דגם -ייצוג רשמי של אובייקט, תהליך או תופעה אמיתיים, המתבטא באמצעים שונים: יחס מתמטי, מספרים, טקסטים, גרפים, שרטוטים, תיאור מילולי, אובייקט חומרי. המודל צריך לשקף את המאפיינים המהותיים של האובייקט, התופעה או התהליך הנחקר.

דוּגמָנוּתהיא שיטת קוגניציה, המורכבת מיצירה ולימוד של מודלים.

יעדי סימולציה:

1. להבין את מהות האובייקט הנחקר;

2. למד לנהל את המתקן ולקבוע את הדרכים הטובות ביותר לנהל אותו;

3. לחזות השלכות ישירות או עקיפות;

4. לפתור בעיות יישומיות.

2. סיווג וצורות ייצוג של מודלים

בהתאם למשימה, לשיטת יצירת המודל ולתחום הנושא, ישנם סוגים רבים של מודלים:

· לפי אזור שימושלהקצות מודלים לאימון, ניסויים, משחקים, סימולציה, מחקר.

· לפי גורם זמןלהבחין בין מודלים סטטיים ודינאמיים.

· לפי צורת ההצגההמודלים הם מתמטיים, גיאומטריים, מילוליים, לוגיים, מיוחדים (הערות, נוסחאות כימיות וכו').

· בדרך של מצגתהמודלים מחולקים למידע (לא חומרי, מופשט) וחומר. מודלים של מידע, בתורם, מחולקים לסימן ולמילול, סימן - למחשב ולא למחשב.

מודל מידעהוא קבוצת מידע המאפיינת את המאפיינים והמצב של אובייקט, תהליך או תופעה.

מודל מילולי- מודל מידע בצורה נפשית או שיחה.

דגם איקוני- מודל מידע המתבטא בסימנים מיוחדים, כלומר, באמצעות כל שפה פורמלית.

מודל מתמטי- מערכת של קשרים מתמטיים המתארים תהליך או תופעה.

מודל ממוחשב הוא מודל מתמטי המתבטא באמצעות סביבת תוכנה.

דגמים מנוסים – אלה הם עותקים מוקטנים או מוגדלים של האובייקט המעוצב. הם נקראים גם בקנה מידה מלא ומשמשים לחקר האובייקט ולניבוי מאפייניו העתידיים.

מודלים מדעיים וטכניים נוצרים כדי לחקור תהליכים ותופעות.

מודלים של סימולציה לא רק משקפים את המציאות בדרגות שונות של דיוק, אלא מחקים אותה. הניסוי חוזר על עצמו פעמים רבות על מנת ללמוד ולהעריך את ההשלכות של פעולות כלשהן על המצב האמיתי, או מבוצע במקביל עם אובייקטים דומים רבים אחרים, אך בתנאים שונים. שיטה זו לבחירת הפתרון הנכון נקראת בניסוי וטעייה.

דגם סטטי – זה כמו פרוסת מידע חד פעמית על האובייקט.

המודל הדינמי מאפשר לך לראות כיצד אובייקט משתנה לאורך זמן.

כפי שניתן לראות מהדוגמאות, ניתן ללמוד את אותו אובייקט באמצעות מודלים סטטיים ודינאמיים כאחד.

מודלים חומריים יכולים להיקרא אחרת נושא, פיזי. הם משחזרים גיאומטריים ו תכונות גשמיותמקורי ותמיד יש להם התגלמות אמיתית.

אי אפשר לגעת במודלים של מידע או לראות אותם בעיניים, אין להם התגלמות מהותית, כי הם בנויים רק על מידע. שיטת מידול זו מבוססת על גישה אינפורמטיבית לחקר המציאות הסובבת.

דוגמנות כשיטה לידע מדעי. תכונות היישום של שיטת המודלים המתמטיים במשק. תכונות של תצפיות ומדידות כלכליות.

דוגמנות כשיטה לידע מדעי

את התקציר השלים: סטודנט מן המניין בפקולטה "קיברנטיקה כלכלית" מקבוצת 432 Kovalev I.V.

האקדמיה הרוסית לכלכלה על שם G.V. PLEKHANOV

המחלקה לקיברנטיקה כלכלית

מוסקבה - 1994

1. דוגמנות כשיטה לידע מדעי.

מודלים במחקר מדעי החלו לשמש בימי קדם ותפסו בהדרגה את כל תחומי הידע המדעיים החדשים: עיצוב טכני, בנייה ואדריכלות, אסטרונומיה, פיזיקה, כימיה, ביולוגיה ולבסוף, מדעי החברה. הצלחה גדולה והכרה כמעט בכל ענפי המדע המודרני הביאו את שיטת הדוגמנות של המאה העשרים. עם זאת, מתודולוגיית הדוגמנות פותחה באופן עצמאי על ידי מדעים בודדים במשך זמן רב. נֶעדָר מערכת אחתמושגים, מינוח נפוץ. רק בהדרגה החל להתממש תפקיד הדוגמנות כשיטה אוניברסלית לידע מדעי.

המונח "מודל" נמצא בשימוש נרחב בתחומי פעילות אנושית שונים ויש לו משמעויות רבות. הבה נשקול רק "מודלים" כאלה שהם כלים להשגת ידע.

מודל הוא אובייקט כזה חומרי או מיוצג נפשית, שבתהליך המחקר, מחליף את האובייקט המקורי כך שהמחקר הישיר שלו מספק ידע חדש על האובייקט המקורי.

דוגמנות מתייחסת לתהליך של בנייה, לימוד ויישום מודלים. זה קשור קשר הדוק לקטגוריות כמו הפשטה, אנלוגיה, השערה וכו'. תהליך המידול כולל בהכרח בניית הפשטות, ומסקנות באנלוגיה, ובניית השערות מדעיות.

התכונה העיקרית של דוגמנות היא שזו שיטה של ​​הכרה עקיפה בעזרת אובייקטי פרוקסי. המודל פועל כמעין כלי ידע, אותו מעמיד החוקר בינו לבין האובייקט ובעזרתו הוא לומד את האובייקט המעניין אותו. תכונה זו של שיטת המודלים היא שקובעת את הצורות הספציפיות של שימוש בהפשטות, אנלוגיות, השערות וקטגוריות ושיטות אחרות של קוגניציה.

הצורך להשתמש בשיטת המידול נקבע על ידי העובדה שאובייקטים רבים (או בעיות הקשורות לאובייקטים אלו) הם בלתי אפשריים ללימוד ישיר או לא כלל, או שמחקר זה דורש הרבה זמן וכסף.

תהליך המידול כולל שלושה אלמנטים: 1) הסובייקט (החוקר), 2) מושא המחקר, 3) מודל המתווך את היחסים בין הסובייקט המכיר לבין האובייקט המוכר.

שיהיה או צריך ליצור אובייקט א' כלשהו. אנו מתכננים (חומרית או נפשית) או מוצאים בעולם האמיתי אובייקט אחר ב' - דגם של אובייקט א'. שלב בניית המודל מניח נוכחות של ידע כלשהו על האובייקט המקורי . היכולות הקוגניטיביות של המודל נובעות מהעובדה שהמודל משקף כל תכונות חיוניות של האובייקט המקורי. שאלת הנחיצות ומידת הדמיון המספיקה בין המקור לדגם מחייבת ניתוח ספציפי. ברור שהדגם מאבד את משמעותו הן במקרה של זהות עם המקור (ואז הוא מפסיק להיות המקור), והן במקרה של הבדל מופרז מהמקור מכל הבחינות המהותיות.

לפיכך, מחקר של כמה היבטים של האובייקט המודגם מתבצע במחיר של סירוב לשקף היבטים אחרים. לכן, כל דגם מחליף את המקור רק במובן מוגבל בהחלט. מכאן נובע שניתן לבנות מספר מודלים "מיוחדים" עבור אובייקט אחד, תוך מיקוד תשומת הלב בהיבטים מסוימים של האובייקט הנחקר או אפיון האובייקט באמצעות מעלות משתנותפרט.

בשלב השני של תהליך המידול, המודל פועל כאובייקט מחקר עצמאי. אחת הצורות של מחקר כזה היא עריכת ניסויי "מודל", שבהם משנים בכוונה את התנאים לתפקוד המודל ומסדרים נתונים על "התנהגותו". התוצאה הסופית של שלב זה היא שפע של ידע על מודל R.

בשלב השלישי מתבצעת העברת הידע מהמודל למקור - היווצרות של סט ידע S על האובייקט. תהליך זה של העברת ידע מתבצע על פי כללים מסוימים. יש לתקן את הידע על המודל תוך התחשבות באותם מאפיינים של האובייקט המקורי שלא הושתקפו או שונו במהלך בניית המודל. אנו יכולים עם סיבה טובה להעביר כל תוצאה מהדגם למקור, אם תוצאה זו קשורה בהכרח עם סימני דמיון בין המקור לדגם. אם תוצאה מסוימת של מחקר מודל קשורה להבדל בין המודל למקור, אזי לא ניתן להעביר תוצאה זו.

השלב הרביעי הוא אימות מעשי של הידע המתקבל בעזרת מודלים והשימוש בהם לבניית תיאוריה כללית של האובייקט, השינוי או השליטה בו.

כדי להבין את מהות המידול, חשוב לא לאבד את העובדה שדוגמנות היא לא מקור הידע היחיד על אובייקט. תהליך הדוגמנות "שקוע" בעוד תהליך כללייֶדַע. נסיבות אלו נלקחות בחשבון לא רק בשלב בניית המודל, אלא גם בשלב הסופי, כאשר תוצאות המחקר המתקבלות על בסיס אמצעי קוגניציה מגוונים משולבים ומוכללים.

דוגמנות היא תהליך מחזורי. משמעות הדבר היא שניתן לעקוב אחרי המחזור הראשון בן ארבעת השלבים מחזור שני, שלישי וכן הלאה. במקביל, הידע על האובייקט הנחקר מורחב ומשכלל, והמודל המקורי משתפר בהדרגה. הליקויים שנמצאו לאחר המחזור הראשון של המידול, עקב ידע מועט של האובייקט וטעויות בבניית המודל, ניתנים לתיקון במחזורים הבאים. המתודולוגיה של דוגמנות מכילה אפוא הזדמנויות גדולות להתפתחות עצמית.

2. תכונות היישום של שיטת המודלים המתמטיים במשק.

חדירת המתמטיקה לכלכלה קשורה להתגברות על קשיים משמעותיים. זה היה בחלקו "אשם" במתמטיקה, שהתפתחה במשך כמה מאות שנים, בעיקר בקשר עם צורכי הפיזיקה והטכנולוגיה. אבל הסיבות העיקריות עדיין נעוצות באופיים של תהליכים כלכליים, בפרטים הספציפיים של מדע הכלכלה.

רוב האובייקטים הנלמדים על ידי מדע הכלכלה יכולים להיות מאופיינים בתפיסה הקיברנטית של מערכת מורכבת.

ההבנה הנפוצה ביותר של המערכת כמערכת של אלמנטים הנמצאים באינטראקציה ויוצרים שלמות מסוימת, אחדות. איכות חשובה של כל מערכת היא הופעה - נוכחות של מאפיינים כאלה שאינם טבועים באף אחד מהאלמנטים הכלולים במערכת. לכן, כאשר לומדים מערכות, לא מספיק להשתמש בשיטה של ​​חלוקתן לאלמנטים עם לימוד שלאחר מכן של אלמנטים אלה בנפרד. אחד הקשיים של המחקר הכלכלי הוא שכמעט ואין אובייקטים כלכליים שיכולים להיחשב כמרכיבים נפרדים (לא מערכתיים).

מורכבות המערכת נקבעת על פי מספר האלמנטים הנכללים בה, היחסים בין האלמנטים הללו וכן היחס בין המערכת לסביבה. לכלכלת המדינה יש את כל הסממנים של מערכת מורכבת מאוד. הוא משלב מספר עצום של אלמנטים, נבדל במגוון של קשרים פנימיים וקשרים עם מערכות אחרות (הסביבה הטבעית, הכלכלה של מדינות אחרות וכו'). תהליכים טבעיים, טכנולוגיים, חברתיים, גורמים אובייקטיביים וסובייקטיביים מתקשרים בכלכלה הלאומית.

המורכבות של הכלכלה נחשבה לעתים כהצדקה לחוסר האפשרות של המודל שלה, לימוד באמצעות מתמטיקה. אבל נקודת המבט הזו שגויה מיסודה. אתה יכול לדגמן אובייקט מכל טבע ובכל מורכבות. ורק אובייקטים מורכבים הם העניין הגדול ביותר עבור דוגמנות; זה המקום שבו מודלים יכולים לספק תוצאות שלא ניתן להשיג בשיטות מחקר אחרות.

