného čísla;
• prítomnosť indikátora záporného celého čísla - iba pre kladné čísla;
• výpočet logaritmu záporného čísla;
• doména definície dotyčnice π 2 + π · k, k ∈ Z a kotangens π · k, k ∈ Z;
• nájdenie hodnoty arcsínusu a arkkozínu čísla pre hodnotu, ktorá nepatrí do [-1; 1].

To všetko ukazuje, aké dôležité je mať ODZ.

Príklad 3

Nájdite výraz ODZ x 3 + 2 x y − 4 .

Riešenie

Kocky je možné rozdeliť na ľubovoľné číslo. Tento výraz nemá zlomok, takže hodnoty x a y môžu byť ľubovoľné. To znamená, že ODZ je ľubovoľné číslo.

odpoveď: x a y – ľubovoľné hodnoty.

Príklad 4

Nájdite ODZ výrazu 1 3 - x + 1 0.

Riešenie

Je vidieť, že existuje jeden zlomok, ktorého menovateľ je nula. To znamená, že pre akúkoľvek hodnotu x dostaneme delenie nulou. To znamená, že môžeme dospieť k záveru, že tento výraz sa považuje za nedefinovaný, to znamená, že nemá žiadnu dodatočnú zodpovednosť.

odpoveď: ∅ .

Príklad 5

Nájdite ODZ daného výrazu x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Riešenie

Dostupnosť odmocnina označuje, že tento výraz musí byť väčší alebo rovný nule. Ak je negatívny, nemá to žiadny význam. To znamená, že je potrebné napísať nerovnosť v tvare x + 2 · y + 3 ≥ 0. To znamená, že toto je požadovaný rozsah prijateľných hodnôt.

odpoveď: množina x a y, kde x + 2 y + 3 ≥ 0.

Príklad 6

Určte výraz ODZ tvaru 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Riešenie

Podľa podmienky máme zlomok, takže jeho menovateľ by sa nemal rovnať nule. Dostaneme, že x + 1 - 1 ≠ 0. Radikálny výraz má zmysel vždy, keď je väčší alebo rovný nule, teda x + 1 ≥ 0. Keďže má logaritmus, jeho vyjadrenie musí byť striktne kladné, to znamená x 2 + 3 > 0. Základ logaritmu musí mať tiež kladnú hodnotu a musí sa líšiť od 1, potom pridáme podmienky x + 8 > 0 a x + 8 ≠ 1. Z toho vyplýva, že požadovaná ODZ bude mať formu:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Inými slovami, nazýva sa to systém nerovností s jednou premennou. Riešenie povedie k nasledujúcemu zápisu ODZ [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

odpoveď: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Prečo je dôležité brať do úvahy DPD pri zmene jazdy?

Pri transformáciách identity je dôležité nájsť ODZ. Sú prípady, kedy k existencii ODZ nedochádza. Aby ste pochopili, či daný výraz má riešenie, musíte porovnať VA premenných pôvodného výrazu a VA výsledného výrazu.

Transformácie identity:

• nemusí mať vplyv na DL;
• môže viesť k rozšíreniu alebo pridaniu DZ;
• môže zúžiť DZ.

Pozrime sa na príklad.

Príklad 7

Ak máme výraz v tvare x 2 + x + 3 · x, tak jeho ODZ je definovaná v celom definičnom obore. Ani pri prinesení podobných pojmov a zjednodušení výrazu sa ODZ nemení.

Príklad 8

Ak si vezmeme príklad výrazu x + 3 x − 3 x, potom je všetko inak. Máme zlomkový výraz. A vieme, že delenie nulou je neprijateľné. Potom má ODZ tvar (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Je vidieť, že nula nie je riešenie, preto ju pridáme so zátvorkou.

Uvažujme o príklade s prítomnosťou radikálneho výrazu.

Príklad 9

Ak existuje x - 1 · x - 3, mali by ste venovať pozornosť ODZ, pretože sa musí zapísať ako nerovnosť (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. Je možné riešiť intervalovou metódou, potom zistíme, že ODZ bude mať tvar (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Po transformácii x - 1 · x - 3 a aplikovaní vlastnosti koreňov máme, že ODZ možno doplniť a všetko zapísať vo forme sústavy nerovníc tvaru x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. Pri jeho riešení zistíme, že [ 3 , + ∞) . To znamená, že ODZ je kompletne zapísaná takto: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Treba sa vyhnúť transformáciám, ktoré zužujú DZ.

Príklad 10

Zoberme si príklad výrazu x - 1 · x - 3, keď x = - 1. Pri dosadzovaní dostaneme, že - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Ak tento výraz transformujeme a privedieme do tvaru x - 1 · x - 3, potom pri výpočte zistíme, že 2 - 1 · 2 - 3 výraz nedáva zmysel, keďže radikálny výraz by nemal byť záporný.

Je potrebné dodržať identické premeny, ktoré sa ODZ meniť nebudú.

Ak existujú príklady, ktoré ho rozširujú, potom by sa mal pridať do DL.

Príklad 11

Pozrime sa na príklad zlomku tvaru x x 3 + x. Ak zrušíme x, dostaneme 1 x 2 + 1. Potom sa ODZ rozšíri a stane sa (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Navyše pri výpočte už pracujeme s druhým zjednodušeným zlomkom.

V prítomnosti logaritmov je situácia mierne odlišná.

Príklad 12

Ak existuje výraz v tvare ln x + ln (x + 3), nahradí sa ln (x · (x + 3)) na základe vlastnosti logaritmu. Z toho môžeme vidieť, že ODZ od (0 , + ∞) do (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Preto na určenie ODZ ln (x · (x + 3)) je potrebné vykonať výpočty na ODZ, teda na množine (0, + ∞).

Pri riešení je vždy potrebné dbať na štruktúru a typ výrazu daný podmienkou. Ak sa oblasť definície nájde správne, výsledok bude pozitívny.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter