Analyzujme dva typy riešení sústav rovníc:

1. Riešenie sústavy substitučnou metódou.
2. Riešenie sústavy po členoch sčítaním (odčítaním) rovníc sústavy.

Aby sme vyriešili sústavu rovníc substitučnou metódou musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu:
1. Express. Z ľubovoľnej rovnice vyjadríme jednu premennú.
2. Náhradník. Výslednú hodnotu dosadíme do inej rovnice namiesto vyjadrenej premennej.
3. Vyriešte výslednú rovnicu s jednou premennou. Nájdeme riešenie systému.

Vyriešiť systém metódou sčítania (odčítania) po členoch potrebovať:
1. Vyberte premennú, pre ktorú urobíme identické koeficienty.
2. Sčítame alebo odčítame rovnice, čím vznikne rovnica s jednou premennou.
3. Vyriešte výslednú lineárnu rovnicu. Nájdeme riešenie systému.

Riešením systému sú priesečníky funkčných grafov.

Pozrime sa podrobne na riešenie systémov pomocou príkladov.

Príklad č. 1:

Riešime substitučnou metódou

Riešenie sústavy rovníc substitučnou metódou

2x+5y=1 (1 rovnica)
x-10y=3 (2. rovnica)

1. Express
Je vidieť, že v druhej rovnici je premenná x s koeficientom 1, čo znamená, že premennú x je najjednoduchšie vyjadriť z druhej rovnice.
x = 3 + 10 rokov

2.Po jej vyjadrení dosadíme do prvej rovnice namiesto premennej x 3+10y.
2(3+10r)+5y=1

3. Vyriešte výslednú rovnicu s jednou premennou.
2(3+10r)+5y=1 (otvorte zátvorky)
6 + 20 rokov + 5 rokov = 1
25r = 1-6
25r=-5 |: (25)
y=-5:25
y = -0,2

Riešením sústavy rovníc sú priesečníky grafov, preto potrebujeme nájsť x a y, pretože priesečník sa skladá z x a y. Nájdite x, v prvom bode, kde sme to vyjadrili, dosadíme y.
x = 3 + 10 rokov
x=3+10*(-0,2)=1

Je zvykom písať body na prvom mieste píšeme premennú x a na druhom mieste premennú y.
Odpoveď: (1; -0,2)

Príklad č. 2:

Riešime pomocou metódy sčítania (odčítania) po členoch.

Riešenie sústavy rovníc metódou sčítania

3x-2y=1 (1 rovnica)
2x-3y=-10 (2. rovnica)

1. Vyberieme premennú, povedzme, že zvolíme x. V prvej rovnici má premenná x koeficient 3, v druhej - 2. Musíme urobiť koeficienty rovnaké, na to máme právo rovnice vynásobiť alebo deliť ľubovoľným číslom. Prvú rovnicu vynásobíme 2 a druhú 3 a dostaneme celkový koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Odčítajte druhú od prvej rovnice, aby ste sa zbavili premennej x.Vyriešte lineárnu rovnicu.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y = 6,4

3. Nájdite x. Nájdené y dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc, povedzme do prvej rovnice.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x = 1 + 12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Priesečník bude x=4,6; y = 6,4
Odpoveď: (4,6; 6,4)

Chcete sa pripraviť na skúšky zadarmo? Doučovateľ online zadarmo. Nerobím si srandu.

Riešenie lineárnych systémov algebraické rovnice(SLAE) je nepochybne najdôležitejšou témou kurzu lineárnej algebry. Obrovské množstvo problémov zo všetkých odvetví matematiky sa týka systémov riešenia lineárne rovnice. Tieto faktory vysvetľujú dôvod tohto článku. Materiál článku je vybraný a štruktúrovaný tak, aby ste s jeho pomocou mohli

• zdvihnúť optimálna metóda riešenia vášho systému lineárnych algebraických rovníc,
• študovať teóriu zvolenej metódy,
• vyriešte svoj systém lineárnych rovníc preskúmaním podrobných riešení typické príklady a úlohy.

Stručný popis materiálu článku.

Najprv dajme všetko potrebné definície, pojmy a zaviesť notácie.

Ďalej sa budeme zaoberať metódami riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a ktoré majú jedinečné riešenie. Po prvé sa zameriame na Cramerovu metódu, po druhé si ukážeme maticovú metódu riešenia takýchto sústav rovníc a po tretie rozoberieme Gaussovu metódu (metóda postupnej eliminácie neznámych premenných). Pre upevnenie teórie určite vyriešime niekoľko SLAE rôznymi spôsobmi.

Potom prejdeme k riešeniu sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecný pohľad, v ktorom sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných alebo je hlavná matica systému singulárna. Sformulujme Kroneckerovu-Capelliho vetu, ktorá nám umožňuje stanoviť kompatibilitu SLAE. Analyzujme riešenie systémov (ak sú kompatibilné) pomocou konceptu základné menšie matice. Zvážime aj Gaussovu metódu a podrobne popíšeme riešenia príkladov.

Určite sa zastavíme pri štruktúre všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych algebraických rovníc. Uveďme koncept základného systému riešení a ukážme, ako sa všeobecné riešenie SLAE zapisuje pomocou vektorov základného systému riešení. Pre lepšie pochopenie sa pozrime na niekoľko príkladov.

Na záver zvážime systémy rovníc, ktoré možno redukovať na lineárne, ako aj rôzne problémy, pri riešení ktorých vznikajú SLAE.

Navigácia na stránke.

Definície, pojmy, označenia.

Budeme uvažovať sústavy p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými (p sa môže rovnať n) tvaru

Neznáme premenné, - koeficienty (niektoré reálne alebo komplexné čísla), - voľné členy (aj reálne alebo komplexné čísla).

Táto forma záznamu sa nazýva SLAE koordinovať.

IN matricový formulár písanie tohto systému rovníc má tvar,
Kde - hlavná matica systému, - stĺpcová matica neznámych premenných, - stĺpcová matica voľných členov.

Ak k matici A pridáme maticu-stĺpec voľných členov ako (n+1)-tý stĺpec, dostaneme tzv. rozšírená matica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných výrazov je oddelený zvislou čiarou od zostávajúcich stĺpcov, tj.

Riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc nazývaný súbor hodnôt neznámych premenných, ktorý premieňa všetky rovnice systému na identity. Maticová rovnica pre dané hodnoty neznámych premenných sa tiež stáva identitou.

Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kĺb.

Ak systém rovníc nemá riešenia, potom sa nazýva nekĺbový.

Ak má SLAE jedinečné riešenie, potom sa nazýva istý; ak existuje viac ako jedno riešenie, potom - neistý.

Ak sa voľné členy všetkých rovníc sústavy rovnajú nule , potom sa systém zavolá homogénne, inak - heterogénne.

Riešenie elementárnych sústav lineárnych algebraických rovníc.

Ak sa počet rovníc systému rovná počtu neznámych premenných a determinant jeho hlavnej matice sa nerovná nule, potom sa takéto SLAE budú nazývať elementárne. Takéto sústavy rovníc majú jedinečné riešenie a v prípade homogénny systém všetky neznáme premenné sú nulové.

Takéto SLAE sme začali študovať na strednej škole. Pri ich riešení sme zobrali jednu rovnicu, jednu neznámu premennú sme vyjadrili inými a dosadili ju do zvyšných rovníc, potom sme zobrali ďalšiu rovnicu, vyjadrili ďalšiu neznámu premennú a dosadili ju do iných rovníc atď. Alebo použili metódu sčítania, to znamená, že pridali dve alebo viac rovníc na odstránenie niektorých neznámych premenných. Nebudeme sa týmito metódami podrobne zaoberať, keďže ide v podstate o modifikácie Gaussovej metódy.

Hlavnými metódami riešenia elementárnych sústav lineárnych rovníc sú Cramerova metóda, maticová metóda a Gaussova metóda. Poďme si ich roztriediť.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc

v ktorej sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je odlišný od nuly, teda .

Nech je determinant hlavnej matice systému a - determinanty matíc, ktoré sa získajú z A nahradením 1., 2., …, n stĺpec respektíve stĺpec voľných členov:

S týmto zápisom sa neznáme premenné počítajú pomocou vzorcov Cramerovej metódy as . Takto sa nájde riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc pomocou Cramerovej metódy.

Príklad.

Cramerova metóda .

Riešenie.

Hlavná matica systému má tvar . Vypočítajme jeho determinant (ak je to potrebné, pozri článok):

Keďže determinant hlavnej matice systému je nenulový, systém má jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou.

Poskladajme a vypočítajme potrebné determinanty (determinant získame nahradením prvého stĺpca v matici A stĺpcom voľných členov, determinant nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných členov a nahradením tretieho stĺpca matice A stĺpcom voľných členov) :

Hľadanie neznámych premenných pomocou vzorcov :

odpoveď:

Hlavnou nevýhodou Cramerovej metódy (ak ju možno nazvať nevýhodou) je zložitosť výpočtu determinantov pri počte rovníc v sústave viac ako tri.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).

Nech je systém lineárnych algebraických rovníc daný v maticovom tvare, kde matica A má rozmer n x n a jej determinant je nenulový.

Keďže , potom je matica A invertibilná, to znamená, že existuje inverzná matica. Ak obe strany rovnosti vynásobíme ľavou, dostaneme vzorec na nájdenie matice-stĺpca neznámych premenných. Takto sme získali riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc pomocou maticovej metódy.

Príklad.

Riešiť sústavu lineárnych rovníc maticová metóda.

Riešenie.

Prepíšme sústavu rovníc do maticového tvaru:

Pretože

potom možno SLAE vyriešiť pomocou maticovej metódy. Pomocou inverznej matice možno nájsť riešenie tohto systému ako .

Zostrojme inverznú maticu pomocou matice z algebraických sčítaní prvkov matice A (ak je to potrebné, pozri článok):

Zostáva vypočítať maticu neznámych premenných vynásobením inverznej matice do maticového stĺpca voľných členov (ak je to potrebné, pozri článok):

odpoveď:

alebo v inom zápise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hlavným problémom pri hľadaní riešení sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou je zložitosť hľadania inverznej matice, najmä pre štvorcové matice vyššieho ako tretieho rádu.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie systému n lineárnych rovníc s n neznámymi premennými
ktorého determinant hlavnej matice je odlišný od nuly.

Podstata Gaussovej metódy pozostáva z postupného odstraňovania neznámych premenných: najprv sa x 1 vylúči zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou, potom sa x 2 vylúči zo všetkých rovníc, počnúc treťou atď., až kým nezostane iba neznáma premenná x n v poslednej rovnici. Tento proces transformácie systémových rovníc na sekvenčnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva priama Gaussova metóda. Po dokončení dopredného zdvihu Gaussovej metódy sa z poslednej rovnice zistí x n, pomocou tejto hodnoty z predposlednej rovnice sa vypočíta x n-1 atď., Z prvej rovnice sa zistí x 1. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice systému k prvej sa nazýva inverzná ku Gaussovej metóde.

Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.

Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Vylúčme neznámu premennú x 1 zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Aby sme to dosiahli, do druhej rovnice systému pridáme prvú, vynásobenú , do tretej rovnice pridáme prvú, vynásobenú , atď., K n-tej rovnici pridáme prvú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde a .

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výslednej sústavy, ktorá je vyznačená na obrázku

Aby sme to dosiahli, do tretej rovnice systému pridáme druhú, vynásobenú , do štvrtej rovnice pridáme druhú, vynásobenú , atď., K n-tej rovnici pridáme druhú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde a . Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k eliminácii neznámeho x 3, pričom podobne postupujeme aj s časťou systému označenou na obr.

Pokračujeme teda v priamom postupe Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname obrátene Gaussovej metódy: x n vypočítame z poslednej rovnice ako , pomocou získanej hodnoty x n nájdeme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Z prvej rovnice nájdeme x 1 .

Príklad.

Riešiť sústavu lineárnych rovníc Gaussova metóda.

Riešenie.

Vylúčme neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice sústavy. Aby sme to dosiahli, k obom stranám druhej a tretej rovnice pridáme zodpovedajúce časti prvej rovnice, vynásobené, resp.

Teraz odstránime x 2 z tretej rovnice tak, že k jej ľavej a pravej strane pridáme ľavú a pravú stranu druhej rovnice, vynásobíme:

Tým sa dokončí dopredný ťah Gaussovej metódy, začneme spätný ťah.

Z poslednej rovnice výslednej sústavy rovníc zistíme x 3:

Z druhej rovnice dostaneme .

Z prvej rovnice nájdeme zostávajúcu neznámu premennú a tým dokončíme opak Gaussovej metódy.

odpoveď:

Xi = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Vo všeobecnosti sa počet rovníc systému p nezhoduje s počtom neznámych premenných n:

Takéto SLAE nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo mať nekonečne veľa riešení. Toto tvrdenie platí aj pre systémy rovníc, ktorých hlavná matica je štvorcová a singulárna.

Kroneckerova-Capelliho veta.

Pred nájdením riešenia systému lineárnych rovníc je potrebné zistiť jeho kompatibilitu. Odpoveď na otázku, kedy je SLAE kompatibilný a kedy nekonzistentný, dáva Kroneckerova-Capelliho veta:
Aby bol systém p rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n) konzistentný, je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť hlavnej matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice, tj. , Poradie (A) = Poradie (T).

Uvažujme ako príklad použitie Kronecker-Capelliho vety na určenie kompatibility systému lineárnych rovníc.

Príklad.

Zistite, či má sústava lineárnych rovníc riešenia.

Riešenie.

. Využime metódu ohraničenia maloletých. Minor druhého rádu odlišný od nuly. Pozrime sa na maloletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia:

Keďže všetky hraničiace neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, poradie hlavnej matice sa rovná dvom.

Na druhej strane, hodnosť rozšírenej matice sa rovná trom, keďže maloletý je tretieho rádu

odlišný od nuly.

teda Rang(A) teda pomocou Kronecker-Capelliho vety môžeme konštatovať, že pôvodný systém lineárnych rovníc je nekonzistentný.

odpoveď:

Systém nemá riešenia.

Takže sme sa naučili určiť nekonzistentnosť systému pomocou Kronecker-Capelliho vety.

Ako však nájsť riešenie pre SLAE, ak je preukázaná jeho kompatibilita?

Na to potrebujeme koncept minoritnej bázy matice a vetu o hodnosti matice.

Volá sa minor najvyššieho rádu matice A, odlišný od nuly základné.

Z definície základu minor vyplýva, že jej poradie sa rovná hodnosti matice. Pre nenulovú maticu A môže byť niekoľko vedľajších základov, vždy je jeden základ menší.

Zoberme si napríklad maticu .

Všetky minority tretieho rádu tejto matice sú rovné nule, pretože prvky tretieho riadku tejto matice sú súčtom zodpovedajúcich prvkov prvého a druhého riadku.

Nasledujúce maloletí druhého poriadku sú základné, pretože sú nenulové

maloletí nie sú základné, pretože sa rovnajú nule.

Veta o poradí matice.

Ak sa poradie matice rádu p x n rovná r, potom všetky riadkové (a stĺpcové) prvky matice, ktoré netvoria zvolenú základňu minor, sú lineárne vyjadrené v zmysle zodpovedajúcich riadkových (a stĺpcových) prvkov tvoriacich základ minor.

Čo nám hovorí veta o poradí matice?

Ak sme podľa Kronecker-Capelliho vety stanovili kompatibilitu systému, potom zvolíme ľubovoľnú menšiu bázu hlavnej matice systému (jej poradie sa rovná r) a vylúčime zo systému všetky rovnice, ktoré netvoria vybraný základ moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentný pôvodnému, keďže vyradené rovnice sú stále nadbytočné (podľa vety o poradí matice sú lineárnou kombináciou zostávajúcich rovníc).

Výsledkom je, že po vyradení nepotrebných rovníc systému sú možné dva prípady.

Ak sa počet rovníc r vo výslednej sústave rovná počtu neznámych premenných, potom bude určitý a jediné riešenie možno nájsť Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Príklad.

.

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice systému sa rovná dvom, keďže maloletý je druhého rádu odlišný od nuly. Rozšírený Matrix Rank sa tiež rovná dvom, keďže jediný menší stupeň tretieho rádu je nula

a vyššie uvažovaná neplnoletá osoba druhého poriadku sa líši od nuly. Na základe Kronecker-Capelliho vety môžeme tvrdiť kompatibilitu pôvodného systému lineárnych rovníc, keďže Rank(A)=Rank(T)=2.

Ako základ berieme drobné . Tvoria ju koeficienty prvej a druhej rovnice:


Tretia rovnica systému sa nezúčastňuje na tvorbe bázy moll, preto ju vylúčime zo systému na základe vety o hodnosti matice:


Takto sme získali elementárny systém lineárnych algebraických rovníc. Poďme to vyriešiť Cramerovou metódou:


odpoveď:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ak počet rovníc r vo výslednom SLAE menšie číslo neznáme premenné n, potom na ľavých stranách rovníc ponecháme členy tvoriace základ minor a zvyšné členy prenesieme na pravé strany rovníc sústavy s opačným znamienkom.

Neznáme premenné (z nich r), ktoré zostávajú na ľavej strane rovníc, sa nazývajú Hlavná.

Neznáme premenné (existuje n - r kusov), ktoré sú na pravej strane, sa nazývajú zadarmo.

Teraz veríme, že voľné neznáme premenné môžu nadobudnúť ľubovoľné hodnoty, zatiaľ čo hlavné neznáme premenné budú vyjadrené prostredníctvom voľných neznámych premenných jedinečným spôsobom. Ich vyjadrenie možno nájsť riešením výsledného SLAE pomocou Cramerovej metódy, maticovej metódy alebo Gaussovej metódy.

Pozrime sa na to na príklade.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Poďme nájsť hodnosť hlavnej matice systému metódou ohraničenia maloletých. Zoberme si a 1 1 = 1 ako nenulovú mollovú hodnotu prvého rádu. Začnime hľadať nenulovú moll druhého rádu ohraničujúcu tento moll:


Takto sme našli nenulovú moll druhého rádu. Začnime hľadať nenulový hraničný moll tretieho rádu:


Hodnosť hlavnej matice je teda tri. Hodnosť rozšírenej matice sa tiež rovná trom, to znamená, že systém je konzistentný.

Za základ berieme nájdený nenulový moll tretieho rádu.

Pre prehľadnosť uvádzame prvky, ktoré tvoria základ moll:


Na ľavej strane systémových rovníc necháme výrazy zapojené do základnej menšej časti a zvyšok prenesieme s opačnými znamienkami na pravú stranu:


Dajme voľným neznámym premenným x 2 a x 5 ľubovoľné hodnoty, teda akceptujeme , kde sú ľubovoľné čísla. V tomto prípade bude mať SLAE formu


Vyriešme výsledný elementárny systém lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou:


Preto, .

Vo svojej odpovedi nezabudnite uviesť voľné neznáme premenné.

odpoveď:

Kde sú ľubovoľné čísla.

Zhrnúť.

Aby sme vyriešili systém všeobecných lineárnych algebraických rovníc, najprv určíme jeho kompatibilitu pomocou Kronecker-Capelliho vety. Ak sa poradie hlavnej matice nerovná hodnote rozšírenej matice, potom dospejeme k záveru, že systém je nekompatibilný.

Ak sa hodnosť hlavnej matice rovná hodnosti rozšírenej matice, vyberieme vedľajšiu bázu a zahodíme rovnice systému, ktoré sa nezúčastňujú na tvorbe vybranej vedľajšej bázy.

Ak poradie základu malo rovná sa číslu neznáme premenné, potom má SLAE jedinečné riešenie, ktoré nájdeme akoukoľvek nám známou metódou.

Ak je poradie menšieho základu menšie ako počet neznámych premenných, potom na ľavej strane systémových rovníc ponecháme výrazy s hlavnými neznámymi premennými, zvyšné výrazy prenesieme na pravé strany a zadáme ľubovoľné hodnoty. voľné neznáme premenné. Z výslednej sústavy lineárnych rovníc nájdeme pomocou Cramerovej metódy, maticovej metódy alebo Gaussovej metódy hlavné neznáme premenné.

Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Gaussovu metódu možno použiť na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc akéhokoľvek druhu bez toho, aby sa najprv testovala ich konzistencia. Proces postupnej eliminácie neznámych premenných umožňuje vyvodiť záver o kompatibilite aj nekompatibilite SLAE a ak existuje riešenie, umožňuje ho nájsť.

Z výpočtového hľadiska je výhodnejšia Gaussova metóda.

Sledujte to Detailný popis a analyzoval príklady v článku Gaussova metóda na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Zápis všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych lineárnych algebraických systémov pomocou vektorov základného systému riešení.

V tejto časti budeme hovoriť o simultánnych homogénnych a nehomogénnych systémoch lineárnych algebraických rovníc, ktoré majú nekonečný počet riešení.

Poďme sa najprv zaoberať homogénnymi systémami.

Základný systém riešení homogénna sústava p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými je súborom (n – r) lineárne nezávislých riešení tejto sústavy, kde r je rád malej bázy hlavnej matice sústavy.

Ak označíme lineárne nezávislé riešenia homogénny SLAE keďže X (1), X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sú stĺpcové matice rozmeru n x 1 ), potom všeobecné riešenie tohto homogénny systém prezentovaný vo forme lineárna kombinácia vektory fundamentálnej sústavy riešení s ľubovoľnými konštantnými koeficientmi C 1, C 2, ..., C (n-r), teda .

Čo znamená všeobecné riešenie homogénneho systému lineárnych algebraických rovníc (oroslau)?

Význam je jednoduchý: vzorec špecifikuje všetky možné riešenia pôvodného SLAE, inými slovami, berie ľubovoľnú množinu hodnôt ľubovoľných konštánt C 1, C 2, ..., C (n-r), pomocou vzorca budeme získať jeden z roztokov pôvodného homogénneho SLAE.

Ak teda nájdeme fundamentálny systém riešení, potom môžeme definovať všetky riešenia tohto homogénneho SLAE ako .

Ukážme si proces konštrukcie základného systému riešení homogénneho SLAE.

Z pôvodného systému lineárnych rovníc vyberieme minoritný základ, vylúčime zo systému všetky ostatné rovnice a všetky členy obsahujúce voľné neznáme premenné prenesieme na pravú stranu rovníc systému s opačnými znamienkami. Dajme zadarmo neznáme premenné hodnoty 1,0,0,…,0 a vypočítajte hlavné neznáme riešením výslednej elementárnej sústavy lineárnych rovníc akýmkoľvek spôsobom, napríklad pomocou Cramerovej metódy. Výsledkom bude X (1) - prvé riešenie základného systému. Ak dáme voľným neznámym hodnoty 0,1,0,0,…,0 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (2) . A tak ďalej. Ak voľným neznámym premenným priradíme hodnoty 0,0,…,0,1 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (n-r) . Týmto spôsobom bude skonštruovaný základný systém riešení homogénneho SLAE a jeho všeobecné riešenie môže byť zapísané v tvare .

Pre nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc je všeobecné riešenie reprezentované v tvare , kde je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému a je partikulárnym riešením pôvodného nehomogénneho SLAE, ktoré získame zadaním hodnôt voľným neznámym ​​0,0,...,0 a výpočet hodnôt hlavných neznámych.

Pozrime sa na príklady.

Príklad.

Nájdite základnú sústavu riešení a všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice homogénnych sústav lineárnych rovníc sa vždy rovná hodnosti rozšírenej matice. Pomocou metódy ohraničenia maloletých nájdime hodnosť hlavnej matice. Ako nenulovú minoritu prvého rádu berieme prvok a 1 1 = 9 hlavnej matice systému. Nájdime hraničnú nenulovú moll druhého rádu:

Bol nájdený minor druhého rádu, odlišný od nuly. Poďme cez neplnoletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia, pri hľadaní nenulovej jednotky:

Všetky neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, preto sa poradie hlavnej a rozšírenej matice rovná dvom. Vezmime . Pre prehľadnosť si všimnime prvky systému, ktoré ho tvoria:

Tretia rovnica pôvodného SLAE sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju možno vylúčiť:

Ponecháme členy obsahujúce hlavné neznáme na pravej strane rovníc a prenesieme členy s voľnými neznámymi na pravú stranu:

Zostavme základnú sústavu riešení pôvodnej homogénnej sústavy lineárnych rovníc. Základný systém riešení tohto SLAE pozostáva z dvoch riešení, keďže pôvodný SLAE obsahuje štyri neznáme premenné a poradie jeho základu minor je rovné dvom. Aby sme našli X (1), dáme voľným neznámym premenným hodnoty x 2 = 1, x 4 = 0, potom nájdeme hlavné neznáme zo systému rovníc
.

Systémy rovníc boli široko používané v hospodárskom priemysle s matematického modelovania rôzne procesy. Napríklad pri riešení problémov riadenia a plánovania výroby, logistických trás (problém dopravy) alebo umiestnenia zariadení.

Sústavy rovníc sa využívajú nielen v matematike, ale aj vo fyzike, chémii a biológii pri riešení úloh zisťovania veľkosti populácie.

Systém lineárnych rovníc sú dve alebo viac rovníc s viacerými premennými, pre ktoré je potrebné nájsť spoločné riešenie. Taká postupnosť čísel, pre ktorú sa všetky rovnice stávajú skutočnými rovnosťami alebo dokazujú, že postupnosť neexistuje.

Lineárna rovnica

Rovnice v tvare ax+by=c sa nazývajú lineárne. Označenia x, y sú neznáme, ktorých hodnotu treba nájsť, b, a sú koeficienty premenných, c je voľný člen rovnice.
Riešenie rovnice jej vykreslením bude vyzerať ako priamka, ktorej všetky body sú riešeniami polynómu.

Typy sústav lineárnych rovníc

Za najjednoduchšie príklady sa považujú sústavy lineárnych rovníc s dvoma premennými X a Y.

F1(x, y) = 0 a F2(x, y) = 0, kde F1,2 sú funkcie a (x, y) sú funkčné premenné.

Riešiť sústavu rovníc - to znamená nájsť hodnoty (x, y), pri ktorých sa systém zmení na skutočnú rovnosť, alebo zistiť, že vhodné hodnoty x a y neexistujú.

Dvojica hodnôt (x, y), zapísaná ako súradnice bodu, sa nazýva riešenie systému lineárnych rovníc.

Ak systémy majú jedno spoločné riešenie alebo žiadne riešenie neexistuje, nazývajú sa ekvivalentné.

Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú sústavy pravá časť ktorá sa rovná nule. Ak má pravá časť za znakom rovnosti hodnotu alebo je vyjadrená funkciou, takýto systém je heterogénny.

Počet premenných môže byť oveľa viac ako dve, potom by sme mali hovoriť o príklade systému lineárnych rovníc s tromi alebo viacerými premennými.

Keď sú školáci konfrontovaní so systémami, predpokladajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom neznámych, ale nie je to tak. Počet rovníc v systéme nezávisí od premenných, môže ich byť ľubovoľne veľa.

Jednoduché a zložité metódy riešenia sústav rovníc

Na riešenie takýchto systémov neexistuje všeobecná analytická metóda, všetky metódy sú založené na numerických riešeniach. V kurze školskej matematiky sú podrobne opísané metódy ako permutácia, algebraické sčítanie, substitúcia, ako aj grafické a maticové metódy, riešenie Gaussovou metódou.

Hlavnou úlohou pri výučbe metód riešenia je naučiť sa správne analyzovať systém a nájsť optimálny algoritmus riešenia pre každý príklad. Hlavnou vecou nie je zapamätať si systém pravidiel a akcií pre každú metódu, ale pochopiť princípy používania konkrétnej metódy

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc programu 7. ročníka stredná škola celkom jednoduché a podrobne vysvetlené. V každej učebnici matematiky sa tejto časti venuje dostatočná pozornosť. Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc pomocou Gaussovej a Cramerovej metódy sa podrobnejšie študuje v prvých ročníkoch vysokoškolského štúdia.

Riešenie systémov substitučnou metódou

Akcie substitučnej metódy sú zamerané na vyjadrenie hodnoty jednej premennej z hľadiska druhej. Výraz sa dosadí do zostávajúcej rovnice, potom sa zredukuje do tvaru s jednou premennou. Akcia sa opakuje v závislosti od počtu neznámych v systéme

Uveďme riešenie príkladu sústavy lineárnych rovníc triedy 7 pomocou substitučnej metódy:

Ako je zrejmé z príkladu, premenná x bola vyjadrená pomocou F(X) = 7 + Y. Výsledný výraz, dosadený do 2. rovnice systému na miesto X, pomohol získať jednu premennú Y v 2. rovnici . Riešenie tohto príkladu je jednoduché a umožňuje vám získať hodnotu Y. Posledný krok Ide o kontrolu prijatých hodnôt.

Nie vždy je možné vyriešiť príklad sústavy lineárnych rovníc substitúciou. Rovnice môžu byť zložité a vyjadrenie premennej pomocou druhej neznámej bude príliš ťažkopádne na ďalšie výpočty. Keď je v systéme viac ako 3 neznámych, riešenie substitúciou je tiež nevhodné.

Riešenie príkladu sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc:

Riešenie pomocou algebraického sčítania

Pri hľadaní riešení systémov metódou sčítania sa rovnice sčítavajú po členoch a násobia sa rôznymi číslami. Konečný cieľ matematické operácie je rovnica s jednou premennou.

Pre aplikácie túto metódu vyžaduje sa prax a pozorovanie. Riešenie sústavy lineárnych rovníc metódou sčítania pri 3 a viacerých premenných nie je jednoduché. Algebraické sčítanie je vhodné použiť, keď rovnice obsahujú zlomky a desatinné miesta.

Algoritmus riešenia:

1. Vynásobte obe strany rovnice určitým číslom. V dôsledku aritmetickej operácie by sa jeden z koeficientov premennej mal rovnať 1.
2. Pridajte výsledný výraz výraz po výraze a nájdite jednu z neznámych.
3. Dosaďte výslednú hodnotu do 2. rovnice systému, aby ste našli zostávajúcu premennú.

Spôsob riešenia zavedením novej premennej

Novú premennú je možné zaviesť, ak systém vyžaduje nájsť riešenie nie viac ako dvoch rovníc; počet neznámych by tiež nemal byť väčší ako dve.

Metóda sa používa na zjednodušenie jednej z rovníc zavedením novej premennej. Nová rovnica sa rieši pre zavedenú neznámu a výsledná hodnota sa použije na určenie pôvodnej premennej.

Príklad ukazuje, že zavedením novej premennej t bolo možné zredukovať 1. rovnicu sústavy na štandardný kvadratický trinom. Polynóm môžete vyriešiť nájdením diskriminantu.

Hodnotu diskriminantu je potrebné nájsť pomocou známeho vzorca: D = b2 - 4*a*c, kde D je požadovaný diskriminant, b, a, c sú faktory polynómu. V uvedenom príklade a=1, b=16, c=39, teda D=100. Ak je diskriminant väčší ako nula, potom existujú dve riešenia: t = -b±√D / 2*a, ak je diskriminant menej ako nula, potom existuje len jedno riešenie: x= -b / 2*a.

Riešenie pre výsledné systémy sa nachádza adičnou metódou.

Vizuálna metóda riešenia systémov

Vhodné pre 3 rovnicové sústavy. Metóda spočíva v zostrojení grafov každej rovnice zahrnutej v systéme na súradnicovej osi. Súradnice priesečníkov kriviek a budú všeobecné rozhodnutie systémov.

Grafická metóda má množstvo nuancií. Pozrime sa na niekoľko príkladov riešenia sústav lineárnych rovníc názorným spôsobom.

Ako je vidieť z príkladu, pre každú čiaru boli skonštruované dva body, hodnoty premennej x boli zvolené ľubovoľne: 0 a 3. Na základe hodnôt x boli nájdené hodnoty pre y: 3 a 0. Na grafe boli vyznačené body so súradnicami (0, 3) a (3, 0) a spojené čiarou.

Kroky sa musia opakovať pre druhú rovnicu. Priesečník čiar je riešením sústavy.

Nasledujúci príklad vyžaduje nájdenie grafického riešenia sústavy lineárnych rovníc: 0,5x-y+2=0 a 0,5x-y-1=0.

Ako vidno z príkladu, systém nemá riešenie, pretože grafy sú rovnobežné a nepretínajú sa po celej dĺžke.

Systémy z príkladov 2 a 3 sú podobné, ale keď sa skonštruujú, je zrejmé, že ich riešenia sú odlišné. Malo by sa pamätať na to, že nie vždy je možné povedať, či systém má riešenie alebo nie, vždy je potrebné zostaviť graf.

Matrica a jej odrody

Matice sa používajú na výstižný zápis sústavy lineárnych rovníc. Matica je tabuľka špeciálny typ naplnené číslami. n*m má n - riadkov a m - stĺpcov.

Matica je štvorcová, keď je počet stĺpcov a riadkov rovnaký. Maticový vektor je matica jedného stĺpca s nekonečne možným počtom riadkov. Matica s jednotkami pozdĺž jednej z uhlopriečok a inými nulovými prvkami sa nazýva identita.

Inverzná matica je matica po vynásobení, ktorou sa pôvodná zmení na jednotkovú maticu; takáto matica existuje len pre pôvodnú štvorcovú.

Pravidlá pre prevod sústavy rovníc na maticu

Vo vzťahu k sústavám rovníc sa koeficienty a voľné členy rovníc zapisujú ako maticové čísla, jedna rovnica je jeden riadok matice.

Riadok matice sa považuje za nenulový, ak aspoň jeden prvok v riadku nie je nula. Ak sa teda v niektorej z rovníc počet premenných líši, potom je potrebné namiesto chýbajúcej neznámej zadať nulu.

Stĺpce matice musia presne zodpovedať premenným. To znamená, že koeficienty premennej x možno zapísať len do jedného stĺpca, napríklad do prvého, koeficient neznámej y - len do druhého.

Pri násobení matice sa všetky prvky matice postupne násobia číslom.

Možnosti hľadania inverznej matice

Vzorec na nájdenie inverznej matice je celkom jednoduchý: K -1 = 1 / |K|, kde K -1 je inverzná matica a |K| je determinantom matice. |K| sa nesmie rovnať nule, potom má systém riešenie.

Determinant sa ľahko vypočíta pre maticu dva krát dva, stačí vynásobiť diagonálne prvky navzájom. Pre možnosť „tri po troch“ existuje vzorec |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Môžete použiť vzorec alebo si môžete zapamätať, že z každého riadku a každého stĺpca musíte vziať jeden prvok, aby sa počty stĺpcov a riadkov prvkov v práci neopakovali.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc maticovou metódou

Maticová metóda hľadania riešenia umožňuje zredukovať ťažkopádne zadania pri riešení systémov s veľkým počtom premenných a rovníc.

V príklade sú a nm koeficienty rovníc, matica je vektor, x n sú premenné a b n sú voľné členy.

Riešenie systémov Gaussovou metódou

IN vyššia matematika Gaussova metóda sa študuje spolu s Cramerovou metódou a proces hľadania riešení systémov sa nazýva Gauss-Cramerova metóda riešenia. Tieto metódy sa používajú na hľadanie premenných systémov s veľkým počtom lineárnych rovníc.

Gaussova metóda je veľmi podobná riešeniam substitúciou a algebraickým sčítaním, ale je systematickejšia. V školskom kurze sa pri sústavách 3 a 4 rovníc používa riešenie Gaussovou metódou. Účelom metódy je zredukovať systém do podoby obráteného lichobežníka. Pomocou algebraických transformácií a substitúcií sa hodnota jednej premennej nachádza v jednej z rovníc systému. Druhá rovnica je výraz s 2 neznámymi, zatiaľ čo 3 a 4 sú s 3 a 4 premennými.

Po uvedení systému do opísanej formy sa ďalšie riešenie redukuje na postupné dosadzovanie známych premenných do rovníc systému.

V školských učebniciach pre 7. ročník je príklad riešenia Gaussovou metódou opísaný takto:

Ako je možné vidieť z príkladu, v kroku (3) sa získali dve rovnice: 3x3-2x4=11 a 3x3+2x4=7. Vyriešenie ktorejkoľvek z rovníc vám umožní zistiť jednu z premenných x n.

Veta 5, ktorá sa v texte spomína, hovorí, že ak sa jedna z rovníc sústavy nahradí ekvivalentnou, tak aj výsledná sústava bude ekvivalentná tej pôvodnej.

Gaussova metóda je pre žiakov ťažko pochopiteľná stredná škola, ale je jedným z najviac zaujímavé spôsoby rozvíjať vynaliezavosť detí študujúcich v rámci programu hĺbkové štúdium na hodinách matematiky a fyziky.

Na uľahčenie zaznamenávania sa výpočty zvyčajne vykonávajú takto:

Koeficienty rovníc a voľné členy sú zapísané vo forme matice, kde každý riadok matice zodpovedá jednej z rovníc sústavy. oddeľuje ľavá strana rovnice sprava. Rímske číslice označujú počet rovníc v systéme.

Najprv si zapíšte maticu, s ktorou sa má pracovať, a potom všetky akcie vykonané s jedným z riadkov. Výsledná matica je napísaná za znakom „šípky“ a potrebné algebraické operácie pokračujú, kým sa nedosiahne výsledok.

Výsledkom by mala byť matica, v ktorej sa jedna z uhlopriečok rovná 1 a všetky ostatné koeficienty sa rovnajú nule, to znamená, že matica je zredukovaná na jednotkový tvar. Nesmieme zabudnúť vykonať výpočty s číslami na oboch stranách rovnice.

Tento spôsob nahrávania je menej ťažkopádny a umožňuje vám nenechať sa rozptyľovať zoznamom mnohých neznámych.

Bezplatné použitie akejkoľvek metódy riešenia si bude vyžadovať starostlivosť a určité skúsenosti. Nie všetky metódy majú aplikovaný charakter. Niektoré metódy hľadania riešení sú vhodnejšie v konkrétnej oblasti ľudskej činnosti, zatiaľ čo iné existujú na vzdelávacie účely.

Týmto videom začínam sériu lekcií venovaných sústavám rovníc. Dnes si povieme niečo o riešení sústav lineárnych rovníc metóda pridávania- toto je jedna z najviac jednoduchými spôsobmi, no zároveň jeden z najúčinnejších.

Spôsob pridávania pozostáva z tri jednoduché kroky:

1. Pozrite sa na systém a vyberte premennú, ktorá má v každej rovnici rovnaké (alebo opačné) koeficienty;
2. Vykonajte algebraické odčítanie (pre opačné čísla - sčítanie) rovníc od seba a potom prineste podobné pojmy;
3. Vyriešte novú rovnicu získanú po druhom kroku.

Ak je všetko vykonané správne, potom na výstupe dostaneme jedinú rovnicu s jednou premennou- nebude ťažké to vyriešiť. Potom už zostáva len nahradiť nájdený koreň do pôvodného systému a získať konečnú odpoveď.

V praxi však nie je všetko také jednoduché. Existuje na to niekoľko dôvodov:

• Riešenie rovníc metódou sčítania znamená, že všetky riadky musia obsahovať premenné s rovnakými/opačnými koeficientmi. Čo robiť, ak táto požiadavka nie je splnená?
• Nie vždy po sčítaní/odčítaní rovníc naznačeným spôsobom dostaneme krásnu konštrukciu, ktorá sa dá jednoducho vyriešiť. Je možné nejako zjednodušiť výpočty a urýchliť výpočty?

Ak chcete získať odpoveď na tieto otázky a zároveň pochopiť niekoľko ďalších jemností, v ktorých mnohí študenti zlyhávajú, pozrite si moju video lekciu:

Touto lekciou začíname sériu prednášok venovaných sústavám rovníc. A začneme od najjednoduchších z nich, a to tých, ktoré obsahujú dve rovnice a dve premenné. Každý z nich bude lineárny.

Systémy je materiál pre 7. ročník, ale táto lekcia bude užitočná aj pre stredoškolákov, ktorí si chcú oprášiť vedomosti z tejto témy.

Vo všeobecnosti existujú dva spôsoby riešenia takýchto systémov:

1. Metóda pridávania;
2. Metóda vyjadrenia jednej premennej pomocou inej.

Dnes sa budeme zaoberať prvou metódou – použijeme metódu odčítania a sčítania. Aby ste to dosiahli, musíte pochopiť nasledujúcu skutočnosť: akonáhle máte dve alebo viac rovníc, môžete si vziať ľubovoľné dve z nich a pridať ich k sebe. Pridávajú sa člen po členovi, t.j. K „X“ sa pridávajú „X“ a dávajú sa podobné, „Y“ s „Y“ sú opäť podobné a to, čo je napravo od znamienka rovnosti, sa tiež pripočítava k sebe a tiež sú tam uvedené podobné. .

Výsledkom takýchto machinácií bude nová rovnica, ktorá, ak má korene, bude určite medzi koreňmi pôvodnej rovnice. Našou úlohou je preto urobiť odčítanie alebo sčítanie tak, aby zmizlo buď $x$ alebo $y$.