האפשרות הפוטנציאלית של מודלים מתמטיים של כל אובייקט ותהליכים כלכליים אינה אומרת, כמובן, היתכנות מוצלחת שלו ברמה נתונה של ידע כלכלי ומתמטי, מידע ספציפי זמין וטכנולוגיית מחשוב. ולמרות שאי אפשר להצביע על הגבולות המוחלטים של הפורמליזציה המתמטית של בעיות כלכליות, תמיד יהיו בעיות לא פורמליות, כמו גם מצבים שבהם המודלים המתמטיים אינם יעילים מספיק.

3. תכונות של תצפיות ומדידות כלכליות.

במשך זמן רב הבלם הראשי יישום מעשימידול מתמטי במשק הוא מילוי המודלים שפותחו במידע ספציפי ואיכותי. דיוק ושלמות המידע העיקרי, הזדמנויות אמיתיותהאיסוף והעיבוד שלו קובעים במידה רבה את הבחירה של סוגי הדגמים המיושמים. מצד שני, מחקרי מודלים כלכליים הציעו דרישות חדשות למערכת המידע.

בהתאם לאובייקטים שמדגמים ולמטרת המודלים, למידע הראשוני המשמש בהם יש אופי ומקור שונה באופן משמעותי. ניתן לחלק אותו לשתי קטגוריות: על התפתחות העבר ומצבם הנוכחי של אובייקטים (תצפיות כלכליות ועיבודם) ועל התפתחותם העתידית של אובייקטים, לרבות נתונים על שינויים צפויים בפרמטרים הפנימיים שלהם ובתנאים החיצוניים שלהם (תחזיות). הקטגוריה השנייה של מידע היא תוצאה של מחקר עצמאי, שניתן לבצע גם באמצעות מודלים.

שיטות של תצפיות כלכליות ושימוש בתוצאות של תצפיות אלה מפותחות על ידי סטטיסטיקה כלכלית. לכן, ראוי לציין רק את הבעיות הספציפיות של תצפיות כלכליות הקשורות במודל של תהליכים כלכליים.

במשק, תהליכים רבים הם מאסיביים; הם מאופיינים בדפוסים שאינם ניתנים לזיהוי על בסיס תצפית אחת או מעטות בלבד. לכן, מודלים בכלכלה צריכים להתבסס על תצפיות המוניות.

בעיה נוספת נובעת מהדינאמיות של תהליכים כלכליים, השונות של הפרמטרים והקשרים המבניים שלהם. כתוצאה מכך, יש לנטר כל הזמן תהליכים כלכליים, יש צורך בזרימה קבועה של נתונים חדשים. מכיוון שתצפיות על תהליכים כלכליים ועיבוד נתונים אמפיריים בדרך כלל לוקחים די הרבה זמן, בעת בניית מודלים מתמטייםהמשק צריך לתקן את המידע הראשוני תוך התחשבות באיחור שלו.

הידע על היחסים הכמותיים של תהליכים ותופעות כלכליים מבוסס על מדידות כלכליות. הדיוק של המדידות קובע במידה רבה את הדיוק של התוצאות הסופיות של ניתוח כמותי באמצעות מודלים. בגלל זה תנאי הכרחישימוש מרהיב במודלים מתמטיים הוא שיפור של אינדיקטורים כלכליים. השימוש במודלים מתמטיים חידד את בעיית המדידה וההשוואות הכמותיות של היבטים ותופעות שונות של התפתחות חברתית-כלכלית, מהימנות ושלמות הנתונים המתקבלים והגנתם מפני עיוותים מכוונים וטכניים.

במהלך הדוגמנות ישנה אינטראקציה של מטרים כלכליים "ראשוניים" ו"משניים". כל מודל של הכלכלה הלאומית מבוסס על מערכת מסוימת של אינדיקטורים כלכליים (מוצרים, משאבים, אלמנטים וכו'). יחד עם זאת, אחת התוצאות החשובות של מודלים כלכליים לאומיים היא השגת אינדיקטורים כלכליים חדשים (משניים) - מחירים מוצדקים כלכלית למוצרים של תעשיות שונות, הערכות של יעילות משאבי טבע באיכות שונה ואינדיקטורים לתועלת החברתית של מוצרים. עם זאת, מונים אלו עשויים להיות מושפעים ממונים ראשוניים לא מבוססים מספיק, מה שמאלץ פיתוח של מתודולוגיה מיוחדת להתאמת מונים ראשוניים למודלים עסקיים.

מנקודת המבט של "האינטרסים" של מודלים כלכליים, כיום הבעיות הדוחקות ביותר של שיפור האינדיקטורים הכלכליים הן: הערכת תוצאות הפעילות האינטלקטואלית (במיוחד בתחום הפיתוחים המדעיים והטכניים, תעשיית האינפורמטיקה), בנייה כללית אינדיקטורים של התפתחות כלכלית-חברתית, מדידת השפעות משוב (משפיעות על מנגנונים כלכליים וחברתיים על יעילות הייצור).

4. אקראיות ואי ודאות בפיתוח כלכלי.

למתודולוגיה של תכנון כלכלי יש חשיבות רבה למושג אי ודאות בפיתוח כלכלי. במחקר על חיזוי כלכליותכנון, מבחינים בין שני סוגים של אי ודאות: "אמיתי", בשל תכונותיהם של תהליכים כלכליים, ו"מידע", הקשורים לחוסר השלמות ולאי הדיוק של המידע הזמין על תהליכים אלו. אין לבלבל בין אי ודאות אמיתית לבין קיומן אובייקטיבי של אפשרויות שונות לפיתוח כלכלי ואפשרות של בחירה מודעת ביניהן של אפשרויות אפקטיביות. אנחנו מדברים על חוסר האפשרות הבסיסית של בחירה מדויקת של אפשרות אחת (אופטימלית).

בהתפתחות המשק, אי הוודאות נגרמת משתי סיבות עיקריות. ראשית, לא ניתן לחזות במדויק את מהלך התהליכים המתוכננים והמבוקרים, כמו גם השפעות חיצוניות על תהליכים אלו, בשל פעולתם של גורמים אקראיים ומגבלות הידע האנושי בכל רגע נתון. הדבר מאפיין במיוחד את חיזוי ההתקדמות המדעית והטכנולוגית, צרכי החברה והתנהגות כלכלית. שנית, התכנון והניהול הכללי של המדינה אינם רק לא מקיפים, אלא גם לא כל יכול, ונוכחותם של ישויות כלכליות עצמאיות רבות עם אינטרסים מיוחדים אינה מאפשרת לחזות במדויק את תוצאות האינטראקציות ביניהן. חוסר השלמות ואי הדיוק של המידע על תהליכים אובייקטיביים והתנהגות כלכלית מחזקים את אי הוודאות האמיתית.

בשלבים הראשונים של המחקר על מודלים כלכליים, נעשה שימוש בעיקר במודלים מסוג דטרמיניסטי. במודלים אלה, ההנחה היא שכל הפרמטרים ידועים בדיוק. עם זאת, אין זה נכון להבין מודלים דטרמיניסטיים בצורה מכנית ולזהות אותם עם מודלים נטולי כל "דרגות בחירה" (בחירות) ובעלי פתרון בר ביצוע יחיד. הנציג הקלאסי של מודלים דטרמיניסטיים נוקשים הוא מודל האופטימיזציה של הכלכלה הלאומית, המשמש לקביעת האפשרות הטובה ביותר לפיתוח כלכלי מבין האפשרויות הרבות האפשריות.

כתוצאה מהצטברות הניסיון בשימוש במודלים דטרמיניסטיים למהדרין, נוצרו הזדמנויות אמיתיות ליישום מוצלח של מתודולוגיה מתקדמת יותר למידול תהליכים כלכליים המתחשבים בסטוכסטיות ואי ודאות. יש כאן שני קווי מחקר עיקריים. ראשית, משתפרת שיטת השימוש במודלים מסוג דטרמיניסטי נוקשה: ביצוע חישובים רב-משתנים וניסויי מודל עם וריאציה בתכנון המודל ובנתוניו הראשוניים; לימוד היציבות והאמינות של הפתרונות שהושגו, הקצאת אזור אי הוודאות; הכללה במודל הרזרבות, שימוש בטכניקות המגבירות את יכולת ההסתגלות של החלטות כלכליות למצבים סבירים ובלתי צפויים. שנית, מודלים המשקפים ישירות את הסטוכסטיות ואי הוודאות של תהליכים כלכליים ומשתמשים במנגנון המתמטי המתאים הולכים ותופסים מקום: תורת ההסתברות וסטטיסטיקה מתמטית, תורת המשחקים והחלטות סטטיסטיות, תורת התורים, תכנות סטוכסטי ותורת התהליכים האקראיים.

5. בדיקת נאותות הדגמים.

המורכבות של תהליכים ותופעות כלכליות ותכונות אחרות של מערכות כלכליות שצוינו לעיל מקשות לא רק על בניית מודלים מתמטיים, אלא גם על אימות נאותם, את אמיתות התוצאות שהושגו.

במדעי הטבע, תנאי מספיק לאמיתות תוצאות המידול וכל צורות קוגניציה אחרות הוא צירוף המקרים של תוצאות המחקר עם העובדות הנצפות. הקטגוריה "תרגול" חופפת כאן לקטגוריה "מציאות". בכלכלה ובמדעי החברה האחרים, עקרון "הפרקטיקה-קריטריון של האמת" המובן בצורה זו ישים יותר למודלים תיאוריים פשוטים המשמשים לתיאור והסבר פסיבי של המציאות (ניתוח של התפתחות עבר, חיזוי קצר טווח של תהליכים כלכליים לא מנוהלים וכו' .).

עם זאת, המשימה העיקרית של מדע הכלכלה היא בונה: פיתוח שיטות מדעיות לתכנון וניהול הכלכלה. לכן, סוג נפוץ של מודלים מתמטיים של הכלכלה הם מודלים של תהליכים כלכליים מנוהלים ומווסתים המשמשים לשינוי המציאות הכלכלית. מודלים כאלה נקראים נורמטיביים. אם מודלים נורמטיביים מכוונים רק לאישור המציאות, אז הם לא יוכלו לשמש כלי לפתרון בעיות סוציו-אקונומיות חדשות מבחינה איכותית.

הספציפיות של אימות מודלים נורמטיביים של הכלכלה היא שהם, ככלל, "מתחרים" בשיטות תכנון וניהול אחרות שכבר מצאו יישום מעשי. יחד עם זאת, זה רחוק מלהיות תמיד אפשרי להקים ניסוי טהור לאימות המודל, תוך ביטול השפעת פעולות בקרה אחרות על האובייקט המודגם.

המצב מסתבך עוד יותר כאשר עולה שאלת האימות של מודלים של חיזוי ותכנון ארוכי טווח (הן תיאוריים והן נורמטיביים). אחרי הכל, אי אפשר לחכות 10-15 שנים או יותר באופן פסיבי להופעת האירועים על מנת לבדוק את תקינות הנחות הדגם של הדגם.

למרות הנסיבות המסבכות שצוינו, התאמת המודל לעובדות ולמגמות של החיים הכלכליים האמיתיים נותרה הקריטריון החשוב ביותר הקובע את הכיוונים לשיפור המודלים. ניתוח מקיף של פערים בין המציאות למודל, השוואה בין תוצאות המודל לתוצאות המתקבלות בשיטות אחרות, מסייעים לפיתוח דרכים לתיקון המודלים.

תפקיד משמעותי בבדיקת מודלים שייך לניתוח לוגי, לרבות אמצעי המידול המתמטי עצמו. שיטות רשמיות של אימות מודל כמו הוכחת קיומו של פתרון במודל, בדיקת תקפותן של השערות סטטיסטיות לגבי קשרים בין פרמטרים ומשתנים של מודל, השוואת ממדי הכמויות וכו', מאפשרות לצמצם את המחלקה של פוטנציאל דגמים "נכונים".

העקביות הפנימית של הנחות המודל נבדקת גם על ידי השוואת ההשלכות המתקבלות בעזרתו, וכן עם ההשלכות של מודלים "מתחרים".

בהערכת המצב הנוכחי של בעיית הלימות המודלים המתמטיים לכלכלה, יש להכיר בכך שיצירת מתודולוגיה מורכבת קונסטרוקטיבית לאימות מודלים, תוך התחשבות הן בתכונות האובייקטיביות של האובייקטים המודגם והן בתכונות הידע שלהם. , היא עדיין אחת המשימות הדחופות ביותר של מחקר כלכלי ומתמטי.

6. סיווג מודלים כלכליים ומתמטיים.

מודלים מתמטיים של תהליכים ותופעות כלכליים יכולים להיקרא בקצרה יותר מודלים כלכליים ומתמטיים. בסיסים שונים משמשים לסיווג מודלים אלה.

בהתאם למטרה המיועדת, מודלים כלכליים ומתמטיים מחולקים לתיאורטיים ואנליטיים, המשמשים בחקר מאפיינים ודפוסים כלליים של תהליכים כלכליים, ומיושמים, המשמשים בפתרון בעיות כלכליות ספציפיות (מודלים של ניתוח כלכלי, חיזוי, ניהול).

ניתן לתכנן מודלים כלכליים-מתמטיים לחקור היבטים שונים של הכלכלה הלאומית (בפרט, מבני הייצור-טכנולוגיים, החברתיים, הטריטוריאליים שלה) וחלקיה האישיים. כאשר מסווגים מודלים על פי התהליכים הכלכליים וסוגיות התוכן הנלמדות, ניתן להבחין במודלים של הכלכלה הלאומית בכללותה ותתי המערכות שלה - תעשיות, אזורים וכו', מתחמי מודלים של ייצור, צריכה, היווצרות וחלוקת הכנסה, עבודה משאבים, תמחור, יחסים פיננסיים וכו'. ד.

הבה נתעכב ביתר פירוט על המאפיינים של מחלקות כאלה של מודלים כלכליים ומתמטיים, הקשורים לתכונות הגדולות ביותר של המתודולוגיה וטכניקות הדוגמנות.

בהתאם לסיווג הכללי של מודלים מתמטיים, הם מחולקים לפונקציונליים ומבניים, וכוללים גם צורות ביניים (מבניות-פונקציונליות). במחקרים ברמה הכלכלית הלאומית, נעשה שימוש לעתים קרובות יותר במודלים מבניים, שכן לחיבורים של תת-מערכות יש חשיבות רבה לתכנון וניהול. מודלים מבניים אופייניים הם מודלים של יחסים בין ענפים. מודלים פונקציונליים נמצאים בשימוש נרחב ברגולציה כלכלית, כאשר התנהגותו של אובייקט ("פלט") מושפעת משינוי ה"קלט". דוגמה לכך היא המודל של התנהגות צרכנים במונחים של יחסי סחורה-כסף. ניתן לתאר את אותו אובייקט בו-זמנית על ידי מבנה ומודל תפקודי. כך, למשל, מודל מבני משמש לתכנון מערכת מגזרית נפרדת, וברמה הכלכלית הלאומית, כל מגזר יכול להיות מיוצג על ידי מודל פונקציונלי.

ההבדלים בין מודלים תיאוריים לנורמטיביים כבר הוצגו לעיל. מודלים תיאוריים עונים על השאלה: איך זה קורה? או איך סביר להניח שהוא יתפתח עוד יותר?, כלומר. הם רק מסבירים את העובדות שנצפו או נותנים תחזית סבירה. מודלים נורמטיביים עונים על השאלה: איך זה צריך להיות? כרוך בפעולה מכוונת. דוגמה טיפוסית למודלים נורמטיביים הם מודלים של תכנון מיטבי, הפורמליזציה כזו או אחרת של יעדי הפיתוח הכלכלי, האפשרויות והאמצעים להשגתם.

השימוש בגישה תיאורית במודלים של הכלכלה מוסבר על ידי הצורך לזהות אמפירית תלות שונות בכלכלה, לבסס דפוסים סטטיסטיים של התנהגות כלכלית של קבוצות חברתיות, ולחקור את הדרכים הסבירות לפיתוח תהליכים כלשהם בתנאים ללא שינוי או ללא חיצוניים. השפעות. דוגמאות למודלים תיאוריים הם פונקציות ייצור ופונקציות דרישת צרכנים הבנויות על בסיס עיבוד נתונים סטטיסטיים.

האם מודל כלכלי-מתמטי הוא תיאורי או נורמטיבי תלוי לא רק במבנה המתמטי שלו, אלא באופי השימוש במודל זה. לדוגמה, מודל הקלט-פלט הוא תיאורי אם הוא משמש לניתוח הפרופורציות של התקופה החולפת. אבל אותו מודל מתמטי הופך לנורמטיבי כאשר הוא משמש לחישוב אפשרויות מאוזנות לפיתוח הכלכלה הלאומית המספקות את הצרכים הסופיים של החברה בעלויות ייצור מתוכננות.

מודלים כלכליים ומתמטיים רבים משלבים תכונות של מודלים תיאוריים ונורמטיביים. מצב אופייני הוא כאשר מודל נורמטיבי של מבנה מורכב משלב בלוקים נפרדים שהם מודלים תיאוריים פרטיים. לדוגמה, מודל חוצה תעשיות עשוי לכלול פונקציות של ביקוש צרכנים המתארות התנהגות צרכנים כאשר ההכנסה משתנה. דוגמאות כאלה מאפיינות את הנטייה לשלב ביעילות גישות תיאוריות ונורמטיביות למידול תהליכים כלכליים. הגישה התיאורית נמצאת בשימוש נרחב בדוגמנות סימולציה.

על פי אופי ההשתקפות של קשרי סיבה ותוצאה, נבדלים מודלים דטרמיניסטיים נוקשים שלוקחים בחשבון אקראיות ואי ודאות. יש להבחין בין אי הוודאות המתוארת בחוקים הסתברותיים לבין אי הוודאות שעבורה חוקי תורת ההסתברות אינם ישימים. הסוג השני של אי ודאות קשה הרבה יותר למודל.

על פי דרכי השיקוף של גורם הזמן, מודלים כלכליים ומתמטיים מחולקים לסטטי ודינמי. במודלים סטטיים, כל התלות מתייחסת לאותו רגע או פרק זמן. מודלים דינמיים מאפיינים שינויים בתהליכים כלכליים לאורך זמן. על פי משך פרק הזמן הנחשב, נבדלים מודלים של חיזוי ותכנון לטווח קצר (עד שנה), לטווח בינוני (עד 5 שנים), לטווח ארוך (10-15 שנים או יותר). הזמן עצמו במודלים כלכליים ומתמטיים יכול להשתנות ברציפות או בדיסקרטיות.

מודלים של תהליכים כלכליים מגוונים ביותר בצורה של תלות מתמטית. חשוב במיוחד לייחד את סוג המודלים הליניאריים הנוחים ביותר לניתוח וחישובים, וכתוצאה מכך הפכו נפוצים. ההבדלים בין מודלים ליניאריים ללא ליניאריים משמעותיים לא רק מבחינה מתמטית, אלא גם מבחינה תיאורטית וכלכלית, שכן תלות רבות במשק הן ביסודן לא ליניאריות: יעילות השימוש במשאבים עם עלייה ב. ייצור, שינויים בביקוש ובצריכה של האוכלוסייה עם עלייה בייצור, שינויים בביקוש ובצריכה של האוכלוסייה עם גידול הכנסה וכו'. התיאוריה של "כלכלה לינארית" שונה באופן משמעותי מהתיאוריה של "כלכלה לא ליניארית". האם מניחים שקבוצות אפשרויות הייצור של תת-מערכות (תעשיות, ארגונים) הן קמורות או לא קמורות משפיעה באופן משמעותי על המסקנות לגבי האפשרות לשלב תכנון מרכזי ועצמאות כלכלית של תת-מערכות כלכליות.

לפי יחס המשתנים האקסוגניים והאנדוגניים הכלולים במודל, ניתן לחלק אותם לפתוח וסגור. אין דגמים פתוחים לחלוטין; המודל חייב להכיל לפחות משתנה אנדוגני אחד. מודלים כלכליים ומתמטיים סגורים לחלוטין, כלומר. שאינם כוללים משתנים אקסוגניים הם נדירים ביותר; הבנייה שלהם דורשת הפשטה מוחלטת מה"סביבה", כלומר. גיבוש רציני של מערכות כלכליות אמיתיות, שתמיד יש להן קשרים חיצוניים. הרוב המכריע של המודלים הכלכליים והמתמטיים תופסים עמדת ביניים ונבדלים זה מזה במידת הפתיחות (סגירות).

עבור מודלים של הרמה הכלכלית הלאומית, חשוב לחלק אותם למצטברים ומפורטים.

תלוי אם המודלים הכלכליים הלאומיים כוללים גורמים ותנאים מרחביים או לא כוללים, מבחינים במודלים מרחביים ונקודתיים.

לפיכך, הסיווג הכללי של מודלים כלכליים ומתמטיים כולל יותר מעשרה מאפיינים עיקריים. עם התפתחות המחקר הכלכלי והמתמטי, הבעיה של סיווג המודלים היישומיים הופכת מסובכת יותר. יחד עם הופעתם של סוגים חדשים של דגמים (במיוחד סוגים מעורבים) ותכונות חדשות של הסיווג שלהם, מתבצע תהליך של שילוב מודלים מסוגים שונים לתוך מבני מודל מורכבים יותר.

7. שלבי מידול כלכלי ומתמטי.

השלבים העיקריים של תהליך המידול כבר נדונו לעיל. בענפי ידע שונים, כולל בכלכלה, הם רוכשים תכונות ספציפיות משלהם. הבה ננתח את הרצף והתוכן של השלבים של מחזור אחד של מודלים כלכליים ומתמטיים.

1. הצהרה על הבעיה הכלכלית ושלה ניתוח איכותי. העיקר כאן הוא לבטא בצורה ברורה את מהות הבעיה, את ההנחות שנעשו והשאלות שצריך לענות עליהן. שלב זה כולל את בחירת התכונות והמאפיינים החשובים ביותר של האובייקט המעוצב והפשטה משניות; לימוד מבנה האובייקט והתלות העיקרית המחברת בין מרכיביו; ניסוח השערות (לפחות ראשוניות) המסבירות את ההתנהגות וההתפתחות של האובייקט.

2. בניית מודל מתמטי. זהו שלב הפורמליזציה של הבעיה הכלכלית, לבטא אותה בצורה של תלות ויחסים מתמטיים ספציפיים (פונקציות, משוואות, אי שוויון וכו'). בדרך כלל, תחילה נקבעת הבנייה (הסוג) העיקרית של המודל המתמטי, ולאחר מכן מפורטים פרטי הבנייה הזו (רשימה ספציפית של משתנים ופרמטרים, צורת הקשרים). לפיכך, בניית המודל מחולקת בתורה למספר שלבים.

לא נכון להניח שככל שהמודל לוקח בחשבון יותר עובדות, כך הוא "עובד" טוב יותר ונותן תוצאות טובות יותר. ניתן לומר אותו דבר על מאפיינים כאלה של מורכבות המודל כמו צורות התלות המתמטית בשימוש (לינארית ולא ליניארית), תוך התחשבות בגורמים של אקראיות ואי ודאות וכו'. המורכבות והמסורבלות המוגזמת של המודל מסבכות את תהליך המחקר. יש צורך לקחת בחשבון לא רק את האפשרויות האמיתיות של מידע ותמיכה מתמטית, אלא גם להשוות את עלויות המידול עם האפקט המתקבל (ככל שמורכבות המודל גדלה, העלייה בעלויות עשויה לעלות על העלייה באפקט).

אחת התכונות החשובות של מודלים מתמטיים היא האפשרות הפוטנציאלית של שימוש בהם לפתרון בעיות באיכות שונה. לכן, גם כאשר עומדים בפני אתגר כלכלי חדש, אין לשאוף "להמציא" מודל; ראשית, יש צורך לנסות ליישם מודלים ידועים כבר כדי לפתור בעיה זו.

בתהליך בניית המודל מתבצעת השוואה בין שתי מערכות ידע מדעי - כלכלית ומתמטית. טבעי לשאוף להשיג מודל השייך לכיתה נלמדת היטב של בעיות מתמטיות. לעתים קרובות זה יכול להיעשות על ידי פישוט מסוים של ההנחות הראשוניות של המודל שאינן מעוותות את המאפיינים המהותיים של האובייקט המעוצב. עם זאת, ייתכן גם שפורמליזציה של בעיה כלכלית מובילה למבנה מתמטי שלא היה ידוע קודם לכן. צרכי המדע והפרקטיקה הכלכלית באמצע המאה העשרים. תרמו לפיתוח תכנות מתמטי, תורת המשחקים, ניתוח פונקציונלי, מתמטיקה חישובית. סביר להניח שבעתיד התפתחות מדע הכלכלה תהפוך לגירוי חשוב ליצירת ענפים חדשים במתמטיקה.

