Sākotnēji, būdama tikai informācijas un empīrisku novērojumu apkopojums par kauliņu spēli, varbūtības teorija kļuva par pamatīgu zinātni. Pirmie, kas tam piešķīra matemātisko ietvaru, bija Fermā un Paskāls.

No domāšanas par mūžīgo līdz varbūtības teorijai

Divas personas, kurām varbūtības teorija ir parādā daudzas no savām pamatformulām, Blēzs Paskāls un Tomass Bejs, ir pazīstami kā dziļi reliģiozi cilvēki, no kuriem pēdējais ir presbiteriešu kalpotājs. Acīmredzot šo divu zinātnieku vēlme pierādīt maldīgu viedokli par kādu Fortūnu, kas dāvā veiksmi saviem favorītiem, deva stimulu šīs jomas pētījumiem. Galu galā patiesībā jebkura azartspēle ar tās laimestiem un zaudējumiem ir tikai matemātikas principu simfonija.

Pateicoties Chevalier de Mere kaislībai, kurš bija vienlīdz azartisks un pret zinātni vienaldzīgs cilvēks, Paskāls bija spiests atrast veidu, kā aprēķināt varbūtību. De Mēru interesēja šāds jautājums: "Cik reižu ir jāmet divi kauliņi pa pāriem, lai varbūtība iegūt 12 punktus pārsniegtu 50%?" Otrs jautājums, kas kungu ļoti ieinteresēja: “Kā sadalīt likmi starp nepabeigtās spēles dalībniekiem?” Protams, Paskāls sekmīgi atbildēja uz abiem de Meres jautājumiem, kurš nejauši kļuva par varbūtību teorijas izstrādes iniciatoru. Interesanti, ka de Meres persona palika zināma šajā jomā, nevis literatūrā.

Iepriekš neviens matemātiķis nekad nebija mēģinājis aprēķināt notikumu varbūtības, jo tika uzskatīts, ka tas ir tikai minējošs risinājums. Blēzs Paskāls sniedza pirmo notikuma varbūtības definīciju un parādīja, ka tas ir konkrēts skaitlis, ko var matemātiski pamatot. Varbūtību teorija ir kļuvusi par statistikas pamatu un tiek plaši izmantota mūsdienu zinātnē.

Kas ir nejaušība

Apsverot testu, ko var atkārtot bezgalīgs skaitlis reizes, tad mēs varam definēt nejaušu notikumu. Tas ir viens no iespējamiem eksperimenta rezultātiem.

Pieredze ir konkrētu darbību īstenošana nemainīgos apstākļos.

Lai varētu strādāt ar eksperimenta rezultātiem, notikumus parasti apzīmē ar burtiem A, B, C, D, E...

Nejauša notikuma varbūtība

Lai sāktu varbūtības matemātisko daļu, ir jādefinē visas tās sastāvdaļas.

Notikuma varbūtība ir kāda notikuma (A vai B) iespējamības skaitlisks mērs pieredzes rezultātā. Varbūtība ir apzīmēta kā P(A) vai P(B).

Varbūtības teorijā viņi izšķir:

• uzticams notikums tiek garantēts pieredzes P(Ω) = 1 rezultātā;
• neiespējami notikums nekad nevar notikt P(Ø) = 0;
• nejauši notikums atrodas starp ticamu un neiespējamu, tas ir, tā iestāšanās varbūtība ir iespējama, bet nav garantēta (gadījuma notikuma varbūtība vienmēr ir diapazonā 0≤Р(А)≤ 1).

Attiecības starp notikumiem

Tiek uzskatīts gan viens, gan notikumu A+B summa, kad notikums tiek skaitīts, kad ir izpildīts vismaz viens no komponentiem A vai B, vai abi, A un B.

Savstarpēji notikumi var būt:

• Tikpat iespējams.
• Saderīgs.
• Nesaderīgs.
• Pretēji (savstarpēji izslēdzoši).
• Atkarīgs.

Ja divi notikumi var notikt ar vienādu varbūtību, tad tie vienlīdz iespējams.

Ja notikuma A iestāšanās nesamazina līdz nullei notikuma B iestāšanās iespējamību, tad tie saderīgi.

Ja notikumi A un B nekad nenotiek vienlaicīgi vienā pieredzē, tad tos sauc nesaderīgi. Monētas mešana - labs piemērs: galvu parādīšanās automātiski ir galvas neparādīšanās.

Šādu nesavienojamu notikumu summas varbūtība sastāv no katra notikuma varbūtību summas:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ja viena notikuma iestāšanās padara neiespējamu cita iestāšanos, tad tos sauc par pretējiem. Tad viens no tiem tiek apzīmēts ar A, bet otrs - Ā (lasīt kā “ne A”). Notikuma A iestāšanās nozīmē, ka Ā nenotika. Šie divi notikumi veido pilnīgu grupu ar varbūtību summu, kas vienāda ar 1.

Atkarīgiem notikumiem ir savstarpēja ietekme, samazinot vai palielinot viens otra iespējamību.

Attiecības starp notikumiem. Piemēri

Izmantojot piemērus, ir daudz vieglāk izprast varbūtību teorijas principus un notikumu kombinācijas.

Eksperiments, kas tiks veikts, sastāv no bumbiņu izņemšanas no kastes, un katra eksperimenta rezultāts ir elementārs rezultāts.

Pasākums ir viens no iespējamie rezultāti pieredze - sarkana bumba, zila bumba, bumba ar numuru seši utt.

Pārbaudījums Nr.1. Ir iesaistītas 6 bumbiņas, no kurām trīs ir zilas ar nepāra skaitļiem, bet pārējās trīs ir sarkanas ar pāra skaitļiem.

Pārbaudījums Nr.2. Iesaistītas 6 bumbas zilā krāsā ar cipariem no viena līdz sešiem.

Pamatojoties uz šo piemēru, mēs varam nosaukt kombinācijas:

• Uzticams pasākums. Spāņu Nr.2 notikums “dabū zilo bumbu” ir uzticams, jo tā rašanās varbūtība ir vienāda ar 1, jo visas bumbiņas ir zilas un garām nevar būt. Savukārt notikums “dabū bumbiņu ar numuru 1” ir nejaušs.
• Neiespējams pasākums. Spāņu Nr.1 ar zilām un sarkanām bumbiņām, notikums “violetās bumbas iegūšana” nav iespējams, jo tā rašanās varbūtība ir 0.
• Tikpat iespējami notikumi. Spāņu Nr.1, vienlīdz iespējami notikumi “dabū bumbu ar numuru 2” un “dabū bumbu ar numuru 3”, un notikumi “dabū bumbu ar pāra skaitli” un “dabū bumbu ar numuru 2” ” ir dažādas varbūtības.
• Saderīgi notikumi. Divreiz pēc kārtas iegūt sešinieku, metot kauliņu, ir saderīgs notikums.
• Nesaderīgi notikumi. Tajā pašā spāņu valodā Nr.1, notikumus “dabū sarkano bumbu” un “dabū bumbiņu ar nepāra skaitli” nevar apvienot vienā pieredzē.
• Pretēji notikumi. Lielākā daļa spilgts piemērs Tā ir monētu mešana, kur galviņu zīmēšana ir līdzvērtīga astes nezīmēšanai, un to varbūtību summa vienmēr ir 1 (pilna grupa).
• Atkarīgi notikumi. Tātad, spāņu valodā Nr.1, jūs varat uzstādīt mērķi divas reizes pēc kārtas izvilkt sarkano bumbu. Tas, vai tas tiek izgūts pirmo reizi, ietekmē varbūtību, ka tas tiks izgūts otrajā reizē.

Redzams, ka pirmais notikums būtiski ietekmē otrā iespējamību (40% un 60%).

Notikuma varbūtības formula

Pāreja no zīlēšanas uz precīziem datiem notiek, pārvēršot tēmu matemātiskā plaknē. Tas ir, spriedumus par nejaušiem notikumiem, piemēram, “liela varbūtība” vai “minimālā varbūtība”, var pārvērst konkrētos skaitliskos datos. Jau tagad ir pieļaujams šādu materiālu vērtēt, salīdzināt un ievadīt sarežģītākos aprēķinos.

No aprēķina viedokļa notikuma varbūtības noteikšana ir elementāri pozitīvo iznākumu skaita attiecība pret visu iespējamo pieredzes iznākumu skaitu attiecībā uz konkrētu notikumu. Varbūtību apzīmē ar P(A), kur P apzīmē vārdu “varbūtība”, kas no franču valodas tiek tulkots kā “varbūtība”.

Tātad notikuma varbūtības formula ir šāda:

Kur m ir labvēlīgo iznākumu skaits notikumam A, n ir visu šai pieredzei iespējamo iznākumu summa. Šajā gadījumā notikuma varbūtība vienmēr ir no 0 līdz 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Notikuma varbūtības aprēķins. Piemērs

Ņemsim spāņu valodu. Nr.1 ar bumbiņām, kas tika aprakstīts iepriekš: 3 zilas bumbiņas ar cipariem 1/3/5 un 3 sarkanas bumbiņas ar cipariem 2/4/6.

Pamatojoties uz šo testu, var apsvērt vairākas dažādas problēmas:

• A - izkrīt sarkana bumbiņa. Ir 3 sarkanas bumbiņas, un kopā ir 6 iespējas vienkāršākais piemērs, kurā notikuma varbūtība ir vienāda ar P(A)=3/6=0,5.
• B - pāra skaitļa ripināšana. Ir 3 pāra skaitļi (2,4,6), un Kopā Iespējamie skaitliski varianti ir 6. Šī notikuma varbūtība ir P(B)=3/6=0,5.
• C - skaitļa, kas lielāks par 2, rašanās. Ir 4 šādas iespējas (3,4,5,6) no kopējā iespējamo iznākumu skaita 6. Notikuma C varbūtība ir vienāda ar P(C)=4 /6=0,67.

Kā redzams no aprēķiniem, notikumam C ir lielāka iespējamība, jo iespējamo pozitīvo iznākumu skaits ir lielāks nekā A un B gadījumā.

Nesaderīgi notikumi

Šādi notikumi nevar parādīties vienlaicīgi vienā pieredzē. Kā spāņu valodā Nr.1 nav iespējams dabūt zilu un sarkanu bumbiņu vienlaicīgi. Tas ir, jūs varat iegūt zilu vai sarkanu bumbiņu. Tādā pašā veidā kauliņā nevar parādīties pāra un nepāra skaitlis vienlaikus.

Divu notikumu varbūtība tiek uzskatīta par to summas vai reizinājuma varbūtību. Šādu notikumu summu A+B uzskata par notikumu, kas sastāv no notikuma A vai B iestāšanās, un to reizinājums AB ir abu iestāšanās. Piemēram, divu sešinieku parādīšanās uzreiz uz divu kauliņu sejām vienā metienā.

Vairāku notikumu summa ir notikums, kas paredz iestāšanos, saskaņā ar vismaz, viens no viņiem. Vairāku notikumu radīšana ir to visu kopīga norise.

Varbūtību teorijā, kā likums, savienojuma “un” lietošana apzīmē summu, bet savienojuma “vai” lietošana - reizināšanu. Formulas ar piemēriem palīdzēs izprast saskaitīšanas un reizināšanas loģiku varbūtību teorijā.

Nesaderīgu notikumu summas varbūtība

Ja ņem vērā nesaderīgu notikumu varbūtību, tad notikumu summas varbūtība ir vienāda ar to varbūtību saskaitīšanu:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Piemēram: aprēķināsim varbūtību, ka spāņu valodā. Nr.1 ar zilām un sarkanām bumbiņām parādīsies skaitlis no 1 līdz 4. Rēķināsim nevis vienā darbībā, bet gan pēc elementāro komponentu varbūtību summas. Tātad šādā eksperimentā ir tikai 6 bumbiņas vai 6 no visiem iespējamiem rezultātiem. Skaitļi, kas apmierina nosacījumu, ir 2 un 3. Varbūtība iegūt skaitli 2 ir 1/6, varbūtība iegūt skaitli 3 arī ir 1/6. Varbūtība iegūt skaitli no 1 līdz 4 ir:

Pilnas grupas nesaderīgo notikumu summas varbūtība ir 1.

Tātad, ja eksperimentā ar kubu mēs saskaitām visu skaitļu parādīšanās varbūtības, rezultāts būs viens.

Tas attiecas arī uz pretējiem notikumiem, piemēram, eksperimentā ar monētu, kur viena puse ir notikums A, bet otra ir pretējs notikumsĀ, kā zināms,

P(A) + P(Ā) = 1

Nesaderīgu notikumu rašanās varbūtība

Varbūtības reizināšanu izmanto, apsverot divu vai vairāku nesaderīgu notikumu rašanos vienā novērojumā. Varbūtība, ka notikumi A un B tajā parādīsies vienlaikus, ir vienāda ar to varbūtību reizinājumu vai:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Piemēram, varbūtība, ka spāņu valodā Nr.1, divu mēģinājumu rezultātā divreiz parādīsies zila bumbiņa, kas vienāda ar

Tas nozīmē, ka notikuma iespējamība, kad divu bumbiņu izvilkšanas mēģinājumu rezultātā tiek izvilktas tikai zilās bumbiņas, ir 25%. Ir ļoti viegli veikt praktiskus eksperimentus par šo problēmu un noskaidrot, vai tas tā ir.

Kopīgi pasākumi

Notikumi tiek uzskatīti par kopīgiem, ja viens no tiem var sakrist ar cita rašanos. Neskatoties uz to, ka tie ir kopīgi, tiek ņemta vērā neatkarīgu notikumu iespējamība. Piemēram, divu kauliņu mešana var dot rezultātu, kad uz abiem parādās cipars 6. Lai gan notikumi sakrita un parādījās vienlaicīgi, tie ir neatkarīgi viens no otra – var izkrist tikai viens sešnieks, otrajam kauliņam nav. ietekme uz to.

Kopīgu notikumu varbūtība tiek uzskatīta par to summas varbūtību.

Kopīgo notikumu summas varbūtība. Piemērs

Notikumu A un B summas varbūtība, kas ir kopīgi attiecībā pret otru, ir vienāda ar notikuma varbūtību summu, no kuras atņemta to iestāšanās varbūtība (tas ir, to kopīgā iestāšanās):

R locītava (A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Pieņemsim, ka varbūtība trāpīt mērķī ar vienu šāvienu ir 0,4. Tad notikums A trāpa mērķī pirmajā mēģinājumā, B - otrajā. Šie notikumi ir kopīgi, jo ir iespējams, ka jūs varat sasniegt mērķi gan ar pirmo, gan otro šāvienu. Bet notikumi nav atkarīgi. Kāda ir varbūtība, ka ar diviem šāvieniem (vismaz ar vienu) tiks sasniegts mērķis? Pēc formulas:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Atbilde uz jautājumu ir: “Iespējamība, ka ar diviem šāvieniem trāpīs mērķī, ir 64%.

Šo notikuma varbūtības formulu var attiecināt arī uz nesaderīgiem notikumiem, kur notikuma kopīgas iestāšanās varbūtība P(AB) = 0. Tas nozīmē, ka nesavienojamo notikumu summas varbūtību var uzskatīt par īpašu gadījumu. no piedāvātās formulas.

Varbūtības ģeometrija skaidrības labad

Interesanti, ka kopīgu notikumu summas varbūtību var attēlot kā divus apgabalus A un B, kas krustojas viens ar otru. Kā redzams no attēla, viņu savienības laukums ir vienāds ar kopējais laukums mīnus to krustojuma laukums. Šis ģeometriskais skaidrojums šķietami neloģisko formulu padara saprotamāku. Pieraksti to ģeometriski risinājumi- varbūtības teorijā nav nekas neparasts.

Daudzu (vairāk nekā divu) kopīgu notikumu summas varbūtības noteikšana ir diezgan apgrūtinoša. Lai to aprēķinātu, jums jāizmanto formulas, kas ir paredzētas šiem gadījumiem.

Atkarīgi notikumi

Notikumi tiek saukti par atkarīgiem, ja viena (A) no tiem iestāšanās ietekmē cita (B) iestāšanās iespējamību. Turklāt tiek ņemta vērā gan notikuma A iestāšanās, gan tā nenotikšanas ietekme. Lai gan notikumus pēc definīcijas sauc par atkarīgiem, tikai viens no tiem ir atkarīgs (B). Parastā varbūtība tika apzīmēta kā P(B) vai neatkarīgu notikumu varbūtība. Atkarīgo notikumu gadījumā tiek ieviests jauns jēdziens - nosacītā varbūtība P A (B), kas ir atkarīgā notikuma B varbūtība, kas ir pakļauta notikuma A iestāšanās brīdim (hipotēze), no kuras tā ir atkarīga.

Bet notikums A arī ir nejaušs, tāpēc arī tam ir iespējamība, kas nepieciešama un var tikt ņemta vērā veiktajos aprēķinos. Šis piemērs parādīs, kā strādāt ar atkarīgiem notikumiem un hipotēzi.

Atkarīgo notikumu varbūtības aprēķināšanas piemērs

Labs piemērs atkarīgo notikumu aprēķināšanai būtu standarta kāršu komplekts.

Kā piemēru izmantojot 36 kāršu klāju, apskatīsim atkarīgos notikumus. Mums ir jānosaka varbūtība, ka otrā no klāja izvilktā kārts būs no rombiem, ja pirmā izvilktā kārts ir:

1. Bubnovaja.
2. Citāda krāsa.

Acīmredzot otrā notikuma B varbūtība ir atkarīga no pirmā A. Tātad, ja pirmais variants ir patiess, ka kavā ir par 1 kārti (35) un 1 rombiņu (8) mazāk, notikuma B varbūtība:

RA (B) = 8/35 = 0,23

Ja otrā iespēja ir patiesa, tad klājā ir 35 kārtis un joprojām tiek saglabāts pilns dimantu skaits (9), tad šāda notikuma B varbūtība:

RA (B) = 9/35 = 0,26.

Redzams, ka, ja notikums A ir nosacīts no tā, ka pirmā kārts ir dimants, tad notikuma B varbūtība samazinās un otrādi.

Atkarīgo notikumu pavairošana

Vadoties pēc iepriekšējās nodaļas, mēs pieņemam pirmo notikumu (A) kā faktu, bet pēc būtības tas ir nejauša rakstura. Šī notikuma iespējamība, proti, dimanta izvilkšana no kāršu klāja, ir vienāda ar:

P(A) = 9/36 = 1/4

Tā kā teorija neeksistē pati par sevi, bet ir paredzēta praktiskiem mērķiem, ir godīgi atzīmēt, ka visbiežāk ir nepieciešama atkarīgu notikumu radīšanas varbūtība.

Saskaņā ar teorēmu par atkarīgo notikumu varbūtību reizinājumu, kopīgi atkarīgo notikumu A un B iestāšanās varbūtība ir vienāda ar viena notikuma A varbūtību, kas reizināta ar notikuma B nosacīto varbūtību (atkarīga no A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Tad klāja piemērā varbūtība izvilkt divas kārtis ar dimantu uzvalku ir:

9/36*8/35=0,0571 jeb 5,7%

Un varbūtība vispirms iegūt nevis dimantus, bet pēc tam dimantus ir vienāda ar:

27/36*9/35=0,19 jeb 19%

Var redzēt, ka notikuma B iespējamība ir lielāka ar nosacījumu, ka pirmā izvilktā kārts ir citas krāsas kārts, nevis dimanti. Šis rezultāts ir diezgan loģisks un saprotams.

Kopējā notikuma varbūtība

Ja problēma ar nosacītajām varbūtībām kļūst daudzpusīga, to nevar aprēķināt, izmantojot parastās metodes. Ja ir vairāk nekā divas hipotēzes, proti, A1, A2,…, A n, ..veido pilnīgu notikumu grupu ar nosacījumu:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Tātad notikuma B kopējās varbūtības formula ar pilnu nejaušu notikumu grupu A1, A2,..., A n ir vienāda ar:

Ieskats nākotnē

Nejauša notikuma iespējamība ir ārkārtīgi nepieciešama daudzās zinātnes jomās: ekonometrikā, statistikā, fizikā utt. Tā kā dažus procesus nevar aprakstīt deterministiski, jo tiem pašiem ir iespējamības raksturs, ir nepieciešamas īpašas darba metodes. Notikuma varbūtības teoriju var izmantot jebkurā tehnoloģiju jomā kā veidu, kā noteikt kļūdas vai darbības traucējumu iespējamību.

Var teikt, ka, apzinoties varbūtību, mēs kaut kādā veidā speram teorētisku soli nākotnē, skatoties uz to caur formulu prizmu.

Maz ticams, ka daudzi cilvēki domā par to, vai ir iespējams aprēķināt notikumus, kas ir vairāk vai mazāk nejauši. Vienkārši sakot vienkāršos vārdos, vai tiešām ir iespējams zināt, kura kuba puse nākamreiz nāks klajā? Tieši šo jautājumu sev uzdeva divi izcili zinātnieki, kuri lika pamatus tādai zinātnei kā varbūtības teorija, kurā diezgan plaši tiek pētīta notikuma iespējamība.

Izcelsme

Ja mēģināt definēt šādu jēdzienu kā varbūtības teoriju, jūs iegūsit sekojošo: šī ir viena no matemātikas nozarēm, kas pēta nejaušu notikumu noturību. Protams, šī koncepcija īsti neatklāj visu būtību, tāpēc ir nepieciešams to apsvērt sīkāk.

Es gribētu sākt ar teorijas veidotājiem. Kā minēts iepriekš, viņi bija divi, un viņi bija vieni no pirmajiem, kas mēģināja aprēķināt tā vai cita notikuma iznākumu, izmantojot formulas un matemātiskos aprēķinus. Kopumā šīs zinātnes pirmsākumi parādījās viduslaikos. Tajā laikā dažādi domātāji un zinātnieki mēģināja analizēt azartspēles, piemēram, ruleti, craps un tā tālāk, tādējādi nosakot konkrēta skaitļa izkrišanas modeli un procentuālo daudzumu. Pamatus septiņpadsmitajā gadsimtā ielika iepriekš minētie zinātnieki.

Sākumā viņu darbus nevarēja uzskatīt par lieliem sasniegumiem šajā jomā, jo viss, ko viņi darīja, bija vienkārši empīriski fakti, un eksperimenti tika veikti vizuāli, neizmantojot formulas. Laika gaitā bija iespējams sasniegt lieliskus rezultātus, kas parādījās kauliņu mešanas novērošanas rezultātā. Tieši šis rīks palīdzēja iegūt pirmās saprotamās formulas.

Līdzīgi domājoši cilvēki

Nav iespējams nepieminēt tādu personu kā Kristians Huigenss, pētot tēmu, ko sauc par “varbūtības teoriju” (notikuma varbūtība ir precīzi aplūkota šajā zinātnē). Šis cilvēks ir ļoti interesants. Viņš, tāpat kā iepriekš aprakstītie zinātnieki, mēģināja iegūt nejaušu notikumu modeli matemātisko formulu veidā. Zīmīgi, ka viņš to nedarīja kopā ar Paskālu un Fermā, tas ir, visi viņa darbi nekrustojas ar šiem prātiem. Huigenss secināja

Interesants fakts ir tas, ka viņa darbs iznāca ilgi pirms atklājēju darba rezultātiem, pareizāk sakot, divdesmit gadus agrāk. No identificētajiem jēdzieniem slavenākie ir:

• varbūtības jēdziens kā nejaušības vērtība;
• matemātiskās cerības diskrētiem gadījumiem;
• varbūtību reizināšanas un saskaitīšanas teorēmas.

Tāpat nevar neatcerēties, kurš arī devis būtisku ieguldījumu problēmas izpētē. Veicot pats savus testus, neatkarīgi no neviena, viņš spēja pierādīt likumu lieli skaitļi. Savukārt zinātnieki Puasons un Laplass, kuri strādāja deviņpadsmitā gadsimta sākumā, spēja pierādīt sākotnējās teorēmas. No šī brīža varbūtību teoriju sāka izmantot, lai analizētu kļūdas novērojumos. Krievu zinātnieki, pareizāk sakot, Markovs, Čebiševs un Djapunovs nevarēja ignorēt šo zinātni. Pamatojoties uz lielo ģēniju darbu, viņi izveidoja šo priekšmetu kā matemātikas nozari. Šie skaitļi darbojās jau deviņpadsmitā gadsimta beigās, un, pateicoties viņu ieguldījumam, tika pierādītas šādas parādības:

• lielo skaitļu likums;
• Markova ķēdes teorija;
• centrālā robežu teorēma.

Tātad ar zinātnes dzimšanas vēsturi un galvenajiem cilvēkiem, kas to ietekmējuši, viss ir vairāk vai mazāk skaidrs. Tagad ir pienācis laiks noskaidrot visus faktus.

Pamatjēdzieni

Pirms pieskarties likumiem un teorēmām, ir vērts izpētīt varbūtības teorijas pamatjēdzienus. Notikumam tajā ir vadošā loma. Šī tēma ir diezgan apjomīga, taču bez tās visu pārējo saprast nebūs iespējams.

Notikums varbūtību teorijā ir jebkura eksperimenta rezultātu kopa. Jēdzieni šī parādība tādu ir diezgan daudz. Tādējādi zinātnieks Lotmans, kas strādā šajā jomā, teica, ka šajā gadījumā mēs runājam par to, kas "notika, lai gan tas varēja nenotikt".

Nejauši notikumi (varbūtības teorija tiem pievērš īpašu uzmanību) ir jēdziens, kas nozīmē absolūti jebkuru parādību, kurai ir iespēja notikt. Vai, gluži pretēji, šis scenārijs var nenotikt, ja ir izpildīti daudzi nosacījumi. Ir arī vērts zināt, ka tie ir nejauši notikumi, kas aptver visu notikušo parādību apjomu. Varbūtības teorija norāda, ka visus nosacījumus var pastāvīgi atkārtot. Viņu rīcību sauc par “pieredzi” vai “pārbaudi”.

Uzticams notikums ir parādība, kas ir simtprocentīgi iespējama konkrētajā pārbaudē. Attiecīgi neiespējams notikums ir tāds, kas nenotiks.

Darbību pāra kombinācija (nosacīti, gadījums A un gadījums B) ir parādība, kas notiek vienlaicīgi. Tie ir apzīmēti kā AB.

Notikumu A un B pāru summa ir C, proti, ja notiek kaut viens no tiem (A vai B), tad tiks iegūts C. Aprakstītās parādības formulu raksta šādi: C = A + B.

Neatbilstoši notikumi varbūtības teorijā nozīmē, ka divi gadījumi ir viens otru izslēdzoši. Nekādā gadījumā tie nevar notikt vienlaikus. Kopīgi notikumi varbūtību teorijā ir to antipods. Šeit ir domāts tas, ka, ja A notika, tad tas nekādā veidā netraucē B.

Pretējus notikumus (varbūtību teorija tos aplūko ļoti detalizēti) ir viegli saprast. Labākais veids, kā tos saprast, ir salīdzināt. Tie ir gandrīz tādi paši kā nesaderīgi notikumi varbūtību teorijā. Taču to atšķirība slēpjas apstāklī, ka vienai no daudzajām parādībām ir jānotiek jebkurā gadījumā.

Vienlīdz iespējami notikumi ir tās darbības, kuru atkārtošanās ir vienāda. Lai padarītu to skaidrāku, varat iztēloties monētas mešanu: ja tiek zaudēta viena no tās pusēm, ir tikpat liela iespēja izkrist no otras puses.

Par labvēlīgu notikumu ir vieglāk uzskatīt piemēru. Pieņemsim, ka ir B sērija un A sērija. Pirmā ir kauliņa ripināšana ar nepāra skaitli, bet otrā ir skaitļa pieci parādīšanās uz kauliņa. Tad izrādās, ka A dod priekšroku B.

Neatkarīgi notikumi varbūtību teorijā tiek projicēti tikai divos vai vairākos gadījumos un nozīmē jebkuras darbības neatkarību no citas. Piemēram, A ir galviņu zaudēšana, metot monētu, un B ir domkrata izvilkšana no klāja. Tie ir neatkarīgi notikumi varbūtību teorijā. Šajā brīdī tas kļuva skaidrāks.

Arī atkarīgie notikumi varbūtību teorijā ir pieļaujami tikai to kopai. Tie nozīmē viena atkarību no otra, tas ir, parādība B var notikt tikai tad, ja A jau ir noticis vai, gluži pretēji, nav noticis, kad tas ir galvenais B nosacījums.

Nejauša eksperimenta, kas sastāv no viena komponenta, rezultāts ir elementāri notikumi. Varbūtības teorija skaidro, ka šī ir parādība, kas notika tikai vienu reizi.

Pamatformulas

Tātad iepriekš tika apspriesti jēdzieni “notikums” un “varbūtību teorija”, tika sniegta arī šīs zinātnes pamatjēdzienu definīcija. Tagad ir pienācis laiks tieši iepazīties ar svarīgajām formulām. Šīs izteiksmes matemātiski apstiprina visus galvenos jēdzienus tik sarežģītā priekšmetā kā varbūtības teorija. Arī šeit liela nozīme ir notikuma iespējamībai.

Labāk ir sākt ar pamata elementiem. Un, pirms sākat ar tiem, ir vērts apsvērt, kas tie ir.

Kombinatorika galvenokārt ir matemātikas nozare; tā nodarbojas ar milzīga skaita veselu skaitļu izpēti, kā arī ar dažādām pašu skaitļu un to elementu permutācijām, dažādiem datiem utt., Kā rezultātā rodas vairākas kombinācijas. Papildus varbūtību teorijai šī nozare ir svarīga statistikai, datorzinātnei un kriptogrāfijai.

Tātad, tagad mēs varam pāriet uz pašu formulu un to definīciju prezentāciju.

Pirmais no tiem būs permutāciju skaita izteiksme, tas izskatās šādi:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Vienādojumu piemēro tikai tad, ja elementi atšķiras tikai to izkārtojuma secībā.

Tagad tiks ņemta vērā izvietojuma formula, tā izskatās šādi:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Šī izteiksme ir piemērojama ne tikai elementa izvietojuma secībai, bet arī tā sastāvam.

Trešo kombinatorikas vienādojumu, kas ir arī pēdējais, sauc par kombināciju skaita formulu:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombinācija attiecas uz atlasēm, kas nav pasūtītas; attiecīgi šis noteikums attiecas uz tām.

Bija viegli saprast kombinatorikas formulas; tagad varat pāriet uz klasisko varbūtību definīciju. Šī izteiksme izskatās šādi:

Šajā formulā m ir notikumam A labvēlīgo apstākļu skaits, un n ir absolūti visu vienādi iespējamo un elementāro iznākumu skaits.

Pastāv liels skaits izteicienus, rakstā netiks aplūkoti visi, bet tiks skarti svarīgākie no tiem, piemēram, notikumu summas varbūtība:

P(A + B) = P(A) + P(B) - šī teorēma ir paredzēta tikai nesaderīgu notikumu pievienošanai;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - un šis ir paredzēts tikai saderīgu pievienošanai.

Notikumu rašanās varbūtība:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - šī teorēma ir neatkarīgiem notikumiem;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - un šis ir apgādājamajam.

Pasākumu sarakstu papildinās notikumu formula. Varbūtību teorija stāsta par Beijesa teorēmu, kas izskatās šādi:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Šajā formulā H 1, H 2, ..., H n ir pilna hipotēžu grupa.

Piemēri

Ja rūpīgi izpētīsit kādu matemātikas sadaļu, tā neiztiks bez uzdevumiem un risinājumu paraugiem. Tāpat arī varbūtības teorija: notikumi un piemēri šeit ir neatņemama sastāvdaļa, kas apstiprina zinātniskos aprēķinus.

Permutāciju skaita formula

Pieņemsim, ka kāršu komplektā ir trīsdesmit kārtis, sākot ar vienu vērtību. Nākamais jautājums. Cik daudzos veidos var sakraut kārtis, lai kārtis ar vērtību viens un divi neatrastos blakus?

Uzdevums ir uzstādīts, tagad pāriesim pie tā risināšanas. Vispirms jums jānosaka trīsdesmit elementu permutāciju skaits, šim nolūkam mēs ņemam iepriekš sniegto formulu, izrādās P_30 = 30!.

Pamatojoties uz šo noteikumu, mēs noskaidrojam, cik daudz iespēju ir salocīt klāju dažādos veidos, bet mums ir jāatņem no tiem tās, kurās pirmā un otrā kārts atrodas blakus. Lai to izdarītu, sāksim ar opciju, kad pirmais ir virs otrā. Izrādās, ka pirmā kārts var aizņemt divdesmit deviņas vietas – no pirmās līdz divdesmit devītajai, bet otrā kārts no otrās līdz trīsdesmitajai, kopā sastādot divdesmit deviņas vietas kāršu pārim. Savukārt pārējie var pieņemt divdesmit astoņas vietas, turklāt jebkurā secībā. Tas ir, lai pārkārtotu divdesmit astoņas kārtis, ir divdesmit astoņas iespējas P_28 = 28!

Rezultātā izrādās, ka, ja mēs apsvērsim risinājumu, kad pirmā kārts ir virs otrās, būs 29 ⋅ 28 papildu iespējas! = 29!

Izmantojot to pašu metodi, jums jāaprēķina lieko opciju skaits gadījumam, kad pirmā karte atrodas zem otrās. Izrādās arī 29⋅28! = 29!

No tā izriet, ka ir 2⋅ 29 papildu iespējas!, savukārt nepieciešamie klāja komplektēšanas veidi ir 30! - 2 ⋅ 29!. Atliek tikai skaitīt.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Tagad jums ir jāreizina visi skaitļi no viena līdz divdesmit deviņiem un tad visbeidzot jāreizina viss ar 28. Atbilde ir 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Risinājuma piemērs. Izvietojuma numura formula

Šajā uzdevumā ir jānoskaidro, cik daudz veidu ir, kā vienā plauktā salikt piecpadsmit sējumus, bet ar nosacījumu, ka kopā ir trīsdesmit sējumi.

Šīs problēmas risinājums ir nedaudz vienkāršāks nekā iepriekšējais. Izmantojot jau zināmo formulu, ir jāaprēķina kopējais izkārtojumu skaits trīsdesmit sējumos pa piecpadsmit.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 3

Atbilde attiecīgi būs vienāda ar 202 843 204 931 727 360 000.

Tagad veiksim nedaudz sarežģītāku uzdevumu. Jānoskaidro, cik daudzos veidos ir iespējams sakārtot trīsdesmit grāmatas divos grāmatu plauktos, ņemot vērā, ka vienā plauktā var ievietot tikai piecpadsmit sējumus.

Pirms risinājuma sākšanas es vēlos precizēt, ka dažas problēmas var atrisināt vairākos veidos, un šim ir divas metodes, taču abās tiek izmantota viena formula.

Šajā uzdevumā jūs varat ņemt atbildi no iepriekšējās, jo tur mēs aprēķinājām, cik reizes jūs varat aizpildīt plauktu ar piecpadsmit grāmatām dažādos veidos. Izrādījās A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Otro plauktu aprēķināsim pēc permutācijas formulas, jo tajā var ievietot piecpadsmit grāmatas, kamēr paliek tikai piecpadsmit. Mēs izmantojam formulu P_15 = 15!.

Izrādās, ka kopsumma būs A_30^15 ⋅ P_15 veidos, bet papildus tam visu skaitļu reizinājums no trīsdesmit līdz sešpadsmit būs jāreizina ar skaitļu reizinājumu no viena līdz piecpadsmit, galu galā jūs iegūs visu skaitļu reizinājumu no viena līdz trīsdesmit, tas ir, atbilde ir vienāda ar 30!

Taču šo problēmu var atrisināt citā veidā – vienkāršāk. Lai to izdarītu, varat iedomāties, ka ir viens plaukts trīsdesmit grāmatām. Visas ir novietotas šajā plaknē, bet, tā kā nosacījums paredz, ka ir divi plaukti, mēs saskatījām vienu garu uz pusēm, tāpēc mēs iegūstam divus no piecpadsmit. No tā sanāk, ka sakārtojumam var būt P_30 = 30 varianti!.

Risinājuma piemērs. Kombinācijas numura formula

Tagad mēs apsvērsim kombinatorikas trešās problēmas versiju. Jānoskaidro, cik ir piecpadsmit grāmatu kārtošanas veidi, ja jāizvēlas no trīsdesmit absolūti identiskām.

Lai atrisinātu, protams, tiks piemērota kombināciju skaita formula. No nosacījuma kļūst skaidrs, ka identisku piecpadsmit grāmatu secībai nav nozīmes. Tāpēc vispirms ir jānoskaidro kopējais skaits trīsdesmit piecpadsmit grāmatu kombinācijas.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

Tas ir viss. Izmantojot šo formulu, in īsākais laiks izdevās atrisināt šo problēmu, atbilde attiecīgi ir 155 117 520.

Risinājuma piemērs. Klasiskā varbūtības definīcija

Izmantojot iepriekš minēto formulu, jūs varat atrast atbildi uz vienkāršu problēmu. Bet tas palīdzēs skaidri redzēt un izsekot darbību gaitai.

Problēma norāda, ka urnā ir desmit absolūti identiskas bumbiņas. No tiem četri ir dzelteni un seši ir zili. No urnas tiek izņemta viena bumbiņa. Jums jānoskaidro varbūtība iegūt zilu krāsu.

Lai atrisinātu problēmu, kā notikumu A ir jānorāda zilās bumbiņas iegūšana. Šim eksperimentam var būt desmit iznākumi, kas savukārt ir elementāri un vienlīdz iespējami. Tajā pašā laikā no desmit seši ir labvēlīgi notikumam A. Mēs atrisinām, izmantojot formulu:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Izmantojot šo formulu, mēs uzzinājām, ka varbūtība iegūt zilo bumbiņu ir 0,6.

Risinājuma piemērs. Notikumu summas varbūtība

Tagad tiks parādīta opcija, kas tiek atrisināta, izmantojot notikumu summas varbūtības formulu. Tātad ir dots nosacījums, ka ir divas kastes, pirmajā ir viena pelēka un piecas baltas bumbiņas, bet otrajā ir astoņas pelēkas un četras baltas bumbiņas. Rezultātā viņi paņēma vienu no tiem no pirmās un otrās kastes. Jums jānoskaidro, kāda ir iespēja, ka iegūtās bumbiņas būs pelēkas un baltas.

Lai atrisinātu šo problēmu, ir nepieciešams identificēt notikumus.

• Tātad, A - paņēma pelēko bumbiņu no pirmās kastes: P(A) = 1/6.
• A’ - paņēma baltu bumbiņu arī no pirmās kastes: P(A") = 5/6.
• B - no otrās kastes tika izņemta pelēka bumbiņa: P(B) = 2/3.
• B’ - paņēma pelēku bumbiņu no otrās kastes: P(B") = 1/3.

Atbilstoši problēmas nosacījumiem ir nepieciešams, lai notiktu kāda no parādībām: AB’ vai A’B. Izmantojot formulu, mēs iegūstam: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Tagad ir izmantota varbūtības reizināšanas formula. Tālāk, lai uzzinātu atbildi, jums jāpiemēro to pievienošanas vienādojums:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Tādā veidā jūs varat atrisināt līdzīgas problēmas, izmantojot formulu.

Apakšējā līnija

Rakstā tika sniegta informācija par tēmu "Varbūtību teorija", kurā notikuma varbūtībai ir būtiska loma. Protams, ne viss tika ņemts vērā, taču, pamatojoties uz iesniegto tekstu, jūs varat teorētiski iepazīties ar šo matemātikas sadaļu. Attiecīgā zinātne var būt noderīga ne tikai profesionālajā darbā, bet arī Ikdiena. Ar tās palīdzību jūs varat aprēķināt jebkuru notikuma iespējamību.

Tekstā tika skarti arī nozīmīgi datumi varbūtības teorijas kā zinātnes veidošanās vēsturē un to cilvēku vārdi, kuru darbs tajā tika ieguldīts. Tā cilvēku zinātkāre noveda pie tā, ka cilvēki iemācījās aprēķināt pat nejaušus notikumus. Kādreiz viņus tas vienkārši interesēja, bet šodien visi par to jau zina. Un neviens nepateiks, kas mūs sagaida nākotnē, kādi vēl spoži atklājumi saistībā ar aplūkojamo teoriju tiks veikti. Taču viens ir skaidrs – pētījumi nestāv uz vietas!

Kad monēta tiek iemesta, mēs varam teikt, ka tā nolaidīsies ar galvu uz augšu vai varbūtība šī ir 1/2. Protams, tas nenozīmē, ka, ja monēta tiek izmesta 10 reizes, tā noteikti piezemēsies uz galvām 5 reizes. Ja monēta ir "godīga" un ja tā tiek mētāta daudzas reizes, tad pusi no laika galvas piezemēsies ļoti tuvu. Tādējādi ir divu veidu varbūtības: eksperimentāls Un teorētiski .

Eksperimentālā un teorētiskā varbūtība

Ja mēs apmetam monētu lielu skaitu reižu – teiksim 1000 – un saskaitām, cik reižu tā nokrīt uz galvām, mēs varam noteikt varbūtību, ka tā nokrīt uz galvām. Ja galvas tiek mestas 503 reizes, mēs varam aprēķināt tās piezemēšanās varbūtību:
503/1000 vai 0,503.

Šis eksperimentāls varbūtības definīcija. Šī varbūtības definīcija nāk no datu novērošanas un izpētes, un tā ir diezgan izplatīta un ļoti noderīga. Šeit, piemēram, ir dažas varbūtības, kas tika noteiktas eksperimentāli:

1. Varbūtība, ka sieviete saslims ar krūts vēzi, ir 1/11.

2. Ja tu skūpstāsi ar kādu, kurš ir saaukstējies, tad varbūtība, ka arī tu saaukstēsies, ir 0,07.

3. Personai, kura tikko iznākusi no cietuma, ir 80% iespēja atgriezties cietumā.

Ja mēs apsveram monētas mešanu un ņemam vērā to, ka ir tikpat liela iespēja, ka tā parādīsies ar galvām vai astes, mēs varam aprēķināt varbūtību iegūt galviņas: 1/2. Šī ir varbūtības teorētiskā definīcija. Šeit ir dažas citas varbūtības, kas ir noteiktas teorētiski, izmantojot matemātiku:

1. Ja istabā ir 30 cilvēki, varbūtība, ka diviem no viņiem ir vienāda dzimšanas diena (izņemot gadu), ir 0,706.

2. Ceļojuma laikā tu satiec kādu, un sarunas laikā atklāj, ka tev ir kopīgs draugs. Tipiska reakcija: "Tas nevar būt!" Patiesībā šī frāze nav piemērota, jo šāda notikuma iespējamība ir diezgan augsta - nedaudz vairāk par 22%.

Tādējādi eksperimentālās varbūtības tiek noteiktas, izmantojot novērojumus un datu vākšanu. Teorētiskās varbūtības nosaka, izmantojot matemātisko spriešanu. Eksperimentālo un teorētisko varbūtību piemēri, piemēram, tie, kas tika apspriesti iepriekš, un jo īpaši tie, kurus mēs negaidām, liek mums saprast, cik svarīgi ir pētīt varbūtību. Jūs varat jautāt: "Kas ir patiesā varbūtība?" Patiesībā tāda nav. Eksperimentāli var noteikt varbūtības noteiktās robežās. Tās var sakrist vai nesakrist ar varbūtībām, kuras mēs iegūstam teorētiski. Ir situācijas, kurās ir daudz vieglāk noteikt vienu varbūtības veidu nekā citu. Piemēram, pietiktu ar teorētiskās varbūtības palīdzību atrast saaukstēšanās varbūtību.

Eksperimentālo varbūtību aprēķināšana

Vispirms apskatīsim varbūtības eksperimentālo definīciju. Pamatprincips, ko izmantojam šādu varbūtību aprēķināšanai, ir šāds.

Princips P (eksperimentāls)

Ja eksperimentā, kurā tiek veikti n novērojumi, situācija vai notikums E notiek m reizes n novērojumos, tad notikuma eksperimentālā varbūtība tiek uzskatīta par P (E) = m/n.