Ako to dosiahnuť a aký nástroj na to použiť - o tom teraz budeme hovoriť.

Riešenie jednoduchých problémov pomocou sčítania

Naučíme sa teda používať metódu sčítania na príklade dvoch jednoduchých výrazov.

Úloha č.1

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Všimnite si, že $y$ má koeficient $-4$ v prvej rovnici a $+4$ v druhej. Sú navzájom opačné, takže je logické predpokladať, že ak ich spočítame, vo výslednom súčte sa „hry“ navzájom zničia. Pridajte to a získajte:

Poďme vyriešiť najjednoduchšiu konštrukciu:

Skvelé, našli sme "x". Čo s tým máme teraz robiť? Máme právo ho dosadiť do ktorejkoľvek z rovníc. Nahradime v prvom:

\[-4y=12\vľavo| :\vľavo(-4 \vpravo) \vpravo.\]

Odpoveď: $\left(2;-3 \right)$.

Problém č.2

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Tu je situácia úplne podobná, len s „X“. Sčítajme ich:

Máme najjednoduchšiu lineárnu rovnicu, poďme ju vyriešiť:

Teraz nájdime $x$:

Odpoveď: $\left(-3;3 \right)$.

Dôležité body

Takže sme práve vyriešili dva jednoduché systémy lineárnych rovníc pomocou metódy sčítania. Opäť kľúčové body:

1. Ak existujú opačné koeficienty pre jednu z premenných, potom je potrebné pridať všetky premenné v rovnici. V tomto prípade bude jeden z nich zničený.
2. Nájdenú premennú dosadíme do ktorejkoľvek zo systémových rovníc, aby sme našli druhú.
3. Konečný záznam odpovede môže byť prezentovaný rôznymi spôsobmi. Napríklad takto - $x=...,y=...$, alebo vo forme súradníc bodov - $\left(...;... \right)$. Uprednostňuje sa druhá možnosť. Hlavná vec na zapamätanie je, že prvá súradnica je $x$ a druhá je $y$.
4. Nie vždy platí pravidlo písania odpovede vo forme súradníc bodov. Napríklad sa nedá použiť, keď premenné nie sú $x$ a $y$, ale napríklad $a$ a $b$.

V nasledujúcich úlohách budeme uvažovať o technike odčítania, keď koeficienty nie sú opačné.

Riešenie jednoduchých úloh metódou odčítania

Úloha č.1

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Všimnite si, že tu neexistujú žiadne opačné koeficienty, ale existujú rovnaké. Preto od prvej rovnice odčítame druhú:

Teraz dosadíme hodnotu $x$ do ktorejkoľvek zo systémových rovníc. Poďme prvý:

Odpoveď: $\left(2;5\right)$.

Problém č.2

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Opäť vidíme rovnaký koeficient $ 5 $ pre $ x $ v prvej a druhej rovnici. Preto je logické predpokladať, že musíte odpočítať druhú od prvej rovnice:

Vypočítali sme jednu premennú. Teraz nájdime druhú, napríklad dosadením hodnoty $y$ do druhej konštrukcie:

Odpoveď: $\left(-3;-2 \right)$.

Nuansy riešenia

Čo teda vidíme? Schéma sa v podstate nelíši od riešenia predchádzajúcich systémov. Rozdiel je len v tom, že rovnice nesčítavame, ale odčítavame. Robíme algebraické odčítanie.

Inými slovami, akonáhle uvidíte systém pozostávajúci z dvoch rovníc o dvoch neznámych, prvá vec, na ktorú sa musíte pozrieť, sú koeficienty. Ak sú kdekoľvek rovnaké, rovnice sa odčítajú a ak sú opačné, použije sa metóda sčítania. Vždy sa to robí tak, že jeden z nich zmizne a vo výslednej rovnici, ktorá po odčítaní zostane, zostane len jedna premenná.

Samozrejme, to nie je všetko. Teraz zvážime systémy, v ktorých sú rovnice vo všeobecnosti nekonzistentné. Tie. Nenachádzajú sa v nich žiadne premenné, ktoré by boli rovnaké alebo opačné. V tomto prípade na riešenie takýchto systémov používame dodatočná dávka, konkrétne vynásobením každej z rovníc špeciálnym koeficientom. Ako to nájsť a ako riešiť takéto systémy vo všeobecnosti, o tom teraz budeme hovoriť.

Riešenie úloh násobením koeficientom

Príklad č. 1

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\koniec(zarovnanie) \vpravo.\]

Vidíme, že ani pre $x$, ani pre $y$ nie sú koeficienty nielen vzájomne opačné, ale ani nijako nekorelujú s druhou rovnicou. Tieto koeficienty nijako nezmiznú, ani keď rovnice od seba sčítame alebo odčítame. Preto je potrebné aplikovať násobenie. Skúsme sa zbaviť premennej $y$. Aby sme to dosiahli, vynásobíme prvú rovnicu koeficientom $y$ z druhej rovnice a druhú rovnicu koeficientom $y$ z prvej rovnice bez toho, aby sme sa dotkli znamienka. Vynásobíme a získame nový systém:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Pozrime sa na to: pri $y$ sú koeficienty opačné. V takejto situácii je potrebné použiť metódu sčítania. Pridajme:

Teraz musíme nájsť $y$. Ak to chcete urobiť, nahraďte $x$ do prvého výrazu:

\[-9y=18\vľavo| :\vľavo(-9 \vpravo) \vpravo.\]

Odpoveď: $\left(4;-2 \right)$.

Príklad č.2

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Opäť platí, že koeficienty pre žiadnu z premenných nie sú konzistentné. Vynásobme koeficientmi $y$:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 11x+4y=-18\vľavo| 6 \vpravo. \\& 13x-6y=-32\vľavo| 4 \vpravo. \\\koniec (zarovnanie) \vpravo .\]

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\koniec(zarovnanie) \vpravo.\]

náš nový systém je ekvivalentný predchádzajúcemu, avšak koeficienty $y$ sú navzájom opačné, a preto je ľahké použiť metódu sčítania tu:

Teraz nájdime $y$ dosadením $x$ do prvej rovnice:

Odpoveď: $\left(-2;1 \right)$.

Nuansy riešenia

Tu je kľúčové pravidlo nasledovné: násobíme vždy iba kladnými číslami - to vás ušetrí od hlúpych a urážlivých chýb spojených so zmenou značiek. Vo všeobecnosti je schéma riešenia pomerne jednoduchá:

1. Pozeráme sa na systém a analyzujeme každú rovnicu.
2. Ak vidíme, že ani $y$ ani $x$ nie sú koeficienty konzistentné, t.j. nie sú rovnaké ani opačné, potom urobíme nasledovné: vyberieme premennú, ktorej sa potrebujeme zbaviť, a potom sa pozrieme na koeficienty týchto rovníc. Ak vynásobíme prvú rovnicu koeficientom z druhej a druhú, zodpovedajúcim spôsobom, vynásobíme koeficientom z prvej, potom nakoniec dostaneme systém, ktorý je úplne ekvivalentný predchádzajúcemu, a koeficienty $ y$ bude konzistentné. Všetky naše akcie alebo transformácie sú zamerané len na získanie jednej premennej v jednej rovnici.
3. Nájdeme jednu premennú.
4. Nájdenú premennú dosadíme do jednej z dvoch rovníc systému a nájdeme druhú.
5. Odpoveď zapíšeme v tvare súradníc bodov, ak máme premenné $x$ a $y$.