3. ניתוח מתמטי של המודל. מטרת שלב זה היא להבהיר את המאפיינים הכלליים של המודל. שיטות מחקר מתמטיות גרידא מיושמות כאן. רוב נקודה חשובה- הוכחה לקיומם של פתרונות במודל המנוסח (משפט הקיום). אם אפשר להוכיח שלבעיה המתמטית אין פתרון, אזי אין צורך בעבודה נוספת על הגרסה המקורית של המודל; יש לתקן את ניסוח הבעיה הכלכלית או את שיטות הפורמליזציה המתמטית שלה. במהלך המחקר האנליטי של המודל מתבררות שאלות כגון, למשל, האם הפתרון הוא ייחודי, אילו משתנים (לא ידועים) יכולים להיכלל בפתרון, מה יהיו היחסים ביניהם, באילו גבולות ותלוי באיזה התחלה תנאים שהם משתנים, מהן מגמות השינוי שלהם וכו'. למחקר האנליטי של המודל לעומת האמפירי (המספרי) יש יתרון שהמסקנות שהתקבלו נשארות תקפות לערכים ספציפיים שונים של הפרמטרים החיצוניים והפנימיים של המודל.

הידע על המאפיינים הכלליים של המודל הוא כל כך חשוב, שלעתים קרובות, על מנת להוכיח תכונות כאלה, חוקרים הולכים בכוונה על אידיאליזציה של המודל המקורי. ועדיין, מודלים של אובייקטים כלכליים מורכבים מתאימים למחקר אנליטי בקושי רב. באותם מקרים שבהם שיטות אנליטיות לא מצליחות לקבוע את המאפיינים הכלליים של המודל, והפשטות של המודל מובילות לתוצאות בלתי מקובלות, הן עוברות לשיטות חקירה מספריות.

4. הכנת מידע ראשוני. דוגמנות מטיל דרישות קפדניות על מערכת המידע. יחד עם זאת, האפשרויות האמיתיות להשגת מידע מגבילות את מבחר הדגמים המיועדים להם שימוש מעשי. זה לוקח בחשבון לא רק את האפשרות הבסיסית של הכנת מידע (לפרק זמן מסוים), אלא גם את העלויות של הכנת מערכי המידע הרלוונטיים. עלויות אלו לא יעלו על ההשפעה של שימוש במידע נוסף.

בתהליך הכנת המידע נעשה שימוש נרחב בשיטות של תורת ההסתברות, סטטיסטיקה תיאורטית ומתמטית. במודלים כלכליים ומתמטיים מערכתיים, המידע הראשוני המשמש במודלים מסוימים הוא תוצאה של תפקודם של מודלים אחרים.

5. פתרון מספרי. שלב זה כולל פיתוח אלגוריתמים לפתרון מספרי של הבעיה, הידור של תוכנות מחשב וחישובים ישירים. הקשיים בשלב זה נובעים בעיקר מהממד הגדול של בעיות כלכליות, הצורך בעיבוד כמויות מידע משמעותיות.

בדרך כלל, חישובים המבוססים על המודל הכלכלי-מתמטי הם בעלי אופי רב משתנים. בשל המהירות הגבוהה של מחשבים מודרניים, ניתן לבצע מספר רב של ניסויי "מודל" ולחקור את "התנהגות" המודל בשינויים שונים בתנאים מסוימים. מחקר שנעשה בשיטות מספריות יכול להשלים משמעותית את התוצאות מחקר אנליטי, ועבור דגמים רבים הוא היחיד שאפשרי. מחלקת הבעיות הכלכליות שניתן לפתור בשיטות מספריות היא רחבה הרבה יותר ממחלקת הבעיות הנגישה למחקר אנליטי.

6. ניתוח תוצאות מספריות ויישומן. בשלב סופי זה של המחזור, עולה השאלה לגבי נכונות ושלמות תוצאות הסימולציה, לגבי מידת הישימות המעשית של האחרונות.

שיטות אימות מתמטיות יכולות לזהות קונסטרוקציות מודל שגויות ובכך לצמצם את מחלקה של מודלים שפוטנציאליים נכונים. ניתוח לא פורמלי של המסקנות התיאורטיות והתוצאות המספריות המתקבלות באמצעות המודל, השוואתם עם הידע והעובדות הזמינות של המציאות מאפשרים גם לזהות את החסרונות של ניסוח הבעיה הכלכלית, המודל המתמטי שנבנה, המידע שלו. ותמיכה מתמטית.

מערכות יחסים של שלבים. איור 1 מציג את הקשרים בין השלבים של מחזור אחד של מודלים כלכליים ומתמטיים.

הבה נשים לב לקישורי המשוב של השלבים שעולים בשל העובדה שבתהליך המחקר מתגלים חסרונות של שלבי הדוגמנות הקודמים.

כבר בשלב בניית המודל עלול להתברר שהצהרת הבעיה סותרת או מובילה למודל מתמטי מורכב מדי. בהתאם לכך, הניסוח המקורי של הבעיה מתוקן. ניתוח מתמטי נוסף של המודל (שלב 3) יכול להראות ששינוי קל של הצהרת הבעיה או הפורמליזציה שלה נותן תוצאה אנליטית מעניינת.

לרוב, הצורך לחזור לשלבים הקודמים של הדוגמנות עולה בעת הכנת המידע הראשוני (שלב 4). עלול להתברר שהמידע הדרוש חסר או שעלות הכנתו גבוהה מדי. לאחר מכן יש לחזור להצהרת הבעיה ולפורמליזציה שלה, לשנות אותן כך שיתאימו למידע הזמין.

מאחר ובעיות כלכליות ומתמטיות יכולות להיות מורכבות במבנה שלהן, בעלות מימד גדול, קורה לא פעם שאלגוריתמים ותוכנות מחשב ידועות אינן מאפשרות לפתור את הבעיה בצורתה המקורית. אם אי אפשר לפתח אלגוריתמים ותכניות חדשות בזמן קצר, ההצהרה הראשונית של הבעיה והמודל מפושטת: תנאים מוסרים ומשולבים, מספר הגורמים מצטמצם, קשרים לא ליניאריים מוחלפים לליניאריים, הדטרמיניזם של המודל מתחזק וכו'.

ליקויים שלא ניתן לתקן שלבי בינייםסימולציות מבוטלות במחזורים הבאים. אבל לתוצאות של כל מחזור יש משמעות עצמאית לחלוטין. על ידי התחלת המחקר עם מודל פשוט, תוכל לקבל במהירות תוצאות שימושיות, ולאחר מכן לעבור ליצירת מודל מתקדם יותר, בתוספת תנאים חדשים, כולל קשרים מתמטיים מעודנים.

ככל שהמודלים הכלכליים והמתמטיים מתפתחים והופכים מורכבים יותר, שלביו האישיים מופרדים לתחומי מחקר מיוחדים, ההבדלים בין מודלים תיאורטיים-אנליטיים ויישומיים גדלים, והמודלים מובחנים לפי רמות הפשטה ואידיאליזציה.

תורת הניתוח המתמטי של מודלים כלכליים התפתחה לענף מיוחד במתמטיקה המודרנית – כלכלה מתמטית. מודלים שנלמדו במסגרת כלכלה מתמטית מאבדים את הקשר הישיר שלהם עם המציאות הכלכלית; הם עוסקים באופן בלעדי באידיאליזציה חפצים כלכלייםומצבים. כאשר בונים מודלים כאלה, העיקרון העיקרי אינו קירוב למציאות אלא השגת המספר הגדול ביותר האפשרי של תוצאות אנליטיות באמצעות הוכחות מתמטיות. הערך של מודלים אלה עבור תיאוריה כלכליתוהפרקטיקה טמונה בעובדה שהם משמשים בסיס תיאורטי למודלים מסוג יישומי.

הכנה ועיבוד של מידע כלכלי ופיתוח תמיכה מתמטית לבעיות כלכליות (יצירת מאגרי מידע ובנקי מידע, תוכניות לבניית מודלים אוטומטית ושירות תוכנה לכלכלני משתמשים) הופכים לתחומי מחקר עצמאיים למדי. בשלב של שימוש מעשי במודלים, את התפקיד המוביל צריך למלא מומחים בתחום הרלוונטי של ניתוח כלכלי, תכנון וניהול. תחום העבודה העיקרי של כלכלנים-מתמטיקאים נשאר ניסוח ופורמליזציה של בעיות כלכליות והסינתזה של תהליך המודלים הכלכליים והמתמטיים.

8. תפקידו של מחקר כלכלי ומתמטי יישומי.

ישנם לפחות ארבעה היבטים של יישום שיטות מתמטיות בפתרון בעיות מעשיות.

1. שיפור מערך המידע הכלכלי. שיטות מתמטיות מאפשרות לייעל את מערך המידע הכלכלי, לזהות ליקויים במידע הקיים ולפתח דרישות להכנת מידע חדש או תיקונו. פיתוח ויישום מודלים כלכליים ומתמטיים מצביעים על דרכים לשיפור המידע הכלכלי, המתמקדות בפתרון מערכת ספציפית של בעיות תכנון וניהול. ההתקדמות בתמיכת מידע לתכנון וניהול מבוססת על הכלים הטכניים והתוכנה המתפתחים במהירות של אינפורמטיקה.

2. העצמה ושיפור דיוק החישובים הכלכליים. הפורמליזציה של המשימות הכלכליות והשימוש במחשבים מאיצים מאוד חישובים סטנדרטיים, המוניים, מגבירים את הדיוק ומפחיתים את עוצמת העבודה, ומאפשרים לבצע הצדקות כלכליות רב-משתניות לאמצעים מורכבים שאינם נגישים בשליטתה של הטכנולוגיה ה"ידנית".

3. העמקת הניתוח הכמותי של בעיות כלכליות. הודות לשימוש בשיטת המידול, האפשרויות של ניתוח כמותי ספציפי משתפרות מאוד; מחקר של גורמים רבים המשפיעים על תהליכים כלכליים, הערכה כמותית של ההשלכות של שינויים בתנאים לפיתוח אובייקטים כלכליים וכו'.

4. פתרון בעיות כלכליות חדשות ביסודו. באמצעות מודלים מתמטיים, ניתן לפתור בעיות כלכליות כאלה שבלתי אפשרי כמעט לפתור באמצעים אחרים, למשל: מציאת הגרסה האופטימלית של התוכנית הכלכלית הלאומית, הדמיית אמצעים כלכליים לאומיים, אוטומציה של בקרה על תפקודם של אובייקטים כלכליים מורכבים.

היקף היישום המעשי של שיטת המידול מוגבל על ידי האפשרויות והיעילות של פורמליזציה של בעיות ומצבים כלכליים, כמו גם על ידי מצב המידע, התמיכה המתמטית והטכנית של המודלים שבהם נעשה שימוש. הרצון ליישם את המודל המתמטי בכל מחיר עשוי שלא לתת תוצאות טובות בשל היעדר לפחות כמה תנאים הכרחיים.

בהתאם למודרני מושגים מדעייםמערכות לפיתוח וקבלת החלטות כלכליות צריכות לשלב שיטות פורמליות ובלתי פורמליות המחזקות ומשלימות זו את זו. שיטות פורמליות הן בעיקר אמצעי להכנה מבוססת מדעית של חומר לפעולות אנושיות בתהליכי ניהול. זה מאפשר לך להשתמש באופן פרודוקטיבי בניסיון ובאינטואיציה של אדם, ביכולתו לפתור בעיות פורמליות גרועות.

אחד המונחים הנפוצים ביותר בתחום הפעילות האנושית הוא "מודל", שכן קשה למצוא מושג אחר שיכלול כמות כל כך רחבה של מידע. באופן כללי, מודל הוא אובייקט חומרי או נפשי כזה, שבתהליך המחקר שלו, יכול להחליף את האובייקט המקורי, או, בעת לימודו, לספק מידע חדש לגבי שיפורו או מודרניזציה. שיטת המידול היא אחת הנפוצות ביותר כיום, שבזכותה החוקר מקבל את ההזדמנות לא רק ליישם ידע מעשי בעת בניית תכנית מבנית חדשה, אלא גם לקבל החלטה כזו או אחרת. חשוב לציין שהוא עובד היטב במגזר היצרני כאשר מפתחים פתרונות חדשים מבחינת בנייה, שיפור מפעל או מפעל, תכנון סוגים חדשים של מטוסים, מכוניות, רכבות וכדומה. בנוסף, שיטת הדוגמנות מצאה את היישום הרחב ביותר ב תחום כלכלי, כי היום שום השקה בשוק אינה שלמה בלעדיה.