1. piemērs Socioloģiskā aptauja. Tika veikts eksperimentāls pētījums, lai noteiktu kreiļu, labroču un cilvēku, kuriem abas rokas ir vienādi attīstītas, skaitu.Rezultāti parādīti grafikā.

a) Nosakiet varbūtību, ka persona ir labā roka.

b) Nosakiet varbūtību, ka persona ir kreilis.

c) Nosaki varbūtību, ka cilvēks vienādi brīvi pārvalda abas rokas.

d) Lielākajā daļā Profesionālās boulinga asociācijas turnīru ir ierobežots līdz 120 spēlētājiem. Balstoties uz šī eksperimenta datiem, cik spēlētāju varētu būt kreili?

Risinājums

a) Labroču skaits ir 82, kreiļu skaits ir 17, un to cilvēku skaits, kuri vienādi brīvi pārvalda abas rokas, ir 1. Kopējais novērojumu skaits ir 100. Tādējādi iespējamība ka cilvēks ir labrocis, ir P
P = 82/100 jeb 0,82 vai 82%.

b) Varbūtība, ka cilvēks ir kreilis, ir P, kur
P = 17/100 vai 0,17 vai 17%.

c) Varbūtība, ka cilvēks vienādi brīvi pārvalda abas rokas, ir P, kur
P = 1/100 vai 0,01 vai 1%.

d) 120 boulinga spēlētāji, un no (b) varam sagaidīt, ka 17% ir kreiļi. No šejienes
17% no 120 = 0,17,120 = 20,4,
tas ir, mēs varam sagaidīt aptuveni 20 spēlētājus ar kreiļiem.

2. piemērs Kvalitātes kontrole . Ražotājam ir ļoti svarīgi saglabāt savu produktu kvalitāti augsts līmenis. Faktiski uzņēmumi nolīgst kvalitātes kontroles inspektorus, lai nodrošinātu šo procesu. Mērķis ir saražot pēc iespējas mazāku defektīvo produktu skaitu. Bet, tā kā uzņēmums katru dienu ražo tūkstošiem produktu, tas nevar atļauties pārbaudīt katru produktu, lai noteiktu, vai tas ir bojāts vai nē. Lai noskaidrotu, cik procentu produktu ir ar defektiem, uzņēmums pārbauda daudz mazāk preču.
Ministrija Lauksaimniecība ASV pieprasa, lai 80% no audzētāju pārdotajām sēklām ir jādīgst. Lai noteiktu lauksaimniecības uzņēmuma ražoto sēklu kvalitāti, tiek iesētas 500 sēklas no saražotajām. Pēc tam tika aprēķināts, ka sadīgušas 417 sēklas.

a) Kāda ir varbūtība, ka sēklas uzdīgs?

b) Vai sēklas atbilst valdības standartiem?

Risinājums a) Mēs zinām, ka no 500 iestādītajām sēklām 417 uzdīgušas. Sēklu dīgtspējas varbūtība P, un
P = 417/500 = 0,834 jeb 83,4%.

b) Tā kā uzdīgušo sēklu procentuālais daudzums ir pārsniedzis 80%, sēklas atbilst valdības standartiem.

3. piemērs Televīzijas reitingi. Saskaņā ar statistiku Amerikas Savienotajās Valstīs ir 105 500 000 mājsaimniecību ar televizoriem. Katru nedēļu tiek apkopota un apstrādāta informācija par programmu skatīšanos. Nedēļas laikā 7 815 000 mājsaimniecību noklausījās populāro komēdiju seriālu “Everybody Loves Raymond” kanālā CBS un 8 302 000 mājsaimniecību populāro seriālu “Likums un kārtība” kanālā NBC (avots: Nielsen Media Research). Kāda ir varbūtība, ka vienas mājsaimniecības televizors noteiktās nedēļas laikā tiks noregulēts uz "Everybody Loves Raymond"? uz "Likums un kārtība"?

Risinājums Varbūtība, ka vienā mājsaimniecībā televizors ir noregulēts uz "Everybody Loves Raymond" ir P, un
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Iespēja, ka mājsaimniecības televizors tika noregulēts uz Likumu un kārtību, ir P, un
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Šos procentus sauc par vērtējumiem.

Teorētiskā varbūtība

Pieņemsim, ka mēs veicam eksperimentu, piemēram, metam monētu vai šautriņas, izvelkam kārti no klāja vai pārbaudām produktu kvalitāti uz montāžas līnijas. Katrs iespējamais šāda eksperimenta rezultāts tiek saukts Izceļošana . Tiek izsaukta visu iespējamo rezultātu kopa iznākuma telpa . Pasākums tas ir rezultātu kopums, tas ir, rezultātu telpas apakškopa.

4. piemērs Šautriņu mešana. Pieņemsim, ka šautriņu mešanas eksperimentā šautra trāpa mērķī. Atrodiet katru no šīm iespējām:

b) Iznākuma telpa

Risinājums
a) Rezultāti ir šādi: sitiens ar melno (B), sarkano (R) un balto (B).

b) Rezultātu telpa ir (sitot melnu, trāpot sarkanu, trāpot baltu), ko var uzrakstīt vienkārši kā (H, K, B).

5. piemērs Kauliņu mešana. Kauliņš ir kubs ar sešām malām, uz kurām katrā ir no viena līdz sešiem punktiem.


Pieņemsim, ka mēs metam kauliņu. Atrast
a) Rezultāti
b) Iznākuma telpa

Risinājums
a) Rezultāti: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Iznākuma laukums (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Mēs apzīmējam varbūtību, ka notikums E notiek kā P(E). Piemēram, “monēta piezemēsies uz galvām” var apzīmēt ar H. Tad P(H) apzīmē varbūtību, ka monēta nonāks uz galvām. Ja visiem eksperimenta rezultātiem ir vienāda iestāšanās iespējamība, tiek uzskatīts, ka tie ir vienādi iespējami. Lai redzētu atšķirības starp notikumiem, kas ir vienlīdz iespējami, un notikumiem, kas nav iespējami, apsveriet tālāk norādīto mērķi.

Mērķim A melnā, sarkanā un baltā trāpījuma notikumi ir vienlīdz iespējami, jo melnais, sarkanais un baltais sektors ir vienāds. Tomēr mērķim B zonas ar šīm krāsām nav vienādas, tas ir, trāpījums tajās nav vienlīdz iespējams.

Princips P (teorētiskais)

Ja notikums E var notikt m veidā no n iespējamiem vienādi iespējamiem rezultātiem no iznākuma telpas S, tad teorētiskā varbūtība notikumi, P(E) ir
P(E) = m/n.

6. piemērs Kāda ir iespēja mest kauliņu, lai iegūtu 3?

Risinājums Uz kauliņa ir 6 vienādi iespējamie iznākumi, un ir tikai viena iespēja mest skaitli 3. Tad varbūtība P būs P(3) = 1/6.

7. piemērs Kāda ir varbūtība, ka uz kauliņa tiks izmests pāra skaitlis?

Risinājums Notikums ir pāra skaitļa mešana. Tas var notikt 3 veidos (ja metat 2, 4 vai 6). Vienlīdz iespējamo iznākumu skaits ir 6. Tad varbūtība P(pāra) = 3/6 jeb 1/2.

Mēs izmantosim vairākus piemērus, kas ietver standarta 52 kāršu komplektu. Šis klājs sastāv no kārtīm, kas parādītas attēlā zemāk.

8. piemērs Kāda ir iespējamība izvilkt dūzi no labi sajauktas kāršu klāja?

Risinājums Ir 52 iznākumi (kāršu skaits kavā), tie ir vienādi iespējami (ja klājs ir labi sajaukts), un ir 4 veidi, kā izvilkt dūzi, tāpēc pēc P principa, varbūtība
P (izvelciet dūzi) = 4/52 vai 1/13.

9. piemērs Pieņemsim, ka mēs, neskatoties, izvēlamies vienu bumbu no maisa ar 3 sarkanām bumbiņām un 4 zaļajām bumbiņām. Kāda ir iespējamība izvēlēties sarkanu bumbiņu?

Risinājums Jebkuras bumbiņas vilkšanai ir 7 vienādi iespējamie iznākumi, un, tā kā sarkanās bumbiņas izvilkšanas veidu skaits ir 3, mēs iegūstam
P (sarkanās bumbas izvēle) = 3/7.

Šie apgalvojumi ir P principa rezultāti.

Varbūtības īpašības

a) Ja notikums E nevar notikt, tad P(E) = 0.
b) Ja notikums E noteikti notiks, tad P(E) = 1.
c) Varbūtība, ka notiks notikums E, ir skaitlis no 0 līdz 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Piemēram, monētas mešanas gadījumā gadījumam, kad monēta nokrīt uz tās malas, varbūtība ir nulle. Varbūtība, ka monētai ir galva vai aste, ir 1.

10. piemērs Pieņemsim, ka no 52 kāršu klāja tiek izvilktas 2 kārtis. Kāda ir varbūtība, ka abi ir virsotnes?

Risinājums Veidu skaits n, kā izvilkt 2 kārtis no labi sajaukta 52 kāršu klāja, ir 52 C 2 . Tā kā 13 no 52 kārtīm ir lāpstas, 2 pīķu izvilkšanas veidu skaits ir 13 C 2 . Tad
P (velk 2 virsotnes) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

11. piemērs Pieņemsim, ka no 6 vīriešu un 4 sieviešu grupas nejauši tiek izvēlēti 3 cilvēki. Kāda ir varbūtība, ka tiks izvēlēts 1 vīrietis un 2 sievietes?

Risinājums Veidu skaits, kā atlasīt trīs cilvēkus no 10 cilvēku grupas, ir 10 C 3. Vienu vīrieti var izvēlēties 6 C 1 veidos, un 2 sievietes var izvēlēties 4 C 2 veidos. Saskaņā ar skaitīšanas pamatprincipu veidu skaits, kā izvēlēties 1 vīrieti un 2 sievietes, ir 6 C 1. 4 C 2 . Tad varbūtība, ka tiks izvēlēts 1 vīrietis un 2 sievietes
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

12. piemērs Kauliņu mešana. Kāda ir varbūtība, ka uz diviem kauliņiem kopā izmetīs 8?

Risinājums Katram kauliņam ir 6 iespējamie rezultāti. Rezultāti tiek dubultoti, kas nozīmē, ka ir 6,6 vai 36 iespējamie veidi, kā var parādīties skaitļi uz diviem kauliņiem. (Labāk, ja kubi ir atšķirīgi, teiksim, ka viens ir sarkans, bet otrs zils — tas palīdzēs vizualizēt rezultātu.)

Ciparu pāri, kas kopā veido 8, ir parādīti attēlā zemāk. Ir 5 iespējamie veidi saņemot summu, kas vienāda ar 8, tātad varbūtība ir 5/36.

"Nelaimes gadījumi nav nejauši"... Izklausās pēc filozofa teiktā, bet patiesībā nelaimes gadījumu izpēte ir liktenis lieliska zinātne matemātika. Matemātikā nejaušību risina varbūtības teorija. Rakstā tiks izklāstītas uzdevumu formulas un piemēri, kā arī šīs zinātnes galvenās definīcijas.