Ale aj taký jednoduchý algoritmus má svoje vlastné jemnosti, napríklad koeficienty $x$ alebo $y$ môžu byť zlomky a iné „škaredé“ čísla. Tieto prípady teraz zvážime oddelene, pretože v nich môžete konať trochu inak ako podľa štandardného algoritmu.

Riešenie úloh so zlomkami

Príklad č. 1

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Najprv si všimnite, že druhá rovnica obsahuje zlomky. Ale všimnite si, že môžete rozdeliť $ 4 $ 0,8 $. Dostaneme 5 $. Vynásobme druhú rovnicu 5 $:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Odčítame rovnice od seba:

Našli sme $n$, teraz počítajme $m$:

Odpoveď: $n=-4;m=5$

Príklad č.2

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 2,5p+1,5k=-13\vľavo| 4 \vpravo. \\& 2p-5k=2\vľavo| 5 \vpravo. \\\koniec (zarovnanie )\ správny.\]

Aj tu, rovnako ako v predchádzajúcom systéme, existujú zlomkové koeficienty, ale pre žiadnu z premenných do seba koeficienty nezapadajú viackrát ako celé číslo. Preto používame štandardný algoritmus. Zbavte sa $p$:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Používame metódu odčítania:

Nájdite $p$ dosadením $k$ do druhej konštrukcie:

Odpoveď: $p=-4;k=-2$.

Nuansy riešenia

To je celá optimalizácia. V prvej rovnici sme nenásobili vôbec ničím, ale vynásobili sme druhú rovnicu 5 $. V dôsledku toho sme získali konzistentnú a dokonca identickú rovnicu pre prvú premennú. V druhom systéme sme postupovali podľa štandardného algoritmu.

Ako však nájdete čísla, ktorými sa rovnice vynásobia? Predsa, ak vynásobíte zlomkové čísla, dostaneme nové zlomky. Preto musia byť zlomky vynásobené číslom, ktoré by dalo nové celé číslo, a potom musia byť premenné vynásobené koeficientmi podľa štandardného algoritmu.

Na záver by som chcel upozorniť na formát záznamu odpovede. Ako som už povedal, keďže tu nemáme $x$ a $y$, ale iné hodnoty, používame neštandardný zápis tvaru:

Riešenie zložitých sústav rovníc

Na záver dnešného videonávodu sa pozrime na pár skutočne zložitých systémov. Ich zložitosť bude spočívať v tom, že budú mať premenné vľavo aj vpravo. Preto na ich vyriešenie budeme musieť použiť predspracovanie.

Systém č.1

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 3\vľavo(2x-y \vpravo)+5=-2\vľavo(x+3y\vpravo)+4 \\& 6\vľavo(y+1 \vpravo )-1=5\vľavo(2x-1 \vpravo)+8 \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]

Každá rovnica nesie určitú zložitosť. Preto s každým výrazom zaobchádzajme ako s regulárnou lineárnou konštrukciou.

Celkovo dostaneme konečný systém, ktorý je ekvivalentný pôvodnému:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Pozrime sa na koeficienty $y$: $3$ sa zmestí do $6$ dvakrát, takže vynásobme prvú rovnicu $2$:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Koeficienty $y$ sú teraz rovnaké, takže od prvej rovnice odpočítame druhý: $$

Teraz nájdime $y$:

Odpoveď: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Systém č.2

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnať)& 4\vľavo(a-3b \vpravo)-2a=3\vľavo(b+4 \vpravo)-11 \\& -3\vľavo(b-2a \vpravo )-12=2\vľavo(a-5 \vpravo)+b \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]

Transformujme prvý výraz:

Poďme sa zaoberať tým druhým:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Náš počiatočný systém bude mať celkovo nasledujúcu formu:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Pri pohľade na koeficienty $a$ vidíme, že prvú rovnicu je potrebné vynásobiť $2$:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Odčítajte druhú od prvej konštrukcie:

Teraz nájdime $a$:

Odpoveď: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

To je všetko. Dúfam, že vám tento videonávod pomôže pochopiť túto náročnú tému, konkrétne riešenie systémov jednoduchých lineárnych rovníc. Na túto tému bude oveľa viac lekcií: pozrieme sa na viac komplexné príklady, kde bude viac premenných a samotné rovnice už budú nelineárne. Uvídime sa znovu!

1. Substitučná metóda: z ľubovoľnej rovnice sústavy vyjadríme jednu neznámu cez druhú a dosadíme ju do druhej rovnice sústavy.

Úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

Riešenie. Z prvej rovnice sústavy vyjadríme pri cez X a dosaďte ho do druhej rovnice sústavy. Zoberme si systém ekvivalentné pôvodnému.

Po uvedení podobných podmienok bude mať systém podobu:

Z druhej rovnice zistíme: . Dosadenie tejto hodnoty do rovnice pri = 2 - 2X, dostaneme pri= 3. Preto riešením tejto sústavy je dvojica čísel.

2. Algebraická metóda sčítania: Pridaním dvoch rovníc získate rovnicu s jednou premennou.

Úloha. Vyriešte rovnicu systému:

Riešenie. Vynásobením oboch strán druhej rovnice číslom 2 dostaneme systém ekvivalentné pôvodnému. Sčítaním dvoch rovníc tohto systému sa dostaneme k systému

Po uvedení podobných podmienok bude mať tento systém podobu: Z druhej rovnice nájdeme . Dosadenie tejto hodnoty do rovnice 3 X + 4pri= 5, dostaneme , kde . Preto je riešením tohto systému dvojica čísel.

3. Metóda zavádzania nových premenných: hľadáme v systéme nejaké opakujúce sa výrazy, ktoré budeme označovať novými premennými, čím zjednodušíme vzhľad systému.

Úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

Riešenie. Napíšme tento systém inak:

Nechaj x + y = u, xy = v. Potom dostaneme systém

Riešime to substitučnou metódou. Z prvej rovnice sústavy vyjadríme u cez v a dosaďte ho do druhej rovnice sústavy. Zoberme si systém tie.

Z druhej rovnice sústavy nájdeme v 1 = 2, v 2 = 3.

Nahradením týchto hodnôt do rovnice u = 5 - v, dostaneme u 1 = 3,
u 2 = 2. Potom máme dva systémy

Vyriešením prvej sústavy dostaneme dve dvojice čísel (1; 2), (2; 1). Druhý systém nemá riešenia.

Cvičenia na samostatnú prácu

1. Riešiť sústavy rovníc substitučnou metódou.