יש לקחת בחשבון שב בלי להיכשלכולל בניית השערות מדעיות, בניית הפשטות וכן מסקנות באנלוגיה. המאפיין העיקרי של שיטה זו הוא שכאן תהליך ההכרה מתרחש בעזרת אובייקטים תחליפיים, והמודל עצמו משמש כמעין כלי להכרה זו. הצורך להשתמש בשיטה זו מתעורר בשל העובדה שאובייקטים רבים פשוט לא ניתנים ללימוד בדרך אחרת, או שזה דורש הרבה זמן, מאמץ וכסף.

אז, שיטת הדוגמנות כוללת שלושה מרכיבים עיקריים:

1. נושא המחקר (החוקר).
2. מושא לימוד (למה מכוון החיפוש).
3. ישירות עצם המודל שהסובייקט בונה ביחס לאובייקט.

ישנם סוגים רבים של מודלים שניתן לבנות במהלך המחקר של כל אובייקט. היכולות הקוגניטיביות שלו נובעות מכך שבמהלך הלימוד עצמו, המודל משקף את התכונות המהותיות של האובייקט, שהוא מקורי ביחס לאובייקט הנחקר. על מנת לנתח את הדמיון בין האובייקט המקורי לחדש, יש לבצע גם מחקר מתאים. יש לקחת בחשבון גם שאם הדגם הופך זהה לחלוטין ביחס למקור, אז הוא בעצם מאבד את משמעותו. אחרי הכל, שיטת המידול המתמטי חייבת להוביל בהכרח להשגת נתונים חדשים על אובייקט מסוים, שכן זו בדיוק המשמעות שלו.

כמו כן, חשוב להבין שניתן לבנות מספר דגמים עבור אותו אובייקט, אשר יהיו שונים במאפיינים שלהם, בהתאם למצב הספציפי. אחרי הכל, יש תכונות כאלה של האובייקט שניתן להחליף רק על ידי אחרים, ללא אפשרות להשתמש בהם בו זמנית. לכן, שיטת המידול יכולה להחליף את המקור גם במובן מצומצם בהחלט, שכן גם בעניינים של פרטים עשויים להיות הבדלים משמעותיים.

הודות לטכנולוגיות מחשוב חדישות ופיתוחי התוכנה העדכניים ביותר, ניתן לחבר "בינה מלאכותית" לחיפוש אחר שיטות מידול חדשות, אשר תוך פרק זמן קצר יכולות לתת מספר רב של פתרונות לסוגיה מסוימת. בשל כך, שיטות מידול מתמטי פופולריות ביותר כיום כמעט בכל תחומי הפעילות האנושית, וכתוצאה מכך אנו יכולים לצפות בהתפתחות המואצת של המדע והטכנולוגיה. אפשר גם לקוות שבעתיד הקרוב מאוד, בעזרת שיטות מידול, ניתן יהיה לפתור את הסוגיות העולמיות של האנושות, עליהן עמלו עשרות אלפי מדענים ברחבי העולם בעשורים האחרונים.

הקדמה ................................................ ............................................................ ... 5

1...... מודלים לפתרון בעיות פונקציונליות וחישוביות 3

1.1... דוגמנות כשיטת קוגניציה. 3

1.2... סיווג דגמים. 6

1.3... הדמיית מחשב. 8

1.4... מודלים של מידע. 9

1.5... דוגמאות למודלים של מידע. 10

1.6... מאגרי מידע. אחד עשר

1.7... בינה מלאכותית. 13

1.8... שאלות ומבחנים לשליטה עצמית. 14

2...... קבלת החלטות דוגמנות וניהול 16

2.1... קבלה ויישום החלטות ניהול. 16

2.2... תהליך סימולציה. 16

2.3... תפקיד המנהל בדוגמנות. 17

2.4... שלבי דוגמנות בקבלת החלטות ניהוליות. 20

3...... מה-אם כלי ניתוח. 21

3.1... מידע כללי על כלי ניתוח. 21

3.2... שימוש בסקריפטים לניתוח מספר משתנים שונים 21

3.2.1 מידע כללי על תרחישים. 21

3.2.2 יצירת תרחיש. 22

3.2.3 צפייה בתרחיש. 23

3.2.4 יצירת דוח סופי על תרחישים. 23

3.3... שימוש בכלי בחירת הפרמטרים למציאת דרכים להשיג את התוצאה הרצויה. 24

3.4... שימוש בטבלאות נתונים כדי לחקור את ההשפעה של משתנה אחד או שניים על נוסחה. 24

3.4.1 מידע כללי על טבלאות נתונים. 24

3.4.2 טבלאות נתונים עם משתנה אחד. 26

3.4.3 יצירת טבלת נתונים עם שני משתנים. 27

3.5... הכנת תחזיות ומודלים עסקיים מורכבים. 28

4...... ניסוח בעיית האופטימיזציה והשימוש בתוסף "פתרון חיפוש". 29

4.1... דוגמה לחישוב באמצעות ה"חפש פתרון". 29

4.2... פורמליזציה של מודלים לתכנות ליניארי. שְׁלוֹשִׁים

4.3... ייצוג מודל תכנות ליניארי בגיליונות אלקטרוניים 35

4.4... שימוש בתוסף Solver. 36

4.5... שיטה גרפית לפתרון בעיית תכנות ליניארית עם שני משתנים. 39

5...... קירוב נתונים ניסיוניים.. 40

5.1... יסודות תיאורטיים.. 40

5.2... רגרסיה לינארית. 44

5.3... דוגמאות לשימוש בפונקציות LINEST ו-TREND.. 46

5.3.1 פונקציית TREND.. 46

5.3.2 רגרסיה ליניארית פשוטה. 48

5.3.3 רגרסיה לינארית מרובה. 49

6...... מודלים להסתברות.. 51

6.1... מודלים של קבלת החלטות בתנאים של ודאות, סיכון ואי ודאות 51

6.2... דוגמנות קיוסק. 52

7...... מודלים של סימולציה. 56

7.1 ... מושג הסימולציה. 56

7.2 ... דוגמנות סימולציה על דוגמה של קיוסק. 58

8...... מושגים בסיסיים של מסדי נתונים.. 62

8.1... משימות נפתרות בעזרת מאגרי מידע. 62

8.2... סיווג DB.. 64

8.3... מודל נתונים יחסי. 65

8.4... מאפייני שדות מסד נתונים. 67

8.5... סוגי נתונים. 68

8.6... אובייקטי אבטחה ומסד נתונים. 69

8.7... שאלות ומבחנים לשליטה עצמית. 72

9...... מודלים של תהליכים עסקיים. שיטת IDEF. 73

9.1... הרעיון של תהליך עסקי. 74

9.2 ... הרעיון של תקן מודל תהליכים עסקיים של IDEF. 75

9.3... בניית מודלים של תהליכים עסקיים בסימון IDEF0 ב-Visio. 78

9.3.1 יצירת דיאגרמת תהליכים עסקיים. 78

סיכום. 88

הפניות.. 90

מודלים לפתרון בעיות פונקציונליות וחישוביות

דוגמנות כשיטת ידע

IN חיי היום - יום, בייצור, במחקר, בהנדסה או בכל פעילות אחרת, אדם מתמודד כל הזמן עם פתרון בעיות. ניתן לחלק את כל המשימות לפי מטרתן לשתי קטגוריות: מחשובמשימות שמטרתן לקבוע כמות מסוימת, ו פוּנקצִיוֹנָלִימשימות שנועדו ליצור מנגנון מסוים שמבצע פעולות מסוימות - פונקציות.

כך למשל, תכנון בניין חדש מצריך פתרון בעיית חישוב חוזק היסוד שלו, מבנים תומכים, חישוב עלויות כספיות של בנייה, קביעת מספר עובדים אופטימלי וכו'. כדי להגביר את התפוקה של בונים, נוצרו מכונות פונקציונליות רבות (משימות פונקציונליות נפתרו), כגון מחפר, דחפור, מנוף וכו'.

מחשבים מהדור הראשון והשני שימשו בעיקר לפתרון בעיות חישוביות: ביצוע חישובים הנדסיים, מדעיים ופיננסיים. החל מהדור השלישי, תחום היישום של המחשבים כולל גם פתרון בעיות תפקודיות: מדובר בתחזוקה, ניהול ועיצוב של מסדי נתונים. מחשב מודרני יכול לשמש כדי לפתור כמעט כל בעיה.

פעילות אנושית ובמיוחד פתרון בעיות קשורים קשר בל יינתק עם בנייה, לימוד ושימוש במודלים של אובייקטים, תהליכים ותופעות שונות. בפעילותו - במישור המעשי, האמנותי, המדעי - אדם יוצר תמיד קאסט מסוים, תחליף לאובייקט, לתהליך או לתופעה שעמם הוא צריך להתמודד. זה יכול להיות ציור, רישום, פסל, פריסה, נוסחה מתמטית, תיאור מילולי וכו'.

לְהִתְנַגֵד(מ-lat. objectum - סובייקט) נקרא כל מה שמתנגד לסובייקט בפעילותו המעשית והקוגניטיבית, כל מה שפעילות זו מכוונת אליו. אובייקטים מובנים כעצמים ותופעות, נגישים ובלתי נגישים לתפיסה החושית האנושית, אך בעלי השפעה נראית לעין על עצמים אחרים (לדוגמה, כוח משיכה, אינפרא-סאונד או גלים אלקטרומגנטיים). המציאות האובייקטיבית, המתקיימת ללא תלות בנו, היא אובייקט לאדם בכל פעילותו ומקיימת עמו אינטראקציה. לכן, אובייקט צריך תמיד להיחשב באינטראקציה עם אובייקטים אחרים, תוך התחשבות בהשפעתם ההדדית.

הפעילות האנושית עוברת בדרך כלל בשני כיוונים: לימודמאפייני החפץ לצורך השימוש בהם (או ניטרול); יצירהמתקנים חדשים עם תכונות מועילות. הכיוון הראשון מתייחס למחקר מדעי ויש לו תפקיד גדול בהתנהלותם. הַשׁעָרָה, כלומר חיזוי של תכונות של אובייקט עם ידע לא מספיק עליו. הכיוון השני מתייחס לתכנון הנדסי. במקרה זה, הרעיון משחק תפקיד חשוב. אנלוגיות– שיפוט לגבי כל דמיון בין אובייקט ידוע לאובייקט מוקרן. האנלוגיה עשויה להיות מלאה או חלקית. מושג זה הוא יחסי ונקבע על פי רמת ההפשטה ומטרת בניית האנלוגיה.

דֶגֶם(מלטינית modulus - מדגם) של כל אובייקט, תהליך או תופעה נקרא תחליף (תמונה, אנלוגי, נציג) המשמש כמקור. המודל נותן לנו ייצוג של עצם או תופעה אמיתית בצורה כלשהי השונה מצורת קיומו האמיתי. לדוגמה, בשיחה אנו מחליפים חפצים אמיתיים בשמות שלהם, מילים. ומהשם החלופי במקרה זה נדרש הדבר הבסיסי ביותר - לייעד את החפץ הדרוש. כך, מילדות אנו עומדים מול המושג "דוגמנית" (הדגם הראשון בחיינו הוא פטמה).

המודל הוא כלי רב עוצמה של ידע. יצירת מודלים מתבצעת כאשר האובייקט הנחקר הוא גדול מאוד (מודל מערכת השמש), או קטן מאוד (דגם אטומי), כאשר התהליך מהיר מאוד (דגם מנוע בעירה פנימית) או איטי מאוד (מודלים גיאולוגיים), חקר האובייקט יכול להוביל להשמדתו (רימון אימון) או ליצירת דגם הוא מאוד יקר (דגם אדריכלי של העיר) וכו'.

לכל אובייקט יש מספר רב של מאפיינים שונים. בתהליך בניית מודל, העיקרי, רוב משמעותי, מאפיינים, כאלה שמעניינים את החוקר. זוהי התכונה העיקרית והמטרה העיקרית של הדגמים. לפיכך, מתחת דֶגֶםמובן אובייקט כלשהו המחליף את האובייקט האמיתי הנחקר בשימור התכונות החיוניות ביותר שלו.

אין מודל פשוט, "מודל" הוא מונח שדורש מילה או ביטוי מתאימים, למשל: מודל של אטום, מודל של היקום. במובן מסוים, תמונה של אמן או הצגת תיאטרון יכולה להיחשב כמודל (אלה מודלים המשקפים צד זה או אחר של העולם הרוחני האנושי).