Kas ir varbūtības teorija?

Varbūtību teorija ir viena no matemātiskajām disciplīnām, kas pēta nejaušus notikumus.

Lai padarītu to skaidrāku, sniegsim nelielu piemēru: ja jūs uzmetat monētu, tā var nokrist uz galvas vai astes. Kamēr monēta ir gaisā, abas šīs varbūtības ir iespējamas. Tas ir, varbūtība iespējamās sekas attiecība ir 1:1. Ja no 36 kāršu klāja tiek izvilkta viena, tad varbūtība tiks norādīta kā 1:36. Šķiet, ka šeit nav ko pētīt un prognozēt, īpaši ar matemātisku formulu palīdzību. Tomēr, ja jūs atkārtojat konkrēta darbība daudzas reizes ir iespējams identificēt noteiktu modeli un, pamatojoties uz to, paredzēt notikumu iznākumu citos apstākļos.

Apkopojot visu iepriekš minēto, varbūtības teorija klasiskajā izpratnē pēta kāda no iespējamajiem notikumiem rašanās iespēju skaitliskā vērtībā.

No vēstures lappusēm

Varbūtības teorija, formulas un pirmo uzdevumu piemēri parādījās tālajos viduslaikos, kad pirmo reizi radās mēģinājumi paredzēt kāršu spēļu iznākumu.

Sākotnēji varbūtības teorijai nebija nekāda sakara ar matemātiku. Tas tika pamatots ar empīriskiem faktiem vai notikuma īpašībām, kuras varēja reproducēt praksē. Pirmie darbi šajā jomā kā matemātiskā disciplīna parādījās 17. gadsimtā. Dibinātāji bija Blēzs Paskāls un Pjērs Fermā. Ilgu laiku viņi pētīja azartspēles un redzēja noteiktus modeļus, par kuriem viņi nolēma pastāstīt sabiedrībai.

To pašu paņēmienu izgudroja Kristians Huigenss, lai gan viņš nebija pazīstams ar Paskāla un Fermā pētījumu rezultātiem. Viņš ieviesa jēdzienu “varbūtību teorija”, formulas un piemērus, kas tiek uzskatīti par pirmajiem disciplīnas vēsturē.

Ne maza nozīme ir arī Džeikoba Bernulli darbiem, Laplasa un Puasona teorēmām. Viņi varbūtības teoriju padarīja vairāk par matemātisko disciplīnu. Varbūtību teorija, formulas un pamatuzdevumu piemēri savu pašreizējo formu ieguva, pateicoties Kolmogorova aksiomām. Visu izmaiņu rezultātā varbūtību teorija kļuva par vienu no matemātikas nozarēm.

Varbūtību teorijas pamatjēdzieni. Pasākumi

Šīs disciplīnas galvenais jēdziens ir “notikums”. Ir trīs veidu pasākumi:

• Uzticams. Tie, kas notiks tik un tā (monēta nokritīs).
• Neiespējami. Notikumi, kas nenotiks nekādā gadījumā (monēta paliks karājoties gaisā).
• Nejauši. Tie, kas notiks vai nenotiks. Tos var ietekmēt dažādi faktori, kurus ir ļoti grūti paredzēt. Ja mēs runājam par monētu, tad nejauši faktori, kas var ietekmēt rezultātu: fiziskās īpašības monētas, tās forma, sākotnējā pozīcija, mešanas spēks utt.

Visi notikumi piemēros ir norādīti ar lielajiem burtiem ar latīņu burtiem, izņemot P, kam ir cita loma. Piemēram:

• A = “studenti ieradās uz lekciju”.
• Ā = "studenti neieradās uz lekciju."

Praktiskajos uzdevumos notikumus parasti pieraksta vārdos.

Viena no svarīgākajām notikumu pazīmēm ir to vienlīdzība. Tas ir, ja jūs iemetat monētu, visi sākotnējā kritiena varianti ir iespējami, līdz tā nokrīt. Taču arī notikumi nav vienlīdz iespējami. Tas notiek, ja kāds apzināti ietekmē rezultātu. Piemēram, "iezīmēts" spēļu kārtis vai kauliņi, kuros smaguma centrs ir nobīdīts.

Notikumi var būt arī saderīgi un nesaderīgi. Saderīgi notikumi neizslēdz viens otra rašanos. Piemēram:

• A = "students ieradās uz lekciju."
• B = "students ieradās uz lekciju."

Šie notikumi ir neatkarīgi viens no otra, un viena no tiem rašanās neietekmē otra rašanos. Nesavienojamus notikumus nosaka fakts, ka viena rašanās izslēdz cita rašanos. Ja mēs runājam par vienu un to pašu monētu, tad “astes” zaudēšana padara neiespējamu “galvu” parādīšanos tajā pašā eksperimentā.

Darbības saistībā ar notikumiem

Notikumus var reizināt un saskaitīt, attiecīgi disciplīnā tiek ieviesti loģiskie savienojumi “UN” un “OR”.

Summu nosaka tas, ka vienlaikus var notikt vai nu notikums A, vai B, vai divi. Ja tie nav saderīgi, pēdējā iespēja nav iespējama; tiks izmesti A vai B.

Notikumu reizināšana sastāv no A un B parādīšanās vienlaikus.

Tagad mēs varam sniegt vairākus piemērus, lai labāk atcerētos pamatus, varbūtību teoriju un formulas. Tālāk ir norādīti problēmu risināšanas piemēri.

1. vingrinājums: Uzņēmums piedalās konkursā, lai saņemtu līgumus par trīs darbu veidiem. Iespējamie notikumi, kas var rasties:

• A = "firma saņems pirmo līgumu."
• A 1 = "firma nesaņems pirmo līgumu."
• B = "firma saņems otru līgumu."
• B 1 = "firma nesaņems otru līgumu"
• C = "firma saņems trešo līgumu."
• C 1 = "firma nesaņems trešo līgumu."

Izmantojot darbības uz notikumiem, mēs centīsimies izteikt šādas situācijas:

• K = “uzņēmums saņems visus līgumus”.

Matemātiskā formā vienādojumam būs šāda forma: K = ABC.

• M = "uzņēmums nesaņems nevienu līgumu."

M = A 1 B 1 C 1.

Sarežģīsim uzdevumu: H = "uzņēmums saņems vienu līgumu." Tā kā nav zināms, kuru līgumu uzņēmums saņems (pirmo, otro vai trešo), ir nepieciešams reģistrēt visu iespējamo notikumu klāstu:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Un 1 BC 1 ir notikumu virkne, kurā firma nesaņem pirmo un trešo līgumu, bet saņem otro. Citi iespējamie notikumi tika reģistrēti, izmantojot atbilstošu metodi. Simbols υ disciplīnā apzīmē savienojošo “OR”. Ja mēs pārtulkosim iepriekš minēto piemēru cilvēku valodā, uzņēmums saņems vai nu trešo līgumu, vai otro, vai pirmo. Līdzīgā veidā disciplīnā “Varbūtību teorija” var pierakstīt arī citus nosacījumus. Iepriekš sniegtās formulas un problēmu risināšanas piemēri palīdzēs jums to izdarīt pašam.

Patiesībā varbūtība

Iespējams, šajā matemātiskajā disciplīnā notikuma varbūtība ir galvenais jēdziens. Ir 3 varbūtības definīcijas:

• klasika;
• statistikas;
• ģeometrisks.

Katram ir sava vieta varbūtības izpētē. Varbūtību teorijā, formulās un piemēros (9. klase) galvenokārt tiek izmantota klasiskā definīcija, kas izklausās šādi:

• Situācijas A varbūtība ir vienāda ar tās rašanos labvēlīgo iznākumu skaita attiecību pret visu iespējamo iznākumu skaitu.

Formula izskatās šādi: P(A)=m/n.

A patiesībā ir notikums. Ja parādās A pretējs gadījums, to var rakstīt kā Ā vai A 1 .

m ir iespējamo labvēlīgo gadījumu skaits.

n - visi notikumi, kas var notikt.

Piemēram, A = “izvelciet sirds uzvalka kartiņu”. Standarta klājā ir 36 kārtis, no kurām 9 ir sirsniņas. Attiecīgi problēmas risināšanas formula izskatīsies šādi:

P(A)=9/36=0,25.

Rezultātā varbūtība, ka no klāja tiks izvilkta sirds tērpa kārts, būs 0,25.

Ceļā uz augstāko matemātiku

Tagad ir kļuvis maz zināms, kas ir varbūtības teorija, formulas un piemēri problēmu risināšanai, kas sastopamas skolas mācību programma. Taču varbūtību teorija ir sastopama arī augstākajā matemātikā, ko māca universitātēs. Visbiežāk tie darbojas ar ģeometriskām un statistiskām teorijas definīcijām un sarežģītām formulām.

Varbūtības teorija ir ļoti interesanta. Formulas un piemēri ( augstākā matemātika) labāk sākt pētīt ar mazu - ar statistisko (vai biežuma) varbūtības definīciju.

Statistiskā pieeja nav pretrunā ar klasisko, bet nedaudz paplašina to. Ja pirmajā gadījumā bija jānosaka, ar kādu varbūtību kāds notikums notiks, tad šajā metodē ir jānorāda, cik bieži tas notiks. Šeit tiek ieviests jauns “relatīvās frekvences” jēdziens, ko var apzīmēt ar W n (A). Formula neatšķiras no klasiskās:

Ja prognozēšanai aprēķina klasisko formulu, tad statistisko aprēķina pēc eksperimenta rezultātiem. Ņemsim, piemēram, nelielu uzdevumu.

Tehnoloģiskās kontroles nodaļa pārbauda produktu kvalitāti. No 100 precēm 3 konstatētas nekvalitatīvas. Kā atrast kvalitatīva produkta biežuma varbūtību?

A = "kvalitatīva produkta izskats".

W n (A) = 97/100 = 0,97

Tādējādi kvalitatīva produkta biežums ir 0,97. No kurienes tu dabūji 97? No 100 pārbaudītajiem produktiem 3 tika konstatēti nekvalitatīvi. Mēs atņemam 3 no 100 un iegūstam 97, tas ir kvalitatīvu preču daudzums.

Mazliet par kombinatoriku

Vēl vienu varbūtību teorijas metodi sauc par kombinatoriku. Tās pamatprincips ir tāds, ka, ja var izdarīt noteiktu izvēli A m Dažādi ceļi, un B izvēle ir n dažādos veidos, tad A un B izvēli var izdarīt, reizinot.

Piemēram, no pilsētas A uz pilsētu B ved 5 ceļi. No pilsētas B uz pilsētu C ir 4 ceļi. Cik daudzos veidos jūs varat nokļūt no pilsētas A uz pilsētu C?

Tas ir vienkārši: 5x4=20, tas ir, divdesmit dažādos veidos jūs varat nokļūt no punkta A uz punktu C.

Sarežģīsim uzdevumu. Cik dažādos veidos ir iespējams izkārtot kārtis pasjansā? Klājā ir 36 kārtis – tas ir sākumpunkts. Lai uzzinātu veidu skaitu, no sākuma punkta ir “jāatņem” pa vienai kartei un jāreizina.