חקר אובייקטים, תהליכים או תופעות על ידי בנייה ולימוד המודלים שלהם כדי לקבוע או לחדד את המאפיינים של המקור נקרא דוּגמָנוּת. ניתן להגדיר סימולציה כייצוג של אובייקט על ידי מודל על מנת לקבל מידע על אובייקט זה על ידי ניסוי במודל שלו. התיאוריה של החלפת אובייקטים מקוריים באובייקט דגם נקראת תיאוריית דוגמנות. ניתן לחלק את כל מגוון שיטות המידול הנחשבות על ידי תורת המידול לשתי קבוצות: אנליטי וסימולציהדוּגמָנוּת.

מידול אנליטי מורכב מבניית מודל המבוסס על תיאור התנהגות של אובייקט או מערכת אובייקטים בצורה של ביטויים אנליטיים - נוסחאות. עם דוגמנות כזה, אובייקט מתואר על ידי מערכת של משוואות אלגבריות או דיפרנציאליות ליניאריות או לא-לינאריות, שהפתרון שלהן יכול לתת מושג על תכונות האובייקט. שיטות מספריות אנליטיות או משוערות מיושמות על המודל האנליטי המתקבל, תוך התחשבות בסוג ומורכבות הנוסחאות. היישום של שיטות מספריות מוקצה בדרך כלל למחשבים בעלי כוח מחשוב גבוה. עם זאת, היישום של מידול אנליטי מוגבל על ידי המורכבות של השגת וניתוח ביטויים עבור מערכות גדולות.

דוגמנות סימולציה כוללת בניית מודל עם מאפיינים המתאימים למקור, בהתבסס על כל אחד מעקרונות הפיזיים או המידע שלו. המשמעות היא שהשפעות חיצוניות על הדגם והאובייקט גורמות לשינויים זהים במאפיינים של המקור ושל הדגם. עם מידול כזה, אין מודל אנליטי כללי של ממדים גדולים, והאובייקט מיוצג על ידי מערכת המורכבת מאלמנטים המקיימים אינטראקציה זה עם זה ועם העולם החיצון. על ידי קביעת השפעות חיצוניות, ניתן לקבל את מאפייני המערכת ולנתח אותם. לאחרונה, דוגמנות סימולציה קשורה יותר ויותר למידול של אובייקטים במחשב, המאפשר לך לחקור באופן אינטראקטיבי מודלים של אובייקטים בעלי אופי שונה.

אם תוצאות הסימולציה מאושרות ויכולות לשמש בסיס לניבוי התנהגותם של האובייקטים הנבדקים, אזי אומרים שהמודל הוא נאותלְהִתְנַגֵד. מידת ההתאמה תלויה במטרה ובקריטריונים של המודל.

המטרות העיקריות של הדוגמנות:

7. להבין כיצד פועל אובייקט מסוים, מהו המבנה שלו, תכונות בסיסיות, חוקי התפתחות ואינטראקציה עם העולם החיצון (הבנה).

8. למד לנהל אובייקט (תהליך) ולקבוע את שיטות הניהול הטובות ביותר עבור יעדים וקריטריונים נתונים (ניהול).

9. חזה את ההשלכות הישירות והעקיפות של יישום השיטות וצורות ההשפעה שצוינו על האובייקט (חיזוי).

כמעט כל אובייקט דוגמנות יכול להיות מיוצג על ידי קבוצה של אלמנטים ויחסים ביניהם, כלומר. להיות מערכת המקיימת אינטראקציה עם הסביבה החיצונית. מערכת(מהיוונית. מערכת - השלם) היא קבוצה תכליתית של אלמנטים הקשורים זה בזה מכל טבע. סביבה חיצוניתהוא קבוצה של אלמנטים מכל טבע הקיימים מחוץ למערכת המשפיעים על המערכת או נמצאים תחת השפעתה. עם גישה שיטתית למידול, קודם כל, מטרת המידול מוגדרת בבירור. יצירת מודל של אנלוגי שלם של המקור היא משימה קשה ויקרה, ולכן המודל נוצר למטרה מסוימת.

שוב נציין כי כל דגם אינו העתק של האובייקט, אלא משקף רק את המאפיינים והמאפיינים החשובים, המהותיים ביותר, תוך זניחת יתר המאפיינים של האובייקט, שאינם משמעותיים במסגרת המשימה. למשל, מודל של אדם בביולוגיה יכול להיות מערכת השואפת לשימור עצמי; בכימיה, אובייקט המורכב מ חומרים שונים; במכניקה, נקודה עם מסה. ניתן לתאר את אותו אובייקט אמיתי על ידי מודלים שונים (בהיבטים שונים ולמטרות שונות). ואותו דגם יכול להיחשב כמודל של עצמים אמיתיים שונים לחלוטין (מגרגר חול לכוכב לכת).

אף דגם לא יכול להחליף לחלוטין את האובייקט עצמו. אך כאשר פותרים בעיות ספציפיות, כאשר אנו מתעניינים בתכונות מסוימות של האובייקט הנחקר, המודל מתגלה ככלי המחקרי השימושי, פשוט ולעיתים.

סיווג מודלים

בהתאם לאופי התהליכים הנלמדים במערכת ולמטרת המידול, ישנם סוגים רבים של מודלים ודרכים לסווג אותם, למשל, לפי מטרת השימוש, נוכחות השפעות אקראיות, יחס לזמן, אפשרות יישום, היקף וכו' (טבלה 13).

טבלה 13

סיווג סוגי הדגמים

לפי שיטת שיקוף המאפיינים של האובייקט (אם אפשר), המודלים מסווגים ל נושא(אמיתי, חומרי) ו תַקצִיר(מנטלי, אינפורמטיבי - במובן הרחב). במובן הצר, מידע מתייחס למודלים מופשטים המיישמים תהליכי מידע (הופעה, שידור, עיבוד ושימוש במידע) במחשב.

מודלים של אובייקטים מיוצגים על ידי אובייקטים אמיתיים המשחזרים את התכונות הגיאומטריות, הפיזיקליות ואחרות של המערכות המדומות בצורה חומרית (גלובוס, בובת ראווה, דגם, דמה, מסגרת וכו'). מודלים אמיתיים מחולקים לקנה מידה מלא (ביצוע מחקר על אובייקט אמיתי ועיבוד לאחר מכן של תוצאות הניסוי באמצעות תורת הדמיון) ופיזיקלי (עריכת מחקר על מתקנים עם תהליכים דומים לאלה הנבדקים המשמרים את הטבע של התופעה ויש להם דמיון פיזי).

מודלים מופשטים מאפשרים לייצג מערכות שקשה או בלתי אפשרי לדגמן במציאות, בצורה פיגורטיבית או סמלית. מודלים פיגורטיביים או חזותיים (רישומים, תצלומים) הם דימויים ויזואליים המקובעים על נושא מידע חומרי (נייר, סרט). מודלים חתומים או סמליים מייצגים את המאפיינים והיחסים העיקריים של האובייקט המעוצב באמצעות שפות שונות (מערכות סימנים), למשל, מפות גיאוגרפיות. מודלים מילוליים - טקסטואליים - משתמשים בכלי שפה טבעית לתיאור אובייקטים. למשל, הכללים תְנוּעָה, הוראות למכשיר.

מודלים מתמטיים הם מחלקה רחבה של מודלים סמליים המשתמשים בשיטות ייצוג מתמטיות (נוסחאות, תלות) והשגת המאפיינים הנלמדים של אובייקט אמיתי. בואו נמנה כמה סוגים של מודלים מתמטיים. תיאור(תיאורי) - ציינו את מצב העניינים בפועל, ללא אפשרות להשפיע על האובייקט המדומה. אופטימיזציה- מאפשרים לבחור פרמטרי בקרה. משחקים- ללמוד שיטות קבלת החלטות בתנאים של מידע לא שלם. סימולציה- לחקות את התהליך האמיתי.

לפי מטרת השימוש, הדגמים מסווגים ל ניסוי מדעי, שבו לימוד המודל מתבצע באמצעות אמצעים שונים להשגת נתונים על האובייקט, אפשרות להשפיע על מהלך התהליך על מנת לקבל נתונים חדשים על האובייקט או התופעה; ניסוי בדיקה ויצור מקיף, שימוש בבדיקה בקנה מידה מלא של אובייקט פיזי כדי לקבל מהימנות גבוהה לגבי מאפייניו; אופטימיזציההקשורים למציאת ביצועים מיטבייםמערכות (לדוגמה, מציאת העלות המינימלית או קביעת הרווח המקסימלי).

על פי הנוכחות של השפעות אקראיות על המערכת, המודלים מחולקים ל דטרמיניסטית(אין השפעות אקראיות במערכות) ו הסתברותי(יש השפעות הסתברותיות במערכות). אותם מודלים מסווגים על ידי כמה מחברים לפי שיטת הערכת פרמטרי המערכת: in מערכות דטרמיניסטיותפרמטרים של מודל מוערכים על ידי אינדיקטור אחד עבור ערכים ספציפיים של הנתונים הראשוניים שלהם; במערכות סטוכסטיות, נוכחותם של מאפיינים הסתברותיים של הנתונים הראשוניים מאפשרת להעריך את פרמטרי המערכת לפי מספר אינדיקטורים.

ביחס לזמן, הדגמים מחולקים ל סטָטִיתיאור המערכת בנקודת זמן מסוימת, וכן דִינָמִי, בהתחשב בהתנהגות המערכת בזמן. בתורו, מודלים דינמיים מחולקים ל נִבדָל, שבו כל האירועים מתרחשים במרווחי זמן, וכן רָצִיףשבו כל האירועים מתרחשים ברציפות בזמן.

על פי היקף היישום, הדגמים מחולקים ל אוניברסלי, מיועד לשימוש על ידי מערכות רבות, ו מתמחהנוצר כדי ללמוד מערכת מסוימת.

דוגמנות מחשב

אינפורמטיקה קשורה באופן הישיר ביותר למידע ולמודלים מתמטיים, שכן הם הבסיס לשימוש במחשב בפתרון בעיות בעלות אופי שונה. ניתן לייצג את הסכימה הכללית של הדמיית מחשב באופן הבא (איור 8.1).

אורז. 8.1. תוכנית הדמיית מחשב

השלבים העיקריים של פתרון בעיות מחשב ייחשבו בפירוט בעת לימוד הסעיף "יסודות האלגוריתמיזציה".

מודלים של מידע

במקרים רבים, מודלים של מידע מבוססים על מודלים מתמטיים, שכן בעת ​​פתרון בעיות, המודל המתמטי של האובייקט, התהליך או התופעה הנחקרת הופך בהכרח למודל מידע למימושו במחשב. הבה נגדיר את המושגים הבסיסיים של מודל המידע.

אובייקט מידעהוא תיאור של אובייקט, תהליך או תופעה אמיתיים בצורה של אוסף של מאפייניו (אלמנטים מידע), הנקראים פרטים. נוצר אובייקט מידע ממבנה מסוים (הרכב אביזרים). סוג (מחלקה),אשר מוקצה ייחודי שֵׁם. אובייקט מידע בעל מאפיינים ספציפיים נקרא למשל. כל מופע מזוהה לפי תפקיד תכונת מפתח (מפתח).אותם פרטים באובייקטי מידע שונים יכולים להיות גם מפתח וגם תיאורי. לאובייקט מידע יכול להיות מספר מפתחות.

דוגמא . לאובייקט המידע STUDENT יש את ההרכב הנדרש: מספר(מספר ספר השיאים הוא תכונה מרכזית), שם משפחה, שם, פטרונות, תאריך לידה, קוד מקום הלימוד. אובייקט מידע קובץ אישי: מספר תלמיד, כתובת בית, מספר תעודת השכלה תיכונית, מצב משפחתי, ילדים. אובייקט המידע PLACE OF TRAINING כולל את הפרטים הבאים: קוד (דרישת מפתח), שם האוניברסיטה, הפקולטה, הקבוצה.אובייקט מידע TEACHER: קוד (תכונת מפתח), מחלקה, שם משפחה, שם פרטי, פטרונימי, תואר אקדמי, תואר אקדמי, תפקיד.

מערכת יחסים, הקיימים בין אובייקטים אמיתיים, מוגדרים במודלים של מידע כ קשרים. ישנם שלושה סוגים של מערכות יחסים: אחד לאחד (1:1), אחד לרבים (1:M), ורבים לרבים (M:M).

חיבור אחד לאחדמציין שמופע אחד של אובייקט מידע X מתאים ללא יותר ממופע אחד של אובייקט מידע Y, ולהיפך.

דוגמא . אובייקטי הנתונים של STUDENT ו-PERSONAL FILE יהיו מקושרים בקשר אחד לאחד. לכל תלמיד יש נתונים ייחודיים מסוימים בתיק האישי.