Tas ir, 36x35x34x33x32...x2x1= rezultāts neietilpst kalkulatora ekrānā, tāpēc to var vienkārši apzīmēt ar 36!. Parakstīt "!" blakus skaitlim norāda, ka visa skaitļu sērija ir reizināta kopā.

Kombinatorikā ir tādi jēdzieni kā permutācija, izvietojums un kombinācija. Katram no tiem ir sava formula.

Sakārtotu kopas elementu kopu sauc par izkārtojumu. Izvietojumus var atkārtot, tas ir, vienu elementu var izmantot vairākas reizes. Un bez atkārtošanās, kad elementi neatkārtojas. n ir visi elementi, m ir elementi, kas piedalās izvietošanā. Izvietošanas formula bez atkārtošanās izskatīsies šādi:

A n m =n!/(n-m)!

n elementu savienojumus, kas atšķiras tikai izvietojuma secībā, sauc par permutācijām. Matemātikā tas izskatās šādi: P n = n!

n elementu kombinācijas no m ir tie savienojumi, kuros ir svarīgi, kādi elementi tie bija un kāds ir to kopējais skaits. Formula izskatīsies šādi:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernulli formula

Varbūtību teorijā, kā jau katrā disciplīnā, ir izcilu pētnieku darbi savā jomā, kas to pacēluši jaunā līmenī. Viens no šiem darbiem ir Bernulli formula, kas ļauj noteikt kāda notikuma iespējamību neatkarīgos apstākļos. Tas liek domāt, ka A rašanās eksperimentā nav atkarīga no tā paša notikuma rašanās vai nenotikšanas agrākos vai turpmākajos izmēģinājumos.

Bernulli vienādojums:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Notikuma (A) iestāšanās varbūtība (p) ir nemainīga katram izmēģinājumam. Varbūtība, ka situācija notiks tieši m reižu n eksperimentu skaitā, tiks aprēķināta pēc iepriekš sniegtās formulas. Attiecīgi rodas jautājums, kā uzzināt skaitli q.

Ja notikums A notiek p reižu skaitu, tas var nenotikt. Vienība ir skaitlis, ko izmanto, lai apzīmētu visus situācijas rezultātus disciplīnā. Tāpēc q ir skaitlis, kas apzīmē iespēju, ka notikums nenotiks.

Tagad jūs zināt Bernulli formulu (varbūtības teoriju). Tālāk mēs aplūkosim problēmu risināšanas piemērus (pirmais līmenis).

2. uzdevums: Veikala apmeklētājs veiks pirkumu ar varbūtību 0,2. Veikalā patstāvīgi ienāca 6 apmeklētāji. Kāda ir iespējamība, ka apmeklētājs veiks pirkumu?

Risinājums: Tā kā nav zināms, cik apmeklētājiem vajadzētu veikt pirkumu, vienam vai visiem sešiem, ir jāaprēķina visas iespējamās varbūtības, izmantojot Bernulli formulu.

A = “apmeklētājs veiks pirkumu”.

Šajā gadījumā: p = 0,2 (kā norādīts uzdevumā). Attiecīgi q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (jo veikalā ir 6 klienti). Skaitlis m mainīsies no 0 (neviens klients neveiks pirkumu) līdz 6 (visi veikala apmeklētāji kaut ko iegādāsies). Rezultātā mēs iegūstam risinājumu:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Neviens no pircējiem neveiks pirkumu ar varbūtību 0,2621.

Kā vēl tiek izmantota Bernulli formula (varbūtību teorija)? Problēmu risināšanas piemēri (otrais līmenis) zemāk.

Pēc iepriekš minētā piemēra rodas jautājumi par to, kur devās C un r. Attiecīgi pret p skaitlis ar pakāpju 0 būs vienāds ar vienu. Kas attiecas uz C, to var atrast pēc formulas:

C n m = n! /m!(n-m)!

Tā kā pirmajā piemērā attiecīgi m = 0, C = 1, kas principā neietekmē rezultātu. Izmantojot jauno formulu, mēģināsim noskaidrot, kāda ir iespējamība, ka divi apmeklētāji iegādāsies preces.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / ( 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × ( 0,2 ) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Varbūtības teorija nav tik sarežģīta. Bernulli formula, kuras piemēri ir sniegti iepriekš, ir tiešs pierādījums tam.

Puasona formula

Puasona vienādojumu izmanto, lai aprēķinātu nejaušas situācijas ar zemu varbūtību.

Pamatformula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Šajā gadījumā λ = n x p. Šeit ir vienkārša Puasona formula (varbūtības teorija). Tālāk mēs apsvērsim problēmu risināšanas piemērus.

3. uzdevums: rūpnīca saražoja 100 000 detaļu. Bojātas daļas rašanās = 0,0001. Kāda ir iespējamība, ka partijā būs 5 bojātas detaļas?

Kā redzat, laulība ir maz ticams notikums, un tāpēc aprēķiniem tiek izmantota Puasona formula (varbūtības teorija). Šāda veida problēmu risināšanas piemēri neatšķiras no citiem disciplīnas uzdevumiem, mēs aizvietojam nepieciešamos datus dotajā formulā:

A = "nejauši izvēlēta daļa būs bojāta."

p = 0,0001 (atbilstoši uzdevuma nosacījumiem).

n = 100000 (detaļu skaits).

m = 5 (bojātas daļas). Mēs aizstājam datus formulā un iegūstam:

100 000 R (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Tāpat kā Bernulli formulai (varbūtību teorijai), kuru risinājumu piemēri ir rakstīti iepriekš, Puasona vienādojumam ir nezināms e. Faktiski to var atrast pēc formulas:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Tomēr ir īpašas tabulas, kurās ir gandrīz visas e.

De Moivre-Laplasa teorēma

Ja Bernulli shēmā izmēģinājumu skaits ir pietiekami liels, un notikuma A iestāšanās varbūtība visās shēmās ir vienāda, tad notikuma A iestāšanās varbūtību noteiktu skaitu reižu testu sērijā var atrast ar Laplasa formula:

Рn (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Lai labāk atcerētos Laplasa formulu (varbūtību teoriju), tālāk ir sniegti problēmu piemēri.

Vispirms atrodam X m, aizstājam datus (tie visi ir uzskaitīti iepriekš) formulā un iegūstam 0,025. Izmantojot tabulas, atrodam skaitli ϕ(0,025), kura vērtība ir 0,3988. Tagad jūs varat aizstāt visus datus formulā:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Tādējādi iespējamība, ka skrejlapa darbosies tieši 267 reizes, ir 0,03.

Bayes formula

Beijesa formula (varbūtības teorija), ar kuras palīdzību tiks sniegti problēmu risināšanas piemēri, ir vienādojums, kas apraksta notikuma varbūtību, pamatojoties uz apstākļiem, kas ar to varētu būt saistīti. Pamatformula ir šāda:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A un B ir noteikti notikumi.

P(A|B) ir nosacīta varbūtība, tas ir, notikums A var notikt, ja notikums B ir patiess.

P (B|A) - notikuma B nosacītā varbūtība.

Tātad īsā kursa “Varbūtību teorija” beigu daļa ir Beijesa formula, kuras problēmu risinājumu piemēri ir sniegti zemāk.

5. uzdevums: Uz noliktavu tika atvesti telefoni no trim uzņēmumiem. Tajā pašā laikā tālruņu īpatsvars, kas tiek ražoti pirmajā rūpnīcā, ir 25%, otrajā - 60%, trešajā - 15%. Ir arī zināms, ka vidējais defektīvo produktu procents pirmajā rūpnīcā ir 2%, otrajā - 4%, bet trešajā - 1%. Jums ir jāatrod iespējamība, ka nejauši izvēlēts tālrunis būs bojāts.

A = “nejauši izvēlēts tālrunis”.

B 1 - tālrunis, ko ražoja pirmā rūpnīca. Attiecīgi parādīsies ievada B 2 un B 3 (otrajai un trešajai rūpnīcai).

Rezultātā mēs iegūstam:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - tādējādi mēs atradām katra varianta varbūtību.

Tagad jums ir jāatrod vēlamā notikuma nosacītās varbūtības, tas ir, bojātu produktu varbūtība uzņēmumos:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Tagad aizstāsim datus Bayes formulā un iegūsim:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Rakstā ir izklāstīta varbūtību teorija, formulas un problēmu risināšanas piemēri, taču tā ir tikai plašās disciplīnas aisberga redzamā daļa. Un pēc visa uzrakstītā būs loģiski uzdot jautājumu, vai varbūtības teorija dzīvē ir vajadzīga. Vienkāršam cilvēkam Ir grūti atbildēt, labāk pajautājiet kādam, kurš to izmantojis, lai vinnētu džekpotu vairāk nekā vienu reizi.

Faktiski formulas (1) un (2) ir īss nosacītās varbūtības ieraksts, kas balstīts uz pazīmju nejaušības tabulu. Atgriezīsimies pie aplūkotā piemēra (1. att.). Pieņemsim, ka mēs uzzinām, ka ģimene plāno iegādāties platekrāna televizoru. Kāda ir iespējamība, ka šī ģimene patiešām iegādāsies šādu televizoru?

Rīsi. 1. Platekrāna TV pirkšanas uzvedība

Šajā gadījumā mums jāaprēķina nosacītā varbūtība P (pirkums pabeigts | pirkums plānots). Tā kā zinām, ka ģimene plāno pirkt, tad parauga telpu nesastāv no visām 1000 ģimenēm, bet gan tikai tām, kuras plāno iegādāties platekrāna televizoru. No 250 šādām ģimenēm 200 faktiski iegādājās šo televizoru. Tāpēc varbūtību, ka ģimene patiešām iegādāsies platekrāna televizoru, ja tā ir plānojusi to darīt, var aprēķināt, izmantojot šādu formulu:

P (pirkums pabeigts | pirkums plānots) = ģimeņu skaits, kuras plānoja un iegādājās platekrāna televizoru / ģimeņu skaits, kuras plāno iegādāties platekrāna televizoru = 200 / 250 = 0,8

Formula (2) dod tādu pašu rezultātu:

kur ir pasākums A ir tas, ka ģimene plāno iegādāties platekrāna TV, un pasākums IN- ka viņa to tiešām nopirks. Formulā aizstājot reālus datus, mēs iegūstam:

Lēmumu koks

Attēlā 1 ģimenes ir sadalītas četrās kategorijās: tie, kas plānoja iegādāties platekrāna televizoru, un tie, kuri to nedarīja, kā arī tie, kas iegādājās šādu televizoru, un tie, kas to nedarīja. Līdzīgu klasifikāciju var veikt, izmantojot lēmumu koku (2. att.). Attēlā parādītais koks. 2 ir divas filiāles, kas atbilst ģimenēm, kuras plānoja iegādāties platekrāna televizoru, un ģimenēm, kuras to nedarīja. Katra no šīm filiālēm sadalās divās papildu filiālēs, kas atbilst mājsaimniecībām, kuras iegādājās un neiegādājās platekrāna televizoru. Divu galveno atzaru galos rakstītās varbūtības ir notikumu beznosacījuma varbūtības A Un A'. Četru papildu zaru galos ierakstītās varbūtības ir katras notikumu kombinācijas nosacītās varbūtības A Un IN. Nosacītās varbūtības aprēķina, kopīgo notikumu varbūtību dalot ar katra no tām atbilstošo beznosacījumu varbūtību.