כאשר בקשר אחד לרביםמופע אחד של אובייקט מידע X יכול להתאים לכל מספר של מופעים של אובייקט מידע Y, אך כל מופע של אובייקט Y משויך למופע אחד לכל היותר של אובייקט X.

דוגמא . יש צורך ליצור קשר של אחד לרבים בין אובייקטי המידע STUDY PLACE ו-STUDENT. ניתן לחזור על אותו מקום לימוד פעמים רבות עבור תלמידים שונים.

חיבור רבים לרביםמרמז שמופע אחד של אובייקט מידע X מתאים לכל מספר של מופעים של אובייקט Y, ולהיפך.

דוגמא . לאובייקטי הנתונים STUDENT ו-TEACHER יש קשר בין רבים לרבים. כל תלמיד לומד ממורים רבים, וכל מורה מלמד תלמידים רבים.

אובייקטי מידע יכולים ליצור את המבנים הבאים: תור - עיבוד רציף; מחזור; עֵץ; גרף הוא המקרה הכללי.

בתהליך ההכרה משתמשים גם בטכניקה כמו אנלוגיה - מסקנה על דמיון עצמים במובן מסוים על סמך הדמיון שלהם במספר היבטים אחרים.
טכניקה זו קשורה לשיטת הדוגמנות, שקיבלה הפצה מיוחדת בתנאים מודרניים. שיטה זו מבוססת על עקרון הדמיון. המהות שלה טמונה בעובדה ש
לא האובייקט עצמו נחקר, אלא האנלוגי שלו, התחליף שלו, המודל שלו, ואז התוצאות המתקבלות במהלך לימוד המודל מועברות לאובייקט עצמו לפי כללים מיוחדים.
מודלים משמשים במקרים שבהם האובייקט עצמו קשה לגישה, או שהמחקר הישיר שלו אינו משתלם כלכלית וכו'. ישנם מספר סוגי דוגמנות:
1. דוגמנות נושא, שבה המודל משחזר את המאפיינים הגיאומטריים, הפיזיים, הדינמיים או הפונקציונליים של האובייקט. למשל, דגם גשר, דגם סכר, דגם כנף
מטוסים וכו'.
2. מידול אנלוגי, שבו המודל והמקור מתוארים על ידי קשר מתמטי אחד. דוגמה לכך היא המודלים החשמליים המשמשים לחקר תופעות מכניות, הידרודינמיות ואקוסטיות.
3. דוגמנות סימבולית, שבה סכמות, שרטוטים, נוסחאות פועלות כמודלים. תפקידם של דגמי שלטים גדל במיוחד עם התרחבות השימוש במחשבים בבניית דגמי שלטים.
4. דוגמנות נפשית קשורה קשר הדוק עם השלט, שבו דוגמניות רוכשות אופי ויזואלי נפשית. דוגמה במקרה זה היא מודל האטום, שהוצע בזמנו על ידי בוהר.
5. לבסוף, סוג מיוחד של מידול הוא הכללה בניסוי לא של האובייקט עצמו, אלא של המודל שלו, שבגללו האחרון מקבל אופי של ניסוי מודל. מודלים מסוג זה מצביעים על כך שאין קו קשיח בין שיטות הידע האמפירי והתיאורטי.
אידיאליזציה קשורה באופן אורגני למידול - הבנייה מנטלית של מושגים, תיאוריות על אובייקטים שאינם קיימים ואינם ניתנים לביצוע במציאות, אלא כאלה שיש להם אב טיפוס קרוב או אנלוגי בעולם האמיתי. דוגמאות לאובייקטים אידיאליים שנבנו בשיטה זו הם המושגים הגיאומטריים של נקודה, קו, מישור וכו'. כל המדעים פועלים עם סוג זה של אובייקטים אידיאליים - גז אידיאלי, גוף שחור לחלוטין, מבנה סוציו-אקונומי, המדינה וכו'.

דוּגמָנוּת,לימוד אובייקטי ידע על המודלים שלהם; בנייה ולימוד של מודלים של אובייקטים ותופעות מהחיים האמיתיים (מערכות חיות ולא-חיות, מבנים הנדסיים, תהליכים שונים - פיסיקליים, כימיים, ביולוגיים, חברתיים) וחפצים בנויים (כדי לקבוע, לחדד את מאפיינים, לרציונליזציה של שיטותיהם בנייה וכו').

מתמטיקה כמכשיר קוגניטיבי אינה ניתנת להפרדה מהתפתחות הידע. במהותה, המתמטיקה, כצורה של השתקפות המציאות, נולדה בעת העתיקה במקביל להופעתו של הידע המדעי. עם זאת, בצורה מובחנת (אם כי ללא שימוש במונח עצמו), מ' מתחיל להיות בשימוש נרחב בתקופת הרנסנס; ברונלסקי, מיכלאנג'לו ואדריכלים ופסלים איטלקים אחרים השתמשו בדגמים של המבנים שעיצבו; בעבודות התיאורטיות של ג' גלילאו ולאונרדו דה וינצ'י, נעשה שימוש לא רק במודלים, אלא גם מובהרים את גבולות התחולה של השיטה. M.I. ניוטון משתמש בשיטה זו כבר די במודע, ובמאות 19-20. קשה לציין תחום מדע או יישומיו שבו למתמטיקה לא תהיה חשיבות משמעותית; תפקיד מתודולוגי גדול במיוחד היה בהקשר זה על ידי יצירותיהם של קלווין, ג'יי מקסוול, F.A. מחשבים אלקטרוניים (J. Neumann, 1947) וגיבוש העקרונות הבסיסיים של הקיברנטיקה (N. Wiener, 1948) הוביל לתוצאה אמיתית. משמעות אוניברסלית של שיטות חדשות - הן בתחומי ידע מופשטים והן ביישומיהן. מ' רכשה כעת אופי מדעי כללי ומשמשת במחקרים על הטבע החי והדומם, במדעי האדם והחברה (ראה מודלים בביולוגיה, מודלים בכלכלה, מודלים בבלשנות, מודלים גרעיניים) .

סיווג יחיד של סוגי מ' קשה בגלל העמימות של המושג "מודל" במדע ובטכנולוגיה. זה יכול להתבצע מסיבות שונות: לפי אופי המודלים (כלומר, לפי האמצעים של מ'); לפי אופי האובייקטים המדומים; לפי תחומי היישום של מ' (מ' בטכנולוגיה, במדעי הפיזיקה, בכימיה, מ' של תהליכי חיים, מ' של הנפש וכו') ורמותיו ("עומק"), החל, עבור לדוגמה, עם הקצאת M בפיזיקה ברמת המיקרו (M. ברמות המחקר הנוגעות לחלקיקים יסודיים, אטומים, מולקולות). בהקשר זה, כל סיווג שיטות של מ' נידון לחוסר שלמות, במיוחד מכיוון שהטרמינולוגיה בתחום זה מבוססת לא כל כך על כללים "נוקשים", אלא על מסורות לשוניות, מדעיות ומעשיות, ומוגדרת לעתים קרובות יותר בתוך להקשר מסוים ומחוצה לו אין משמעות סטנדרטית (דוגמה טיפוסית היא המונח "קיברנטי" מ.).

מודל אובייקט נקרא מודל, שבמסגרתו מתבצע המחקר על מודל המשחזר את המאפיינים הגיאומטריים, הפיזיים, הדינמיים והתפקודיים הבסיסיים של ה"מקור". במודלים כאלה נלמדים התהליכים המתרחשים במקור - מושא המחקר או הפיתוח (חקר המאפיינים של מבני בנייה, מנגנונים שונים, כלי רכב וכו'). אם המודל והאובייקט שמעצבים הם מאותו אופי פיזי, אז מדברים על אובייקט פיזי (ראה דוגמנות פיזיקלית). ניתן לחקור תופעה (מערכת, תהליך) גם על ידי מחקר ניסיוני של כל תופעה בעלת אופי פיזיקלי שונה, אך כזו שהיא מתוארת על ידי אותם קשרים מתמטיים כמו התופעה המדומה. לדוגמה, רעידות מכניות וחשמליות מתוארות על ידי אותן משוואות דיפרנציאליות; לכן, בעזרת תנודות מכניות, ניתן לדמות תנודות חשמליות ולהיפך. מידול "מהותי-מתמטי" כזה נמצא בשימוש נרחב כדי להחליף את חקר תופעות מסוימות בחקר תופעות אחרות שנוחות יותר למחקר מעבדתי, במיוחד משום שהן מאפשרות מדידה של כמויות לא ידועות (ראה מידול אנלוגי). לפיכך, מדידת חשמל מאפשרת לחקור תופעות מכניות, הידרודינמיות, אקוסטיות ועוד באמצעות מודלים חשמליים. אלקטריק מ' עומדת בבסיס מה שנקרא. מחשבים אנלוגיים.

במקרה של שפת הסימנים, המודלים הם תצורות סימנים מסוג כלשהו: סכמות, גרפים, שרטוטים, נוסחאות, גרפים, מילים ומשפטים באלפבית כלשהו (שפה טבעית או מלאכותית) (ראה סימן, סמיוטיקה).

הסוג החשוב ביותר של מידול מבוסס סימנים הוא מידול מתמטי (לוגי-מתמטי), המתבצע באמצעות שפת המתמטיקה והלוגיקה (ראה מודל מתמטי). תצורות סימנים והיסודות שלהם נחשבים תמיד יחד עם טרנספורמציות מסוימות, פעולות עליהם שאדם או מכונה מבצעים (טרנספורמציות של נוסחאות מתמטיות, לוגיות, כימיות, טרנספורמציות של מצבי רכיבי מכונה דיגיטליים התואמים לסימני שפת מכונה וכו'). . הצורה המודרנית של "המימוש החומרי" של מתמטיקה סמלית (קודם כל, מתמטית) היא מתמטיקה על מחשבים אלקטרוניים דיגיטליים, אוניברסלית ומתמחה. מכונות כאלה הן מעין "חסרים נקיים" שעליהם, באופן עקרוני, ניתן לתקן תיאור של כל תהליך (תופעה) בצורת התוכנית שלו, כלומר מערכת כללים מקודדת בשפת מכונה, שבעקבותיה מכונה יכולה "לשחזר" את מהלך התהליך המדומה.

פעולות עם סימנים קשורות תמיד במידה מסוימת להבנת תצורות סימנים ותמורותיהן: נוסחאות, משוואות מתמטיות וכו'. ביטויי השפה המדעית המשמשת בבניית המודל מתפרשים (מתפרשים) בצורה מסוימת במונחים של הנושא. אזור שאליו שייך המקור (ראה פירוש). לכן, ניתן להחליף את הבנייה האמיתית של דגמי שלטים או שברים שלהם בייצוג חזותי נפשית של סימנים ו(או) פעולות עליהם. סוג זה של מ' מבוסס סימנים נקרא לפעמים מ' נפשי. עם זאת, מונח זה משמש לעתים קרובות לציון מ' "אינטואיטיבי", שאינו משתמש במערכות סימנים קבועות בבירור, אלא מתקדם ברמה של "ייצוגי מודל". מ' כזה הוא תנאי הכרחי לכל תהליך קוגניטיבי בשלב הראשוני שלו.

לפי אופיו של אותו צד של החפץ שנתון למ', ראוי להבחין בין המ' של מבנה החפץ לבין המ' של התנהגותו (תפקוד התהליכים המתרחשים בו וכו'. .). הבחנה זו היא יחסית לכימיה או לפיזיקה, אך היא מקבלת משמעות ברורה במדעי החיים, כאשר ההבחנה בין המבנה והתפקוד של מערכות חיים היא אחד מעקרונות המתודולוגיים הבסיסיים של המחקר, ובקיברנטיקה, המדגישה את התפקוד. של המערכות הנבדקות. כאשר "קיברנטי" מ' מופשטים בדרך כלל מבנה המערכת, בהתחשב בה כ"קופסה שחורה", שהתיאור (המודל) שלה בנוי במונחים של היחס בין מצבי ה"תשומות" וה"פלטים" שלה ("הכניסות" מתאימות להשפעות חיצוניות על המערכת הנחקרת, "פלטים" תואמים את התגובות שלו אליהם, כלומר התנהגות).

עבור מספר תופעות מורכבות (לדוגמה, מערבולות, פעימות באזורים של הפרדת זרימה וכן הלאה), נעשה שימוש במדידה סטוכסטית, המבוססת על ביסוס ההסתברויות של אירועים מסוימים. מודלים כאלה אינם משקפים את הקורס כולו תהליכים בודדיםבתופעה זו, שהן בעלות אופי אקראי, אך קובעות איזו תוצאה ממוצעת, כוללת.

המושג מ' הוא קטגוריה אפיסטמולוגית המאפיינת את אחת מדרכי ההכרה החשובות. האפשרות לבצע מידול, כלומר להעביר את התוצאות שהתקבלו במהלך בניית ולימוד מודלים למקור, מבוססת על העובדה שהמודל במובן מסוים מציג (משחזר, מדגים) כל אחת מתכונותיו; יתרה מכך, מיפוי כזה (ורעיון הדמיון הקשור אליו) מבוסס, במפורש או במרומז, על המושגים המדויקים של איזומורפיזם או הומומורפיזם (או ההכללות שלהם) בין האובייקט הנחקר לבין אובייקט אחר "מקורי" ו מבוצע לרוב על ידי מחקר ראשוני (תיאורטי או ניסיוני) של שניהם. לכן, למידול מוצלח, כדאי כבר לקבוע תיאוריות של התופעות הנחקרות, או לפחות תיאוריות והשערות המבוססות בצורה משביעת רצון המציינים את הפשטות המקסימליות המותרות בבניית מודלים. האפקטיביות של מדדים גדלה באופן משמעותי אם, בעת בניית מודל והעברת תוצאות מהמודל למקור, ניתן להשתמש בתיאוריה מסוימת שמעדנת את רעיון הדמיון הקשור להליך המדדים בו נעשה שימוש. לגבי תופעות בעלות אותו אופי פיזיקלי, תיאוריה כזו, המבוססת על שימוש במושג מימד הכמויות הפיזיקליות, מפותחת היטב (ראה מידול פיזי, תורת הדמיון). אבל למידול של מערכות מורכבות ותהליכים שנלמדו, למשל, בקיברנטיקה, טרם פותחה תיאוריה דומה, וזו הסיבה לפיתוח האינטנסיבי של תורת המערכות הגדולות - התיאוריה הכללית של בניית מודלים של מערכות מורכבות. . מערכות דינמיותחיות בר, טכנולוגיה ותחום סוציו-אקונומי.

M. משמש תמיד יחד עם שיטות מדעיות ומיוחדות כלליות אחרות. קודם כל, מ' קשור קשר הדוק לניסוי. חקר כל תופעה במודל שלה (עם מטרה, סימן M., M. במחשב) יכול להיחשב כסוג מיוחד של ניסוי: "ניסוי מודל", השונה מהניסוי הרגיל ("הישיר") ב. שהוא נכלל בתהליך ההכרה "חוליית ביניים" - מודל שהוא גם אמצעי וגם מושא למחקר ניסיוני, המחליף את האובייקט הנחקר. ניסוי מודל מאפשר לך לחקור חפצים כאלה, שהניסוי הישיר עליו הוא קשה, לא משתלם כלכלית, או אפילו בלתי אפשרי מסיבה זו או אחרת [M. מבנים ייחודיים (למשל הידראוליים), מתחמים תעשייתיים מורכבים, מערכות כלכליות, תופעות חברתיות, תהליכים המתרחשים במרחב, סכסוכים ופעולות איבה וכו'].

חקר מודלים של סימנים (במיוחד מתמטיים) יכול להיחשב גם ככמה ניסויים ("ניסויים על נייר", ניסויים נפשיים). הדבר מתבטא במיוחד לאור האפשרות ליישם אותם באמצעות מחשוב אלקטרוני. אחד מסוגי ניסוי המודל הוא ניסוי מודל-קיברנטי, שבמהלכו במקום פעולה ניסויית "אמיתית" עם האובייקט הנחקר, נמצא אלגוריתם (תוכנית) לתפקודו, שמתגלה כמעין מודל. של התנהגות האובייקט. על ידי הכנסת האלגוריתם הזה למחשב דיגיטלי וכמו שאומרים "אובדן" אותו, הם מקבלים מידע על התנהגות המקור בסביבה מסוימת, על הקשרים הפונקציונליים שלו עם ה"סביבה" המשתנה.

לפיכך, ניתן קודם כל להבחין בין מ' "חומרי" (אובייקטיבי) ל"אידיאלי"; הראשון יכול להתפרש כ"ניסיוני", השני - כמ' "תיאורטי", אם כי התנגדות כזו, כמובן, מותנית מאוד לא רק בגלל היחסים וההשפעה ההדדית של סוגים אלה של מ', אלא גם נוכחות של צורות "היברידיות" כמו "ניסוי נפשי". "חומר" מ' מחולקת, כאמור לעיל, למ' פיזיקלית ונושא מתמטית, ומ' אנלוגית היא מקרה מיוחד של האחרון. יתרה מכך, מ' "אידיאלי" יכול להתרחש הן ברמה הכללית ביותר , אולי אפילו לא לגמרי מודע ומקובע, "ייצוגי מודל", וברמת מערכות סימנים מפורטות למדי; במקרה הראשון, מדברים על מתמטיקה שכלית (אינטואיטיבית), במקרה השני, על מתמטיקה סמלית (הסוג החשוב והנפוץ ביותר שלה הוא מתמטיקה לוגית-מתמטית). לבסוף, מתמטיקה במחשב (המכונה לעתים קרובות "קיברנטית") היא "נושא-מתמטי בצורה, סמלית בתוכן".

מ' כרוכה בהכרח בשימוש בהפשטה ואידיאליזציה. הצגת המאפיינים המהותיים (מנקודת המבט של מטרת המחקר) של המקור והפשטה מהלא-חיוני, המודל פועל כצורה ספציפית של יישום ההפשטה, כלומר כאובייקט אידיאלי מופשט מופשט. יחד עם זאת, כל תהליך העברת הידע מהמודל למקור תלוי במידה רבה באופי וברמות ההפשטות והאידיאליזציות העומדות בבסיס מ'; בפרט, חיוני להדגיש שלוש רמותהפשטות שעליהן ניתן לבצע מ': רמת ההיתכנות הפוטנציאלית (כאשר ההעברה הנזכרת מרמזת על הסחת דעת ממגבלות הפעילות הקוגניטיבית והמעשית של אדם במרחב ובזמן, ראה עקרון ההפשטה), רמת ה"אמיתי" היתכנות (כאשר העברה זו נחשבת כתהליך ריאלי באמת, אם כי, אולי, רק בתקופה עתידית כלשהי של תרגול אנושי) ורמת הכדאיות המעשית (כאשר העברה זו אינה רק אפשרית, אלא גם רצויה להשגת קוגניטיביות ספציפיות או ספציפיות. משימות מעשיות).

עם זאת, בכל הרמות הללו, יש להתחשב בעובדה שה-M של מקור נתון אינו יכול לתת בשום שלב ידע מלאעליו. תכונה זו של מ' משמעותית במיוחד במקרה שבו הנושא של מ' הן מערכות מורכבות, שהתנהגותן תלויה במספר לא מבוטל של גורמים הקשורים זה בזה, בעלי אופי שונה. במהלך ההכרה, מערכות כאלה מוצגות ב דגמים שוניםמוצדק פחות או יותר; בעוד שחלק מהדגמים עשויים להיות קשורים זה לזה, בעוד שאחרים עשויים להיות שונים בתכלית. לכן מתעוררת בעיית ההשוואה (הערכת הלימה). דגמים שוניםשל אותה תופעה, הדורשת ניסוח של קריטריוני השוואה מוגדרים במדויק. אם קריטריונים כאלה מבוססים על נתונים ניסויים, אזי נוצר קושי נוסף בשל העובדה שהתאמה טובה בין המסקנות הנובעות מהמודל לבין הנתונים התצפיתיים והניסויים עדיין אינה משמשת אישור חד משמעי לנכונות המודל. , שכן ניתן לבנות מודלים אחרים של תופעה זו, אשר יאושרו גם על ידי עובדות אמפיריות. מכאן - טבעיות המצב כאשר נוצרים מודלים משלימים או אפילו סותרים של התופעה; ניתן "להסיר" סתירות במהלך התפתחות המדע (ולאחר מכן להופיע עם מ' ברמה עמוקה יותר). לדוגמה, בשלב מסוים בהתפתחות הפיזיקה התיאורטית, ברמה ה"קלאסית", נעשה שימוש במודלים בפיזיקה של תהליכים פיזיקליים המרמזים על חוסר התאמה של ייצוגים גופניים וגלים; "אי התאמה" זו "הוסרה" על ידי יצירת מכניקת הקוונטים, המבוססת על התזה של דואליות גל-חלקיקים הטבועה בטבעו של החומר.

דוגמה נוספת למודלים כאלה היא M. צורות שונותפעילות המוח. המודלים שנוצרו של אינטליגנציה ותפקודים מנטליים - למשל בצורת תוכנות מחשב היוריסטיות - מראים שה-M של החשיבה כתהליך מידע אפשרי בהיבטים שונים (דדוקטיבי - לוגי פורמלי, ראה דדוקציה; אינדוקטיבי - ראה אינדוקציה; נוטרולוגי, היוריסטי - ראה היוריסטיקה), לצורך "תיאום" יש צורך במחקרים לוגיים, פסיכולוגיים, פיזיולוגיים, אבולוציוניים-גנטיים ומודלים-קיברנטיים נוספים.

מ' חודר עמוק לתוך החשיבה התיאורטית. יתרה מכך, התפתחותו של כל מדע בכללותו יכולה להתפרש - במובן כללי מאוד אך סביר למדי - כ"מתמטיקה תיאורטית". תפקיד קוגניטיבי חשוב של המתמטיקה הוא לשמש כדחף, מקור לתיאוריות חדשות. לעתים קרובות קורה שתיאוריה מופיעה בתחילה בצורה של מודל שנותן הסבר משוער ומפושט לתופעה, ופועלת כהשערת עבודה ראשית, שיכולה להתפתח ל"קדם-תיאוריה" - קודמתה של תיאוריה מפותחת. . במקביל, בתהליך של מ', עולים רעיונות וצורות ניסוי חדשות, ומתגלות עובדות שלא היו ידועות קודם לכן. "שזירה" כזו של מתמטיקה תיאורטית וניסיונית אופיינית במיוחד להתפתחות תיאוריות פיזיקליות(לדוגמה, מולקולרית-קינטית או תורת הכוחות הגרעיניים).

מ' הוא לא רק אחד מהאמצעים להצגת התופעות והתהליכים של העולם האמיתי, אלא גם - למרות היחסיות המתוארת לעיל - קריטריון מעשי אובייקטיבי לאימות אמיתות הידע שלנו, המתבצע ישירות או על ידי ביסוס הקשר שלהם עם תיאוריה נוספת שפועלת כמודל, שמידת התאמתה נחשבת מוצדקת מעשית. מיושמת באחדות אורגנית עם שיטות קוגניציה אחרות, מתמטיקה פועלת כתהליך של העמקת קוגניציה, תנועתה ממודלים דלים יחסית במידע למודלים בעלי משמעות רבה יותר, החושפים בצורה מלאה יותר את מהות תופעות המציאות הנחקרות.

כאשר בדרך כלל משתמשים במערכות מורכבות יותר או פחות סוגים שונים M. לדוגמאות, עיין בסעיפים על M. power systems ו-M. ריאגנטים כימיים להלן.

ליט .: גוטנמאכר ל.י., דגמים חשמליים, מ' - ל', 1949; Kirpichev M.V., תורת הדמיון, M., 1953; ליאפונוב א.א., על כמה בעיות כלליותקיברנטיקה, בספר: בעיות קיברנטיקה, ג. 1, מוסקבה, 1958; Walt L. O., Cognitive value of representations model in physics, Tartu, 1963; Glushkov V. M., Nature Gnoseological of Information Modeling, "Problems of Philosophy", 1963, No. 10; Novik I. B., On the Modeling of Complex Systems, M., 1965; דוגמנות כשיטת מחקר מדעי, מ', 1965; Venikov V. A., תורת הדמיון והמודלים ביחס לבעיות של תעשיית החשמל, מ', 1966; Shtoff V. A., Modeling and Philosophy, M. - L., 1966; Chavchanidze V. V., Gelman O. Ya., Modeling in Science and Technology, M., 1966; Gastev Yu. A., On the Epistemological Aspects of Modeling, בספר: Logic and methodology of science, M., 1967; Buslenko N. P., מידול של מערכות מורכבות, M., 1968; Morozov K. E., מודל מתמטי בידע מדעי, M., 1969; בעיות הקיברנטיקה, מ', 1969; Uemov A. I., היסודות הלוגיים של שיטת המודלינג, M., 1971; Nalimov V. V., Theory of experiment, M., 1971; Biryukov B. V., Geller E. S., Cybernetics in the Humanities, M., 1973.

B. V. Biryukov, Yu. A. Gastev, E. S. Geller.