Rīsi. 2. Lēmumu koks

Piemēram, lai aprēķinātu varbūtību, ka ģimene iegādāsies platekrāna televizoru, ja tā ir plānojusi to darīt, ir jānosaka notikuma iespējamība. pirkums plānots un pabeigts, un pēc tam sadaliet to ar notikuma varbūtību plānots pirkums. Pārvietojoties pa lēmumu koku, kas parādīts attēlā. 2, mēs saņemam šādu (līdzīgu iepriekšējai) atbildi:

Statistiskā neatkarība

Platekrāna televizora iegādes piemērā iespējamība, ka nejauši izvēlēta ģimene iegādājās platekrāna televizoru, ņemot vērā to, ka viņi to plānoja, ir 200/250 = 0,8. Atgādiniet, ka beznosacījuma iespējamība, ka nejauši izvēlēta ģimene iegādājās platekrāna televizoru, ir 300/1000 = 0,3. Tas noved pie ļoti svarīga secinājuma. Iepriekšēja informācija, ka ģimene plānoja pirkumu, ietekmē paša pirkuma iespējamību. Citiem vārdiem sakot, šie divi notikumi ir atkarīgi viens no otra. Atšķirībā no šī piemēra ir statistiski neatkarīgi notikumi, kuru varbūtības nav atkarīgas viens no otra. Statistisko neatkarību izsaka identitāte: P(A|B) = P(A), Kur P(A|B)- notikuma varbūtība A ar nosacījumu, ka notikums noticis IN, P(A)- notikuma A beznosacījuma varbūtība.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka notikumi A Un IN P(A|B) = P(A). Ja raksturlielumu nejaušības tabulā, kuras izmērs ir 2 × 2, šis nosacījums ir izpildīts vismaz vienai notikumu kombinācijai A Un IN, tas būs derīgs jebkurai citai kombinācijai. Mūsu piemērā notikumi plānots pirkums Un pirkums pabeigts nav statistiski neatkarīgi, jo informācija par vienu notikumu ietekmē cita notikuma iespējamību.

Apskatīsim piemēru, kas parāda, kā pārbaudīt divu notikumu statistisko neatkarību. Pajautāsim 300 ģimenēm, kuras iegādājās platekrāna televizoru, vai tās ir apmierinātas ar pirkumu (3. att.). Nosakiet, vai apmierinātības pakāpe ar pirkumu un televizora veids ir saistīti.

Rīsi. 3. Platekrāna televizoru pircēju apmierinātības pakāpi raksturojošie dati

Spriežot pēc šiem datiem,

Tajā pašā laikā,

P (klients apmierināts) = 240 / 300 = 0,80

Tāpēc iespējamība, ka klients ir apmierināts ar pirkumu un ģimene iegādājās HDTV, ir vienāda, un šie notikumi ir statistiski neatkarīgi, jo nav savstarpēji saistīti.

Varbūtības reizināšanas noteikums

Nosacītās varbūtības aprēķināšanas formula ļauj noteikt kopīga notikuma varbūtību A un B. Atrisinot formulu (1)

attiecībā pret locītavu varbūtību P(A un B), mēs iegūstam vispārīgu noteikumu varbūtību reizināšanai. Notikuma varbūtība A un B vienāds ar notikuma varbūtību A ar nosacījumu, ka notikums notiek IN IN:

(3) P(A un B) = P(A|B) * P(B)

Ņemsim kā piemēru 80 ģimenes, kuras iegādājās platekrāna HDTV televizoru (3. att.). Tabulā redzams, ka 64 ģimenes ir apmierinātas ar pirkumu un 16 nav. Pieņemsim, ka no tām nejauši tiek izvēlētas divas ģimenes. Nosakiet varbūtību, ka abi klienti būs apmierināti. Izmantojot formulu (3), mēs iegūstam:

P(A un B) = P(A|B) * P(B)

kur ir pasākums A ir tas, ka otrā ģimene ir apmierināta ar pirkumu un pasākumu IN- ka pirmā ģimene ir apmierināta ar pirkumu. Varbūtība, ka pirmā ģimene ir apmierināta ar pirkumu, ir 64/80. Tomēr iespēja, ka arī otrā ģimene būs apmierināta ar pirkumu, ir atkarīga no pirmās ģimenes reakcijas. Ja pēc aptaujas izlasē neatgriežas pirmā ģimene (atlase bez atgriešanas), respondentu skaits tiek samazināts līdz 79. Ja pirmā ģimene ir apmierināta ar savu pirkumu, varbūtība, ka arī otrā ģimene būs apmierināta, ir 63 /79, jo izlases ģimenēs palikušas tikai 63 ar pirkumu apmierinātas. Tādējādi, aizstājot konkrētus datus formulā (3), mēs iegūstam šādu atbildi:

P(A un B) = (63/79) (64/80) = 0,638.

Līdz ar to iespējamība, ka abas ģimenes ir apmierinātas ar pirkumiem, ir 63,8%.

Pieņemsim, ka pēc aptaujas pirmā ģimene atgriežas izlasē. Nosakiet varbūtību, ka abas ģimenes būs apmierinātas ar pirkumu. Šajā gadījumā varbūtība, ka abas ģimenes ir apmierinātas ar pirkumu, ir vienāda, vienāda ar 64/80. Tāpēc P(A un B) = (64/80) (64/80) = 0,64. Tādējādi iespējamība, ka abas ģimenes ir apmierinātas ar pirkumiem, ir 64,0%. Šis piemērs parāda, ka otrās ģimenes izvēle nav atkarīga no pirmās ģimenes izvēles. Tādējādi, aizstājot nosacīto varbūtību formulā (3) P(A|B) varbūtība P(A), iegūstam formulu neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanai.

Neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanas noteikums. Ja notikumi A Un IN ir statistiski neatkarīgi, notikuma varbūtība A un B vienāds ar notikuma varbūtību A, reizināts ar notikuma varbūtību IN.

(4) P(A un B) = P(A)P(B)

Ja šis noteikums attiecas uz notikumiem A Un IN, kas nozīmē, ka tie ir statistiski neatkarīgi. Tādējādi ir divi veidi, kā noteikt divu notikumu statistisko neatkarību:

1. Pasākumi A Un IN ir statistiski neatkarīgi viens no otra tad un tikai tad P(A|B) = P(A).
2. Pasākumi A Un B ir statistiski neatkarīgi viens no otra tad un tikai tad P(A un B) = P(A)P(B).

Ja 2x2 ārkārtas situāciju tabulā viens no šiem nosacījumiem ir izpildīts vismaz vienai notikumu kombinācijai A Un B, tas būs derīgs jebkurai citai kombinācijai.

Elementāra notikuma beznosacījuma varbūtība

(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)

kur notikumi B 1, B 2, ... B k ir viens otru izslēdzoši un izsmeļoši.

Ilustrēsim šīs formulas pielietojumu, izmantojot 1. att. piemēru. Izmantojot formulu (5), mēs iegūstam:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2) P(B 2)

Kur P(A)- iespējamība, ka pirkums bija plānots, P(B 1)- varbūtība, ka pirkums tiek veikts, P(B 2)- varbūtība, ka pirkums nav pabeigts.

BEISA TEORĒMA

Nosacītā notikuma varbūtība ņem vērā informāciju, ka ir noticis kāds cits notikums. Šo pieeju var izmantot gan, lai precizētu varbūtību, ņemot vērā tikko saņemto informāciju, gan lai aprēķinātu varbūtību, ka novērotā ietekme ir kāda konkrēts iemesls. Šo varbūtību precizēšanas procedūru sauc par Beijesa teorēmu. To pirmo reizi izstrādāja Tomass Bejs 18. gadsimtā.

Pieņemsim, ka iepriekš minētā kompānija pēta jauna televizora modeļa tirgu. Agrāk 40% uzņēmuma radīto televizoru bija veiksmīgi, savukārt 60% modeļu netika atpazīti. Pirms paziņot par jauna modeļa izlaišanu, mārketinga speciālisti rūpīgi izpēta tirgu un reģistrē pieprasījumu. Agrāk 80% veiksmīgo modeļu tika prognozēti kā veiksmīgi, savukārt 30% veiksmīgo prognožu izrādījās kļūdainas. Mārketinga nodaļa jaunajam modelim sniedza labvēlīgu prognozi. Kāda ir iespējamība, ka jauns televizora modelis būs pieprasīts?

Bayes teorēmu var atvasināt no nosacītās varbūtības (1) un (2) definīcijām. Lai aprēķinātu varbūtību P(B|A), izmantojiet formulu (2):

un P(A un B) vietā aizstāj ar vērtību no formulas (3):

P(A un B) = P(A|B) * P(B)

P(A) vietā aizstājot formulu (5), iegūstam Bayes teorēmu:

kur notikumi B 1, B 2, ... B k ir viens otru izslēdzoši un izsmeļoši.

Ieviesīsim šādu apzīmējumu: notikums S - TV ir pieprasīts, notikums S' - TV nav pieprasīts, pasākums F - labvēlīga prognoze, pasākums F' - slikta prognoze. Pieņemsim, ka P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Lietojot Beijesa teorēmu, iegūstam:

Pieprasījuma varbūtība pēc jauna TV modeļa, nodrošināta labvēlīga prognoze vienāds ar 0,64. Tādējādi pieprasījuma trūkuma iespējamība pie labvēlīgas prognozes ir 1–0,64=0,36. Aprēķina process ir parādīts attēlā. 4.

Rīsi. 4. a) aprēķini, izmantojot Beijesa formulu, lai novērtētu televizoru pieprasījuma iespējamību; (b) Lēmumu koks, pētot pieprasījumu pēc jauna TV modeļa

Apskatīsim piemēru, kā pielietot Beiza teorēmu medicīniskā diagnostika. Varbūtība, ka cilvēks cieš no kādas konkrētas slimības, ir 0,03. Medicīniskā pārbaude var pārbaudīt, vai tā ir taisnība. Ja cilvēks patiešām ir slims, varbūtība precīza diagnoze(apgalvojot, ka cilvēks ir slims, kad viņš patiešām ir slims) ir 0,9. Ja cilvēks ir vesels, viltus pozitīvas diagnozes (sakot, ka cilvēks ir slims, kad viņš ir vesels) varbūtība ir 0,02. Teiksim, ka medicīniskā pārbaude deva pozitīvs rezultāts. Kāda ir varbūtība, ka cilvēks patiešām ir slims? Kāda ir precīzas diagnozes iespējamība?

Ieviesīsim šādu apzīmējumu: notikums D - cilvēks ir slims, pasākums D' - cilvēks ir vesels, pasākums T - diagnoze ir pozitīva, notikums T' - diagnoze negatīva. No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka P(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Izmantojot formulu (6), mēs iegūstam:

Varbūtība, ka ar pozitīvu diagnozi cilvēks patiešām ir slims, ir 0,582 (sk. arī 5. att.). Lūdzu, ņemiet vērā, ka Bayes formulas saucējs ir vienāds ar pozitīvas diagnozes varbūtību, t.i. 0,0464.